náhodný jav a náhodná veličina
DESCRIPTION
Náhodný jav a náhodná veličina. Vlastnosti NV Diskrétna a spojitá NV. Náhodný jav. charakterizuje výsledok náhodného pokusu kvalitatívne – slovne, alebo kvantitatívne – číselne. Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu ( x i ). Náhodná veličina (NV). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Náhodný jav a náhodná veličina
Vlastnosti NV
Diskrétna a spojitá NV
2
Náhodný jav
charakterizuje výsledok náhodného pokusu kvalitatívne – slovne,
alebo kvantitatívne – číselne.
Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu (xi )
3
Náhodná veličina (NV)
Je určená výsledkom náhodného pokusu
Charakteristickým znakom je jej premenlivosť pri opakovaní pokusu
Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo hodnoty z rôznych intervalov
Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
4
Diskrétna NV
Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu
Izolované, väčšinou celočíselné hodnoty
5
Príklady na diskrétnu NV
Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV, ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100
Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet, závisí od kapacity skladu)
Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je to vždy obmedzený počet)
Odmeraný smer na stanovisku Adičná konštanta a pod.
6
Spojitá náhodná veličina
Hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný.
7
Príklady na spojitú NV Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom
chyba, ktorej sa pri meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek hodnoty z intervalu ±5 mm
Doba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty
Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metre
Dĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)
8
Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(xi)
Zákon rozdelenia NV
9
matematickým vzorcom distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej NV
grafom na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny x i a na osi y sú jej
príslušné pravdepodobnosti P(xi)
pravdepodobnostnou tabuľkou u diskrétnej náhodnej veličiny
Popis zákona rozdelenia pravdepodobnosti NV
10
Distribučná funkciaSlúži k popisu diskrétnej aj spojitej NVKaždému reálnemu číslu priraďuje
pravdepodobnosť, že náhodná veličina x nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo
Distribučná funkcia spojitej NV
) ( )( ii xxPxF
dxxxFx
)(
11
Vlastnosti distribučnej funkcieDistribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1
vrátane
Distribučná funkcia je neklesajúca
Distribučná funkcia je spojitá zľava
Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky
)()0( ixxPxF
1)(0 xF
0 )(F
1)(F
)()(x 2121 xFFxx
)()0( xFxF
12
Graf distribučnej funkcie
Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností
13
Výpočet kumulatívnej početnosti (pravdepodobnosti)
r f (%) r f Ft Ft*100
1 -0.456 0 0.0 0 0.0 0.0002 0.02
2 -0.391 1 0.4 1 0.4 0.0013 0.13
3 -0.326 2 0.9 3 1.3 0.0062 0.62
4 -0.261 5 2.2 8 3.5 0.0228 2.28
5 -0.196 8 3.5 16 7.0 0.0668 6.68
6 -0.130 13 5.7 29 12.6 0.1587 15.87
7 -0.065 38 16.5 67 29.1 0.3085 30.85
8 0.000 44 19.1 111 48.3 0.5000 50.00
9 0.065 55 23.9 166 72.2 0.6915 69.15
10 0.130 28 12.2 194 84.3 0.8413 84.13
11 0.196 24 10.4 218 94.8 0.9332 93.32
12 0.261 7 3.0 225 97.8 0.9772 97.72
13 0.326 2 0.9 227 98.7 0.9938 99.38
14 0.391 2 0.9 229 99.6 0.9987 99.87
15 0.456 1 0.4 230 100.0 0.9998 99.98
14
Symbolika
– triedny interval r – skutočné početnosti f (%) – relatívne početnosti
n – počet hodnôt r – kumulatívne početnosti f – kumulatívne relatívne početnosti Ft – teoretická distribučná funkcia
Ft*100 – kumulatívne pravdepodobnosti
100% n
rf
15
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
F(x)
x
x
Graf distribučnej funkcie
diskrétnej NV spojitej NV
16
Pravdepodobnostná tabuľkaPopisuje len diskrétnu náhodnú premennúJe najjednoduchšou formou zákona rozdelenia
Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti
xi x1 x2 ... xnSpolu
P(i) P(1) P(2) ... P(n) 1
17
Pravdepodobnosť diskrétnej NVSúčet pravdepodobností je rovný 1
Pravdepodobnosť je určená vzťahom
Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny v intervale je daná vzťahom
1)( ixP
)()()( 1221 xFxFxxxP
ixx
iii xPxFxxP )()()(
18
Hustota pravdepodobnosti (x)
zobrazuje sa frekvenčnou krivkou popisuje rozdelenie spojitej NV má podobné vlastnosti ako pravdepodobnosť
pri diskrétnej veličine
x
xFxxF
dx
xdFxFx
x
)()(lim
)(0
19
Vlastnosti hustoty pravdepodobnosti
1. Je nezáporná
2. Spĺňa vzťah
3. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>
0x
1
dxx
dxxxxxPx
x
2
1
21
20
Distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti
21
Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličínPopisujú hlavné vlastnosti NV Charakteristiky polohy Charakteristiky premenlivosti Charakteristiky šikmosti Charakteristiky špicatosti Momentové charakteristiky
Charakteristiky náhodných veličín
22
Charakteristiky polohy
Stredná hodnotaMediánModusHarmonický priemerGeometrický priemerAritmetický priemerKvadratický priemer, ...
23
Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého rozdelenia
Stredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny
Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny
ix
ii xPxxE )(.)(
dxxxxE )(.)(
Stredná hodnota
24
Vlastnosti strednej hodnoty
Súčin konštanty a NV
Súčet dvoch náhodných veličín x a y
Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín
)(.).( xEkxkE
)()()( yExEyxE
)().().( yExEyxE
25
Medián
je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny na dve rovnako pravdepodobné polovice
5,0)()( medmed xxPxxP
26
Modus
pri diskrétnej NV je to hodnota s najväčšou početnosťou
27
Aritmetický priemer
je to zvláštny prípad strednej hodnoty
Všeobecný aritmetický priemer
(vážený aritmetický priemer)
n
xxxx
nx i
nAP 21
1
i
iinn
iVAP p
xpxpxpxp
px 2211
1
28
Harmonický priemer
je to zvláštny prípad strednej hodnoty recipročných hodnôt
Príklad: priemerná rýchlosť
nHP xxxnx11111
21
29
Geometrický priemer
Príklad: finančný prírastok
nnGP xxxx .. 21
30
Kvadratický priemer
Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej energie
nxxx
x nQ
222
21
31
Momentové charakteristiky
Počiatočný moment k-teho rádu
Centrálny moment k- teho rádu
kk xE
kkk xExExE 1
32
Momenty diskrétnej náhodnej veličiny
)(xPxkk
x
kk xPxEx )(
33
Momenty spojitej náhodnej veličiny
dxxxEx kk )()(
dxxxkk )(
34
Charakteristiky premelivosti
VarianciaStredná kvadratická odchýlkaPriemerná odchýlkaPravdepodobná odchýlka
35
je mierou variability náhodnej premennej
je definovaná ako druhý centrálny moment
222 )()()()( xExExExExV
n
iii xPxExxV
1
2 )(.)()(
dxxxExxV i )()()( 2
Variancia (rozptyl, disperzia)
36
Vlastnosti variancie
Variancia konštanty
Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny
Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV
0)( kV
)().( 2 xVkxkV
)()()( yVxVyxV
37
Stredná kvadratická odchýlka
Základná charakteristika premenlivosti
Smerodajná odchýlka, štandardná odchýlka
)(xV
38
Priemerná lineárna odchýlka od strednej hodnoty
Prvý absolútny centrálny moment
V prípade skutočnej chyby v základnom súbore
hovoríme o priemernej lineárnej chybe
)(1 xExE
E
lL
39
Pravdepodobná odchýlka od strednej hodnoty
medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty
V prípade skutočnej chyby v základnom súbore hovoríme o pravdepodobnej chybe
5,0)()( xExrPxExrP
5,0 rPrP
40
Normovaná náhodná veličina
Štandardizovaná veličina
Stredná hodnota normovanej veličiny
Variancia normovanej veličiny
)(xEx
u
0)( uE
1)( uV
41
Charakteristiky šikmosti
Tretí normovaný moment Koeficient šikmosti
Symetrické rozdelenie
33
3
3
3
)()(
xExEtA
0)(3 t
42
Charakteristiky špicatosti
Štvrtý normovaný moment
Koeficient špicatosti
Pre normálne rozdelenie je rovný 0Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako
normálne
44
4
4
4
)()(
xExEt
33)( 44
4 tE