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Cálculo Integral en Una Variable Real: RepasoCálculo Integral en más de una variable real

Integrales de línea y de superficieSeries de Fourier

Lecturas de Cálculo Integral y Series deFourier

Ampliación de MatemáticasGrado en Ingeniería Civil

Curso 2012-13

Septiembre 2012

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Contenidos:

1 Cálculo Integral en Una Variable Real: Repaso

2 Cálculo Integral en más de una variable real

3 Integrales de línea y de superficie

4 Series de Fourier

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Cálculo Integral en una variable realConceptos ya vistos en la asignatura “Cálculo”

DefiniciónDada f (x) se llama primitiva (o antiderivada) de f (x) en un intervalo Ia toda función F (x) tal que F ′(x) = f (x) en I (salvo quizás en unnúmero finito de puntos de I).

DefiniciónSi F es una primitiva de f , escribiremos∫

f (x)dx = F (x) + C .

Cómo cálcular primitivas: ver, por ejemplo,

http://personales.unican.es/gila/primitivas.pdfo también

http://personales.unican.es/gila/primitivasC2011.pdf3 / 90




Integral de Riemann ⇒ Motivada por el problema del cálculo delárea del recinto determinado por la gráfica de una función f (x) y eleje X :

y

x1 2 3 4 b

´

y=f(x)

a t t t t

Integral de Riemann

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Detalles sobre el concepto de integral de Riemann en unavariable y aplicaciones:

Contenidos ya desarrollados en

http://personales.unican.es/gila/Riemann1V2011.pdf

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Cálculo Integral en más de una variable real

Integral de Riemann en dos variablesExtensión del correspondiente concepto de una variable: sif (x , y) es una función continua y positiva en un rectángulo I de R2, laintegral de f sobre este rectángulo es el volumen entre la gráfica dela función y el plano XY , dentro del rectángulo I:

y

z=f(x,y)z

x

I

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Definición

Llamaremos rectángulo (I) de R 2 a todo conjunto de la forma:

I = [a,b]× [c,d ] = {(x , y) ∈ R 2 | a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d} .

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¿Cómo calcular integrales dobles sobre rectángulos?:Teorema de FubiniSi f : I ⊆ R 2 −→ R es una función integrable Riemann en I tal quepara cualquier x ∈ [a,b] (salvo a lo sumo un número finito de valores)la función fx : [c,d ] −→ R dada por fx (y) := f (x , y) es integrableRiemann en [c,d ], entonces la función

∫ dc fx (y)dy es integrable

Riemann en [a,b] y, además,∫ ∫If =

∫ b

a

(∫ d

cfx (y)dy

)dx .

De forma, similar, si fy (x) := f (x , y) resulta ser continua paracualquier y ∈ [c,d ] salvo un número finito de valores, entonces:∫ ∫

If =

∫ d

c

(∫ b

afy (x)dx

)dy .

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¿Cómo calcular integrales dobles de una función f sobredominios más generales (D) de R2?:Idea teórica: a) incluir D dentro de un rectángulo I de R2; b) extenderla definición de la función f a I, asignando el valor 0 en aquellospuntos de I no incluidos en D; c) aplicar el Teorema de Fubini.En la práctica: expresar una de las variables (x o y ) que determinanel dominio D como función de la otra (y o x) e integrar respecto a esavariable. Posteriormente integrar la otra variable.Mejor trabajemos con un ejemplo ...

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Cálculo Integral en más de una variable realUn primer ejemplo

Comentario previo: de acuerdo con lo discutido, el área de unconjunto D ⊂ R2 (µ(D)) delimitado por una curva cerrada vendrádada por:

µ(D) =

∫ ∫D

1 .

Ejemplo: Hallar el área de la superficie comprendida entre lascurvas y = x2, y =

√x .

Este ejemplo se debería saber resolver con técnicas de integraciónen una variable (hacer!).Las curvas se cortan en (0,0) y (1,1), como se muestra en lasiguiente figura

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0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

y=x2

y=x1/2

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El dominio D ⊂ R2 se expresa como

D = {(x , y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, x2 < y <√

x},

de modo que

µ(D) =

∫ 1

0

(∫ √x

x21 dy

)dx =

∫ 1

0(√

x − x2)dx .

La última igualdad es lo que habríamos escrito, directamente, sihubiésemos razonado en términos de funciones de una sola variable.El resultado de la última integral es 1/3, que es el valor del áreapedida.

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Cálculo Integral en más de una variable realCambio de variables

Idea básica: en ocasiones, la utilización de variables apropiadas enlugar de las originales, nos ayuda a simplificar la región deintegración y/o el integrando (como ocurre con la integración en unavariable).Teorema del cambio de variable (Integrales Dobles)Sean D,E ⊂ R 2, y sea T : E −→ D una aplicación biyectiva dadapor T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Sea J el jacobiano de este cambio devariable; es decir,

J = det(∂(x , y)

∂(u, v)

)Supongamos, además, que f : D −→ R es integrable. Entonces,∫ ∫

Df (x , y)dxdy =

∫ ∫E

f (x(u, v), y(u, v))· | J | du dv .

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Cálculo Integral en más de una variable realCambio de variables (Ejemplo 1)

Ejemplo 1: Calcular∫ ∫

D dxdy siendo D la región del planolimitada por las cuatro curvas; y = x2, x = y2, y = 2x2, x = y2/2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Área acalcular

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Este problema se puede resolver: a) con técnicas de integración enuna variable (hacer!); b) aplicando técnicas de dos variables en lasvariables originales (hacer!); c) considerando un cambio de variables.Por ejemplo:

u = x2/y , v = y2/x

Si nos restrigimos al primer cuadrante, donde se encuentra D, estasecuaciones efectivamente definen un cambio de variables(aplicación biyectiva).Los límites de la región D (cada una de las curvas), se correspondencon u = 1 (y = x2), u = 1/2 (y = 2x2), v = 1 (x = y2) y v = 2(x = 2y2).Es decir, conseguimos transformar el dominio original en unrectángulo.

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∫ ∫D

dxdy =

∫ ∫D′

∣∣∣∣∂(x , y)

∂(u, v)

∣∣∣∣dudv

siendo D′ = {(u, v) |1/2 ≤ u ≤ 1 ,1 ≤ v ≤ 2}.

Dado que∣∣∣∣∂(u, v)∂(x , y)

∣∣∣∣ = 3 (hacer!), tenemos que∣∣∣∣∂(x , y)∂(u, v)

∣∣∣∣ = 1/3 y de

esta forma ∫ ∫D

dxdy =

∫ ∫D′

13

dudv =13

∫ 1

1/2

∫ 2

1= 1/6 .

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Un comentario: Este tipo de transformaciones son de granutilidad en, por poner un ejemplo, Métodos de Elementos Finitosen más de una dimensión (técnicas numéricas para resolver,normalmente, problemas vinculados a EDPs), de gran utilidaden geometrías variadas ...

Un ejemplo de cálculo de estructuras: triangularización para el diseño de una plataforma que ha de

someterse a vibraciones de diverso tipo.

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En este tipo de cálculos interesa transformar triángulos ycuadriláteros con vértices de coordenadas cualesquiera atriángulos y cuadriláteros “de referencia” ...

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Ejemplo-Ejercicio 2:Calcular

∫ ∫D e

y−xy+x dxdy donde D es el triángulo formado por los

ejes coordenados y la recta x + y = 1.

En este caso, el dominio D es muy sencillo y la dificultad se planteacon el integrando. Un cambio de variables que resulta útil esu = y − x , v = y + x . Continuar y comprobar que la solución que se

obtiene es e − e−1

4 .

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Cálculo Integral en más de una variable realAplicaciones de la integral doble

Por ejemplo:

1 Cálculo de áreas de superficies en R2: como ya comentamos, lasuperficie de la región D ⊂ R2 delimitada por una curva cerradaes: µ(D) =

∫ ∫D dxdy .

2 Cálculo de volúmenes:∫ ∫

D f (x , y)dxdy es el volumencomprendido entre la gráfica de f (x , y) (supuesta positiva en D),el plano XY y la superficie lateral (perpendicular al plano XY ) debase D.

3 Cálculo de áreas de superficies en R3 dadas por z = f (x , y) conx e y en una región D;

S =

∫ ∫D

√1 +

(∂z∂x

)2

+

(∂z∂y

)2

dxdy .

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Cálculo Integral en más de una variable realIntegrales triples

Generalización del concepto de integral de Riemann a tresvariables: muy sencillo conceptualmente!. Las correspondientesparticiones definirían ahora cubos en R3 (recordemos que eransegmentos en una dimensión y rectángulos en dos dimensiones). Deeste modo, ∫ ∫ ∫

Df (x , y , z)dxdydz

se obtendrá sumando los valores ínfimos u supremos de la funciónpesados en los “cubos elementales” de la partición.Importante: los teoremas de Fubini y del cambio de variable sonaplicables, con la correspondiente extensión. Así, por ejemplo,para integrales en volumen, cuando se aplica cambio devariables hay que obtener la matriz Jacobiana, que en este casoserá una matriz tres por tres.

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Ejemplo: Calcular el volumen del sólido limitado por lassuperficies: y = z2, 2y = z2, z = x2, 2z = x2, x = y2,2x = y2.Indicación: efectuar un cambio de variables de forma que el nuevorecinto de integración sea el cubo [1, 2]3. Hallar el jacobiano delcambio inverso.

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Una representación gráfica de las superficies en cuestión ...

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El cambio de variables que permite obtener el dominio que sesugiere es el siguiente:

z2

y= 1

z2

y= 2

x2

z= 1

x2

z= 2

y2

x= 1

y2

x= 2

→ D1

1 ≤ u =z2

y≤ 2

1 ≤ v =x2

z≤ 2

1 ≤ w =y2

x≤ 2

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El jacobiano del cambio inverso vendrá dado por

∂ (u, v , w)

∂ (x , y , z)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −z2

y22zy

2xz

0 −x2

z2

−y2

x22yx

0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 8− 1 = 7.

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Por lo tanto

V =

∫∫∫D

dxdydz =

∫∫∫D1

1∂ (u, v , w)

∂ (x , y , z)

dudvdw =

∫∫∫D1

17

dudvdw =

=17

[∫ 2

1du

][∫ 2

1dv

][∫ 2

1dw

]=

17

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Cálculo Integral en más de una variable realUn último comentario sobre notación habitual en Física/Ingeniería

Es habitual escribir las integrales en dos variables de la forma:∫ ∫D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫D

f (x , y)dS ,

y, de esta forma, escribir el teorema de cambio de variables comosigue: ∫ ∫

Df (x , y)dS =

∫ ∫D′

f (u, v)dS ,

donde D′ es la región D escrita en las variables u, v ,f (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) y donde tenemos la regla de cálculo:

dS = dxdy =

∣∣∣∣∂(x , y)

∂(u, v)

∣∣∣∣dudv .

Llamaremos a dS Elemento de Superficie, que se “escribe dedistinto modo según las coordenadas que se elijan”.

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De igual forma, escribiremos:∫ ∫ ∫D

f (x , y , z)dxdydz =

∫ ∫ ∫f (x , y , x)dV ,

de modo que si se realiza un cambio de variables,escribiríamos:

dV = dxdydz =

∣∣∣∣ ∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)

∣∣∣∣dudvdw .

Llamaremos a dV Elemento de Volumen.

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Ejercicio 1: Deducir los elementos de volumen encoordenadas cilíndricas y esféricas.Solución:

1 Cilíndricas: dV = rdrdzdφ.2 Esféricas: dV = r2 sin θdrdθdφ.

Ejercicio 2: Calcular, mediante integrales triples, elvolumen de una esfera de radio R. Comentario: lógicamente, si D es la esfera, su

volumen será∫ ∫ ∫

D dV .

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Integrales de línea y de superficie

Motivación: muchas ecuaciones y propiedadesfundamentales de la Física (y, en consecuencia, deaplicación en Ingeniería) se derivan a partir de integralesde campos escalares y vectoriales sobre líneas,superficies y volúmenes.

Ejemplos:

1 Mecánica de Fluidos: Ecuación de continuidad.2 Termodinámica: Ecuación de conducción del calor.3 Mecánica: Campos de fuerza conservativos.

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Integrales de línea y de superficieIntegrales de línea

Integral de línea: va a generalizar el concepto de integral deRiemann en una variable. El dominio de integración será ahora unacurva en Rn (n = 2,3 en las aplicaciones que consideremos).

Curva en Rn

Es una función C : R→ Rn tal que existen las derivadas de suscomponentes y son continuas (es decir, que es de clase C1, a lo cualnos referiremos diciendo que la curva es suave).

En particular, una curva en R2 es una función:

C : D ⊂ R → R2

t → (x(t), y(t))

siendo t el parámetro, que al ser variado va generando los puntos(x , y) de la curva.

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Integral de línea de una función escalar (para curvas en R2)

Sea una curva en R2 que une los puntos A y B dada en formaparamétrica t → (x(t), y(t)), definimos la integral de línea de unafunción continua f (x , y) sobre la curva C entre A = (x(a), y(a)) yB = (x(b), y(b)) como:∫

CAB

f dl =

∫ b

af (x(t), y(t))

√x ′(t)2 + y ′(t)2dt .

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Casos particulares:

1 Si el parámetro de la curva es x , es decir, t = x , entonces∫CAB

f dl =∫ b

a f (x , y(x))√

1 + y ′(x)2dx .

2 Si sobre la curva f una de las variables fuera constante (por ej.y ) entonces:∫

CABf dl =

∫ ba f (x(t), k)

√x ′(t)2dt = ±

∫ xb

xaf (x , k)dx que es la

conocida integral de Riemann en una variable.

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La definición puede, por supuesto, extenderse a fácilmente a curvasen R3 o sin más a Rn:Sea la curva

C : D ⊂ R → Rn

t → x(t) = (x1(t), ..., xn(t))

Consideremos x ′(t) = (x ′1(t), ..., x ′n(t)) y sea ||x ′(t)|| el módulo deeste vector. Entonces

Integral de línea de una función escalar (para curvas en Rn)∫CAB

fdl =

∫ b

af (x(t))||x ′(t)||dt (1)

Comentario: x ′(t0) es un vector tangente a la curva x(t) en t = t0(es el vector velocidad de la curva en ese punto).

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Comentario: en los cálculos consideraremos siempre quelas curvas son suaves y simples (o la unión de curvassuaves y simples).

simple y cerrada

suave y simple suave pero no simple

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En las definiciones anteriores asumimos que f era unafunción escalar (es decir, los valores de la función erannúmeros reales). Es posible extender la definición deintegral de línea a funciones (campos, por su aplicación enFísica) vectoriales (es decir, los valores de la función sonelementos de Rn)...

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Integral de línea de una función vectorial (para curvas en Rn)

Sea r : D ⊂ R→ Rn una curva suave que une los puntos A y B.Denotamos por CAB el lugar de los puntos de la curva desde A a B.Sea F : Rn → Rn una función continua. Definimos la integral de líneade F sobre la curva r entre los puntos A y B de Rn como:∫

CAB

F .dr =

∫CAB

(F .T ) dl

representando T el vector unitario (variable) tangente a la curva. Esdecir, que la integral de F sobre la curva r(t) es la integral de líneade la función escalar F .T (proyección de F sobre la tangente) sobrela curva.

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Comentario: Asumiendo que r ′(t) 6= 0, es claro que el vectorunitario tangente a la curva en t = t0 es T (t0) = r ′(t0)/||r ′(t0)|| y porlo tanto, podemos escribir:∫

CAB

F .dr =

∫ b

aF (r(t)).r ′(t)dt

donde r(a) = A y r(b) = B.Ejemplo: Sea F (x , y , z) = (z, y , x). Calcular la integral de línea deF a lo largo de la curva y = x2, z = x entre (0,0,0) y (1,1,1).Solución:Escogemos como parámetro t = x de forma que r ′(t) = (1,2t ,1),F (r(t)) = (t , t2, t) y r(0) = (0,0,0), r(1) = (1,1,1). LuegoF .r ′ = t + 2t3 + t y entonces∫

CFdr =

∫ 1

0(2t + 2t3)dt = 3/2 .

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Un teorema fundamental es la regla de Barrow para integrales delínea.

Regla de Barrow

Sea φ una función escalar tal que la función ∇φ es continua y sea Cun camino suave que une los puntos A y B, entonces:∫

CAB

∇φdr = φ(B)− φ(A)

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La regla de Barrow nos garantiza que si una función vectorialcontinua se puede escribir como el gradiente de una funciónescalar, entonces la integral de camino entre A y B es la mismapara cualquier camino suave a trozos uniendo estos dos puntos,es decir, que sólo depende de los puntos iniciales y finales delcamino. Una función vectorial que cumple esta propiedad sedice que es un campo conservativo.

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Campo conservativo: definición

Diremos que un campo vectorial es conservativo si se cumplecualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí).

1 F es el gradiente de un campo escalar φ, al que se le llamafunción escalar del campo conservativo F .

2 Para cualesquiera caminos suaves CAB, CAB que unan lospuntos A y B (desde A a B, por ejemplo), se tiene que∫

CABFdr =

∫CAB

Fdr

3 Si C es una curva cerrada (que empieza y termina en un mismo

punto) entonces∫

C Fdr ≡ ©∫

CFdr (Integral de Circulación) = 0.

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Campo conservativo: propiedad 1

Si F es un campo conservativo con función potencial φ, entoncesφ+ K , siendo K una constante, también es una función potencial delmismo campo F .

Campo conservativo: condición (necesaria) de Green paracampos de R2

Si F = (F x ,F y ) , F : D ⊂ R2 → R2, es conservativo en el dominio D,teniendo F x y F y derivadas parciales continuas en D, entoncesF y

x = F xy .

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Campo conservativo: condición (suficiente) de Green paracampos de R2

Sea F : D ⊂ R2 → R2 un campo vectorial con dominio Dsimplemente conexo de tal forma que las derivadas parciales desus componentes F x , F y tienen primeras derivadas parcialescontinuas en D cumpliéndose que F y

x = F xy . Entonces F es

conservativo.

Dominio simplemente conexo: dominio sin agujeros y sin piezasseparadas.

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Ejemplo: Estudiar si el campo vectorial F (x , y) = (2xy , x2) es uncampo conservativo. Obtener su función potencial.Solución:F es un campo C∞ en todo R2 y se cumple que F y

x = F xy , luego es un

campo conservativo. Calculemos la función potencial φ(x , y):Como F = ∇φ(x , y), se verifica que

φx = F x = 2xy ⇒ φ(x , y) = x2y + C(y)

y derivando φy = x2 + C′(y), pero φy = F y = x2 luego C′(y) = 0 yC(y) es una constante (podemos tomarla cero), de modo que unafunción potencial es

φ(x , y) = x2y .

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Comentario: Para campos vectoriales de R2 la definiciónde los campos conservativos no cambia, aunque síligeramente la condición de Green: se deberá verificarF y

x = F xy , F y

z = F zy , F z

x = F xz simultáneamente. Estas

condiciones se pueden escribir de modo más simpleintroduciendo el operador rotacional.

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Rotacional de un campo vectorial: definición

Sea F un campo vectorial F : R3 → R3, que escribimos comoF = F x i + F y j + F zk , siendo {i , j ,k} la base canónica. Definimos elcampo rotacional de F como:

rotF = ∇×F =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F x F y F z

∣∣∣∣∣∣∣ = (F zy−F y

z )i+(F xz −F z

x )j+(F yx −F x

y )k

Un campo vectorial F es el gradiente de una función escalar←→∇× F = 0.

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Integrales de línea y de superficieIntegrales de Superficie

Acabamos de generalizar el concepto de integral de Riemann“adaptándolo” a la integración sobre curvas en el espacio, nonecesariamente rectas. Es de esperar que podamos tambiénencontrar una generalización del concepto de integral doble que nospermita integrar sobre superficies curvadas en el espacio.Un elemento esencial del cálculo será la parametrización de lassuperficies

Superficie parametrizada: definición

Una superficie parametrizada en R3 es una función r : D ⊂ R2 → R3.La superficie S correspondiente a la función r es la imagen S = r(D).Escribiremos

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

y si r es diferenciable se dirá que S es una superficie diferenciable.

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Dos ejemplos sencillos de parametrización de superficies son lossiguientes:

1 Parametrización del plano en coordenadas polares. El planoz = k se puede parametrizar utilizando coordenadas polares:

{(x , y , k) , x , y ∈ R} = {(r cosφ, r sinφ, k) , r ≥ 0,0 ≤ φ < 2π} .

2 Parametrización de una esfera mediante coordenadasesféricas. Una esfera de radio R se puede parametrizarutilizando dos ángulos:

x(θ, φ) = R sin θ cosφy(θ, φ) = R sin θ sinφz(θ, φ) = R cos θ

De modo que la esfera S es:

S = {(x(θ, φ), y(θ, φ), z(θ, φ)) 0 ≤ θ < π , 0 ≤ φ ≤ 2π}48 / 90




Observación: Consideraremos en todo momento superficiesdiferenciables S = S(u, v). Fijado uno de los parámetros, pongamosque v , al variar el otro obtendríamos una curva en R3.Las tangentes a esta curva en cada punto se pueden obtenerpor derivación respecto a u:

T u =∂x∂u

i +∂y∂u

j +∂z∂u

k

y de similar forma podríamos obtener el vector tangente a lasuperficie a lo largo de la dirección de v :

T v =∂x∂v

i +∂y∂v

j +∂z∂v

k

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Dado un punto de la superficie S, como ambos vectores T u y T v sontangentes a dos curvas contenidas en S, ambos son ortogonales alvector normal a la superficie en ese punto y por lo tanto, por laspropiedades del producto vectorial,

N = T u × T v

es normal a las superficie, siempre, claro está, que T u × T v 6= 0 en elpunto en cuestión (si esto es así, diríamos que la superficieparametrizada no es suave; consideraremos que esto no ocurre).Comentario: Esto nos permite obtener la ecuación del planotangente en un punto (x0, y0, z0):

(x − x0, y − y0, z − z0)N = 0

donde N se evalúa en (x0, y0, z0).

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Ejemplo:Considerando la parametrización de la esfera antes considerada,tendríamos que

T θ = R(cosφ cos θ, sinφ cos θ,− sin θ)Tφ = R(− sinφ sin θ, cosφ sin θ,0)

y T θ × Tφ = R sin θ(R sin θ cosφ,R sin θ sinφ,R cos θ) = R sin θr . Porlo tanto, si sin θ 6= 0, se trata de un vector proporcional al vector(x , y , z) que tiene la dirección radial, como cabría esperar del vectornormal a la superificie de una esfera.El caso sin θ = 0 (θ = 0, π) presenta un problema en laparametrización: diríamos que la superficie parametrizada no essuave para esos valores de θ.Ya estamos en condiciones de definir la integral de una funciónescalar sobre una superficie parametrizada ...

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Integral de una función escalar sobre una superficieparametrizada: definición

Si f (x , y , z) es una función escalar continua, definida sobre unasuperficie S, estando S parametrizada por el campo vectorial r(u, v),con u y v variando en un dominio D, se define la integral de f sobreS como: ∫

Sf (x , y , z)dS =

∫ ∫D

f (r(u, v))||T u × T v ||dudv

Observaciones:

1 La integral doble de Riemann puede verse como un casoparticular de esta definición (yendo a una dimensión más, esosí).

2 La fórmula de cambio de variable está, de algún modo,contenida en esta definición. 52 / 90




Integral de una función vectorial sobre una superficieparametrizada: definición

Si F (x , y , z) es un campo vectorial continuo, definido sobre unasuperficie S, estando S parametrizada por el campo vectorial r(u, v),con u y v variando en un dominio D, se define la integral de F sobreS como: ∫

SF (x , y , z)dS =

∫ ∫D

F (r(u, v)).(T u × T v )dudv

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Integrales de línea y de superficieTeoremas fundamentales del cálculo vectorial

Comentario: De la misma forma que las integrales de líneapueden reducirse al problema de calcular una función(potencial) en dos puntos (regla de Barrow) cuando elcampo vectorial es conservativo, es tentador pensar quesemejante “reducción de dimensión” puede aplicarse pararelacionar determinadas integrales de superficie conintegrales de línea e integrales de volumen con integralesde superficie. Veremos que este tipo de relaciones sonestablecidas en los teoremas de Gauss y Stokes (Green).

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Teorema de GreenSea D una región en el plano delimitada por una curva C suave atrozos y cerrada y sea F (x , y) = (F x (x , y),F y (x , y)) un campovectorial C1 en D. Entonces

©∫

CFdr =

∫ ∫D

(∂F y

∂x− ∂F x

∂y

)dxdy

donde la curva C se recorre en el sentido tal que si nos moviéramossobre la curva en este sentido, el dominio D quedaría a nuestraizquierda.

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Teorema de Green (Continuación)

Si D está delimitada por varias curvas suaves y cerradas C1, ...,Cn,entonces

n∑i=1

©∫

Ci

Fdr =

∫ ∫D

(∂F y

∂x− ∂F x

∂y

)dxdy

donde cada curva se recorre en el sentido tal que la región D quedea la izquierda (diremos que éste es el sentido positivo).

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Un dibujo sirve para aclarar qué entendemos por sentido positivo derecorrido ...

Γ σUC=y

xa b

σ

Γ

D

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Como vemos, el teorema de Green relaciona integrales dobles conintegrales de línea sobre curvas planas. En realidad es un casoparticular del teorema de Stokes, que enunciaremos más adelante.Una primera aplicación del Teorema de Green es el cálculo deáreas planas.

Cálculo de áreas planas

Sea una región D para la que se puede aplicar el teorema de Green,delimitada por curvas C1,...Cn, entonces el área de la superficie, sepuede obtener de siguiente modo:

µ(D) =

∫ ∫D

dxdy =12

n∑i=1

©∫

Ci

[xdy − ydx ]

donde las integrales de línea se recorren en el sentido positivo(teorema de Green).

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Ejemplo: Calcular el área de una elipse de semiejes a y b.Solución:

Una parametrización conveniente para la elipse x2

a2 +y2

b2 = 1 es lasiguiente

x = a cos t → dx = −a sin t dty = b sin t → dy = b cos t dt

variando t desde 0 hasta 2π se recorre la elipse en el sentidopositivo. Aplicando el anterior corolario:

S =12©∫

[xdy−ydx ] =12

∫ 2π

0[a cos t(b cos tdt)−b sin t(−a sin tdt)] = abπ.

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Una consecuencia del teorema de Green es la fórmula de la integraldoble del Laplaciano. Antes,recordemos qué es un Laplaciano:Sea f una función escalar dos veces derivable dependiente de nvariables, se define la actuación del Laplaciano ∆ sobre f como:

∆f =n∑

i=1

∂2f∂x2

i.

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Integral doble del Laplaciano

Sea D una región plana delimitada por una curva parametrizadasuave C con orientación positiva y f : D ⊂ R2 → R de clase C2

entonces ∫ ∫D

∆fdxdy =©∫

Dnf dl

donde la integral de la derecha es la integral de línea de la funciónescalar Dnf (derivada direccional de f según el vector unitarionormal a la curva en cada punto y apuntando hacia el exterior).

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El teorema de Gauss relaciona integrales en volumen con integralesde superficie. Para enunciarlo es conveniente recordar la definiciónde divergencia de un campo vectorial:Sea F un campo vectorial en Rn dependiente de n variables,F = (F x1 , ...,F xn ). Se define su divergencia como:

div(F ) = ∇F =n∑

i=1

∂F xi

∂xi≡

n∑i=1

F xixi.

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Teorema de Gauss o de la divergencia

Sea una región V en R3 encerrada por una superficie Sparametrizada con parámetros u y v , de tal modo que el vectornormal N = T u × T u apunta hacia el exterior del volumen V . Sea uncampo vectorial F que es de clase C1 en V , entonces:∫ ∫ ∫

V∇FdV =

∫ ∫S

F .dS

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Comentario: La integral de F a la derecha de la expresión delTeorema de Gauss recibe el nombre de flujo de F sobre lasuperficie S.Ejercicio: Verificar el teorema de la divergencia para el siguientecampo vectorial: F = x2i + y2j + z2k siendo S la superficiecilíndrica x2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 5 junto con sus bases{(x , y)|x2 + y2 ≤ 4, z = 5} y {(x , y)|x2 + y2 ≤ 4, z = 0}.

Hacer!

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El teorema de Stokes va a relacionar integrales de superficie en R3

con integrales de línea en R2; el teorema de Green no será más queun caso particular de este caso más general.Antes de enunciar el teorema, necesitamos introducir el concepto desuperficie suave orientable:

1 De igual forma que decíamos que una curva era suave siadmitía tangente en todo punto de la curva, siendo la tangenteuna función continua, diremos que una superficie es suave siexiste la normal a la superficie en cada punto y esta varíade forma continua al movernos sobre la superficie.

2 Es evidente que dada una superficie y n el vector unitarioperpendicular a la superficie en un punto, también podríamosescoger −n como vector normal; cada una de estas opcionesdará normales de sentido opuesto en cada punto. Escoger unade estas dos opciones se dice que es escoger unaorientación de la superficie. 65 / 90




Consideremos una superficie S cuya frontera es una curva suavesimple y cerrada. Escogida la parametrización de la curva r(t)diremos que la orientación de la curva es positiva respecto a laorientación de la superficie (o que tiene el sentido inducido por lasuperficie orientada) si los vectores normales n a la superficiecercanos a esta curva son tales que dr

dt × n apunta alejándosede la superficie o, dicho de otra forma, si al caminar sobre la curvafrontera de la superficie, el vector normal apunta hacia arriba y lasuperficie queda a la izquierda.

n

n

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Teorema de StokesSea una superficie S limitada por una curva suave y cerrada Γ y F uncampo vectorial C1 en S entonces∫ ∫

S(∇× F ) dS =©

∫Γ

Fdr

donde la orientación de Γ es la inducida por la orientación de lasuperficie.

Nota: en muchas ocasiones abreviaremos la notación utilizada paralas integrales de superficie o las de volumen, de forma que sólohagamos uso de un símbolo integral (se entenderá por el contextoque son integrales múltiples).

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Ejemplo: Considerar el campo vectorial

F (x , y , z) =(

y , x2,(x2 + y4)3/2

sin(

e√

xyz))

.

Calcular∫

S(∇× F ) dS, donde S denota la normal interior al

semielipsoide

S ={

(x , y , z) ∈ R 3 : 4x2 + 9y2 + 36z2 = 36, z ≥ 0}.

Sol:Vamos a aplicar el Teorema de Stokes para calcular la integral quese pide.

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y

z

x

n

Al ser la normal la “interior”, el sentido de recorrido de la curva es elantihorario, por lo que la parametrización de la curva ha de ser

4x2 + 9y2 = 36→ x2/32 + y2/22 = 1→{

x = 3 sin θy = 2 cos θ

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luego

I =

∫C

F · dr =

=

∫ 2π

0

(2 cos θ, 32 sin2 θ,

(32 sin2 θ + 24 cos4 θ

)3/2sin(

e√

3 sin θ 2 cos θ 0))

· (3 cos θ, −2 sin θ, 0) dθ

luego

I =

∫ 2π

0

(6 cos2 θ − 18 sin3 θ

)dθ = 6π.

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Ejercicio: Utilizar el teorema de Stokes para evaluar la integralde línea ∫

C(−y3dx + x3dy − z3dz) ,

donde C es la intersección del cilindro x2 + y2 = 1 y el planox + y + z = 1. La orientación de C es tal que gira en el sentidoque lleva el eje X al eje Y. Verificar el resultado haciendodirectamente la integral de línea.

Hacer!

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Series de Fourier

Motivación: las series de Fourier constituyen unaimportante herramienta para la obtención de soluciones deecuaciones diferenciales. Su teoría básica concierne a laexpresión de una función como una superposición desenos y cosenos.

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Series de Fourier

Comencemos con una definición que ya conocemos ...

Función periódica: definiciónUna función f : R −→ R se dice que es periódica de periodo Tsi satisface la relación

f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R.

Ejemplo: la función f (t) = sin(t) es (trivialmente) periódica deperiodo 2π. A partir de esto es fácil comprobar que la funciónf (t) = sin

(2πtT

)es periódica de periodo T puesto que:

sin(

2π(t + T )

T

)= sin

(2πtT

+ 2π)

= sin(

2πtT

).

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Series de Fourier

Más generalmente, si k es cualquier entero positivo, lasfunciones

cos(

2kπtT

)y sin

(2kπt

T

)son también periódicas de periodo T .Necesitamos también otra definición ..

Función suave a trozos: definiciónUna función f (t) periódica de periodo T se dice que es suave atrozos si es continua y tiene derivada continua f ′(t) excepto alo sumo en un número finito de puntos de discontinuidad detipo “salto finito”.

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Series de FourierCon estas definiciones previas, ya estamos en condiciones deestablecer el siguiente resultado:

Serie de Fourier de una función f (t)

Si f (t) es una función periódica de periodo T suave a trozos, severifica que f (t) puede expresarse como una combinación de senosy cosenos,

f (t) = a02 + a1 cos

(2πtT

)+ a2 cos

(4πtT

)+ ...

+b1 sin(

2πtT

)+ b2 sin

(4πtT

)+ ...

(2)

donde los coeficientes ak ’s y bk ’s son constantes. En esta expresiónla igualdad quiere decir que la suma infinita del lado derechoconverge a f (t) en los puntos de continuidad de la función. Si lafunción es discontinua en t0, su serie de Fourier convergerá alpromedio de los límites laterales de f (t) cuando t → t0.

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Series de FourierVeamos cómo se calculan los coeficientes de la serie de Fourier:Por simplicidad, restringiremos nuestra atención al caso en el que elperiodo T es 2π, de modo que

f (t) =a0

2+ a1 cos t + a2 cos 2t + ...+ b1 sin t + b2 sin 2t + ... (3)

Las fórmulas que se obtienen para un periodo T general son sololigeramente más complicadas y se basan exactamente en lasmismas ideas.El coeficiente a0 es particularmente sencillo de evaluar. Integrandosimplemente ambos lados de (3) de −π a π:∫ π

−πf (t) dt =

∫ π

−π

a0

2dt +

∫ π

−πa1 cos t dt + ...

+

∫ π

−πb1 sin t dt +

∫ π

−πb2 sin 2t dt + ...

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Series de FourierPuesto que la integral de cos kt o sin kt en el intervalo −π a π seanula, concluimos que

a0 =1π

∫ π

−πf (t) dt .

Para obtener el resto de coeficientes de Fourier, necesitamos utilizarotras fórmulas integrales:∫ π

−πcos nt cos mt dt =

{π, para m = n,0, para m 6= n, (4)∫ π

−πsin nt sin mt dt =

{π, para m = n,0, para m 6= n, (5)∫ π

−πsin nt cos mt dt = 0. (6)

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Series de Fourier

Para obtener ahora las expresiones para los coeficientes de Fourierak , k > 0, multiplicamos ambos lados de (3) por cos kt e integramosdesde −π a π. De acuerdo con las anteriores expresiones integrales,sólo hay un término que sobrevive:∫ π

−πf (t) cos kt dt =

∫ π

−πak cos kt cos kt dt = πak .

De este modo, obtenemos la siguiente expresión para ak :

ak =1π

∫ π

−πf (t) cos kt dt .

y un argumento muy similar nos lleva a:

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Series de Fourier

bk =1π

∫ π

−πf (t) sin kt dt .

Ejemplo: Determinar los coeficientes de Fourier de la función

f (t) =

−π, para − π < t < 0,π, para 0 < t < π,0, para t = 0, π,

para un periodo T = 2π.Solución:Trivialmente, a0 = 0. Por otra parte,

am = 1π

[∫ π

−πf (t) cos mt dt

]=

= 1π

[∫ 0

−π−π cos mt dt

]+ 1π

[∫ π

0π cos mt dt

]= 0.

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Series de Fourier

y

bm = 1π

[∫ π

−πf (t) sin mt dt

]=

= 1π

[∫ 0

−π−π sin mt dt

]+ 1π

[∫ π

0π sin mt dt

]=

= 1ππm cos mt |0−π + 1

π−πm cos mt |π0 = 2

m −2m cos mπ =

= 2m (1− (−1)m) =

{4m , si m es impar,0, si m es par.

De modo que la serie de Fourier de f(t) es:

f (t) = 4 sin t +43

sin 3t +45

sin 5t + ...

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Series de FourierLos polinomios trigonométricos

φ1(t) = 4 sin t , φ2(t) = 4 sin t+43

sin 3t , φ3(t) = 4 sin t+43

sin 3t+45

sin 5t

son aproximaciones a f (t) que son progresivamente mejores segúnva creciendo el número de términos.En la figura se muestra la aproximación de φ3(t) a f (t).

−3 −2 −1 0 1 2 3−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Comentario: Cerca de los puntos de discontinuidad de la función sehace evidente el denominado fenómeno de Gibbs.

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Series de Fourier seno y cosenoVeamos ahora que, bajo ciertas condiciones, una función f (t)puede expresarse como superposición únicamente defunciones seno (coseno), lo que da origen a las denominadasseries de Fourier seno (coseno).Sea f : [0, L] −→ R una función suave a trozos que se anula en 0 yen L. Se verifica entonces que f puede expresarse como unasuperposición de funciones seno:

Serie de Fourier seno de f (t)

f (t) = b1 sin(πtL

)+ b2 sin

(2πtL

)+ ...+ bn sin

(nπtL

)+ ...

Los coeficientes bn vendrán dados por:

bn =2L

∫ L

0f (t) sin

(nπtL

),dt .

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Series de Fourier seno y cosenoLa justificación de esta propiedad es sencilla haciendo uso delas correspondientes propiedades de las funciones pares eimpares: evidentemente f (t) puede “extenderse” a una funciónimpar f : [−L, L] −→ R definiendo

f (t) =

{f (t), si t ∈ [0,L],−f (−t), si t ∈ [−L,0],

y a partir de aquí puede ampliarse esta extensión a una funciónperiódica de periodo 2L exigiendo que:

f (t + 2L) = f (t), para todo t ∈ R.

Esta función periódica pertenece al subespacio lineal de lasfunciones impares. Por lo visto en la sección anterior, f posee unaexpansión en series de Fourier y dado que f es impar, todos loscoeficientes an de su expansión (los que van con las funcionescoseno) son cero.

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Series de Fourier seno y cosenoEn el intervalo [0, L], f (t) se restringe a la función f (t) y la expansiónen series de Fourier de f se restringe a una expansión de f entérminos exclusivamente de funciones seno. Llamaremos entonces aesta expansión la serie de Fourier seno de f (t).

Un argumento similar (pero ahora relacionado con las funcionespares!) puede utilizarse para expresar una función suave a trozosf : [0, L] −→ R como una superposición de funciones coseno,

Serie de Fourier coseno de f (t)

f (t) =a0

2+ a1 cos

(πtL

)+ a2 cos

(2πtL

)+ ...+ an cos

(nπtL

)+ ...

Los coeficientes an vendrán dados por:

an =2L

∫ L

0f (t) cos

(nπtL

),dt .

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Series de Fourier seno y coseno

Ejercicio: Determinar las series de Fourier seno y cosenode la función

f (t) =

{t , para 0 ≤ t ≤ π/2,π − t , para π/2 < t ≤ π.

Hacer!

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Series de Fourier: versión compleja

La expresión que hemos visto anteriormente de la serie deFourier de una función, se dice que es la forma real de laserie. Sin embargo, a veces resulta bastante más cómodotrabajar con la forma compleja de la serie. La obtención deesta forma supone, esencialmente, hacer uso de la fórmulade Euler

eiθ = cos θ + i sin θ.

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La fórmula de Euler nos permite obtener las siguientesrelaciones:

cos θ =eiθ + e−iθ

2, sin θ =

eiθ − e−iθ

2i,

de modo que la expansión en series de Fourier de unafunción f (t) periódica, de periodo 2π, puede reescribirsecomo:

f (t) = a02 + a1

(eit + e−it )2 + a2

(ei2t + e−i2t )2 + ...+

+b1(eit − e−it )

2i + b2(ei2t − e−i2t )

2i + ...

Agrupando términos, llegamos a:87 / 90




Forma compleja de la serie de Fourier

f (t) = ...+ c−2e−2it + c−1e−it + c0 + c1eit + c2e2it + ...

La relación de los coeficientes ak y bk (k 6= 0) con loscoeficientes ck que aparecen en esta expresión es

ak = ck + c−k , bk = i(ck − c−k ).

Y el cálculo directo de estos coeficientes se hace a travésde:

ck =1

2π

∫ π

−πf (t)e−ikt dt .

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Ejemplo: Obtener los coeficientes complejos de la serie deFourier de

f (t) = t , −π < t ≤ π,

extendida para ser periódica de periodo 2π. A partir de loscoeficientes complejos, obtener los coeficientes de laforma real de la serie de Fourier.Tendremos que

ck =1

2π

∫ π

−πte−ikt dt .

Haciendo uso de integración por partes,

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ck = 12π

[(it/k)e−ikt |π−π −

∫ π

−π(i/k)e−ikt dt

]=

= 12π

[πik e−iπk − −πi

k eiπk]

=

= i (−1)k

k .

Por tanto,

ak = ck + c−k = 0, bk = i(ck − c−k ) = 2(−1)k+1

k.

Comentario: Este ejemplo ilustra como en un buen númerode ocasiones trabajar con la forma compleja de la serie deFourier es bastante menos “complejo” que trabajar con laforma real (valga la paradoja).

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