כל הזכויות שמורות לאבי זילביגר ©

אותות ומערכות–מעבדה

2אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

בחוברת המעבדה 7-8פרקים

1

3אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

: אם למשל�

:אז אפשר להעביר את פונקצית התמסורת למשוואה דיפרנציאלית�

�S הוא אופרטור הגזירה

:נכון גם לומר�

∫∞

∞−

−== τττ dthxthtxty )()()(*)()(

פונקצית תמסורת של מערכת לינארית לא משתנה בזמן

Transfer Function of a Linear Time Invariant System (LTI)

פונקצית תמסורת נותנת את הקשר בין הכניסה ליציאה

x(t) y(t)h(t)

:במישור הזמן

�h(t) היא התגובה להלם

�

1

1

)(

)(

+=

ssX

sY

τ)()()(' txtyty =+τ

)()]([ sHthL =

X(s) Y(s)H(s)

)()(

)(sH

sX

sY=

:במישור לפלס

�

4אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

Matlabפקודות

transfer functionמגדירה אוביקט מסוג ([ ] ,[ ])H=tfהפקודה �

. x(t)=δ(t)כאשר –(impulse response)נותנת את התגובה להלם impulse(H)הפקודה �

h(t)זוהי גם

x(t)=µ(t) (step response) -נותנת את התגובה ל step(H)הפקודה �

:בשתי הפקודות אפשר להוסיף פרמטרים המציינים את גבולות הזמן המבוקשים לציור כגון�

�Step(H,t_final) ,step(H,t_vector)

Hנותנת את מיקום הקטבים של pole(H)הפקודה �

Hנותנת את מיקום האפסים של zero(H)הפקודה �

מציירת את הקטבים והאפסים במישור הקומפלקסי pzmap(H)הפקודה �

5אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

)1/2(משמעות מיקום הקטבים במישור הקומפלקסי

המערכת יותר מהירה ←ככל שהקוטב זז יותר שמאלה �

τ/1מיקום הקוטב הוא �

קבוע זמן קטן יותר�X Re

Im

קטבים מדומים�

מיקום על הציר המדומה קובע את תדר התנודות�

אין דעיכה�

קוטב קומפלקסי�

מיקום הקוטב על הציר הממשי קובע את מידת הדעיכה�

מיקום הקוטב על הציר המדומה קובע את תדר התנודות�

0 10 20 30 40 50 600

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

X

Re

Im

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

X

0 20 40 60 80 100 120 140-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

X

Re

Im

X

אנו דנים במערכות סיבתיות בלבד

6אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

)2/2(משמעות מיקום הקטבים במישור הקומפלקסי

מערכת לא יציבה= קוטב בצד ימין �

X Re

Im

אנו דנים במערכות סיבתיות בלבד

קוטב דומיננטי�

הקוטב הקרוב ביותר לראשית�

הוא זה שקובע את זמן התגובה של המערכת�

X Re

Im

X

7אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

(Bode Plot)דיאגרמת בודה

דיאגרמת בודה מאפשרת לנו לראות את תגובת התדר של פונקצית התמסורת�

ומחשבים הגבר והסחת פזה s=jωמציבים �

דיאגרמת בודה sin(ωt)אות סינוסי טהור H(s)אם נכניס למערכת עם פונקצית תמסורת �

במצב של הסינוס ביציאה (phase)והסחת הפזה (magnitude)נותנת לנו את ההגבר

מתמיד

)לוגריתמי(על הציר האופקי מסמנים את התדר �

dB -על הציר האנכי את ההגבר ב�

-40

-30

-20

-10

0

Magnitu

de (

dB

)

10-3

10-2

10-1

100

101

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

: לדוגמא�

0.1rad/sec-–מיקום הקוטב �

110

1)(

+=

ssH

-40

-30

-20

-10

0

System: H

Frequency (rad/sec): 0.0997

Magnitude (dB): -3

Magnitu

de (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-3

10-2

10-1

100

101

-90

-45

0

System: H

Frequency (rad/sec): 0.1

Phase (deg): -45

Phase (

deg)

מתוך הדיאגרמה אפשר להסיק היכן מיקום �

הקוטב

אנו דנים במערכות סיבתיות בלבד

8אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

ערך הסופי וערך התחלתי

Final Value Theorem–משפט הערך הסופי

!!!מותר להשתמש במשפט זה רק אם המערכת יציבה: שימו לב

)(lim)(lim0

ssXtxst →∞→

=

)Initial Value Theorem)(lim)0–משפט הערך ההתחלתי ssXxs ∞→

+ =

9אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

Step Response–תגובה למדרגה

:אז התגובה למדרגה תהיה באינסוף G(s)אם נתונה מערכת

כלומר הערך הסופי יהיה היחס בין האיברים החופשיים של המונה והמכנה�

)(lim)(1

lim)(lim00

sGsGs

styss

stept →→∞→

==

:+0אז התגובה למדרגה תהיה ברגע G(s)אם נתונה מערכת

:כלומר

הערך ההתחלתי יהיה היחס בין מקדמי הדרגה , אם דרגת המונה שווה לדרגת המכנה�במונה ובמכנה sהגבוהה ביותר של

הערך ההתחלתי יהיה אפס, אם דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה�

)(lim)(1

lim)0( sGsGs

syss

step∞→∞→

+ ==

)במערכת יציבה(ערך סופי של תגובה למדרגה

ערך התחלתי של תגובה למדרגה

S

1

10אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

דוגמא

1: ערך התחלתי

1/2: ערך סופי

2

1)(

+

+=

s

ssG

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

הקוטב היחיד בצד שמאל–מערכת יציבה

11אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

)Feedback(משוב

)()(1

)(

)(

)()(

)()())()(1)((

)())()()(()(

)()()(

)()()(

)()()(

sGsH

sG

sV

sVsT

sGsVsGsHsV

sGsHsVsVsV

sHsVsB

sBsVsA

sGsAsV

in

out

inout

outinout

out

in

out

+==

=+

−=

=

−=

=

A(s)

B(s)

T(s)

12אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

מערכות לא מינימום פזה

13אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

ומערכת לא מינימום פזה (minimum phase)מערכת מינימום פזה

בצד ימין אפסהיא מערכת בעלת (non-minimum phase)מערכת לא מינימום פזה

במערכת לא מינימום פזה התגובה למדרגה תמיד תכלול חלק שלילי אחד לפחות�

י בדיקת הערך"אפשר לבחון את הכיוון ההתחלתי של התגובה למדרגה ע�

הסימן של ערך זה קובע את הכיוון ההתחלתי�

הנגזרת של התגובה למדרגה הינה חיובית ← + �

הנגזרת של התגובה למדרגה הינה שלילית ← - �

)(lim ssGs ∞→

14אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

)במקום השאלות בחוברת( 8תרגיל בית לפרק

15אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

)8במקום מה שיש בחוברת בפרק (תרגיל בית

צייר את התגובה למדרגה, עבור פונקציות התמסורת הבאות

24269

244824

)4)(3)(2(

)1(24)(3

65

66

)3)(2(

)1(6)(2

65

66

)3)(2(

)1)(1(6)(1

23

22

2

2

2

+++

+−=

+++

−=

++

+−=

++

−=

++

+−=

++

+−=

sss

ss

sss

ssG

ss

s

ss

ssG

ss

s

ss

sssG

מדוע זוהי התגובה הצפויהשורות לכל היותר 5 -בהסבר

16אבי זילביגרכל הזכויות שמורות ל © | Signals & Systems Lab

סוף