Krive drugog reda

Nivo linije funkcija dve promenljive F (x1, x2) su geometrijska mesta tacaka u ravnix1Ox2 kod kojih je F (x1, x2) = const. Ako su u pitanju linearne funkcije dve promenljive,dobijamo prave.

Ako posmatramo kvadratne funkcije, dobijaju se krive drugog reda. Moze se pokazatida su tako dobijene krive konusni preseci koje je jos Apolonije (Apollonius, 260-190. BC)otkrio i opisao u svom delu Konusni preseci.

To delo je otvorilo mogucnosti pionirima moderne nauke (Galilej, Kepler, Hajgens,Njutn) da istrazuju zakone prirode.

Posmatracemo ([1]) nivo linije kvadratnih funkcija dve promenljive x1 i x2 u ortogonal-nom Dekartovom koordinatnom sistemu x1Ox2 date formulom:

Q(x1, x2) = a11x2

1+ 2a12x1x2 + a22x

2

2+ 2b1x1 + 2b2x2 = c . (1)

Bez gubitka opstosti pretpostavicemo da je a11 ≥ 0.

Teorema 1 Metricka klasifikacija nivo linija kvadratnih funkcija dve promenljive(a) Ako je a11a22 − a2

126= 0, onda je kriva iz formule (1) ili izometricna krivoj x2

1/a2

1+

x2

2/a2

2= 1 (elipsi) ili krivoj x2

1/a2

1− x2

2/a2

2= 1 (hiperboli) ili krivoj x2

1/a2

1= x2

2/a2

2(dve

prave koje se seku u koordinatnom pocetku) ili je prazan skup.(b) Ako je a11a22 − a2

12= 0, pritom nisu svi brojevi a11, a22, a12 jednaki nuli, onda je

kriva iz formule (1) ili izometricna krivoj x2

1= 2px2 (paraboli) ili x2

1= c2 (paru paralelnih

pravih) ili x2

2= 0 (jednoj pravoj) ili je prazan skup.

Dokaz

Smenom promenljivih x′

1= x1+a1 i x

′

2= x2+a2 transliramo koordinatni pocetak (0, 0)

u tacku (a1, a2). Jednacina (1) postaje

c = Q(x1, x2) =

= a11(x′

1− a1)

2 + 2a12(x′

1− a1)(x

′

2− a2) + a22(x

′

2− a2)

2+

+2b1(x′

1− a1) + 2b1(x

′

2− a2) =

= a11x′2

1+ 2a12x

′

1x′

2+ a22x

′2

2+

+2(−a11a1 − a12a2 + b1)x′

1+ 2(−a12a1 − a22a2 + b2)x

′

2+

+Q(a1, a2)− 2(b1a1 + b2a2) .

(2)

Ako zelimo anulirati sabirke koji su linearni po x′

1i x′

2, odredicemo a1 i a2 iz sistema

b1 = a11a1 + a12a2 , b2 = a12a1 + a22a2 . (3)

To je moguce, jer po pretpostavci (a) determinanta sistema je razlicita od nule. Za takoodredene a1 i a2, oznacavajuci konstantu

c′ = c−Q(a1, a2) + 2(b1a1 + b2a2) , (4)

1

svodimo jednacinu (1) na

Q(x′

1, x′

2) = a11x

′2

1+ 2a12x

′

1x′

2+ a22x

′2

2= c′ . (5)

Ako je a12 = 0, dokaz je gotov, a ako nije, uvodimo nove promenljive x′′

1i x′′

2rotirajuci

koordinatni sistem za ugao ϕ:

x′

1= x′′

1cosϕ+ x′′

2sinϕ , x′

2= −x′′

1sinϕ+ x′′

2cosϕ . (6)

Radi lakseg obelezavanja vraticemo se na oznake x1 = x′′

1i x2 = x′′

2. Dobijamo

c′ = Q(x′

1, x′

2) = Q(x1 cosϕ+ x2 sinϕ,−x1 sinϕ+ x2 cosϕ) =

= x2

1(a11 cos

2 ϕ− 2a12 cosϕ sinϕ+ a22 sin2 ϕ)+

+2x1x2(a11 sinϕ cosϕ+ a12(cos2 ϕ− sin2 ϕ)− a22 cosϕ sinϕ)+

+x2

2(a11 sin

2 ϕ+ 2a12 sinϕ cosϕ+ a22 cos2 ϕ) .

(7)

Anuliranje sabirka uz x1x2 daje

0 = (a11 − a22) sin 2ϕ+ 2a12 cos 2ϕ , (8)

odakle uzimamo ϕ takvo da je

tan 2ϕ =−2a12

a11 − a22. (9)

Sredujuci izraz (7) dobija se jednacina

x2

1

a21±

x2

2

a22= θ , (10)

gde je θ = 0 ili θ = 1. Ovo kompletira dokaz za (a).

Neka vazi pretpostavka (b).Pretpostavimo a12 6= 0. Onda su a11 i a22 pozitivni. Rotirajmo koordinatni sistem

x1 = x′

1cosϕ− x′

2sinϕ , x2 = x′

1sinϕ+ x′

2cosϕ , (11)

uzimajuci ϕ tako da je tanϕ =√

a11/a22. Time se ponistava koeficijent uz x′

1u (2) i dobija

se data jednacina parabole.Ako je, pak, a12 = 0, onda mora biti a11 = 0 ili a22 = 0. U tom slucaju, jednacina (1)

ima dati oblik (dve prave). Time je dokaz zavrsen.

Napomena

Krive drugog reda elipsa, hiperbola i parabola su nedeformisane, a parovi pravih sudeformisane.

Literatura

[1] Viktor Vasil’evich Prasolov, Vladimir Mikhailovich Tikhomirov, Geometry, Publishedby AMS Bookstore, 2001

2