Kvadratne funkcije (polinom drugog stepena)definisana za f:R→R

oblika:

f ( x )=a x2+bx+cgdje je

a≠0 , b , c∈ R

a-vodeći koeficijent, b-linearni koeficijent, c-slobodni članGraf u kvadratnoj funkciji se naziva parabola,kad je a>0 parabola ima“otvor prema gore“ a kad je a<0

parabola ima „otvor prema dole“.Broj x0 je nultačka funkcije f ako vrijedi f(x0)=0. Realna nultačka funkcije je apscisa tačke na kojoj

graf funkcije siječe ili dira x osu.

Nultačka kvadratne funkcije Realne nultačke kvadratne funkcije su riješenja kvadratne jednačine

a x2+bx+c=0.Riješenje kvadratne jednačine se određuje pomoću formule

x1/2=−b±√b2−4 ac

2aBroj nultačaka kvadratne funkcije ovisi o vrsti riješenja podkorijene veličine, ona se zove

diskriminanta D=¿ b2−4 ac

Ako je:D>0 funkcija ima dvije realne i različite nultačke u kojima graf siječe x osu;

D=0 funkcija ima jednu realnu nultačku u kojoj graf dira x-osu;D<0funkcija nema realnih nultačaka, tj.graf niti dira niti siječe x osu.

zaključujemo da u zavisnosti od koeficijenta a i diskriminante imamo 6 mogućnosti pisanja parabole. Parabola y osu sječe u tački (0,c).

Ekstremi kvadratne funkcijeTjeme parabole je T(x0,y0) s koordinatama

x0=−b2a

y0=4 ac−b2

4 a.

Ako je a>0 kvadratna funkcija ima svoju najmanju vrijednost to je minimum, a ako je a<0 funkcija ima svoju najveću vrijednost tj. Maksimum.

maksimum za neku funkciju ili minimum za neku funkciju postize se u za x0=−b2a

i iznosi

y0=4ac−b2

4a.

Tok i znak kvadratne funkcije Ako je a>0 onda

x∈ (−∞, x0 )funkcija opada od+∞ do y0x∈ ( x0 ,+∞)funkcija raste od y0 do +∞

Ako je a<0 onda

x∈ (−∞ ,x0 )funkcija raste od −∞ do y0x∈ ( x0 ,+∞)funkcija raste od y0 do -∞.

Kvadratne jednačine i nejednačine

Jednačina oblika

a x2+bx+c=0 gdje su a≠0 , b , c∈ Rnaziva se kvadratna jednačina.Svaki x(realan ili kompleksan)koji zadovoljava tu jednačinu se naziva riješenje kvadratne jednačine.a-vodeći koeficijent, b-linearni koeficijent,c-slobodni član.prilikom rješavanja kvadratne jednačine, mi ćemo morati odgovoriti na sljedeća pitanja:1. Kolkio riješenja ima kvadratna jednačina?2.Kada suta riješenja realna akada su kompleksan?3.Kako odrediti ta riješenja?

kvadratne jednačine posebnog oblika

Posmatrat ćemo neke specijalne obile kvadratne jednačine a x2+bx+c=0.

Dobijemo ih ako su neki od koeficijenata b i /ili c jednaki nuli.1. b≠0 , c=0 :a x2+bx=0

2. c≠0 , b=0 : a x2+c=0

3.b=0,c=0:a x2=0

1. B≠0 , c=0 :a x2+bx=0

a x2+bx=0x (ax+b )=0x1=0ax+b=0ax=−bx2=−ba

2. c≠0 , b=0 : a x2+c=0

Uvijek ima dva riješenja, mogu biti realni i imaginarni broj, što ovisi o predstavnicim koeficijenata a i c:1. ako su a i c suprotnih predznaka onda su rješenja realni brojevi suprotnih predznaka2.ako su a i c istih predznaka, onda su riješenja imaginarni brojevi surotnih ptredznaka

Kvadratna jednačina oblika a x2+c=0 ima dva riješenja:

Ako je –ca>0, rješenja su realni brojevi

x1=√ – ca x2=−√ – caAko je –

ca<0 rijesinja su imaginarni brojevi

x1=i √|– ca|x2=¿ -i √|– ca|3.b=0,c=0:a x2=0

-ima rješenja koja su jednaka tj. x1=0i x2=0kažemo da je x=0 dvostruko riješenje kvadratne jednačine.

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Kvadratni trinom a x2+bx+c se faktorizira na sljedeći način

a x2+bx+c=a (x−x1 )( x−x2)

Gdje su x1 i x2 riješenja pripadne kvadratne jednačine.Ako se kvadratna jednačina moze napisati u obliku

(x−x1 ) (x−x2 )=0

Onda su njena riješenja brojevi x1 i x2 .

Potpuni kvadrat

Postoji kvadratni trinomi specijalnog oblika npr.:

x2+2x+1= (x+1 )2x2−6 x+9=( x+3 )2

Vidimo da su ovi trinomi jednaki kvadratu binoma. Takav trinom se naziva potpuni kvadrat. Ako kvadratni trinom nije potpuni kvadrat , onda možemo izvojiti jedan njegov dio koji to uvijek jeste, a

koji pritom sadrzi članove s nepoznatom x. Takav se postupak neziva svođenje na potpuni kvadrat.Svođenje na potpuni kvadrat se može koristiti u riješavanju kvadratnih jednačina.

Kvadratni trinom

Posmatrajmo polimom drugog stepena P(x)=a x2+bx+c , a≠0 kraće ga nazivamo kvadratni trinom.

Kako je a≠0 to je jednačina a x2+bx+c=0 možemo podjelitisa a i dobijemo

x2+ bax+ ca=0

Stavimo li da je p=ba

i q= ca

, imamo da je

x2+ px+q=0

Kanonski oblik

Transformirajmo kvadratni trinom u kanonski oblik

a x2+bx+c=a (x2+ ba x+ ca )=a(x2+2 b2a x+ ca )=a (x+ b2ax+( b2a )

2

−( b2a )2

+ ca )=¿

¿a [(x+ b2a )2

− b2

4 a2+ ca ]=a[( x+ b

2a )2

+ 4 ac−b2

4 a2 ]

Kvadratni trinom u slucajevima kad je D<0, D>o i D=0

1. D<0Tada je 4 ac−b2>0. U izrazu u zagradama u kanonskom olikuje uvijek pozitivan za sve vrijednosti argumenta x, jer je zbir sabiraka odkojih je prvi nenegativan (jer je kvadrat), a drugi je strogo pozitivan (jer je kolicnik dva strogo pozitivna broja). Iz ovog slijedi da je jednačina a x2+bx+c=0 koja je ekvivalentna noj koja je zapisana u kanonskom obliku, u slučaju D<0 nema realnih riješenja, tj nema rijesenja u skupu R.

a x2+bx+c≠0a x2+bx+c>0 , a>0a x2+bx+c<0 , a<0

2. D=0Tada je 4ac-b2<0