Bina Nusantara

Learning Outcomes

• Mahasiswa dapat menjelaskan tentang poset dan latice beserta hukum-hukumnya sehingga mhs mampu menggunakan dalam penyelesaian masalah.

Bina Nusantara

Outline Materi:

• Pengertian Poset & Lattice• Diagram Poset• Teorema Lattice• Sifat-sifat Lattice• Aplikasi Poset & lattice..

Bina Nusantara

Pengertian

POSET : Suatu relasi biner R pada himpunan S (R: S S) dikatakan partially order (terurut sebagian) jika relasi tersebut bersifat reflektif, anti simetri dan transitif. Himpunan S bersama relasi R disebut poset. Jadi (S,R) poset jika relasi R pada S reflektif, anti simetri dan transitif.

Bina Nusantara

Contoh :Relasi 'kurang dari atau sama dengan', relasi lebih dari atau sama dengan, dan relasi habis membagi pada himpunan bilangan bulat merupakan relasi yang terurut sebagian (partially ordered). Sehingga kita mempunyai poset-poset : (Z,), (Z,) dan (Z,). Secara umum notasi poset ditulis (S, ), relasi untuk mewakili semua relasi partially ordered.

Bina Nusantara

Dapat dibuktikan bahwa relasi-relasi , , merupakan relasi yang bersifat reflektif, anti simetri dan transitif.

KONSEP-KONSEP DI DALAM POSET: Beberapa konsep atau istilah matematika yang terkait dengan poset adalah: Upper Bound (ub) atau batas atas, supremum atau least upper bound (lub) atau batas atas terkecil, lower bound (lb) atau batas bawah, infimum atau great lower bound (glb) atau batas bawah terbesar.

Bina Nusantara

Istilah dalam Poset

UPPER BOUND : Misalkan (S, ) poset, H S, unsur S adalah upper bound atau batas atas dari himpunan H bila h untuk setiap h H.

LOWER BOUND : Bila (S, ) poset, himpunan K S, unsur S adalah lower bound atau batas bawah dari himpunan K bila k untuk setiap k K.

Bina Nusantara

Istilah dalam Poset (2)

SUPREMUM : Bila (S, ) poset, H S, S adalah supremum himpunan H jika batas atas terkecil (least upper bound = lub) dari H, atau dengan kata lain : batas atas H, dan tidak ada batas atas lain H sehingga .

INFIMUM : Bila (S, ) poset, himpunan K S, S adalah infimum himpunan K jika batas bawah terbesar (greatest lower bound = glb) dari K, atau dengan kata lain : batas bawah K, dan tidak ada batas bawah lain K sehingga .

Bina Nusantara

CONTOH : Misalkan poset S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18,

24} dengan relasi 'habis membagi' maka diagram Hasse dari poset tersebut adalah:

(Coba gambarkan dan diskusikan!!)

Bina Nusantara

Lattice

LATTICE: Suatu poset (S, ) sehingga setiap dua unsur S mempunyai lub (least upper bound = supremum) dan glb (greatest lower baund = infimum) yang tunggal disebut lattice. Pada contoh himpunan S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24} dengan relasi 'habis membagi' maka poset ini bukan lattice sebab ada {3, 6} yang memiliki dua lub yaitu 12 dan 18. Latiice S dengan relasi lub dan glb dapat dipandang sebagai suatu sistem (S, , ) dengan =relasi lub & =relasi glb pada setiap dua unsur pada S.

Bina Nusantara

Operasi Latticeavb = lub {a,b} dan a^b = glb {a,b}    SIFAT-SIFAT Lattice:  

~Komutatifavb = bva dan a^b = b^a~Asosiatif(av b) v c = a v (b vc) dan (a ^ b) ^ c = a ^(b ^ c)~Absorbsia v (a ^ b) = a dan a ^(avb) = a~Idempotenava = a dan a ^ a = a

Bina Nusantara

Macam2 Lattice1.bounded lattices2.distributive lattices3.complemented lattices

Berikan masing-masing contoh….beserta aplikasinya..

Bina Nusantara