PROGRAMACION LINEAL

El objetivo principal del tema es al finalizar la lectura, usted estar en la capacidad de formular modelos de programacin lineal y su solucin mediante el mtodo grfico para modelos con dos variables de decisin.En este texto gua de programacin lineal a partir de nuestra experiencia en la enseanza de los mtodos cuantitativos aplicados a las diferentes reas como son las ingenieras, la industria, la economa, la administracin, la medicina, la Biologa, en el campo militar, educacin, organizaciones sociales etc., buscamos que el alumno aprenda el concepto de modelo matemtico y, lo ms importante, la construccin de modelos pues sin los modelos matemticos no tienen sentido la existencia de paquetes de computacin para resolver los modelos. Desde este punto de vista nuestra preocupacin se centra en ensear a nuestros estudiantes cmo construir modelos, aunque es verdad que la construccin de modelos es un arte que se logra con la prctica.La idea fundamental es que el estudiante se familiarice con el tema, para ello deber dedicarse con mucho esmero a cada unidad, tanto en lo que respecta a su teora como a los ejemplos, y siempre buscar informacin adicional.Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la divisin de trabajo y la separacin de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin embargo esta revolucin cre nuevos problemas que se presentan hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los componentes a convertirse en imperios relativamente autnomos, con sus propias metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigacin de Operaciones.Para determinar los modelos de programacin lineal, debemos tener conocimientos de temas introductorios, tales como, definir los nmeros reales, conocer y desarrollar ecuaciones e inecuaciones, estos puntos son importantes a las aplicaciones especiales de la programacin lineal.

SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESEn trminos sencillos, un conjunto es una coleccin de objetos. Por ejemplo, podemos hablar del conjunto de nmeros pares entre 5 y 11, es decir 6, 8 y 10. Un objeto de un conjunto se conoce como elemento o miembro de un conjunto.Una manera de especificar un conjunto es hacer una lista de sus elementos, en cualquier orden, dentro de llaves, por ejemplo el conjunto anterior es {6, 8,10}, que podemos denotar por medio de una letra, como A. Un conjunto A se dice que es un subconjunto de un conjunto B si y solo si todo elemento de A es tambin un elemento de B. por ejemplo, si A = {6, 8, 10} y B = {6, 8, 10, 12}, entonces A es un subconjunto de B. Ciertos conjuntos de nmeros tienen nombres especiales, como:

El conjunto de nmeros racionales pueden representarse: Por decimales que terminan, por ejemplo:

Por decimales repetidos que no terminan (un grupo de dgitos que se repiten sin fin), por ejemplo:

Un nmero racional puede ser un nmero entero. Un nmero entero positivo puede ser un nmero natural

El conjunto de nmeros irracionales pueden representarse por decimales no repetidos que no terminan. Un numero irracional no puede escribirse como un entero dividido entre un entero. Los nmeros irracionales pueden ser:

Los nmeros reales forman un conjunto de nmeros racionales e irracionales. Los nmeros reales pueden representarse por puntos en una recta:

- .. -3 -2 -1.5 -1 0 0.5 1 2 3 ..+

Se llama sistema de los nmeros reales a un conjunto IR, dotado por dos operaciones de composicin interna; adicin (+), multiplicacin (.) y una relacin de orden denotado por x + 2TEOREMAS DE DESIGUALDADES:

Este teorema afirma dos cosas:

INTERVALOS: i) Intervalo cerrado: ii) Intervalo abierto: iii) Intervalo abierto en a y cerrado en b: iv) Intervalo cerrado en a y abierto en b : v) Intervalos infinitos: vi) Intervalos infinitos: vii) Intervalos infinitos: INECUACIONES POLINOMICASSi tenemos una inecuacin polinmica en una variable, ordenada de la forma:puede factorizarse:, entonces las desigualdades siguientes podemos resolverlo mediante dos casos para encontrar sus respectivas soluciones:CASO I: Si entonces la solucin es la unin de los intervalos negativos. - r1 r2 r3 .. rn-1 rn + + - + -+ -+

CASO II: Si Entonces la solucin es la unin de los intervalos positivos. - r1 r2 r3 .. rn-1 rn + + - + -+ -+

a) Una constructora trata de decidir cul de dos modelos de gra comprar. El modelo A cuesta $50 000 (dlares) y necesita $4 000 anuales por mantenimiento. El modelo B cuesta $40 000 y sus costos anuales de mantenimiento son de $5 500. Durante cuntos aos debe usarse el modelo A para que sea ms econmico que el B?b) La seora Flores tiene $10000 que quiere invertir, una parte al 6% y el resto al 8%. Si ella desea un ingreso anual por intereses de al menos $780. Cul es la cantidad mnima que debe invertir al 8%? c) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $2.50 cada unidad. La fabricacin de las correas por la empresa incrementara sus costos fijos en $1500 al mes, pero slo le costar $1.70 fabricar cada correa. Cuntas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricacin de sus propias correas? d) La seora Jimnez quiere invertir $60000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el gobierno que ofrecen un inters del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 10% de inters. Qu cantidad mnima deber invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba un ingreso anual de al menos $5500? FUNCION LINEAL

y y = ax + b

x

Ejemplo:

Df = IRRf = IR

PROGRAMACION LINEAL

2.FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL (P. L)La programacin lineal utiliza un modelo matemtico para representar el problema que se estudia. La palabra lineal en el nombre se refiere a la forma de las expresiones matemticas de este modelo. Programacin no se refiere a la programacin en computadora; ms bien es, en esencia, un sinnimo de planear. As, la programacin lineal significa planeacin de actividades representada por un modelo matemtico lineal.El til desarrollo actual de la PL para los negocios y la industria, se atribuye al doctor George D. Dantzig, un matemtico que present su mtodo Simplex, como un procedimiento sistemtico para resolver un problema de programacin lineal. Durante el ao de 1947, George Dantzig (con Marshall Wood y sus asociados), se ocup de un proyecto en la Fuerza Area de los Estados Unidos, el cual dio por resultado la bsqueda de una tcnica capaz de resolver los problemas de planeacin militar. La esencia de esas investigaciones consiste en considerar las interrelaciones entre las actividades de una gran organizacin como un modelo de PL, y determinar el programa de optimizacin minimizando (o maximizando) una funcin objetivo lineal. Dantzig indic que ese nuevo enfoque tendra amplias aplicaciones en los problemas de los negocios, como ocurre actualmente. La programacin Lineal se usa en las siguientes reas

Programacin de refineras de petrleo Distribucin de productos Planeamiento de la produccin Estudio de mercados Planeamiento de inversiones Problemas de transporte Problemas de dietas, etc.

2.1 DEFINICIN DE PROGRAMACIN LINEALLa programacin lineal es una tcnica matemtica que nos permite determinar la mejor asignacin de los recursos limitados de la empresa de tal manera que la funcin objetivo debe maximizarse o minimizarse cuando se consideran un conjunto de restricciones.2.1.1 Conceptos bsicosPara resolver problemas de Investigacin de Operaciones por medio de PL. debemos primero explicar las caractersticas comunes de todos los modelos de PL y las suposiciones matemticas que se aplican a ello: Funcin Objetivo. La programacin lineal es un proceso de optimizacin. Con una sola funcin objetivo la cual se expresa matemticamente lo que se intenta maximizar (por ejemplo las ganancias o utilidades) o minimizar (por ejemplo, los costos o el desperdicio) en cada caso. Variable de decisin. Representa aquellas selecciones que estn bajo el control de la persona que toma las decisiones. Resolviendo el problema se obtienen sus valores ptimos.Las variables pueden ser endgenas (aquellas que el modelo trata de explicar y se conocen tambin como variables dependientes) o exgenas. (aquellas fuerzas exteriores al modelo y cuyas magnitudes intervienen como datos y tambin se les denomina variables independientes). Estas dos expresiones tienen sentido nicamente dentro del contexto de un modelo especfico, pues una variable endgena en un modelo dado, puede muy bien ser exgena en otro.Por ejemplo, una variable de decisin podra ser el nmero de unidades de un producto que se deben fabricar en el siguiente mes.La programacin lineal se basa en la suposicin de que las variables de decisin son continuas. Restricciones. Son limitaciones que restringen las selecciones permisibles para las variables de decisin. Cada limitacin puede expresarse matemticamente en cualquiera de estas tres formas: Restriccin menor igual que () impone un lmite superior a cierta funcin de las variables de decisin. Por ejemplo, el nmero mximo de clientes a los cuales es posible atender. Restriccin mayor igual que () impone un lmite inferior a cierta funcin de las variables de decisin. Por ejemplo, la produccin de cierto producto debe exceder o igualar a la magnitud de la demanda. Restriccin igual que () Por ejemplo, que el inventario final siempre debe ser igual al inventario inicial ms la produccin menos las ventas. Regin factible. Todo problema de PL debe tener una o varias restricciones. Consideradas en conjunto, esas restricciones definen una regin factible, la cual representa todas las combinaciones permisibles de las variables de decisin. En la mayor parte de los casos la regin factible contiene un nmero muy grande de soluciones posibles. La meta de la persona que toma decisiones consiste en encontrar la mejor solucin. Parmetro. La funcin objetivo y las restricciones son funciones de las variables de decisin y los parmetros. Un parmetro, tambin llamado coeficiente o constante se conocen con certidumbre. Por ejemplo, un programador de computadoras puede saber de antemano que la ejecucin de un programa de software requerir tres horas, ni ms ni menos. Linealidad. La funcin objetivo y las ecuaciones de restriccin son lineales. La linealidad implica proporcionalidad y aditividad; no puede haber en ella productos ni potencias (por ejemplo, ) de las variables de decisin. No negatividad. Significa que las variables de decisin deben ser positivas o cero. Por ejemplo, una empresa que fabrica autos jams podr producir un nmero negativo de autos.

2.2 CONJUNTO CONVEXOUn conjunto de puntos Xi del espacio n dimensional En forman un conjunto convexo, si dado 2 puntos X1 y X2 del conjunto Xi, entonces todos los puntos contenidos en el segmento de recta ( n dimensional ) que se obtiene al unir X1 y X2 estn en Xi.Tambin puede definirse, un conjunto convexo, como aquel que tiene la propiedad de que, para cualquier par de puntos pertenecientes al mismo, el segmento que los une tambin se encuentra dentro del conjunto.Obviamente una lnea recta se ajusta a esta definicin y constituye un conjunto convexo. Por convencin se considera que un punto nico, tambin es un conjunto convexo.

j a c d b .efh i lmk a) b)

c)d)

El conjunto convexo (c.c.) est dado por la interseccin de los planos que forman todas las desigualdades y ecuaciones que conforman un modelo, siempre y cuando no tengan bordes dentados u orificios.En general, para ser convexo, el conjunto de puntos no debe contener orificios, y su borde no debe ser dentado en ningn lugar.

TEOREMA 1: El conjunto de todas las soluciones posibles al problema de P.L., es un conjunto convexo.TEOREMA 2: La funcin objetivo alcanza su mximo o mnimo en un punto extremo del conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de P.L. Por lo expuesto tendremos nicamente que investigar los puntos extremos del polgono convexo y buscar aquel punto que proporcione el mayor (menor) valor para la funcin objetivo y obtendremos as la solucin buscada.Graficacin de ecuaciones y desigualdades linealesCuando se grafica una ecuacin, se genera una recta sobre el eje de coordenadas. Las desigualdades generan un plano al graficarlo sobre el eje de coordenadas.Pasos para la graficacin de una desigualdad:a.Tomar de la desigualdad, la parte de la ecuacin, para determinar dos puntos que permitan graficar una recta, que sera el lmite del plano.En el caso, de que en la ecuacin el trmino constante fuese cero, la recta pasa por la intercepcin de los ejes. Por lo tanto uno de los puntos sera (0,0).El otro punto se obtendra dando un valor diferente de cero a una de las variables.Si la constante, fuese diferente de cero, se procede de la siguiente manera:Para el primer punto, se hace cero una de las variables y se despeja la otra variable.Para el segundo punto, se hace cero la otra variable, y se despeja para la variable que queda pendiente.b.Determinacin del plano que da la desigualdad.Se escoge un punto de prueba, debajo o sobre la recta y se verifica si satisface la desigualdad.Si satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado que se encuentra el punto de prueba escogido.Si no satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado contrario a donde se encuentra el punto de prueba con respecto a la recta o lmite del plano.

2.3. FORMULACIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL2.3.1 Identificacin de las variables de decisinEl primer paso en la formulacin del problema es identificar las variables de decisin, a menudo simplemente llamadas variables, una vez determinados, proporcionan la solucin al problema.CARACTERSTICA CLAVEPautas generales para identificar variables de decisinQu elementos afectan los costos y/o ganancias (en genera, el objetivo global)Qu elementos puede elegir y/o controlar libremente?Qu decisiones tiene que tomar?2.3.2 Identificacin de los datos del problemaLa finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las variables de decisin que ha identificado. Se requiere conocer cierta informacin para ayudar a determinar esos valores2.3.3 Identificacin de la funcin objetivo Expresar el objetivo organizacional global en forma matemtica usando las variables de decisin y los datos conocidos del problema. La funcin objetivo se crea en tres etapas: Establecer la funcin objetivo en forma verbal. Donde sea adecuado descomponer el objetivo (por ejemplo, suma, diferencia). Expresar las cantidades individuales matemticamente usando las variables de decisin y otros datos conocidos en el problema2.3.4. Identificacin de las restriccionesLas restricciones son condiciones que las variables de decisin deben satisfacer para constituir una solucin aceptable. Las restricciones por lo general surgen de: Limitaciones fsicas (por ejemplo, el nmero limitado de horas de trabajo) Restricciones impuestas por la administracin ( por ejemplo, demanda del producto) Restricciones externas (por ejemplo, la empresa no puede vender ms de cierta cantidad en el mercado) Relaciones implicadas entre variables (por ejemplo, en un problema de inversin la proporcin de dinero a invertir debe sumar 1.Modelo de Programacin Lineal

Sujeto a las restricciones estructurales

Y las restricciones de no negatividad

Observaciones

i) son valores que se asume conocidos

ii)son variables de decisin que se desea hallar, de tal manera que optimicen ()

iii) la ecuacin () se conoce como funcin objetivo

iv) la ecuacin () se conoce como conjunto de restricciones

v) la ecuacin () se conoce como variables de decisin

2.4. MTODO GRFICO O MTODO GEOMTRICO DE SOLUCINEs una tcnica que permite encontrar la solucin de modelos muy sencillos con dos variables de decisin y a pesar de que casi todos los problemas reales tienen ms de dos variables de decisin. Sirve en realidad para proporcionar una base intuitiva que facilita el aprendizaje de soluciones de modelos ms complejos por otros mtodos.

Objetivo: Establecer la naturaleza de un problema de programacin lineal, introduciendo la terminologa asociada con el y resolverlo geomtricamente.

2.4.1. Graficacin de ecuaciones y desigualdades lineales

Cuando se grafica una ecuacin, se genera una recta sobre el eje de coordenadas.Las desigualdades generan un plano, al graficarlo sobre el eje de coordenadas.

Pasos para la graficacin de una desigualdad:

a.Tomar de la desigualdad, la parte de la ecuacin, para determinar dos puntos que permitan graficar una recta, que sera el lmite del plano.En el caso, que la ecuacin el trmino constante fuese cero, la recta pasa por la intercepcin de los ejes. Por lo tanto uno de los puntos sera (0,0).El otro punto se obtendra dando un valor diferente de cero a una de las variables.Si la constante, fuese diferente de cero, se procede de la siguiente manera:Para el primer punto, se hace cero una de las variables y se despeja la otra variable.Para el segundo punto, se hace cero la otra variable, y se despeja para la variable que queda pendiente.b.Determinacin del plano que da la desigualdadSe escoge un punto de prueba, debajo o sobre la recta y se verifica si satisface la desigualdad.Si satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado que se encuentra el punto de prueba escogido.Si no satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado contrario donde se encuentra el punto de prueba con respecto a la recta o lmite del plano.

EjemplosA.REGION FACTIBLE NO ACOTADAa.Formulacin de dieta Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de protenas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de protenas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de protenas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B $0.80 por unidad, Cuntas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo?cul es el costo mnimo?SOLUCINCarbohidratosProtenasCostos

Alimento A241.2

Alimento B210.80

Rendimiento1620

Variables de decisinSea X1 en N de unidades de alimentos A comprarSea X2 en N de unidades de alimentos B comprarF.O costo min Z = 1.2 X1+0.8 X2Sa.2X1+2X2 >= 16requerimento mnimo de carbohidratos4X1+1X2 >=20requerimento mnimo de protenasX1, X2 >=0Tabulando para cada una de las rectas, pues usted sabe que por dos puntos pasa una rectaL1: 2X1+2X2 = 16

X1X2

08(0,8)

80(8,0)

L2: 4X1+1X2 =20

X1X2

020(0,20)

50(5,0)

88520Regin Factible no acotadaL1: 2X1+2X2 = 16L2: 4X1+1X2 >=20

Punto L1 L2

(0,0)2X1+2X2 = 16resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: X1=4X2=44X1+1X2 =20Reemplazando en Z = 1.2 X1+0.8 X2

En el punto (0,20) Z= 1.2 (0)+0.8 (20) = 16En el punto (4,4) 1.2 (4)+0.8 (4) =8En el punto (8,0) 1.2 (8)+0.8 (0) = 9.6Respuesta: Z min. ptimo = 8 con un plan de compra:X1: 4 unidades del alimento AX2: 4 unidades del alimento A

Observaciones Asumamos que el modelo matemtico del problema anterior (1) se desea maximizar, es decir:F.O max Z = 1.2 X1+0.8 X2Sa.2X1+2X2 >= 16requerimento mnimo de carbohidratos4X1+1X2 >=20requerimento mnimo de protenasX1, X2 >=0

La grfica sigue siendo la misma y los puntos tambin Decir que el valor mximo de Z = 1.2 X1+0.8 X2 es en el punto (0,20) con z=16 es completamente falso pues otro punto en la regin factible no acotada como por ejemplo en: (8,20) nos da un z=25.6, y en (100,0) nos da un Z=120, es claro que cuando (X1,X2 ) aumentan o toman otros valores dentro de la regin factible no acotada, tambin lo hace Z. Por la tanto, ningn punto factible maximiza Z, de modo que no existe solucin optima. En este caso decimos que la solucin es no acotada

B. SOLUCIN MLTIPLE

b.Resolver grficamente

s.a

Solucin:

tabulamos si : tenemos (0,4)

tenemos (4,0)

Observamos que tiene soluciones ptimas alternativas en el punto (2,2) = () y (4,0)= para los cuales Z mximo = 4

C. REGIN FACTIBLE VACA

El ejemplo siguiente ilustra una situacin en la que no que existe solucin ptima

c.-s.a.

Un punto factible debe tener , estar sobre la recta superior o por encima de y sobre o por debajo de la recta inferior . Sin embargo, no existen tales puntos. De aqu que la regin factible sea vaca y, por lo tanto, este problema no tenga solucin ptima.Siempre que la regin factible de un problema de P.L. sea vaca, no existe solucin ptima.

D. SOLUCIN PTIMA NICA

s.a

Solucin: por dos puntos pasa una recta entonces:

tabulando si: tenemos (0,3)

tenemos (4,0)

tabulando si: tenemos (0,3)

tenemos (4,0)

Resolviendo el sistema de ecuaciones es decir:

y se obtiene Observacin: Payoff = funcin objetivo

E.- Un fabricante de juguetes prepara un programa de produccin para dos nuevos juguetes, cosas y cositas, utilizando la informacin concerniente a sus tiempos de produccin dados en la tabla que sigue. Por ejemplo, cada cosa requiere de 2 horas en la mquina A. Las horas disponibles empleadas por semana son: Para operacin de la mquina A, 70 horas; para B, 40 horas; para terminado, 90 horas. Si las utilidades en cada cosa y cada cosita son de $4 y $6, respectivamente, Cuntos de cada juguete debe producir por semana con el fin de maximizar la utilidad? Cul sera la utilidad mxima?Mquina AMquina BTerminado

Cosa 2 horas1 hora1 hora

Cosita1 hora1 hora3 horas

Variables de decisin:

Sea: X1 el numero de juguetes a producir del juguete cosa X2 el nmero de juguetes a producir del juguete cosita

Maximizar Z = 4 X1 + 6 x2

s.a2 X1 + 1 x2