Képalkotás modellezése, metrikái

Orvosi képdiagnosztika

2019 ősz

Jelölésjegyzék

• Rendszer válasza gerjesztésre:

• Dirac-delta: ; egységugrás:

• idejű Dirac-delta gerjesztése a rendszer válasza:– LTI esetben:

• Konvolúció:

• Fourier transzformáltja: – spektruma:

• sávszélessége:

• eloszlás várható értéke: , szórása:

• Szürkeárnyalatos képet leíró leképezés:

• Elemenkénti átlagolás:

f S f

x

0x 0,h x x

0 0: ,h x x h x x

1 x

G FT gg

G

g bw g

X X std X

1:, 1 ,

M i

i

I x y M I x y

2:I R R

g

Tartalom

• Elméleti áttekintés – lineáris rendszerek:

– LTI rendszerek leírása – konvolúciós integrál

– Rendszer identifikáció

– Folytonos idejű Fourier transzformáció

• Képalkotás mérése lineáris rendszerekkel:

– Point Spread Function, Modulation TransferFunction, Noise Power Spectra, SNR, CNR

– NEQ, DQE

Lineáris rendszerek

• Komplex, fizikai rendszerek sosem lineárisak

– Linearizálás nélkül kezelhetetlenül bonyolultak

– Leginkább sztochasztikus folyamatok

• Lin. rendszerként várható értékük jellemezhető

• Lineáris rendszerek jellemzői

– Rendszer:

– Lineáris:

:S A B

, , :

S a f b g a S f b S g

a b R f g C A

Lineáris rendszerek vizsgálata

• Eltolás-invariáns (idő invariáns) rendszer:

–

• Dirac impulzus:

–

– Impulzusválasz:

• Eltolás(idő)-invariáns rendszernél:

• LTI rendszereket egyértelműen leírja

2

20

1lim exp

22

xx

0 0S f x x y x S f y

0 0,h x x S y x x

0 0,h x x h x x

h x

LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál)

• Közelítsük infinitezimális téglákkal -et:

–

– Közelítő modell helyességének feltételei:

• folytonos

• is folytonos függvénye -nak

•

• Ha eltolás invariáns:

–

– Tömörebben:

f

ˆ : ,j

S f x y x f j x h x j x x

f

,h x y y

1x

S

0

'

ˆlim ' ' 'x

x

S f x y x f x h x x dx

:y x S f x f h x

LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál)

+

∑:

+ …

LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál)

LTI rendszerek

• Impulzusválasz ( ) egyéb elnevezései:

– Súlyfüggvény

– Gerjesztés Válasz függvény

– Képalkotó rendszereknél: Point Spread Function

• Fizikai képalkotó rendszerek sajátosságai:

– Rögzített képek (projekciók, stb.):

– Általában ,

– a képalkotás, és a fizikai foton interakciók függvénye

h

y h x 3: R Rx

2: R Ry

Egyszerű rendszerek impulzusválasza (szemléltetés)

• Arányos tag:

• Integráló tag:

• Diffrenciáló tag:

• Holtidős tag:

Fourier Transzformáció

• Folytonos függvények lineáris transzformációja:

– ;

– Euler formula:

• LTI rendszerek vizsgálata Fourier tartományban:

–

–

– Konvolúció tétel:

2e

j xf x F d

exp 2 cos 2 sin 2j x x j x

2 '

'

' 'j x x

x

y x h x F e d dx

2 ' 2

'

' 'j x j x

x

y x F h x e dx e d

Y F H

2e

j xF f x dx

LTI rendszerek – konvolúció tétel

• LTI rendszer sajátfüggvényei az FT bázisfüggvényei (komplex exponenciálisak):

– frekvenciájú szinuszos jelre adott válasz is frekvenciájú szinuszos jel:

LTI

LTI rendszerek átviteli függvény

• Átviteli függvény:

• értelmezése:

– rendszer erősítése (1/ tehetetlensége):

• ~ jel változásának sebessége

• Fizikailag realizálható rendszerek sávkorlátozottak:

, ha

• Általában monoton csökkenő függvény (ellenpélda: kondenzátor)

– rendszer fázis tolása (késleltetése):

•

H FT h

expH H j H

H

1H bw h

H

0 0exp 2FT f x x F j x

LTI rendszerek identifikációja

• meghatározása:

– Egységimpulzus ( ) gerjesztés

– Egységugrás gerjesztés:

•

– Szinuszos vizsgálójellel (LTV-hez is jó lehet):

•

esetén

H

x

1 ' '

x

x x dx

1h x dS x dx

0 0cos 2f x A x

0 0cos 2y x A A x

' '

'

'

exp

?

A j signH

LTI rendszerek identifikációja

– Multiszinuszos vizsgálójel (LTV rendszerekhez is):

•

• Fourier Sorfejtése megadja értékeit

– Fehér zajjal:

• Bemeneti zaj: teljesítménysűrűség spektruma egyenletes

• Kimeneti zaj: teljesítménysűrűség spektruma

cos 2i i

i

f x A i x

y x H i

2

H

S

Képalkotó rendszerek jellemzése

• Képalkotás általános modellje: Lineáris rendszer:

• Lineáris rendszerek – GV vizsgálat

– Ideális gerjesztés: dirac-delta

– Közelítése: pontszerű gerjesztés

• A gerjesztés is GV válasza egy lineáris rendszernek ( )

• Közvetlenül a ( h*l ) rendszert vizsgáljuk

, ,l

Point Spread Function 3D - 2D

• Általános modell (konv. integrál)- a gerjesztés képe lineáris rendszermodell és zaj esetén:

– : gerjesztés (vizsgált objektum)

– : additív zaj

– : rendszer súlyfüggvénye – PSF-je

• Inverz probléma – később részletesen tárgyaljuk

0

, , ; , , ,g x y h x y f d d d x y

  , ,

,f ,

,x y

, ; ,h x y    ,

Point Spread Function 2D - 2D

• Detektált kép abban az esetben, ha impulzust detektálnánk ideális esetben:

– : ideális esetben az imp. gerjesztés képe

– : additív zaj

– : torzító rendszer PSF-je

• Inverz probléma – később részletesen tárgyaljuk

,

, , ; ,g x y h x y f x y

  , ,

f ,

,x y

, ;h x y    ,

Point Spread Function (2D – 2D eset)

• Nem szükségszerűen izotropikus:– Fényképezőgépek / mikroszkópok – inhomogén

lencsék okozzák az anizotróp PSF-et

– PA röntgen, CT, DTS esetén tipikusan anizotróp

– MRI esetén felvételi paraméterek függvénye

• Nem szükségszerűen shift invariáns:– Jelentősen nagyobb probléma

– Közelítés shift invariáns rendszerekkel:• Alapelv: PSF folytonos függvény

• Isoplanatic régiók

Point Spread Function (2D – 2D eset)

• Nem szükségszerűen izotropikus:– Fényképezőgépek / mikroszkópok – inhomogén

lencsék okozzák az anizotróp PSF-et

– PA röntgen, CT, DTS esetén tipikusan anizotróp

– MRI esetén felvételi paraméterek függvénye

• Nem szükségszerűen shift invariáns:– Jelentősen nagyobb probléma

– Közelítés shift invariáns rendszerekkel:• Alapelv: PSF folytonos függvény

• Isoplanatic régiók

Az időinvariancia analógiája képeket bemenetként kezelő 2D rendszer esetén.

Modulation Transfer Function(modulációs átviteli függvény)

• Tételezzük fel, hogy a PSF pozíció független

• Ekkor a PSF spektrumát érdemes vizsgálni:

– TF (átviteli függvény):

• Elterjedt még az OTF / MTF felbontás is:

– Optical Transfer Function:

– Modulation Transfer Function:

• Effektív felbontás (zaj nélkül):

– Képalkotásban 0.5-ös MTF érték határozza meg

FH h

0,0H H

0,0H H

bw h

Röntgen detektor MTF példák

MTF mérése

• MTF definiálásánál LTI modellt használtunk:

– Expected MTF: célja az alul-mintavételezés hatására keletkező moire hatásait degradálni

• Gyakori megvalósításai:

– Vonalpár fantom: MTF származtatható belőle

– Rés módszer: magas frekvencián pontosabb

– Él módszer: alacsony frekvencián pontosabb

– Általában egy irány mentén mérhető:

• Ami a fantom elhelyezésétől függ

MTF mérése vonalpár fantomok

Catphan ® 500 FBP-vel rekonstruált axiális szelet

MTF mérése vonalpár fantom• Digitális fényképezőgépekhez készült fantom:

MTF mérése: él módszer

- A fantom éle a pixelek osz-lopaival kis, de >0 szöget zár be.

- Így lehetőség nyílik az él „felül-mintavételezésére”, korrigálható az alul-mintavételezési probléma.

- Az élre merőleges derivált adja meg a PSF-et.

MTF – PSF közötti kapcsolat

MTF szerinti minősítés

Signal to Noise Ratio(jel / zaj viszony)

• Általános jelfeldolgozásban:

– Általában additív zaj

• Képalkotó rendszerek esete:

– homogén objektum legyen

–

• a homogén objektum képének kiterjedése, fontos, hogy elegendően nagy legyen

• Több felvételből is mérhető

10 1010 log 20 logsignal noise signal noiseSNR P P A A dB

x,yx,y

x, y x, yNN

SNR I std I

N

f

Contrast to Noise Ratio(kontraszt / zaj viszony)

• Kontraszt önmagában nem jó minősítő:

– Gyakran főleg a zaj generálja

– Objektumok elkülönítését javítja a jobb kontraszt, de degradálja a nagyobb zaj

•

– A,B a két elkülöníteni kívánt objektum képe

– N azon régió, melyből becsülhető a képzaj:

• Ennek konkrét megválasztása esetfüggő

– Alkalmazása (mint metrika) főleg orvosi körben elterjedt

, ,

x,yx,y x,y

x, y x, y x, yA B A B NNA B

CNR C I I std I

CNR mérése CT esetén- Fontos, hogy nem

tételez fel lineáris képalkotást!

- Szeleten belüli felbontás vs. sugárdózis optimalizáció

- Nemlineáris rekonstrukciók minősítése

Catphan ® 600

Röntgen kvantum jellemzői

• Kvantum: fotonok száma

• Fotonok eloszlása:

– Érzékelő felületén/ időben nem egyenletes

• Sugárzás inherens zaját ez a jelenség generálja

– Ergodikus eloszlással írható le

– Véletlen Poisson Folyamat:

• várható érték esetén szórás

• Ideális képalkotó rendszer:

– Plusz zajt nem generál ( )

out inSNR SNR

exp

!

k

p kk

Noise Power Spectrum(zaj teljesítmény spektrum)

• A képzaj energiája frekvenciafüggő:

– NPS definíciója folytonos jel esetén:

– Diszkrét esetben:

• : detektor pixeleinek x és y irányú kiterjedése

• : detektor x és y irányú logikai felbontása (pixeleinek a száma)

• detektor fizikai mérete

2

1:

, ,

1lim

M

Nx Ny MNPS F I I

X Y

2

1:

, ,lim

M

Nx Ny Mx y

x yNPS F I I

N N

,x y

,x yN N

,x yX x N Y y N

Noise Power Spectrum(zaj teljesítmény spektrum)

• A képzaj energiája frekvenciafüggő:

– NPS definíciója folytonos jel esetén:

– Diszkrét esetben:

• : detektor pixeleinek x és y irányú kiterjedése

• : detektor x és y irányú logikai felbontása (pixeleinek a száma)

• detektor fizikai mérete

2

1:

, ,

1lim

M

Nx Ny MNPS F I I

X Y

2

1:

, ,lim

M

Nx Ny Mx y

x yNPS F I I

N N

,x y

,x yN N

,

, exp 2x y

f x y j ux vy dydx

,

, exp 2m n

f m n j u m M v n N

,x yX x N Y y N

Noise Equivalent Quanta(zaj ekvivalens kvantum)

• Normalized NPS:

– Kompenzálja a rendszer erősítését

–

• ~ Mi a detektor válasza olyan helyen, melybe Q foton érkezik (kvázi a rendszer erősítése)

• Noise Equivalent Quanta:

– Mennyi foton lenne szükséges ugyanazon képminőség eléréséhez, ha ideális lenne a képalkotás

–

2, ,NNPS u v NPS u v A

2 2, , , ,NEQ u v MTF u v NNPS u v SNR u v

A

Detective Quantum Efficiency(detektálási kvantumhatékonyság)

• Eddigi metrikáknál nem vizsgáltuk a dózistól / fotonok számától való függést:–

• Q a vizsgált detektort elérő kvantum (fotonok száma, definiálható így is a dózis)

– Fontos interpretáció:

• : érzékelőelemre belépő jel (pl. röntgensugár, fotonok) SNR –je

• A kész rendszer „információ átvitelének” hatékonyságát méri, értéke 0 és 1 között változik.

, ,DQE u v NEQ u v Q

2 2, , ,inDQE u v SNR u v SNR u v

,inSNR u v

DQE számolási példák -1-

• Adott egy röntgen detektor, melyet az alábbi rendszer ír le:– Egy ideális detektor és egy csillapító réteg soros

kaszkádja (pl. CsI szcintillátor), a csillapító réteg nem változtatja az átmenő sugárzás eloszlásának típusát.

– A szcintillátor a felületét elérő röntgen fotonok ¼-éből generál látható fotont, plusz zajt nem generál (nem szórja / keni el a fotonokat).

– Q=5000 röntgen foton/ pixel éri a teljes rendszert.

– NEQ=? DQE=? SNRin=? SNR=?

DQE számolási példák -2-

• Adott egy röntgen detektor, mely:

– Ideális detektor, és zajos A/D átalakító soros kaszkádja, mely zaja ekvivalens 50 foton/pixel-el a belépő sugárzás fluxusában (inherens zaj).

– A kiolvasási zaj és a detektort érő fotonok zaja Poisson eloszlású, egymással korrelálatlan.

– Q=10000 foton/pixel éri a detektor felületét.

– NEQ=? DQE=? SNRin=? SNR=?

• Jó közelítéssel ez a két zajforrás aggregálódik(Hf. az aggregát rendszer metrikái).

Röntgen detektor kvantum modellje

És mi a valóság?

• Gyakorlatban integráló típusú detektorok:

– Detektorok erősen érzékenyek a becsapódó fotonok energiájára:

• Szcintillátor anyagának a függvénye a történet

• Gyakorlatban van egy energiafüggő valószínűség

– Az eddig tárgyalt elmélet erősen egyszerűsít

– DE nincs ennél jobb általános modell

• Legalábbis hasonló komplexitású

• Vagy a nagy számok törvénye – Gauss zaj, de ezt inkább hanyagoljuk.