Seminar iz kvantne fizike:

Kronig-Penneyev potencijal

Marin Spaic , F-4106Fizicki odsjek , PMF , Bijenicka cesta 32 ,10000 Zagreb

(Datum: 17. prosinca 2014.)

Profesori: Dario Vretenar,Tamara Niksic

Sazetak

U ovom seminaru rjesavamo Schrodingerovu jednadzbu za peri-odicki Kronig-Penneyev potencijal uz pomoc Blochova teorema , teotkrivamo da su dozvoljene energije rasporedene u energetske vrpce zakoje dajemo odgovarajuce disperzijske relacije.Takoder,dajemo i ne-koliko svojstvenih funkcija za odredene vrijednosti energije. Nakontoga numericki rjesavamo Schrodingerovu jednadzbu za dani poten-cijal metodom konacnih razlika uz periodicke rubne uvjete koji namdiskretiziraju dozvoljene vrijednosti Blochovog valnog broja , a sa-mim time i energije.Na posljetku dajemo usporedbu numerickog i ana-litickog rjesenja za neke vrijednosti parametara, te promatramo limesDiracova ceslja.

1 Uvod

Kronig-Penneyev potencijal dan je sljedecom formulom:

V (x) = V

+j=

[(x (jd+ a)) (x (j + 1)d)] (1)

Graf je prikazan na slici 1. Ocito je sa slike da se radi o periodickom poten-cijalu, odnosno da vrijedi:

V (x+ d) = V (x),x (2)

1

Slika 1: Prikaz Kronig-Penneyevog potencijala za visinu barijere V0 = 3 iperiod d = 1

Kao takav , Kronig-Penneyev potencijal se cesto koristi kao model po-tencijala koji djeluje na elektron u kristalnoj resetci i sluzi za objasnjenjevodljivosti materijala. U praksi , ovakav potencijal se nikada ne proteze duzcijele osi x , nego je smjesten unutar jame s kojom se naglasava da elektronne moze pobjeci iz materijala bez vanjskog utjecaja. U tom slucaju gubimopretpostavljenu simetriju i sva stanja postaju vezana pa imamo kvantiza-ciju energije unutar svake vrpce. Mi cemo , radi jednostavnosti , u svrhuanalitickog rjesenja pretpostaviti da se potencijal proteze u beskonacnost iu tom slucaju imamo kontinuum energija unutar svake vrpce . Kasnije , kadbudemo radili numericko rjesenje cemo koristiti periodicke rubne uvjete ,odnosno uzet cemo da problem ima topologiju kruga (S1),sto je za dovoljnovelik broj jama (npr. 1023) fizikalno ekvivalentno beskonacnoj situaciji.

2

2 Analiticko rjesenje

2.1 Blochove valne funkcije

Na prostoru valnih funkcija uvodimo (unitaran) operator translacije za dkoje je zadan svojim djelovanjem na proizvoljnu valnu funkciju kao :

D[(x)] = (x+ d) (3)

Svojstvene funkcije ovakvog operatora su dane sa :

k(x) = eikxu(x) (4)

gdje je k proizvoljan realan broj , a u periodican s periodom d ,odnosnou(x + d) = u(x).S obzirom da radimo s periodickim potencijalom ocito jeda ce operator D komutirati s hamiltonijanom , odnosno za svaku valnufunkciju ce vrijediti:

[D,H](x) = 0 (5)

Iz toga zakljucujemo da ce D i H imati zajednicku bazu svojstvenih funkcijatj. svako rjesenje vremenski neovisne Schrodingerove jednadzbe ce se mocinapisati u obliku tzv. Blochove valne funkcije :

(x) = eikxuk(x) (6)

gdje je k povezan s energijom stanja preko disperzijske relacije koja ovisi opotencijalu. Ova tvrdnja se inace naziva Blochov teorem.

Blochov teorem nam govori da se svojstvena funkcija hamiltonijana sas-toji od valne funkcije slobodne cestice koja je modulirana periodickom funk-cijom uk(x) u kojoj se manifestira utjecaj potencijala na inace slobodnucesticu.Iz ovoga slijedi da za dovoljno velike energije (E >> Vmax) imamouk(x) = const. Takoder , za svako svojstveno stanje vrijedi da je gustocavjerojatnosti periodicna s periodom d:

|(x+ d)|2 = |(x)|2 (7)

U slucaju perickih rubnih uvjeta (N celija na krugu) imamo uvjet:

3

(x+Nd) = (x) (8)

iz cega slijedi kvantizacija valnog broja k.

k =2npi

Nd, n = 0,1,2, .. (9)

Za veliki N spektar od k je gotovo kontinuiran kao sto je i ocekivano.

2.2 Svojstvene energije i disperzijska relacija

Kao sto smo najavili , rjesenja Schrodingerove jednadzbe trazimo u oblikuBlochovih valnih funkcija :

(x) = eikxuk(x) (10)

Kako je potencijal konacan na cijelom podrucju od interesa , slijedi dasu valne funkcije klase C1 , a samim time i njihove periodicke komponenteu(x) (jer mnozenje sa eksponencijalnom funkcijom ne moze promijeniti klasuderivabilnosti). Iz toga i iz periodicnosti od u(x) slijede rubni uvjeti na u(x):

u(0+) = u(d) (11)

u(0+) = u(d) (12)

Oznacimo podrucja [0,a] i [a,d] sa 1 i 2 , respektivno . Rjesenja vremenskineovisne Schrodingerove jednadzbe u tim podrucjima su:

1(x) = Aeik1x +Beik1x (13)

2(x) = Ceik2x +Deik2x (14)

gdje su k1 i k2 dani sa :

4

k1 =

2mE/~ (15)

k2 =

2m(E V )/~ (16)

Bitno je napomenuti da k1 i k2 nisu jednaki Blochovom valnom broju k.Sada iz rubnih uvjeta (11) i (12) slijede 2 jednadzbe:

A+B = eikd(Ceik2d +Deik2d) (17)

k1(AB) = k2eikd(Ceik2d Deik2d) (18)Takoder iz uvjeta na rubu izmedu podrucja 1 i 2 (1(a) = 2(a) i

1(a) =

2(a) ) slijede jos dvije jednadzbe:

Aeik1a +Beik1a = Ceik2a +Deik2a (19)

k1(Aeik1a Beik1a) = k2(Ceik2a Deik2a) (20)

To sve skupa mozemo zapisati kao 4x4 homogeni sustav jednadzbi zakoeficijente A,B,C i D.

1 1 eid(k2k) eid(k2+k)k1 k1 k2eid(k2k) k2eid(k2+k)eik1a eik1a eik2a eik2ak1e

ik1a k1eik1a k2eik2a k2eik2a

ABCD

=

0000

(21)Da bi ovaj sustav imao rjesenje matrica mora biti singularna sto implicirada joj determinanta iscezava i upravo taj uvjet nam daje vezu izmedu k iE,odnosno disperzijsku relaciju (pritom treba imati na umu da su k1 i k2vezani s energijom relacijama (15) i (16) ). Kada je E > V imamo :

cos(k1a)cos(k2b) k21 + k

22

2k1k2sin(k1a)sin(k2b) = cos(kd) (22)

A u slucaju E < V imamo (uz zamjenu ik2 )

cos(k1a)cosh(b) k21 22k1

sin(k1a)sinh(b) = cos(kd) (23)

5

S obzirom da je 1 < cos(kd) < 1 jednadzba ce imati rjesenje samo kadavrijedi:

|cos(k1a)cosh(b) k21 22k1

sin(k1a)sinh(b)| 6 1 (24)

za E < V , odnosno:

|cos(k1a)cos(k2b) k21 + k

22

2k1k2sin(k1a)sin(k2b)| 6 1 (25)

za E > V .

Upravo ovkvi uvjeti ce dovesti do pojave energetskih vrpci koje se jav-ljaju u svim periodickim potencijalima . Pogledajmo graf lijeve strane uovisnosti o E :

Slika 2: Prikaz lijeve strane jednadzbi (22) i (23) u ovisnosti o E

6

Sa slike 2. se jasno vidi da ce dozvoljene energije biti samo one za kojeje graf unutar crvenih prugi (1) .

Granice tih energetskih vrpci cemo dobiti ako numericki nademo tocke ukojima graf sijece crvene pruge. Za konkretan izbor parametara V = 3, d =1, a = 0.7 dobivamo sljedece granice prvih 5. vrpci :

n Donja granica Gornja granica

0 0.190415432669 0.2673399949191 1.51008482885 1.939928725432 3.03775017982 4.054766068093 4.7856582721 6.988877401364 7.02341815678 10.1777638966

Tablica 1. Prvih pet vrpci za V = 3, d = 1, a = 0.7

U odsustvu rubnih uvjeta energije unutar samih vrpce ce biti kontinu-irane jer imamo beskonacan broj jama pa se nivoi pojedinih jama tolikorascjepaju da nastane kontinuum .

Pogledajmo sada disperzijsku relaciju tj. ovisnost energije o Blochovomvalnom broju.

Slika 3. Disperzijske relacije za prve 4 vrpce (V = 3, d = 1, a = 0.7)

Iako k nacelno moze biti bilo koji realan broj disperzijske relacije su ocitoperiodicne s periodom 2pi/d jer se na desnoj strani jednadzbi (22) i (23)

7

javlja cos(kd) pa je dovoljno prikazati samo jedan period (npr. [pi/d, pi/d].Takoder, promjena valnog broja za jedan period nece imati utjecaj ni navalne funkcije jer je e2pii = 1. Ovo se inace zove reduced zone plot .

Sa slike vidimo i da za svaki k u periodu (zoni) imamo vise energija , pojedna u svakoj vrpci.

2.3 Valne funkcije

(Napomena: U svim preostalim razmatranjima pisemo k umjesto kd zatojer uvijek koristimo vrijednost d=1.)Svojstvene funkcije dobivamo rjesavajuci sustav (21) , odnosno trazeci ko-eficijente A,B,C,D koji nam onda daju valne funkcije u prvom periodu takveda zadovoljavaju pretpostavljene rubne uvjete i Blochov teorem . Posto jesustav neogranicen i nemamo cisto vezanih stanja (Blochov tm) valne funk-cije necemo moci normirati , pa stoga mozemo proizvoljno izjednaciti jedanod koeficijenata s 1 . Neka je to D. S obzirom da sustav ima netrivijalnorjesenje samo kad mu je determinanta nula i taj nam uvjet kroz disperzij-sku relaciju veze k, k1 i k2 sustav (21) ima jednu redundantnu jednadzbu(jednadzbe su linearno zavisne) . Stoga mozemo po volji izbaciti jednu jed-nadzbu. Preostaje nam 3x3 nehomogeni sustav za koeficijente A,B i C. Dabi konstrirali ukupno rjesenje za dani k , valnu funkciju u prvom periodu(jednadzbe (13) i (14) ) translatiramo na druge periode uz pomoc Blochovogteorema , odnosno translatiramo funkciju i pomnozimo se se faktorom eikd

svaki put kad se pomaknemo za jedan period.

Slika 4. Re[], Im[] za k = 0 u drugoj vrpci (V = 3, d = 1, a = 0.7)

8

Slika 5. Re[], Im[] za k = pi u drugoj vrpci (V = 3, d = 1, a = 0.7)

Na slikama 4. i 5. vidimo stanja za k=0 i k = pi u drugoj vrpci. Stanjeza k = pi ima nizu energiju nego stanje za k = 0 sto se moze vidjeti isdisperzijske relacije . Stanje za k = 0 ima period potencijala jer se poBlochovom teoremu valna funkcija sastoji samo od periodickog dijela u(x), a stanje za k = pi ima dvostruki period potencijala jer je einpi = (1)n .Inace , iz disperzijske relacije (slika 3.) se vidi da za sve energije izmedugranica vrpce imamo dva moguca stanja ( k i -k) pa kazemo da su ti nivoidvostruko degenerirani.

Slika 6. Re[], Im[] za k = pi/2 u cetvrtoj vrpci (V = 3, d = 1, a = 0.7)

Na slici 6. vidimo primjer valne funkcije za k = pi/2 u 4. vrpci. Funkcijaje periodicna , ali sa vecim periodom od 2d . Takoder , vidimo da sada

9

imamo i imaginarni dio koji je priblizno u protufazi s realnim dijelom stopodsjeca na valnu funkciju slobodne cestice (eikx).

3 Numericko rjesenje

3.1 Svojstvene energije

Numericko rjesenje radi brzine izvodenja programa radimo diskretizacijomjedne celije jer nam Blochov teorem da povezemo vrijednosti funkcije najednom i drugom kraju celije. Uzimamo N=200 tocaka na jednom periodu(d=1) tako da nam je korak mreze = 1200 . Nakon uobicajenih pokratad = ~2/(m2) i u = d/2 Schrodingerova jednadzba se pretvara u rekurzijskurelaciju :

uj1 + (d+ Vj)j uj+1 = Ej (26)

Sto se se uz pomoc uvjeta iz Blochovog teorema :

N = eikd1 (27)

0 = eikdN1 (28)

moze zapisati u matricnom obliku kao:

d+ V1 u 0 0 . . . ueikdu d+ V2 u 0 . . . 00 u d+ V3 u . . . 0...

......

. . ....

ueikd 0 . . . . . . u d+ VN1

123...

N1

= E

123...

N1

(29)

Dakle , problem svojstvenih vrijednosti u beskonacno dimenzionalnom pros-toru valnih funkcija smo sveli na problem svojstvenih vrijednosti konacnematrice.

Za svaki k ova ce matrica imati N - 1 svojstvenih vrijednosti , po jednuza svaku vrpcu . Moguce vrijednosti k ce nam dati periodicki rubni uvjet

10

k =2npi

Md, n = 0,1,2,M/2 (30)

Mi promatramo M=20 jama na krugu sto bi trebalo biti dovoljno dareproducira rezultate prethodnog poglavlja . Iz toga slijedi da u svakojvrpci imamo imamo M energija , od kojih su M-2 dvostruko degenerirane jerpostoje dva razlicita k za istu energiju. Iz tog razloga dovoljno se ogranicitina pozitivne vrijednosti k u izrazu (30) sto ce nam dati M2 +1 nedegeneriranihnivoa .

Za dane parametre diskretizacije i parametre potencijala kao i u ana-litickom rjesenju dobivamo sljedece energije prvih pet vrpci:

1.vrpca 2.vrpca 3.vrpca 4.vrpca 5.vrpca

0.399762913685 1.50377616227 3.03777959461 4.80874810846 7.079111342870.401230961918 1.51071147608 3.05778080559 4.871164143 7.354672660210.405538060178 1.53106640203 3.11531857923 5.0239775331 7.662822264920.412390129807 1.56353155074 3.20443255094 5.22265541446 7.979428523910.421289039594 1.60602633907 3.31828788003 5.44635346835 8.304019926240.431527540156 1.65573322851 3.45066623301 5.68662539388 8.636317305060.44219797502 1.70899961052 3.5959312928 5.93970052322 8.97596433680.452233198857 1.76111028239 3.74778329495 6.20366598886 9.322279167510.460500982315 1.80611186612 3.89612936368 6.4774056297 9.673405866840.46596260525 1.83720128749 4.01910885032 6.75998891742 10.0210257640.467873844112 1.84839143732 4.07163830835 7.02705188278 10.2609608645

Tablica 2. Energije prvih pet vrpci za V = 3, d = 1, a = 0.7 dobivenediskretizacijom jedne celije.

Ako usporedimo tablice 1. i 2. vidimo da numericko rjesenje daje vecevrijednosti za rubove najnize vrpce od analitickog rjesenja , no slaganje jepoprilicno dobro za ostale vrpce. Radi zornijeg prikaza prikazimo te energijena grafu. (Slika 7.)

3.2 Valne funkcije

Valne funkcije , odnosno njihove vrijednosti u tockama mreze dobivamo kaosvojstvene vektore sustava (29) za pripadnu energiju . Radi preglednosti miprikazujemo samo valne funkcije na rubovima vrpce (k = 0 i k = pi) za prvetri vrpce na intervalu od 0 do 4d. Prikaz je dan na slici 8.

11

Slika 3: Numericko rjesenje : Prve 4. vrpce

Kao sto se vidi iz disperzijske relacije (slika 3.) funkcije 0 i pi seizmjenjuju u ulozi najnize (najvise) energije u vrpci od vrpce do vrpce.Funkcija 0 , naravno , ima period potencijala , a funkcija pi ima dvostrukiperiod potencijala u svakoj vrpci , sto se jasno vidi na slici 8.

Takoder,ako usporedimo grafove na slikama 4. i 5. koji odogovarajuanalitickim rjesenjima za vrijednosti k = 0, pi u drugoj vrpci vidimo da supripadne funkcije na slici 8. ,barem kvalitativno, iste , sto potvrduje prijepokazano (parcijalno) podudaranje u energetskom spektru.

4 Limes Diracova ceslja

Jedna zanimljivost u vezi Kronig-Penneyevog potencijala jest da u limesub 0, V , V b = ~2/m = const prelazi u potencijal Diracova ceslja :

V (x) =~2m

+n=

(x nd) (31)

12

Slika 4: Valne funkcije dobivene diskretizacijom za prve 3 vrpce. Crvenarjesenja odgovaraju vrijednosti k = 0 , a zelena k = pi

Da bi bili konzistentni sa izborom iz skripte [1] biramo = 4 .U ovom limesu disperzijska relacija (23) ocigledno prelazi u :

cos(k1d) +

k1sin(k1d) = cos(kd) (32)

To se moze vidjeti i graficki za izbor a = 0.99 , odnosno b = 0.01 . Prikazje dan na slici 9.

13

Slika 9. Usporedba lijeve strane jednadzbe (23) i jednadzbe (32) za = 4 ,b = 0.01, V=30.5

Isto kao i prije mozemo odrediti granice vrpci , te dobivamo :

n Donja granica Gornja granica

1 0.17547657853 0.3759837168412 0.795493755964 1.504023216763 2.02060727954 3.384357547844 3.94343463133 6.0173026589

Tablica 3. Prve 4. vrpce za V = 30.5, d = 1, a = 0.99

Vidimo da su energije u odlicnom slaganju s vrijednostima iz skripte[1]sto se jos bolje vidi iz disperzijske relacije (slika 10.).

14

Slika 10. Disperzijska relacija za V=30.5 i b=0.01

Mozemo jos nacrtati valnu funkciju za vrijednost k = pi/2 u prvojvrpci(slika 11). Nacrtana valna funkcija je takoder u odlicnom slaganjus jednim od rijesenih primjera u Pythonu. Kao sto smo i ocekivali deriva-cija valne funkcije ima diskontinuitet u tockama x = nd jer je potencijalDiracova ceslja beskonacan u tim tockama .

Slika 11. Valna funkcija za k = pi/2 u prvoj vrpci

15

5 Zakljucak

U ovom smo seminaru rjesavajuci konkretan primjer periodickog potenci-jala, Kronig - Penney potencijal , dosli do nekih opcenitijih zakljucaka .Naime , vidjeli smo da su valne funkcije dane u obliku Blochovih valnihfunkcija koje na neki nacin predstavljaju gibanje slobodne cestice u kris-talnoj resetci, gdje se utjecaj kristalne resetke (potencijala) ocituje krozperiodicki dio u(x). Takoder , vidjeli smo da se energetski spektar sastojiod tzv. vrpci unutar kojih , u odsustvu dodatnih rubnih uvjeta , imamokontinuiran spektar. Energije unutar svake vrpce su povezane s Blochovimvalnim brojem disperzijskim relacijama koje se u okolini k=0 mogu aprok-simirati parabolama , pa na taj nacin mozemo uvesti tzv. efektivnu masu ,te tretirati cesticu kao slobodnu (uz zamjenu m mef ) . Vidjeli smo dasu kao posljedica disperzijskih relacija sva svojstvena stanja unutar jednevrpce osim prvog i zadnjeg dvostruko degenerirana , kao i to da su valnefunkcije na rubovima periodicne ili s periodom potencijala ili s dvostrukimperiodom potencijala.Nakon toga smo usporedili to rjesenje s rjesenjem do-bivenim diskretizacijom Scrodingerove jednadzbe i vidjeli da su rezultati udobrom slaganju , posebice na visim energijama. Na posljetku smo vidjelida kada uzmemo jako mali b i velik V rezultati koje dobijemo su u slaganjus rezultatima za odgovarajuci potencijal Diracova ceslja (niz -funkcija) [1].

Bibliografija

[1] Seminar iz kvantne fizike, Tamara Niksic,Prirodoslovno matematicki fa-kultet odjek Fizika, Zagreb, 28.09.2014

[2] Introductory quantum mechanics,Richard Liboff ,Addison-Wesley; 4thedition (August 18, 2002)

Ostali doprinosi

Zahvaljujem kolegi Eugenu Rozicu na konstruktivnim savjetima i pomocipri pisanju koda za numericko rjesenje problema.

16