la circunferencia melanie gonzalez
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Origen de los conceptos de Área y Perímetro:
La geometría fue descubierta en Egipto, teniendo su origen en la medición de áreas ya que esta era una
necesidad para los egipcios debido a que la crecida anual del río Nilo inundaba los campos. Esto generaba
varios problemas como, por ejemplo, que debido a que la tierra se distribuía entre los egipcios en terrenos
rectangulares iguales, por los que pagaban un impuesto anual, cuando el río inundaba parte de su tierra, el
dueño pedía una deducción proporcional en el impuesto, y los agrimensores de aquel tiempo tenían que
certificar que tal fracción de tierra había sido inundada. El otro problema surgía cuando el agua volvía a su
cauce, ya que la crecida se llevaba las señales que indicaban los límites del terreno de cada egipcio, luego era
necesario calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites. Además de eso, el cálculo del
área aporta información respecto a cómo podemos sembrar dicho campo o qué cantidad de fertilizante utilizar.
Debido a esto, la palabra Geometría viene del griego geo, que significa "tierra", y metrein, que significa "medir",
y es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.
La palabra perímetro proviene del latín perimetros, que se refiere al contorno de una superficie o de una figura
y a la medida de ese contorno. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por
lo que en la antigüedad resultaba de gran utilidad, por ejemplo, para calcular la cantidad de material que se
necesitaba para alambrar un campo.
El perímetro y el área son dos elementos
fundamentales en matemáticas. Para ayudarte
a cuantificar el espacio físico y también para
proveer las bases de matemáticas más
avanzadas como en el álgebra, trigonometría,
y cálculo. El perímetro es una medida de la
distancia alrededor de una figura y el área nos
da una idea de qué tanta superficie cubre
dicha figura.
El conocimiento del área y el perímetro lo
aplican muchas personas día con día, como
los arquitectos, ingenieros, y diseñadores
gráficos, y es muy útil también para la gente
en general. Entender cuánto espacio tienes y
aprender cómo conjuntar figuras te ayudará
cuando pintas tu cuarto, compras una casa,
remodelas la cocina, o construyes un
escritorio.
EJERCICIO RESUELTO
Uno de los catetos y la hipotenusa de cierto triángulo rectángulo miden 6 cm y 10 cm
respectivamente. Un rectángulo de 3 cm de ancho tiene igual área que dicho triángulo. ¿Cuál es el
perímetro de este rectángulo?
A) 11 cm
B) 16 cm
C) 22 cm
D) 24 cm
E) 30 cm
Solución:
Primero dibujamos el triangulo rectángulo con sus respectivas dimensiones:
Luego, obtenemos el otro valor del cateto, ya que la necesitaremos para obtener el área de nuestro
triangulo.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2+b
2=c
2
62+ x
2 = 10
2
X2 = 100 -36 =
= 64 / √
6 cm 10 cm
X
X = 8
Por lo tanto, el valor del otro cateto es 8 cm
Aplicando la fórmula de Área de un triángulo rectángulo, se tiene:
Área = (a * b) / 2
Área = (8 * 6) / 2
Área = 24 cm2
Por lo tanto, el área del rectángulo será 24 cm
Ahora obtenemos el largo del rectángulo, despejándolo de la siguiente fórmula
Área = a * b
24 = 3 * b
b = 24/3
b = 8 cm
Por lo tanto, el perímetro del rectángulo
Perímetro = 2a + 2b
= 2*8 + 2*3
Perímetro = 22 cm
La alternativa correcta es la D)
3 cm
Fig. 1
EJERCICIO PROPUESTRO
En la figura 1, ABCD se ha dividido en rectángulos y en un cuadrado. ¿Cuál de las siguientes
expresiones representa el área de la región achurada?
A) (x + a) (x + a)
B) x(x + a)
C) (x + a) (x - a)
D) (x + a) (x - a) - (ax + a2)
E) x2
EJERCICIO RESUELTO
El área de un rectángulo es 2x2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide:
A) (x + 8)
B) 2(x + 8)
C) 2(x - 4)
D) 2(x - 3)
E) 2(x + 4)
SOLUCIÓN:
El área de un rectángulo se define como:
Área = a * b
Reemplazando, se obtiene:
2x2 + 2x – 24 = (x - 3) * b
Despejando se tiene:
b = (2x2 + 2x – 24) / (x - 3)
Arreglando un poco lo obtenido, podemos decir que:
b = (2x + 8) (x - 3) / (x – 3)
b = 2x – 8
b = 2 (x – 4)
Por lo tanto, la respuesta correcta es la C
2x2 + 2x - 24 (x - 3)
B
EJERCICIO PROPUESTO
Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?
A) d2
B) d2/2
C) d2/4
D) d2/8
E) d2/16
EJERCICIO RESUELTO
En el triangulo isósceles de la base AB = de la figura 2, si CA/AB = 5/6 y AB = 18 cm, entonces el
perímetro y área del triangulo ABC son respectivamente:
A) 39 cm y 108 cm2
B) 48 cm y 72 cm2
C) 48 cm y 108 cm2
D) 48 cm y 216 cm2
E) 58 cm y 108 cm2
SOLUCIÓN
Primero debemos sacar las dimensiones del triángulo con los datos que nos entrega el problema:
Sabemos que:
CA/AB = 5/6
6 CA = 5 AB
CA = (5 * 18) / 6
CA = 15 cm
Por lo tanto nuestro triángulo queda de la siguiente forma:
A
C
B 18 cm
A B
C
18 cm
15 cm 15 cm
Ahora debemos sacar la altura del triangulo, para poder
determinar el área:
Aplicando Pitágoras: a2+b
2=c
2
92 +b
2 = 15
2
b2
= 144
b = 12
Por lo tanto el área es: (12 * 18) / 2
Área = 108 cm2
Y el perímetro es la sumatoria de todos los lados:
Perímetro = 15 + 15 + 18
Perímetro = 48 cm
Por lo tanto la respuesta correcta es la C