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Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica
Rosetta ZanDipartimento di Matematica, Università di Pisa
Montecastrilli6 novembre 2014
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Attività 1 (individuale)
Fai l’esempio di una regola di matematica che in genere insegni.
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Indicazioni Nazionali (p.60)
Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e strutture che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell’uomo.
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La parola ‘regola’… Non appartiene al linguaggio della
matematica, che ha altre parole: Teorema Definizione Algoritmo Convenzione …
Ma appartiene al linguaggio quotidiano, e anche a quello della pratica didattica
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Cosa vuol dire “visione della matematica ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare”?
Cosa si intende per ‘regole’? Perché nelle I.N. una “visione della matematica ridotta
a un insieme di regole da memorizzare e applicare” è considerata negativa?
Da cosa proviene una visione di quel tipo? Da quali esperienze? Da quali pratiche?
Come si può prevenire / scardinare tale visione?
Le nostre domande
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Attività 2 (a coppie)
Riscrivete sulla scheda le 2 regole che avete portato come esempio.
Ognuno legge l’esempio di regola fatto dall’altro, e riconosce se a suo parere si tratta di una regola o no, e perché.
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DISCUSSIONE
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Regola (dizionario Hoepli)
1. Norma dell'agire che prescrive il modo in cui comportarsi in determinate circostanze: trasgredire, violare, rispettare la r.; le regole del gioco; le regole della buona educazione
2. Nei vari campi di attività e discipline scientifiche, precetto a cui attenersi per raggiungere un determinato scopo o per risolvere correttamente un problema: le regole della matematica
FARE
DOVERE
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Un’indagine con insegnanti del 1° ciclo
Fai l’esempio di una regola di matematica che in genere insegni
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Alcune tipologie di risposte
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C. Il perimetro è la misura del contorno.
A. Spazialità: lasciare 4 quadretti tra operazione e operazione in colonna.
D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze).
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L’uso che emerge della parola ‘regola’
Qualcosa che si deve applicare / osservare per risolvere un esercizio o un problema
C. Il perimetro è la misura del contorno.
A. Spazialità: lasciare 4 quadretti tra operazione e operazione in colonna.
D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze).
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Proviamo a mettere un po’ d’ordine
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A. Spazialità: lasciare 4 quadretti tra operazione e operazione in colonna.
REGOLA SOCIO-MATEMATICA
E’ una procedura che l’insegnante (o il libro di testo) decide di far seguire all’allievo nel contesto della matematica.Un altro esempio: quando si introduce il sistema posizionale far colorare di colori diversi le cifre che sono in posizioni. Non è intrinseca alla matematica, tanto che insegnanti diversi decidono in modo diverso.
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Le regole socio-matematiche nei libri di testo
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DATI
OPERAZIONI
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Conseguenze di regole socio-matematiche rigide e non
motivate o condivise
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I problemi sono un po’ noiosi perché metti più tempo a disegnare la figura, a scrivere i dati che a risolvere il problema stesso. (Marco, 5a primaria)
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Passi (INVALSI 2008, 5a primaria)
Maria, Renato e Fabio misurano a passi la lunghezza della loro aula.
Maria conta 26 passi, Renata ne conta 30 e Fabio 28.
Chi ha il passo più lungo?
DATI?
OPERAZIONE?
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C. Il perimetro è la misura del contorno.
A. Spazialità: lasciare 4 quadretti tra operazione e operazione in colonna.
D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze).
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C. Il perimetro è la misura del contorno.
D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze).
Una domanda chiave per mettere un po’ d’ordine è:
PERCHE’?
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B. Come procedere nella risoluzione delle espressioni (precedenze).
Perché in un’espressione si eseguono prima moltiplicazioni e divisioni e poi addizioni e sottrazioni?In altre parole perché:
3 + 4 x 5 = 3 + 20 =23
3 + 4 x 5 = 7 x 5 = 35
e non: ?CONVENZIONE
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C. Il perimetro è la misura del contorno.
Perché il perimetro è la misura del contorno?
DEFINIZIONE
Perché un numero primo è divisibile solo per se stesso e per 1?
Perché un triangolo è un poligono di 3 lati?
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D. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
TEOREMA
Perché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°?
Si può dimostrare, a partire da altre proprietà geometriche.
In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti AB e AC è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa BC.
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In mancanza di INDICATORI LINGUISTICI può non essere evidente se un enunciato è una ‘proprietà’ o una ’definizione’
Il perimetro è la misura del contorno.
La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
La misura del contorno si chiama perimetro.
si può rendere trasparente che si tratta di una definizione
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Far comprendere agli allievi:
CONVENZIONE
TEOREMA
DEFINIZIONE
REGOLA SOCIO-MATEMATICA
…richiede strategie didattiche diverse!
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Non permette di cogliere la diversità dei perché (regola socio-matematica, convenzione, definizione, teorema)
La parola ‘regola’:
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Attività 3 (a coppie)
Per ognuno degli esempi di ‘regola’ che avete dato, riconoscete di che tipo di affermazione si tratta:
Convenzione
Definizione
Teorema
Regola socio-matematica
…
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Non permette di cogliere la diversità dei perché (regola socio-matematica, convenzione, definizione, teorema)
• Trasforma i problemi in esercizi, in quanto si individua per ogni situazione cosa deve fare l’allievo
Ma soprattutto insegnare ‘regole’:
La parola ‘regola’:
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Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.
diventa
Per vedere se un numero è divisibile per 3 bisogna sommare le sue cifre: se questa somma è divisibile per 3, lo è anche il numero di partenza.
comportamento da seguire
“FATTO”MATEMATICO
REGOLA
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“FATTO”MATEMATICO
REGOLE
In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti AB e AC è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa BC. In formula:
Per trovare l’ipotenusa BC di un triangolo rettangolo
conoscendo i cateti AB e AC bisogna…
B
A C
Per trovare il cateto AB conoscendo l’ipotenusa BC e l’altro cateto AC bisogna…
Per trovare il cateto AC conoscendo l’ipotenusa BC e
l’altro cateto AB bisogna…
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Questo succede anche con le definizioni
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PESO LORDO = PESO NETTO + TARA
Per trovare il peso lordo si deve fare: PESO NETTO + TARA
Per trovare il peso netto si deve fare: PESO LORDO - TARA
Per trovare la tara si deve fare: PESO LORDO – PESO NETTO
“FATTO”MATEMATICO
REGOLA
…REGOLE
…tante e diverse, a seconda dell’obiettivo
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I ‘FATTI’ DELLA MATEMATICA
REGOLE- dovere- fare
DIVENTANO
Teorema di Pitagora
Criterio di divisibilità per 3
Proprietà delle potenze
Area del rettangolo:A=bxh
Definizione di multiplo
…
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Attività 4 (a coppie)
Per ognuno degli esempi di ‘regola’ che avete dato, riconoscete se l’enunciato è formulato come ‘regola’, o se si riconosce che tipo di enunciato è.
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Due approcci diversi INSEGNARE LE
REGOLE sorvolando sui fatti che le originano
ignorando i perché di tali fatti
spesso ignorando anche le relazioni: fra regole e fatti fra le regole
INSEGNARE I ‘FATTI’…… e come utilizzarli
in vista di un obiettivo
competenze
Conseguenze:- enfasi sul ricordare, invece che sul riflettere, ragionare- la regola enfatizza il ’dover fare’, nei 2aspetti: agire e
dovere - la matematica è percepita come insieme di regole
scollegate,una disciplina normativa e compulsiva
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Le voci degli allievi
• ricordare
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La geometria a me non piace perché bisogna ricordarsi tutte le formule, calcolarle, disegnare la figura, metterci la base e l’altezza, insomma bisogna ricordarsi tutto. (Alessandro, 5a primaria)
(…) si applica la memoria a ricordare regole e formule che, a volte, servono nella vita. (Giovanni, 5a primaria)
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Inoltre in questi anni, che la matematica sta diventando un po complicata non riesco a ricordare tutte le regole e tutte le altre cose perfettamente. (Martina, 5a primaria)
Un giorno c’era l’interrogazione delle regole fatte a scuola il giorno prima e nonostante che avevo studiato alcune cose non me le ricordavo e così ci ho preso buono. (Sara, 5a primaria)
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Il mio rapporto con la matematica è molto peggiorato perché bisogna ricordarci le regole e come si svolgono gli esercizi. (Michele, 2a secondaria di 1° grado)
La visione della matematica come insieme di regole da ricordare influisce sull’atteggiamento che l’allievo costruisce verso la disciplina.
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La cosa proprio che non sopporto della matematica sono il PESO-NETTO, PESO LORDO e TARA, perché a me non mi sono mai piaciute le regole. (Caterina, 5a primaria)
Non mi piace tantissimo, prima di tutto perchè devo imparare tutte le regole. (Davide, 1a secondaria di 1° grado)
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Le voci degli allievi
• ricordare
• si deve, bisogna, …
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La matematica è un dovere che bisogna sempre rispettare e fare. (Alice, 4a primaria)
A me fanno un po’ di confusione tutte le regole che bisogna rispettare. (Claudio, 5a primaria)
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Non mi piace perché ci sono un mare di regole che per fare un operazione piccina picciò: devi dividere un numero per l’altro, devi togliere il numero che c’era prima e così via. Poi se ti dimentichi una regola sono guai! Non solo sbagli tutto ma ti prendi pure una predica dalla professoressa.(Eleonora, 1a secondaria di 1° grado)
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Di recente abbiamo affrontato l’argomento sulle frazioni, sono abbastanza “complicate”, devi semplificare, per le moltiplicazioni, non ne parliamo che è meglio, si devono semplificare il numeratore con il denominatore dell’altra frazioni, la divisione la si deve transformare in moltiplicazione, l’addizione e la sottrazione si possono svolgere normalmente solo quando hanno il denominatore uguale se no si trova il m.c.m. (Francesco, 1a secondaria di 1° grado)
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RAGIONARE
RIFLETTERE
RICORDARE
AGIRE
I FATTI REGOLE
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Conseguenze 1.
Cosa succede di fronte a una situazione che non è affrontabile con una ‘regola’…
…cioè di fronte a un problema?
INVALSIOCSE PISAGARE, GIOCHI MATEMATICI…
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Passi (INVALSI 2008, 5a primaria)
Maria, Renato e Fabio misurano a passi la lunghezza della loro aula.
Maria conta 26 passi, Renata ne conta 30 e Fabio 28.
Chi ha il passo più lungo?
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Conseguenze 2
Cosa succede se l’allievo è convinto di non ricordare la regola ‘giusta’ per quella situazione?
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Alessandro
Trovare l’area di un rettangolo, sapendo che il perimetro è 126 cm, e l’altezza è 3/4 della base.
…e non conclude
“a questo punto non so, cioè non mi ricordo bene le formule…”
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Nicola
I.: ‘Perché invece di ricordarti cosa devi fare, non provi a risolverla da solo?’
N.: ‘La matematica è fatta di regole ben precise che vanno seguite, non ci si può inventare nulla. I problemi si risolvono seguendo quelle regole e io, ora, non mi ricordo come si risolvono le disequazioni.’
77 2 x
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Il successo in matematica
Per aver successo: bisogna rispettare le regole ‘socio-
matematiche’ studiare e memorizzare le altre regole
Chi ‘trasgredisce’… viene considerato un allievo di basso
rendimento / livello si convincerà di essere inadeguato …poi magari fa bene alle gare, all’INVALSI, in
compiti non standard
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Due approcci diversi
INSEGNARE LE REGOLE sorvolando sui fatti
che le originano ignorando i perché
di tali fatti spesso ignorando
anche le relazioni fra: regole e fatti regole
INSEGNARE I ‘FATTI’…… e come utilizzarli
in vista di un obiettivo
costruire competenze
COME?
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Due approcci diversi
INSEGNARE LE REGOLE sorvolando sui fatti
che le originano ignorando i perché
di tali fatti spesso ignorando
anche le relazioni fra: regole e fatti regole
INSEGNARE I ‘FATTI’…… e come utilizzarli
in vista di un obiettivo
costruire competenze
COME?• Come insegnare i ‘fatti’:
Laboratorio, Argomentare• Come insegnare a
utilizzarli in vista di un obiettivo: Problem solving
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La matematica è una materia in cui bisogna riflettere molto e capire perché esiste quella regola. (Marco, 5a primaria)
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FINE 1° incontro
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I ‘FATTI’ DELLA MATEMATICA Teorema di
Pitagora
Criterio di divisibilità per 3
Proprietà delle potenze
Area del rettangolo:A=bxh
…..
• Hanno un perché.• Sono caratterizzati da relazioni che li
legano fra loro.
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La matematica
I ‘fatti’ della matematica si DIMOSTRANO, a partire da altri ‘fatti’
L’approccio alla dimostrazione si costruisce fin dal primo ciclo, con l’argomentazione
![Page 60: Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it Montecastrilli 6 novembre 2014](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8dba85/html5/thumbnails/60.jpg)
Criterio di divisibilità per 3Un numero scritto nel sistema decimale è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.
Significato della scrittura decimale:247 = 2x100 + 4x10 + 7x1
Divisione a:b con restoa=bq+r
100:3 dà resto 1 10:3 dà resto 11:3 dà resto 1
200:3 dà lo stesso resto di 2 40:3 dà lo stesso resto di 4, cioè 17:3 dà lo stesso resto di 7, cioè 1
La somma dei resti ha lo stesso resto della somma delle cifre di partenza.
Proprietà della divisione Definizione di divisibilità
…
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(…) la matematica (…) contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.
Indicazioni Nazionali (p.60)
![Page 62: Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it Montecastrilli 6 novembre 2014](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8dba85/html5/thumbnails/62.jpg)
La matematica
I ‘fatti’ della matematica si DIMOSTRANO, a partire da altri ‘fatti’
Fra i ‘fatti’ della matematica ci sono gli algoritmi, cioè sequenze di istruzioni per il raggiungimento di un obiettivo (esempio: l’algoritmo dell’addizione, della moltiplicazione, ecc.)
![Page 63: Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it Montecastrilli 6 novembre 2014](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8dba85/html5/thumbnails/63.jpg)
La matematica
I ‘fatti’ della matematica si DIMOSTRANO, a partire da altri ‘fatti’
Fra i ‘fatti’ della matematica ci sono gli algoritmi, cioè sequenze di istruzioni per il raggiungimento di un obiettivo (esempio: l’algoritmo dell’addizione, della moltiplicazione, ecc.)
I ‘fatti’ della matematica fanno riferimento a DEFINIZIONI matematiche
![Page 64: Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it Montecastrilli 6 novembre 2014](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8dba85/html5/thumbnails/64.jpg)
L’insegnante introduce un concetto, una procedura…
COMPITO
PROBLEMA ESERCIZIO
Ruolo diverso dell’errore
![Page 65: Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it Montecastrilli 6 novembre 2014](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8dba85/html5/thumbnails/65.jpg)
Popper
‘Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo affrontare problemi che siano così difficili da rendere l’errore quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di fare errori; la cosa più grande è imparare da essi.‘
![Page 66: Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it Montecastrilli 6 novembre 2014](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8dba85/html5/thumbnails/66.jpg)
L’insegnante introduce un concetto, una procedura…
COMPITO
PROBLEMA ESERCIZIO
Ruolo diverso dell’erroreIdea diversa di SUCCESSO
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(…) la matematica (…) contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.
Indicazioni Nazionali (p.60)
![Page 68: Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it Montecastrilli 6 novembre 2014](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8dba85/html5/thumbnails/68.jpg)
La matematica
• I ‘fatti’ della matematica si DIMOSTRANO, a partire da altri ‘fatti’
Fra i ‘fatti’ della matematica ci sono gli algoritmi, cioè sequenze di istruzioni per il raggiungimento di un obiettivo (esempio: l’algoritmo dell’addizione, della moltiplicazione, ecc.)
![Page 69: Le ‘regole’ nell’insegnamento della matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it Montecastrilli 6 novembre 2014](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb73497959361e8dba85/html5/thumbnails/69.jpg)
La matematica
• I ‘fatti’ della matematica si DIMOSTRANO, a partire da altri ‘fatti’
Fra i ‘fatti’ della matematica ci sono gli algoritmi, cioè sequenze di istruzioni per il raggiungimento di un obiettivo (esempio: l’algoritmo dell’addizione, della moltiplicazione, ecc.)
I ‘fatti’ della matematica fanno riferimento a DEFINIZIONI matematiche