korrelációs kapcsolatok elemzésegtk.uni-miskolc.hu/files/12613/1e_korrelációs...•...

• Gazdaságtudományi Kar• Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet

Korrelációs kapcsolatok elemzése

1. előadás

Kvantitatív statisztikai módszerek


Két változó közötti kapcsolat

• Független: Az X ismérv szerinti hovatartozásismerete nem ad semmilyen többletinformációtaz Y szerinti hovatartozásról.

• Sztochasztikus: Az egyik ismérv hatással van amásikra, de nem határozza meg egyértelműenannak értékeit/változatait.

• Függvényszerű (determinisztikus): A vizsgáltegységek X szerinti hovatartozásánakismeretében egyértelműen megmondható azok Yszerinti hovatartozása is.


A kapcsolat mérőszámai

• Két nominális változó közötti kapcsolatot az asszociációs mérőszámokkal jellemezzük .

• Ordinális típusú változók összefüggését a rangkorrelációs mutatók mérik.

• Arány skála típusú változók összefüggését korreláció- és regresszió-analízissel elemezzük.

• Intervallum/arány és nominális skálán mért változók közötti összefüggést H;


Sztochasztikus kapcsolatok fajtái

• Asszociáció (mindkét ismérv minőségi/területi ismérv, nominális skálán mérve).

• Vegyes (egyik ismérv mennyiségi, másik területi/minőségi, intervallum/arány és nominális skálán mérve.

• Korreláció (mindkét ismérv mennyiségi, intervallum/arány skálán mérve).

• Rangkorreláció (mindkét változó sorrendi skálán mérhető).


Korrelációs kapcsolat elemzése

• Van-e összefüggés az ismérvek között?

• Milyen irányú az összefüggés?

• Mennyire szoros a kapcsolat?

• Az egyik ismérv változása milyen hatással van a másik ismérv változására?


Alapfogalmak I.

• A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatotkorrelációnak nevezzük.

• A korrelációszámítás: a mennyiségi ismérvekközötti kapcsolat szorosságának mérése.

• A regressziószámítás: a mennyiségi ismérvekegymásra gyakorolt hatásánakszámszerűsítésével, e hatások irányának ésmértékének megállapításával foglalkozik.


Alapfogalmak II.

Ha a korreláció mögött egyirányú okozatiösszefüggés állapítható meg:

• az ok szerepét betöltő ismérvet tényező-változónak, magyarázó-, független változónak(X),

• az okozat szerepét játszó ismérvet pedigeredményváltozónak, függő változónak (Y)nevezzük.


A korreláció fontosabb típusai


Korreláció hiánya

A regresszió-függvény bármely X helyenazonos (közel azonos) értéket vesz fel.

A függvény képe vízszintes vonal.

( Y független X-től, X nem befolyásolja Yértékét.)


- 2 - 1 0 1 2

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

N i n c s k o r r e lá c i ó

Y = - 7 . 4 E - 0 2 + 0 . 2 0 8 3 4 8 X

R - S q = 3 . 4 %

A korreláció hiánya


Függvényszerű kapcsolat

A korreláció hiányának logikai ellentéte afüggvényszerű kapcsolat.

Egy adott X értékhez csupán egyetlen Y értéktartozhat. Ilyenkor a pontdiagram pontjai aregresszió-vonalhoz illeszkednek, azaz a regresszió-vonal körül nincs szóródás.


Pozitív korreláció

Általában a regressziógörbe körül vanszóródás. A regressziógörbe alakja a korrelációtartalmát fejezi ki. Ha nagyobb X értékekhezáltalában nagyobb Y értékek tartoznak, vagyisa tényezőváltozó növelése az eredményváltozónagyságát növeli.


3210- 1- 2- 3

3

2

1

0

- 1

- 2

- 3

P o z i t ív k o r r e l á c i ó

R -S q = 6 2 .5 %

Y = -8 . 6 E -0 2 + 0 . 6 9 0 2 8 6 X

Pozitív korreláció


Negatív korreláció

Az előbbi kapcsolat ellentéte természetesen anegatív korreláció, amelyet a regressziófüggvényugyancsak szemléletesen jelez.


- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

N e g a t ív k o r r e lá c i ó

Y = 5 . 0 7 E - 0 2 - 0 . 6 4 7 8 7 2 X

R - S q = 7 0 . 9 %

Negatív korreláció


Görbevonalú kapcsolat

A lineáristól eltérő típust görbe vonalú(nemlineáris) kapcsolatnak nevezzük.

A nemlineáris kapcsolatok egy részénél továbbra isvan értelme pozitív, vagy negatív irányzatrólbeszélni, feltéve, hogy a görbe monoton növekvő,illetve csökkenő irányzatot mutat az értelmezésitartományon belül.

Nem lehet azonban pozitív vagy negatív irányrólbeszélni, ha a regresszió irányt változtat.


- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

0

1 0

2 0

3 0

4 0

N e m l i n e á r i s k o r r e lá c i ó

Y = 1 2 . 0 9 5 8 + 6 . 0 7 6 8 4 X + 1 . 1 6 6 8 6 X * * 2

R - S q = 8 8 . 4 %

Görbevonalú kapcsolat


A kapcsolat szorosságának mérőszámai


A kovariancia

Az X és Y mennyiségi változók közötti kapcsolat irányát mutatja meg.

A megfelelő átlagtól vett ( ) és ( ) eltéréseken alapszik.

yx - 1-n

xy =

1-n

dd = C

yx

yxrC ss

x-x y-y


Kovariancia tulajdonságai

• A kovariancia nulla, ha a pozitív és a negatív előjelű eltérésszorzatok összege kiegyenlíti egymást.

• Kovariancia előjele a kapcsolat irányát mutatja.

• A kovariancia abszolút mértékének nincs határozott felső korlátja.

• A kovariancia a két változóban szimmetrikus, X és Y szerepe a formulában felcserélhető.


Egy vállalat dolgozóinak keresete és havi megtakarítása

DolgozóBér

(Ft/fő)

Havi megtakarítás

(Ft/hó)

1 120000 13000

2 90000 10000

3 220000 35000

4 150000 18000

5 100000 12000

6 115000 12500

7 160000 20000

8 130000 13800

9 145000 14000

10 100000 11800

Összesen 1330000 160100

dx

-13000

-43000

87000

17000

-33000

-18000

27000

-3000

12000

-33000

0

dy

-3010

-6010

18990

1990

-4010

-3510

3990

-2210

-2010

-4210

0

dxdy

39130000

258430000

1652130000

33830000

132330000

63180000

107730000

6630000

-24120000

138930000

2408200000

dx2

169000000

1849000000

7569000000

289000000

1089000000

324000000

729000000

9000000

144000000

1089000000

13260000000

dy2

9060100

36120100

360620100

3960100

16080100

12320100

15920100

4884100

4040100

17724100

480729000


Kovariancia

Értelmezés: a dolgozók keresete és a havimegtakarított összege közötti kapcsolatpozitív irányú.

8267577777,9

2408200000yx -

1-n

xy =

1-n

dd = C

yx


A korrelációs együttható

• A korrelációs együttható a lineáris korreláció szorosságának legfontosabb mérőszáma.

• A kapcsolat hiányát (korrelálatlanság) az r = 0 érték jelzi.

• Az r előjele a korreláció irányát mutatja. Tökéletes (függvényszerű) lineáris kapcsolatnak - az iránytól függően - az r = +1, illetve r = -1 értékek felelnek meg.

• A szélsőséges helyzetek között az együttható abszolút értéke a kapcsolat szorosságáról tájékoztat.


Korrelációs együttható

d d = xy - n x yx y

d = x n xx

2 2 2

d = y n yy

2 2 2

)()(2

2222y

2x

yx

yx ynyxnx

yxn-xy

dd

ddC=r

ss


Korrelációs együtthatóDolgozó Bér (Ft/fő)

Havi megtakarítás

(Ft/hó)dx dy dxdy dx

2 dy2

Összesen 1330000 160100 0 0 2408200000 13260000000 480729000

0,95448072900001326000000

2408200000

dd

ddC=r

2

y

2

x

yx

yx

ss

Értelmezés: a dolgozók keresete és a havi

megtakarított összege közötti kapcsolat

pozitív irányú és erős.


Determinációs együttható

• A determinációs együttható megmutatja, hogya magyarázóváltozó hány %-ban befolyásoljaaz eredményváltozó szóródását.

• Jele: r2

• A determinációs együttható jellemzi:

• A regressziós függvény illeszkedését,

• A modell magyarázó erejét.


Determinációs együttható

%98,909098,00,954r 22

Értelmezés: a dolgozók keresete 90,98%-

ban befolyásolja a havi megtakarított összeg

szóródását.


A rangkorreláció

Létezhetnek a statisztikai sokaság egységeinek olyan kvantitatív jellegűtulajdonságai, amelyek számszerűen egyáltalán nem, vagy csaknehezen mérhetők.

A mutatószám értéke r-hez hasonlóan természetesen -1 és 1 közötthelyezkedik el. Ha a kétféle rangsorszám rendre megegyezik, akkor =1, ha a sorszámok a két ismérv szerint következetesen ellentétesenalakulnak, akkor = -1.

)1n(n

d6-1=

2

2

i


Rangkorreláció

Régió 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Árbevétel (MFt) 34 30 25 22 21 10 12 8 31 20

Nyereség (MFt) 16 10,5 10 12 7 4 2 1 9 11

x 10 8 7 6 5 2 3 1 9 4

y 10 7 6 9 4 3 2 1 5 8

d 0 1 -1 -3 1 -1 1 0 4 -4

d2 0 1 1 9 1 1 1 0 16 16

Egy régió vállalatainak gazdálkodására vonatkozó adatok

7212,0

11010

4661

)1n(n

d6-1=

22

2

i

Értelmezés: a vállalatok árbevétele és nyeresége között közepesnélszorosabb, pozitív irányú kapcsolat van.


A korrelációs hányados

• A görbevonalú kapcsolatok szorosságának mérőszáma.

• A mutatószám kialakításának gondolatmenete: csoportosítjuk a megfigyelt értékeket a tényezőváltozó értékei vagy osztályközei szerint, és kiszámítjuk az eredményváltozó részátlagait az egyes csoportokban.

y/x

2 K(y)

2

(y)

2

K (y)

(y)

B (y)

2

y)

2

B (y)

(y)

S

S

S

S 1 1

(


A korrelációs hányados

• A korrelációs hányados négyzetét definiáltuk, mivel az csupán a kapcsolat intenzitását jelzi, irányát nem.

• Megoszlási viszonyszám jellegénél fogva a korrelációs hányados négyzete mindig nulla és egy közé esik.

• Előjelét nem értelmezzük, megállapodásszerűen pozitív számként kezeljük.

• A korrelációs hányadost nem szokták százalékos formában kifejezni.

• Általában y/x x/y tehát nem szimmetrikus az X és Y változókban.

• X csupán mint csoportképző ismérv szerepel .


Köszönöm a [email protected]

korrelációs kapcsolatok elemzésegtk.uni-miskolc.hu/files/12613/1e_korrelációs...•...

Documents