les fractales dans la nature quand on observe la nature, on rencontre de très nombreux objets...
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Les fractales dans la nature
• Quand on observe la nature, on rencontre de très nombreux objets fractals
Des fractales? Où çà?
Le chou-fleur
La surface du chou-fleur est constituée de cônes qui se juxtaposent de manière enroulée en spirales, formant ainsi des volutes qui constituent elles-mêmes des cônes similaires aux premiers, mais d’échelle plus grande.
Si on coupe le chou de bas en haut, on note une organisation en branches et sous-branches qui, agrandies plusieurs fois peuvent se confondre avec le chou lui-même ou la branche principale d’origine.
Les fougères
Les feuilles présentent une structure telle qu’une partie de la feuille semble être une réplique du tout
Une côte
Lorsqu’on prend une carte côtière, quelle que soit l’échelle, elle représente une distribution semblable de caps et de baies.
On ne sait pas mesurer la
côte de Bretagne!!
Quelle est la longueur de la côte bretonne?
Selon l’atlas que nous regarderons, nous trouverons différentes mesures. Cela ne veut pas dire que toutes ces mesures soient fausses.
Selon B. Mandelbrot, cette longueur est infinie!
Les éclairs
Ce sont des décharges électriques sous forme d’étincelle qui éclatent entre deux nuages ou entre un nuage et la terre.
On voit clairement que la ligne principale se subdivise en lignes secondaires qui elles-mêmes se subdivisent à leur tour.
Les fractales dans le corps humain l
Ce chou est fractal!Certains éléments du corps humain le sont
aussi! Montrons le
Les poumons
Les bronches et bronchioles forment une structure arborescente dont chaque élément plus petit est identique aux arborescences de plus grande taille.
La nature a ainsi résolu le problème de créer une surface la plus grande possible (afin de permettre l’oxygénation du sang)dans un volume fini (notre cage thoracique)
Si les poumons n’avaient pas cette structure, ils occuperaient une sphère peu viable de 2.8m3
L’auto-similarité
Tous les objets qui précèdent ont la particularité qu’un morceau ressemble au tout!
C’est la propriété d’auto-similarité.
Construction de figures ayant cette propriété d’auto-similarité
Le flocon de Von Koch (1904)
Principe de la construction
Sur chaque segment, on remplace le second tiers par les côtés d’un triangle équilatéral
Le tapis de Sierpinsky
C’est une surface dont on enlève un carré central …. indéfiniment
L’éponge de Menger
On enlève le cube central, ….indéfiniment
Le triangle de Sierpinsky
On divise le triangle équilatéral de départ en 4 triangles semblables et on enlève le triangle central (celui qui est dans le sens contraire du triangle initial)
On recommence indéfiniment
Comment appeler ces figures ayant la propriété d’auto-similarité?
En 1975, Benoit Mandelbrot crée expressément le mot « fractal »
Selon lui, on ne peut donner une définition empirique de ce terme mais on peut citer certaines caractéristiques de ces objets:
un objet fractal est un objet mathématique dont l’essence même est d’apparaître indéfiniment « brisé »
Un objet fractal continue à présenter une structure détaillée à toute échelle
Un objet fractal à homothétie interne possède la propriété d’auto-similarité
Un objet fractal peut avoir une dimension non entière (nous y reviendrons)
La dimension des fractales
Et oui, certains objets sont de dimension non
entière
d, la dimension fractale d’un objet est donnée par:
Log n/log s
Où n est le nombre de figures identiques nécessaires pour obtenir une figure s fois plus grande.
Ils sont fous ces
matheux!
Dimension fractale du triangle de Sierpinsky
Soit 1 le côté du triangle initial
Alors dans la seconde étape, le côté des 3 triangles est ½.
Lorsqu’on passe d’un des petits triangles de la seconde étape au
triangle initial, la figure est deux fois plus grande (s=2) et on a besoin de trois petits triangles (n=3)
d= log 3/ log 2 = 1.58 (nombre non entier!!)
A propos des belles images fractales générées par des transformations.
C’est beau les maths!!
L’ensemble de Mandelbrot (1981)
Soit la suite z n+1 = zn2 + c avec z0=0 et c, un
complexe.
Pour chaque pixel de l’écran, on associe une valeur de c. Si zi a un module supérieur à 2, la suite diverge et le pixel est dessiné en couleur i.
Quand la suite ne diverge pas, on colorie le pixel en noir.
Procédé
Particularités de cet ensemble.
Quelle que soit la zone que l’on agrandit, on retrouve toujours à un moment donné la forme de départ!!!
Que peut-on faire avec des fractales?
????
Les images virtuelles
Sur l’ordinateur, on peut faire apparaître des images virtuelles d’objets naturels d’une grande complexité et d’une extraordinaire ressemblance.
Voici quelques exemples
Dans l’industrie
Elles sont à l’origine
des nouveaux matériaux d’isolation comme les polymères.
De procédés de récupération du pétrole par injection de fluides sous pression dans les roches poreuses
Etc.
Dans l’art
Remerciements à
Nadine Flamant
Michel Ballieu
Jean Jacqueson
Christine Carton Mai 2003