20República bolivariana de Venezuela

Universidad nacional experimental politécnica

"Antonio José de sucre"

vice-rectorado "Luis caballero mejías"

Asignatura: Laboratorio de dinámica de maquinasProf. Vicente arnone

Practica de laboratorio nº6

Momento de inercia y oscilación torsional libre

Integrantes

Cadena anderson, exp:2009203038

Valles juan, exp:2010xxxxxxxxx

Abreu jean carlos, exp:2006xxxxxx

Mendezfragell, exp:2010xxxxxxxxxxxxx

Caracas, abril de 2014

Introducción

En este informe se plantea el uso del banco universal de prácticas

con la modelación de un sistema de que está compuesto de un volante

que gira alrededor de su eje de rotación, una masa atada a una clavija en

el borde de la circunferencia.

Comprobaremos que el uso de la ecuación de conservación de

energía dará el momento de inercia del volante ya que este es

directamente proporcional a la ecuación

La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a

continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia

puede pensarse como una nueva definición de la masa.

Parte teórica

Inercia: Siguiendo la Primera Ley de Newton, nos dice que en

ausencia de fuerzas exteriores, todo cuerpo continúa en su estado de

reposo o movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una

fuerza.

Esta Primera Ley de Newton o Ley de Inercia introduce o establece

muchos conceptos de golpe, supongo que forman parte del contexto del

conjunto de las Leyes de Newton. Entre ellos podemos señalar los de

espacio, tiempo, movimiento y fuerza, teniendo en cuenta la geometría

espacial, es decir, la dirección y sentido de las fuerzas y del movimiento.

El Momento de Inercia: Se define como un elemento totalmente

pasivo, que únicamente aporta al sistema una inercia adicional de modo

que le permite almacenar energía cinética. Este volante continúa su

movimiento por inercia cuando cesa el par motor que lo propulsa. De esta

forma, el volante de inercia se opone a las aceleraciones bruscas en un

movimiento rotativo. Así se consiguen reducir las fluctuaciones de

velocidad angular. Es decir, se utiliza el volante para suavizar el flujo de

energía entre una fuente de potencia y su carga.

El momento de inercia (Moment of inertia, "MOI") es similar a la

inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento

lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a

continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia

puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de

inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia.

Un análisis matemático de este tipo de problema siempre conduce a

una integral de segundo momento del área.

Las fórmulas para los segundos momentos de área en torno a los

ejes X y Y son, respectivamente:

I x=∫ y2dA ; yI y=∫ y2dA

En este caso Ix e Iy recibe el nombre de momentos rectangulares de

inercia; y la integral

I z=∫r 2dA

Se conoce como momento polar de inercia del área. Una relación

entre las ecuaciones anteriores es:

Jz = Ix + Iy

En ocasiones, el momento de inercia se expresa en la forma

I = k²A

Aquí, k se conoce como radio de giro; es una medida cuantitativa de

la distribución del área respecto a los ejes del momento.

El momento de inercia de un volumen es un momento de inercia

verdadero porque un volumen tiene masa. Sin embargo, para distinguirlo del

correspondiente a un área se denomina muy a menudo momento de inercia

de masa. En el caso de un volumen, las integrales de inercia son:

I x=∫ ( y2+z2 )dm I y=∫ (x2+z2)dm I z=∫ (x2+ y2)dm

En la actualidad numerosas líneas de investigación están abiertas

a la búsqueda de nuevas aplicaciones de los volantes. Algunos ejemplos

de dichos usos son:

Absorber la energía de frenado de un vehículo, de modo que se

reutilice posteriormente en su aceleración.

Como dispositivos para suavizar el funcionamiento de instalaciones

generadoras de energía eléctrica mediante energía eólica y

energía fotovoltaica, así como de diversas aplicaciones eléctricas

industriales.

En los ferrocarriles eléctricos que usan desde hace mucho tiempo

un sistema de freno regenerativo que alimenta la energía extraída

del frenado nuevamente a las líneas de potencia; con los nuevos

materiales y diseños se logran mayores rendimientos en tales

fines.

Nota: La energía fotovoltaica es un tipo de electricidad renovable

obtenida directamente de los rayos del sol gracias a la foto-detección

cuántica de un determinado dispositivo; normalmente una lámina metálica

semiconductora llamada célula fotovoltaica.

Cálculo del momento de Inercia.

Selección de la posición de los ejes de referencia

Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de

gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia.

Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar

los ejes de rotación del objeto como referencia. Si el objeto está montado

sobre soportes, el eje está definido por la línea central de los soportes. Si

el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes

que pasan por el CG y están orientado de forma que el producto de

inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a

utilizar para calcular el momento de inercia del una forma compleja, se

debe elegir un eje de simetría para simplificar el cálculo. Este eje puede

ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas

descritas en el apartado "Teorema de los ejes paralelos".

Signo / polaridad de momento de inercia

Los valores del centro de gravedad pueden ser positivos o

negativos, y de hecho, su signo depende de la elección de los ejes de

referencia. Los valores del momento de inercia, sólo pueden ser positivos,

ya que la masa sólo puede ser positiva.

Unidades del Momento de Inercia

En los Estados Unidos, la palabra "libra" se utiliza para designar

tanto el peso como la masa. Si la unidad de peso es la libra, no puede ser

la unidad de masa, ya que esto violaría la segunda ley de Newton. No

obstante, por razones ancestrales, en los EEUU, un objeto que pesa

1libra, tiene 1libra de masa. Esto lleva a usar unidades de momento de

inercia como lb.in², donde la libra se refiere al peso del objeto, más que a

su masa. Las unidades correctas del momento de inercia, son:

m.x

2

Cuando las lb.in² o las lb.ft² se usan para definir el momento de

inercia o la polaridad del mismo, la cantidad debe ser dividida por el valor

apropiado de "g", para que sean dimensionalmente correctos en cálculos

de ingeniería. De nuevo, un análisis dimensional, confirmará si se están

usando las unidades correctas.

La siguiente tabla muestra algunas de las unidades utilizadas en la

actualidad para el MOI y el POI:

UNIDAD COMENTARIOS

lb.in² lb = peso; debe dividirse por g = 386,088 in/s²

lb.in.s² lb in s² = distancia x peso / g; peso / g = masa;

dimensionalmente correcto

Slug.ft² slug = masa; dimensionalmente correcto

Kg.m² Kg = masa; dimensionalmente correcto

Las unidades más utilizadas en los EEUU, son las lb.in², incluso

siendo dimensionalmente incorrectas.

REGLA 1. Si el momento de inercia o el producto de inercia se expresan

en las siguientes unidades, pueden ser utilizadas directamente en

cálculos de ingeniería:

slug.ft² ; lb.in.s² ; Kg.m² ; oz.in.s²

REGLA 2. Si el momento de inercia o el producto de inercia se expresan

en las siguientes unidades, entonces, sus valores deben ser divididos por

el valor apropiado de "g" para hacerlos dimensionalmente correctos.

lb.ft², lb.in², oz.in²

Calculando el momento de Inercia

El Momento de inercia (a veces llamado el segundo momento), de

una masa puntual, alrededor de un eje es:

I = Mr² donde:

I = MOI (slug ft² u otras unidades de masa longitud)

M = masa del elemento (slug u otra unidad de masa)

r = distancia de la masa puntual al eje de referencia.

Para varias masas puntuales o una masa distribuida, la definición general

es:

I = ∫r 2

Fórmula básica - Radio de giro

El momento de inercia de cualquier objeto, puede ser expresado

por la fórmula:

I = M k² donde:

I = momento de inercia

M = masa (slug u otra unidad de masa dimensionalmente correcta)

k = longitud (radio de giro) (ft)

La distancia (k) se llama radio de giro y se refiere a la distribución

de masas.

         Como primer ejemplo, considérese un cuerpo consistente en dos

masas puntuales de masa M / 2, separadas una distancia de 2 r. El eje de

referencia pasa a través del punto medio (CG). Las masas tienen cada

una un momento de Inercia de M r² / 2. Su momento de Inercia

combinado es M r². El segundo ejemplo muestra un tubo fino de radio r. Por simetría, el centro de gravedad cae sobre

el eje central. De nuevo, la masa está

localizada a una distancia r del eje de

referencia, así que el momento de Inercia es

Mr². En estos ejemplos, el radio de giro es r.

Esto nos lleva a la siguiente definición:

"El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través

del (CG), es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda

la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es

siempre medido desde el (CG)."

Teorema de los ejes paralelos

Si en el ejemplo anterior hubiésemos querido determinar el

momento de Inercia del objeto alrededor del eje Xa en lugar de alrededor

del eje X, que pasa por el (CG), entonces, el valor puede determinarse

usando el teorema de los ejes paralelos:

Ia = I + d² M.

Como; I = k² M

Entonces; Ia = M (d² + k²)

        El teorema de los ejes paralelos, se usa frecuentemente al calcular el

momento de Inercia de un cohete u otro dispositivo aeroespacial. Primero

se mide o se calcula alrededor del eje que pasa por el (CG), el momentote

Inercia de cada componente del cohete, y el teorema de los ejes paralelos

se usa para determinar el momento de Inercia total del vehículo con estos

componentes montados en el lugar apropiado. El offset "d" es la distancia

del (CG) del componente a la línea central del cohete.

Medición del Momento de Inercia

Con frecuencia, la forma de un cuerpo es tan compleja que es

imposible calcular el momento de inercia. Considérese, por ejemplo, el

problema de hallar el momento de inercia de un automóvil, en torno a un eje

vertical que pase por su centro de masa. Para este tipo de problemas por lo

general resulta factible determinar el momento de inercia, observando el

comportamiento dinámico del cuerpo en respuesta a una entrada conocida.

A muchos cuerpos, por ejemplo, bielas y manivelas, se les da una

forma tal que se puede suponer que sus masas están en un solo plano. Si

se pueden pesar estos cuerpos y localizar su centro de masa, es factible

suspenderlos como un péndulo y hacerlos oscilar. Entonces se puede

calcular el momento de inercia de este tipo de cuerpos basándose en la

observación de su período o frecuencia de oscilación. Como se ilustra en la

figura 1a. la pieza se debe suspender más o menos cerca del centro de

masa; pero no en coincidencia con éste.

Por lo común no resulta necesario hacer una perforación para

suspender el cuerpo; por ejemplo, una rueda o engrane dentado se puede

suspender sobre una cuchilla en el borde.

Cuando el cuerpo de la figura 1a. se desplaza un ángulo θ , una

fuerza de gravedad mg actúa en G. Al sumar los momentos en torno a θ

da:

Mo = - mg ( rGsenθ ) - Ioθ. .

= 0

El objetivo es que el péndulo oscile describiendo sólo ángulos

pequeños, de modo que senθ se pueda sustituir por θ . Entonces la

ecuación se puede escribir:

mg.rG

θ. .

+ --------- θ = 0

I o

Esta ecuación diferencial tiene bien conocida solución

θ = C1 Sen√(mg . rGI 0 ) t +

C2 Cos√(mg . rGI 0 ) tDonde, C1 y C2 son las constantes de integración. El movimiento del

péndulo se iniciará desplazándolo un ángulo pequeño θ o y soltándolo

desde esta posición. Por ende, cuando t = 0yθ = θ0 . Sustituyendo estas

condiciones en la ecuación y su primera derivada permite evaluar las

constantes; así se encuentra C1 = 0 y C2 = θ0 . Por consiguiente,

θ =C2 Cos√(mg . rGI 0 ) t

Puesto que una función coseno se repite cada 360°, el período del

movimiento en segundos es:

T = 2 π √( I 0mg . rG )

Esta ecuación indica que se debe ajustar el peso del cuerpo para que

sea mg, se debe medir la distancia rG y luego debe suspenderse el péndulo

y hacerse oscilar de manera que se pueda observar el período T.

En la figura 1b. Se muestra como puede determinarse el momento

de inercia sin pesar el cuerpo en realidad. La inercia I se conecta a un

alambre o una varilla delgada en el centro de masa de la inercia. Se define

una rigidez a la torsión kt de la varilla o alambre como el momento de

torsión necesario para torcer la varilla en un ángulo unitario. Si la inercia de

la figura 1b. Se hace girar describiendo cualquier ángulo θ y luego se

suelta, la ecuación del movimiento se convierte en

θ. .

+k tIG. θ = 0

De igual manera como se hizo con las ecuaciones anteriores se llega

a

θ = θ0 . Cos √( k tIG ) tAsí pues, el período de oscilación es

T = 2 π √( IGk t )Por lo general se conoce la rigidez a la torsión o se puede calcular a

partir del conocimiento de las dimensiones de la varilla y su material.

Parte Experimental

1ª PARTE (MOMENTO DE INERCIA)

Procedimiento:

1. Se montó el volante en su eje horizontal, donde giró libremente.2. Se amarró la cuerda con la masa a la clavija del volante. (Borde

del volante).3. Se dejó que la masa alcanzara el suelo y se marca esta

posición en el volante y un punto fijo del banco de pruebas.

4. Se subió la masa girando el volante un número determinado de vueltas. (n1= 2 vueltas)

5. Se midió la distancia a la cual quedo la masa con respecto al suelo. (h=109cm).

6. En ese punto, se soltó el volante dejando caer la masa desde su estado de reposo

7. Se midió y se anotó el tiempo que tardó la masa en llegar al suelo. (t1)

8. Cuando llego al suelo, se midió y se registró el tiempo que tardó el volante para volver otra vez a su estado de reposo. (t2)

9. Se contó y registró el número de vueltas que da el volante mientras oscila para llegar a su estado de reposo

10.Se repitió el procedimiento tres veces y se promediaron los valores obtenidos.

11.Se midió el diámetro de la esfera sujeta al volante, y la altura h.

De la práctica se obtuvo los siguientes datos:

n1=2vueltas

h=105 cm

∅ esf=2.53cm

Medida Experimento 1 Experimento 2 Experimento 3t1 3.52 seg 4.04 seg 3.72segt2 38,76 seg 37.52seg 37,32 segNº vueltas(n2) 18 18.5 19.5Tabla nº 1

A partir de estos datos promediamos lo que es t1, t2 y n2

Al promediar los valores, resulta:

t 1=(3.52+4.04+3.72 ) seg

3=3.76 seg

t 2=(38.76+37,52+37,32 ) seg

3=37,86 seg

n2=(18+18.5+19,5 ) seg

3=18,66 vueltas

Ahora determinamos el momento de inercia, se parte de la siguiente Ecu.

mgh=12mV 2+ 1

2IW 0

2

Donde V es la velocidad angular de la masa “m”, cuando alcanza el suelo y viene dado:

V=2ht1

Sustituyendo valores:

V=2 (105 cm)3.76 seg

V=55 ,85 cmseg , v=0.5585m/deg

W 0Es la velocidad angular media para que la rueda llegue al reposo, está dada por la ecuación:

W 0=2n2

t 2 (1+(n1 / t1 ))(n2/ t 2 )

Sustituyendo valores:

W 0=2× (18,66 )

(37,86 )× (1+(2/3.76 ) )(18,66/37,86 )

W 0=0,3171

Para obtener el momento de inercia con respecto al peso, se multiplica la ecuación de la energía por la gravedad g y de despeja el producto I*g=Iw

mg2h=12mV 2+ 1

2IgW 0

2

Despejando:

Ig=2(mg2h−12 mgV 2)

W 02

Se desconoce la masa m, se puede calcular a través de la densidad

d=mv

Para la esfera:

∅ esf=253mm=2,53cm

Vesf=43π r3

Vesf=43π (1,265cm )3

Vesf=8 ,4793cm3

De igual manera conociendo la densidad del acero con que está hecha la esfera podemos resolver la ecuación y buscar la masa.

Densidaddelacero=7850 kgm3

=0,00785 kgcm3

Despejando la masa:m=d . v=0,00785 kgcm3

×8 ,4793 cm3

m=0,06656 kg

Al sustituir valores:

Ig=2(mg2h−12 mgV 2)

W 02

Ig=2((0,06656 kg ) (9,81m /s2 )2 (1,09m )−1

2(0,06656 kg ) (9,81m /s2 ) (0,545m /s )2)

(0,35006 )2

Ig=113.48929 kgm5

s2

2ª PARTE (OSCILACION TORSIONAL)

Procedimiento:

1. Se montaron las crucetas al volante.

2. Se colocó la barra de sección circular entre la mordaza del

volante y un punto fijo de banco (mordaza estacionaria).

3. Se midió la longitud y diámetro de la barra.

4. Se hace oscilar el volante durante un tiempo determinado y se

cuenta el número de oscilaciones.

5. Se repitió el procedimiento tres veces y para tres longitudes

diferentes de la barra.

Se obtuvo de la práctica, los siguientes datos:

Diámetro barra= 6,8 mm= 0.68 cm

SE MIDIERON LAS OSCILACIONES DURANTE UN TIEMPO DE

10 SEG (t=10 seg)

OSCILACIONES L1= 37 cm L2= 41 cm L3= 45 cm

Nº Oscilaciones 19 18.5 18

Nº Oscilaciones 18.5 18 18

Nº Oscilaciones 17 17 17

Tabla nº 2

Promediando:

Para L1= 37 cm

N ºOscilaciones=19+18.5+183

=18.5oscilaciones

Para L2= 41 cm

N ºOscilaciones=18.5+18+183

=18 .16oscilaciones

Para L3= 45cm

N ºOscilaciones=17+17+173

=17.00oscilaciones

Quedarían los siguientes valores, a calcular las frecuencias durante

un tiempo de 10 seg:

Para L1= 37 cm

ωn=18.5oscilaciones

10 seg× 2π rad1oscilacion

=11.6239 radseg

Para L2= 41 cm

ωn=18.16oscilaciones

10 seg× 2π rad1oscilacion

=11,411 radseg

Para L3= 46 cm

ωn=17.00oscilaciones

10 seg× 2π rad1oscilacion

=10 ,6814 radseg

Para el cálculo del período, se puede utilizar la siguiente ecuación.

τ=2πωn

Para L1= 36cm

τ=2πωn

= 2π

11.6239 radseg

=0.54054 seg

Para L2= 41 cm

τ=2πωn

= 2π

11,411 radseg

=0,5506 seg

Para L3= 46 cm

τ=2πωn

= 2π

10,6814 radseg

=0.5769 seg

Ordenando los valores en la siguiente tabla:

Longitudes Frecuencias (Wn) Períodos (τ ) Período al

cuadrado(τ 2)

L1= 37 cm 11.6239 radseg

0.54054 seg 0.2676 seg2

L2= 41 cm 11,411 radseg

0,5506 seg 0,3086 seg2

L3= 45 cm 10,6814 radseg

0.5769 seg 0,3328 seg2

Tabla nº 3

36 41 460

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

(τ^2 vs L)

(τ^2 vs L)

longitud L(m)

Perío

do a

lcua

drad

o τ^

2(se

g^2)

Velocidad angular del volante, Wo:

Wo=0,35006 vueltasseg

· 2πrad1 vuelta

=2.1995 radseg

Wo=2.1995 radseg

Para calcular la inercia “Iw” se tiene que multiplicar por g en la ecuación

de energía y luego despejar de esta:

m· g ·h=12m·V 2+ 1

2I ·Wo2multiplicandoporgqueda :

m· g2 ·h=12m· g ·V 2+ 1

2I · g·Wo2

Donde I·g = Iw

m· g2 ·h=12m· g ·V 2+ 1

2Iw ·Wo

2

Despejando Iw se tiene que:

Iw=2·(m·g2 · h−1

2·m· g ·V 2)

Wo2

Iw=2·(0,064223 kgm·96,2361 m

2

seg4·1,09m−1

2·0,064223 kgm·9,81 m

seg2·0.297 m2

seg2)

4.8378 rad2

seg2

Iw=2 .746N ·m2

Periodo teórico

Usaremos la ecuación

T=2π ·√ Iw · LG ·J · g

Donde las variables G, Iw, g ya se conocen. La J se calculara ahora y la

L variara para varios resultados de T.

J= π32· d4= π

32·¿

J=1.647 ·10−10m4

G = 7,938 ·1010 N/m2

g = 9,81m/seg2

Iw =2 .746N ·m2

para L1 = 0,36m

T=2π ·√ 2 .746N ·m2 ·0,36m

7,938 ·1010 Nm2·1.647 ·10−10m4 ·9,81 m

seg2

T=0 ,5516 seg

Para L2 = 0,41m

T=2π ·√ 2 .746N ·m2 ·0,41m

7,938 ·1010 Nm2·1.647 ·10−10m4 ·9,81 m

seg2

T=0 ,5889 seg

para L3 = 0,46m

T=2π ·√ 2 .746N ·m2 ·0,46m

7,938 ·1010 Nm2·1.647 ·10−10m4 ·9,81 m

seg2

T=0 ,6235 seg

Longitud (L) Períodosteórico (τ ) Períodoteórico al

cuadrado(τ 2)

36cm 0,5516 seg 0.3043seg2

41cm 0,5889 seg 0.3468seg2

46cm 0,6235 seg 0.3887seg2

0.36 0.41 0.460

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Período teorico al cuadrado(τ^2) vs L

Período teorico al cuadrado(τ^2) vs L

longitud L(m)

Perío

do te

orico

al c

uadr

ado

τ^2(

seg^

2)

Conclusión

Se concluye en la manera que los periodos de vibración “T” eran

directamente proporcionales a la longitud “L” para el caso de periodo

teórico. A medida que se aumentaba “L” iba a aumentar lógicamente el

periodo “T”. Esto en otras palabras quiere decir que si la longitud “L”

aumenta, “T” aumentaba porque la frecuencia de vibración es menor.

Como se demostrara a detalle en la parte experimental.

Para el caso experimental este (el periodo “T”) es inversamente

proporcional a la frecuencia de vibración según la ecuación

Sustituir esta “T” en la ecuación de frecuencia da que:

Donde si se aumenta “L” la frecuencia disminuirá. Y si disminuye la

frecuencia aumentara el periodo de vibración como es el caso para del

periodo teórico.

Bibliografía

Teoría de vibraciones aplicaciones William Thomson Editorial:

Prince Hall

http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_mecanica/

vibracionesmecanicas/

http://www.monografias.com/trabajos81/vibraciones-mecanicas/

vibraciones-mecanicas.shtml