lec02 - señales en tiempo discreto

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Señales en Tiempo Discreto

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

Procesamiento Digital de SeñalesDepartamento de Maestría

DICIS - UG

Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2

Índice

2.1. Introducción

2.2. Señales en tiempo discreto

2.3. Clasificación de las señales en tiempo discreto

2.4. Manipulaciones Simples de Señales en tiempo discreto

2.5. Tarea




IntroducciónDefinición: Una señal en tiempo discreto x(n) es una función de unavariable independiente entera. Gráficamente se representa como en laFigura 2. es importante destacar que una señal en tiempo discreto no estádefinida para instantes entre dos muestras sucesivas. Igualmente es inco-recto pensar que x(n) es igual a cero si n no es un entero, simplemente laseñal x(n) no está definida para valores no enteros de n.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

Figura 2. Representación gráfica de una señal en tiempo discreto


IntroducciónAdemás de la representación gráfica de una señal en tiempo discreto osecuencia como se ilustra en la Figura 2. existen otras representacionesalternativas que para fines de manipulación matemática. Los formatos másconvenientes a utilizar son:

a) Representación funcional

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧=

=

=

casootropara0

2para4

31para1

n

,n

n x

b) Representación tabular




Introducciónn ... -2 -1 0 1 2 3 ...

x(n) ... 0 0 0 1 4 1 ...

c) Representación como secuencia. Una señal de duración infinita con elorigen de tiempo (n = 0) indicado por una flecha se representa como

( ) { },...0,1,4,1,0,0...,=n x

2.2. Señales Elementales en Tiempo Discreto

En el estudio de sistemas y señales discretas en el tiempo existen variasseñales básicas que aparecen con frecuencia y juegan un papel importanteen el procesamiento digital de señales. Estas señales son:



1. El Impulso Unitario, está función está simbolizada como δ (n) y se define

( )

⎩

⎨⎧

≠

==

00

01

n

nnδ (1)

en otras palabras, el impulso unitario es una señal que siempre vale ceroexcepto para n = 0 donde vale uno.

Al contrario de la señal analógica δ(t ), que también se conoce comoimpulso unitario y siempre vale cero excepto cuando t = 0, donde tiene áreaigual a la unidad, la secuencia de respuesta al impulso en tiempo discreto esmucho menos complicada matemáticamente hablando que la respuesta alimpulso en señales continuas. La representación gráfica de δ(n) se muestraen la Figura 3-a




Señales en Tiempo Discreto2. La señal Escalón Unitario, se denota como u(n) y se define como

(2)( )⎩⎨⎧

<

≥=

00

01

n

nnu

en otras palabras, el escalón unitario es una señal que vale cero para todoslos valores negativos de n y uno para todo los valores positivos de n

incluyendo al cero. La representación gráfica del escalón unitario se

muestra en la Figura 3-b.Del mismos modo que en el caso de tiempo continuo, el escalón tiene unagran aplicación en el análisis de señales en tiempo discreto por lo cual esde gran interés conocer todas la propiedades del escalón unitario.



( )⎩⎨⎧

<

≥=

00

0

n

nnnur

3. La señal Rampa Unitaria, se denota como ur (n) y se define como

(3)

en otras palabras, la rampa unitaria es una señal que vale cero para todoslos valores negativos de n y n en cualquier otro caso. La representacióngráfica de la rampa unitaria se muestra en la Figura 3-c.

En algunas ocasiones, para valores negativos de n, la magnitud no es cero,sino que puede ser un valor negativo ó el modulo de n según se deseeponderar a dicha señal.





-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

5

10

Figura 2. (a) Impulso unitario, (b) Escalón unitario y(c) Función rampa unitaria


Señales en Tiempo Discreto4. Por último, se tiene a la Señal Exponencial, es una secuencia de laforma

( ) nan x = (4)

si el parámetro a es real, entonces x(n) es una señal real. Cuando el pará-metro a es complejo, este puede expresarse como

( )θ jr a exp≡ (5)

donde r y θ son ahora los parámetros de magnitud y fase. De aquí se puedeexpresar a x(n) como

( ) ( ) == θ jnr n xn exp ( )θ θ n jnr n sincos + (6)




Señales en Tiempo Discretodado que x(n) es ahora complejo, se puede representar gráficamentedibujando su parte real e imaginaria como función de n, es decir

θ nr n xn

R cos)( ≡

θ nr n x n

I sin)( ≡

(7a)

y

(7b)

En las Figuras 4, 5 y 6 se muestran tres gráficas correspondientes a la (5) o(6) para diferentes casos de r . Es decir, para r > 1, r < 1 y r = 1.



Figura 4. Parte real e imaginaria de una exponente compleja;r = 0.9 y θ = π /10





Figura 5. Parte real e imaginaria de una exponente compleja;r = 1 y θ = π /10



Figura 6. Parte real e imaginaria de una exponente compleja;r = 1.1 y θ = π /10




Señales en Tiempo DiscretoAlternativamente, la señal x(n) dada por (6) se puede representar gráfica-mente mediante la función amplitud, es decir

y la función fase

( ) nr n An x ≡=)(

(8)

( ) ( ) nnn x θ φ ≡=∠(9)

La Figura 7. muestra A(n) y φ (n) para r = 0.9 y θ = π /10. se observa que la

función fase es lineal con n. Sin embargo, la fase se define solo sobre elintervalo de –π < θ ≤ π ó equivalentemente, sobre el intervalo de 0 < θ ≤ 2π.

En la Figura 8 y 9 se muestran los casos en que la magnitud es r = 1 y r = 1.1con la misma fase.



Figura 7. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo,r = 0.9 y θ = π /10.





Figura 8. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo,r = 1 y θ = π /10.



Figura 9. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo,r = 1.1 y θ = π /10.




Clasificación de las Señales2.3. Clasificación de las señales en tiempo discreto

Los métodos matemáticos empleados en el análisis de sistemas y señalesen tiempo discreto dependen de las características de las señales. En estasección se realiza la clasificación de las señales en tiempo discreto queatiende a diferentes características.

1. Señales de Energía y Señales de Potencia

La energía E de una señal x(n) se define como

( )∑∞

−∞=≡

nn x E

2

(10)

Aquí se considera el modulo cuadrado de x(n); por tanto, esta definición seaplica tanto a señales reales como a señales complejas. La energía de unaseñal puede ser finita o infinita.


Clasificación de las SeñalesSi E tiene energía finita (es decir, E < ∞), entonces se dice que x(n) es unaseñal de energía.

Algunas veces se añade un subíndice x a E y escribamos E x para hacerhincapié en que E x es la energía de la señal x(n). Muchas señales que poseenenergía infinita tienen potencia media finita. La potencia media de una señal

discreta en el tiempo x(n) se define como

( )∑−=

∞→ +=

N

N n N

n x N

P2

12

1lim (11)

Retomando la (10), si se define a la energía de una señal x(n) en unintervalo definido entre – N ≤ n ≤ N (señal finita) entonces, la energía es

( )∑−=

≡ N

N n

N n x E 2

(12)




Clasificación de las Señalessustituyendo la (12) dentro de (11) se obtiene la potencia media de la señalfinita x(n)

P

N N

E N

P12

1lim

+=

∞→(13)

Claramente, si E N es finita, = 0. Por otra parte, si E N es infinita, lapotencia media puede ser tanto finita como infinita. Si es finita (y diferentede cero), la señal se denomina señal de potencia.

Ejemplo 1. Se tiene las siguientes señales discretas, definir si su energía esfinita ó infinita.

( )⎩⎨⎧

<

≥=

00

11

n

nn x

na) ( )⎩⎨⎧

<

≥=

00

11

n

nn x nb)


Clasificación de las Señales

∑∞

=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =

1

21

n n E

Aplicando la (10) se obtiene

( ) ( )( )( )!22211

2

2

21

12

k B

n

k

k

k k

nk π

−∞

=−=∑

donde B(2k) son los números de Bernoulli los cuales están definidos como:

6

2π = E

B0 = 1; B1 = -1/2; B2 = 1/6; B4 = -1/30; B6 = 1/42; B8 = -1/30; B10 = 5/66

aplicando

Para k =1 se obtiene





( )⎩⎨⎧

<

≥=

00

11

n

nn x nb) =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = ∑=

2

1

1 N

n n E

La gráfica de energía crece en forma monótona por lo cual, la serie esdivergente, y por lo tanto, la señal x(n) posee energía infinita. . E = ∞

Por lo tanto, como la serie es convergente, implica que la señal x(n) posee energía finita con potencia promedio cero.

=+

=∞→ 12

lim 62

N P

N

π

0y

∑=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ N

n n1

1

= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …


Clasificación de las SeñalesLa potencia promedio de la señal x(n) es

Por lo tanto, como la serie es convergente, implica que la señal x(n) posee energía infinita con potencia promedio cero.

=⋅+

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ++++

+=

∞→∞→ N N N N P

N N

112

1lim

1...

31

21

112

1lim 0

( )( )

⎩⎨⎧

<

≥−=

00

013

n

nn x

n

Ejemplo 2. Determine la potencia de la siguiente señal causal.

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

−=−=0

22

0

1913n

n

n

n E





E N

P N 12

1lim

+=

∞→

5.4=P

( )∑=

+−= N

mn

m N k k 1aplicando

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

= ∑=

∞→

N

n N N

P0

1912

1lim

Por definición se tiene que:

Entonces, se llega a:

( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

++≅+

+=

∞→∞→ 125.45.4lim1

129lim

N N

N P

N N



El valor más pequeño de N para que (14) se verifique se denomina periodofundamental. Si (14) no se verifica para ningún valor de N , entonces la señal x(n) se denomina señal periódica ó no-periódica.

2. Señales Periódicas y No-Periódicas

Una señal x(n) es periódica con periodo N ( N > 0) si y solo si

)()( n x N n x =+ (14)

Ejemplo 3. Determine si la siguiente señal discreta es una señal periódicao no periódica

( ) 0cos ω nn x =a) b) ( ) )(nun x =

Se puede ver que:





)()( n xn x =− (15)

3. Señales Simétricas (Par) y No-Simétricas (impar)

Una señal real x(n) se denomina simétrica (par) si y solo si

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =

T

nn

π ω

2coscos 0

Por lo tanto, para cualquier valor de n = 0, ±1, ±2, … la señal x(n) esperiódica. Por otro lado, para resolver el inciso b) se puede ver que estaseñal carece del factor ω0 por lo que, por definición es una señal no-periódica.



por otra parte, una señal x(n) se denomina antisimétrica (impar) si y solo si

)()( n xn x −=− (16)

En la Figura 10 se representan señales con simetría par e impar. Una señalarbitraria puede expresarse como la suma de dos componentes, una de lascuales es par y la otra impar. La componente par de la señal se construyesumando x(n) y x(–n) y dividiendo entre dos, es decir

[ ])()(21

)( n xn xn x p −+= (17)

Claramente, x p(n) satisface la condición de simetría (15). De forma similar,se forma la componente impar de la señal de acuerdo a la siguiente relación





Figura 10. Representación de una a) Señal Par y b) Señal Impar



[ ])()(21

)( n xn xn xi −−= (18)

( ) ( ) ( )n xn xn x i p +=

Es evidente que xi(n) satisface a (16); por tanto, es impar. Si ahora se añadelas dos componentes de la señal dadas por (17) y (18), se obtiene a x(n) es

decir

(19)

Ejemplo 4. Determine si las siguientes señales son del tipo par ó impar

( ) 0cos ω nn x =a) b) ( ) )sin( 0ω nn x =




Clasificación de las Señales( ) 0cos ω nn x =a) ( ) ( )00

21 ω ω jn jn

een x−+=

( ) ( )0cos ω nn x −=− ( ) ( )00

21 ω ω jn jn

een x +=− −

( ) ( )n xn x =−

0cos ω n=

Señal Par

b) ( ) 0sin ω nn x = ( ) ( )00

21 ω ω jn jn

ee j

n x−−=



( ) ( )0sin ω nn x −=− ( ) ( )00

21 ω ω jn jn

ee j

n x −=− −

( ) ( )n xn x −=−

0sin ω n−=

Señal Impar

Simplificando se llega a

( ) ( )00

21 ω ω jn jn

ee j

n x−−−=−




Manipulación de las Señales2.4. Manipulaciones Simples de Señales en Tiempo Discreto

En esta sección se considera algunas manipulaciones simples en las queintervienen la variable independiente y variable dependiente.

2.4.1. Transformación de la variable independiente

Una señal x(n) puede ser desplazada en el tiempo remplazando la variableindependiente n por n– k , donde k es un entero.

Si k es un entero positivo, el desplazamiento temporal resulta en un retrazodel origen (flecha) de la señal en k unidades de tiempo.

Por el contrario si k es negativo, el desplazamiento temporal resulta en unadelanto del origen (flecha) de la señal en |k | unidades de tiempo.

)()( k n xn y −= – ∞ < n < ∞ k > 0 (20)


Manipulación de las SeñalesEjemplo 3. se tiene una señal discreta x(n) como

x(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}

la cual ha tenido una transformación a través de (20), donde la constante k

tiene los siguientes valores: a) k = 3, b) k = – 2.

a) para k = 3 se tiene y(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}

b) para k = – 2 se tiene y(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}

La representación gráfica del desplazamiento hacia delante y hacia atrásse muestra en la Figura 11, junto a la señal original.




Manipulación de las Señales

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

0

2

4Señal Discreta Original

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-2

0

2

4Para k = 3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6-2

0

2

4 Para k = -2 Figura 11.Representación gráficade una señal y susversiones adelantada yretrazada


Manipulación de las Señales2.4.2. Inversión temporal.

Esta operación es de gran utilidad en el tratamiento de señales discretasen donde son hay que remplazar a la variable independiente n por – n. Elresultado de esta operación es un pliegue o una reflexión de la señal con

respecto al origen de tiempo n = 0, es decir,( ) ( )n xn y −= (21)

Ejemplo 4. se tiene una señal discreta x(n) como

x(n) = {0, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 0}

la cual ha tenido dos transformaciones, las cuales son: y1(n) = x(–n) y y2(n)= x(–n + 2), determine su grafica correspondiente para cada caso.




Manipulación de las Señalesa) y1(n) = {0, 0, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0}

b) y2(n) = {0, 0, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0}

2.4.3. Escalado

Una tercera modificación de la variable independiente implica remplazar an por µn, siendo µ un entero. Se conoce a esta modificación de la basecomo escalado temporal o submuestreo, es decir,

– ∞ < n < ∞ (22)

En la Figura 12 se muestra dichas reflexiones y corrimientos.

( ) ( )n xn y µ =



-6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 60

1

2

3

4y(n) = x(-n)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

1

2

3

4y(n) = x(-n+2)

Figura 12. Gráfica de lasoperaciones de reflexión ydesplazamiento




Manipulación de las SeñalesEjemplo 5. Obtenga la representación gráfica de la señal y(n) = x(2n),donde x(n) es la siguiente señal discreta

x(n) = {0, 0, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0}

La forma de solucionar el problema es la siguiente: la señal y(n) se debeobtener a partir de x(n) tomando una de cada dos muestras de x(n),comenzando en x(0). Por lo tanto, y(0) = x(0), y(1) = x(2), y(2) = x(4) y así sucesivamente hasta completar las muestras. Por otra parte, se tiene quepara y(–1) = x(–2), y(–2) = x(–4), y(–3) = x(–6) y así sucesivamente. Enotras palabras, se han eliminado las muestras impares de x(n) y seconservan las pares. La secuencia final y(n) se muestra a continuación

y(n) = {0, –2, 0, 2, 4, 4, 4, 4, 0, 0}



-10 -5 0 5 10 15-4

-2

0

2


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

0

2

4Señal Submuestreada

Figura 13. Ilustración gráfica de la operación de submuestreo




Manipulación de las Señales2.4.4. Escalado de Amplitud.

El escalado de amplitud de una señal por una constante A se obtienemultiplicando el valor de cada muestra de la señal por la constante. Así,obtenemos

( ) ( )n Axn y = (23)– ∞ < n < ∞

2.4.5. Suma.

La suma de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo valor en

cualquier instante es igual a la suma de los dos valores en ese instante delas dos señales de partida, es decir

( ) ( ) ( )n xn xn y 21 += (24)– ∞ < n < ∞


Manipulación de las Señales2.4.6. Multiplicación.

El producto de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo valor sedefine análogamente en cada instante de tiempo como

( ) ( ) ( )n xn xn y 21=– ∞ < n < ∞ (25)

Ejemplo 6. Si se tienen dos secuencias finitas de señales discretas lascuales se muestran a continuación

x1(n) = {–1, 0.6, –2, 1, 1.5, 1, 2, 0.6, 1}

y

x2(n) = {1, 3, –3, 3, 2, 1, 2, 3, –3, 3, 2}




Manipulación de las Señalesrealice la suma, multiplicación y escalado de ambas secuencias como (23),(24) y (25), como y3(n) = Ax1(n) siendo A = 2. Realice también susgráficas de cada operación correspondiente.

La suma de dos secuencias discretas se debe de realizar en forma indivi-dual por cada muestra n que tenga la secuencia. Si una secuencia tiene unalongitud más grande que la otra, se deberá llenar con ceros.

a) y1(n) = {-1, 1.6, 1, -2, 4.5, 3, 3, 2.6, 4, -3, 3, 2}

Del mismo modo, para el problema de la multiplicación se debe realizar lamultiplicación por cada muestra n que tenga la secuencia. Si una secuenciatiene una longitud más grande que la otra, se deberá llenar con ceros.

b) y2(n) = {0, 0.6, -6,-3, 4.5, 2, 2, 1.2, 3, 0, 0, 0}



Finalmente, como A = 2, entonces solo se multiplica esta constante porcada uno de los elementos que contenga la secuencia discreta x1(n),

c) y3(n) = {-2, 1.2, -4, 2, 3, 2, 4, 1.2, 2}





Figura 14. Ilustración gráfica de las operaciones de a) suma,b) multiplicación y c) escalado


Tarea2.5. Tarea:

( ) ( )n xn y −= 42( ) ( )21 −= n xn y

( ) ( ) ( )314 −−= nn xn y δ ( ) ( )23 += n xn y

1. Dibuje cada una de las siguientes señales discretas x(n) = {1, 2, 3, 0, 0,1, 2, 1,}

2. Determine las propiedades de las siguientes señales discretas x(n) = {1,2, 1, 1, 1, 1,}

( ) ( )n xn x −= 42( ) }2,7,0,11,2,3,2,1,0,2{1 −−−=n x

( ) ( )∑=

=n

k

k xn x1

3( ) ( )24 += n xn x




Tarea3. Realice las siguientes operaciones (realice la gráfica de cada uno)

( ) { }4,5,1,2,2,0,3,2,1,5,41 −−−=n x

( ) { }2,0,0,1,5,3,4,22 −−=n x

( ) ( ) ( )n xn xn y 211 += ( ) ( ) ( )n xn xn y 212 = ( ) ( ) ( )n xn xn y 213 25 +=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]n xn xn xn y 2114 3+=4. Realice el código en Matlab® que pueda realizar la reflexión, desplaza-miento, escalonado, multiplicación, sub-muestreo y suma de dos secuenciascualesquiera de diferentes longitudes.

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