Laboratoire Excel 1

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, 2e édition ©GroupeModuloinc.,2012

LA MÉTHODE de GAUSS-JORDAN (Chapitre 2)

2

OBJECTIF

Programmer une feuille de calcul pour résoudre un système de trois équations linéaires à trois incon-nues par la méthode de Gauss-Jordan.

2 −3 4 243 2 −7 105 2 −4 52

≈1 0 0 180 1 0 80 1 0 6

L A B O R A T O I R E

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, 2e édition ©GroupeModuloinc.,2012

2 Laboratoire Excel

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, 2e édition ©GroupeModuloinc.,2012

Résoudrelesystèmed’équationssuivantparlamé-thodedeGauss-Jordan.

2x–3y+4z=243x +2y–7z=105x +2y–4z=52

Préparer la feuille de calcul de manière qu’ellesoitréutilisablepourrésoudredessystèmesanalo-guesenmodifiantlavaleurdescoefficientsetdesconstantes.

Mise en situation

Entréedesélémentsdelamatrice

ACTION1. OuvrirExcel.Personnaliserunefeuilledecalcul

eninsérantunpavédetexteetenregistrer.

2. Dans la celluleA9, écrire «Matrice associée»,puis valider. Sélectionner la plage de cellulesA10:D12 (de trois lignesetquatrecolonnes)enfaisant glisser la souris avec le bouton gaucheenfoncé.

3. Entrerlesélémentsdelamatriceaugmentéese-lonlaprocéduredevotrechoix,puisencadrerlamatriceenajoutantdesparenthèses.

Réductiondelapremièrecolonne

ACTION1. Sélectionner la celluleA17, écrire «Réduction,

premièrecolonne»,puisvalider.SélectionnerlaplagedecellulesA18:D18,taper«=»,puissélec-tionnerlaplageA10:D10aveclasouris.

Appliquerl’undesprotocolessuivantspourvali-der comme opération matricielle:• surPC:enfoncer les touchesCtrletMaj (nepas confondre avec Verr. Maj); tout en lesmaintenant enfoncées, appuyer sur la toucheEntrée.

• surMac: enfoncer la toucheCtrl; tout en lamaintenant enfoncée, appuyer sur la toucheEntrée (ou Retour).

2. SélectionnerlaplagedecellulesA19:D19,taper«=»,cliquersurlacelluleA10pourlasélection-ner, taper«*»,sélectionnerlaplagedecellulesA11:D11aveclasouris,taper«–»,cliquersurlacelluleA11pour lasélectionner, taper«*»,sé-lectionner laplagedecellulesA10:D10avec lasouris.Labarredeformulesdevraitafficher:

«=A10*A11:D11-A11*A10:D10»

Valider comme opération matricielle.

Commentaire

Lamatricedusystèmeestlasuivante.9

10

11

12

2

3

5

24

10

52

–3

2

2

4

–7

–4

Matrice associée

C’est une matrice 3 × 4. Il faut donc sélectionner uneplagedecellulesayant lesmêmesdimensions.Lorsdel’entréedesvaleurs,onne sepréoccupepasdes lignespointilléesutiliséesdanslathéoriepourséparerlamatricedescoefficientsdecelledesconstantes.Pourajouterleséléments graphiques (parenthèses et lignes), on se sertdesoptionsdedessindulogiciel.

Commentaire

Pourréduire lapremièrecolonne, lepivotest l’élémentdelacelluleA10.

L’utilisationdelasourispourécrirelesformulesestunehabiletéàdévelopper,carellepermetdetravaillerbeau-coupplusrapidement.

Pourincluredansuneformulelavaleuraffichéedansunecellule,ilsuffitdecliquersurcelle-ci.Sionveuteffec-tuerdesopérationssurtouslesélémentsd’uneplagedecellules, il suffitd’inclurecetteplagedans ladéfinitiondelaformuleenlasélectionnantaveclasouris.Aprèslavalidationdel’étape3(voir page suivante),ExceldevraitafficherlamatricesuivantedanslaplageA18:D20.

17

18

19

20

2

0

0

24

–52

–16

–3

13

19

4

–26

–28

Réduction, première colonne

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3. SélectionnerlaplagedecellulesA20:D20etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:

«=A10*A12:D12-A12*A10:D10»

Valider comme opération matricielle.

Réductiondeladeuxièmecolonne

ACTION1. Sélectionner lacelluleA25,écrire«Réduction,

deuxième colonne» et valider. Sélectionner laplage de cellules A26:D26 et utiliser la sourispourdéfinir:

«=B19*A18:D18-B18*A19:D19»

Valider comme opération matricielle.

2. SélectionnerlaplagedecellulesA27:D27etuti-liserlasourispourdéfinir:

«=A19:D19»

Valider comme opération matricielle.

3. SélectionnerlaplagedecellulesA28:D28etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:

«=B19*A20:D20-B20*A19:D19»

Valider comme opération matricielle.

Réductiondelatroisièmecolonne

ACTION1. Sélectionner lacelluleA32,écrire«Réduction,

troisième colonne», puis valider. SélectionnerlaplagedecellulesA33:D33etutiliserlasourispourdéfinir:

«=C28*A26:D26-C26*A28:D28»

Valider comme opération matricielle.

2. SélectionnerlaplagedecellulesA34:D34etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:

«=C28*A27:D27-C27*A28:D28»

Valider comme opération matricielle.

3. SélectionnerlaplagedecellulesA35:D35etuti-liserlasourispourdéfinir:

«=A28:D28»

Valider comme opération matricielle.

Commentaire

À la deuxième étape de la réduction, on veut que ladeuxièmelignedemeureinchangéeetquelesautressoientréduitesdemanièreàobtenirunematricediagonale.Lepivotestl’élémentdeladeuxièmelignedeladeuxièmecolonne,affichédanslacelluleB19.

Aprèsladeuxièmeétape,ExceldevraitafficherlamatricesuivantedanslescellulesA26:D28.

25

26

27

28

26

0

0

156

–52

780

0

13

0

–26

–26

130

Réduction, deuxième colonne

Commentaire

Lors de la réduction de la troisième colonne, la troi-sièmelignedemeureinchangéeetlesautressontréduites.Ilfautdoncfaireapparaîtredes0danslescelluleshorsdiagonale de la troisième colonne. On fait afficher lamatrice résultantde la troisièmeétapedans lescellulesdeslignes33,34et35.

Exceldevrait afficher lamatrice suivantedans laplageA33:D35.

32

33

34

35

3 380

0

0

40 560

13 520

780

0

1 690

0

0

0

130

Réduction, troisième colonne

4 Laboratoire Excel

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Solutiondusystème

ACTION1. Sélectionner la cellule A38, écrire «Solution

dusystème»,puisvalider.SélectionnerlaplagedecellulesA39:D39etutiliserlasourisetlecla-vierpourdéfinir:

«=A33:D33/A33»

Valider comme opération matricielle.

2. SélectionnerlaplagedecellulesA40:D40etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:

«=A34:D34/B34»

Valider comme opération matricielle.

3. SélectionnerlaplagedecellulesA41:D41etuti-liserlasourisetleclavierpourdéfinir:

«=A35:D35/C35»

Valider comme opération matricielle.

Commentaire

Selon la méthode de Gauss-Jordan, la colonne desconstantesdonneicilasolutiondusystèmed’équations.Lesvaleursdescellulesde laplageD39:D41 indiquentquelasolutiondusystèmed’équationsest(12;8;6).

38

39

40

41

1

0

0

12

8

6

0

1

0

0

0

1

Solution du système

Seuls les éléments de la matrice associée peuvent êtrechangés.Excelrefusedechangerunélémentobtenuparuneopérationmatricielle.

Il est possible de copier et de coller les cellules de larésolution suruneautre feuilledecalcul sionabesoinderésoudreunsystèmedetroiséquationslinéairesàtroisinconnuesdanslecadred’untravailplusélaboré.

Cette feuille de calcul peut être utilisée avecn’importequel système de trois équations à trois inconnues. Ilest fortement suggéré de suivre la même démarche enl’adaptantpourrésoudreunsystèmedequatreéquationsàquatreinconnues.

Exercices

Résoudrelessystèmesd’équationssuivantsàl’aidedelafeuilledecalculprogrammée.

1. 2x+3y–4z =–41 4x–3y+2z =–7 3x+2y–6z =–74 Rép.:(–4;5;12)

2. x+4y–7z =–60 5x–4y+2z =53 9x+3y–2z =–4 Rép.:(3;–7;5)

3. 2x+3y–3z =–15 4x–3y+2z =28 2x–6y+5z =43 Rép.:x=(t+13)/6,y=(8t–58)/9,z=t

4. x+4y–7z =–25 5x–4y+2z =34 3x–12y+16z =84

Rép.:x=(5t+9)/6,y=(37t–159)/24,z=t

5.2x+4y–5z =–1 3x–3y+6z =48 x–7y+11z =12 Rép.:aucunesolution

6. 3x–7y–2z =–27 8x+4y+5z =–35 4x+11y–12z =53

Rép.:(–4;3;–3)