1. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorCaptulo III LA LNEA RECTA3.1DEFINICIN:Es el lugar geomtrico de los puntos que describen una funcin de modo que si setoman 2 puntos arbitrarios de esa funcin P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ), se cumple que lapendiente m es siempre constante. Donde m se define como:y y1m= 2x2 x1Es importante notar que la pendiente es numricamente igual a la tangente delngulo que forma la recta con el eje de las x (ngulo ).y y1Tg ( ) = m = 2x2 x1El ngulo medido se considera positivo en sentido antihorario (opuesto al sentido derotacin de las manecillas del reloj).Problema Resuelto 1:Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene una pendientem=2.Solucin:Para efectos de graficacin se calcula el ngulo que forma la recta con el eje de las x.69

2. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorTan ( ) = m = 2 = Tan 1 ( 2) = 63.44Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genricas P(x, y).Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). y 3m= x2Pero la pendiente de la recta en mencin tiene un valor de 2.m=2Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre s:y3=2x2Se elimina el denominador del trmino izquierdo:70 3. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadory 3 = 2( x 2)Se simplifica la expresin previa:y 3 = 2x 4Se despeja y:y = 2x 4 + 3y = 2x 1 SolucinLa expresin encontrada como solucin permite una rpida graficacin:y = 2x 1 x y-3 -7-2 -5-1 -3 0 -1 1 1 2 3 3 5El grfico que se obtiene es similar al que se present previamente.Verificacin:Como se esperaba, la recta pasa por el punto A(2, 3).Para verificar que la recta tenga la pendiente apropiada se seleccionan 2 puntosarbitrarios A(2, 3) y B(-2, -5). 71 4. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadory 2 y1m=x 2 x1 ( 5) ( 3) 5 3 8m= = = ( 2) ( 2) 2 2 4m=2NOTA 1: Si bien la solucin presentada es de la forma y = 2x 1 , igualmente pudohaberse descrito la solucin como y 2x + 1 = 0 (todos los trminos se pasaron almiembro izquierdo) o 2 y 4x + 2 = 0 (la ecuacin completa se multiplic por unaconstante), pues todas esas expresiones son equivalentes.NOTA 2: Para la obtencin de la ecuacin de la lnea recta se ha requerido aplicar ladefinicin de pendiente e incluir un punto genrico P(x, y) perteneciente a dicha recta.Problema Resuelto 2:Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(3, -5) y que est inclinada 45con relacin al eje positivo de las x.Solucin:Se dibuja la recta asumiendo que un ngulo positivo se mide antihorariamente (ensentido opuesto a la rotacin de las manecillas del reloj) desde el eje positivo de las x.La pendiente de la recta es la tangente del ngulo que forma con el eje positivo de lasx.m = Tan () = Tan ( 45 )m =1Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genricas P(x,y).72 5. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). y ( 5)m= x 3 y+5m= x 3Pero la pendiente de la recta en mencin tiene un valor de 1.m =1Se igualan las 2 expresiones anteriores:y+5 =1x 3Se elimina el denominador del trmino izquierdo:y + 5 = x 3Se despeja y:y = x 3 5Se simplifica la expresin anterior:y = x 8 SolucinSe encuentran los puntos que permitan una graficacin detallada de la recta:y = x 8 x y 0 -8 1 -7 2 -6 3 -5 4 -4 5 -3 73 6. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador6 -27 -18 09 1El grfico que se obtiene es:Verificacin:Como se esperaba, la recta pasa por el punto (3, -5).Por otro lado, la pendiente de la recta se puede calcular entre los puntos A(3, -5) y B(6,-2).y 2 y1m=x 2 x1 ( 2) ( 5) 2 + 5 3m== = (6) ( 3) 6 33m = 1 VerificadoOTRA DEFINICIN DE RECTA: Es el conjunto de puntos que, tomados porparejas, siempre presentan la misma inclinacin.3.2 ECUACIN PUNTO PENDIENTE:Como se demostr en los ejemplos anteriores, si se conoce un punto por el que pasa unarecta y su pendiente, es factible definir la ecuacin de la recta.Se toma una recta que pasa por el punto conocido P1 (x1 , y1 ); adems se conoce que larecta tiene una pendiente cuyo valor es m.74 7. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe dibuja un punto genrico P(x, y) perteneciente a la recta.Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido P1 (x1 , y1 ) y al puntogenrico P(x, y). y y1m=Ecuacin Punto-Pendiente x x1Otra forma de presentar la ecuacin de la recta se consigue al despejar y.y y1 = m( x x1)y = m( x x1 ) + y 1 Ecuacin Punto-PendienteProblema Resuelto 3:Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(2, 1) y tiene una pendiente m= -1 .Solucin:Para efectos de graficacin se calcula el ngulo que forma la recta con el eje de las x.Tg () = m = 1 = Tan 1 ( 1) 75 8. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador = 45El ngulo de -45 se debe medir en sentido horario desde el eje positivo de las x.Se traza un punto de coordenadas genricas P(x, y) sobre la recta.Se calc ula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). y 1m= x2Pero la pendiente de la recta en mencin tiene un valor de -1 (es dato del problema).m = 1Igualando las 2 expresiones anteriores:y 1 = 1x2Se elimina el denominador del trmino izquierdo:y 1 = 1( x 2)Simplificando:y 1 = x + 276 9. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorDespejando y:y = x + 2 +1y = x + 3 SolucinPara graficar detalladamente la solucin se prepara una tabla de evaluacin de valoresen base a la expresin previa.y = x + 3 x y-3 6-2 5-1 4 0 3 1 2 2 1 3 0El grfico que se obtiene es:Verificacin:La recta pasa por el punto (2, 1).La pendiente de la recta se puede calcular con los puntos A(2, 1) y B(-3, 6). y 2 y1m= x 2 x1 6 1 5m==( 3) 2 5m = 1El ngulo que forma la recta con el eje positivo de las x se puede obtener a partir deque la tangente de ese ngulo es igual a la pendiente.Tan ( ) = m = 1De donde el ngulo es: 77 10. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador = Tan 1 ( 1) = 45 VerificadoNOTA: Se debe observar que han sido necesarias 2 caractersticas independientes de larecta (un punto por el que pasa y la pendiente) para poder definir su ecuacin.Problema Resuelto 4:Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tiene una pendientem=1/3 .Solucin:Para efectos de graficacin se calcula el ngulo que forma la recta con el eje de las x.1Tg ( ) = m =31 1 = Tan 3 = 18.43El ngulo de 18.43 se debe medir en sentido antihorario desde el eje positivo de lasx.Se traza un punto de coordenadas genricas P(x, y) sobre la recta.Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P).78 11. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadory 1m=x 3Pero la pendiente de la recta en mencin tiene un valor de 1/3. 1m= 3Igualando las 2 expresiones anteriores:y 1 1=x 3 3Eliminando los denominadores:3( y 1) = 1( x 3)Simplificando:3y 3 = x 3Despejando y:3y = x 3 + 33y = x xy= Solucin 3Para graficar detalladamente la solucin se prepara una tabla de evaluacin:xy=3x y -9 -3 -6 -2 -3 -10 03 16 29 3El grfico que se obtiene es: 79 12. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorNOTA: Es importante mencionar que al no existir trmino independiente de lasvariables x y y en la ecuacin de la recta, sta pasa por el origen.Verificacin:La recta pasa por el punto (3, 1).La pendiente de la recta se puede calcular entre los puntos A(3, 1) y B(6, 2).y 2 y1m=x 2 x1 2 1m= 6 3 1m = Verificado 33.3ECUACIN PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN:Un caso especial de la ecuacin de la recta que pasa por un punto determinado y seconoce su pendiente es aquel en que se fija en qu punto intercepta la recta al eje de lasy y se define su pendiente. La forma simplificada de esta ecuacin recibe el nombrede Ecuacin Pendiente Ordenada al Origen.Se toma una recta que corte al eje de las y a una distancia b desde el origen, y queposee una pendiente m.El punto de corte de la recta con el eje de las y tiene por coordenadas (0, b), pues suproyeccin sobre el eje de las x es nula, y su proyeccin sobre el eje de las y es b.80 13. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe dibuja un punto genrico P(x, y) perteneciente a la recta.Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido A(0, b) y al puntogenrico P(x, y). ybm= x0Simplificando: ybm=xDespejando y:yb = mxy = m x + b Ecuacin Pendiente Ordenada al OrigenDonde:81 14. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorm: pendiente de la rectab: ordenada al origenProblema Resuelto 5:Encontrar la ecuacin de la recta que corta al eje de las y cinco unidades por encimadel origen, y tiene una pendiente m=-2 .Solucin:La pendiente negativa revela que la recta forma un ngulo horario con relacin al ejepositivo de las x. Con este dato se procede a realizar un dibujo tentativo de la recta,que adems debe cortar el punto A(0,5) cinco unidades por encima del origen.La ecuacin de la recta es:y = mx+ by = (2) x + 5y = 2x + 5 Ecuacin de la RectaNOTA 1: Se puede escribir muy rpidamente (inclusive sin necesidad de unarepresentacin grfica) la ecuacin de la recta.NOTA 2: Se debe observar que, igual que en la Ecuacin Punto Pendiente, han sidonecesarias 2 caractersticas independientes de la recta (la pendiente y el punto de crucecon el eje y) para definirla.Problema Resuelto 6:Encontrar la ecuacin de la recta que corta al eje de las y dos unidades por debajo delorigen, y tiene una pendiente m=3/2 .Solucin:La pendiente positiva significa que la recta forma un ngulo antihorario con relacin aleje positivo de las Con este dato se procede a realizar un dibujo tentativo de lax.recta, que adems debe cortar el punto A(0,-2) dos unidades por debajo del origen. 82 15. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa ecuacin de la recta es:y = mx+ b 3y = x2 23y = x 2 Ecuacin de la Recta2Para eliminar los denominadores, se puede multiplicar toda la ecuacin por 2.2 y = 3x 4Agrupando todos los trminos en el miembro izquierdo y cambiando de signo: 3x + 2 y + 4 = 03 x 2y 4 = 0 Ecuacin de la RectaProblema Resuelto 7:Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m=1 .Solucin:La recta debe pasar por el punto O(0, 0) y formar un ngulo positivo de 45 (pendienteigual a 1) con el eje de las x.La ecuacin de la recta es:83 16. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadory = mx+ by = (1) x + ( 0)y = x Ecuacin de la RectaProblema Resuelto 8:Parte 1:Una empresa fabricante de fundas de basura tiene Costos Fijos de funcionamiento(arriendo, seguridad, administrador) de US$ 1300 mensuales y Costos Variables deproduccin (material, mano de obra, depreciacin de maquinaria) de 5 centavos (US$0.05) por funda grande reforzada.Describir mediante la ecuacin de una lnea recta, en funcin del nmero de fundasproducidas mensualmente, cul es el costo total de produccin de esas fundas (medir endecenas de miles de fundas), y representar grficamente la funcin encontrada.Parte 2:Si todas las fundas pueden ser colocadas en el mercado, y el precio de venta es de 10centavos (US$ 0.10) por unidad, determine cul debe ser la produccin mensual de laempresa para que alcance el punto de equilibrio, en que los ingresos igualan a losegresos?Solucin Parte 1:El Costo Total proviene de aadir Costos Fijos y Costos Variables.Costo Total = CostoFijo + CostoVaria bleCT = CF + CVDe acuerdo al texto del problema, los costos fijos mensuales ascienden a US$1300CF = 1300Si se define como n al nmero de fundas producidas mensualmente, los costosvariables representan 0.05 veces n, pues producir cada funda cuesta US$ 0.05.CV = (0.05)( n )CV = 0.05nEl costo total es la suma de los costos fijos y los costos variables.CT = 1300 + 0.05n SolucinSe prepara una tabla que relacione el costo total mensual CT en dlares, con elnmero de fundas producidas mensualmente n:CT = 1300 + 0.05n n CT 0 1300 10000 1800 20000 2300 30000 2800 40000 3300 84 17. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEl grfico correspondiente describe la Funcin de Costos y es el siguiente:La ecuacin de la recta tambin pudo ser calculada como Pendiente Ordenada alOrigen, donde:m = 0.05 (5 centavos de costo por funda producida)b = 1300 (costos fijos)Solucin Parte 2:Si se define como n al nmero de fundas vendidas mensualmente (que en el presentecaso es igual al nmero de fundas producidas), y se colocan en el mercado a las fundas aun valor de 0.10 dlares por funda, el monto de ventas ser 0.10 veces n.MV = (0.10)( n )MV = 0.10n SolucinSe prepara una tabla que relacione el monto de ventas mensuales MV con el nmerode fundas producidas mensualmente n:MV = 0.10n n MV 0 0 10000 1000 20000 2000 30000 3000 40000 4000En el mismo grfico anterior se dibuja la nueva funcin pues tanto el Costo Total comoel Monto de Ventas tienen por unidad los dlares:85 18. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa ecuacin de la nueva recta tambin pudo calcularse como Pendiente Ordenada alOrigen, donde:m = 0.10 (10 centavos de precio por funda vendida)b=0El Punto de interseccin de las 2 rectas es el Punto de Equilibrio para las finanzas dela empresa, pues los costos incurridos en produccin igualan al monto de ventas de esosproductos.86 19. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorMatemticamente hablando, el punto que aparece en la interseccin debe cumplirsimultneamente con las ecuaciones de las 2 rectas que en el presente caso requieren uncambio de denominacin de variables a x y y:y = 0.05x + 1300y = 0.10xIgualando ambas expresiones se tiene:0.05x + 1300 = 0.10 xDespejando x:1300 = 0.10 x 0.05x1300 = 0.05x0.05x = 13001300x=0.05Simplificando:x = 26000 fundas SolucinEl costo de producir 26000 fundas de basura reforzadas al mes es de US$ 2600, y laventa de 26000 fundas reporta US$ 2600, por lo que una produccin de 26000 fundas esel punto de equilibrio de la empresa (los costos igualan a las ventas).Problema Resuelto 9:Se adquiri un vehculo nuevo para una empresa, por un valor de US$ 15000. Elmomento mismo en que el vehculo sali de la casa comercial, tuvo una depreciacininstantnea del 10% (si se intentara vender el vehculo apenas salido de la casacomercial, solamente se lo podra hacer al 90% del valor original). A partir de esemomento el valor comercial sufre una depreciacin adicional del 3% del valor decompra por cada 10000 Km de recorrido. Determinar una ecuacin que describa el valorcomercial del vehculo en funcin del kilometraje recorrido.Solucin:La prdida del 10% del valor significa que con 0 Km de recorrido el valor comercial delvehculo disminuye instantneamente de US$ 15,000 a US$ 13,500 (90% de US$15,000).Se definen las variables del problema:V: Valor comercial del vehculoK: Kilometraje del vehculoUna representacin grfica tentativa de la variacin del valor comercial sera: 87 20. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa depreciacin del 3% por cada 10,000 Km es equivalente a 0.03/10000 por cada Km(0.000003).Para efectos de graficacin se calcula una tabla con ciertos puntos del valor comercialen funcin del kilometraje.Kilometraje Valor Depreciacin por Kilometraje Valor Comercial (Km) Inicial(US$)(US$)(US$) 013,500 013,500-0=$ 13,500 2000013,500 0.000003*20000*$ 15,000=$ 900 13,500-900=$ 12,600 4000013,5000.000003*40000*$ 15,000=$ 1,800 13,500-1,800=$ 11,700 6000013,5000.000003*60000*$ 15,000=$ 2,700 13,500-2,700=$ 10,800 8000013,5000.000003*80000*$ 15,000=$ 3,60013,500-3,600=$ 9,90010000013,5000.000003*100000*$ 15,000=$4,50013,500-4,500=$ 9,900Las operaciones de la tabla se reflejan en la siguiente ecuacin:V = 13500 0.000003( K )(15000 )V = 13500 0.045( K ) Ecuacin de la Recta de DepreciacinEvaluando la ecuacin se tiene la siguiente tabla simplificada:V = 13500 0.045( K )K V 0 1350020000 1260040000 1170060000 1080080000 9900 100000 900088 21. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador120000 8100140000 7200160000 6300180000 5400El grfico correspondiente es:Es importante notar que la ecuacin deducida es del tipo Pendiente Ordenada alOrigen, donde la ordenada al origen es el valor inicial de vehculo (US$ 13500), y lapendiente es 0.045 que es el decrecimiento del precio por kilmetro, y va precedido porun signo negativo pues el valor del vehculo disminuye conforme aumenta elkilometraje.Por otro lado, aproximadamente a partir de los 300000 Km de recorrido, la Recta deDepreciacin empezara a tomar valores negativos, lo que en el mundo real no tieneningn sentido. La validez de la Recta de Depreciacin est limitada a decrecer hasta unpotencial Valor Residual del bien, o hasta un valor nulo, dependiendo de las polticas dela empresa.3.4ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS:Si se conocen 2 puntos por los cuales pasa una recta, se puede determinar la ecuacin dela misma. 89 22. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe puede calcular la pend iente de esa recta, basada en las coordenadas de los puntos P1y P2 . y 2 y1m= x 2 x1Se grafica un punto genrico P(x, y), perteneciente a la recta.Se puede calcular nuevamente la pendiente de la recta en base al punto conocido P1 (x1 ,y1 ) y al punto genrico P(x, y). y y1m= x x1Por la definicin de recta, las 2 expresiones que describen la pendiente de la recta debenser iguales.y y1 y 2 y 1=Ecuacin de la Recta que pasa por 2 Puntosx x1 x 2 x190 23. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorUna expresin alternativa se puede obtener despejando y.y 2 y1y y1 =( x x1 )x 2 x1y y1y = y1 + 2 ( x x 1 ) Ecuacin de la Recta que pasa por 2 Puntosx 2 x1NOTA: Es importante mencionar que si se conocen 2 caractersticas independientes deuna recta (un punto y su pendiente, o la pendiente y su ordenada al origen, o 2 puntos,etc.), queda definida su ecuacin.Problema Resuelto 10:Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(5, 1).Solucin:Se dibujan los 2 puntos y la recta que pasa por esos 2 puntos:Se calcula la pend iente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos: y 2 y1m= x 2 x11 3 2m= =5 2 32m=3Se coloca, en el grfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta. 91 24. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta entre el punto genrico y el punto A: y3m= x2Igualando las 2 expresiones que definen la pendiente:y32=x23Pasando los denominadores a los otros miembros:3( y 3) = 2( x 2 )Destruyendo parntesis:3 y 9 = 2x + 4Pasando todos los trminos al miembro izquierdo:2x + 3 y 9 4 = 02x + 3y 13 = 0 Ecuacin de la RectaOtra manera de presentar la ecuacin de la recta podra conseguirse al despejar y de laexpresin anterior.3 y = 2 x + 13 213y=x+Ecuacin de la Recta 3 3NOTA: Igual que en las Ecuaciones Punto Pendiente y Pendiente Ordenada alOrigen, han sido necesarias 2 caractersticas independientes de la recta (2 puntos).Problema Resuelto 11:Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(-3, -1) y B(4, 5).92 25. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSolucin:Se dibujan los 2 puntos y la recta que pasa por esos 2 puntos:Se calcula la pendiente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos: y 2 y1m= x 2 x1 5 ( 1) 5 + 1m== 4 ( 3) 4 + 3 6m= 7Se coloca, en el grfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta.Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genrico y el punto B (pudo habersetomado el punto A y el resultado final hubiera sido el mismo): y5m= x4Igualando las 2 expresiones previas:y5 6 =x4 7Pasando los denominadores a los otros miembros: 93 26. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador7 ( y 5) = 6 ( x 4)Destruyendo parntesis:7 y 35 = 6 x 24Pasando todos los trminos al miembro izquierdo:7 y 6 x 35 + 24 = 07 y 6 x 11 = 06 x 7 y + 11 = 0 Ecuacin de la RectaOtra manera de presentar la ecuacin de la recta podra conseguirse al despejar y de laexpresin anterior. 7 y = 6 x 117 y = 6 x + 11 611y= x+Ecuacin de la Recta 7 7Problema Resuelto 12:Parte 1:Un vendedor de telas a domicilio percibe un sueldo bsico de US$ 150 mensuales, yadicionalmente se le otorga un 5% sobre las ventas que realiza. Describir mediante unaecuacin la variacin de su sueldo mensual en funcin de los montos de sus ventas.Graficar la ecuacin.Parte 2:La esposa del vendedor de telas es representante de una empresa de cosmticos, y notiene sueldo bsico, pero recibe una comisin del 10% sobre las ventas. Obtener unaecuacin que describa sus ingresos mensuales en funcin de sus ventas. Graficar lafuncin.Parte 3:Si esposo y esposa vendieron lo mismo el mes pasado, y ganaron lo mismo, cuntovendieron y ganaron el mes anterior?Solucin Parte 1:El sueldo mensual del vendedor tiene dos componentes: un valor fijo (sueldo bsico) yun valor variable (sueldo por comisin), y puede representarse mediante la siguienteexpresin:Sueldo Total = Sueldo Bsico + Sueldo Por ComisinST = SB + SCDe acuerdo al texto del problema, el sueldo bsico asciende a US$150SB = 150 94 27. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSi se define como V al monto mensual de ventas realizadas, el Sueldo por Comisinrepresenta 0.05 veces V (5% de V).SC = 0.05VEl Sueldo Total es:ST = 150 + 0.05 V SolucinSe prepara una tabla que relacione el costo sueldo mensual total ST en dlares, con elvalor de las ventas realizadas V:ST = 150 + 0.05V V ST0 1501000 2002000 2503000 3004000 350El grfico correspondiente es:La ecuacin de la recta pudo ser calculada como Pendiente Ordenada al Origen,donde:m = 0.05 (5% de comisin sobre las ventas)b = 150 (sueldo bsico)Solucin Parte 2:El sueldo de la esposa del vendedor es variable y tiene un solo componente: el sueldopor comisin, que representa 0.10 veces las Ventas V (10% de V).ST = 0.10V SolucinSe prepara una tabla que relacione el costo sueldo mensual total ST en dlares, con elvalor de las ventas realizadas V, por la esposa del ve ndedor:95 28. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorST = 0.10V V ST 0 01000 1002000 2003000 3004000 400El grfico correspondiente, representado sobre el diagrama anterior, es:La ecuacin de la recta tambin pudo ser calculada como Pendiente Ordenada alOrigen, donde:m = 0.10 (10% de comisin sobre las ventas)b = 0 (sueldo bsico nulo)Solucin Parte 3:El nico punto de los diagramas, que cumple con tener sueldos iguales para ventasiguales (iguales ordenadas y abscisas) es la interseccin de las 2 rectas: 96 29. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorPara calcular las coordenadas de ese punto se debe resolver para la condicin decumplimiento simultneo de las 2 ecuaciones. Para el efecto se cambiarn las variablesa x y y:y = 150 + 0.05xy = 0.10xIgualando ambas expresiones se tiene:150 + 0.05x = 0.10 xDespejando x:150 = 0.10 x 0.05x150 = 0.05x0.05x = 150150x=0.05Simplificando:x = US $ 3000 SolucinReemplazando el valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones simultneas se tiene:y = 150 + 0.05x = 150 + 0.05(3000) = 150 + 150 = 300y = 0.10x = 0.10(3000) = 300y = US$ 300 SolucinUna venta de US$ 3000 reporta un sueldo de US$ 300 tanto al esposo como a la esposa.Problema Resuelto 13:Parte 1:Determinar una ecuacin lineal que relacione los Grados Centgrados (C) con losGrados Fahrenheit (F), si se conoce que al nivel del mar el agua se congela a 32 F y seevapora a 212 F.Parte 2:Los manuales de floricultura establecen que las rosas de calidad deben mantenerse enun ambiente de temperatura controlada entre 62 F y 80 F. A qu rango detemperatura en grados centgrados corresponden esos datos?Solucin Parte 1:Sobre el eje de las x se colocan los C, y sobre el eje de las y los F.Se dibujan los 2 puntos A(0C, 32F) y B(100C, 212F), y la recta que pasa por esos 2puntos: 97 30. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe calcula la pendiente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos: y 2 y1m= x 2 x1 212 32 180 18m=== 100 0 100 10 9m= 5Se coloca, en el grfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta.Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genrico y el punto A:y 32 y 32 m==x0 xIgualando las 2 expresiones anteriores: y 32 9=x5Pasando el denominador izquierdo al miembro derecho: 9 y 32 = x 5 98 31. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorDespejando y:9y = x + 325Cambiando las variables x y y a C y F respectivamente: 9F = ( C ) + 32 Solucin 5Otra manera de presentar la expresin consistira en despejar los C. 5C = ( F 32 ) Solucin Alternativa 9Solucin Parte 2:Aplicando la ltima expresin (solucin alternativa), se asigna temperaturas en gradosFahrenheit y se obtiene su equivalente en grados centgrados (grados Celsius).5 C = ( F 32 )962 F equivalen a 16.7 C.80 F equivalen a 26.7 C.El rango de variacin de la temperatura ptima para el cultivo de rosas de calidadest entre 16.7 C y 26.7 C.3.5ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTA:Si se conocen las distancias a las cuales corta una recta a los ejes x y y, se puededeterminar la ecuacin de la misma.Se dibuja una recta que corta al eje de las x a una distancia a desde el origen, y aleje de las y a una distancia b.Las coordenadas de los puntos de interseccin de la recta con los ejes principales seran:99 32. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa pendiente de la recta, en funcin de las coordenadas de los 2 pisos es: y 2 y1m= x 2 x1 b0m= 0 a bm= aSe dibuja un punto genrico P(x, y), perteneciente a la recta.Se calcula la pendiente de la recta empleando el punto genrico y uno de los puntos decoordenadas conocidas. y0ym= = x a x aIgualando las 2 expresiones anteriores: y b=xaaEliminando los denominadores: 100 33. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadora. y = b ( x a )Destruyendo parntesis:a.y = b.x + a.bPasando los trminos que contienen variables al miembro izquierdo:a.y + b.x = a.bDividiendo ambos miembros para a.b:a.y + b.x a.b= a .b a.ba.y + b.x=1 a .bSeparando el miembro izquierdo en 2 fracciones:a.y b.x + =1a.b a .bSimplificando las fracciones:y x + =1b aReordenando las fracciones del miembro izquierdo:x y + = 1 Ecuacin Simtrica de la Rectaa bProblema Resuelto 14:Encontrar la ecuacin de la recta que corta al eje de las abscisas 5 unidades a la derechadel origen, y al eje de las ordenadas 3 unidades hacia arriba del origen.Solucin:Se dibujan los 2 puntos A(5, 0) y B(0, 3), y la recta que pasa por esos 2 puntos:Se escribe directamente la ecuacin de la recta mediante su representacin simtrica: 101 34. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorx y + =1a bx y + = 1 Solucin5 3Como alternativa de presentacin se puede multiplicar a toda la ecuacin por 15 (5 x3), para eliminar denominadores:3 x + 5 y = 15 Solucin AlternativaNOTA: Una de las ventajas de la Ecuacin Simtrica de la Recta es que puede serrpidamente deducible a partir de su grfico; otra de las ventajas es que puede serrpidamente graficable a partir de su representacin matemtica.Problema Resuelto 15:Encontrar la ecuacin de la recta que corta al eje de las abscisas 6 unidades a laizquierda del origen, y al eje de las ordenadas 4 unidades hacia arriba del origen.Solucin:Se dibujan los 2 puntos A(-6, 0) y B(0, 4), y la recta que pasa por esos 2 puntos:Se escribe la ecuacin de la recta en su forma simtrica:x y + =1a b x y+ =16 4 x y + = 1 Solucin 6 4NOTA: a y b pueden tener valores tanto positivos como negativos. 102 35. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorProblema Resuelto 16:Un vehculo viaja a 30 m/seg (108 Km/h) por una autopista, y se ve obligado a frenar.En cada segundo la velocidad del vehculo disminuye en 8 m/seg (luego de 1 segundo lavelocidad es de 22 m/seg, luego de 2 segundos la velocidad es de 14 m/seg, etc.).Grafique la variacin de la velocidad del vehculo en el tiempo, y describa tal variacin mediante una ecuacin.Determine cunto tiempo se necesita para un frenado total?Qu distancia recorre el vehculo desde que empieza a frenar hasta que se detiene?Solucin Parte 1:Se prepara una tabla que relacione la velocidad del vehculo con el tiempo.Tiempo Velocidad (seg) (m/seg) 0 30 1 22 2 14 3 6A pesar de no disponer an de una funcin explcita, el texto del problema estableceque, cada segundo transcurrido, la velocidad desciende en 8 m/seg., lo que permiticrear la tabla.Se grafica la funcin obtenida:Se determina la pendiente de la recta, a partir de 2 de los puntos conocidos (A y B):y 2 y1m=x 2 x122 30 8m= = 1 01m = 8Se dibuja un punto genrico P(x, y), perteneciente a la recta: 103 36. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta entre el punto P y el punto A: y y1m= x x1 y 30m=x0 y 30m= xIgualando las 2 ecuaciones que define una expresin para la pendiente:y 30 = 8xEliminando el denominador del miembro izquierdo:y 30 = 8xReagrupando:8x + y = 30 Ecuacin de la RectaSe puede reorganizar la ecuacin para expresarla en su forma simtrica:8x + y 30 =30 308x + y =130Se separa el miembro izquierdo en 2 fracciones:8x y+ =130 30El nmero se debe pasar al denominador del denominador para llegar a la forma 8simtrica de la ecuacin: x y+=13030 8 104 37. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorReemplazando la fraccin 30/8 por su equivalente decimal:x y+ = 1 Ecuacin Simtrica de la Recta3.75 30La recta corta en 3.75 al eje de las x y en 30 al eje de las y.Solucin Parte 2:Interpretando directamente la ecuacin simtrica de la recta, y su representacin grfica,se tiene que luego de 3.75 segundos el vehculo se detiene (su velocidad se vuelvenula).t = 3.75 segundos Tiempo Total de FrenadoNOTA: Es importante mencionar que no tiene ninguna valor fsico el tiempo previo alinicio del frenado (tiempo negativo), ni el tiempo posterior al frenado total (mayor a3.75 segundos)Solucin Parte 3:Se calcula cunto recorre el vehculo durante el primer segundo de frenado, para lo quese define una velocidad promedio v que coincide con la velocidad instantnea a los0.5 segundos. El valor de esa velocidad promedio es:v 0 + v1v=230 + 22 52v= =22v = 26 m / segSu representacin grfica sera:105 38. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEl espacio recorrido en el primer intervalo de un segundo es la velocidad promedio v multiplicada por el tiempo transcurrido (1 segundo).e = v t v + v1 e= 0 t 2 30 + 22 e= (1) 2 La frmula anterior es equivalente al rea del trapecio entre el tiempo 0 y el tiempo1 y entre la recta calculada y el eje de las x (base mayor ms base menor, sobre 2,por altura).El espacio recorrido en el segundo intervalo de un segundo es la velocidad promedio deese intervalo multiplicada por el tiempo transcurrido (1 segundo).e = v t v + v2 e= 1 t 2 22 + 14 e= (1) 2 106 39. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa frmula anterior es equivalente al rea del trapecio entre el tiempo 1 y el tiempo2 y entre la recta calculada y el eje de las x.El espacio recorrido en los 2 primeros segundos es la suma de los valores anteriores (elespacio recorrido en el primer segundo ms el espacio recorrido en el segundosegundo).En trminos generales, en un diagrama tiempo-velocidad (tiempo en el eje de las x yvelocidad en el eje de las y), el espacio es el rea bajo la curva. Por tanto, el espaciototal que recorre el vehculo hasta el frenado total es el rea del tringulo formado por larecta calculada, el eje de las x y el eje de las y.El rea del tringulo es: base alturarea = 2 (3.75).( 30)rea =2107 40. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorrea = 56.25Por consiguiente el espacio que recorre el vehculo hasta frenar totalmente es:e = 56.25 m. Longitud de FrenadoNOTA: Un sinnmero de problemas pueden reducirse al clculo del rea bajo unacurva, siempre que la magnitud que se calcule provenga de multiplicar la magnitud de laordenada por el intervalo de la abscisa, y sea acumulable como en el caso de la longitudtotal recorrida.Problema Resuelto 17:Una empresa incursiona en el mercado con un nuevo producto, y durante la primerasemana en que las ventas son an sumamente bajas sus costos de produccin ycomercializacin exceden a sus ventas en US$ 2000. Cada semana que pasa, debido a sucampaa publicitaria y de ventas puerta a puerta, la inversin semanal adicional, poreste concepto, decrece linealmente en US$ 120 semanales (en la segunda semana seinvierte US$ 1880, en la tercera semana se invierte US$ 1760, etc.).Describa la inversin adicional que debe realizar la empresa desde que lanza el producto hasta que las ventas empiecen a producir utilidad.Durante cunto tiempo la empresa debe realizar esas inversiones adicionales?Cunto dinero representa la inversin adicional?Despus de cunto tiempo, a partir de la introduccin del producto, se recuperar totalmente esa inversin adicional?Solucin Parte 1:Se prepara una tabla que relacione la inversin adicional con los intervalos de tiempo enque se producen.y = x 8Tiempo Inversin (semanas) Semanal(US$)0-1 20001-2 18802-3 17603-4 16404-5 15205-6 1400Se grafica la funcin obtenida: 108 41. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEs evidente que la geometra escalonada de la funcin no es la que mejor representa elproblema, que debera denotar continuidad.Como se vio en el problema anterior, el punto que mejor representa a un intervalo detiempo, para modelar continuidad, es el punto medio del intervalo, de modo que sefijaran puntos caractersticos en la mitad de cada intervalo.Se unen todos los puntos fijados, definindose una lnea recta. 109 42. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe determina la pendiente de la recta, a partir de 2 de los puntos conocidos:y 2 y1m=x 2 x11880 2000 120m==1 .5 0 .5 1m = 120Se dibuja un punto genrico P(x, y), perteneciente a la recta:Se calcula la pendiente de la recta entre el punto P y el punto (0.5, 2000): y y1m= x x1 y 2000m=x 0 .5110 43. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorIgualando las 2 ecuaciones de pendiente:y 2000= 120 x 0 .5Eliminando el denominador del miembro izquierdo:y 2000 = 120( x 0.5)Eliminando parntesis:y 2000 = 120 x + 60Reagrupando:120 x + y 2060 = 0 Ecuacin de la RectaSolucin Parte 2:Se puede calcular el punto de cruce de la recta con el eje de las abscisas: 2060y = 0 120x = 2060 x = 120x = 17.17 semanas Tiempo que debe mantenerse la inversin adicionalSolucin Parte 3:Se calcula el punto de cruce de la recta con el eje de las ordenadas:x = 0 y 2060 = 0y = US $ 2060Se calcula la ordenada de la recta luego de transcurrida 1 semana:x = 1 120(1) + y 2060 = 0 y = 2060 120y = US $ 1940La inversin en la primera semana se puede calcular con el promedio de los 2 valoresanteriores (valor al inicio y valor al final de la semana), multiplicado por el tiempotranscurrido de 1 semana. 111 44. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 2060 + 1940 Inversin 1 = (1) = US$ 20002La expresin obtenida es numricamente igual al rea bajo la recta calculada,comprendida entre 0 y 1 semanas.La inversin en la segunda semana se puede calcular con el promedio de la ordenadapara 1 semana y la ordenada para 2 semanas. 1940 + 1820 Inversin 2 = (1) = US$18802La expresin obtenida es numricamente igual al rea bajo la recta calculada,comprendida entre 1 y 2 semanas.En un diagrama Tiempo - Inversin por unidad de tiempo (tiempo en el eje de las xe inversin por perodo de tiempo en el eje de las y), la inversi n acumulada es el reabajo la curva (bajo la recta). Por tanto, la inversin total adicional es el rea deltringulo formado por la recta calculada, el eje de las x y el eje de las y. 112 45. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEl rea del tringulo es: base alturarea = 2 (17.17).( 2060)rea =2rea = 17685Por consiguiente la inversin toral adicional ser:e = US$ 17685 Inversin Total AdicionalSolucin Parte 4:Del grfico anterior se puede deducir que a partir de las 17.17 semanas se empieza aformar un tringulo similar al analizado previamente, aunque invertido. 113 46. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorAl representarse ese tringulo con ordenadas hacia abajo, el rea representa utilidades.A partir de que las ventas sobrepasen a los costos, se requerirn 17.17 semanasadicionales para recuperar la inversin adicional realizada.NOTA: Desde el punto de vista de la toma de decisiones en la Administracin, laInversin Total Adicional de US$ 17,685 es una inversin del orden de los US$ 18,000.De igual manera, una espera de 17.17 semanas para suprimir las inversiones adicionalessemanales significa unas 18 semanas hasta lograr el objetivo propuesto. As mismo,17.17 semanas de utilidad para cubrir la inversin adicional significa aproximadamente18 semanas adicionales para alcanzar el objetivo.3.6ECUACIN GENERAL DE LA RECTA:La forma general de la ecuacin de la recta es:A .x + B .y + C = 0Problema Resuelto 18:Analizar las siguientes expresiones que constituyen ecuaciones de rectas, y extraerconclusiones acerca de los coeficientes de las variables y los trminos independientes.2 x + 3y 5 = 0 x+ y + 3 = 0x = 2y + 6y=xx=6y = 2Solucin:Es importante notar que algunos de los 3 parmetros que identifican a las rectas (A,B y C) pueden ser nulos, pero al menos uno de los coeficientes que multiplican alas variables (A o B) debe ser no nulo.Problema Resuelto 19:Representar grficamente las siguientes rectas:2 x + 3y 5 = 0 x+ y + 3 = 0x = 2y + 6y=xx=6y = 2Solucin:La representacin grfica de las 3 primeras rectas es la siguiente: 114 47. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa representacin grfica de las 3 ltimas rectas es la siguiente:3.7PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACIN GENERAL DE LA RECTA:Mediante manejos algbricos se puede encontrar una ecuacin equivalente a laEcuacin General de la Recta, con el formato de Pendiente Ordenada al Origen.A .x + B.y + C = 0Se despeja y:B.y = Ax C Ax Cy= BSe separa el miembro derecho en 2 fracciones:115 48. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorACy= x BBLa tradicional Ecuacin Pendiente Ordenada al Origen:y = mx + bComparando las 2 ecuaciones se tiene: Am=Pendiente de la Ecuacin General de la Recta BCb= Ordenada al Origen de la Ecuacin General de la RectaBProblema Resuelto 20:Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:2 x + 3y 5 = 0Solucin:Las constantes del formulario son:A=2B =3C = 5La pendiente es: Am= B 2m = Pendiente de la Recta 3La ordenada al origen es:Cb=B 5b=3 5b = Ordenada al Origen 3El grfico esquemtico de la recta es: 116 49. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorProblema Resuelto 21:Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:x = 2y + 6Solucin:Se transfieren todos los trminos al miembro izquierdo para obtener la forma general depresentacin de la recta:x 2y 6 = 0Las constantes del formulario son:A =1B = 2C = 6La pendiente es: Am= B1m= 2 1m = Pendiente de la Recta 2La ordenada al origen es: Cb= B 6b= 2b = 3 Ordenada al OrigenEl grfico esquemtico de la recta es: 117 50. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorProblema Resuelto 22:Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:x=6Solucin:Se transfieren todos los trminos al miembro izquierdo para obtener la forma general depresentacin de la recta:x6 = 0Las constantes del formulario son:A =1B=0C = 6La pendiente es:Am=B1m=0m = La recta es verticalLa ordenada al origen es: Cb= B 6b=0b = La recta no corta al eje de las yEl grfico esquemtico de la recta es: 118 51. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorProblema Resuelto 23:Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:y = 2Solucin:Se transfieren todos los trminos al miembro izquierdo para obtener la forma general depresentacin de la recta:y+2 = 0Las constantes del formulario son:A=0B =1C=2La pendiente es: Am= B 0m= 1m = 0 Pendiente de la RectaNOTA: La recta es horizontal.La ordenada al origen es:Cb=B2b=1 119 52. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorb = 2 Ordenada al OrigenEl grfico esquemtico de la recta es:3.8SEGMENTOS DE RECTA:Cuando se toma un tramo de una recta, limitado por 2 puntos extremos, se define unsegmento de recta.El segmento de recta sealado en el grfico se identifica como AB, y su longitud seespecifica como AB .Problema Resuelto 24:Calcular la longitud del segmento AB, si se conoce que el punto A tiene porcoordenadas (5, 3) y el punto B tiene coordenadas (-4, 1). 120 53. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSolucin:Se traza un grfico que contenga los 2 puntos e identifique al segmento AB.La longitud del segmento AB es numricamente igual a la distancia entre los puntos A yB.AB = [x 2 x 1 ]2 + [y 2 y 1 ]2Reemplazando las coordenadas de los puntos A y B se tiene:AB = [(4) (5)]2 + [(1) (3)]2AB = [ 9]2 + [ 2]2 = 81 + 4 =85AB = 85 Longitud del segmento AB3.9PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA Y DIVISIN DE UN SEGMENTO EN VARIAS PARTES IGUALES :Es el punto que forma parte del segmento de recta y equidista de los 2 extremos delsegmento.Las coordenadas del punto medio de un segmento de recta son el promedio de lascoordenadas de los puntos extremos.121 54. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorxa + x bxm = Coordenada x del punto medio 2ya + ybym =Coordenada y del punto medio 2Por analoga las coordenadas de los 2 puntos tercios (puntos intermedios que dividen alsegmento en 3 partes de igual longitud) seran: 2x a + x bx1 =Coordenada x de l primer punto tercio 3 2ya + y by1 = Coordenada y del primer punto tercio 3 x a + 2x bx2 =Coordenada x de l primer punto tercio3 y a + 2y by2 =Coordenada y del primer punto tercio3De igual manera, las coordenadas de los n-1 puntos que dividen a un segmento en npartes iguales son: (n i ).x a + i .x bxi = ; i = 1 , 2 , ... n 1 Coordenada x de l punto in ( n i ).y a + i .y byi =; i = 1 , 2 , ... n 1 Coordenada y del punto i n 122 55. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorProblema Resuelto 25:Dados los puntos P(-3, 5) y Q(4, -2), determinar las coordenadas del punto medio delsegmento PQ.Solucin:Se traza un grfico que contenga los 2 puntos e identifique al segmento PQ.Se ubica de manera aproximada al punto medio M, y se identifican literalmente suscoordenadas.123 56. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe aplican las ecuaciones del punto medio de un segmento: x p + xqxm =2 yp + yqym =2Reemplazando los valores de las coordenadas conocidas se tiene: ( 3) + ( 4)xm =2 1x m = Coordenada x del punto medio 2 (5) + (2)ym =2 3y m = Coordenada y del punto medio 2Las coordenadas del punto medio M son (1/2, 3/2).Problema Resuelto 26:El punto M(2, -1) es punto medio de un segmento. Si se conoce que uno de losextremos del segmento es el punto A(6, 3), cules son las coordenadas del otro extremoB del segmento?Solucin:Se traza un grfico que contenga los 2 puntos, y la mitad del segmento AB. 124 57. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorDado que M es el punto medio del segmento AB, el punto B deber ubicarse sobre laprolongacin de la recta, desde M en direccin opuesta al punto A, exactamente a lamisma distancia.Las expresiones que definen las coordenadas del punto medio son:xa + xbxm = 2y + ybym = a 2Reemplazando los valores conocidos, que son las coordenadas del punto A y las delpunto medio M se tiene: (6) + x b( 2) = Ecuacin 1 2125 58. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador(3) + y b( 1) = Ecuacin 22Simplificando y despejando xb de la primera ecuacin se tiene:6 + xb2= 24 = 6 + xb 2 = xbx b = 2Simplificando y despejando yb de la segunda ecuacin se tiene:3 + yb1 = 2 2 = 3+ yb 5 = yby b = 5Las coordenadas del punto B son (-2, -5), y su representacin grfica es:3.10 RECTAS PARALELAS:Dos rectas son paralelas si forman el mismo ngulo con los ejes de coordenadascartesianas.126 59. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorDebido a que la pendiente es la tangente del ngulo que forma el eje positivo de las xcon la recta, dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.Se toman rectas L1 y L2 , cuyas ecuaciones genricas seran:L1 : A1 .x + B1.y + C1 = 0L2 : A 2 .x + B 2 .y + C 2 = 0Las pendientes de las 2 rectas son:A1m1 = B1Am2 = 2B2Por la condicin de paralelismo las 2 pendientes deben ser iguales:m1 = m2 127 60. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorA1 A= 2B1 B2Cambiando de signo a los 2 miembros de la ecuacin:A1 A 2=B1 B 2Agrupando las expresiones en A en el miembro izquierdo, y las expresiones en Ben el miembro derecho:A1 B1= Proporcionalidad en Rectas ParalelasA2 B2Matemticamente se lee: A1 es a A2 como B1 es a B2 .Dos rectas son pa ralelas si los coeficientes de las variables independiente (x) ydependiente (y) guardan proporcionalidad.NOTA: Para que se cumpla el paralelismo entre rectas NO SE REQUIERE QUE LOSTRMINOS INDEPENDIENTES GUARDEN PROPORCIONALIDAD CON LOSCOEFICIENTES DE LAS VARIABLES.Problema Resuelto 27:Demostrar que las siguientes 3 rectas son paralelas:L1 : 2 x + 3y 5 = 0L2 : 4x + 6 y + 3 = 0L3 : 2x 3y 14 = 0Solucin:Se verifica la proporcionalidad de los coeficientes de las variables.Se comparan las 2 primeras ecuaciones:L1 : 2x + 3y 5 = 0L2 : 4 x + 6y + 3 = 0Se cumple que:2 3 = L1 y L2 son paralelas4 6Se comparan la primera y tercera ecuaciones:L1 : 2x + 3y 5 = 0L3 : 2 x 3 y 14 = 0Se cumple que: 2 3 = L1 y L3 son paralelas 2 3128 61. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorPor consiguiente todas las rectas son paralelas.La representacin grfica de las 3 ecuaciones es:Problema Resuelto 28:Encontrar la ecuacin de la recta paralela a:x 2y + 7 = 0Que pasa por el punto A(1, 3).Solucin:Se calcula la pendiente en base a las expresiones de la Ecuacin General de la Recta. Am1 = B1m1 = 2 1m1 = 2Por la condicin de paralelismo, la nueva recta deber tener la misma pendiente. 1m2 = 2La nueva recta debe pasar por el punto A(1, 3).En este punto se podra resolver el problema con la metodologa de la Ecuacin Punto Pendiente pero, para proporcionar alternativas de solucin, se aprovechar la EcuacinGeneral de la Recta que es:A .x + B.y + C = 0 129 62. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorDividiendo la ecuacin para A, para eliminar uno de los coeficientes numricos, setiene:A B Cx + y+ = 0A A A BCx+ y+ = 0 AAEl cociente de 2 constantes es otra constante, por lo que otra manera de representar larecta es:x + B 1 y + C1 = 0 Ecuacin EquivalenteEs importante mencionar que se desconocen los valores de B1 y C1 , por lo que serequerirn 2 condiciones independientes para calcularlos.La pendiente de la recta es el cociente del coeficiente de x para el coeficiente de ycambiado de signo. 1 1m== B1 2Despejando B1:( 1)( 2) = B1B 1 = 2Reemplazando B1 en la Ecuacin Equivalente se tiene:x 2y + C1 = 0Si la recta pasa por el punto A(1, 3), al reemplazar estas coordenadas (x=1 , y=3) debesatisfacerse la ecuacin anterior.(1) 2(3) + C1 = 0Simplificando:1 6 + C1 = 0 5 + C1 = 0C1 = 5Reemplazando en la ecuacin:x 2y + C1 = 0x 2 y + 5 = 0 Ecuacin de la RectaLa representacin grfica de las 2 rectas es: 130 63. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorProblema Resuelto 29:Una propiedad tiene la siguiente geometra, en la que las coordenadas se miden enmetros:En el lindero DC existe una calle secundaria que el Municipio ha decidido ampliarlapara convertirla en principal, por lo que en la direccin del terreno deber ensancharseen 10 m.Calcular el rea del terreno antes y despus de la ampliacin de la calle.Solucin:Se calcula inicialmente el rea del terreno, que por ser un polgono cerrado puededeterminarse mediante el siguiente procedimiento, que se discuti en el captuloanterior.Se ordenan los vrtices con sus respectivas coordenadas, en sentido antihorario, teniendo la precaucin de terminar en el mismo punto en que se empez. A(20, 10) B(60, 20) C(70, 70)131 64. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorD(10, 70)A(20, 10) Con las coordenadas de los puntos detallados se construye una tabla ordenada de2 columnas, la primera con la coordenada x de cada punto y la segundacolumna con la coordenada y.xy 20 10 60 20 70 70 10 70 20 10 Se ejecutan todos los productos diagonales consecutivos entre nmeros de laprimera columna con nmeros de la segunda columna y se los suma, con surespectivo signo. Suma 1 = ( 20 20) + (60 70) + ( 70 70) + (10 10) Suma 1 = 400 + 4200 + 4900 + 100 Suma 1 = 9600 Se ejecutan todos los productos diagonales consecutivos entre nmeros de lasegunda columna con nmeros de la primera columna y se los suma, con surespectivo signo. Suma 2 = (10 60) + (20 70) + (70 10) + (70 20) Suma 2 = 600 + 1400 + 700 + 1400 Suma 2 = 4100 Se calcula la diferencia entre las 2 sumas y el resultado es el doble del rea delpolgono. 2 rea = 9600 4100 2 rea = 5500 m 2 rea Inicial = 2750 m 2 Solucin 1En segundo trmino se dibuja el recorte del terreno debido al ensanchamiento de lacalle. 132 65. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa recta que representa el lmite del recorte define un punto de interseccin con ellindero AD (punto E) y otra interseccin con el lindero BC (punto F).Para calcular las coordenadas de los puntos E y F se requiere calcular las ecuaciones delas rectas DC, AD y BC, y tambin la recta EF.Ecuacin de la recta DC: La pendiente de la recta DC es:y 2 y1 m=x 2 x170 70 m=10 700 m= 60 m=0 Para determinar la ecuacin de la recta se coloca en la misma un punto genrico P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto C.133 66. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador y y1m= x x1 y 70m= x 70Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales:y 70 =0x 70Se pasa el denominador de la fraccin al miembro derecho:y 70 = 0( x 70)Cualquier expresin multiplicada por Cero es Cero.y 70 = 0 Ecuacin de la Recta DCEs importante notar que, debido a que la recta es paralela al eje x (eshorizontal), no existe expresin en x dentro de la ecuacin de la recta.Otra manera, ms explcita, de escribir la ecuacin de la recta DC es:y = 70 Ecuacin Equivalente de la Recta DCLa expresin anterior significa que forman parte de la recta DC todos lospuntos cuya coordenada y sea igual a 70. Ecuacin de la Recta EF:El grfico descriptivo es el siguiente:134 67. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorPor todo lo detallado en la determinacin de la recta DC, es fcil escribirdirectamente la ecuacin de la recta EF, que limita el recorte del terreno, que esparalela a y = 70 y que est separada de la recta anterior 10 unidades endireccin del terreno:y = 60 Ecuacin de la Recta EF Ecuacin de la Recta AD:La pendiente de la recta AD es:y 2 y1m=x 2 x170 10m=10 20 60m= 10m = 6Para determinar la ecuacin de la recta se coloca en la misma un punto genricoP(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto D. 135 68. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador y y1m= x x1 y 70m= x 10Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales:y 70 = 6x 10Se pasa el denominador de la fraccin al miembro derecho:y 70 = 6( x 10)Se simplifica la expresin anterior:y 70 = 6x + 606 x + y 70 60 = 06x + y 130 = 0 Ecuacin de la Recta AD Ecuacin de la Recta BC:La pendiente de la recta BC es: y 2 y1m= x 2 x1 70 20m= 70 60 50m= 10m=5Para determinar la ecuacin de la recta se coloca en la misma un punto genricoP(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto B. 136 69. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador y y1m= x x1 y 20m= x 60 Las 2 expresiones anteriores deben ser iguales:y 20 =5x 60 Se pasa el denominador de la fraccin al miembro derecho:y 20 = 5( x 60) Se simplifica la expresin:y 20 = 5x 300 5x + y 20 + 300 = 0 5x + y + 280 = 0 Ecuacin de la Recta BCEl punto E pertenece tanto a la recta EF como a la AD, razn por la cual debe cumplirsimultneamente las 2 expresiones:y = 606 x + y 130 = 0Reemplazando la primera ecuacin en la segunda se tiene:6 x + ( 60) 130 = 0Simplificando:6 x 70 = 06 x = 70 70x=6x = 11.67137 70. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLas coordenadas del punto E son:E (11.67, 60)El punto F, por su parte, pertenece tanto a la recta EF como a la recta BC, por lo quedebe cumplir con:y = 60 5x + y + 280 = 0Reemplazando la primera ecuacin en la segunda se tiene: 5x + ( 60) + 280 = 0Simplificando: 5x + 340 = 05x 340 = 05x = 340340x= 5x = 68Las coordenadas del punto F son:F( 68, 60)El rea del terreno recortado se calcula con el procedimiento antes descrito: Los puntos ordenados son:A(20, 10)B(60, 20)F(68, 60)E(11.67, 60)A(20, 10) La tabla de referencia para el clculo del rea es:138 71. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorxy 20 10 60 20 68 6011.67 60 20 10La suma de los primeros productos diagonales es: Suma 1 = ( 20 20) + (60 60) + ( 68 60) + (11.67 10) Suma 1 = 400 + 3600 + 4080 + 116.7 Suma 1 = 8196.7La suma de los segundos productos diagonales es: Suma 2 = (10 60) + ( 20 68) + (60 11.67) + (60 20) Suma 2 = 600 + 1360 + 700.2 + 1200 Suma 2 = 3860.2La diferencia entre las 2 sumas es el doble del rea del polgono. 2 rea = 8196.7 3860.2 2 rea = 4336.5 m 2 rea Re ducida = 2168.25 m 2 Solucin 2PROBLEMAS MISCELNEOS:Problema Resuelto 30:Parte 1 (Escenario Base):Luego de la inversin inicial en infraestructura, estudios de mercado y promocinprevia, una empresa lanza un nuevo producto al mercado. Un anlisis inicial estableceque durante las primeras 10 semanas de ventas, los accionistas debern realizar unainversin adicional total de US$ 15.000 (inversin acumulada durante las 10 primerassemanas), y que la inversin semanal decrece de modo lineal.Graficar el comportamiento de la inversin adicional, encontrar la ecuacin quedescribe ese comportamiento, y determinar cunto de esa inversin se utilizar en laprimera semana?Parte 2 (Escenario Pesimista):Un anlisis poco optimista establece que la estimacin de variacin semanal de lainversin adicional es correcta, pero la inversin durante la primera semana podra serun 50% superior a la estimada en el escenario base.Graficar el comportamiento pesimista de la inversin adicional, y describir dichocomportamiento mediante una ecuacin. Determinar el tiempo durante el cual losaccionistas debern continuar realizando inversiones antes de iniciar la recuperacin deese dinero, y estimar la inversin adicional total (inversin acumulada) que se requierepara comercializar ese nuevo producto.139 72. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSolucin Parte 1 (Escenario Base):Se dibuja la variacin de la inversin inicial, fijando 10 semanas como tope, a partir decuyo valor la comercializacin del producto debera empezar a producir utilidades.Siguiendo un proceso similar al establecido en el Problema Resuelto 17 de estecaptulo, se puede identificar que la inversin adicional acumulada es numricamenteigual al rea del tringulo limitado por el eje de las x, el eje de las y y la recta quedescribe la inversin adicional.El rea del tringulo puede calcularse como base por altura sobre dos. base alturaArea = = 15000 2Reemplazando los valores fijados para la base y la altura: (10) bArea == 150002Despejando b:140 73. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador (15000) ( 2)b= (10)Simplificando:b = US $ 3000 Inversin en la Primera Semana Escenario BaseLa manera ms rpida de obtener la ecuacin de la recta consiste en utilizar su formasimtrica:a = 10b = 3000x y + =1a bReemplazando a y b en la ltima ecuacin: x y += 1 Ecuacin de la Recta de Inversin Adicional Escenario Base10 3000Solucin Parte 2 (Escenario Pesimista):El escenario pesimista establece que la inversin adicional durante la primera semana,en lugar de ser de US$ 3000, puede llegar a ser un 50% ms alta que la fijada en elescenario base.b 2 = 1.50 b1b 2 = 1.50(3000)b 2 = 4500 Inversin en la Primera Semana Escenario PesimistaAdicionalmente se fija que la variacin semanal de la inversin inicial ser similar a ladel Escenario Base, lo que denota que la pendiente de la segunda recta es igual a lapendiente de la primera recta (ambas rectas son paralelas).Para calcular la pendiente de la primera recta, se definen 2 puntos (A y B)pertenecientes a dicha recta:141 74. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorCon las coordenadas de los puntos A y B se puede calcular la pendiente: y 2 y1m= x 2 x1 (3000) (0)m= (0) (10)Simplificando:3000m= 10m1 = 300La recta que modela el Escenario Pesimista tiene la misma pendiente que la delEscenario Base, por lo que:m 2 = 300 Pendiente Escenario PesimistaSe puede dibujar la recta del Escenario Pesimista:142 75. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa ecuacin de la recta del Escenario Pesimista (pendiente ordenada al origen) es:y = m.x + by = ( 300).x + ( 4500)y = 300x + 4500 Ecuacin de la Recta de Inversin Adicional Escenario PesimistaDe acuerdo al grfico, los accionistas debern permanecer 15 semanas manteniendoinversiones adicionales hasta iniciar el perodo de recuperacin de capital por utilidades.Tiempo de Invers in Adicional = 15 semanasEl monto acumulado de Inversin adicional es el rea bajo la nueva recta, que conformaun tringulo con los ejes coordenados positivos.base alturaInversin Acumulada = Area =2(15) ( 4500)Inversin Acumulada = 2Inversin Acumulada = US$ 33750Problema Resuelto 31:Parte 1 (Impuesto a la Renta del 2003):Las personas naturales deben pagar el impuesto a la renta del ao 2003 de acuerdo a lassiguientes reglas:Las personas cuyos ingresos gravables no superen los US$ 6000 al ao no pagarn impuesto.Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 6000 y US$ 12000 pagarn el 5% sobre ese exceso de US$ 6000.Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 12000 y US$ 24000 pagarn el 10% sobre ese exceso de US$ 12000, ms los impuestos de las escalas anteriores.Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 24000 y US$ 36000 pagarn el 15% sobre ese exceso de US$ 24000, ms los impuestos de las escalas anteriores.Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 36000 y US$ 48000 pagarn el 20% sobre ese exceso de US$ 48000, ms los impuestos de las escalas anteriores.Los ingresos gravables que superen los US$ 48000 pagarn el 25% sobre ese exceso, ms los impuestos de las escalas anteriores.Determinar las expresiones que permiten calcular el monto del impuesto del 2003 enfuncin de los ingresos gravables de las personas, para cada rango de ingresos, ygraficar tales ecuaciones. 143 76. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorParte 2 (Impuesto a la Renta del 2002):El clculo del impuesto a la renta del ao 2002 se ajusta a las siguientes reglas, bastantesimilares a las anteriormente mencionadas, pero con rangos de validez diferentes:Las personas cuyos ingresos gravables no superen los US$ 5000 al ao no pagarn impuesto.Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 5000 y US$ 10000 pagarn el 5% sobre ese exceso de US$ 5000.Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 10000 y US$ 20000 pagarn el 10% sobre ese exceso de US$ 10000, ms los impuestos de las escalas anteriores.Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 20000 y US$ 30000 pagarn el 15% sobre ese exceso de US$ 20000, ms los impuestos de las escalas anteriores.Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 30000 y US$ 40000 pagarn el 20% sobre ese exceso de US$ 30000, ms los impuestos de las escalas anteriores.Los ingresos gravables que superen los US$ 40000 pagarn el 25% sobre ese exceso, ms los impuestos de las escalas anteriores.Determinar las expresiones que permiten calcular el monto del impuesto del 2002 enfuncin de los ingresos gravables de las personas, para cada rango de ingresos, ygraficar tales ecuaciones.Analizar las condiciones de paralelismo entre los segmentos de recta que describen elclculo del impuesto del 2002 y del 2003.Solucin Parte 1 (ao 2003):Se prepara una tabla con el clculo del impuesto en los lmites inferior y superior decada intervalo de ingresos gravables: IngresoEscalaClculoImpuesto GravableCausado (US$) (US$) 00%0x00 6000 0%6000x0 0 120005%(6000x0.05)+0300 2400010% (12000x0.10)+300 1500 3600015% (12000x0.15)+15003300 4800020% (12000x0.20)+33005700 >48000 25% [(Ingreso-48000)x0.25]+5700..Se trasladan los datos de la tabla a un grfico:144 77. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa pendiente de cada una de las rectas est dada por la escala de impuesto que lecorresponde al intervalo de ingresos gravables (5% m=0.05; 10% m=0.10; 15% m=0.15; ).Las coordenadas de los puntos de cambio de rectas tambin se determinan a partir de latabla anterior.Las ecuaciones de cada uno de los segmentos de recta pueden ser calculadas mediante elmodelo Punto Pendiente. 145 78. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador Intervalo deEcuacin del Impuesto a la RentaEcuacin Genrica Ingresos(US$) Gravables (US$) 0-6000Impuesto = 0y=0 6000-12000Impuesto = 0.05 (Ingreso 6000)y = 0.05(x6000) 12000-24000 Impuesto = 0.10 (Ingreso 12000) + 300 y = 0.10(x12000)+300 24000-36000 Impuesto = 0.15 (Ingreso 24000) + 1500y = 0.15(x-24000)+1500 36000-48000 Impuesto = 0.20 (Ingreso 48000) + 5100y = 0.20(x-36000)+3300 >48000Impuesto = 0.25 (Ingreso 96000) + 14700 y = 0.25(x-48000)+5700Solucin Parte 2 (ao 2002):Se prepara otra tabla para el clculo de los impuestos del 2002: IngresoEscala ClculoImpuesto Gravable Causado (US$)(US$) 00% 0x00 5000 0% 5000x0 0 100005% (5000x0.05)+0250 2000010%(10000x0.10)+250 1250 3000015%(10000x0.15)+12502750 4000020%(10000x0.20)+27504750 >40000 25%[(Ingreso-40000)x0.25]+4750..Se trasladan los datos de la tabla a un grfico de coordenadas:Las ecuaciones de cada uno de los segmentos de recta pueden ser calculadas mediante elmodelo Punto Pendiente. 146 79. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador Intervalo deEcuacin del Impuesto a la RentaEcuacin Genrica Ingresos(US$) Gravables (US$) 0-5000Impuesto = 0y=0 5000-10000Impuesto = 0.05 (Ingreso 5000)y = 0.05(x5000) 10000-20000 Impuesto = 0.10 (Ingreso 10000) + 250 y = 0.10(x10000)+250 20000-30000 Impuesto = 0.15 (Ingreso 20000) + 1250y = 0.15(x-20000)+1250 30000-40000 Impuesto = 0.20 (Ingreso 30000) + 2750y = 0.20(x-30000)+2750 >40000Impuesto = 0.25 (Ingreso 40000) + 4750y = 0.25(x-40000)+4750Al comparar las pendientes de las rectas del impuesto a la renta del 2003 con el 2002, seencuentra que presentan segmentos con impuesto del 0% (m=0.00), segmentos conimpuesto del 5% (m=0.05), segmentos con impuesto del 10% (m=0.10), etc., quedefinen rectas paralelas entre los 2 modelos de pago.Problema Resuelto 32:Parte 1:Un estudio de mercado revela que en la ciudad no existen empresas que vendan relojesparlantes de mltiples servicios (hora, temperatura, humedad, agenda, etc.) para novidentes y personas de baja visin. El mismo estudio indica que si se vendieran relojesde este tipo a US$ 40 cada uno, se colocaran alrededor de 200 unidades por ao; si sevendieran a US$ 39 los compradores anuales podran ser 400; a US$ 38 los potencialesclientes interesados llegaran a 600, a US$ 37 se venderan unos 800 relojes, etc.Representar grficamente este comportamiento de mercado, y encontrar la funcin quelo describe.Parte 2:Una empresa ecuatoriana est en capacidad de fabricar los relojes parlantes de esascaractersticas tcnicas, a un costo de US$ 20 por unidad, siempre que se supere una147 80. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorproduccin de 400 unidades anuales. Encontrar grficamente cul debera ser laproduccin anual de la empresa para alcanzar la mayor utilidad total.Solucin Parte 1:Se prepara una tabla que describa la variacin de los potenciales clientes con el preciode venta de los relojes: Precio UnitarioNmero de Venta Potencial de (US$)Relojes Vendidos 40 200 39 400 38 600 37 800 36 1000 35 1200 30 2200 25 3200 20 4200Se trasladan los datos de la tabla a un grfico:Para calcular la ecuacin de la recta descrita en el grfico se determina en primer lugarla pendiente tomando como referencia los puntos (200, 40) y (400, 39). y 2 y1m= x 2 x139 40 1m== 400 200 200 1m=200Se calcula nuevamente la pendiente entre el punto (200, 40) y un punto genrico P(x, y). y y1m= x x1148 81. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadory 40m= x 200Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales: y 40 1=x 200200Pasando los denominadores a los otros miembros:200( y 40) = ( x 200)Simplificando:200 y 8000 = x + 200Despejando y:200 y = x + 200 + 8000200 y = x + 8200 x + 8200y=200 1 8200y=x+200 2001y=x + 41 Solucin200Solucin Parte 2:Se representa en el diagrama anterior el valor constante de produccin de US$ 20, apartir de una produccin de 400 relojes, y se identifican los costos unitarios deproduccin y las utilidades unitarias:149 82. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorDel grfico se deduce claramente que la utilidad unitaria (utilidad por cada relojvendido) se obtiene restando el costo unitario de produccin del valor de mercado delproducto. As mismo, es evidente que si la produccin sobrepasara de 4200 relojes, laempresa perdera dinero.Utilidad Unitaria = Valor Unitario de Mercado Costo Unitario de ProduccinEn la expresin anterior el costo unitario de produccin es de US$ 20.Utilidad Unitaria = Valor Unitario de Mercado US$ 20As mismo, la utilidad total se obtiene multiplicando la Utilidad Unitaria por el nmerode relojes vendidos.Utilidad Total = (Utilidad Unitaria) x (Nmero de Relojes)Se trasladan a una tabla las expresiones anteriores: Nmero de PrecioUtilidad Unitaria Utilidad Total Relojes Unitario(US$) (US$) Vendidos(US$) 400 3939-20=1919x400=7600 600 3838-20=1818x600=10800 800 3737-20=1717x800=13600 10003636-20=1616x1000=16000 12003535-20=1515x1200=18000 22003030-20=1010x2200=22000 32002525-20=5 5x3200=16000 42002020-20=0 0x4200=0 1 1 x + 41 20 = x + 21 x = x 1 x + 41 200 200 2001 1 2 x + 21 x + 21x 200 200En la tabla se puede observar claramente que la mayor utilidad total corresponde a unvalor alrededor de 2200 relojes producidos y vendidos. Con el objeto de afinar eseresultado se ampliar la tabla a una produccin de 2000, 2100, 2300 y 2400 relojes. 150 83. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorAdems se puede observar que se han generalizado los clculos de cada elemento de lamatriz mediante el uso de un formulario descrito en la ltima fila de la tabla.Por las condiciones del problema no tiene ningn sentido una evaluacin de parmetrospara una produccin inferior a 400 relojes por ao. Nmero de PrecioUtilidad UnitariaUtilidad Total Relojes Unitario(US$)(US$) Vendidos(US$) 400 3939-20=19 19x400=7600 600 3838-20=18 18x600=10800 800 3737-20=17 17x800=13600 10003636-20=16 16x1000=16000 12003535-20=15 15x1200=18000 20003131-20=11 11x2000=22000 210030.530.5-20=10.5 10.5x2100=22050 22003030-20=10 10x2200=22000 230029.529.5-20=9.59.5x2300=21850 24002929-20=99x2400=21600 32002525-20=55x3200=16000 42002020-20=00x4200=0 1 1 x + 41 20 =x + 21 x = x 1 x + 41 200 200 200 11 2 x + 21 x + 21x 200 200En base a los datos anteriores se puede preparar un grfico que relacione la utilidad total(columna extrema derecha) con el nmero de relojes vendidos (columna extremaizquierda).Una produccin de alrededor de 2100 relojes anuales generara una utilidadmxima total aproximada de US$ 22050. 151 84. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorOtro aspecto adicional es que la curva graficada, que proviene del producto de 2funciones lineales, es una parbola de segundo grado.Problema Resuelto 33:La longitud mnima de las pistas areas comerciales, al nivel del mar, es de 2800 m.Debido a la disminucin de la densidad del aire, con la altitud, por cada 400 m. de alturadebe incrementarse la longitud de la pista area en 100 m. Representar grficamente lasnecesidades mnimas de la pista area en funcin de la altitud geogrfica.Identificar en ese grfico una pista area para la ciudad de Guayaquil (50 m.s.n.m. 50metros sobre el nivel del mar), una pista para la ciudad de Quito (2850 m.s.n.m.) y unapista para el nuevo aeropuerto internacional en Puembo Tababela (2600 m.s.n.m.).Solucin Parte 1:Se prepara una tabla que describa la variacin de la longitud mnima de la pista enfuncin de la altitud. AltitudLongitud de Pista (m.s.n.m.) (m)0 2800400 2900800 30001200310016003200200033002400340028003500La representacin grfica de los puntos es:Es importante reconocer que sobre el eje de las x se pudo graficar la altitud y sobre eleje de las y se pudo representar a la longitud mnima de la pista, pues esos son 152 85. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorgeneralmente los ejes utilizados para la variable independiente y para la variabledependiente.Los puntos conforman claramente una recta, cuya representacin grfica es:Se puede calcular la ecuacin de la recta en base a 2 de los puntos (2800, 0) y (2900,400).La pendiente de la recta es: y 2 y1m= x 2 x1400 0 400m== =4 2900 2800 100Si se dibuja un punto genrico P(x, y) perteneciente a la recta tambin se puede calcularla pendiente:La pendiente es:153 86. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador y y1m= x x1 y0ym= = x 2800 x 2800Igualando las 2 expresiones anteriores:y =4x 2800Pasando el denominador de la fraccin al otro miembro:y = 4( x 2800)Simplificando:y = 4 x 11200 Ecuacin de la RectaDespejando x se tiene:4 x = y + 11200 y + 11200x=Ecuacin Equivalente4En esta ecuacin las ordenadas representan la altitud a la que se va a construir ly apista area, y la abscisa x representa la longitud mnima de la pista.NOTA: Al haber escogido la variable x para representar a la longitud de la pista, serla ecuacin en que se despeja esa variable (la segunda) la que se utilice para facilitar ladefinicin de la representacin grfica.Solucin Parte 2:Para la ciudad de Guayaquil, la altitud es 50 m.s.n.m. (y = 50). Se evala la ecuacinequivalente para ese valor de y:50 + 11200x= 4x = 2812.5 m. Longitud mnima de la pista en GuayaquilPara la ciudad de Quito, la altitud es 2850 m.s.n.m. (y = 2850). Se evala la ecuacinequivalente para ese valor de y: 2850 + 11200x=4x = 3812.5 m. Longitud mnima de la pista en QuitoPara la poblacin de Puembo Tababela (donde se construir el nuevo aeropuerto paraQuito, la altitud es 2600 m.s.n.m. (y = 2600). Se evala la ecuacin equivalente para esevalor de y:2600 + 11200x= 4x = 3450 m. Longitud mnima de la pista en Puembo 154 87. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorAl graficar los puntos que identifican a las 3 pistas se encuentra, como adicional, que laslneas punteadas horizontales representan el desarrollo de la pista area en cada una delas altitudes analizadas:Problema Resuelto 34:Una empresa reporta la siguiente estadstica de ventas anuales: Ao Ventas (US$)1999 1170002000 1240002001 1270002002 1360002003 1460002004 148000Representar grficamente la variacin de las ventas con el tiempo, y estimar las posiblesventas para los aos 2005 y 2006, asumiendo una tendencia lineal del comportamiento.Solucin:Se dibujan los datos de ventas de la empresa en cada ao, para lo que horizontalmentese asignan los valores de los aos, y verticalmente los valores de las ventas realizadaspor la empresa. 155 88. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEn el grfico se puede observar que los puntos representados no coinciden exactamentecon una nica recta. Sin embargo, la tendencia global de los datos est orientada aconfigurar una geometra semejante a una lnea recta progresivamente creciente en eltiempo.Se procede a dibujar una recta aproximada que minimice las distancias a todos lospuntos sealados, que se conoce como Recta de Tendencia, en la que las distancias porencima de la recta hacia los puntos equilibren a las distancias por debajo de la rectahacia los otros puntos. 156 89. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEn el grfico se puede identificar, de manera aproximada, las ventas para los aos 2005y 2006; para ello se trazan verticales desde los aos correspondientes y se busca elpunto de interseccin con la Recta de Tendencia; las ordenadas de esos puntosconstituyen los valores estimados de las ventas.Las ventas proyectadas para el ao 2005 son de unos US$ 157000, mientras que lasventas para el ao 2006 son aproximadamente de US$ 164000.Si se utilizara una herramienta como Excel, en lugar de minimizar la suma de lasdistancias verticales de los puntos que representan los datos reales, con relacin a laRecta de Tendencia, se minimizara la suma de los cuadrados de esas distancias, y seobtendra la siguiente ecuacin para la Recta de Tendencia, cuyo grfico esprcticamente el mismo que aquel del grfico anterior.y = 13019714 + 6571.4286x3.11 RECTAS IGUALES:Dos rectas son iguales si todos los puntos pertenecientes a la primera recta forman partede la segunda, y si todos los puntos pertenecientes a la segunda recta forman parte de laprimera.Eso significa que a ms de ser paralelas, al menos un punto debe coincidir, para quecoincidan los restantes.Como se demostr en el acpite anterior, la condicin de paralelismo se refleja en lasiguiente expresin.A 1 B1 =A2 B2157 90. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLas Ordenadas al Origen de las 2 rectas son:C1b1 = B1Cb2 = 2B2Las 2 rectas deben cortar al eje de las y en el mismo punto, por lo que:b1 = b 2Reemplazando b1 y b2 por sus expresiones equivalentes:C1 C= 2B1 B2Cambiando de signo a los 2 miembros:C1 C 2=B1 B 2Agrupando los trminos en C en el miembro izquierdo, y los trminos en B en elmiembro derecho:C1 B1=C2 B 2Escribie ndo en una sola expresin las condiciones de paralelismo y de igualdad en laordenada al origen.A 1 B1 C 1 ==Proporcionalidad en Rectas IgualesA2 B2 C2Dos rectas son iguales si los coeficientes de las variables independiente ydependiente, y los trminos independientes de las variables guardanproporcionalidad.Problema Resuelto 35:Demostrar que las siguientes rectas son iguales:2 x + 3y 5 = 04x + 6y 10 = 0 2x 3y + 5 = 0Solucin:Se despeja y de la primera ecuacin:2x + 3y 5 = 03y = 2 x + 5 2x + 5y= 3 158 91. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe despeja y de la segunda ecuacin:4 x + 6y 10 = 06 y = 4 x + 10 4x + 10y= 6 2x + 5y=3Se despeja y de la tercera ecuacin: 2 x 3y + 5 = 0 3y = 2 x 5 2x 5y= 3 2x + 5y= 3Debido a que las 3 expresiones son idnticas, sus grficos tambin sern iguales:La segunda ecuacin de la recta se obtiene multiplicando los coeficientes y el trminoindependiente de la primera ecuacin por por lo que se cumple la condicin de 2,proporcionalidad de las rectas iguales.4 6 10 = = o 4 = 2 2 ; 6 = 3 2 ; 10 = ( 5) 22 3 5La tercera ecuacin de la recta se obtiene multiplicando los coeficientes y el trminoindependiente de la primera ecuacin por -1, por lo que tambin se cumple lacondicin de proporcionalidad de las rectas iguales.2 35 = =o 2 = 2 ( 1) ; 3 = 3 ( 1) ; 5 = ( 5) ( 1) 2 3 5NOTA: Una manera rpida de detectar dos rectas iguales consiste en observar si una delas ecuaciones se puede obtener multiplicando o dividiendo la otra ecuacin por una159 92. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorconstante. En el ejemplo anterior, la segunda ecuacin proviene de multiplicar a laprimera ecuacin por 2, mientras que la tercera ecuacin se obtiene multiplicando a laprimera ecuacin por -1.3.12 RECTAS PERPENDICULARES:Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando un ngulo de 90.A partir del grfico anterior se pueden definir ciertas relaciones importantes, entre las 2rectas perpendiculares (L1 y L2 ).En este punto es importante notar que si el ngulo de referencia de la recta L1 (nguloque se mide desde el eje positivo de las x hacia la recta) es un ngulo , el ngulode referencia de la recta L2 , perpendicular a la recta anterior, es 90+ .Adems, debido a que la pendiente de una recta es numricamente igual a la tangentedel ngulo que forma con el eje positivo de las x, se tienen las siguientes expresiones:m1 = Tan ( ) 160 93. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorm 2 = Tan (90 + )Por otro lado, partiendo de las propiedades de las funciones trigonomtricas, se sabe queentre la tangente y la cotangente de un ngulo existe un desfase de , y presenta 90signos cambiados, por lo que se tiene la siguiente expresin:m 2 = C tan( )Adems existe la siguiente relacin entre las funciones Tangente y Cotangente: 1C tan( ) = Tan ( )Reemplazando en la expresin de m2 se tiene: 1m2 = Tan ( )Reemplazando la Tan( ) por la pendiente m1 :1m2 = m1Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de la segunda recta es el inverso dela pendiente de la primera, cambiado de signo.Si en la ecuacin anterior se coloca en el miembro izquierdo las dos pendientes, setiene:m 1 m 2 = 1Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.Problema Resuelto 36:Demostrar que las siguientes rectas son perpendiculares:L1 :2 x + 3y 5 = 0L2 :3 x 2y 7 = 0Solucin:Se despeja y de cada una de las ecuaciones: 25L1 :3y = 2 x + 5 y = x + 3337L2 : 2 y = 3x + 7 2 y = 3x 7 y = x22Para representar grficamente a las 2 rectas se prepara una tabla con coordenadas dealgunos puntos para cada recta:161 94. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador2 5 37 y= x+ y=x3 3 22 x y x y-6 5.67 -6 -12.5-4 4.33 -4 -9.5-2 3.00 -2 -6.5 0 1.670 -3.5 2 0.332 -0.5 4 -1.00 4 2.5 6 -2.33 6 5.5Se dibujan las 2 rectas sobre un diagrama de coordenadas cartesianas:Utilizando la expresin de la ecuacin general de la recta se calcula la pendiente de las 2rectas.A .x + B.y + C = 0 Am= BLa pendiente de la primera recta es: ( 2)2m1 = = (3) 3La pendiente de la segunda recta es:(3) 3m2 = = ( 2) 2El producto de las pendientes de las 2 rectas es: 162 95. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 2 3 m 1.m 2 = 3 2 m1 .m 2 = 1 Se verifica que las 2 rectas son perpendicularesProblema Resuelto 37:Encontrar la ecuacin de la recta L2 que es perpendicular a la siguiente recta:L1 :4x 3 y 5 = 0Si la recta mencionada pasa por el punto A(1, 2)Solucin:Se dibuja la recta L1 y el punto A(1, 2):Se dibuja tentativamente la recta L2 en el grfico anterior: 163 96. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe calcula la pendiente de la recta L1 : Am= B( 4) 4m1 = = ( 3) 3Se calcula la pendiente de la segunda recta:m 1 m 2 = 14 m 2 = 133m 2 = 1 4 3m2 = 4La expresin ms conveniente para calcular la ecuacin corresponde a la Ecuacin de laRecta Pendiente Ordenada al Origen:y = m.x + bReemplazando el valor de la pendiente en la expresin anterior se tie ne: 3y = x + b 4La condicin de que la recta deba pasar por el punto A(1,2) se simboliza: 164 97. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorx=1 y=2Reemplazando los valores de x y y en la ecuacin: 3( 2) = (1) + b 4Simplificando:32= +b43b = 2+4 11b=4La ecuacin de la recta queda: 3 11 y = x + 4 4Multiplicando por 4:4y = 3x + 11 Ecuacin de la rectaProblema Resuelto 38:Encontrar la ecuacin de la recta L2 que es perpendicular a la siguiente recta:L1 :2 x 3y + 6 = 0Si la recta mencionada pasa por el punto A(5, 4)Solucin:Se dibuja la recta L1 y el punto A(5, 4): 165 98. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe dibuja tentativamente la recta L2 en el grfico anterior:Se aprovecha la ecuacin, y se la reduce a la forma Pendiente Ordenada al Origen:2 x 3y + 6 = 0Dejando la expresin en y en el miembro izquierdo de la ecuacin: 3y = 2 x 6Despejando y: 2x 6y=3Descomponiendo en 2 fracciones: 2x 6y= +3 3Simplificando los signos en las fracciones: 2x 6y= +3 3Simplificando la segunda fraccin: 2xy=+23Representando la expresin en la forma Pendiente Ordenada al Origen:y = m.x + b2y = .x + 23De esto se desprende que:166 99. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 2m= Pendiente de L1 3b = 2 Ordenada al Origen de L1La recta perpendicular (L2 ) tendr por pendiente: 1m2 = m11m2 = 2 33m 2 = Pendiente de L22La ecuacin de la recta que es perpendicular a la recta L1 se representa: y = m 2 .x + b 2Reemplazando m2 : 3 y = x + b 2 2La recta debe pasar por el punto A(5, 4), por lo que al reemplazar los valores x= 5 yy= 4, deben satisfacerse las condiciones de la ecuacin propuesta: 3( 4) = (5) + b 2 24 = 7.5 + b 24 + 7.5 = b 2b 2 = 11.5Reemplazando en la ecuacin de la recta se tiene: 3 y = x + 11.5 Solucin 2Problema Resuelto 39:Encont rar la ecuacin de la recta L2 que es perpendicular a la siguiente recta:L1 :2 x 3y + 6 = 0Si la recta mencionada forma con los ejes positivos x y y, un tringulo cuya rea esde 12 unidades.Solucin:La recta L1 es la misma que la del problema anterior, por lo que su grfico es:167 100. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe pueden dibujar algunas rectas que siendo perpendiculares a L1 , forman tringuloscon los ejes positivos de las x y de las y.La recta que se busca debe tener la siguiente pendiente (ver problema ant erior): 3m= 2Para calcular el rea de los tringulos que se forman entre la recta buscada y los ejespositivos x y y, es conveniente representar a la recta en su forma simtrica. 168 101. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorx y + =1a bLa condicin de formar un tringulo con un rea de 12 unidades se describe mediante lasiguiente expresin:a.b= 12 2a.b = 24Por otro lado, la pendiente de la recta en su forma simtrica es:bm=ab3 =a2b 3 =a 22 b = 3a 3b= a 2Las 2 expresiones deben cumplirse simultneamente:a.b = 24b = ( 3 / 2) aReemplazando la segunda expresin en la primera:3 a. a = 242 Simplificando: 169 102. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador3 2a = 242Despejando a y simplificando: 2a2 = 24 3a 2 = 16a = 4Debido a que el problema establece que se debe formar un tringulo con los ejespositivos de las x y de las y, el valor de a debe ser positivo.a=4Reemplazando a en la segunda ecuacin del sistema de ecuaciones se tiene: 3b = a 2 3b = (4) 2b=6Por consiguiente la ecuacin de la recta buscada es:x y + =1a bx y + = 1 Solucin4 63.13 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:Es la menor distancia entre el punto dado y los puntos pertenecientes a la recta. 170 103. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorEs igualmente la longitud del segmento perpendicular a la recta que pasa por el puntoexterior, medida entre ese punto y la interseccin de la recta con su perpendicular.Problema Resuelto 40:Encontrar la distancia que existe desde el punto P(6, 4) a la recta 2x + y 3 = 0.Solucin:Para dibujar la recta y el punto, se despeja la variable y de la ecuacin de la recta:y = 2 x + 3Se encuentran algunos puntos pertenecientes a la recta. x y-3 9-2 7-1 5 0 3 1 1 2 -1 3 -3Se dibuja la recta L1 sobre un diagrama de coordenadas cartesianas.Se puede incluir el punto exterior en el grfico.171 104. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorSe traza la recta L2 perpendicular a la recta L1 , que pasa por el punto P.El punto A es la interseccin de las 2 rectas perpendiculares.Para definir la ecuacin de la recta L2 se requiere calcular inicialmente la pendientede la recta L1 .2x + y 3 = 0 Am= B172 105. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador ( 2)m1 = (1)m1 = 2 Pendiente de la recta L1Por perpendicularidad, debe existir la siguiente relacin entre la pendiente de la rectaL2 y la de la recta L1 . 1m2 = m1 1m2 = 2 1m2 = Pendiente de la recta L2 2En vista de que se conoce la pendiente de la recta L2 y un punto P(6, 4) por el quepasa, se requiere definir un punto genrico de la recta.Se calcula la pendiente de la recta entre los puntos P y Q, para definir la ecuacinde la recta L2 . y4m2 = x 61 y4 =2 x 6x 6 = 2.( y 4)x 6 = 2y 8173 106. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuadorx 2 y + 2 = 0 Ecuacin de la recta L2El punto es la interseccin de las rectas L1 y L2 , por lo que deber cumplirAsimultneamente con ambas condiciones.2x + y 3 = 0x 2y + 2 = 0Se despeja y de la primera ecuacin:y = 2 x + 3Esta expresin se reemplaza en la segunda ecuacin del sistema:4y 86 74x 2.( 2x + 3) + 2 = 0Simplificando:x + 4x 6 + 2 = 05x = 4 4x= Primera coordenada de la interseccin 5Se reemplaza el valor previo en la primera ecuacin del sistema: 42 + y 3 = 0 5Simplificando:8+ y3= 05174 107. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador 7y= Segunda coordenada de la interseccin 5Se calcula la distancia entre los puntos P y A, que por definicin es tambin la distanciaentre el punto P y la recta L1.d = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 = ( 6 0.8) 2 + (4 1.4) 2 = ( 5.2) 2 + ( 2.6) 2d = 5.814 Solucin3.14 ECUACIN DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:Para determinar la distancia entre un punto de coordenadas P(x1,y1) y una rectagenrica L1, se traza una segunda recta L2, perpendicular a la primera, que pasepor el punto exterior P, utilizando un procedimiento similar al expuesto en el problemaanterior:175 108. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICESMarcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - EcuadorLa ecuacin general de la recta L1 es:A .x + B.y + C = 0La pendiente de la primera recta es: Am1 = BA continuacin se procede a calcular la ecuacin de la segunda recta.La pendiente de la rectaL2, que es perpendicular a la recta L1 es: 1m2 = m1 1m2 = A B 1m2 = A B Bm2 = ALa ecuacin de la recta L2 se puede representar en su forma ms sencilla para estecaso, que sera Pendiente Ordenada al Origen:y = m 2 .x + b 2Reemplazando la pendiente m2 se tiene:By = .x + b 2AEsta ecuacin, por representar a la recta L2 , debe pasar por el punto P(x1 , y1 ), por loque debe cumplir que: By1 = .x1 + b 2 AEn la expresin anterior, el nico valor desconocido es b (b2 ), que se lo puededespejar:Bb 2 = y 1 .x1 ACon los valores de m2 y b2 , se puede definir la ecuacin de la recta L2 :y = m 2 .x + b 2B B y = .x + y1 .x 1 A A 176 109. FUNCIONES MATEMTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proao, M.Sc. Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecua