kuliah10-11 matriks

8/18/2019 Kuliah10-11 Matriks

1/27

1


2/27

Mem ermudah erhitun an an kom leks

DEFINISI:

Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka

sehingga berbentuk segiempat panjang dimana

panjang dan lebarnya ditunjukan oleh banyaknya

o om ar ar s. ng a-ang a a se uelemen-elemen. Apabila suatu matriks A terdiri m

baris dan n kolom, maka matriks bisa ditulis :2


3/27

⎤⎡naaa .......1211

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢ naaa ....... 22221

A mxn232221

131211

aaa

aaa A 2x3

m = 2

n = 3

⎥⎥

⎢⎢

mnmm aaa .........21

1211 aa ⎤⎡ 53

2221 aaB3x2⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ 76

24C3x2

3231

3


4/27


5/27

⎤⎡ 2101

a r s eg u ur sang ar :

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ 643

Matriks Setangkup (simetris): ⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎡

4105

1034

541

0030

0001

4000

0500

5


6/27

0003

Matriks Skalar :

3000

0300

0010

0001

1000

0100

Matriks Tanda

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ +

−

100

010

Matriks Miring Selangkup 602

320

−

−−6


7/27

Aljabar Segitiga0436

0014

0002

6525

⎤⎡ 732

Matriks Segitiga Bawah

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ 400

210

Matriks Tegak

⎥

⎥⎥⎥

⎦⎢

⎢⎢⎢

⎣⎥

⎥⎥⎥

⎦⎢

⎢⎢⎢

⎣ 85

56

03

4107

385

9642434 x x B A

7


8/27

⎤⎡⎤⎡ 1022 y x + 52 x

⎦⎣

=

⎦⎣ 4141 ⎥⎦⎢⎣

=

⎥⎦⎢⎣ − 15 y1

2

TuliskanTuliskan dalamdalam bentukbentuk matriksmatriks persamaanpersamaan berikutberikut ::

3x1 + 2x2 + 6x3 = 142x1 + 4x2 + 2x3 = 18

4x1 – 3x2 + 5x3 = 20

8


9/27

PENJUMLAHAN

−

⎥⎦⎢⎣=

⎥⎦⎢⎣ −+

⎥⎦⎢⎣ 351243

iterdefinistidak =⎥⎦

⎢⎣

+⎥⎦

⎢⎣ 843

9


10/27

PENGURANGAN

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

21

22

22

31

43

13

10


11/27

PERKALIAN

⎤⎡⎤⎡ kbkaba⎥⎦

⎢⎣

=⎥⎦

⎢⎣

18662

kd kcd c 1

⎥⎦

⎢⎣

=⎥⎦

⎢⎣ 9331

3

⎤⎡⎤⎡=

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

2121

4334 B A

⎥⎤

⎢⎡

=⎥⎤

⎢⎡

++

++=

⎦⎣⎦⎣

2013

107

43243314

)4(2)2(1)3(2)1(1

43342

11


12/27

⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡ 021112

⎤⎡⎤⎡⎤⎡

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣

895021112

522504

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

=

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ 251814

291912

522

331

504

431 AB

12


13/27

TRANPOSE

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

→⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

' 322212

312111

33232221

131211

33 x x aaaaaa

Aaaaaaa

A

⎥⎤

⎢⎡

⎤⎡

41

'321

332313333231 aaaaaa

⎥⎦⎢⎣⎦⎣

53504

2332 x x

13


14/27

TERAS (TRACE) M ATRIKS

8332531

112

=++=→⎥⎤

⎢⎡

At A

304 ⎥⎦⎢⎣

r

14


15/27

M ATRIKS SEKATAN (P ARTISI M ATRIKS)

1211

34333231

24232221

14131211

A A

A A

aaaa

aaaa

aaaa

A

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

2423

1413

122221

1211

11

44434241

aa

aa A

aa

aa A

aaaa

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎦⎣

,,, 22211211

4443

3433

22

4241

3231

21

Submatriksdisebut A A A A

aa

aa A

aa

aa A ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

tan2221

1211Seka Matriks

A A

A A A =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

15


16/27

Determinan han a men an kut matriks bu ur

sangkar yang berukuran/berorde nxn.Determinan sebuah matriks bujur sangkar A

.

Definisi :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

d c

ba A x22

7425354

23=−=→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= x x A Abcad A

16


17/27

INVERS− bd 11 ⎥

⎦⎢⎣−−

==−acbcad

a A

1. A ⎥⎤

⎢⎡ 58

A = 8x2 – 5x3 = 1

A-1

= ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

−

−

83

52

83

52

1

1

2. B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

35

24 2)5)(2()3(4 −=−−−= B

B-1

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

− 2/

1/

45

23

2

1

2

5

23

17


18/27

ax1 + bx2 = q

A X Y

⎟ ⎠

⎜⎝

=⎟ ⎠

⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣ q xd c 2

X = A -1 Y18


19/27

x1 x2 =

x1 - x2 = 1

⎟ ⎠

⎜⎝

=⎟ ⎠

⎜⎝

⎥⎦

⎢⎣ − 111 2

1

x

X = A-1 Y

19


20/27

21

31

5

1

21

31

)3(1)1(2

11 A ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−−

−−=−

21

5

3

5

1

1 A

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−

=−

753

51

55

1 x⎟⎟ ⎞

⎜⎜⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

=⎟⎟ ⎞

⎜⎜⎛

5

3

5

7)1(

5

3)7(

5

1

55

1

x +=+=

⎦⎣ −

⎥⎦

⎢⎣ −11

271

27

1

25

101

x

x

−= ⎞⎛

−+=

==

15

55555

2 x ==

{ })1,2(

1

2

2

1 JawabGugus

x

x⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

=⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

20


21/27

Matrik 2 x 2

⎥⎦⎢⎣−

−

−==−

acbcad Aadj A A111

−== bcad A determinan

⎥⎦

⎢⎣−

−=

ac

bd Aadj

21


22/27

⎥⎥

⎢⎢ 528 A

⎦⎣ 396

1.2.3 + 8.9.7 + 6.5.4 - 7.2.6 - 5.9.1 – 3.8.4

6 504 120 -84 - 45 - 96

630 -225

– 22


23/27

IINVERSNVERS 33 X X 33

232221

131211

ccc

ccc

C =C adj

C C

1 =−

333231 ccc

K ij = (-1)i+j

M

⎤⎡131211

K K K

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

=

333231

232221

K K K

131312121111 K C K C K C C ++=

K a j = 23


24/27

⎤⎡ 111 ⎤⎡ 131211 K K K 1 2 3

1

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −

=

122

202C

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

=

333231

232221

K K K

K K K K 2

3

K ij = (-1)i+j

ij M

22

4)4(0(112

20)1()1(

321

2

11

11

11

=−−=⎤⎡−=−=

=−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=−=

+

+ x M K

4)04(122

02)1()1(

12

4

13

31

13

1212

−=−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=−=

⎦⎣

+ x M K

11

3)21(112

11)1()1(3

21

12

21

⎤⎡

−=+−=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡−

−=−= + x M K

122222 −=−=

⎦⎣−=−= x 24


25/27

⎤⎡ 111 ⎤⎡ 131211 K K K

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −

=

122

202C

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

=

333231

232221

K K K

K K K K

0)2(2(111

)1()1( 52332

23 =−−−−=⎤⎡

−=−= + x M K

K ij = -1 ij M

2)02(120

11)1()1( 4

31

13

31

=−=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−=−=

−

+ x M K

0)22(122

11)1()1( 532

23

32 =−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= + x M K

2)20(102

)1()1( 6333333 −=−=⎥⎦⎢⎣−=−= + x M K

25


26/27

=→⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−

−

= '413

424

K C adjK

⎤⎡ −

⎦⎣ −

234

202

⎤⎡ 111

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −−

−==

244

a

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −

=

122

⎥⎤

⎢⎡ −⎤⎡ −

−

−

1/123341

2

12

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

−−−=

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −−

−=122244

2 2

26


27/27

6242 321 =++ x x x

161222

182104

321

321

−=++

=++

x x x

x x x

Pertanyaan :a) Susun persamaan di atas ke dalam bentuk matriks dan vektorb) Tentukan vektor jawabnya.

27

kuliah10-11 matriks

Documents