lab. 5 2012-2. dinamica de rotacion
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Un cuerpo rígido en un caso especial e importante de los sistemas constituidos por muchas partículas, este es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus componentes que pertenecen constantes bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido, por consiguiente, conserva su forma durante su movimiento. Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo permanecen siempre paralelas a su posición inicial. El movimiento es de rotación alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea denominada eje de rotación. El eje puede estar fijo o puede estar cambiando su dirección relativa con respecto al cuerpo durante el movimiento. El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero no rotando en el cual el movimiento del cuerpo parezca solamente de rotación.TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERAY METALURGICAINGENIERIA DE MINAS
INTRODUCCIÓN
Un cuerpo rígido en un caso especial e importante de los sistemas constituidos por muchas partículas, este es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus componentes que pertenecen constantes bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido, por consiguiente, conserva su forma durante su movimiento.
Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo permanecen siempre paralelas a su posición inicial. El movimiento es de rotación alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea denominada eje de rotación. El eje puede estar fijo o puede estar cambiando su dirección relativa con respecto al cuerpo durante el movimiento.
El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una rotación y una traslación. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero no rotando en el cual el movimiento del cuerpo parezca solamente de rotación.
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OBJETIVO
Entender la dinámica de los cuerpos en movimiento rotacional.
Analizar dicho sistema mecánico a partir del Principio de Conservación
de la Energía Mecánica.
Entender el concepto de inercia rotacional.
Calcular el momento de inercia de los cuerpos.
Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir
de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la
rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de su
gravedad.
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FUNDAMENTO TEÓRICO
DINÁMICA DE ROTACIÓN
Es un cuerpo rígido, como aquel, en el cual las distancias entre sus partículas cualesquiera
permanecen constantes en el tiempo. En un cuerpo rígido se distingue dos tipos de
movimiento: traslación y rotación.
TRASLACIÓN PURO
Algunos definen como aquel movimiento en el que todos los puntos del cuerpo se mueven
en la misma dirección, con la misma velocidad y aceleración en cada punto. Otra definición
es donde las partículas tienen la misma velocidad o trayectoria.
V V
Q Q
ROTACION PURO
Alrededor de un eje, cuando todas las partículas del cuerpo rígido describen trayectorias circulares. En este caso un punto del cuerpo permanece fijo.
mi
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CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
Sea una partícula de masa m, que tiene una velocidad v⃗ y por lo tanto la cantidad de
movimiento lineal o momento es z P⃗
P⃗=m v⃗. Entonces el momento L⃗0
angular (momento cinético) se de- r⃗ m
fine por el producto vectorial: 0 y
L⃗0=r⃗ × P⃗ x
ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN
Sea un cuerpo de masa M que gira con velocidad angular ω, alrededor del eje AA’.
A Tomamos una masa mi que está situado a una dis-
v⃗ i tancia ri del eje de rotación y que tiene una veloci-
dad v i, por cinemática sabemos para la masa mi:
r⃗i v i=ωi ri , todas las partículas describen trayectorias
circulares alrededor de eje AA’. Luego la energía
ω⃗ cinética del cuerpo está dado como la suma de las
A’ energías cinéticas de la partícula.
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Ec=12I ω2
TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALALOS
Sea C el centro de masa del cuerpo rígido y sea el sistema coordenado X’Y’Z’
que pasa por C. El sistema XYZ, pasa
por el punto A. Cualesquiera Y Y’
del cuerpo y sea a la distancia entre los
ejes paralelos Z y Z’, alrededor de los
cuales giran el cuerpo. m
Luego si IC: es el momento de inercia A C YY’
Del cuerpo con respecto a su centro de a
masa y queremos hallar el momento de X X’
inercia del cuerpo rígido con respecto al
eje Z que pasa por A. Se tendrá: I A=IC+ma2
HACIENDO UN ANÁLISIS
a. Conservación de la energía mecánica
b. descomposición de la energía cinética en energía de traslación y energía de rotación.
La rueda de Maxwell consta de un arco de radio R y de un eje cilíndrico concéntrico de radio r (r<R). Al dejar al eje sobre los rieles el sistema experimentará un movimiento de rodadura. En la figura 1 se muestra una rueda de Maxwell en dos posiciones de
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su movimiento G0 y G4 son las posiciones de centro de gravedad de la rueda en los puntos más alto más bajo Figura 1
de la trayectoria.
Por el principio de conservación de energía:
Las pérdidas por fricción, Wfricción , se deben a la fricción por desplazamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calos producido por la deformación de las superficies en contacto). Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son insignificantes.
El movimiento de rodadura puede ser considerado como un conjunto continuo de
rotaciones sucesivas con velocidad angular ωA alrededor de un eje de giro móvil que pasa por
el punto de contacto entre lo eje cilíndrico y los rieles (Ai). Se cumple la relación V G=ωA r ,
donde VG es la velocidad del centro de gravedad, ωA es al velocidad angular alrededor de Ai y r
es la distancia de G a Ai (radio del eje cilíndrico).
Otra manera de visualizar el movimiento de rodadura, quizás más natural, es considerado como la composición de una traslación de centro de masa G, más una rotación
simultánea, con velocidad angular ωG alrededor de G.
Se puede demostrar que ωA=ωG (verifíquelo).
Tomando el segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:
EC=ECT+ECR (13.3 )
donde ECT significa energía cinética de traslación ECR energía cinética de rotación
donde VG es la velocidad del centro de masa, IG es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (que en este caso es el de simetría). Pero VG=VA=ωr , entonces:
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De esta expresión podemos calcular IG si conociéramos VG . Se observará en este experimento que el movimiento de traslación tanto del centro de gravedad como del eje instantáneo de rotación es uniformemente acelerado.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
MATERIALES
Un par de rieles paralelos.
Un cronómetro digital.
Un pie de rey.
Una regla milimetrada.
Una balanza.
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Un nivel.
PROCEDIMIENTO
1. Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte de los rieles.
2. Marque en los rieles los puntos A0 , A1 , A2 , A3 y A4 ,separados unos 10 cm
entre si.3. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los
rieles. Tenga en cuenta que el eje ha sufrido desgaste desigual.4. Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un
movimiento de rodadura pura (sin patinaje).
5. Coloque la rueda en reposo en la posición A0, suéltela y simultáneamente
comience a medir el tiempo (es decir, t 0=0); mida los intervalos de tiempo
t 1 , t 2 , t 3 y t 4 correspondientes a los tramos A0 A1 , A0 A2 , A0 A3 y A0 A4,
respectivamente. Tome tres mediciones para t 1 , t 2 , t 3 y diez mediciones para t 4.
6. Mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 yG 4.
7. Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el
desplazamiento de la rueda) y mida 3 veces t 4 y la nueva diferencia de las
alturas entre G0 yG 4.
8. Mida los radios espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y su eje (como para calcular su volumen)
9. Suspenda la rueda de Maxwell de su borde inferior y mida el periodo de su oscilación alrededor de un eje paralelo a su eje de simetría. (Estos datos deben ser guardados para el siguiente experimento).
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CÁLCULOS Y RESULTADOS
Tiempo tiempos medidos en el laboratorio promediot1(A0 -A1) 5.91 5.79 5.86 … … … … … … … 5.85t2(A0 -A2) 9.41 9.5 9.99 … … … … … … … 9.63t3(A0 - A3) 12.51 12.77 13.27 … … … … … … … 12.85t4(A0 - A4) 13.06 13.31 14.27 13.82 12.99 14.17 13.14 13.08 12.78 13.57 13.419
GRAFICANDO LOS PUNTOS:
(T 1 , A0−A 1 ) (T 2 ,A 0−A2 ) (T 3 , A0−A 3 ) (T 4 , A 0−A 4 )
5 6 7 8 9 10 11 12 13 140
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Tramo Distancia t(A0 -A1) 0.1 5.85(A0 -A2) 0.2 9.63(A0 - A3) 0.3 12.85(A0 - A4) 0.4 13.42
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Hallando las aceleraciones
≫≫≫
Para el tramo A°−A1:
Datos:
Remplazando los datos:
a1=2 (0.1−(0 ) .85 )
5.852
Para el tramo A°−A2 :
Datos:
Remplazando los datos:
a2=2 (0.2−(0 ) 9.63 )
9.632
d=V °t+12a t 2
d=0.1m,V °=0msy t=5.85 s
a=2(d−V ° t)
t2
d=0.2m,V °=0msy t=9.63 s
a2=4.3 .10−3
a1=5.84 .10−3 m
s2
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Para el tramo A°−A3 :
Datos:
Remplazando los datos:
a3=2 (0.3−(0 )12.85 )
12.852
Para el tramo A°−A3 :
Datos:
Remplazando los datos:
a4=2 (0.4−(0 ) 13.42 )
13.422
d=0.3m,V °=0msy t=12.85 s
a3=3.63 .10−3
d=0.4m ,V °=0msy t=13.42 s
a4=4.44 .10−3
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GRAFICANDO d vs t2 :
tramo distancia t t^2(A0 -A1) 0.1 5.85 34.2(A0 -A2) 0.2 9.63 92.74(A0 - A3) 0.3 12.85 165.12(A0 - A4) 0.4 13.42 180.1
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación sandard propagación de errores, calcular:
a) La aceleración del centro de masa aG
Desviación estándar de las aceleraciones
Sa2=
∑i=1
4
a i2
4−ap
2
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Datos:
a1=(5.8 ) 10−3 , a2=( 4.3 )10−3 , a3=(3.63 ) 10−3 y a4=(4.4 ) 10−3
Hallando la aceleración promedio:
a p=(5.8 )10−3+(4.3 )10−3+(3.63 )10−3 ( 4.4 ) 10−3
4
Remplazando los datos:
Sa2=
[ (5.8 ) 10−3 ]2+[ ( 4.3 ) 10−3 ]2+[ (3.63 ) 10−3 ]2+[ (4.4 ) 10−3 ]2
4−[ (4.53 )10−3 ]2
Sa2= (21.17 ) 10−6−(20.521 )10−6
Como la desviación es muy pequeña:
⟶aG 4=( 4.53 ) 10−3
b) La velocidad de traslación, V 4, del centro de masa en posición G4.
a p=a1+a2+a3+a4
4
a p=(4.53 )10−3
Sa=8,056.10−4 m
s2
10cm
40cm
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Velocidad de traslación Para el tramo A0 – A4
Datos: a4=4,4.10−3 m
s2 y t 4=13.42 s
Como:
Remplazando los datos:
V 4=(0 )+( 4,4.10−3 ) (13.42 )
c) La velocidad angular de la rueda en el instante t 4
Velocidad angular
Datos: V 4=0.059ms
y R=0.063m
Como:
0.059=w0.063
d) El momento de inercia de la rueda de Maxwell.
Para utilizar la siguiente formula: mgh°=mgh1+12mV G
2+ 12IG
V G2
R2
Debemos hallar las diferentes alturas:
Hallando la altura h3
0
5,8 cm
V 4=0.059ms
V 4=V °+at
V=wR
w=0.94rads
Por semejanza
4010
=5,8x
x=1,45cm
Entonces h3=1,45cm
4cm
4cm
20cm
40cm
4cm
30cm40cm
h1
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3
9,8 cm 4
h3
Hallando la altura h2
0
5,8 cm 2
9,8 cm 4
h2
Hallando la altura h1
0
1
5,8 cm
9,8 cm 4
x
X
Por semejanza
4020
=5,8x
x=2,9cm
Entonces h2=6,9cm
X
Por semejanza
4030
=5,8x
x=4,35cm
Entonces h1=8 ,35 cm
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Debemos conocer la masa de la rueda de Maxwell; para ello a la masa total le restaremos la masa del eje.
HALLANDO LA MASA DEL EJE:
Datos:
Densidad del eje: 7.8 g/cm3
Como:
Necesitaremos hallar el volumen del eje:
Volumen(V1)
V1=bh b: base
V1 V1=(r2π ¿h r: radio=0,3175cm
V1=(0,3175 π )2 (14,7 ) h: altura=14,7 cm V1=4,66 cm3
Entonces la masa del eje sería:
m= 7.8 g/cm3∗4,66cm3
m=36.35 g
ρ=mV
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Por lo que la masa de la rueda de Maxwell quedaría 297.45 g
También necesitaremos las velocidades en cada uno de los tramos, las cuales la hallaremos conjuntamente con el momento de inercia
Momentos de Inercia
Datos:
Formulas que se va utilizar:
V f=V °+at
Como V °=0 ⟶ y
Para IG1:
Siendo su a1=5.8 .10−3 m
s2 , t 1=5.85 s y h1=0.0835m
V G1=( 5.8 .10−3 ) (5.85 )
V G1=0.034ms
Remplazando los datos:
(0.2974 ) (9.81 ) (0.098 )=(0.2974 ) (9.81 ) (0.0835 )+ 12
(0.2974 ) (0.034 )2+ 12
(0.034 )2
(0.063 )2IG 1
Para IG2 :
R=0.063m m=0.2974 kg
V f=at mgh°=mgh1+12mV G
2+ 12IG
V G2
R2
h°=0.098m
IG1=0.286kg .m2
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Siendo su a2=4.3 .10−3 m
s2 , t 2=9.63 s y h2=0.069m
V G2= (4.3 .10−3 ) (9.63 )
V G2=0.041ms
Remplazando los datos:
(0.2974 ) (9.81 ) (0.098 )=(0.2974 ) (9.81 ) (0.069 )+ 12
(0.2974 ) (0.041 )2+12
(0.041 )2
(0.063 )2IG 2
Para IG3 :
Siendo su
Remplazando los datos:
Para IG4 :
Siendo su
IG2=0.39kg m2
IG3=0.45kg m2
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Remplazando los datos:
e) ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor error en el calculo de momento de inercia?
1. El desnivel de la superficie (mesa) sobre que se trabaja.2. La medición de los puntos A0, A1, A2, A3 y A4 ya que la regla pose un cierto error.3. La rueda no realiza rodadura pura ya que debido a la impureza y rugosidad la rueda solo se
traslada en ciertos tramos.4. Al soltar la rueda; no siempre sale con velocidad cero (reposo); sino que al soltar adquiere
una cierta velocidad debido al contacto con la mano al soltar.5. También hay errores en el cálculo de las alturas (h0, h1, h2, h3y h4).
f) Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de “I”
TRAMODISTANCIA(m
)MOMENTO DE
INERCIA (kg .m2)(A0 -A1) 0.1 0.286(A0 -A2) 0.2 0.39(A0 - A3) 0.3 0.45(A0 - A4) 0.4 0.38
En los 3 primeros puntos observados el Momento de Inercia aumenta al aumentar la distancia (A0 – An), pero en le último caso vemos que Momento de Inercia disminuye.
Debemos recordar que estos resultados son resultados experimentales por lo que se ven afectados por la incertidumbre y los errores en los cálculos.
IG4=0.38kgm2
4cm
40cm
40cm
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g) ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de “I”?
Influencia de inclinación en el cálculo del Momento de Inercia
Hallando el ángulo inicial:
0
5,8 cm θ=Arctg ( 5.839.5 )
9,8 cm θ 4
39.5 cm
Hallando el ángulo para la nueva inclinación:
0
θ=Arctg ( 6.339.5 )
6.3 cm
θ=8.35°
θ=9.062 °
4.1 cm
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10.4 cm 4
39.5 cm
Hallando IG4 :
Datos: m=0.3338 kg ,R=0.063m ,H f=0.041m y H °=0.104 m
El tiempo sea el promedio aritmético de los tres tiempos tomados en el laboratorio.
EXPERIMENTO TIEMPO1 13.182 13.393 13.24
PROMEDIO 13.27
Como:
0.4=12a (13.27 )2
Como:
θ
d=V 0+12a t2
a=4,54. 10−3
V f=V 0+at
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V= (9,086.10−3 ) (13.27 )
Por conservación de la energía mecánica:
(0.29749 ) (9.81 ) (0.104 )=(0.29749 ) (9.81 ) (0.041 )+ 12
(0.29749 ) (0.06 )2+ 12IG4
(0.06 )2
(0.063 )2
ÁNGULO IG(momento de inercia)8.35° 0.38 kgm2
9.062° 0.404 kg m2
Concluimos que a mayor ángulo aumenta el momento de inercia.
V=0.06ms
mgh°=mgh1+12mV G
2+ 12IG
V G2
R2
IG4=0.404kg m2
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OBSERVACIONES
Antes de iniciar el experimento se debe tener presente de que la mesa de trabajo este nivelada.
Al iniciar el movimiento, el impulso que se le da a la rueda debe ser mínimo ya que se asume que parte del reposo.
Al iniciar el movimiento se debe observar que la rueda de Maxwell solo realiza movimiento de rotación más no de traslación (rotación pura).
Para garantizar la rotación y evitar las asperezas del riel se debe pasar con tiza.
Se debe evitar tocar el riel o la mesa de trabajo durante el recorrido de la rueda de Maxwell.
Solo debe ser uno el alumno que haga iniciar el movimiento de la rueda ya que puede ser que se le de diferentes velocidades iniciales.
CONCLUSIONES
De los resultados obtenidos podemos concluir lo siguiente:
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El Momento de Inercia por lo general aumenta al aumentar la distancia recorrida por la rueda de Maxwell.
El Momento de Inercia por lo general aumenta al aumentar el ángulo de inclinación del riel.
El tiempo varía con el desplazamiento de una forma de tipo cuadrática.
La aceleración en le punto t 4 es igual al aceleración del centro de masa ya
que la desviación estándar de las aceleraciones es despreciable.
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
I. Marcelo Alonso, Edward Finn – Física I
II.Humberto Leyva Naveros – Física I
III.Tipler Mosca – Física I