le statistiche intermedie e le proprietà dell’elio liquido

GIOVANNI GENTILE

e

Le statistiche intermedie

le propriet/ dell'elio liquido

S u ~ T o - Dopo alcu~qe premen,~e sull ' importanza della teoria del gas ideale degenere, si espongono i criteri con cui si possono generaHzzarc le statistieke quantistiche di A. EINSTEIN e di E. FERMI1; eioi~ come si possa istituire la teoria delle eosidette statistiche intermedie~ quelle statistiche dunque~ in cui il massimo numero d'oecupazione d dhtna cella netlo spazio delIe ]asi non ~ pih 1 (st~tistica di FE~)~I-DmAc), oppure :~z (Statisticu di BOSE-EINSTEIN)~ ma un numero intero positivo q'ualun~ue. Passando poi a considerate Ie straordinarie p~vprieth presentate dallYHo liquido I I , si mostra come si possa dare una teoria termodinamiea eoerente della de- generazio~te deI gas di EI~STEI~ ~, considerando questo gas come ubbi- dente a un~ statistica intermedia, in cui il parametro d ~ lo stesso numero totale N delle particelle del gas. II risultato~ fisieamente molto im- portante, che la ]ase liquida superfluida sia limitata a uno strato sottilis- simo, d& degli argomenti per chiarire alcuni ]enomeni, veramente straordinari, come Peffetto fontana. Inoltre il earattere semiclassico della nostra teoria meccanico-statistica permette di ealcolare alcune proprieth caratte- ristiehe dell'elio liquido I I , come la viscosith e la conduttivith calorifiea.

Tre ~nni or sono presi la parola in questo Seminario per attirare la rostra attenzione sull'importanza di alcune eonclusioni the si po- tevano trarre d~llo studio della componente pih dura della radiazione cosmica: conclusioni the aprivano nuovi orizzonti alla ricerea sperimentale e alla speculazione teoriea. Se prendo oggi la parola ~ per par- larvi di un altro campo di ricerche, d~ cui molto 18 scienza':a,~eora pub attendersi e eopiosissimi sono stati gi~ i risultati: lo studio del comporta- mento della materia alle bassissime temperature. Studio questo che negli ultimi anni ha portato alla scoperta di nuovi~ meravigliosi fenomeni presentati dall'elio liquid% fenomeni che, per la toro singol~rith

9 . 7 - - ~

possono essere soltanto pa.rsgonsti s quelli~ per ts i i t i rispetti~ aneors eosl misteriosi, della sovracondut t iv i t~ dei metsll i .

Poich6 6 verameiite straordii isrio consta ts re qusl i sorprese pre- pari la fisies anche in esmpi che, con quslehe folidamelito~ si possono colisiderare defmit ivsmeli te esplorati e sistemsti .

1. - - L ' import~nza the ha sempre svu to h) s tudio del eomport~- monto delh~ ina~eria slle v~rie t empera ture 6 eoss ben n o t s ; poieh6 tu t t i ss~iio che il , quaazto d '~ziol ie , introdot to, ill v is d'ipotesi~ IIells t e rmodinsmics del esmpo di r~di~zione lumilioso, h s d i m o s t r ~ o 1s su~ pitl genersle vslidit~ a4tr,~verso lo studio del eompor t smen to dei solidi ~ basse *emperature. Con ls eonseguenz~ ehe se~ con I~ si p o t e v s psr l s re di qiianti di lace, poi~ con EI~'STEI~ e DEBYE~ si pot6 psr l s re sliche di (( qusnt i di suolio ))~ o , quuliti di onde elsst iche ,.

At t rsverso ls via mses t r s dell.~ termodinumica~ dunque~ 6 pene t r s to IIells fisics il concerto fondamentale d'ulm elemelitare discolitinuit'~ nel comp,,)rt~melito dilia.mico, o s~rebbe meglio dire sddiri t turs~ IIelle propriet~ ciliemstiche dells mster is . Se fosse s t s to s l t r imenti , non sa- rebbe concepibile ls ferrea IIecessit~ con cui i fisici si sono dovu t i pie- gsre davemti s questa IIuova coiicezione: t roppo grsndiosi i fenomeni, che si presenta.no ~ noi in queste colisiderazioni~ perch6 si posss pre- scindere da.lls loro soluzione.

Si po t rebbe dire di pifi: lo stesso COllcetto di B o t m di ulin succes- sione discontiliua di sta, t i qusntici~ cur~tteristic~ di oglii sistem~ fisico~ 6 un coiicetto che, ~ gusrd~re bene, si sffsccis d~ppr ims IIell~ ~ermo- diliumics. Senza di esso infs t t i 6 ilicomprelisibile quel fenomeno ge- IIerMissimo che vs sotto il home di , congelslneiito )) dei grsdi di li- bert's di uli sistems. Vi siete msi domsiid~ti~ s tudisndo 1~ legge di Du- L o ~ e PEr perch6 un~ molecols monos tomica s b b i s solo tre grsdi di Iibert~b un~ bi~tomics ne ubbis cinque, etc? L~ meccanics insegli~ invece che s d oglii punto di m~ssa vulino s t t r ibu i t i tre grsdi di l ibert~ e quindi ls molecola di idrogeno~ in qusl i to 6 cost i tui tu da due nuclei e du due elettroni, dovrebbe svere dodici gradi di libertY. L ' tmics spie- gaziolie con~dncente 6 quells che di~ ls teor is dei qusli t i : l s differeiizs t r s lo s ta to fondameli ts le e il primo s t s to eccits~o di ques~i ele~troni 6 rant0 grsnde che~ per effetto de t l ' s# tuz ione te rmics solt~nto~ esss~ s t emper s tu ra ordiliuris, non pu6 essere superat~. Lo stesso dicssi del grsdo di l iberts d 'oscil lszione dei due nuclei tr~ di loro: il pr imo qusnto di oscill~zione comLucerebbe n essere eccit~to solo ~ ires temper~tur~ di un miglisio di gr~di.

Esse~do quiadi condizionuto dnlla temper~tura il contr ibuto che ogI~i grsdo di liberth port~ ~lPeliergiu iliterlis U, e quindi sl calore spe-

S e m ~ n a r ~ o M t t t . e Fl, s . dl, 3[J, l c o t o . vol XV 7

- - 9 8 - -

cifico v~ ~ che ~ 12 der iva ta di U r ispet to a T ~ ne concludiamo che quest~ grandezza ~ unu funzione deereseente con la t empera tu ru e che tende ud aanullursi ~llo zero assoluto ~ in cui, per eosl dire, t u t t i i gradi di l ibert~ sono congelati.

4 ~

Z ~

/

/

g / r

V

Fig , 1 - - Ca lo r i speo | t le i et~ d e l l ' i d r o g e n o ( p ~ r a i d r o g e n o e o r t o i d r o g e n o in v a r | e p e r e e n t u a l l ) .

2. - - In ques t 'u l t ima asserzione 5 eontenuto uno degli emmcia t i del terzo principle della t e rmodin~mic~ o principle di N E ~ S T .

Ors non c'~ in fisica una teoria pitt semplice e crist~llina della teori~ del ga~s perfet to, o gas ideale: le molecole~ pensute sciolte da ogni vicendevole influenza, vengono schematizzute come dei punt i di m~ssa liberi di muovers i in un volume chiuso.

N ~ perch~ cosi semplice, quest~ teoriu ~ meno import~nte , poich~ r isaputo che le propriet~ d ltn gas reale si approssimano ~sintotic,~-

mente a quel ls d~un gas ide~le quando la densits t ende a zero. :Ebbene anche ques ta teoria si ~ ~rovata nella necessit'~ di fare i conti con il principle di N E ~ S T . E poich~., per mezzo det teorema generule del viriale di CLAt~SIVS~ discende dalle leggi di BOYLE e GAY-LvssAC, com- pendiate nell 'equazione di s tuto:

pV = R T

che il calore specifico c~ det gas perfet to 5 mlu costunte indipendente da l lu tempera tu ru , dobbiamo concludere che anche le leggi dei gas perfet t i devono essere modificate se si vuol soddisfare al principio di ~Nm~ST. (l~icordiamo a questo proposito che esiste sull 'argomento un interes-

- - 9 9 - -

sa, n te gruppo di lavori del Prof. POLVA~I che ha. studia.to le propriet~ te rmodinamiche d 'un gas perfetto).

~ecessa.riamente dunque per il principio di NER~ST devono presenta.rsi delle deviazioni dal comport~mento cla, ssico dei gas perfet t i : deviazioni che non halmo nulla, a che fare con le deviazioni ordinarie dei gas real/da.lla, legge: p V = R T e dovute a.lle forze di vA~ DEI~ WAALS. I fenomeni che presenta, alle basse tempera.ture un gas perfet to, che soddisfi al principio di N ~ s T , va.nno, perci5, sotto il home specifico di r di degenerazione ),.

D'a.l~l'a par te ~nche I~ realtY, sperimcnta.le ci pone dinanzi a. questo problema.: come spiegare infat t i che quel gas perfetto, che costdtuiscono i coside~ti elettroni liberi d:un me~allo~ deve portare lm con~.ributo hullo a.l calore specifico dcl so]ido? (secondo la teoria classica ci do- vremmo aspe~tare an aumento del 50 % circa.). Si tra~ta, qlfi evidente- mente d 'un gas degenere, che obbedisce al principio di ~'EI~ST.

3. - - Ci si pub rendere subito conto che nel caso di ~m gas idea.le non basra, pifi il quanteggiamento delle orbite alla. ]~om~ per dedurre il principio di NEg~ST. Difa.tti qua.ntizzando il moto dhm corpuscolo di massa, m~ costret to a. muoversi per es. in 1111 cubo di lato l, si trova. che l 'energia dhmo stato quantico generico del sistema. ~ da ta dalla formula :

h 2 (1) E,,,,,~.~----(nf+n~-~n~) ,

8 1 ~ m

dove h ~ la. costunte di PLANCK, n~, n~ na sono humeri interi positivi. Qui la minima differenza, di energia ira d u e stati ~:

h 2 " 1 10 -'~~

8 m " F t e

e ~ende a. zero qua.ndo 1 ha. delle dimensioni ma.croscopiche. Colui che prima, risolse ii problema, della degenerazione del gas

perfet to fu AL:BElCTO EINSTEI~ e precis~mente neWa,nno 19~-2o . Egli comprese che era d~ modificare la legge di 5'L4xwELL e BOL~Z~:~AI~', che, come ~ no~o, d5 la. distribuzione sta.tistica, delle velocith delle mo- Iecole d ' tm gas intorno ~1 valor medio. ~a. turMmente bisognava tenersi fermi aI15nterpretazione di ] ~ O L T Z ~ N del secondo principio della termodinamica.: lo sta.to di ma.g~ore entropia. ~ lo stato di massima probabilit~. O pig precisamente: uno sta.to macroseopico de l nostro si-

- - 1 0 0 - -

sterna g definite dal wdore globa.le di alcuni par~m~etri, come l 'energia to ta le E, la pressione p, etc. D~altra par te anche se stabil iamo p. eSo che vi sono N~ partieelle d 'energia E~ rimane un~indeterminazione net fa t to che vi sona pih s ta t i quant ici d'energia E~ ~ come si vede dalla formula (1) e che sostanzialmente differiscono per la direzione de l vet tore velocit'ho Quindi si offrono molti modi, t u t t i d 'eguale pro- babili th a prioi'i, di reMizzare una eonfigurazione nmcroscopica del nostro gas. Se si ebiama proba.bilith te rmodinamica questo numero di modi, Mlora si pub con BOLTZ~I .~ definire come entropia del s is tema il logari tmo della probabilit's

Dnnque questo era il I /unto: t rovare una nuova lease statistica., diversa dMla elassica~ ehe desse la probabilitb~ te rmodinamica d 'un generieo s ta te del gas. Per eonseguire un tale scope EINSTEIN segui un metodo, che era s ta te escogitato dal fisico indiano BOSE per dedurre 1~ legge di PL~CI< sulla base d 'nna rappresentazione fotonie~ del eampo di radiazioneo Ad incoraggiare EI~s~EI~ - a seguire un~ ta le via forse eontr ibui il suecesso ehe gli aveva arriso una decina d 'anni p r ima quando aveva applicato la formula di P~A~c~ per spieggre l ' andamento dei calori specifici d ' tm solido. NelFanno successive, nel 1926, E. PEn~II dava lma teoria diversa del gas degenere; in eui egli si ispirava M prino cipio di vselusio,~e che proprio allora era s ta te scoperto da iP.~uLI per gli elettroni, in base Mla diseussione delle proprieth del s is tema perle- dice degli elementi di MENDELEEV. Che eos,~ hanno di comune e che cosa di diverse le due teorie d i :ELN-STEIN e di FEI~SH?

EINSTEIN~ seguendo BosE~ ammet te che uno s ta te del s is tema delle 2( molecole del s~m gas sia per fe t tgmente definite quando siano dat i il numero delle moleeole clle s tanno nel primo s ta te qu,~ntico, il nu- mere di quelle che oceupano il secondo s ta te e cosi via. Lo stesso fa FEtgMI: per ambedue quindi non ha importanzg cbe la molecola a st ia nel pr imo s ta te e la molecola b nel secondo, o viceversa; ma sempli- cemente ha impor tanza ehe t an to il primo quanto il seeondo s ta te siano oeeuputi da una sola particella. (Per BOLTZ~_~- invece bisogne- rebbe dist inguere il primo dal seeondo ease).

Tu t to ci5 si pub interpretare dicendo che due moleeole del nostro g~s non sono tr~ lore distinguibili in alcun mode. La meceanica quan- tistica~ come ha dimostrato Dn~AC (che con FEK.51:I divide il meri to di aver fondato la statist{ca ehe por ta il lore nome), afferma la necessit~ di un~ ta le conclusione. Questo ~ dunqne il t ra t to comune ~ una qualunque statistiea qu~ntistica.

Dove invece FER~H si discosta da EINSTEIN ~ ehe [EIlgSTEIN ammet re con BOSE che in uno s~ato quantico vi possa stare un numero quMsiasi anehe infinite di part icelle; mentre FER3fI~ tenendosi al pr im

- - I 0 1 - -

cipio di esclnsione di P a u ~ , ammet te ehe, al pih~ in nno s~ato qnan- rico si possa t rovare una ed ~ma sola pa.rticella..

4. ~ ~[a~ in via pur~mente teorica~ non si po t rebbe pensare che si possuno dare st~tistiehe in cui il numero massimo di occupazione di uno st~to qllantico si~ un numero qu~hmque intero e posit ivo d? In purtieolure se d = i si ~vrebbe la st~tistie~ di FEn~g~ se d = ~ la stutistic~ di EINSTEIN; per d qualunque si avrebbero le stutist iche inter- mealie fra EINSTEII~ e FEI~II. Quest~ fu lu donmnda, che mi fu rivolt~ un giorno dal Profo Por, wl~I. N~turMmente si pub rispondere di si: per qua.nto (( ,~ p r io r i , non si s~ppi~ quale senso possu ~vere studi~re queste stntistiche, d,~to che le uniche rea]izzute in n~ tum sembr,~no essere quelle di FER5'LI e di E~STm~ . 5fa pr~t ieamente la teoria delle stat ist iche intermedie present~ serie difficolt~, perch~ non riesce ,~ge- vole dedurre delle formule asintotiehe semplici numerundo d i re t tamente i diversi modi possibili di rea.lizzaxe unu determin~t~ co~digura~zione.

In un~ mi~ nora recente, p~bblic~t~ nel (~Nuovo Cimento~)~ ho mo- strato invece che il p roblema di~enta sen~z'altro risolubile quando si segua, il metodo dato da B o s e nel suo lavoro del 1924. Ecco come si procede: poich~, quundo si considerino gli stat i quantici d 'una stessa energia E~, che supponi~mo in numero di Q., h~ importanza solo

supere quant i di essi noa siano occupati , quant i inveee sinno oecupat i da una par~icella, qu~nti da due, e t c , introduciamo esplici tamente come vari~bili questi pax~metri: Po, numero degli stati non oecupat i ; p~ numero di quelli occupati da ~m~ particella, e t c , sino a p,~, numero degli s ta t i oec~pati d a d p,nrticelle. N~turalmente deve essere:

(2) ~ p~ = (?, , t ' ~ l )

e il numero complessivo di part icel le snzli st,~ti 8 sarh (l~to da:

(3) N, = ~ r p~: t ' ~ v }

Or~ ~ evidente che i l numero dei modi di distribuire, in queste ipotesi, le N, p~rticelle t ra gli s tat i s ~:

p~!...p~ ! coa (3") ~_~N~= N

- - 1 0 2 - -

e che quindi la prob~bilit~ te rmodinamica rela t iva ad tmo sta,to ma,- croscopico di energia, tota,le:

s

data dal p rodot to : W = W~... W~..o Fra tu t t e queste possibili con- figuraazioni r isulta effe t t ivamente rea,lizzata quellaa di maassima entropia, per cui dunque ~ maassimo il loga,ritmo di W. Dete rmi~ando questo ma,ssimo in modo che vaalgono sempre le (2), (3) e (4) si trovaa la formula fonda,menta,le d'una" s~a,tistic~ intermedia di paara,metro d:

(~,) i a (d + 1) 1 i (5) N~-Q, , , / E ._=Q, iex+~_l e(a+l>('*+~')--lt ,

ehe contiene come caasi pa,rticolaari le formule fonda,menta,li:

(5')

1 1 di FERMI (X = ] ) : N s =-~- Qs i e x + ~. ~ 1

1 i - O~ e ~ ( ~ + ~ > - 1 ~ e x + ~ § 1

e di EINSTEIN (d ~ ~) : ex+~ .~ 1

]nol t re si vede subi~o che laa (5) si tra,sforma nella, legge cla,ssica, di ~ [ A X W E L L - B O L T Z ~ per un va,lore sufficientemente gra,nde della costante ~ - - caso questo che corrisponde perci5 ~d alte temperaature.

Giunti a, questo risultato, si pub procedere senz'~ltro u calcola,re le formule fonda,mentali del nostro gas perfet to. Inta,nto la, costa,nte a, che per d finito pu6 prendere t u t t i i va,lori tra ~ ~ e + ~ pu6 essere de terminata in f~se alia condizione (traserizione della" ( 3 ' ) ) :

' ~/" F (6) - - ( 2 r : m k T ) (~) ,

V h 3

dove F(~.) ~ la funzione t rascendente:

(7) ' V ~ , e ~ - + ~ - 1

0

(d§ 1 la x e(a+l)(~+x)--I

103 - -

e dove x = E/kT. Allo stesso modo si p1~6 ealeolare Penergia intern~

(8) U = N . E - - ~ 3 k. T. N. G {~--~ ) , '2 F(~.)

dove

a(~.)=- | x=,, t (a:) d , ' 4 V ~ a

U

legata alla F(a) dalla relazione:

d. _ _ . . . ) _ _ y ( , . ) ;

e quindi la pressione p, ehe per il teorema, del viriale di (?LAUSIUS risulta:

2 U

3 V

Queste sono le formule fondnmentMi del nostro gas. L~import~nte che per qu~hmque d l 'Lute~'ale E(~) assume altre espressioni in serie

completamente diverse per ~. >> 0, o per a. <( 0. Nel primo caso che~ come ~bbiamo osservato, eorrisponde a,d alto temperature, ~(~) (ponendo A = e~-):

p = l L

1 1 1 /

(d -+- 1)','-'//,' A ~"* +"

e an~log~ espressione vale per G(~). Cosi l'equ,~zione di s tato diventa:

1 N h 3 d Nha/V ] (9') p V = N k T 1 2~ / ,V (2?mkT)%+. . .~ (d_V1)~,(2v.mkT):,,(~.. .

N d secondo easo, corrispondente a bassissime tempera ture :

{10) F(~.)== 4 a~/~.d.tl-~ '" ~- con 3V~. t 4a e d-~-I

- - 1 0 4 - -

per cui l ' equaz ione di s t a t e assume la f o r m a :

Ques t a funz ione F(~), ehe s tabi l isee u n a eo r r i spondenza b i u n i v o c a t r a la t e m p e r a t u r a T ed ~, de t e rm im t esso sola il c o m p o r t a m e n t o del gab pe r fe t to , eos t r ingendolo e n t r e legg'i d ivers iss ime a s econda del c a m p o di t e m p e r a t u r a cons ide ra te .

Q u a n t o a l l ' en t rop i a essa r i su l t a zero pe r ;1' = 0 e p e r a l t e t e m p e r a - tm'e a s sume la fo rm~ classica di SACKUR-TETRODE. ~ ' a t u r a l m e n t e i c~lori specifici v a n n o a zero con To Poss i amo cone ludere i n t~n to che ~( non ~ vero che le s t a t i s t i ehe di F E ~ g e di EINSTEI~ siano le sole che soddisf ino la p r o p r i e t h t e r m o d i n a m i e h e r e a l m e n t e a c c e r t a t e del gas p e r f e t t o ,. I] nos t ro gas i n t e r m e d i o d : a l t r a p a r t e se pe r a l t e t e m p e r a - t u r e p r e s e n t a u n ~ o m p o r t a m e n t o t h e si avv ic ina a quel lo del gas di :EI~STEI~ per basse t e m p e r a t u r e p r e s e n t a un e o m p o r t a m e n t o del t u t t o ana logo al gas di FE~:M~ 0)-

5 . - P e r q u a n t o possano essere i m p o r t a n t i qt{este conclus ioni , n o n si pub neg'are che t u t t o ques to pub sembra re anche elegante~ d ' u n in tc resse pe r6 solo teor ico. M~ pass iamo a cons idera re la degene raz ione del gas di E~ 'STEI~. Qui, poichg ~. ~ al min imo zero, m a n c a p e r cosi dire il reg'ime z ~ 0, ca ra t t e r i s t i co del gas fe rmiano . Pe r6 e ra co m in c i an o le difficolti~: poichg F(~.) eresce a! decrescere di -~ e r agg iunge il mass imo qu ind i pe r ~ = 0 (nel qua l case d i v e n t a la funz ione ben n o t u in ~nalisi

di ~IE:~A~N nel punt() d ' a se i s sa :~/s dove assume il v~ lore 2~612)~ e v i d e n t e m e n t e si ha u n a t e m p e r a t u r a cr i t ica To o l t re la qua le non si pub seendere se si vuo le soddis fa re la (2). Altora EI~ws~EI~ am- raise, con il sue s icuro i n tu i to fisico~ che al di sot to di q u es t a t e m p e r a - t u r a T O d o v e v a a v v e n i r e un f a t t o s ingolare : t f i t t e le molecole che n o n p o t e v a n o , pe r eosi dire, r imane re nel gas, si s t a eeavano da e s so . cad en d o al suolo del r ec ip ien te con ve loe i t s zero. Si sa rebbe d o v u t o a v e r e u n a specie di f enomeno di condensaz ione . L a t eo r i a t u t t a v i a si p r e s t a evi d e n t e m e n t e a delle e r i t i cbe : da l la (:1) d i scende che zY~ t e n d e a ~ q u a n d o

(1) II Prof. G. POLVANI, rlella discussione che segul a qaesta eonferenza, feee osservare come nella presente teoria del gas degenere di BOsE-EINsTEIlV discenda dalla (10') ehe la legge di AVOG~<DRO non vale pih per basse temperatttre. Lo stesso di- casi per il gas eli F~MI. Fece osservare inoltre che fu data tuttavia una dimostrazione generale termodinamica della legge di AVOGADRO, dimostrazione ehe eviden- temente deve e~ssere errata!

- - 1 0 5 - -

~. = 0 e E, -~ 0 ; allora come si fa ad ammettere~ in un seeondo tempo~ che su questo livello energetieo di velocitg zero ve ne sia solo quel numero finito che corrisponde al numero delle moleeole della fast l iquida? Imoltre va r i levata un~altra diffieoltg: la eostante ~ secondo ::EIIVSTEII~ r imane zero~ dalla temperatura critica T o in gift sino allo zero assoluto, Ora ~. ha la seguente espressiva interpretazione: essa, a meno della co stante - - 1 / NkT~ ~ uguale al potenziale termodinamico a pressione co stante, cio~:

1 1 ( 1 1 ) ~ = �9 ,: , - -

N k T N k T 7 ' S - - 17---pV) .

E si pu6 dimostrare, in base al prmcipio di ineertezza di t~EISEN- ~ERa che l 'energia U allo zero assoluto ~ diversa da zero e quindi z. tende all ' infinito negativo per T = 0~ anehe per il gas di ELNSTEIN.

Per ragioai di questo tipo il ienomeno della eondensazione di EI~- STEI~ cadde in discredito, t a a to ~ vero ehe essa di solito non vie~e ri- por ta ta nei t r~ t ta t i che invece si a t t a rdano langamen~e a deserivere i feaomeni di degenerazione del gas di FE~)m Inoltre si r i teneva che anche per il gas pi~ leggero, l~elio, ubbideate alia statist ica di EIN- STEIN~ i fenomeni di degenerazione fossero completamente maseherat i dalle ordinarie deviazioni dalle leggi dei gas perfetti dovute ~lle forze VAN DEI~ WAALS.

6. - - Era a questo punto la questione quando nel 1937 F. LON- DO~ la risollevb per rieollegarlg ad aleune singolari anomalie ehe aveva rivelato lo studio delle proprieth delFelio liquido.

L'elio a pressione atmosferica si liquefg a 4,22 ~ la tempera.tura eritiea g di 5,2 OKo A 2,19 ~ sotto la sua propria pressimm di vapore

T

E

f

i F l g . 2 - - C a l o r | s p e e I f l e l ( l e l l ' e l l o l | q u l d o , i n v l c l n a n z a de1 punt~z ),.

- - 1 0 6 - -

l'elio liquido sottost~ g una notevole trasformazione. Quando il l iquido raffredd~to a,1 di sotto di 2,19 ~ il ealore specifico salta, da,1 valore

di 0,4 cMorie/gr, grade a pih di 5 ca,lorie per gramme per grade, dope di che deeresce rapid~mente proporzionalmente circa a, 5; ~. La trasform~- zione ~ 2,19 ~ ha, pure un notevole effetto sul coefficiente di espansione dell'elio che sopra, questa tempera,tur~ ~. posit ive, mentre M di sot to nega`tivo, sebbene la, densith non subisca` alctm~ brusc~ v~ri~zioneo Inoltre, ~nehe solo guard~ndo, ci si aeeorge di quest,~ trasformazione, perch~ l'elio, ehe pr ima si mostra,va come un liquido in violent.~ ebollizione in tutts, h~ sua, massa, poi ~ppa.re come un ' acqua chiara e senz~ mote.

Tr~sforma,zioni di fase di questo ripe nella` fisic~ sono conosciute: per es. quel la che subisee un materiMe ferro-magnetico quando pass~ at t raverso il punto di Ctmr~; le trasformazioni dall~ disposizione or- dinat~ nello spazio a, quella, d isordinata di certe leghe, etc.

La temper~tura di t rasformazione dell'elio liquido 6 chiamata, con una denomina.zione dovu ta a ~Et]:R~N-FEST~ (~pU]ltO X ~. ~La modifi- cazione dell'elio a,1 di sotto del p tmto k 6 generMmente indicata, come clio liquido II , quella sopra, come clio liquido 1.

L'elio liquido pub essere solidificato sotto un~ pressione esterna di 25 arm. A tempera ture m~ggiori occorrono pressioni maggiori. Le propriet5 dell'clio liquido sono tal l quali ei si pot rebbe aspett~re d~ un liquido di ptmto di ebollizione molto basso. Tutt~Mtro invece accade per l'elio liquido II . Int,~nto con eonsider~zioni termodinamiche si pub dedurre ehe l'elio liquido I I r imane liquido anche allo zero assoluto.

7. - - E ' sta,t~ allor~ avanzut~ l ' ipotesi the l'elio liquido I I a differenza dei liquidi ordin~ri corr isponda a d lma. disposizione di a tomi perfe t t~mente ordin~t~ hello sp~zio, e il punto k quindi corrispondere ad un passaggio dal disordine Ml'ordine, come si osserva in certe legheo

~ una, ricerca sperimentMe di KEESON e TACONIS ha invece d imost ra to ehe non si r i levava alcun cambiamento nella riflessione di raggi X da par te di una colonna di clio liquido M di sopra e al di sotto del pun to k. Tu t t av ia prima` ancora di questo r isul ta to sperimentale, F. LONDON in base ~ considerazioni teoriche era` arr ivato all'~ conclusione ehe do- vendosi sca,rtare l ' ipotesi di una trasformazione dall 'ordine al disordine bisogna,va, pensare ad un 'a l t ra spiegazione; e questa t rov6 nel fa t to c h e l a t empera tu ra critica in cui avviene la, condensazione del gas di :EIt'~STEIN ~ molto vicina alla t empera tu ra del punto ;~: la pr ima r isul ta di 3,09 oK, la seconda come abbiamo det to ~ di 2,19 ~ La concord~nza

impressionante date c h e l a teoria di ~ELNSTEII~ rig~arda un gas perfetto, in cui quindi non si metre in conto alcuna, interazione tr~ gli ~tomi~

- - 1 0 7 - -

e o s ~ ehe a rigore non ~ pih consenti to nel ca.so d~un liquido. Tu t t av ia possiamo sempre ragionare cosi: se vogliamo conoscere le propriet5 carat ter is t iche d 'un liquido ehe si fermi in seguito ~1 lenomeno di condensazione previsto da EINSTEIN, allora sar'~ lecito, anzi sars opportuno~ astrarre d~ll 'interazione reciproca degli utomi - - da te che questa~ presente in ogni specie di liquido, non ci durebbe che le propriets ordinarie dello s ta te liquido~ mentre noi vogliamo uppua to spiegare l e singolari propriets di ques to l iqu ido sui generis che ~ l'elio liquido I] .

E che siano realmente propriet'~ singolarissime lo mostr~no i f~tti seguenti: questo fluido ~ differenza dell'elio liq~fido I, deve essere con- siderat% secondo KEESO~Ny Ull (( sovrucondut tore del calore )). L~ sun conducibili t5 calorifiea, che 5 ~ :1000 volte pifl graade di quella del rame ~ tempera tnra ordinaria, d ipende (e questo 5 a.nche un fa t to ec- cezionale) dal gradiente della temperutura , ragoinngendo il sue massimo valore a 2 oK per un ~ 'adiente di t empera tu ra di 10 -5 gr~di/cm. Quando invece il calore specifico torn~ normale, quest~ sovraconduttivit '5 scorn- pare ~ come hunno dimos~rato S ~ o ~ e ~:~ICKARD.

Inol tre Felio liquido I I ~ (~ superfluido ,. B~TO~" e ~ISEI~EI~ Toronto ~vevano osserv:~to che pass~ndo uttr~verso il punto Z, il coef- ficieate di viscosit'~ 9 cade da 10 -~ C. G. S. a 1 0 - t Essi avevano fa t to questu misura osservando come si smorz~va 1~ rota,zione d 'un cilindro immerse in un bagno d~elio liquido II . Con un disco oscitlante 5iAc W o o d a L e y d a uveva osservato che tz immedia tamente sotto il punto k 3.10 -~ e scende sine 2.10 -~; per un~ temperatur~ di 1,1 ~ (Per eonfronto ricordi~mo che per Facqua ~ 20 ~ ~ = 10 -~ C. G. S.). K~P~TZX a ~osc~ misur5 con qnale velocit'~ p~ss~va l'elio liquido secondo ~ttra- verso i capillari e t rov6 che ~ era ~neora piit piccolo : 10 -~ C. G.S. In- flile ALLEN e MISEREI~ dimos~rarono c h e l a veloeits d'afflusso dell'elio l iquido I I 6 (in c~pillari di raggio 5.10 -~ cm) indipendente d~ll~ pressione ai capi del tube, eontrar iamente alla legge di POISEUILLEo Mentre BU~TO~, a Toronto~ t rov6 che questa legge vale quando si ~doperino larghi ~ubi per l'effiusso.

Dunque attr,~verso capillari, o scorrendo sotto forma di film sopra una superfieie - - come mostrarono le esperienze di h{EI~DELSOHI~- D~UNT ~ Felio liquido I I si compor ta come un liquido perfet to con ~ - - 0 .

Ancora pih straordinari sono i seguenti fenomeni scoperti da KEE- SO~ e s is tem~t icamente studi~ti d~ DAUNT e MENDELS0tt~. Se si im- merge un tube di vetro chiuso in un bagno du liq~fido IL Felio spon- t~neamente dal bagno si trasferisce nel tube, arr~mpicandosi sopr~ le paret i del vetro con una velocit~ di 20 cm/sec a 1~1 oK. Questo trasfe- r imento spontaneo cessava qu,~ndo il livello interne ~J t ube raggiun-

- - 108 - -

geva quello esterno del bagno. Se si solleva il tubo, il l iquido se ne an- davu~ in modo da egu~gliare di nuovo' i livelli~ inferno ed esterno. Se poi infine si t raeva il tubo fuori da,1 bagno Felio l iquido si raccoglieva

II : : T-'T . . . . .

a b r

F i g . 3 -- E s l ) o r i e n z e dt D A U N T ~ 3 I E ~ D E L S O H N .

in gocce sul rondo esterno del tubo e r ieadeva nel b~gno: come se avesse u n a ,( volont~ aristoteliea 7) di scendere al basso!

Ora non c% dubbio che propriets t~nto singolari possono essere dovllte soltanto ~1 f~tto che l 'elio ~ l 'unico gas ehe obbedisca alla sto,- t ist ica di t~I~S'~EI~ e in cui la temper~tura critie,~ To, eio~ il pun to ~,

relat iv~mente cosi ~lta. ( Infat t i il neon, anch'esso un gas nobile che obbedisce per il 99 % ~ll~ statist ic~ di EInSTEIn, ha una t e m p e r a t u r a eritiea T o ea.lcol~bile dal]u (1) inferiore; 1 oK, mentre ~ noto che a 23 oK esso ~ gi's solido).

Dunque ~ eer tamente nel ve to LONDON quando dice che Felio liquido I I non ~ che una manifest:~zione dell,~ degenerazione del gas di :EII~STEIN.

Per t u t t e queste ragioni lo s tudio di ta.le gas ha ~cquistato un in- interesse nuovissimo. Lo stesso LONDON ha tenta to nel ~38 di dare una te0ria del fenomeno, t an to discusso, della condensazione di BOSE-EIn- StEIn, ~eoria l~ sua che, se non altro~ present~ Finconveniente di so- st i tuire la t r~t tazione gener~le semiclassica di car~ttere meccanico- stat ist ico con consider~zioni di meccanlc~ ondulator ia ; considerazioni da ist i tuire e x n o v o per ogni par t icolare problema.

8. - - Eppure ~ evidente la ragione per cui la formula fondamenta le di ErssT~IN por ta ,~ delle incongruenze. Con EINSTEIN noi ammet t i amo

- - 1 0 9 - -

che in uno s t a to quan t i co vi possa s ta re u n n u m e r o anche inf ini to di par t ice l le , e qu ind i n o n c'b da merav ig l ia r s i che poi N~ ~ -cc per

+ x = 0. L~sc iamo cadere ques tg ipotes i e d ic iamo e s p l i e i t a m e n t e che d o v e n d o essere sodd i s f a t t a l ' equaz ione :

N = n~ + n~ + . . + n . ~ + . .

con h u m e r i n o n negativi~ al lor~ dev 'esse re : ns ~-~ N. Secondo ques to n a o v o p u n t o di v i s t a v e n i a m o ad a m m e t t e r e che f o r m a l m e n t e il gas d i EINSTEIn obbedisee g ung statistie,~ intermedia~ in cui il n u m e r o mass imo d ' occupaz ione b lo stesso n u m e r o 5r delle pgr t ice l le , Io ho cercgto di svolgere ques ta idea ed ecco i r i su l tg t i : adesso ~ p u s p rende re , come dev 'essere , t u t t i i va lo r i t r~ - - x e + x e si p r e s e n t a n o pere ib i due reg imi : ~. >> 0 e ~ << 0, che a b b i a m o gi~ i l lus t ra t i . I1 p r i m o vgle da a l te t e m p e r a t u r e sino 31 p u n t o X l i l secondo va le solo per t e m p e r a t u r e v ie in iss ime allo zero assolu to : pe r T ~ 10 -x~ ~ Nel campo d i temperature intermedfo, che ~ quello cara~,teristico dell'elio liquido secondo~ wde un terzo regime~ in cui ~. ha va lor i nega t i v i piccolissimi ~ N -t'~) e cor r i spon- d e n t e m e n t e v~le pe r E(~) l ' e spress ione :

4 (12) F(~) -= - - - 3 I/g.

N ( - - ~)~,'-- -b 2,612 ;

2

C,

i ! T/v,

F i g . 4 - - cv/R p e r u n g a s d l B O S E - E I N S T E I N ( d l a g r a m m a t e 0 r l c o ) .

- - 1 1 o -

quindi si ha :

N (13) V

'2~m]cT)~/~141h 3 V'~- N (-- ~)'k" -~- 2'6121

in cui il pr imo te rmme corrisponde a, ll~ (( fuse di t u t t i gli a tomi con velocit~ zero )) (f~se liquida di EInSTEIn), il secondo termine corrisponde all~ f~se gussos~.

t)oich6 dal calcolo risult~ un~ pressione solo fimzione della temperatur~ ( ~ T ~/~) e indipendente d,~l volume, possiamo concludere c.he qui si ha u che fare con un gas che si compor ts come un v~pore s~turo.

Inol t re il c~lore spccifico presenta un m~ssim0 prommciuto nel punto Z dopo il quale decresce con la legg'e T ~/:. (Tutt i questi risult~ti

Fig. 5 - - D l a g r a m m a teoric~) ne l p i ano (p, ~') del le i so te rme .

er~no st~ti pr inm trovati d~ Lo~'Do~). C% da osservare perb che qui non possiamo parlare a rigore d 'unu separa.zione in una f~se gussosa e in una fuse liqlfida, come a, vevn immagin~to EI'NSTEI:~.

-- III --

9. ~ Tutt,~via il cMcolo mostra the se si pensano gli a tomi sot- topost i all 'azione del eampo di gravit/b o all 'azione a t t r a t t i va d 'una parete, Mlora dall 'essere ~ cosi prossimo Mlo zero ne deriva una strati- fieazione del nOstro gas~ in eui la /ase ora studiat~ di vapore saturo si ri- duce a una pellieoht sotlil issima.

Questo, a mio parere, d~ un argomento per Finterpretazione del eosidetto ~( fenomeno iontana ,) ehe eonsiste nel fa t to seguente: se noi riscaldiamo (per es. i l luminandola con una lampadiaa tascabile) una vaschet ta contenente elio liquido I I e the pesca per un capillare ab-

BOBINA

RISCALDANTE

: ~ ~"LANA DI COTONE RAD|AZIONs ~ ~

POLVERE

DI SMERIGLIO

F i g . 6 --- SC|le~llt~ [tel" l ' e s p e r l e _ u z ~ d e l a f c n o m e n o fon tzCr l~ . .

bastanza lungo in un b~gno dello stesso liquido, il livello nella vasehe t ta tresee. Possiamo interpretarlo eosi: gli atomi nella vasehe t ta ten- dono ad andare in alto e quelli nel eapillare entrano nella vasehe t t a ; na tura lmente si potrebbe immaginare ehe viceversa gli a tomi della vasehe t ta potessero per avven tu ra penet ra te neI eapillare e eosi eom- pensare la pressione verso l 'alto dei primi a tomi. In altre parole si po- t rebbe pensare the il t rasporto di cMore avven/sse sia per mezzo di a tomi ealdi migranti dMl'alto verso il basso, sia per mezzo della migrazione inversa di atomi freddi dal basso verso l 'alto. Invece aeeade come

- - 1 1 2 - -

se in qu~lche mode esistesse uno scompenso tr,~ il b~sso e F~lto, qualche cos~ che funzion~ come un~ p~rete semipermeabile pos~u nel cupill~re. Mu noi s~ppiamo che sulle p~reti si uddensano gli atomi pifi freddi for- mando un~ pellicol~ di spessore valuta, bile sperimetltulmente ~ 10 -5 cm. Questu pellicol~ b quellu in cui la viscosit'~ b pr~ticamente zero. Quando non funTion~ 1~ sorgente di calore c'b equilibrio t ra l a v a , schett~ e il ba,gne~ seppure l'~git~zione termic~ nella, m~ssn del l iquido tend~ a far

Fig . 7 - - F o r e , t r a , l a in cu l sl v e d e lo z a m p l l l o d l e] lo l l qu ldo ("~'enomeno f o n t a n a . )

p r o v o c a t o | l l u m l n a n d o con u n a l a m p a d t n a t a s o a b l l e 11 e a p i l l a r e c o n t e n e n t e l ' e l i o l i q u l d o I I ,

~eCOlldO lo s c h e m a d e l l a f l g u r a 6.

scorrere in gener~le gli ntomi freddi lunge le pa, re~.i. Quando funzion~ la sorgente di c~lore; lo str~to superfici~le sulle pareti interne delia v~- schett~ b disperse d~l culore nelFinterno del liquido; o si pub dire: gli utomi di velocit'~ zero vengono eccita,~i e sollevuti in uno s ta te di energia cinetica maggiore. E ' ullor~ evidente che la migr~zione degli ~tomi freddi dal basso verso l '~lto non 5 pifi compensat~ da un ' ident icu migrazione dall '~lto verso il bo~sso: tun to pifl che questi a tomi freddi

- - 1 1 3 - -

bppena ,~rrivano nella v~schetta vengono risc~ld~ti, cio~ dis t ru t t i per quel che rig~mrd~ il lore possibile ri torno verso il basso~

Che torni questa spieg~zione, in eui dunque ~ essenzible il coneetto di un~ fase pih freddb bderente a.lle p~reti, si vede ~nche d~ quest 'Mtro mer~viglioso esperimento di )~ENDELSO~ e DAL~T : se noi immergi~mo (v. fig. 8) un tube, chiuso ~ll 'estremit~ inferiore, in un bbgno di elio I I il tube subito si riempie, finch~, come abbi~mo deft% il livello del tube raggiunge quello esterno. Se risc~ldi~mo il liquido nel tubo~ si vede subito che il livello cresce in questo. E ' chi~ro: orb cresce perch~ nel- l ' interno del tube ~ dispers~ d~l c,~lore tb pellicol~ superfiuidb ~derente

_ m

m m

_ m .

F i g . 8 . - - 3 ~ b e m ~ d e l l ' e s p e r l e n z ~ d l D A V N T e M E ~ D E L S O I t N .

Mle pa.reti che tende sempre ~ form~rsi di nuovo b spese degli atom[ che p~rtendo dbl liquido esterno si ~rrampica.no lunge l e p~reti del vetro esterno.

NuturMmente r imbne d~ dimostrbre lb superfiuidits di quest~ f~se sotto il punto ),. Orb ~ impor tan te che 1~ nostrb teori~ della degenerazione del gas di EI~STE~ permet ta (~pptmto perch~ ~ s ta te r ispet ta to il sue czrat tere semicl~ssico di teoria mecc~nico-stbtistic~) di calco- lbre, con i soliti metodi dellb teoria cinetic~ dei g~s~ la viscosits e lz eondueibilit~ termieb dell'elio liquido IL (I1 dott.. C. SALVETTI del nostro ist i tuto ha inizi~to e condotto a buon puato i cMcoli relativi).

SemDtat '$o Mttt . e F i8 , d~ M~lano - v o l X V 8

-- 114 --

Comunque non c~ dubbio che h~ fa, se. per cosi dire~ pifl fredda sia su-

p e r f l u i d ~ .

2 - \ > _ _

~ o J .

T

- - p

Fig . 9 - - Al~ro e s p e r l m e n t o dl DAUNT e MENDELSOItN:

1'~11o l i q u t d o II esee da l tubo p a s ~ a n d o ~ t t r a v e r s o g l i I n t e r s t i z i d e l l a p o i v e r e dt s m e r l g l i o P.

Coil |1 t e r m o m e t r o T s! c o n s ~ a t a un a u m e n t o di t e m p e r a t ~ r a .

Intanto~ anche cosi~ m i pare si possa concludere the gih cosi siamo arrivati a nuovi sicuri punt i di vista teorici, da cui si vedono sotto um~ luce pifl chiara questi fenemeni cosl complicati e ~mcora da investigare sperimentalmente.

Ed ~ questo in rondo, il compite del fisico teorico; 4are al fisico sperimentale degli elementi su cui interrogare i fenomeni.

C E N N I B I B L I O G R A F I C I

G. GENTILE, Osservazioni sopra le statistiche inte.rmedie. (~ I1 ~ 'uovo Cimento ,, di- cembre 1940.

G. GENTI~ , Sopra i~ #nomeno della conde~sazione del gas di Bose-Einstein. c(La Ri- c e r c a Scienti i lca ,, Anno X I I , 1941, n. 3.

•o P. ALLEN - Ho JONES, Liqu~ Helium. ,( Natu re ~, n. 143, 1939, pag. 227. DAUNT X~D MENDELSOH~ ~, The Transfer e~ect i,n liquid He. ~ Proceed. of the Roy,

Soc. ,, Vol. 170, 1939. ]:)AUNT A~ND MEND:ELSOHN, Trans]er e~ect. ~ Nat[u'e ,, n. t43, 1939, p a g . 719.

le statistiche intermedie e le proprietà dell’elio liquido

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