l pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličinfast10.vsb.cz/lehner/sbsk/prk02.pdf · 2019....
TRANSCRIPT
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Téma 2: Pravděpodobnostní
vyjádření náhodných veličin
Přednáška z předmětu:
Spolehlivost a bezpečnost staveb
4. ročník bakalářského studia
Katedra stavební mechaniky
Fakulta stavební
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Osnova přednášky
Náhodný jev, pravděpodobnost náhodného jevu
Náhodná veličina: diskrétní
spojitá
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti: Rozdělení pravděpodobnosti:
Parametrické
Neparametrické (empirické)
Pravděpodobnostní funkce
Hustota rozdělení pravděpodobnosti
Distribuční funkce
Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti,
histogramy
Náhodná veličina v pravděpodobnostním výpočtu
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 1 / 33
Pravděpodobnost
Náhodným jevem se rozumí opakovatelná činnost prováděná za
stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a
závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou,
střelba do terče nebo losování loterie.
Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, udávající s jakou jistotou
lze daný náhodný jev očekávat. Míra pravděpodobnosti náleží do
uzavřeného intervalu <0, 1>, kde nula znamená, že událost nemůže
nastat a jednička, že jev je jistý. Lze vyjádřit i procentuálně (po
vynásobení 100)
V teorii spolehlivosti konstrukcí např.
kde
Pf ... pravděpodobnost, že nastane porucha
Ps ... pravděpodobnost, že konstrukce zůstane zachovaná
Základní principy teorie pravděpodobnosti 2 / 33
1 sf PP
Náhodná veličina
Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině
elementárních jevů ω pravděpodobnostního prostoru Ω.
Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti.
Spojité a diskrétní veličiny: Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité
(diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze početný
počet hodnot (konečný i nekonečný), zatímco spojité veličiny nabývají
hodnoty z intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech
hodnot náhodné veličiny se nazývá definičním oborem.
Příklad: Výskyt daného jevu lze označit hodnotou 1. Pokud k výskytu
daného jevu nedojde, náhodné veličině se přiřadí hodnota 0. Jedná
se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0
nebo 1.
Základní principy teorie pravděpodobnosti 3 / 33
Náhodná veličina
0,000
0,015
0,030
0,045
0,060
0,075
0,090
0,105
0,120
0,135
0,150
0,165
0,180
P (x )
1 2 3 4 5 6x
Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou
Základní principy teorie pravděpodobnosti 4 / 33
Rozdělení pravděpodobnosti
diskrétní náhodné veličiny
Rozdělení pravděpodobnosti
spojité náhodné veličiny
Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny lze získat, pokud se
každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot
spojité náhodné veličiny, přiřadí pravděpodobnost s pomocí
pravděpodobnostní funkce P(x).
Znalost pravděpodobnostní funkce lze
použít k výpočtu pravdě-
podobnosti. Např. pravdě-
podobnost, že náhodná
veličina X leží mezi
hodnotami x1 a x2 se určí:
Rozdělení pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce
2
1
21
x
xx
xPxxxP
Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je pravidlo, kterým se
každému jevu popisovanému touto veličinou přiřadí určitá
pravděpodobnost.
x P(x)
x1 P(x1)
x2 P(x2)
... ...
xn P(xn)
Základní principy teorie pravděpodobnosti 5 / 33
Distribuční funkce diskrétní veličiny
Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést tzv. distribuční funkci
vztahem:
Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zleva. Hodnoty distribuční
funkce leží v rozsahu
Pro diskrétní náhodnou veličinu X lze pro libovolné reálné číslo x vyjádřit
distribuční funkci vztahem
Vlastnosti
Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu <a,b), pak F(a) = 0 a
F(b) = 1.
xXPxF
10 xF
xt
tPxF
Základní principy teorie pravděpodobnosti 6 / 33
Pravděpodobnostní a distribuční funkce hodu kostkou
0,000
0,015
0,030
0,045
0,060
0,075
0,090
0,105
0,120
0,135
0,150
0,165
0,180
P (x )
1 2 3 4 5 6x
Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
F (x )
1 2 3 4 5 6x
Distribuční funkce hodu kostkou
Distribuční funkce
Pravděpodobnostní funkce
Základní principy teorie pravděpodobnosti 7 / 33
Hustota rozdělení pravděpodobnosti
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje
prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení
pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti).
Je-li j(x) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, pak platí
kde Ω je definiční obor veličiny X.
(Pro hodnoty x mimo definiční obor Ω je hustota pravděpodobnosti
nulová).
Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti j(x) lze určit pravděpodobnost, že
náhodná veličina X bude mít hodnotu z intervalu <x1,x2>, tedy
1d
xxj
2
1
x
x
21 dxxxXxP j
Základní principy teorie pravděpodobnosti 8 / 33
Distribuční funkce spojité veličiny
Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti j(x)
lze definovat distribuční funkci vztahem
Vlastnosti
Platí, že a .
Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť
Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti j(x) a distribuční
funkcí F(x) platí vztah
ttxF dj
0F 1F
1221 xFxFxXxP
x
xFx
d
dj
Základní principy teorie pravděpodobnosti 9 / 33
Distribuční funkce spojité veličiny
Distribuční funkce
Pravděpodobnostní funkce
Základní principy teorie pravděpodobnosti 10 / 33
Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy
1. Původní
(originální)
rozdělení
pravděpodobnosti
2. Diskrétní (discrete)
rozdělení
pravděpodobnosti
3. Čistě diskrétní
(pure discrete)
rozdělení
pravděpodobnosti
4. Po částech
rovnoměrné
rozdělení
pravděpodobnosti
1. 2.
3. 4.
Intenzita
Pra
vděpodobn
ost
(četn
ost)
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 11 / 33
Omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Neomezený obor rozdělení
pravděpodobnosti náhodné
spojité veličiny
Omezený obor rozdělení
pravděpodobnosti náhodné
spojité veličiny
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 12 / 33
Mez kluzu
Mean
Std Std
220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
(Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti
Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny
(např. m střední hodnota a s směrodatná odchylka)
2
2
2
2
1, s
m
ssm
x
exf
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány
analytickou funkcí – např. obecný vzorec funkce
hustoty normálního (Gaussova) rozdělení
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Neparametrické (empirické)
rozdělení pravděpodobnosti
definovány na základě měření,
často i dlouhodobých
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 13 / 33
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Variable 1
Mean
Std Std
240 260 280 300 320 340 360
0.005
0.01
0.015
0.02
Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny -
parametry
(např. střední hodnota a směrodatná
odchylka)
Důležitá spojitá rozdělení
pravděpodobnosti:
• Rovnoměrné rozdělení
• Normální rozdělení
(Gaussovo rozdělení)
• Exponenciální rozdělení
• Laplaceovo rozdělení
• Logistické rozdělení
• Maxwellovo rozdělení
• Studentovo rozdělení
• Fischerovo-Snedecorovo rozdělení
• χ² rozdělení (Chí kvadrát)
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 14 / 33
Normální rozdělení pravděpodobnosti
2)(
2
1
2
1,
sm
ssm
x
exf
Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení
pravděpodobnosti:
s ... směrodatná
odchylka
m ... střední hodnota
n
i
ixn 1
1m
n
i
ixn 1
21ms
2
2
2
2
1, s
m
ssm
x
exf
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 15 / 33
2
2
2
2
1, s
m
ssm
x
exf
Obecný vzorec funkce hustoty
normálního (Gaussova) rozdělení
pravděpodobnosti
2
2
2
ln
2
1, s
m
ssm
x
ex
xf
Obecný vzorec funkce hustoty
lognormálního rozdělení
pravděpodobnosti
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1
s=0.5
s=0.75
s=1
s ... směrodatná odchylka
m ... střední hodnota
n
i
ixn 1
ln1
m
n
i
ixn 1
2ln
1ms
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 16 / 33
Mez kluzu fy oceli S235
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 17 / 33
Tlaková pevnost betonu
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 18 / 33
Krycí vrstva betonu
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 19 / 33
Pevnost zdiva
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 20 / 33
Základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 21 / 33
Programový nástroj HistAn
Slouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů.
Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu)
Počet tříd (intervalů) a četností v nich definovaných
Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím
kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu)
Určení kombinace několika
vstupních histogramů
Určení tzv. sumárního
histogramu (výpočty s tzv.
větrnou růžicí)
Tvorba histogramů s
parametrickým rozdělením
Zpracování naměřených
(prvotních) dat
Tvorba a analýza histogramů vstupních veličin 22 / 33
Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti
Histogram omezeného
diskrétního (discrete)
rozdělení
pravděpodobnosti
Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 23 / 33
Histogram čistě diskrétního rozdělení pravděpodobnosti
Histogram čistě
diskrétního (pure
discrete) rozdělení
pravděpodobnosti
Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 24 / 33
Struktura datového souborus definicí histogramu
Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 25 / 33
Textový soubor s příponou *.dis (distribution), jenž obsahuje
údaje následujícího tvaru:
[Description] (1. oddíl datového souboru)
Identification= volitelný popis datového souboru
Type= Pure Discrete | Discrete | Continuous (typ empirického rozdělení)
[Parameters] (2. oddíl datového souboru)
Min= minimální funkční hodnota
Max= maximální funkční hodnota
Bins= celkový počet tříd daného histogramu
Total= součet četností ve všech třídách
[Bins] (3. oddíl datového souboru)
četnost v 1. třídě
četnost ve 2. třídě
atd. ...
Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich
vyhodnocování.
Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozdělením
s možností volby počtu intervalů.
Použití histogramů
s parametrickým
rozdělením.
K dispozici škála 23 typů
s možností výběru
nejvhodnějšího z nich
pro daný soubor
získaných či
naměřených hodnot
s využitím koeficientu
těsnosti.
Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 26 / 33
Normální
LogNormální
Gumbel I a II
Raised-Cosine
Cauchy
Fischer-Tippett
Laplace
Logistic
Weibull
Rayleigh
Lévy
Student
Beta v nule
Beta obecné
Gama
Snedecorovo
Pareto
Uniform
Trianguler
Exponenciální
X2
Half-Logistic
Pravděpodobnost pro „useknutí“ parametrického rozdělení
Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 27 / 33
Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti
Histogram aproximace
parametrického
rozdělení
pravděpodobnosti
omezeným diskrétním
(discrete) rozdělením
pravděpodobnosti
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 28 / 33
Použití naměřených (primárních) dat, parametrické rozdělení
Výběr
vhodného
rozdělení dle
koeficientu
těsnosti
Charakteristiky odvozených parametrických dat
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 29 / 33
Koeficient těsnosti
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 30 / 33
2
2
,
2
2 ..2
1y
i
iiixy
y
Y
s
yYYyn
s
s
s
i
iy yyn
s22 .
1
i
iY yYn
s22 .
1
i
iixy Yyn
s22
, .1
Yi ... hodnota funkce
hustoty
pravděpodobnosti
parametrického
rozdělení
v příslušné
hodnotě xi
y ... střední hodnota
ze všech yi
rozptyly pro n
intervalů
1,02
2
y
Y
s
s
Reziduální (zbytkový) součet čtverců
i
iixy Yyn
s22
, .1
Rozptyl ... žádoucí nejmenší hodnota
Yi ... hodnota funkce
hustoty
pravděpodobnosti
parametrického
rozdělení
v příslušné
hodnotě xi
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 31 / 33
Tabulka vhodných parametrických rozdělení a jejich charakteristik
vh
od
ná
ne
vh
od
ná
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 32 / 33
Závěry
Přednáška:
byla zaměřena na základní pojmy teorie pravděpodobnosti,
které souvisejí s pravděpodobností náhodného jevu,
ukázala možnosti pravděpodobnostního vyjádření náhodné
veličiny formou neparametrického (empirického) a
parametrického rozdělení pravděpodobnosti,
stručně zmínila způsoby definice histogramu náhodné
veličiny v datových souborech pravděpodobnostních výpočtů,
nastínila použití programového prostředku HistAn.
Závěry 33 / 33
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Děkuji za pozornost!
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Téma 3:Simulační metodytypu Monte Carlo
Přednáška z předmětu:
Spolehlivost a bezpečnost staveb
4. ročník bakalářského studia
Katedra stavební mechaniky
Fakulta stavební
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Osnova přednášky
Začlenění metody Monte Carlo do přehledu
pravděpodobnostních metod
Historie metody Monte Carlo Buffonova jehla
První systematické využití metody Monte Carlo
Využití metody Monte Carlo k numerické integraci
Výhody a nevýhody metody Monte Carlo
Zákon velkých čísel
Generátory (pseudo)náhodných čísel Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel
Vliv vstupních konstant na vygenerovaná pseudonáhodná čísla
Názorná ukázka elementárního výpočtu metodou Monte
Carlo
Pravděpodobnostní metoda SBRA
Metoda Monte Carlo 1 / 34
Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky
Latin Hypercube Sampling – LHS Stratified Sampling - SC
Pokročilé simulační metody: Importance Sampling – IS Adaptive Sampling – AS Directional Sampling – DS Line Sampling – LS
Aproximační metody First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na
náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy
Response Surface - RS
Numerické metody Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV
Pravděpodobnostní metody
Přehlednapř. [Novák, 2005]
Přehled pravděpodobnostních metod 2 / 34
Pravděpodobnost jevu,
kdy jehla stejné délky,
jako je vzdálenost mezi
linkami, po dopadu na
papír zůstane ležet na
papíře tak, že protíná
některou z linek,
je rovna:
Buffonova jehla
Jedním z nejstarších popsaných případů využití metody je
problém tzv. Buffonovy jehly, nazvaný po francouzském
matematikovi Georges-Louis Leclerc Comte de Buffonovi,
který se roku 1777 pokoušel odhadnout hodnotu Ludolfova
čísla náhodným vrháním jehly na linkovaný papír.
Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon(1707-1788)
2p
Historie metody Monte Carlo 3 / 34
Základem výpočtu je čtverec o straně r,
do kterého se náhodně hází malý
předmět.
Výsledný poměr počtu všech hodů a
hodů do čtvrtkruhu stanoví hodnotu
Ludolfova čísla .
Výpočet Ludolfova čísla
4
. 2
1
rS
Historie metody Monte Carlo 4 / 34
Obsah čtvrtkružnice:2
2 rS Obsah čtverce:
Poměr obou ploch:4.4
.2
2
2
1
r
r
S
S
Ludolfovo číslo je
pak rovno: 2
1.4S
S
Podobně lze stanovit hodnotu Ludolfova čísla následujícím způsobem:
První systematické využití metody
Pravděpodobně první systematické využití metody
Monte Carlo s reálnými výsledky je datováno až k roku
1930, kdy Nobelovou cenou oceněný italský fyzik
Enrico Fermi tento přístup využíval ke generování
náhodných čísel k výpočtu vlastností v té době nově
objevené částice – neutronu.
Enrico Fermi (1901-1954)
Dodnes jsou tak počátky rozvoje metody Monte Carlo
spojovány se jmény Stanislaw Marcin Ulam a John von
Neumann nebo Nicholas Metropolis.
Oba prvně jmenovaní např. s využitím metody Monte Carlo
zkoumali v americké Národní laboratoři Los Alamos
chování neutronů (jaké množství neutronů projde různými
materiály, např. nádrží vody).
Stanislaw Ulam (1909-1984)
5 / 34Historie metody Monte Carlo
První systematické využití metody
Náhodnost jevů a opakování jejich výskytu jsou identické k činnostem
prováděných v kasinech (ruleta je jednoduchý fyzikální generátor
náhodných čísel, podobně jako např. hrací kostka).
Metoda Monte Carlo hrála klíčovou roli při simulacích,
kterými se odhadovala štěpná reakce při vývoji atomové
bomby v rámci projektu Manhattan (krycí název pro utajený
americký vývoj atomové bomby za 2. světové války).
Historie metody Monte Carlo 6 / 34
Název metody pochází právě od Stanislawa Ulama, který ji pojmenoval
podle známého kasina v Monaku (Ulamův strýc zde sázel). Metoda se dříve
používala pod označením „statistical sampling“ – statistický výběr.
Autoři již pracovali v době, kdy mohly používat pro simulování náhodných
jevů jednoduché počítače.
Využití metody Monte Carlok numerickému integrování
Metoda je využívána zejména pro výpočet integrálů hustot
pravděpodobností spojitých náhodných veličin, zejména vícerozměrných,
kde běžné metody nejsou efektivní.
Metoda Monte Carlo má široké využití od simulaci náhodných experimentů
přes numerickou integraci určitých integrálů po numerické řešení
diferenciálních rovnic.
Z principů prosté simulační metody Monte Carlo vychází řada
pravděpodobnostních postupů – např. SBRA.
Historie metody Monte Carlo 7 / 34
kde N je počet náhodných experimentů (simulací, simulačních kroků,
historií) a B je konstanta, vyjadřující povahu konkrétního příkladu
Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malá
přesnost.
N
Berr
Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet
simulací alespoň o dva řády.
Princip simulačních metod typu Monte Carlo
Metoda Monte Carlo je založena na provádění náhodných experimentů s
modelem systému a jejich vyhodnocení. Výsledkem provedení velkého
množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu.
Výhody a nevýhody metody MC
8 / 34
Princip simulačních metod typu Monte Carlo
Chyba výpočtu simulací Monte Carlo
9 / 34
Při pravděpodobnostním posouzení a výpočtu pravděpodobnosti poruchy
pf závisí přesnost odhadu nejenom na celkovém počtu simulací N, ale také
na řádu určované pravděpodobnosti poruchy pf .
Variační koeficient pravděpodobnosti poruchy lze pro malé
pravděpodobnosti definovat ve tvaru:
f
ppN
vf .
1
Princip simulačních metod typu Monte Carlo
Chyba výpočtu simulací Monte Carlo
10 / 34
Např.: Pokud se bude odhad pravděpodobnosti poruchy pf pohybovat
v řádu 10-4 a výpočet byl proveden s počtem simulačních kroků N=104,
variační koeficient pravděpodobnosti poruchy se rovná:
110.10
1
44
fpv
Odhad chyby výsledné pravděpodobnosti poruchy pf je tedy 100%.
Zvýšením počtu simulací N=106 pak variační koeficient pravděpodobnosti
poruchy dosahuje příznivější hodnoty:
1,010.10
1
46
fpv
a výsledek by se neměl oproti přesnému řešení lišit o 10%.
Při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že
relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotě pravděpodobnosti.
NN XXN
X ...1
1
Lze popsat s pomocí střední hodnoty náhodné veličiny:
kde X1, X2, ..., XN představuje nekonečnou posloupnost vzájemně
nezávislých náhodných čísel s konečnou střední hodnotou .
Se zvyšujícím se počtem historií bude střední hodnota vygenerované
posloupnosti konvergovat ke střední hodnotě , což lze demonstrovat
na jednoduchém příkladu s hrací kostkou.
m
N
mnX
Princip simulačních metod typu Monte Carlo
Zákon velkých čísel
11 / 34
Zákon velkých čísel
V případě hrací kostky o šesti stranách je aritmetický průměr součtu
čísel na jednotlivých stranách roven:
5,36
21
6
654321
m
Střední hodnota vržených čísel
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
Počet hodů
Stř
ed
ní
ho
dn
ota
Vývoj vypočtené
střední hodnoty 20000
vržených čísel
Princip simulačních metod typu Monte Carlo 12 / 34
Zákon velkých čísel
Počty zastoupení jednotlivých čísel v 50000 hodech
kostkou
82068385 8223 8383 8458 8345
0
2000
4000
6000
8000
10000
1 2 3 4 5 6
Počty zastoupení vržených čísel v 50000 hodech kostkou
Princip simulačních metod typu Monte Carlo 13 / 34
Zákon velkých čísel
Procentuální zastoupení vržených čísel(celkové maximum počtu hodů 65528 je limitováno kapacitními možnostmi tabulkového procesoru Excel)
1
2
3
4
5
6
10100
100010000
5000065528
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
Pro
cen
tuáln
í zasto
up
en
í
Čís
lo
Celkový počet hodů
Procentuální zastoupení jednotlivých čísel
Princip simulačních metod typu Monte Carlo 14 / 34
MCUAU nn mod1
Princip simulačních metod typu Monte Carlo
Generátory (pseudo)náhodných čísel
Fyzikální generátory
náhodných čísel
Kongruenční generátory
pseudonáhodných čísel
15 / 34
Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel
Generování pseudonáhodných čísel s pomocí rekurentního vztahu:
MCUAU nn mod1
kde konstanty A, C, a M určují statistickou kvalitu generátoru
(žádoucí nesoudělnost A a M).
Nejpoužívanější generátory náhodných čísel, poprvé
zavedené americkým matematikem Lehmerem v roce
1948. Slouží pro generování posloupností náhodných
veličin s rovnoměrným rozdělením.
Derrick Henry Lehmer
(1905-1991)
Princip simulačních metod typu Monte Carlo 16 / 34
kde představuje střední hodnotu funkce f, vypočtenou v N náhodných
bodech.
Numerická integrace metodouMonte Carlo
Metoda Monte Carlo se využívá nejčastěji k řešení vícerozměrných
integrálů.
V
y
y
x
x
yxyxfyxyxfIh
d
h
d
...dd,...,...dd,...,
Numerické integrování s využitím metody Monte Carlo spočívá ve
stanovení hodnoty funkce f v N náhodných bodech, ležících v integrované
oblasti V .
Výsledný integrál pak lze definovat:
N
i
ifN
VfVNfI
1
..;
f
Princip simulačních metod typu Monte Carlo 21 / 34
což lze považovat za ukazatel nepřesnosti výpočtu.
Numerická integrace metodouMonte Carlo
Odchylku od střední hodnoty funkce f zachycuje směrodatná odchylka:
Podobně lze stanovit i odchylku od střední hodnoty výsledného integrálu I:
Princip simulačních metod typu Monte Carlo 22 / 34
N
ff
Nf
N
i
i
1
2
;s
N
i
iffN
VNI
1
2;s
Princip simulační metody SBRA
Generování omezených rozdělení a transformace na požadované
rozdělení
MCUAU nn mod1
Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 27 / 34
• Např. Marek a kol.
CRC Press, 1995.
• Vstupní proměnné
charakterizují
useknuté histogramy
s neparametrickým rozdělením
pravděpodobnosti.
• Analýza funkce spolehlivosti
metodou Monte Carlo.
• Spolehlivost je vyjádřena jako
pf < pd, kde pf je
pravděpodobnost poruchy,
a pd je v normová návrhová
pravděpodobnost poruchy:
pf = Σ / Σ < pd
Účinek zatížení S
Odoln
ost
R
Posudek spolehlivosti metodou SBRA
Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 28 / 34
Proměnné hodnoty zatížení, variability průřezu a pevnostní charakteristiky
Dlouhodobé nahodilé F hL1
Dlouhodobé nahodilé F hL2Stálé F hD Sníh F hSn
Krátkodobé nahodilé F hS Vítr F hS
Napětí na mezi kluzu F fy
Reprezentace náhodně proměnných
veličin histogramem s neparametrickým
(empirickým) rozdělením
pravděpodobnosti
Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 29 / 34
Náhodné veličiny
Výpočet metodou SBRA, program AntHill
Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 30 / 34
Pracovní plocha programu Anthill
Výpočet metodou SBRA, program AntHill
Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 31 / 34
Nápověda programu Anthill(tvorba matematického modelu s využitím aritmetických výrazů a funkcí)
Koncepty posudku spolehlivosti
Koncept „Design Pointu“ (PFD) Pravděpodobnostní alternativa
S
R
Rd > Sd
Rd
Sd
Pf = (modré)/(zelené) body
Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 32 / 34
Podstata metody, závěry
• Vstupní náhodné veličiny jsou vyjádřeny useknutými
histogramy s neparametrickým rozdělením
pravděpodobnosti,
• Pravděpodobnost poruchy pf je získána analýzou funkce
spolehlivosti RF (Reliability function, Safety function)
s využitím simulační techniky Monte Carlo,
• Spolehlivost je posouzena na základě nerovnosti pf < pd ,
kde pd je návrhová pravděpodobnost daná normou,
např. ČSN EN 1990,
• Výsledek se pokaždé liší, důležité zvolit dostatečný počet
simulačních kroků,
• Metoda univerzální, pro složitější výpočty málo efektivní.
Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 33 / 34
Závěry
Přednáška:
byla zaměřena na základní pravděpodobnostní metodu –
prostou simulační metodu Monte Carlo,
ukázala historii vývoje této pravděpodobnostní metody,
vysvětlila podstatu kongruenčních generátorů
pseudonáhodných čísel, které se uplatňují při výpočtu
simulační metodou Monte Carlo,
metodiku výpočtu simulační metodou Monte Carlo
demonstrovala na elementárním příkladu,
zmínila pravděpodobnostní metodu SBRA, která umožňuje
provádět pravděpodobnostní výpočty simulací Monte Carlo.Závěry 34 / 34
0
5
10
15
20
25
0 4 8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Děkuji za pozornost!
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Téma 4:Stratifikované a
pokročilé simulační metody
Přednáška z předmětu:
Spolehlivost a bezpečnost staveb
4. ročník bakalářského studia
Katedra stavební mechaniky
Fakulta stavební
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Osnova přednášky
Začlenění stratifikovaných a pokročilých simulačních metod
do přehledu pravděpodobnostních metod
Metoda Latin Hypercube Sampling – LHS
Podstata metody
Aplikace metody v programu FREET
Zadání náhodných vstupních veličin
Zadání statistické závislosti vstupních veličin
Výpočet simulací
Definice výpočetního modelu
Analýza výsledků simulačního výpočtu
Ukázky výpočtu
Hlavní rysy ostatních typů simulačních metod
Stratifikované a pokročilé simulační metody 1 / 27
Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky
Latin Hypercube Sampling – LHS Stratified Sampling - SC
Pokročilé simulační metody: Importance Sampling – IS Adaptive Sampling – AS Directional Sampling – DS Line Sampling – LS
Aproximační metody First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na
náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy
Response Surface - RS
Numerické metody Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV
Pravděpodobnostní metody
Přehlednapř. [Novák, 2005]
Metody pro pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti 2 / 27
Zdokonalené simulační metody
Klasická simulační technika Monte Carlo se často
potýká s problémem malé efektivnosti u složitějších
spolehlivostních úloh, u nichž lze provést jen omezený
počet simulací.
Další nevýhodou přímé metody Monte Carlo je potřeba
velkého množství simulací k odhadu pravděpodobnosti
poruchy pf , která je obvykle u řešených úloh velmi malá.
Východiskem jsou zdokonalené simulační metody
(stratifikované, pokročilé), které umožňují odhadnout
pravděpodobnost poruchy pf s menším počtem
simulací.
Stratifikované a pokročilé simulační metody 3 / 27
Podobně jako u klasické simulace Monte Carlo je i u metody LHS odhad pravděpodobnosti poruchy pf získán z určitého počtu realizací funkce poruchy G(X) n náhodných veličin X = X1, X2 až Xn.
Definiční obor distribuční funkce
F(Xi) každé náhodné veličiny Xi je
ale přitom rozdělen na N intervalů
(tříd) o stejné
pravděpodobnosti:
Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS
Stratifikované a pokročilé simulační metody 4 / 27
N
1
Princip LHS:
rozdělení definičního oboru
distribuční funkce náhodné veličiny
Reprezentativní hodnoty dané veličiny jsou při simulaci vybírány
na základě náhodných permutací celých čísel j = 1, 2, ... , N.
Při výpočtu je provedeno právě
N simulací, během nichž je každý
z intervalů vybrán pouze jednou.
Z každého intervalu je vybrána
buď jeho střední hodnota,
hodnota odpovídající mediánu
nebo naprosto náhodně zvolená
hodnota, ze které se na základě
inverzní distribuční funkce
F-1Xi (Xi) určí odpovídající
reprezentativní hodnota xi,j
náhodné veličiny Xi.
Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS
Stratifikované a pokročilé simulační metody 5 / 27
Tímto způsobem lze zajistit, že se při simulacích rovnoměrně
pokryje celý rozsah distribuční funkce náhodné veličiny, což vede
k uspokojivým odhadům výsledných pravděpodobností při
relativně malém počtu simulací.
Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS
Stratifikované a pokročilé simulační metody 6 / 27
Při pravděpodobnostních výpočtech metodou LHS je
možno zadat statistickou závislost jednotlivých vstupních
veličin pomocí korelační matice, která obsahuje korelační
koeficienty mezi jednotlivými náhodnými veličinami.
Při výpočtu se pak iteračně (např. metodou simulovaného
žíhání) upraví (přeuspořádá) obsah tzv. tabulky náhodných
permutací (obsahuje N řádků s příslušnými
vygenerovanými hodnotami simulací j = 1, 2, ... , N a n
sloupců pro každou náhodnou veličinu X1, X2, ... , Xn) tak,
aby se korelační matice výsledných náhodných veličin co
nejvíce blížila korelační matici zadané.
Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS
Stratifikované a pokročilé simulační metody 7 / 27
Víceúčelový Pravděpodobnostní Software pro statistickou,
citlivostní a spolehlivostní analýzu.
Vyvíjen na Ústavu
stavební mechaniky
Fakulty stavební
VUT v Brně.
Verze 1.5
Demo verze ke stažení
na http://www.freet.cz .
Software Freet(Feasible Reliability Engineering Tool)
Stratifikované a pokročilé simulační metody 8 / 27
Freet: zadávání vstupních veličin
Stratifikované a pokročilé simulační metody 9 / 27
Freet:
zadání náhodné
proměnné s
parametrickým
rozdělením
pravděpodobnosti.
Možnost výběru
z databáze
parametrických
rozdělení a
zadáním
konkrétních hodnot
statistických
momentů dané
náhodné veličiny
Freet: typy parametrických rozdělení
• Deterministic
• Normal
• Lognormal (2par)
• Lognormal (3par)
• Weibull min (2par)
• Weibull min (3par)
• Weibull max (2par)
• Weibull max (3par)
• Raileigh
• Raileigh negative
• Beta (4par)
• Gamma (2par)
• Gamma negative (2par)
• Gamma (3par)
• Gamma negative (3par)
• Exponential
• Exponential negative
• Gumbel min EV I
• Gumbel max EV I
• Rectangular
• Triangular
• Laplace
• Pareto
• Logistic
• Half-Normal
• Half-Normal negative
• Beta
• Student t
Stratifikované a pokročilé simulační metody 10 / 27
Freet: zpracování naměřených dat
Stratifikované a pokročilé simulační metody 11 / 27
Výběr vhodného
parametrického
rozdělení ze
zadaných
naměřených
hodnot
Freet: zadání korelační matice
Stratifikované a pokročilé simulační metody 12 / 27
Korelační
koeficienty:
0 .. statistická
nezávislost
0< .. statistická
závislost
Freet: generování simulací
Stratifikované a pokročilé simulační metody 13 / 27
Freet:
Iterační
přeuspořádání
obsahu tzv. tabulky
náhodných
permutací
metodou
simulovaného
žíhání
Freet: generování simulací
Stratifikované a pokročilé simulační metody 14 / 27
Freet:
Rozčlenění
každého rozdělení
pravděpodobnosti
na N intervalů
(tříd) o stejné
pravděpodobnosti
Freet: generování simulací
Stratifikované a pokročilé simulační metody 15 / 27
Freet:
Ukázka
vygenerovaných
simulací dvou
náhodných
proměnných, které
jsou statisticky
nezávislé
Freet: generování simulací
Stratifikované a pokročilé simulační metody 16 / 27
Freet:
Ukázka
vygenerovaných
simulací dvou
náhodných
proměnných, které
jsou statisticky
závislé (95 %)
Freet: generování simulací
Stratifikované a pokročilé simulační metody 17 / 27
Freet:
Tabulka
vygenerovaných a
přeuspořádaných
náhodných
permutací
Freet: generování simulací
Stratifikované a pokročilé simulační metody 18 / 27
Freet:
Definice
výpočetního
modelu a dosazení
vygenerovaných
permutací do
tohoto modelu
Freet: generování simulací
Stratifikované a pokročilé simulační metody 19 / 27
Freet:
Výsledný odhad
rozdělení
pravděpodobnosti
funkce
spolehlivosti,
odhad
pravděpodobnosti
poruchy pf
pf = 0,0000575 < pd = 0,0000720
nosný prvek vyhoví – třída následků RC2/CC2
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu
Posuzovanou konstrukcí je železobetonová klenba zasypávané
části silničního tunelu.
Stratifikované a pokročilé simulační metody 20 / 27
Schéma řešené konstrukce klenby tunelu
Posuzovaná část
(vrchol klenby)
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu
Stratifikované a pokročilé simulační metody 21 / 27
q=146 kN/m
q=71 kN/m
q=146 kN/m
q=71 kN/m
q=142 kN/m
q=36 kN/m
q=21 kN/m
q=36 kN/m
q=21 kN/m
q=+10° C q=+10° C
Zatěžovací údaje – rozhodující kombinace
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu
Stratifikované a pokročilé simulační metody 22 / 27
1 2
3
4
1 23 4
5
6 7 8 91
0
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22 23
24
25
26
27282930313233343536
373839404142
434445464748
4950515253545556
5758
59 6061 62 6
3 64 65 66 6
768
69 70 71 72 73
74
75
76 77
78 79
80
81
82
83
84
85
86 87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110111
112113114
115116117118119120121122
123124125126127128
129130131132133134135136137138139
1
2
3 4 5 6
7
8
9
10
11
12
1314151617
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29 30
31321 2
3 4
5 6
7 89
10
11
12
13
14
1516
17
18
19
20
21
2223
24
25 26
27
31
1
2
3
4
56 78
91011 12
1
4
5
6
78 910
111213 14
15
1
2 3
4
5
6 7
8
X
Y
Kontaktní pružiny
Přechodové prvky
Statický model
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu
Stratifikované a pokročilé simulační metody 23 / 27
LSF Eps beton 3 (tlačený)
0.0032 0.00325 0.0033 0.00335 0.0034 0.00345 0.0035 0.00355
Mean
Std Std
5e+003
1e+004
1.5e+004
2e+004
Pravděpodobnost překročení limitního přetvoření tlačeného betonu činí ~10-42
Rozhodující kritéria
• Průhyb ve vrcholu
• Přetvoření tlačené oceli
• Přetvoření tlačeného betonu
• Přetvoření tažené oceli
Dosažené výsledky, přetvoření tlačeného betonu
Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu
Stratifikované a pokročilé simulační metody 24 / 27
Metoda Importance Sampling
Generování náhodných veličin se provádí odlišným způsobem, než je tomu u klasické metody Monte Carlo.
Simulace jsou koncentrovány do oblasti poruchy Df , abyk záporné hodnotě funkce poruchy G(X) < 0 náhodných veličin X = X1, X2, ... Xn záměrně docházelo velmi často.
Oblast, která při simulacích nejvíce přispívá k pravděpodobnosti poruchy pf , leží v blízkosti návrhového bodu. Ten je definován jako bod, ležící na hranici poruchy G(X) = 0 s minimální vzdáleností od počátku souřadnic v normalizovaném prostoru náhodných veličin.
Do výpočtu vstupuje k tomuto účelu vhodně zvolená váhová funkce hY(X). Simulace pak probíhá v poněkud rozdílném prostoru než u klasické metody Monte Carlo, kde se odhadpravděpodobnosti poruchy pf blíží její střední hodnotě.
Stratifikované a pokročilé simulační metody 25 / 27
Metoda Importance Sampling
Odhad pravděpodobnosti poruchy pf při simulaci typu Importance
Sampling se dá pro N simulací vyjádřit vztahem:
kde
Tímto způsobem lze určit dostatečně přesný odhad i velmi malé
hodnoty pravděpodobnosti poruchy pf s relativně malým počtem
simulací
(N se pohybuje řádově v tisících).
Stratifikované a pokročilé simulační metody 26 / 27
N
i Y
XGf
h
ff
Np
1 i
iX
X
X.
1
0X pro
0X pro
0
1X
G
GfG
Závěry
Přednáška:
byla zaměřena na zdokonalené simulační metody, které
oproti klasické simulační metodě Monte Carlo vykazují větší
efektivitu výpočtu a umožňují tak pravděpodobnostně řešit
složitější spolehlivostní úlohy,
představila programový systém Freet, který k odhadu
pravděpodobnosti poruchy pf využívá stratifikovanou
simulační metodu Latin Hypercube Sampling – LHS,
nastínila podstatu řešení pokročilou simulační metodou
Importance Sampling.
Závěry 27 / 27
Xlimit 1
100 200 300 400 500 600 700 800
Mean
Std Std
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Děkuji za pozornost!