kuželosečky - cvut.cz...21.11.2016 2 kuželosečka je množina bodů v rovině, jejichž...
TRANSCRIPT
21.11.2016
1
Parametrické
a implicitní vyjádření
kuželoseček
Kuželosečky
P. Pech: Kuželosečky, JU České Budějovice 2004, 159s
Kuželosečka je množina bodů v rovině, jejichž souřadnice (x, y) vyhovují
v nějaké lineární soustavě souřadnic rovnici:
(Pech, s. 76)
Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
GeoGebra-kuzelosecky.ggb
21.11.2016
2
Kuželosečka je množina bodů v rovině, jejichž souřadnice (x, y) vyhovují
v nějaké lineární soustavě souřadnic rovnici:
(Pech, s. 76)
Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
GeoGebra-kuzelosecky.ggb
Maticové vyjádření
(1) 2 2
11 22 12 13 23 332 2 2 0a x a y a xy a x a y a
11 12 13
11 12
12 22 23
12 22
13 23 33
, ,1 , ,1 0
,
Tx y A x y
a a aa a
A a a aa a
a a a
Kuželosečka je regulární právě tehdy, když |A| ≠ 0.
< 0 hyperbola
> 0 hyperbola
= 0 parabola
Asymptotický směr
11 12
12 22
a a
a a
(1)
Je-li > 0, kuželosečka (1) nemá žádný asymptotický směr – elipsa
Je-li = 0, kuželosečka (1) má jeden asymptotický směr – parabola
Je-li < 0, kuželosečka (1) má dva asymptotické směry - hyperbola
2 2
11 22 12 13 23 332 2 2 0a x a y a xy a x a y a
21.11.2016
3
Střed kuželosečky, tečna kuželosečky
2 2
11 22 12 13 23 332 2 2 0a x a y a xy a x a y a (1)
Rovnice tečny kuželosečky, procházející dotykovým bodem M = (m, n)
• Změníme-li soustavu souřadnic, změní se i rovnice kuželosečky.
• Zvolíme takovou soustavu souřadnic, ve které bude rovnice
kuželosečky co nejjednodušší.
• Vhodnou soustavu souřadnic nalezneme pomocí otočení a posunutí.
Převedení rovnice kuželosečky na osový tvar
1
1
, ,1 , ,1 0
pro sloupcové vektory
, ,1 ', ',1
( , ,1) ( ', ',1)
( ', ',1) ', ',1 0
T
T T
T
TT
x y A x y
x y B x y
x y x y B
x y B A B x y
x = Bx
2 2
11 22 12 13 23 332 2 2 0a x a y a xy a x a y a
21.11.2016
4
S
r
k
S[m;n]
x
X[x;y] x
y
222rnymxkX
m
n
x – m
y – n
Středová rovnice kružnice y
S[m;n]
222rnymxkX
Obecná rovnice kružnice
22222 22 rnnyymmxx
022 22222 rnmnymxyx
02222 pnymxyx
21.11.2016
5
S[m;n]
222rnymxkX
Obecná rovnice kružnice
02222 pnymxyx
Každou kružnici lze vyjádřit jak středovou, tak obecnou rovnicí.
POZOR !
Ne každá rovnice tohoto typu je obecnou rovnicí kružnice !
0122 yxnapříklad:
Středová rovnice kružnice
Parametrické rovnice kružnice
2 2 1x y
21.11.2016
6
Parametrické rovnice kružnice
cos
sin ; 0,2
x r t
y r t t
2 2 2
2 2 2 2 2cos sin
x y r
r t r t r
November 21, 2016 12
y
x
y
x
cos sin
sin cosR
Rotace R x x
21.11.2016
7
cos sin
sin cosR
y
x
Trajektorie bodu A = (r, 0) při rotaci
R x x
A
cos sin
sin cos 0
cos
sin
R
x r
y
x r
y r
A A
A’
Rovnoměrný pohyb po kružnici
GeoGebra- kruznice2.ggb
21.11.2016
8
Elipsa
S
S – střed elipsy
E F
E, F – ohniska elipsy
A B
A, B – hlavní vrcholy C
D
C, D – vedlejší vrcholy
a a = |AS| = |SB| – hlavní poloosa
(její délka se zároveň rovná
|EC| = |FC| = |ED| = |FD|)
b
b = |CS| = |SD| – vedlejší poloosa
e
e = |ES| = |SF| – excentricita
Z obrázku je patrná platnost
Pythagorovy věty pro a, b, e:
a 2 = b 2 + e 2
β
α
Součtová definice elipsy
GeoGebra-elipsa_soucet.ggb
21.11.2016
9
E F S
Středová (osová) rovnice elipsy
0,0S
x
y
X
a2FXEX
X je bod elipsy, právě když platí:
a2yexyex 2222
po úpravě: 22222222 eaayaxea
222222 bayaxb 1b
y
a
x2
2
2
2
1
b
ny
a
mx2
2
2
2
Středová (osová) rovnice elipsy
n,mS
S
x
y X
n
m
Poznámka : Pokud a = b = r, je
elipsa kružnicí (e = 0, E = F = S)
21.11.2016
10
1
b
ny
a
mx2
2
2
2
Obecná rovnice elipsy
222222 banyamxb
222222222222 banayna2yambmxb2xb
po úpravě a přeznačení:
0tsy2rx2qypx 22 0qp
POZOR !
Ne každá rovnice tohoto typu je obecnou rovnicí elipsy !
November 21, 2016 21
Obecná změna měřítka
sx 1
1
sy
y
x
y
x
0
0
x
y
sM
s
M x x
21.11.2016
11
Obecná změna měřítka obraz kružnice
0
0
aM
b
1
M
M
x x
x x
y
x
y
x a
b
1
1
10
10
aM
b
xx
a
yy
b
2 2
2 2
1
1
x y
x y
a b
Souřadnice každého bodu X na elipse
lze vyjádřit takto:
x = a · cos t + m
y = b · sin t + n
kde t je parametr vyjadřující úhel (viz
obrázek). Může nabývat hodnot z
intervalu <0;2π).
Parametrické vyjádření elipsy
X[x;y]
S[m;n]
y
x 0
m x
n
y
× t
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1
.cos .sin1
. cos . sin1
x m y n
a b
a t m m b t n n
a b
a t b t
a b
21.11.2016
12
GeoGebra-trojuhelnikova_konstr.ggb
dr
1
2dS d d d
2. Keplerův zákon
Plochy opsané průvodičem planety za stejný čas jsou stejné
21konst.
2
dS dd
dt dt
plošná rychlost
vzdálenost od ohniska úhlová rychlost oběhu
Země:
numerická excentricita: e = e/a = 0,0167
6max min 1AU 149,6 102
d da km
2
3
aT
Kepler’s first two laws 3. Keplerův zákon
21.11.2016
13
Parabola
http://tube.geogebra.org/
q
F
V
Vrcholová rovnice paraboly
x
y
X
X je bod paraboly, právě když platí:
XqXF
V[0,0]
F[0, ] p
2
q: y= p
2
22
2
2 py
pyx
44
22
222 p
pxyp
pxyx
pyx 22
21.11.2016
14
Obecná rovnice paraboly
nypmx 22
npypmmxx 2222 442
po úpravě a přeznačení:
0222 tsyrxx
mxpny 22
mpypnnxx 2222 442
0222 tsyrxy
n
m F V
x
y
Šikmý vrh
21.11.2016
15
Parabola zadaná parametricky
GeoGebra- tecna_parabola.ggb
2
2
1
( 1)
x t
y t
x y
X
S
x
Hyperbola je množina všech bodů,
které mají od daných dvou bodů
(ohnisek) stejný rozdíl vzdáleností
(v absolutní hodnotě).
Pro libovolný bod X na hyperbole
tedy platí ||EX| – |FX|| = 2a,
kde 2a je kladné reálné číslo.
Hyperbola
E F
β
α
21.11.2016
16
Rovnice hyperboly
Pokud je střed hyperboly S[m;n] mimo počátek souřadnic,
středová rovnice hyperboly je ve tvaru
resp.
Roznásobením a odstraněním zlomků vznikne obecná rovnice:
Ze středového tvaru je patrné, že znaménka u členů x2 a y2 jsou
opačná, platí tedy nerovnost A·B < 0.
Asymptoty mají směrnici , jejich rovnice je tedy
1)()(
2
2
2
2
a
mx
b
ny1
)()(2
2
2
2
b
ny
a
mx
022 EDyCxByAx
2,12,1 qxa
by
a
bk
, člen q se spočítá dosazením středu hyperboly.
x = a / cos t
y = b · tg t , kde t <0;2π); t π/2+kπ (k Z).
Parametrické vyjádření hyperboly
GeoGebra-hyperbola_rozdil.ggb
21.11.2016
17
Rovnoosá hyperbola
GeoGebra-neprima_umernost.ggb
1
substituce:
xy
x u v
y u v
2 2
1
1
u v u v
u v
Maticový zápis substituce
1 1
1 1
Ortonormální matice:
2 2
2 2
2 2
2 2
x u
y v
x u
y v
Parametrické vyjádření hyperboly
GeoGebra-hyperbola.ggb