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CAPITULO III

Isaac Newton (1642-1727).

Matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano vigente en la actualidad), el año de la muerte de Galileo., en Woolsthorpe, Lincolnshire. Su padre, también llamado Isaac, murió a la edad de 37 años, antes de que naciera su hijo. Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar y lo dejó al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a una escuela primaria en Grantham. En el verano de 1661 ingresó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de bachiller. Se atribuyen a Newton las siguientes palabras: "Si he ido algo más lejos que los otros, ello es debido a que me coloqué sobre los hombros de gigantes". Entre los más grandes de estos gigantes se hallaban Descartes, Kepler y Galileo. De Descartes, Newton heredó la Geometría analítica, en la que al principio encontró dificultades; de Kepler, las tres leyes fundamentales del movimiento planetario descubiertas empíricamente después de 22 años de cálculos sobrehumanos, mientras que de Galileo heredó las dos primeras de las tres leyes del movimiento que iban a ser la piedra angular de su propia dinámica. El maestro de Newton en Matemática fue el doctor Isaac Barrow (1630-1677), un teólogo y matemático de quien se dice que, a pesar de su indiscutida originalidad y brillantez en la Matemática, tuvo la, desgracia de ser la estrella de la mañana, heraldo del sol de Newton. Barrow reconoció que alguien más grande que él había llegado y en el momento estratégico (1669) renunció su cátedra de Matemática en favor de su incomparable discípulo. Las conferencias sobre Geometría de Barrow se ocupan entre otras cosas de sus propios métodos para calcular áreas y trazar tangentes a curvas, que son esencialmente los problemas claves de los Cálculos integral y diferencial, respectivamente, y no puede haber duda alguna de que esas conferencias inspiraron a Newton en sus trabajos. Newton obtuvo en el campo de las matemáticas sus mayores logros. Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega. Además de su interés por la ciencia, Newton también se sintió atraído por el estudio de la alquimia, el misticismo y la teología. Muchas páginas de sus notas y escritos especialmente en los últimos años de su carrera están dedicadas a estos temas. Sin embargo, los historiadores han encontrado poca relación entre estas inquietudes y sus trabajos científicos.

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FUNCIONES Y LIMITES

3.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En esta sección se estudiara el concepto de funciones de n variable, como también

el límite, continuidad y derivadas de la misma. La mayor parte de nuestras discusiones

serán en funciones de dos y tres variables sin embargo aparecen algunas aplicaciones con

más de tres variables. En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede

depender de los valores de otras dos (o de mas ). Por ejemplo, la cantidad de agua de una

laguna puede depender de la cantidad de lluvia caída y de la del consumo humano. La

producción de una fábrica puede depender del capital invertido y de los costos. La

intensidad de corriente en un circuito eléctrico varía según la fuerza electromotriz, la

resistencia y la potencia del circuito. En el cálculo de Volúmenes, la diferencia que ocurre

en el llenado de un envase. Los gráficos van a desempeñar un papel muy importante en

nuestro trabajo.

Definición 3.1.1:

El conjunto de todas las n-odas ordenadas de números reales se llama espacio

numérico en n dimensiones y se denota por Rn. Cada n-oda ordenada se denomina punto

en el espacio n-dimensiones. ),.....,,( 21 nxxx .

Definición 3.1.2:

Una función de n variables es un conjunto de pares ordenados de puntos (p,w) en el

cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento donde p es un

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punto de n-dimensiones ( , ,....., )x x xn1 2 y w es un número real. Al conjunto de todos los

puntos p es el dominio de la función de n-dimensiones y la totalidad de los puntos w es el

rango.

Ejemplo: p w

(x1,y1) w1

(x2,y2) w2

(x3,y3) w3

(x4,y4) w4

Definición 3.1.3: (Función de dos variables.)

Una función de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado (x,y) de

números reales de un conjunto D un único número real f x y w( , ) .= El conjunto D se

llama Dominio de la función y los valores de w f x y= ( , ) constituye el Rango.

Ejemplo: sea f x y x y( , ) = − +1

a) Hallar f f f t t( , ), ( , ), ( , ).2 1 4 3 2 2−

b) Hallar el Dominio y Rango de f.

Solución:

a)

f

f

f t t t t t t

( , )

( , ) ( )

( , ) ( ) ( )

2 1 1 2 1 0

4 3 1 4 3 8 2 2

2 1 2 1 12 2 2

= − + =

− = − − + = =

= − + = − = −

99

b) 1 0 1− + ≥ ⇒ ≥ −x y y x por lo tanto el Dominio de f es.

{ }Domf x y y x= ≥ −( , ) / 1 ver la gráfica. (El Dominio es el semiplano

rallado)

Como ),(1 yxfyxz =+−= se puede ver que z no puede ser negativo, por lo tanto el

Rango de f es 0≥z .

Ejemplo:

1) Determine el dominio de la siguiente función 2225 yxz −−=

Solución:

25

025

25),(

22

22

22

≤+

≥−−

−−==

yx

yx

yxyxfz

100

(Lo que se encuentra dentro del radical tiene que ser mayor o igual que cero)

Por lo tanto el { }Domf x y x y= + ≤( , ) / 2 2 25

Gráfica : (El Dominio es la parte rallado)

2) Encontrar el Dominio a la función f x y y x y( , ) = + −2 2 25

Solución:

Si y z= ⇒ =0 0, no importa el valor que tome la x, si tenemos a

y x y≠ ⇒ + − ≥0 25 02 2 para que z este definida, entonces el dominio es

{ }250/),( 22 ≥+≠= yxyyyxDomf

101

Gráfica: (El Dominio es la parte sombreada, junto con el eje x.)

OPERACIÓN CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Definición 3.1.4:

Si f x x x y g x x xn n( , ,..., ) ( , ,..., )1 2 1 2 son funciones de n-variables con Dominio D.

entonces definimos:

• Suma ( )( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )f g x x x f x x x g x x xn n n+ = +1 2 1 2 1 2

• Diferencia ( )( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )f g x x x f x x x g x x xn n n− = −1 2 1 2 1 2

• Producto f g x x x f x x x g x x xn n n. ( , ,..., ) ( , ,..., ). ( , ,..., )1 2 1 2 1 2=

• Cociente ( / )( , ,..., ) ( , ,..., ) / ( , ,..., )f g x x x f x x x g x x xn n n1 2 1 2 1 2=

102

Con g x x xn( , ,..., )1 2 0≠

Definición 3.1.5:

Si f es una función de dos variables entonces la gráfica de f es el conjunto de

todos los puntos ( , , )x y z en R3 para los cuales ( , )x y es un punto del Dominio de f y

),( yxfz = .

Nota: La gráfica de una función f de dos variables es una superficie, la cual es el conjunto

de todos los puntos en el espacio tridimensional, cuyas coordenadas cartesianas están dadas

por las tripletas ordenadas (x,y,z) que satisfacen la ecuación. Ya que el dominio de f es un

conjuntos de puntos en plano xy y que a cada parejas ordenadas (x,y) en el dominio de f le

corresponde un único valor de z.

Definición 3.1.6: (Curvas de Nivel).

Las graficas trazadas en el plano XY, de las ecuaciones f(x,y) = K para varios de K

se conocen como las curvas de nivel de la función f.

Considerando diferentes valores para la constante K, se obtiene un conjunto de

curvas de nivel llamado mapa de contorno o planos de nivel. Las curvas de nivel se usan

frecuentemente en la elaboración de mapas: Topográficos, hidrográficas, meteorológico,

etc; así como en economía en el diseño de curva de producción constante.

Definición 3.1.7: (Superficie de nivel).

Si f es una función de tres variables x, y, z, entonces, la superficie de nivel de f son

las graficas de f(x,y,z) = k para los diversos valores reales de K

Ejemplo:

Trazar alguna curva de nivel de las funciones dadas a continuación:

a) f(x,y) = x2 + y2

103

b) f(x,y) = x2 – y2

Solución:

a) Si f(x,y) = x2 + y2

La gráfica de la función f es una superficie cuadrática que tiene como ecuación

z x y= +2 2 que representa un paraboloide circular. Para graficar la superficie se calculan

las trazas z = 0 plano xy se obtiene el origen , con y=0 plano xz la parábola 2xz = , con

x=0 plano yz la parábola 2yz = y con z=k donde k > 0 , es un circulo con centro en el

eje z y de radio k y la grafica es.

Si suponemos que ),( yxfz = es interceptada por un plano kz = , la curva de

intersección se proyecta en el plano x y. Esta curva tiene la forma f x y k( , ) = y esta se

llama curva de nivel de la función f en k.

Al considerar diferente valor para k obtenemos un conjunto de curvas de nivel en

el plano x y. Este conjunto se llama mapa de nivel ó mapa de contorno.

f(x,y) = K si le damos valores a Z = 4, 9, 16.

Tenemos que

Para Z = 4 se obtiene x2 + y2 = 4

Para Z = 9 se obtiene x2 + y2 = 9

104

Para Z = 16 se obtiene x2 + y2 = 16.

Por lo tanto tenemos que la gráfica de z x y= +2 2 es:

Usando MAPLE V solo se usa el comando counterplot (función, x = a..b, y = c..d);

> contourplot(x^2+y^2,x=-18..18,y=-18..18);

105

b) Si f(x,y) = x2 – y2

La grafica de la función de f es una Hiperboloide Hiperbólico (Silla de montar),

que tiene como ecuación z = x2 – y2

f(x,y) = K si le damos valor de K = -4, -1, 1, 4.

Tenemos que :

Para K = -4 se obtiene x2 - y2 = -4 por lo tanto y2 - x2 = 4

Para K = -1 se tiene x2 - y2 = -1 por lo tanto y2 - x2 = 1

Para K = 1 se tiene x2 - y2 = 1

Para K = 4 se tiene x2 - y2 = 4

Por lo tanto la grafica de la curvas de nivel es

Usando el software MAPLE V tenemos

106

> contourplot(x^2-y^2,x=-18..18,y=-18..18);

107

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. f x y x y xy( , ) = +2 2 y t un número real encuentra:

a) f ( , )0 0

b) f t t( , )

c) f ( , )11

d) f ( )2,4

e) f t t( , )1−

f) f t t( , )2

2. Buscar el Dominio, el Rango y graficar el Dominio

a) 0),( Rango Dominio Resp. 1

),( >>−

= yxfyxyx

yxf

b) 0),( Rango 9 Dominio Resp. 9

1),( 22

22><+

−−= yxfyx

yxyxf

c)

4),(0 Rango 1164

Dominio Resp. 416),(22

22 <<≤+−−= yxfyx

yxyxf

d) f x y x y( , ) = − −1

12144 16 2 2 1),(0 Rango 1

)12(3 Domomio Resp.

2

2

2

2

<<≤+ yxfyx

e) reales los todosRango 4 Dominio Resp. )4ln(),( xyyxyxf −<−−=

f) { } 0),( Rango 0,0/),( Dominio Resp. 1

),( >≠≠= yxfyxyxxy

yxg

108

g) 4y 0 , 16 Dominio Resp. 16

),( 22

22±≠=>+

−+= xyyx

yx

yyxf

h) ),( Rango ,0 recta laen no 25 Dominio Resp. 25

),( 2222

∝∝−=≤+−−

= xyxx

yxyxf

i)

),( Rango recta laen esten que

que los excepto puntos los todosDominio Resp. ),(2

∝∝−=−−=

yx

yx

yxyxf

3. Realizar el ejercicio dos con el software MAPLE V. 4. Use MAPLE V para buscar las curvas de nivel al ejercicio Nº 2