La Influencia de la Estabilidad Estática en las acciones del piloto

Capitulo 6

Hemos visto que un avión estable con el elevador fijo, CMG es una función lineal de CL con pendiente negativa en el punto A donde CMG es igual a 0 Fig. 6.2 eta1. Entonces el avión esta ajustado a ese específico CL con un ángulo del elevador eta1.

Consideraremos la relación entre el ángulo del elevador eta y CL en el cual el avión volará en equilibrio.

La ecuación (5.24) es la que regula esta condición en la cual todas las cantidades del lado derecho son fijas excepto para CL y eta. Combinándola con la ecuación (5.7) se puede escribir.

CMG = CMo – CL×Kn – Vt× (a1×etat + a2×eta + a3×beta) (6.1)

La figura (6.2) representa la variación de CMG con eta y el avión estaría ajustado a los correspondientes CL en los puntos A, B y C para los ángulos del elevador eta1, eta2 y eta3.

Avión ajustado (trim) a CMG = 0 y eta para ajustar a un determinado CL, etatr, se calcula haciendo (6.1) = 0.

(6.2)

Esta ecuación define el rango del elevador que permite ajustar el avión sobre un rango de CL y margen estático Kn. De la Fig. 6.2 se pueden plotear los ángulos de ajuste vs. el correspondiente CL, obteniéndose una línea recta cuya ecuación es (6.2) y se muestran en la Fig. 6.3. Debe recordarse que para un avión estáticamente estable Kn > 0, por lo tanto la pendiente es negativa y esta dada por:

(6.3)

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También de la ecuación (6.2), si la curva etatr-CL se extrapola para CL = 0, el correspondiente ángulo del elevador, etao, es independiente de Kn, así:

(6.4)

Si las curvas ajustadas como las de la Fig. 6.3 se dibujan para diferentes valores de Kn, estas pasarán a través del mismo punto cuando son extrapoladas para CL = 0 (ver Fig. 6.4).

Para obtener la ecuación (6.3) se supone que el avión se comporta estrictamente de acuerdo a las condiciones iniciales y en particular las curvas ajustadas (trim) son lineales y el margen estático Kn es constante para una posición dada del c.g. Esto también se puede demostrar, sin hacer tales consideraciones.

Se puede llegar a la conclusión de que

Esto es

= [ec (6.3)] (6.10)

La generalidad de este resultado es importante, ya que descansa en la definición de margen estático y también tomando a2 y Vt apropiadamente de manera que prevalezcan las condiciones de vuelo.

Las consecuencias de la ecuación (6.10) son percibidas por el piloto, como una variación de la posición del bastón de mando con la velocidad. Esto se demostrará en el siguiente análisis:

Escribiendo: (6.11)

Para un avión en vuelo recto nivelado a una velocidad equivalente Vi,

(6.13)

Sustituyendo (6.10) y (6.13) en (6.11)

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(6.14)

Haciendo la relación de comando bastón-elevador igual a me radianes por ft de desplazamiento del mango del elevador, entonces

, (6.15)

Xs es el deslazamiento del bastón, siendo positivo cuando se aleja del piloto. La pendiente de la curva posición del bastón vs. velocidad equivalente es por lo tanto,

(6.16)

En el caso simple, cuando las cantidades son todas constantes, la variación de la posición del bastón para un rango de velocidad, se puede encontrar desde las ecuaciones (6.2), (6.12) y (6.15).

(6.17)

Uno debería esperar, que diferenciando esta ecuación, conduce al mismo resultado de la ecuación (6.16) y haciendo Vt tender a infinito (que corresponde cuando CL 0) conduce al valor correspondiente a etao dado en la ecuación (6.4).

La variación de la posición del bastón con la velocidad será como la mostrada en la Fig. 6.5. Esta figura muestra como un avión estáticamente estable con elevador (bastón) fijo, es volado en una serie de condiciones en equilibrio, que corresponden a progresivos aumentos de velocidad.

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Ángulos de la aleta del elevador (tab) para ajustar el vuelo.

La teoría anterior asume que la posición del tab del elevador beta, permanece fija mientras el avión vuela a diferentes velocidades. En estas condiciones, la fuerza sobre el bastón será cero a una velocidad específica: para menores velocidades el piloto deberá tirar hacia atrás el bastón, a mayores velocidades deberá empujar el bastón hacia adelante.

La función del tab (variación de beta) es permitir al piloto ajustar la fuerza sobre al bastón igual a cero para cualquier velocidad. Es decir en vez de aplicar un momento manualmente, para equilibrar el momento del resorte del elevador, se aplica un momento aerodinámico. Se considera la variación del tab del elevador con la velocidad para mantener CH = 0.

La ecuación que describe el coeficiente de momento de cabeceo CMG con CL para un ángulo beta dado, estando el elevador libre está descrita en la ecuación (5.26). Introduciendo la ecuación (5.20), se puede escribir

, donde

(6.18)

Esta ecuación es análoga con al ecuación (6.1) en el caso del elevador o bastón fijo

Para un valor dado de beta, esta expresión representa una curva CMG vs. CL como en la Fig. 6.7. Para todos los puntos en esta curva CH = 0. En el punto A el avión estará ajustado para una fuerza en el bastón = 0. Lo mismo ocurre con los puntos B y C para los respectivos beta2 y beta3.

Si hacemos un gráfico de beta para una determinada velocidad betatr vs. CL se obtiene una línea cuya ecuación es:

(6.19)

Debe notarse que para un avión estáticamente estable con bastón libre, la pendiente de esta línea es positiva y es

(6.20)

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De la ecuación (6.19), si se extrapola la curva betatr vs. alfa a CL = 0, el correspondiente ángulo betao es independiente de K’n.

(6.21)

Consideremos el elevador libre, si alteramos el avión desde un valor ajustado CL a CL + del(CL), donde DeltaCLt es el cambio en el coeficiente de sustentación de la cola CLt, que se debería aplicar para nivelar el avión (trim) a CL + del(CL). Entonces el término DeltaCLt resulta por un cambio en el ángulo beta de la aleta de compensación con el elevador libre.

DeltaCLt = (del(CLt)/del(beta)del(betatr), donde la derivada parcial implica coeficiente de sustentación constante. En estas condiciones se puede obtener su valor de la ec. (5.25)

y (6.24)

lo cual es el resultado dado por la ecuación (6.20)

Es deseable entonces una ecuación análoga a la ecuación (6.14), la cual puede ser obtenida, dando la variación de Dbetatr/DVi con la velocidad equivalente.

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Fuerza sobre el Bastón para cambiar Velocidad

El análisis anterior asume que cuando el piloto desea cambiar levemente la velocidad, hace un leve ajuste en el ángulo de la aleta del elevador (tab), de manera que CH = 0. Sin embargo, también podría producir un pequeño cambio en la velocidad moviendo el elevador y manteniendo el momento con el bastón.

Las diferentes condiciones son las siguientes:

Inicialmente: Coeficiente de sustentación del avión CLCoeficiente de sustentación de la cola CLtÁngulo del elevador etaÁngulo de la aleta (tab) beta

CMG = 0, CH = 0.

Finalmente: Coeficiente de sustentación del avión CL + del(CL)Coeficiente de sustentación de la cola CLt + del(CLt)

CMG = 0,

Y ambos (a) Ángulo del elevador eta + del(eta)Ángulo del tab beta + del(beta)

CH = 0,

O (b) Ángulo del elevador eta + del(eta) + Delta(eta)Ángulo del tab beta Y el piloto aplica fuerza en el bastón para balancear el momento del(CH).

Los casos (a) y (b) son diferentes para satisfacer la condición de que el coeficiente de sustentación de la cola sea el mismo a pesar de que los ángulos del tab son diferentes. Los valores de alfat son el mismo en ambos casos.

Entonces CLt + del(CLt) = a1×alfat + a2×(eta + del(eta)) + a3×(beta + del(beta))

= a1×alfat + a2×(eta + del(eta) + Delta(eta)) + a3×beta

esto significa que: a3×del(beta) = a2×Delta(eta) (6.25)

y el coeficiente de momento de la articulación (hinge) es:

a) 0 = b1×alfat + b2×(eta + del(eta)) + b3×(beta + del(beta))

b) del(CH) = b1×alfat + b2×(eta + del(eta) + Delta(eta)) + b3×beta

esto es: del(CH) = b2×Delta(eta) – b3×del(beta) (6.26)

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(6.27)

(6.28)

donde el sufijo 0 significa la condición inicialmente ajustada (trim) con fuerza en el bastón igual a cero.

Ahora combinando (6.24) y (6.28) se obtiene:

(6.29)

Otras consideraciones:

Momento en la articulación H = CH×0,5×ro0×Vi2×Seta×ceta (6.30)

Comando del elevador ec. (6.15) y considerando el trabajo hecho por el desplazamiento del bastón Pe×Xs = – H×eta se tiene: Pe = – me×H (6.31)

Pe es la fuerza que aplica el piloto al bastón de mando, un valor positivo significa empujar hacia adelante.

El gradiente (fuerza-bastón/velocidad) en condiciones iniciales ajustadas (trimmed conditions)

,

pero en las condiciones iniciales con Vio = velocidad en la cual CH = 0 e introduciendo ec. (6.13).

(6.32)

eliminando (DCH/DCL)o de las ecuaciones (6.32) y (6.29) el gradiente de (fuerza-bastón/velocidad) es finalmente:

(6.33)

Esta expresión representa el gradiente (fuerza-bastón/velocidad) en las condiciones ajustadas inicialmente con fuerza en bastón cero.

Consideraciones para un avión o planeador sin aleta del elevador (trim tab).

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Veremos como varía la fuerza en el bastón con la velocidad. Los resultados de arriba son también aplicables a un avión si el ajuste de la aleta del elevador se deja constante, de manera que la fuerza en el bastón es cero para una velocidad bien específica.

La ecuación (6.29) es aplicable en un rango de velocidad, para CH = 0 o no. Partiendo de la ec. (6.8) , incluyendo la ec. (6.26) que rige para cualquier coeficiente de momento CH considerando que los cambios sean pequeños. La ec. (6.29) la podemos escribir sin sufijo e integrándola obtenemos lo siguiente:

; (6.34)

donde Clo es constante, de hecho es el valor de CL para CH = 0, Arreglos algebraicos combinando ecuaciones (6.12), (6.30), y (6.31), podemos obtener las siguientes ecuaciones:

(6.35)

el gradiente (fuerza-baston/velocidad) para un vuelo ajustado constante se obtiene diferenciando la ec. (6.35)

(6.36)

si Vi = Vio se obtiene la ec. (6.33). Una forma alternativa de la ec. (6.35) es

(6.37)

Si la aleta del elevador se ajusta, de manera que CH = 0 a diferentes velocidades, el gradiente (bastón-fuerza/velocidad), para una velocidad dada, es inversamente proporcional a la velocidad equivalente. Esta situación está ilustrada en la figura 6.10

Maniobrabilidad en Cabeceo (Pitch).

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Capitulo 9

Los análisis precedentes se relacionan con el vuelo nivelado a velocidad constante bajo condiciones de equilibrio. Se considerará ahora los movimientos del bastón y fuerzas requeridas para sacar al avión del equilibrio.

Consideraciones adicionales a las del capitulo 3.

1. La velocidad hacia delante y la velocidad angular son sustancialmente constante. El vuelo es circular en el plano vertical.

2. La componente radial de gravedad es sustancialmente constante. Esto significa que el análisis es limitado a la parte del vuelo que es muy poco inclinado con respecto a la horizontal.

Fuerza en el bastón por g Las condiciones son por lo tanto las mostradas en las figuras 9.1 y 9.2 donde q es la razón de cabeceo (levantamiento de la nariz) y Deltalfat (Δαt )es el cambio en la incidencia de la cola debido a la razón de cabeceo en la maniobra.

Definiremos n es la lectura en el acelerómetro en g n = L/W (9.1)

Ecuación de movimiento en la dirección radial,

L – W = (W/g)×V×q (9.2)

n – 1 = (V×q)/g

La aceleración radialV×q = (n – 1)g (9.3)

En vuelo recto nivelado a velocidad verdadera V, tenemos

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W = CLo×0,5×ro×V2×Sa (9.4)

Y levantando la nariz a la misma velocidad y altura,

L = n×W = CL1×0,5×ro×V2×Sa (9.5)

De la ecuación (9.1) CL1 = n×CLo (9.6)

Debido a que el avión está volando en un camino curvo, la incidencia de la cola a CL1 es mayor que la correspondiente a vuelo recto nivelado en una cantidad Delta(alfat) Fig. 9.2, donde

Delta(alfat) = q×l’t/V (9.7)Entonces

Delta(alfat) =

(9.8)

Definición de razón de la densidad del avión

(9.9)

Entonces:

Delta(alfat) (9.10)

Sustituyendo en la ecuación (5.24) CL por CLo en vuelo recto nivelado se tiene

(9.11)

Esta ecuación al levantar la nariz a CL1 se diferencia de la de arriba solo en los siguientes aspectos:

1. El coeficiente de sustentación es ahora CL1 = n×CLo

2. Habrá un termino adicional (a1×Delta(alfat)) en el paréntices cuadrado debido al cambio de incidencia en la cola

3. El elevador tendrá una deflexión adicional Delta(eta) para realizar la maniobra de levantar la nariz

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Ya que el momento de cabeceo resultante será de nuevo igual a cero,

(9.12)

restando las ecuaciones (9.12) – (9.11) e introduciendo (9.10) se tiene

(9.14)

Esta ecuación es el movimiento de elevador Delta(eta), requerido para producir una aceleración normal de (n – 1)×g.

Se puede apreciar de esta ecuación que hay un valor de h que hace Delta(eta) = 0, esto quiere decir que si el c.g. está suficientemente atrasado, no se requiere un cambio en el elevador para producir aceleración radial. Si designamos esta posición del centro de gravedad por hm, de la ecuación (9.14) se obtiene,

(9.15)

La posición de este c.g. (en unidades con dimensión hm×cam) se denomina “punto de maniobra con bastón fijo” por analogía con el punto neutral con bastón fijo.

Para cualquier otra posición del c.g.

(9.16)

Se designa a Hm como “margen de maniobra, bastón fijo”. Si el c.g. está mas adelante que el “punto de maniobra , bastón fijo”, Deltaeta es negativo, esto quiere decir que se requiere una deflexión hacia arriba del elevador para producir un aumento de la aceleración.

El desplazamiento del bastón por g es entonces

(de la ecuación (6.15)

(9.17)

(9.18)

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De la ecuación (5.8) la posición del punto neutro con bastón fijo es

Comparando esta expresión con (9.15), se observará que el “punto de maniobra, bastón fijo”

esta más atrás que el “punto neutral, bastón fijo” en una cantidad dada por .

Ya que aumenta con la altura (debido a la disminución de la densidad). El “punto de maniobra, bastón fijo” se mueve hacia delante con el aumento de la altura y el correspondiente desplazamiento del bastón por g llega a ser menor.

En la medida que el c.g. de un avión se mueve hacia atrás el gradiente de la curva del ángulo para ajustar el elevador se invierte cuando el c.g. se localiza atrás del punto neutro con bastón fijo, pero el movimiento del bastón por g solo se invierte cuando el c.g. esta atrás del “punto de maniobra con bastón fijo”

El vuelo con estabilidad negativa con el bastón fijo quizás sea práctico, ya que el piloto no es usualmente conciente de la variación de la posición del bastón ajustado con la velocidad, en una serie de velocidades estabilizadas, pero sería virtualmente imposible volar el avión, con un “margen de maniobra negativo con bastón fijo”, ya que habiendo iniciado la aplicación de una aceleración normal, el bastón tendría que moverse en el sentido “equivocado” para prevenir la maniobra lo que conduciría a una situación anormal y se escaparía de sus manos.

Fuerza en el Bastón por factor de carga o unidades de g

La manera más simple de encontrar la fuerza en el bastón por g, es suponer que se realiza la maniobra de levantar la nariz, ejecutándola con un movimiento de la aleta del estabilizador (tab) y posteriormente encontrar la fuerza equivalente en el bastón.

Por analogía con La teoría anterior, pero usando la ecuación (5.26), para el momento de cabeceo con el elevador libre, el movimiento de la aleta Delta(beta) requerida para realizar el levantamiento de la nariz con fuerza en el bastón cero es,

(9.19)

Esta ecuación es análoga a la ecuación (9.14)

De la ecuación (6.27) el coeficiente de momento del pivote del elevador a un ángulo constante del tab que es equivalente al movimiento del tab Delta(beta) con momento de pivote igual a cero está dado por

,

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Y por lo tanto usando las ecuaciones (9.19) y (6.27) se tiene

(9.20)

DeltaCH llega a ser igual a cero cuando la posición del c.g. corresponde a h’m donde

(9.21)

Por analogía con la notación anterior h’m se denomina “punto de maniobra con bastón libre”. Para cualquier otra posición del c.g.

(9.22)

Se denomina H’m al ”margen de maniobra con bastón libre”.

La fuerza en el bastón por g está dada por

(9.23)

Sustituyendo las ecuaciones (9.22) y (9.4) en la ecuación (9.23)

(9.24)

Se puede deducir que la fuerza del bastón por g es independiente de la velocidad. Esto es consecuencia de que el momento de pivote es proporcional a (ángulo del elevador por g)×Vi2 y el ángulo del elevador por g es en sí mismo inversamente proporcional a la Vi2.

El punto de “maniobra con bastón libre” esta más atrasado que el “punto neutro con bastón libre” en la cantidad

(9.25)

El cual varía con la altura y el tamaño del avión, de la misma forma y en cantidad que la correspondiente al bastón fijo. Cuando el c.g de un avión es movido hacia atrás, el gradiente de la curva fuerza sobre el bastón para cambiar velocidad desde una condición inicial ajustada versus velocidad, es inversa cuando el c.g esta mas atrasado que el punto neutral con bastón libre, pero, la fuerza del bastón por g es inversa, solamente cuando el c.g. esta más atrasado que el punto de maniobra con bastón libre. Aunque es posible volar un avión que es inestable con bastón libre, es muy poco agradable y potencialmente peligroso. Los requerimientos actuales(BCAR) establecen que el avión debe ser siempre estable con bastón libre. Esto automáticamente asegura que la fuerza del bastón por g es en el sentido correcto.

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Fuerza en el Bastón en Virajes.

Si un avión está realizando un viraje nivelado y constante con una velocidad angular Ω alrededor del eje vertical (ver Fig. 9.3), entonces Ω tendrá una componente en el eje y del avión dado por

q = Ω×sin(Φ) (9.28)

Resolviendo las fuerzas en la figura 9.3 y resolviendo horizontal y verticalmente:

(9.29)

(9.30)

Entonces,

Finalmente,

(9.31)

Esta ecuación corresponde a la ecuación (9.3) de la teoría anterior. Por consiguiente la teoría previa es aplicable excepto que el término relativo al cambio de incidencia de la cola debido a la razón de cabeceo debe ser multiplicado por (n +1)/n.

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Asignándole al desplazamiento del elevador requerido para realizar un viraje nivelado Delta(etast), la expresión correspondiente a la ecuación (9.14) es,

(9.32)

Asignándole a la deflexión del elevador por Delta(etapo) dada por la ecuación (9.14) sigue,

(9.33)

Se debe recordar que ambos ángulos en el lado izquierdo de esta ecuación son negativos, por consiguiente, esta expresión muestra que se requiere una mayor elevación del elevador para realizar un viraje comparado con el levantamiento de la nariz al mismo factor de carga g y velocidad.

Consideraciones similares son aplicables a las fuerzas sobre el bastón. Esta excede lo requerido para realizar un levantamiento de nariz al mismo factor de carga g de acuerdo con la siguiente expresión:

(9.34)

La fuerza aplicada en el bastón por g en un viraje es por lo tanto dependiente del factor de carga. Se puede deducir de la expresión (9.32) que si n tiende a 1, entonces los puntos de la maniobra aparente en un viraje suave están más atrás de aquellos correspondientes al

levantamiento de la nariz por el factor y para bastón fijo y bastón libre

respectivamente, pero a medida que n aumenta tiende al valor de levantamiento de nariz (es decir, cuando el viraje comienza a ser más apretado).

Se podría esperar una situación de este tipo, ya que el viraje cerrado es muy próximo a un levantamiento de nariz.

El análisis de los virajes llevan consigo una serie de consideraciones:

1. La aerodinámica del momento de cabeceo no es afectada por la razón de giro en torno al eje vertical (rate of yaw).

2. El momento de cabeceo giroscópico debido al motor, en presencia de una razón de giro en torno al eje vertical puede ser dejado fuera de consideración. En la práctica este efecto es pequeño.

3. Si el avión está montando o descendiendo mientras gira, de manera que el vuelo es helicoidal, aparece un momento de cabeceo inercial adicional.

Comentarios útiles sobre el margen estático, el margen de maniobras y vuelo del avión.

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Reiterando las consecuencias prácticas de las teorías presentadas en los Capítulos 6 y 9, fue demostrado que los margines estáticos, bastón fijo y bastón libre, están respectivamente relacionados con la posición del bastón y fuerza sobre el bastón (o posición de la aleta del elevador) con la velocidad, siempre bajo condiciones de vuelo recto nivelado. El proceso inestable o no nivelado cambiando desde una posición estable a otra fue específicamente excluido. En este capitulo se ha demostrado que los márgenes de maniobra, bastón fijo y bastón libre, están respectivamente relacionados con la deflexión del bastón y fuerza sobre el bastón, requeridas para aplicar una cierta razón de cabeceo. La teoría del margen de maniobra, más bien una idealización de lo que ocurre en una maniobra de cabeceo real, está relacionada con el proceso de la iniciación de un cambio en las condiciones de equilibrio. Por cierto, no describe en detalle el movimiento transciente que ocurre, cuando se aplica una súbita deflexión del elevador en vuelo nivelado: tal descripción involucra un análisis propio del comportamiento dinámico de un avión.

Como método ilustrativo, consideremos un avión que posee un margen estático negativo con bastón fijo, pero con un margen de maniobra positivo con bastón fijo. Supongamos que cuando el avión vuela a 120 nudos el piloto observa la posición el bastón. Entonces él desea reducir la velocidad a 100 nudos, e inicia el cambio de la maniobra nariz arriba. Siendo el margen de maniobra positivo, él tendrá que aplicar el movimiento del bastón inicial en el sentido correcto, es decir, hacia atrás. Supongamos que cuando se han establecido las nuevas condiciones de equilibrio, el de nuevo observa la posición del bastón. Siendo el margen estático con bastón fijo negativo, la posición del bastón a 100 nudos será más adelante que la correspondiente a 120 nudos, de tal manera que el cambio de la posición del bastón en equilibrio estará en el sentido equivocado. El movimiento adicional del bastón hacia delante, habrá ocurrido en el curso de parar la maniobra de cabeceo y reestableciendo la nueva condición nivelada de equilibrio. Como se indicó en alguna parte de la teoría, el piloto no es particularmente sensible a los cambios de la posición del bastón correspondiente a los estados sucesivos de equilibrio, pero es agudamente sensible de la relación entre la deflexión del bastón y la razón de cabeceo, de manera que la situación imaginada puede ser aceptable.

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Planos de Cola Móviles.

Capitulo 10

Esta sección se deja pendiente por no ser aplicable al proyecto VANTAPA.

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