la cinemática de la partícula
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LA CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
MOVIMIENTOS SIMPLES
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ÍNDICE
Introducción………………………………………………………………………3
Sistemas de referencia………………………………………………………....4
El vector desplazamiento……………………………………………………....5
Las ecuaciones del movimiento…………………………..............................8
La velocidad…………………………………………………………………….11
La aceleración………………………………………………….......................14
Las componentes intrínsecas de la aceleración……………………………16
El movimiento rectilíneo…………..............................................................21
El mov. rectilíneo y uniforme………...........................................................22
El mov. rectlilíneo uniformemente variado……………………………….....26
Movimiento con aceleración constante……………………………………...32
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Introducción
La Cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el
movimiento sin hacer referencia a las causas que lo originan.
En el estudio de la Cinemática del punto material, el cuerpo móvil
se representa con punto, haciendo así, abstracción de su forma.
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Sistemas de referencia
Se dice que una partícula o punto material se mueve cuando ocupa
posiciones diferentes en el tiempo. Las diversas posiciones que ocupa
la partícula se determinan con respecto a un sistema de referencia
previamente elegido .
Se denominan sistemas de referencia inerciales a los que,
convencionalmente, suponemos fijos o aquellos que se desplazan con
un movimiento rectilíneo uniforme.
(0; , , )i j k
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El vector desplazamiento
2 1
2 1
:
:
r r r
r vector de posición
s s s
s espacio
s
r
OO
O
En general:
r s
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r s
en el movimiento rectilíneo.
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Ejercicio 1:
Una persona recorre 30 m hacia el norte, después 40 m hacia el este, y
por último recorre 60 m hacia el sur. Determina la trayectoria, el
desplazamiento en cada etapa y el desplazamiento total, el espacio
recorrido, la posición final y la distancia al origen en dicha posición.
Solución:
30 ( ) , 40 ( ) , 60 ( )
40 30 ( ) , 130
(40 30 ) , 50
OA AB BC
C C
r j m r i m r j m
r i j m s m
r i j m d r m
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Las ecuaciones del movimiento
El vector de posición de la partícula depende del tiempo y a
esta relación se le llama ecuación del movimiento.
Las igualdades x = f(t), y = u(t), z = v(t) constituyen las
ecuaciones paramétricas del movimiento. A partir de las
mismas se obtiene la ecuación de la trayectoria de la
partícula.
Asimismo, s también es función del tiempo y la relación
s = s(t) se denomina ecuación intrínseca del movimiento.
( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z y k
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Ejercicio 2:
Un movimiento plano referido a unos ejes (0,X,Y) fijos,
queda descrito por las ecuaciones paramétricas:
e y = t 2 - 1. Hallar la ecuación de la
trayectoria.
Solución:
2 1 1 4 51 2
2 2 2
2 5 :
y y yt y x
y x una recta
2
x 2 2
t
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Ejercicio 3:
En un movimiento sobre el plano XY, la ecuación que
expresa dicho movimiento es:
a) Calcula la ecuación de la trayectoria.
b) Dibuja en una hoja de papel milimetrado la ecuación
de la trayectoria para el intervalo de tiempo
comprendido entre los instante t = 0 s y t = 7 s.
22 (160 4 )r t i t j
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La velocidad
• La velocidad media entre dos instantes es el cociente entre el
vector desplazamiento y el tiempo transcurrido:
Se trata de un vector de la misma dirección y sentido que el vector
desplazamiento.
• La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando
el intervalo de tiempo tiende a cero:
m
rv
t
0lim
t
r d rv
t d t
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La velocidad instantánea es
un vector tangente a la
trayectoria, en el punto
donde se encuentra el
móvil. Su sentido es el del
movimiento.
Podemos expresar también como
Siendo la celeridad o rapidez y un vector unitario y
tangente a la trayectoria, en el sentido de las s crecientes.
v v v
d s
vd t
v
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Ejercicio 4
El vector de posición expresado en el S.I. de unidades de una lancha
viene dado por:
Calcula:
a) Los módulos de los vectores de posición para t = 1s y t = 2s.
b) El desplazamiento en ese intervalo.
c) El vector velocidad media y su módulo.
d) El vector velocidad instantánea a los 3 s y su módulo.
e) La ecuación de la trayectoria.
0,2 0,75r t i t j
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La aceleración
• La aceleración media es
el cociente entre la
variación de la velocidad y
el tiempo empleado en
dicha variación:
Se trata de un vector cuya
dirección y sentido
coinciden con los del
vector
m
va
t
v
1v
2vma
v 1v
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• La aceleración instantánea es el límite de la
aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a
cero:
ax, ay, az son las componentes cartesianas de la
aceleración.
0lim
t
v d va
t d t
( ) ( ) ( )x y za a t i a t j a t k
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Las componentes intrínsecas de la aceleración
a
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Consideremos una partícula que describe una trayectoria curva plana.
En el tiempo t, la partícula se encuentra en A con la velocidad v y la
aceleración a.
Recordemos que , siendo u t un vector unitario en la
dirección tangente a la trayectoria en el punto A y del mismo sentido
que v.
Por consiguiente:
tv v u
tt
d v d ud va u v
d t d t d t
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Por otro lado se demuestra que:
Siendo un vector unitario en la dirección normal a la trayectoria
en el punto A y orientado hacia el centro de curvatura C.
Si en un tiempo dt, el móvil puntual pasa de A a A´, las normales a la
curva en A y A´ se intersectan en C
ρ es el radio de curvatura, es decir la distancia AC.
tn
vd uu
d t
nu
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Por consiguiente vemos que:
La aceleración queda así expresada por dos componentes, la
tangencial y la normal o centrípeta. La primera está
relacionada con la variación del módulo de la velocidad, mientras
que la segunda, lo está con el cambio en la dirección de la
misma.
Evidentemente: y
Se llega a los mismos resultados para cualquier trayectoria,
aunque no sea plana.
2
t n t t n n t n
d v va a a a u a u u u
d t
2 2
t na a a n
t
aarctg
a
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Ejercicio 5
La ecuación del movimiento de un móvil es:
Calcular el módulo de y y las componentes intrínsecas de la
aceleración en el instante t = 2 . Calcular asimismo el radio de
curvatura en dicho instante.
2(4 7) (1,5 14) ( )r t i t j m
v a
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El movimiento rectilíneo
Adoptaremos como eje X, la recta sobre la que se desplaza el móvil. En
ese caso los vectores de posición, velocidad y aceleración serían:
En un determinado instante, se dice que un movimiento es acelerado o
retardado, según aumente o disminuya el módulo de su velocidad. Si la
velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, el movimiento es
acelerado, en caso contrario es retardado.
,
(¡ !: )
x xr x v v i v i a a i a i
d x d vv y a cuidado v v y a a
d t d t
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El movimiento rectilíneo y uniforme
En este movimiento el vector permanece constante en el tiempo.
Si representamos x = f(t), obtenemos una recta cuya pendiente es v:
00 0 0 0
0
.
( ) ( )m
Como v v const
r rrv v r r v t t x x v t t
t t t
0 0 0 0( ) ,x x vt vt x vt x vt
siendo v la pendiente y el paréntesis la ordenada en el origen
v
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xv tg
t
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Las gráficas v-t son siempre rectas horizontales. Vemos que el área
limitada por esta gráfica, las ordenadas final e inicial y el eje de
tiempos nos indica el desplazamiento.
Esta propiedad se va a cumplir en cualquier tipo de movimiento.
Área A = v (t – to) = x – x0
En este movimiento a t y a n son nulas ( ρ = ∞ )
A
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Ejercicio 6
Dos punto P y Q distan 300 m. De P sale un móvil y se dirige
hacia Q a 15 m/s. Otro móvil sale de Q, 4 s más tarde, y se dirige
hacia P a 25 m/s. Determina numérica y gráficamente el instante y
la posición en que se cruzan.
Solución: t = 10 s; x (10) = 150 m
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El mov. rectilíneo uniformemente variado
0
0
0 0 0 0
.
( ) ( ) (1)
m
v vva a i const a a
t t t
v v a t t v v a t t
Vemos que la función v(t) es una función afín y por tanto la
gráfica v - t es una recta de pendiente a.
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va tg
t
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Por la propiedad de las áreas
podemos deducir la expresión de
x en función del tiempo:
2
0
2
0 0
1
2
1(2)
2
x Área A Área B v t a t
x x v t a t
Si despejamos Δt de la ecuación (1) y sustituimos en la ecuación (2),
obtenemos una 3ª ecuación:
2 2
0 02 ( )v v a x x
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X0
X X
Y Y
Si representamos x = f(t), obtenemos una parábola:
En este movimiento at es constante y an = 0
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Ejercicio 7
Un móvil se desplaza en línea recta. Al empezar a contar el tiempo,
cuando pasa por el origen del sistema de referencia, su velocidad
viene dada por la siguiente ecuación: v = 40 – 5 t.
Determina:
a) El instante en el que la velocidad es cero.
b) La ecuación del movimiento.
c) El instante en el que el móvil vuelve a pasra por el origen del
sistema de referencia?
d) La velocidad, el desplazamiento y la distancia recorrida al cabo de
16 s.
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Ejercicio 8
Un vehículo que circula 50 km/h se ve obligado a frenar cuando una
niña se cruza en su recorrido para coger una pelota. El conductor tarda
en reaccionar 0,9 s y la aceleración de frenado es de - 3,75 m/s2.
¿Qué distancia recorre el vehículo desde que el conductor lo ve hasta
que se para el automóvil?
Solución: 25,6 2m
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Movimiento con aceleración constante
0 0
2
0 0 0 0
( )
1( ) ( )
2
v v a t t
r r v t t a t t
• Si no tienen la misma dirección, el móvil
describe una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al vector
aceleración. En este caso el movimiento es parabólico.
• Si tienen la misma dirección, el movimiento
es rectilíneo.
0 00v y v y a
0 00v o v y a
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En la caída libre , siendo g positiva o negativa,
dependiendo de si tomamos como sentido positivo en el eje vertical, el
ascendente o el descendente.
A nivel de mar :
Ejercicio 9 (caída libre)
Se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 23 m un cuerpo con
una velocidad de 6 m/s. Calcula:
a) La altura máxima que alcanza
b) El tiempo que tarda en llegar al suelo.
c) La velocidad con que toca el suelo.
Solución: a) y máx = 24,83 m b) t = 2,86 s c) v = - 22,07 m/s < 0
a g g j
29,8
mg
s
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Ejercicio 10
Desde un punto del suelo se lanza un cuerpo A verticalmente hacia
arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. Desde otro punto, situado a
70 m más arriba sobre la misma vertical, 2 s más tarde, se deja caer
otro cuerpo B sin velocidad inicial. Suponiendo que la resistencia del
aire es despreciable, determinar:
a) Las ecuaciones de los movimientos de ambos móviles.
b) La altura a la que chocarán ambos cuerpos.
c) Sus velocidades en el instante del choque.
Solución: b) 25m ; c) VA = - 20 m/s , VB = - 30 m/s
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Las gráficas del movimiento
La caída libre
Las gráficas de la caída libre
Enlaces de interés
Nuria López Varela
I.E.S Fernando VI