kvadratickÁ funkce (vlastnosti, grafy)...vrchol paraboly 1) y 0 graf funkce f leží nad osou x...
TRANSCRIPT
KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) Teorie: Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce daná předpisem:
)(;,,0;: 2 fDxRcbRacbxaxyf
x … je proměnná z příslušného definičního oboru funkce (nejčastěji množina R)
a , b , c … jsou koeficienty kvadratické funkce, přičemž
a …………….. kvadratický koeficient
b …………….. lineární koeficient
c …………….. absolutní koeficient……………kvadratické funkce
Jednotlivým členům v zápisu kvadratické funkce také říkáme:
2ax ………….. kvadratický člen
bx …………… lineární člen
c …………….. absolutní člen resp. koeficient……………kvadratické funkce
Graf kvadratické funkce:
A) Sestrojme graf základní kvadratické funkce, tj. funkce, pro kterou platí: 0,0,0 cba
2: axyf
Vytvořme tabulku funkčních hodnot jednotlivých bodů, ležících na grafu kvadratické funkce splňující výše uvedený funkční předpis. Volme vhodné a :
a x
f( x ) -3 -2 -1 2
1 0
2
1 1 2 3
1a 2xy 9 4 1
4
1 0
4
1 1 4 9
2
1a
2
2
1xy
2
9 2
2
1
8
1 0
8
1
2
1 2
2
9
2a 22xy 18 8 2
2
1 0
2
1 2 8 18
1a 2xy -9 -4 -1 -
4
1 0 -
4
1 -1 -4 -9
2
1a
2
2
1xy -
2
9 -2 -
2
1 -
8
1 0 -
8
1 -
2
1 -2 -
2
9
2a 22xy -18 -8 -2 -
2
1 0 -
2
1 -2 -8 -18
a > 0
a < 0
Vypočtené souřadnice jednotlivých bodů zvolených funkcí vyznačme v souřadnicovém systému 0xy (sestrojme obrazy těchto bodů v 0xy) a spojme je křivkou získaná křivka je pak grafem příslušné
kvadratické funkce (viz níže).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y
a > 0
a < 0
0;0V
= 0;0V
y = 0,5x2
y = x2 y =2x
2
y = - 2x2 y = - x
2
y = - 0,5x2
o – osa paraboly
o – osa paraboly
Vlastnosti funkce 2: axyf
grafem kvadratické funkce je křivka zvaná PARABOLA
graf každé kvadratické funkce 2: axyf je souměrný podle osy y kartézské soustavy
souřadnic 0xy
graf každé kvadratické funkce 2: axyf prochází bodem 0;0V – tento bod je tzv.
VRCHOL PARABOLY
1) 0y graf funkce f leží nad osou x (parabola je otevřena směrem “nahoru“)
2) funkce f je sudá funkce – její graf je souměrný podle osy y, protože platí
)()( xfxf tj. hodnota funkce v bodě (– x) je stejná jako hodnota funkce v bodě x
3) pro 0;x je funkce klesající
pro ;0x je funkce rostoucí
4) pro 0x má funkce minimum tj. 0;0V … vrchol paraboly
5) 0)(,)( RfHRfD
1) 0y graf funkce f leží pod osou x (parabola je otevřena směrem „dolů“)
2) funkce f je sudá funkce – její graf je souměrný podle osy y, protože platí
)()( xfxf tj. hodnota funkce v bodě (– x) je stejná jako hodnota funkce v bodě x
3) pro 0;x je funkce rostoucí
pro ;0x je funkce klesající
4) pro 0x má funkce maximum tj. 0;0V … vrchol paraboly
5) 0)(,)( RfHRfD
a > 0
a < 0
B) Sestrojme grafy dalších kvadratických funkcí, přičemž
graf každé kvadratické funkce )(;,,0;: 2 fDxRcbRacbxaxyf lze získat
posunutím grafu základní kvadratické funkce 2: axyg
Řešené úlohy: Příklad 1.
Sestrojte graf kvadratické funkce 3: 2 xyf posunutím grafu funkce 2: xyg a zapište
vlastnosti funkce f !
Řešení:
Kvadratický koeficient v předpisu funkce 0a parabola je otevřena směrem „nahoru“.
Sestrojíme graf funkce 2: xyg a posuneme jej o 3 jednotky v záporném směru osy y (tj. o 3
jednotky dolů), čímž získáme graf původní funkce 3: 2 xyf
Všimněme si, že vrchol paraboly funkce f má souřadnice 3;0 V
4
1
2
-2
-3
1
3;0 V
g: y = x2
f: y = x2 - 3
sudá
vroste
vklesá
fH
RfD
;0
0;
;3)(
)(
o
Příklad 2.
Sestrojte graf kvadratické funkce 12: 2 xxyf pomocí grafu funkce 2: xyg a zapište
vlastnosti funkce f !
Řešení:
Kvadratický koeficient v předpisu funkce 0a parabola je otevřena směrem „nahoru“.
Funkční předpis funkce 12: 2 xxyf upravíme následujícím způsobem:pravou stranou v zápisu
funkce f tvoří kvadratický trojčlen vytvářející vzorec 2)1(: xyf
V takovém případě při sestrojení grafu funkce f postupujeme takto:
1) Sestrojíme graf funkce 2: xyg
2) Graf funkce 2: xyg posuneme o 1 jednotku v záporném směru osy x (tj. o 1
jednotku doleva), čímž získáme graf původní funkce 2)1(: xyf 122 xx
Protože platí, že 0)1(12: 22 xxxyf , všimněme si, že vrchol paraboly funkce f má
souřadnice 0;1V
f: y = (x+1)2 = x
2 + 2x + 1
g: y = x2
0;1V
licháanisudáani
vroste
vklesá
fH
RfD
,
;1
1;
;0)(
)(
o
Příklad 3.
Sestrojte graf kvadratické funkce 22: 2 xxyf a zapište její vlastnosti !
Řešení:
Kvadratický koeficient v předpisu funkce 0a parabola je otevřena směrem „nahoru“.
Funkční předpis funkce 22: 2 xxyf upravíme následujícím způsobem.
1) Na pravou stranu funkčního předpisu se snažíme dostat vzorec, což provedeme takto:
3)1(21122)1()1(222: 222222 xxxxxxxyf
2) Sestrojíme graf funkce 2: xyg
3) Sestrojíme graf funkce 2)1(: xyh posunutím grafu funkce
2: xyg o 1 jednotku
doleva, tedy v záporném směru osy x
4) Sestrojíme graf funkce 3)1(22: 22 xxxyf posunutím grafu funkce
2)1(: xyh o 3 jednotky dolů, tedy v záporném směru osy y, čímž získáme graf
původní funkce 22: 2 xxyf
Protože platí, že 3)1(22: 22 xxxyf , všimněme si, že vrchol paraboly funkce f má
souřadnice 3;1V
1) první dva členy – kvadratický a
lineární – opíšeme
2) přičteme polovinu
lineárního koeficientu a
umocníme jej na druhou
3) toto získané číslo od výrazu
zase ihned odečteme
4) opíšeme absolutní
koeficient (člen) z předpisu funkce
první tři členy vytvoří požadovaný vzorec kvadratického trojčlenu a dva další členy novou konstantu.
g: y = x2
-4 3;1V
o
licháanisudáani
vroste
vklesá
fH
RfD
,
;1
1;
;3)(
)(
h: y = (x+1)2
f: y = (x+1)2 – 3 =
= x2 + 2x – 2
Teorie: Graf každé kvadratické funkce je souměrný podle přímky, která je rovnoběžná s osou y kartézské
soustavy souřadnic 0xy a prochází bodem vv yxV ; nazývaným vrcholem paraboly.
Určení vrcholu paraboly (obecně):
a
bc
a
bxa
a
bac
a
bxa
a
bc
a
bxa
a
c
a
b
a
bxa
a
c
a
b
a
bx
a
bxa
a
c
a
b
a
bx
a
bxa
a
cx
a
bxacbxaxy
424
4
2
424222
2
1
2
1)(
2222
22
2
2222
2
22
222
Pak pro souřadnice vrcholu paraboly platí
a
bc
a
byxV vv
4;
2;
2
Řešené úlohy: Příklad 4.
Sestrojte graf kvadratické funkce 32: 2 xxyf a zapište její vlastnosti !
Řešení: 1) Najdeme vrchol paraboly: 1. způsob nalezení vrcholu paraboly:
Užitím vzorce pro výpočet souřadnic vrcholu: 3;2;1 cba
4;11.4
43;
1.2
2
4;
2;
2
a
bc
a
byxV vv
vzorec
= 0
a
bx
a
bx
V
V
2
02
Je-li předchozí výraz
02a
bxV
a
bcyV
4
2
2. způsob nalezení vrcholu paraboly: Úpravou funkčního předpisu:
4)1(311232: 222 xxxxxyf 4;1; vv yxV
2) Kvadratický koeficient 0a parabola je otevřena směrem „nahoru“.
3) Nalezneme několik bodů, ležících na grafu dané kvadratické funkce, užitím tabulky funkčních hodnot!
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 -3 -4 -3 0 5
Resp. nalezneme průsečíky grafu funkce f s osou x a osou y:
130)1).(3(032:0; 2 xxxxxxxosaxf
330.20)0(:;0 2 yyosayf
4) Sestrojíme obrazy těchto nalezených bodů v souřadnicovém systému 0xy a body spojíme. (Pamatujeme, že parabola je souměrná podle přímky, procházející vrcholem paraboly a rovnoběžné
s osou y)! Rovněž můžeme využít znalostí o posunutí grafu funkce 2: xyg nejprve o 1
jednotku v záporném směru osy x (doleva) a následně o 4 jednotky v záporném směru osy y (dolů)!
x-ové souřadnice bodů volíme
y-ové souřadnice bodů dopočítáváme podle daného funkčního předpisu
f: y = x2 + 2x - 3
4;1V
o
licháanisudáani
vroste
vklesá
fH
RfD
,
;1
1;
;4)(
)(
Příklad 5.
Sestrojte graf kvadratické funkce 86: 2 xxyf a zapište její vlastnosti !
Řešení: 1) Najdeme vrchol paraboly: 1. způsob nalezení vrcholu paraboly:
Užitím vzorce pro výpočet souřadnic vrcholu: 8;6;1 cba
1;3)1.(4
368;
)1.(2
6.
4;
2;
2
a
bc
a
byxV vv
2. způsob nalezení vrcholu paraboly: Úpravou funkčního předpisu:
1)3(89)96(86: 222 xxxxxyf 1;3; vv yxV
2) Kvadratický koeficient 0a parabola je otevřena směrem „dolů“.
3) Nalezneme několik bodů, ležících na grafu dané kvadratické funkce, užitím tabulky funkčních hodnot!
x -5 -4 -3 -2 -1 0 y -3 0 1 0 -3 -8
Resp. nalezneme průsečíky grafu funkce f s osou x a osou y:
24
0)2).(4(0)86(086:0; 22
xx
xxxxxxxosaxf
880.60)0(:;0 2 yyosayf
x-ové souřadnice bodů volíme
y-ové souřadnice bodů dopočítáváme podle daného funkčního předpisu
1) konstantu před
kvadratickým koeficientem (jinou než 1)
vždy vytýkáme před závorku
2) do závorky opíšeme
kvadratický a lineární člen,
avšak dáváme POZOR na
použití správných znamének v závorce
3) závorku doplníme na kvadratický
trojčlen podle již dříve
zmíněných pravidel –
vzniká vzorec pro výpočet dvojčlenu
4) v tomto případě
odečtenou novou
konstantu následně opět
přičteme a opíšeme
absolutní člen funkce
5) funkci upravíme do již známého
tvaru, z něhož určíme
souřadnice vrcholu
paraboly
4) Sestrojíme obrazy nalezených bodů v souřadnicovém systému 0xy a body spojíme. (Pamatujeme, že parabola je souměrná podle přímky, procházející vrcholem paraboly a rovnoběžné s osou y)!
Rovněž můžeme využít znalostí o posunutí grafu funkce 2xy nejprve o 3 jednotky
v záporném směru osy x (doleva) a následně o 1 jednotku v kladném směru osy y (nahoru)!
f: y = – x2 – 6x – 8
o
licháanisudáani
vroste
vklesá
fH
RfD
,
3;
;3
1;)(
)(
1;3V
y
Úlohy k procvičování: Sestrojte grafy kvadratických funkcí a zapište jejich vlastnosti !
1) 12: 2 xyf
2) xxyf 3: 2
3) 2: 2 xyf
4) 106: 2 xxyf
5) 32
5
2
1: 2 xxyf
6) 152: 2 xxyf
7) 32
1: 2 xxyf
8) 682: 2 xxyf
9) *** xxyf .:
10) *** 22: 2 xxyf a 22: 2 xxyg v téže soustavě souřadnic
11) *** 14: 2 xxyf a 14: 2 xxyg v téže soustavě souřadnic
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VYSVĚTLIVKY: Učivo označené symbolem *** je určeno studentům studijního oboru Technické lyceum