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Lei de Gauss IIRevisão: Aula 2_2Física Geral e Experimental IIIProf. Cláudio Graça
Revisão• Cálculo vetorial
1. Produto de um escalar por um vetor2. Produto escalar de dois vetores3. Lei de Gauss, fluxo através de uma superfície, analogias4. Exemplos e aplicações da Lei de Gauss 5. Lei de Gauss aplicada aos condutores
(continuação)
Lei de Gauss: Fluxo e linhas de campo• O número N de linhas de campo que atravessam a
superfície fechada é proporcional à carga Q contida no volume limitado por essa superfície.
• N(Linhas de campo -E) para uma carga Q no interior da superfície.
Q Coulombs ⇒ α Ν número de linhas
Linhas de campo elétrico
8C
Quantas linhas de campo atravessam a superfície externa?
8C ⇒ 8 linhas
16C ⇒ 16 linhas
16C32C 32C ⇒ 32 linhas
Analogia de Integrais de Área
Esta área fica mais molhada!
Integrais de Área – veja o fluxo?
Esta área molha mais!
dsds
Chuvachuva
Integrais de área – calcule o fluxo de água!
ds
ds
chuva chuva
As áreas são as mesmas, mas o ângulo entre a velocidade da chuva e o vetor que representa a área…
Integrais de área – calcule o fluxo de água!
ds
ds
Chuva, v
Chuva, v
Casos extremosa 180° - fluxo máximo!!a 90°, fluxo nulo!!
Fluxo de chuva através da área ds
• Fluxo = v.ds (Fluxo= vazão m3/s)– |v||ds|cos(θ)– vds cos(θ)
• Fluxo = 0 para 90° … cos(θ) = 0• Fluxo = -vds para 180° … cos(θ) = -1
• Geralmente, Fluxo = vds cos(θ)-1 < cos(θ) < +1
λl Coulombs/m
L
Lei de Gauss – Exemplo 1: distribuição linear de carga
Construa uma “Superfície Gaussiana” simétrica com a distribuição de carga - cilíndrica neste caso, depois calcule ∫∫∫∫EE..dsds
ds
ds
E
ds
E
r
ds
E
r
Cálculo de ∫∫E.ds
• ∫∫E.ds = ∫∫E.ds sup. Cilíndrica
+ ∫∫E.ds sup. planas
• Nas sup. planas, E & ds são perpendiculares E.dsnas tampas = 0
• ∫∫E.ds nas tampas = 0• As superfícies planas não contribuem.!
Cálculo de ∫∫E.ds
• ∫∫E.ds = ∫∫E.ds na sup. cilíndrica
ρl Coulombs/m
L
ds
ds
E E & ds paralelos,E.ds = |E|´|ds| = Eds
Cálculo de ∫∫E.ds
rr2
)r(Eoπε
λ=r
r2)r(E
LrL2.E
sdE
o
o
πελ=
ελ=π
=⋅∫∫ gaussiana da interior no cargarr
Discussão
• E aponta radialmente • |E| é proporcional a λ
– Maior densidade de carga = maior o campo• |E| é proporcional a 1/r
– Diminui com a distância à carga, o queé intuitivamente correto
Outras formas de distribuição de carga!
• Distribuição esférica de carga
• ∝ r-2, r-3, e –r …• Escolha uma
gaussiana..• Então E e ds serão,
novamente, paralelos• Aplique a lei de
Gauss!
rρ
Distribuição esférica de carga (simetria)esférica de carga
Lei de Coulomb?....não lei de Gauss
r2
Q
0εQ=Φ
É mais simples e mais geral
Por simetria E é ⊥ à superfície
Considere uma superfície esférica
0
||εQAE ==Φ
0
24||ε
π QrE ==
200
2 41
41||
rQQ
rE
πεεπ== 0
241
επqQ
rF =F=qE
q
Qual é o campo em volta de uma casca esférica
Q
0fora
Qε
=Φ
Considere uma superfície simétrica com a distribuição de carga
204
1||rQE
πε=
0=E
fora
outΦentrodΦ
dentro
0entro =Φd
Carga dentro = 0
Distribuição esférica de carga (simetria)esférica de carga
Aplicações da Lei de Gauss
• Ação de campos elétricos sobre condutores:– Polarização– Carga no interior de um condutor– Campo na superfície de um condutor
• Blindagem eletrostática: – Gaiola de Faraday
• Localização das cargas:– Lei de Gauss na forma diferencial
Condutores em campos EColocando-se um condutor dentro de um campo elétrico, aparecem cargas induzidas….ocorre a polarização da carga elétrica.
Uma casca metálica com uma carga no interior
a) Qual será a quantidade de carga que será induzida na superfície interna da casca?
b) Como se distribui essa carga?
c) Qual será o valor do campo fora da casca?
Uma carga negativa de -10μC é colocada no interior de uma casca metálica como émostrado na figura (a).
Resposta
Como o valor de E dentro do condutor é zero o fluxo através da gaussiana é nulo.
A carga total dentro da gaussiana é zero.
A carga + induzida no interior da casca é idêntica à carga na cavidade
A carga negativa induzida na parte externa, deve ser nula, pois a carga no condutor era nula.
Como as linhas de campo externo é normal à superfície a distribuição de carga externa deve ser homogênea.
Condutor em equilíbrio eletrostáticocom carga positiva
Fluxo através das superfícies gaussianas: interna Φ = 0; externa Φ >0.
Lei de Gauss na forma diferencialPodemos rescrever a lei de Gauss, para a eletrostática, em função de uma densidade de carga volumétrica, como a seguir:
onde ρ é a densidade de carga volumétrica e V é o volume no interior da superfície gaussiana. Usando o teorema de Gauss, o qual correlaciona uma integral de superfície com uma integral de volume, temos que,
Comparando os lados direitos das duas equações acima encontramos,
como esta igualdade é verdadeira para qualquer volume, então o integrando da equação deve ser nulo, isto é
Lei de Gauss na forma diferencial significa que, se o divergente do campo elétrico é não nulo, então, deve existir campos elétricos na região resultantes de carga total não nula
Aplicação da Lei de Gauss na forma diferencial
oE
0V
qlim ε=Φ
→Δ
o0VAdE
V1E lim ε
ρ⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
Δ=⋅∇ ∫∫
→Δ
rrrr
( )o0V
VAdElim εΔρ=⋅⇒ ∫∫
→Δ
rr
o
Eερ=⋅∇
rrz
Ey
Ex
EEEdiv zyx
∂∂+
∂∂
+∂
∂=⋅∇=rrr
Propriedades dos condutores
1. E é zero no interior do condutor2. Qualquer carga, Q, se distribui na superfície
(densidade de carga será: σ=Q/A)3. E é ⊥ à superfície4. σ é maior onde o raio for menor5. Gaiola de Faraday
Para um condutor em equilíbrio eletrostático!
1σ2σ 21 σσ >>
E é zero no interior do condutor
• Se existisse um campo no interior do condutor, os elétrons livres seriam acelerados e haveria corrente elétrica.
• Dessa maneira não haveria equilíbrio Portanto E=0
Qualquer carga se distribui na superfície do condutor
qi
Considere a superfície S logo abaixo da superfície externa do condutor
Como o condutor está em equilíbrio, E=0, portanto Φ=0
∑==Φ 0/εqEALei de Gauss
∑ = 0/ 0εiq
A carga no interior deverá ser nula!
O campo E é ⊥ à superfície
Considere uma pequena superfície cilindríca, contendo a superfície
o/qEA ε==ΦLei de Gauss
q Cilindro pequeno o bastante para E ser constante!
E⊥
E||
Se E|| >0 causaria o movimento da carga na superfície e não haveria equilíbrio, portanto E|| =0
oA/qE ε=
o/E εσ=⊥
σ é maior onde r é menor
o
Eερ=⋅∇
rr
r1 r2
No próximo capítulo voltaremos ao assunto, utilizando a função potencial!
Condutor isolado, possui o mesmo número de cargas positivas + e negativas –
As linhas de campo, produzidas por uma carga de teste, externa, furam o cilindro
Carga de teste sem blindagem
Carga de teste com 50% de blindagem
Os elétrons se movem na direção da carga de teste criando um campo elétrico contrário no cilinddro...
Carga de teste com 100% de blindagem
Os elétrons se movem na direção da carga de teste anulando totalmente o campo...
Condutor isolado
Cilindro Isolado
Carga de Teste não blindado
10% Blindagem
20% Blindagem
30% Blindagem
40% Blindagem
50% Blindagem
60% Blindagem
70% Blindagem
80% Blindagem
90% Blindagem
100% Blindagem
43
Lei de Gauss na forma diferencial
x
y
z
E
Superfície gaussiana
44
Lei de Gauss na forma diferencial
Dada uma superfície fechada, o fluxo será dado por:
o
int
A
qAd.Eε
Φ == ∫rr
∫ ∫ +==V V
discretocontinuoint dV)(dV)r(q ρρρ
Pelo teorema da divergência:
∫∫ ∇=VA
dVE.Ad.Errr
∫∫ =VoA
dV)r(Ad.E ρε1rr
01 =−∇∫ )dV)r(dVE.(oV
ρε
r
Para um volume arbitrário, a integral só será nula quando:
o
)r(E.ε
ρ=∇r A divergência do campo elétrico está em cada ponto,
Associada à densidade total de cargas nesse ponto.
45
Lei de Gauss na forma diferencial
O campo elétrico nesteponto diverge, e a suaDIVERGÊNCIA é zeroneste ponto, como nãoexiste uma cargapresente neste ponto, ρ=0.
Q E
O campo elétriconeste ponto diverge, e a sua DIVERGÊNCIA édiferente de zero neste ponto poisexiste uma carganesse ponto, ρ>0.
46
Lei de Gauss na forma diferencial
E
O campo elétrico nàodiverge neste ponto e a sua DIVERGENCIA ézero pois não existecarga neste ponto, ρ=0.O campo elétrico aqui
não diverge mas a suaa DIVERGENCIA nãoé nula neste pontopois existe uma carganeste pornto, ρ>0.
47
Equação de Poisson
A forma diferencial, também chamada forma local da Lei de Gauss.
o
)r(E.ε
ρ=∇r
Esta forma é também conhecida como equação de Poisson
Em coordenadas cartesianas o divergente pode ser expresso da seguinte forma:
zE
yE
xEE.Ediv zyx
∂∂+
∂∂
+∂
∂=∇=rr
o
zyx )z,y,x(z
Ey
Ex
Eε
ρ=∂
∂+∂
∂+
∂∂
48
Interpretação geométrica do divergente
oAV
ooAA
)P(Ad.EV
[lim)P(Ediv
V)P(qAd.E
ερ
Δ
εΔρ
εΔΦ
Δ ==
===
∫
∫
→
rrr
rr
10
Exemplo: Calcule o divergente do seguinte vetor: kzjyixr ++=r
34
4
3
3
rV
rdArAd.rA A
πΔ
π
=
==∫ ∫rr
Portanto div r=3
3111 =++=∂∂+
∂∂+
∂∂=
zz
yy
xxrdivr
P
ΔVA
Volume limitado por uma superficieem torno de P
4949
Equações de Poissson e Laplace
Q E
o
)r(E.ε
ρ=∇r
0=∇ E.r
Poisson Laplace
5050
Equações de Poissson e Laplace
o
)r(E.ε
ρ=∇r
0=∇ E.r
Laplace
Poisson
tetanconsExE
x =∴=∂∂ 0
δρ =)r(
+ r
δ r
ρ
rδ
E
1/r2
Estes mesmos problemas serão tratados no capítulo de potencial !