Kužel

Matematika – 9. ročník

Kužel

Kužel

Kuželvrchol kuželeV

strana kužele

podstava kužele

výška kužele

Podstavou kužele je kruh

Výška kužele je vzdálenost jeho vrcholu od středu jeho podstavy

Strana kužele je úsečka spojující vrchol kužele s libovolným bodem na obvodu jeho podstavy

·

poloměr kuželeS

v

r

s

Poloměr kužele je poloměr jeho podstavy

Všechny strany kužele tvoří plášť kužele

KuželV

·S

v

r

s

1. Vypočtěte délku strany kužele s výškou 2 dm a poloměrem 4,5 cm.

𝒗=𝟐𝒅𝒎¿𝟐𝟎𝒄𝒎𝒓=𝟒 ,𝟓𝒄𝒎𝒔=…𝒄𝒎𝒔=√𝒗𝟐+𝒓𝟐

𝒔=√𝟐𝟎𝟐+𝟒 ,𝟓𝟐

𝒔=√𝟒𝟎𝟎+𝟐𝟎 ,𝟐𝟓𝒔=√𝟒𝟐𝟎 ,𝟐𝟓𝒔=𝟐𝟎 ,𝟓𝒔=𝟐𝟎 ,𝟓𝒄𝒎

KuželV

·S

v

r

s

2. Vypočtěte výšku kužele s délkou strany 2,5 dm a poloměrem 7 cm.

𝒔=𝟐 ,𝟓𝒅𝒎¿𝟐𝟓𝒄𝒎𝒓=𝟕𝒄𝒎𝒗=…𝒄𝒎𝒗=√𝒔𝟐−𝒓 𝟐

𝒗=√𝟐𝟓𝟐−𝟕𝟐

𝒗=√𝟔𝟐𝟓−𝟒𝟗𝒗=√𝟓𝟕𝟔𝒗=𝟐𝟒𝒗=𝟐𝟒𝒄𝒎

KuželV

·S

v

r

s

3. Vypočtěte poloměr kužele s délkou strany 32,5 cm a výškou 3 dm.

𝒔=𝟑𝟐 ,𝟓𝒄𝒎¿𝟑𝟎𝒄𝒎𝒗=𝟑𝒅𝒎

𝒓=…𝒄𝒎𝒓=√𝒔𝟐−𝒗𝟐

𝒓=√𝟑𝟐 ,𝟓𝟐−𝟑𝟎𝟐

𝒓=√𝟏𝟎𝟓𝟔 ,𝟐𝟓−𝟗𝟎𝟎𝒓=√𝟏𝟓𝟔 ,𝟐𝟓𝒓=𝟏𝟐 ,𝟓𝒓=𝟏𝟐 ,𝟓𝒄𝒎

Síť kuželeSestrojte síť kužele, s poloměrem 25 mm a délkou strany 40 mm.

S

1. Sestrojíme podstavu kužele – k(S; 25 mm)

2. Sestrojíme úsečku SV (|SV| = 65 mm)

3. Sestrojíme kružnici l(V; 40 mm)

4. Pomocí kružítka přeneseme délku kružnice k na kružnici l (krajní body označíme A a B)*

5. Sestrojíme úsečky AV a BV

V

* V praxi je přesnější vypočítat

velikost úhlu AVB

B

A

Poloměr rozvinutého pláště se rovná délce strany kužele.

Délka oblouku kružnice na rozvinutém plášti se rovná obvodu podstavy kužele.

Povrch kuželePovrch kužele je součet obsahů jeho podstavy a pláště.

Sp … obsah podstavy

Spl … obsah pláště

𝑺=𝑺𝒑+𝑺𝒑𝒍V

·S

v

r

s

S

V

𝑺=𝝅 𝒓𝟐+𝝅𝒓𝒔

𝑺=𝝅 𝒓 (𝒓+𝒔 )

Objem kužele

Objem kužele je třetinou objemu válce se stejnou postavou a stejnou výškou.

Sp … obsah podstavy

v … tělesová výška

V =

V

·S

v

r

s

V =

Povrch a objem kužele

Vypočtěte povrch a objem kužele s poloměrem 45 mm a výškou 12 cm.

𝑉=13𝑆𝑝 ∙𝑣

𝑟=45𝑚𝑚𝑣=12𝑐𝑚

¿ 4,5𝑐𝑚

𝑉=…𝑐𝑚3

𝑆=…𝑐𝑚2

𝑉=13∙𝜋 𝑟2 ∙𝑣

𝑉=13∙3,14 ∙4,52 ∙12

𝑉=13∙3,14 ∙20,25 ∙12

𝑉=254,34𝑉=254,34𝑐𝑚3

𝑆=𝑆𝑝+𝑆𝑝𝑙

𝑆=𝜋 𝑟2+𝜋𝑟𝑠𝑆=𝜋 𝑟 (𝑟+𝑠)𝑆=3,14 ∙4,5(4,5+12 ,8)𝑆=3,14 ∙4,5 ∙17 ,3𝑆=244,45𝑆=244,45 𝑐𝑚2

V

·S

v

r

s

𝑠=√𝑣2+𝑟2𝑠=√122+4,52𝑠=√144+20,25𝑠=√164,25𝑠=12,8𝑠=12,8𝑐𝑚

Povrch a objem kužele

Vypočtěte objem a povrch kužele s poloměrem 5 cm a obsahem pláště 204,1 cm2.

𝑟=5𝑐𝑚𝑆𝑝𝑙=204,1𝑐𝑚

2

𝑉=…𝑐𝑚3

𝑆=…𝑐𝑚2

𝑽=𝟑𝟏𝟒𝒄𝒎𝟑;𝐒=𝟐𝟖𝟐 ,𝟔𝒄𝒎𝟐

Zdroje

http://www.funservicesinc.com/catalog/index.php?cPath=34_78http://www.brennaphillips.com/first-ice-cream-cone-patented-in-1903http://www.wpclipart.com/travel/Cone.png.htmlhttp://www.piratemerch.com/pirate-party-supplies-c-55.htmlhttp://www.birthdayinabox.com/party-supplies/productdetail.asp?prodsku=1349http://www.vitra.com/en-us/home/products/cone-table/overview/http://dendro.mojzisek.cz/re_tvarovani.phphttp://www.motorama.cz/modules.php?name=News&file=article&sid=115