Shifrat sinjifikative (tё vlerёsueshme) dhe llogaritjet me to

Llogaritja e njё rezultati nё njё matje ose punё eksperimentale, pёrfshin veç njohjes sё objektit tё kёrkuar edhe njё sёrё veprimesh matematikore qё vijnё si rezultat i matjeve tё ndryshme. Nё kёtё kuadёr, merr rёndёsi vlerёsimi i shifrave sinjifikative (tё vlerёsueshme) tё cilat luajnё rol nё njё rezultat korekt pёrfundimtar. Cilat janё rregullat pёr vlerёsimin e shifrave sinjifikative:

1- Shifrat jo zero. Tё gjitha kёto shifra vlerёsohen si shifra sinjifikative. P.sh. 1,345 vlerёsohet si njё numёr me 4 shifra sinjifikative; ose 345,12 vlerёsohet si njё numёr me 5 shifra sinjifikative etj.

2- Shifrat zero. Ka tre raste tё vlersueshmёrisё;a)- Zerot janё tё pandёrprera para njё shifre tjetёr si p.sh.: 0,00012, ose 0,316 etj. Nё

kёto raste zerot nuk vlerёsohen si shifra sinjifikative. Numri i parё mund tё shkruhet edhe si 12x10-5 e pёr rrjedhojё tё vlerёsohet me 2 numra sinjifikativ, ndёrsa i dyti tё shkruhet 3,16x10-1 e pёr rrjedhojё tё vlerёsohet me 2 numra sinjifikativ,

b)- Zerot ndodhen midis shifrave tё tjera si p.sh.; 3,0012 ose 2,10304 ose 40,320067 etj. Nё tё gjitha kёto raste, zerot vlerёsohen si numra sinjifikativ. Kёshtu pёr shembujt e mёsipёrm, numri i parё do vlerёsohet me 5 shifra sinjifikative, i dyti me 6 shifra sinjifikative, i treti me8 shifra sinjifikative etj.

c)- Zerot janё nё vazhdimёsi tё numrave tё tjerё (nё vazhdimёsi nё tё djathtё tё numrave tё tjerё) si p.sh. 100 ose 31,00 ose 2,34000 ose 0,0120 etj. Nё kёto raste vlerёsimi i kёtyre zerove si shifra sinjifikative ose jo, ka tё bёjё me vlerёsimin e pёrmasёs sё saktёsisё sё matjes. Konkretisht, nёqoftёse peshohen 100g materjal nё njё peshore nёn-ndarja mё e vogёl e tё cilёs ёshtё po 100g, numri duhet shkruar nё formёn 1x102g dhe tё vlerёsohet me njё shifёr sinjifikative; po qe se nёn-ndarja mё e vogёl e peshores do tё jetё 10g atёhere numri duhet tё shkruhet 10x10g e pёr rrjedhojё tё vlerёsohet me dy shifra sinjifikative; po qe nёn-ndarja me 1g numri shёnohet 100g dhe vlerёsohet me 3 shifra sinjifikative; po qe nёn-ndarja me 0,1g numri duhet tё shёnohet si 100,0g dhe tё vlerёsohet me 4 shifra sinjifikative; me nёn-ndarje prej 0,01g numri shёnohet 100,00g dhe vlerёsohet me 5 numra sinjifikativ, e kёshtu me rradhё. Pёr analogji, numri 2,34000 tregon se matja ёshtё bёrё me saktёsi deri nё 5 shifra mbas presjes, nё tё kundёrtёn, nёqoftёse saktёsia e matjes ёshtё nё vlera mё tё vogla edhe numri i shifrave sinjifikative duhet tё rrumbullakosen dhe ti pёrgjigjen atij niveli saktёsie.

Vlerёsimi i numrit tё shifrave sinjifikative qё pёrmban njё numёr i dhёnё, merr rёndёsi veçanёrisht nё veprimet e mёtejshme matematikore qё nevoiten tё kryhen nё kiminё analitike. Kёshtu, kur shumzojmё, pjestojmё, mbledhim ose zbresim veçanёrisht kur kemi tё bёjmё me numra qё pёrmbajnё shifra mbas presjes, duhet tё rrumbullakosim vlerёn pёrfundimtare nё aq shifra sinjifikative mbas presjes sa edhe ka numri me mё pak shifra sinjifikative si p.sh.;

4,56 x 1,4 = 6,384Njё mёnyrё e tillё e tё shkruajturit tё pёrfundimit ёshtё e papranueshme. Saktёsia

e matjes nuk mund tё jetё mё e madhe nga ajo qё vjen prej numrit me mё pak shifra sinjifikative mbas presjes (nё rastin e shembullit tё mёsipёrm eshtё 1) ndaj dhe pёrfundimi duhet shkruajtur i rrumbullakosur nё njё shifёr mbas presjes:

4,56 x 1,4 = 6,4

Pёrpunimi statistikor i tё dhёnave

Pёr vlerёsimin e saktёsisё sё matjeve nё njё veprim analitik, ёshtё e nevojshme qё tё dhёnat e pёrftuara ti nёshtrohen pёrpunimit statistikor matematik. Koncepti bazё i kёtij pёrpunimi statistikor, lidhet me llogaritje tё cilat tё çojnё nё marjen e njё parametri tё tillё, qё gёzon njё vlerёsim tё besueshёm.

Forma mё e thjeshtё e njё llogaritje matematikore ёshtё ajo e vlerёsimit tё gabimit absolute Ga qё shpreh ndryshimin midis vlerёs sё matur M dhe vlerёs reale qё duhet tё kishte V:

Ga = V – M (1)Kjo mёnyrё llogaritjeje, siç do shohim edhe mё poshtё, nuk shpreh dot pёrmasat

reale tё njё gabimi analitik.Formё tjetёr llogaritjeje ёshtё ajo qё njihet si gabim relativ i matjes Gr dhe qё ipet

si pёrqindje e ndryshimit tё gabimit absolut ndaj vlerёs reale:

GaGr = ------ x 100 (2)

V

Pёr tё qartёsuar ndryshimin midis kёtyre dy llojё llogaritje gabimi japim shembullin e mёposhtёm:

Shembull 1Njё tretёsirё qё pёrmban realisht V = 0,3545g/l Ag, rezulton nga matja me njё

vlerё M = 0,3532g/l. Ndёrkohё, njё tretёsirё e dytё me njё pёrmbajtje V = 3,5450g/l rezulton me M = 3,5410g/l.

Duke llogaritur madhёsinё Ga pёr tё dyja matjet kemi respektivisht:Ga1 = 0,3545 – 0,3532 = 0,0013g/lGa2 = 3,5450 – 3,5410 = 0,0040g/l

Vёrehet se nё rastin e dytё, gabimi absolut i kryer gjatё analizёs, ёshtё tre herё mё i lartё se nё rastin e parё.

Ndёrkohё po ti referohemi gabimit relativ Gr do tё kemi:Gr1 = 0,0013/0,3545 x 100 = 0,37%Gr2 = 0,0040/3,5450 x 100 = 0,11%

Tashma duket se % e gabimit relative tё kryer nё rastin e dytё ёshtё tre herё mё i vogёl se nё rastin e parё. Ky vlerёsim ёshtё edhe mё real.

Pёrpunimet statistikore nё kiminё analitike janё realisht shumё mё tё gjёra e mё tё komplikuara. Po trajtojmё mё poshtё gjithashtu disa koncepte bazё tё kёtyre pёrllogaritjeve.

Nё qoftё se pёr njё kampion analitik janё kryer n matje: x1, x2, x3, . . . xn atёhere mesatarja e kёtyre matjeve x* = ∑x/n mund tё vlerёsohet edhe si njё vlerё reale matematike e tyre. Kjo vlerё shёnohet edhe me μ = x*. Ndёrkohё, saktёsia e matjes gjykohet nёpёrmjet ndryshueshmёrisё (deviacionit) standarte σ qё llogaritet si:

σ = ± [∑(xi – μ)2/n]1/2 (3)

Kur numri i pёrsёritjeve tё matjeve ёshtё i vogёl (< 10) atёhere vlerёsimi i ndryshueshmёrisё standarte llogaritet si;

s = ± [∑(xi – x*)2/(n – 1)]1/2 (4)

ose pёr thjeshtim nё pёrdorim tё njё llogaritёsi tё thjeshtё:

s = ± [∑{x2i – (∑xi)2/n}/(n-1)]1/2 (5)

Shpesh madhёsia (s) shprehet nё katrorin e saj (s2) dhe kuptohet qё nё kёto raste eleminohet ndryshueshmёria (±) qё pёrmban formula e mёsipёrme.

Shembull 2Janё kryer disa matje pёr vlerёsimin e pёrmbajtjes sё Pb nё njё mineral tё dhёnё

dhe kanё rezultuar kёto pёrfundime: 0,752, 0,756, 0,752, 0,751 dhe 0,760ppm Pb nё mineral. Ndёrtojmё tabelёn 1 tё mё poshtme:

Tabela 1Nr mostrёs xi x2

i

12345

0,7520,7560,7520,7510,760

0,5655040,5715360,5655040,5640010,577600

∑xi = 3,771 ∑x2i = 2,844145

x* = 3,771/5 = 0,7542 ≈ 0,754ppm Pb(∑xi)2/n = (3,771)2/5 = 14,220441/5 = 2,8440882

Duke pёrdorur ekuacionin (5) kemi;s = ± [2,844145 – 2,8440882]/(5 – 1) = 0,0000568/4s = ± 0,00377 ≈ ± 0,004ppm Pb

ose: s2 = 0,000016ppm Pb

Ndryshueshmёria standarte ёshtё njё parametёr mjaft i pёrdorshёm nё vlerёsimin e saktёsisё sё matjeve analitike. Vlerёsimi i madhёsisё sё saj, ёshtё veçanёrisht i lidhur me numrin n tё matjeve ose mё saktё me numrin (n – 1) qё emёrtohet edhe si shkallё i treguesit tё lirisё sё matjes. Problemi ndёrlikohet kur edhe ndryshueshmёria standarte varjon me ndryshimin e pёrqendrimit tё treguesit nё matje. Nё kёto raste shpesh, vlerat grupohen me zona tё veçanta dhe pёr sejcilёn zonё kryhet llogaritja pёrkatёse. Kёshtu, nё qoftё se matjet do tё kryhen pёr kampione tё ndryshme dhe pёr sejcilin kampion kemi pёrsёritje tё ndryshme, atёhere s mesatare llogaritet si vlerё e ponderuar e grupimeve tё veçanta tё saj, sipas asaj qё e japim edhe nё shembullin 3;

Shembull 3Ёshtё kryer pёrcaktimi i pёrmbajtjes sё Hg si njё element ndotёs nё disa produkte

ushqimore me prejardhje detare dhe rezulton si nё tё dhёnat e tabelёs 2 tё mё poshtme:

Tabela 2

Nr mostrave

Pёrsёritje tё kryera

nё analizё

Rezultati i pёrmbajtjes sё Hg

nё ppm|(xi - x*)| (xi – x*)2

1234

56

7

3426

45

4

1,80; 1,58; 1,640,96; 0,98; 1,02; 1,103,13; 3,352,06; 1,93; 2,12; 2,16; 1,89; 1,950,57; 0,58; 0,64; 0,492,35; 2,44; 2,70; 2,48; 2,441,11; 1,15; 1,22; 1,04

1,6731,0153,2402,018

0,5702,482

1,130

0,02580,01150,02420,0611

0,01140,0685

0,0170shuma 28 0,2196

Pёr tё kuptuar mё qartё shifrat e tabelёs sё mёsipёrme japim mё tё detajuar llogaritjet e mostrёs 1 tek tabela 3:

Tabela 3Nr

mostrёsxi |(xi - x*)| (xi – x*)2

11,801,581,64

0,1270,0930,033

0,01610,00860,0011

pёrfundimi x* = 5,02 : 3 = 1,673 0,0258

Llogartja e s mesatare tё ponderuar do tё jetё:

{[mostra1(xi – x*)2] + [mostra2(xi – x*)2] + [mostra3(xi – x*)2] + }1/2

smesa = ± --------------------------------------------------------------------------------------- (6) {[mostra1(n - 1)] + [mostra2(n - 1)] + [mostra3(n - 1)] + }1/2

Dhe pёr rastin e shembullit tё mёsipёrm do kemi konkretisht:

{0,0258 + 0,0115 + 0,0242 + 0,0611 + 0,0114 + 0,0685 + 0,0170}1/2

smesa = ± -------------------------------------------------------------------------------------{2 + 3 + 1 + 5 + 3 + 4 + 3}1/2

smesa = ± 0,10ppm HgGjithashtu mund tё themi se, meqenёse numri i pёrsёritjeve tё pёrgjithёshme ёshtё

mё i madh se 10, atёhere s → σ (shiko ekuacionet 3 dhe 4) dhe pёr rrjedhojё mund tё shkruajmё:

σmesa = ± 0,10ppm Hgose: σ2

mesa = 0,0100ppm Hg

Siç kemi pёrmendur edhe mё lartё, nё kiminё analitike, shpesh u referohemi ndryshimeve relative si mё tё besueshme se sa ndryshimeve absolute. Kjo vlen edhe pёr ndryshueshmёrinё standarte. Ndryshueshmёria standarte relative (srelativ) shprehet nё ‰ ose % (shprehja nё % emёrtohet edhe si koeficient i variacionit dhe shёnohet me Cv%):

srelativ ‰ = (s/x*) x 1000 (7) Cv % = (s/x*) x 100 (8)

Duke ju rikthyer shembullit 2, njё paraqitje mё e plotё e treguesve statistikor duke pёrfshirё edhe treguesit e mёsipёrm do tё jetё:

x* = 0,754ppm Pbs = ± 0,004ppm Pbs2 = 0,000016 = 1,6x10-5ppm Pbsrelativ ‰ = (0,004/0,754) x 1000 ≈ 5,0‰Cv % = (0,004/0,754) x 100 ≈ 0,50%

Natyrisht, pёrpunimet statistikore nё kiminё analitike janё shumё mё tё gjёra dhe tё komplikuara. Kёshtu, mund tё pёrmendim pёrpunimin e vartёsive midis dy ose mё shumё tregusёve, vartёsi e cila mund tё jetё lineare ose parabolike, nё plan ose hapsirё. Kёto shpesh shprehen edhe me ekuacionet pёrkatёse tё vartёsisё, besueshmёria e tё cilave jepet nga koeficientёt pёrkatёs tё korelacionit qё vlerёsohen me ‘r” ose “R2” dhe shkallёs sё besueshmёrisё deri 90% (shёnohet me *); deri 99% (shёnohet me **) ose dhe 99,9% (shёnohet me ***).