laai die volledige boek af
TRANSCRIPT
VAW VERENIGING VIR AFRIKMNSE
WISKUNDE•ONDERWYSERS
"a lnblatkf YIIII SoUibrltelt HelpHlde H.11,d
1
Solidariteit Helpende Hand Hoek van DF Malan & Eendracht strate Kloofsig Centurion 0157
Webblad: www.helpendehand.co.za Epos: [email protected]
ISBN: 9780620697064
Uitgereik deur die Solidariteit Helpende Hand se Vereniging vir Afrikaanse Wiskundeonderwysers (V.A.W.) 2016
Bronkode opdatering deur IT School Innovation (Pty) Ltd 2016
2
Kopiereg Nota:
Hierdie handboek is gebaseer op Siyavula se Everything Maths handboek. Die werkstukke isvan die Everything Maths handboek se inhoud geneem en gedeeltelik aangepas. HelpendeHand het toestemming verkry vanaf Siyavula om die inhoud van die Everything Maths Graad10 handboek vir opvoedkundige doeleindes te verbruik. Die Everything Maths Graad 10handboek word uitgegee deur Siyavula, geborg deur MMI Holdings (Momentum enMetropolitan) en vrygestel in vennootskap met die Departement van Basiese Onderwys. Dieoorspronklike handboek is vrylik beskikbaar en aflaaibaar op die Everything Maths webblad bywww.everythingmaths.co.za.
Die Vereniging vir Afrikaanse Wiskundeonderwysers
Die Vereniging vir Afrikaanse Wiskundeonderwysers (V.A.W.) is ’n beroepsvereniging virAfrikaanse wiskundeonderwysers.
Visie
Om Afrikaanssprekende wiskundeonderwysers te ondersteun deur middel van opleiding in dienuutste onderrigmetodes en tegnologie.
Missie
Wiskundeonderwysers moet voel dat hul gewaardeer, ondersteun en bemagtig word deur dieVereniging vir Afrikaanse Wiskundeonderwysers. Die V.A.W. wil die voorloper in SuidAfrika wees van wiskundeonderwys, onderrigmetodes entegnologie wat wêreldwyd in die klaskamer toegepas word. Die V.A.W. wil elke wiskundeonderwyser se professionele liggaam en spreekbuis wees tenopsigte van kurrikulum inhoude asook die regte waarop wiskundeonderwysers in SuidAfrikakan aanspraak maak.
3
Gebruikersnota:
Hierdie handboek is aangevul met addisionele hulpmiddels in die vorm van video’s eninteraktiewe sketse. Die skakels wat lui na hierdie hulpmiddels gee aan die gebruiker tweekeuses. Indien die gebruiker toegang tot die internet het, kan die skakels gevolg word wat lei nadie aanlyn hulpmiddels, anders kan hierdie hulpmiddels afgelaai word en die gebruiker sal eenvan die applikasies wat gelys word benodig. Die hulpmiddels sal dan dus op die toestel gestoorword en kan enige tyd gebruik word.
Die boeke is in PDF formaat, dus benodig die gebruiker `n applikasie wat PDFs kan lees.
Voorgestelde PDF leser: Windows rekenaar: https://get.adobe.com/reader/ Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.adobe.reader Apple: https://appsto.re/za/Cxy-B.i
Wiskunde sketse sal voorsien word met behulp van die GeoGebra platform. Die gebruiker salaanlyn die sketse kan oopmaak by www.geogebratube.org, maar sal ok die GeoGebra applikasiekan aflaai om .ggb lêers oop te maak.
GeoGebra: Windows rekenaar: http://www.geogebra.org/download Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=org.geogebra Apple (slegs iPad): https://appsto.re/za/Eqs_O.i
Videos sal aanlyn beskikbaar wees op YouTube of aflaaibaar wees in .mp4 formaat. Alhoewelmeeste platforms `n video speler ingebou het kan dit dalk nodig wees om een af te laai.
4
Voorgestelde video speler: Windows rekenaar: http://www.videolan.org/vlc/download-windows.html Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mxtech.videoplayer.ad Apple: https://appsto.re/za/QR_WM.i
5
Hoofstuk 1 – Algebraïese uitdrukkings 11 1.1. Die reële getalstelsel 12 1.2. Rasionale en irrasionale getalle 13 1.3. Afronding 27 1.4. Skatting van wortelvorme 33 1.5. Produkte 38 1.6. Faktorisering 49 1.7. Vereenvoudiging van breuke 72
84 Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 86
Hoofstuk 2 – Eksponente 105 2.1. Hersiening van eksponentwette 108 2.2. Rasionale eksponente 119 2.3. Eksponensiële vergelykings 122
131 Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 132
Hoofstuk 3 – Getalpatrone 140 3.1. Beskrywing van rye 141
158 Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 159
6
Inhoudsopgawe
Hoofstuk 4 – Vergelykings en ongelykhede 167 4.1. Oplos van lineêre vergelykings 168 4.2. Oplos van kwadratiese vergelykings 178 4.3. Oplos van gelyktydige vergelykings 186 4.4. Woordprobleme 200 4.5. Vergelykings met letterkoëffisiënte 211 4.6. Los lineêre ongelykhede op 216
225 Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 226
Hoofstuk 5 – Trigonometrie 238 5.1. Gelykvormigheid van driehoeke 240 5.2. Definiëring van trigonometriese verhoudings 243 5.3. Resiprook verhoudings 254 5.4. Sakrekenaar vaardighede 255 5.5. Spesiale hoeke 262 5.6. Oplos van trigonometriese vergelykings 267 5.7. Vind ’n hoek 277 5.8. Oplos van trigonometriese vergelykings 281 5.9. Definieer verhoudings in die cartesiese vlak 288
304 Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 305
7
Hoofstuk 6 – Funksies 318 6.1. Afhanklike en onafhanklike veranderlikes 320 6.2. Lineêre funksies 329 6.3. Kwadratiese funksies 346 6.4. Hiperboliese funksies 366 6.5. Eksponensiële funksies 386 6.6. Trigonometriese funksies 408 6.7. Interpretasie van grafieke 449
461 Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 462
Hoofstuk 7 – Euklidiese meetkunde 505 7.1. Hoeke 507 7.2. Driehoeke 519 7.3. Vierhoeke 538 7.4. Die middelpuntstelling 562
576 Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 578
Hoofstuk 8 – Analitiese meetkunde 604 8.1. Trek van figure op cartesiese vlak 605 8.2. Afstand tussen twee punte 612 8.3. Gradiënt van ’n lyn 623 8.4. Middelpunt van ’n lyn 652 Hersieningsoefeninge 664
8
Hoofstuk 9 – Finansies en groei 693 695 705
714 733
9.1. Enkelvoudige rente 9.2. Saamgestelde rente 9.3. Berekening deur gebruik te maak van enkelvoudige en
saamgestelde rente Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 734
Hoofstuk 10 – Statistiek 744 745 750 764 790 794
10.1. Versameling van data 10.2. Maatstawwe van sentrale neiging 10.3. Groepering van data 10.4. Vyfgetal opsomming Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 796
Hoofstuk 11 – Trigonometrie 811 812 827
11.1. Twee-dimensionele problem Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 828
Hoofstuk 12 – Euklidiese meetkunde 836 837 847
12.1. Bewyse en vermoedens Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 849
9
Hoofstuk 13 – Meting 858 859 866 881 890 904 921 930
13.1. Area van ’n veelhoek 13.2. Regte prismas en silinders 13.3. Volume van prismas en silinders 13.4. Regte piramides, regte keëls en sfere 13.5. Volume van piramides, keëls en sfere 13.6. Die effek van vermenigvuldiging met ’n faktor k Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 932
Hoofstuk 14 – Waarskynlikheid 951 957 962 968 975 979 982 985 992
14.1. Teoretiese waarskynlikheid 14.2. Relatiewe frekwensie 14.3. Venn-diagramme 14.4. Vereniging en snyding 14.5. Waarskynlikheididentiteite 14.6. Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse 14.7. Komplementêre gebeurtenisse Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 994
10
HOOFSTUK 1: ALGEBRAÏESEUITDRUKKINGS
InleidingDeur die menslike geskiedenis het alle mense en kulture bygedra tot die veld van diewiskunde. Onderwerpe soos algebra mag nou voor die handliggend lyk, maar vir baieeeue moes wiskundiges regkom daarsonder. In die volgende drie grade sal jy meergevorderde en abstrakte wiskunde ondersoek. Dit mag nie altyd ooglopend wees hoehierdie wiskunde toegepas kan word in die alledaagse lewe nie, maar die waarheid isdat wiskunde vereis word vir omtrent alles wat jy eendag in die lewe gaan doen.Geniet jou wiskunde reis. Onthou daar is nie so iets soos 'n “wiskunde mens” nie. Onskan almal wiskunde doen, dit neem net oefening.
'n Paar voorbeelde van vroeë kerfstok stokke. Dit is gebruik om mense te help om dinge soos
die aantal dae tussen gebeure of die aantal vee wat hulle gehad het te tel.
In hierdie hoofstuk sal ons begin met die hersiening van die reële getallestelsel en dansal ons aandag gee aan die skatting van die waardes van wortelvorme en dieafronding van reële getalle. Ons sal ook ons vorige kennis van faktorisering uitbrei enaandag gee aan meer komplekse berekenings wat tweeterme en drieterme insluit.
11
1.1 Die reële getalstelsel
Ons gebruik die volgende definisies:
: natuurlike getalle is
: telgetalle is
: heelgetalle is
LET WEL
Alle getalle is nie reële getalle nie. Die vierkantswortel van 'n negatiewe getal is
'n sogenaamde niereële of imaginêre getal. Byvoorbeeld , en
is almal niereële getalle.
12
1.2 Rasionale en irrasionale getalle
DEFINISIE
Rasionale getal
'n Rasionale getal ( ) is enige getal wat geskryf kan word as:
waar en heelgetalle is en .
Die volgende getalle is almal rasionale getalle:
Ons sien al die tellers en al die noemers is heelgetalle. Dit beteken dat alle heelgetallerasionale getalle is, want hulle kan geskryf word met 'n noemer van .
DEFINISIE
Irrasionale getalle
Irrasionale getalle ( ) is getalle wat nie geskryf kan word as 'n breuk met'n teller en 'n noemer wat heelgetalle is nie.
Voorbeelde van irrasionale getalle:
Hierdie is nie rasionale getalle nie, want of die teller of die noemer is nie 'n heelgetalnie.
13
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 1.2 Rasionale en irrasionale getalle
Laai af
Desimale getalle
Alle heelgetalle en breuke met heelgetal tellers en nienul heelgetal noemers israsionale getalle. Onthou dat wanneer die noemer van 'n breuk nul is, dan is die breukongedefinieer.
Jy kan enige rasionale getal skryf as 'n desimale getal maar nie alle desimale getalleis rasionale getalle nie. Hierdie tipes desimale getalle is rasionale getalle:
Desimale getalle wat eindig (of termineer). Byvoorbeeld, die breuk kangeskryf word as .
Desimale getalle met 'n enkele repeterende syfer. Byvoorbeeld, die breuk
kan geskryf word as of . Die kolletjie en balkie notasie is ekwivalent en
beide dui repeterende 'e aan, dus: .
Desimale getalle met meer as een repeterende syfer. Byvoorbeeld, die breuk
kan ook geskryf word as . Die balkie of strepie stel die repeterende
patroon van 'e en 's voor, dus .
LET WEL
Jy mag sien dat 'n punt in plaas van 'n komma gebruik word om 'n desimalegetal aan te dui. So die getal kan ook geskryf word as 0.4
14
Notasie: Jy kan 'n kolletjie of 'n balkie gebruik oor die herhalende syfers om aan te duidat die desimaal 'n repeterende desimaal is. As die balkie oor meer as een syfer strek,dan is al die syfers onder die balkie repeterend.
As jy gevra word of 'n getal rasionaal of irrasionaal is, skryf heel eerste die getal indesimale vorm. As die getal eindig, dan is dit rasionaal. As die getal vir ewig voortgaanen nooit eindig nie, kyk dan vir 'n herhalende patroon van syfers. As daar geenherhalende patroon is nie, dan is die getal irrasionaal.
Wanneer jy die irrasionale getalle in desimale vorm skryf, sou jy kon aanhou om hullete skryf met oneindig baie desimale plekke. Maar, dit is nie gerieflik nie en dit isdikwels nodig om die getalle af te rond.
LET WEL
Afronding van 'n irrasionale getal maak van die getal 'n rasionale getal wat bybenadering dieselfde waarde het as die irrasionale getal.
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: RASIONALE EN IRRASIONALEGETALLE
VRAAG
Watter van die volgende is nie rasionale getalle nie?
1.
2.
3.
4.
5. 15
6.
OPLOSSING
1. Irrasionaal, desimaal eindig nooit en het nie 'n herhalende patroon nie.
2. Rasionaal, desimaal eindig.
3. Irrasionaal, desimaal eindig nooit en het nie 'n herhalende patroon nie.
4. Rasionaal, alle heelgetalle is rasionaal.
5. Rasionaal, desimaal het herhalende patroon.
6. Rasionaal, desimaal het herhalende patroon.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 1.2 Voorbeeld 1
Laai af
Skakel eindigende desimale om na rasionale getalle
'n Desimale getal het 'n heelgetalgedeelte en 'n breukgedeelte. Byvoorbeeld, het 'n heelgetalgedeelte van en 'n breukgedeelte van omdat
.
Elke syfer na die desimale punt is 'n breuk met 'n noemer in toenemende magte van .
16
Byvoorbeeld:
is
is
is
Dit beteken dat
Skakel repeterende desimale om in rasionale getalle
Wanneer die desimaal repeterend is, is 'n bietjie meer werk nodig om diebreukgedeelte van die desimale getal te skryf as 'n breuk.
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: SKAKEL DESIMALE GETALLEOM NA BREUKE
VRAAG
Skryf in die vorm (waar en heelgetalle is).
OPLOSSING
Stap 1: Definieer 'n vergelyking
17
Stap 2: Vermenigvuldig met aan beide kante
Stap 3: Trek die eerste vergelyking van die tweede vergelyking af
Stap 4: Vereenvoudig
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: SKAKEL DESIMALE GETALLEOM NA BREUKE
VRAAG
Skryf as 'n rasionale getal.
OPLOSSING
Stap 1: Definieer 'n vergelyking
Stap 2: Vermenigvuldig met aan beide kante
18
Stap 3: Trek die eerste vergelyking van die tweede vergelyking af
Stap 4: Vereenvoudig
In die eerste voorbeeld is die desimaal vermenigvuldig met en in die tweedevoorbeeld is die desimaal vermenigvuldig met . Dit is omdat daar net eenrepeterende syfer was ( ) in die eerste voorbeeld, terwyl daar drie repeterende syferswas ( ) in die tweede voorbeeld.
In die algemeen, as jy een repeterende desimaal het, vermenigvuldig dan met . Asjy twee repeterende desimale het, vermenigvuldig dan met . As jy drie syfers hetwat repeteer, vermenigvuldig dan met en so verder.
Nie alle desimale getalle kan geskryf word as rasionale getalle nie. Hoekom nie?
Irrasionale desimale getalle soos kan nie geskryf word as 'nbreuk met 'n heelgetal noemer en teller nie, want hulle het nie 'n patroon vanrepeterende syfers nie en hulle eindig nie.
19
1.Die figuur toon die Venn diagram vir die spesiale versamelings
en .
a)
b)
2.Die figuur toon die Venn diagram vir die spesiale versamelings
en .
OEFENING 1.2.1
Waar pas die getal in die diagram?
In die volgende lys is daar twee vals bewerings en een waarbewering. Watter een van die bewerings is waar?
a. Elke heelgetal is 'n natuurlike getal.
b. Elke natuurlike getal is 'n telgetal.
c. Daar is geen desimale in die telgetalle nie.
20
a)
b)
a)
b)
c)
3.Sê of die volgende getalle reëel, niereëel of ongedefinieerd is.
Waar pas die getal in die diagram?
In die volgende lys is daar twee vals bewerings en een waarbewering. Watter een van die bewerings is waar?
a. Elke heelgetal is 'n natuurlike getal.
b. Elke telgetal is 'n heelgetal.
c. Daar is geen desimale in die telgetalle nie.
21
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
4.Sê of die volgende getalle rasionaal of irrasionaal is. As die getalrasionaal is, sê of dit 'n natuurlike getal, 'n telgetal of 'n heelgetal is.
22
a)
b)
c)
d)
5.As 'n heelgetal is, 'n heelgetal is en is irrasionaal, watter vandie volgende is rasionale getalle?
a)
b)
c)
d)
6.
Vir elk van die volgende waardes van , sê of rasionaal ofirrasionaal is.
7.Oorweeg die volgende lys van getalle:
a)Watter van die getalle is:natuurlike getalle
23
b)
c)
d)
e)
f)
8.Vir elk van die volgende getalle:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
9.Skryf die volgende as breuke:
irrasionale getalle
niereële getalle
rasionale getalle
heelgetalle
ongedefinieerd
skryf die volgende drie syfers enmeld of die getalle rasionaal of irrasionaal is
24
c)
d)
a)
b)
c)
d)
10.Skryf die volgende deur die repeterende desimale notasie te gebruik:
a)
b)
c)
d)
e)
11.Skryf die volgende in desimale vorm, deur die repeterende desimalenotasie te gebruik:
25
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
12.Skryf die volgende desimale in breukvorm:
26
1.3 AfrondingAfronding van 'n desimale getal tot 'n verlangde aantal desimale plekke, is dievinnigste manier om 'n getal te benader. Byvoorbeeld, as jy wil afrond totdrie desimale plekke, sal jy:
drie plekke tel na die desimaal en 'n plaas tussen die derde en die vierdegetalle;
rond die derde syfer boontoe af as die vierde syfer groter of gelyk is aan ;
laat die derde syfer onveranderd as die vierde syfer kleiner is as ;
as die derde syfer is en boontoe afgerond moet word, dan word die 'n en die tweede syfer word boontoe afgerond.
Dus, aangesien die eerste syfer na die 'n is, moet ons die syfer in die derdedesimale plek boontoe afrond na 'n en die finale antwoord van ,
afgerond tot drie desimale plekke, is .
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: ROND AF
VRAAG
Rond die volgende getalle af tot die aantal desimale plekke wat aangedui is:
1. tot desimale plekke.
2. tot desimale plekke.
3. tot desimale plekke.
27
4. tot desimale plekke.
OPLOSSING
Stap 1: Merk die verlangde aantal desimale plekke af
As die getal nie 'n desimaal is nie, moet jy eers die getal as 'n desimaalskryf.
1.
2.
3.
4.
Stap 2: Kontroleer die volgende syfer om te sien of jy moet boontoe
of ondertoe afrond
1. Die laaste syfer van moet ondertoeafgerond word.
2. Die laaste syfer moet boontoe afgerondword.
3. Die laaste syfer moet boontoe afgerondword.
4. Die laaste syfer moet boontoe afgerond word.
Aangesien dit 'n is, vervang ons dieg met 'n en rond dietweedelaaste syfer boontoe af.
28
a)
b)
1.Rond die volgende af tot desimale plekke:
OEFENING 1.3.1
Stap 3: Skryf die finale antwoord
1. afgerond na desimale plekke.
2. afgerond na desimale plekke.
3. afgerond na desimale plekke.
4.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 1.3 Voorbeeld 4
Laai af
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 1.3 Afronding
Laai af
29
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.Rond elk van die volgende af tot die aantal desimale plekke wataangedui is:
3.Bestudeer die diagram hieronder
tot desimale plekke.
tot desimale plekke.
tot desimale plekke.
tot desimale plekke.
tot desimale plekke.
tot desimale plekke.
30
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
4.
Gegee ; ; ; .
5.
Bereken die area van tot desimale plekke.
Bereken die area van tot desimale plekke.
Gebruik jou antwoorde in (a) en (b) en bereken die area van .
Sonder afronding, wat is die area van ?
Bereken korrek tot desimale plekke.
Gebruik jou antwoord van (a) en bereken in .
Bereken sonder om jou antwoord in (a) af te rond en vergelykhierdie antwoord met jou antwoord in (b).
As dit persoon neem om bokse te dra, hoeveel mense is nodig om bokse te dra?
31
6.As kaartjies kos, hoeveel kos een kaartjie?
32
1.4 Skatting van wortelvormeAs die wortel van 'n getal nie vereenvoudig kan word tot 'n rasionale getal nie,
noem ons dit 'n wortelvorm. Byvoorbeeld, en is wortelvorme, maar isnie 'n wortelvorm nie omdat dit vereenvoudig kan word tot 'n rasionale getal .
In hierdie hoofstuk sal ons kyk na wortelvorme van die vorm waar enige
positiewe getal is, byvoorbeeld of . Dit is baie algemeen dat gelyk is aan
, dus skryf ons gewoonlik nie nie. In stede daarvan skryf ons die wortelvorm
slegs as
Dit is soms handig om die benaderde waarde van 'n wortelvorm te weet sonder om 'nsakrekenaar te gebruik. Byvoorbeeld, ons wil in staat wees om te skat waar 'n
wortelvorm soos op die getallelyn lê. Met behulp van 'n sakrekenaar weet ons dat
gelyk is aan . Dit is maklik om te sien dat groter is as en
kleiner is as . Maar, om dit te sien vir ander wortelvorme soos , sonder diegebruik van 'n sakrekenaar, moet jy eers die volgende verstaan:
As en positiewe heelgetalle is, en , dan
'n Volkome vierkant is die getal wat verkry word wanneer 'n heelgetal gekwadreerword. Byvoorbeeld, is 'n volkome vierkant aangesien .
Soortgelyk, 'n volkome derdemag is 'n getal wat die derdemag is van 'n heelgetal.Byvoorbeeld, is 'n volkome derdemag omdat .
Beskou die wortelvorm . Dit lê iewers tussen en omdat en
en , tussen en lê.
33
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: SKATTING VANWORTELVORME
VRAAG
Vind twee opeenvolgende heelgetalle wat so is dat tussen hulle lê.(Onthou dat opeenvolgende heelgetalle twee heelgetalle is wat op mekaar volgop die getallelyn, byvoorbeeld, en of en .)
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik volkome vierkante om die kleiner heelgetal te bepaal
. Dus .
Stap 2: Gebruik volkome vierkante om die groter heelgetal te skat.
. Dus .
Stap 3: Skryf die finale antwoord
34
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: SKATTING VANWORTELVORME
VRAAG
Vind twee opeenvolgende heelgetalle so dat tussen hulle lê.
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik volkome derdemagte om die kleiner heelgetal te skat
, dus .
Stap 2: Gebruik volkome derdemagte om die groter heelgetal te
bepaal
, dus .
Stap 3: Skryf die antwoord
Stap 4: Kontroleer die antwoord deur al die terme in die ongelykheid
te verhef tot die mag drie en vereenvoudig dan
. Dit is waar, dus lê tussen en .
35
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
1.Bepaal tussen watter twee opeenvolgende heelgetalle die volgendegetalle lê, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.
a)
2.Evalueer die volgende wortelvorme tot die naaste desimale plek,sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.
OEFENING 1.4.1
36
b)
c)
d)
3.Oorweeg die volgende lys van getalle:
Orden al die getalle in toenemende grootte, sonder om 'n sakrekenaar tegebruik.
37
1.5 ProdukteWiskundige uitdrukkings is net soos sinne en hulle dele het spesiale name. Jy moetbekend wees met die volgende woorde om die dele van wiskundige uitdrukkings tebeskryf.
Naam Voorbeelde
term
uitdrukking
koëffisiënt
eksponent
grondtal
konstante
veranderlike
vergelyking
Vermenigvuldig 'n eenterm met 'n tweeterm
'n Eenterm is 'n uitdrukking met een term, byvoorbeeld, of . 'n Tweeterm is 'nuitdrukking met twee terme, byvoorbeeld, of .
38
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VEREENVOUDIGING VANHAKIES
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 1.5 Voorbeeld 7
Laai af
Vermenigvuldig twee tweeterme met mekaar
Hier vermenigvuldig ons twee lineêre tweeterme (of brei hulle uit):
39
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: VERMENIGVULDIG TWEETWEETERME MET MEKAAR
VRAAG
Vind die produk:
OPLOSSING
Die produk van twee identiese tweeterme staan bekend as die vierkant van dietweeterm en word geskryf as:
As die twee terme van die vorm en is, dan is hulle produk:
Die produk gee die verskil tussen twee vierkante.
Vermenigvuldig 'n tweeterm en 'n drieterm
'n Drieterm is 'n uitdrukking met drie terme, byvoorbeeld, . Nou kanons leer hoe om 'n tweeterm en 'n drieterm met mekaar te vermenigvuldig.
Om die produk van 'n tweeterm met 'n drieterm te vind, vermenigvuldig die hakies uit:
40
a)
b)
c)
d)
1.Brei die volgende produkte uit:
OEFENING 1.5.1
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: VERMENIGVULDIG 'NTWEETERM EN 'N DRIETERM
VRAAG
Vind die produk:
OPLOSSING
Stap 1: Brei die hakie uit
Stap 2: Vereenvoudig
41
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
42
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2.Brei die volgende produkte uit:
43
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
44
v)
w)
x)
y)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3.Brei die volgende produkte uit:
45
j)
k)
l)
4.
5.
a)
b)
c)
d)
6.
In :
a)
7.Antwoord die volgende:
Wat is die waarde van , in
Wat is die waarde van , in
Vir watter van hierdie waardes van sal positief wees?
Vir watter van hierdie waardes van sal positief wees?
Vir watter reële waardes van sal positief wees?
Vir watter waardes van sal positief wees?
Brei uit.46
b)
a)
b)
c)
8.Antwoord die volgende:
a)
9.Antwoord die volgende:
Gegee dat , bepaal die waarde van sonder om op te los.
Brei uit.
Gegee dat , bepaal die waarde van sonder om op te los.
Gegee dat , bepaal die waarde van sonder om op te los.
Brei uit.
47
b)
a)
b)
c)
10.Antwoord die volgende:
Gegee dat , bepaal die waarde van sonder om op te los.
Brei uit.
Brei uit.
Gegee dat , bepaal die waarde van sonder om op te los.
48
1.6 FaktoriseringFaktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies. Byvoorbeeld,
uitbreiding van hakies sal vereis dat geskryf word as .
Faktorisering sal wees om te begin met en te eindig met .
Die twee uitdrukkings, en , is ekwivalent, dus het hulle dieselfdewaarde vir alle waardes van .
In vorige grade het ons gefaktoriseer deur die uithaal van 'n gemeenskaplike faktor endeur die gebruik van die verskil tussen vierkante.
Gemeenskaplike, of gemene, faktore
Faktorisering, gebaseer op gemene faktore, berus daarop dat daar faktore is watgemeenskaplik is aan al die terme.
Byvoorbeeld, kan as volg gefaktoriseer word:
En kan as volg gefaktoriseer word:
49
1.
2.
OEFENING 1.6.1
Faktoriseer:
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: FAKTORISERING DEUR DIEGEBRUIK VAN OMRUILING IN DIE HAKIES
VRAAG
Faktoriseer:
OPLOSSING
Gebruik die “omruilings strategie” om die gemeenskaplike faktor te vind.
Toon aan dat
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 1.6 Voorbeeld 10
Laai af
50
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
51
Verskil van twee vierkante
Ons het gesien dat uitgebrei kan word na .
Dus kan gefaktoriseer word as .
Byvoorbeeld, kan geskryf word as , wat die verskil is tussen twee
vierkante. Dus, die faktore van is en .
Om 'n verskil tussen twee vierkante raak te sien, kyk vir uitdrukkings:
wat uit twee terme bestaan;
wat terme het met verskillende tekens (een positief, een negatief);
wat terme bevat wat beide volkome vierkante is.
Byvoorbeeld: ; ; .
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: DIE VERSKIL TUSSEN TWEEVIERKANTE
VRAAG
Faktoriseer: .
OPLOSSING
Stap 1: Haal die gemeenskaplike faktor uit
52
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
OEFENING 1.6.2
Faktoriseer:
Stap 2: Faktoriseer die verskil tussen twee vierkante
53
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Faktorisering deur groepering in pare
Die uithaal van gemene faktore is die vertrekpunt van alle faktoriseringsprobleme. Ons
weet die faktore van is en . Soortgelyk, die faktore van
is en . Dus, as ons 'n uitdrukking het:
54
dan is daar geen gemene faktor van al vier die terme nie, maar ons kan as volgfaktoriseer:
Ons kan sien daar is 'n ander gemene faktor . Dus, ons kan skryf:
Ons kry dit deur die uit te haal en te sien wat oorbly. Ons het van dieeerste term en van die tweede term. Dit word genoem faktorisering deurgroepering.
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: FAKTORISERING DEURGROEPERING IN PARE
VRAAG
Vind die faktore van .
OPLOSSING
Stap 1: Daar is geen faktore gemeenskaplik aan al die terme nie
Stap 2: Groepeer terme met gemene faktore bymekaar
is 'n gemeenskaplike faktor van die eerste twee terme en is 'ngemeenskaplike faktor van die laaste twee terme. Ons sien dat die ratio ofverhouding van die koëffisiënte dieselfde is as .
55
Stap 3: Haal die gemeenskaplike faktor uit
OF
Stap 4: Groepeer terme met gemene faktore bymekaar
is 'n gemeenskaplike faktor van die eerste en die derde terme en is'n gemeenskaplike faktor van die tweede en vierde terme
.
Stap 5: Herrangskik die uitdrukking met die gegroepeerde terme
saam
Stap 6: Haal die gemeenskaplike faktor uit
Stap 7: Skryf die finale antwoord
Die faktore van is en .
56
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
OEFENING 1.6.3
Faktoriseer die volgende:
57
15.
16.
17.
Faktoriseer 'n kwadratiese drieterm
Faktorisering is die omgekeerde van die berekening van die produk van faktore. Teneinde 'n volkome vierkant te faktoriseer, moet ons die faktore vind wat, wanneer hullesaam vermenigvuldig word, gelyk is aan die oorspronklike kwadraat.
Oorweeg 'n kwadratiese uitdrukking van die vorm . Ons sien hier dat 'n
gemene faktor is in beide terme. Dus faktoriseer as .
Byvoorbeeld, faktoriseer as .
'n Ander tipe vierkant is saamgestel uit die verskil tussen twee vierkante. Ons weetdat:
So, kan in gefaktoriseerde vorm geskryf word as .
Dit beteken dat wanneer ons te doen kry met 'n vierkant wat bestaan uit die verskiltussen vierkante, kan ons onmiddellik die faktore neerskryf. Hierdie tipe vierkante isbaie eenvoudig om te faktoriseer. Maar, baie vierkante val nie in hierdie kategorieë nieen ons het 'n meer algemene metode nodig om kwadratiese uitdrukkings tefaktoriseer.
Ons kan leer oor die faktorisering van kwadrate deur te kyk na die teenoorgesteldeproses waar twee tweeterme vermenigvuldig word om 'n kwadratiese uitdrukking tevorm.
58
Ons sien die term in die kwadratiese uitdrukking is die produk van die terme inelke hakie. Soortgelyk, die in die kwadratiese drieterm is die produk van die en in die hakies. Uiteindelik is die middelterm die som van twee terme.
Dus, hoe gebruik ons hierdie inligting om die kwadratiese uitdrukking te faktoriseer?
Laat ons begin om te faktoriseer en kyk of ons op sekere algemeneriglyne kan besluit. Eerstens, skryf twee hakies neer met 'n in elke hakie en spasievir die oorblywende terme.
Vervolgens, besluit op die faktore van . Aangesien positief is, is moontlikekombinasies: 1 en 6, 2 en 3, en of en .
Dus het ons vier moontlikhede:
Opsie 1 Opsie 2 Opsie 3 Opsie 4
Vervolgens brei ons elke stel hakies uit om te sien watter opsie gee vir ons diekorrekte middelterm.
Opsie 1 Opsie 2 Opsie 3 Opsie 4
Ons sien dat Opsie 3, , die korrekte oplossing is.
Die proses van faktorisering van 'n kwadratiese drieterm is meestal probeer en trefmaar daar is sommige strategieë wat ons kan gebruik om die proses te vergemaklik.
Algemene prosedure vir die faktorisering van 'n59
Algemene prosedure vir die faktorisering van 'ndrieterm
1. Haal alle gemene faktore in die koëffisiënte uit ten einde 'n uitdrukking te kry van
die vorm waar , en geen gemene faktore het nie en positief is.
2. Skryf twee hakies neer met 'n in elke hakie en spasie vir die oorblywendeterme:
3. Skryf 'n stel faktore neer vir en .
4. Skryf nou 'n stel opsies neer vir die moontlike faktore van die kwadratiesedrieterm deur die gebruik van die faktore van en .
5. Brei alle opsies uit om te sien watter een gee die korrekte middelterm .
BELANGRIK
As positief is, dan moet die faktore van albei positief of albei negatief wees.As negatief is, beteken dit slegs een van die faktore van is negatief, en dieander een is positief. Wanneer jy 'n antwoord gekry het, vermenigvuldig altyd jouhakies weer uit om seker te maak dat dit regtig werk.
UITGEWERKTE VOORBEELD 13: FAKTORISEER 'NKWADRATIESE DRIETERM
VRAAG
Faktoriseer: .
60
OPLOSSING
Stap 1: Kontroleer dat die kwadratiese drieterm in die verlangde
formaat is
Stap 2: Skryf 'n stel faktore neer vir en
Die moontlike faktore vir is: 1 en 3
Die moontlike faktore vir is: en 1
Skryf 'n stel opsies neer vir die moontlike faktore van die kwadratiesedrieterm deur die gebruik van die faktore van en . Dus, daar is tweemoontlike opsies.
Opsie 1 Opsie 2
Stap 3: Kontroleer dat die oplossing korrek is deur die
vermenigvuldiging van die faktore
Stap 4: Skryf die finale antwoord
61
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
OEFENING 1.6.4
Faktoriseer die volgende:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 1.6 Faktorisering van 3 term
Laai af
62
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.63
Som en verskil van twee derdemagte
Ons kyk nou twee spesiale resultate wat verkry word deur die vermenigvuldiging van'n tweeterm en 'n drieterm:
Som van twee derdemagte:
Verskil van twee derdemagte:
Dus het ons gesien dat:
Ons gebruik hierdie twee basiese identiteite om die meer komplekse voorbeelde tefaktoriseer.
64
UITGEWERKTE VOORBEELD 14: FAKTORISEER DIE VERSKILVAN TWEE DERDEMAGTE
VRAAG
Faktoriseer: .
OPLOSSING
Stap 1: Neem die derdemagswortels van die terme wat volkome
derdemagte is
Ons werk met die verskil tussen twee derdemagte. Ons weet
, dus moet ons en identifiseer.
Ons begin deur op te let en . Hierdie gee die termein die eerste hakie. Dit vertel ook vir ons dat en .
Stap 2: Vind die drie terme in die tweede hakie
Ons kan en vervang in die gefaktoriseerde vorm van die uitdrukkingvir die verskil tussen twee derdemagte met en . Deur dit te doen, kryons die tweede hakie:
65
Stap 3: Brei die hakies uit om te kontroleer dat die uitdrukking korrek
gefaktoriseer is
UITGEWERKTE VOORBEELD 15: FAKTORISEER DIE SOM VANTWEE DERDEMAGTE
VRAAG
Faktoriseer: .
OPLOSSING
Stap 1: Neem die derdemagswortels van die terme wat volkome
derdemagte is
Ons werk met die som van twee derdemagte. Ons weet dat
, dus moet ons en identifiseer.
Ons begin deur op te let en . Hierdie gee die termein die eerste hakie. Dit vertel ook vir ons dat en .
Stap 2: Vind die drie terme in die tweede hakie
Ons kan en vervang in die gefaktoriseerde vorm van die uitdrukkingvir die som van twee derdemagte met en . Deur dit te doen, kry ons
66
die tweede hakie:
Stap 3: Brei die hakies uit om te kontroleer dat die uitdrukking korrek
gefaktoriseer is
UITGEWERKTE VOORBEELD 16: FAKTORISEER DIE VERSKILVAN TWEE DERDEMAGTE
VRAAG
Faktoriseer: .
OPLOSSING
Stap 1: Haal die gemene faktor van 16 uit
Stap 2: Neem die derdemagswortels van die terme wat volkome
derdemagte is
Ons werk met die verskil tussen twee derdemagte. Ons weet
, dus moet ons en identifiseer.
67
Ons begin deur op te let en . Hierdie gee die termein die eerste hakie. Dit vertel ook vir ons dat en .
Stap 3: Vind die drie terme in die tweede hakie
Ons kan en vervang in die gefaktoriseerde vorm van die uitdrukkingvir die verskil tussen twee derdemagte met en . Deur dit te doen, kryons die tweede hakie:
Stap 4: Brei die hakies uit om te kontroleer dat die uitdrukking korrek
gefaktoriseer is
UITGEWERKTE VOORBEELD 17: FAKTORISEER DIE SOM VANTWEE DERDEMAGTE
VRAAG
Faktoriseer: .
OPLOSSING
Stap 1: Neem die derdemagswortels van die terme wat volkome
derdemagte is68
1.
OEFENING 1.6.5
Faktoriseer:
Ons werk met die som van twee derdemagte. Ons weet dat
, dus moet ons en identifiseer.
Ons begin deur op te let en . Hierdie geedie terme in die eerste hakie. Dit vertel ook vir ons dat en
.
Stap 2: Vind die drie terme in die tweede hakie
Ons kan en in die gefaktoriseerde vorm van die uitdrukking vir dieverskil tussen twee derdemagte vervang met en . Deur dit te doen,kry ons die tweede hakie:
Stap 3: Brei die hakies uit om te kontroleer dat die uitdrukking korrek
gefaktoriseer is
69
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
70
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
71
1.7 Vereenvoudiging van breukeOns het prosedures vir bewerkings met breuke in vorige grade bestudeer.
1.
2.
3.
Nota: deling duer 'n breuk is dieselfde as vermenigvuldiging met die resiprook van diebreuk.
In sommige gevalle van die vereenvoudiging van 'n algebraïese uitdrukking, sal dieuitdrukking 'n breuk wees. Byvoorbeeld,
het 'n kwadratiese tweeterm in die teller en 'n lineêre tweeterm in die noemer. Onsmoet die verskillende faktoriseringsmetodes toepas ten einde die teller en die noemerte faktoriseer voor ons die uitdrukking kan vereenvoudig.
As dan is die noemer, en die breuk is ongedefinieerd.
72
UITGEWERKTE VOORBEELD 18: VEREENVOUDIGING VANBREUKE
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik groepering om die teller te faktoriseer en haal die
gemeenskaplike faktor in die noemer uit
Stap 2: Haal die gemene faktor in die teller uit
Stap 3: Kanselleer die gemene faktor in die teller en die noemer om
die finale antwoord te gee
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 1.7 Voorbeeld 18
Laai af
73
UITGEWERKTE VOORBEELD 19: VEREENVOUDIGING VANBREUKE
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
Stap 1: Faktoriseer die teller en die noemer
Stap 2: Verander die deelteken en vermenigvuldig met die resiprook
Stap 3: Skryf die finale antwoord
UITGEWERKTE VOORBEELD 20: VEREENVOUDIGING VANBREUKE
VRAAG
Vereenvoudig:
74
OPLOSSING
Stap 1: Faktoriseer die noemers
Stap 2: Maak al die noemers dieselfde sodat ons die breuke kan optel
of aftrek
Die kleinste gemene noemer is .
Stap 3: Skryf as een breuk
Stap 4: Vereenvoudig
Stap 5: Haal die gemene faktor uit en skryf die finale antwoord
75
a)
OEFENING 1.7.1
1.Vereenvoudig (aanvaar al die noemers is nienul)
UITGEWERKTE VOORBEELD 21: VEREENVOUDIGING VANBREUKE
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
Stap 1: Faktoriseer die teller en die noemer
Stap 2: Vereenvoudig en vind die gemene noemer
Stap 3: Skryf die finale antwoord
76
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
77
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
78
w)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2.Vereenvoudig (aanvaar al die noemers is nienul)
79
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
80
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3.Vereenvoudig (aanvaar al die noemers is nienul)
81
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
82
a)
b)
c)
4.Wat is die beperkings in die volgende:
83
Hoofstuk opsomming
: natuurlike getalle is
: telgetalle is
: heelgetalle is
'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as waar en
heelgetalle is en .
Die volgende is rasionale getalle:
Breuke met beide die teller en die noemer as heelgetalle.
Heelgetalle.
Desimale getalle wat eindig.
Desimale getalle wat herhaal (repeterend is).
Irrasionale getalle is getalle wat nie geskryf kan word as 'n breuk met die telleren die noemer as heelgetalle nie.
As die wortel van 'n getal nie vereenvoudig kan word na 'n rasionale getalnie, word dit 'n wortelvorm genoem.
As en positiewe heelgetalle is, en , dan is .
'n Tweeterm is 'n uitdrukking met twee terme.
Die produk van twee identiese tweeterme is die kwadraat van die tweeterm.
Ons kry die verskil van twee vierkante wanneer ons vermenigvuldig.
84
Faktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies.
Die produk van 'n tweeterm en 'n drieterm is:
Die uithaal van 'n gemene faktor is die basiese metode vir faktorisering.
Ons moet dikwels groepering gebruik om polinome te faktoriseer.
Om 'n volkome vierkant te faktoriseer, moet ons die twee tweeterme vind watmet mekaar vermenigvuldig is om die volkome kwadraat te gee.
Die som van twee derdemagte kan gefaktoriseer word as:
Die verskil van twee derdemagte kan gefaktoriseer word as:
Ons kan breuke vereenvoudig deur die toepassing van die metodes wat onsgeleer het vir die faktorisering van uitdrukkings.
Slegs faktore kan uitgekanselleer word in breuke, nooit terme nie.
Die noemers van al die breuke moet dieselfde wees om breuke op te tel of af tetrek.
85
1.Die figuur toon die Venn diagram vir die spesiale versamelings
en .
a)
b)
a)
2.Meld of die volgende getalle reëel, niereëel of ongedefinieerd is.
HOOFSTUK 1: HERSIENINGSOEFENINGE
Waar hoort die getal in die diagram?
In die volgende lys is daar twee vals bewerings en een waarbewering. Watter een van die bewerings is waar?
Elke natuurlike getal is 'n heelgetal.Elke heelgetal is 'n natuurlike getal.Daar is breuke in die heelgetalle.
86
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
3.Meld of elk van die volgende getalle rasionaal of irrasionaal is.
a)
b)
c)
4.As 'n heelgetal is, 'n heelgetal is en is irrasionaal, watter vandie volgende is rasionale getalle?
87
d)
5.Oorweeg die volgende lys van getalle:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
6.Skryf elke desimaal as 'n eenvoudige breuk.
Watter van die getalle is niereële getalle?
Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, orden al die reële getalle in 'norde van toenemende grootte.
Watter van die getalle is irrasionale getalle?
Watter van die getalle is rasionale getalle?
Watter van die getalle is heelgetalle?
Watter van die getalle is ongedefinieerd?
88
e)
f)
g)
7.
a)
b)
8.Skryf die volgende breuke as desimale getalle:
9.
10.Vir elk van die volgende getalle:
a)
b)
11.Skryf die volgende rasionale getalle tot 2 desimale plekke.
Toon dat die desimaal 'n rasionale getal is.
Druk uit as 'n breuk waar (toon al jou bewerkings).
skryf die volgende drie syfers;meld of die getal rasionaal of irrasionaal is.
89
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
12.Rond die volgende irrasionale getalle af tot 3 desimale plekke.
13.
14.
15.
a)
16.Gebruik jou sakrekenaar en skryf die volgende irrasionale getalle tot3 desimale plekke.
Rond die getal af tot desimale plekke.
Rond die getal af tot desimale plekke.
Rond die getal af tot desimale plekke.
90
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
17.Gebruik jou sakrekenaar (waar nodig) en skryf die volgende getalletot 5 desimale plekke. Meld of die getalle irrasionaal of rasionaal is.
91
a)
b)
18.Rond af:
a)
b)
c)
d)
19.Skryf die volgende irrasionale getalle tot 3 desimale plekke en skryfdan elkeen as 'n rasionale getal om 'n benadering te kry van dieirrasionale getal.
a)
b)
c)
d)
e)
20.Bepaal tussen watter twee opeenvolgende heelgetalle die volgendeirrasionale getalle lê, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.
tot die naaste desimale plekke.
tot die naaste desimale plekke.
92
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
a)
b)
c)
d)
21.Skat die volgende wortelvorme tot die naaste desimale plek,sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.
a)
22.Brei die volgende produkte uit:
93
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)94
q)
r)
s)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
23.Brei die volgende uit:
95
j)
24.
a)
b)
c)
d)
25.
In :
a)
b)
c)
26.Antwoord die volgende:
Wat is die waarde van in ?
Vir watter van hierdie waardes van sal positief wees?
Vir watter van hierdie waardes van sal positief wees?
Vir watter waardes van sal positief wees?
Vir watter waardes van sal positief wees?
Brei uit.
Brei uit.
Gegee dat , bepaal die waarde van sonder om op te los.
96
a)
b)
c)
d)
27.Los op deur faktorisering:
a)
b)
c)
d)
e)
28.Stel die volgende voor as die produk van sy priemfaktore:
a)
b)
c)
d)
29.Faktoriseer:
97
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)98
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
30.Faktoriseer die volgende:
99
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
100
u)
v)
w)
x)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
31.Vereenvoudig die volgende:
101
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
102
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
32.
Wys dat vereenvoudig kan word tot
.
103
33.
34.
35.
36.
a)
b)
37.Wat is die beperkings op die volgende?
Wat moet by gevoeg word om dit gelyk te maak aan ?
Evalueer as
Met watter uitdrukking moet vermenigvuldig word om 'n produk te
kry van ?
Met watter uitdrukking moet gedeel word om 'n kwosiënt te kryvan ?
104
HOOFSTUK 2: EKSPONENTE
InleidingEksponensiële notasie is 'n kort manier om aan te dui dat dieselfde getal 'n aantal keremet homself vermenigvuldig word. Dit is baie handig in die alledaagse lewe. Jy hetseker al gehoor dat iemand die oppervlakte van 'n area beskryf in vierkante meter ofvierkante kilometer. Byvoorbeeld, die grootste radioteleskoop in die wêreld word inSuidAfrika gebou. Die teleskoop word die vierkante kilometer opstelling, of SKA,genoem. Dit is omdat die teleskoop 'n area van kilometer by kilometer of vierkante kilometer sal beslaan.
Antennas van die SKA (kunstenaarsvoorstelling).
Eksponente is ook baie handig om baie groot en baie klein getalle mee uit te druk.Byvoorbeeld, die SKA sal ongelooflike swak seine optel van voorwerpe wat so verweg is dat dit totaal onprakties sou wees om die sterkte van die sein of die afstand, inkilometers, uit te skryf. Benewens in die astronomie, word eksponente gebruik deurmense soos rekenaarprogrammeerders, ingenieurs, ekonome, finansiële analiste,bioloë en demograwe.
Jy is reeds in vorige grade bekend gestel aan eksponente en eksponentwette. Onthoudat eksponente ook indekse of magte genoem kan word. Eksponentnotasie is as volg:
105
Vir enige reële getal en natuurlike getal , kan ons aantal kerevermenigvuldig met homself, skryf as: .
Onthou die volgende identiteite:
1.
2.
3.
4. Net so,
Kyk na die volgende voorbeelde en sien hoe hierdie identiteite werk:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
106
LET WEL
As dit makliker is om jou finale antwoord uit te werk sonder 'n sakrekenaar, skryfdit volledig uit nie in eksponensiële notasie nie soos in voorbeelde 1 en 5.
LET WEL
Dit is die konvensie om jou finale antwoord met positiewe eksponente te skryf.
In hierdie hoofstuk sal ons die eksponentwette hersien en hierdie wette gebruik ommeer komplekse uitdrukkings te vereenvoudig en meer ingewikkelde vergelykings opte los.
107
2.1 Hersiening van eksponentwetteDaar is verskeie wette wat ons kan gebruik om bewerkings met eksponensiële getallete vergemaklik. Sommige van hierdie wette is moontlik behandel in vorige grade, maarons gee 'n volledige lys van al die wette vir maklike verwysing:
waar , en
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: TOEPASSING VAN DIEEKSPONENTWETTE
VRAAG
Vereenvoudig:
1.
2.
3. 108
4.
5.
6.
7.
8.
OPLOSSING
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
109
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 2.1 Voorbeeld 1
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: EKSPONENSIËLEUITDRUKKINGS
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
Stap 1: Verander die grondtalle na priemgetalle
Met die eerste oogopslag lyk dit nie asof ons hierdie uitdrukking kanvereenvoudig nie, maar, as ons die grondtalle reduseer tot priemgetalle,kan ons die eksponentwette toepas.
110
Stap 2: Vereenvoudig die eksponente
WENK
Wanneer jy 'n breuk het van een term oor 'n ander term, gebruik die metode ompriemgrondtalle te vind met ander woorde, gebruik priemfaktorisering op diegrondtalle.
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: EKSPONENSIËLEUITDRUKKINGS
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
Stap 1: Verander die grondtalle na priemgetalle
111
Stap 2: Trek die eksponente af (dieselfde grondtal)
Stap 3: Skryf die antwoord as 'n breuk
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 2.1 Voorbeeld 3
Laai af
LET WEL
Wanneer jy met eksponente werk, geld al die berekeningswette van algebra nogsteeds.
112
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: VEREENVOUDIG DEUR DIEGEMENE FAKTOR UIT TE HAAL
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
Stap 1: Vereenvoudig tot 'n faktoriseerbare vorm
Vir elke eksponentwet kan ons die wet “terugwerk” met ander woorde onskan in die teenoorgestelde rigting werk. Vir hierdie uitdrukking kan ons dievermenigvuldigingswet omkeer om te skryf as .
Stap 2: Haal 'n gemeenskaplike faktor uit
Stap 3: Kanselleer die gemeenskaplike faktor en vereenvoudig
113
WENK
Wanneer jy 'n breuk het met meer as een term in die teller of in die noemer,verander na priemgrondtalle wanneer nodig, en faktoriseer dan.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 2.1 Voorbeeld 4
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VEREENVOUDIG DEUR DIEVERSKIL TUSSEN TWEE VIERKANTE TE GEBRUIK
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
Stap 1: Verander die grondtalle na priemgetalle
114
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
OEFENING 2.1.1
Vereenvoudig sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
Stap 2: Faktoriseer deur die verskil tussen vierkante te gebruik
Stap 3: Kanselleer die gemeenskaplike faktor en vereenvoudig
115
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
116
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
117
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
118
2.2 Rasionale eksponenteOns kan ook die eksponentwette toepas op uitdrukkings met rasionale eksponente.
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VEREENVOUDIGING VANRASIONALE EKSPONENTE
VRAAG
Vereenvoudig:
OPLOSSING
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VEREENVOUDIGING VANRASIONALE EKSPONENTE
VRAAG
Vereenvoudig:
119
1.
2.
3.
OEFENING 2.2.1
Vereenvoudig sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
OPLOSSING
Stap 1: Skryf as 'n breuk en vereenvoudig
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 2.2 Voorbeeld 7
Laai af
120
4.
5.
6.
7.
8.
9.
121
2.3 Eksponensiële vergelykingsIn eksponensiële vergelykings is die onbekende veranderlike in die eksponent. Hier isenkele voorbeelde:
As ons 'n enkele term met dieselfde grondtal aan elke kant van die vergelyking kanskryf, dan kan ons die eksponente gelykstel. Dit is een manier waarop onseksponensiële vergelykings kan oplos.
Belangrik: as en dan:
Let ook op dat as , dan kan en verskillend wees.
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: STEL EKSPONENTE GELYK
VRAAG
Los op vir : .
OPLOSSING
Stap 1: Verander die grondtalle na priemgetalle
122
Stap 2: Die grondtalle is dieselfde, dus kan ons die eksponente
gelykstel
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 2.3 Voorbeeld 8
Laai af
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 2.3 Eksponensiële vergelykings
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: STEL EKSPONENTE GELYK
VRAAG
Los op vir : .
OPLOSSING
Stap 1: Los op vir
Vanaf die eksponent identiteite, weet ons dat , dus:
123
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: LOS VERGELYKINGS OPDEUR DIE UITHAAL VAN 'N GEMEENSKAPLIKE FAKTOR
VRAAG
Los op vir : .
OPLOSSING
Stap 1: Herskryf die uitdrukking
Stap 2: Haal 'n gemeenskaplike faktor uit
Stap 3: Vereenvoudig
Stap 4: Verander die grondtalle na priemgetalle
124
Stap 5: Die grondtalle is dieselfde, dus kan ons die eksponente
gelykstel
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 2.3 Voorbeeld 10
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: LOS VERGELYKINGS OPDEUR DIE FAKTORISERING VAN 'N DRIETERM
VRAAG
Los op vir :
OPLOSSING
Stap 1: Faktoriseer die drieterm
Stap 2: Los op vir
of . Maar is ongedefineer, dus:
125
Dus
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: LOS VERGELYKINGS OPDEUR DIE FAKTORISERING VAN 'N DRIETERM
VRAAG
Los op vir :
OPLOSSING
Stap 1: Herskryf die vergelyking
Ons let op dat , dus kan ons die vergelyking herskryf as:
Stap 2: Faktoriseer as 'n drieterm
Stap 3: Los op om beide wortels te vind
126
Dus of .
UITGEWERKTE VOORBEELD 13: OPLOS VAN VERGELYKINGSDEUR FAKTORISERING
VRAAG
Los op vir :
OPLOSSING
Stap 1: Herskryf die vergelyking
Ten einde die vergelyking in 'n faktoriseerbare vorm te kry, moet ons dievergelyking herskryf:
Elimineer nou die breuk deur weerskante te vermenigvuldig met dienoemer, .
Stap 2: Faktoriseer die vergelyking
Nadat ons die vergelyking herrangskik het, kan ons sien dat ons nou 'n127
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
1.Los die veranderlike op:
OEFENING 2.3.1
verskil tussen twee vierkante het. Dus:
Dus .
128
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
129
2.
3.
4.
Die groei van alge kan gemodelleer word met die funksie . Vind
die waarde van sodat .
Gebruik probeer en tref om die waarde van te vind, korrek tot 2 desimaleplekke.
Gebruik probeer en tref om die waarde van te vind, korrek tot 2 desimaleplekke.
130
Hoofstuk opsommingEksponensiële notasie beteken om 'n getal te skryf as waar 'n heelgetalis en enige reële getal kan wees.
is die grondtal en is die eksponent of indeks.
Definisie:
, as
, as
, as
Die eksponentwette:
Wanneer uitdrukkings met eksponente vereenvoudig moet word, kan ons diegrondtalle verander na priemgrondtalle of faktoriseer.Wanneer ons vergelykings met eksponente oplos, kan ons die reël toepas datas dan is ; of ons kan die uitdrukkings faktoriseer.
131
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
1.Vereenvoudig:
HOOFSTUK 2: HERSIENINGSOEFENINGE
132
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
133
v)
w)
x)
y)
z)
a)
b)
c)
d)
e)
2.Vereenvoudig:
134
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
135
q)
r)
s)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3.Los op:
136
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
137
x)
4.
5.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6.Verduidelik waarom die volgende bewerings vals is:
7.
Gebruik probeer en tref om die waarde van te vind, korrek tot 2 desimaleplekke.
Gebruik probeer en tref om die waarde van te vind, korrek tot 2 desimaleplekke.
As voluit geskryf word, uit hoeveel syfers sal dit bestaan?
138
8.
Bewys dat
139
HOOFSTUK 3: GETALPATRONE
InleidingIn vorige grade het jy patrone gesien in die vorm van prentjies en getalle. In hierdiehoofstuk leer ons meer oor die wiskunde van patrone. Patrone is herhalendesekwensies of rye wat ons vind in die natuur, in vorme, gebeure, versamelings vangetalle en omtrent enige plek waar mens kyk. Byvoorbeeld, die sade van 'nsonneblom, sneeuvlokkies, meetkundige ontwerpe op laslappiekomberse of teëls, ofrye getalle
Die patroon van die sade in 'n sonneblom volg die Fibonacci ry, of
Probeer om op jou eie patrone raak te sien in die volgende rye:
1.
2.
3.
4.
140
3.1 Beskrywing van rye'n Ry is 'n geordende lys van items, meestal getalle. Elke item wat die ry vorm, word 'n“term” genoem.
Rye kan interessante patrone vorm. Ons ondersoek nou sekere tipes patrone en hoehulle gevorm word.
Voorbeelde:
1.
Daar is 'n verskil van tussen opeenvolgende terme.
Die patroon word voortgesit deur by die vorige term te tel.
2.
Daar is 'n verskil van tussen opeenvolgende terme.
Die patroon word voortgesit deur by te tel by (dit is om af te trek van) dievorige term.
3.
Hierdie ry het 'n faktor van tussen opeenvolgende terme.
Die patroon word voortgesit deur die vorige term met 2 te vermenigvuldig.
4. 141
Hierdie ry het 'n faktor van tussen opeenvolgende terme.
Die patroon word voortgesit deur die vorige term te vermenigvuldig met .
5.
Hierdie ry het 'n faktor van tussen opeenvolgende terme.
Die patroon word voorgesit deur die vorige term met te vermenigvuldig, watekwivalent is daaraan om die vorige term met 3 te deel.
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: STUDIETABEL
VRAAG
Jy en vriende besluit om te studeer vir Wiskunde en julle sit saam om 'nvierkantige tafel. 'n Paar minute later kom nog vriende daar aan en hulle wilook by jou tafel sit. Jy skuif 'n ander tafel langs joune sodat mense kan sit.Nog vriende wil ook by julle groep aansluit, dus neem jy 'n derde tafel en lasdit by die bestaande tafels. Nou kan mense saam sit.
Ondersoek hoe die aantal mense wat kan sit, verband hou met die aantaltafels. Is daar 'n patroon?
Vir elke tafel wat bygevoeg word, kan twee ekstra persone plaasneem.
142
OPLOSSING
Stap 1: Voltooi 'n tabel om te sien of 'n patroon vorm
Aantal tafels, n Aantal mense wat kan sit
n
Stap 2: Beskryf die patroon
Ons sien dat met tafels, kan mense sit, met tafels, kan mensesit, ensovoorts. Ons het begin met mense en het elke keer tweebygevoeg. Dus, vir elke tafel wat bygevoeg word, vermeerder die aantalmense met .
Dus is die patroon wat gevorm word .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 3.1 Voorbeeld 1
Laai af
Ons gebruik die volgende notasie om die terme in 'n getalpatroon mee te beskryf:
Die eerste term van 'n ry is .
143
Die vierde term van 'n ry is .
Die tiende term van 'n ry is .
Die algemene term word dikwels uitgedruk as die term en word geskryf as .
'n Ry hoef nie noodwendig 'n patroon te volg nie, maar wanneer dit wel doen, kan ons'n algemene formule neerskryf waarmee ons enige term kan bereken. Byvoorbeeld,beskou die volgende lineêre ry:
Die term word gegee deur die algemene formule:
Jy kan dit kontroleer deur waardes in die formule te stel:
As ons die verband tussen die posisie van 'n term en sy waarde vind, kan ons 'nalgemene formule opstel wat by die patroon pas en enige term van die ry vind.
Gemene verskil
Beskou die volgende ry:
Ons kan sien dat elke term met 5 afneem, maar hoe bepaal ons die algemene formulevir die term? Laat ons dit probeer doen met 'n tabel.
144
Nommer vanterm
Term
Formule
Jy kan sien dat die verskil tussen twee opeenvolgende terme altyd die koëffisiënt van in die formule is. Dit word 'n gemene verskil genoem.
Dus, vir rye met 'n gemene verskil, sal die algemene formule altyd van die vorm: wees, waar die verskil is tussen enige twee opeenvolgende terme
en 'n konstante is.
LET WEL
Rye met 'n gemene verskil, word lineêre rye genoem.
DEFINISIE
Gemene verskil
Die gemene verskil is die verskil tussen enige term en die voorafgaandeterm. Die gemene verskil word aangedui deur .
Byvoorbeeld, beskou die ry
Om die gemene verskil te bereken, moet ons die verskil vind tussen enige term en dievorige term.
Laat ons die verskil vind tussen die eerste twee terme.
145
Kom ons kontroleer twee ander terme:
Ons sien dat konstant is.
In die algemeen,
BELANGRIK
byvoorbeeld, , nie .
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: STUDIE TABEL, VERVOLG
VRAAG
Soos vantevore, studeer jy en jou vriende vir Wiskunde en julle sit saam by'n vierkantige tafel. 'n Paar minute later kom ander vriende daar aan en jyskuif nog 'n tafel langs julle s'n. Nou kan mense by die tafel sit. Nog vriende sluit by julle groep aan; jy neem 'n derde tafel en las dit by diebestaande twee tafels. Nou kan mense saam sit soos hier onder aangetoon.
1. Vind 'n uitdrukking vir die aantal mense wat by tafels kan sit.
2. Gebruik hierdie algemene formule om te bepaal hoeveel mense om tafels kan sit.
3. Hoeveel tafels word benodig om mense sitplek te gee?
146
Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat bygelas word.
OPLOSSING
Stap 1: Stel 'n tabel op om die patroon te sien.
Aantal tafels, Aantal mense wat kan sit Patroon
n
Nota: Daar mag variasies wees in die manier waarop jy dink oor diepatroon in hierdie probleem. Byvoorbeeld, jy mag hierdie probleem beskouasof die persoon aan die een punt vas is, twee mense sit regoor mekaarper tafel en een persoon op die ander punt is vas. Die resultaat hiervan is
. Jou formule vir sal steeds reg wees.
Stap 2: Beskryf die patroon
Die aantal mense wat by tafels sit, is
Stap 3: Bereken die twaalfde term, met ander woorde, vind as
147
Dus kan mense by tafels sit.
Stap 4: Bereken die aantal tafels wat benodig word om mense
sitplek te gee, met ander woorde vind as
Dus word tafels benodig vir mense.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 3.1 Voorbeeld 2
Laai af
Dit is belangrik om die verskil raak te sien tussen en . kan vergelyk word met'n plekhouer wat die posisie van die term in die ry aandui, terwyl die waarde isvan die term. In die voorbeeld hierbo, het die eerste tafel plek vir mense. Dusvir , is die waarde van ensovoorts:
148
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: DATAPLANNE
VRAAG
Raymond teken in vir 'n beperkte dataplan van Vodacell. Die beperkte dataplankos vir gigabyte (GB) per maand, vir per maand en
vir per maand. Aanvaar hierdie patroon word onbeperkvoortgesit.
1. Gebruik 'n tabel om die patroon van die koste van die dataplanne voor testel.
2. Vind die algemene formule vir die ry.
3. Gebruik die algemene formule om die koste te bepaal vir 'n dataplan.
4. Die koste van 'n onbeperkte dataplan in per maand. Bepaal diehoeveelheid data wat Raymond moet gebruik voordat dit goedkoper virhom sal wees om in te teken op 'n onbeperkte dataplan.
OPLOSSING
Stap 1: Stel 'n tabel op om die patroon te sien.
Aantal GB
Koste (inRand)
Patroon
149
Stap 2: Gebruik die waargenome patroon om die algemene formule te
vind.
Die prys van GB data is
Stap 3: Bepaal die koste van van data.
Hierdie vraag verwag van ons om die waarde te bepaal van die term, met ander woorde, vind as . Deur die gebruik van diealgemene formule, kry ons:
Dus is die koste van 'n datapakket .
Stap 4: Bepaal wanneer dit goedkoper is om die onbeperkte dataplan
te koop
Die finale vraag van hierdie uitgewerkte voorbeeld verwag van ons om tebepaal wanneer dit vir Raymond goedkoper sal wees om die onbeperktedatapakket te koop in plaas van die beperkte plan. Met ander woorde, onsmoet vind waar minder is as .
Ons weet dat:
Dus as
150
1.
OEFENING 3.1.1
As ons oplos, kry ons:
Dus is dit goedkoper vir Raymond om die onbeperkte dataplan te koopindien hy meer as per maand gebruik.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 3.1 Poligone
Laai af
Gebruik die gegewe rye om die tabel hieronder te voltooi.
Nommer van figuur
Aantal kolletjies
Aantal lyne
Totaal
151
2.
3.
a)
b)
c)
d)
4.Vir elk van die volgende rye, bepaal die algemene verskil. As die rynie lineêr is nie, skryf “geen gemene verskil”.
a)
b)
c)
d)
5.Skryf die volgende drie terme in elk van die volgende rye neer:
Beskou die volgende ry getalle:
As wat is die waarde van ?
Beskou die ry wat hier getoon word:
As wat is die waarde van ?
152
e)
f)
g)
6.
7.
8.
a)
b)
c)
d)
e)
9.Die algemene term vir elke ry hieronder, word gegee. Bereken dieontbrekende terme (elke ontbrekende term word deur aangedui).
Gegee 'n patroon wat begin met die getalle: . Bepaal diewaardes van en .
Gegee 'n ry wat begin met die letters: . Bepaal diewaardes van en .
Gegee 'n patroon wat begin met die getalle: . Bepaal diewaardes van en .
153
a)
b)
c)
10.Vind die algemene formule vir die volgende rye en bepaal dan ,
en
11.Die diagram hieronder toon prentjies wat 'n patroon vorm.
a)
b)
c)
12.Bestudeer die volgende ry:
Hoeveel driehoeke sal daar in die vyfde prentjie wees?
Bepaal 'n formule vir die term.
Gebruik die formule om te bepaal hoeveel driehoeke daar in die prentjie van die diagram is.
154
a)
b)
c)
a)
b)
c)
13.Bestudeer die volgende ry:
a)
b)
14.Beskou die volgende lys:
15.Beskou die volgende patroon:
Skryf die volgende terme neer.
Vind die algemene formule vir die ry
Vind die waarde van as is.
Skryf die volgende terme neer.
Vind die algemene formule vir die ry
Vind die waarde van as is .
Vind die gemene verskil vir die terme van die lys. As die ry nie lineêris nie (dus as dit nie 'n gemene verskil het nie), skryf “geen gemeneverskil”.
As daar nou vir jou gesê word dat , bepaal die waardes van en .
155
a)
b)
16a)
b)
17a)
b)
Vind die gemene verskil vir die terme van die patroon. As die ry nielineêr is nie (as dit nie 'n gemene verskil het nie), skryf “geen gemeneverskil”.
As daar nou vir jou gesê word dat , bepaal die waardes van en .
Bepaal die waarde van indien die volgende terme:
'n lineêre ry vorm. As dieantwoord nie 'n heelgetal is nie, skryf die antwoord as 'nvereenvoudigde breuk.
Bepaal nou die numeriese waarde van die eerste drie terme. As dieantwoorde nie heelgetalle is nie, skryf jou antwoorde as breuke.
As die volgende terme 'n lineêre ry vorm, bepaal :
Indien die antwoord nie 'n heelgetal is nie, skryf die antwoord invereenvoudigde breukvorm.
Bepaal nou die numeriese waarde van die eerste drie terme. As dieantwoorde nie heelgetalle is nie, skryf jou antwoorde as breuke.
156
18.Wat is die letter van hierdie patroon:PATROONPATROONPATROONPATROONPATROONPATROONPATRO.............?
157
Hoofstuk opsommingDie algemene term word uitgedruk as die term en word geskryf as .
Ons definieer die gemene verskil van 'n ry as die verskil tussen enige twee
opeenvolgende terme, waar
Ons kan 'n algemene formule vir elke getalpatroon uitwerk en dit gebruik omenige term in die patroon te bepaal.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 3 Rye en Reekse
Laai af
158
1.
2.
3.
4.
HOOFSTUK 3: HERSIENINGSOEFENINGE
Analiseer die diagram en voltooi die tabel:
Nommer van figuur ( )
Aantal horisontale vuurhoutjies
Aantal vertikale vuurhoutjies
Totale aantal vuurhoutjies
Gegewe 'n lys van getalle: . Bepaal diegemene verskil vir die ry (as daar 'n gemene verskil is).
Bepaal die gemene verskil vir hierdie patroon: .
As die patroon nie lineêr is nie, skryf “geen gemene verskil”. Andersins, geejou antwoord as 'n desimaal.
Beskou die lys wat hier getoon word:
As wat is die waarde van ?
159
a)
b)
5.Skryf die volgende drie terme in elk van die volgende lineêre ryeneer:
6.
7.
a)
b)
c)
8.Vind die sesde term in elk van die volgende rye:
a)
b)
9.Vind die algemene formule vir die volgende rye en vind dan T10, T15en T30
Gegee 'n ry wat begin met die getalle: . Bepaal diewaardes van en .
Gegee 'n lys wat begin met die letters: . Bepaal diewaardes van en .
160
a)
b)
c)
10.Die algemene term word vir elke ry hieronder gegee. Bereken dieontbrekende terme (elke ontbrekende term woord as aangedui).
a)
b)
c)
d)
11.Vind die algemene term in elk van die volgende rye:
a)
b)
c)
12.Bestudeer die volgende ry:
13.
Skryf die volgende terme neer.
Vind die algemene formule vir die ry.
Vind die waarde van as is.
Wat is die letter van die ry: ALGEMENEALGEMENE.............?
161
14.
15.
16.Die diagram hieronder toon prentjies wat 'n patroon vorm.
a)
b)
c)
17.'n Enkele vierkant word gevorm deur vuurhoutjies. Twee vierkantein 'n ry benodig vuurhoutjies en drie vierkante gebruikvuurhoutjies.
Wat is die letter van die ry:WISKUNDEWISKUNDEWISKUNDEWISK.............?
Die sitplekke van 'n sportstadion is so gerangskik dat die eerste ry sitplekke het; die tweede ry het sitplekke, die derde ry het sitplekke,ensovoorts. Bereken hoeveel sitplekke is daar in die ry.
Hoeveel blokkies sal daar in die sesde prentjie wees?
Bepaal die formule vir die term.
Gebruik die formule om te bepaal hoeveel blokkies in die prentjie van die diagram is.
162
a)
b)
c)
d)
Beantwoord die volgende vrae vir hierdie ry.
18.
a)
b)
19.Beskou die volgende lys:
Bepaal die eerste term.
Bepaal die gemene verskil.
Bepaal die algemene formule.
'n Ry het vyf en twintig blokkies. Hoeveel vuurhoutjies is daar in diery?
Jy wil graag begin om geld te spaar, maar omdat jy nog nooit vantevoreprobeer het om geld te spaar nie, besluit jy om stadig te begin. Teen die eindevan die eerste week, deponeer jy in jou bankrekening. Teen die eindevan die tweede week, deponeer jy en teen die einde van die derdeweek, . Na hoeveel weke sal jy moet deponeer in joubankrekening?
Vind die gemene verskil vir die terme van die lys. As die ry nie lineêris nie (dus as dit nie 'n gemene verskil het nie), skryf “geen gemeneverskil”.
As daar nou vir jou gesê word dat , bepaal die waardes van en .
163
20a)
b)
21.
22.Analiseer die prentjie hieronder:
a)
Bepaal die waarde van indien die volgende terme:
'n lineêre ry vorm. As dieantwoord nie 'n heelgetal is nie, skryf die antwoord as 'nvereenvoudigde breuk.
Bepaal nou die numeriese waarde van die eerste drie terme. As dieantwoorde nie heelgetalle is nie, skryf jou antwoorde as breuke.
Hoeveel blokkies sal daar in die prentjie wees?(Wenk: Gebruik die grys blokkies om te help)
Hoeveel blokkies is daar in die volgende prentjie?164
b)
c)
23.
a)
b)
24.Gebruik 'n sakrekenaar om 'n ondersoek te doen en veralgemeendan jou bevindings om die volgende te bepaal:
Skryf die algemene formule vir hierdie patroon neer.
Hoeveel blokkies sal daar in die prentjie wees?
'n Horisontale lyn sny 'n stuk tou by punte en verdeel dit in vyf dele, sooshieronder aangetoon.
As die stuk tou op hierdie manier gekruis word deur ewewydige lyne, watelkeen die tou by punte sny, bepaal die aantal dele waarin die stuk touverdeel word.
enesyfer van
tienesyfer van
165
c)
25.
res wanneer gedeel word deur
Analiseer die diagram en voltooi die tabel.
Die kolletjies vorm 'n driehoekige patroon en die formule is .
Die algemene formule vir die lyne is .
Nommer van figuur
Aantal kolletjies
Aantal lyne
Totaal
166
HOOFSTUK 4: VERGELYKINGS ENONGELYKHEDE
InleidingVergelykings word algemeen gebruik om die wêreld rondom ons te beskryf. Innatuurwetenskap word vergelykings gebruik om alles te beskryf van hoe 'n bal teen 'nskuinste afrol tot hoe die planete om die son beweeg.
In hierdie hoofstuk sal ons verskillende tipes vergelykings ondersoek, sowel as kykhoe die vergelykings gebruik kan word om probleme in die regte wêreld op te los. Onskyk ook na lineêre ongelykhede.
167
4.1 Oplos van lineêre vergelykings
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 4.1 Oplos van lineêre vergelykings
Laai af
Die eenvoudigste vergelyking om op te los is 'n lineêre vergelyking. 'n Lineêrevergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste eksponent van die veranderlike is.Die volgende is voorbeelde van lineêre vergelykings:
Om 'n vergelyking op te los, beteken om die waarde te vind van die veranderlike watdie vergelyking waar maak. Byvoorbeeld, om die eenvoudige vergelyking op te los, moet ons die waarde vind van wat die linkerkant gelyk sal maak aan dieregterkant. Die oplossing is .
Die oplossing, ook genoem die wortel van 'n vergelyking, is die waarde van dieveranderlike wat die vergelyking bevredig. Vir lineêre vergelykings is daar op diemeeste een oplossing vir die vergelyking.
Om vergelykings op te los, gebruik ons algebraïese metodes wat die uitbreiding vanuitdrukkings, groepering van terme en faktorisering insluit.
168
Byvoorbeeld:
Kontroleer die antwoord deur substitusie van .
Dus
Metode vir die oplossing van lineêre vergelykings
Die algemene stappe vir die oplos van lineêre vergelykings is:
1. Brei al die hakies uit.
2. Herrangskik die terme so dat al die terme wat die veranderlike bevat aan die eenkant van die vergelyking is en al die konstante terme aan die ander kant.
3. Groepeer die terme saam en vereenvoudig.
4. Faktoriseer indien nodig.
5. Vind die oplossing en skryf die antwoord neer.169
6. Kontroleer die antwoord deur die oplossing weer te substitueer in dieoorspronklike vergelyking.
BELANGRIK
'n Vergelyking moet altyd gebalanseerd wees, wat jy ook al doen aan dielinkerkant, moet jy ook doen aan die regterkant.
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: OPLOS VAN LINEÊREVERGELYKINGS
VRAAG
Los op vir :
OPLOSSING
Stap 1: Brei die hakies uit en vereenvoudig
Stap 2: Deel weerskante deur 10
Stap 3: Kontroleer die antwoord deur die oplossing weer in te stel in
die oorspronklike vergelyking
170
Aangesien beide kant gelyk is, is die antwoord reg.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 4.1 Voorbeeld 1
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: OPLOS VAN LINEÊREVERGELYKINGS
VRAAG
Los op vir :
OPLOSSING
Stap 1: Vermenigvuldig beide kante van die vergelyking met
Deling deur is ongedefinieerd, dus moet daar 'n beperking wees: 171
.
Stap 2: Brei die hakies uit en vereenvoudig
Stap 3: Deel weerskante deur
Stap 4: Kontroleer die antwoord deur die oplossing weer in te stel in
die oorspronklike vergelyking
Aangesien beide kant gelyk is, is die antwoord reg.
172
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: OPLOS VAN LINEÊREVERGELYKINGS
VRAAG
Los op vir :
OPLOSSING
Stap 1: Vermenigvuldig die vergelyking met die gemene noemer
en vereenvoudig
Stap 2: Herrangskik die terme en vereenvoudig
Stap 3: Deel weerskante deur
Stap 4: Kontroleer die antwoord deur die oplossing weer in te stel in
die oorspronklike vergelyking
173
1.
2.
3.
4.
OEFENING 4.1.1
Los die volgende vergelykings op (aanvaar geen noemer is nul nie)
Aangesien beide kant gelyk is, is die antwoord reg.
174
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
175
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
176
33.
34.
35.
177
4.2 Oplos van kwadratiese vergelykings'n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waar die eksponent van die veranderlikeop die meeste is. Die volgende is voorbeelde van kwadratiese vergelykings:
Kwadratiese vergelykings verskil van lineêre vergelykings daarin dat 'n lineêrevergelyking op die meeste een oplossing het, terwyl 'n kwadratiese vergelyking op diemeeste twee oplossings het. Daar is egter sekere spesiale gevalle waar 'nkwadratiese vergelyking een of geen oplossings het.
Ons los kwadratiese vergelykings op deur faktorisering. Byvoorbeeld,om
op te los, moet ons dit skryf in sy ekwivalente gefaktoriseerde
vorm as . Let daarop dat as dan of .
Metode vir die oplos van kwadratiese vergelykings
1. Herskryf die vergelyking in die verlangde vorm, .
2. Deel die hele vergelyking deur enige gemeenskaplike faktor van die koëffisiënte
om 'n vergelyking te kry van die vorm , waar , en
geen gemene faktore het nie. Byvoorbeeld kan geskryf
word as .
3. Faktoriseer na die vorm .
178
4. Die twee oplossings is of , dus of
, onderskeidelik.
5. Kontroleer die antwoord deur substitusie in die oorspronklike vergelyking.
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: OPLOS VAN KWADRATIESEVERGELYKINGS
VRAAG
Los op vir :
OPLOSSING
Stap 1: Die vergelyking is alreeds in die verlangde vorm,
Stap 2: Faktoriseer
Stap 3: Los op vir beide faktore
Ons het
OF
179
Stap 4: Kontroleer beide antwoorde deur substitusie in die
oorspronklike vergelyking in
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Die oplossing van is of .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 4.2 Voorbeeld 4
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: OPLOS VAN KWADRATIESEVERGELYKINGS
VRAAG
Bepaal die wortels:
OPLOSSING
Stap 1: Die vergelyking is alreeds in die verlangde vorm,
180
Stap 2: Deel die vergelyking met die gemene faktor
Stap 3: Faktoriseer
Stap 4: Die linkerkant van die vergelyking is 'n volkome vierkant
Dit is 'n voorbeeld van 'n spesiale situasie waarin daar slegs een oplossingis vir 'n kwadratiese vergelyking omdat beide faktore dieselfde is.
Stap 5: Kontroleer die antwoord deur substitusie terug in die
oorspronklike vergelyking
Stap 6: Skryf die finale antwoord
Die oplossing van is .
181
a)
b)
c)
1.Skryf die volgende in standaardvorm
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2.Los die volgende vergelykings op:
OEFENING 4.2.1
182
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
183
y)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3.Los die volgende vergelykings op (let op die beperkings wat vantoepassing is)
184
k)
l)
m)
n)
185
4.3 Oplos van gelyktydige vergelykingsTot op hede het ons vergelykings opgelos met slegs een onbekende veranderlike.Wanneer daar twee onbekende veranderlikes gevind moet word, is twee vergelykingsnodig en hierdie vergelykings staan bekend as gelyktydige vergelykings. Dieoplossings is die waardes vir die onbekende veranderlikes wat beide vergelykingsgelyktydig bevredig. In die algemeen, as daar onbekende veranderlikes is, danword onafhanklike vergelykings benodig om 'n waarde te kry vir elk van die veranderlikes.
'n Voorbeeld van 'n stelsel van gelyktydige vergelykings is:
Ons het twee onafhanklike vergelykings om twee onbekende veranderlikes op te los.Ons kan gelyktydige vergelykings algebraïes oplos deur substitusie en eliminasiemetodes. Ons sal ook wys dat 'n stel gelyktydige vergelykings grafies opgelos kanword.
Oplos deur substitusie
Gebruik die eenvoudigste van die twee gegewe vergelykings om een van dieveranderlikes uit te druk in terme van die ander.
Vervang in die tweede vergelyking. Deur dit te doen, verminder ons die getalvergelykings en die getal veranderlikes met een.
Ons het nou een vergelyking met een onbekende veranderlike om op te los.
Gebruik die oplossing en vervang terug in die eerste vergelyking om die waardete vind van die ander onbekende veranderlike.
186
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: GELYKTYDIGEVERGELYKINGS
VRAAG
Los op vir en :
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik vergelyking om uit te druk in terme van
Stap 2: Vervang in die vergelyking en los op vir
Stap 3: Vervang terug in die vergelyking in en los op vir
Stap 4: Kontroleer die oplossing deur die antwoorde terug te stel in
beide die oorspronklike vergelykings
187
Stap 5: Skryf die finale antwoord
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 4.3 Voorbeeld 5
Laai af
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 4.3 Gelyktydige vergelykings
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: GELYKTYDIGEVERGELYKINGS
VRAAG
Los die volgende stelsel van vergelykings op:
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik enige van die vergelykings om uit te druk in terme
van 188
Stap 2: Vervang in die vergelyking en los op vir
Stap 3: Vervang terug in die vergelyking in en los op vir
Stap 4: Kontroleer die oplossing deur die antwoorde terug te stel in
beide die oorspronklike vergelykings
Stap 5: Skryf die finale antwoord
189
Los op deur eliminasie
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: GELYKTYDIGEVERGELYKINGS
VRAAG
Los die volgende stelsel van vergelykings op:
OPLOSSING
Stap 1: Maak die koëffisiënte van een van die veranderlikes dieselfde
in beide vergelykings
Die koëffisiënte van in die gegewe vergelykings is en . Elimineer
die veranderlike deur vergelyking en vergelyking bymekaar tetel.
Stap 2: Vereenvoudig en los op vir
190
Stap 3: Vervang terug in enige van die oorspronklike vergelykings
en los op vir
Stap 4: Toets dat die oplossing en beide die
oorspronklike vergelykings bevredig
Stap 5: Skryf die finale antwoord
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: GELYKTYDIGEVERGELYKINGS
VRAAG
Los die volgende gelyktydige vergelykings op:
OPLOSSING
Stap 1: Maak die koëffisiënte van een van die veranderlikes dieselfde
in beide vergelykings191
Deur vergelyking te vermenigvuldig met en vergelyking met , sal beide koëffisiënte van , gelyk wees aan .
(Wees versigtig met die tekens wanneer twee vergelykings afgetrek word.)
Stap 2: Vereenvoudig en los op vir
Stap 3: Substitueer die waarde van terug in enige van die
oorspronklike vergelykings en los op vir
Stap 4: Kontroleer dat die oplossing en beide die
oorspronklike vergelykings bevredig
Stap 5: Skryf die finale antwoord
192
Los grafies op
Gelyktydige vergelykings kan ook grafies opgelos word. As die grafieke van elkelineêre vergelyking getrek word, dan is die oplossing van die stelsel van gelyktydigevergelykings die koördinate van die punt waar die twee grafieke mekaar sny.
Byvoorbeeld:
Die grafieke van die twee vergelykings word hieronder getoon.
Die snypunt van die twee grafieke is . Dus die oplossing van die stelsel vangelyktydige vergelykings is en . Ons kan ook die oplossing toets deuralgebraïese metodes.
193
Substitueer vergelyking in :
Los dan op vir :
Vervang die waarde van terug in die vergelyking :
Let op dat beide metodes dieselfde oplossing gee.
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: GELYKTYDIGEVERGELYKINGS
VRAAG
Los die volgende stelsel van gelyktydige vergelykings grafies op:
OPLOSSING
Stap 1: Skryf beide vergelykings in die vorm
194
Stap 2: Skets die grafieke op dieselfde assestelsel
Stap 3: Vind die koördinate van die snypunt
Die twee grafieke sny by
195
1.
2.
OEFENING 4.3.1
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Kyk na die grafiek hieronder
Los die vergelykings en gelyktydig op
Kyk na die grafiek hieronder
196
3.
Los die vergelykings en gelyktydig op
Kyk na die grafiek hieronder
197
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
4.Los op vir en :
Los die vergelykings en gelyktydig op
en .
en
en
en
en
en
en
en
en .
en
en
198
l)
m)
a)
b)
c)
d)
e)
5.Los grafies op en kontroleer jou antwoord algebraïes.
en
en
en
en
en
en
en
199
4.4 WoordproblemeOm woordprobleme op te los, moet ons 'n stel vergelykings skep wat die probleemwiskundig voorstel. Die oplossing van die vergelykings is dan die antwoord van dieprobleem.
Probleemoplossing strategie
1. Lees die hele vraag.
2. Wat moet ons oplos?
3. Ken 'n veranderlike toe aan die onbekende hoeveelheid, byvoorbeeld .
4. Vertaal die woorde in algebraïese uitdrukkings deurdat jy die gegewe inligtingherskryf in terme van die veranderlike.
5. Stel 'n vergelyking of 'n stelsel van vergelykings op om die veranderlike op te los.
6. Los die veranderlike algebraïes op met die gebruik van substitusie.
7. Toets die oplossing.
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: LOS WOORDPROBLEME OP
VRAAG
'n Winkel verkoop fietse en driewiele. Altesaam is daar rygoed (wat beidefietse en driewiele insluit), en wiele. Bepaal hoeveel van elke soort rydingdaar is, as jy onthou dat 'n fiets twee wiele en 'n driewiel drie wiele het.
200
OPLOSSING
Stap 1: Ken veranderlikes toe aan die onbekende hoeveelhede
Gestel daar is fietse en driewiele.
Stap 2: Stel die vergelykings op
Stap 3: Herrangskik vergelyking en vervang in vergelyking
Stap 4: Bereken die aantal driewiele
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Daar is driewiele en fietse.
201
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 4.4 Voorbeeld 10
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: LOS WOORDPROBLEME OP
VRAAG
Bongani en Jane is vriende. Bongani kyk na Jane se wiskundetoets en wil nievir haar sê wat haar toetspunt is nie. Hy weet Jane hou nie van wiskunde nieen besluit om haar te terg. Hy sê: “Ek het punte meer as jy en die som vanons twee se punte is gelyk aan . Wat is ons punte?”
OPLOSSING
Stap 1: Ken veranderlikes toe aan die onbekende hoeveelhede
Ons het twee onbekende hoeveelhede, Bongani se punt en Jane se punt.Gestel Bongani se punt is en Jane se punt is .
Stap 2: Stel 'n stelsel van vergelykings op
Bongani het meer punte as Jane.
Beide se punte bymekaargetel is .
202
Stap 3: Gebruik vergelyking om uit te druk in terme van
Stap 4: Vervang in vergelyking
Stap 5: Herrangskik en los op vir
Stap 6: Vervang die waarde vir terug in die vergelyking en los
op vir
Stap 7: Kontroleer dat die oplossing beide die oorspronklike
vergelykings bevredig
Stap 8: Skryf die finale antwoord
Bongani het vir sy toets gekry en Jane het gekry.
203
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: LOS WOORDPROBLEME OP
VRAAG
'n Vrugteskommel kos meer as 'n sjokolade melkskommel. As vrugteskommels en sjokolade melkskommels kos, bepaal dieindividuele pryse.
OPLOSSING
Stap 1: Ken veranderlikes toe aan die onbekende hoeveelhede
Gestel die prys van 'n sjokolade melkskommel is en die prys van 'nvrugteskommel is .
Stap 2: Stel 'n stelsel van vergelykings op
Stap 3: Vervang vergelyking in
Stap 4: Herrangskik en los op vir
204
Stap 5: Vervang die waarde van terug in die vergelyking en
los op vir
Stap 6: Kontroleer dat die oplossing beide die oorspronklike
vergelykings bevredig
Stap 7: Skryf die finale antwoord
Een sjokolade melkskommel kos en een vrugteskommel kos .
UITGEWERKTE VOORBEELD 13: LOS WOORDPROBLEME OP
VRAAG
Die produk van twee opeenvolgende negatiewe heelgetalle is . Vind dietwee heelgetalle.
OPLOSSING
Stap 1: Ken veranderlikes toe aan die onbekende hoeveelhede
Gestel die eerste heelgetal is en laat die tweede heelgetal dan wees
205
Stap 2: Stel 'n vergelyking op
Stap 3: Brei uit en los op vir
Stap 4: Vind die tekens van die heelgetalle
Dit word gegee dat beide heelgetalle negatief is.
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Die twee opeenvolgende negatiewe heelgetalle is en .
206
1.
2.
3.
4.
5.
OEFENING 4.4.1
Twee straalvliegtuie vlieg na mekaar toe vanaf verskillende lughawens wat van mekaar is. Een vliegtuig vlieg teen en die
ander vlieg teen . As hulle op dieselfde tyd opstyg, hoe lanksal dit vat vir die twee vliegtuie om by mekaar verby te vlieg?
Twee bote beweeg na mekaar toe van hawens wat van mekaar afis. Een boot beweeg teen en die ander boot teen
. As beide bote hulle reis op dieselfde tyd begin, hoe lank sal ditneem voor hulle by mekaar verbyvaar?
Zwelibanzi en Jessica is vriende. Zwelibanzi neem Jessica se tegnologieantwoordstel en wil nie vir haar sê wat haar punt is nie. Hy weet sy hou nievan woordprobleme nie, dus besluit hy om haar te terg. Zwelibanzi sê: “Ek het
punte meer as jy en die som van albei van ons se punte saam is gelykaan . Wat is ons punte”
Kadesh koop hemde teen 'n totale koste van . As 'n groot hemp kos en 'n kleiner hemp kos , hoeveel van elke grootte het hy
gekoop?
Die diagonaal of hoeklyn van 'n reghoek is meer sy breedte. Dielengte van die reghoek is meer as sy breedte. Wat is die afmetingsvan die reghoek?
207
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Die som van en is meer as 'n onbekende getal. Vind dieonbekende getal.
'n Groep vriende koop middagete. Hier is 'n paar feite oor hulle ete:
'n melkskommel kos meer as 'n pannekoekdie groep koop 8 melkskommels en 2 pannekoekedie totale koste vir die middagete is
Bepaal die individuele pryse vir die verskillende items.
Die twee kleiner hoeke in 'n reghoekige driehoek is in die verhouding van . Wat is die groottes van die twee hoeke?
Die lengte van 'n reghoek is twee maal sy breedte. As die oppervlakte is, bepaal die lengte en die breedte.
As maal 'n getal vermeerder word met , is die resultaat minder as diekwadraat van die getal. Vind die getal.
Die lengte van 'n reghoek is meer as die breedte van die reghoek. Dieomtrek van die reghoek is . Vind die lengte en die breedte van diereghoek.
208
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Stephen het 1 liter van 'n mengsel wat % sout bevat. Hoeveel water moetStephen byvoeg sodat die mengsel % sout sal bevat? Skryf jou antwoordas 'n breukdeel van 'n liter.
Die som van twee opeenvolgende onewe getalle is en hulle verskil is .Vind die twee getalle.
Die noemer van 'n breuk is meer as die teller. Die som van die breuk en sy
resiprook is . Vind die breuk.
Masindi is jaar ouer as haar dogter, Mulivhu. Die som van hulleouderdomme is . Hoe oud is Mulivhu?
Tshamano is nou vyf maal so oud as sy seun Murunwa. Oor sewe jaar salTshamano drie maal so oud soos sy seun wees. Bepaal hoe oud is hulle nou.
Wanneer jy een bytel by drie maal 'n getal, is die antwoord gelyk aan diegetal. Wat is hierdie getal?
As 'n derde van die som van 'n getal en een ekwivalent is aan 'n breuk,waarvan die noemer dieselfde is as die getal en die teller gelyk is aan twee,wat is die getal?
209
19.
20.
21.
'n Winkeleienaar koop 40 sakke rys en mieliemeel wat in totaal werd is. As die rys per sak kos en die mieliemeel kos persak, hoeveel sakke mieliemeel het hy gekoop?
Daar is 100 koekies blou en groen seep in 'n boks. Die blou seep weeg per koekie seep en die groen seep weeg per koekie seep. Die totale
massa van die seep in die boks is . Hoeveel koekies groen seep isdaar in die boks?
Lisa het 170 krale. Sy het blou, rooi en pers krale wat onderskeidelik , en per kraal weeg. As daar tweekeer soveel rooi krale as blou krale is
en as al die krale saam weeg, hoeveel krale van elke tipe hetLisa?
210
4.5 Vergelykings met letterkoëffisiënte'n Vergelyking met letterkoëffisiënte is een wat verskeie letters of veranderlikes het.
Voorbeelde sluit in die area van 'n sirkel en die formule vir spoed
. In hierdie afdeling los ons vergelykings met letterkoëffisiënte op in termevan een van die veranderlikes. Om dit te doen, gebruik ons die beginsels wat onsgeleer het oor die oplos van vergelykings en pas hulle toe om vergelykings metletterkoëffisiënte te herrangskik. Om hierdie soort vergelykings op te los, staan ookbekend as verandering van die onderwerp van 'n formule.
Hou die volgende in gedagte wanneer jy vergelykings met letterkoëffisiënte oplos:
Ons isoleer die onbekende veranderlike deur te vra “waaraan is dit verbind?” en“hoe is dit verbind?” Ons voer dan die teenoorgestelde bewerking uit op beidekante van die geheel.
As die onbekende veranderlike in twee of meer terme voorkom, haal ons dit uitas 'n gemeenskaplike faktor.
As ons die vierkantswortel weerskante moet neem, moet ons onthou dat daar 'npositiewe en 'n negatiewe antwoord sal wees.
As die onbekende veranderlike in die noemer is, vermenigvuldig onsweerskante met die kleinste gemene noemer (KGN) en gaan voort om dievergelyking op te los.
UITGEWERKTE VOORBEELD 14: LOS VERGELYKINGS OP METLETTERKOËFFISIËNTE
VRAAG
Die oppervlakte (area) van 'n driehoek is . Wat is die hoogte vandie driehoek in terme van die basis en die oppervlakte?
211
OPLOSSING
Stap 1: Isoleer die verlangde veranderlike
Ons word gevra om die hoogte te isoleer, dus moet ons die vergelykingherrangskik met aan die aan kant van die gelykaanteken en die res vandie veranderlikes aan die ander kant.
Stap 2: Skryf die finale antwoord
Die hoogte van 'n driehoek word gegee deur:
UITGEWERKTE VOORBEELD 15: LOS VERGELYKINGS OP METLETTERKOËFFISIËNTE
VRAAG
Gegee die formule:
maak die onderwerp van die formule.
OPLOSSING
Stap 1: Isoleer die verlangde veranderlike
212
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
OEFENING 4.5.1
Los op vir in die volgende formule: .
Maak die onderwerp van die formule: .
Los op vir : .
Maak die onderwerp van die formule: .
Los op vir : .
Los op vir : .
Los op vir : .
Maak die onderwerp van die formule: .
213
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Los op vir : .
Los op vir : .
Los op vir : .
Maak die onderwerp van die formule: .
Los op vir : .
is die formule vir die omskakeling van temperatuur ingrade Celsius na grade Fahrenheit. Lei 'n formule af vir die omskakeling vangrade Fahrenheit na grade Celcius.
is die formule vir die bepaling van die volume van 'n sokkerbal.Druk die radius uit in terme van die volume.
Los op vir in
Los op vir in:
Los op vir in as , ,
214
19.
20.
21.
Los op vir in as , ,
Los op vir in as ,
Los op vir in as ,
215
4.6 Los lineêre ongelykhede op'n Lineêre ongelykheid is soortgelyk aan 'n lineêre vergelyking daarin dat diegrootste eksponent van 'n veranderlike is. Die volgende is voorbeelde van lineêreongelykhede.
Die metodes wat gebruik word om lineêre ongelykhede op te los, is soortgelyk aan diemetodes gebruik om lineêre vergelykings op te los. Ons weet byvoorbeeld dat .As beide kante van hierdie ongelykheid gedeel word met , dan kry ons
, wat nie waar is nie. Dus, die ongelykheidsteken moet omgedraai word,wat gee.
Ten einde die ongelykheid te vergelyk met 'n gewone vergelyking, sal ons eers 'nvergelyking oplos.
Los op :
As ons hierdie antwoord voorstel op 'n getallelyn, kry ons:
216
Laat ons nou vir op in 'n ongelykheid los :
As ons hierdie antwoord voorstel op 'n getallelyn, kry ons:
Ons sien dat vir 'n vergelyking is daar 'n enkele waarde van waarvoor dievergelyking waar is. In 'n ongelykheid egter, is daar 'n reeks waardes waarvoor dieongelykheid waar is. Dit is die groot verskil tussen 'n vergelyking en 'n ongelykheid.
Onthou: wanneer ons beide kante van 'n ongelykheid deel of vermenigvuldig met 'nnegatiewe getal, verander die rigting van die ongelykheid. Byvoorbeeld, as ,dan . Let ook daarop dat ons nie met 'n veranderlike kan deel ofvermenigvuldig nie.
217
Intervalnotasie
Voorbeelde:
Ronde hakies dui aan dat die eindgetalle nie ingesluit is nie. Hierdie intervalsluit alle reële getalle in groter as, maar nie gelyk aan, nie en kleiner as,maar nie gelyk aan, nie.
Ronde hakies word altyd gebruik vir positief en negatief oneindig. Hierdieinterval sluit alle reële getalle in wat kleiner is as, maar nie gelyk is aan, nie.
'n Vierkantige hakie dui aan dat die eindgetal ingesluit is. Hierdie interval sluitin alle reële getalle wat groter of gelyk is aan en wat kleiner is as, maar niegelyk is aan, nie.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 4.6 Intevalnotasie
Laai af
Dit is belangrik om daarop te let dat hierdie notasie slegs gebruik kan word omintervalle bestaande uit reële getalle aan te dui.
Ons stel die antwoord hierbo in intervalnotasie voor as
218
UITGEWERKTE VOORBEELD 16: LOS LINEÊREVERGELYKINGS OP
VRAAG
Los op vir :
Stel die antwoord voor op 'n getallelyn en in intervalnotasie.
OPLOSSING
Stap 1: Herrangskik en los op vir
Stap 2: Vermenigvuldig met en draai die ongelykheidsteken om
Stap 3: Stel die antwoord voor op 'n getallelyn
Stap 4: Stel die antwoord voor in intervalnotasie
219
UITGEWERKTE VOORBEELD 17: LOS LINEÊREVERGELYKINGS OP
VRAAG
Los op vir :
Stel die antwoord voor op 'n getallelyn en in intervalnotasie.
OPLOSSING
Stap 1: Brei die hakies uit
Stap 2: Herrangskik en los op vir
Stap 3: Deel weerskante deur
220
Stap 4: Stel die antwoord voor op 'n getallelyn
Stap 5: Stel die antwoord voor in intervalnotasie
UITGEWERKTE VOORBEELD 18: LOS SAAMGESTELDELINEÊRE ONGELYKHEDE OP
VRAAG
Los op vir :
Stel die antwoord voor op 'n getallelyn en in intervalnotasie.
OPLOSSING
Stap 1: Trek af van elke deel van die ongelykheid
Stap 2: Stel die antwoord voor op 'n getallelyn
221
a)
b)
c)
d)
1.Kyk na die getallelyn en skryf die ongelykheid neer wat dit voorstel.
a)
b)
c)
2.Los op vir en stel die antwoord voor op 'n getallelyn en inintervalnotasie.
OEFENING 4.6.1
Stap 3: Stel die antwoord voor in intervalnotasie
222
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
a)
b)
3.Los op vir en stel jou antwoord voor in intervalnotasie:
223
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
4.Los op vir die onbekende veranderlike en toon jou antwoord op 'ngetallelyn.
224
Hoofstuk opsomming'n Lineêre vergelyking is 'n vergelyking waar die eksponent van die veranderlike is. 'n Lineêre vergelyking het op die meeste een oplossing.
''n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waar die eksponent van dieveranderlike op die meeste is. 'n Kwadratiese vergelyking het op die meestetwee oplossings.
Om vir twee onbekende veranderlikes op te los, het jy twee vergelykings nodig.Hierdie vergelykings staan bekend as 'n stelsel van gelyktydige vergelykings.Daar is twee maniere om gelyktydige lineêre vergelykings op te los: algebraïeseoplossings en grafiese oplossings. Om algebraïes op te los, gebruik onssubstitusie of eliminasie metodes. Om grafies op te los, trek ons die grafiek vanelke vergelyking en die oplossing sal dan die koördinate van die snypunt wees.
Vergelykings met letterkoëffisiënte is vergelykings met verskillende letters enveranderlikes.
Woordprobleme vereis 'n stel vergelykings wat die probleem wiskundig voorstel.
'n Lineêre ongelykheid is soortgelyk aan 'n lineêre vergelyking en het 'neksponent van by die veranderlike.
As ons beide kante van 'n ongelykheid deel of vermenigvuldig met enige getalmet 'n minusteken, verander die rigting van die ongelykheidsteken.
225
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
1.Los op:
HOOFSTUK 4: HERSIENINGSOEFENINGE
226
m)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
2.Los op:
227
l)
3.
4.
Kyk na die grafiek hieronder:
Los die vergelykings en gelyktydig op.
Kyk na die grafiek hieronder:
228
5.
Los die vergelykings en gelyktydig op.
Kyk na die grafiek hieronder:
Los die vergelykings en gelyktydig op.
229
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
6.Los die volgende gelyktydige vergelykings op:
en
en
en
en
en
en
en
en
en
en
en
en
en
230
n)
o)
p)
q)
a)
b)
c)
7.Vind die oplossings vir die volgende woordprobleme:
en
en
en
van 'n sekere getal is meer as 'n van die getal. Vind diegetal.
Drie liniale en twee penne kos altesaam . Een liniaal eneen pen het 'n totale koste van . Hoeveel kos 'n liniaal enhoeveel kos 'n pen?
'n Groep vriende koop middagete. Hier is 'n paar feite oor hulle ete:
'n worsbroodjie kos meer as 'n melkskommeldie groep koop 3 worsbroodjies en 2 melkskommelsdie totale koste vir die middagete is
Bepaal die individuele pryse vir die verskillende items.
231
d)
e)
f)
g)
h)
Lefu en Monique is vriende. Monique neem Lefu sebesigheidstudietoets antwoordstel en wil nie vir hom sê wat sy punt isnie. Sy weet Lefu hou nie van woordprobleme nie en sy besluit omhom te terg. Monique sê: “Ek het meer punte as jy en die somvan ons twee se punte is gelyk aan . Wat is ons punte?”
'n Man hardloop na die busstop en terug in minute. Sy spoed oppad na die busstop is en sy spoed op pad terug is
. Vind die afstand na die busstop.
Twee trokke ry na mekaar toe vanaf fabrieke wat vanmekaar is. Een trok ry teen en die ander teen
. As beide trokke hulle reis op dieselfde tyd begin, hoelank sal dit neem voordat hulle by mekaar verbyry?
Zanele en Piet rolskaats na mekaar toe op 'n reguit stuk pad. Hullebegin van mekaar af. Zanele skaats teen enPiet teen . Hoe ver sal Piet skaats voor hulle mekaarbereik?
As die prys van sjokolade verhoog met , kan ons vyf mindersjokolades koop vir . Wat was die prys van elke sjokoladevoor die prysverhoging?
232
i)
j)
k)
a)
b)
c)
d)
8.Oorweeg die volgende vergelykings met letterkoëffisiënte:
'n Onderwyseres koop se handboeke. Die handboeke isvir Wetenskap en Wiskunde en elkeen van hulle word verkoop teen
per boek en per boek respektiewelik. As dieonderwyseres 97 boeke in totaal gekoop het, hoeveelWetenskapboeke het sy gekoop?
Thom se Ma het se paaseiers gekoop. Die paaseiers komin drie verskillende kleure naamlik blou, groen en geel. Die bloueskos elk, die groenes elk en die geles elk. Sykoop driemaal soveel geel paaseiers as groenes en eiers intotaal. Hoeveel blou paaseiers het sy gekoop?
Twee ekwivalente breuke het beide 'n teller van een. Die noemer vaneen breuk is die som van twee en 'n getal, terwyl die ander breuktweemaal die getal is minus 3. Wat is die getal?
Los op vir :
Los op vir : .
Maak die onderwerp van die formule: .
Los op vir : .
233
e)
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
9.Skryf die ongelykheid neer wat voorgestel word deur die volgende:
Maak die onderwerp van die formule: .
Los op vir : .
Los op vir in:
Los op vir in as en
Los op vir in as , ,
234
a)
b)
c)
d)
10.Los op vir en stel jou antwoord voor in intervalnotasie
a)
b)
c)
11.Los op en stel jou antwoord voor op 'n getallelyn
a)
b)
c)
d)
12.Los op vir die onbekende veranderlike
235
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
236
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
13.
Na hy 'n vergelyking opgelos het, gee Luke sy antwoord as , afgerond toteen desimale plek. Toon die interval waarin hierdie oplossing lê op 'ngetallelyn.
237
HOOFSTUK 5: TRIGONOMETRIE
InleidingTrigonometrie of driehoeksmeting hanteer die verhouding tussen die hoeke en die syevan 'n driehoek. Ons sal leer oor trigonometriese verhoudings in reghoekigedriehoeke. Dit vorm die basis van trigonometrie.
Daar is baie toepassings van trigonometrie. Die tegniek van triangulering,driehoeksvorming en meting, is van besondere waarde aangesien dit in astronomiegebruik word om afstande na nabygeleë sterre te meet, in geografie om die afstandetussen landmerke te meet, en in satelliet navigasie sisteme. GPS (globaleposisionering sisteem) sou nie moontlik gewees het sonder trigonometrie nie. Andervelde wat gebruik maak van trigonometrie sluit in akoestiek, optika, analise vanfinansiële markte, elektronika, waarskynlikheidsteorie, statistiek, biologie, medieseafbeeldings (CAT skaderings en ultrasoniese skaderings), chemie, kriptologie,meteorologie, landmeting, argitektuur, fonetika, ingenieurswese, rekenaargrafika enontwikkeling van speletjies.
'n Kunstenaarsvoorstellings van 'n GPS satelliet wat om die aarde wentel. Daar is ten minste 24238
GPS satelliete operasioneel op enige spesifieke oomblik. GPS gebruik 'n toepassing van
trigonometrie, wat bekend staan as triangulering, om iemand se posisie te bepaal. Die
akkuraatheid van GPS is binne 15 meters.
239
5.1 Gelykvormigheid van driehoekeVoltooi die volgende ondersoek om 'n beter begrip van die basis van trigonometrie teontwikkel, voordat ons in die teorie van trigonometrie ingaan.
ONDERSOEK
VERHOUDINGS OF RATIOS VAN GELYKVORMIGE DRIEHOEKE
Trek drie gelykvormige driehoeke van verskillende groottes met die gebruikvan 'n gradeboog en 'n liniaal, met elke driehoek wat binnehoeke het van °,
° en ° soos hieronder getoon. Meet die hoeke en lengtes akkuraat teneinde die tabel te voltooi (los jou antwoorde as vereenvoudigde breuke):
240
Deel die lengtes van sye (verhoudings)
Watter waarnemings kan jy maak oor die verhouding van die sye?
Het jy opgelet dat dit nie saak maak wat die lengtes van die sye van diedriehoeke is nie, as die hoek dieselfde bly, sal die verhoudings van die syealtyd dieselfde antwoord gee?
In die driehoeke hieronder, is gelykvormig aan . Dit word geskryfas:
In gelykvormige driehoeke is dit moontlik om verhouding tussen ooreenstemmendesye af te lei:
241
'n Ander belangrike feit oor gelykvormige driehoeke en is dat die hoekby die hoekpunt gelyk is aan die hoek by die hoekpunt , die hoek by hoekpunt
is gelyk aan die hoek by hoekpunt , en die hoek by hoekpunt is gelyk aandie hoek by hoekpunt .
LET WEL
Die volgorde van letters vir gelykvormige driehoeke is baie belangrik. Benoemaltyd gelykvormige driehoeke in ooreenstemmende volgorde. Byvoorbeeld,
242
5.2 Definiëring van die trigonometrieseverhoudingsDie verhoudings van gelykvormige driehoeke word gebruik om die trigonometrieseverhoudings te definieer. Beskou 'n reghoekige driehoek met 'n hoek gemerk (uitgespreek 'teta')
Die verhoudings van gelykvormige driehoeke word gebruik om die trigonometrieseverhoudings te definieer. Beskou 'n reghoekige driehoek met 'n hoek gemerk (uitgespreek 'teta')
In 'n reghoekige driehoek verwys ons na die lengtes van die drie sye volgens hulleplasing met betrekking tot die hoek . Die sy oorkant die regte hoek, word dieskuinssy genoem, die sy oorkant word “teenoorstaande” genoem, en die sy langsdie word “aangrensend” genoem.
Jy kan enige van die nie ° binnehoeke kies en dan die aangrensende enteenoorstaande sye daarvolgens definieer. Maar, die skuinssy bly dieselfde ongeag nawatter binne hoek jy verwys omdat dit altyd oorkant die regte hoek is en altyd dielangste sy is.
Ons definieer die trigonometriese verhoudings: sinus ( ), cosinus ( ) en tangens( ) van 'n hoek, as volg:
243
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.2 Definiëring van die trigonometriese verhoudings
Laai af
Hierdie verhoudings, wat ook bekend staan as trigonometriese definisies, gee dieverband tussen die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek tot sy binnehoeke.Hierdie drie verhoudings of ratios vorm die basis van die trigonometrie.
BELANGRIK
Die definisies van teenoorstaande, aangrensende en skuinssy is slegs vantoepassing op reghoekige driehoeke! Maak altyd seker jou driehoek het 'n regtehoek voor jy hulle gebruik, anders gaan jy die verkeerde antwoord kry.
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: TRIGONOMETRIESEVERHOUDINGS
VRAAG
Gegee die volgende driehoek:
244
Benoem die skuinssy, die teenoorstaande en die aangrensende sye vandie driehoek met betrekking tot .
Noem watter sye van die driehoek jy sal gebruik om , en te vind.
Benoem die skuinssy, die teenoorstaande en die aangrensende sye vandie driehoek met betrekking tot .
Noem watter sye van die driehoek jy sal gebruik om , en te vind.
OPLOSSING
Stap 1: Benoem die driehoek
Kry eers die regte hoek. Die skuinssy is altyd tenoor die regte hoek. Dieskuinssy verander nooit van posisie nie, dit is altyd direk oorkant die regtehoek en daarom vind ons dit eerste.
Die teenoorstaande en aangrensende sye hang af van die hoek waarnaons kyk. Die teenoorstaande sy relatief tot hoek is direk oorkant diehoek (presies soos die woord aandui). Uiteindelik is die aangrensendesy die oorblywende sy van die driehoek en dit moet een van die sye weeswat die hoek vorm.
245
Stap 2: Voltooi die trigonometriese verhoudings
Nou kan ons die trigonometriese verhoudings vir voltooi:
Dus, om te vind, sal ons sye (sy teenoor ) en (skuinssy) gebruik. Om te vind, sal ons sye (sy aangrensendaan ) en (skuinssy) gebruik. Om te vind gebruik ons sye
(sy teenoor ) en (sy aangrensend aan ).
En dan kan ons die trigonometriese verhoudings vir voltooi. Vir hoek , sal die teenoorstaande en aangrensende sye plekke ruil (teken diedriehoek hierbo oor om jou te help om dit te sien). Let op dat die skuinssysteeds is.
246
1.Voltooi elk van die volgende:
a)
b)
c)
OEFENING 5.2.1
Dus, om te vind, sal ons sye (sy teenoor ) en (skuinssy) gebruik. Om te vind, sal ons sye (sy aangrensendaan ) en (skuinssy) gebruik. Om te vind gebruik ons sye
(sy teenoor ) en (sy aangrensend aan ).
247
d)
e)
f)
a)
b)
c)
2.In elk van die volgende driehoeke, meld of , en die skuinssy,teenoorstaande of aangrensende sy is van die driehoek metbetrekking tot .
248
d)
e)
f)
3.Beskou die volgende diagram:
249
a)
b)
c)
d)
Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, antwoord elk van die volgendevrae.
4.
Skryf neer in terme van , en .
Skryf neer in terme van , en .
Skryf neer in terme van , en .
Skryf neer in terme van , en .
Vind in die diagram op drie verskillende maniere. Jy hoef nie die waardevan te bereken nie, skryf net die toepaslike verhouding neer vir .
250
5.
6.
Watter van die bewerings is waar omtrent ?
a.
b.
c.
d.
Sarah wil die waarde vind van in die driehoek hieronder. Watter stellingverteenwoordig 'n korrekte werkwyse?
251
a)
7.Verduidelik wat verkeerd is met elk van die volgende diagramme.
a.
b.
c.
d.
252
b)
253
5.3 Resiprook verhoudingsElk van die drie trigonometriese verhoudings het 'n resiprook (of omgekeerde). Dieresiproke: cosecans (cosec), secans ( ) en cotangens ( ), word as volggedefinieer:
Ons kan ook hierdie resiproke definieer vir enige reghoekige driehoek:
Let op dat:
LET WEL
Jy mag sien dat cosecans afgekort word tot .
254
5.4 Sakrekenaar vaardighedeIn hierdie afdeling sal ons kyk na die gebruik van 'n sakrekenaar om die waardes vandie trigonometriese verhoudings vir enige hoek te bepaal. Byvoorbeeld, ons wil dalkweet wat is die waarde van of wat is die waarde van .
Wanneer jy berekeninge doen met die resiprook verhoudings, moet jy die resiprookverhouding omskakel na een van die standaard trigonometriese verhoudings: ,
en aangesien dit die enigste manier is om hierdie verhoudings met 'nsakrekenaar te bereken.
BELANGRIK
Die meeste wetenskaplike sakrekenaars is redelik soortgelyk maar die stappemag tog verskil, afhangende van die sakrekenaar wat jy gebruik. Maak seker datjou sakrekenaar gestel is op 'degrees' modus.
WENK
Let daarop dat . Dit geld ook vir die ander trigonometrieseverhoudings.
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: GEBRUIK JOUSAKREKENAAR.
VRAAG
Gebruik jou sakrekenaar om die volgende te bereken (korrek tot desimale255
plekke):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
OPLOSSING
Stap 1:
Die volgende wys die sleuteldrukke op 'n Casio sakrekenaar. Ander
sakrekenaars werk op 'n soortgelyke wyse. Op 'n Casio sakrekenaar
word ( outomaties bygevoeg nadat jy , en gedruk het,
dus hoef jy slegs ) te druk om die hakies toe te maak nadat jy die
hoek ingetik het.
1. Druk cos 48 ) =
2. Druk 2 sin 35 ) =
3. Druk ( tan 81 ) ) =
OF256
Druk
4. Druk
OF
Druk
5. Druk \)
OF
Druk
6. Druk
OF
Druk
7. Skryf eers in terme van :
(aangesien daar geen “ ” knoppie op jou sakrekenaar is nie).
Druk
257
8. Skryf eers in terme van :
(aangesien daar geen “ ” knoppie op jou sakrekenaar is nie).
Druk
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: SAKREKENAARWERK METDIE GEBRUIK VAN SUBSTITUSIE OF VERVANGING
VRAAG
As en , gebruik jou sakrekenaar om te bepaal of dievolgende bewering waar of vals is:
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die linkerkant van die vergelyking
Druk
Stap 2: Skryf die finale antwoord
LK = RK, dus is die bewering waar.
258
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
1.Gebruik jou sakrekenaar om die waarde van die volgende te bepaal(korrek tot desimale plekke):
OEFENING 5.4.1
259
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
260
a)
b)
c)
d)
2.
As en , gebruik 'n sakrekenaar om te bepaal opdie volgende bewerings waar of vals is:
3.Los op vir in .
261
5.5 Spesiale hoekeVir meeste hoeke het ons 'n sakrekenaar nodig om die waardes te bereken van ,
en . Daar is egter sommige hoeke waarvoor ons maklik die waardes sonder'n sakrekenaar kan bepaal omdat hulle uit eenvoudige verhoudings bestaan. Diewaardes van trigonometriese verhoudings vir hierdie spesiale hoeke, sowel as diedriehoeke waarvan hulle afgelei is, word hieronder getoon.
LET WEL
Onthou dat die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek altyd aan dieStelling van Pythagoras moet voldoen: die vierkant van die skuinssy is gelyk aandie som van die vierkante van die ander twee sye.
262
a)
b)
c)
d)
1.Kies uit die gegewe lys die antwoord wat die naaste aan reg is virelke uitdrukking:
OEFENING 5.5.1
30° 45° 60°
1
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.5 Spesiale hoeke
Laai af
Hierdie waardes is nuttig wanneer ons sonder 'n sakrekenaar 'n probleem moet oploswat trigonometriese verhoudings behels.
263
e)
f)
g)
h)
2.
3.
Bepaal die waarde van in die volgende driehoek en laat die antwoordin wortelvorm:
Los op vir in die volgende driehoek en laat die antwoord in wortelvorm:
264
a)
b)
c)
4.Bereken die waarde van die volgende sonder die gebruik van 'nsakrekenaar:
a)
b)
c)
d)
5.Evalueer die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar. Kiesdie antwoord wat die naaste aan reg is uit die gegewe lys.
265
e)
f)
g)
a)
b)
c)
6.Gebruik spesiale hoeke om te wys dat:
a)
b)
c)
7.Gebruik die definisies van die trigonometriese verhoudings om dievolgende vrae te beantwoord:Verduidelik hoekom vir alle waardes van .
Verduidelik waarom 'n maksimumwaarde het van .
Is daar 'n maksimumwaarde vir ?
266
5.6 Oplos van trigonometriesevergelykingsIn hierdie afdeling kyk ons eerste daarna om die onbekende lengtes in reghoekigedriehoeke te vind en daarna sal ons kyk daarna om onbekende hoeke te vind inreghoekige driehoeke. Uiteindelik sal ons kyk na maniere om meer algemenetrigonometriese vergelykings op te los.
Vind lengtes
Van die definisies van die trigonometriese verhoudings en van wat ons geleer hetomtrent die bepaling van die waardes van hierdie verhoudings vir enige hoek, kan onsnou die onbekende lengtes in reghoekige driehoeke vind. Die volgende uitgewerktevoorbeelde sal jou wys hoe.
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: VIND LENGTES
VRAAG
Vind die lengte van in die volgende reghoekige driehoek deur die toepasliketrigonometriese verhouding te gebruik (rond jou antwoord af tot twee desimaleplekke).
267
OPLOSSING
Stap 1: Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en die
skuinssy met betrekking tot die gegewe hoek
Onthou die skuinssy is altyd teenoor die regte hoek en dit verander nooitvan posisie nie. Die teenoorstaande sy is teenoor die hoek waarin onsgeïnteresseerd is en die aangrensende sy is die oorblywende sy.
Stap 2: Herrangskik die vergelyking en los op vir
Stap 3: Gebruik jou sakrekenaar en vind die antwoord
268
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.6 Voorbeeld 4
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VIND LENGTES
VRAAG
Vind die lengte van in die volgende reghoekige driehoek deur die toepasliketrigonometriese verhouding te gebruik (rond jou antwoord af tot twee desimaleplekke).
OPLOSSING
Stap 1: Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en die
skuinssy met betrekking tot die gegewe hoek
Onthou die skuinssy is altyd teenoor die regte hoek en dit verander nooitvan posisie nie. Die teenoorstaande sy is teenoor die hoek waarin onsgeïnteresseerd is en die aangrensende sy is die oorblywende sy.
269
Stap 2: Herrangskik die vergelyking en los op vir
Stap 3: Gebruik jou sakrekenaar en vind die antwoord
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VIND LENGTES
VRAAG
Vind die lengte van en in die volgende reghoekige driehoek, met diegebruik van die toepaslike trigonometriese verhouding (rond jou antwoord aftot twee desimale plekke).
270
OPLOSSING
Stap 1: Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en die
skuinssy met betrekking tot die gegewe hoek
Stap 2: Herrangskik die vergelykings om op te los vir en
271
a)
b)
c)
1.Vind die lengte van 'n sy met 'n letter gemerk in elke driehoek. Geejou antwoorde korrek tot desimale plekke.
OEFENING 5.6.1
Stap 3: Gebruik jou sakrekenaar om die antwoorde te vind
272
d)
e)
f)
g)
273
h)
i)
j)
274
2.Skryf twee verhoudings neer vir elk van die volgende in terme van diesye: .
a)
b)
c)
3.
4.
In , , en . Bereken en (korrek tot desimale plekke).
Bereken en in die volgende diagram.
275
276
5.7 Vind 'n hoekAs die lengte van twee sye van 'n driehoek bekend is, kan die hoeke bereken wordmet die gebruik van trigonometriese verhoudings. In hierdie afdeling vind ons hoekebinne in reghoekige driehoeke met die gebruik van die verhoudings van die sye.
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VIND HOEKE
VRAAG
Vind die hoeke van in die volgende reghoekige driehoeke deur die gebruikvan die toepaslike trigonometriese verhouding.
OPLOSSING
Stap 1: Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye met
betrekking tot die gegewe hoek en die skuinssy
In hierdie geval het jy die teenoorstaande sy en die aangrensende sy virhoek .
277
OEFENING 5.7.1
Bepaal in die volgende reghoekige driehoeke:
Stap 2: Gebruik jou sakrekenaar om vir op te los
Om vir op te los, sal jy die inverse tangensfunksie op jou sakrekenaarnodig hê. Dit werk terugwaarts deur die verhouding van die sye te gebruikom die hoek te vind wat daardie verhouding tot gevolg gehad het.
Druk
Stap 3: Skryf die finale antwoord
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.7 Voorbeeld 7
Laai af
278
1.
2.
3.
279
4.
5.
6.
7.
Ons het nou gesien hoe om trigonometriese vergelyking in reghoekige driehoeke op telos. Ons kan dieselfde tegnieke gebruik om ons te help om trigonometriesevergelykings op te los wanneer die driehoeke nie getoon word nie.
280
5.8 Oplos van trigonometriesevergelykings
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: OPLOS VANTRIGONOMETRIESE VERGELYKINGS
VRAAG
Vind die waarde van as .
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik jou sakrekenaar om vir op te los
Om vir op te los, sal jy die inverse cosinusfunksie op jou sakrekenaargebruik. Dit werk terugwaarts, deur die verhouding van die sye te gebruikom die hoek te vind wat aanleiding gegee het tot daardie verhouding.
Druk
Stap 2: Skryf die finale antwoord
281
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: OPLOS VANTRIGONOMETRIESE VERGELYKINGS
VRAAG
Vind die waarde van as .
OPLOSSING
Stap 1: Herrangskik die vergelyking
Ons moet die vergelyking herrangskik sodat aan een kant van dievergelyking is.
Stap 2: Gebruik jou sakrekenaar om vir op te los
Om vir op te los, moet jy die inverse sinusfunksie op jou sakrekenaargebruik. Dit werk terugwaarts deur die verhouding van die sye te gebruikom die hoek te vind wat aanleiding gegee het tot daardie verhouding.
Druk .
Stap 3: Skryf die finale antwoord
282
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.8 Trigonometrie
Laai af
LET WEL
Wanneer jy trigonometriese vergelykings gebruik, mag jy dalk 'n 'error" offoutboodskap kry wanneer jy probeer om of te bereken (onthou datbeide die sinus en cosinusfunksies 'n maksimumwaarde van 1 het). In hierdiegevalle is daar geen oplossings vir die vergelyking nie.
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: OPLOS VANTRIGONOMETRIESE VERGELYKINGS
VRAAG
Los op vir : .
OPLOSSING
Stap 1: Skakel om na
Daar is geen “ ” knoppie op die sakrekenaar nie en dus moet ons omskakel na ten einde te kry.
283
Stap 2: Herrangskik die vergelyking
Ons moet die vergelyking herrangskik sodat ons aan een kant vandie vergelyking het.
Stap 3: Gebruik jou sakrekenaar om vir op te los
Om vir op te los, sal jy die inverse cosinusfunksie op jou sakrekenaargebruik. Dit werk terugwaarts, deur die verhouding van die sye te gebruikom die hoek te vind wat aanleiding gegee het tot daardie verhouding.
Druk wiskundefout ("error")
In hierdie geval kry ons 'n fout wanneer ons die berekening probeer doen.
Dit is omdat groter is as 1 en die maksimumwaarde van diecosinusfunksie is 1. Dus daar is geen oplossing nie. In hierdie geval is ditbelangrik om 'geen oplossing' te skryf en nie 'wiskunde fout' nie.
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Daar is geen oplossing nie.
284
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
1.Bepaal die hoek (korrek tot desimale plek):
OEFENING 5.8.1
285
n)
o)
p)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2.
As en , gebruik jou sakrekenaar om elk van dievolgende te bereken, korrek tot 3 desimale plekke.
a)
3.In elk van die volgende, bepaal die waardes van korrek tot tweedesimale plekke.
286
b)
c)
d)
e)
f)
287
5.9 Definieer verhoudings in dieCartesiese vlakOns het die trigonometriese verhoudings gedefinieer met die gebruik van reghoekigedriehoeke. Ons kan hierdie definisies uitbrei na enige driehoek, en waarneem dathierdie definisies nie afhanklik is van die lengtes van die sye van die driehoek nie,maar alleenlik van die grootte van die hoek. Dus, as ons enige punt op die Cartesiesevlak merk en dan 'n lyn trek vanaf die oorsprong na daardie punt, kan ons die hoektussen die positiewe as en daardie lyn uitwerk. Ons gaan dit eers ondersoek virtwee spesifieke punte en dan kyk na die meer algemene geval.
Vind 'n hoek vir spesifieke punte
In die figuur hieronder, is punte en gemerk. 'n Lyn is vanaf die oorsprong ( )na elke punt getrek. Die stippellyne toon hoe ons reghoekige driehoeke vir elke puntkan konstrueer. Die stippellyn moet altyd getrek word na die as. Nou kan onshoeke en vind:
LET WEL
Ons kan ook die definisies van die resiproke op dieselfde manier uitbrei.
288
Let die koördinate van , kan ons sien en . Dus, ons weet die
lengte van die sy teenoor is en die lengte van die aangrensende sy is . Metgebruik van:
bereken ons dat .
Ons kan ook die stelling van Pythagoras gebruik om die skuinssy van die driehoek te
bereken en bereken dan met gebruik van:
Beskou punt . Ons definieer as die hoek gevorm tussen lyn endie positiewe as. Dit word die standaardposisie van 'n hoek genoem. Hoeke wordaltyd bereken vanaf die positiewe as in 'n antikloksgewyse rigting. Gestel is die
hoek gevorm tussen die lyn en die negatiewe as sodat .
289
Let die koordinate van , weet ons die lengte van die sy teenoor is endie lengte van die aangrensende sy is . Met gebruik van
bereken ons dat . Dus .
Soortgelyk, 'n alternatiewe metode is om die skuinssy te bereken met die gebruik vandie stelling van Pythagoras en te bereken met die gebruik van :
Vind enige hoek
As ons 'n sirkel trek rondom die oorsprong ( ) en dit gaan deur punt , danis die afstand van die oorsprong na die punt die radius van die sirkel, wat onsaandui as . Ons dui die hoek aan wat gevorm word tussen die lyn en die -asmet .
290
Ons kan al die trigonometriese verhoudings herskryf in terme van , en . Diealgemene definisies van die trigonometriese verhoudings is:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.9 Eenheidsirkel en sinus grafiek
Laai af
Die CAST diagram
Die Cartesiese vlak word verdeel in kwadrante in 'n antikloksgewyse rigting soosgetoon in die diagram hieronder. is altyd positief maar die waardes van en verander afhangende op die posisie van die punt in die Cartesiese vlak. Gevolglik kandie trigonometriese verhoudings positief of negatief wees. Die letters C, A, S en T duiaan watter van die verhoudings is positief in elke kwadrant.
291
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.9 Eenheidsirkel en kosinus grafiek
Laai af
Die diagram staan bekend as die CAST diagram.
Ons let die volgende op as ons die algemene definisies van die trigonometrieseverhoudings gebruik:
Kwadrant I
Beide die en waardes is positief, dus is al die verhoudings in hierdiekwadrant positief.
292
Kwadrant II
Die waardes is positief, dus is en cosec positief in hierdie kwadrant(onthou dat en cosec word gedefinieer in terme van en ).
Kwadrant III
Beide en die waardes is negatief, dus is en positief in hierdiekwadrant (onthou dat en word gedefinieer in terme van en ).
Kwadrant IV
Die waardes is positief, dus is en positief in hierdie kwadrant(onthou dat en gedefinieer word in terme van en ).
BELANGRIK
Die skuinssy, , is 'n lengte, en is dus altyd positief.
Spesiale hoeke in die Cartesiese vlak
Wanneer ons in die Cartesiese vlak werk, sluit ons twee ander spesiale hoeke inreghoekige driehoeke in: ° en °.
Let op dat wanneer , is die lengte van die teenoorstaande sy gelyk aan endie lengte van die aangrensende sy is gelyk aan die skuinssy. Dus:
Wanneer , is die lengte van die aangrensende sy gelyk aan , en die lengtevan die teenoorstaande sy is gelyk aan die lengte van die skuinssy. Dus:
293
Nou kan ons ons kennis van spesiale hoeke uitbrei.
° ° ° ° °
0 1
1 0
0 1 ongedefinieerd
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: VERHOUDINGS IN DIECARTESIESE VLAK
VRAAG
is 'n punt in die Cartesiese vlak met oorsprong . is die hoektussen en die positiewe as. Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik,bepaal die waarde van:
1.
2.
3.
294
OPLOSSING
Stap 1: Skets punt in die Cartesiese vlak en noem die hoek
Stap 2: Gebruik die stelling van Pythagoras om te bereken
Let op: is positief aangesien dit die radius van die sirkel is.
Stap 3: Vervang waardes vir , en in die verlangde verhoudings
Dus , en .
1.
2.
295
3.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.9 Voorbeeld 11
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: VERHOUDINGS IN DIECARTESIESE VLAK
VRAAG
is 'n hoek in die derde kwadrant waar 'n punt is op die
positiewe as en is die punt . is .
1. Bepaal sonder die gebruik van 'n sakrekenaar die waarde van .
2. Bewys dat sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.
OPLOSSING
Stap 1: Skets in die Cartesiese vlak en noem die hoek
296
Stap 2: Gebruik die stelling van Pythagoras om te bereken
Gegewe dat in die derde kwadrant is, moet negatief wees.
297
Stap 3: Substitueer waardes vir , en , en vereenvoudig
, en .
LK
RK
Gevolglik is die LK = RK en het ons bewys dat .
LET WEL
Wanneer jy trigonometriese probleme moet oplos sonder 'n sakrekenaar, kan ditbaie handig wees om 'n skets te maak.
298
1. is 'n punt in die Cartesiese vlak. Bepaal sonder 'n sakrekenaar:
a)
b)
c)
d)
OEFENING 5.9.1
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 5.9 Trigonometrie
Laai af
299
a)
b)
2.
As en 'n stomphoek is, bepaal:
a)
b)
c)
d)
3.
Gegee , waar . Bepaal die volgende interme van :
a)
b)
4.
Gegee: en . Bepaal diewaarde van:
a)
5.
As en , vind die volgende sonder diegebruik van 'n sakrekenaar:
300
b)
c)
6.
a)
b)
7.As en bepaal die volgende met diehulp van 'n diagram (nie 'n sakrekenaar nie).
a)
b)
c)
d)
e)
8.
is 'n punt met koördinate in 'n Cartesiese vlak. vorm'n hoek, , met die positiewe as. Trek 'n diagram en gebruik ditom die volgende vrae te beanwoord.
Vind die waarde van sonder 'n sakrekenaar, gegewe dat , waar .
Vind die afstand .
301
f)
g)
h)
9.
Gegewe die volgende diagram en dat .
a)
b)
c)
Noem twee stelle moontlike waardes van en .
As , meld die waardes van en .
Bepaal vervolgens sonder 'n sakrekenaar die waarde van .
302
10.
As en , bepaal sonder die gebruik van
'n sakrekenaar die waarde van
303
Hoofstuk opsommingOns kan drie trigonometriese verhoudings vir reghoekige driehoeke definieer:sinus ( ), cosinus ( ) en tangens ( )
Hierdie verhoudings kan gedefinieer word as:
Elk van hierdie verhoudings het 'n resiprook: cosecans ( ), secans ( )en cotangens ( ).
Hierdie verhoudings kan gedefinieer word as:
Ons kan die beginsels vir die oplos van vergelykings en die trigonometrieseverhoudings gebruik om ons te help om eenvoudige trigonometriesevergelykings op te los.
Vir sekere spesiale hoeke (0°, 30°, 45°, 60° en 90°), kan ons maklik diewaardes vind van , en sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.
Ons kan die definisies van die trigonometriese verhoudings uitbrei na enigehoeke.
304
a)
b)
c)
1.Sê of elk van die volgende trigonometriese verhoudings korrekgeskryf is.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2.Gebruik jou sakrekenaar om die volgende uitdrukkings korrek tottwee desimale te bereken
HOOFSTUK 5: HERSEININGSOEFENINGE
305
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
3.Gebruik die driehoek hieronder om die volgende te voltooi:
306
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.Gebruik die driehoek hieronder om die volgende te voltooi:
a)
307
c)
b)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
5.Bereken die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar. Kiesdie antwoord wat korrek is uit die gegewe lys.
308
h)
6.
7.
8.
9.
Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, bepaal die waarde van:
Bepaal in die volgende driehoek en laat die antwoord in wortelvorm:
Bepaal in die volgende driehoek en laat die antwoord in wortelvorm:
'n Reghoekige driehoek het skuinssy . Vind die lengtes van die andertwee sye as een van die hoeke van die driehoek ° is.
309
a)
b)
c)
10.Los op vir tot die naaste heelgetal.
310
d)
e)
f)
311
g)
h)
i)
11.Bereken die onbekende lengtes in die diagramme hieronder:
312
a)
b)
c)
12.
In is , en . Die loodregte lyn van tot sny by . Bereken:
13.
die lengte
die lengte
die hoek
Bepaal die grootte van in die volgende driehoek.
313
14.
15.Bepaal
a)
Vind die lengte van sy in die volgende driehoek:
Die lengte van
314
b)
c)
16.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
17.Los op vir as 'n positiewe skerphoek is:
Die waarde van
Gegee: .Bereken .
315
h)
g)
a)
b)
c)
d)
18.As , en , gebruik jou sakrekenaar omelk van die volgende te bepaal, korrek tot 2 desimale plekke.
a)
b)
19.As en , gebruik 'n skets om dievolgende te bepaal:
20.
21.
Gegee: en , vind die hoek tussen die lyn deur en en die -as.
Gegee en , vind die hoek tussen die lyn deur en en die -as.
316
22.
23.
24.
Gegee die punte , en . Vind die hoek .
'n Driehoek met hoeke °, ° en ° het 'n omtrek van . Vinddie lengte van elke sy van die driehoek.
Bepaal die oppervlakte van
317
HOOFSTUK 6: FUNKSIES
InleidingFunksies is die wiskundige boustene vir die ontwerp van masjiene, die voorspellingvan natuurlikerampe, genesing van siektes, verstaan van die wereldekonomie en omvliegtuie in die lug te hou. Funksies kan invoer ontvang van baie veranderlikes, maargee altyd dieselfde uitvoer, uniek aan daardie funksie.
Funksies stel ons in staat om verwantskappe te visualiseer in die vorm van grafieke,wat baie makliker is om te lees en te interpreteer as lyste van getalle.
'n Krieketspeler ontvang 'n aflewering. As 'n krieketspeler op sy beenskutte getref word en die
skeidsregter dink die bal sou die paaltjies agter hom getref het, word hy BVP (been voor paaltjie)
uitgegee. Op professionele vlakke van die spel word gesofistikeerde sagteware gebruik om te
bepaal of die bal die paaltjies sou getref het. Die sagteware gebruik funksies om die vlug van die
bal te voorspel indien die krieketspeler se been nie in die pad van die bal gekom het nie.
318
Sommige voorbeelde van funksies sluit in:
Geld is 'n funksie van tyd. Jy het op enige gegewe oomblik altyd net een bedraggeld want jy kan altyd alles bymekaartel om een totale bedrag te gee. As jyverstaan hoe jou geldvoorraad verander oor tyd, kan jy beplan om jou geld sinvolte bestee. Besighede vind dit baie nuttig om die grafiek te trek van hulle geld metbetrekking tot tyd sodat hulle kan sien wanneer hulle te veel spandeer.
Temperatuur as 'n funksie van verskeie faktore. Temperatuur is 'n baieingewikkelde funksie omdat dit soveel invoer elemente het, onder andere: die tydvan die dag, die seisoen, die hoeveelheid wolke in die lug, die sterkte van diewind, waar jy is en nog baie meer. Die belangrike ding is egter dat daar net eentemperatuur uitvoerwaarde is wanneer jy dit meet op 'n spesifieke plek.
Plek as 'n funksie van tyd. Jy kan nooit op twee verskillende plekke op dieselfdetyd wees nie. As jy die grafieke sou trek van waar twee mense is as 'n funksievan tyd, sal die plek waar die lyne kruis, beteken dat die twee mense mekaarontmoet op daardie tydstip. Hierdie idee word gebruik in logistiek, 'n area vanwiskunde wat probeer beplan waar mense en items is met die oog op besigheid.
DEFINISIE
Funksie
'n Funksie is 'n wiskundige verwantskap tussen twee veranderlikes, waarelke invoerveranderlike net een uitvoerveranderlike het.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6 Funksies
Laai af
319
6.1 Afhanklike en onafhanklikeveranderlikesIn funksies, staan die veranderlike bekend as die invoer of onafhanklikeveranderlike omdat sy waarde vrylik gekies kan word. Die berekende -veranderlikestaan bekend as die uitvoer of afhanklike veranderlike omdat sy waarde afhang vandie gekose invoerwaarde.
Versamelingnotasie
Voorbeelde:
Die versameling van alle waardes wat so is dat 'n element isvan die versameling reële getalle en groter is as .
Die versameling van alle waardes wat so is dat 'n natuurlikegetal is, groter as en kleiner of gelyk aan .
Die versameling van alle waardes wat so is dat 'n heelgetal isen kleiner of gelyk is aan .
Intervalnotasie
Dit is belangrik om daarop te let dat hierdie notasie slegs gebruik kan word om 'ninterval voor te stel met reële getalle.
320
Voorbeelde:
Ronde hakies dui aan dat die eindwaarde nie ingesluit is nie. Hierdie intervalsluit alle reële getalle in groter as maar nie gelyk aan nie, en kleiner asmaar nie gelyk aan nie.
Ronde hakies sluit alle reële getalle in kleiner as, maar nie gelyk aan nie.
'n Vierkantige hakie dui aan dat die eindwaarde ingesluit is. Hierdie intervalsluit in alle reële getalle groter of gelyk aan en kleiner as, maar nie gelykaan nie.
Funksienotasie
Hierdie is 'n baie handige manier om 'n funksie voor te stel. 'n Ander manier om
te skryf, is . Ons sê “ van is gelyk aan
”. Enige letter kan gebruik word, byvoorbeeld , , , ens.
1. Bepaal die uitvoerwaarde:
“Vind die waarde van die funksie vir ”, kan geskryf word as: “vind
”.
Vervang met :
Dit beteken dat wanneer , is die waarde van die funksie .
2. Bepaal die invoerwaarde:
“Vind die waarde van wat 'n waarde van sal gee”, kan geskryf word as:
“vind as ”.
321
Ons skryf die volgende vergelyking en los vir op:
Dit beteken dat wanneer is die waarde van die funksie .
Voorstellings van funksies
Funksies kan uitgedruk word op baie verskillende maniere vir verskillende doeleindes.
1. Woorde: “Die verband tussen twee veranderlikes is so dat die een altyd minder is as die ander een.”
2. Vloeidiagram
3. Tabel:
Invoerveranderlike
Uitvoerveranderlike
4. Versameling van geordende getallepare: , ,
5. Algebraïese formule:
6. Grafiek:
322
a)
b)
c)
1.Skryf die volgende in versamelingnotasie:
OEFENING 6.1.1
Gebied en terrein
Die gebied van 'n funksie is die versameling van alle onafhanklike -waardeswaarvoor daar een waarde is volgens die funksie.
Die terrein is die versameling van alle afhanklike waardes wat verkry kan word deurdie gebruik van 'n onafhanklike -waarde.
323
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
2.Skryf die volgende in intervalnotasie:
a)
b)
c)
3.Voltooi die volgende tabelle en identifiseer die funksie.
324
a)
b)
4.Stip die volgende punte op 'n grafiek.
a)
b)
5.Stel 'n tabel op van waardes van die gegewe funksie en stip dan diegrafiek van die funksie. Jou tabel moet ten minste 5 geordende parehê.
a)
b)
c)
d)
e)
6.As die funksies
gegee is, vind die waarde van die volgende:
325
f)
g)
h)
7.Die prys van petrol en diesel per liter word gegee deur die funksies
en , waar:
a)
b)
c)
d)
e)
Gebruik hierdie inligting om die volgende te beantwoord:
8.'n Bal rol teen 'n skuinste af. Die grafiek hieronder toon dieverband tussen die afstand en die tyd.
Bereken
Bereken
Hoeveel liter petrol kan jy koop met ?
Hoeveel liter petrol kan jy koop met ?
Hoeveel is petrol duurder as diesel? Toon jou antwoord as 'n funksie.
326
a)
b)
c)
Gebruik hierdie inligting om die volgende te beantwoord:
9.James en Themba gooi elkeen 'n klip vanaf die top van 'n gebou in 'nrivier. Die trajek van die klippe kan beskryf word met kwadratiese
vergelykings. beskryf die pad van die klip wat
deur James gegooi is en beskryf die pad vanThemba se klip.
a)
Na , hoeveel verder het die bal om te rol?
Wat is die terrein van die funksie?
Wat is die gebied van die funksie en wat verteenwoordig dit?
Hoe hoog is die gebou waarop hulle gestaan het?327
b)
c)
Hoe ver het James sy klip gegooi voor dit die rivier se oppervlakbereik het?
Hoeveel verder het Themba sy klip gegooi voor dit die rivier seoppervlak bereik het?
328
6.2 Lineêre funksies
Funksies van die vorm
Funksies van die vorm word reguitlynfunksies genoem. In dievergelyking is, en konstantes en hulle het verskillende invloedeop die grafiek van die funksie.
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: TREK VAN 'NREGUITLYNGRAFIEK
VRAAG
Voltooi die volgende tabel vir en stip die punte op 'n assestelsel.
1. Verbind die punte met 'n reguitlyn.
2. Bepaal die gebied en terrein.
3. Rondom watter lyn is simmetries?
4. Gebruik die grafiek en bepaal die waarde van waarvoor .Bevestig jou antwoord grafies.
5. Waar sny die grafiek die asse?
329
OPLOSSING
Stap 1: Vervang waardes in die vergelyking
Stap 2: Stip die punte en verbind met 'n reguitlyn
Stap 3: Stip die punte en verbind met 'n reguitlyn
Van die tabel kry ons die volgende punte en die grafiek:
330
Stap 4: Bepaal die gebied en terrein
Gebied:
Terrein:
Stap 5: Bepaal die waarde van waarvoor
Vanaf die grafiek sien ons dat wanneer , . Dit gee die
punt .
Stap 6: Bepaal die afsnit
Die funksie sny die asse by die oorsprong .
Funksies van die vorm
ONDERSOEK
DIE EFFEK VAN EN OP 'N REGUITLYNGRAFIEK
Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
1.
2. 331
3.
4.
5.
Gebruik jou resultate om die uitwerking van die verskillende waardes van opdie grafiek af te lei.
Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
1.
2.
3.
4.
Gebruik jou resultate om die uitwerking van die verskillende waardes van op die grafiek af te lei.
Die effek van
Ons let op dat die waarde van die helling van die grafiek bepaal. As toeneem,sal die gradiënt van die grafiek toeneem.
As , sal die grafiek toeneem van links na regs (loop opwaarts).
As , sal die grafiek toeneem van regs na links (loop afwaarts). Om hierdierede, word na verwys as die gradiënt van 'n reguitlyngrafiek.
Die effek van
Ons let ook op dat die waarde van bepaal waar die grafiek die as sny. Omhierdie rede staan bekend as die -afsnit.
As skuif die grafiek vertikaal opwaarts.
332
As skuif die grafiek vertikaal afwaarts.
Die effek van en op 'n reguitlyngrafiek.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.2 Funksies Reguitlyn
Laai af
Ontdek die eienskappe
Die standaardvorm van 'n reguitlyngrafiek is die vergelyking .333
Gebied en terrein
Die gebied is want daar is geen waarde van waarvoor ongedefinieerd is nie.
Die terrein van is ook omdat enige reële waarde kan aanneem.
Afsnitte
Die -afsnit:
Elke punt op die as het 'n koördinaat van . Dus, om te bereken wat die -afsnit is stel .
Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur te stel:
Dit gee die punt .
Die -afsnit:
Elke punt op die as het 'n koördinaat van . Dus om te bereken wat is die -
afsnit, stel .
Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur te stel:
334
Dit gee die punt .
Skets grafieke van die vorm
Ten einde grafieke te skets van die vorm, , behoort ons drieeienskappe te bepaal:
1. teken van
2. -afsnit
3. -afsnit
Dubbelafsnit metode
Slegs twee punte is nodig om 'n reguitlyngrafiek te teken. Die maklikste punte om tegebruik is die afsnit en die -afsnit.
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: SKETS 'NREGUITLYNGRAFIEK DEUR GEBRUIK TE MAAK VAN DIEDUBBELAFSNIT METODE.
VRAAG
Skets die grafiek van deur gebruik te maak van die dubbelafsnit metode.
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
335
. Dit beteken die grafiek neem toe as toeneem.
Stap 2: Bereken die afsnitte
Vir die afsnit, stel ; dus . Dit gee die punt .
Vir die afsnit, stel ; dus . Dit gee die punt .
Stap 3: Stip die punte en teken die grafiek
336
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.2 Voorbeeld 2
Laai af
Gradiënt en afsnit metode
Ons kan 'n reguitlyngrafiek van die vorm teken deur gebruik te maakvan die gradiënt ( ) en die afsnit ( ).
Ons bereken die afsnit deur te stel. Dit gee ons een punt om diegrafiek te trek en ons gebruik die gradiënt om die tweede punt te bereken.
Die gradiënt van 'n lyn is 'n maatstaf van helling. Helling of steilte word bepaal deur dieverhouding van die vertikale verandering met betrekking tot die horisontaleverandering:
Byvoorbeeld, , dus en die grafiek se helling is opwaarts.
337
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: TEKEN VAN 'NREGUITLYNGRAFIEK DEUR GEBRUIK VAN DIE GRADIËNT -AFSNIT METODE
VRAAG
Skets die grafiek van deur gebruik te maak van diegradiëntafsnit metode.
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik die -afsnit
, wat die punt gee.
Stap 2: Gebruik die gradiënt
338
Begin by . Beweeg eenheid op en eenhede na regs. Dit gee
die tweede punt .
Of, begin by , beweeg eenheid af en eenhede links. Dit gee
die tweede punt .
Stap 3: Stip die punte en teken die grafiek
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.2 Voorbeeld 3
Laai af
Skryf altyd 'n funksie in die vorm en let op die waarde van . Na jydie grafiek getrek het, maak seker dat die grafiek toeneem as en dat die
339
a)
b)
c)
1.Bepaal die afsnit en die afsnit van die gegewe funksies.
2.
OEFENING 6.2.1
grafiek afneem as .
In die grafiek hieronder is daar 'n funksie met die vergelyking .Bepaal die waardes van (die gradiënt van die lyn) en (die afsnit vandie lyn).
340
3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
4.Maak 'n lys van die en afsnitte vir die volgendereguitlyngrafieke. Dui aan of die grafiek toeneem of afneem:
Die grafiek toon 'n funksie met die vergelyking . Bepaal diewaardes van (die gradiënt van die lyn) en (die afsnit van die lyn).
341
h)
a)
b)
c)
d)
e)
5.Meld of die volgende waar is of nie.
a)
b)
c)
d)
6.Skryf die volgende in standaardvorm ( ):
7.Kyk na die grafiek hieronder. Elke grafiek word met 'n letteraangedui. In die vrae wat volg, pas die gegewe vergelyking by dieletter van 'n ooreenstemmende grafiek.
Die gradiënt van is .
Die afsnit van is .
Die gradiënt van is .
Die gradiënt van is .
Die afsnit van is .
342
a)
b)
c)
d)
e)
f)
343
8.Vir die funksies in die diagram hieronder, gee die vergelyking vanelke reguitlyn:
a)
b)
c)
d)
9.Skets die volgende funksies op dieselfde assestelsel, deur gebruik te maakvan die dubbelafsnit metode. Dui duidelik die koördinate aan van die afsnittemet die asse en die snypunt van die twee grafieke: en
.
344
10.
Op dieselfde assestelsel, teken die grafieke van en
deur die gradiëntafsnit metode te gebruik.
345
6.3 Kwadratiese funksies
Funksies van die vorm
Funksies van die algemene vorm word paraboliese funksies genoem.
In die vergelyking is en konstantes en het verskillende effekte opdie parabool.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.3 Grafieke tabelmetode
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: STIP 'N KWADRATIESEFUNKSIE
VRAAG
Voltooi die volgende tabel en stip die punte op 'n assestelsel.
1. Verbind die punte met 'n gladde kromme.
2. Die gebied van is . Bepaal die terrein.
346
3. Rondom watter lyn is simmetries?
4. Bepaal die waarde van waarvoor . Bevestig jou antwoordgrafies.
5. Waar sny die grafiek die asse?
OPLOSSING
Stap 1: Vervang waardes in die vergelyking
Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme.
Vanaf die tabel kry ons die volgende punte:
347
Stap 3: Bepaal die gebied en terrein
Gebied:
Vanaf die grafiek sien ons dat vir alle waardes van , .
Terrein:
Stap 4: Vind die as van simmetrie
is simmetries rondom die as. Dus is die as van simmetrie van dielyn .
Stap 5: Bepaal die waarde waarvoor
348
Sien punte en op die grafiek.
Stap 6: Bepaal die afsnit
Die funksie sny die asse by die oorsprong .
Ons sien dat as die waarde van toeneem van tot , neem af.
By die , .
As die waarde van toeneem van tot , sal toeneem.
Funksies van die vorm
ONDERSOEK
DIE EFFEK VAN EN OP 'N PARABOOL.
Voltooi die tabel en stip die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:349
1.
2.
3.
4.
5.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Voltooi die tabel en stip die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:
1.
2.
3.
4.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
350
Die effek van
Die effek van word 'n vertikale skuif genoem omdat alle punte oor dieselfde afstanden in dieselfde rigting beweeg (dit skuif die totale grafiek op of af).
Vir , word die grafiek van opwaarts geskuif met eenhede. Die
draaipunt van is bokant die -as.
Vir , word die grafiek van vertikaal afgeskuif met eenhede. Die
draaipunt van is onder die -as.
Die effek van
Die teken van bepaal die vorm van die grafiek.
Vir , is die grafiek van 'n “glimlag” en het dit 'n minimum draaipunt
by . Die grafiek van word vertikaal opwaarts gestrek; soos groter word, word die grafiek nouer.
Vir , soos al nader kom aan , word die grafiek van wyer.
Vir , is die grafiek van 'n “frons” en het dit 'n maksimum draaipunt
by . Die grafiek van word vertikaal afwaarts gestrek; soos kleiner word, word die grafiek nouer.
Vir , soos al nader kom aan , word die grafiek van wyer.
351
Die effek van en op 'n parabool.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.3 Kwadratiese funksies Die effek van a en q
Laai af
352
Ontdek die eienskappe
Die standaardvorm van die vergelyking van 'n parabool is .
Gebied en terrein
Die gebied is omdat daar geen waarde is waarvoor ongedefinieer is nie.
As dan het ons:
Dus as , is die terrein . Soortgelyk, as dan is die terrein
.
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: GEBIED EN TERREIN VAN 'NPARABOOL
VRAAG
As , bepaal die gebied en die terrein van die funksie.
OPLOSSING
Stap 1: Bepaal die gebied
Die gebied is omdat daar geen waarde is waarvoor 353
ongedefinieer is nie.
Stap 2: Bepaal die terrein
Die terrein van kan as volg bereken word:
Dus die terrein is .
Afsnitte
Die -afsnit:
Elke punt op die as het 'n koördinaat van , dus, om die afsnit te bereken,stel .
Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur te stel:
Dit gee die punt .
Die -afsnitte:
Elke punt op die as het 'n koördinaat van , dus, om die afsnit te bereken,stel .
354
Byvoorbeeld, die afsnitte van word gegee deur te stel:
Daar is geen reële oplossings nie, dus die grafiek van het geen -afsnitte nie.
Draaipunte
Die draaipunt van die funksie van die vorm word bepaal deur dieterrein van die funksie te ondersoek.
As , is die grafiek van 'n “glimlag” en het dit 'n minimum draaipunt
by .
As , is die grafiek van 'n “frons” en het dit 'n maksimum draaipunt
by .
Asse van simmetrie
Die as van simmetrie vir funksies van die vorm is die as, watdie lyn is.
Skets grafieke van die vorm
Ten einde grafieke te teken van die vorm , moet ons die volgendeeienskappe bepaal:
355
1. teken van
2. -afsnit
3. -afsnit
4. draaipunt
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: SKETS 'N PARABOOL
VRAAG
Skets die grafiek van . Merk die afsnitte en draaipunt.
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Ons let op dat . Dus is die grafiek 'n “glimlag” en het 'n minimumdraaipunt.
Stap 2: Bereken die afsnitte
Vir die afsnit, stel :
Dit gee die punt .
Vir die afsnitte, stel :
356
Dit gee die punte en .
Stap 3: Bepaal die draaipunt
Vir die standaardvorm van die vergelyking sien ons dat die draaipunt
is.
Stap 4: Stip die punte en skets die grafiek
Gebied:
Terrein:
357
Die as van simmetrie is die lyn .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.3 Voorbeeld 6
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: SKETS 'N PARABOOL
VRAAG
Skets die grafiek van . Merk die afsnitte en die draaipunt.
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Ons let op dat . Dus is die grafiek 'n “frons” en het 'n maksimumdraaipunt.
Stap 2: Bereken die afsnitte
Vir die afsnit, stel :
358
Dit gee die punt .
Vir die afsnitte, stel :
Daar is nie 'n reële oplossing nie, dus daar is nie afsnitte nie.
Stap 3: Bepaal die draaipunt
Vir die standaardvorm van die vergelyking sien ons dat die draaipunt
is.
Stap 4: Stip die punte en skets die grafiek
359
1.
OEFENING 6.3.1
Gebied: .
Terrein: .
Die as van simmetrie is die lyn .
Die grafiek hieronder toon 'n kwadratiese funksie met die volgende vorm:
. Twee punte op die parabool word getoon: Punt A, die
draaipunt van die parabool, by , en Punt B is by . Bereken diewaardes van en .
360
2.
a)
b)
3.Gegewe die volgende vergelyking:
Die grafiek hieronder toon 'n kwadratiese funksie met die volgende vorm:
. Twee punte op die parabool word getoon: Punt A, die
draaipunt van die parabool, by , en Punt B is by . Berekendie waardes van en .
Bereken die koördinaat van die -afsnit.
Bereken nou die afsnitte. Jy antwoord moet korrek wees tot 2desimale plekke.
361
a)
b)
4.Gegewe die volgende vergelyking:
5.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
Bereken die koördinaat van die -afsnit.
Bereken nou die afsnitte. Jy antwoord moet korrek wees tot 2desimale plekke.
362
a)
b)
c)
d)
6.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk van
363
die volgende vergelykings pas:
a)
b)
c)
7.
Twee parabole is geteken: en
.
364
a)
b)
c)
d)
8.
9.
Vind die waardes van en .
Vind die waardes van en .
Vind die waardes van waarvoor .
Vir watter waardes van is toenemend?
Toon aan dat as is die terrein van gelyk aan
.
Teken die grafiek van die funksie en toon alle afsnitte metdie asse.
365
6.4 Hiperboliese funksies
Funksies met die vorm
Funksies van die algemene vorm word hiperboliese funksies genoem.
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: TEKEN DIE HIPERBOLIESEFUNKSIE
VRAAG
Voltooi die volgende tabel en stip die punte op 'n assestelsel.
0
1. Verbind die punte met gladde krommes.
2. Wat gebeur as ?
3. Verduidelik hoekom die grafiek uit twee aparte krommes bestaan.
4. Wat gebeur met as die waarde van baie klein of baie grootword?
366
5. Die gebied van is . Bepaal die terrein.
6. Rondom watter twee lyne is die grafiek simmetries?
OPLOSSING
Stap 1: Vervang waardes in die vergelyking
ongedefinieerd
Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met twee gladde krommes
Vanaf die tabel kry ons die volgende punte: , , 367
, , , , , ,
,
Vir is die funksie ongedefinieer. Dit word 'n diskontinuïteit by genoem.
, dus kan ons skryf dat . Aangesien dieproduk van twee positiewe getalle en die produk van twee negatiewegetalle gelyk kan wees aan , lê die grafiek in die eerste en derdekwadrante.
Stap 3: Bepaal die asimptote
As die waarde van groter word, kom die waarde van al naderaan, maar word nooit gelyk aan nie. Dit is 'n horisontale asimptoot, dielyn . Dieselfde gebeur in die derde kwadrant; as kleiner word,
kom ook asimptotaal nader aan die negatiewe -as.
368
Ons let ook op dat daar 'n vertikale asimptoot is, die lyn ; soos
nader kom aan , sal die as asimptotaal nader.
Stap 4: Bepaal die terrein
Gebied:
Van die grafiek sien ons dat gedefinieer is vir alle waardes behalwe .
Terrein:
Stap 5: Bepaal die asse van simmetrie
Die grafiek van het twee asse van simmetrie: die lyne en . Een helfte van die hiperbool is die spieëlbeeld van die ander
helfte rondom hierdie twee lyne.
Funksies van die vorm
ONDERSOEK
DIE INVLOED VAN EN OP 'N HIPERBOOL.
Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
369
1.
2.
3.
4.
5.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
1.
2.
3.
4.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Die effek van
Die effek van word 'n vertikale skuif genoem omdat alle punte oor dieselfde afstanden in dieselfde rigting beweeg (dit skuif die totale grafiek op of af).
370
Vir , word die grafiek van vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.
Vir , word die grafiek van vertikaal af geskuif met eenhede.
Die horisontale asimptoot is die lyn en die vertikale asimptoot is altyd die -as, die lyn .
Die effek van
Die teken van bepaal die vorm van die grafiek.
As , lê die grafiek van in die eerste en derde kwadrante.
Vir , sal die grafiek van verder weg lê van die asse as .
Vir , soos neig na , beweeg die grafiek nader aan die asse as
.
As , lê die grafiek van in die tweede en vierde kwadrante.
Vir , sal die grafiek van verder weg lê van die asse as
.
Vir , soos neig na , beweeg die grafiek nader aan die asse
as .
371
Die invloed van en op 'n hiperbool.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.4 Hiperboliese funksies tabelmetode
Laai af
Ontdek die eienskappe
Die standaardvorm van die hiperbool is die vergelyking .
Gebied en terrein
Vir , is die funksie ongedefinieerd vir . Die gebied is dus
.
372
Ons sien dat geskryf kan word as:
Dit toon dat die funksie slegs ongedefinieerd is by .
Dus is die terrein
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: GEBIED EN TERREIN VAN 'NHIPERBOOL
VRAAG
As , bepaal die gebied en die terrein van die funksie.
OPLOSSING
Stap 1: Bepaal die gebied
Die gebied is omdat slegs ongedefineerd isby .
Stap 2: Bepaal die terrein
Ons sien dat slegs ongedefinieerd is by . Dus is die terrein
373
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.4 Voorbeeld 9
Laai af
Afsnitte
Die -afsnit:
Elke punt op die as het 'n koördinaat van , dus, om die afsnit te bereken,stel .
Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur te stel:
wat ongedefinieerd is, dus is daar geen -afsnit.
Die -afsnit:
Elke punt op die as het 'n koördinaat van ; dus om die afsnit te bereken,stel .
Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur te stel:
374
Dit gee die punt .
Asimptote
Daar is twee asimptote vir funksies van die vorm .
Die horisontale asimptoot is die lyn en die vertikale asimptoot is altyd die -as, die lyn .
Asse van simmetrie
Daar is twee lyne ten opsigte waarvan hiperbole simmetries is: en .
Skets grafieke van die vorm
Ten einde grafieke te teken van funksies van die vorm, , moetons vier eienskappe bepaal:
1. teken van 375
2. -afsnit
3. -afsnit
4. asimptote
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: SKETS 'N HIPERBOOL
VRAAG
Skets die grafiek van . Merk die asafsnitte en die asimptote.
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Ons let op dat en dus lê die grafiek van in die eerste en diederde kwadrante.
Stap 2: Bereken die afsnitte
Vir die afsnit, stel :
Dit is ongedefineerd, dus is daar geen -afsnit.
Vir die afsnit, stel :
376
Dit gee die punt .
Stap 3: Bepaal die asimptote
Die horisontale asimptoot is die lyn . Die vertikale asimptoot is dielyn .
Stap 4: Skets die grafiek
Gebied:
377
Terrein:
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: SKETS 'N HIPERBOOL
VRAAG
Skets die grafiek van .
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Ons sien dat , dus lê die grafiek in die tweede en vierde kwadrante.
Stap 2: Bereken die afsnitte
Vir die afsnit, stel :
Dit is ongedefineerd, dus is daar geen -afsnit.
Vir die afsnit, stel :
378
Dit gee die punt .
Stap 3: Bepaal die asimptote
Die horisontale asimptoot is die lyn . Die vertikale asimptoot is dielyn .
Stap 4: Skets die grafiek
Gebied: 379
1.
OEFENING 6.4.1
Terrein:
Asse van simmetrie: en
Die volgende grafiek toon 'n hiperboliese vergelyking van die vorm
. Punt A word getoon by . Bereken die waardes van en .
380
2.
a)
b)
3.Gegewe die volgende vergelyking:
4.Gegewe die volgende vergelyking:
Die volgende grafiek toon 'n hiperboliese vergelyking van die vorm
. Punt A word getoon by . Bereken die waardes van en .
Bepaal die posisie van die -afsnit.
Bepaal die posisie van die afsnit. Gee jou antwoord as 'n breuk.
381
a)
b)
5.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
a)
b)
Bepaal die posisie van die -afsnit.
Bepaal die posisie van die -afsnit.
382
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6.
Gegee die funksie: .
a)
7.
Gegee die funksie: .
Teken die grafiek.
Lê die punt op die grafiek? Gee 'n rede vir jou antwoord.
As die waarde van 'n punt op die grafiek is, wat is dieooreenstemmende -waarde?
Wat gebeur met die waardes as die waardes baie groot word?
Gee die vergelykings van die asimptote.
Met die lyn as lyn van simmetrie, watter punt is simmetries
aan ?
Teken die grafiek.
383
b)
c)
a)
b)
c)
d)
8.Skets die gegewe funksies en beskryf die transformasie wat gebruikis om die tweede funksie te verkry. Toon alle asimptote.
Hoe sal die grafiek van vergelyk met die grafiek
van ? Verduidelik jou antwoord volledig.
Teken die grafiek van op dieselfde assestelsel en toondie asimptote, asse van simmetrie en die koördinate van een punt opdie grafiek.
en
en
en
en
384
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.4 Invloed van a op hiperbool
Laai af
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.4 Invloed van q op hiperbool
Laai af
385
6.5 Eksponensiële funksies
Funksies van die vorm
Funksies van die algemene vorm word eksponsiële funksies genoem.In die vergelyking, is en konstantes en hulle het verskillende invloede op diefunksie.
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: TEKEN VAN 'N EKSPONSIËLEFUNKSIE
VRAAG
Voltooi die volgende tabel vir elk van die funksies en teken die grafieke op
dieselfde assestelsel: , , .
1. By watter punt sny hierdie grafieke?
2. Verduidelik waarom hulle nie die as sny nie.
3. Gee die gebied en terrein van .
4. Neem toe of af soos toeneem?
386
5. Watter van hierdie grafieke neem toe teen die stadigste tempo?
6. Vir en , word die kurwe van die grafiek steiler hoe groterdie waarde van word. Waar of vals?
Voltooi die volgende tabel vir elk van die funksies en trek die grafieke op
dieselfde assestelsel: , ,
1. Gee die afsnit vir elke funksie.
2. Beskryf die verband tussen die grafieke en .
3. Beskryf die verband tussen die grafieke en .
4. Gee die gebied en terrein van .
5. Vir en , word die kurwe van die grafiek steiler hoegroter die waarde van word. Waar of vals?
6. Gee die vergelyking van die asimptote vir die funksies.
387
OPLOSSING
Stap 1: Vervang waardes in die vergelykings
Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme
1. Ons let op dat al die grafieke deur die punt gaan. Enige getal388
met die eksponent is gelyk aan .
2. Die grafieke sny nie die as nie, , want jy kan nooit 0 kry deur enigenienul getal tot die mag van enige ander getal te verhoog nie.
3. Gebied:
Terrein:
4. Soos toeneem, neem toe.
5. neem toe teen die stadigste tempo omdat dit diekleinste grondtal het.
6. Waar: hoe groter die waarde van , hoe steiler is die
grafiek van .
1. Die afsnit is die punt vir al die grafieke. Vir enige reële
getal : .
2. is die refleksie van om die -as.
389
3. is die refleksie van om die -as.
4. Gebied:
Terrein:
5. Waar: hoe groter die waarde van , hoe steiler is die
grafiek van .
6. Die vergelyking van die horisontale asimptoot is , die -as.
Funksies van die vorm
ONDERSOEK
DIE INVLOED VAN , EN OP 'N EKSPONENSIËLE GRAFIEK.
Op dieselfde stel asse, skets die volgende grafieke ( , en verander):
1.
2.
3.
4.
390
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Op dieselfde stel asse, skets die volgende grafieke ( , en verander):
1.
2.
3.
4.
5.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Op dieselfde assestelsel , skets die volgende grafieke ( , en verander).
1.
2.
391
3.
4.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Die effek van
Die effek van word 'n vertikale skuif genoem omdat alle punte oor dieselfde afstanden in dieselfde rigting beweeg (dit skuif die totale grafiek op of af).
Vir , skuif die grafiek vertikaal opwaarts met eenhede.
Vir , skuif die grafiek vertikaal afwaarts met eenhede.
Die horisontale asimptoot skuif eenhede en is die lyn .
Die effek van
Die teken van bepaal of die grafiek opwaarts of afwaarts buig.
Vir :
Vir , buig die kromme afwaarts. Dit reflekteer die grafiek in diehorisontale asimptoot.
Vir , buig die kromme opwaarts.
Vir :
Vir , buig die kromme opwaarts.
392
Vir , buig die kromme afwaarts. Dit reflekteer die grafiek in diehorisontale asimptoot.
Die invloed van en op 'n eksponensiële grafiek as .
393
Die invloed van en op 'n eksponensiële grafiek as .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.5 Eksponensiële funksies Die effek van a, b, p en q
Laai af
Ontdek die eienskappe
Die standaardvorm van die eksponsiële funksie is .
Gebied en terrein
Vir , is die funksie gedefinieer vir alle reële waardes van . Dus is die
394
gebied .
Die terrein van is afhanklik van die teken van .
Vir :
Dus, vir is die terrein .
Vir :
Dus, vir is die terrein .
UITGEWERKTE VOORBEELD 13: GEBIED EN TERREIN VAN 'NEKSPONSIËLE FUNKSIE
VRAAG
Vind die gebied en terrein van
OPLOSSING
Stap 1: Vind die gebied
Die gebied van is .
395
Stap 2: Vind die terrein
Dus is die terrein .
Afsnitte
Die -afsnit.
Vir die afsnit, stel :
Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur testel:
Dit gee die punt .
Die -afsnit:
396
Vir die afsnit, stel .
Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur testel:
Daar is geen reële oplossing nie. Dus, die grafiek van het geen afsnitte nie.
Asimptote
Eksponensiële funksies van die vorm het 'n enkele horisontaleasimptoot, die lyn .
Skets grafieke van die vorm
Ten einde grafieke te teken van funksies van die vorm, , moet ons viereienskappe bepaal:
1. teken van
2. -afsnit
3. -afsnit
4. asimptoot
397
UITGEWERKTE VOORBEELD 14: SKETS 'N EKSPONENSIËLEFUNKSIE
VRAAG
Skets die grafiek van . Merk die asafsnit en dieasimptoot.
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Van die vergelyking sien ons dat , dus die grafiek buig opwaarts. , dus die grafiek word vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.
Stap 2: Bereken die afsnitte
Vir die afsnit, stel :
Dit gee die punt .
Vir die afsnit, stel :
Daar is geen reële oplossing nie, dus daar is geen afsnit nie.398
Stap 3: Bepaal die asimptoot
Die horisontale asimptoot is die lyn .
Stap 4: Stip die punte en skets die grafiek
Gebied:
Terrein:
Let daarop dat eksponensiële funksies geen as van simmetrie het nie.
399
UITGEWERKTE VOORBEELD 15: SKETS 'N EKSPONENSIËLEGRAFIEK
VRAAG
Skets die grafiek van
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Van die vergelyking sien ons dat en dus buig die krommeafwaarts. en dus word die grafiek vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.
Stap 2: Bereken die afsnitte
Vir die afsnit, stel :
Dit gee die punt .
Vir die afsnit, stel :
Dit gee die punt .400
Stap 3: Bepaal die asimptoot
Die horisontale asimptoot is die lyn .
Stap 4: Stip die punte en skets die grafiek
Gebied:
Terrein:
401
a)
b)
1.Gegewe die volgende vergelyking:
2.
OEFENING 6.5.1
Bereken die afsnit. Jou antwoord moet korrek wees tot 2 desimaleplekke.
Bereken nou die afsnit. Benader jou antwoord tot een desimaleplek indien nodig.
Die grafiek toon die eksponsiële funksie met die vergelyking . Een punt op die kromme word gegee: Punt A is by
. Bepaal die waardes van en , korrek tot die naasteheelgetal.
402
3.Hieronder sien jy 'n grafiek van die eksponensiële funksie met die vergelyking
. Een punt op die kromme is gegee: Punt A is by
. Bereken die waardes van en , korrek tot die naasteheelgetal.
403
a)
b)
4.Gegewe die volgende vergelyking:
5.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
Bereken die afsnit. Jou antwoord moet korrek wees tot 2 desimaleplekke.
Bereken nou die -afsnit.
404
a)
b)
c)
d)
a)
6.
Gegee die funksies en .Teken die grafieke op dieselfde assestelsel.
405
b)
c)
d)
7.In die bygaande diagram, sien ons die kromme van die
eksponensiële funksie sny die as by die punt en gaan
deur die punt .
a)
Is die as 'n asimptoot of 'n as van simmetrie vir beide grafieke?Verduidelik jou antwoord.
Watter grafiek word verteenwoordig deur die vergelyking ?Verduidelik jou antwoord.
Los die vergelyking grafies op en kontroleer deursubstitusie of jou antwoord reg is.
Bepaal die vergelyking van die funksie .
406
b)
c)
d)
e)
f)
Bepaal die vergelyking van funksie , die refleksie van indie -as.
Bepaal die terrein van .
Bepaal die vergelyking van funksie , die refleksie van indie -as.
Bepaal die vergelyking van die funksie as 'n vertikale
strekking is van met eenhede.
Bepaal die vergelyking van die funksie as 'n vertikale
skuif is van met eenhede.
407
6.6 Trigonometriese funksiesHierdie afdeling beskryf die grafieke van trigonometriese funksies.
Sinusfunksie
Funksies van die vorm
UITGEWERKTE VOORBEELD 16: TEKEN VAN 'NSINUSGRAFIEK
VRAAG
Gebruik jou sakrekenaar om die volgende tabel te voltooi.
Kies 'n toepaslike skaal en stip die waardes van op die as en van op die as. Rond antwoorde af tot desimale plekke.
OPLOSSING
Stap 1: Vervang waardes vir
408
Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme.
Let op die golfvorm van die grafiek. Elke volledige golf neem om tevoltooi. Dit word die periode genoem. Die hoogte van die golf bo en onderdie as word die grafiek se amplitude genoem. Die maksimumwaarde
van is en die minimumwaarde is .
Gebied:
Terrein:
afsnitte: , ,
afsnit:
Maksimum draaipunt:
Minimum draaipunt:
Funksies van die vorm409
Funksies van die vorm
ONDERSOEK
DIE INVLOED VAN EN OP 'N SINUSGRAFIEK
In die vergelyking, , is en konstantes met verskillendeinvloede op die grafiek. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafiekevir :
1.
2.
3.
4.
5.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke vir :
1.
2.
3.
4.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
410
Die effek van
Die invloed van word 'n vertikale skuif genoem omdat die hele sinuskurwe op ofafskuif met eenhede.
Vir , skuif die grafiek vertikaal opwaarts met eenhede.
Vir , skuif die grafiek vertikaal afwaarts met eenhede.
Die effek van
Die waarde van beïnvloed die amplitude van die grafiek; die hoogte van die piekeen die diepte van die trôe.
Vir , is daar 'n vertikale strekking en die amplitude neem toe.
Vir , neem die amplitude af
Vir , is daar 'n refleksie rondom die -as.
Vir , is daar 'n refleksie rondom die as en die amplitudeverminder.
Vir , is daar 'n refleksie rondom die as en die amplitude wordgroter.
Let daarop dat amplitude altyd positief is.
Invloed van
: vertikale strekking,amplitude neem toe
: basiese sinusgrafiek
: vertikaleinkrimping, amplitude neem af
411
: refleksie rondomas van
: refleksie rondom -as van
Die invloed van op 'n sinusgrafiek.
Invloed van
: vertikale skuifopwaarts met eenhede
: basiese sinusgrafiek
: vertikale skuifafwaarts met eenhede
Die invloed van op 'n sinusgrafiek.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Funksies Sinusfunksies Die effek van a en q
Laai af
412
Ontdek die eienskappe
Gebied en terrein
Vir , is die gebied
Die terrein van is afhanklik van die waardes van en .
Vir :
Vir alle waardes van , is altyd tussen en .
Dus vir , is die terrein van gelyk aan
Soortgelyk, vir , is die terrein van gelyk aan
Periode
Die periode van is . Dit beteken dat 'n volledige sinuskurwein voltooi word.
413
Afsnitte
Die afsnit van is eenvoudig die waarde van by
Dit gee die punt
Belangrik wanneer jy trigonometriese grafieke teken, begin altyd met die basiesegrafiek en oorweeg dan die invloed van en .
UITGEWERKTE VOORBEELD 17: TEKEN 'N SINUSGRAFIEK
VRAAG
Teken die grafiek van vir .
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Van die vergelyking sien ons dat , dus is die grafiek vertikaalgestrek. Ons sien ook dat , dus is die grafiek vertikaal opwaartsgeskuif met eenhede.
414
Stap 2: Vervang waardes vir
Stap 3: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme.
Gebied:
Terrein:
afsnitte: geen
afsnitte:
Maksimum draaipunt:
Minimum draaipunt:
415
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Voorbeeld 17
Laai af
Cosinusfunksie
Funksies van die vorm
UITGEWERKTE VOORBEELD 18: TEKEN 'N COSINUSGRAFIEK
VRAAG
Gebruik jou sakrekenaar om die volgende tabel te voltooi.
Kies 'n toepaslike skaal en stip die waardes van op die as en opdie as. Rond jou antwoorde af tot desimale plekke.
OPLOSSING
Stap 1: Vervang waardes vir
416
Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme.
Let op die soortgelyke golfvorm van die grafiek. Die periode is ook
en die amplitude is . Die maksimumwaarde van is en dieminimumwaarde is .
Gebied:
Terrein:
afsnitte: ,
:
Maksimum draaipunte: ,
Minimum draaipunt:
Funksies van die vorm417
Funksies van die vorm
ONDERSOEK
DIE INVLOED VAN EN OP 'N COSINUSGRAFIEK
In die vergelyking, , is en konstantes met verskillendeinvloede op die grafiek
Op dieselfde assestelsel, stip die volgende grafieke vir :
1.
2.
3.
4.
5.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Op dieselfde assestelsel, stip die volgende grafieke vir :
1.
2.
3.
4.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
418
Die effek van
Die effek van word 'n opwaartse of afwaartse vertikale skuif genoem omdat die helecosinusgrafiek op of afskuif met eenhede.
Vir , skuif die grafiek vertikaal opwaarts met eenhede.
Vir , skuif die grafiek vertikaal afwaarts met eenhede.
Die effek van
Die waarde van beïnvloed die amplitude van die grafiek; die hoogte van die piekeen die diepte van die trôe.
Vir , is daar 'n vertikale strekking en die amplitude neem toe.
Vir , neem die amplitude af.
Vir , is daar 'n refleksie rondom die -as.
Vir , is daar 'n refleksie rondom die as en die amplitudeverminder.
Vir , is daar 'n refleksie rondom die as en die amplitude wordgroter.
Let daarop dat amplitude altyd positief is.
Invloed van
: vertikale strekking,amplitude neem toe
: basiese cosinusgrafiek
: amplitude neem af
419
: refleksie om die as, amplitude neem af
: refleksie om die -as,amplitude neem toe
Die invloed van op 'n cosinusgrafiek.
Invloed van
: vertikale skuifopwaarts met eenhede
: basiesecosinusgrafiek
: vertikale skuifafwaarts met eenhede
Die invloed van op 'n cosinusgrafiek.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Funksies Kosinusfunksies Die effek van a en q
Laai af
420
Ontdek die eienskappe
Gebied en terrein
Vir , is die gebied
Dit is maklik om te sien dat die terrein van dieselfde is as die terrein van
. Dit is omdat die maksimum en minimumwaardes van
dieselfde sal wees as die maksimum en minimumwaardes van .
Vir die terrein van is
Vir die terrein van is
Periode
Die periode van is . Dit beteken dat een cosinusgolf voltooiword in .
Afsnitte
Die afsnit van word op dieselfde manier bereken as virsinus.
421
Dit gee die punt .
UITGEWERKTE VOORBEELD 19: TEKEN 'N COSINUSGRAFIEK
VRAAG
Teken die grafiek van vir .
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Van die vergelyking sien ons dat , dus is die grafiek vertikaalgestrek. Ons sien ook dat , dus is die grafiek vertikaal opwaartsgeskuif met eenhede.
Stap 2: Vervang waardes vir
Stap 3: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme
422
Gebied:
Terrein:
afsnitte: geen
afsnit:
Maksimum draaipunte: ,
Minimum draaipunt:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Voorbeeld 19
Laai af
Vergelyking van die grafieke van en 423
Vergelyking van die grafieke van en
Let daarop dat die twee grafieke baie eenders lyk. Beide golwe beweeg op en af langsdie as. Die afstande tussen die pieke vir elke grafiek is dieselfde. Die hoogte vandie pieke en die diepte van die trôe is ook dieselfde.
As jy die hele cosinusgrafiek na regs skuif, sal dit perfek oorvleuel met diesinusgrafiek. As jy die sinusgrafiek na links skuif, sal dit perfek oorvleuel met diecosinusgrafiek. Dit beteken dat:
424
Tangensfunksie
Funksies van die vorm
UITGEWERKTE VOORBEELD 20: TEKEN DIETANGENSGRAFIEK
VRAAG
Gebruik jou sakrekenaar om die volgende tabel te voltooi.
Kies 'n toepaslike skaal en stip die waardes met op die as en opdie as. (Rond jou antwoorde af tot desimale plekke.)
OPLOSSING
Stap 1: Vervang waardes vir
ongedef
undef
425
Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme
Daar is 'n maklike manier om die tangensgrafiek te visualiseer. Beskouons definisies van en vir reghoekige driehoeke:
So vir enige waarde van :
Dus weet ons dat vir die waardes van waarvoor , moet onsook hê dat . Ook as , is die waarde van ongedefinieerd omdat ons nie kan deel met nie. Die vertikale stippellyneis die waardes van waar nie gedefinieër is nie en word asimptote
426
genoem.
Asimptote: die lyne en
Periode:
Gebied:
Terrein:
afsnitte: , ,
afsnit:
Funksies van die vorm
ONDERSOEK
DIE INVLOED VAN EN OP 'N TANGENSGRAFIEK
Op dieselfde assestelsel, stip die volgende grafieke vir :
1.
2.
3.
4.
427
5.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Op dieselfde assestelsel, stip die volgende grafieke vir :
1.
2.
3.
4.
Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.
Die effek van
Die invloed van word 'n vertikale skuif genoem omdat die hele tangensgrafiek eenhede op of afskuif.
Vir , skuif die grafiek vertikaal opwaarts met eenhede.
Vir , skuif die grafiek vertikaal afwaarts met eenhede.
Die effek van
Die waarde van affekteer die steilheid van elk van die takke van die grafiek. Hoegroter die waarde van , hoe vinniger sal die takke van die grafiek die asimptotebenader.
428
Die invloed van en op 'n tangensgrafiek.
429
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Funksies Tangens funksie Die effek van a en q
Laai af
Ontdek die eienskappe
Gebied en terrein
Van die grafiek sien ons dat ongedefinieerd is by en .
Dus is die gebied .
Die terrein is .
Periode
Die periode van is . Dit beteken dat een tangens siklusvoltooi word in .
Afsnitte
Die afsnit van is eenvoudig die waarde van by .
430
Dit gee die punt .
Asimptote
Die grafiek het asimptote by en .
UITGEWERKTE VOORBEELD 21: TEKEN 'N TANGENSGRAFIEK
VRAAG
Teken die grafiek van vir .
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking
Ons sien dat , dus sal die takke van die kromme steiler wees. Onssien ook dat , dus word die grafiek vertikaal opwaarts geskuif met eenheid.
Stap 2: Vervang waardes vir
– –
431
Stap 3: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme
Gebied:
Terrein:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Voorbeeld 21
Laai af
432
1.
2.
OEFENING 6.6.1
Die grafiek van die vorm: word gegee. Punt A is by
, en Punt B is by . Vind die waardes van en .
Die grafiek van die vorm: word gegee. Punt A is by
, en Punt B is by . Bepaal die waardes van en .
433
434
3.
4.
5.
Die grafiek hieronder toon 'n trigonometriese vergelyking van die vorm :
. Twee punte word op die grafiek getoon: Punt A is by
, en Punt B: . Bereken die waardes van (dieamplitude van die grafiek) en (die vertikale verskuiwing van die grafiek).
Die grafiek hieronder toon 'n trigonometriese vergelyking van die vorm :
. Twee punte word op die grafiek getoon: Punt A is by
, en Punt B: . Bereken die waardes van (dieamplitude van die grafiek) en (die vertikale verskuiwing van die grafiek).
Op die grafiek hieronder sien jy 'n tangenskromme van die volgende vorm:
. Twee punte word gemerk op die kromme: Punt A is
, en Punt B is .Bereken, of bepaal andersins, die waardes van en .
435
6.Die grafiek hieronder toon 'n tangensgrafiek met 'n vergelyking van die vorm
. Twee punte word gemerk op die kromme: Punt A is
, en Punt B is .Vind en .
436
7.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
437
a)
b)
c)
d)
8.Die grafiek toon funksies en
438
9.
10.
Wat is die vergelyking vir ?
Met behulp van die tabel hieronder, skets die drie funksies op dieselfdeassestelsel.
Met behulp van die tabel hieronder, skets die drie funksies op dieselfdeassestelsel.
439
a)
b)
11.Noem die koördinate by en die terrein van die funksie.
440
c)
d)
441
12.
a)
b)
c)
13.Maak gebruik van jou kennis van die effek van en en skets elkvan die volgende grafieke, sonder die gebruik van 'n tabel van
waardes, vir
Meld die koördinate by en die gebied en die terrein van die funksie in diegegewe interval.
442
d)
e)
f)
a)
14.Gee die vergelykings vir elk van die volgende grafieke:
443
b)
15.
16.
Vir watter waardes van in die gegewe interval is die funksie toenemend?
Vir watter waardes van in die gegewe interval is die funksie negatief ?
444
17.
18.Gegewe die volgende grafiek.
Vir watter waardes van in die gegewe interval is die funksie positief?
445
a)
b)
c)
d)
19.Gegewe die volgende grafiek.
Noem die koördinate by en .
Hoeveel keer in hierdie interval sal en mekaar sny?
Wat is die amplitude van ?
Bepaal: .
446
a)
b)
c)
d)
20.Gegewe die volgende grafiek:
Noem die koördinate by en .
Hoeveel keer in hierdie interval sal en mekaar sny?
Wat is die amplitude van ?
Evalueer: .
447
a)
b)
c)
d)
Noem die koördinate by en .
Hoeveel keer in hierdie interval sal en mekaar sny?
Wat is die amplitude van ?
Bepaal: .
448
6.7 Interpretasie van grafieke
UITGEWERKTE VOORBEELD 22: BEPAAL DIE VERGELYKINGVAN 'N PARABOOL
VRAAG
Gebruik die skets hieronder om die waardes te bepaal van en vir die
parabool van die vorm .
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die skets
Van die skets sien ons die vorm van 'n grafiek is 'n “frons”, dus .
Ons sien ook dat die grafiek vertikaal opwaarts geskuif is, dus .
449
Stap 2: Bepaal deur gebruik te maak van die -afsnit
Die afsnit is die punt .
Stap 3: Gebruik die ander gegewe punt om te bepaal
Stel die punt in die vergelyking:
Stap 4: Skryf die finale antwoord
en , dus die vergelyking van die parabool is
.
UITGEWERKTE VOORBEELD 23: BEPAAL DIE VERGELYKINGVAN 'N HIPERBOOL
VRAAG
Gebruik die skets hieronder om die waardes te bepaal van en vir die
hiperbool van die vorm .
450
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die skets
Die twee krommes van die hiperbool lê in die tweede en vierde kwadrante,dus . Ons sien ook dat die grafiek vertikaal opwaarts geskuif is, dus
.
Stap 2: Substitueer die gegewe punte in die vergelyking en los op
Substitueer die punt :
Substitueer die punt :
451
Stap 3: Los die gelyktydige vergelykings op deur substitusie te
gebruik
Stap 4: Skryf die finale antwoord
en , dus die vergelyking van die hiperbool is
.
UITGEWERKTE VOORBEELD 24: INTERPRETEER GRAFIEKE
VRAAG
Die grafieke van en word gegee. Bereken dievolgende:
1. koördinate van , , , 452
2. koördinate van
3. afstand
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die afsnitte
Om die afsnit van die parabool te bereken, stel :
Dit gee die punt .
Om die afsnit te bereken, stel :
453
Dit gee die punte en .
Om die afsnit van die reguitlyn te bereken, stel :
Dit gee die punt .
Stap 2: Bereken die snypunt
Die twee grafieke sny by , dus kan ons die twee uitdrukkings gelykstel:
By , , dus . Dit gee die punt
.
Stap 3: Bereken afstand
Afstand is eenhede.
454
Stap 4: Skryf die finale antwoord
1. koördinate van , , ,
2. koördinate van
3. afstand eenhede
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 6.7 Afstand grafiese toets
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 25: INTERPRETASIE VANTRIGONOMETRIESE GRAFIEKE
VRAAG
Gebruik die skets en bepaal die vergelyking van die trigonometriese funksie
met die vorm .
455
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die skets
Uit die skets sien ons dat die grafiek 'n sinusgrafiek is wat vertikaalopwaarts geskuif is. Die algemene vorm van die vergelyking is
.
Stap 2: Substitueer die gegewe punte in die vergelyking en los op
By , en :
By , en :
456
a)
b)
1.Teken die volgende funksies op dieselfde assestelsel en merk al diepunte waar die funksies sny.
OEFENING 6.7.1
Stap 3: Los die gelyktydige vergelykings op deur substitusie te
gebruik
Stap 4: Skryf die finale antwoord
en
en
457
c)
d)
a)
2.Bepaal die vergelykings van die grafieke hieronder.
en
en
458
b)
a)
b)
3.Kies die korrekte antwoord:
Die terrein van is:
a.
b.
c.
d.
Die terrein van is:
a.
459
c)
d)
b.
c.
d.
Die afsnit van is:
a.
b.
c.
d.
Watter van die volgende gaan deur ?
a.
b.
c.
d.
460
Hoofstuk opsommingKenmerke van funksies:
Die gegewe waarde staan bekend as die onafhanklike veranderlikeomdat die waarde daarvan vrylik gekies kan word. Die berekende -waarde staan bekend as die afhanklike veranderlike, omdat die waardedaarvan afhanklik is van die -waarde.
Die gebied van 'n funksie is die versameling van alle waardes waarvoordaar op die meeste een waarde bestaan volgens die funksievoorskrif.Die terrein is die versameling van alle waardes wat verkry kan worddeur ten minste een waarde te gebruik.
'n Asimptoot is 'n reguitlyn waarnatoe die grafiek van 'n funksie al nadersal kom, maar nooit sal raak nie.
Spesiale funksies en hulle eienskappe:
Lineêre funksies van die vorm .
Paraboliese funksies van die vorm .
Hiperboliese funksies van die vorm .
Eksponensiële funksies van die vorm .
Trigonometriese funksies van die vorm
461
a)
b)
1.Voltooi die volgende tabelle en identifiseer die funksie.
a)
b)
2.Stip die volgende punte op 'n grafiek.
a)
b)
3.Stel 'n tabel van waardes saam vir die gegewe funksie en skets dandie funksie. Jou tabel moet ten minste 5 geordende getallepare hê.
a)
4.Bepaal die afsnit en die afsnitte van die funksie.
HOOFSTUK 6: HERSIENINGSOEFENINGE
462
b)
5.
6.Kyk na die grafiek hieronder. Elke grafiek word aangedui met 'nletter. In die vrae wat volg, pas die gegewe vergelyking by die lettervan 'n ooreenstemmende grafiek.
Die grafiek hieronder toon 'n vergelyking van die vorm .Bereken, of vind andersins, die waardes van (die gradiënt van die lyn) en (die afsnit van die lyn).
463
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7.Meld of die volgende waar is of nie
464
a)
b)
c)
a)
b)
8.Skryf die volgende in standaardvorm:
a)
b)
c)
9.Skets die grafieke van die volgende:
a)
b)
10.Die funksie vir die hoeveelheid water wat 'n kraan lewer, word gegeedeur: , waar in sekondes en gemeet wordonderskeidelik.Gebruik hierdie inligting om die volgende te beantwoord:
Die afsnit van is .
Die gradiënt van is .
Die gradiënt van is .
Bereken .
Bereken .
465
c)
d)
11.Die grafiek hieronder toon die afstand afgelê deur 'n motor oor 'n
bestek van tyd, waar die afstand in en die tyd in minutegee.
a)
b)
c)
Gebruik hierdie inligting om die volgende te beantwoord:
Hoe lank sal dit vat om 'n bottel vol water te maak?
Hoeveel water kan die kraan lewer in ?
Watter afstand het die motor afgelê in 'n uur?
Wat is die gebied van die funksie?
Wat is die terrein van die funksie? Wat verteenwoordig dit?
466
12.
a)
b)
13.Gegewe die volgende vergelyking:
Op die gegewe grafiek sien jy 'n funksie van die vorm: . Tweepunte op die parabool word getoon: Punt A, die draaipunt van die parabool, is
by , en Punt B is by . Bereken die waardes van en .
Bereken die koördinaat van die -afsnit.
Bereken nou die afsnitte. Jy antwoord moet korrek wees tot 2desimale plekke.
467
14.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
a)
b)
c)
468
d)
15.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
a)
b)
c)
a)
16.Skets die volgende funksies:
469
b)
c)
17.Sebastian en Lucas duik in 'n poel water in van verskillende hoogtesaf. Hulle paaie deur die lug kan beskryf word deur die volgende
kwadratiese vergelykings: vir Sebastian en
vir Lucas.
a)Van watter hoogte af het Sebastian geduik?
470
b)
c)
d)
18.
19.Gegewe die volgende vergelyking:
Van watter hoogte af het Lucas geduik?
Hoe ver van die poel se kant af het Lucas geland?
Hoeveel nader aan die kant van die poel het Sebastian geland?
Die volgende grafiek toon 'n hiperboliese vergelyking van die vorm
. Punt A word getoon by . Bereken die waardes van en .
471
a)
b)
20.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
a)
b)
Bepaal die posisie van die -afsnit.
Bepaal die posisie van die -afsnit.
472
c)
d)
a)
b)
c)
21.Skets die volgende funksies en identifiseer die asimptote:
a)
b)
c)
d)
22.Skets die gegewe funksies en beskryf die transformasie gebruik omdie tweede funksie te verkry. Toon alle asimptote.
en
en
en
en
473
a)
b)
23.Gegewe die volgende vergelyking:
a)
b)
c)
24.Skets die volgende funksies en identifiseer die asimptote:
25.
Bereken die afsnit. Jou antwoord moet korrek wees tot 2 desimaleplekke.
Bereken nou die afsnit. Benader jou antwoord tot een desimaleplek waar nodig.
Die vorm van die gegewe kromme is . Een punt op die
kromme is gegee: Punt A is by . Vind die waardes van en , korrek tot die naaste heelgetal.
474
26.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
475
a)
b)
c)
d)
a)
27.Gebruik die funksies
om die waarde van die volgende te vind:
476
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
28.Bepaal of die volgende bewerings waar of onwaar is. As die beweringonwaar is, gee redes waarom.
Die gegewe of gekose waarde staan bekend as die onafhanklikeveranderlike.
'n Grafiek is kontinu as daar onderbrekings in die grafiek is.
Funksies van die vorm is reguitlyne.
Funksies van die vorm is eksponensiële funksies.
'n Asimptoot is 'n reguitlyn wat 'n grafiek ten minste eenmaal sal sny.
477
f)
a)
b)
c)
d)
29.
Gegee die funksies en .
30.
31.Mark het muntstukke in en munte. Hy het meer
munte as munte. Hy stel 'n stelsel van vergelykings opom die situasie voor te stel, waar die aantal munte voorstel,
Gegee 'n funksie van die vorm . Om die afsnit te kry,stel en los op vir .
Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel.
Bereken die snypunte van en .
Gebruik jou grafieke en die snypunte om vir op te los wanneer:
a.
b.
c.
Gee die vergelyking van die refleksie van in die -as.
As 'n bal laat val word, neem die hoogte wat die bal terugbons af met elke
bons. Die vergelyking toon die verband tussen die aantalterugbonse en die hoogte van die bons vir 'n sekere bal. Wat is diebenaderde hoogte van die vyfde bons van hierdie bal tot die naaste tiendevan 'n eenheid?
478
a)
b)
c)
terwyl die aantal munte voorstel. Toe los hy die vergelykingsop met behulp van grafieke.
32.
33.
Skryf die stelsel van vergelykings neer.
Trek die grafieke op dieselfde assestelsel.
Gebruik jou sketse en bepaal hoeveel en stukke Markhet.
Die volgende grafiek toon 'n funksie van die vorm: waar
Punt A is by , en Punt B is by . Bepaal die waardesvan en .
Die grafiek hieronder toon 'n trigonometriese vergelyking van die vorm :
. Twee punte word op die grafiek getoon: Punt A is by
, en Punt B is by . Bereken die waardes van (dieamplitude van die grafiek) en (die vertikale verskuiwing van die grafiek).
479
34.Op die grafiek hieronder sien jy 'n tangenskromme van die volgende vorm:
. Twee punte word gemerk op die kromme: Punt A is by
, en Punt B is by .Bereken, of bepaal andersins, die waardes van en .
480
35.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:
481
a)
b)
c)
d)
36.Die grafiek toon funksies en 482
37.
38.
Wat is die vergelyking vir
Met behulp van die tabel hieronder, skets die drie funksies op dieselfdeassestelsel.
Met behulp van die tabel hieronder, skets die drie funksies op dieselfdeassestelsel.
483
a)
b)
c)
d)
e)
39.Skets die grafieke van die volgende trigonometriese funksies vir
. Toon die afsnitte en asimptote.
40.Noem die koördinate by en die terrein van die funksie.
484
a)
485
b)
41.Meld die koördinate by en die gebied en die terrein van die funksie in diegegewe interval.
486
42.Vir watter waardes van neem die funksie af in die gegewe interval?
487
43.Vir watter waardes van is die funksie toenemend in die gegewe interval?
488
44.
45.
Gegee die algemene vergelykings , ,
, , ,
en , bepaal die spesifiekevergelykings vir elk van die volgende grafieke.
Vir watter waardes van is die funksie positief in die gegewe interval?
489
a)
b)
490
c)
d)
491
e)
f)
492
g)
493
a)
b)
c)
d)
46.
Noem die koördinate by en .
Hoeveel keer in hierdie interval sal en mekaar sny?
Wat is die amplitude van ?
Bereken: .
494
a)
b)
c)
d)
47.
Noem die koördinate by en .
Hoeveel keer in hierdie interval sal en mekaar sny?
Wat is die amplitude van ?
Evalueer: .495
48.
en is hieronder geskets. Beantwoord dievolgende vrae.
a)
b)
c)
d)
e)
49.Teken die volgende funksies op dieselfde assestelsel en merk al diesnypunte duidelik.
Bereken die koördinate van en .
Bereken die lengte van .
Bereken die lengte van as .
Gee die vergelyking van gereflekteer rondom die -as.
Gee die terrein van beide grafieke.
496
a)
b)
50.
en is hieronder geskets. Die
punte en word gegee. Beantwoord die volgendevrae.
a)
b)
c)
Bepaal die waarde van .
Bereken die lengte van .
Gee die vergelyking van gereflekteer rondom die -as.
497
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
51.
Gegee en . Beantwoord dievrae wat volg.
52.
Gee die vergelyking van vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.
Gee die vergelyking van die asimptote van .
Gee die terrein van en .
Skets beide grafieke op dieselfde assestelsel.
Beskryf die verband tussen en .
Gee die vergelyking van gereflekteer in die lyn .
Gee die gebied en terrein van .
Skets die grafieke van en op dieselfdeassestelsel. Gebruik jou skets om die volgende te bepaal:
a.
b.
c.
d. Die gebied en terrein van .
e. Die amplitude en periode van .498
53.
Die grafieke van en word getoon in die volgendediagram.
a)
b)
c)
d)
Bereken:
54.
Gegee die diagram met en .
Die koördinate van punte en .
Die lengte van .
Die lengte van .
Die lengte van , gegewe .
499
a)
b)
c)
d)
55.
Die diagram toon die grafiek van en
Bereken die koördinate van , en .
Beskryf in woorde wat gebeur by die punt .
Bereken die koördinate van .
Bereken die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punte en gaan.
500
a)
b)
c)
Gee die gebied van .
Wat is die amplitude van ?
Bepaal vir watter waardes van :
a.
b.
c.
d. neem toe
501
a)
56.Bepaal die vergelykings van die grafieke hieronder.
502
b)
a)
b)
57.Kies die korrekte antwoord:Watter van die volgende het nie 'n gradiënt van 3 nie?
a.
b.
c.
d.
Die asimptoot van is:
a.
b. 503
a)
b)
c)
58.Skets die volgende
c.
d.
504
HOOFSTUK 7: EUKLIDIESE MEETKUNDE
InleidingMeetkunde of Geometrie (vanaf Grieks “geo” = aarde en “metria” = meting) hetontstaan as die veld van kennis wat ruimtelike verwantskappe hanteer. Meetkundigekennis kan op verskillende maniere ondersoek en gebruik word, onder andere asEuklidiese meetkunde of as analitiese meetkunde. Analitiese meetkunde hanteerruimte en vorm met behulp van algebra en 'n koördinaatstelsel. Euklidiese meetkundehanteer ruimte en vorm met 'n sisteem van logiese afleidings.
Eukildiese meetkunde is eerste aangewend in landmeting en dit word vandag noguitgebreid gebruik vir die opmeting van grond. Eukilidiese meetkunde word ookgebruik in argitektuur en die ontwerp van nuwe geboue. Ander gebruike vanEuklidiese meetkunde is in kuns en om die beste ruimtelike verpakking van verskeievoorwerpe te bepaal.
'n Klein stukkie van die oorspronklike kopie van Euklides se Elemente. Euklidies word beskou as
die vader van moderne meetkunde. Euklides se Elemente is vir baie jare gebruik as die
standaardwerk vir meetkunde.
505
HET JY GEWEET?
In Eukildiese meetkunde gebruik ons twee fundamentele tipes meting: diemeting van hoeke en van afstande.
506
7.1 Hoeke'n Hoek word gevorm wanneer twee reguitlyne ontmoet by 'n punt, ook genoem die
hoekpunt. Hoeke word aangedui met 'n kappie op 'n letter, byvoorbeeld, . Hoekekan ook benoem word volgens die lynsegmente wat die hoek vorm, byvoorbeeld
of . Die simbool is 'n kort metode om 'n hoek te skryf in meetkunde
en dit word dikwels gebruik in frases soos " e van ”. Hoeke word gemeet in gradewat aangedui word deur , 'n klein sirkeltjie regs bokant die syfer, soortgelyk aan 'neksponent.
Eienskappe en notasie
In die diagram hieronder sny twee reguitlyne in 'n punt en vier hoeke word gevorm: ,
, en .
507
Die volgende tabel som die verskillende tipes hoeke op, met voorbeelde uit die figuurhierbo.
Term Eienskap Voorbeelde
Skerphoek ;
Regte hoek Hoek
Stomphoek ;
Reguitlyn Hoek ;
Reflekse hoek
Aangrensendehoeke
Hoeke wat 'n hoekpunt en 'n gemeenskaplikesy deel. en ; en
Regoorstaandehoeke
Hoeke regoor mekaar wanneer twee lyne sny.Hulle deel 'n hoekpunt en is ewe groot. ;
Supplementêrehoeke Twee hoeke wat saam is ;
Komplementêrehoeke Twee hoeke wat saam is
Omwenteling Die som van alle hoeke rondom 'n punt.
Let op dat aangrensende hoeke op 'n reguitlyn supplementêr is.
508
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.1 Euklidiese meetkunde Hoeke eienskappe en notasie
Laai af
Ewewydige lyne en snydende lyne
Twee lyne sny as hulle mekaar by 'n punt kruis. Byvoorbeeld, by 'n verkeerskruisingkruis twee of meer strate en die middel van die kruising is die gemeenskaplike punttussen die strate.
Ewewydige lyne is altyd dieselfde afstand van mekaar en hulle word aangedui metpyltjiesimbole soos hieronder aangedui.
In skryfwerk gebruik ons twee vertikale strepies om aan te dui dat twee lyne ewewydigis:
'n Snydende lyn sny twee of meer ewewydig lyne mekaar sny. In die diagram
hieronder, en is 'n snydende lyn.509
Die eienskappe van die hoeke wat gevorm word deur hierdie snydende lyne, wordopgesom in die volgende tabel:
Naam van hoek Definisie Voorbeelde Notas
Binnehoeke Hoeke wat tussen ewewydigelyne lê
, , en isbinnehoeke.
Binnebeteken'ingeslotetussen'.
Buitehoeke Hoeke wat buite dieewewydige lyne lê.
, , en isbuitehoeke.
Buitebeteken'aan diebuitekantvan'.
Ooreenkomstigehoeke
Hoeke aan dieselfde kante vandie lyne en aan dieselfde kantvan die snylyn. As die lyneewewydig is, sal dieooreenstemmende hoeke ewegroot wees.
en , en , en , en is pareooreenstemmendehoeke. ,
, en .
Hoeke wat tussen die lyne lê en , en is
510
Ko-binnehoekeen aan dieselfde kant van diesnylyn. As die lyne ewewydigis, is die hoeke supplementêr.
pare van kobinnehoeke.
, .
Verwisselendebinnehoeke
Binnehoeke wat binne die lynelê en aan teenoorgesteldekante van die snylyn. As dielyne ewewydig is, sal dieverwisselende binnehoeke ewegroot wees.
en , en ispare verwisselendebinnehoeke. ,
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.1 Euklidiese meetkunde Tipe hoeke
Laai af
As twee lyne gesny word deur 'n snylyn sodat:
ooreenstemmende hoeke ewe groot is; of
verwisselende binnehoeke ewe groot is; of
kobinnehoeke aan dieselfde kant van die snylyn supplementêr is,
dan is die twee lyne ewewydig.
LET WEL
Wanneer ons verwys na lyne, kan ons of skryf , bedoelende die lyn deur
punte en , of , bedoelende die lyn segment van punt tot punt .
511
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: VIND HOEKE
VRAAG
Vind al die onbekende hoeke. Is ? Verduidelik jou antwoord.
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik die eienskappe van ewewydige lyne om alle gelyke
hoeke op die diagram te vind
Teken die diagram oor en merk al die gelyke hoeke.
512
1.
OEFENING 7.1.1
Stap 2: Bepaal die onbekende hoeke
Stap 3: Bepaal of
As dan sal gelyk wees aan ooreenstemmende hoek ,
maar en . Dus is nie ewewydig aan nie.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.1 Voorbeeld 1
Laai af
Gebruik aangrensende, ooreenstemmende, kobinnehoeke en verwisselendebinnehoeke om al die hoeke in die diagram met letters te bereken:
513
2.Vind al die onbekende hoeke in die figuur:
514
3.Vind die waarde van in die figuur:
515
4.Gegee die diagram hieronder:
a)
b)
Vind elk van die onbekende hoeke gemerk in die figuur hieronder.Vind 'n rede wat tot die antwoord sal lei in een enkele stap.
Gebaseer op die resultate vir die hoeke hierbo, is ?
516
5.Gegee die diagram hieronder:
a)
b)
a)
6.Bepaal of die pare lyne in die volgende figure ewewydig is:
Vind elk van die onbekende hoeke gemerk in die figuur hieronder.Vind 'n rede wat tot die antwoord sal lei in een enkele stap.
Gebaseer op die resultate vir die hoeke hierbo, is ?
517
b)
c)
7.As ewewydig is aan en ewewydig is aan , verduidelikwaarom ewewydig moet wees aan .
518
7.2 Driehoeke
Klassifikasie van driehoeke
'n Driehoek is 'n driekantige veelhoek. Driehoeke kan geklassifiseer word volgens sye:gelyksydig, gelykbenig en ongelyksydig. Driehoeke kan ook geklassifiseer wordvolgens hoeke: skerphoekig, stomphoekig en reghoekig.
Ons gebruik die notasie om te verwys na 'n driehoek met hoekpunte , en .
Naam Diagram Eienskappe
Ongelyksydig Al die sye en hoeke is verskillend.
Gelykbenig Twee sye is ewe lank. Die hoeke teenoorgelyke sye is ook ewe groot.
519
Gelyksydig Al drie sye is ewe lank en al drie hoeke is ewegroot.
Skerphoekig Elk van die drie binnehoeke is kleiner as .
Stomphoekig Een binnehoek is groter as .
Reghoekig Een binnehoek is .
Verskillende kombinasies van hierdie eienskappe is ook moontlik. Byvoorbeeld, 'nstomphoekige gelykbenige driehoek en 'n reghoekige gelykbenige driehoek wordhieronder getoon.
520
ONDERSOEK
BINNEHOEKE VAN 'N DRIEHOEK
1. Trek 'n driehoek van enige grootte en vorm op 'n stuk papier.
2. Sny dit uit en benoem die hoeke , en op beide kante van diepapier.
3. Trek stippellyne soos getoon en sny langs die lyne om drie stukkiespapier te kry.
4. Plaas hulle langs jou liniaal soos getoon in die figuur hieronder.
5. Tot watter gevolgtrekking kan ons kom?
Wenk: Wat is die som van die hoeke op 'n reguitlyn?
521
ONDERSOEK
BUITEHOEKE VAN 'N DRIEHOEK
1. Trek 'n driehoek van enige grootte en vorm op 'n stuk papier. Maak 'nkopie van die driehoek op 'n ander stuk papier.
2. Sny beide uit en benoem die hoeke van beide driehoeke , en aanbeide kante van die papier.
3. Trek stippellyne op een driehoek soos getoon en sny langs die lyne.
4. Plaas die tweede driehoek en die uitgesnyde stukkies soos getoon in die522
figuur hieronder.
5. Tot watter gevolgtrekking kan ons kom?
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Buite hoek van driehoek
Laai af
Kongruensie
Twee driehoeke is kongruent as die een presies op die ander een pas. Dit beteken diedriehoeke het hoeke en sye wat ooreenstemmend ewe groot is. Om te bepaal of dietwee driehoeke kongruent is, is dit nodig om elke sy en elke hoek te kontroleer. Onsdui kongruensie aan met .
523
Die volgende tabel beskryf die voorwaardes vir kongruensie:
Reël Beskrywing Diagram
SkS
(,skuinssy, sy)
As die skuinssy en een ander sy van 'n reghoekigedriehoek ooreenstemmend gelyk is aan die skuinssyen 'n nog 'n sy van 'n ander reghoekige driehoek,dan is die twee driehoeke kongruent.
SSS
(sy,sy,sy)
As drie sye van 'n driehoek ooreenstemmend net solank is as die sye van 'n ander driehoek, dan is dietwee driehoeke kongruent.
SHS of S S
(sy,hoek,sy)
As twee sye en die ingeslote hoek van 'n driehoekooreenstemmend gelyk is aan twee sye en dieingeslote hoek van 'n ander driehoek, dan is dietwee driehoeke kongruent.
HHS of S
(hoek,hoek,sy)
As een sy en twee hoeke van 'n driehoekooreenstemmend gelyk is aan een sy en tweehoeke van 'n ander driehoek, dan is die tweedriehoeke kongruent.
Die volgorde van die letters wanneer ons kongruente driehoeke benoem, is baiebelangrik.
Hierdie notasie dui die volgende eienskappe van twee driehoeke aan ,
, , , en .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Euklidiese meetkunde Kongruente driehoeke
Laai af
LET WEL
Jy mag sien wat gebruik word om te wys dat twee driehoeke kongruent is. Ditis die internasionaal erkende simbool vir kongruensie.
524
Gelykvormigheid
Twee driehoeke is gelykvormig as een driehoek 'n groter of kleiner, opskaalweergawe van die ander een is. Dit beteken dat hulle ooreenstemmende hoeke ewegroot is en dat die verhouding van hulle ooreenstemmende sye eweredig is. Die tweedriehoeke het dieselfde vorm, maar verskillende groottes. Kongruente driehoeke isgelykvormige driehoeke, maar nie alle gelykvormige driehoeke is kongruent nie. Ons
gebruik om aan te dui dat twee driehoeke gelykvormig is.
Die volgende tabelle beskryf die vereistes vir gelykvormigheid:
Reël Beskrywing Diagram
HHH
(hoek,hoek,hoek)
As al drie pare hoeke van tweeooreenstemmende driehoeke gelyk is,dan is die driehoeke gelykvormig. , ,
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Euklidiese meetkunde Gelykvormigheid hoek hoek hoek
Laai af
525
Reël Beskrywing Diagram
SSS
(sy,sy,sy)
As al drie pare sye van tweeooreenstemmende driehoeke eweredig is, danis die twee driehoeke gelykvormig.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Euklidiese meetkunde Gelykvormigheid sye in gelyke verhouding
Laai af
Die volgorde van letters vir gelykvormige driehoeke is baie belangrik. Benoem altydgelykvormige driehoeke in ooreenstemmende volgorde. Byvoorbeeld:
LET WEL
Jy mag sien wat gebruik word om te toon dat twee driehoeke gelykvormig is.Dit is die internasionaal erkende simbool vir gelykvormigheid.
526
Die stelling van Pythagoras
As 'n reghoekige driehoek is met , dan .
Omgekeerde: As , dan is reghoekig met .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Euklidiese meetkunde Pythagoras se stelling
Laai af
527
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: DRIEHOEKE
VRAAG
Bepaal of die twee driehoeke kongruent is. Gebruik die resultaat om , en te vind.
OPLOSSING
Stap 1: Ondersoek die inligting wat gegee is vir beide driehoeke
Stap 2: Bepaal of
In :
528
1.Bereken die onbekende veranderlikes in elk van die volgende figure.
OEFENING 7.2.1
In en :
Stap 3: Bepaal die onbekende hoeke en sye
In :
In :
529
a)
b)
c)
530
d)
e)
531
f)
g)
532
2.
3.
Gegee die volgende diagramme: Diagram A
Diagram B
Watter diagram gee 'n paar driehoeke wat gelykvormig is?
Gegee die volgende diagramme: Diagram A
Diagram B
533
4.
5.
6.Meld of die volgende pare driehoeke kongruent is of nie. Gee redesvir jou antwoorde. As daar nie genoeg inligting is om 'n besluit teneem nie, verduidelik hoekom.
Watter diagram gee 'n paar driehoeke wat gelykvormig is?
Beskou die volgende driehoeke, wat op skaal geteken is:
Is die twee driehoeke kongruent? Indien wel, gee die rede en gebruik diekorrekte notasie om kongruensie aan te dui.
Beskou die volgende driehoeke, wat op skaal geteken is:
Is die twee driehoeke kongruent? Indien wel, gee die rede en gebruik diekorrekte notasie om kongruensie aan te dui.
534
a)
b)
535
c)
d)
536
e)
537
7.3 Vierhoeke
DEFINISIE
Vierhoek
'n Vierhoek is 'n geslote vorm wat bestaan uit vier reguitlyn segmente.
LET WEL
Die binnehoeke van 'n vierhoek is saam °.
Parallelogram
DEFINISIE
Parallelogram
'n Parallelogram is vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig.
538
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: EIENSKAPPE VAN 'NPARALLELOGRAM
VRAAG
is 'n parallelogram met en . Toon dat:
1. en
2. en
OPLOSSING
Stap 1: Verbind om en te vorm
Teken die diagram oor en trek lyn .
Stap 2: Gebruik eienskappe van ewewydige lyne om alle hoeke in die
diagram wat ewe groot is, aan te dui
Merk alle ewe groot hoeke op jou diagram.
Stap 3: Bewys
In en :
539
Teenoorstaande sye van 'n parallelogram is ewe lank.
Ons het alreeds en getoon. Dus,
Verder,
Dus teenoorstaande hoeke van 'n parallelogram is gelyk.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Voorbeeld 3
Laai af
Opsomming van die eienskappe van 'n parallelogram:
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne halveer mekaar.
540
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Parallelogram
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: BEWYS 'N VIERHOEK IS 'NPARALLELOGRAM
VRAAG
Bewys dat as beide pare teenoorstaande hoeke in 'n vierhoek gelyk is, is dievierhoek 'n parallelogram.
OPLOSSING
Stap 1: Vind die verwantskap tussen en 541
In :
Maar, hierdie is kobinnehoeke tussen lyne en . Dus
.
Stap 2: Vind ewewydige lyne
. Hierdie is kobinnehoeke tussen lyne en .
Dus .
Beide pare teenoorstaande sye van 'n vierhoek is ewewydig, dus is 'n parallelogram.
ONDERSOEK
BEWYS 'N VIERHOEK IS 'N PARALLELOGRAM
1. Bewys dat as beide pare teenoorstaande sye van 'n vierhoek gelyk is,dan is die vierhoek 'n parallelogram.
2. Bewys dat as die hoeklyne van 'n vierhoek mekaar halveer, dan is die
542
1.
is 'n parallelogram. en .
en .
a)
OEFENING 7.3.1
vierhoek 'n parallelogram.
3. Bewys dat as een paar teenoorstaande sye van 'n vierhoek gelyk enewewydig is, dan is die vierhoek 'n parallelogram.
'n Vierhoek is 'n parallelogram as:
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye gelyk is.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Die hoeklyne of diagonale mekaar halveer.
Een paar teenoorstaande sye beide gelyk en ewewydig is.
Vind, met redes, twee ander hoeke gelyk aan .
543
b)
c)
2.
Skryf in terme van .
Bereken die waarde van .
Bewys dat die hoeklyne van parallelogram mekaar halveer by .
Wenk: Gebruik kongruensie.
Reghoek
DEFINISIE
Reghoek
'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke gelyk aan .
'n Reghoek het al die eienskappe van 'n parallelogram:
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
544
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne halveer mekaar.
Dit het ook die volgende spesiale eienskap:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Reghoek
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: SPESIALE EIENSKAP VAN 'NREGHOEK
VRAAG
is 'n reghoek. Bewys dat die hoeklyne ewe lank is.
OPLOSSING
Stap 1: Verbind met en met om en te
vorm
Stap 2: Gebruik die definisie van 'n reghoek om op die diagram alle
gelyke hoeke en sye in te vul.545
Stap 3: Bewys
In en :
Die hoeklyne van 'n reghoek is ewe lank.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Voorbeeld 5
Laai af
Opsomming van die eienskappe van 'n reghoek:
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne halveer mekaar.
Hoeklyne is ewe lank.
Alle binnehoeke is gelyk aan
546
1. is vierhoek. Hoeklyne en sny by .
, , . Bewys dat:
a)
b)
OEFENING 7.3.2
'n parallelogram is
'n reghoek is
Rombus of ruit
DEFINISIE
Rombus of ruit
'n Rombus of ruit is 'n parallelogram waarvan al vier sye ewe lank is.
547
'n Ruit het al die eienskappe van 'n parallelogram:
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne halveer mekaar.
Dit het ook twee spesiale eienskappe:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Ruit
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: SPESIALE EIENSKAPPE VAN'N RUIT
VRAAG
is ruit. Bewys dat:
1. die hoeklyne mekaar loodreg halveer;
2. die hoeklyne die binnehoeke halveer.
548
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik die definisie van 'n ruit om op die diagram alle gelyke
hoeke en sye in te vul
Stap 2: Bewys
Ons kan verder tot die gevolgtrekking kom dat
.
Dus halveer die hoeklyne mekaar loodreg.
Stap 3: Gebruik eienskappe van kongruente driehoeke om te bewys
die hoeklyne die binnehoeke halveer
549
Dus hoeklyn halveer . Net so, kan ons toon dat halveer ook
; en dat hoeklyne halveer en .
Ons kom tot die gevolgtrekking dat die hoeklyne van 'n ruit die binnehoekehalveer.
Om te bewys 'n parallelogram is 'n ruit, moet ons een van die volgende aantoon:
Alle sye is ewe lank.
Hoeklyne sny mekaar reghoekig.
Hoeklyne halveer die binnehoeke.
Opsomming van die eienskappe van 'n ruit:
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne halveer mekaar.
Alle sye is ewe lank.
Die hoeklyne halveer mekaar loodreg
Die hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande hoeke.
550
Vierkant
DEFINISIE
Vierkant
'n Vierkant is 'n ruit met al vier binnehoeke gelyk aan
OF
'n Vierkant is 'n reghoek met al vier sye ewe lank.
'n Vierkant het al die eienskappe van 'n ruit:
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne halveer mekaar.
Alle sye is ewe lank.
Die hoeklyne halveer mekaar loodreg 551
Die hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande hoeke.
Dit het ook die volgende eienskappe:
Alle binnehoeke is gelyk aan
Hoeklyne is ewe lank.
Hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande binnehoeke (d.w.s. almal is )
Om te bewys 'n parallelogram is 'n vierkant, moet ons een van die volgende toon:
Dit is 'n ruit (al vier sye ewe lank) met binnehoeke gelyk aan .
Dit is 'n reghoek (binnehoeke gelyk aan ).
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Vierkant
Laai af
552
Trapesium
DEFINISIE
Trapesium
'n Trapesium is 'n vierhoek met een paar teenoorstaande sye ewewydig.
LET WEL
'n Trapesium word soms 'n trapesoïde genoem.
Sommige voorbeeld van trapesiums word hieronder gegee:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Trapesium
Laai af
Vlieër553
Vlieër
DEFINISIE
Vlieër
'n Vlieër is 'n vierhoek met twee pare aangrensende sye gelyk.
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: EIENSKAPPE VAN 'N VLIEËR
VRAAG
is 'n vlieër met en . Bewys dat:
1.
2. Hoeklyn halveer en
554
OPLOSSING
Stap 1: Bewys
In en :
Dus is een paar teenoorstaande hoeke gelyk in 'n vlieër .
Stap 2: Gebruik eienskappe van kongruente driehoeke om te bewys
halveer en
Dus halveer hoeklyn en .
Ons kom tot die gevolgtrekking dat die hoeklyn tussen die gelyke sye van'n vlieër die twee binnehoeke halveer en 'n as van simmetrie is.
555
1.
OEFENING 7.3.3
Opsomming van die eienskappe van 'n vlieër:
Hoeklyn tussen gelyke sye halveer die ander hoeklyn.
Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk (die hoeke tussen ongelyke sye)
Hoeklyn tussen gelyke sye halveer die binnehoeke en is 'n as van simmetrie.
Hoeklyne sny mekaar loodreg
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Vlieër
Laai af
Gebruik die skets van vierhoek om te bewys die hoeklyne van 'nvlieër is loodreg op mekaar.
556
2.Verduidelik waarom vierhoek 'n vlieër is. Skryf al die eienskappeneer van vierhoek .
ONDERSOEK
VERWANTSKAPPE TUSSEN DIE VERSKILLENDE VIERHOEKE
Heather trek die volgende diagram ter illustrasie van haar begrip van dieverwantskappe tussen die verskillende vierhoeke. Die volgende diagram somdie verskillende tipes spesiale vierhoeke op.
557
1. Verduidelik hoe sy moontlik geredeneer het om die diagram testruktureer soos getoon.
2. Ontwerp jou eie diagram om die verwantskappe tussen die verskillendevierhoeke te wys en skryf 'n kort verduideliking van jou ontwerp.
558
1.
2.
3.
OEFENING 7.3.4
Die volgende vorm is op skaal geteken:
Gee die mees spesifieke naam vir die vorm.
Die volgende vorm is op skaal geteken:
Gee die mees spesifieke naam vir die vorm.
Gebaseer op die vorm wat jy sien, maak 'n lys van al die name van die vorm.Die figuur is op skaal geteken.
559
4.
5.
Gebaseer op die vorm wat jy sien, maak 'n lys van al die name van die vorm.Die figuur is op skaal geteken.
Gebaseer op die vorm wat jy sien, maak 'n lys van al die name van die vorm.Die figuur is op skaal geteken.
560
6.Vind die oppervlakte van as
561
7.4 Die middelpuntstelling
ONDERSOEK
BEWYS DIE MIDDELPUNTSTELLING
1. Trek 'n groot ongelyksydige driehoek op 'n vel papier.
2. Benoem die hoekpunte , en . Vind die middelpunte ( en )van twee sye en verbind hulle.
3. Sny uit en sny langs lyn .
4. Plaas op vierhoek met hoekpunt op hoekpunt . Skryf jou waarnemings neer.
5. Skuif om hoekpunt op hoekpunt te plaas. Skryf jouwaarnemings neer.
6. Wat let jy op in verband met die lengtes van en ?
7. Formuleer 'n vermoede aangaande die lyn wat die middelpunte van tweesye van 'n driehoek verbind.
562
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 7.4 Euklidiese meetkunde Die Middelpuntstelling
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: MIDDELPUNTSTELLING
VRAAG
Bewys dat die lyn wat die middelpunte van twee sye van 'n driehoek verbind,ewewydig is aan die derde sy en gelyk is aan die helfte van die lengte van diederde sy.
OPLOSSING
Stap 1: Verleng na sodat en verbind
563
Stap 2: Bewys is 'n parallelogram
In en :
Maar hierdie is verwisselende binnehoeke, dus
Dus .
Ons kom tot die gevolgtrekking dat die lyn wat die middelpunte van tweesye van 'n driehoek verbind, ewewydig is aan die derde sy.
Stap 3: Gebruik die eienskappe van 'n parallelogram om te
bewys dat 564
1.
OEFENING 7.4.1
Ons kom tot die gevolgtrekking dat die lyn wat die middelpunte van tweesye van 'n driehoek verbind, gelyk is aan die helfte van die lengte van diederde sy.
Omgekeerde
Die omgekeerde van hierdie stelling sê: As 'n lyn getrek word deur die middelpunt van'n sy van 'n driehoek ewewydig aan die tweede sy, sal dit die derde sy halveer.
Punte en is die middelpunte van lyne en . Bestudeer
noukeurig. Identifiseer die derde sy van hierdie driehoek, gebruikdie inligting soos gegee, tesame met dit wat jy weet van diemiddelpuntstelling. Benoem die derde sy volgens sy eindpunte, bv. .
565
2.
3.
4.
Punte en is die middelpunte van lyne en . Bestudeer
noukeurig. Identifiseer die derde sy van hierdie driehoek, gebruikdie inligting soos gegee, tesame met dit wat jy weet van diemiddelpuntstelling. Benoem die derde sy volgens sy eindpunte, bv. .
Punte en op die lyne en word gegee. Bestudeer diedriehoek noukeurig, identifiseer en benoem die ewewydige lyne.
Punte en op die lyne en word gegee. Bestudeer diedriehoek noukeurig, identifiseer en benoem die ewewydige lyne.
566
5.Die figuur toon 'n groot driehoek met hoekpunte , en , en 'nkleiner driehoek met hoekpunte by , en . Punt is diemiddelpunt van en punt is die middelpunt van .
a)
b)
6.Die figuur toon 'n groot driehoek met hoekpunte , en , en 'n
Drie hoeke word gegee: , en ;
bepaal die waarde van .
Die twee driehoeke in hierdie vraag is gelykvormige driehoeke.Voltooi die volgende stelling korrek deur die drie hoekpunte in dieregte volgorde te skryf (daar is slegs een korrekte antwoord).
567
kleiner driehoek met hoekpunte by , en . Punt is diemiddelpunt van en punt is die middelpunt van .
a)
b)
7.
Drie hoeke word gegee: , , en ;
bepaal die waarde van .
Die twee driehoeke in hierdie vraag is gelykvormige driehoeke.Voltooi die volgende stelling korrek deur die drie hoekpunte in dieregte volgorde te skryf (daar is slegs een korrekte antwoord).
Beskou die driehoek in die diagram hieronder. Daar loop 'n lyn deur die grootdriehoek. Let op dat sommige lyne in die figuur gelyk aan mekaar gemerk is.Een sy van die driehoek het 'n lengte van 3.
Bepaal die waarde van .
568
8.
9.
Beskou die driehoek in die diagram hieronder. 'n Snylyn loop deur die grootdriehoek. Let op dat sommige lyne in die figuur gelyk aan mekaar gemerk is.Een sy van die driehoek is 6 eenhede lank.
Bepaal die waarde van .
In die figuur hieronder, , soos benoem. Verder word dievolgende lengtes en hoekgroottes gegee: ; ;
; en . Die figuur is op skaal geteken.
Bepaal die lengte van .
569
10.
a)
11.Vind en in die volgende:
In die figuur hieronder, , soos benoem. Verder word dievolgende lengtes en hoekgroottes gegee: ; ;
; en . Die figuur is op skaal geteken.
Bepaal die lengte van .
570
b)
c)
d)
571
e)
12.
13.
In die diagram hieronder is die middelpunt van en is diemiddelpunt van . Die segment binnein die groot driehoek wordaangedui met 'n lengte van .
In die volgende diagram is en .
Toon dat die middelpunt is van en dat .
572
a)
b)
14.
In die diagram hieronder, is die middelpunt van en is diemiddelpunt van . Een sy van die driehoek het 'n lengte van
.
a)
b)
Bereken die waardes van in terme van .
Dit word verder gegee dat 'n lengte het van . Wat is diewaarde van ? Gee jou antwoord as 'n breuk.
Vind die waarde van in terme van .
Dit word verder gegee dat 'n lengte het van . Wat is diewaarde van ?
573
15.
Die figuur hieronder toon wat gesny word deur .Punte en halveer hulle onderskeie sye van die driehoek.
a)
b)
16.
Die figuur hieronder toon wat gesny word deur .Punte en halveer hulle onderskeie sye van die driehoek.
Die hoeke en word gegee; bepaal die
waarde van in terme van .
Dit word verder gegee dat . Bereken die waarde van .
574
a)
b)
Gegee die hoeke en , bepaal die waarde
van in terme van .
Dit word verder gegee dat . Bepaal die waarde van .Gee jou antwoord as 'n breuk.
575
Hoofstuk opsomming'n Vierhoek is 'n geslote vorm wat bestaan uit vier reguitlyn segmente.
'n Parallelogram is vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne halveer mekaar.
'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke gelyk aan
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Die hoeklyne of diagonale halveer mekaar.
Die hoeklyne is ewe lank.
Alle binnehoeke is gelyk aan .
'n Ruit is 'n parallelogram wat vier ewe lang sye het.
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Alle sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Die hoeklyne halveer mekaar loodreg .
Die hoeklyne van 'n ruit halveer beide pare teenoorstaande hoeke.
'n Vierkant is 'n ruit met al vier binnehoeke gelyk aan .
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
576
Die hoeklyne halveer mekaar loodreg .
Alle binnehoeke is gelyk aan .
Die hoeklyne is ewe lank.
Die hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande binnehoeke (almal is )
'n Trapesium is 'n vierhoek met een paar teenoorstaande sye ewewydig.
'n Vlieër is 'n vierhoek met twee pare aangrensende sye gelyk.
Een paar teenoorstaande binnehoeke is ewe groot (die hoeke is tussendie sye wat nie ewe lank is nie).
Die hoeklyn tussen gelyke sye halveer die ander hoeklyn.
Die hoeklyn tussen gelyke sye halveer die binnehoeke.
Die hoeklyne sny mekaar loodreg .
Die middelpuntstelling stel dit dat die lyn wat die middelpunte van twee sye van'n driehoek verbind, ewewydig is aan die derde sy en gelyk is aan die helfte vandie lengte van die derde sy.
577
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
1.Identifiseer die tipes hoeke hieronder getoon:
HOOFSTUK 7: HERSIENINGSOEFENINGE
'n Hoek van °
'n Hoek van °578
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2.Besluit of die volgende stellings waar of vals is. As die stelling vals is,verduidelik hoekom:
'n Hoek van °
'n Trapesium is 'n vierhoek met twee pare teenoorstaande sye watewewydig is.
Beide hoeklyne van 'n parallelogram halveer mekaar.
'n Reghoek is 'n parallelogram met alle binnehoeke gelyk aan °.
Twee aangrensende sye van 'n ruit het verskillende lengtes.
Die hoeklyne van 'n vlieër sny reghoekig.
Alle vierkante is parallelogramme.
'n Ruit is 'n vlieër met 'n paar gelyke teenoorstaande sye.
Die hoeklyne van 'n parallelogram is asse van simmetrie.
Die hoeklyne van 'n ruit is ewe lank.
Beide hoeklyne van 'n vlieër halveer die binnehoeke.
579
a)
b)
c)
3.Vind alle pare ewewydige lyne in die volgende figure, en gee redes inelke geval.
580
a)
b)
4.Vind hoeke , , en in elke geval en gee redes:
581
c)
5.Vind elk van die onbekende hoeke gemerk in die figuur hieronder.Vind 'n rede wat in een enkele stap tot die antwoord sal lei.
a)
b)
c)
582
d)
e)
f)
6.
7.
Gebaseer op die resultate vir die hoeke hierbo, is ?
Gegee die volgende diagramme: Diagram A
Diagram B
Watter diagram gee 'n paar driehoeke wat gelykvormig is?
Gegee die volgende diagramme: Diagram A
583
8.
Diagram B
Watter diagram gee 'n paar driehoeke wat gelykvormig is?
Beskou die volgende driehoeke, wat op skaal geteken is:
Is die driehoeke kongruent? Indien wel, gee die rede en gebruik die korrektenotasie om aan te toon dat hulle kongruent is.
584
9.
a)
10.Sê watter van die volgende pare driehoeke is kongruent en geeredes.
Beskou die volgende driehoeke, wat op skaal geteken is:
Is die driehoeke kongruent? Indien wel, gee die rede en gebruik die korrektenotasie om aan te toon dat hulle kongruent is.
585
b)
c)
d)
11.Gebruik die stelling van Pythagoras en bereken die lengte :
586
a)
b)
c)
587
d)
a)
b)
12.Bereken en in die diagram hieronder:
588
c)
d)
589
e)
f)
13.
Beskou die diagram hieronder. Is ? Gee redes vir jouantwoord.
590
14.
15.
16.
Verduidelik hoekom is gelykvormig aan en bereken diewaardes van en .
Die volgende vorm is op skaal geteken:Gee die mees spesifieke naam vir die vorm.
Gebaseer op die vorm wat jy sien, maak 'n lys van al die name van die vorm.Die figuur is op skaal geteken.
591
17.
18.In die diagram hieronder,
.
a)
b)
c)
Noem:
is 'n ruit. ; . Bepaal die waardevan .
reghoeke
parallelogramme
trapesiums
592
d)
19.
20.
21.Die figuur toon 'n groot driehoek met hoekpunte , en , en 'nkleiner driehoek met hoekpunte by , en . Punt is diemiddelpunt van en punt is die middelpunt van .
ruite
Punte en is die middelpunte van lyne en . Bestudeer
noukeurig. Identifiseer die derde sy van hierdie driehoek, deur diegegewe inligting te gebruik, tesame met die middelpuntstelling. (Benoem diederde sy volgens sy eindpunte, bv. .)
Punte en op die segmente en word gegee. Bestudeer diedriehoek noukeurig, en identifiseer en benoem dan die ewewydigelynsegmente.
593
a)
b)
22.
Die figuur toon 'n groot driehoek met hoekpunte , en , en 'nkleiner driehoek met hoekpunte by , en . Punt is diemiddelpunt van en punt is die middelpunt van .
Die hoeke en word gegee. Bepaal die waarde
van .
Die twee driehoeke in hierdie vraag is gelykvormige driehoeke.Voltooi die volgende stelling korrek deur die drie hoekpunte in dieregte volgorde te skryf (daar is slegs een korrekte antwoord).
594
a)
b)
Met die twee gegewe hoeke, en , bepaal
die waarde van .
Die twee driehoeke in hierdie vraag is gelykvormige driehoeke.Voltooi die volgende stelling korrek deur die drie hoekpunte in dieregte volgorde te skryf (daar is slegs een korrekte antwoord).
595
23.
24.
25.
Beskou die driehoek in die diagram hieronder. Daar is 'n lynsegment wat deurdie groot driehoek sny. Let op dat sekere segmente gelyk aan mekaargemerk is. Een sy van die driehoek is 10 eenhede lank. Bepaal die waardevan .
In die figuur hieronder, , soos benoem. Verder word die volgendelengtes en hoekgroottes gegee: ; ; ;
en . Die figuur is op skaal geteken.
Bereken die lengte van .
Die figuur toon driehoek met die kleiner driehoek binne in diegroter driehoek. Verder word die lengtes en hoeke gegee:
; . Die figuur isvolgens skaal geteken.
596
26.
In die diagram hieronder, is die middelpunt van en is diemiddelpunt van . Een sy van die driehoek het 'n lengte van
.
a)
b)
27.
Die figuur hieronder toon wat gesny word deur .
Vind die lengte van .
Bepaal die waarde van in terme van .
Dit word verder gegee 'n lengte het van . Wat is die waardevan ?
597
Punte en halveer hulle onderskeie sye van die driehoek.
a)
b)
28.
Die figuur hieronder toon wat gesny word deur .Punte en halveer hulle onderskeie sye van die driehoek.
Met die twee hoeke wat gegee is, en ,
bepaal die waarde van in terme van .
Dit word nou gegee dat 'n grotte het van . Bepaal diewaarde van . Gee jou antwoord as 'n presiese breukwaarde.
598
a)
b)
29.
30.
Die hoeke en in die groter driehoek word
gegee; bepaal die waarde van in terme van .
Dit word verder gegee dat 'n grootte het van . Los op virdie waarde van . Gee jou antwoord as 'n presiese breukwaarde.
Bereken en :
en is gelyksydige driehoeke. Bewys dat 'n ruitis.
599
31. is 'n vierhoek met en hoeklyne wat sny by
sodat . Bewys dat:
a)
b)
c)
600
32.
33.
is 'n gelykbenige driehoek met . is diemiddelpunt van , is die middelpunt van en is diemiddelpunt van .
a)
Gebruik die figuur hieronder en toon dat die som van die drie hoeke in 'ndriehoek 180° is. Lyn is ewewydig aan .
Bewys is ook gelykbenig.
601
b)
c)
34.
35.In die diagram hieronder, is , en die middelpunte van ,
en onderskeidelik. .
Watter tipe vierhoek is ? Motiveer jou antwoord.
As bereken, met redes, die grootte van .
is 'n parallelogram. . Bewys dat .
602
a)
b)
Bewys dat 'n parallelogram is.
Bewys dat .
603
HOOFSTUK 8: ANALITIESE MEETKUNDE
InleidingAnalitiese meetkunde is die studie van meetkundige eienskappe, verbande en diemeting van punte, lyne en hoeke in die Cartesiese vlak. Geometriese vorme wordgedefinieer met die gebruik van 'n koördinaatstelsel en algebraïese beginsels.Sommige wiskundiges beskou die ontwikkeling van analitiese meetkunde, ookgenoem koördinaat of Cartesiese meetkunde, as die begin van moderne wiskunde.
Die beweging van 'n projektiel kan gestip word op die Cartesiese vlak. Animasie tegnici gebruik
hierdie inligting om hulle te help om animasies te skep.
604
8.1 Trek van figure op die CartesiesevlakAs ons die koördinate van die hoekpunte van 'n figuur gegee word, kan ons die figuurtrek op die Cartesiese vlak. Byvoorbeeld, vierkhoek met koördinate
, , en .
LET WEL
Jy mag ook koördinate geskryf sien as .
Die volgorde van die letters vir die benoeming van 'n figuur is belangrik. Dit dui dievolgorde aan waarin punte verbind moet word: met , met , met en
terug na . Dus ons kan na bostaande vierhoek verwys as vierhoek of of . Dit is egter gebruiklik om die letters in alfabetiese volgorde te
skryf en dan verwys ons na die vierhoek as .605
1.
OEFENING 8.1.1
Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:
Vind die koördinate van punt .
606
2.Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:
Vind die koördinate van al die benoemde punte.
607
3.Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:
Watter punt lê by die koördinate ?
608
4.Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:
Watter punt lê by die koördinate ?
609
5.Die volgende diagram word gegee, met 4 vorme geteken.Al die vorme is identies, maar gebruik verskillende benoemings konvensies:
Watter vorm gebruik die korrekte benoeming?
610
6.Die volgende diagram word gegee, met 4 vorme geteken.Al die vorme is identies, maar gebruik verskillende benoemings konvensies:Watter vorm gebruik die korrekte benoeming?
611
8.2 Afstand tussen twee punte'n Punt is 'n eenvoudige meetkundige voorwerp wat posisie as sy enigste eienskaphet.
DEFINISIE
Punt
'n Punt is 'n geordende getallepaar geskryf as .
DEFINISIE
Afstand
Afstand is 'n maatstaf van die lengte tussen twee punte.
ONDERSOEK
AFSTAND TUSSEN TWEE PUNTE
Punte , en word gegee.
Kan ons aanvaar dat ? Indien wel, hoekom?
Pas die stelling van Pythagoras toe in om die lengte te vindvan .
612
Om die algemene formule te vind vir die afstand tussen twee punte en
, gebruik ons die stelling van Pythagoras.
613
En:
Dus:
Dus, om die afstand tussen enige twee punte, en te bereken,gebruik ons:
Let op dat .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.2 Afstand formule
Laai af
614
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: GEBRUIK DIEAFSTANDFORMULE
VRAAG
Vind die afstand tussen en .
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
Stap 2: Ken waardes toe aan en
Gestel die koördinate van is en die koördinate van is
.
615
Stap 3: Skryf die afstandsformule neer
Stap 4: Substitueer waardes
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Die afstand tussen en is eenhede.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.2 Voorbeeld 1
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: GEBRUIK DIEAFSTANDFORMULE
VRAAG
Gegee , en , vind .616
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
Let op dat ons twee moontlike waardes vir verwag. Dit is omdat die
afstandsformule die term bevat wat uitloop op 'n kwadratiesevergelyking wanneer ons substitueer in die koördinate in.
Stap 2: Ken waardes toe aan en
Gestel die koördinate van is en die koördinate van is
.
Stap 3: Skryf die afstandsformule neer
617
Stap 4: Substitueer waardes en los op vir
Stap 5: Kontroleer beide waardes vir
Kontroleer :
Kontroleer :
Stap 6: Skryf die finale antwoord
is of .
Dus of .
618
1.
2.
OEFENING 8.2.1
WENK
Die teken van 'n skets help met jou berekening en maak dit makliker om tekontroleer of jou antwoord reg is.
Jy word die volgende diagram gegee:
Bereken die lengte van lyn , korrek tot 2 desimale plekke.
Jy word die volgende diagram gegee:
619
3.
Bereken die lengte van lyn , korrek tot 2 desimale plekke.
Die volgende skets toon twee punte op die Cartesiese vlak, en .
Die afstand tussen die punte is . Bereken die ontbrekende koördinaatvan punt .
620
4.
a)
b)
c)
5.Vind die lengte van vir elk van die volgende. Laat jou antwoordin wortelvorm.
a)
6.Die lengte van . Vind die ontbrekende koördinaat as:
Die volgende skets toon twee punte op die Cartesiese vlak, en .
Die lyn het 'n lengte van . Bereken die ontbrekende koördinaatvan punt . Rond jou antwoord af tot een desimale plek.
en
en
en
en .
621
b)
7.
en .
As die afstand tussen en 10 eenhede is, vind diemoontlike waardes van .
622
8.3 Gradiënt van 'n lyn
DEFINISIE
Gradiënt
Die gradiënt van 'n lyn word bepaal deur die verhouding van die vertikaleverandering met betrekking tot die horisontale verandering.
Gradiënt ( ) beskryf die helling of steilheid van die lyn wat twee punte verbind. In diefiguur hieronder, is lyn die mins steil lyn en lyn is die steilste.
Om die formule vir gradiënt af te lei, beskou ons enige reghoekige driehoek wat
gevorm word deur en met skuinssy soos getoon in diediagram. Die gradiënt word bepaal deur die verhouding van die lengte van dievertikale sy van die driehoek tot die lengte van die horisontale sy van die driehoek. Dielengte van die vertikale sy van die driehoek is die verskil in waardes van punte
623
en . Die lengte van die horisontale sy van die driehoek is die verskil in -waardesvan punte en .
Dus, die gradiënt word bepaal deur die formule te gebruik:
Gradiënt of
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.3 Analitiese meetkunde Gradient van 'n lyn
Laai af
BELANGRIK
Onthou om konsekwent te wees:
624
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: GRADIËNT TUSSEN TWEEPUNTE
VRAAG
Vind die gradiënt van die lyn tussen punte en .
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
Stap 2: Ken waardes toe aan en
Gestel die koördinate van is en die koördinate van is
.
625
Stap 3: Skryf die formule vir gradiënt neer
Stap 4: Substitueer bekende waardes
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Die gradiënt van
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.3 Voorbeeld 3
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: GRADIËNT TUSSEN TWEEPUNTE
VRAAG
Gegee en , met . Vind .
626
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
Stap 2: Ken waardes toe aan en
Gestel die koördinate van is en die koördinate van is
Stap 3: Skryf die formule vir gradiënt neer
Stap 4: Substitueer waardes en los op vir x
627
a)
b)
c)
1.Vind die gradiënt van as:
2.
OEFENING 8.3.1
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Die koördinate van is .
Dus .
en
en
en
Jy word die volgende diagram gegee:
628
3.
Bereken die gradiënt ( ) van lyn .
Bereken die gradiënt ( ) van lyn in die volgende diagram:
629
a)
b)
4.
As die gradiënt van , vind , gegewe:
5.
en .
en .
In die volgende diagram lyn 'n gradiënt ( ) het van .Bereken die ontbrekende koördinaat van die punt .
630
6.Jy word die volgende diagram gegee:
Dit word ook gegee dat lyn 'n gradiënt ( ) het van van .Bereken die ontbrekende koördinaat van die punt .
Reguitlyne
DEFINISIE
Reguitlyn
'n Reguitlyn is 'n versameling punte met 'n konstante gradiënt tussen enigetwee van hierdie punte.
631
Beskou die diagram hieronder met punte , en .
Ons het en
Die algemene formule vir die vind van die vergelyking van 'n reguitlyn is
waar enige punt op die lyn is.
Hierdie formule kan ook geskryf word as .
Die standaardvorm van die reguitlyn vergelyking is waar diegradiënt is en die afsnit is.
632
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VIND DIE VERGELYKING VAN'N REGUITLYN
VRAAG
Vind die vergelyking van die reguitlyn deur en .
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
Stap 2: Ken waardes toe
Gestel die koördinate van is en die koördinate van is
.
633
Stap 3: Skryf die algemene formule van die lyn neer
Stap 4: Vervang waardes en maak die onderwerp van die
vergelyking
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Die vergelyking van die reguitlyn is .
634
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.3 Voorbeeld 5
Laai af
Ewewydige en loodregte lyne
Twee lyne wat ewewydig aan mekaar loop is altyd dieselfde afstand van mekaar af enhet dieselfde gradiënte.
As twee lyne mekaar loodreg sny, sal die produk van hulle gradiënte gelyk wees aan .
As lyn , dan . Loodregte lyne het gradiëntewat die negatiewe inverses is van mekaar.
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: EWEWYDIGE LYNE
VRAAG
Bewys dat die lyn met en ewewydig is aan lyn met vergelyking .
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
635
(Wees versigtig sommige lyne mag lyk of hulle ewewydig is, maar hulle isnie!)
Stap 2: Skryf die formule vir gradiënt neer
Stap 3: Substitueer waardes om die gradiënt te vind vir lyn
Stap 4: Kontroleer dat die vergelyking van in standaardvorm
is
636
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Dus is lyn ewewydig aan lyn .
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: LOODREGTE LYNE
VRAAG
Lyn is loodreg op lyn . Vind indien gegee ,
, en .
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
637
Stap 2: Skryf die verwantskap neer tussen die gradiënte van die
loodregte lyne
Stap 3: Substitueer waardes in en los op vir
638
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Dus is die koördinate van .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.3 Loodregte lyne
Laai af
Horisontale en vertikale lyne
'n Lyn ewewydig aan die as word 'n horisontale lyn genoem en het 'n gradiënt van639
nul. Dit is omdat daar geen vertikale verandering is nie:
'n Lyn ewewydig aan die as word 'n vertikale lyn genoem en sy gradiënt isongedefinieerd. Dit is omdat daar geen horisontale verandering is nie:
Punte op 'n lyn
'n Reguitlyn is 'n versameling punte met 'n konstante gradiënt tussen enige tweepunte. Daar is twee metodes om te bewys dat die punte op dieselfde lyn lê: diegradiënt metode en 'n metode wat die afstandformule gebruik.
LET WEL
As twee punte op dieselfde lyn lê, dan sê ons die twee punte is kolineêr ofsaamlynig.
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: PUNTE OP 'N LYN
VRAAG
Bewys dat , en op 'n reguitlyn is.
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
640
Stap 2: Bereken twee gradiënte tussen enige drie punte
en
OF
en
Stap 3: Verduidelik jou antwoord
641
Dus is die punte , en op 'n reguitlyn.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.3 Voorbeeld 8
Laai af
As ons die afstandsformule gebruik om te bewys dat drie punte op 'n reguitlyn lê, moetons die afstande bereken tussen elke paar punte en dan bewys dat die som van dietwee korter afstande gelyk is aan die langste afstand.
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: PUNTE OP 'N REGUITLYN
VRAAG
Bewys dat , en op 'n reguitlyn is.
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
642
Stap 2: Bereken die drie afstande , en
643
a)
b)
c)
1.Bepaal of en ewewydig is, of loodreg of nie een van dietwee nie:
a)
b)
c)
2.Bepaal of die volgende punte op dieselfde reguitlyn lê:
OEFENING 8.3.2
Stap 3: Vind die som van die twee korter afstande
Stap 4: Verduidelik jou antwoord
Dus lê punte , en op dieselfde reguitlyn.
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
, ,
, , 644
3.
4.
Bereken die vergelyking van die lyn in die volgende diagram:
Bereken die vergelyking van die lyn in die volgende diagram:
645
5.
6.
7.
8.
Punte , en lê op 'n reguitlyn. Vind diewaarde van .
Lyn met en het 'n gradiënt van . Vind .
Jy word die volgende diagram gegee:
Jy weet ook dat die lyn ewewydig loop aan die volgende lyn:
. Punt is by .Vind die vergelyking van die lyn .
Jy word die volgende diagram gegee:
646
9.
10.
11.
Jy weet ook dat die lyn ewewydig loop aan die volgende lyn:
. Punt is by .Vind die vergelyking van die lyn .
Gegewe lyn wat ewewydig loop aan . Punte
en word ook gegee.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
Gegewe lyn wat ewewydig loop aan . Punte
en word ook gegee.
Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
Die grafiek toon die lyn . Die blou stippellyn is loodreg op .
647
12.
Die vergelyking van die blou stippellyn is . Punt is by
.Bepaal die vergelyking van lyn .
Die grafiek toon die lyn . Die blou stippellyn is loodreg op .
648
13.
14.
15.
Die vergelyking van die blou stippellyn is . Punt is by
.Bepaal die vergelyking van lyn .
Gegewe lyn wat loodreg is op die lyn met vergelyking
. Punte en is ook gegee.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
Gegewe lyn wat loodreg is op die lyn met vergelyking
. Punte en is ook gegee.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
Jy word die volgende diagram gegee:
Jy weet ook lyn het die volgende vergelyking: .Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
649
16.
17.
18.
19.Verwys na die diagram hieronder:
Jy word die volgende diagram gegee:
Jy weet ook lyn het die volgende vergelyking: .Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
is die punt en is die punt . is loodreg op
lyn met vergelyking . Vind die waarde van .
Die punte , en word gegee. Bepaal diewaarde van as , en saamlynig is.
650
a)
b)
a)
b)
c)
20.
Die punte , en is gegee.
Toon dat reghoekig is. Toon jou bewerkings.
Vind die area van .
Bewys driehoek is 'n reghoekige driehoek.
Vind die koördinate van , as 'n parallelogram is.
Vind die vergelyking van die lyn ewewydig aan die lyn , en watdeur die punt gaan.
651
8.4 Middelpunt van 'n lyn
ONDERSOEK
VIND DIE MIDDELPUNT VAN 'N LYN
Stip die punte en noukeurig op grafiekpapier en trek dielyn .
Vou die stuk papier so dat punt presies boop punt val.
Waar die gevoude lyn die lyn sny, merk punt
Tel die blokkies en vind die presiese posisie van .
Skryf die koördinate van neer.
Ons gebruik die volgende formule om die koördinate te bereken van die middelpunt
van enige lyn tussen die punte en :
652
Hiervan verkry ons die middelpunt van 'n lyn:
Middelpunt
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.4 Middelpunt
Laai af
653
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: BEREKENING VAN DIEMIDDELPUNT
VRAAG
Bereken die koördinate van die middelpunt van die lyn tussen punt
en punt .
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
Van die skets kan ons skat dat op die as sal lê, met 'n negatiewe -koördinaat.
Stap 2: Ken waardes toe aan en
654
Stap 3: Skryf die middelpuntformule neer
Stap 4: Vervang waardes in die middelpuntformule
Stap 5: Skryf die antwoord
Die middelpunt is by .
As ons na die skets kyk, sien ons dit is wat ons sou verwag vir diekoördinate van .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 8.3 Voorbeeld 10
Laai af
655
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: BEREKENING VAN DIEMIDDELPUNT
VRAAG
Vind die middelpunt van die lyn , gegewe en .
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
Van die skets kan ons skat dat in kwadrant 1 sal lê met positiewe -en -koördinate.
Stap 2: Ken waardes toe aan en
Laat die middelpunt wees
656
Stap 3: Skryf die middelpuntformule neer
Stap 4: Vervang waardes en vereenvoudig
Stap 5: Skryf die finale antwoord
is die middelpunt van lyn .
Ons het verwag dat positiewe en koördinate sal hê en dit is danook wat ons gekry het met berekening.
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: GEBRUIK DIEMIDDELPUNTFORMULE
VRAAG
Die lyn wat en verbind, het middelpunt .Vind punt .
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
657
Van die skets kan ons oordeel dat in kwadrant IV sal val, met 'npositiewe en negatiewe -koördinaat.
Stap 2: Ken waardes toe aan en
Gestel die koördinate van is en die koördinate van is
.
Stap 3: Skryf die middelpuntformule neer
Stap 4: Substitueer waardes en los op vir en
658
Stap 5: Skryf die finale antwoord
Die koördinate van punt is .
UITGEWERKTE VOORBEELD 13: GEBRUIK DIEMIDDELPUNTFORMULE
VRAAG
Punte , , en is punte op die
Cartesiese vlak. Vind as 'n parallelogram is.
OPLOSSING
Stap 1: Teken 'n skets
659
Metode: die diagonale van 'n parallelogram halveer mekaar, dus sal diemiddelpunt van dieselfde wees as die middelpunt van . Onsmoet eers die middelpunt kry van . Ons kan dit dan gebruik om diekoördinate van punt te bepaal.
Stap 2: Ken waardes toe aan en
Laat die middelpunt van wees
Stap 3: Skryf die middelpuntformule neer
Stap 4: Substitueer waardes en bereken die koördinate van
660
Stap 5: Gebruik die koördinate van om te bepaal
is ook die middelpunt van dus gebruik ons en
om vir op te los.
Stap 6: Substitueer waardes en los op vir en
Stap 7: Skryf die finale antwoord
Die koördinate van is .
661
1.
2.
OEFENING 8.4.1
Jy word die volgende diagram gegee:
Bereken die koördinate van die middelpunt ( ) tussen punt en
punt .
Jy word die volgende diagram gegee:
662
a)
b)
c)
3.Vind die middelpunte van die volgende lyne:
4.
5.
Bereken die koördinate van die middelpunt ( ) tussen punt en
punt .
,
,
,
Die middelpunt van is . Vind as is.
is 'n parallelogram met die punte , en
. Vind punt .663
1.
HOOFSTUK 8: HERSIENINGSOEFENINGE
Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:
Vind die koördinate van punte , , , en .
664
2.Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:
Watter punt lê by die koördinate ?
665
3.
a)
b)
4.Stel die volgende figure voor in die Cartesiese vlak:
Die volgende diagram word gegee, met 4 vorme getrek.Al die vorme is identies, maar gebruik verskillende benoemingskonvensies:
Watter vorm gebruik die korrekte benoeming?
Driehoek met , en .
Vierhoek met , , en
.
666
c)
d)
5.
Vierhoek met , , en
.
Vierhoek met , ,
en .
Jy word die volgende diagram gegee:
Bereken die lengte van lyn , korrek tot 2 desimale plekke.
667
6.
7.
Die volgende skets toon twee punte op die Cartesiese vlak, en .
Die afstand tussen die punte is . Bereken die ontbrekende koördinaatvan punt .
Jy word die volgende diagram gegee:
668
8.
9.
Bereken die gradiënt ( ) van lyn . Die koördinate is en
onderskeidelik.
Jy word die volgende diagram gegee:
Dit word verder gegee dat 'n gradiënt, , van het.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
Jy word die volgende diagram gegee:
669
10.
In die diagram is die punt en is die punt .
Dit word verder gegee dat die lyn 'n gradiënt, , van het.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
670
a)
b)
11.
12.
Vind die vergelyking van lyn .
Bereken die lengte van .
Jy word die volgende diagram gegee:
Jy word ook gegee dat die lyn ewewydig loop aan die volgende lyn:
. Punt is by .Vind die vergelyking van die lyn .
Jy word die volgende diagram gegee:
671
13.
Jy word ook gegee dat lyn ewewydig is aan die volgende lyn: .
Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
Jy word die volgende diagram gegee:
Jy word ook gegee dat lyn loodreg is op lyn: .672
14.
15.
Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
Die grafiek hier toon lyn . Die blou stippellyn is loodreg op .
Die vergelyking van die blou stippellyn is . Punt is by
.Bepaal die vergelyking van lyn .
Jy word die volgende diagram gegee:
673
16.
Jy word ook gegee dat lyn die volgende vergelyking: het.
Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .
Jy word die volgende diagram gegee:
674
17.
a)
b)
c)
18.Bepaal die vergelykings van die volgende reguitlyne:
Bereken die koördinate van die middelpunt ( ) tussen punt
en punt korrek tot 1 desimale plek.
en is punte in die Cartesiese vlak. is diemiddelpunt van . Vind die waardes van en .
gaan deur en .
ewewydig aan terwyl dit deur gaan.
gaan deur en die middelpunt van waar
and .
675
19.
In die diagram hieronder is die hoekpunte van die vierhoek ,
, en .
a)
b)
c)
d)
a)
20.
Beskou 'n vierhoek met hoekpunte , ,
en .
Bereken die lengtes van die sye van .
Is die teenoorstaande sye van ewewydig?
Halveer die hoeklyne van mekaar?
Kan jy vasstel watter tipe vierhoek is? Gee redes vir jouantwoord.
Teken die vierhoek.676
b)
i)
ii)
21a)Toon deur berekening dat:
b)
c)
21.
is 'n vierhoek met hoekpunte , ,
en .
i)
ii)
22a)Wys dat:
i)
ii)
22b)Bereken:
22.
, , en is die punte , , en
onderskeidelik.
Vind die lengtes van die sye van die vierhoek.
Watter tipe vierhoek is ?
Toon dat hoeklyne en mekaar nie halveer nie.
677
c)
23.
a)
b)
c)
d)
24.
is vierhoek met punte , ,
en in die Cartesiese vlak.
a)
b)
c)
25.
Oorweeg driehoek met hoekpunte , en
.
Watter soort vierhoek is ? Gee redes vir jou antwoord.
is 'n parallelogram met hoekpunte , en
. Vind die koördinate van deur gebruik te maak van die feit datdie diagonale of hoeklyne van 'n parallelogram mekaar halveer.
Vind die lengte van .
Vind die gradiënt van .
Vind die middelpunt van .
Is 'n parallelogram? Gee redes vir jou antwoord.
Skets driehoek op die Cartesiese vlak.
Wys dat 'n gelykbenige driehoek is.
Bepaal die koördinate van , die middelpunt van .
678
d)
e)
26.
27.
28a)
b)
29.Die diagram toon 'n vierhoek. Punte en het onderskeidelik die
koördinate en . Die hoeklyne van halveermekaar reghoekig. is die snypunt van lyn met die -as.
Bepaal die gradiënt van .
Toon dat op die lyn lê wat deur en gaan.
het hoekpunte , en . Toon deur
berekening dat 'n reghoekige gelykbenige driehoek is.
het hoekpunte , en . isdie middelpunt van en is die middelpunt van . Gebruik
om die middelpuntstelling te bewys met die gebruik van analitiesemeetkunde metodes.
Noem twee eienskappe van 'n parallelogram.
Die punte , , en is diehoekpunte van 'n vierhoek. Toon dat die vierhoek 'n parallelogram is.
679
a)
b)
c)
a)
b)
c)
30.
, en is die hoekpunte van
.
Bepaal die gradiënt van .
Toon dat die vergelyking van gegee word deur .
Bepaal die koördinate van .
Vind die lengte van , korrek tot 1 desimale plek.
Bereken die gradiënt van .
As koördinate het van , toon dat , en kolineêr is.
680
d)
e)
31.Die volgende diagram word gegee:
a)
b)
c)
d)
Bepaal die vergelyking van lyn .
Toon dat reghoekig is.
As die middelpunt is van , vind die waardes van and .
Vind die vergelyking van die lyn loodreg op , en wat deur dieoorsprong gaan.
Vind die koördinate van die middelpunt van die hoeklyn .
Toon vervolgens dat nie 'n parallelogram is nie.
681
e)
a)
b)
c)
d)
e)
32.
'n Driehoek het hoekpunte , en .
a)
b)
33.
'n Vierhoek het hoekpunte , , en
waar .
34.
Op die Cartesiese vlak, is die drie punte , en
saamlynig.
As geskuif kon word, gee die nuwe koördinate sodat 'nparallelogram sou wees.
Bereken die gradiënt van .
Bewys dat die driehoek reghoekig is by .
Bepaal die lengte van .
Bepaal die vergelyking van die lyn van tot by die middelpunt van .
Vind die oppervlakte van die driehoek .
Wat moet wees sodat ewewydig is aan ?
Wat moet wees sodat ?
682
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
35.
Gegee en .
a)
36.
, , en is die hoekpuntevan parallelogram .
Vind die lengte van .
Vind die gradiënt van .
Vind die vergelyking van .
Vind die waarde van .
Vind die middelpunt van .
Vind die gradiënt van .
Vind die gradiënt van die lyn loodreg op .
Vind die vergelyking van die loodregte halveerlyn (middelloodlyn) van.
Vind die vergelyking van die lyn ewewydig aan , en wat deur
gaan.
Bepaal die koördinate van .
683
b)
c)
37.
, en is die hoekpunte van
. en is die middelpunte en onderskeidelik.
a)
b)
c)
Wys dat loodreg is op en sê watter soort vierhoek is, bo en behalwe 'n parallelogram.
Wys dat 'n vierkant is.
Vind die gradiënt van .
Toon dat die koördinate van , die middelpunt van , is
.
Vind die lengte van .684
d)
e)
38.
In die diagram is punte , , en
die hoekpunte van 'n parallelogram.
a)
b)
c)
d)
Vind die gradiënt van . Formuleer 'n vermoede aangaande lyne en .
Bepaal die vergelyking van .
Bereken die lengte van .
Vind die koördinate van waar die hoeklyne ontmoet.
Vind , die middelpunt van .
Wys dat .685
e)
a)
b)
c)
d)
39.
Die koördinate van is as volg: , en
.
40.
Die volgende diagram toon met . Dievergelyking van is en die vergelyking van
is . .
Bereken die koördinate van .
Bepaal deur berekening of die driehoek gelyksydig, gelykbenig ofskerphoekig is. Maak seker dat jy al jou werk toon.
Vind die koördinate van punte en , die middelpunte van en .
Bepaal die gradiënt van die lyn .
Bewys dat .
686
a)
b)
c)
d)
e)
a)
41.
Die punte , en is saamlynig.
Skryf die koördinate van neer.
Bewys dat .
Skryf die gradiënt neer van .
As die koördinaat van 4 is, bereken die koördinaat.
Vind die vergelyking van die lyn van tot (die middelpunt van ).
Bepaal die waarde van .
687
b)
a)
b)
c)
d)
e)
42.
Gegee: .
a)
b)
c)
d)
43.
is die middelpunt van met punt . Bepaal:
Bepaal die waardes van en as die vergelyking van die lyn, wat
gaan deur , en is.
Bereken die afstand en die afstand . Laat jou antwoord inwortelvorm.
Bepaal die koördinate van , die middelpunt van .
Bewys dat .
Bewys dat , en saamlynig is.
Watter tipe vierhoek is ?
die koördinate van .
die gradiënt van .
die vergelyking van die lyn .
die loodregte halveerlyn van .
688
44. is 'n vierhoek met
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bepaal die koördinate van , die middelpunt van .
Bewys dat 'n parallelogram is.
Vind die vergelyking van hoeklyn .
Bepaal die vergelyking van die loodregte halveerlyn van .
Bepaal die gradiënt van .
Is 'n ruit? Verduidelik waarom of waarom nie.
689
g)
45.
In die diagram hieronder, is geskets met
op .
a)
b)
c)
Vind die lengte van .
Bepaal die waarde van a in .
'n Lyn, , wat deur gaan, is loodreg op . lê
op . Bepaal die waarde van .
As en saamlynig is, bepaal diewaarde van .
690
46.In die diagram hieronder is en die middelpunte van en
onderskeidelik.
a)
b)
c)
d)
e)
Bereken die gradiënt van .
Vind die vergelyking van die lyn deur en in die vorm .
Wys dat .
Skryf die ratio of verhouding neer: .
Skryf die koördinate van neer sodat 'n parallelogram is.
691
a)
b)
47.
en is punte op dieCartesiese vlak. Bepaal die waarde van:
as , en is saamlynig.
en as die middelpunt van en is.
692
HOOFSTUK 9: FINANSIES EN GROEI
InleidingIn hierdie hoofstuk pas ons wiskundige vaardighede toe op alledaagse finansiëlesituasies.
As jy het, kan jy dit in jou spaarvarkie hou of dit in jou bankrekeninginbetaal. Wanneer jy geld deponeer in jou bankrekening, leen jy effektief geld aan diebank. Aangesien jy vir die bank geld leen, kan jy ekstra geld terugverwag. Dit staanbekend as rente. Soortgelyk, as jy geld leen van 'n bank, dan kan jy verwag om rentete betaal op die lening. Rente word bereken as 'n persentasie van die geld wat jyskuld, bereken oor die tyd wat dit neem om die lening terug te betaal. Dit beteken dathoe langer die lening bestaan, hoe meer rente sal daarop betaal moet word.
Die ingang van die Johannesburgse Aandelebeurs (JSE) in Sandton, Johannesburg die
finansiële sentrum van Suid-Afrika. Die JSE is Afrika se grootste aandelebeurs en die
grootste in die wêreld. Elke maand word meer as 60 miljard rand se aandele verhandel op die
JSE.
Die konsep is eenvoudig, maar dit is die kern van die wêreld van finansies. Ouditeurs,aktuarisse en bankiers kan hulle ganse loopbane besig bly met die invloed van renteop finansiële sake.
693
DEFINISIE
Rente
In finansies is rente die geld wat gevra word om geld te leen. Dit wordgewoonlik uitgedruk as 'n persentasie van die geleende geld.
694
9.1 Enkelvoudige rente
DEFINISIE
Enkelvoudige rente
Enkelvoudige rente is die rente wat bereken word slegs op die aanvanklikebedrag wat jy belê het.
As 'n eenvoudige voorbeeld van enkelvoudige rente, bereken hoeveel ons sal kry asons belê vir jaar by 'n bank wat % p.a. enkelvoudige rente betaal.
Teen die einde van die jaar het ons
Met 'n openingsbalans van aan die begin van die jaar, sal diesluitingsbalans of eindbedrag aan die einde van die jaar dus wees
Die openingsbalans in finansiële berekeninge word dikwels die hoofsom genoem engenoteer as ( in die voorbeeld). Die rentekoers word gewoonlik aangeduias ( % p.a. in die voorbeeld en “p.a.” beteken per annum of per jaar). Dierentebedrag word aangedui as ( in die voorbeeld).
695
Dus kan ons sien dat
en
Bostaande berekeninge gee 'n goeie aanduiding van hoe die enkelvoudige renteformule lyk. Ons gebruik die simbool om die tydsperiode, wat in jare uitgedruk moetword, aan te dui.
Die algemene formule vir die berekening van enkelvoudige rente is
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.1 Finansies Enkelvoudige rente
Laai af
696
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: BEREKENING VAN RENTE OP'N BELEGGING
VRAAG
Carine belê in 'n spesiale bankrekening teen 'n enkelvoudigerentekoers van % p.a. vir jaar. Hoeveel sal sy in haar bankrekening hêteen die einde van die beleggingsperiode?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende waardes neer
Stap 2: Skryf die formule neer
Stap 3: Vervang die waardes
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer
Aan die einde van jaar, sal Carine in haar bankrekening hê.
697
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: BEREKENING VAN RENTE OP'N LENING
VRAAG
Sarah leen van haar buurman en hulle kom ooreen op 'nenkelvoudige rentekoers van % p.a. Sy sal die lening in een bedragterugbetaal aan die einde van jaar. Hoeveel sal sy moet terugbetaal aanhaar buurman?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
Stap 2: Skryf die formule neer
Stap 3: Vervang die waardes
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer
Aan die einde van jaar, sal Sarah aan haar buurman betaal.
698
Ons kan die enkelvoudige rente formule gebruik om die ontbrekende inligting te vind.Byvoorbeeld, as ons 'n bedrag geld het wat ons wil belê vir 'n vasgestelde tyd om 'nmikpunt te bereik, kan ons die veranderlikes herrangskik om die verlangde rentekoerste bereken. Dieselfde beginsels geld as ons wil uitvind hoe lank ons die geld moetbelê indien ons weet wat die hoofsom en die eindbedrag en die rentekoers is.
Belangrik: om 'n meer akkurate antwoord te kry, probeer om al jou berekeninge ineen bewerking op die sakrekenaar te doen. Dit voorkom dat afrondingsfoute jou finaleantwoord beïnvloed.
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: BEPALING VAN DIEBELEGGINGSPERIODE OM 'N VASGESTELDE BEDRAG TEVERKRY
VRAAG
Prashant belê in 'n bankrekening wat 'n enkelvoudige rentekoersvan % p.a. betaal. Hoeveel jaar moet hy sy geld belê om tegenereer?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
Stap 2: Skryf die formule neer
699
Stap 3: Vervang die waardes en los op vir
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer
Dit sal jaar en maande neem om te laat groei tot teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.1 Voorbeeld 3
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: BEREKEN DIEENKELVOUDIGE RENTEKOERS OM DIE VERLANGDE GROEITE BEHAAL
VRAAG
Teen watter enkelvoudige rentekoers behoort Fritha te belê indien sy groei wil
700
hê van tot in jaar?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
Stap 2: Skryf die formule neer
Stap 3: Vervang die waardes en los op vir
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer
'n Enkelvoudige rentekoers van % p.a. sal nodig wees om wat belê is vir jaar, te laat groei tot .
701
1.
2.
3.
4.
a)
b)
5.Bereken die vermeerderde bedrag in die volgende situasies:
OEFENING 9.1.1
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % per annum betaal. Bereken die balans wat opgehouhet teen die einde van jaar.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % per annum betaal. Bereken die balans watgeakkumuleer het teen die einde van jaar.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % per annum betaal. Bereken die balans watgeakkumuleer het teen die einde van jaar.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % per annum betaal. Bereken die balans wat opgebou hetteen die einde van jaar.
'n Lening van teen 'n rentekoers van % vir jaar.
'n Belegging van teen 'n koers van % p.a. vir jaar.
702
6.
7.
8.
9.
'n Bank bied 'n spaarrekening aan wat enkelvoudige rente betaal teen 'nkoers van % per annum. As jy wil bymekaarmaak in jaar,hoeveel moet jy nou belê?
Sally wil die aantal jare bereken wat sy nodig het om te belê teneinde bymekaar te maak. Sy word 'n enkelvoudige rentekoers van
% p.a. aangebied. Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om tevermeerder tot ?
Joseph belê in 'n spaarrekening op sy seun se vyfde verjaarsdag.Toe sy seun geword het, het die balans in die rekening reeds gegroei tot
. As enkelvoudige rente gebruik is, bereken die koers waarteendie geld belê was.
Toe sy seun jaar oud was, het Methuli 'n bedrag van in die bankbelê. Die belegging het gegroei teen 'n enkelvoudige rentekoers en toeMethuli se seun jaar oud was, was die waarde van die belegging
.Teen watter rentekoers was die geld belê?
703
10.
11.
12.
13.
Toe sy seun jaar oud was, het Philip 'n belegging van in die bankgemaak. Die belegging het gegroei teen 'n enkelvoudige rentekoers en toePhilip se seun jaar oud was, was die waarde van die belegging
.
Toe sy seun jaar oud was, het Lefu in die bank belê. Diebelegging het gegroei teen 'n enkelvoudige rentekoers en toe Lefu se seun
jaar oud was, was die waarde van die belegging .
Abdoul wil belê teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om te groei tot ? Rond jouantwoord op tot die naaste jaar.
Andrew wil belê teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om te groei tot ? Rond jouantwoord op tot die naaste jaar.
704
9.2 Saamgestelde renteSaamgestelde rente laat toe dat rente op rente verdien word. Met enkelvoudige renteverdien slegs die oorspronklike belegging rente, maar met saamgestelde rente verdienbeide die oorspronklike belegging sowel as die rente daarop, weer rente.
Saamgestelde rente is voordelig vir die belegging van geld, maar nie vir die uitneemvan 'n lening nie.
DEFINISIE
Saamgestelde rente
Saamgestelde rente is die rente verdien op die hoofsom en op diegeakkumuleerde, of opgehoopte, rente.
Beskou die voorbeeld van belê vir jaar by 'n bank wat saamgestelderente van % p.a. betaal.
Aan die einde van die eerste jaar is die opgehoopte bedrag
Die bedrag word die nuwe hoofsom vir die berekening van die opgehooptebedrag vir die einde van die tweede jaar.
705
Soortgelyk, ons gebruik die bedrag as die nuwe hoofbedrag vir die berekeningvan die opgehoopte bedrag teen die einde van die derde jaar.
Sien jy 'n patroon?
Deur gebruik te maak van enkelvoudige rente, kan ons 'n soortgelyke formule virsaamgestelde rente bereken.
Met 'n openingsbalans van en 'n rentekoers van , sal die opgehoopte balans aandie einde van die eerste jaar wees:
Dit is dieselfde as enkelvoudige rente omdat dit slegs oor 'n enkele jaar bereken is.Hierdie opgehoopte balans word die openingsbalans vir die tweede jaar vanbelegging.
Soortgelyk, vir die derde jaar
Ons sien die mag van term is dieselfde as die aantal jare. Dus, die algemeneformule vir die berekening van saamgestelde rente is:
706
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.2 Finansies Saamgestelde rente
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: SAAMGESTELDE RENTE
VRAAG
Mpho wil belê in 'n rekening wat 'n saamgestelde rentekoers van % p.a. aanbied. Hoeveel geld sal daar in die rekening wees aan die einde
van jaar?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
Stap 2: Skryf die formule neer
707
Stap 3: Vervang die waardes
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer
Mpho sal in die rekening hê aan die einde van jaar.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.2 Voorbeeld 5
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: BEREKENING VAN DIESAAMGESTELDE RENTEKOERS OM DIE VERLANGDE GROEITE BEHAAL
VRAAG
Charlie het ontvang vir sy sestiende verjaarsdag. Hy wil dit niespandeer nie, maar besluit om dit iewers te belê sodat hy 'n deposito van
op 'n motor op sy agtiende verjaarsdag het. Watter saamgestelderentekoers benodig hy om hierdie groei in sy geld te bewerkstelling? Bespreekjou antwoord.
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
708
Stap 2: Skryf die formule neer
Stap 3: Vervang die waardes en los op vir
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer en lewer kommentaar
Charlie moet 'n belegging vind wat 'n rentekoers van % p.a.aanbied ten einde die verlangde groei te behaal. 'n Tipiese spaarrekeninggee 'n opbrengs van ongeveer % p.a. en 'n aggressiewebeleggingsportefeulje gee 'n opbrengs van ongeveer % p.a. Dit lyk dusonwaarskynlik dat Charlie sy geld teen 'n rentekoers van % p.a. salkan belê.
709
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.2 Voorbeeld 6
Laai af
Die krag van saamgestelde rente
Om aan te toon hoe belangrik “rente op rente” is, vergelyk ons die verskil in diesluitingsbalanse van 'n belegging wat enkelvoudige rente verdien en 'n belegging watsaamgestelde rente verdien. Beskou 'n bedrag van belê vir jaar, teen'n rentekoers van % p.a.
Die sluitingsbalans vir die belegging wat enkelvoudige rente verdien, is
Die sluitingsbalans vir die belegging wat saamgestelde rente verdien is
Ons dui die groei van die twee beleggings op dieselfde assestelsel aan en neem diebeduidende verskil waar in hulle groeitempo: enkelvoudige rente is 'n reguitlyn grafieken saamgestelde rente is 'n eksponensiële grafiek.
710
Dit is makliker om die groot verskil in hulle groei te sien as ons die tydsperiode verlengtot jaar:
711
1.
2.
3.
4.
5.
OEFENING 9.2.1
Hou in gedagte dat dit goeie en slegte nuus is.Wanneer rente verdien word op 'nbelegging, help saamgestelde rente dat die bedrag eksponensieel groei. Maar, as geldgeleen word, sal die opgehoopte bedrag van geld wat geskuld word, ookeksponensieel toeneem.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat 'n saamgestelderentekoers van % p.a. betaal. Bereken die balans wat opgebou het teendie einde van jaar.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat 'n saamgestelderentekoers van % p.a. betaal.Bereken die balans wat opgebou het teen die einde van jaar. Soosgewoonlik, met finansiële berekeninge, rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke, maar moenie afrond voor die finale antwoord nie.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat 'n saamgestelderentekoers van % p.a. betaal.Bereken die balans wat opgebou het teen die einde van jaar. Soosgewoonlik, met finansiële berekeninge, rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke, maar moenie afrond voor die finale antwoord nie.
Nicola wil 'n bedrag geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.Hoeveel geld (tot die naaste rand) behoort sy te belê as sy die som van
wil bereik in vyf jaar?
Thobeka wil geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.712
6.
7.
8.
9.
Hoeveel geld behoort sy te belê as sy 'n som van wil bereik in jaar? Rond jou antwoord op tot die naaste rand.
Likengkeng wil 'n bedrag geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.
Hoeveel geld behoort sy te belê as sy 'n som van wil bereik in jaar? Rond jou antwoord op tot die naaste rand.
Morgan belê in 'n rekening wat 'n eenmalige bedrag uitbetaal aandie einde van jaar. As hy kry aan die einde van die periode,watter saamgestelde rentekoers het die bank vir hom aangebied?
Kabir belê in 'n rekening wat 'n eenmalige bedrag uitbetaal aan dieeinde van jaar.As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelderentekoers het die bank vir hom aangebied? Gee die antwoord korrek tot eendesimale plek.
Bongani belê in 'n rekening wat 'n eenmalige bedrag uitbetaal aandie einde van jaar.As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelderentekoers het die bank vir hom aangebied? Gee die antwoord korrek tot eendesimale plek.
713
9.3 Berekening deur gebruik vanenkelvoudige en saamgestelde rente
Huurkoop
As 'n algemene reël is dit nie verstandig om items op krediet te koop nie. Wanneer jyop krediet koop, moet jy geld leen om te betaal vir die aankoop, wat beteken dat jymeer betaal as gevolg van die rente op die lening. Bygesê, van tyd tot tyd is daartoerusting, soos 'n yskas, waarsonder mens moeilik kan lewe. Meeste mense het niedie kontant om sulke items direk te koop nie, dus koop hulle dit met 'nhuurkoopooreenkoms.
'n Huurkoopooreenkoms is 'n finansiële ooreenkoms tussen die winkel en die klant oorhoe die klant vir die produk wat hy wil hê, gaan betaal.Die rente op 'nhuurkoopooreenkoms word altyd bereken teen 'n enkelvoudige rentekoers en wordslegs bereken op die bedrag wat nog geskuld word. Meeste ooreenkomste vereis dat'n deposito betaal moet word voordat die klant die produk kan neem. Dieaanvangsbedrag van die lening is dus die kontant minus die deposito. Diegeakkumuleerde lening sal bereken word oor die aantal jare waarvoor die leningbenodig word. Die totale leningsbedrag word dan verdeel in maandelikse paaiementeoor die totale periode van die lening.
BELANGRIK
Huurkoop word bereken teen 'n enkelvoudige rentekoers. Wanneer jy 'n vraagoor huurkoop gevra word, onthou om altyd die enkelvoudige rente formule tegebruik.
714
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: HUURKOOP
VRAAG
Troy wil 'n addisionele skerm vir sy rekenaar koop en hy het een gesien wat opdie internet geadverteer is vir . Daar is 'n opsie om % deposito tebetaal en dan maandelikse paaiemente te betaal met 'nhuurkoopooreenkoms, waar rente bereken word teen % p.a. enkelvoudigerente. Bereken wat Troy se maandelikse paaiement sal wees.
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
'n Nuwe openingsbalans moet bepaal word as die % deposito kontantbetaal word.
Stap 2: Skryf die formule neer
Stap 3: Vervang die waardes
715
Stap 4: Bereken die maandelikse paaiement op die
huurkoopooreenkoms
Stap 5: Skryf die finale antwoord neer
Troy se maandelikse paaiement is .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.3 Voorbeeld 7
Laai af
'n Winkel kan ook 'n maandelikse versekeringspremie hef op die maandeliksepaaiemente. Hierdie versekeringspremie sal 'n bedrag wees wat maandeliks betaalword en dit gee die klant meer tyd tussen 'n oorgeslane paaiement en beslagleggingvan die produk.
LET WEL
Die maandelikse betaling word ook die maandelikse paaiement genoem.
716
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: HUURKOOP METADDISIONELE VOORWAARDES
VRAAG
Cassidy wil 'n televisiestel koop en besluit om een te koop op 'nhuurkoopooreenkoms. Die kontantprys van die televisiestel is . Sy saldit betaal oor 'n tydperk van maande teen 'n rentekoers van % p.a. 'nVersekeringspremie van word by elke maandelike paaiementgevoeg. Hoe groot is haar maandelikse betaling?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
Die vraag noem nie 'n deposito nie, dus aanvaar ons Cassidy het nie eenbetaal nie.
Stap 2: Skryf die formule neer
Stap 3: Vervang die waardes
717
a)
b)
c)
d)
1.Angelique wil 'n mikrogolfoond koop met 'n huurkoopooreenkoms.Die kontantprys van die mikrogolfoond is . Sy moet 'ndeposito van % betaal en sy delg die res van die lening oor maande teen 'n rentekoers van % p.a.
OEFENING 9.3.1
Stap 4: Bereken die maandelikse paaiement op die
huurkoopooreenkoms
Stap 5: Voeg die versekeringspremie by
Stap 6: Skryf die finale antwoord neer
Cassidy sal per maand betaal vir maande voordat haarTV afbetaal is.
Wat is die leningsbedrag?
Wat is die opgehoopte leningsbedrag?
Wat is Angelique se maandelikse terugbetalings?
Wat is die totale bedrag wat sy betaal het vir die mikrogolfoond?718
a)
b)
c)
d)
2.Nyakallo wil 'n televisiestel koop met 'n huurkoopooreenkoms. Diekontantprys van die televisiestel is . Daar word van haarverwag om 'n deposito van % te betaal en om die oorblywendelening af te betaal oor maande, teen 'n rentekoers van % p.a.
a)
b)
c)
d)
3.'n Maatskappy wil 'n rekenaardrukker koop. Die kontantprys van diedrukker is . 'n Deposito van % moet betaal word. Dieoorblywende bedrag sal afbetaal word oor maande teen 'nrentekoers van % p.a.
Wat is die leningsbedrag?
Wat is die opgehoopte bedrag?
Wat is Nyakallo se maandelikse terugbetaling?
Wat is die totale bedrag wat sy betaal het vir die televisiestel?
Wat is die leningsbedrag?
Wat is die opgehoopte bedrag?
Hoeveel sal die maatskappy elke maand betaal?
Wat is die totale bedrag wat die maatskappy betaal het vir diedrukker?
719
a)
b)
c)
4.Sandile koop 'n eetkamertafel wat kos met 'nhuurkoopooreenkoms. Hulle hef 'n rentekoers van % p.a. oor jaar.
a)
b)
c)
5.Mike koop 'n tafel wat kos met 'n huurkoopooreenkoms. Hyword aangeslaan teen 'n rentekoers van % p.a. oor jaar.
a)
b)
c)
6.Talwar koop 'n kas wat kos op huurkoop. Hy word gevraom 'n rentekoers van % p.a. oor jaar te betaal.
Hoeveel sal Sandile in totaal betaal?
Hoeveel rente betaal hy?
Wat is die maandelikse paaiement?
Hoeveel betaal Mike in totaal?
Hoeveel rente betaal hy?
Wat is die maandelikse paaiement?
Hoeveel sal Talwar in totaal betaal?
Hoeveel rente betaal hy?
Wat is die maandelikse paaiement?
720
a)
b)
7.'n Sitkamerstel word te koop geadverteer op televisie. Dit kanafbetaal word oor maande teen per maand.
8.
9.
10.
As dit aanvaar word dat geen deposito betaalbaar is nie, hoeveel saldie koper betaal vir die sitkamerstel wanneer dit uiteindelik afbetaalis?
As die rentekoers % p.a. is, wat is die kontantprys van die stel?
Twee winkels bied 'n gesamentlike yskas en wasmasjien pakket aan. WinkelA bied 'n maandelikse paaiement van oor maande aan. Winkel Bbied 'n maandelikse paaiement van oor maande aan.As beide winkels % rente vra, by watter winkel behoort jy die yskas enwasmasjien pakket te koop as jy die minste rente wil betaal?
Tlali wil 'n nuwe rekenaar koop en besluit om een te koop met 'nhuurkoopooreenkoms. Die kontantprys van die rekenaar is . Hy saldit betaal oor 'n tydperk van maande teen 'n rentekoers van % p.a. 'nVersekeringspremie van word by elke maandelike paaiementgevoeg. Hoe groot is sy maandelikse betalings?
Richard beplan om 'n nuwe stoof te koop op huurkoop. Die kontantprys vandie stoof is . Hy betaal 'n deposito van % en betaal dan dieoorblywende bedrag af oor maande teen 'n rentekoers van % p.a. 'nVersekeringspremie van word bygevoeg by elke maandeliksepaaiement. Bereken Richard se maandelikse paaiement.
Inflasie721
Inflasie
Daar is baie faktore wat veranderinge in die prys van 'n item beïnvloed, en een vanhierdie faktore is inflasie. Inflasie is die gemiddelde jaarlikse toename in die prys vangoedere en dit word uitgedruk as 'n persentasie. Aangesien die inflasiekoers jaar opjaar toeneem, word dit bereken deur die saamgestelde rente formule te gebruik.
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: BEREKEN TOEKOMSTIGEKOSTE GEBASEER OP INFLASIE
VRAAG
Melk kos vir twee liter. Hoeveel sal dit kos oor jaar as dieinflasiekoers % p.a. is?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
Stap 2: Skryf die formule neer
Stap 3: Vervang die waardes
722
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer
Oor vier jaar sal twee liter melk kos.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.3 Voorbeeld 9
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: BEREKEN VROEËRE KOSTEGEBASEER OP INFLASIE
VRAAG
'n Boks sjokolade kos vandag . Hoeveel het dit jaar gelede gekos asdie gemiddelde inflasiekoers % p.a. was?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
Stap 2: Skryf die formule neer
723
1.
2.
3.
4.
OEFENING 9.3.2
Stap 3: Vervang die waardes en los op vir
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer
Drie jaar gelede sou die boks sjokolade gekos het.
Die prys van sakkie appels is . Hoeveel sal dit oor jaar kos as dieinflasiekoers % p.a. is?
Die prys van 'n sak aartappels is .Hoeveel sal dit oor jaar kos as die inflasiekoers % p.a. is?
Die prys van 'n boks springmielies is . Hoeveel sal dit oor jaar kos asdie inflasiekoers % p.a. is?
'n Pakkie rosyntjies kos vandag . Hoeveel het dit jaar gelede gekosas die gemiddelde inflasiekoers % p.a. was? Rond jou antwoord af tot 2desimale plekke.
724
5.
6.
7.
'n Blik koekies kos vandag . Hoeveel het dit jaar gelede gekos as diegemiddelde inflasiekoers % p.a. was? Rond jou antwoord af tot 2desimale plekke.
As die gemiddelde inflasiekoers oor die afgelope paar jaar % p.a. was enjou water en kragrekening is nou gemiddeld , wat kan jy verwag omte betaal oor jaar?
'n Pak springmielies en 'n Coke kos nou by die flick. As diegemiddelde inflasiekoers % p.a. is, wat was die prys van springmielies enCoke jaar gelede?
Bevolkingsgroei
Familiestambome groei eksponsieel aangesien elke persoon wat gebore word diemoontlikheid het om 'n nuwe familie te begin. Om hierdie rede bereken ons diebevolkingsgroei deur die saamgestelde groei formule te gebruik.
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: BEVOLKINGSGROEI
VRAAG
As die huidige bevolking van Johannesburg is, en die gemiddeldebevolkingsgroei in SuidAfrika % p.a. is, wat kan stadsbeplanners verwagsal die bevolking van Johannesburg oor jaar wees?
725
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer
Stap 2: Skryf die formule neer
Stap 3: Vervang die waardes
Stap 4: Skryf die finale antwoord neer
Stadsbeplanners kan verwag dat Johannesburg se bevolking oor tien jaar sal wees.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.3 Populasiegroei
Laai af
726
1.
2.
3.
OEFENING 9.3.3
Die huidige bevolking van Durban is en die gemiddeldebevolkingsgroei van SuidAfrika is % p.a.Hoeveel kan die stadsbeplanners van Durban verwag sal die bevolking vandie stad oor jaar wees? Rond jou antwoord af tot die naaste heelgetal.
Die huidige bevolking van Polokwane is en die gemiddeldebevolkingsgroei in SuidAfrika is % p.a.Wat kan die stadsbeplanners verwag sal die bevolking van Polokwane oor
jaar wees? Rond jou antwoord af tot die naaste heelgetal.
'n Klein dorpie in Ohio, VSA, ondervind 'n groot toename in geboortes. As diegemiddelde groeikoers van die bevolking % p.a. is, hoeveel babas salgebore word vir die inwoners in die volgende jaar?
Buitelandse wisselkoerse
Verskillende lande het verskillende geldeenhede. In Engeland kos 'n Big Mac vanMcDonald's , in SuidAfrika kos dit en in Noorweë kos dit kr. Diemaaltyd is dieselfde in al drie lande maar in sommige plekke kos dit meer as in ander.
As en , beteken dit 'n Big Mac in Engeland kos en 'n Big Mac in Noorweë kos .
Wisselkoerse beïnvloed veel meer as slegs die prys van 'n Big Mac. Die prys van olieneem toe wanneer die SuidAfrikaanse rand verswak. Dit gebeur omdat ons met 'n
727
swakker rand minder van ander geldeenhede kan koop vir dieselfde bedrag geld.
'n Geldeenheid versterk wanneer geld belê word in die land. Wanneer ons SuidAfrikaans vervaardigde produkte koop, belê ons in SuidAfrikaanse besighede en houons die geld in die land. Wanneer ons ingevoerde produkte van ander lande koop,belê ons geld in daardie lande en gevolglik sal die rand verswak. Hoe meer SuidAfrikaanse produkte ons koop, hoe groter word die aanvraag daarvoor en dit skepmeer werksgeleenthede vir SuidAfrikaners. Local is lekker!
LET WEL
Die drie geldeenhede wat jy waarskynlik die meeste sal sien, is die Britse pond(£), die Amerikaanse dollar ( ) en die euro (\euro).
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: BUITELANDSEWISSELKOERSE
VRAAG
Saba wil haar familie in Spanje gaan besoek. Sy het ontvang omdaar te spandeer. Hoeveel euro kan sy koop met die huidige wisselkoers van€ ?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die vergelyking neer
Laat die ekwivalente bedrag euro wees
728
a)
b)
c)
1.Bridget wil 'n iPod koop wat kos, met die wisselkoers tansop . Sy bereken dat die wisselkoers in 'n maand setyd sal daal tot .
a)
2.Mthuli wil 'n televisiestel koop wat kos, met die huidigewisselkoers op . Hy beraam dat die wisselkoers saldaal tot oor 'n maand.
OEFENING 9.3.4
Stap 2: Skryf die finale antwoord neer
Saba kan € koop met .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 9.3 Voorbeeld 12
Laai af
Hoeveel sal die iPod in rand kos as sy dit nou koop?
Hoeveel sal sy spaar as die wisselkoers daal tot ?
Hoeveel sal sy verloor as die wisselkoers verander na ?
Hoeveel sal die televisiestel in rand kos as hy dit nou koop?
729
b)
c)
a)
b)
c)
3.Nthabiseng wil 'n iPad koop wat kos, met die huidigewisselkoers op . Sy skat dat die wisselkoers sal daaltot oor 'n maand.
4.Bestudeer die volgende wisselkoerstabel:
Land Geldeenheid Wisselkoers
Verenigde Koninkryk van Brittanje(VK) Pond (£)
Verenigde State van Amerika (VSA) Dollar ( )
a)
Hoeveel sal hy spaar as die wisselkoers daal tot ?
Hoeveel sal hy verloor as die wisselkoers verander na ?
Hoeveel rand sal die iPad kos as sy dit nou koop?
Hoeveel sal sy spaar as die wisselkoers daal tot ?
Hoeveel sal sy verloor as die wisselkoers verander na ?
In SuidAfrika kos 'n nuwe Honda Civic . In Engelandkos dieselfde motor en in die VSA . Inwatter land is die motor die goedkoopste?
730
b)
5.
6.
7.Lulamile en Jacob bied oor naweke toere aan. Hulle vra nie geld virtoere nie, maar aanvaar fooitjies van die groep. Die tabel hierondertoon die fooitjies aan wat hulle van die verskillende toergroepeontvang het.
Sollie en Arinda is kelners by 'n restaurant in SuidAfrika wat baiebuitelandse toeriste ontvang. Sollie ontvang 'n fooitjie van van'n toeris en Arinda een van . Wie het die grootste fooitjieontvang?
Yaseen wil 'n boek oor die internet koop. Hy kry 'n uitgewer in London wat dieboek verkoop vir . Hierdie uitgewer bied gratis versending van dieproduk aan.Hy vind uit dieselfde boek is beskikbaar by 'n uitgewer in New York vir
met 'n versendingsfooi van .Vervolgens kyk hy na die wisselkoerse om te sien watter uitgewer die beste
aanbod het. As en , van watteruitgewer behoort hy die boek te koop?
Mathe spaar om haar vriend in Duitsland te gaan besoek. Sy bereken dat dietotale koste van haar reis sal wees. Die wisselkoers is tans
.Mathe se vriend besluit om haar te help en hy gee vir haar .Hoeveel geld (in rand) moet Mathe nou nog spaar?
Groep Totale fooie
Britse toeriste
Japanese toeriste731
Die huidige wisselkoerse is:
a)
b)
8.
Amerikaanse toeriste
Nederlandse toeriste
Brasiliaanse toeriste
Australiese toeriste
SuidAfrikaanse toeriste
Watter groep toeriste het die beste fooi gegee? Hoeveel het hullegegee (in rand)?
Watter groep toeriste het die swakste fooitjies gegee? Hoeveel hethulle gegee (in rand)?
Kayla beplan om haar familie in Malawi te besoek en om daarna tyd tespandeer in die Serengeti Reservaat in Tanzanië. Sy moet eers haar SuidAfrikaanse rande omskakel na Malawi kwacha. Daarna moet sy haaroorblywende Malawi kwacha omskakel na Tanzanië sjielings.Sy vind uit oor die huidige wisselkoerse en vind die volgende inligting:
Sy begin met in SuidAfrika. In Malawi spandeer sy . Wanneer sy die oorblywende Malawi kwacha vir Tanzanië
sjieling omruil, hoeveel geld het sy (in Tanzanië sjieling)?
732
Hoofstuk opsommingDaar is twee tipes rentekoerse:
Enkelvoudige rente Saamgestelde rente
Waar:
Huurkoop leningsterugbetalings word bereken deur die toepassing van dieenkelvoudige rente formule op die kontantprys minus die deposito. Maandelikseterugbetalings word bereken deur die opgehoopte bedrag te deel deur die aantalmaande vir die terugbetaling.
Bevolkingsgroei en inflasie word bereken deur die saamgestelde rente formulete gebruik.
Buitelandse wisselkoerse is die prys van een geldeenheid in terme van 'n andereen.
733
1.
2.
3.
4.
5.
HOOFSTUK 9: HERSIENINGSOEFENINGE
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % p.a. betaal. Bereken die balans wat geakkumuleer hetteen die einde van jaar.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % p.a. betaal. Bereken die balans wat geakkumuleer hetteen die einde van jaar.
Adam open 'n spaarrekening toe hy jaar oud is. Hy wil hêteen die tyd dat hy is. As die spaarrekening enkelvoudige rente aanbiedteen ' n koers van % per annum, hoeveel geld moet hy nou belê om sydoel te bereik?
Toe sy seun jaar oud was, het Dumile gedeponeer in die bank.Die belegging het teen 'n enkelvoudige rentekoers gegroei en toe Dumile seseun jaar oud was, was die waarde van die belegging . Teenwatter koers is die geld hele? Gee die antwoord korrek tot een desimale plek.
Toe sy seun jaar oud was, het Jared 'n deposito van in die bankgemaak. Die belegging het teen 'n enkelvoudige rentekoers gegroei en toeJared se seun jaar oud was, was die waarde van die belegging
. Teen watter koers is die geld hele? Gee die antwoord korrektot een desimale plek.
734
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Sehlolo wil belê teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om te groei tot ? Rond jouantwoord op tot die naaste jaar.
Mphikeleli wil belê teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om te groei tot ? Rond jouantwoord op tot die naaste jaar.
'n Bedrag van is belê in 'n rekening wat enkelvoudige rente betaalteen 'n koers van % per annum. Bereken die bedrag geakkumuleerderente teen die einde van jaar.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat 'n saamgestelderentekoers van % p.a. betaal.Bereken die balans wat opgebou het teen die einde van jaar. Soosgewoonlik, met finansiële berekeninge, rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke, maar moenie afrond voor die finale antwoord nie.
'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat 'n saamgestelderentekoers van % p.a. betaal.Bereken die balans wat opgebou het teen die einde van jaar. Soosgewoonlik, met finansiële berekeninge, rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke, maar moenie afrond voor die finale antwoord nie.
Emma wil geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.Hoeveel geld behoort sy te belê as sy 'n som van wil bereik in jaar? Rond jou antwoord op tot die naaste rand.
735
12.
a)
b)
c)
13.Bereken die saamgestelde rente vir die volgende probleme.
14.
15.
a)
16.Bereken hoeveel jy sal kry as jy belê vir jaar teen dievolgende rentekoerse:
Limpho wil geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.Hoeveel geld behoort sy te belê as sy 'n som van wil bereik in jaar? Rond jou antwoord op tot die naaste rand.
'n lening vir jaar teen % p.a.
'n belegging vir jaar teen % p.a.
'n lening vir jaar teen % p.a.
Ali belê in 'n rekening wat 'n enkelbedrag uitbetaal aan die eindevan jaar.As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelderentekoers het die bank vir hom aangebied? Gee jou antwoord korrek tot eendesimale plek.
Christopher belê in 'n rekening wat 'n enkelbedrag uitbetaal aan dieeinde van jaar.As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelderentekoers het die bank vir hom aangebied? Gee jou antwoord korrek tot eendesimale plek.
% enkelvoudige rente
736
b)
17.
a)
b)
18.Gegee:'n Lening van vir 'n jaar teen 'n rentekoers van % p.a.
19.
a)
20.Bespreek:
% saamgestelde rente
Bianca het om te belê vir jaar. Bank A bied 'n spaarrekening aanwat enkelvoudige rente betaal teen 'n koers van % per annum, terwylBank B 'n spaarrekening aanbied wat saamgestelde rente betaal teen 'nkoers van % per annum. Watter rekening sal vir Bianca die grootstegeakkumuleerde balans oplewer teen die einde van jaar?
Hoeveel enkelvoudige rente is betaalbaar op die lening?
Hoeveel saamgestelde rente is betaalbaar op die lening?
is belê teen 'n rentekoers van % per annum.Voltooi die volgende tabel.
Aantal jare Enkelvoudige rente Saamgestelde rente
Watter tipe rente sou jy graag wou gebruik as jy 'n lener is?
737
b)
a)
b)
c)
d)
21.Portia wil 'n televisiestel koop op 'n huurkoopooreenkoms. Diekontantprys van die televisiestel is . Sy moet 'n depositobetaal van % en sy betaal die oorblywende leningsbedrag af oor
maande teen 'n rentekoers van % p.a.
a)
b)
c)
d)
22.Gabisile wil 'n verwarmer koop op huurkoop. Die kontantprys van dieverwarmer is . Sy moet 'n deposito betaal van % enbetaal die oorblywende lening af oor maande teen 'n rentekoersvan % p.a.
Watter tipe rente sou jy wou gebruik as jy die bankier is?
Wat is die leningsbedrag?
Wat is die opgehoopte bedrag?
Wat is Portia se maandelike terugbetaling?
Wat is die totale bedrag wat sy betaal het vir die televisiestel?
Wat is die leningsbedrag?
Wat is die opgehoopte bedrag?
Wat is Gabisile se maandelikse paaiement?
Wat is die totale bedrag wat sy betaal het vir die verwarmer?
738
a)
b)
c)
23.Khayalethu koop 'n bank wat kos met 'nhuurkoopooreenkoms. Hulle hef 'n rentekoers van % p.a. oor jaar.
a)
b)
c)
24.Jwayelani koop 'n sofabed van met 'nhuurkoopooreenkoms. Die rentekoers is % p.a. oor jaar.
25.
26.
Hoeveel sal Khayalethu in totaal betaal?
Hoeveel rente betaal hy?
Wat is die maandelikse paaiement?
Hoeveel sal Jwayelani in totaal betaal?
Hoeveel rente betaal hy?
Wat is die maandelikse paaiement?
Bonnie koop 'n stoof vir . Na jaar is sy klaar betaal aan die stoofen die rente wat gehef was vir die huurkoop. Bepaal dieenkelvoudige rentekoers wat gehef was.
'n Nuwe meubelwinkel het pas oopgemaak in die dorp en hulle het dievolgende spesiale aanbiedings:
739
27.
28.
29.
30.
Koop 'n sitkamerstel, 'n slaapkamerstel en die kombuistoerusting (yskas,stoof, wasmasjien) vir slegs en ontvang 'n gratis mikrogolfoond.Geen deposito word verlang nie en 'n jaar afbetalingsplan is beskikbaar.Rente word gehef teen slegs % p.a.Babelwa koop al die items op huurkoop. Sy besluit om 'n deposito van
te betaal. Die winkel voeg 'n versekeringspremie van permaand by.Wat is Babelwa se maandelikse paaiement op die items?
Die prys van 2 liter melk is . Hoeveel sal dit oor jaar kos as dieinflasiekoers % p.a. is?
Die prys van 'n bottel vrugtesap is . Wat sal die sap oor jaar kosmet 'n inflasiekoers % p.a.?
'n Boks vrugtelekkers kos vandag . Hoeveel het dit jaar geledegekos as die gemiddelde inflasiekoers % p.a. was? Rond jou antwoord aftot 2 desimale plekke.
'n Boksie Smarties kos vandag . Hoeveel het dieselfde boksie jaargelede gekos as die gemiddelde inflasiekoers % p.a. was? Rond jouantwoord af tot 2 desimale plekke.
740
a)
b)
31.Volgens die laaste sensus, het SuidAfrika tans 'n bevolking van
.
32.
33.
a)
34.Monique wil 'n iPad koop wat kos, met die wisselkoers tansop = . Sy skat dat die wisselkoers sal daal tot oor'n maand.
As die verwagte jaarlikse groeitempo % is, bereken hoeveelSuidAfrikaners sal daar oor jaar wees (korrek tot die naastehonderd duisend).
As dit na jaar blyk dat die bevolking in der waarheid gegroei hetmet miljoen tot miljoen, wat was die groeitempo?
Die huidige bevolking van Kaapstad is en die gemiddeldebevolkingsgroei in SuidAfrika is % p.a.Wat verwag die stadsbeplanners sal die bevolking van Kaapstad oor jaarwees? Nota: Rond jou antwoord af tot die naaste heelgetal.
Die huidige bevolking van Pretoria is en die gemiddeldebevolkingsgroei in SuidAfrika is % p.a.Wat sal die bevolking van Pretoria oor jaar wees? Nota: Rond jou antwoordaf tot die naaste heelgetal.
Hoeveel sal die iPad kos, in rand, as sy dit nou koop?
741
b)
c)
a)
b)
c)
35.Xolile wil 'n CD speler koop wat kos, terwyl die huidigewisselkoers is. Sy skat dat die wisselkoers sal daaltot in 'n maand.
36.
37.
38.
Hoeveel sal sy spaar as die wisselkoers daal tot ?
Hoeveel sal sy verloor as die wisselkoers verander na ?
Hoeveel sal die CD speler kos, in rand, as sy dit nou koop?
Hoeveel sal sy spaar as die wisselkoers val tot ?
Hoeveel sal sy verloor as die wisselkoers verander na ?
Alison gaan met vakansie na Europa. Haar hotel kos per nag.Hoeveel geld het sy nodig, in rand, om haar hotel rekening te kan betaal teen
'n wisselkoers van ?
Jennifer koop boeke op die internet. Sy vind 'n uitgewer in die VK wat dieboeke verkoop vir .
Sy vind dieselfde boeke by 'n uitgewer in die VSA vir .Vervolgens kyk sy na die wisselkoers om te sien watter uitgewer vir haar die
beste opsie gee. As en , van watteruitgewer behoort sy die boeke te koop?
Bonani wen 'n reis na Machu Picchu in Peru, gevolg deur 'n toer na Brasiliëvir die karnaval. Hy kry om te spandeer op sy toer.
742
39.
40.
Hy kyk vervolgens na die huidige wisselkoerse en vind die volgende inligting:
In Peru spandeer hy . Hoeveel geld het hy (in Brasilië real)nadat hy sy orige Peru sol omgeskakel het na Brasilië real of BRL?
As die wisselkoers van die Rand tot die Japanese Yen ¥ = is,en tot die Australiese dollar AUD = is, bereken die wisselkoerstussen die Australiese dollar en die Japanese yen.
Khetang was onlangs vir 'n paar maande in Europa vir werk. Hy keer terug naSuidAfrika met om te belê in 'n spaarrekening.Sy bank bied hom 'n spaarrekening aan wat % saamgestelde rente perannum betaal. Die bank skakel Khetang se euro om na rand teen 'n
wisselkoers van .As Khetang sy geld belê vir jaar, hoeveel rente verdien hy op sybelegging?
743
HOOFSTUK 10: STATISTIEK
InleidingWanneer ons 'n eksperiment uitvoer of 'n opname doen, kan ons potensieel eindig methonderde, duisende of selfs miljoene waardes in die uiteindelike datastel. Te veel datakan oorweldigend wees en ons moet dit verminder of die data op 'n manier voorstelwat makliker is om te verstaan en te kommunikeer.
Statistiek gaan oor die opsomming van data. Statistiese metodes laat ons toe om dieessensiële inligting in 'n datastel voor te stel terwyl al die onbelangrike inligting tersyde gestel word. Ons moet versigtig wees om seker te maak dat ons nie per ongeluksommige van die belangrike aspekte van 'n datastel weggooi nie.
Deur statistiek behoorlik toe te pas, kan ons die belangrike aspekte van die data uitligen die data makliker maak om te interpreteer. Deur statistiek of oneerlik te gebruik,kan ons belangrike inligting wegsteek en mense verkeerde gevolgtrekkings laat maak.
In hierdie hoofstuk sal ons kyk na 'n paar numeriese en grafiese maniere waarmeedatastelle voorgestel kan word om dit makliker te maak om hulle te interepreteer.
Statistiek word op verskeie webblaaie gebruik om lesers te wys wie na die inhoud van die
betrokke webblad kyk.
744
10.1 Versameling van data
DEFINISIE
Data
Data verwys na die stukkies inligting wat waargeneem en aangeteken is in 'neksperiment of 'n opname.
LET WEL
Die woord data is die meervoud van die woord datum , en dus behoort mens inEngels te sê “the data are” en nie “the data is” nie.
Ons onderskei tussen twee hooftipes data: kwantitatiewe data en kwalitatiewe data.
DEFINISIE
Kwantitatiewe data
Kwantitatiewe data is data wat geskryf kan word as getalle.
Kwantitatiewe data kan diskreet of kontinu wees. Diskrete kwantitatiewe data kanvoorgestel word met heelgetalle en dit kom gewoonlik voor wanneer ons dinge tel,byvoorbeeld, die aantal leerders in 'n klas, die getal molekules in 'n chemieseoplossing, of die aantal SMS boodskappe wat in een dag gestuur word.
Kontinue kwantitatiewe data kan voorgestel word met reële getalle, byvoorbeeld, diehoogte of massa van 'n persoon, die afstand afgelê deur 'n motor, of die lengte van 'n
745
foonoproep.
DEFINISIE
Kwalitatiewe data
Kwalitatiewe data is data wat nie as getalle geskryf kan word nie.
Twee algemene tipes kwalitatiewe data is kategoriale data en anekdotiese data.Kategoriale data kom gewoonlik uit 'n beperkte aantal moontlikhede, byvoorbeeld, jougeliefkoosde koeldrank, die kleur van jou selfoon, of jou huistaal.
Anekdotiese data neem die vorm aan van 'n onderhoud of 'n storie, byvoorbeeld,wanneer jy iemand vra wat hulle persoonlike ervaring was toe hulle 'n sekere produkgebruik het, of wat hulle dink van iemand anders se gedrag.
Kategoriale kwalitatiewe data word somtyds omgeskakel na kwantitatiewe data deurdie aantal kere te tel wat elke kategorie voorkom. Byvoorbeeld, in 'n klas met leerders, vra ons vir almal wat die kleure van hulle selfone is en kry die volgendeantwoorde:
swart swart swart wit pers rooi rooi swart swart swart
wit wit swart swart swart swart pers swart swart wit
pers swart rooi rooi wit swart oranje oranje swart wit
Hierdie is 'n kategoriale kwalitatiewe datastel aangesien elkeen van die antwoorde uit'n klein aantal moontlike kleure kom.
746
Ons kan presies dieselfde data op 'n verskillende manier voorstel deur te tel hoeveelkeer elke kleur voorkom.
Kleur Telling
swart
wit
rooi
pers
oranje
Hierdie is 'n diskrete kwantitatiewe datastel aangesien elke telling 'n heelgetal is.
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: KWALITATIEWE ENKWANTITATIEWE DATA
VRAAG
Thembisile stel daarin belang om lugtyd te herverkoop aan sy klasmaats. Hywil graag weet hoeveel besigheid hy van hulle kan verwag. Hy vra elk van sy
klasmaats hoeveel SMS boodskappe hulle die vorige dag gestuur het. Dieresultate was:
Is hierdie datastel kwalitatief of kwantitatief? Verduidelik jou antwoord.
OPLOSSING
Die getal SMS boodskappe is 'n telling wat verteenwoordig word deur 'nheelgetal, wat beteken dat dit kwantitatief en diskreet is.
747
1.
OEFENING 10.1.1
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: KWALITATIEWE ENKWANTITATIEWE DATA
VRAAG
Thembisile wil graag weet wat die mees gewilde selfoon diensverskaffer isonder die leerders in sy skool. Hierdie keer kies Thembisile, op 'n willekeurigemanier, leerders uit die hele skool en vra hulle watter selfoondiensverskaffer hulle tans gebruik. Die resultate was:
Cell C Vodacom Vodacom MTN Vodacom
MTN MTN Virgin Mobile Cell C 8-ta
Vodacom MTN Vodacom Vodacom MTN
Vodacom Vodacom Vodacom Virgin Mobile MTN
Is hierdie datastel kwalitatief of kwantitatief? Verduidelik jou antwoord.
OPLOSSING
Aangesien elke antwoord nie 'n getal is nie, maar een van 'n klein aantalmoontlikhede, is hierdie kategoriale kwalitatiewe data.
Die volgende datastel van leerders se drome of planne, is ingesamel vanGraad 12 leerders net na hulle finale eksamens.
Kategoriseer die datastel.
748
2.
3.
Die volgende datastel van lekkers in 'n pakkie is ingesamel van besoekersaan 'n lekkergoedwinkel.
Kategoriseer die datastel.
Die volgende datastel van vrae wat korrek beantwoord is, is ingesamel van 'nklas van wiskunde leerders.
Kategoriseer die datastel.
749
10.2 Maatstawwe van sentrale neiging
Gemiddelde
DEFINISIE
Gemiddelde
Die gemiddelde is die som van 'n stel van waardes, gedeel deur die aantalwaardes in die stel. Die notasie vir die gemiddelde van 'n stel waardes is 'nhorisontale balkie oor die veranderlike wat gebruik word om die versamelingte verteenwoordig, byvoorbeeld . Die formule vir die gemiddelde van 'n
datastel is:
Die gemiddelde word somtyds ook die rekenkundige gemiddelde genoem.
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: BEREKENING VAN DIEGEMIDDELDE
VRAAG
Wat is die gemiddelde van die datastel ?
750
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die som van die data
Stap 2: Deel deur die aantal waardes in die datastel om die
gemiddelde te kry
Aangesien daar waardes in die datastel is, is die gemiddelde:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 10.2 Voorbeeld 3
Laai af
Mediaan
DEFINISIE
Mediaan
Die mediaan van 'n datastel is die waarde in die middelste posisie van diedatastel, wanneer die datastel georden is van die kleinste tot die grootstewaarde.
Let daarop dat presies die helfte van die waardes van die datastel kleiner is as die751
mediaan en die ander helfte is groter as die mediaan.
Om die mediaan te bereken van 'n kwantitatiewe datastel, orden eers die data van diekleinste tot die grootste waarde en vind dan die waarde in die middel. As daar 'nonewe aantal waardes in die datastel is, sal die mediaan gelyk wees aan een van diewaardes in die datastel. As daar 'n ewe aantal waardes in die datastel is, sal diemediaan halfpad tussen twee waardes in die datastel wees.
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: MEDIAAN VIR 'N ONEWEAANTAL WAARDES
VRAAG
Wat is die mediaan van ?
OPLOSSING
Stap 1: Orden die waardes
Die waardes in die datastel, gerangskik van die kleinste tot die grootste, is
Stap 2: Vind die getal in die middel
Daar is waardes in die datastel. Aangesien daar 'n onewe aantalwaardes is, sal die mediaan gelyk wees aan die waarde in die middel,naamlik in die vierde posisie. Dus is die mediaan van die datastel.
752
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 10.2 Voorbeeld 4
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: MEDIAAN VIR 'N ONEWEAANTAL WAARDES
VRAAG
Wat is die mediaan van ?
OPLOSSING
Stap 1: Orden die waardes
Die waardes in die datastel, gerangskik van die kleinste tot die grootste, is
Stap 2: Vind die getal in die middel
Daar is waardes in die datastel. Aangesien daar 'n ewe aantal waardesis, sal die mediaan halfpad tussen die middelste twee waardes wees,naamlik tussen die vierde en vyfde posisies. Die waarde in die vierdeposisie is en die waarde in die vyfde posisie is . Die mediaan lêhalfpad tussen hierdie twee waardes en is dus
Modus753
Modus
DEFINISIE
Modus
Die modus van 'n datastel is die waarde wat die meeste voorkom in diedataversameling. Die modus kan ook beskryf word as die waarde met diegrootste frekwensie of die mees algemene waarde in die datastel.
Om die modus te bereken, tel ons eenvoudig die aantal kere wat elke waardevoorkom in die datastel en vind dan die waarde wat die meeste voorkom.
'n Datastel kan meer as een modus hê as daar meer as een waarde is met diehoogste telling. Byvoorbeeld, beide en is modusse in die datastel
. As alle punte in 'n datastel met dieselfde frekwensie voorkom, is ditewe akkuraat om te sê die datastel het baie modusse of geen modus nie.
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VIND DIE MODUS
VRAAG
Vind die modus van die datastel .
754
OPLOSSING
Stap 1: Tel die aantal kere wat elke waarde in die datastel verskyn
Waarde Telling
Stap 2: Vind die waarde wat die meeste voorkom
Van die tabel hierbo kan ons sien dat die enigste waarde is wat keervoorkom. Al die ander waardes verskyn minder as 3 keer. Dus is diemodus van die datastel .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 10.2 Voorbeeld 6
Laai af
Een probleem met die gebruik van die modus as 'n maatstaf van sentrale neiging, isdat ons meestal nie die modus van 'n kontinue datastel kan bereken nie. Aangesienkontinue waardes enige plek op die reële getallelyn kan lê, sal enige spesifiekewaarde feitlik nooit herhaal word nie. Dit beteken dat die frekwensie van elke waardein die datastel sal wees en dat daar dus nie 'n modus sal wees nie. Ons sal kyk naeen manier om die probleem aan te spreek in die afdeling oor die groepering van data.
755
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VERGELYKING VAN DIEMAATSTAWWE VAN SENTRALE NEIGING
VRAAG
Daar is regulasies in SuidAfrika met betrekking tot die produksie van broodom verbruikers te beskerm. As 'n brood nie 'n etiket het nie, moet dit, volgenswet, weeg, met die speling van persent onder of persent oor.Vishnu stel belang in hoe 'n welbekende nasionale verskaffer voldoen aanhierdie standaard. Hy besoek sy plaaslike tak van die verskaffer en teken diemassas van verskillende brode vir een week aan. Die resultate, in gram,word hieronder gegee:
Maandag Dinsdag Woensdag Donderdag Vrydag Saterdag Sondag
1. Is hierdie datastel kwalitatief of kwantitatief? Verduidelik jou antwoord.
2. Bepaal die gemiddelde, mediaan en modus van die massa van 'n broodvir elke dag van die week. Gee jou antwoord korrek tot 1 desimale plek.
3. Gebaseer op hierdie data, dink jy hierdie verskaffer se brode is binne dieSuidAfrikaanse regulasies?
756
OPLOSSING
Stap 1: Kwalitatief of kwantitatief?
Aangesien elke massa verteenwoordig kan word deur 'n getal, is diedatastel kwantitatief. Verder, aangesien die massa enige reële getal kanwees, is die data kontinu.
Stap 2: Bereken die gemiddelde
In elke kolom (vir elke dag van die week), tel ons die metings bymekaar endeel deur die aantal metings, .
Vir Maandag is die som van die gemete waardes en dus is diegemiddelde vir Maandag
Op dieselfde manier kan ons die gemiddelde vir elke dag van die weekbereken. Sien die tabel hieronder vir die resultate.
Stap 3: Bereken die mediaan
In elke kolom sorteer ons die getalle van die laagste tot die hoogste en virdie waarde in die middel. Aangesien daar 'n ewe aantal metings is, ( ),is die mediaan halfpad tussen die twee getalle in die middel.
Vir Maandag is die geordende lys van getalle
Die twee getalle in die middel is en en dus is die mediaan
757
Op dieselfde manier kan ons die mediaan vir elke dag van die weekbereken:
Dag Gemiddelde Mediaan
Maandag
Dinsdag
Woensdag
Donderdag
Vrydag
Saterdag
Sondag
Van die berekenings hierbo kan ons sien dat die gemiddeldes en diemediane naby aan mekaar is, maar nie heeltemal dieselfde is nie. In dievolgende uitgewerkte voorbeeld sal ons sien dat die gemiddelde en diemediaan nie altyd naby aan mekaar is nie.
Stap 4: Bepaal die modus
Aangesien die data kontinu is, kan ons nie die modus bereken nie. In dievolgende afdeling sal ons wys hoe ons data kan groepeer ten einde ditmoontlik te maak om 'n benaderde modus te bereken.
Stap 5: Gevolgtrekking: Is die verskaffer betroubaar?
Soos gemeld in die vraag, is die voorskrif dat die massa van 'n brood moetlê tussen minus %, wat is, en plus %, wat is.Aangesien elke meting wat Vishnu gemaak het binne hierdie omvang lê enal die mediane naby aan lê, kan ons aflei dat die verskafferbetroubaar is.
758
DEFINISIE
Uitskieter
'n Uitskieter is 'n waarde in die datastel wat nie tipies is van die res van diestel nie. Dit is gewoonlik 'n waarde wat baie groter of baie kleiner is as al dieander waardes in die datastel.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 10.2 Uitskieter
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: EFFEK VAN UITSKIETERS OPDIE GEMIDDELDE EN DIE MEDIAAN
VRAAG
Die lengtes van leerders word in sentimeters gemeet om die volgendedatastel te verkry:
Agterna sluit ons nog een leerder, met 'n uitsonderlike lengte van , indie groep in.
Vergelyk die gemiddelde en die mediaan van die lengtes van die leerders vooren na die elfde leerder ingesluit is.
759
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die gemiddelde van die eerste leerders
Stap 2: Bereken die gemiddelde van al leerders
Ons sien dat die gemiddelde lengte met verander wanneer ons die uitskieter (die lang persoon) insluit in diedatastel.
Stap 3: Bereken die mediaan van die eerste leerders
Om die mediaan te vind, moet ons die datastel orden:
Aangesien daar 'n ewe aantal waardes is, naamlik , lê die mediaanhalfpad tussen die vyfde en die sesde waardes:
Stap 4: Bereken die mediaan van al leerders
Nadat die lang leerder ingesluit is, is die geordende datastel
Nou, met waardes, is die mediaan die sesde waarde: . Dus,die mediaan verander slegs met wanneer ons die uitskieter bytel
760
1.
2.
3.
a)
b)
c)
4.Bereken die gemiddelde, die mediaan en die modus van dievolgende datastelle:
OEFENING 10.2.1
by die datastel.
In die algemeen word die mediaan minder geaffekteer deur die byvoegingvan uitskieters by 'n datastel, as die gemiddelde. Dit is belangrik omdat ditheel algemeen voorkom dat uitskieters gemeet word gedurende 'neksperiment as gevolg van probleme met toerusting of onverwagteinmenging.
Bereken die gemiddelde van die volgende datastel:
. Rond jou antwoord af tot 1 desimale plek.
Bereken die mediaan van die volgende datastel:
.
Bereken die modus van die volgende datastel:
761
d)
5.
6.
7.
8.
Die ouderdomme van atlete in die Comrades Marathon is opgeteken:
Bereken die gemiddelde, die mediaan en die modale ouderdom.
'n Groep van 10 vriende het 'n aantal klippies tussen hulle. Hulle werk uit datdie gemiddelde aantal klippies wat hulle het, 6 is. Vervolgens verlaat 7 vandie vriende die groep met 'n onbekende aantal ( ) van die klippies. Dieoorblywende 3 vriende werk uit die gemiddelde aantal klippies wat hulle oorhet, is.Hoeveel klippies het die 7 vriende met hulle saamgeneem toe hulle padgegeehet?
'n Groep van 9 vriende het elk 'n aantal muntstukke. Hulle werk uit dat diegemiddelde aantal muntstukke wat hulle het, 4 is. Dan verlaat 5 vriende diegroep en neem 'n onbekende aantal ( ) munte met hulle saam. Dieoorblywende 4 vriende bereken dat die gemiddelde aantal muntstukke wathulle nou oor het, is.Hoeveel muntstukke het die 5 vriende met hulle saamgeneem toe hulle wegis?
'n Groep van 9 vriende het elkeen 'n aantal albasters. Hulle bereken dat diegemiddelde aantal albasters wat hulle het 3 is. Dan verlaat 3 vriende diegroep met 'n onbekende aantal ( ) albasters. Die oorblywende 6 vriendewerk uit dat die gemiddelde aantal albasters wat hulle nou oor het, is.Hoeveel albasters het die 3 vriende met hulle saamgeneem toe hulle diegroep verlaat het?
762
a)
b)
9.In die eerste van 'n reeks flessies is daar lekkertjie. In die tweedeflessie is daar lekkers. Die gemiddelde aantal lekkers in die eerstetwee flessies is .
10.
11.
As die gemiddelde aantal lekkers in die eerste drie flessies is,hoeveel lekkers is daar in die derde flessie?
As die gemiddelde aantal lekkers in die eerste vier flessies is,hoeveel lekkers is daar dan in die vierde flessie?
Vind 'n stel van vyf ouderdomme, waarvan die gemiddelde ouderdom is,die modale ouderdom is en die mediaan ouderdom jaar is.
Vier vriende het elkeen 'n aantal albasters. Hulle bereken dat hulle gemiddeldelkeen albasters het. Een vriend vertrek met albasters. Hoeveelalbasters het die oorblywende vriende altesaam?
763
10.3 Groepering van data'n Algemene manier om kontinue kwantitatiewe data te hanteer, is om die volleomvang van waardes te onderverdeel in 'n paar subintervalle. Deur elke kontinuewaarde toe te ken aan 'n subinterval of klas waarin dit val, verander die datastel vankontinu na diskreet.
Groepering word gedoen deur die definiëring van 'n stel intervalle en dan te telhoeveel van hierdie data binne elke interval val. Die subintervalle moenie oorvleuelnie en moet die totale omvang van die datastel dek.
Een manier om gegroepeerde data visueel voor te stel, is 'n histogram. 'n Histogram is'n versameling van reghoeke, waar die basis van die reghoek (op die as) diewaardes insluit wat daarmee geassosieer is en die hoogte van die reghoekooreenstem met die aantal waardes in hierdie interval.
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: GROEPE EN HISTOGRAMME
VRAAG
Die lengtes, in sentimeters, van leerders word hieronder gegee.
Groepeer die data in die volgende intervalle en teken 'n histogram van diegegroepeerde data:
764
(Let op dat die intervalle nie oorvleuel nie aangesien die een begin waar dievorige een geëindig het.)
OPLOSSING
Stap 1: Tel die aantal waardes in elke interval
Omvang Telling
Stap 2: Teken die histogram
Aangesien daar intervalle is, sal die histogram reghoeke hê. Diebasis van elke reghoek word gedefinieer deur sy omvang. Die hoogte vanelke reghoek word bepaal deur die datatelling in daardie interval.
765
Die histogram maak dit maklik om te sien in watter interval die meeste vandie lengtes geleë is en voorsien 'n oorsig oor die verspreiding van diewaardes in die datastel.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 10.3 Voorbeeld 9
Laai af
766
1.
2.
OEFENING 10.3.1
'n Groep van leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Hieris 'n histogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het:
Tel die aantal speelkaarte in die volgende interval:
'n Groep van leerders tel die aantal klippe wat hulle elkeen het. Hier is 'nhistogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het:
767
3.
4.
Tel die aantal klippe in die volgende interval:
'n Groep van leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Hieris die data wat hulle ingesamel het:
Tel die aantal leerders wat van tot kaarte het. Met ander woorde,hoeveel leerders het speelkaarte in die volgende interval:
? Dit mag handig wees om 'n histogramte trek om die vraag te beantwoord.
'n Groep van leerders tel die klippe wat hulle elkeen het. Hier is die datawat hulle bymekaar gemaak het:
768
5.
Tel die aantal leerders wat van tot klippe het. Met ander woorde,hoeveel leerders het 'n aantal klippe in die volgende interval:
? Dit mag help as jy 'n histogram trek ten eindedie vraag te beantwoord.
'n Groep van 20 leerders tel die aantal klippe wat elkeen het. Die leerders trek'n histogram wat die data beskryf wat hulle bymekaar gemaak het. Maar, hullehet 'n fout gemaak met die trek van die histogram.
Die data hieronder toon die korrekte inligting vir die aantal klippe wat dieleerders het. Elke waarde verteenwoordig die aantal klippe vir een leerder.
Help hulle om uit te pluis watter kolom in die histogram verkeerd is.
769
6.'n Groep van 20 leerders tel die aantal klippe wat elkeen het. Die leerders trek'n histogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het. Maar, hulle het 'nfout gemaak met die trek van die histogram.
Die data hieronder toon die korrekte inligting vir die aantal klippe wat dieleerders het. Elke waarde verteenwoordig die aantal klippe vir een leerder.
Help hulle om uit te pluis watter kolom in die histogram verkeerd is.
770
7.'n Groep leerders tel die aantal lekkers wat hulle elkeen het. Hier is 'nhistogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het:
'n Kat spring per ongeluk op die tafel en al hulle notas land deurmekaar op dievloer.Help hulle om uit te vind watter van die volgende datastelle by die histogrampas:Datastel A
Datastel B
Datastel C
771
8.'n Groep leerders tel die aantal klippe wat hulle elkeen het. Hier is 'nhistogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het.
'n Skoonmaker stamp per ongeluk hulle tafel om en al hulle notas land in 'ndeurmekaarspul op die vloer!Help hulle om uit te vind watter van die volgende datastelle by die histogrampas:Datastel A
Datastel B
Datastel C
772
9.'n Klaseksperiment is uitgevoer en leerders is gevra om dieaantal lekkers in 'n bottel te raai. Die volgende raaiskote isaangeteken:
a)
b)
Teken 'n gegroepeerde frekwensietabel op deur gebruik te maak vandie intervalle , , ,
en .
Trek 'n histogram wat ooreenstem met die frekwensietabel van diegegroepeerde data.
Maatstawwe van sentrale neiging
Met gegroepeerde data sal ons skatting van sentrale neigings verander omdat onssekere inligting sal verloor wanneer ons elke waarde in 'n interval plaas. As ons slegsgegroepeeerde data het om mee te werk, het ons nie meer dieselfde akkurate inligtingvan die gemete waardes nie. Die beste wat ons kan doen, is om aan te neem dat diewaardes gegroepeer is in die middel van elke interval.
As ons terugkyk na die vorige uitgewerkte voorbeeld, sien ons dat ons begin het metdie datastel van die leerders se lengtes.
773
Let op dat die data georden is.
Die gemiddelde van hierdie data is en die mediaan is . Die modus is , maar onthou dat daar probleme is met die berekening van die modus van kontinuekwantatiewe data.
Na groepering van die data, het ons nou die datastel hieronder. Let op dat elkewaarde geplaas is in die middel van die interval en dat die aantal kere wat elkewaarde herhaal word, presies ooreenstem met die telling in elke interval.
Die groepering verander die maatstawwe van sentrale neiging aangesien elke datumhanteer word asof dit presies in die middel van die interval geleë is waarin dit geplaaswas.
Die gemiddelde is nou , die mediaan is en die modus is . Hierdie iseintlik 'n beter skatting van die modus aangesien die groepering toon in watter intervaldie meeste van die leerders se lengtes geval het.
LET WEL
Ons kan ook slegs die modale groep en mediaangroep vir die gegroepeerdedata gee. Die modale groep is die groep wat die grootste aantal datawaardeshet. Die mediaangroep is die sentrale groep wanneer die groepe in volgordegerangskik is.
774
1.
2.
3.Die histogram hieronder toon die aantal passasiers wat elke week inAlfred se minibus taxi reis.
OEFENING 10.3.2
Oorweeg die volgende stel gegroepeerde data en bereken die gemiddelde,die modale groep en die mediaangroep.
Massa ( ) Telling
Vind die gemiddelde, die modale groep en die mediaangroep van hierdiedatastel wat aandui hoeveel tyd mense nodig het om 'n spel klaar te maak.
Tyd (s) Telling
775
a)
b)
c)
d)
Bereken:die modale interval
die totale aantal passasiers wat in Alfred se taxi ry
'n skatting van die gemiddelde
'n skatting van die mediaan
776
e)as dit beraam word dat elke passasier 'n gemiddelde afstand van
reis, hoeveel geld sou Alfred gemaak het as hy per kmgevra het?
Maatstawwe van verspreiding
Die sentrale neiging is nie die enigste interessante of bruikbare inligting van 'n datastelnie. Die twee datastelle hieronder geïllustreer het dieselfde gemiddelde ( ), maarhulle het verskillende verspreidings rondom die gemiddelde. Elke sirkelverteenwoordig een waarde van die datastel (of een 'datum').
Dispersie of verspreiding is 'n algemene term vir verskillende statistieke wat beskryfhoe die waardes versprei is rondom die middel. In hierdie afdeling sal ons kyk na diemaatstawwe van verspreiding.
Omvang
DEFINISIE
Omvang
Die omvang van 'n datastel is die verskil tussen die maksimum enminimumwaardes in die stel.
777
Die mees voor die handliggende maatstaf van verspreiding is die omvang. Dieomvang vertel doodeenvoudig vir ons hoe ver van mekaar af die grootste en diekleinste waardes in die datastel lê. Die omvang is baie sensitief vir uitskieters.
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: OMVANG
VRAAG
Vind die omvang van die volgende datastel:
Wat sou gebeur as ons die eerste waarde uit die datastel verwyder?
OPLOSSING
Stap 1: Bepaal die omvang
Die kleinste waarde in die datastel is en die grootste waarde is .
Die omvang is
Stap 2: Verwyder die eerste waarde
As die eerste waarde, , uit die datastel verwyder word, sal dieminimumwaarde wees. Dit beteken die omvang sal verander na
. is nie tipies van die ander datawaardes nie. Dit is 'nuitskieter en het 'n groot invloed op die omvang.
Persentiele778
Persentiele
DEFINISIE
Persentiel
Die persentiel is die waarde, , wat die datastel verdeel in twee dele,sodat persent van die waardes in die datastel kleiner is as en
persent van die waardes groter is as . Persentiele kan in dieomvang lê.
Om persentiele behoorlik te verstaan , moet ons onderskei tussen verskillendeaspekte van 'n datapunt: sy waarde, sy rangorde en sy persentiel:
Die waarde van 'n datapunt is dit wat gemeet en aangeteken is gedurende 'neksperiment of 'n ondersoek.
Die rangorde van 'n datapunt is sy posisie in die gesorteerde datastel(byvoorbeeld, eerste, tweede, derde, en so aan).
Die persentiel waarby 'n sekere datapunt is, vertel vir ons watter persentasievan die waardes in die volle datastel kleiner is as hierdie datapunt.
Die tabel hieronder som die waarde, rangorde en persentiel van die datastel op:
Waarde Rangorde Persentiel
779
As 'n voorbeeld, is by die persentiel aangesien daar waardes is watminder is as en waardes wat groter is as .
In die algemeen, die formule om die persentiel te vind vir 'n geordende datastelmet waardes is
Dit gee vir ons die rangorde, , van die persentiel. Om die waarde te vind van
die persentiel, moet ons van die eerste waarde in die geordende datastel tel totby die waarde.
Somtyds sal die rangorde of posisie nie 'n heelgetal wees nie. Dit beteken dat diepersentiel tussen twee waardes in die datastel lê. Die konvensie is om die waarde teneem wat halfpad tussen die twee waardes lê wat aangedui is deur die rangorde.
Die figuur hieronder toon die verband tussen die rangorde en die persentiel op 'ngrafiese manier. Ons het alreeds drie persentiele in hierdie hoofstuk teëgekom (persentiel), die minimum ( persentiel) en die maksimum ( ). Die mediaan isgedefinieer as die middelwaarde halfpad in die gesorteerde datastel.
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: GEBRUIK DIE PERSENTIELFORMULE
VRAAG
Bepaal die minimum, maksimum en mediaanwaardes van die volgende
780
datastel deur gebruik te maak van die persentielformule.
OPLOSSING
Stap 1: Sorteer die waardes in die datastel.
Voor ons rangorde kan gebruik om waardes te vind in die datastel, moetons altyd die waardes orden van die kleinste tot die grootste. Diegesorteerde datastel is
Stap 2: Vind die minimum
Ons weet alreeds dat die minimumwaarde die eerste waarde in diegeordende datastel is. Ons sal nou bevestig dat die persentielformuledieselfde antwoord gee. Die minimum is ekwivalent aan die persentiel. Volgens die persentielformule, , die rangorde van die
persentiel in 'n datastel met waardes, is:
Dit bevestig dat die minimumwaarde die eerste waarde in die lys is,naamlik .
Stap 3: Vind die maksimum
Ons weet reeds dat die maksimumwaarde die laaste waarde in diegeordende datastel is. Die maksimum is ook ekwivalent aan die
781
persentiel. Deur die gebruik van die persentielformule met en , vind ons die rangorde van die maksimumwaarde is:
Dit bevestig dat die maksimumwaarde die laaste (die negende) waarde indie lys is, naamlik .
Stap 4: Vind die mediaan
Die mediaan is ekwivalent aan die persentiel. Deur die gebruik vandie persentielformule met en , vind ons die rangorde vandie mediaanwaarde is:
Dit wys die mediaan is in die middel (in die vyfde posisie) van diegeordende datastel. Dus is die mediaanwaarde .
DEFINISIE
Kwartiele
Die kwartiele is die drie datawaardes wat die geordende datastel verdeel in
782
vier groepe, waar elke groep 'n gelyke aantal datawaardes bevat. Diemediaan ( persentiel) is die tweede kwartiel ( ). Die persentiel word ook die eerste of laer kwartiel ( ) genoem. Die persentiel word ook die derde of boonste kwartiel ( ) genoem.
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: KWARTIELE
VRAAG
Bepaal die kwartiele van die volgende datastel:
OPLOSSING
Stap 1: Sorteer die datastel
Stap 2: Vind die rangordes van die kwartiele
Deur die persentielformules te gebruik met , kan ons dierangordes of posisies vind van die , en persentiele:
783
Stap 3: Vind die waardes van die kwartiele
Let op dat elk van hierdie rangordes 'n breuk is, wat beteken dat diewaarde van elke persentiel iewers tussen twee waardes in die datastel is.
Vir die persentiel is die rangorde , wat tussen die derde envierde waardes lê. Aangesien beide hierdie waardes gelyk is aan , is die
persentiel .
Vir die persentiel (die mediaan) is die rangorde , dit wil sêhalfpad tussen die sesde en die sewende waardes. Die sesde waarde is
en die sewende waarde is , wat beteken dat die mediaan
is. Vir die persentiel is die rangorde , watbeteken tussen die negende en tiende waardes. Dus die persentiel
is .
Desiele
Die desiele is die nege datawaardes wat die geordende data verdeel in tien groepe,waar elke groep 'n gelyke aantal datawaardes bevat.
Byvoorbeeld, beskou die geordende datastel:
Die nege desiele is:
784
Persentiele vir gegroepeerde data
In gegroepeerde data sal die persentiele iewers binne die interval lê, eerder as by 'nspesifieke waarde. Om die interval te vind waarbinne die persentiel lê, gebruik onssteeds die persentielformule om die rangorde van die persentiel te bepaal en vind dandie interval waarbinne daardie rangorde lê.
UITGEWERKTE VOORBEELD 13: PERSENTIELE INGEGROEPEERDE DATA
VRAAG
Die wiskundepunte van graad leerders by 'n skool is ingesamel. Diedata word voorgestel in die volgende tabel:
Persentasiepunt Getal leerders
2
5
18
22
18
13
12
10
1. Bereken die gemiddelde van hierdie gegroepeerde datastel
2. Binne watter intervalle is die kwartiele van die datastel?
3. In watter interval lê die persentiel van die datastel?
785
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die gemiddelde
Aangesien ons die gegroepeerde data eerder as die oorspronklikeongegroepeerde data het om mee te werk, is die beste wat ons kan doenom die gemiddelde te benader asof al die leerders in elke interval geplaasis by die sentrale waarde van die interval.
Stap 2: Vind die kwartiele
Aangesien die data gegroepeer is, is dit ook alreeds georden. Met gebruikvan die persentielformule en die feit dat daar leerders is, kan ons dierangorde vind van die , en persentiele as
Nou moet ons uitvind in watter intervalle elk van hierdie rangordes lê.
Vir die eerste kwartiel, het ons leerders in die eerstetwee intervalle gekombineerd en leerders in dieeerste drie intervalle gekombineerd. Aangesien ,beteken dit die eerste kwartiel lê iewers in die derde interval:
.
786
Vir die tweede kwartiel (die mediaan), beteken dit dat daar leerders is in die eerste vier intervalle
gekombineerd. Aangesien , beteken dit dat diemediaan iewers in die vyfde interval lê: .
Vir die boonste kwartiel, beteken dit dat daar leerders is in dieeerste vyf intervalle gekombineerd en leerders indie eerste ses intervalle gekombineerd. Aangesien , beteken dit dat die boonste kwartiel iewers in die sesde interval lê:
.
Stap 3: Vind die persentiel
Met dieselfde metode as vir die kwartiele, vind ons eers die rangorde vandie persentiel.
Nou moet ons die interval vind waarbinne hierdie rangorde val. Aangesiendaar leerders is in die eerste intervalle gekombineerd en leerders in die eerste intervalle gekombineerd, lê die persentielin die vierde interval:
Omvang
Ons definieer data omvang in terme van persentiele. Ons het alreeds kennis gemaakmet die volle data omvang, wat eenvoudig die verskil is tussen die en die
persentiel (dit is, tussen die maksimum en die minimumwaardes van die787
1.
2.
OEFENING 10.3.3
datastel).
DEFINISIE
Interkwartielomvang
Die interkwartielomvang is 'n maatstaf van verspreiding wat bereken worddeur die eerste kwartiel ( ) af te trek van die derde kwartiel ( ). Dit geedie omvang van die middelste helfte van die datastel.
DEFINISIE
Semi interkwartielomvang
Die semi interkwartielomvang is die helfte van die interkwartielomvang.
'n Groep van leerders tel die aantal lekkers wat hulle elkeen het. Hier isdie data wat hulle ingesamel het:
Bereken die omvang van die waardes in die datastel.
'n Groep van leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Hieris die data wat hulle insamel:
Bereken die omvang van die waardes in die datastel.788
3.
4.
5.
6.Drie stelle data word gegee:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Vir elke stel data vind:
Vind die omvang van die datastel:
Wat is die kwartiele van hierdie datastel?
'n Klas van leerders skryf 'n toets en die resultaat is as volg:
Vind die omvang, kwartiele en die interkwartielomvang.
die omvang
die eerste kwartiel
die mediaan
die boonste kwartiel
die interkwartielwydte
die semiinterkwartielomvang
789
10.4 Vyfgetal opsomming'n Populêre manier om die totale datastel op te som, is met die vyfgetal opsomming endie mondensnordiagram. Hierdie twee voorstellings verteenwoordig presies dieselfdeinligting, numeries in die geval van die vyfgetal opsomming en grafies in die geval vandie mondensnordiagram.
Die vyfgetal opsomming bestaan uit die minimumwaarde, die maksimumwaarde endie drie kwartiele. 'n Ander manier om dit te sê is dat die vyfgetal opsomming bestaanuit die volgende persentiele : , , , , .
Die mondensnordiagram toon hierdie vyf persentiele soos in die figuur hieronder. Dieboks (“mond”) toon die interkwartielomvang (die afstand tussen en ). 'n Lyn indie boks toon die mediaan. Die lyne wat weerskante uit die boks (“mond”) loop (diesnorre) toon waar die maksimum en minimumwaardes lê. Hierdie grafiek kan ookhorisontaal geteken word.
790
UITGEWERKTE VOORBEELD 14: VYFGETAL OPSOMMING.
VRAAG
Trek 'n mondensnordiagram vir die volgende datastel.
OPLOSSING
Stap 1: Bepaal die minimum en die maksimum
Aangesien die datastel alreeds georden is, kan ons die minimum aflees asdie eerste waarde ( ) en die maksimum as die laaste waarde ( ).
Stap 2: Bepaal die kwartiele
Daar is waardes in die datastel. Met gebruik van die persentielformule,bepaal ons dat die mediaan tussen die sesde en sewende waardes lê, watdie volgende gee:
Die eerste kwartiel lê tussen die derde en vierde waardes, wat dievolgende gee:
Die derde kwartiel lê tussen die negende en tiende waardes:
Dit gee die vyfgetal opsomming van die datastel en laat ons toe om dievolgende mondensnordiagram te teken.
791
1.
2.
OEFENING 10.4.1
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 10.4 Voorbeeld 14
Laai af
Lisa werk in 'n rekenaarwinkel. Sy verkoop die volgende aantal rekenaarselke maand:
Gee die vyfgetal opsomming en die mondensnordiagram van Lisa severkope.
Zithulele werk as 'n televerkoper. Hy hou 'n rekord van sy verkope elkemaand. Die data hieronder toon hoeveel hy elke maand verkoop.
792
3.
a)
b)
4.Bepaal die vyfgetal opsomming vir elke mondensnordiagramhieronder.
Gee die vyfgetal opsomming en die mondensnordiagram van Zithulele severkope.
Nombusa het as 'n bloemis gewerk vir nege maande. Sy verkoop dievolgende aantal trouruikers:
Gee die vyfgetal opsomming vir Nombusa se verkope.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 10.4 Mond en snor
Laai af
793
Hoofstuk opsommingData verwys na die stukkies inligting wat waargeneem en aangeteken word naaanleiding van 'n eksperiment of 'n opname.
Kwantitatiewe data is data wat geskryf kan word as getalle. Kwantitatiewe datakan diskreet of kontinu wees.
Kwalitatiewe data is data wat nie as getalle geskryf kan word nie. Daar is tweealgemene tipes kwalitatiewe data: kategoriale en anekdotiese data.
Die gemiddelde is die som van 'n stel waardes verdeel deur die aantal waardesin die stel.
Die mediaan van die datastel is die waarde in die sentrale posisie wanneer diedatastel georden is van die laagste tot die hoogste waarde. As daar 'n oneweaantal datawaardes is, sal die mediaan gelyk wees aan een van die waardes indie datastel. As daar 'n ewe aantal datawaardes is, sal die mediaan halfpadtussen twee waardes in die datastel lê.
Die modus van 'n datastel is die waarde wat die meeste kere voorkom in diestel.
'n Uitskieter is 'n waarde in die datastel wat nie tipies is van die res van die stelnie. Dit is gewoonlik 'n waarde wat baie groter of baie kleiner is as al die anderwaardes in die datastel.
Kontinue kwantitatiewe data kan gegroepeer word deur die volle omvang vandie datawaardes te groepeer in 'n paar subintervalle. Deur elk van die kontinuewaardes toe te ken aan 'n subinterval of 'n klas waarbinne dit val, verander die
794
datastel van kontinu na diskreet.
Verspreiding is die algemene term vir verskillende statistiese tegnieke watbeskryf hoe die waardes versprei is rondom die middel.
Die omvang van 'n datastel is die verskil tussen die maksimum enminimumwaardes in die stel.
Die persentiel is die waarde, , wat die data verdeel in twee dele, sodat
van die waardes in die datastel minder is as en van die
waardes groter is as . Die algemene formule om die persentiel te vind in'n geordende datastel van waardes is
Die kwartiele is die drie datawaardes wat die geordende datastel verdeel in viergroepe, waar elke groep 'n gelyke aantal datawaardes bevat. Die eerste kwartielword genoteer as , die mediaan is en die boonstel kwartiel is .
Die interkwartielomvang is die maatstaf van verspreiding wat bereken word deurdie laer (eerste) kwartiel af te trek van die boonste (derde) kwartiel. Dit gee dieomvang van die middelste helfte van die datastel.
Die semiinterkwartielomvang is die helfte van die interkwartielomvang.
Die vyfgetal opsomming bestaan uit die minimumwaarde, die maksimumwaardeen die drie kwartiele ( , en ).
Die mondensnordiagram is 'n grafiese voorstelling van die vyfgetalopsomming.
795
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
HOOFSTUK 10: HERSIENINGSOEFENINGE
Die volgende datastel van lengtes is ingesamel van 'n klas van leerders.
Kategoriseer die datastel.
Die volgende datastel van toebroodjiesmere is ingesamel van leerders bymiddagete.
Kategoriseer die datastel.
Bereken die modus van die volgende datastel:
Bereken die mediaan van die volgende datastel:
In 'n park het die hoogste bome hoogtes (in meter) van:
Vind die mediaan van hulle hoogtes.
Die leerders in Ndeme se klas het die volgende ouderdomme:
Vind die modus van hulle ouderdomme.
'n Groep van 7 vriende het elkeen 'n paar lekkers. Hulle werk uit dat diegemiddelde aantal lekkers wat hulle het, 6 is. Dan gee 4 vriende pad met 'nonbekende aantal ( ) lekkers. Die oorblywende 3 vriende werk uit dat diegemiddelde aantal lekkers wat hulle oor het, is.
796
8.
9.
10.
11.
Toe die 4 vriende padgegee het, hoeveel lekkers het hulle met hullesaamgeneem?
'n Groep van 10 vriende het elkeen 'n paar lekkers. Hulle bereken dat diegemiddelde aantal lekkers wat hulle het, 3 is. Dan vertrek 5 vriende met 'nonbekende aantal ( ) lekkers. Die oorblywende 5 vriende werk uit dat diegemiddelde aantal lekkers wat hulle oor het, 3 is.Toe die 5 vriende vertrek het, hoeveel lekkers het hulle met hullesaamgeneem?
Vyf datawaardes word as volg voorgestel: ,met 'n gemiddelde van . Los op vir .
Vyf datawaardes word as volg voorgestel: . Vind diegemiddelde terme van .
'n Groep van leerders tel die aantal albasters wat hulle elkeen het. Hierdiehistogram beskryf die data wat hulle ingesamel het:
797
12.
13.
Tel die aantal albasters in die volgende interval:
'n Groep van leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Hieris die data wat hulle insamel:
Tel die aantal leerders wat van tot kaarte het. Met ander woorde,hoeveel leerders het speelkaarte in die volgende interval:
? Dit mag handig wees om 'n histogram teteken om die vraag te beantwoord.
'n Groep van leerders tel die muntstukke wat hulle elkeen het. Hier is diedata wat hulle ingesamel het:
798
14.
Tel die aantal leerders wat van tot muntstukke het. Met ander woorde,hoeveel leerders het munte in die volgende interval:
? Dit mag help om 'n histogram te teken omhierdie vraag te beantwoord.
'n Groep van 20 leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Dieleerders teken 'n histogram wat die data voorstel wat hulle ingesamel het.Maar, hulle het 'n fout gemaak met die teken van die histogram.
799
15.
Die datastel hieronder toon die korrekte inligting vir die aantal speelkaarte watdie leerders het. Elke waarde verteenwoordig die aantal speelkaarte vir eenleerder.
Help hulle om uit te pluis watter kolom in die histogram verkeerd is.
'n Groep van 10 leerders tel die aantal lekkers wat elkeen het. Hulle teken 'nhistogram wat die data voorstel. Hulle maak egter 'n fout in die teken van diehistogram.
Die datastel hieronder toon die korrekte inligting vir die aantal lekkers wat dieleerders het. Elke waarde verteenwoordig die aantal lekkers vir een leerder.
800
16.
Help hulle om uit te pluis watter kolom in die histogram verkeerd is.
'n Groep leerders tel die aantal lekkers wat hulle elkeen het. Hier is 'nhistogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het:
'n Skoonmaker stamp per ongeluk hulle tafel om en al hulle notas land in 'ndeurmekaarspul op die vloer!Help hulle om uit te vind watter van die volgende datastelle pas by diehistogram:Datastel A
Datastel B
Datastel C
801
17.'n Groep leerders tel die albasters wat hulle het. Hier is 'n histogram wat diedata beskryf.
'n Kat spring per ongeluk op die tafel en al hulle notas land deurmekaar op dievloer.Help hulle om uit te vind watter van die volgende datastelle pas by diehistogram:Datastel A
Datastel B
802
18.
19.
Datastel C
'n Groep van leerders tel die hoeveelheid albasters wat hulle elkeen het.Hier is die data wat hulle insamel.
Bereken die omvang van die waardes in die datastel
'n Groep van leerders tel die aantal lekkers wat hulle elkeen het. Hier isdie data wat hulle ingesamel het:
Bereken die omvang van die waardes in die datastel
803
20.'n Ingenieursfirma het twee verskillende tipes enjins vir motorfietseontwerp. Die twee verskillende motorfietse word getoets vir die tyd (insekondes) wat dit neem om te versnel van tot
.
Toets 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Motorfiets1
Motorfiets2
a)
b)
c)
Watter maatstaf van sentrale neiging behoort mens te gebruik virhierdie inligting?
Bereken die maatstaf van sentrale neiging wat jy gekies het in dievorige vraag, vir elke motorfiets.
Watter motorfiets sal jy kies, gebaseer op hierdie inligting? Let op dieakkuraatheid van die getalle van elke stel toetse.
804
21.In 'n verkeersopname word 'n willekeurige monster van motoristegevra watter afstand hulle elke dag werk toe ry. Hierdie inligting wordgetoon in die tabel hieronder.
Afstand ( ) Telling
a)
b)
c)
22.'n Maatskappy wil die opleidingsprogram in sy fabriek evalueer. Hullegee dieselfde taak aan opgeleide en onopgeleide werknemers enneem elkeen se tyd in sekondes.
Vind die benaderde gemiddelde van die data.
Watter persentasie motoriste het 'n afstand van
a. minder as of gelyk aan ?
b. meer as ?
c. tussen en ?
Teken 'n histogram om die data voor te stel.
805
Opgeleide
Onopgeleide
a)
b)
c)
d)
23.'n Klein firma neem mense in diens. Die jaarlikse salarisse van diewerknemers is:
a)
b)
c)
Vind die mediane en die kwartiele vir beide stelle data.
Vind die interkwartielomvang vir beide stelle data.
Lewer kommentaar op die resultate.
Trek 'n mondensnordiagram vir elke datastel om die vyfgetalopsomming te illustreer.
Vind die gemiddelde van hierdie salarisse.
Vind die modus.
Vind die mediaan.806
d)
24.Die stingelenblaardiagram hieronder dui die polsslag per minuutvan tien Graad 10 leerders aan.
a)
b)
Sleutel: .
a)
b)
c)
25.
Die volgende is 'n lys van data: In elke afsonderlike geval, bepaal die waarde van as die:
Watter een van hierdie drie syfers sal jy gebruik vir onderhandelingsvir salarisverhogings as jy 'n vakbond beampte was? Hoekom?
Bepaal die gemiddelde en die omvang van die data.
Gee die vyfgetal opsomming en teken 'n mondensnordiagram virdie data.
omvang =
modus =
mediaan =
807
d)
e)
26.
a)
b)
27.Gegee (wat verteenwoordig die goue verhouding) tot 20 desimaleplekke:
gemiddelde =
mondensnordiagram
Skryf een lys van getalle neer wat die mondensnordiagram hieronderbevredig:
Vir die eerste 20 desimale plekke vir , bepaal die:
a. mediaan
b. modus
c. gemiddelde
As die gemiddeld van die eerste 21 desimale syfers van , is, bepaal die desimale syfer.
808
c)
a)
b)
c)
28.Daar werk 14 mans by 'n fabriek. Hulle ouderdomme is:
29.Die voorbeeld toon 'n vergelyking tussen die hoeveelheid vuiligheidwat verwyder word deur vier verskillende soorte skoonmaakmiddels(tipes tot ).
Hieronder is 'n mondensnordiagram van die desimale syfers. Skryf een lys van getalle neer wat hierdie mond-en-snordiagram bevredig.
Skryf die vyfgetal opsomming neer.
As 3 mans afgedank moet word, maar die mediaan moet dieselfdebly, toon die ouderdomme van die mans wat jy sou afdank.
Vind die gemiddelde ouderdom van die mans in die fabriek deur dieoorspronklike data te gebruik.
809
a)
b)
c)
d)
Watter tipes het die grootste omvang en wat is hierdie omvang?
Wat verteenwoordig die getal vir tipe ?
Gee die interkwartielwydte vir tipe .
Watter soort skoonmaakmiddel sou jy koop? Verduidelik jouantwoord.
810
HOOFSTUK 11: TRIGONOMETRIE
InleidingTrigonometrie is in antieke beskawings ontwikkel om praktiese probleme, soosboukonstruksies en navigering deur die sterre, op te los. Ons gaan wys dattrigonometrie ook gebruik kan word om sekere praktiese probleme op te los. Ons kandie trigonometriese verhoudings gebruik vir die oplos van tweedimensioneleprobleme wat reghoekige driehoeke insluit.
Vir hersiening kan ons die drie trigonometriese verhoudings as volg definieer virreghoekige driehoeke:
Ons sal hierdie drie verhoudings en die stelling van Pythagoras gebruik om ons tehelp om tweedimensionele probleme op te los.
811
11.1 Tweedimensionele problemeIn tweedimensionele probleme sal ons dikwels verwys na die hoogtehoek en diedieptehoek. Om hierdie twee hoeke te verstaan, kan ons dink aan 'n persoon watverbyseil teen die voet van 'n krans langs. Die persoon kyk op en sien die bopunt vandie kranse soos hieronder getoon:
In hierdie diagram is die hoogtehoek.
DEFINISIE
HoogtehoekDie hoogtehoek is die hoek wat gevorm word deur die lyn van sig en diehorisontale vlak vir 'n voorwerp bokant die horisontale vlak.
In ons diagram is die lyn van sig vanaf die skip na die top van die krans. Diehorisontale vlak is vanaf die skip na die voet van die krans. Let ook daarop dat ons diekrans kan beskou as 'n reguit vertikale lyn en dus het ons 'n reghoekige driehoek.
Om die dieptehoek te verstaan, beskou ons dieselfde situasie as vantevore maar onswaarnemer staan nou op die bopunt van die krans en kyk af na die skip.
812
In hierdie diagram is die dieptehoek.
DEFINISIE
DieptehoekDie dieptehoek is die hoek wat gevorm word deur die lyn van sig en diehorisontale vlak vir 'n voorwerp onder die horisontale vlak.
In ons diagram is die lyn van sig vanaf die bopunt van die krans na die skip. Diehorisontale vlak is van die top van die krans deur . Let op dat hierdie vlak ewewydigis aan die lyn tussen die voet van die krans en die skip. lê direk bokant die skip.Ons kan 'n vertikale lyn konstrueer, loodreg op die lyn na die horisontale vlak by diepunt .
Uiteindelik kan ons die hoogtehoek en die dieptehoek vergelyk. In die volgendediagram is die lyn van die voet van die krans na die skip ewewydig aan die lyn van diebopunt van die krans na . Die hoogtehoek en die dieptehoek is aangedui. Let opdat .
813
'n Hoekmeter, in Engels "inclinometer". 'n Hoekmeter kan gebruik word om hoogtehoeke te meet
en kan gebruik word om die hoogte van 'n voorwerp te bepaal.
LET WEL
In trigonometrie is die hoogtehoek net so groot as die dieptehoek.
814
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: VLIEG 'N VLIEËR
VRAAG
Mandla vlieg 'n vlieër aan 'n tou teen 'n hoogtehoek van °.
1. Wat is die hoogte, , van die vlieër bokant die grond?
2. As Mandla se vriend, Sipho, direk onder die vlieër staan, bereken dieafstand, , tussen die twee vriende.
OPLOSSING
Stap 1: Maak 'n skets en identifiseer die teenoorstaande en
aangrensende sye en die skuinssy.
815
Stap 2: Gebruik gegewe inligting en toepaslike verhoudings om vir
en op te los
1.
2.
Let daarop dat die derde sy van die driehoek ook bereken kan word met
die gebruik van die stelling van Pythagoras: .
Stap 3: Skryf die finale antwoorde
1. Die vlieër is bokant die grond.
2. Mandla en Sipho is van mekaar af.
816
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 11.1 Voorbeeld 1
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: BEREKEN HOEKE
VRAAG
is 'n trapesium met , , en . Punt op hoeklyn verdeel die hoeklyn op so 'n
manier dat . . Vind .
OPLOSSING
Stap 1: Teken die trapesium en dui alle gegewe lengtes op die
diagram aan. Toon aan dat
Gebruik en om die twee hoeke by te vind. Ons
817
kan dan tel hierdie twee hoeke op om te vind.
Stap 2: Bereken die eerste hoek,
Die skuinssy en teenoorstaande sy word gegee vir beide driehoeke, dusgebruik ons die verhouding.
In :
Stap 3: Gebruik die stelling van Pythagoras om te bepaal
In :
Stap 4: Vind die tweede hoek
In :
818
Stap 5: Bereken die som van die hoeke
'n Ander toepassing is om trigonometrie te gebruik om die hoogte van 'n gebou tevind. Ons kan 'n maatband laat afhang van die dak, maar dit is onprakties (engevaarlik) vir hoë geboue. Dit is baie meer sinvol om trigonometrie te gebruik.
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: VIND DIE HOOGTE VAN 'NGEBOU
VRAAG
819
Die gegewe diagram toon 'n gebou van onbekende hoogte . Ons begin bypunt en stap weg van die gebou na punt . Vervolgens meet onsdie hoogtehoek van die grond na die top van die gebou, , en vind die hoek is
. Bereken die hoogte van die gebou, korrek tot die naaste meter.
OPLOSSING
Stap 1: Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en
skuinssy
Ons het 'n reghoekige driehoek en weet wat is die lengte van een sy endie grootte van een hoek. Ons kan gevolglik die hoogte van die geboubereken.
Stap 2:
In :
Stap 3: Herrangskik en los op vir
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Die hoogte van die gebou is .
820
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: HOOGTEHOEKE ENDIEPTEHOEKE
VRAAG
'n Woonstelblok is weg van 'n selfoontoring. Iemand staan by .Hulle meet dat die hoek van na die bopunt van die toring ( ), (diehoogtehoek) is. Hulle meet dan dat die hoek na die voet van dietoring ( ) (die dieptehoek), is.
Hoe hoog is die selfoontoring (korrek tot die naaste meter)?
Let op: die diagram is nie op skaal geteken nie
OPLOSSING
Stap 1: Om die hoogte te bepaal, bereken eers lengtes en
en is beide reghoekige driehoeke. In elk van die
821
driehoeke is die lengte bekend. Dus kan ons die sye van diedriehoeke bereken.
Stap 2: Bereken
Die lengte is gegee. is reghoek, dus .
In :
Stap 3: Bereken
In :
Stap 4: Tel die twee hoogtes bymekaar om die finale antwoord te kry
Die hoogte van die toring is: .
822
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 11.1 Voorbeeld 4
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: BOUPLAN
VRAAG
Mnr Nkosi het 'n garage by sy huis en hy besluit om 'n sinkdak aan te las aandie sykant van die garage. Die garage is hoog en sy sinkplaat vir die dakis lank. As die hoek van die dak ° is, hoe hoog moet hy muur bou? Gee die korrekte antwoord tot desimale plek.
OPLOSSING
Stap 1: Identifiseer teenoorstaande en aangrensende sye en
skuinssy
is reghoekig. Die skuinssy en 'n hoek is bekend en dus kan ons bereken. Die hoogte van muur is dan die hoogte van die
garage minus .
823
1.
OEFENING 11.1.1
Stap 2: Skryf die finale antwoord
Mnr Nkosi moet sy muur hoog bou.
'n Persoon staan by punt , en kyk op na 'n voëltjie wat boop 'n gebou, bypunt , sit.Die hoogte van die gebou is meter, die lengte van die lyn van sig vanafpunt na die bopunt van die gebou (punt ) is meter, en diehoogtehoek na die bopunt van die gebou is .Bereken die hoogte van die gebou ( ) soos getoon in die diagram hieronder:
824
2.'n Persoon staan by punt , en kyk op na 'n voëltjie wat op die bopunt van 'npaal sit (punt ).
Die hoogte van die paal is meter, punt A is meter weg van die voetvan die paal en die hoogtehoek na die bopunt van die paal is .Bereken die hoogte van die paal ( ), tot die naaste meter.
825
3.
4.
5.
6.
'n Seun wat 'n vlieër vlieg, staan vanaf 'n punt direk onder die vlieër.As die vlieër se tou lank is, vind die hoogtehoek van die vlieër.
Wat is die hoogtehoek van die son wanneer 'n boom, wat hoog is, 'nskaduwee van lank gooi?
Susan kyk op na die top van 'n vuurtoring van 'n afstand van . Diehoogtehoek is °. Bepaal die hoogte van die vuurtoring tot die naaste meter.
'n Leer wat lank is, rus teen 'n muur en maak 'n hoek van ° met diemuur. Vind die afstand tussen die muur en die voet van die leer tot die naastemeter.
826
Hoofstuk opsommingOns kan die drie trigonometriese verhoudings vir reghoekige driehoekedefinieer: sinus ( ), cosinus ( ) en tangens ( ).
Trigonometrie word gebruik in die oplossing van tweedimensionele problemewat reghoekige driehoeke insluit, soos byvoorbeeld die bepaling van die hoogtevan 'n gebou.
Die hoogtehoek is die hoek wat gevorm word deur die lyn van sig en diehorisontale vlak vir 'n voorwerp bokant die horisontale vlak.
Die dieptehoek is die hoek wat gevorm word deur die lyn van sig en diehorisontale vlak vir 'n voorwerp onder die horisontale vlak.
827
1.
a)
b)
2.Kaptein Jack seil in die rigting van 'n krans met 'n hoogte van .
3.
HOOFSTUK 11: HERSIENINGSOEFENINGE
'n Leer van rus teen 'n muur en die voet van die leer is van diemuur af. Vind die hoek tussen die muur en die leer.
Die afstand vanaf die boot na die voet van die krans is .Bereken die hoogtehoek vanaf die boot na die bopunt van die krans(korrek tot die naaste graad).
As die boot nader aan die krans seil, wat is die nuwehoogtehoek vanaf die boot na die bopunt van die krans?
Jim staan by punt by die voet van 'n telefoonpaal en kyk op na 'n voëltjiewat op die bopunt van 'n ander telefoonpaal sit (punt ).Die hoogte van elk van die telefoonpale is meter, en die hoogtehoek na dietop van die telefoonpaal is .Bereken die afstand tussen die telefoonpale ( ) soos getoon in die diagramhieronder:
828
4.
5.
Alfred staan by punt en kyk op na 'n vlag aan 'n paal (punt ).
Punt is meter weg van die voet van die vlagpaal, die afstand van dielyn van sig vanaf punt na die bopunt van die vlagpaal (punt ) is meter, en die hoogtehoek na die bopunt van die vlagpaal is .Bereken die hoogtehoek na die bopunt van die vlagpaal ( ) soos getoon indie diagram hieronder:
'n Rugbyspeler probeer 'n bal oor die dwarsbalk en tussen die pale deurskop.Die dwarsbalk is hoog. Die bal word reg voor die pale, vanafdie pale gestel. Wat is die minimumhoek waarteen hy die bal moet lig om ditoor die dwarsbalk te skop?
829
6.
a)
b)
7.'n Leer is meter lank. Dit leun teen die muur van 'n huis en kom totby 'n hoogte van meter teen die muur op.
a)
b)
8.Nandi staan op plat grond meter weg van 'n hoë toring. Van haarposisie is die hoogtehoek na die bopunt van die toring °.
Die roltrap by 'n inkopiesentrum is gebou teen 'n hoek van 30° en is lank
Deur watter vertikale hoogte sal 'n persoon opwaarts gelig word met dieroltrap?
Teken 'n skets van die situasie.
Bereken die hoek wat die leer maak met die plat (gelyk) grond.
Teken 'n skets van die situasie.
Wat is die hoogte van die toring?
830
9.
10.
11.
Die bopunt van 'n paal is geanker met 'n kabel wat 'n hoek van grade maak met die horisontaal. Hoe hoog is die paal?
'n Skip se navigator kyk na 'n vuurtoring op 'n krans. Volgens dienavigasiekaarte is die bopunt van die vuurtoring 35 meter bokant seevlak. Symeet dat die hoogtehoek na die bopunt van die vuurtoring ° is.Skepe word aangeraai om ten minste van die kus af te bly. Is hierdieskip veilig?
Bepaal die omtrek van die reghoek :
831
12.
13.
'n Ruit se hoeklyne is en lank. Bereken die groottes van diebinnehoeke.
'n Ruit het sylengtes van . Die skerp binnehoeke is elk 70°. Bereken dielengtes van beide die hoeklyne.
832
14.
a)
b)
15.Een van die hoeke van 'n ruit met omtrek is °.
'n Parallelogram het sye van en onderskeidelik, en 'n hoek van58° tussen hulle. Bereken die loodregte afstand tussen die twee langer sye.
Vind die lengte van sye van die ruit.
Vind die lengtes van beide hoeklyne.
833
a)
b)
16.Regop stokke en die skaduwees wat hulle gooi, kan gebruik word omdie benaderde hoogte van die son in die lug (die hoek wat die sonmaak met die horisontaal) en die hoogte van voorwerpe te bepaal.
a)
b)
17.Die hoogtehoek van 'n warmlugballon, wat vertikaal klim, verandervan 25 grade teen 11:00 vm tot 60 grade teen 11:02 vm. Diewaarnemingspunt waarvandaan die hoogtehoek gemeet word, is 300meter van die punt waar die lugballon begin opstyg het.
18.
19.
Die diagram hieronder toon vierhoek , met , , en hoek , en hoeke
'n Regop stok, 1 meter hoog, gooi 'n skaduwee van meter. Watis die hoogtehoek van die son?
Die skaduwee van 'n gebou is 47 meter lank, op dieselfde tydstip.Hoe hoog is die gebou?
Teken 'n skets van die situasie.
Bereken die toename in hoogte tussen 11:00 en 11:02 vm.
Wanneer die toppunt van 'n berg, , beskou word vanaf punt , van die grond af, is die dieptehoek ( ) 15°. Wanneer dit beskou word vanaf
op die grond, is die hoogtehoek ( ) 10°. As punte en in dieselfdevertikale vlak lê, vind , die hoogte van die berg. Rond jou antwoord af toteen desimale plek.
834
en is regte hoeke.
a)
b)
20.
Vind , korrek tot 2 desimale plekke.
Vind die grootte van hoek , korrek tot een desimale plek.
Vanaf ( ), 'n boot op die see, is die hoogtehoek na die bopunt van 'nvuurtoring op 'n rots, , 27°.Die vuurtoring is hoog en die rotspunt is bokant seevlak.Hoe ver is die boot vanaf die basis van die rots, tot die naaste meter?
835
HOOFSTUK 12: EUKLIDIESEMEETKUNDE
InleidingMeetkunde het ontstaan as die kennisveld wat ruimtelike verwantskappe hanteer.Meetkunde kan verdeel word in Euklidiese meetkunde en analitiese meetkunde.Analitiese meetkunde hanteer ruimte en vorm vanuit die hoekpunt van algebra en 'nkoördinaatsisteem. Euklidiese meetkunde hanteer ruimte en vorm deur 'n sisteem vanlogiese afleidings.
836
12.1 Bewyse en vermoedensOns sal nou toepas wat ons geleer het oor meetkunde en die eienskappe vanveelhoeke (spesifiek in driehoeke en vierhoeke) om sommige van hierdie eienskappete bewys. Ons sal ook kyk hoe ons kan bewys dat 'n spesifieke vierhoek een van diespesiale vierhoeke is.
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: BEWYS DAT 'N VIERHOEK 'NPARALLELOGRAM IS
VRAAG
In parallelogram is die halveerlyne van die hoeke ( , , en ) gekonstrueer. Dit word ook gegee: ,
, , , , . Bewys dat 'n parallelogram is.
837
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik die eienskappe van die parallelogram om
alle gelyke sye en hoeke op die diagram in te vul
Stap 2: Bewys dat
In en ,
In en 838
a)
1.In die diagram hieronder, halveer en mekaar by . isdie middelpunt van , en is die middelpunt van .
OEFENING 12.1.1
Stap 3: Soortgelyk kan ons aantoon dat
Bewys eers . Bewys dan .
Stap 4: Gevolgtrekking
Beide pare teenoorstaande hoeke van is gelyk. Dus is 'n parallelogram.
Bewys is 'n parallelogram.
839
b)
2.
3.
Bewys is 'n parallelogram.
Parallelogram en word hieronder getoon. Bewys .
is 'n parallelogram. . Bewys .
840
4.
5.
Bestudeer die vierhoek met teenoorstaande hoeke
en hoeke noukeurig. Vul dieontbrekende redes en stappe in om te bewys dat vierhoek 'nparallelogram is.
Bestudeer die vierhoek met teenoorstaande hoeke
en hoeke noukeurig. Vul die ontbrekenderedes en stappe in om te bewys dat vierhoek 'n parallelogram is.
841
6a)
b)
Vierhoek met sye en word gegee.
Dit word ook gegee dat: en ; en
. Bewys is 'n parallelogram.
Vind die waarde van .
842
c)
7a)
b)
c)
8.
Vind die waarde van .
Vierhoek met sye en is
gegee. Dit is ook gegee dat en ;
en . Bewys is 'nparallelogram.
Bepaal die waarde van .
Bepaal die waarde van .
In parallelogram , is die halveerlyne van die hoeke gekonstrueer en dit is aangedui met die rooi lyne hieronder. Dit word ook
gegee: , , , ,
en .Bewys vierhoek is 'n parallelogram.Let op dat die diagram op skaal geteken is.
843
9.Bestudeer die diagram hieronder; dit is nie noodwendig op skaal geteken nie.
Twee driehoeke in die figuur is kongruent: . Verder is . Jy moet bewys dat 'n parallelogram is.
844
10.Bestudeer die diagram hieronder; dit is nie noodwendig op skaal geteken nie.Vierhoek is 'n parallelogram en en het lengtes en
onderskeidelik, soos getoon. Jy moet bewys dat .
845
846
Hoofstuk opsomming'n Vierhoek is 'n geslote vorm wat bestaan uit vier reguitlyn segmente.
'n Parallelogram is 'n vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne halveer mekaar.
'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke gelyk aan
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Die hoeklyne halveer mekaar.
Die hoeklyne is ewe lank.
Alle binnehoeke is gelyk aan
'n Ruit is 'n parallelogram met vier sye wat almal ewe lank is.
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Al die sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Die hoeklyne halveer mekaar loodreg ( )
Die hoeklyne van 'n ruit halveer beide pare teenoorstaande hoeke.
'n Vierkant is 'n ruit met al vier binnehoeke gelyk aan
Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.
847
Die hoeklyne halveer mekaar loodreg ( )
Alle binnehoeke is gelyk aan
Die hoeklyne is ewe lank.
Die hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande binnehoeke (d.w.s. almalis )
'n Trapesium is 'n vierhoek met een paar teenoorstaande sye ewewydig.
'n Vlieër is 'n vierhoek met twee paar aangrensende sye gelyk.
Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk (die hoeke is tussen ongelykesye).
Die hoeklyn tussen die gelyke sye halveer die ander hoeklyn.
Die hoeklyn tussen die gelyke sye halveer die binnehoeke.
Die hoeklyne sny mekaar loodreg ( )
Die middelpuntstelling: Die lyn wat die middelpunte van twee sye van 'ndriehoek verbind is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte van dielengte van die derde sy.
848
1.
2. is 'n parallelogram met hoeklyn . Gegewe dat
, toon dat:
a)
b)
c)
HOOFSTUK 12: HERSIENINGSOEFENINGE
is 'n ruit met en . Bewys is ook 'n ruit.
is 'n parallelogram
849
3.
Gegewe parallelogram met wat halveer en
wat halveer.
a)
b)
4.
Gegewe dat , en ,bewys dat:
a)
b)
5.
is 'n punt op , in . is die middelpunt van .
Skryf alle binnehoeke in terme van .
Bewys dat 'n parallelogram is.
halveer
850
is die middelpunt van en is die middelpunt van .
.
a)
b)
6.
In , , is die middelpunt van en isdie middelpunt van .
a)
Bewys dat 'n parallelogram is.
Bewys dat .
Bewys is die middelpunt van .
851
b)
c)
7a)
b)
c)
As en die oppervlakte van is ,
bereken die oppervlakte van .
Bewys dat die oppervlakte van altyd viermaal die
oppervlakte van sal wees; laat en
.
Gegee vierhoek met sye en . Ook
gegee: en ; en .
Voltooi die bewys hieronder om te bewys dat 'nparallelogram is.
Bereken die waarde van .
Bereken die waarde van .
852
8.
9.
Bestudeer die vierhoek met teenoorstaande hoeke
en hoeke noukeurig. Vul die korrekteredes of stappe in om te bewys vierhoek is 'n parallelogram.
Bestudeer die vierhoek met en noukeurig. Vul die korrekte redes of die stappe in om te bewys vierhoek
is 'n parallelogram.
853
10.
In parallelogram is die halveerlyne van die hoeke gekonstrueer endit word aangedui met die rooi lyne hieronder. Jy word ook ,
, , , en gegee.Bewys vierhoek is 'n parallelogram.Let op dat die diagram op skaal geteken is.
854
11.
12.Gegee die volgende diagram:
a)
b)
c)
Bestudeer die diagram hieronder; dit is nie noodwendig op skaal geteken nie.
Twee driehoeke in die figuur is kongruent: . Verder is . Jy moet bewys dat 'n parallelogram is.
Toon dat 'n parallelogram is.
Toon dat 'n parallelogram is.
Bewys dat .855
13.
14.
is 'n parallelogram. is 'n parallelogram. is 'nreguitlyn. Bewys dat .
In die figuur hieronder , . is 'nparallelogram. Bewys is 'n reguitlyn.
856
857
HOOFSTUK 13: METING
InleidingOm te weet hoe om die buiteoppervlakte en volume van 'n voorwerp te bereken, kannuttig wees in baie kontekste, veral om uit te vind hoeveel 'n taak gaan kos en hoeveelmateriaal benodig word om 'n voorwerp te vervaardig. Sommige voorbeelde hiervan isdie berekening van die buiteoppervlakte van 'n houer, om ons te help om die kostevan die materiaal uit te werk, of die berekening van die volume van 'n dam sodat onsweet hoeveel die water die dam kan hou.
Hierdie hoofstuk ondersoek die buiteoppervlakte en volumes van driedimensionelevoorwerpe, ook bekend as vaste liggame. Ten einde met hierdie voorwerpe kan werk,moet jy weet hoe om die buiteoppervlakte en omtrek van tweedimensionelevoorwerpe te bereken.
'n Tennisbaan. Die posisie van elk van die lyne is noukeurig bereken om seker te maak dat die
areas of oppervlaktes van die reghoeke dieselfde is enige plek in die wêreld.
858
13.1 Area van 'n veelhoek
DEFINISIE
Area
Area (oppervlakte) is die tweedimensionale ruimte binne die grense van 'nplat voorwerp. Dit word gemeet in vierkante eenhede.
HET JY GEWEET?
Akkers en hektare is twee algemene eenhede wat gebruik word vir dieoppervlakte van oppervlakte van grond. Een hektaar is ongeveer vierkantekilometer en een akker is omtrent vierkante kilometer.
Naam Vorm Formule
Vierkant
Reghoek
Driehoek
859
Trapesium
Parallelogram
Sirkel
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: VIND DIE AREA VAN 'NVEELHOEK
VRAAG
Vind die area van die volgende parallelogram:
OPLOSSING
Stap 1: Vind die hoogte
860
a)
1.Vind die area van elk van die veelhoeke hieronder:
OEFENING 13.1.1
Stap 2: Vind die area met die gebruik van die formule vir 'n
parallelogram
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 13.1 Voorbeeld 1
Laai af
861
b)
c)
d)
e)
862
f)
g)
h)
2a)Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van en . Die sirkel het 'n radius van . Skryf jou antwoord in
uitgebreide vorm (nie gefaktoriseer nie).
863
b)
3a)
Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van en . Die hoogte van die figuur is , en twee sye word benoem as
en . Skryf jou antwoord in uitgebreide vorm (niegefaktoriseer nie).
Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van en . Die sirkel het 'n radius van . Skryf jou antwoord in
uitgebreide vorm (nie gefaktoriseer nie).
864
b)Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van en . Die hoogte van die figuur is , en twee sye word benoem as
en . Skryf jou antwoord in uitgebreide vorm (niegefaktoriseer nie).
865
13.2 Regte prismas en silinders
DEFINISIE
Regte prisma
'n Regte prisma is 'n geometriese vaste liggaam met 'n veelhoek as basis envertikale syvlakke loodreg op die basis.
'n Driehoekige prisma het 'n driehoek as basis, 'n reghoekige prisma het 'n reghoek asbasis, en 'n kubus is 'n reghoekige prisma met al sy sye ewe lank. 'n Silinder het 'nsirkel as basis. Voorbeelde van regte prismas en 'n silinder word hieronder gegee: 'nreghoekige prisma, 'n kubus en 'n driehoekige prisma.
866
Buiteoppervlakte van prismas en silinders
DEFINISIE
Buite-oppervlakte
Buiteoppervlakte is die totale area van die blootgestelde of buiteoppervlakke van 'n prisma.
867
Dit is makliker om te verstaan as ons ons verbeel die prisma is van karton gemaak watoopgevou kan word. 'n Soliede voorwerp wat op hierdie manier ontvou word, word 'nnet genoem. Wanneer 'n prisma ontvou in 'n net, kan ons duidelik elkeen van syvlakke sien. Ten einde die buiteoppervlakte van 'n prisma te bereken, kan ons daneenvoudig die area van elke vlak bereken en hulle almal bymekaartel.
Byvoorbeeld, wanneer 'n driehoekige prisma ontvou in 'n net, kan ons sien dat dit tweevlakke het wat driehoeke is en drie aansigte wat reghoeke is. Om die buiteoppervlakte van die prisma te bereken, vind ons die area van elke driehoek en elkereghoek, en tel hulle bymekaar.
In die geval van 'n silinder is die boonste en onderste vlakke sirkels en die gekromdevlak ontvou tot 'n reghoek met lengte gelyk aan die omtrek van die sirkelvormigebasis. Om die buiteoppervlakte te bereken, vind ons die area van die twee sirkels endie reghoek en tel hulle bymekaar.
Hieronder is voorbeelde van regte prismas en 'n silinder wat ontvou is in nette:
Reghoekige prisma
868
Reghoekige prisma
'n Reghoekige prisma, wat ontvou word in 'n net, bestaan uit ses reghoeke.
Kubus
869
Kubus
'n Kubus wat ontvou word in 'n net, bestaan uit ses identiese vierkante.
Driehoekige prisma
870
Driehoekige prisma
'n Driehoekige prisma, wat ontvou word in 'n net, bestaan uit twee driehoeke en driereghoeke. Die som van die lengtes van die reghoeke is gelyk aan die omtrek van diedriehoeke.
Silinder
871
Silinder
'n Silinder, wat ontvou word in 'n net, bestaan uit twee identiese sirkels en 'n reghoekmet 'n lengte gelyk aan die omtrek van die sirkels.
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N REGHOEKIGE PRISMA
VRAAG
Vind die buiteoppervlakte van die volgende reghoekige prisma:
872
OPLOSSING
Stap 1: Skets en benoem die net van die prisma
Stap 2: Vind die areas van die verskillende vorme in die net
873
Stap 3: Vind die som van die oppervlaktes van die vlakke
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Die buiteoppervlakte van die reghoekige prisma is .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 13.2 Voorbeeld 2
Laai af
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N DRIEHOEKIGE PRISMA
VRAAG
Vind die buite oppervlakte van die volgende driehoekige prisma:
874
OPLOSSING
Stap 1: Skets en benoem die net van die prisma
Stap 2: Vind die oppervlaktes van die verskillende vorme in die net
Om die oppervlakte van die reghoek te kry, moet ons sy lengte, wat gelykis aan die omtrek van die driehoeke, bereken.
Om die omtrek van die driehoek te vind, moet ons eers die lengte vind vansy sye met behulp van die stelling van Pythagoras:
875
Stap 3: Vind die som van die oppervlaktes van die vlakke
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Die buiteoppervlakte van die driehoekige prisma is .
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N SILINDER
VRAAG
Vind die buiteoppervlakte van die volgende silinder (korrek tot 1 desimaleplek):
OPLOSSING
Stap 1: Skets en benoem die net van die silinder876
Stap 2: Vind die oppervlaktes van die verskillende vorme in die net
Stap 3: Skryf die finale antwoord
Die buiteoppervlakte van die silinder is .877
a)
b)
1.Bereken die buiteoppervlakte van die volgende prismas:
OEFENING 13.2.1
878
c)
d)
e)
879
f)
a)
b)
2.As 'n liter verf genoeg is vir 'n area van , hoeveel verf het 'nverwer nodig vir:
'n reghoekige swembad met afmetings (slegs die binnemure en vloer);
die binnemure en die vloer van 'n sirkelvormige tenk met middellyn en hoogte .
880
13.3 Volume van prismas en silinders
DEFINISIE
Volume
Volume is die drie dimensionele ruimte wat opgeneem word deur 'nvoorwerp of liggaam, of die inhoud van die voorwerp. Dit word gemeet inkubieke eenhede.
Die volume van regte prismas en silinders word eenvoudig bereken deur dievermenigvuldiging van die area van die basis met die hoogte van die liggaam.
Reghoekigeprisma
Driehoekigeprisma
Silinder
881
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VIND DIE VOLUME VAN 'NKUBUS
VRAAG
Vind die volume van die volgende kubus:
OPLOSSING
Stap 1: Vind die area van die basis
882
Stap 2: Vermenigvuldig die area van die basis met die hoogte van die
vaste liggaam en vind die volume
Stap 3: Skryf die finale antwoord
Die volume van die kubus is .
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VIND DIE VOLUME VAN 'NDRIEHOEKIGE PRISMA
VRAAG
Vind die volume van die driehoekige prisma:
883
OPLOSSING
Stap 1: Vind die area van die basis
Stap 2: Vermenigvuldig die area van die basis met die hoogte van die
vaste liggaam en vind die volume
884
Stap 3: Skryf die finale antwoord
Die volume van die driehoekige prisma is .
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VIND DIE VOLUME VAN 'NSILINDER
VRAAG
Vind die volume van die volgende silinder (korrek tot 1 desimale plek):
OPLOSSING
Stap 1: Vind die area van die basis
885
1.
OEFENING 13.3.1
Bereken die volumes van die volgende prismas (korrek tot desimale plek):
Stap 2: Vermenigvuldig die area van die basis met die hoogte van die
vaste liggaam en vind die volume
Stap 3: Skryf die finale antwoord
Die volume van die silinder is .
886
2.
3.
4.Die figuur hieronder is 'n driehoekige prisma. Die hoogte van die prisma is
eenhede; die driehoeke, wat beide reghoekig is, het sye wat , en eenhede lank is. Bereken die volume van die figuur. Rond af tot tweedesimale plekke indien nodig.
887
5.
6.
Die figuur hieronder is 'n reghoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die ander afmetings van die prisma is en eenhede. Vind dievolume van die figuur.
Die prentjie hieronder toon 'n silinder. Die hoogte van die silinder is eenhede; die radius van die silinder is eenhede. Bepaal die volumevan die figuur. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.
888
889
13.4 Regte piramides, regte keëls ensfere
DEFINISIE
Piramide
'n Piramide is 'n geometriese vaste liggaam wat 'n veelhoek as basis het ensyvlakke wat konvergeer na 'n punt, genoem die toppunt. Met ander woorde,die syvlakke is nie loodreg op die basis nie.
Die driehoekige piramide en vierkantige piramide kry hulle name van die vorm vanhulle basis. Ons noem 'n piramide 'n "regte piramide" as die lyn tussen die toppunt endie middel van die basis loodreg is op die basis. Keëls is soortelyk behalwe aanpiramides dat hulle sirkels as basisie het in plaas van veelhoeke. Sfere is vasteliggame wat perfek rond is en dieselfde lyk vanuit enige rigting.
LET WEL
Keëls word ook konusse of kegels genoem.
Voorbeelde van 'n vierkantige piramide, 'n driehoekige piramide, 'n keël en 'n sfeer:
890
Buiteoppervlakte van piramides, keëls en sfere891
Buiteoppervlakte van piramides, keëls en sfere
Vierkantigpiramide
Driehoekigepiramide
Regte keël
Sfeer
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N DRIEHOEKIGE PIRAMIDE
VRAAG
Vind die buiteoppervlakte van die volgende driehoekige piramide (korrek tot892
een desimale plek):
OPLOSSING
Stap 1: Vind die area van die basis
Om die hoogte te vind van die basis driehoek , gebruik ons diestelling van Pythagoras:
893
Stap 2: Vind die area van die syvlakke
Stap 3: Vind die som van die areas
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Die buiteoppervlakte van die driehoekige piramide is .
UITGEWERKTE VOORBEELD 9: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N KEËL
VRAAG
Vind die buiteoppervlakte van die volgende keël (korrek tot 1 desimale plek):
894
OPLOSSING
Stap 1: Vind die area van die basis
Stap 2: Vind die geboë area
Om die skuinssy, , te vind, gebruik ons die stelling van Pythagoras:
895
Stap 3: Vind die som van die areas
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Die buiteoppervlakte van die keël is .
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 13.4 Voorbeeld 9
Laai af
896
UITGEWERKTE VOORBEELD 10: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N SFEER
VRAAG
Vind die buiteoppervlakte van die volgende sfeer (korrek tot 1 desimale plek):
OPLOSSING
UITGEWERKTE VOORBEELD 11: ONDERSOEK DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N KEËL
VRAAG
As 'n keël 'n hoogte het van en 'n basis met radius , toon dat die buiteoppervlakte die volgende is:
897
OPLOSSING
Stap 1: Skets en benoem die keël
Stap 2: Identifiseer die vlakke wat die keël vorm
Die keël het twee vlakke: die basis en die geboë oppervlakte. Die basis is'n sirkel met radius en die geboë oppervlakte kan ontvou word tot 'nsektor van 'n sirkel:
Hierdie geboë oppervlak kan opgedeel word in baie, smal driehoeke methoogte naby aan (waar die skuinshoogte is). Die area van hierdiedriehoeke of sektore, kan as volg opgesom word
898
1.Vind die totale buiteoppervlakte van die volgende voorwerpe (korrektot 1 desimale plek indien nodig):
OEFENING 13.4.1
Stap 3: Bereken
kan bereken word met die stelling van Pythagoras:
Stap 4: Bereken die area van die sirkelvormige basis ( )
Stap 5: Bereken die area van die geboë area ( )
Stap 6: Vind die som van die areas
899
a)
b)
900
c)
d)
2.
Hierdie figuur is 'n keël. Die vertikale hoogte van die keël is eenhede en die skuinshoogte van die keël is eenhede; die radiusvan die keël word getoon, eenhede. Bereken die buiteoppervlaktevan die figuur. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.
901
3.
4.
Die figuur hieronder is 'n sfeer. Die radius van die sfeer is eenhede.Bereken die buiteoppervlakte van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.
Die figuur hieronder toon 'n piramide met 'n vierkantige basis. Die sye van diebasis is almal eenhede lank. Die vertikale hoogte van die piramide is eenhede en die skuinshoogte van die piramide is eenhede. Bepaal diebuiteoppervlakte van die piramide.
902
903
13.5 Volume van piramides, keëls ensfere
Vierkantigepiramide
Driehoekigepiramide
Regte keël
Sfeer
904
UITGEWERKTE VOORBEELD 12: VIND DIE VOLUME VAN 'NVIERKANTIGE PIRAMIDE
VRAAG
Vind die volume van 'n vierkantige piramide met 'n hoogte van 3 cm en 'nsylengte van 2 cm.
OPLOSSING
Stap 1: Skets en benoem die piramide
905
Stap 2: Kies die regte formule en substitueer die gegewe waardes
Ons word en gegee, dus
Stap 3: Skryf die finale antwoord
Die volume van die vierkantige piramide is .
UITGEWERKTE VOORBEELD 13: VIND DIE VOLUME VAN 'NDRIEHOEKIGE PIRAMIDE
VRAAG
Vind die volume van die volgende driehoekige piramide (korrek tot 1 desimaleplek):
906
OPLOSSING
Stap 1: Skets die basisdriehoek en bereken sy area
907
Die hoogte van die basisdriehoek ( ) is:
Die area van die basisdriehoek is
Stap 2: Skets die driehoekige syvlak en bereken die piramide se
hoogte
908
Stap 3: Bereken die volume van die piramide
Stap 4: Skryf die finale antwoord
Die volume van die driehoekige piramide is .
UITGEWERKTE VOORBEELD 14: VIND DIE VOLUME VAN 'NKEËL
VRAAG
Vind die volume van die volgende keël ( korrek tot desimale plek):
909
OPLOSSING
Stap 1: Vind die area van die basis
Stap 2: Bereken die volume
Stap 3: Skryf die finale antwoord
Die volume van die keël is .
910
UITGEWERKTE VOORBEELD 15: VIND DIE VOLUME VAN 'NSFEER
VRAAG
Vind die volume van die volgende sfeer (korrek tot 1 desimale plek):
OPLOSSING
Stap 1: Gebruik die formule om die volume te vind
Stap 2: Skryf die finale antwoord
Die volume van die sfeer is .
911
UITGEWERKTE VOORBEELD 16: VIND DIE VOLUME VAN 'NSAAMGESTELDE OF KOMPLEKSE VOORWERP
VRAAG
'n Driehoekige piramide word geplaas boop 'n driehoekige prisma, sooshieronder aangetoon. Die basis van die prisma is 'n gelyksydige driehoek metsylengte en die hoogte van die prisma is . Die piramide het 'nhoogte van . Bereken die totale volume van die voorwerp.
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die volume van die prisma
Vind eers die hoogte van die basis driehoek met die gebruik van diestelling van Pythagoras:
912
Vind vervolgens die area van die basisdriehoek:
Nou kan ons die volume van die prisma vind:
Stap 2: Bereken die volume van die piramide
Die area van die basisdriehoek is gelyk aan die area van die basis van diepiramide.
913
Stap 3: Bereken die totale volume
Dus is die totale volume van die voorwerp .
UITGEWERKTE VOORBEELD 17: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N SAAMGESTELDE VOORWERP
VRAAG
Met dieselfde saamgestelde voorwerp as in die vorige voorbeeld, word jy dieaddisionele inligting gegee dat die skuinshoogte = . Bereken noudie totale buiteoppervlakte van die voorwerp.
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die buiteoppervlakte van elke blootgestelde sigbare
vlak van die piramide
Omdat die basisdriehoek gelyksydig is, het elke vlak dieselfde basis endus dieselfde buiteoppervlakte. Dus is die buiteoppervlakte vir elke vlakvan die piramide .
914
1.
OEFENING 13.5.1
Stap 2: Bereken die buiteoppervlakte van elke syvlak van die prisma
Elke syvlak van die prisma is 'n reghoek met basis en
hoogte .
Omdat die basisdriehoek gelyksydig is, het elke sy van die prismadieselfde area. Dus is die buiteoppervlakte van elke syvlak van die prisma
.
Stap 3: Bereken die totale buiteoppervlakte van die voorwerp
Dus is die totale buiteoppervlakte (van die sigbare vlakke) van dievoorwerp .
Die figuur hieronder toon 'n sfeer. Die radius van die sfeer is eenhede. Bepaal die volume van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.
915
2.
3.
Die figuur is 'n konus. Die vertikale hoogte van die konus is eenhede
en die skuinshoogte is eenhede; die radius van die konus isgetoon, eenhede. Bereken die volume van die figuur. Rond jouantwoord af tot twee desimale plekke.
Die figuur hieronder is 'n piramide met 'n vierkantige basis. Die vertikale
hoogte van die piramide is eenhede en die skuinssy is eenhede; die lengte van die sy van die piramide is eenhede. Rond jouantwoord af tot twee desimale plekke.
916
a)
4.Vind die volume van die volgende voorwerpe (rond af tot 1 desimaleplek indien nodig):
917
b)
c)
918
d)
5.
6.Bereken die volgende eienskappe vir die piramide hieronder getoon.Rond jou antwoorde af tot twee desimale plekke.
Vind die buiteoppervlakte en volume van die keël wat hier getoon word.Rond jou antwoorde af tot die naaste heelgetal.
919
a)
b)
7.
Buite-oppervlakte
Volume
Die vaste liggaam hieronder bestaan uit 'n kubus en 'n vierkantige piramide.Vind sy volume en buiteoppervlakte (korrek tot desimale plek):
920
13.6 Die effek van vermenigvuldigingmet 'n faktor kWanneer een of meer afmetings van 'n prisma of 'n silinder vermenigvuldig word met'n konstante, sal die buiteoppervlakte en die volume verander. Die nuwe buiteoppervlakte en volume kan bereken word deur die formules van die voorafgaandeseksie te gebruik.
Dit is moontlik om 'n verband te sien tussen die verandering in afmetings en diegevolglike verandering in die buiteoppervlakte en volume. Hierdie verbande maak diteenvoudig om die nuwe volume of buiteoppervlakte van 'n voorwerp, waarvan dieafmetings op of afgeskaal word, te bereken.
Beskou 'n reghoekige prisma met afmetings , en . Hieronder vermenigvuldig onseen, twee en drie van sy afmetings met 'n konstante faktor van en bereken dienuwe volume en buiteoppervlakte.
Afmetings Volume Oppervlak
Oorspronklike afmetings
Vermenigvuldig eenafmeting met
Vermenigvuldig twee921
afmetings met
Vermenigvuldig al drieafmetings met
Vermenigvuldig al drieafmetings met k
UITGEWERKTE VOORBEELD 18: BEREKEN DIE NUWEAFMETINGS VAN 'N REGHOEKIGE PRISMA
VRAAG
Beskou 'n reghoekige prisma met 'n hoogte van en basislengte van .
922
1. Bereken die buiteoppervlakte van volume.
2. Bereken die nuwe buiteoppervlakte ( ) en volume ( ) as dielengtes vermenigvuldig word met 'n konstante faktor van .
3. Druk die nuwe buiteoppervlakte en volume uit as 'n faktor van dieoorspronklike buiteoppervlakte en volume.
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die oorspronklike volume en buiteoppervlakte
Stap 2: Bereken die nuwe volume en buiteoppervlakte
Twee van die afmetings word vermenigvuldig met 'n faktor van 3
923
Stap 3: Druk die nuwe afmetings uit as 'n faktor van die
oorspronklike afmetings
924
UITGEWERKTE VOORBEELD 19: VERMENIGVULDIG DIEAFMETINGS VAN 'N REGHOEKIGE PRISMA MET
VRAAG
Bewys dat as die hoogte van 'n reghoekige prisma met afmetings , en is, vermenigvuldig word met 'n konstante waarde van , sal die volumevermeerder met 'n faktor van .
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die oorspronklike volume
Die oorspronklike afmetings van , en is gegee, en dus is dieoorspronklike volume .
Stap 2: Bereken die nuwe volume
Die nuwe afmetings is , , en en dus is die nuwe volume:
925
Stap 3: Skryf die finale antwoord
As die hoogte van 'n reghoekige prisma vermenigvuldig word met 'nkonstante , dan neem die volume ook toe met 'n faktor van .
UITGEWERKTE VOORBEELD 20: VERMENIGVULDIGING VANDIE AFMETINGS VAN 'N SILINDER MET
VRAAG
Beskou 'n silinder met 'n radius van en 'n hoogte van . Bereken die nuwevolume en die buiteoppervlakte (uitgedruk in terme van en ) as die radiusvermenigvuldig word met 'n konstante faktor van .
OPLOSSING
Stap 1: Bereken die oorspronklike volume en buiteoppervlakte
926
1.
2.
OEFENING 13.6.1
Stap 2: Bereken die nuwe volume en buiteoppervlakte
Die nuwe afmetings is en .
As die lengte van die radius van 'n sirkel 'n derde is van sy oorspronklikegrootte, wat sal die area van die nuwe sirkel wees?
As die lengte van die radius van die basis en die hoogte van 'n konusverdubbel word, wat sal die buiteoppervlakte van die nuwe konus wees?
927
3.
a)
b)
4.Beskryf die verandering in die volume van 'n reghoekige prisma asdie
5.
As die hoogte van 'n prisma verdubbel, met hoeveel sal sy volumevermeerder?
lengte en breedte toeneem met 'n konstante faktor van .
lengte, breedte en hoogte word vermenigvuldig met 'n konstantefaktor van .
As die lengte van elke sy van 'n driehoekige prisma vervierdubbel, wat sal dievolume van die nuwe driehoekige prisma wees?
928
6.Gegee 'n prisma met 'n volume van en 'n buiteoppervlakte van
. Vind die nuwe buiteoppervlakte en volume vir prisma as al dieafmetings vermeerder met 'n konstante faktor van .
929
Hoofstuk opsommingArea (oppervlak) is die tweedimensionale ruimte binne die grense van 'n platvoorwerp. Dit word gemeet in vierkante eenhede.
Oppervlakte formules
vierkant:
reghoek:
driehoek:
trapesium:
parallelogram:
sirkel:
'n Regte prisma is 'n geometriese vaste liggaam met 'n veelhoek as basis envertikale syvlakke loodreg op die basis.
'n Driehoekige prisma het 'n driehoek as sy basis, 'n reghoekige prisma het 'nreghoek as sy basis, en 'n kubus is 'n reghoekige prisma met al die sye dieselfdelengte. 'n Silinder is 'n ander tipe regte prisma met 'n sirkel as sy basis.
Buiteoppervlakte is die totale area van die blootgestelde of buite oppervlakkevan 'n prisma.
'n Net is die ontvouings "plan" van 'n vaste liggaam.
Volume is die drie dimensionele ruimte wat opgeneem word deur 'n voorwerp ofliggaam, of die inhoud van die voorwerp. Dit word gemeet in kubieke eenhede.
Volume formules vir prismas en silinders:
Volume van 'n reghoekige prisma:
930
Volume van 'n driehoekige prisma:
Volume van 'n vierkantige prisma of kubus:
Volume van 'n silinder:
'n Piramide is 'n geometriese vaste liggaam wat 'n veelhoek as sy basis het ensyvlakke wat konvergeer na 'n punt wat die toppunt genoem word. Die syvlakkeis nie loodreg op die basis nie.
Die driehoekige piramide en vierkantige piramide kry hulle name van die vormvan hulle basis. Ons noem 'n piramide 'n "regte piramide" as die lyn tussen dietoppunt en die middel van die basis loodreg is op die basis. Keëls is soortelykbehalwe aan piramides dat hulle sirkels as basisie het in plaas van veelhoeke.Sfere is vaste liggame wat perfek rond is en dieselfde lyk vanuit enige rigting.
Buiteoppervlakte formules vir regte piramides, regte keëls en sfere:
vierkantige piramide:
driehoekige piramide:
regte keël:
sfeer:
Volume formules vir regte piramides, regte keëls en sfere:
vierkantige piramide:
driehoekige piramide:
regte keël:
sfeer:
Vermenigvuldiging van een of meer afmetings van 'n prisma of 'n silinder met 'nkonstante beïnvloed die buiteoppervlakte en volume.
931
a)
b)
1.Vind die area van elk van die vorme getoon. Rond jou antwoord af tottwee desimale plekke waar nodig.
HOOFSTUK 13: HERSIENINGSOEFENINGE
932
c)
2a)
b)
Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van . Dieafmetings van die figuur is benoem en . Skryf jouantwoord in uitgebreide vorm (nie gefaktoriseer nie).
Vind 'n uitdrukking vir die oppervlakte van hierdie figuur in terme van . Die figuur het afmetings van en , soos benoem.
Skryf jou antwoord in uitgebreide vorm (nie gefaktoriseer nie).
933
3.
4.
5.
Die figuur hieronder is 'n driehoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die driehoeke, wat beide regte driehoeke is, het sye wat , en
eenhede lank is. Vind die buiteoppervlakte van die figuur.
Hierdie figuur is 'n reghoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die ander afmetings van die prisma is en eenhede. Vind diebuiteoppervlakte van die figuur.
'n Silinder word hieronder gewys. Die hoogte van die silinder is ; dieradius van die silinder is , soos getoon. Vind die buiteoppervlaktevan die figuur. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.
934
6.
7.
Die figuur hieronder is 'n driehoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die driehoeke, wat beide regte hoeke bevat, het sye van , en
eenhede. Bepaal die volume van die figuur.
Die figuur hieronder is 'n reghoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die ander afmetings van die prisma is en eenhede. Berekendie volume van die figuur.
935
8.
9.
Die figuur hieronder toon 'n silinder. Die hoogte van die silinder is ; dieradius van die silinder is . Bereken die volume van die figuur.Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke
Die figuur hieronder is 'n sfeer. Die radius van die sfeer is eenhede.Vind die buiteoppervlakte van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.
936
10.
11.
Die figuur hieronder toon 'n piramide met 'n vierkantige basis. Die sye van diebasis is almal eenhede lank. Die vertikale hoogte van die piramide is eenhede en die skuinshoogte van die piramide is eenhede. Bepaal diebuiteoppervlakte van die piramide.
Die figuur hier is 'n kegel. Die vertikale hoogte van die kegel is eenhede en die skuinshoogte van die kegel is eenhede; die radiusvan die kegel word getoon, eenhede. Vind die buiteoppervlakte vandie figuur. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.
937
12.
13.
Die figuur hieronder toon 'n sfeer. Die radius van die sfeer is eenhede. Bepaal die volume van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.
Die figuur hier is 'n keël. Die vertikale hoogte van die keël is
eenhede en die skuinshoogte is eenhede; die radius van die keëlword getoon, eenhede. Vind die volume van die figuur. Rond jouantwoord af tot twee desimale plekke.
938
14.
15.Beskou die vaste liggame hieronder:
Die figuur hieronder is 'n piramide met 'n vierkantige basis. Die vertikalehoogte van die piramide is eenhede en die skuinshoogte is
eenhede; die sye van die basis van die piramide is eenhede. Vind die volume van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.
939
a)
b)
16.
17.
Bereken die buiteoppervlakte van elke vaste liggaam.
Bereken die volume van elke vaste liggaam.
As die lengte van elke sy van 'n vierkant 'n kwart is van sy oorspronklikegrootte, wat sal die oppervlakte van die nuwe vierkant wees?
As die lengte van elke sy van 'n vierkantige piramide verminder word na 'nderde van die oorspronklike lengte, wat sal die buiteoppervlakte van dienuwe vierkantige piramide wees?
940
18.
19.Beskou die vaste liggame hieronder en antwoord die vrae wat volg(korrek tot desimale plek, indien nodig):
a)
b)
As die lengte van die radius van die basis en die hoogte van 'n silindergehalveer word, wat sal die volume van die nuwe silinder wees?
Bereken die buiteoppervlakte van elke vaste liggaam.
Bereken die volume van elke vaste liggaam.941
c)
d)
20.Die vaste liggaam hieronder bestaan uit 'n kubus en 'n vierkantigepiramide. Beantwoord die volgende:
a)
b)
As elke afmeting van die vaste liggame toeneem met 'n faktor van ,bereken die nuwe buiteoppervlakte van elke vorm.
As elke afmeting van die vorme toeneem met 'n faktor van ,bereken die nuwe volume van elke vaste liggaam.
Vind die buiteoppervlakte van die vorm getoon. Gee jou antwoordetot twee desimale plekke.
Bepaal nou die volume van die vorm. Gee jou antwoord tot dienaaste heelgetalwaarde.
942
21.
a)
22.Vind die volume en buiteoppervlakte van die volgende saamgesteldevorme.
Bereken die volume en die totale buiteoppervlakte van die vaste liggaamhieronder (korrek tot 1 desimale plek):
943
b)
c)
944
23.
24.'n Houer wat gevul is met petrol het die vorm van 'n omgekeerderegte sirkelvormige keël met hoogte en die radius van diebasis is . 'n Sekere hoeveelheid brandstof word uitgetap uitdie houer sodat brandstof tot op 'n diepte van cm oor is.
a)
b)
25.Vind die volume en buite-oppervlakte van die volgende prismas.
'n Roomyshorinkie (regte keël) het 'n radius van en 'n hoogte van . 'n Halwe bolletjie roomys (hemisfeer) word boop die horinkie geskep.
As die roomys smelt, sal dit in die horinkie pas? Toon al jou werk.
Toon dat .
Bepaal die volume van die brandstof wat uitgetap is. Druk jouantwoord uit in liters as
945
a)
b)
c)
26.Bepaal die volume van die volgende:
946
a)
b)
27.Die prisma hier langsaan het die volgende afmetings:
eenhede, eenhede, eenhede.
is 'n boog van 'n sirkel met middelpunt . .
is 'n vierkant, , .
947
a)
b)
c)
28.'n Koeldrankhouer is gemaak in die vorm van 'n piramide met 'ngelykbenige driehoekige basis. Dit staan bekend as 'n tetrahedron.
Die hoogtehoek na die bopunt van die houer, is . ; .
Verduidelik hoekom , die radius van die sirkelboog , eenhede is.
Bereken die oppervlakte van die gearseerde gedeelte.
Vind die volume van die prisma.
948
a)
b)
a. Wys dat die lengte , cm is.
b. Vind die hoogte van (tot die naaste eenheid).
c. Bereken die area van .Wenk: konstrueer 'n loodregte lyn van U tot
d. Vind die volume van die houer
Die houer word gevul met sap sodat 'n % opening vir luggelaat word. Bepaal die volume van die sap.
949
29.Hieronder is 'n diagram van Die Groot Piramide.Dit is 'n vierkantige piramide en is die middelpunt van die vierkant.
a)
b)
c)
d)
en .
Die lengte van die sy van die piramide is endie hoogte van die piramide is .Bepaal die area van die basis van die piramide in terme van .
Bereken tot desimale plekke.
Van jou berekening in vraag (b), bepaal .
Bepaal die volume en buiteoppervlakte van die piramide.
950
HOOFSTUK 14: WAARSKYNLIKHEID
InleidingOns gebruik waarskynlikheid om onsekere gebeurtenisse te beskryf. As jy per ongeluk'n sny brood laat val, weet jy nie of dit gaan val met die gesmeerde kant boontoe ofondertoe nie. Wanneer jou gunsteling sportspan 'n wedstryd speel, weet jy nie of hullegaan wen nie. Wanneer die weervoorspeller sê daar is 'n % kans van reën môre,mag dit gebeur dat jy natreën, of jy mag droog bly. Onsekerheid kom tot 'n mindere ofmeerdere mate voor in elke gebeurtenis rondom ons en in elke besluit wat ons maak.
Ons sal in hierdie hoofstuk sien dat al hierdie onsekerhede kan beskryf word deur diereëls van die waarskynlikheidsteorie te gebruik en dat ons besliste gevolgtrekkingskan maak oor onseker prosesse.
Bepaling van die pad van 'n superstorm. Meteoroloë gebruik rekenaar sagteware om hulle te
help om storms se paaie te volg en om die weer te voorspel.
Ons sal drie voorbeelde van onseker prosesse gebruik om jou te help om diebetekenis van verskillende woorde in waarskynlikheidsteorie te verstaan: opskiet van'n muntstuk, rol van 'n dobbelsteen, en 'n sokkerwedstryd.
951
DEFINISIE
Eksperiment
'n Eksperiment verwys na onseker prosesse.
DEFINISIE
Uitkoms
'n Uitkoms van 'n eksperiment is 'n enkele resultaat van daardieeksperiment.
Eksperiment 1: 'n Muntstuk word opgeskiet en dit land met kop (K) of stert (S)boontoe. 'n Voorbeeld van 'n uitkoms van die opskiet van 'n muntstuk is dat dit landmet kop boontoe:
Eksperiment 2: Twee dobbelstene word gerol en die totale aantal kolletjiesbymekaargetel. 'n Voorbeeld van 'n uitkoms as die dobbelsteen tweemaal gerol word:
Eksperiment 3: Twee spanne speel 'n sokkerwedstryd en ons stel belang in die finaletelling. 'n Voorbeeld van die uitkoms van 'n sokkerwedstryd:
952
DEFINISIE
Steekproefruimte
Die steekproefruimte van 'n eksperiment is die versameling van moontlikeuitkomste van daardie eksperiment. Die steekproefruimte word aangeduimet die simbool en die grootte van die steekproefruimte (die totale aantal
moontlike uitkomste) word aangedui met
Selfs al is ons gewoonlik geïnteresseerd in die uitkoms van 'n eksperiment, wil onsook weet wat die ander uitkomste kon gewees het. Laat ons kyk na diesteekproefruimte van elk van ons drie eksperimente.
Eksperiment 1: Aangesien 'n muntstuk slegs op een van twee maniere kan land (onslaat die moontlikheid dat die muntstuk op sy kant kan val, buite rekening), is die
steekproefruimte die versameling . Die grootte van die steekproefruimte
van die muntstuk se opskiet is :
Eksperiment 2: Elk van die dobbelstene kan land op 'n getal van tot . In hierdieeksperiment is die steekproefruimte van die al die moontlike uitkomste, elke moontlike
953
kombinasie van die getalle op die eerste dobbelsteen met die getalle op die
tweede dobbelsteen. Dit gee 'n totaal van moontlikeuitkomste. Die figuur hieronder toon al die uitkomste in die steekproefruimte van dierol van twee dobbelstene:
Eksperiment 3: Elke sokkerspan kan 'n heelgetaltelling kry van of meer. Gewoonlikverwag ons nie 'n telling van veel meer as doele nie, maar daar is geen redehoekom dit nie kan gebeur nie. Dus die steekproefruimte van die eksperiment bestaanuit alle moontlike kombinasies van twee nienegatiewe heelgetalle. Die figuurhieronder toon al die moontlikhede. Aangesien ons nie die telling van 'n span beperknie, is die steekproefruimte oneindig groot:
954
LET WEL
Wanneer ons 'n steekproefruimte wat die reële getalle bevat voorstel, kan ons al
die uitkomste in die steekproefruimte skryf: of
ons kan die steekproefruimte voorstel as: .
DEFINISIE
Gebeurtenis
'n Gebeurtenis is 'n spesifieke stel uitkomste van 'n eksperiment waarin jygeïnteresseerd is. 'n Gebeurtenis word aangedui met die letter en die
aantal uitkomste in die gebeurtenis met .
Eksperiment 1: Laat ons sê dat ons wil hê dat die muntstuk moet land met kop
boontoe. Hier bevat die gebeurtenis 'n enkele uitkoms: . Die grootte van
die gebeurtenisversameling is .
Eksperiment 2: Laat ons sê ons wil hê die som van die dobbelstene moet wees. In955
hierdie geval is die gebeurtenisversameling:
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 14 Eksperiment 1
Laai af
Eksperiment 3: Ons sal graag wil weet of die eerste span gaan wen. Vir hierdiegebeurtenis om te gebeur moet die eerste telling groter wees as die tweede.
. Hierdiegebeurtenisversameling is oneindig groot.
956
14.1 Teoretiese waarskynlikheid
DEFINISIE
Waarskynlikheid
'n Waarskynlikheid is 'n reële getal tussen en wat beskryf hoewaarskynlik dit is dat die gebeurtenis sal plaasvind.
Ons kan waarskynlikhede beskryf op drie maniere:
1. As 'n reële getal tussen 0 en 1. Byvoorbeeld .
2. As 'n persentasie. Byvoorbeeld kan geskryf word as 'n %.
3. As 'n breuk. Byvoorbeeld kan ook geskryf word as .
Ons let die volgende op met betrekking tot waarskynlikhede:
'n Waarskynlikheid van beteken dat die gebeurtenis nooit sal plaasvind nie.
'n Waarskynlikheid van beteken dat die gebeurtenis altyd sal plaasvind.
'n Waarskynlikheid van beteken dat 'n gebeurtenis die helfte van die tyd salvoorkom, of keer uit elke .
Wanneer al die moontlike uitkomste van die eksperiment 'n gelyke kans het om tegebeur, kan ons die presiese teoretiese waarskynlikheid van die gebeurtenis bereken.Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is die ratio of verhouding tussen die aantaluitkomste in die gebeurtenisversameling en die getal moontlike uitkomste in diesteekproefruimte.
957
UITGEWERKTE VOORBEELD 1: TEORETIESEWAARSKYNLIKHEDE
VRAAG
Wat is die teoretiese waarskynlikheid van elke van die gebeurtenisse in dieeerste twee van ons drie eksperimente?
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die waarde neer van
Eksperiment 1 (muntstuk):
Eksperiment 2 (dobbelstene):
Stap 2: Skryf die grootte neer van die gebeurtenisversameling
Eksperiment 1:
Eksperiment 2:
Stap 3: Bereken die teoretiese waarskynlikheid
Eksperiment 1:
Eksperiment 2:
958
1.
2.
3.
OEFENING 14.1.1
Let daarop dat ons nie die teoretiese waarskynlikheid van die derde eksperimentoorweeg nie. Die derde eksperiment is anders as die eerste twee in 'n belangrikeopsig, naamlik dat al die moontlike uitkomste (al die finale tellings) is nie ewe moontliknie. Ons weet byvoorbeeld dat 'n sokkertelling van 11 baie algemeen is, terwyl 'ntelling van 1115 uiters raar is. Omdat al die uitkomste nie ewe moontlik is nie, kan ons
nie die ratio tussen en gebruik om die teoretiese waarskynlikheid dateen span sal wen te bereken nie.
'n Leerder wil die term "gebeurtenis" verstaan. Dus rol die leerder 2dobbelstene in die hoop om 'n totaal van 8 te kry. Watter van die volgende isdie mees toepaslike voorbeeld van die term "gebeurtenis"?
gebeurtenisversameling
gebeurtenisversameling
gebeurtenisversameling
'n Leerder wil die term "steekproefruimte" verstaan. Dus rol die leerder 'ndobbelsteen. Watter van die volgende is die mees toepaslike voorbeeld vandie term "steekproefruimte"?
'n Leerder kry 'n 6kantige dobbelsteen en rol dit dan eenmaal op 'n tafel. Watis die waarskynlikheid dat die dobbelsteen op 'n 1 of 'n 2 sal land?
959
4.
5.
a)
b)
c)
d)
6.'n Sak bevat rooi balle, blou balle, groen balle en wit bal. 'nBal word willekeurig gekies. Bepaal die waarskynlikheid dat dit:
a)
b)
7.'n Speelkaart word willekeurig gekies uit 'n pak van kaarte.Bepaal die waarskynlikheid dat dit:
Skryf jou antwoord as 'n vereenvoudigde breuk.
'n Leerder kry 'n handboek wat 100 bladsye het. Sy kies dan een bladsy vandie handboek. Wat is die waarskynlikheid dat die bladsy 'n onewebladsynommer het?Skryf jou antwoord as 'n desimaal (korrek tot 2 desimale plekke).
Ewe getalle van tot word op kaarte geskryf. Wat is diewaarskynlikheid om 'n veelvoud van te kies as 'n kaart willekeurig gekiesword?
rooi is
blou of wit is
nie groen is nie
nie groen of rooi is nie
die van harte is
'n rooi kaart is960
c)
d)
e)
'n prentkaart is
'n aas is
'n getal kleiner as is
961
14.2 Relatiewe frekwensie
DEFINISIE
Relatiewe frekwensie
Die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis is gedefinieer as die aantal kerewat die gebeurtenis voorkom gedurende eksperimentele proefnemings,gedeel deur die totale aantal proefnemings wat uitgevoer is.
Die relatiewe frekwensie is nie 'n teoretiese hoeveelheid nie, maar 'n eksperimenteleeen. Ons moet 'n eksperiment 'n aantal kere herhaal en tel hoeveel kere die uitkomsvan die proefneming in die gebeurtenisversameling voorkom. Omdat diteksperimenteel is, is dit moontlik om elke keer wat ons die eksperiment herhaal, 'nander relatiewe frekwensie te kry.
UITGEWERKTE VOORBEELD 2: RELATIEWE FREKWENSIE ENTEORETIESE WAARSKYNLIKHEID
VRAAG
Ons skiet 'n muntstuk keer op en neem die uitkoms waar. Die resultaat vandie proefnemings word getoon in die tabel hieronder.
proefneming
uitkoms K S S S K S K K K S
proefneming
uitkoms K S S K S S S K S K
proefneming
uitkoms K K K S K S K S S S
962
Wat is die relatiewe frekwensie om kop te kry na elke proefneming en hoevergelyk dit met die teoretiese waarskynlikheid om kop te kry?
OPLOSSING
Stap 1: Tel die aantal positiewe uitkomste
'n Positiewe uitkoms is wanneer die uitkoms in onsgebeurtenisversameling val. Die tabel toon 'n lopende telling (na elke proef) van die aantal positiewe uitkomste wat ons waargeneem het.
Byvoorbeeld, na proefnemings het ons keer kop gesien en keer stert en dus is die positiewe uitkomstelling .
Stap 2: Bereken die relatiewe frekwensie
Aangesien die relatiewe frekwensie gedefinieer is as die verhoudingtussen die aantal positiewe proefnemings en die totale aantalproefnemings,
Die relatiewe frekwensie om kop te kry, , na voltooiing van muntopskiete is:
963
Van die laaste inskrywing in hierdie tabel kan ons maklik die relatiewe
frekwensie na proefnemings aflees, naamlik . Dierelatiewe frekwensie is naby aan die teoretiese waarskynlikheid van .Algemeen gesproke, sal die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis neigom al nader te kom aan die teoretiese waarskynlikheid van die gebeurtenissoos ons meer proefnemings uitvoer.
'n Veel beter manier om hierdie tabel van relatiewe frekwensies op te som,is met 'n grafiek:
Die grafiek hierbo is die stipping van die relatiewe frekwensie om kop te
kry, , na die voltooiing van munt opskiete. Dit is verkry van die tabelvan getalle hierbo deur die getal proefnemings wat reeds voltooi is, te stip
met op die as en die relatiewe frekwensie, , op die as. In diebegin (na 'n klein aantal proefnemings) fluktueer die relatiewe frekwensiebaie rondom die teoretiese frekwensie by , wat getoon word met diestippellyn. Soos die aantal proefnemings toeneem, fluktueer die relatiewefrekwensie al minder en kom dit al nader aan die teoretiesewaarskynlikheid.
964
UITGEWERKTE VOORBEELD 3: RELATIEWE FREKWENSIE ENTEORETIESE WAARSKYNLIKHEID
VRAAG
Terwyl ons na sokkerwedstryde kyk waar Span 1 teen Span 2 speel, tekenons die volgende finale tellings aan:
Proefneming
Span 1
Span 2
Wat is die relatiewe frekwensie dat Span 1 wen?
OPLOSSING
Stap 1:
In hierdie eksperiment is elke proefneming 'n sokkerwedstryd tussen
Span 1 en Span 2.
Stap 2: Tel die aantal positiewe uitkomste
Ons stel belang in die gebeurtenis waar Span 1 wen. Van die tabel hierbosien ons dat dit keer gebeur het.
Stap 3: Bereken die relatiewe frekwensie
Die totale aantal proefnemings is . Dit beteken die relatiewe frekwensievan die gebeurtenis is
965
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 14.2 Voorbeeld 3
Laai af
Dit is belangrik om die verskil te verstaan tussen die teoretiese waarskynlikheid van 'ngebeurtenis en die waargenome relatiewe frekwensie van die gebeurtenis ineksperimentele proewe. Die teoretiese waarskynlikheid is 'n getal wat ons kanbereken as ons genoeg inligting het oor die eksperiment. As elke moontlike uitkoms indie steekproefruimte ewe moontlik is, tel ons die aantal uitkomste in die gebeurtenisen die aantal uitkomste in die steekproefruimte om die teoretiese waarskynlikheid tebereken.
Die relatiewe frekwensie is afhanklik van die volgorde van uitkomste wat onswaarneem terwyl ons 'n statistiese eksperiment uitvoer. Die relatiewe frekwensie kanbaie verskillend wees elke keer wat ons die eksperiment herhaal. Hoe meer proeweons doen gedurende die eksperiment, hoe nader sal die waargenome relatiewefrekwensie van 'n gebeurtenis kom aan die teoretiese waarskynlikheid van diegebeurtenis.
So, waarom doen ons statistiese eksperimente as ons teoretiese waarskynlikhedehet? In sommige gevalle, soos ons sokker eksperiment, is dit moeilik om die teoretiesewaarskynlikheid van 'n gebeurtenis te bereken. Aangesien ons nie presies weet hoemoontlik dit is dat een sokkerspan doele sal aanteken teen 'n ander span nie, kan onsnooit die teoretiese waarskynlikheid van gebeure in sokker bereken nie. In sulkegevalle kan ons wel die relatiewe frekwensie gebruik om die teoretiesewaarskynlikheid te skat deur eksperimente te doen en die aantal positiewe uitkomstete tel.
966
1.
2.
3.
OEFENING 14.2.1
'n Dobbelsteen word 44 keer gegooi en land 5 keer op die getal 3.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan om 'n 3 gooi met die dobbelsteen?Skryf jou antwoord neer tot 2 desimale plekke.
'n Muntstuk word 30 keer opgeskiet en land 17 keer op kop.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan dat 'n muntstuk op kop land? Skryfjou antwoord neer korrek tot 2 desimale plekke.
'n Dobbelsteen word 27 keer gegooi en land 6 keer op die getal 6.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan om waar te neem dat diedobbelsteen op die getal 6 land? Skryf jou antwoord korrek tot 2 desimaleplekke.
967
14.3 Venndiagramme'n Venndiagram is 'n grafiese manier om die verwantskappe tussen versamelings voorte stel. In elke Venndiagram word 'n versameling voorgestel deur 'n geslote kromme.Die area binne in die kromme verteenwoordig die elemente wat behoort aan daardieversameling, terwyl die area buite die kromme die elemente verteenwoordig watuitgesluit is van die versameling.
Venndiagramme is nuttig vir ons denke oor waarskynlikheid aangesien ons metverskillende versamelings werk. Oorweeg twee gebeurtenisse, en , in diesteekproefruimte . Die diagram hieronder toon die moontlike maniere waarop dieversamelings kan oorvleuel, voorgestel met Venndiagramme:
Die versamelings word voorgestel met die gebruik van 'n reghoek vir en sirkels virelk van en . In die eerste diagram oorvleuel die twee gebeurtenisse gedeeltelik.In die tweede diagram oorvleuel die twee gebeurtenisse glad nie. In die derde diagramis die een gebeurtenis ten volle ingesluit in die ander. Let daarop dat gebeurtenissealtyd binne in die steekproefruimte sal verskyn aangesien die steekproefruimte allemoontlike uitkomste van die eksperiment bevat.
968
UITGEWERKTE VOORBEELD 4: VENNDIAGRAMME
VRAAG
Teken die steekproefruimte van twee dobbelstene wat gegooi word en dievolgende twee gebeurtenisse deur 'n Venndiagram te gebruik:
Gebeurtenis A: die som van die dobbelstene is gelyk aan
Gebeurtenis B: ten minste een van die dobbelstene toon 'n 2
OPLOSSING
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 14.3 Voorbeeld 4
Laai af
969
UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VENNDIAGRAMME
VRAAG
Beskou die stel van diamante wat uitgehaal is uit 'n pak kaarte. 'n Kaart wordwillekeurig geselekteer uit die stel diamante.
Skryf die steekproefruimte, , vir die eksperiment neer.
Wat is die waarde van ?
Beskou die volgende twee gebeurtenisse:
: 'n Ewe diamantkaart word gekies
: 'n Adelike diamant word gekies
Stel die steekproefruimte en gebeurtenisse en voor met diegebruik van 'n Venndiagram.
OPLOSSING
Stap 1: Skryf steekproefruimte S neer
Stap 2: Skryf die waarde neer van
Stap 3: Trek die Venndiagram
970
1.
OEFENING 14.3.1
Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Daar word van hulle gevra om die gebeurtenisversameling van teidentifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle te help om dit te vind.
971
2.
Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling die beste?
Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Daar word van hulle gevra om die gebeurtenisversameling van teidentifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle te help om dit te vind.Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling die beste?
972
a)
b)
c)
d)
e)
3.Stukkies papier waarop die getalle van tot geskryf is, word in'n boks geplaas en die boks word geskud. Een stukkie papier worduitgehaal en dan teruggeplaas.
4.
Wat is die steekproefruimte, ?
Skryf die versameling neer. Dit verteenwoordig die gebeurtenisom 'n papiertjie te trek met 'n getal op wat 'n faktor is van .
Skryf die versameling neer. Dit verteenwoordig die gebeurtenisom 'n papiertjie te trek met 'n priemgetal op.
Stel , en deur middel van 'n Venndiagram.
Vind:
a.
b.
c.
Gestel stel 'n versameling heelgetalle voor van tot , stel dieversameling ewe getalle voor van tot en stel die versamelingpriemgetalle voor van tot . Trek 'n Venndiagram wat , en voorstel.
973
a)
b)
c)
d)
5.Daar is Graad leerders by die skool. Al hierdie leerders neem'n kombinasie van Wiskunde (M), Geografie (G) en Geskiedenis (H).Die aantal wat Geografie neem is , neem Geskiedenis, en neem Wiskunde. Die aantal wat Wiskunde en Geskiedenis neem, is
; die getal wat Geografie en Geskiedenis neem, is , en daar is wat slegs Wiskunde neem en wat slegs Geskiedenis neem.Trek 'n Venndiagram om al hierdie inligting te illustreer.
Hoeveel leerders neem Wiskunde en Geografie maar nieGeskiedenis nie?
Hoeveel leerders neem slegs Geografie?
Hoeveel leerders neem al drie vakke?
974
14.4 Vereniging en snyding
DEFINISIE
Vereniging
Die vereniging van twee versamelings is 'n nuwe versameling van al dieelemente wat in ten minste een van die twee versamelings is. Dieversameling word geskryf as of “ ”.
DEFINISIE
Snyding
Die snyding van twee versamelings is 'n nuwe versameling wat al dieelemente bevat wat in beide versamelings voorkom. Die snyding wordgeskryf as of “ ”.
Die figuur hieronder toon die vereniging en die snyding vir verskillende konfigurasiesvan die twee gebeurtenisse in die steekproefruimte, deur van Venndiagramme gebruikte maak.
975
Die verenigings en snydings van verskillende gebeurtenisse. Let daarop dat in die middelste
kolom, is die snyding leeg aangesien die twee versamelings nie oorvleuel nie. In die
finale kolom is die vereniging, , gelyk aan en die snyding, , is gelyk aan
aangesien ten volle ingesluit is in .
976
1.
OEFENING 14.4.1
Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die gebeurtenisversameling van die snyding tussengebeurtenisversameling en gebeurtenisversameling , ook geskryf as
, te identifiseer. Hulle steek vas en jy bied aan om hulle te help om ditte vind.Watter versameling beskryf die gebeurtenisversameling van diebeste?
977
2.Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf kan word as Hulle word gevra om die gebeurtenisversameling van die die verenigingtussen gebeurtenisversameling en gebeurtenisversameling , ookgeskryf as , te identifiseer.. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle tehelp om dit te vind.Watter versameling beskryf die gebeurtenisversameling van diebeste?
978
14.5 WaarskynlikheidsidentiteitePer definisie bevat die steekproefruimte al die moontlik uitkomste van 'n eksperiment.Dus weet ons dat die waarskynlikheid om 'n uitkoms waar te neem wat in diesteekproefruimte is, is.
Ons kan die waarskynlikheid van die vereniging van twee gebeurtenisse bereken met:
Ons sal hierdie identiteit bewys deur die Venndiagramme hierbo te gebruik.
Vir elk van die terme in die vereniging en die snydingsidentiteit, kan ons dieVenndiagram trek en dan die verskillende diagramme optel en aftrek. Die area van 'nruimte verteenwoordig sy waarskynlikheid.
Ons sal dit doen vir die eerste kolom van die Venndiagram figuur wat vantevore gegeeis. Jy behoort te probeer om dit vir die ander kolomme ook te doen.
979
UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VERENIGING EN SNYDINGVAN GEBEURTENISSE.
VRAAG
Verduidelik die waarskynlikhede van gebeurtenisse en van Voorbeeld 4(twee dobbelstene gerol) en toon dat hulle die identiteit bevredig
OPLOSSING
Stap 1: Skryf die waarskynlikhede van die twee gebeurtenisse neer,
sowel as hulle vereniging en hulle snyding
Van die Venndiagram in Voorbeeld 4, kan ons die aantal uitkomste in elkegebeurtenis tel. Om die waarskynlikheid van enige gebeurtenis te kry, deelons die grootte van die gebeurtenis deur die grootte van die
steekproefruimte, wat is.
Stap 2: Skryf die identiteit neer en kontroleer dit
980
1.
2.
OEFENING 14.5.1
Die volgende gebeurtenisversameling word aan 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .
Hulle word gevra om die waarde van te bereken. Hulle haak vasen jy bied aan om dit vir hulle te bereken. Gee jou antwoord as 'n desimalegetal, afgerond tot twee desimale plekke.
Die volgende gebeurtenisversameling word aan 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .
Hulle word gevra om die waarde van te bereken. Hulle kan ditnie regkry nie en jy bied aan om dit vir hulle te bereken. Gee jou antwoord as'n desimale getal, afgerond tot twee desimale plekke.
981
14.6 Wedersyds uitsluitendegebeurtenisse
DEFINISIE
Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse
Twee gebeurtenisse word wedersyds uitsluitend genoem as hulle nieterselfdertyd kan plaasvind nie. Wanneer die uitkoms van 'n eksperiment indie eerste gebeurtenis is, kan dit nie ook in die tweede gebeurtenis weesnie, en omgekeerd.
'n Ander manier om dit te sê, is dat die twee gebeurtenisversamelings en , geen
gemeenskaplike elemente kan hê nie, of (waar die leëversameling aandui). Ons het alreeds die Venndiagram van wedersyds uitsluitendegebeurtenisse gesien in die middelkolom van die Venndiagramme wat vroeër verskafis.
Van hierdie figuur kan jy sien die snyding het geen elemente nie. Jy kan ook sien diewaarskynlikheid van die vereniging is die som van die waarskynlikhede van diegebeurtenisse.
982
Die verwantskap is waar vir wedersyds uitsluitende gebeurtenisse alleenlik.
UITGEWERKTE VOORBEELD 7: WEDERSYDS UITSLUITENDEGEBEURTENISSE
VRAAG
Ons rol twee dobbelstene en stel belang in die volgende twee gebeurtenisse:
Die som van die dobbelstene is gelyk aan
Ten minste een van die dobbelstene wys
Toon aan dat die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is.
OPLOSSING
Stap 1: Trek die steekproefruimte en die twee gebeurtenisse
Stap 2: Bepaal die snyding
Van die bostaande figuur sien ons daar is geen elemente gemeenskaplik983
1.
2.
3.
4.
OEFENING 14.6.1
Sê of die volgende gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is of nie.
aan A en B nie. Dus is die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend.
ADDISIONELE HUPLBRONNE
Kyk nou: Hoofstuk 14.6 Voorbeeld 7
Laai af
'n Yskas bevat lemoensap, appelsap en druiwesap. 'n Koeldrank wordwillekeurig gekies uit die yskas. Gebeurtenis A: die koeldrank is lemoensap.Gebeurtenis B: die koeldrank is appelsap.
'n Pakkie kolwyntjies bevat sjokeladekoekies, vanillakoekies en rooifluweelkoekies. 'n Kolwyntjie word willekeurig uit die pakkie geneem.Gebeurtenis A: die kolwyntjie is rooi fluweel. Gebeurtenis B: die kolwyntjie isvanilla.
'n Kaart word willekeurig uit 'n pak kaarte gekies. Gebeurtenis A: die kaart isrooi kaart. Gebeurtenis B: die kaart is 'n prentkaart.
'n Krieketspan speel 'n wedstryd. Gebeurtenis A: hulle wen die wedstryd.Gebeurtenis B: hulle verloor die wedstryd.
984
14.7 Komplementêre gebeurtenisse
DEFINISIE
Komplementêre versameling
Die komplement van 'n versameling, , is 'n nuwe versameling wat al dieelemente bevat wat nie in is nie. Ons skryf die komplement van as
, of somtyds .
Vir 'n eksperiment met steekproefruimte en 'n gebeurtenis kan ons sekereidentiteite vir komplementêre gebeurtenisse aflei. Aangesien elke element in nie in
is nie, weet ons dat die komplementêre gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is.
Aangesien elke element in die steekproefruimte in of in is, sal die verenigingvan die komplementêre gebeurtenisse die hele steekproefruimte dek.
Van die voorafgaande twee identiteite, weet ons ook dat die waarskynlikhede vankomplementêre gebeurtenisse se som is.
UITGEWERKTE VOORBEELD 8: BEREDENERING METVENNDIAGRAMME
VRAAG
In 'n opname word mense gevra oor watter produk hulle gebruik: A of B ofbeide. Die verslag van die opname toon dat mense produk A gebruik,
985
mense gebruik produk B en mense gebruik nie een van die twee nie.
Bepaal hoeveel mense:
1. gebruik slegs produk A
2. gebruik slegs produk B
3. gebruik beide produk A en produk B
OPLOSSING
Stap 1: Som die groottes van die steekproefruimtes, die
gebeurtenisversamelings, hulle vereniging en hulle snyding op
Ons word vertel dat mense ondervra is, dus is die grootte van
die steekproefruimte .
Ons word vertel dat mense produk A gebruik, dus .
Ons word vertel dat mense produk B gebruik, dus
.
Ons word vertel dat mense nie een van die produkte gebruiknie. Dit beteken dat mense ten minste een van die
twee produkte gebruik, dus .
Ons word nie vertel hoeveel mense beide produkte gebruik nie, dusmoet ons die grootte van die snyding uitwerk, , deur dieidentiteit vir die vereniging van die twee gebeurtenisse te gebruik:
986
Stap 2: Bepaal of die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is
Aangesien die snyding van die gebeurtenisse, , nie leeg is nie, isdie gebeurtenisse nie wedersyds uitsluitend nie. Dit beteken dat hullesirkels sal oorvleuel in die Venndiagram.
Stap 3: Trek die Venndiagram en vul die getalle in
Stap 4: Lees die antwoorde af
1. mense gebruik net produk A.
2. mense gebruik net produk B.
3. mense gebruik beide produkte.
987
1.
OEFENING 14.7.1
Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die komplementêre gebeurtenisversameling van , ookbekend as te identifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om te hulle tehelp om dit te kry.Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling
die beste?
988
2.Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die komplementêre gebeurtenisversameling van
, ook bekend as te identifiseer. Hulle haak vas en jybied aan om te hulle te help om dit te kry.Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling
die beste?
989
3.
4.
Gegee die volgende Venndiagram:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .
Is en wedersyds uitsluitend?
Gegee die volgende Venndiagram:
990
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Is en wedersyds uitsluitend?
991
Hoofstuk opsomming'n Eksperiment verwys na 'n onseker proses.
'n Uitkoms van 'n eksperiment is 'n enkele resultaat van daardie eksperiment.
Die steekproefruimte van 'n eksperiment is die versameling van alle moontlikeuitkomste van daardie eksperiment. Die steekproefruimte word aangedui met diesimbool en die grootte van die steekproefruimte (die totale aantal moontlike
uitkomste) word aangedui met .
'n Gebeurtenis is 'n spesifieke stel uitkomste van 'n eksperiment waarin jygeïnteresseerd is. 'n Gebeurtenis word aangedui met die letter en die aantal
uitkomste in die gebeurtenis met .
'n Waarskynlikheid is 'n reële getal tussen en wat beskryf hoe waarskynlikdit is dat die gebeurtenis sal plaasvind.
'n Waarskynlikheid van beteken dat die gebeurtenis nooit sal plaasvindnie.
'n Waarskynlikheid van beteken dat die gebeurtenis altyd sal plaasvind.
'n Waarskynlikheid van beteken dat 'n gebeurtenis die helfte van dietyd sal voorkom, of keer uit elke .
'n Waarskynlikheid kan ook geskryf word as 'n persentasie of as 'n breuk.
Wanneer al die moontlike uitkomste van die eksperiment 'n gelyke kans het omte gebeur, kan ons die presiese teoretiese waarskynlikheid van die gebeurtenisbereken. Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is die ratio of verhoudingtussen die aantal uitkomste in die gebeurtenisversameling en die getal moontlikeuitkomste in die steekproefruimte.
992
Die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis is gedefinieer as die aantal kere watdie gebeurtenis voorkom gedurende eksperimentele proefnemings, gedeel deurdie totale aantal proefnemings wat uitgevoer is.
Die vereniging van twee versamelings is 'n nuwe versameling van al dieelemente wat in ten minste een van die twee versamelings is. Die versamelingword geskryf as of .
Die snyding van twee versamelings is 'n nuwe versameling wat al die elementebevat wat in beide versamelings voorkom. Die snyding word geskryf as of .
Die waarskynlikheid om 'n uitkoms wat in die steekproefruimte lê, waar te neem,
is 1: .
Die waarskynlikheid van die vereniging van twee gebeurtenisse word bereken
met: .
Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse is twee gebeurtenisse wat nie opdieselfde tyd kan voorkom nie. Wanneer die uitkoms van 'n eksperiment in dieeerste gebeurtenis is, kan dit nie ook in die tweede gebeurtenis wees nie.
Die komplement van 'n versameling, , is 'n nuwe versameling wat al dieelemente bevat wat nie in is nie. Ons skryf die komplement van as of
“ ”.
Komplementêre gebeurtenisse is wedersyds uitsluitend : .
Komplementêre gebeurtenisse dek die steekproefruimte:
Waarskynlikhede van komplementêre gebeurtenisse tel op na :
.
993
1.
2.
HOOFSTUK 14: HERSIENINGSOEFENINGE
'n Leerder wil die term "uitkoms" verstaan. Dus gooi die leerder 'ndobbelsteen. Watter van die volgende is die mees toepaslike voorbeeld vandie term "uitkoms"?
'n Onderwyser stap die klaskamer binne.Die dobbelsteen land op die gestel 5.Die horlosie slaan 3 nm.
Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Daar word van hulle gevra om die gebeurtenisversameling van teidentifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle te help om dit te vind.Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling die beste?
994
3.Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die gebeurtenisversameling van die die verenigingtussen gebeurtenisversameling en gebeurtenisversameling , ookgeskryf as , te identifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle tehelp om dit te vind.Skryf die gebeurtenisverameling neer wat die beste beskryf.
995
4.
5.
Gegee die volgende Venndiagram:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .
Is en wedersyds uitsluitend?
Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:
996
6.
7.
8.
9.
10.In 'n groep van leerders, het almal behalwe 'n pakkie skyfies of'n koeldrank of beide. As 'n pakkie skyfies het en van hierdieook 'n koeldrank het, wat is die waarskynlikheid dat 'n leerder watwillekeurig gekies word, die volgende sal hê:
Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die komplementêre gebeurtenisversameling van
, ook bekend as te identifiseer. Hulle haak vas en jybied aan om te hulle te help om dit te kry.
Skryf die versameling neer wat die gebeurtenisversameling van die beste beskryf.
'n Leerder vind 'n pak van 52 kaarte en neem dan een kaart uit die pak. Watis die waarskynlikheid dat die kaart 'n koning is?Skryf jou antwoord as 'n desimaal (korrek tot 2 desimale plekke).
'n Dobbelsteen word 21 keer gegooi en land 2 keer op die getal 3.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan om 'n 3 gooi met die dobbelsteen?Skryf jou antwoord neer tot 2 desimale plekke.
'n Muntstuk word 44 keer opgeskiet en land 22 keer op kop.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan dat 'n muntstuk op kop land? Skryfjou antwoord neer korrek tot 2 desimale plekke.
'n Groep van kinders word gevra of hulle Frosties, Strawberry Pops ofbeide eet. kinders sê hulle eet beide en sê hulle eet net Frosties. Watis die waarskynlikheid dat 'n kind wat willekeurig gekies word slegsStrawberry Pops sal eet?
997
a)
b)
Kleur Pers Oranje Wit Pienk
Aantal blokkies 24 32 41 19
11.'n Boks bevat gekleurde blokkies. Die aantal van elke kleur word indie volgende tabel gegee.
a)
b)
c)
d)
'n Blokkie word willekeurig gekies. Wat is die waarskynlikheid dat dieblokkie die volgende sal wees:
3 jaar oud 4 jaar oud 5 jaar oud
Manlik
Vroulik
12.'n Klein kleuterskool het 'n klas met kinders van verskeieouderdomme. Die tabel gee die aantal kinders van elkeouderdomsgroep in die klas.
a)
As 'n kind willekeurig gekies word, wat is die waarskynlikheid dat diekind die volgende sal wees:
beide skyfies en koeldrank
slegs koeldrank
pers
pers of wit
pienk en oranje
nie oranje
vroulik
998
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
13.Fiona het diskette wat genommer is van tot . As 'n disketwillekeurig geselekteer word, wat is die waarskynlikheid dat diedisketnommer:
'n 4 jaar oue manlike persoon
of jaar oud
en jaar oud
nie
of of vroulik
eindig met
'n veelvoud is van
'n veelvoud is van
nommer is
nie 'n veelvoud van is nie
'n veelvoud is van of
'n veelvoud is van en
999
h)
a)
b)
c)
14.Gebruik 'n Venndiagram om die volgende waarskynlikhede uit tewerk vir 'n dobbelsteen wat gegooi word:
15.
a)
b)
16.In 'n parkeerterrein met motors, is daar Opels. Wat is diewaarskynlikheid dat die eerste motor wat die parkeerterrein verlaat:
17.Nezi het los sokkies in 'n laai. Agt van hierdie is oranje en twee ispienk. Die oorblywende sokkies is nie oranje of pienk nie. Berekendie waarskynlikheid dat die eerste sokkie wat willekeurig gevat word:
nommer is
'n veelvoud van en 'n onewe getal
'n getal wat nie 'n veelvoud van is nie en ook nie 'n onewe getal isnie
'n getal wat nie 'n veelvoud van is nie, maar wat onewe is
'n Pakkie bevat geel lekkers en pienk lekkers. Die waarskynlikheid om 'n
pienk lekker uit die pakkie te haal, is . Wat is die waarskynlikheid om 'ngeel lekker uit te haal?
'n Opel is
nie 'n Opel is nie
1000
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
18.'n Bakplaat bevat 'shortbread' koekies, gemmerkoekies, 'chocolate chip' koekies en Jambos. As 'n koekie willekeuriggeneem word, wat is die waarskynlikheid dat:
a)
b)
19. kaartjies is verkoop vir 'n gelukkige trekking. Jabulile het
kaartjies gekoop. Wat is die waarskynlikheid dat Jabulile:
oranje is
nie oranje
pienk is
nie pienk is nie
oranje of pienk is
nie oranje of pienk is nie
dit 'n gemmerkoekie of 'n Jambo is
dit is nie 'n "shortbread" koekie nie
'n prys wen
nie 'n prys wen nie
1001
a)
b)
c)
20.'n Groep kinders is waargeneem om te sien hoeveel het rooi hare enbruin oë. kinders het rooi hare maar nie bruin oë nie, kindershet bruin oë en rooi hare, kinders het bruin oë maar nie rooi harenie en kinders het nie bruin oë of rooi hare nie.
a)
21.'n Fles het pers lekkers, blou lekkers en groen lekkers daarin. Diewaarskynlikheid dat 'n lekkertjie wat willekeurig gekies word, pers sal
wees, is en die waarskynlikheid dat dit groen sal wees, is .
Hoeveel kinders was daar in die skool?
Wat is die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose kind dievolgende sal hê:
a. bruin oë
b. rooi hare
'n Kind met bruin oë word willekeurig gekies. Wat is diewaarskynlikheid dat hierdie kind rooi hare sal hê?
As ons 'n lekkertjie willekeurig kies, wat is die waarskynlikheid dat ditdie volgende sal wees:
a. pers of blou
b. groen
c. pers
1002
b)
c)
a)
b)
c)
d)
22.Boks A bevat kaarte wat genommer is as , en .Boks B bevat kaarte wat genommer is as en .Een kaart word willekeurig verwyder uit elke boks.Vind die waarskynlikheid dat:
a)
23.'n Kaart word willekeurig getrek uit 'n gewone pak van speelkaarte.
As daar lekkers in die fles is, hoeveel pers lekkers is daar?
van die pers lekkers in (b) het strepies op en die res het nie.Hoeveel pers lekkers het strepies?
die som van die getalle is.
die som van die twee getalle 'n priemgetal is.
die produk van die twee getalle ten minste is.
die som gelyk is aan die produk.
Vind die waarskynlikheid dat die gekose kaart die volgende sal wees:
a. die drie van diamante
b. die drie van diamante of enige hart
c. 'n diamant of 'n drie
1003
b)
24.
a)
b)
25.Vir elk van die volgende, trek 'n Venndiagram om die situasie te voorte stel en vind 'n voorbeeld om die situasie te illustreer.
26.
Die kaart wat getrek is, is die drie van diamante. Dit word op die tafelgeplaas en 'n tweede kaart word getrek. Wat is die waarskynlikheiddat die tweede kaart nie 'n diamant is nie?
Die volgende gebeurtenisversameling word aan 'n groep leerders gegee:
Die steekproefruimte kan beskryf kan word as
Hulle word gevra om die waarde van te bereken. Hulle kan ditnie regkry nie en jy bied aan om dit vir hulle te bereken. Gee jou antwoord as'n desimale getal, afgerond tot twee desimale plekke.
'n steekproefruimte waarin daar twee gebeurtenisse is wat niewedersyds uitsluitend is nie
'n Steekproefruimte waarin daar twee gebeurtenisse is
Gebruik 'n Venndiagram om te bewys dat die waarskynlikheid dat ofgebeurtenis A of gebeurtenis B sal plaasvind (A en B is nie wedersydsuitsluitend nie) gegee word deur:
1004
a)
b)
c)
d)
e)
27.Al die klawers word uitgehaal uit 'n pak kaarte. Die oorblywendekaarte word dan geskommel en een kaart gekies. Nadat die kaartgekies is, word dit teruggesit in die pak voordat 'n volgende kaartgekies word.
leerders het niks gekoop nie leerders het vetkoek gekoop leerders het lekkers gekoop
28.'n Opname is uitgevoer by Mutende Laerskool om vas te stel hoeveelvan die leerders koop vetkoek en hoeveel koop lekkersgedurende pouse. Die volgende is gevind:
a)
Wat is die steekproefruimte?
Vind 'n versameling om die gebeurtenis , , dat 'n prentkaart getrekword, te verteenwoordig.
Vind 'n versameling, , om 'n genommerde kaart te trek.
Stel die bostaande gebeurtenisse voor met 'n Venndiagram.
Watter beskrywing van die versamelings en is geskik? (Wenk:Vind enige elemente van in en van in .)
Stel hierdie inligting voor met 'n Venndiagram
1005
b)
a)
b)
c)
29.In 'n opname by Lwandani Sekondêre Skool, is mense ondervraom uit te vind hoeveel lees die Sowetan, hoeveel lees die Daily Sunen hoeveel lees beide. Die opname het getoon lees die DailySun, lees die Sowetan en lees nie een van die twee nie.Gebruik 'n Venndiagram om die persentasie mense te vind wat dievolgende lees:
30.
As 'n leerder willekeurig gekies word, bereken die waarskynlikheiddat hierdie leerder die volgende koop:
a. slegs lekkers
b. slegs vetkoek
c. nie vetkoek of lekkers nie
d. vetkoek en lekkers
e. vetkoek of lekkers
slegs die Daily Sun
slegs die Sowetan
beide die Daily Sun en die Sowetan
In 'n klas is daar
8 leerders wat sokker en hokkie speel7 leerders wat nie sokker of hokkie speel nie13 leerders wat hokkie speel19 leerders wat sokker speel
Hoeveel leerders is daar in die klas?1006
a)
b)
c)
31.Uit mense, stel belang om tydskrifte te lees, stel belangom boeke te lees, stel belang om beide tydskrifte en boeke te lees.
leerders neem Geografie (G) leerders neem Frans (F)
32. leerders is ondervra en die volgende inligting is verkry van
hierdie groep:
leerders neem Geskiedenis (H), maar neem nie Geografieof Frans nie.
Addisioneel is die volgende Venndiagram hieronder ingevul.Gestel is die gebeurtenis dat 'n leerder Geografie neemGestel is die gebeurtenis dat 'n leerder Frans neem.Gestel is die gebeurtenis dat 'n leerder Geskiedenis neem.
Stel die inligting voor met 'n Venndiagram.
Hoeveel mense stel glad nie belang om tydskrifte of boeke te leesnie?
Vind die waarskynlikheid dat 'n persoon wat willekeurig gekies worduit die groep, sal:
a. belangstel om tydskrifte en boeke te lees.
b. slegs belangstel om boeke te lees.
c. nie belangstel om boeke te lees nie.
1007
a)
b)
Van die inligting hierbo, bepaal die waardes van , , en .
Bepaal die waarskynlikheid dat 'n leerder wat willekeurig gekies worduit hierdie groep:
a. net Geografie sal neem.
b. Frans en Geskiedenis sal neem, maar nie Geografie nie.
1008