krok po kroku do matury z matematyki

KROK PO KROKU DO MATURY Z

MATEMATYKI

Jesteśmy uczniami klasy 3d z Zespołu Szkół Nr 1 im. Noblistów Polskich w Pyrzycach. W ramach projektu unijnego „Kompetencje Kluczowe Drogą do Kariery” przygotowujemy się do egzaminu maturalnego z matematyki. Ponieważ jesteśmy uczniami klasy humanistycznej, to przygoda z matematyką nabiera nowego wymiaru. Od początku roku szkolnego krok po kroku „przechodzimy” przez kolejne działy matematyki, aby jak najlepiej zdać egzamin. Wybraliśmy kilka przykładowych zadań, które rozwiązaliśmy.

STANOWIMY ZESPÓŁ Z1M2

ZESPÓŁ Z1M2

LICZBY I DZIAŁANIA

ROZDZIAŁ I

1. Uzasadnij, że liczba jest wymierna.[2p]

2. Pan Lewandowski zarabia miesięcznie 3500 zł netto. W grudniu na jego konto razem z pensją wpłynął dodatek świąteczny, a kwota, którą otrzymał, wyniosła 3745 zł. Jaki procent comiesięcznej pensji stanowi dodatek świąteczny?

[2p]

3. Dane są zbiory:A-Zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek: │x - 3│< 6, B- zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek: 1≤ 3x –

2 ≤12. Ile parzystych liczb naturalnych należy do zbioru A\ B

[4p]

ODPOWIEDZI:ROZDZIAŁ I

LICZBY I DZIAŁANIA

Postęp:

Zastosowanie własności pierwiastków: * =

=

1p

Rozwiązanie bezbłędne:

Obliczenie wartości wyrażenia 1, zatem jest to liczba wymierna.2p

Zadanie 1.

Postęp:Zapisanie równania: 3500p=245, gdzie p oznacza szukany procent. 1p

Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie p: p=7% 2p

Zadanie 2.

Zadanie 3.

Postęp:Wyznaczenie zbioru A: A=(-3; 9)i 3 1p

Pokonanie zasadniczych trudności

Zapisanie nierówności: 3x-21 i 3x-2≤12 2p

Rozwiązanie prawie całkowite:

Wyznaczenie zbioru B B =<1; 4 > 3p


Wyznaczenie zbioru A\B oraz parzystych liczb naturalnych należących do zbioru A\B=(-3; 1)(4 ;9); są trzy takie liczby

4p

ROZDZIAŁ II

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

1. Dany jest wielomian y= -2x2 + bx + c. Wiadomo, że do wykresu należą punkty A=(1,6), B(-2,-9). Wyznacz parametry b,c.

[2p]

2. Wyznacz dziedzinę wyrażenia W=[2p]

3. Dany jest wielomian W(x)=2 x2 – mx + 5m. Wyznacz wszystkie wartości parametru m tak, aby wielomian miał dokładnie dwa miejsca zerowe.

[4p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ II

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Zadanie 1.

Postęp: Zapisanie układu:

1p


Rozwiązanie układu równań 2p

Zadanie 2.

Postęp: Zapisanie warunku x3 – 16x = 0 i doprowadzenie go do postaci

x(x2 -16) = 01p


Rozwiązanie warunku i zapisanie odpowiedzi: D=R\ {-4, 0, 4} 2p

Zadanie 3.

Postęp:Zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania: Δ>0

1p

Pokonanie zasadniczych trudności.

Zapisanie nierówności: m2 -40m>0 2pRozwiązanie prawie całkowite:

Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:

m1=0, m2=403p


Rozwiązanie nierówności: mє(-∞,0)(40,+∞) 4p

ROZDZIAŁ III RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

1. Rozwiąż równanie 3x3 – 6x2 + 5x -10 = 0[2p]

2. Rozwiąż nierówność (2x – 1)2 –( 5x +2)2 >8(x+1) + 8x2 – 13

– 36x2.Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

[4p]

3. Wykaż, że dla każdej wartości parametru m nierówność x2 + (m+1)x + m2 + 1<0

jest fałszywa dla każdej liczby rzeczywistej x.[4p]

ROZDZIAŁ III RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

Zadanie 1.

ODPOWIEDZI:

Postęp:

Zapisanie równania w postaci : (x-2)(3x2+5)=01p

Rozwiązanie bez błędne:

Zapisanie odpowiedzi: x=22p

Postęp:

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia do przekształcenia lewej strony nierówności

8x5 -12x2 + 6x-1 – (25x2 + 20x + 4x)>8(x + 1) + 8x5 -13 – 36x2

1p

Istotny postęp:

Zapisanie lewej strony nierówności: -x2 -22x>0

2p


Rozwiązanie nierówności : mє(-22,0)

3p


Zapisanie odpowiedzi: x=-1

4p

Zadanie 2.

Postęp:

Wyznaczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego: Δ= -3m2 +2m -3

1p


Wykazanie, że wyróżnik jest ujemny dla każdej liczby rzeczywistej m : Δm = -32 i ramiona są skierowane w dół

3p


Zapisanie wniosku: wyróżnik Δ= -3m2 +2m -3 stale ujemny i ramiona paraboli skierowane do góry, zatem wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, czyli podana nierówność jest zawsze fałszywa.

4p

Zadanie 3.

ROZDZIAŁ IVFUNKCJE

1. Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f(x)=[2p]

2. Miejscem zerowym funkcji f(x)=ax + 2 jest liczba . Wyznacz wzór funkcji f i podaj argumenty, dla których wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g(x)= -3x + 4.

[4p]

3. Wykres funkcji f danej wzorem f(x)= - x2 +bx +c.a) Wyznacz współczynniki b i c, a następnie naszkicuj

wykres funkcji fb) Dla jakich wartości x wykres funkcji f leży powyżej

wykresu funkcji g(x) = x + 2?[5p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ IV FUNKCJE Zadanie 1.

Postęp:

Wyznaczenie dziedziny funkcji: D=R\{-5}

1p


Wyznaczenie miejsc zerowych: x=0, x=5

2p

Postęp:

Zapisanie równania: a +2 =0

1p

Istotny postęp:

Wyznaczenie a: a=-4 i zapisanie wzoru funkcji: y= -4x+2

2p


Zapisanie nierówności : -4x+2< -3x+4

3p


Rozwiązanie nierówności: xє(-2;∞)

4p

Zadanie 2.

Zadanie 3.

Postęp:

Zapisanie funkcji w postaci iloczynowej y= - (x+2)(x-4)

1p


Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej y= - x2 + x + 4 i podanie odpowiedzi b=1, c=4.

Naszkicowanie wykresu funkcji

2p


Zapisanie nierówności - x2 + x + 4> x+2

3p


Podanie odpowiedzi: xє(-2,2)

4p

ROZDZIAŁ VCIĄGI

1. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=n5 – 5n2 + n -5. Wykaż, że ten ciąg ma tylko jeden wyraz równy 0.

[2p]

2. Tomek, Marcin, Jurek zbierają znaczki. Liczby znaczków chłopców w podanej kolejności tworzą malejący ciąg geometryczny. Marcin ma 450 znaczków. Oblicz, ile znaczków mają pozostali chłopcy, jeśli w sumie wszyscy trzej mają ich 1425.

[5p]

3. Dany jest ciąg (x, 2x+y, y,18). Wyznacz liczby x i y tak, aby trzy pierwsze wyrazy tego ciągu tworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie – geometryczny.

[5p]

ODPOWIEDZI:ROZDZIAŁ V CIĄGI

Zadanie 1.

Postęp:

Zapisanie wyrazu ogólnego ciągu w postaci : an =(n2 + 1)(n - 5)

1p


Uzasadnienie tezy zadania: jedynym rozwiązaniem równania w zbiorze liczb naturalnych dodatnich jest liczba 5, zatem tylko piąty wyraz ciągu jest równy 0.

2p

Zadanie 2.

Postęp:

Zapisanie układu równań:

1p

Pokonanie zasadniczych trudności:

Zapisanie równania z jedną niewiadomą np. : x2 -975x + 202 500=0

2p


Rozwiązanie równania: x=300 lub x=675

3p


Wyznaczenie drugiej zmiennej i zapisanie odpowiedzi uwzględniającej treść zadania: Tomek ma 675, a Jurek 300 znaczków.

5p

Zadanie 3.

Istotny postęp:

Zapisanie układu równań:

2p


Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. : 9x2 =18(2x-3x)

3p


Rozwiązanie równania: x=0 lub x=-24p


Wyznaczenie drugiej zmiennej i zapisanie odpowiedzi: lub

5p

ROZDZIAŁ VI FUNKCJE

TRYGONOMETRYCZNE

1. Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość

tg α + =[2p]

2. Jedna z przyprostokątnych trójkąta jest o 6 dłuższa od drugiej. Tangens kąta ostrego jest równy . Wyznacz pole i obwód tego trójkąta.

[6p]

3. Dany jest kąt α taki, że 00 < α < 900 i tg α = 2. Oblicz wartość wyrażenia W= . Wynik przedstaw w postaci ułamka o wymiernym

mianowniku.[4p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ VI FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Zadanie 1.

Postęp:

Przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci: L= +

1p

Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wykazanie tożsamości: L= + = =P

2p

Zadanie 2.

Postęp:

Zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta w postaci: a, a+6

1p

Istotny postęp:

Zapisanie równania: =

2p


Rozwiązanie równania: a=9

3p


Wyznaczenie długości wszystkich boków trójkąta: 9, 15, 354

4p


Obliczenie pola i obwodu trójkąta: P= , L=3(8+54)

6p

Zadanie 3.

Postęp:

Zapisanie układu równań:1p

Istotny postęp:

Rozwiązanie układu równań: 2p


Zapisanie wyrażenia w postaci: W=3p


Usunięcie niewymierności z mianownika i zapisanie wartości wyrażenia w żądanej postaci: W=

4p

ROZDZIAŁ VII PLANIMETRIA

1. Dany jest prostokąt ABCD o przekątnych długości 12 i kącie między przekątnymi 1200. Oblicz pole tego prostokąta.

[2p]

2. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 2. Wyznacz pole i

obwód trójkąta.[5p]

3. Dany jest równoległobok ABCD o kącie 1200, dłuższej

przekątnej 18 i krótszym boku 8. Oblicz długość drugiego boku tego równoległoboku.

[5p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ VII PLANIMETRIA

Zadanie 1.

Postęp:

Obliczenie jednego z boków prostokąta: 6, 63

1p


Obliczenie drugiego z boków prostokąta i jego pola: P=363

2p

Zadanie 2.

Postęp:

Zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta w postaci: a, a+6

1p

Istotny postęp:

Zapisanie równania: =

2p


Rozwiązanie równania: a=9

3p


Wyznaczenie długości wszystkich boków trójkąta: 9, 15, 354

4p


Obliczenie pola i obwodu trójkąta: P = , L=3(8+54)

6p

Zadanie 3.

Postęp:

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:BC=8; CE – odcinek prostopadły do AB i E należy do prostej AB; jeżeli kąt ABC=1200, to kąt CBE=600

1p

Istotny postęp:

Wyznaczenie długości odcinka BE: BE=4

2p


Wyznaczenie długości wysokości CE: CE=43

3p


Wyznaczenie długości odcinka AE: AE=269

4p

Rozwiązanie bezbłędne:Wyznaczenie długości drugiego boku równoległoboku AB: AB=269- 4

5p

ROZDZIAŁ VIII GEOMETRIA ANALITYCZNA

1. Wyznacz równanie prostej k prostopadłej do prostej l o równaniu 2x + 5y – 1 = 0 przechodzącej przez punkt

A=(0,-4).[2p]

2. Prosta l o równaniu 2x - y + 4 = 0 przecina okrąg o równaniu x2 – 2x + y2 + 4y = 32 w punktach A i B. Wyznacz współrzędne punktów A, B i długość cięciwy AB.

[4p]

3. Dany jest kwadrat ABCD. Kolejne wierzchołki tego kwadratu mają współrzędne A=(-2,-2), B=(3,3).a. Wyznacz współrzędne wierzchołka C kwadratub. Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie B i

promieniu r =AB.[7p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ VIII GEOMETRIA ANALITYCZNA

Zadanie 1.

Postęp:Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do: a=-5

1p

Rozwiązanie bezbłędne:Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do: y=-5x-12

2p

Postęp:Zapisanie układu równań: 1p

Pokonanie zasadniczych trudności:Rozwiązanie układu i zapisanie współrzędnych punktów A, B: A=(0,4); B=

3p

Rozwiązanie bezbłędne:Wyznaczenie długości cięciwy AB: AB=

4p

Zadanie 2.

Postęp: Wyznaczenie długości boków kwadratu: AB=

1p

Istotny postęp:Wyznaczanie równania prostej AB: y=x

2p

Pokonanie zasadniczych trudnościWyznaczanie równania prostej BC: y=-x+6

3p

Pokonanie zasadniczych trudnościZapisanie układu równań:

5p

Rozwiązanie prawie całkowite:Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka C: C(-2,8) lub C(2,-8)

6p

Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie równania okręgu: (x-3)2+(y-3)2=50

7p

Zadanie 3.

ROZDZIAŁ IX STEREOMETRIA

1. Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o wysokości 12. Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 600 . Oblicz objętość graniastosłupa.

[2p]

2. Dany jest prostopadłościan, którego przekątna jest równa 89, a krawędzie podstawy 3 i 4. Oblicz długość wysokości tego prostopadłościanu.

[2p]

3.Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 600, pole powierzchni bocznej stożka jest równe 162. Oblicz

objętość tego stożka.[6p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ IX STEREOMETRIA

Zadanie 1.

Postęp:Wyznaczenie krawędzi podstawy graniastosłupa a=45

1p

Rozwiązanie bezbłędne:Wyznaczenie objętości graniastosłupa: V=1443

2p

Zadanie 2.

Postęp:Wyznaczenie przekątnej podstawy: d=5 1p

Rozwiązanie bezbłędne:Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: h=8

2p

Zadanie 3.

Postęp:Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:h,l – odpowiednio wysokość i tworząca stożkar – promień podstawy stożka

1p

Pokonanie zasadniczych trudnościZapisanie układu równań:

5p

Rozwiązanie prawie całkowite:Rozwiązanie układu równań: r=9 i l=18

4p

Rozwiązanie bezbłędne:Wyznaczenie wysokości i objętości walca: h=93, V=2433

6p

ROZDZIAŁ XRACHUNEK

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

1. Rzucamy kostką do gry i monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy orła i liczbę oczek będącą liczbą pierwszą.

[2p]

2. A i B są zdarzeniami losowymi takimi, że P(A)=0,1 i P(B)=0,3, P(AB)=0,75. Oblicz P(AB).

[2p]

3. Rzucamy dwa razy sześcienną symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że na każdej kostce wypada liczba oczek podzielna przez 3 lub na każdej kostce wypadło mniej niż 4 oczka.

[6p]

ODPOWIEDZI: ROZDZIAŁ XRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Zadanie 1.

Postęp:Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych:

1p

Rozwiązanie bezbłędne:Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń A – wyrzucenie orła i liczby oczek będącej liczbą pierwszą: A=3 i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A)= =

2p

Zadanie 2.

Postęp:Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i B: P(A)=0,9, P(B)=0,85

1p

Rozwiązanie bezbłędne:Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B: P(AB)=0,85

2p

Zadanie 3.Postęp:

Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych: 1p

Istotny postęp:Wyznaczenie liczebności zdarzenia A – na każdej kostce wypadła liczba oczek podzielna przez 3: A=4i wyznaczenie liczebności zdarzenia B – na każdej kostce wypadło mniej niż 4oczka: B=9

3p

Pokonanie zasadniczych trudności:Wyznaczenie liczebności zdarzenia AB: AB=1

4p

Rozwiązanie prawie całkowite:Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń A, B, AB:P(A)= , P(B)= , P( AB )=

5p

Rozwiązanie bezbłędne:Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B: P(AB)=

6p

Tu możesz znaleźć wiele ciekawych zadań

1. http://www.math.edu.pl/

2. http://www.e-zadania.pl/

3. http://www.zadania.info/

4. http://www.kangur-mat.pl/zadania.php

5. http://zadaniamatematyczne.pl/sitemap

Strony internetowe z zadaniami matematycznymi

http://www.math.edu.pl/

http://www.e-zadania.pl/

http://www.zadania.info/

http://www.kangur-mat.pl/zadania.php

http://zadaniamatematyczne.pl/sitemap

Prezentacja przygotowana w ramach projektu „Kompetencje kluczowe drogą do kariery”

współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego

Funduszu Społecznego wraz z logotypami Projektu WSP TWP, Unii Europejskiej i Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki”

krok po kroku do matury z matematyki

Documents