la résolution de problème au cycle 1

La résolution de problème

au cycle 1

Circonscription de Claye Souilly

Mercredi 17 octobre 2018

I. Résolution de problèmes

D’après les travaux d’André Jacquart (IUFM Douai) :

Développement de la pensée logique et résolution de

problèmes en maternelle

Qu’est-ce qu’un problème

En s’appuyant sur une définition de Jean Brun (chercheur INRP

Neuchâtel), un problème se caractérise par :

1. une situation initiale avec un but à atteindre,

2. une suite d’actions ou d’opérations est nécessaire pour atteindre

ce but,

3. un rapport sujet/situation: la solution n’est pas disponible

d’emblée mais possible à construire.

1. Une situation initiale avec un but à

atteindre

Le problème mathématique est posé par l’enseignant.

Ce problème doit devenir celui de l’élève qui devra :

identifier la situation et le but à atteindre (donc

savoir :de quoi ça parle et que dois-je faire ?)

accepter la tâche.

Il faut qu’il y ait dévolution du problème.


atteindre

Comment atteindre la dévolution, favoriser l’identification

de la situation et de la tâche ?

Par le matériel qui impose le problème

Matériel

orienté Matériel

ouvert


atteindre

Comment atteindre la dévolution, favoriser l’identification

de la situation et de la tâche ?

par l’exposition momentanée ou non du résultat attendu

(ex : tour de magie)


atteindre

Comment atteindre la dévolution, favoriser l’identification de la situation et de la tâche ?

Par l’utilisation d’exemples et de contre-exemples

Par la formulation puis la reformulation de la consigne par l’élève


atteindre

Comment favoriser l’acceptation de la tâche par l’élève ?

par la dimension ludique de la situation et du matériel

par le recours à un mime ou un médiateur (marionnettes, livres,…)

par la mise en scène, la théâtralisation du problème

2. Une suite d’actions ou d’opérations

est nécessaire pour atteindre ce but

Il faut qu’il y ait engagement de l’enfant.

Comment favoriser cet engagement dans la résolution ?

par l’intérêt porté à l’activité de l’enfant

par les encouragements,

par une aide appropriée,

par la mise en valeur du défi à relever…

3.Un rapport sujet/situation : la solution n’est

pas disponible d’emblée, mais possible à construire.

Comment favoriser la construction de réponses possibles par tous ?

Il faut envisager une différenciation des activités par le jeu des

variables didactiques

Avec ce matériel, on peut dans un premier temps,

éliminer les pièces doubles, puis obstruer la face

supérieure pour ne laisser apparaître que les faces

latérales mais en ne donnant que des pièces

simples avant donner les pièces doubles…

Quels types de situations ?

Pour apporter les situations, on peut s’appuyer sur :

les situations fonctionnelles : besoins réel qui émergent de la vie

quotidienne : préparer un goûter pour chacun

les situations rituelles : dénombrement des absents, du nombre d’élèves

qui ne mangent pas à la cantine toujours des petits nombres < 10

les situations construites : situations qui s’appuient sur un jeu, un

matériel, une « activité papier-crayon »

Quels types de problèmes ?

A l’école maternelle, nous pouvons distinguer deux catégories de problèmes :

les problèmes pour apprendre : on vise des connaissances

les problèmes pour chercher : on développe l’esprit logique

Exemple 1 : le tangram :

Si l’enfant doit refaire le personnage blanc, c’est un problème pour apprendre

Si l’enfant doit refaire le personnage rouge, c’est un problème pour chercher



Exemple 2 : les géoplans : planches à clous

La situation

Utilisation d’un seul bracelet élastique pour délimiter une forme et de perles de

3 couleurs (rouge à l’intérieur, vert à l’extérieur, jaune sur le bracelet)



Exemple 2 : les géoplans : planches à clous

Mise en place 1 : c’est un problème pour apprendre

Mise en place 2 : c’est un problème pour chercher

Quelques procédures de résolution pour

un problème de recherche

Procédures par induction (à vraiment développer à l’école maternelle)

Suite logique sur une grille tableau à double entrée

sans indiquer les entrées

Procédures par déduction

But :

Compléter ces grilles

J’ai caché une pièce semblable à l’une de celles-ci … laquelle est-ce ?

Est-ce un carré ? NON

Est-il bleu ? NON

Est-il jaune ? NON

Quelques exemples de problèmes pour

chercher

Les boites à œufs

Situation But Variables didactiques

Une boite à œuf et des

jetons rouges et bleus

Remplir la boîte (un jeton dans

chacune des 12 alvéoles).

Il doit y avoir 2 jetons rouges de

plus que de jetons bleus.

l’écart entre les

nombres de jetons.

les « dimensions » de la

boîte.

1 Les boîtes à œufs


chercher

Les boites à œufs


Un ensemble bien défini de blocs

logiques (ici, 3 formes 3 couleurs)

mais on peut le faire, pour

commencer, avec uniquement 2

formes et 2 couleurs (soit 4 blocs).

Trouver le bloc logique

choisi au préalable.

le nombre de

propriétés en jeu (donc

le nombre de pièces)

le nombre de valeurs

pour chacune des

propriétés

2. Le mastermind


chercher

Les boites à œufs

2. Le mastermind


chercher

Les boites à œufs

3. Les chemins quadrillés : les règlettes cuisenaires


Des réglettes de 10 longueurs

différentes, à chaque

longueur est associée une

couleur.

Le matériel sera détourné

pour recouvrir un chemin

quadrillé.

Recouvrir un chemin avec des

réglettes

Forme du chemin (surtout

le nombre de changements

de direction)

Longueur des chemins

Réglettes disponibles (leur

nombre, leur couleur)


chercher

Les boites à œufs

3. Les chemins quadrillés : les règlettes cuisenaires

Situation 1 Situation 2 Situation 3

toutes les réglettes (1 à 5) sont

disponibles

les réglettes sont

imposées

les réglettes sont

imposées

II. Résoudre des problèmes

à plusieurs

Les programmes

Références aux jeux ou défis mathématiques :

• Une école qui organise des modalités spécifiques

d'apprentissage

L'enseignant met en place dans sa classe des situations

d'apprentissage variées : jeu, résolution de problèmes,

entraînements, etc. et les choisit selon les besoins du

groupe classe et ceux de chaque enfant.

L’enseignant favorise les interactions entre enfants et

crée les conditions d'une attention partagée, la prise

en compte du point de vue de l'autre en visant

l'insertion dans une communauté d'apprentissage.

Les programmes

Références aux jeux ou défis mathématiques :

• Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmes

Pour provoquer la réflexion des enfants, l'enseignant les met face à

des problèmes à leur portée.

Il cible des situations, pose des questions ouvertes pour lesquelles les

enfants n'ont pas alors de réponse directement disponible.

Mentalement, ils recoupent des situations, ils font appel à leurs

connaissances, ils font l'inventaire de possibles, ils sélectionnent. Ils

tâtonnent et font des essais de réponse.

L'enseignant est attentif aux cheminements qui se manifestent par le

langage ou en action ; il valorise les essais et suscite des discussions.

Ces activités cognitives de haut niveau sont fondamentales pour

donner aux enfants l'envie d'apprendre et les rendre autonomes

intellectuellement.

Résolution de problèmes à l’école maternelle :

les défis collectifs

Résolution de problèmes à l’école maternelle :

les défis collectifs

Il est important de varier les supports :

Ex : image projetée des ingrédients à posséder et donner aux élèves les ingrédients que l’on a.

Résolution de problèmes à l’école maternelle : le vocabulaire spatial

III. Parallèlement à l’école

élémentaire

Vers une typologie des problèmes

arithmétiques

Problèmes « basiques » (d’un savoir, d’un concept)

→ Enjeu élève : les mémoriser

Problèmes « complexes » → Enjeu élève : construire des sous-problèmes basiques calculables en connectant des informations et qualifiant les résultats

Problèmes atypiques → Enjeu élève : inventivité stratégique et flexibilité de raisonnement , persévérance et confiance en soi

Qu’est ce qu’un problème basique ?

Une piste d’athlétisme mesure 400 m. Paul fait 5 tours de piste. Quelle distance a-t-il parcourue ?

CE2

Dans cette salle, 400 places en 25 rangées régulières. Combien de places par rangée ? CM

Problèmes basiques

Pas de donnée superflue

Une syntaxe facile

Un contexte facile à comprendre (a priori)

PROBLEME « COMPLEXE »

Au cinéma ‘Royal Ciné’ un adulte paye 6€ par séance et un enfant paye 4€ par

séance. A la séance de l’après-midi, il y avait 50 adultes et des enfants. A la

séance du soir, il y avait 15 adultes et 20 enfants. La recette de la journée est 542€

Combien y avait-il d’enfants à la séance de l’après-midi ?

ERMEL (1997 ; 2005) Apprentissages

numériques et résolution de problèmes CM1.

Paris :Hatier

PROBLÈMES « COMPLEXES »

Un problème qui est un composé de problèmes basiques “cachés” à construire par l’élève ! L’exemple du problème de recette du cinéma:

Sous problèmes calculables Sous problèmes utiles

Séance du soir : nombre de personnes

Séance du soir : prix que payent les adultes

Séance du soir : prix que payent les enfants

Séance de l’après midi : prix que payent les

adultes

Deux séances : prix que payent les adultes

Recette de la séance du soir

OU

Recette venant des adultes

ET

Séance du soir : prix que payent les enfants

Enjeux des problèmes « complexes»

Tester les opérations (toutes et/ou leurs propriétés)

Adapter à de nouveaux contextes*

des problèmes basiques mémorisés (typologie Vergnaud)

Renforcer

les contrôles sémantiques (sens des mots)

pragmatiques* (sens du réel)

et syntaxiques (sens du texte)

(*) les deux sont liés


Inférences et contrôles sémantiques (sens des mots) : s’appuyer sur le sens des mots pour

inférer un raisonnement… (attention mots inducteurs)

Ex : Partager c’est une division ; fois c’est multiplier; si on fait une multiplication on va trouver

plus…

Inférences et contrôles pragmatiques (sens du réel) : Le calcul contrôlé par comparaison avec

connaissance de la réalité évoquée, puis accepté ou rejeté ou requestionné

Ex : je partage une bouteille de jus d’orange entre 4 personnes. J’ai calculé que chacun va

boire 223 verres : c’est impossible

Inférences et contrôles syntaxiques (sens du texte) : synthétiser le problème en une

écriture algébrique

conversion en écriture à trou (pré-algébrique) ; voire transformation en écriture « directe »

« il faut faire 573 plus quelque chose égale 1260 » Écriture de 573 + ? =1260


Exemple de problème complexe cycle 2 :

Lise a 10 €. Le paquet de gâteaux qu’elle aime coûte 3€. Une bouteille de soda coûte 2€.

Combien lui manque-t-il pour acheter deux paquets de gâteaux et trois boissons ?

3X2 = 2X3 =

10X3 = 30. possible ?

Analyse des productions des élèves (cycle 3)

Production 5

Apprendre à valider

« Trouve le nombre de sachets pleins si on empaquette 38 objets par paquets de 5 »

« 38 personnes décident de partir en voiture ; une voiture peut transporter 5 personnes ; de

combien de voitures ont elles besoin ? »

Apprentissage d’un sens critique des modèles appris.

Sensibilité au contexte

contrôle par le réel (pragmatique)

Verschaeffel parle d’un phénomène de suspension de sens commun, résistant même aux mises en

garde.

Un problème « atypique » ou « pour chercher » Ajustement des programmes concernant la résolution de

problèmes : BO n°30 du 26-07-2018 :

Cycle 2 : les problèmes atypiques (pour chercher) se travaillent dès le CP :

« On veillera aussi à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements ».

Depuis

l’ouverture de ce

stand, un seul

client a acheté

des fraises.

Combien a-t-il

payé ?

Exemple de

problème atypique

de cycle 2

Exemple de problème atypique de cycle 2

Un problème « atypique » ou « pour chercher » Ajustement des programmes concernant la résolution de

problèmes : BO n°30 du 26-07-2018 :

Cycle 3 : recherche par tâtonnements :

« On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à

chercher qui ne soient pas directement reliés à la notion en cours

d’étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui ne se

résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un

raisonnement et des recherches par tâtonnements. »

Contexte concret ou familier?

On essaie parfois de trouver des situations concrètes pour aider les élèves, mais... ces situations ne

leur sont pas familières.

Utiliser des euros reste abstrait pour les élèves de CP

Reproduire à la règle le tracé d’un château fort peut paraitre très familier à un enfant de 6 à

10 ans alors que cela n’aura rien de concret vis-à-vis de son quotidien.

Même si les savoirs des mathématiques sont abstraits, ils peuvent être convoqués dans des situations

plus en phase avec l’âge, la culture et les centres d’intérêt des élèves.

Thierry DIAS : Nous sommes tous des mathématiciens (P.11)

A propos de données utiles et inutiles : utilisation de documents authentiques Cycle 2 (1 au CE2 dans les programmes)

« Au CE2, les élèves sont amenés à résoudre des

problèmes plus complexes, éventuellement à deux étapes,

nécessitant par exemple l’exploration d’un tableau ou

d’un graphique, ou l’élaboration d’une stratégie de

résolution originale. »

Des documents authentiques sont utilisables en CP et CE1

pour la résolution de problèmes basiques par exemple.

A propos de données utiles et inutiles : utilisation de documents authentiques (1 au CM1)

A propos de données utiles et inutiles Utilisation de documents authentiques : 2 au CM2 Exemple : la visite de la cité des sciences

1°)


1°) Combien paye un enfant de 6 ans ?

2°) Combien paye un adulte qui veut

également aller au planétarium ?

3°) Quel sera le coût pour une famille de

deux adultes et 2 enfants ?


4°) Quel sera le montant payé par une

classe maternelle de 24 élèves en Réseau

d’éducation prioritaire ?

5°) Quel sera le montant payé par une

classe élémentaire de 26 enfants qui

souhaite aller au planétarium ?

L’apprentissage de modèles

Un des apprentissages du cycle 2 est celui d’une transformation (épuration)

raisonnée du dessin en un schéma fonctionnel pour raisonner.

Cet apprentissage n’est pas terminé au cycle 3

Petite modélisation

Combien y a t il de poules et de lapins dans notre ferme ?

Tu vas le trouver toi-même :

Lorsque je rassemble toutes les poules et les lapins de la ferme, il y a en tout

25 têtes et 64 pattes.

(Pluvinage 2008)

Petite modélisation

Une mise en schéma avec une tête représentée par un rond et une patte

représentée par un trait, puis le dessin de toutes les têtes suivi d’une

distribution raisonnée des pattes donne la réponse.

Cette représentation sera susceptible de devenir un modèle si l’élève a

l’occasion de rencontrer plusieurs fois ce type de problèmes.

Grande modélisation

Tu disposes de deux boites vertes, trois boites rouges

et 50 jetons.

Il faut mettre les 50 jetons dans les boites.

Aucune boite ne doit être vide et il doit y avoir le même nombre de jetons dans les

boîtes de la même couleur.

Validité des modèles

Dans l’usage français, seules les validations syntaxique (sens du texte) et

sémantique (sens des mots) sont prises en compte.

Il nous faut aussi prendre en compte la dimension pragmatique (sens du

réel), de façon non anecdotique dans nos enseignements.

Le projet de circonscription

Le projet de circonscription

Les compétences mathématiques mises en jeu :

Débutez avec maths en vie

Activités mathématiques autour de photos numériques prises dans l’environnement des élèves.

3 intérêts :

les élèves construisent l’intérêt d’apprendre les mathématiques parce que cette discipline s’inscrit dans leur réalité de tous les jours ;

les élèves mettent du sens derrière chaque donnée et mettent alors en œuvre des procédures de résolution cohérentes ;

Les élèves construisent des ordres de grandeurs et exercent un regard critique sur les solutions de leurs problèmes.

Commencer dans sa classe puis collaborer avec d’autres classes.

la résolution de problème au cycle 1

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