la integral de fourier
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Tema: La integral de Fourier, la Transformada de Fourier.Autor: Juan SanangoDocente Universidad de CuencaTRANSCRIPT
ANÁLISIS MATEMÁTICO IV
LA INTEGRAL DE FOURIER LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Juan Sanango
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En algunas aplicaciones físicas, el uso de funciones periódicas llevaba a una representación de estas funciones en series de Fourier.
Las funciones que no poseen periodo o son aperiódicas se representan mediante la Integral de Fourier o una Transformada de Fourier.
Las funciones aperiódicas también aparecen con bastante frecuencia en aplicaciones físicas.
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Una función aperiódica se le puede definir como una función periódica cuyo periodo T tiende al infinito, es decir, si fT(x) es una función de periodo T, entonces f(x) se puede representar como:
)(lím)( xfxf TT
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Ejemplo 1:
2T
2T
x1 si 0
1x1- si 1
1 - si 0
)(
x
xfT )(lím)( xfxf TT
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Ejemplo 2: )()(y - si )( 22
T xfTxfxexf TTTx
T
xT
Texfxf
)(lím)(
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Para la función fT(x), su serie de Fourier es:
1
22cos)(
nnnoT T
xnsenb
Txn
aaxf
2
2
2
2
2
2
2sen)(
2
2cos)(
2
)(1
T
T
T
T
T
T
dxT
xnxf
Tb
dxT
xnxf
Ta
dxxfT
a
Tn
Tn
To
Los coeficientes de Fourier se calculan usando las fórmulas de Euler:
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Para el caso de la función f(x) aperiódica al realizar el cambio de wn = 2πn/T y aproximar a f(x) como el límite de la función fT (x) se obtiene una representación de una integral de Fourier. dwwxwBwxwAxf
0
sen)(cos)(1
)(
wvdvvfwB
wvdvvfwA
sen)()(
cos)()(
Esta expresión será válida si y solo si el siguiente teorema se cumple:
TEOREMA: Si f(x) es seccionalmente continua en todo intervalo finito con derivadas por la derecha e izquierda en todo punto y la integral de f(x) existe; entonces f(x) se puede representar mediante una integral de Fourier. Si f(x) es discontinua en algún punto el valor de la integral de Fourier es el promedio de los límites desde la izquierda y derecha de f(x) en ese punto de discontinuidad.
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Ejemplo 3:
1x si 0
1 si 1)(
xxfT
La representación de esta función mediante una integral de Fourier será:
0sen)()(
sen2cos)()(
wvdvvfwB
ww
wvdvvfwA
dww
wxwxf
0
cossen2)(
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Si f(x) es una función par, entonces el coeficiente B(w) se anula y la representación mediante la integral de Fourier es:
dwwxwAxf
0
cos)(1
)(
0
cos)(2)( wvdvvfwA
En cambio si f(x) es una función impar, el coeficiente A(w) se anula y la representación mediante la integral de Fourier es:
dwwxwBxf
0
sen)(1
)(
0
sen)(2)( wvdvvfwB
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Ejemplo 4: Integrales de Laplace
Dada la función f(x) encontrar su representación en la integral de Fourier:
)()( 0 si )( xfxfxexf kx
Se puede demostrar que la representación buscada es:
022
cos2k)( dw
wk
wxexf kx
Si f(-x)=-f(x) entonces:
022
sen2)( dw
wk
wxwexf kx
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Partiendo de las expresiones de f(x) representada como una integral de Fourier y su coeficientes A(w) y B(w) y usando la identidad trigonométrica:
sensencoscos)cos(
Se encuentra la forma compleja de la integral de Fourier dada por:
dwdvevfxf vxjw )()(
2
1)(
Al realizar las respectivas manipulaciones algebraicas, se obtiene las siguientes expresiones:
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dwewCxf jwx)(2
1)(
dvevfwC jwv)(2
1)(
A C(w) se le denomina la transformada de Fourier de f(x), comúnmente se le llama la F[f(x)] o F(w); y f(x) se convierte en la transformada inversa de Fourier de C(w):
La Transformada de Fourier es una herramienta matemática muy utilizada dentro del análisis espectral de señales y posee algunas propiedades que ser resumen a continuación.
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