lev landau elmeleti fizika ii

L A N D A U -L IF SIC

ELMELETIFIZIKA

C JTANKÖNYVKIADÓ

L. D. LANDAU—E. M. LIFSIC

ELMELETI FIZIKA II

S Z E R K E S Z T I :

DR. MARX GYÖRGYK O S S U T H - D Í J A S E G Y E T E M I T A N Á R ,

AZ M T A L E V E L E Z Ő T A G J A

L. D. LANDAU—E. M. LIFSIC

KLASSZIKUS ERŐTEREK

TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST, 1976

EGYETEMI S E G É D K Ö N Y VK I A D Á S Á T AZ O K T A T Á S I M I N I S Z T E R R E N D E L T E E L

A M Ü E R E D E T I C Í M E :

T E O P E T H H E C K A Ü O H 3 H K A II. T E O P H Ü nOJIÜ

H3AATEJI BCTBO «HAYKA» MOCKBA, 1973

H 3 A A H H E UIECTOE M C n P A B J I E H H O E H A O n O J I H E H H O E

F O R D Í T O T T A :

GÁLFI LÁSZLÓT U D O M Á N Y O S M U N K A T Á R S

a III-VI. fejezetet,K U N S Z T ZOLTÁN

E G Y E T E M I A D J U N K T U S ,A F I Z I K A I T U D O M Á N Y O K K A N D I D Á T U S A

az I-II. és a X-XIV. fejezetet,N I E D E R M A Y E R FERENC

T U D O M Á N Y O S M U N K A T Á R S

VII-IX. fejezetet K O N T R O L L S Z E R K E S Z T Ő :

BOSCHÁN PÉTERT U D O M Á N Y O S M U N K A T Á R S ,

A F I Z I K A I T U D O M Á N Y O K K A N D I D Á T U S A

ISBN 963 17 1187 0 ISBN 963 17 1411 X

© L. D. L A N D A U ÉS E. M. L I F S I C , M O S Z K V A , 1975

• © G Á L F I L Á S Z L Ó , K U N S Z T Z O L T Á N , N I E D E R M A Y E R F E R E N C , B U D A P E S T , 1975H U N G A R I A N T R A N S L A T I O N

AZ ELSŐ ÉS M ÁSODIK K IA DÁS ELŐSZAVÁBÓL

Ezt a könyvet az elektromágneses és gravitációs terek elmélete tárgyalásának, tehát az elektrodinamikának és az általános relativitáselméletnek szenteltük. Az elektromágneses tér teljes, logikusan összefüggő elméletéhez szorosan hozzá tartozik a speciális relativitáselmélet. Ezért az utóbbit vettük a tárgyalás alapjául. A törvények levezetésében variációs elvekből indulunk ki, így végig biztosíthatjuk a tárgyalás legnagyobb általánosságát, egységét és lényegében egyszerűségét is.

Elméleti fizika sorozatunk általános tervének megfelelően ebben a kötetben egyáltalán nem érintjük a polározható kondenzált közeg elektrodinamikájának problémáit. Itt a „mikroszkopikus” elektrodinamika — a vákuum és a ponttöltések elektrodinamikájának — kifejtésére szorítkozunk.

A könyv olvasásához az elektromágneses jelenségeknek az általános fizikai tan könyvek színvonalán való ismerete szükséges. Ugyancsak jól kell tudni a vektoranalízist. Nem tételezzük fel a tenzoranalízis ismeretét, ezt a gravitációs terek elméletével párhuzamosan tárgyaljuk.

M o szk v a , 1939. december

M o szkva , 1947. jú n iu s L. L A N D A U , E. L I F S I C

A HATODIK K IA DÁS ELŐSZAVÁBÓL

E könyv első kiadása több mint harminc évvel ezelőtt jelent meg. Az azóta napvilágot látott kiadások alkalmával a könyvet többször átdolgoztuk és kiegészítettük; jelenlegi terjedelme majdnem kétszerese az eredetinek. Egyszer sem merült fel azonban annak szükségessége, hogy változtassunk az elmélet felépítésének L. D. Landau által javasolt módszerén vagy a kifejtés általa ihletett stílusán, amelynek fő jellemvonása az érthetőségre és egyszerűségre való törekvés. Minden erőmmel arra törekedtem, hogy ezt a stílust megőrizzem azokban az átdolgozásokban is, amelyeket már egyedül kellett elvégeznem.

Az előző öt kiadáshoz képest az elektrodinamikának szentelt kilenc fejezet majdnem változatlan maradt. A gravitációs tér elméletét tárgyaló fejezeteket viszont átdolgoztuk és kiegészítettük. E fejezetek anyaga kiadásról kiadásra lényegesen bővült, végül szükségessé vált az anyag átcsoportosítása is.

M oszkva , 1972. december E. M . LIFSIC

N É H Á N Y JELÖLÉS

Háromdimenziós mennyiségekA háromdimenziós tenzorindexeket görög betűkkel jelöljük.A térfogat-, felület- és hosszúságelemek: dV , dl, dl.Egy részecske impulzusa és energiája: p és <5.A Hamilton-függvény: 35.Az elektromágneses erőtér skalár- és vektorpotenciálja: 99 és A.Az elektromos és mágneses térerősségek: E és H.A töltés- és áramsűrűség: q és j Az elektromos dipólmomentum : d.A mágneses dipólmomentum: nt

Négydimenziós mennyiségekA négydimenziós tenzorindexeket az /, latin betűkkel jelöljük; ezek a 0, 1,2, 3,

értékeken futnak végig.A ( + , —, —, —) szignatúrájú metrikát használjuk.Az indexek fel- és lehúzása a (6,2) képlet szerint történik (29. oldal).Egy négyesvektor komponensei: A 1 — (A °, A).A negyedrendű antiszimmetrikus egységtenzor: eiklm, ahol <?0123 = 1 (a meghatáro

zást lásd a 32. oldalon).A négyes-helyzetvektor: x l = (ct9 r).A négyessebesség: ul = dx'jds.A négyesimpulzus: = (£ /c9 p).Az áram négyesvektora: / = (cg, q\).Az elektromágneses tér négyespotenciálja: A 1 = (99, A).

Az elektromágneses erőtér négyestenzora: Fik = ~q^ T ~ q~Í komponenseinek

és az E, H vektoroknak a kapcsolatát lásd a 89. oldalon).Az energia-impulzus négyestenzora: T lk (definícióját lásd a 112. oldalon).

I. F E J E Z E T

A RELATIVITÁS ELVE

1. §. A kölcsönhatások terjedési sebessége

A természetben végbemenő folyamatok leírásához vonatkoztatási rendszerre van szükségünk. Vonatkoztatási rendszernek nevezzük a részecskék térbeli helyzetét megadó koordináta-rendszer és e rendszerben rögzített, az idő mérésére szolgáló órák együttesét.

Léteznek olyan vonatkoztatási rendszerek, amelyekben szabadon mozgó, azaz külső erők hatása alatt nem álló testek sebessége állandó. Az ilyen vonatkoztatási rendszert inerciarendszernek nevezzük.

Ha két vonatkoztatási rendszer egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, és az egyik inerciarendszer, akkor nyilvánvalóan a másik is az (minden szabadon mozgó test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez ebben a rendszerben is). Ebből következik, hogy tetszőlegesen sok, egymáshoz képest egyenletesen mozgó inerciarendszer létezik.

A tapasztalat szerint érvényes a relativitás elve. Ez az elv azt mondja ki, hogy a természettörvények valamennyi inerciarendszerben azonosak. Másképp megfogalmazva, a természettörvényeket kifejező egyenletek változatlanok maradnak, ha egy adott inerciarendszerről egy másikra térünk át. Ez azt jelenti, hogy egy bizonyos természettörvényt különböző inerciarendszerekben tér- és időkoordinátákkal kifejező egyenletek azonos alakúak.

A mechanikában az anyagi részek kölcsönhatását a kölcsönható testek koordinátáitól függő potenciális energia segítségével adjuk meg. Könnyen belátható, hogy a kölcsönhatás ilyen leírása esetén hallgatólagosan feltételeztük azt, hogy az erőhatás terjedési sebessége végtelen nagy. Valóban, potenciális energia használata esetén egy kiszemelt részecskére a többiek által kifejtett erő minden időpontban csak a részecskék e pillanatban elfoglalt helyzetétől függ. Ha a kölcsönható részecskék bármelyikének megváltoztatjuk a helyzetét, az a többi részecskére kifejtett erőhatásokban pillanatszerűen, késedelem nélkül megmutatkozik.

A tapasztalat szerint azonban a természetben nem létezik pillanatszerű kölcsönhatás. Ezért a kölcsönhatások terjedésének pillanatszerűségét feltételező mechanika

12 I. A RELATIVITÁS ELVE

pontatlan. Ha a kölcsönható testek egyikével valami történik, egy másik testen a valóságban ez csak bizonyos idő elteltével érződik. Csupán véges időtartam eltelte után figyelhetők meg a másik testen olyan folyamatok, amelyeket az adott változás idézett elő. Ha a két test távolságát elosztjuk a szóban forgó időintervallummal, megkapjuk a kölcsönhatás terjedési sebességét.

A kölcsönhatás maximális terjedési sebességének azt a sebességet nevezzük, amellyel a két test távolságát el kell osztanunk, hogy megkapjuk azt a minimális időtartamot, amelynek eltelte után az egyik testen végbement változások kezdik éreztetni hatásaikat a másikon. Nyilvánvaló, hogy ha van a kölcsönhatások terjedésének maximális sebessége, akkor a természetben semmilyen test sem mozoghat ennél a sebességnél gyorsabban. Ellenkező esetben ugyanis lehetővé válna, hogy a kölcsönhatások terjedésének maximális sebességénél gyorsabb test segítségével olyan új kölcsönhatást valósítsunk meg, amelynek a terjedési sebessége felülmúlná a kölcsönhatások terjedésének lehető legnagyobb sebességét.

Egyik testtől a másikig terjedő kölcsönhatást gyakran „jelnek” nevezzük, amely az első testtől indul ki, és „közli” a második testtel az első testen végbement változásokat. A kölcsönhatások terjedési sebességét ilyenkor „jelsebességnek” mondjuk.

A relativitás elvéből többek között az is következik, hogy a kölcsönhatások terjedési sebességének értéke minden inerciarendszerben ugyanakkora. Tehát a kölcsönhatások terjedési sebessége vonatkoztatási rendszertől független univerzális állandó.

Később látni fogjuk, hogy ez az állandó sebesség a fény terjedésének sebessége vákuumban; éppen ezért a kölcsönhatások terjedésének maximális sebességét röviden fénysebességnek nevezzük. Jelölésére rendszerint a c betűt használjuk, számszerű értéke pedig:

c = 2,998 -1010 cm/s. (1,1)

A gyakorlati esetek túlnyomó többségében a klasszikus mechanika elegendően pontosnak mutatkozik. Ez a fénysebesség nagy számértékével magyarázható: a mindennapi életben előforduló sebességértékek a fénysebességhez képest általában annyira kicsik, hogy az eredmények pontosságát gyakorlatilag nem befolyásolja, ha a fénysebességet végtelen nagynak tételezzük fel.

A relativitási elvnek és a kölcsönhatás véges terjedési sebességének egyesítését Einstein-féle relativitási elvnek nevezzük (A. Einstein 1905) a kölcsönhatás terjedési sebességének végtelenségét feltételező Galilei-féle relativitási elvtől való megkülönböztetésül.

Az Einstein-féle relativitási elvet a továbbiakban egyszerűen relativitási elvnek mondjuk. A reá épülő mechanikát relativisztikus mechanikának nevezzük. Abban a határesetben, amikor mozgó testek sebességei kicsinyek a fénysebességhez képest, a kölcsönhatás terjedési sebességének véges volta elhanyagolhatóan kis befolyást

1. §. A KÖLCSÖNHATÁSOK TERJEDÉSI SEBESSÉGE 13

gyakorol a mozgásra. Ekkor a relativisztikus mechanika gyakorlatilag átmegy a szokásos mechanikába, amely eleve feltételezi, hogy a kölcsönhatások terjedése pillanatszerű; ezt a mechanikát Newton-féle vagy klasszikus mechanikának nevezzük. A relativisztikus mechanikából a klasszikus mechanikát formálisan úgy kaphatjuk meg, hogy a relativisztikus mechanika képleteiben elvégezzük a c -*• °o határm enetet.

A tér már a klasszikus mechanikában is relatív, azaz a különböző események között fennálló térbeli kapcsolatok függenek attól, hogy azokat melyik vonatkoztatási rendszerben írjuk le. Az a kijelentés, hogy két különböző időpontban végbement esemény a tér ugyanazon helyén vagy egymástól adott távolságban megy végbe, csak akkor értelmes, ha megmondjuk: melyik vonatkoztatási rendszerhez viszonyítva tettük ezt a kijelentést.

Az idő a klasszikus mechanikában abszolút: az idő tulajdonságai nem függenek a vonatkoztatási rendszertől, az idő minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz. Ha tehát valamely két esemény valamilyen megfigyelő számára egyidejű, akkor szükségképpen egyidejű lesz bármilyen másik megfigyelő számára. Általában két adott esemény között eltelt időintervallumnak minden vonatkoztatási rendszerben ugyanakkorának kell lennie.

Könnyen belátható azonban, hogy az abszolút idő fogalma az Einstein-féle relativitási elvvel mély ellentmondásban áll. E célból elég felidézni, hogy az abszolút idő létén alapuló klasszikus mechanikában a sebesség-összetevésnek az a jól ismert szabálya érvényes, amely szerint az összetett mozgás sebessége egyszerűen az összetevő sebességek vektorösszege. Ezt az általános törvényt kellene alkalmaznunk a kölcsönhatások terjedésére is, amiből azonnal következne, hogy a kölcsönhatások terjedési sebessége különböző inerciarendszerekben szükségképpen különböző. így ellentmondásba kerülnénk a relativitás elvével. A tapasztalat azonban teljes mértékben a relativitási elvet igazolja. A mérések szerint (először Michelson, 1881-ben) a fény sebessége teljesen független terjedésének irányától; a klasszikus mechanika szerint a Föld mozgásának irányában terjedő fény sebessége más, mint az ellentétes irányban terjedő fényé.

A relativitási elvből ezek szerint az következik, hogy az idő nem abszolút. Az idő különböző vonatkoztatási rendszerekben különbözőképpen telik. így az a kijelentés, hogy két adott esemény között valamilyen meghatározott időtartam telt el, csak akkor értelmes, ha megmondjuk azt is, melyik vonatkoztatási rendszerben tettük ezt a kijelentést. Például egy bizonyos vonatkoztatási rendszerben egyidejű események nem lesznek egyidejűek egy másik vonatkoztatási rendszerben.

Ennek megvilágítása érdekében vizsgáljuk meg a következő egyszerű példát. Vegyünk két, K és K ' inerciarendszert (a koordinátatengelyek rendre x, y 9 z és x \ y \ z'), és tegyük fel, hogy a K' rendszer a K -hoz képest az x és x' tengelyek mentén jobbra mozog. (1. ábra).

14 1. A RELATIVITÁS ELVE

z z ‘

1. ábra

Induljanak ki jelek az x' tengely valamely A pontjából két ellentétes irányban. Minthogy a jel terjedési sebessége a K ' rendszerben (mint minden inerciarendszerben és mindkét irányban) c, a jelek az A ponttól egyenlő távolságban levő B és C pontokat a K' rendszerben ugyanabban az időpillanatban érik el.

Másrészről viszont könnyű meggyőződni arról, hogy ugyanaz a két esemény (a jel megérkezése 2?-be és C-be) egyáltalán nem lesz egyidejű a K rendszer megfigyelője számára. Valóban, a jel sebessége a K rendszerhez képest a relativitási elv szerint ugyancsak c, és minthogy a B pont (a K rendszerhez képest) elébemegy a feléje küldött jelnek, a C pont pedig (az ^-ból a 2?-be küldött) jel irányával megegyező irányban mozog, a K rendszerben a jel a B pontba előbb érkezik, mint a C pontba.

Ily módon az Einstein-féle relativitási elv az alapvető fizikai nézeteink lényeges megváltozásához vezet. A mindennapi tapasztalat alapján alkotott fogalmaink a térről és időről csak közelítőleg érvényesek, amit azzal tudunk megmagyarázni, hogy a mindennapi életben csak olyan sebességértékekkel van dolgunk, amelyek nagyon kicsik a fénysebességhez képest.

2. §. ívhossz

A későbbiekben gyakran szerepel az esemény fogalma. Egy eseményt meghatároz az a hely, ahol végbement, és az az idő, amikor megtörtént. Tehát valamely anyagi részecskével megtörtént eseményt a részecske három térbeli koordinátája és a tö rténést jellemző időpillanat határoz meg.

A szemléletesség kedvéért gyakran hasznos négydimenziós ábrázolást használni, amelynek tengelyein a három térkoordinátát és az időt mérjük fel. Ebben a négydimenziós térben az esemény egy ponttal ábrázolható. Ezeket a pontokat világpontoknak nevezzük. A négydimenziós térben minden részecskének egy bizonyos vonal ( világvonal) felel meg. A világvonal pontjai meghatározzák a részecske koordinátáit minden időpillanatban. Az egyenes vonalú egyenletes mozgást végző anyagi pont világvonala egyenes.

2. §. ÍVHOSSZ 15

Most megfogalmazzuk matematikai alakban a fénysebesség állandóságát. E célból felveszünk egy K és egy K' vonatkoztatási rendszert, melyek egymáshoz képest állandó sebességgel mozognak. Koordinátatengelyeiket úgy választjuk meg, hogy az x és x' tengelyek essenek egybe, az y és z tengelyek pedig legyenek párhuzamosak az y ' és z' tengelyekkel; az időt a K rendszerben í-vel, a ^T'-ben f -vei jelöljük.

Legyen az az első esemény, hogy a K rendszer x i 9 y i 9 z 1, koordinátájú pontjából a K rendszer ti időpillanatában egy fénysebességgel terjedő jel indul ki. Ennek a jelnek terjedését fogjuk nyomon követni a K rendszerből. Második esemény legyen az, hogy a jel a t2 időpillanatban megérkezik az x 2, yz, z2 pontba. A jel fénysebességgel terjed, tehát az általa megtett út c(t2— ti). Ugyanakkor ez az út egyenlő az [(x2—x i)2jr + (^2 —y i)2+ (z2~ z i f ]112 távolsággal. A két esemény K rendszerben érvényes koordinátái között fennáll tehát az alábbi összefüggés:

(^2 -^2 )2+ ( J 2 - J i ) 2+(Z2-Z2)2-C 2(/2- / i ) 2 = 0 . (2,1)

Ugyanez a két esemény (a jel terjedése) a K' rendszeren is megfigyelhető. Legyenek az első esemény koordinátái a K ' rendszerben x l9 y 'l9 z 'l9 t[, a második eseményé pedig x '29 y 29 z29 t'2.A K é s K ' rendszerekben a fénysebesség azonos, tehát a (2,l)-hez hasonlóan azt kapjuk, hogy

Oá - a-;)2 + 0 4 - v í ) 2+ - z'yf - c2(t:2 - t^ f i = o. (2 ,2 )

Ha x i 9 y i 9 zi, ti és x %, y %9 z2, H valamilyen két esemény koordinátái, akkor az

*2 = [c2(t 2 - / 1)2 - (x 2 - X I f - Cy2 - y i f - (Z2 - Z i ) 2] 1/2 (2,3)

mennyiséget a két esemény ívhosszának nevezzük.Minthogy a fénysebesség minden inerciarendszerben ugyanakkora, ha két esemény

ívhossza az egyik rendszerben eltűnik, akkor az nulla az összes többi rendszerben is.

Ha két esemény végtelenül közel van egymáshoz, ívelemnégyzetük az alábbi módon adható meg:

ds2 = c2 dt2 - d x 2 - dy2 - d z 2. (2,4)

A (2,3) vagy a (2,4) kifejezések alakja lehetővé teszi, hogy az ívhosszat formailag úgy kezeljük, mint egy négydimenziós tér (amelynek a tengelyeire az x, y 9 z koordinátákat és a ct szorzatot mérjük fel) két pontjának távolságát. Az ívhossz nagyságát meghatározó szabályunk és a geometriai távolság kiszámítására vonatkozó szabály közt van azonban egy lényeges különbség: az ívhossz négyzetének képzésekor a különböző koordináták különbségeinek négyzetét nem azonos, hanem különböző előjelekkel kell összeadni.1

1 A (2, 4)|kvadratikus alakkal meghatározott geometriát pszeudoeuklideszi geometriának nevezik, a szokásos euklideszi geometriától való megkülönböztetésül. Ezt a geometriát a relativitáselmélettel kapcsolatban G. Minkowski vezette be.


Amint a fentiekben megmutattuk, ha valamely inerciarendszerben ds = 0, akkor egy másik inerciarendszerben is ds' = 0. Másrészről ds és ds' azonos rendben végtelen kicsiny mennyiségek. Ebből a két tulajdonságból következik, hogy ds2-nek és ds'2-nek arányosaknak kell lenniük egymással:

ds2 = a ds'2.

Itt az a együttható csupán a két inerciarendszer relatív sebességének abszolút értékétől függhet. (A hely- és időkoordinátáktól azért nem függhet, mert akkor a tér különböző pontjai és a különböző időpillanatok nem lennének egyenértékűek, ami ellentmondásban áll a téridő homogenitásával. Nem függhet a relatív sebesség irányától sem, mert ez a tér izotrop voltának mondana ellent.)

Vizsgáljunk meg ezek után három vonatkoztatási rendszert, K-1, £ i-et, K 2-1, és jelöljük Vi-gyel és V2 -vel a Ki és K 2 rendszer K -hoz viszonyított mozgásának sebességét. Ekkor

ds2 = a (Fx) ds\, ds2 = a (V2) d s \.

Ugyanilyen joggal azt is írhatjuk, hogy

ds\ = a (F12)ífe |,

ahol V 12 a K 2 rendszer ^Ti-hez viszonyított mozgása sebességének abszolút értéke. Ezeket az egyenlőségeket egymással összehasonlítva, azt kapjuk, hogy teljesül az

W 7 ) = (2' 5)

összefüggés. De V í2 nemcsak a Vi és V2 vektorok abszolút értékétől, hanem a közöttük levő szögtől is függ. Ugyanakkor (2,5) bal oldalán ez a szögfüggés nem lép fel. Ezért a (2,5) összefüggés csak akkor lehet érvényes, ha az a(V) függvény állandó. Az állandó értéke (2,5) szerint csak 1 lehet, tehát

ds2 = ds'2. (2,6)

A végtelen kicsiny ívelemek egyenlőségéből a véges ívhosszak egyenlősége is következik: s = s'.

Végeredményben így ahhoz a nagyon jelentős eredményhez jutottunk, hogy az események ívhossza minden inerciarendszerben ugyanaz, tehát az ívhossz invariáns minden olyan transzformációval szemben, amely egy adott inerciarendszerről valamilyen másik inerciarendszerre való áttérést jelent. Ez az invarianciatulajdonság éppen a fénysebesség változatlanságának matematikai megfogalmazása.

Valamely K vonatkoztatási rendszerben jelölje ismét xi, y i, zi, ti és x 2, y 2, z2, t2 két esemény koordinátáit. Kérdés, létezik-e olyan K ' vonatkoztatási rendszer, amelyben €z a két esemény a tér ugyanazon pontjában megy végbe.

2. §. ÍVHOSSZ 17

Bevezetve a

h~h = *12> (*2 - *i)2+ O2 - l)2 + ( Z2 - zí)2 = l'ii jelölést, az események ívhosszának négyzete a K rendszerben

„2 _ r 2f2 __7212 — c l12 112?

és a K' rendszerben„ '2 _ r 2t' 2 _ J ' 2 *12 — c *12 l 12 •

Az ívhossz invarianciája miatt

r 2f2 72 _ r 2 f ' 2 _ l ' 2 6 *12 *12 — 6 *12 *12 *

Azt akarjuk, hogy a rendszerben a két esemény ugyanabban a térbeli pontban menjen végbe, azaz í12 = 0 legyen. Ekkor

s\ 2 = c2t\2 - l \ 2 = c2t[l > 0.

Tehát a kívánt tulajdonságú vonatkoztatási rendszer akkor létezik, ha s \ 2 > 0, azaz az események ívhossza valós. A valós ívhosszakat időszerű ívhosszaknak nevezzük.

Ha tehát két esemény között az ívhossz időszerű, akkor létezik olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a két esemény ugyanazon a helyen megy végbe. Ebben a rendszerben a két esemény között eltelt id ő :

= (2,7)

Ha két esemény ugyanazzal a testtel történik meg, akkor a két esemény intervalluma mindig időszerű. Valóban, az az út, amit a test a két esemény között megtesz, nem lehet több, mint ct12,, mivel a test sebessége nem lehet nagyobb, mint a fénysebesség. Ezért mindig teljesül, hogy

l \2 < Ct\o •

Ezek után felvetődik a kérdés, lehetséges-e olyan koordináta-rendszert választani, amelyben a két esemény ugyanabban az időpillanatban megy végbe? Csakúgy, mint az előzőekben, a K és K' rendszerekben most is igaz, hogy c2t\ 2 — l\ 2 —Azt követeljük, hogy t12 = 0 legyen, tehát

S22 = — I±2 < 0 .

Következésképpen csak abban az esetben lehet találni a keresett tulajdonságú rendszert, ha a két esemény ívhossza képzetes. A képzetes ívhosszakat tér szerű ívhosz- szaknak nevezzük.

Ha tehát két esemény ívhossza térszerű, akkor létezik olyan vonatkoztatási2 Elméleti fizika II. - 4 2 221/11.


rendszer, amelyben a két esemény egyidejű. Ebben a rendszerben az események távolsága :

hl = 1 12 ^2 12 — ^12 • (2?8)

Az ívhosszak időszerű és térszerű ívhosszakra való felosztása (az ívhossz invarianciája miatt) abszolút fogalom. Ez azt jelenti, hogy az ívhossz időszerű vagy térszerű volta nem függ a vonatkoztatási rendszertől.

Válasszunk most valamilyen eseményt — jelöljük O-val — a négydimenziós téridőkoordinátarendszer origójának. így a négydimenziós koordináta-rendszerben, amelynek tengelyeire az a% y, z és t értékeit mérjük fel, az O eseménynek megfelelő világpont

t

abszolút

2. ábra

a koordináták kezdőpontja lesz. Vizsgáljuk meg ezek után, milyen viszonyban van az adott O eseménnyel a többi esemény. A szemléletesség kedvéért csak az időt és az egyik térkoordinátát vegyük szemügyre, amelyeket két tengelyre mérünk fel. A z x = 0, t = 0 ponton áthaladó, egyenes vonalú egyenletes mozgást végző részecskét olyan egyenes vonal ábrázolja, amely átmegy 0 -n és a t tengelyhez viszonyított meredeksége egyenlő a részecske sebességével. Minthogy a lehető legnagyobb sebesség a fénysebesség, létezik legnagyobb szög, amelyet a szóban forgó egyenes a t tengellyel bezárhat. A 2. ábrán két olyan egyenest tüntettünk fel, melyek két, az O eseményen (azaz az x = 0 ponton, t = O-ban) ellentétes irányban áthaladó jel (fénysebességgel történő) terjedését ábrázolják. Mindazok a vonalak, amelyek részecskék mozgásait ábrázolják, csak az aOc és dOb tartomány belsejében fekhetnek. Az ab és cd egyenesek egyenlete nyilvánvalóan x = ± c t. Vizsgáljuk meg most azokat az eseményeket, amelyeknek világvonalai az aOc tartomány belsejében futnak. Könnyű belátni, hogy e tartomány minden pontjában c2t2—x 2 > 0. Más szóval, e tartomány bármely pontjának és az O eseménynek az intervalluma időszerű. Ebben a tartom ányban t > 0, azaz e tartomány mindegyik eseménye az O esemény „után” ment végbe.

3. §. SAJÁTIDŐ 19

Két olyan esemény azonban, amelyet időszerű ívhossz választ el, semmilyen vonatkoztatási rendszerben sem lehet egyidejű. Nincsen tehát olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az aOc tartomány bármely eseménye az O esemény „előtt” ment volna végbe, vagyis amikor t < 0 volt. Tehát az aOc tartomány minden eseménye jövőbeli az O eseményhez képest, mégpedig bármelyik vonatkoztatási rendszerben. Ezért ezt a tartományt az O eseményhez viszonyított „abszolút jövőnek” nevezhetjük.

Teljesen hasonlóan a bOd tartomány mindegyik eseménye „abszolút múltbeli” azO eseményhez képest, hiszen e tartomány eseményei minden vonatkoztatási rendszerben az O esemény előtt mentek végbe.

Végül vizsgáljuk még meg a dOa és cOb tartományokat. E tartomány bármelyik eseményének és az O eseménynek az ívhossza térszerű. Ezek az események bármelyik vonatkoztatási rendszerben különböző térbeli pontokban játszódnak le. Ezért ezeket a tartományokat az O eseményétől „abszolút elválasztott” tartományoknak nevezhetjük. Az „egyidejű”, „előbb” és „később” fogalmak mindezen eseményekre relatívek. E tartományban bármely eseményhez lehet találni olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben az esemény korábban zajlik le, mint O, olyat, amelyben később zajlik le, mint O, és végül olyan rendszert is, amelyben a vizsgált esemény O-val egy- időben megy végbe.

Ha az egy térbeli koordináta helyett mind a három térkoordinátát figyelembe vesz- szük, akkor a 2. ábra két egymást metsző egyenesei helyett az x, y, z, t koordináták négydimenziós koordináta-rendszerében az x 2 y 2 z2— c2t2 = 0 „kúpot” kapjuk, amelynek tengelye a t tengellyel esik egybe. (Ezt a kúpot „fénykúpnak” szokás nevezni.) Az „abszolút jövő” és az „abszolút múlt” tartományai természetesen e kúp belső tartományát képezik.

Két esemény között csak akkor lehet oksági összefüggés, ha közöttük az intervallum időszerű. Ez közvetlen következménye annak, hogy semmilyen kölcsönhatás sem terjedhet a fénysebességnél nagyobb sebességgel. Amint a fentiekben láttuk, ilyen eseményekre a „korábban”, „későbben” fogalmaknak abszolút'értelmük van, és ez szükséges feltétele annak, hogy az ok és okozat fogalmainak fizikai értelme legyen.

3. §. Sajátidő

Tételezzük fel, hogy valamilyen inerciarendszerből figyelünk egy hozzánk képest tetszőlegesen mozgó órát. Az óra mozgása bármely pillanatban meghatározott sebességgel jellemezhető. így minden időben található az órával pillanatnyilag együtt - mozgó (egyező sebességű) koordináta-rendszer, amelynek a sebessége állandó, amely tehát inerciarendszernek tekinthető.2*


Végtelenül kicsi dt időtartam elteltével (a nyugvó, azaz a mi rendszerünkben levő órán mérve) a mozgó óra

Ydx2+ dy2 + dz1

távolságban lesz. Kérdés, mekkora dt' időtartam elteltét mutatja ugyanekkor a mozgó óra? A mozgó órához rögzített koordináta-rendszerben ez az óra nyugalomban van, így ott dx' = dy ' = dz' = 0.

Az ívelemnégyzet invarianciája miatt

ds2 = c2 dt2 —dx2 —dy2 —dz2 = c2 dt ' 2 ,

amiből

,1. lA, dx2 + dy2 + dz2

Ded\--\d y--\- d: 1 _ 2

df* * ’

ahol v a mozgó óra pillanatnyi sebessége; így

dt' = T = dtí 1- ^ - ( 3 ’1 }

Ezt a kifejezést integrálva, megkaphatjuk a mozgó óra által jelzett t'2—1[ időtartamot, ha a nyugvó óra szerint t2 — h időtartam telik el:

*2 ____

(3,2)ti

Azt az időt, amelyet valamely adott tárggyal együtt mozgó óra mér, a szóban forgó tárgy sajátidejének nevezzük. A (3,1) és (3,2) képletek a sajátidőt annak a vonatkoztatási rendszernek az idejével kifejezve adják meg, amelyben a mozgást vizsgáljuk.

A (3,1) vagy a (3,2) képletekből láthatjuk, hogy a mozgó objektum sajátideje mindig kisebb annál az időtartamnál, amit a nyugvó rendszerben mérünk. Másképp kifejezve, a mozgó órák lassabban járnak, mint a nyugvók.

Végezzen egy óra egyenes vonalú egyenletes mozgást a K inerciarendszerhez képest. Az órához rögzített K' vonatkoztatási rendszer szintén inerciális. Ekkor a K -ban ülő megfigyelő szerint a K ' rendszer órái lassabban járnak, mint a saját órái. Fordítva, a rendszerbeli megfigyelő szerint a ^ rendszerbeli órák járnak lassabban. Meggyőződhetünk arról, hogy ez nem jelent semmiféle ellentmondást, ha figyelembe

3. §. SAJÁTIDŐ 21

vesszük a következőket. Ha ki akarjuk mutatni, hogy a K' rendszerbeli órák késnek a K rendszerbeli órákhoz képest, a következőképpen járhatunk el. Egy bizonyos időpillanatban haladjon el egy K '-ben levő óra egy ^T-ben levő óra mellett, és az órák állása egyezzen meg. Ha egy későbbi időpillanatban össze akarjuk hasonlítani a K és K ' óráinak járását, a K' rendszer előbb tárgyalt óráját most a K rendszer egy másik órájával kell egybevetnünk, azzal, amelyik mellett a K ’-ben levő óra a későbbi időpillanatban éppen elhalad. Azt kapjuk, hogy a K '-ben kiszemelt óra késik K óráihoz képest. Látjuk, hogy két különböző rendszerben levő órák járását akkor tudjuk összehasonlítani, ha van néhány óránk az egyik és egy óránk a másik rendszerben. Eljárásunk tehát nem szimmetrikus a két rendszerre nézve. Mindig az az óra késik, amelyet a másik vonatkoztatási rendszer különböző óráival hasonlítunk össze.

Tekintsünk két órát, amelyek egyike zárt pályán mozog a másik (inerciarendszerünkben nyugvó) órához képest. Amikor a mozgó óra visszatér a kiindulási pontba, a mozdulatlan órához, azt tapasztaljuk, hogy a mozgó óra késik a mozdulatlan órához képest. A fordított érvelés, amely a mozgó órát tekintené mozdulatlannak, most nem használható, minthogy az olyan óra, amely zárt pályán mozog, nem végez egyenes vonalú egyenletes mozgást, tehát a hozzá rögzített vonatkoztatási rendszer nem lehet inerciarendszer.

Ha a természettörvények csak inerciarendszerekben azonosak, az álló órához (inerciarendszer), illetve a mozgó órához (nem inerciális rendszer) rendelt vonatkoztatási rendszerek különböző tulajdonságúak, így az a megfontolás, amely szerint a nyugvó órának késnie kell a mozgóhoz képest, többé nem érvényes.

Bármely óra által m utatott időtartam egyenlő az ennek az órának a világvonala

az időtengellyel párhuzamos egyenes; ha azonban az óra zárt görbe mentén végez gyorsuló mozgást, és visszatér a kiindulási helyre, akkor világvonala olyan görbe, amely a nyugvó óra egyenes világvonalát két pontban metszi: a mozgás kezdetén, illetve végén. Láttuk azonban, hogy a nyugvó órák mindig nagyobb időtartamot mutatnak, mint a mozgók. Ily módon azt a végkövetkeztetést vonhatjuk le, hogy két adott világpont között az J ds vonal menti integrál akkor maximális, ha e két pontot összekötő egyenes mentén integrálunk.2

2 Természetesen mindig feltételezzük, hogy ezek a pontok és a pontokat összekötő vonalak olyanok, hogy minden ds vonalelem időjellegű.

Az integrál fent kimutatott tulajdonsága a négydimenziós geometria pszeudoeuklideszi voltával kapcsolatos. Euklideszi térben az egyenes vonal mentén vett integrál természetesen minimális lenne.

1 f ds vonal menti integrállal. Ha az óra nyugalomban van,világvonala


4. §. Lorentz-transzformáció

Az alábbiakban meghatározzuk az egyik inerciarendszerről a másikra való áttérés transzformációs képleteit, vagyis azokat az összefüggéseket, amelyek segítségével egy esemény valamely K inerciarendszerbeli x, y, z, t koordinátáinak ismeretében ki tudjuk számítani ugyanannak az eseménynek egy K' inerciarendszerbeli x', y \ z', f koordinátáit.

A klasszikus mechanikában e feladat megoldása nagyon egyszerű. Az abszolút idő feltételezésének megfelelően t = t'\ továbbá ha a koordinátatengelyeket úgy választjuk, ahogy azt eddigi példáinkban tettük (tehát az x és x' tengelyek egybeesnek, az y, z tengelyek párhuzamosak az y \ z' tengelyekkel, a mozgás pedig az x és x ' tengelyek mentén történik), akkor az y és z koordináták nyilván megegyeznek az y' és z' koordinátákkal, az x és x' koordináták pedig azzal a távolsággal különböznek, amelyet az egyik rendszer a másikhoz képest megtett. Ha az időt attól a pillanattól mérjük, amikor a két rendszer koordinátái egybeestek, továbbá ha a K' rendszer sebessége AMioz képest V, akkor ez a szóban forgó távolság Vt. Tehát

x = x' + Vt, y — y \ z — z ’, t = t ' . (4,1)

Ezek a képletek írják le a Galilei-transzformációt. Könnyű belátni, hogy ez a transz- formáció nem tesz eleget a relativitási elvnek: két esemény ívhossza egy ilyen transz- formáció alkalmával nem marad változatlan.

A relativisztikus transzformációs képletek éppen abból a követelményből kiindulva határozhatók meg, hogy a transzformáció során az események között az intervallumok változzanak.

Amint a 2. §-ban láttuk: két esemény intervallumát a megfelelő két világpont tá volságának tekinthetjük a négydimenziós koordináta-rendszerben. Azt mondhatjuk tehát, hogy a keresett transzformáció szükségképpen minden távolságot változatlanul hagy az x, y, z, ct négydimenziós térben. Ilyen transzformáció azonban csak a párhuzamos eltolás és a koordináta-rendszer forgatása. Közülük a koordináta-rendszernek önmagával való párhuzamos eltolása érdektelen, mivel az nem jelent mást, mint a tér koordináták origójának eltolását és az időmérés kezdőpillanatának megváltoztatását. Tehát a keresett transzformáció matematikailag az x, y , z, t négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásaként adható meg.

A négydimenziós térben minden forgatást hat speciális forgatásból lehet összetenni, mégpedig az xy , zy, xz, tx , ty , tz síkokban való forgatásokból (ahhoz hasonlóan, ahogy a közönséges térben minden forgatást három, az xy, zy és xz síkokban való

4. §. LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ 23

forgatásból tehetünk össze). E hat forgatásból az első három csupán a térkoordinátákat transzformálja; ezek a szokásos háromdimenziós forgatások.

Vizsgáljuk ezek után a tx síkbeli elforgatást; ebben az esetben az y és z koordináták változatlanok maradnak. Az ilyen transzformációnak speciálisan a (ct)2—x 2 különbséget (a ct, x pont origótól mért „távolságának” négyzetét) kell változatlanul hagynia. A régi és az új koordináták kapcsolata e transzformáció esetében a legáltalánosabb alakban az alábbi képletekkel adható meg :

ahol ip az „elfordulás szöge”. Könnyen beláthatjuk, hogy a (4,2) transzformáció esetén valóban fennáll a cH2—x 2 = c2t'-—x ' 2 egyenlőség. A (4,2) összefüggések abban különböznek a koordinátatengelyek forgatását megadó szokásos képletektől, hogy bennük trigonometrikus függvények helyett hiperbolikus függvények szerepelnek. Ebben nyilvánul meg a pszeudoeuklideszi és az euklideszi geometria különbsége.

írjuk most fel a K inerciarendszerről olyan K' inerciarendszerre történő áttérés szabályait, amely ^T-hoz képest V sebességgel mozog az x tengely mentén. Nyilvánvaló, hogy a transzformáció ebben az esetben csupán az x koordinátát és a t időt változtatja meg. Ezért a régi és az új koordináták kapcsolata (4,2) alakú, csupán a ip szöget kell meghatároznunk, mely csak a V relatív sebességtől függhet.3

Vizsgáljuk a K rendszerből K ' origójának a mozgását. Ekkor x' = 0, a (4.2) képletek

Nyilvánvaló azonban, hogy x /t a K' rendszernek a K -hoz viszonyított V sebessége.

x — x ' eh ip-\- ct' sh y), ct = x f sh ip + ct' eh y)9 (4,2)

x = ct' sh ip, ct = ct' eh íp

alakúak lesznek; egyiket a másikkal elosztva:

x t— = thw. ct r

Tehát

th ip = —c

Ebből

Vc 1

3 A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy K-vel mindenütt a két inerciarendszer állandó relatív sebességét jelöljük, v-vel pedig a mozgó részecske sebességét; az utóbbinak egyáltalán nem kell állandónak lennie.


Ezeket az összefüggéseket (4,2)-be helyettesítve, kapjuk, hogy

x ' + Vt' y = y', z = z \ t = (4,3)

Ezek a keresett összefüggések. A (4,3) képletek írják le a Lorentz-transzformációt9 amely a későbbiek szempontjából alapvető jelentőségű.

Az x \ y ' 9 z', t' koordinátákat x 9 y 9 z, í-vel kifejező inverz összefüggéseket F-nek— F-vel való helyettesítésével kaphatjuk meg a legegyszerűbben, (minthogy a K rendszer a ^ '-höz képest — V sebességgel mozog). Ezeket az inverz képleteket közvetlenül is megkaphatjuk a (4,3) egyenletnek x \ y ' 9 z ' 9 ?-re való megoldásával.

Könnyű belátni (4,3) segítségével, hogy a c ^ határesetben a Lorentz-transzfor- máció képletei valóban átmennek a klasszikus mechanikában megismert Galilei- transzformáció képleteibe.

V > c esetén a (4,3) összefüggések szerint az x, t koordináták képzetessé válnak. Ebből arra kell következtetnünk, hogy a fénysebességnél nagyobb sebességű mozgás nem lehetséges. Sőt olyan koordináta-rendszert sem használhatunk, amely a fény- sebességgel megegyező sebességgel mozog — ebben az esetben ui. a (4,3) képletben a nevező zérussá válna.

A fénysebességhez képest kis sebességek esetén (4,3) helyett az alábbi közelítő képleteket kapjuk:

Tekintsük a K rendszerben nyugvó, a tengellyel párhuzamos vonalzót. Ennek hosz- szát a K rendszer megfigyelője A x = x 2—x i értékűnek méri. (x2 és x i a vonalzó két végének a koordinátái a K rendszerben.) Mekkora ugyanennek a vonalzónak a hossza a K' rendszerben? E célból meg kell határoznunk valamilyen f időpillanatban a vonalzó végeinek koordinátáit (x '2 és xí) ebben a rendszerben. (4,3) szerint:

x = x ' + V t\ y = y \ z = z', (4,4)

A rúd hossza a K ' rendszerben A x = x 2—x x\ kivonva x 2-ből x^et, az találjuk, hogy

4. §. LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ 25

A rúd sajáthosszának nevezzük a rúdnak abban a koordináta-rendszerben mért hosszúságát, amelyben az nyugalomban van. Jelölje /0 = A x a sajáthosszat. V alamilyen másik K ' rendszerben a rúd hossza legyen /. Ekkor

A rúd hossza tehát abban a rendszerben a legnagyobb, amelyikben nyugalomban van. A rúd hossza olyan rendszerben, amelyben az V sebességgel mozog, ]f\ - V2/c2 -szer rövidebb. A speciális relativitáselméletnek ezt az eredményét Lorentz-kontrakciónak nevezzük.

Minthogy a test transzverzális méretei mozgása folyamán nem változnak, a test <V térfogata /-hez hasonlóan csökken:

(Ö = <V0 ^ \ ~ , (4,6)

ahol (Vo a test sajáttérfogata.

A Lorentz-transzformáció segítségével levezethetjük a sajátidőre vonatkozó ismert eredményünket is (3.§). Legyen egy óra nyugalomban a K ' rendszerben. Két eseményként válasszunk olyan eseményeket, amelyek a K' rendszerben a térnek ugyanabban az x \ y \ z \ pontjában mennek végbe. E két esemény közt eltelt idő a K ' rendszerben legyen A t' — t^—t . Határozzuk most meg azt a At időtartamot, amely a K rendszerben ugyanezt a két eseményt elválasztja. (4,3)-ból azt kapjuk, hogy

, V , V .

ti = ----- , 12 = ----------- .

Az egyiket a másikból kivonva:

teljes egyezésben a (3,l)-gyel.Végül megemlítjük a Lorentz-transzformációnak még egy olyan általános tulaj

donságát, amelyben különbözik a Galilei-transzformációtól. A Galilei-transzformációk egymással felcserélhetők, ami azt jelenti, hogy két, egymást követő Galilei- transzformáció (különböző Vi és V2 sebességekkel) végeredménye független végrehajtásuk sorrendjétől. Két, egymást követő Lorentz-transzformáció eredménye viszont


általában függ elvégzésük sorrendjétől. Tisztán matematikai szempontból ez a tulajdonság már abból látható, hogy a Lorentz-transzformációt formálisan a négy- dimenziós koordinátatérben forgatásként értelmeztük. Ismeretes, hogy két (különböző tengely körül végzett) forgatás eredménye függ a forgatás végrehajtásának sorrendjétől. Kivételt csak a párhuzamos Vi és V2 vektoroknak megfelelő transzformációk képeznek (ami a koordináták négydimenziós terében azonos tengely körül elvégzett két forgatásnak felel meg).

Az előző fejezetben sikerült levezetnünk azokat a képleteket, melyek lehetővé teszik, hogy egy esemény valamilyen inerciarendszerben adott koordinátáiból kiszámítsuk egy másik rendszerbeli koodinátáit. Most meghatározzuk egy mozgó részecske különböző inerciarendszerben érvényes sebességkomponenseinek összefüggéseit.

Válasszuk ismét úgy a K és K' inerciarendszert, hogy a T a l rendszerhez képestV sebességgel mozogjon az x tengely mentén. Legyen vx = dxfdt a részecske sebességének x komponense a K rendszerben, vx = dx'/dt' pedig e részecske sebességének x komponense a K' rendszerben. (4,3) szerint:

5. §. Sebességek transzformációja

dx —d x '+ V d t'

-i/ v i /dt -f — dx c2

Elosztva az első három egyenletet a negyedikkel, továbbá bevezetve a

drdt’

jelöléseket, azt kapjuk, hogy

(5,1)

Ezek a képletek határozzák meg a sebesség transzformációját. (5,1) a sebességössze- tevés szabálya a speciális relativitáselméletben. A c » határesetben azt kapjuk, hogy vx = v'x+ V, vy = v'y, vz = v'z.

5. §. SEBESSÉGEK TRANSZFORMÁCIÓJA 27

Speciálisan, ha a részecske mozgása az x tengellyel párhuzamos, vx = v ,v y = v2 — = 0, azt kapjuk, hogy v'y = v'z = 0, vx = v 'é s

Könnyű belátni, hogy amíg az összetevő sebességek kisebbek a fénysebességnél, vagy azzal egyenlőek, az eredő sebesség sem lehet nagyobb a fénysebességnél.

A fénysebességnél jóval kisebb V sebességértékek esetén (tetszőleges v mellett) V/c szerint sorba fejthetünk. Első rendben azt kapjuk, hogy

alakban foglalhatjuk össze.Figyeljük meg, hogy a sebesség-összeadás (5,1) relativisztikus törvényében a v' és

V összetevő sebességek nem szimmetrikusan szerepelnek (hacsak nem mindkettő az x tengellyel párhuzamos). Ez a körülmény természetes kapcsolatban van a Lorentz- transzformációknak az előző szakaszban említett nem felcserélhető voltával.

Válasszuk meg most úgy a koordinátákat, hogy valamely adott pillanatban a részecske sebessége az xy síkban legyen. Ekkor a K rendszerben a részecske sebességkomponensei vx = v cos 0 és vy = v sin 0, a K' rendszerben pedig v'x = v cos 0' és v'y = v sin 6 ' (i7, v és 0, 0' a sebességek abszolút értékei, illetve az x és x tengellyel bezárt szögeinek értékei a K és K f rendszerben). Az (5,1) képlet segítségével azt kap-

Ezeket az egyenlőségeket vektorjelölést használva, a

v - y '+ V — - (Vv')v'cz

(5,3)

juk, hogy

tg 0 = (5,4)v' cos d' + V

Ez a képlet megadja a sebesség irányának változását egyik vonatkoztatási rendszerről egy másikra való áttérés során.

Fontos speciális esetként vizsgáljuk meg a fényaberrációt: hogyan változik meg a

fény terjedésének iránya, ha egy adott vonatkoztatási rendszerről egy másikra térünk át? Ebben az esetben v = v' — c, és így a fenti képlet


\í i - r4!/ 1 ----2tg 0 = ---------— sin 6 ' (5,5)

---- (-cos 0'c

alakú.Az (5,1) összefüggésekből kiindulva, könnyen megkaphatjuk a sin 0-ra és a cos 0-ra

vonatkozó transzformációs képleteket is :

^ A, Vcos 0 H----sin 0 = — —— -— sin 0', cos 0 = -----—----- — . (5,6)

l + _ _cos6 ' 1 + — COS0'c c

A V « c esetben az (5,6) egyenletekből, F /c szerint első rendben adódik, hogy

Vsin 0 — sin 0' = ----- sin 6 ' cos 0 '.

c

Bevezetve a z!0 = 0' — 0 (aberrációs szög) jelölést, ugyancsak első rendben:

A 6 = — sin6»', (5,7)c

ami nem más, mint a fényaberrációra vonatkozó ismert elemi képlet.

6. §. Négyes vektorok

Egy esemény (ct, x, y, z) koordinátáit úgy foghatjuk fel, mint a négydimenziós tér egy helyzetvektorának négy komponensét (vagy ahogy a rövidség kedvéért mondjuk, mint egy négyes helyzetvektort). E vektor komponenseit a 1-vei jelöljük, ahol i lehetséges értékei 0, 1,2, 3, és

x° = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z \

A négyes helyvektor hosszának „négyzetét” az

(x°)2- ( x 1)2 - ( x 2)2- ( x 3) 2

6. §. NÉGYESVEKTOROK 29

kifejezés definiálja. Ez a kvadratikus alak a négydimenziós tér forgatásaival szemben invariáns.

Általánosságban A 1 négydimenziós vektornak vagy röviden négyes vektornak nevezzük az A °, A \ A 2, y43 négy mennyiség összességét, ha azok a négydimenziós koordináta-rendszer transzformációi során úgy transzformálódnak, mint az x l négyes helyzetvektor komponensei. Lorentz-transzformáció esetén tehát

V VA'O-h— A ' 1 A a -{-----A ' 0

A° = ■ A 1 = ---- , A 2 = A '2, A S = A '3. (6,1)

Egy négyesvektor négyzetét a helyvektor négyzetéhez hasonlóan az

(A0)2 - ( A 1)2 - ( A 2)2 - ( A 3) 2

összeggel definiáljuk. Az írásmód egyszerűsítése céljából előnyös a négyesvektorok lent indexelt komponenseit is definiálni:

A 0 = A °, A i = - A \ A 2 = - ^ 2, A 3 = - A 3. (6,2)

Az mennyiségeket a négyesvektor kontravariáns, az ^ mennyiségeket pedig ugyanazon négyesvektor kovariáns komponenseinek nevezzük. A négyesvektor négyzete ekkor a következő':

£ ^ = A®Ao -j- A 1 A i -J- A 2A 2 -J- A 3A 3 •*=o

Az ilyen típusú összegeket kényelmes egyszerűen alakba írni, elhagyva az összegezés jelét. Általában fogadjuk el szabályként, hogy ha egy adott kifejezésben valamely index kétszer szerepel, akkor a szerint az index szerint összegezni kell, az összegezés jelét pedig elhagyjuk. Az azonos indexek egyikének alsó, másikának felső indexnek kell lennie. Az összegező indexek használata nagyon kényelmes, mert jelentős mértékben egyszerűsíti a képletek alakját.

Ebben a könyvben a 0, 1, 2, 3 értékeket befutó négyesindexeket latin /, k , l , . . . , betűkkel jelöljük.

A négyesvektorok négyzetéhez hasonlóan adható meg két különböző négyesvektor skaláris szorzata is :

A lB t - AOBo + A ^ + A W z+ A W s.

Nyilvánvaló, hogy A lB t és A tBl egyenlő egymással. Általában minden összegező indexpárban a felső és az alsó indexek felcserélhetők.4

4 A legújabb irodalomban gyakran teljesen elhagyják a négydimenziós vektorok indexeit, n égyzeteiket és skalárszorzataikat pedig egyszerűen A2-tel, illetve A 6 -vel jelölik. Ebben a könyvben ilyen jelöléseket nem használunk.

I. A RELATIVITÁS ELVE

Az A tBl szorzat négyesskalár, azaz invariáns a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásaival szemben. Ezt a tulajdonságot közvetlenül is könnyen beláthatjuk,5 de már abból is nyilvánvaló, hogy minden négyesvektor azonos módon transzformálódik.

A négyes vektor A 0 komponensét időszerű komponensnek, az A 1, A 2, A 3 kom ponenseket pedig térszerű komponenseknek nevezzük (a négyes helyvektorra emlékezve). Egy négyesvektor négyzete lehet pozitív, negatív vagy nulla; e három esetnek megfelelően beszélünk időszerű, térszerű és fény szer négyesvektorokról (ismét az intervallumoknál használt terminológiához igazodva).

A tiszta térbeli forgatások esetén (azaz olyan transzformációknál, amelyek az időtengelyt nem érintik) az A 1 négyesvektor három térkomponense háromdimenziós A vektort alkot. A négyesvektor időkomponense pedig (ugyanezen transzformációknál) háromdimenziós skalár. Amikor egy négyesvektor komponenseit felírjuk, gyakran használjuk az

jelölést. Ugyanennek a négyesvektornak a kovariáns komponensei: A t = (A°9 — A), a négyesvektor négyzete pedig A tA l — (A0)2— A2. így a négyes helyvektornál:

A háromdimenziós vektorok esetében ( x ,y , z koordinátákban) természetesen felesleges különbséget tenni kontravariáns és kovariáns komponensek között. Mindenütt (ahol ez nem vezethet félreértésekre) a hármasvektorok komponenseit az A a(oc = x, y, z) alakban írjuk, azaz csak alsó indexeket használunk, melyeket görög betűkkel jelölünk. A kétszer ismétlődő görög betűs indexek x, y, z-re vonatkozó összegezést jelentenek (pl. AB = A^BJ.

Másodrendű négyestenzornak nevezzük a 16 A lk mennyiség összességét, ha az A lk mennyiségek a koordináták transzformációjakor úgy transzformálódnak, mint négyesvektorok komponenseinek a szorzatai. Hasonlóan definiálhatók a magasabb rendű tenzorok is.

5 Csupán arra kell vigyázni, hogy a négyesvektor kovariáns komponenseinek transzformációs törvénye (előjelekben) nem azonos a kontravariáns komponensek transzformációs szabályával, így (6,1) helyett nyilván az

A 1' = (A°, A)

x l = (ct, r), Xi = (ct, —r), x'xi = c2t2— r2.

összefüggések állnak fenn.6 A fényszerű négyesvektorokat izotrop vektoroknak is nevezzük.


Egy másodrendű négyestenzor komponenseit háromféleképpen adhatjuk meg: kontra variáns A lk, kovariáns A ik vagy kevert A \ komponensek formájában. (Az utóbbi esetben általában különbséget kell tennünk A lk és A kl között, azaz vigyázni kell arra, hogy az első vagy a második index áll-e felül.) A komponensek különböző' alakjainak kapcsolatát a következő általános szabály adja meg: az időszerű index felhúzása vagy lehúzása nem okoz változást, de a térszerű indexek (1, 2, 3) felhúzása vagy lehúzása megváltoztatja a komponens előjelét, tehát

Aoo = A 00, Aox = — A01, A n = A 11,Ao° = A 00, Ao1 = A 01, A°i = - A 01, A ! 1 = - A 11, . . . .

Tisztán térbeli transzformációk esetén a kilenc A 11, A 12, . . . , A 33 komponens háromdimenziós tenzort alkot, a három A 01, A 02, A 03 és a három A10, A 20, A 30 komponens háromdimenziós vektort képez, A 00 pedig háromdimenziós skalár.

Az A lk tenzort szimmetrikusnak mondjuk, ha A lk = Ak\ és antiszimmetrikusnak, ha A lk — — Akl. Antiszimmetrikus tenzor valamennyi diagonális eleme (azaz az A 00, A 11, . . . komponensek) zérus, minthogy pl. A 00 = — A 00. Szimmetrikus tenzor esetén az A \ és A kl komponensek megegyeznek, ilyenkor azokat egyszerűen A k alakban írjuk, az indexeket egymás felett helyezve el.

Minden tenzoregyenlőségben az egyenlet két oldalán azonos számú és azonosan (alul vagy felül) elhelyezett szabad (nem összegező) indexnek kell szerepelnie. A ten- zoregyenlőségekben a szabad indexeket áthelyezhetjük (fel- vagy lehúzhatjuk), de az indexek áthelyezését egyidejűleg kell elvégezni az egyenlet minden tagjában. Nem engedhető meg különböző tenzorok kontra- és kovariáns komponenseinek egyenlővé tétele; ha valamilyen véletlen folytán igaz volna is egy ilyen egyenlőség, valamelyik vonatkoztatási rendszerben, biztosan érvényét veszítené egy másik rendszerre való áttéréskor.

Az A lk tenzor komponenseiből összegezéssel skalárt lehet képezni:

AU = A % + A h + A h + A \

(nyilván A \ — A-). Ezt az összeget a tenzor átlósösszegének (spurjának) nevezzük, magát a skalárt képező műveletet pedig a tenzor kontrakciójának (esetleg indexegy- beejtésnek).

Két négyesvektor fentebb vizsgált skalárszorzatának képzése is tulajdonképpen indexegybeejtés: az A lBt skalárt az A lBk tenzorból kontrakcióval képezhetjük. Az indexpárok minden egyes kontrakciója általában 2-vel csökkenti a tenzor rendjét. Például az A lkli mennyiség egy másodrendű tenzor, A lkBk négyesvektor, A lkik skalár stb.

Egységtenzornak nevezzük, és ő^-val jelöljük azt a tenzort, amelyre bármely A 1 vektor esetén fennáll a

dfA 1 = A k (6,3)


egyenlőség. E tenzor komponensei nyilván:

hha / ^ k

E tenzor átlósösszege 8) = 4.Ha a 8 lk tenzor i indexét lehúzzuk, vagy a k indexét felhúzzuk, a glk kontra-,

illetve a gik kovariáns tenzort kapjuk. Ezeket metrikus tenzoroknak nevezzük. A glk és gik tenzorok komponensei azonosak, és mátrixalakban így adhatók meg:

1 0 0 0'0 - 1 0 00 0 - 1 0,0 0 0 —1>

(gik) = (gúc) = I A A , A l ( M

(az i index a sorokat, a k index pedig az oszlopokat számozza a 0, 1, 2, 3 értékek sorrendjében). Nyilvánvaló, hogy

gikA k = A h g ikA k = AK (6,6)

így két négyesvektor skaláris szorzatát a következő alakban is írhatjuk:

A*Ai = gi/cA iA k = gikAiAk . (6,7)

A őj,, g/A:, tenzorok kivételesek abban az értelemben, hogy e tenzorok kom ponensei minden koordináta-rendszerben azonosak. Ugyanilyen tulajdonságú a teljesen antiszimmetrikus negyedrendű elklm egységtenzor is. E tenzor komponense- előjelet váltanak bármelyik két index felcserélésekor, a zérustól különböző komi ponensei -f 1 -gyei vagy — 1 -gyei egyenlők. Az antiszimmetriából következik, hogy e tenzor minden olyan komponense, melynek két vagy több indexe megegyezik, eltűnik. Zérustól csak azok a komponensek különböznek, amelyeknek mind a négy indexe különböző. Legyen

é>0123 = + 1 (6,8)

(ekkor e0i23 = — 1 )• E választás mellett egy zérustól különböző komponens attól függően +1 vagy — 1, hogy az z, k , /, m indexeket páros vagy páratlan számú cserével (permutációval) lehet 0, 1, 2, 3 alakra hozni. Az el nem tűnő komponensek száma: 4! = 24, ezért

eiklmeikim = —24. (6,9)

A koordináta-rendszer elforgatásakor az elklm mennyiségek úgy viselkednek, mint egy tenzor komponensei. Ha viszont egy vagy három koordináta előjelét megváltoztatjuk, az elklm komponensek (mivel definíciójuk minden koordináta-rendszerben azonos) nem változnak meg, noha a tenzorkomponensnek előjelet kellene váltania.


Éppen ezért elklm szigorú értelemben nem mondható tenzornak; szokásos elnevezése: pszeudotenzor. Tetszőleges rendű pszeudotenzorok, például a pszeudoskalárok, amelyek minden koordinátatranszformációnál változatlanok maradnak, kivéve a tükrözéseket (a koordináták előjeleinek olyan megváltoztatását, mely forgatásra nem vezethető vissza), ekkor előjelet váltanak.

Az elklm eprst szorzat nyolcadrendű négyestenzort, mégpedig már valódi négyes - tenzort alkot. Belőle egy vagy néhány indexpár kontrakciójával hatod-, negyed- és másodrendű tenzorokat képezhetünk. Mindezek a tenzorok, valamennyi koordináta- rendszerben azonos alakúak. így komponenseik kifejezhetők a ök egységtenzor szorzatainak lineáris kombinációjaként, minthogy ez az egyetlen olyan tenzor, amelynek komponensei minden koordináta-rendszerben ugyanazok. Ezeket a kombinációkat könnyen megszerkeszthetjük, figyelembe véve az indexek felcserélésével kapcsolatos szimmetriatulajdonságaikat.7

Ha A lk antiszimmetrikus tenzor, akkor az A lk tenzort és az A*lk = ~ e lklmA lm

pszeudotenzort egymás duálisának nevezzük. Hasonlóan az elklmA m harmadrendű antiszimmetrikus tenzor az A 1 vektor duálisa. Az A lkA*k skaláris szorzat nyilvánvalóan pszeudoskalár.

A fent említettekkel kapcsolatban emlékeztetni szeretnénk a háromdimenziós vektorok és tenzorok hasonló tulajdonságaira. Teljesen antiszimmetrikus harmadrendű egységtenzornak nevezzük az e ^ y mennyiségek összességét, melyek bármelyik két indexük felcserélésekor előjelet váltanak. Zérustól csak azok a komponensek különböznek, amelyeknek három különböző indexük van. Az exyz = 1 választással élünk; a többi komponens +1 vagy — 1, attól függően, hogy páros vagy páratlan felcserélést kell ahhoz végrehajtanunk, hogy az a, y sorrendet a, y , z sorrendre változtassuk.8

7 A teljesség kedvéért felsoroljuk a megfelelő képleteket:áj á* ói áj

ea„,,e _ _ 8Í ő?pr“ S' ó’ áj

ö" á”‘ áfeWmeprlm = - 2(á* á* - ájá|), e™mepklm = - 6á j .

E képletekben az általános együtthatók helyességét a teljes kontrakció elvégzésével, a (6, 9) képlet segítségével ellenőrizhetjük. Az első képlet következményeként kapjuk, hogy

e*>rslA ipA krA lsA mt = - A e ikltn, eiklV rstAipAkrA lsA mt = 24A,ahol az A az Aik mennyiségekből képzett determináns.

8 Az é klm négyestenzor komponenseinek invarianciája a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásaival szemben és az e ^ y hármastenzor komponenseinek invarianciája a térbeli koordinátatengelyek elforgatása esetén annak az általános szabálynak speciális folyománya, amely szerint egy teljesen antiszimmetrikus tenzor, ha rendje egyenlő azon tér dimenziójának számával, amelyben a tenzort definiáltuk, invariáns a szóban forgó térben felvett koordináta-rendszer elforgatásaival szemben.

% á* ólpiklnip — _ , c tprsm ó% Óy a

()lr öl

E! n i l jt i fi z i k a l l . - 4 2 221/11.


Az e ^ yeKflv szorzat valódi hatodrendű háromdimenziós tenzort képez, éppen ezért ki tudjuk fejezni a őaj8 háromdimenziós egységtenzor szorzatainak lineáris kombinációjaként.9

A koordináta-rendszer tükrözésekor (mindegyik koordináta előjelének megváltoz-

Az ilyen vektorokat poláris vektoroknak nevezzük. Ugyanakkor egy olyan vektor komponensei, amelyet két polárvektor vektorszorzataként állítunk elő, nem váltanak előjelet. Az ilyen vektorokat axiális vektoroknak nevezzük. Egy poláris és egy axiális vektor skaláris szorzata nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár: előjelet vált a koordináták tükrözésekor. Az axiális vektor egy antiszimmetikus tenzorral duális pszeudovektor. Ha tehát C = AXB, akkor

Térjünk vissza a négyestenzorokhoz. Az A lk antiszimmetrikus négyestenzor térszerű komponensei (/, k = 1,2,3) a tisztán térbeli elforgatásokkal szemben úgy . viselkednek, mint egy háromdimenziós tenzor komponensei; a fent mondottak szerint ezeket a komponenseket kifejezhetjük egy háromdimenziós axiális vektor segítségével is. Ugyanakkor az A01, A 02, A 03 komponensek a tisztán térbeli elforgatásokkal szemben háromdimenziós poláris vektort alkotnak. Ennek megfelelően az antiszimmetrikus négyestenzor komponenseit az

mátrixszal reprezentálhatjuk, ahol a p és a vektorok a térbeli transzformációk során poláris, illetve axiális vektorként viselkednek. Egy antiszimmetrikus négyestenzor komponenseinek felsorolásakor az alábbi jelölést használjuk:

tatása esetén) a közönséges háromdimenziós vektor komponensei is előjelet váltanak.

CQc ahol C Qy ApBy AyBp .

(6,10)

A ik = (p, a);

ugyanennek a tenzornak a kovariáns komponensei pedig:

Aik = ( - P , a).

9 A teljesség kedvéért megadjuk a megfelelő képleteket:

fi£ccjÖyAjuv = •

ÖyA &yu ÖyvHa egy, kettő vagy három indexpárt egybeejtünk, az alábbi összefüggéseket kapjuk:

ajdyX/uy ~ xftyeApy ~ a/Sy a/Sy = 6.

Befejezésül a négydimenziós tenzoranalízis néhány differenciál- és integrálszabályával foglalkozunk.

Egy skalár négyesgradiense négyesvektor:

A parciális deriváltakat egy négyesvektor kovariáns komponenseinek kell tekinte nünk. Valóban: egy skalár

differenciálja ismét skalár; amiből nyilvánvalóan következik (minthogy a jobb oldal két négyesvektor skaláris szorzata), hogy a fenti állítás igaz.

Általában, az x* koordináták szerint végrehajtandó differenciálás d jdx1 operátorait egy négyesvektor-operátor kovariáns komponenseinek kell tekinteni. Ezért pl. egy A 1 négyesvektor dAljd x l kifejezéssel definiált divergenciája skalár, minthogy abban az A 1 kontravariáns komponenseket differenciáljuk.10

A háromdimenziós térben definiálhatunk vonal menti, felületi és térfogati integrálokat. A négydimenziós térben ennek megfelelően négyféle integrálás létezik.

1. Vonal menti integrálás a négydimenziós térben. Az integrálás elemei az ívhosszak, azaz a dxl négyesvektor.

2. Kétdimenziós felületre vett integrálás a négydimenziós térben. M int ismeretes, a háromdimenziós térben két dr és dr' vektorból felépített paralelogramma területének vetülete az x ax^ koordinátasíkra dx^dx^—dx^dx'x. Hasonlóan, a négydimenziós térben a végtelenül kis felületelemet egy másodrendű antiszimmetrikus d f lk =

10 Ha viszont a differenciálást az x{ „kontravariáns koordináták” szerint végezzük, akkor a

differenciálhányadosok egy négyesvektor kontravariáns komponenseit alkotják. Ilyen írásmódot csak kivételes esetben fogunk használni, pl. egy négyesgradiens négyzetének megadásakor:

Megemlítjük, hogy az irodalomban a koordináták szerint képzett parciális deriváltak rövidített jelölésére gyakran használják az alábbi szimbólumokat:

d<P H _ d<P

A differenciálás operátorainak ilyen alakban való felírása szembetűnően mutatja a segítségükkel képzett mennyiségek kontravariáns vagy kovariáns jellegét.

3*


= dx1 d x k—dxk dx ' 1 tenzor segítségével adjuk meg; e tenzor komponensei a felületelemnek a koordinátasíkokra való vetületeit határozzák meg. A háromdimenziós térben, mint ismeretes, egy d f^ tenzor helyett felületelemként egy df^ vektort hasz

nálunk, amely a d f^ tenzor duálisa: d,f{'x = ~ e ^ ydf^y. Geometriai szempontból ez

egy olyan vektor, amely merőleges a felületelemre, és abszolút értéke egyenlő a felületelem nagyságával. A négydimenziós térben ilyen vektor nincs, de képezhetjük a d flk tenzor duálisát, df*lk-t:

df*‘k = 2 e'kh" df,m . (6,11)

Ez a df*lk tenzor geometriailag egy olyan felületelemet ábrázol, amely egyenlő a d flk elemmel, de „merőleges” rá. Ezen azt értjük, hogy az összes d f*lk-ban fekvő szakasz merőleges az összes d f lk-ban levő vonaldarabra. Nyilvánvalóan d f lk df*ik — 0.

3. Hiperfelületen képzett, azaz háromdimenziós felületi integrál. A háromdimenziós térben három vektorból képzett paralelepipedon térfogata, mint ismeretes, egyenlő a vektorok komponenseiből képzett harmadrendű determinánssal. Hasonlóan a négydimenziós térben a d x \ d x '\ dx " 1 négyesvektorokból képzett „paralelepipedon” térfogatának (azaz a hiperfelület „területének”) vetületeit a

dSikldx1 dx ' 1 dx" / dxk dx 'k d x"k dx1 dx ' 1 dx " 1

determinánsokkal adjuk meg, melyek mindhárom indexében antiszimmetrikus harmadrendű tenzort képeznek. De a hiperfelületen végzett integrálás „terület” -elemként előnyösebb a d S lkl tenzorral duális dSl négyesvektort használni:

dSl = ~ eik!m dSkim, dSkIm - enklm dS», (6,12)

ahol

dS° = dS123, dS1 = d S 023, . . . .

Geometriailag dSl egy olyan négyesvektor, amelynek nagysága egyenlő a hiper- felületbeli elem „területével”, iránya pedig merőleges a felületelemre (azaz merőleges a hiperfelület-elem összes egyenesére). Speciálisan dS° = dx dy dz, ez éppen a három- dimenziós dV térfogatelem, a hiperfelület-elemnek az x° = const hiperfelületre vonatkozó vetülete.

4. Négydimenziós térfogatra vett integrálás. Az integrálási elem a koordinátadifferenciálok szorzata:

dÜ = dx0 dx1 dx2 dx3 = cd t dV. (6,13)


Ez az elem skalár: nyilvánvaló, hogy a négyestér egy darabjának térfogata a koordináta-rendszer elforgatásakor változatlan marad.11

A háromdimenziós vektoranalízis Gauss- és Stokes-tételéhez hasonló tételek segítségével a négyesintegrálokat is átalakíthatjuk egymásba.

Egy zárt hiperfelületre vett integrált át lehet alakítani a zárt felület belsejében levő négyestérfogatra vett integrállá, a dSt integrálási elemet a

Ez az egyenlőség a Gauss-tétel általánosítása.Egy kétdimenziós felületre vett integrálást átalakíthatunk az általa „körbefogott”

hiperfelületre vett integrállá, a df*k felületelemet a

operátorral helyettesítve. Például az A lk antiszimmetrikus tenzor integrálja esetén:

Egy négydimenziós, vonal menti integrált a vonal által határolt felületre vett integrállá alakíthatunk, elvégezve a

Ez a Stokes-tétel általánosítása.

11 Az x °, jc1, x 2, x 3 integrálási változóknak az új x'°, x '1, x '2, x z változókra való cseréjekor a dÜ integrálási elemet J dQ'-ve 1 kell helyettesítenünk, ahol dQ' = dx'° dx'1 dx'2 dx 'z, a

mennyiség pedig a transzformáció Jacobi-determinánsa. *'*' = a£jc* alakú lineáris transzformációra a Jacobi-determináns az | a* | determinánssal egyezik meg, és ez (a koordináta-rendszer elforgatásai esetén) 1-gyel egyenlő, dQ tehát invariáns.

(6,14)

operátorral helyettesítve. Például az A 1 vektor esetében:

(6,15)

(6,16)

(6,18)

helyettesítést. így például egy vektor vonal menti integrálja esetében:

(6,19)

_ d(x'°, x ' \ x '2, x '3) d(x°, x \ x \ x3)


Feladatok

1. Hogyan transzformálódnak a szimmetrikus A ik négyestenzor komponensei a (6,1) Lorentz- transzformáció alkalmazásakor?

Megoldás. A négyestenzor komponenseit négyesvektorok két komponense szorzatának tekintve, kapjuk, hogy

1 / V V2 \A00 = ----- —- (A'00+ 2 —- A /01 + —z-A /n ),

1 c c •c2

1 / V V2 \A" = -----

1 - -?~

A 22 = A '22, A23 = A '23, A 12 = 1 (a 'í2+ ~ A '° 2),

K--?' ' ’

1 c2

A02 = - ------ (a "*+— A 'A .

‘ 'Hasonló képletek adódnak az A33, A 13, A03 komponensekre.

2. Oldjuk meg az előző feladatot antiszimmetrikus Aik tenzor esetén.Megoldás. Minthogy az jc2, x 3 koordináták változatlanok maradnak, nem változik a tenzor A 23

komponense sem, az A 12, A13 és A02, A03 komponensek pedig úgy transzformálódnak, mint az x 1 és x°:

A 'M + L A '02^23 _ '23 ^ 12 __ _____ S.____

hasonló az A 13, A03 komponensek képlete is.Az síkbeli kétdimenziós koordináta-rendszer elforgatásaival szemben (ilyen a fenti transz

formáció) az A01 = — A 10, A00 = A 11 = 0 komponensek antiszimmetrikus, a tér dimenziójának számával megegyező rendű tenzort alkotnak. Ezért (lásd a 7 számú lábjegyzetet) a transzformáció során ezek a komponensek nem változnak:

A02 =A '02+ — A '12

T T "

A01 = A'«\

7. §. NÉGYESSEBESSÉG 39

7. §. Négyessebesség

A sebesség szokásos háromdimenziós vektorából négyesvektort is képezhetünk. A részecskének ilyen négydimenziós sebessége (négyessebessége) az

/ _ dxi Í1 wu ds ( *

vektor. E vektor komponenseinek meghatározása végett emlékeztetünk, hogy (3,1) szerint

ds = c dt

ahol v a részecske közönséges háromdimenziós sebessége. Ezért

í _ dx1 _ dx _ vxi if-t v2 i / \ v2y V1-?

stb., tehát

"If ? ^Megjegyezzük, hogy a négyessebesség dimenziótlan mennyiség.

A négyessebesség komponensei nem függetlenek. Figyelembe véve, hogy dx1 dxt = = ds2, azt kapjuk, hogy

u'ui = 1. (7,3)

Geometriai szempontból ul a részecske világvonalának négyes érintő' egységvektora.

A négyessebesség definíciójához hasonlóan, a

. _ d2x i _ du*

második deriváltat négyesgyorsulásnak nevezhetjük. (7,3)-at differenciálva, kapjuk, hogy

UiW1 = 0, (7,4)

azaz a négyessebesség és a négyesgyorsulás merőlegesek egymásra.

Feladat

Vizsgáljuk a relativisztikus egyenletesen gyorsuló mozgást, vagyis azt az egyenes vonalú mozgást, amelynek w négyesgyorsulása saját vonatkoztatási rendszerben (minden időpillanatban) állandó marad.

Megoldás. Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske sebessége v = 0, a négyes-

az x ten-. • ( w \

gyorsulás komponensei wz = I 0, — , 0, 0 1 (w a közönséges háromdimenziós gyorsulás

gely mentén). Az egyenletes gyorsulás relativisztikus invariáns feltétele, hogy a saját rendszerben a w2-tel egyenlő — c4h>V{ négyesskalár állandó legyen:

w2wlwi = const = ---- r .c4

A „nyugvó” vonatkoztatási rendszerben, amelyben a mozgást vizsgáljuk, a wiwi összegezést elvégezve, a

d v v------------ = w vagy — = = wt+ constdt i í v2 t f v2

Y‘-7 í ' C‘

egyenletekhez jutunk, t = 0-ban v = 0-t véve, azt kapjuk, hogy const = 0 , tehát

wt

iw2t2

1+— c1

Még egyszer integrálva, és feltéve, hogy t = 0-ban * = 0, az

eredmény adódik, wt <£ c esetén ezek a képletek átmennek a klasszikus v = wt, x = wt2! l kifejezésekbe. wt °o esetén a sebesség az állandó c értékhez tart.

Az egyenletesen gyorsuló mozgást végző részecske sajátidejét az

ív V 2 , c , wt 1---- ;r dt = — ar sh —

<r w c

c 2 wtintegrál adja. E zt ©o esetén t-nél lényegesen lassabban, a — In---- képlet szerint tart végtelenhez.

w c

II. F E J E Z E T

RELATIVISZTIK US MECHANIKA

8. §. A legkisebb hatás elve

Az anyagi részek mozgásának vizsgálata során a legkisebb hatás elvéből indulunk ki. Ez az elv, mint ismeretes, azt mondja ki, hogy minden mechanikai rendszerhez hozzárendelhetünk egy olyan S integrált, a hatást, amely a ténylegesen végbemenő mozgások esetében minimális, következésképpen öS variációja zérus.1

Határozzuk meg olyan szabad anyagi részecske hatásintegrálját, melyre semmilyen külső erő sem hat.

Először is megjegyezzük, hogy a hatásintegrál független az inerciarendszer megválasztásától, azaz a hatás a Lorentz-transzformációkkal szemben invariáns. Ebből már következik, hogy a hatás szükségképpen skalár mennyiség. Világos továbbá az is, hogy az integrálban a differenciáloknak csak az első hatványai szerepelhetnek. A szabad mozgást végző anyagi ponthoz rendelhető egyetlen skalár a ds ívelem vagy az a ds mennyiség, ahol a valamilyen állandó.

A szabad részecske hatásintegrálja tehát

bS = —a J ds

a

alakú, és az integrált két adott, a és b esemény közötti világvonal mentén kell venni.Az események: a részecske egy adott ti pillanatban a kezdőpontban, /2 -ben pedig a

bvégpontban van, azaz J két adott világpontot összekötő világvonal mentén vett

a

integrálást jelent; a valamely, az adott részecskére jellemző állandó. Könnyen beláthatjuk, hogy a minden részecskére pozitív. Valóban, a 3.§-ban megmutattuk, hogy

1 Szigorú értelemben a legkisebb hatás elve azt mondja ki, hogy az S integrálnak csupán az integrálási kontúr kis darabjai mentén kell minimálisnak lennie. Tetszőlegesen hosszú vonalak mentén vett integrálra csak annyit mondhatunk, hogy S-nek extrémuma van, ami nem jelent okvetlenül minimumot (lásd az I. kötet 2 . §-át).

42 II. RELATIVISZTIKUS MECHANIKA

baz J ds integrálnak egyenes világvonal mentén van maximuma; görbe világvonal

a bmentén integrálva, az J ds tetszőlegesen kicsivé tehető.

aA pozitív előjellel vett integrálnak tehát nem lehet minimuma; az ellentétes előjellel

vett integrálnak van minimuma, mégpedig egyenes világvonal mentén.A hatást idő szerinti integrál alakjában is megadhatjuk:

hS = J L dt.

h

A dt előtt álló L együttható, mint ismeretes, az adott mechanikai rendszer Lagrange- függvénye. (3,1) segítségével azt kapjuk, hogy

S = - J « c | Ati

ahol v a részecske sebessége. Tehát a részecske Lagrange-függvénye

L = - « c

Mint már említettük, a a részecskét jellemző állandó. A klasszikus mechanikában minden egyes részecskét m tömege jellemez. Határozzuk meg a és m kapcsolatát. Ezt az összefüggést abból a feltételből nyerhetjük, hogy c -► <*> esetén az L-re kapott kifejezés az L = mv2l2 klasszikus kifejezésbe megy át.

E határátmenet elvégzésére L-et v/c hatványai szerint sorba fejtjük. A magasabb rendű tagokat elhagyva, az

r 1 / \ V2 OLV2

L = - a c | / 1 - ^ " - a c + 2^kifejezést kapjuk.

A Lagrange-függvényhez egy állandót hozzáadva, a mozgásegyenletek nem változnak meg, ezért az állandó tagot elhagyhatjuk. L-ben elhagyva az állandó — occ tagot, és összehasonlítva L-et a klasszikus L = mv2j2 kifejezéssel, azt találjuk, hogy a = mc.

A szabad anyagi pont hatása tehát:b

S = — me j ds, (8,1)a

a Lagrange-függvény pedig:

9. §. ENERGIA ÉS IMPULZUS 43

9. §. Energia és impulzus

Egy részecske impulzusának, mint ismeretes, a p = dLfds vektort nevezzük (a dL/dv annak a vektornak a szimbolikus jelölése, amelynek komponensei L-nek v megfelelő komponensei szerint vett deriváltjai). A (8,2) képlet alapján azt kapjuk, hogy

p = mv (9>1)

Kis sebességek esetén (v <$c c) vagy a c ^ ~ határesetben a (9,1) képlet átmegy a p = ms klasszikus összefüggésbe, v = c esetén az impulzus végtelenné válik.

Az impulzust idő szerint deriválva, megkapjuk a részecskére ható erőt. Tételezzük fel, hogy a sebességnek csak az iránya változik, azaz az erő merőleges a sebességre. Ekkor

Jp m dsdt f ifi dt (9,2)

Jia pedig csak a sebesség nagysága változik, tehát az erő párhuzamos a sebességgel, .akkor

dj> m dsdt /„ v2 \ 3/2 dt

K )(9,3)

A zt látjuk, hogy a két esetben az erő és a gyorsulás hányadosa különböző.Egy részecske & energiájának az

o = py—L

mennyiséget nevezzük (lásd az I. kötet 6.§-át). Behelyettesítve L és p (8,2), illetve (9,1) kifejezését, azt kapjuk, hogy

& = - ^ L = . (9,4)

Ez nagyon fontos összefüggés, mely többek között azt mutatja, hogy a relativisztikus

mechanikában a szabad részecske energiája v = 0 esetén nem válik zérussá, hanem véges mennyiség marad:

& = mc2. (9,5)

Ezt az energiát a részecske nyugalmi energiájának nevezzük.Kis sebességek esetén (v <$c c) (9,4)-et vjc szerint sorba fejtve, azt találjuk, hogy

J> 2 , ^ó % mc£jt~ Y ~ ,

azaz levonva a nyugalmi energiát, a részecske kinetikus energiájának klasszikus kifejezéséhez jutunk.

Hangsúlyozzuk, hogy bár a fentiekben „részecskéről” beszéltünk, a részecske „elemi” voltát sehol sem használtuk ki. Ezért a kapott kifejezések ugyanolyan joggal alkalmazhatók bármilyen összetett, sok részecskéből álló testre is, amikor m a test teljes tömegét, v pedig a testnek mint egésznek a mozgássebességét jelenti. Például a (9,5) képlet érvényes bármilyen, egészében véve nyugalomban levő testre. Vegyük észre, hogy egy szabad test energiája (azaz bármely zárt rendszer energiája) a relativisztikus mechanikában egyértelműen meghatározott, mindig pozitív mennyiség, és értéke közvetlen kapcsolatban van a test tömegével. Ezzel kapcsolatosan emlékezhetünk arra, hogy a klasszikus mechanikában egy test energiája csak egy tetszőleges additív állandó erejéig volt meghatározható, a test energiája egyaránt lehetett pozitív és negatív.

Egy nyugalomban levő test, az őt felépítő részecskék nyugalmi energiáján kívül, magába foglalja kinetikus energiájukat és egymással való kölcsönhatásuk energiájá t is. Más szóval, mc2 nem egyenlő egyszerűen a Y ,mac2 összeggel (ma a részecskék tömege) ezért m sem egyenlő £ m a-val. A relativisztikus mechanikában tehát nem teljesül a tömegmegmaradás törvénye: az összetett test tömege nem egyenlő a testet felépítő részecskék tömegének összegével. Érvényes azonban az energia megmaradás sának a törvénye, és az energia magában foglalja a részecskék nyugalmi energiáit is.

A (9,1) és (9,4) kifejezéseket négyzetre emelve, az így kapott képletek összehasonlításával a részecske energiája és impulzusa között az

= p ~\~ m2C2 (9,6)ít

összefüggést nyerjük. Az impulzussal kifejezett energia, mint tudjuk, a 76 Hamilton- függvény:

76 — c i p 2+ m 2c2. (9,7)

Kis sebességek esetén p <«c mc, így közelítőleg

azaz a nyugalmi energia levonásával a Hamilton-függvény klasszikus mechanikából ismert kifejezését kapjuk vissza.

A (9,1) és (9,4) képletekből az alábbi összefüggés vezethető le a szabad részecske energiája, impulzusa és sebessége között:

&yP=-r- (9>8)

v — c esetén a részecske energiája és impulzusa végtelenné válik. Ez azt jelenti, hogy nullától különböző tömegű részecske nem mozoghat fénysebességgel. A relativisztikus mechanikában azonban létezhetnek olyan részecskék is, amelyeknek a tömege zérus, és amelyek fénysebességgel mozognak.2 Ezekre a részecskékre (9,8)- ból azt kapjuk, hogy

p = 4 • <9’9)

Közelítőleg ugyanez a képlet érvényes az úgynevezett extrém relativisztikus határesetben a zérustól különböző tömegű részecskékre is, amikor ezek energiája jóval nagyobb az mc2 nyugalmi energiánál.

írjuk most fel az eddig kapott összefüggéseket négyesskalárok, -vektorok, -tenzorok használatával. A legkisebb hatás elve szerint:

bbS = — mcb j ds = 0.

a

Bontsuk fel a bS-re kapott kifejezést. Minthogy ds = í d x ( dx1,

Cdxiödxf foS = — mc — — = — me ux dox1.

a a

Parciális integrálással kapjuk, hogy

öS = — mcui dx1 + mcb

b x '^ ^ d s . (9,10)

Mint ismeretes, a mozgásegyenleteket úgy vezetjük le, hogy összehasonlítjuk a két adott helyzeten áthaladó különböző pályákat, azaz a határokon (<5x% = = ( b x \ — 0. A valódi mozgást a bS = 0 feltétel határozza meg. (9,10)-bői ekkor a dujds = 0 egyenletet kapjuk, azaz a szabad részecske sebességének állandóságát, kovariáns alakban.

2 Ilyenek a fotonok és a neutrínók.

Ha a hatás variációját a koordináták függvényében keressük, akkor csak egy pont lehet rögzített, ez legyen az „ű” világpont, úgyhogy (őx% = 0. A másik pontot változóként kell kezelnünk, de ekkor már csak valódi, azaz a mozgásegyenletet kielégítő világvonalakat kell figyelembe vennünk. Ezért a ŐS (9,10) kifejezésében az integrál eltűnik. (öxl)b helyett írjunk egyszerűen (őx')-t. Ily módon azt kapjuk, hogy

öS = — mcui dx*. (9,11)

"'“ - J f (9,12)

négyesvektort négyesimpulzusnak nevezzük. Mint az a mechanikából ismeretes, a

— , — , — deriváltak a részecske impulzusvektorának három komponensétdx dy dz

dSadják, a derivált pedig a részecske <5 energiáját. Ezért a négyesimpulzus

kovariáns komponensei: p t = (<5/c, — p), a kontra variáns komponensek pedig:3

(9,13)

A (9,11) összefüggésből leolvasható, hogy a szabad részecske négyesimpulzusának komponenseit a

p l = mcu* (9,14)

képlet adja. Ha ide behelyettesítjük a négyessebesség (7,2)-beli kifejezését, ellenőrizhetjük, hogy p-re és <5-re valóban teljesülnek a (9,1) és (9,4) összefüggések.

A relativisztikus mechanikában tehát az energia és az impulzus egyetlen négyes- vektor komponensei. Ebből már közvetlenül következnek az energia és impulzus transzformációs szabályai egyik inerciarendszerről egy másikra való áttéréskor. A(9,13) kifejezést a négyes vektorok transzformációjának általános (6,1) képleteibe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

P'X+^ S ' S ’ + Vp’Px = ~ r----?7i ’ py = P ’>” Pz = P« & = I tsz’ (9,15)V T / V

c2 1/ * r2Vahol px,p y, p z a háromdimenziós p vektor komponensei.

3 A fizikai négyesvektorok definíciója megjegyzésének megkönnyítésére figyeljük meg a következő mnemotechnikai szabályt: a kontravariáns komponenseknek a „helyes”, pozitív előjellel vett értékei egyenlőek a megfelelő hármasvektorokkal (r x*’-re, p p l-re stb.).

A négyesimpulzus (9,14) definíciójából és az ului = 1 azonosságból következik, hogy

P'Pí = m2c2. (9,16)

Ide betéve a (9,13) alakot, a (9,6) összefüggést kapjuk vissza.Az erő szokásos definíciójához hasonlóan, az erő négyesvektorát a

dp '1 duls = H Í = ™ l h <9' 17)

deriválttal definiálhatjuk. Komponensei eleget tesznek a glut — 0 azonosságnak. E négyesvektor komponenseit az erő f = dpfdt közönséges háromdimenziós vektorával a következőképpen fejezhetjük ki:

* ' = / ------ F = r > ... ..r = rY (9>18)


Az időkomponens, mint láthatjuk, az erő által végzett munkával kapcsolatos.A relativisztikus Hamilton—Jacobi-egyenletet úgy kaphatjuk, hogy (9,16)-ba p t

helyett a — deriváltakat helyettesítjük:

0S 0S 05 05^ r - ^ ^ = rn2<?, (9,19)dXi d x 1 d x 1 dxk

vagy elvégezve az összegezést:

_i_/0S\2 / ds \ 2 /ds\2 /ds\2c2

A (9,20) egyenletben a klasszikus határesetre való áttérést a következőképpen végezhetjük el. Mindenekelőtt azt kell figyelembe vennünk [akárcsak a (9,7)-ben elvégzett megfelelő átmenetnél], hogy a relativisztikus mechanikában a részecske energiája tartalmazza az mc2 tagot, amely a klasszikus mechanikában nem szerepel. Minthogy a hatás és az energia kapcsolatát az & — — dSjdt kifejezés adja, a klasszikus mechanikára való áttéréskor az S helyett egy új, S ' hatást kell bevezetni, amit az

S = S ' —mc2t

egyenlőséggel definiálunk. Ezt (9,20)-ba helyettesítve azt kapjuk, hogy

i /as'x2 dsf ii r/8y\2 /dsf\2 /as^V2me2 \ dt J dt [2m \ dx ) \ dy j \ dz j

A c oo határátmenetben ez az egyenlet a klasszikus mechanikából ismert Hamilton —Jacobi-egyenletbe megy át.

48 11. RELATIVISZTIKUS MECHANIKA

10. §. Eloszlásfüggvények transzformációi

Fizikai feladatokban gyakran van dolgunk különböző impulzusú részecskék nyalábjával. Egy ilyen nyaláb összetételét, impulzusspektrumát a részecskék impulzus szerinti eloszlásfüggvénye jellemzi: / (p) dpx dpy dpz megadja azoknak a részecskéknek a számát, amelyeknek impulzuskomponensei az adott dpx, dpr dpz tartományba (vagy ahogy a rövidség kedvéért mondani szokás, az „impulzustér” d3p = dpx dpy dpz nagyságú térfogatelemébe) esnek. Ezzel kapcsolatban felmerül a kérdés, hogyan transzformálódik az /(p ) eloszlásfüggvény egyik vonatkoztatási rendszerről egy másikra térve.

A kérdés megválaszolására először tisztázzuk a dpx dpy dpz „térfogatelem” Lorentz- transzformációval szemben m utatott transzformációs tulajdonságait. Ha olyan négy- dimenziós koordináta-rendszert vezetünk be, amelynek tengelyeire a négyesimpulzus komponenseit mérjük fel, akkor a dpx dpy dpz-t a ptp l = mc2 egyenlettel definiált hi- perfelületben levő elem negyedik komponensének tekinthetjük. A hiperfelületbeli elemet olyan négyesvektor reprezentálja, amely merőleges a hiperfelületre. Az adott esetben a normális iránya nyilvánvalóan a p t négyesvektor irányával egyezik meg. Ebből következik, hogy a

dpx dpy dpz&

(10,1)

hányados, mint két párhuzamos négyesvektor két azonos komponensének hányadosa,invariáns mennyiség.4

Nyilvánvalóan az / dpx dpy dpz, a d3p -ben levő részecskék száma, is invariáns, független a vonatkoztatási rendszer megválasztásától. Ha ezt az

/(p>p dpx dpy dpz

&

1 Az integrálást a (10,1) elem szerint ó-függvény (lásd a 28. §4 számú lábjegyzetét) segítségével nyilvánvalóan kovariáns alakban is megadhatjuk:

— ó(plpi — m2c2) d lp, d*p = dp° dp1 dp2 dpi6. (10,1 a)c

Itt a / / négy komponensét független változóknak tekintjük (p° csak pozitív értékeket vehet fel). A (10,1a) képlet egyszerűen következik a benne szereplő ő-függvényre érvényes alábbi azonosságból:

<5(pfp, - Iti-c'1) = <5 (pS - = 2 5 [ ö (^« ■+4) + ó (po ~ 7") ] ’ [(10,1 b)

ahol £ = c Y j? + m2c*. Ez az azonosság a 28. §4 számú lábjegyzetének (5) képletéből következik.

10. §. ELOSZLÁSFÜGGVÉNYEK TRANSZFORMÁCIÓI 49

alakba írjuk, és figyelembe vesszük a (10,1) hányados invariáns tulajdonságát, lá thatjuk, hogy az / ( p)<5 szorzat invariáns. Ebből viszont következik, hogy ha egy K rendszerben ismerjük az eloszlásfüggvényt, akkor a K ' rendszer eloszlásfüggvényét az

/ ' ( P ' ) = ^ ^ (10,2)

képlet segítségével számíthatjuk ki, ahol p-t és £-t ki kell még fejeznünk p'-vel és <5'-vel a (9,15) transzformációs szabályok segítségével.

Térjünk vissza a (10,1) invariáns elemhez. Ha az impulzustérben gömbi polár- koordinátákat használunk, akkor a dpx dpy dpz térfogatelemp2dpdQ alakú lesz, ahol dQ a p vektor irányában levő térszögelem. Figyelembe véve, hogy [(9,6)-nak megfelelően] p dp = S d S fc2, az adódik, hogy

p 2 dp dQ p dó dQ

Eredményünk tehát az, hogy a

p dó dQ (10,3)

mennyiség is invariáns.Egészen más szerepet játszik az eloszlásfüggvény a kinetikus gázelméletben: az

/ ( r ? P)dpx dpy dpz dV szorzat az adott dV térfogatban, adott dpx, dpy, dpz impulzustartományba eső részecskék számát adja meg. Az / ( r, p) függvényt a fázistér (ez a részecske koordinátáinak és impulzusainak tere) eloszlásfüggvényének, a dx = d3p d V differenciálok szorzatát pedig a fázis térfogatelemének nevezzük. Állapítsuk meg a függvény transzformációs tulajdonságait.

A két, K és K ' vonatkoztatási rendszer mellett még egy olyan Ko rendszert is bevezetünk, amelyben a vizsgált impulzusú részecskék nyugalomban vannak; az adott részecskék által elfoglalt dV o saját-térfogatelemet éppen a K 0 rendszerhez viszonyítva definiáljuk. A K és K ' rendszerek K 0-hoz viszonyított sebességei definíciószerűen megegyeznek a részecskék K és K' rendszerekben mért v és vf sebességeikkel. (4,6) szerint ezért azt kapjuk, hogy

dV = dV 0 }'T-w2/c2, d V ’ = í/F0 y i - v * / c \

amiből

d V _ _dV' ~ '

Ezt az egyenletet a d3pjd 3p' = &j£' egyenlőséggel szorozva, azt találjuk, hogy

dz = d r \ (10,4^4 Elm életi fizika II. - 4 2 221 /II ,

azaz a fázistérfogat-elem invariáns. Minthogy az / d t részecskeszám definíciószerűen szintén invariáns, arra a következtetésre jutunk, hogy a fázistérben adott eloszlás- függvény invariáns:

/ ' ( r \ P') = / ( r , p), (10,5)

ahol r', p' az r-rel és p-vel a Lorentz-transzformáció képletei segítségével fejezhetők ki.


11. §. Részecskék bomlása

Vizsgáljuk meg egy M tömegű test spontán elbomlását két, m i és m% tömegű testre. Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a bomlást szenvedő részecske nyugszik, az energiamegmaradás törvénye szerint:5

M = £io + £ 2 o , (11,1)

ahol Sió és <52o a bomlástermékek energiái. Mivel <5io > mi és <£20 > M2, a (11,1) egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha M > mi + m2, azaz egy test csak akkor bomolhat el spontán két részre, ha a részek tömegeinek összege kisebb az illető test tömegénél. Megfordítva, ha M < m i+ m 2, akkor a test (az adott bomlással szemben) stabil, tehát spontán nem bomolhat el. A bomlás megvalósításához ilyen esetben legalább annyi energiát kell közölni a testtel, amennyi az m i + m 2- ¥ „kötési energia” fedezéséhez elegendő.

Egy bomlási folyamatra az energiamegmaradás törvénye mellett érvényes az impulzusmegmaradás törvénye is, amely szerint a bomlástermékek összes impulzusa egyenlő a bomló részecske impulzusával, esetünkben zérussal: P10+ P 20 = 0. Tehát Pi0 = PÍo> vagy

= £ h - m l (11,2)

A (11,1) és (11,2) egyenletek egyértelműen meghatározzák a kirepülő részecskék energiáit:

n _ M 2+ml-m% „ _ M 2-m \+ m l j0 2M 5 20 “ 2M * ( 9 '

5 A 11—13.§-okban c = 1 választással élünk. Más szóval, a sebességméréskor egységül a fény-sebességet választjuk (ezért a hosszúság és az idő dimenziója azonos). Ez a választás a relativisztikus mechanikában kézenfekvő, és nagymértékben egyszerűsíti a képleteket. Ebben a kötetben(amelynek jelentős részét a nemrelativisztikus elméletnek szenteljük), általában nem használjuk ezt az egységrendszert; ha mégis, akkor erre minden alkalommal külön felhívjuk a figyelmet.

Nem jelent nehézséget visszaírni a szokásos alakba egy olyan képletet, amelyben c — 1-et vettünk: a fénysebességet úgy kell visszaírnunk, hogy a helyes dimenziókat megkapjuk.

11. §. RÉSZECSKÉK BOMLÁSA 51

Bizonyos értelemben fordított feladat annak kiszámítása, hogy mennyi két ütköző részecske M összes energiája tömegközépponti rendszerben (vagy ahogy rövidíteni szokás: C rendszerben, a centrum = középpont szó nyomán), tehát abban a rendszerben, amelyben az ütköző részecskék összimpulzusa zérus. A C rendszerbeli összes energia kiszámításával egyúttal megadhatjuk annak feltételét is, hogy végbemehet-e valamely rugalmatlan ütközési folyamat, melyben az ütköző részecskék állapota vagy száma („részecskekeltés”) megváltozik. Egy ilyen folyamat csak akkor valósulhat meg, ha az egyes „reakciótermékek” tömegeinek összege kisebb M -nél.

Eredeti koordináta-rendszerünkben az m i tömegű, £ 1 energiájú részecske szóródjon rugalmasan egy m 2 tömegű nyugalomban levő részecskén. (Az ilyen rendszert laboratóriumi rendszernek nevezzük.) A két részecske összes energiája:

<5 = <5l+<Í2 = +

összes impulzusuk pedig p = P1 + P2 = pi. A két részecskének mint egyetlen, összetett rendszernek a sebessége (9,8) szerint:

= <“'4> Ez éppen C rendszernek a laboratóriumi rendszerhez (L rendszerhez) viszonyított sebessége.

A keresett M tömeg kiszámításához nem kell ténylegesen végrehajtani az egyik rendszerről a másik rendszerre való áttérésnek megfelelő transzformációt. E helyett közvetlenül használhatjuk a (9,6) képletet, mely összetett rendszerre éppúgy alkalmazható, mint az egyes részecskékre. Tehát

M 2 = &2 - p 2 = ( 4 + m 2)2-(c 5 f-m |) ,

amiből

M 2 = m f + m| + 2m2c51. (11,5)

Feladatok

1. Egy V sebességgel mozgó részecske két részre bomlik. Határozzuk meg a bomlástermékek energiáinak és kirepülési szögeinek összefüggését!

Megoldás. Legyen S0 az egyik bomlástermék-részecske C rendszerben mért energiája [azaz (11,3)- ból S 10 vagy S 20], £ ugyanennek a részecskének L rendszerben mért energiája, 6 pedig L rendszerbeli kirepülési szöge (a V irányhoz képest). A (9,15) transzformációs képletek segítségével azt kapjuk,

hogyj> _ £ —Vpcos0

04*

amiből

cos 6 ■ s~s0y i - v 2V /Z 2- m 2

0 )

Az S-t cos 0 függvényében megadó fordított összefüggést az (l)-ből származtatható másodfokú egyenlet határozza meg:

£2(1 - V 2 cos2 6 ) -2 £ £ 0Yl - V2 + S 2( 1 - V2) + V2m2 cos2 6 = 0, (2)

amelynek egy (ha a vizsgált részecske C rendszerben mért v0 sebességére v0 > K) vagy két (ha vo < V) pozitív gyöke van.

Az utóbbi kétértékűség eredetét jól megvilágítja a következő geometriai szerkesztés. A (9,15) képlet szerint a részecske L rendszerbeli impulzuskomponenseit a C rendszerbeli impulzuskomponensekkel a következőképpen lehet kifejezni:

Px =p0 cos 60+ S 0V

Py = Po sm 0O./ l - F2

0O kiküszöbölése után azt kapjuk, hogy

pI+(p*Yi - v *-&ovY = P l

Ez a px,p y változókban egy ellipszis egyenlete. Az ellipszis féltengelyeinek hossza p0/]fl — V2 és p0; középpontja pedig (a 3. ábrán az O pont) a p = 0 ponttól (a 3. ábrán az ,4 ponttól)6 S0v / Y l — V2 távolságra van.

•o b)3. ábra

Ha V > pJSq — v0, akkor az^4 pont az ellipszisen kívül fekszik (3b ábra), és egy adott 0 szöghöz a p vektornak (és így az energiának is) két értéke tartozik. A szerkesztésből az is látszik, hogy ebben az esetben a 6 csak olyan értékeket vehet fel, amelyek egy jól definiált 0max szögnél kisebbek (0mas mellett a p vektor éppen az ellipszis érintője). A 0max értékét legegyszerűbben abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a (2) egyenlet diszkriminánsa zérus, amiből az adódik, hogy

m V '

2. Határozzuk meg a bomlásterméke^ energiaeloszlását az L rendszerben!

6 A klasszikus határesetben az ellipszis körbe megy át (lásd az I. kötet 16. §-át).

Megoldás. A C rendszerben a bomlástermékek irányeloszlása izotrop, azaz a cIQ0 = 2n sin 60 dö0 térszögelemben levő részecskék relatív száma:

dN = d ü 0 = ~ \d c o s e 0\. (1>

11. §. RÉSZECSKÉK BOMLÁSA 53

Az L rendszerbeli energia a C rendszer mennyiségeivel az alábbi módon adható meg:

S ■ S 0+p0Vcos 60Y \ - V 2

Az £ energia lehetséges értékeinek minimuma és maximuma:

^o~ VPq ^o+ VPvY i - v 2 y i - v 2

dcos 0o|-t d£-vel kifejezve, az 1-re normált energiaeloszlás (a kétfajta végtermék mindegyikére):

m d í -

3. Határozzuk meg két azonos részecskére való bomlás esetén a bomástermékek közötti szög (szétrepülési szög) lehetséges értékeit az L rendszerben.

Megoldás. C rendszerben a részecskék ellentétes irányban repülnek szét, tehát 010 = 7t— 620 = 60. A C és az L rendszerbeli szögek kapcsolata (5,4) szerint:

rt ”o“ » e»+ Z . c tp f ír = -}jl3 !± 0o ± Lr osin0o/ l — V2 v0 sin 0O / l — F 2

(A jelen esetben v10 = v20 = v0.) A keresett szétrepülési szög 6 = 6 ^ 0 ^ melyre egyszerű számolás után azt kapjuk, hogy

ctg 0 =V2_ v2+ y2v2 sin2 6o

I V v J Y ^ V 2 sin e0

6 lehetséges értékeit e kifejezés szélső értékei határozzák meg; ebből az alábbi tartományok adódnak:

2 arc tg ( y Y1 - K2)

1 f i - V2 ^ n_ _Y \- v \ ]/ l - v l 2

ha F < v0: 2 arc tg y 1 - F 2j < 6 < t i ;

0 < 6 < arc sin

ha V > : 0 < Ö < 2 a r c t g / — ]/l — V2\ < .Y l - v * \ F / 2

4. Határozzuk meg zérus tömegű bomlástermékek szögeloszlását az L rendszerben!

Megoldás. A C és az L rendszerben mért kirepülési szögek kapcsolata m = 0 esetén (5,6) szerint:

n cosd—VCOS 0 O = 1 -------- a *1 — F cos 0


Ezt a 2. feladat (1) képletébe helyettesítve, kapjuk, hogy

(1 - V2) dQdN = 4t(1 — V cos 102

5. Határozzuk meg két, zérus tömegű részecskére bomlás szétrepülési szögét az L rendszerben!

Megoldás. Az L rendszer 6V 62 kirepülési szögei és a C rendszer 01O = 0O, 620 — ti—60 szögei között az (5,6) képletek határozzák meg a kapcsolatot. Ezek alapján a 6 = 6 ^ 6 * szétrepülési szögre

2V2 — \ — V2 cos2 0ocos 6 =

adódik; fordítva:

COS 0U = ] / Ctg2 y

Ezt a kifejezést a 2. feladat (1) képletébe írva, azt kapjuk, hogy

1 - V - dQdN-,6^ v öl/.,, 2 e

S1 "2" r í7 — cos2 —

A 0 szög TT-tŐl arc cos V-ig minden értéket felvehet.

6. Egy M tömegű nyugvó részecskének három mv m2, mz tömegű részecskére bomlása esetén határozzuk meg az egyik végállapotbeli részecske lehetséges maximális energiáját!

Megoldás. Az m1 részecske energiája akkor maximális, ha a másik két részecskének tömege minimális, e minimális tömeg: m2+ m 3 (ez a részecskék együttes, azonos sebességű mozgásának felel meg). Ezáltal a problémát egy testnek két részecskére való bomlására vezettük vissza, így (11,3) szerint azt kapjuk, hogy

p _ M 2 + m i — (m 2 + w3)2 ° lmáx = 2 M ^ ’

12. §. Invariáns hatáskeresztmetszet

M int ismeretes, a különböző szórási folyamatokat a hatáskeresztmetszetekkel je llemezzük. Ezek adják meg az ütköző részecskenyalábokban végbemenő ütközések számát.

Tekintsünk két ütköző nyalábot; jelöljük a nyalábok részecskesűrűségeit (azaz az egységnyi térfogatban levő részecskék számát) «i-gyel és «2 -vel; a részecskék sebességét pedig vi-gyel és v2 -vel. Abban a rendszerben, amelyben a 2. nyaláb részecskéi nyugszanak (vagy mint röviden mondani szokás, a 2. részecske nyugalmi rendszeré- ben), az 1. részecskék nyalábja egy mozdulatlan céltárggyal ütközik. Ilyenkor a a

12. §. INVAWfÁNS HATÁSKERESZTMETSZET 55

hatáskeresztmetszet szokásos definíciója szerint a dV térfogatban dt idő alatt végbemenő ütközések szám a:

dv — ovTe\niri2 dV dt,

ahol víel az 1. részecske sebessége a 2. részecske nyugalmi rendszerében (a relativisztikus mechanikában éppen így definiáljuk két részecske relatív sebességét).

A dv szám magától értetődően invariáns mennyiség. A következőkben dv-1 minden vonatkoztatási rendszerben érvényes alakban fejezzük ki. írhatjuk, hogy

dv = A m n 2 dV dt, (12,1)

ahol A meghatározandó mennyiség, amelyről azonban tudjuk, hogy az egyik részecske nyugalmi rendszerében vrela-val egyenlő. Ilyenkor a mindig az egyik részecske nyugalmi rendszerében vett hatáskeresztmetszetet jelenti, ami a definíció szerint invariáns mennyiség. Definíciószerűen invariáns a vTel relatív sebesség is.

A (12,1) kifejezésben a dV dt szorzat invariáns. Ezért az An±n2 szorzatnak is invariánsnak kell lennie.

Az n részecskesűrűség transzformációs szabályát könnyű kitalálni, ha figyelembe vesszük, hogy az adott dV térfogatelemben levő részecskék n dV száma invariáns. Ezt n dV — nodVo alakban írva (a 0 index a részecskék nyugalmi rendszerét jelöli), és felhasználva a térfogatelem transzformációját megadó (4,6) képletet, az kapjuk, hogy

n0

f l - i(12,2)

vagy n — n0Slm , ahol <5 a részecskék energiája, m a tömegük.így az az állítás, hogy az An\n2 szorzat invariáns, ekvivalens azzal, hogy az A&iS2

kifejezés invariáns. Még előnyösebb ezt a feltételt az alábbi formában kifejezni:

A &i<52 A <5i<£2 •A ----- j — A -j—p---------= inv, (12,3)PuPi 4 4 - P1P2

ahol a nevezőben a két részecske négyesimpulzusának szorzata, egy invariáns mennyiség áll.

A 2. részecske nyugalmi rendszerében = m2, p2 = 0, úgyhogy (12,3)-ban A marad. Másrészről ebben a rendszerben A = ovTel. Tehát bármely rendszerben

Á = aVTelz S , - (12,4)

E kifejezés végleges alakjának meghatározása céljából fejezzük ki a vTel sebességet

a részecske tetszőleges vonatkoztatási rendszerben vett impulzusával vagy sebességével. Vegyük észre, hogy a 2. részecske nyugalmi rendszerében

m iPuPl2 = - I= = f m 2.

11 “ «relInnen

56 II. RELATIVISZTIKUS MECHANIKA3

A PuPz — P1P2 mennyiséget a (9,1) és (9,4) képletek segítségével kifejezzüka vi és v2 sebességekkel:

1 - V 1V2P\iP\ = m 2 ~ - — = -

1/(1 - v f ) ( í - t D

Ezt (12,5)-be helyettesítve, egyszerű algebrai átalakítások után azt kapjuk, hogy

l'Xvi-Vaf-ÍVjXVa)2--------- ■' ^ 12’6>

(Figyeljük meg, hogy a flrel-re kapott kifejezés szimmetrikus v^ben és v2-ben, azaz a relatív sebesség értéke nem függ attól, hogy melyik részecskéhez viszonyítva definiáljuk.)

A (12,5)-öt vagy (12,6)-ot (12,4)-be, majd az így kapott kifejezést (12,l)-be helyette- sítve, a kitűzött feladat megoldását jelentő végleges alakot kapjuk:

dv = a «1«2 dv dt, (12,7)ca02

vagydv = ö ]/(vi — V2)2—(vi X V2 )2 «i« 2 dV dt (12,8)

(W . PaulU 1933).Ha a sebességek egyirányúak, akkor V1 XV2 = 0, ezért a (12,8) képlet a

dv = a | v i —V2 I «i« 2 dV dt (12,9)kifejezésbe megy át.

Feladat

Határozzuk meg a relativisztikus „sebességtérben” a „hosszelemet” !

Megoldás. A keresett dlv „hosszelem” két, v és v+dv sebességű pont relatív sebessége. Ezért (12,6) szerint

„2 (dv)2 (v x űfv)2 dv2 v2dl« = -------------------- = ( Í _ V2}2 + (d6*+sm*dd<p?),

13. §. RÉSZECSKÉK RUGALMAS ÜTKÖZÉSE 57

ahol 6 és cp a v irány poláris és azimutális szöge. Vezessünk be a v sebesség helyett a v = th / egyenlőséggel definiált új % változót. Ezzel a hosszelem a

= d%2+sh2 %(d02+ sin2 ö í/992)alakban írható.

Geometriai szempontból ez egy háromdimenziós Bolyai—Lobacsevszkij-térbeli, tehát állandó negatív görbületű térben vett hosszelem [lásd a (111,8) képletet].

13. §. Részecskék rugalmas ütközése

Vizsgáljuk a részecskék rugalmas ütközését a relativisztikus mechanikában. Legyen pi, &i és p2, & 2 a két (mi és m 2 tömegű) ütköző részecske impulzusa és energiája; az ütközés utáni mennyiségeket vesszővel jelöljük.

Az energia és az impulzus megmaradásának törvényét ütközési folyamatra összefoglalhatjuk a négyesimpulzusok megmaradását kifejező egyenlet alakjában:

pi+pít = P i+ P i- ( 13, 1)

Ebből az egyenletből a későbbiekben hasznos invariáns összefüggést képezünk. E célból (13,l)-et a

P Í+ P Í-P l = P 2

alakba írjuk, majd ennek az egyenlőségnek a négyzetét (azaz az egyes oldalak önmagukkal való skaláris szorzatait) képezzük. Minthogy a p \ és négyesimpulzusok négyzetei m\-tel, a p\ és p'2l négyzetei pedig m \-tel egyenlők, azt kapjuk, hogy

nti+ P iiP v-P vP i-P iiP i = (13,2)

Hasonlóan a P^+Pz—P* = Pi egyenlőség négyzetét véve, az adódik, hogy

m l+ P iiP í-P uP i-P uP Ít = ( I3’3)

Vizsgáljuk az ütközést abban a vonatkoztatási rendszerben amelyben az ütközésig az egyik (az m 2 tömegű) részecske nyugalomban van (L rendszer). Ekkor p2 — 0, & 2 = m 2. A (13,2)-ben szereplő skaláris szorzatok így írhatók:

P u Á = PuPi = m /A ,PuPi = “ PiPi = &1&1 ~P1P1 cos (13,4)

ahol 61 a bejövő mi tömegű részecske szórási szöge. Ezeket az összefüggéseket a(13,2)-be helyettesítve,

S[(S 1 + m2) - C%m2 - m \

Hasonlóan (13,3)-ból az következik, hogy

c o s « „ = < Í ! ( 136)PlP2

ahol 02 a p2 átadott impulzus és a beeső részecske pi impulzusa által bezárt szög.A (13,5) és a (13,6) képletek kapcsolatot teremtenek az egyes bejövő részecskék

L rendszerben mért szórási szögei és a szórás alkalmával átadott energiaértékek között. A fordított összefüggéseket képezve, megadhatjuk az &[ és <£2 energiát a 0, vagy 02 szög függvényében. így (13,6)-ban p 1 és p', helyett J ^ - m f - e t és

— m2-et írva, az egyenlőséget négyzetre emelve, egyszerű számolás után azt kap* juk, hogy

J» (£ 1 + m 2>2 + (<5‘i - mf) cos2 02 n ^02 ™2 (^ + m2)2-(c52- m 2) cos2 02 * (U ’7)

A (13,5) képlet inverzét képezve, az 1 függvényében megadó összefüggéshez jutunk, amely azonban az általános esetben igen bonyolult.

Megjegyezzük, hogy ha mi > m2, azaz a beeső részecske nehezebb, mint a nyugvó, akkor 01 szórási szögre felső korlátot kapunk. Elemi számolással könnyen megmutathatjuk, hogy ezt a felső korlátot a

sin 01 m ax = (13,8)mi

egyenlőség adja, mely megegyezik a klasszikus mechanikában kapott értékkel.A (13,5) és a (13,6) összefüggések egyszerűbbé válnak, ha a beeső részecske tömege

zérus (mx = 0), emiatt /?x = S 1 és p[ = <5*. E speciális esetben a beeső részecske energiáját ütközés után a 0i szórási szög függvényében a következő képlet adja meg:

^ -------- . (13,9)1 -c o s 0 1 + ^

Térjünk vissza ismét a tetszőleges tömegű részecskék ütközéseinek általános esetéhez. Az ütközés a C rendszerben a legegyszerűbb. Az itt mért mennyiségeket egy pótlólagos 0 indexszel látjuk el, így például pio — — P20 = Po- Az impulzusmegmaradás miatt az ütközésben részt vevő részecske impulzusának csak az iránya változik, abszolút értékük egyenlő, irányuk ellentétes marad. Az energiamegmaradás miatt ugyanakkor az egyes impulzusok értékei külön-külön változatlanok.

Jelöljük %-vel a C rendszerben mért szórási szöget, azt a szöget, amellyel a pio és p 20 impulzusok az ütközés során elfordulnak. Ez a szög teljesen leírja a szórást a C rendszerben, ezért bármilyen másik rendszerben is. Az energia- és az impulzusmeg

maradás törvénye által meg nem határozott paraméterként célszerű %-t használni az L rendszerben is.

Fejezzük ki a két részecske végállapotbeli energiáját az L rendszerben PuPi-vél. E célból ismét a (13,2) egyenletet használjuk, csak most a pXip± szorzatot C rendszerbeli mennyiségekkel fejezzük k i:

PuPi = 4<Ao-PioPÍo = &10- P 0 cos X = />«(■ -c o s %) + m\.

(A C rendszerben £'10 = £ 10, a részecskék energiája az ütközés során nem változik meg.) A másik két szorzatot, akárcsak fentebb, L rendszerben fejezzük ki, tehát (13,4)- et használjuk fel. Eredményünk:

= - A ( i - c o s x).

M ost már csak a /?o-et kell az L rendszer mennyiségeivel kifejeznünk. Ezt könnyen megtehetjük a p ltp 2 invariáns C és L rendszerben adott kifejezéseink összehasonlításával:

Pl0P20 — <5iW2, vagy _______________

í(pí+m\){pl+m i) = &im1 - p i

Ezt az egyenletet /Y,-re megoldva, azt kapjuk, hogy

_ m i mPo m‘i + ml + 2m X L '

Végeredményünk tehát:

<51 = -«»*)• 03,11)

A másik részecske energiáját az £ 1 + m2 = £ [ + £ '2 megmaradási tételből kapjuk. Eszerint:

m2( £ l - m \) m\ + m\ + 2m2£ 14 = m2+ , o T — (1 - c o s jr). (13,12)

Az utóbbi két képletben a második tag éppen az az energia, amit az első részecske a másodiknak átad. Az energiaátadás akkor a legnagyobb, ha # = n \ a maximális é rték :

A beeső részecske ütközés utáni minimális kinetikus energiájának és az eredeti kinetikus energiának hányadosa:

l ím in - ra i _ (m i-m 2) 2 fl3 14Y£ 1 —m1 m f+ m |+ 2 m 2<51

A kis sebességek határesetében (amikor & ^ m + m v2f2) ez az arány az

ím v—m A 2

állandó határértékhez tart. A másik határesetben, nagy <5i energiáknál (13,14) zérushoz, maga az £[ min pedig állandó határértékhez tart, melyet az

_ m \+ m \^lmin — ^2 ra2

kifejezés ad meg.Tételezzük fel, hogy ra2 :$> mv azaz a beeső részecske tömege kicsiny a nyugalom

ban levő részecske tömegéhez képest. A klasszikus mechanika szerint ilyenkor a könnyű részecske saját energiájának csak elhanyagolhatóan kis részét adhatja át a nehéz részecskének (lásd az I. kötet 17.§-át). Nem ez a helyzet a relativisztikus m echanikában. A (13,14) képletből látható, hogy elegendően nagy <5i energiáknál az á t adott energia ugyanolyan nagyságrendű lehet, mint <5i. Ehhez nem az kell, hogy az mi részecske sebességének nagyságrendje 1 legyen, hanem, amint könnyen látható, az kell, hogy az energiára az

c5i ~ m 2

teljesüljön, azaz a könnyű részecske energiájának nagyságrendje a nehéz részecske energiájának nagyságrendjébe essen.

Hasonló a helyzet ra2 <$c m i esetében is, tehát olyankor, amikor egy nehéz részecske ütközik neki egy nyugalomban levő könnyű részecskének. A klasszikus mechanika szerint az átadott energia csupán elenyészően kicsi hányada lenne a bejövő részecske energiájának. Jelentősebb energiaátadás csak az

<> m\Oi ~ — ra2

energiaértékektől kezdve lehetséges. Megjegyezzük, hogy ebben az esetben nem egyszerűen a fénysebesség nagyságrendjébe eső sebességekről van szó, hanem olyan energiákról, amelyek mi-hez képest nagyok, ami nem más, mint az extrém relativisztikus határeset.

Feladatok

1. A 4. ábrán látható ABC háromszöget a bejövő részecske P! impulzusából és a két részecske ütközés utáni p , p2 impulzusából képeztük. Határozzuk meg azoknak a C pontoknak a mértani helyét, amelyek a és pó összes lehetséges értékeinek felelnek meg.

4. ábra

Megoldás. A keresett görbe ellipszis, amelynek fókuszpontjait a 11. §-t követő 1. feladat képleteinek segítségével lehet kiszámítani. Valóban, az ott elvégzett szerkesztés célja az volt, hogy megkapjuk tetszőleges irányú, de adott p0 hosszúságú, C rendszerbeli p0 vektorokhoz tartozó L rendszerbeli p vektorok végpontjainak lehetséges mértani helyét.

A C rendszerben az ütköző részecskék impulzusának abszolút értéke egyenlő, és az ütközés során sem változik meg. Ezért a C rendszerben a

m2VPO = PlO — P 20 “

Y i - v 2

által adott px vektor hasonlóképpen szerkeszthető meg. Itt V az m2 tömegű részecske sebessége a* L rendszerben, ennek nagysága megegyezik a tömegközéppont sebességével, V = pi/(£i + w2)-vel [lásd Ul,4)-et]. Eredményünk az, hogy az ellipszis kis- és nagytengelye:

p = m2PlYm\ + m\ + 2m2S1

p0 m2p l(£1 + m2)Y1 — V2 m\+m\ + 2m2£l

[Az első képlet természetesen megegyezik (13,10)-zel.] 01 .= 0 esetén a pj vektor megegyezik Pi-gyel, tehát az AB távolság zvgyel egyenlő. Összehasonlítva ^ -e t az ellipszis nagytengelyének hosszával, könnyű belátni, hogy az A pont az ellipszisen kívül van, ha ml > m2 (4a ábra), és az ellipszis belsejében van, ha m1 < m2 (4b ábra).

2. Határozzuk meg azonos tömegű részecskék ütközése esetén (i = m2 = m) a bomlástermékek pályája által bezárt minimális szöget.

Megoldás. mí = m2 esetén az ábra A pontja az ellipszisen van, a keresett minimális szög pedig


/

A IB

5. ábra

akkor valósul meg, ha a C pont a kistengely valamelyik végpontjában van (5. ábra). A szerkesztésből' nyilvánvaló, hogy tg (0min/ 2) egyenlő a két féltengely hosszának hányadosával, tehát

3. Két azonos m tömegű részecske ütközése esetén fejezzük ki S^-t, c^-t és %-t az L rendszerben; mért d1 szórási szöggel.

Megoldás. A (13,5) képletet invertálva azt kapjuk, hogy

_ (£ l+ m )+ (£ l - m ) cos2 0A1 (£1+m) — (£ 1 — m)cos2d1 9

Összehasonlítva ezeket az £[-í % függvényként megadó

vagy

kifejezéssel, a C rendszer szórási szögére a

2m — (£x+ 3ra) sin2 d1c o s V = ----------------- ------------ -------------- -

2m + (£ i + m) sin2 61képlet adódik.

14. §. Impulzusmomentum

M int a klasszikus mechanikából ismeretes, zárt rendszer esetén az energián és im pulzuson kívül megmarad a

14. §. IMPULZUSMOMENTUM 63

impulzusmomentum-vektor is. (r a részecske helyzetvektora, p az impulzusa; az összegezést a rendszert alkotó összes részecskére kell elvégezni.) Az impulzusmomentum megmaradása abból következik, hogy egy zárt rendszer Lagrange-függvé- nye (a tér izotropiája miatt) nem változik a rendszer egészének az elforgatása során.

Hasonló levezetést elvégezve a négydimenziós térben, megkapjuk az impulzusmomentum relativisztikus kifejezését. Jelölje x l a rendszer egyik részecskéjének koordinátáit. Hajtsunk végre a négydimenziós térben egy infinitezimális elforgatást, melynek során az x l és az új x'1 koordináták x l—x l különbségei lineáris

x ' ' - * 1' = x k »Qik (14,1)

függvények lesznek infinitezimálisan kicsi öQlk együtthatókkal. A ö ü lk négyestenzor komponensei nem függetlenek, mert megköveteljük, hogy forgatásoknál a négyes- helyzetvektor hossza változatlan maradjon, tehát az x \ x l — x tx l egyenlőség fennálljon. Ide x l (14,l)-ből adódó kifejezését behelyettesítve, és a őí3^-ban kvadratikus tagokat mint végtelen kicsiny számokból képzett magasabb rendű mennyiségeket elhagyva, azt kapjuk, hogy

x lx k b ü ik = 0.

Ennek az egyenlőségnek tetszőleges x*-kre teljesülnie kell. Minthogy x [x k szimmetrikus tenzor, a bÜik együtthatók szükségképpen antiszimmetrikus tenzort alkotnak. (Egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor szorzata nyilvánvalóan azonosan nulla.) Tehát

ö ü ki = - ö Q ik. (14,2)

Az S hatás öS megváltozása a koordináták infinitezimálisan kis megváltoztatása esetén [(9,11) szerint] az alábbi alakú:

öS = — YjP 'üxí.

(Az összegezést a rendszer valamennyi részecskéjére ki kell terjeszteni.) Az általunk vizsgált elforgatások esetén öxt = dQikxk, tehát

dS = — bQik ^ p lx k.

Ha a Y,Plx k tenzort egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus részre bontjuk fel, az antiszimmetrikus tenzorral való szorzáskor az első tag azonosan zérust ad. Ezért, leválasztva ^/j'x^-ból az antiszimmetrikus részt, a fenti egyenlőség

öS = - öQik y Y (P ixk ~P kx 0 0 4^3)

alakba írható.

Zárt rendszer esetén (a téridő izotropiája miatt) a négyestérben való forgatásokkal a Lagrange-függvény nem változik, azaz e forgatás 8Qik paraméterei ciklikus koordináták. A nekik megfelelő általános impulzusok tehát megmaradnak. Ezek az impulzusok a dS/dQik mennyiségek. (14,3)-ból kapjuk, hogy

öS 1 * * -x(p lx k — p kx l).


dQik 2

Látjuk tehát, hogy zárt rendszerek esetén a J lk tenzor megmarad:

J ik = y£J(x ip k —x kp i). (14,4)

Ezt az antiszimmetrikus tenzort az impulzusmomentum négyestenzorának nevezzük.Az impulzusmomentum-tenzor térszerű komponensei megegyeznek az impulzus-

momentum háromdimenziós J = vektorának komponenseivel:

J23 = jx _ji3 = Jyy jvi = Jz

A J 01, J 02, J 03 komponensek ugyanakkor a £ (/p—£r/c2) vektort alkotják. A J lk tenzor komponenseit tehát az

J ,k = { l - j ) (H 5 )

alakban adhatjuk meg flásd (6 ,1 0 )-et].Abból, hogy J lk zárt rendszerre megmarad, következik például, hogy

I = const-

Minthogy másrészről a £ <5 összenergia is megmarad, ez az egyenlőség a következő alakba írható :

c2£ p£<5

= const.

Ebből adódik, hogy az

helyzetvektorú pont

R = (14,6)I *5

= c2 T p I *5

(14,7)

állandó sebességgel egyenletesen mozog. A V sebesség a rendszer egészének [(9,8) szerint a rendszer összimpulzusának és energiájának megfelelő] mozgási sebessége. A (14,6) képlet adja a rendszer tömegközéppontjának relativisztikus definícióját.

14. §. IMPULZUSMOMENTUM 65

Ha az összes részecske sebessége kicsi ohez képest, akkor közelítőleg & ^ mc2-et írhatunk, és (14,6) átmegy a közönséges klasszikus kifejezésbe:7

R = I > .m

Vegyük észre, hogy a (14,6) vektor komponensei nem felenek meg egy négyesvektor térkomponenseinek, ezért a vonatkoztatási rendszer transzformációja során R kom ponensei nem úgy transzformálódnak, mint egy pont koordinátái. Ennek következtében egy és ugyanazon részecskerendszer különböző vonatkoztatási rendszerekhez viszonyított tömegközéppontjai más és más pontok.

Feladat

Határozzuk meg egy test (részecskerendszer) K rendszerben mért J impulzusmomentumának és a K0 rendszerben mért J0 impulzusmomentumának kapcsolatát, ha a test a K rendszerhez képest V sebességgel mozog, míg a K0 rendszerben a test mint egész nyugalomban van. Az impulzusmomentumot mindkét esetben ugyanarra a pontra, a test K0 rendszerbeli tömegközéppontjára vonatkoztatjuk.8

Megoldás. A K0 rendszer K-hoz képest V sebességgel mozog; válasszuk e mozgás irányának az x tengelyt. A J ,k tenzor bennünket érdeklő komponensei az alábbi képletek szerint transzformálódnak {lásd a 6. § 2. feladatát):

V lV/< 0 ) 1 2 j _ _ 1 _ J ( 0)02 / ( 0 ) 1 3 _ j _ „ J í 0)03

J 1 2 _ ________ C __ J l o _ ________ C _ j ( 0)23

Minthogy a koordináta-rendszer origóját úgy választottuk meg, hogy (a K0 rendszerben) a test tömegközéppontjában legyen, ebben a rendszerben £ Sr = 0. Mivel ugyanebben a rendszerben £ p = 0 is fennáll, így / (0)02 = / (0)03 = 0. Figyelembe véve a J ik komponensek és a J vektor kapcsolatát, ez utóbbira azt kapjuk, hogy,

T( 0) Ti 0)T _ r(0) T — Jy T — J z*J X ** X ? v V ,---------5 t/ z —

f V2

7 A klasszikus mechanikában a tömegközéppontot megadó képlet egyaránt érvényes kölcsönhatásmentes és kölcsönhatásban levő részecskékre, de (14,6) csak akkor helytálló, ha elhanyagoljuk £L kölcsönhatásokat. A relativisztikus mechanikában kölcsönható részecskék tömegközéppontjának definiálásához figyelembe kell venni a részecskék által keltett erőterek energiáját és impulzusát is.

8 Emlékeztetünk arra, hogy bár a K0 rendszerben (amelyben £ p = 0) az impulzusmomentum független attól, hogy melyik ponthoz viszonyítva definiáljuk; alrendszerben (amelyben £ p ^ 0) az impulzusmomentum függ a vonatkoztatási pont megválasztásától (lásd az I. kötet 9. §-át).5 Elmélet i fizika II. 42 — 221/11.

III. F E J E Z E T

TÖLTÉS ELEKTROMÁGNESES TÉRBEN

15. §. Elemi részecskék és a relativitáselmélet

A részecskék egymással való kölcsönhatása az erőtér fogalmának segítségével írható le. Ahelyett, hogy egyik részecskének a másikra való hatásáról beszélnénk, azt m ondhatjuk, hogy a részecske erőteret (mezőt) hoz létre maga körül; ebben az erőtérben minden más részecskére valamilyen erő hat. A klasszikus mechanikában az erőtér csupán egy fizikai jelenségnek, a részecskék kölcsönhatásának leírását szolgálja. A relativitáselméletben a kölcsönhatás terjedési sebességének végessége következtében lényegesen megváltozik a helyzet. Egy részecskére adott időpontban ható erőt a részecskék pillanatnyi helyzete nem határozza meg. Egy részecske helyzetváltozásának hatása a többi részecskén csak bizonyos idő elteltével mutatkozik. Ez azt jelenti, hogy az erőtér (mező) fizikai valósággá válik. Nem beszélhetünk az egymástól bizonyos távolságra levő részecskék közvetlen kölcsönhatásáról. Kölcsönhatás minden pillanatban csak a tér szomszédos pontjai között lehetséges (közelhatás). Ezért azt kell mondanunk, hogy az egyik részecske kölcsönhat az erőtérrel, majd ezután az erőtér a másik részecskével.*

Kétféle erőteret (mezőt) fogunk vizsgálni: a gravitációs és az elektromágneses teret. A gravitációs térrel a X—XIV. fejezetekben foglalkozunk, a többi fejezetben az elektromágneses teret tárgyaljuk.

A részecskék és az elektromágneses tér kölcsönhatásának tanulmányozását a relativisztikus mechanikai „részecske” fogalomra vonatkozó néhány általános meggondolással vezetjük be.

A klasszikus mechanikában bevezethető a merev test fogalma; ez olyan test, amely semmilyen körülmények között nem deformálható. A relativitáselméletben merev testen következésképpen olyan testet értenénk, amelynek minden mérete változatlan abban a koordináta-rendszerben, amelyben nyugalomban van. Könnyen belátható azonban, hogy a relativitáselmélet a merev test létét kizárja.

* Meg jegyzés. Az erőtér helyett néha a mező szót használják, hangsúlyozván ezzel az erőtér (ill. anyagtér) anyag voltát, megkülönböztetésül a geometriai tértől. (A szerk.)

15. §. ELEMI RÉSZECSKÉK ÉS A RELATIVITÁSELMÉLET 67

Tekintsünk például egy tengelye körül forgó korongot, és tételezzük fel, hogy merev. A koronghoz rögzített vonatkoztatási rendszer nyilvánvalóan nem inerciarendszer. A korong minden kis eleméhez megadható azonban egy inerciarendszer, amelyben ez a kis elem adott időpillanatban nyugalomban van; mivel a különböző elemi darabok sebessége különböző, ezért természetesen a rendszerek is különbözőek. Tekintsük a korong egyik sugara mentén elhelyezkedő vonalelemeket. Mivel a korong merev, e szakaszok mindegyikének hossza ugyanakkora a megfelelő inerciarendszerben, mint a korong nyugalmi rendszerében. Ugyanezeket a hosszúságokat méri az a mozdulatlan megfigyelő, aki mellett a korong vizsgált sugara az adott időpillanatban elhalad, mivel mindegyik szakasz merőleges saját sebességére, és így Lorentz-kontrakció nem lép fel. Ezért a mozdulatlan megfigyelők által mért sugár (mint az egyes szakaszok összege) ugyanakkora, mint a nyugalomban levő korongon. Másrészt a korong kerületének minden egyes eleme, amely az adott időpillanatban egy mozdulatlan megfigyelő mellett elhalad, Lorentz-kontrakciót szenved, tehát a kerület teljes hossza (mint a mozdulatlan megfigyelők által mért szakaszok összege) kisebb, mint a nyugvó korong kerülete. így arra az eredményre jutunk, hogy a forgó korong kerületének és sugarának (a mozdulatlan megfigyelők által mért) hányadosa megváltozik, nem27r. Ez ellentmondásban van előző feltevésünkkel, és arra mutat, hogy a valóságban a korong nem lehet merev, a forgás során elkerülhetetlenül valamilyen bonyolult (a korong anyagának rugalmas tulajdonságaitól függő) deformáció lép fel.

Arról, hogy merev test nem létezhet, más úton is meggyőződhetünk. Tegyük fel, hogy egy szilárd testet annak valamelyik pontjában támadó külső hatás mozgásba hoz. Ha a test merev lenne, minden pontja a támadási ponttal egyidejűleg jönne mozgásba; ellenkező esetben a test deformálódna. A relativitáselmélet szerint az előbbi lehetetlen, mivel egy adott pontba érkező hatás a test többi pontjába véges terjedési sebességgel ju t el, így nem jöhet a test minden pontja egyidejűleg mozgásba.

Az elmondottakból bizonyos következtetéseket vonhatunk le az „elemi” részek tulajdonságaira vonatkozóan. Eleminek nevezzük azokat a részeket, amelyek mechanikai állapotát három koordinátájuk és három sebességkomponensük megadása teljesen meghatározza. Nyilvánvaló, hogy ha az elemi részecske véges kiterjedésű lenne, akkor nem deformálódhatna, mert ez esetben a test egyes részei egymástól független mozgást végeznének. Láttuk azonban, hogy a relativitáselmélet szerint merev test nem létezhet.

így a klasszikus (nem kvantumos) relativisztikus mechanikában az eleminek tekintett részecskéknek nem lehet véges kiterjedésük. Más szavakkal kifejezve, a kiasz - szikus elmélet keretein belül az elemi részecskéket pontszerűeknek kell tekintenünk .1

1 Bár a kvantummechanika lényegesen megváltoztatja a helyzetet, a relativitáselmélet itt is igen megnehezíti a nem pontszerű kölcsönhatás bevezetését.

68 III. TÖLTÉS ELEKTROMÁGNESES TÉRBEN

16. §. Az erőtér négyespotenciálja

Adott elektromágneses térben mozgó részecskére nézve a hatás két részből tevődik össze: a szabad részecskére vonatkozó (8 , 1 ) hatásból, valamint a részecske és az erőtér (mező) kölcsönhatását leíró tagból. Ez utóbbinak tartalmaznia kell mind a részecskére, mind az erőtérre jellemző mennyiségeket.

A tapasztalat szerint2 a részecskének az elektomágneses térrel való kölcsönhatásával kapcsolatos tulajdonságait egyetlen paraméter, a részecske e töltése határozza meg. Ez egyaránt lehet pozitív és negatív (vagy zérus) mennyiség. Az erőtér tulajdonságait az A t négyesvektor, az ún. négyespotenciál jellemzi, melynek komponensei a koordináták és az idő függvényei. E mennyiségek a hatásfüggvényben

b

— j Ai dx1a

alakú tag formájában szerepelnek, ahol az A i függvényeket a részecske világvonalának pontjaiban kell venni. Az 1 \c tényezőt kényelmi szempontból vezettük be. Megjegyezzük, hogy mindaddig, amíg semmilyen összefüggés nem köti a töltést vagy a potenciált már ismert mennyiségekhez, egységeiket tetszőleges módon választhatjuk .3

Az elektromágneses térben levő töltés hatásfüggvénye így a következő alakú:

b

S = j* ^ —m c d s—^ - A id x ^ . (16,1)

a

Az A 1 négyesvektor három térkomponense által alkotott háromdimenziós A vektort a tér vektorpotenciáljának nevezzük. Az időszerű komponens neve: skalárpoten- ciál; erre az A 0 = cp jelölést használjuk. így

A 1 = (<p, A), (16,2)

2 A most következő állításokat nagyrészt úgy kell tekinteni, mint tapasztalati eredményeket. Az elektromágneses térben mozgó részecske hatásfüggvénye nem alkotható meg egyetlen olyan általános meggondolásból, mint a relativisztikus invariancia követelménye [az utóbbit kielégítené például a (16,1) képletben egy J A ds alakú tag is, ahol A skalárfüggvény.]

A félreértések elkerülése végett emlékeztetünk arra, hogy klasszikus (nem kvantumos) elméletről van szó, és ezért a részecskék spinjével kapcsolatos jelenségeket sehol nem kell figyelembe vennünk.

3 Az egységek bevezetésére nézve lásd a 27. §-t.

amivel a hatásintegrál azb

S = j* ds-\-~ A d r —ecp dt^

a

alakban írható. Bevezetve a részecske v = drjdt sebességét, és áttérve idő szerinti integrálásra:

ti

S = j* | - m c 2 1 ^1 — - + -^-Ay-ecp^j dt. (16,3)

16. §. AZ ERŐTÉR NÉGYESPOTENCIÁLJA 69

h

Az integrál alatt álló kifejezés az elektromágneses térben mozgó töltés Lagrange- függvénye:

L = —me2 j/" 1 —- 2 Ay —ecp. (16,4)

€E kifejezés a szabad részecske (8,2) Lagrange-függvényétől az — Ay —ecp tagban külön

ítbözik, amely a töltés és az erőtér kölcsönhatását írja le.

A dLjdy differenciálhányados a részecske általános impulzusa; jelöljük P-vel. A differenciálást elvégezve azt kapjuk, hogy

_ my e eH— A = pH— A. (16,5)

f 1-2 C C

p-vel jelöltük a részecske hármasimpulzusát, ezt egyszerűen impulzusnak fogjuk nevezni.

A Lagrange-függvényből az ismert általános összefüggés szerint megalkothatjuk a térben mozgó részecske Hamilton-függvényét:

nr dL i dö — y -=---- L.oy

Behelyettesítve ide (16,4)-et:vnn 2

- + ecp. (16,6)

f 1?A Hamilton-függvényt azonban a sebesség helyett a részecske általános impulzusával kell kifejeznünk.


eA (16,5) és (16,6) képletekből látható, hogy 7ő—e(p és P —— A között ugyanaz az

összefüggés áll fenn, mint 76 és p között abban az esetben, ha nincs erőtér, azaz

^ ő - e e p ^ = m2c2 + |p _ _ l Aj 2; (16>7)

vagy másképp:

76 = j/" +ecp. (16,8)

Kis sebességeknél (azaz a klasszikus mechanikában) a (16,4) Lagrange-függ- vény az

r 1717)2 e a. / 1 / r n xL = — + — Ay— ecp (16,9)

alakba megy át. Ebben a közelítésben:

ep = mv = p -----A,

c

és a Hamilton-függvényre a következő kifejezést kapjuk:

ai = Í ( p- 7 A)!+^ (,6’10)Végül felírjuk az elektromágneses térben mozgó részecske Hamilton—Jacobi-

egyenletét. Ezt úgy kapjuk, hogy a Hamilton-függvényben a P általános impulzust 0iSySr-rel, 76-t pedig -d S /d t- v d helyettesítjük. így (16,7)-ből a következő egyenletet nyerjük:

^grad S A j + + w 2c2 = 0 . (16,11)

17. §. Töltés mozgásegyenlete elektromágneses térben

Nemcsak az erőtér gyakorol hatást a benne elhelyezkedő töltésre, az is visszahat az erőtérre (mezőre), megváltoztatja azt. Ha azonban az e töltés nem nagy, akkor az erőtérre való hatása elhanyagolható. Ebben az esetben az adott erőtérben való mozgást vizsgálva, feltehetjük, hogy az erőtér maga nem függ a töltés koordináitól és

sebességétől. A pontos feltételeket, amelyeket a töltésnek ki kell elégítenie ahhoz, hogy az említett értelemben kicsinek tekinthessük, a későbbiekben fogalmazzuk meg (75. §). Az alábbaiakban úgy vesszük, hogy ezek a feltételek teljesülnek.

Fel kell írnunk egy töltés mozgásegyenleteit elektromágneses térben. Az egyenletek a hatásfüggvény variációjával adódnak, azaz a

d dL dLdt dv ~ dr ( *

Lagrange-egyenletekből, L-et a (16,4) képlet határozza meg.A dLjdy differenciálhányados a részecske (16,5) általános impulzusa. Másrészt

dL j. e j a j= v L = — grad A y —e grad cp.dr c

De a vektoranalízisből ismert összefüggés szerint

grad ab = (av)bH-(bv)a + bX ro t a + aX ro t b,

ahol a és b tetszőleges két vektor. Ezt az összefüggést Av-re alkalmazva, és figyelembe véve, hogy az r szerinti differenciálást állandó v mellett kell végezni, a következőket írhatjuk:

dL e , x A e-x- = — ( w ) Ah— vX rot A —e grad cp. dr c c

A Lagrange-egyenlet tehát a következő alakot ölti:

d í 6 \ 6 €^ -(p H -— A) = — (vv) A + — vX rot A —e grad cp.

d dAA dt teljes differenciál két részből tevődik össze: a vektorpotenciái dt

időbeli változásából egy adott pontban és a tér egyik pontjából a dr távolságra levő másik pontjába való átmenet következtében történő megváltozásból. Ez utóbbi (drv)A . így

dA dA , wS = -0F+<to>a -

Ezt a fenti egyenletbe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

dp e dA e .-rr = --------— e grad cp-\— v x ro t A. (17,2)at c üt c

Ez az elektromágneses térben mozgó töltés mozgásegyenlete. A bal oldalon a részecske impulzusának időderiváltja áll. Következésképpen (17,2) jobb oldala a

17. §. TÖLTÉS MOZGÁSEGYENLETE ELEKTROMÁGNESES TÉRBEN 71

töltésre elektromágneses térben ható erő. Látható, hogy az utóbbi két részből álL Az egyik rész [(17,2) jobb oldalának első két tagja] független a részecske sebességétől. A másik rész (harmadik tag) függ tőle; arányos a sebesség nagyságával, irányára pedig merőleges.

Az egységnyi töltésre ható első fajta erőt elektromos térerősségnek nevezzük, és E-vel jelöljük. így tehát a definíció szerint:

_ 1 dA .~c ~dt— &adcp- < 1 7 ’ 3 )

Az egységnyi töltésre ható második fajta erőben a sebesség, pontosabban a v/c mellett álló tényezőt mágneses térerősségnek nevezzük, és H-val jelöljük.

A definíció szerint tehátH - rőt A. (17,4)

Ha az elektromágneses térben E 0, de H = 0, akkor elektromos térről; ha E = 0y de H 0, akkor mágneses térről beszélünk. Általános esetben az elektromágneses tér az elektromos és a mágneses tér együttese. Megjegyezzük, hogy E poláris, H pedig axiális vektor.

Az elektromágneses térben levő töltés mozgásegyenlete most

^ = * E + - v X H (17,5)dt c

alakban írható. A jobb oldalon álló kifejezést Lorentz-erőnek nevezzük. Egyik része a töltésre elektromos térben ható erő, mely független a töltés sebességétől, és E irányába mutat. A második rész, a töltésre mágneses térben ható erő, arányos a töltés sebességével, erre és H irányára merőleges.

A fénysebességhez képest kis sebességeknél a p impulzus közelítőleg a klasszikus m \ kifejezéssel egyenlő, a (17,5) egyenlet a következőbe megy át:

m ^ = eE + j V X H . (17,6)

Felírjuk még a részecske kinetikus energiájának4 időbeli változását meghatározó egyenletet. A megváltozás az időegység a la tt:

dó kin d mc2

- s - " s y n | '

4 „Kinetikus” energián itt és a továbbiakban a nyugalmi energiát magában foglaló (9,4) energiát értjük.

Könnyen meggyőződhetünk, hogyk i n dp '

~ d i V ~dt ’

dpjdt-t (17,5)-ből helyettesítve, és észrevéve, hogy (vXH)v = 0, azt kapjuk, hogy

= -E v . (17,7)

A kinetikus energia időbeli változása az erőtérnek (mezőnek) a töltésen (időegység alatt) végzett munkája. (17,7)-ből látható, hogy ez a munka a töltés sebességének és az elektromos tér által reá ható erőnek a szorzatával egyenlő. A tér által dt idő alatt, azaz a töltés dr-rel való elmozdítása során végzett munka eE dt.

Hangsúlyozzuk, hogy mozgó töltésen csak az elektromos tér végez munkát, a mágneses tér nem. Ez utóbbi azzal függ össsze, hogy mágneses térben a részecskére ható erő mindig merőleges a részecske sebességére.

A mechanika egyenletei invariánsak az idő előjelének megváltoztatásával, azaz a jövő és a múlt cseréjével szemben. Más szóval, a mechanikában a két időirány egyenértékű. Ha tehát a mechanika egyenletei szerint valamilyen mozgás létrejöhet, akkor a fordított mozgás is lehetséges, amelynek során a rendszer ugyanazokon az állapotokon fordított sorrendben megy keresztül.

Könnyen belátható, hogy ugyanez a helyzet az elektromágneses térben a relativitáselmélet szerint is. A t -+ — t helyettesítés mellett azonban a mágneses térerősség előjelét is meg kell változtatni. Valóban, a (17,5) mozgásegyenletek nem változnak a

E - E , H - - H (17,8)helyettesítés során.

Emellett a (17,3) és a (17,4) képletek szerint a skalárpotenciál nem változik, a vektorpotenciái előjelet vált:

+ A - - A . (17,9)

Ha tehát az elektromágneses térben létrejöhet valamilyen mozgás, akkor H-val ellentétes irányú mágneses térben létrejöhet a fordított mozgás.

Feladat

Fejezzük ki a részecske gyorsulását sebességével, valamint az elektromos és mágneses térerősséggel. Megoldás. Végezzük el a (17,5) mozgásegyenletben a p = Vc5kiD/c2 helyettesítést, dSkiJd t-1

pedig fejezzük ki (17,7)-ből. A következő eredményt kapjuk:

17. §. TÖLTÉS MOZGÁSEGYENLETE ELEKTROMÁGNESES TÉRBEN 73

18. §. Mértékinvariancia

Vizsgáljuk most azt, mennyire egyértelmű a potenciál meghatározása. Figyelembe kell venni, hogy a teret az a hatás jellemzi, amelyet a benne mozgó töltésre gyakorol. A (17,5) mozgásegyenletekbe azonban nem a potenciálok, hanem az E és H térerősségek szerepelnek. Ezért két tér fizikailag ekvivalens, ha ugyanazok az E és H vektorok jellemzik azokat.

Ha az A és cp potenciálok adottak, akkor ezek (17,3) és (17,4) szerint E-t és H-t, tehát az erőteret (mezőt) egyértelműen meghatározzák. Ugyanahhoz az erőtérhez azonban különböző potenciálok tartozhatnak. Hogy erről meggyőződjünk, adjunk a potenciál minden A k összetevőjéhez egy — dffdxk mennyiséget, ahol/ a koordináták és az idő tetszőleges függvénye. Az új potenciál ekkor:

A 'k = A k ~ ^ - (1 8 4 )

E helyettesítés során a (16,1) hatásintegrálban egy további tag jelenik meg, amely

7 7 5 ?‘* = ‘'(7') (18'2)

teljes differenciálként írható, így nem befolyásolja a mozgásegyenleteket (lásd az I. kötet 2 . §-át).

Ha a négydimenziós potenciál helyett bevezetjük a vektor- és a skalárpotenciált, az x l koordináták helyett pedig a ct, x, y, z négyest, akkor a (18,1) egyenletek a következő alakban írhatók:

A' = A + g rad / , <p' = < p ~ . (18,3)

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a (17,3) és a (17,4) egyenletek által meghatározott elektromos és mágneses tér valóban nem változik A-nak és 99-nek A'-vel és 99' -vei való (18,3) helyettesítése során. így a potenciál (18,1) transzformációja a mezőt nem változtatja meg. A potenciálok meghatározása ezért nem egyértelmű, a vektorpotenciái egy tetszőleges függvény gradiensének, a skalárpotenciál pedig ugyanezen függvény idő szerinti differenciálhányadosának erejéig határozatlan.

Speciálisan a vektorpotenciáihoz tetszőleges, állandó vektor, a skalárishoz pedig tetszőleges állandó adható. Ez közvetlenül látható abból, hogy E és H meghatározásában csak A és cp differenciálhányadosai fordulnak elő, ezért additív állandók a térerősségeket nem változtatják.

19. §. SZTATIKUS ELEKTROMÁGNESES TÉR 75

Fizikai jelentésük csak azoknak a mennyiségeknek van, amelyek a (18,3) potenciáltranszformációval szemben invariánsak, ezért minden egyenletnek invariánsnak kell lennie. Ezt hívják mértékinvarianciának (németül: Eichinwarianz, angolul: gauge invariance, oroszul: kalibrovocsnaja invariantnoszty ) . 5

A potenciálok most leírt határozatlansága mindig lehetővé teszi olyan megválasztásukat, hogy kielégítsenek egy tetszőleges mellékfeltételt. Ehhez a (18,3)-ban szereplő tetszőleges/függvényt alkalmasan kell megválasztanunk. Speciálisan mindig elérhető, hogy a skalárpotenciál zérus legyen. A vektorpotenciái általában nem tűnhet el, mivel A — 0 három mellékfeltételt jelent (A három komponensére).

19. §. Sztatikus elektromágneses tér

Állandónak (stacionáriusnak) nevezzük az elektromágneses teret, ha független az időtől. Nyilvánvaló, hogy az állandó erőtér potenciáljai megválaszthatok úgy, hogy csak a koordináták függvényei legyenek, az időé nem. Az állandó mágneses térerősség, mint korábban is : H = rőt A. Az állandó elektromos térerősség:

E = —grad 99. (19,1)

így tehát az állandó elektromos teret a skalár-, a mágnesest a vektorpotenciái határozza meg.

Az előző szakaszban láttuk, hogy a potenciálok megválasztása nem egyértelmű. Könnyű azonban meggyőződni arról, hogy ha az állandó elektromágneses teret időtől független potenciálok segítségével írjuk le, akkor a skalárpotenciálhoz csak egy tetszőleges (koordinátáktól és időtől független) állandó adható, ha nem akarjuk, hogy az erőtér változzék. Szokás 99-re olyan mellékfeltételt kiróni, amely azt követeli meg, hogy a tér meghatározott pontjában meghatározott értéket vegyen fel; leggyakrabban úgy választják meg 99-t, hogy a végtelenben eltűnjék. Ekkor az említett tetszőleges állandó már rögzített, és így az állandó erőtér skalárpotenciálja egyértelművé válik.

A vektorpotenciái ezzel ellentétben állandó elektromágneses tér esetén sem egyértelmű; hozzáadható a koordináták tetszőleges függvényének gradiense.

Meghatározzuk az állandó elektromágneses térben levő töltés energiáját. Ha az erőtér állandó, akkor a töltésre vonatkozó Lagrange-függvény sem függ az időtől. Mint ismeretes, az energia ekkor megmarad, és megegyezik a Hamilton-függvénnyel.

5 Hangsúlyozzuk, hogy az eredményben szerepet kap a (18,2)-ben levő e állandó. így az elektrodinamika egyenleteinek mértékinvarianciája és a töltésmegmaradás szoros összefüggésben állnak.


(16,6) szerint:

cS = m^ + ^ . (19,2)

Az erőtér (mező) jelenléte következtében tehát a részecske energiája az ecp taggal bővül, ez a részecske potenciális energiája az erőtérben. Megemlítjük azt a lényeges körülményt, hogy az energia csak a skalárpotenciáltól függ, a vektorpotenciáitól nem. Más szóval a mágneses tér nem befolyásolja a töltés energiáját, azt csak az elektromos tér változtathatja. Ez azzal függ össze, hogy a mágneses tér, az elektro: mossál ellentétben, a töltésen nem végez munkát.

Ha a térerősség az erőtér minden pontjában azonos, akkor homogén erőtérről beszélünk. A homogén elektromos tér skalárpotenciálja a térerősséggel a következő módon fejezhető ki:

cp = —Er. (19,3)

Valóban, E = const esetén grad (Er) = (E v) r = E.Homogén mágneses tér vektorpotenciálját a H mágneses térerősség segítségével az

A = y H X r (19,4)

alakban írhatjuk. Valóban, H = const esetén a vektoranalízis ismert összefüggéseit használva:

rot H X r = H div r - ( H v ) r = 2H.(Emlékezzünk arra, hogy div r = 3.)

A homogén mágneses tér vektorpotenciálja másképpen is megválasztható. írhatjuk például, hogy

Ax = - H y , Ay = Az = 0 (19,5)

(a z tengely H irányába mutat). Könnyű belátni, hogy ebben az esetben is teljesül a H = rőt A egyenlőség. A (18,3) transzformációs képleteknek megfelelően a (19,4) és (19,5) potenciálok valamilyen függvény gradiensében különböznek egymástól-

xvH(19,4)-bői (19,5)-öt 7/ hozzáadásával kapjuk, ahol / = ---- — .

Feladat

írjuk fel a relativisztikus mechanikában a részecske pályájára vonatkozó variációs elvet (Mauper- tuis-elv) állandó elektromágneses térben!

Megoldás. A Maupertuis-elv azt mondja ki, hogy ha a részecske teljes energiája (az állandó erőtérben való mozgás során) megmarad, akkor pályája a

b J P dt = 0

20. §. MOZGÁS HOMOGÉN ELEKTROSZTATIKUS TÉRBEN 77

variációs egyenletből határozható meg, ahol P a részecskének az energiával és a koordináták differenciálhányadosaival kifejezett általános impulzusa, az integrált pedig a pálya mentén kell kiszámítani

e(lásd az I. kötet 44. §-át). Behelyettesítve P = pH— A-t, és észrevéve, hogy p és dr iránya megegyezik, a

c

' J ( p d l + - j A d r j = 0

egyenletre jutunk, ahol dl = Ydr2 az ívelem, p-1 a p2jrm 2c2 = {£ — eqp)2/c2 egyenletből kifejezve, végül a következő eredményt kapjuk:

(S — eqo)2 — m2c2 dl-r ~ A dr }• = 0.

20. §. Mozgás homogén elektrosztatikus térben

Vizsgáljuk meg az e töltés mozgását homogén állandó E elektromos térben. M utasson a térerősség az x tengely irányába. A mozgás nyilvánvalóan síkmozgás. A mozgás síkját xy síknak választjuk. A (17,5) mozgásegyenletek most

p x = eE, py = 0

alakúak (a pont az idő szerint képzett differenciálhányadost jelöli), ahonnan

p x = eEt, py = p 0. (20,1)

Az időt abban a pillanatban kezdtük mérni, am ikorpx = 0 volt; a részecske impulzusa akkor p 0.

A részecske kinetikus energiája (a térbeli potenciális energia nélkül számított energia) <£kin = cVm 2c2+ p2. Esetünkben (20,l)-et helyettesítve:

<5kin = Y yn2c^+ c2p%+ (ceEt) 2 = Y&o + iceEt)2, (2 0 ,2 )

ahol So az energia a t = 0 időpontban.A részecske sebessége (9,8) szerint v = P^/^kin- A vx — x sebességösszetevőre

következésképpendx p xc2 c2eEt

ÍÓ%+( ceE tfadódik. Integrálás u tán :

x {ceEtf (20,3)

(az integrációs állandót 0 -nak vettük ) . 6 y -1 a

dy pyc2 p Qc2


c5kin Í& l + {ceEtf

egyenletből számíthatjuk. InnenPnc , ceEt

<20'4>

A pálya egyenletét úgy kapjuk, hogy t-1 (20,4)-bői y segítségével kifejezzük, és(20,3)-ba helyettesítjük. így adódik, hogy

x = 4 ? c h — • ( 2 0 ’5 >eE poc

A töltés tehát homogén elektromos térben láncgörbén mozog.Ha a részecske sebessége k < c , akkor p 0 = m v0, <5o = mc2 írható; (20,5)-öt 1/c

hatványai szerint sorba fejtve, első közelítésben a következőt kapjuk:

eE 0 x = ^— 2 ^ + const,

2 mv$

azaz a töltés parabolapályán mozog, ami a klasszikus mechanikából jól ismert eredmény.

21. §. Mozgás homogén magnetosztatikus térben

Vizsgáljuk az e töltés mozgását homogén mágneses térben. A H térerősség legyen z irányú. A

ep = - v X H

mozgásegyenletet más alakban írjuk fel: az impulzus helyébe a

6 Az eredmény (pQ = 0 esetén) megegyezik az állandó w0 = — „sajátgyorsulással ” végbemenőm

relativisztikus mozgás feladatának megoldásával (lásd a 7. § feladatát). Az adott esetben az állandó gyorsulás azzal függ össze, hogy az elektromos tér a térerősség irányába mutató V sebességű Lorentz- transzformáció során nem változik (lásd a 24. §-t).

kifejezést helyettesítjük, ahol & a részecske energiája, ez mágneses térben állandó, így a mozgásegyenletek alakja:

vagy komponensekben kifejezve:

vx = covy, vy = — covjc, vz = 0; (21,2)

bevezettük az

jelölést.(2 1 ,2 ) második egyenletét /-vei szorozzuk, és hozzáadjuk az elsőhöz:

(vx+ ivy) = - zw(yv + /^ ) ,

amiből

= ae~iüjt,

itt az a állandó komplex szám felírható a = v0te~la alakban, ahol vot és a valósak. Ekkor

Vx+ÍVy = Vo í£ - /(wí+a).

A valós és képzetes részt szétválasztva,

V x = Vot COS (oot+oc), vy = - V o t sin (cot+oc). (21,4)

A v0t és a állandókat a kezdeti feltételekből lehet meghatározni, a a kezdeti fázis;(2 1.4)-bői látható, hogy

% = í v l + vf,

tehát vot a részecske sebessége az xy síkban, ez a mozgás folyamán nem változik.(2 1.4)-bői integrálással kapjuk, hogy

x = x o + r sin (co/-f oc), y = y 0 + r cos (co/+a), (2 1 ,5 )

aholr = VÍL = VJ : i = CJ,

cd ecH eH '

(p t az impulzus vetülete az xy síkra). (2 1 ,2 ) harmadik egyenletéből v2 = és

z = Z0+ v 0zt. (21,7)

21. §. MOZGÁS HOMOGÉN MAGNETOSZTATIKUS TÉRBEN 79

:80 III. TÖLTÉS ELEKTROMÁGNESES TÉRBEN

(21,5)-ből és (21,7)-ből látható, hogy a töltés homogén mágneses térben csavarvonalon mozog, amelynek tengelye a mágneses térerősség irányába mutat, sugarát(21,6) adja meg. A részecske sebességének nagysága állandó. Speciális esetben, amikor v0z = 0 , azaz a töltés sebességének a térerősség irányába mutató összetevője zérus, a töltés a térerősségre merőleges síkban körmozgást végez.

Az co mennyiség, amint az a képletekből látható, a térerősségre merőleges síkbeli forgás körfrekvenciája.

Ha a részecske sebessége kicsi, közelítőleg £ = mc2 írható. A frekvencia ekkor:

c o = — . (2 1 ,8 )mc

Tegyük fel, hogy a mágneses térerősség nagysága és iránya lassan változik, de homogén marad. Kérdés, hogyan változik ekkor a töltött részecske mozgása.

Mint ismeretes, a mozgás feltételeinek lassú változásakor állandóak maradnak az ún. adiabatikus invariánsok. Mivel a mozgás a mágneses térre merőleges, síkban periodikus, ezért adiabatikus invariáns a mozgás egy teljes periódusára, az adott

esetben a körre vett / = (j) P f dr integrál (Pf az általános impulzus vetülete az

eemlített síkra) . 7 P f =■ p,H— A helyettesítésével:

/ = P* dx = (C Vt dr+-^— <£ A dr.2tt J 2tt J 2ne j

Az első tagban pf abszolút értéke állandó, iránya dir-ével azonos. A másodikban a Stokes-tételt használjuk, és a rot A = H helyettesítést végezzük:

í = rP , + ~ H r \

ahol r a pálya sugara. Az egyenlőségbe r-nek (21,6)-ban megismert alakját helyettesítjük:

j _ 3 cp> (21,9)

7 Lásd az I. kötet 49. §-át. Általában adiabatikus invariánsok a (J> p dq integrálok az adott q koordi- náta egy periódusnyi változására véve. A vizsgált esetben két koordináta periódusa — a H-ra merőleges síkban — egybeesik, az I integrál a két megfelelő adiabatikus invariáns összege. A két integrálnak azonban külön-külön nincs értelme, mivel mindkettő függ az erőtér vektorpotenciáljának megválasztásától, ami nem egyértelmű. Az adiabatikus invariánsok nem egyértelmű volta azt a tényt tükrözi, hogy az egész térben homogén mágneses erőteret vizsgálva, elvileg lehetetlen meghatározni a H változása következtében keletkező elektromos erőteret, amely a valóságban a konkrét végtelenbeli határfeltételektől függ.

21. §. MOZGÁS HOMOGÉN MAGNETOSZTATIKUS TÉRBEN 81

Látható, hogy H lassú változásakor a p t transzverzális impulzus 1^-va l arányosan változik.

Az eredmény más esetben is alkalmazható, amikor a részecske csavarvonalon mozog állandó, de nem teljesen homogén mágneses térben (a térerősség keveset változik a csavarvonal sugarával és emelkedésével azonos nagyságrendű szakaszokon). Az ilyen mozgást úgy tekinthetjük, mint egy idő folyamán elmozduló körpályán történő mozgást. Az időben változó térerő homogén. Ekkor azt mondhatjuk, hogy a térerősségre merőleges impulzuskomponens a p t = ÍC H képlet szerint változik, ahol C állandó, H pedig a koordináták adott függvénye. Állandó mágneses térben a részecske energiája (és ezzel együtt impulzusának négyzete) természetesen állandó. Ezért a longitudinális impulzuskomponens a

Pf = P2 -P t = P2 - C H (x , y, z) (21,10)

törvény szerint változik.p f ^ 0 mindig teljesül. Innen látszik, hogy elegendően erős mágneses térbe (C H >

> p2) a részecske nem hatolhat be. A növekvő térerősség irányába mozogva, a csavarvonal sugarap t[H-val (azaz l///7 -val) arányosan csökken, emelkedése pedigpt-lel arányos. Arról a határfelületről, ahol p t eltűnik, a részecske visszaverődik: a forgást az előző irányban folytatva, a térgradienssel ellentétes irányban kezd mozogni.

A térerősség inhomogenitása mást is eredményez: a részecske csavarvonalának vezércentruma (a körpálya középpontját nevezzük most így) lassan transzverzálisan elmozdul; ezt a „drift” jelenséget a következő szakasz 3. feladata tárgyalja.

Feladat

Határozzuk meg az állandó, homogén mágneses térben mozgó, töltött, térbeli oszcillátor frekvenciáját ! Az oszcillátor sajátfrekvenciája (mágneses tér nélkül) co0.

Megoldás. A z irányú mágneses térben levő oszcillátor kényszerrezgését leíró egyenletek alakja a következő:

.. , eH . .. , eH . .. ,X+OJZ0X = ----y, y + M-0y = ------- x, Z —OJZZ = 0.mc mc

A második egyenletet i-vel szorozva és az elsőhöz adva, kapjuk, hogy

p H •

mc

ahol | = x-riy. Innen az oszcillátor rezgéseinek frekvenciái a térerősségre merőleges síkban:

eH2 mc

6 Elmélet i fizika II. - 42 221/11.

Ha H kicsi, akkor a fenti képlet


alakba megy át. A térerősség iránya mentén történő rezgések nem változnak.

22. §. Töltés mozgása homogén sztatikus elektromos és mágneses térben

Végül vizsgáljuk a töltés mozgását egyidejűleg jelen levő homogén, állandó elektromos és mágneses térben. Csak a nemrelativisztikus esetre szorítkozunk, amikor a töltés sebessége v <<c c, és ezért impulzusa p = ms. (Látni fogjuk, ehhez szükséges, hogy az elektromos térerősség a mágneseshez képest kicsi legyen.)

H -t z tengely irányúnak választjuk, a H és E vektorok az yz síkot feszítsék ki. Az

my = e E + —- vX H c

mozgásegyenletek alakja ekkor a következő:

m x =

my = eEy —^ x H , (22,1)

mz = eEz.

A harmadik egyenletből látható, hogy a töltés a z tengely mentén egyenletes gyorsulással mozog:

eFz=£ ' 2+ - (22?2)

(2 2 , 1 ) második egyenletét z-vel szorozva és az elsőhöz adva, kapjuk, hogy

^ ( * + iy)+ M x + iy) = i ^n Ey

(tu = eHjmc). Az egyenlet általános megoldása (x+zy-ra mint változóra) a homogén egyenlet általános és az inhomogén egyenlet egyik partikuláris megoldásának összege. Az előbbi: ae~lUi\ az utóbbi: eE Jm o = cEy[H. így

. .. • , cEyx + iy = ae~l0it-\— .t i

22. §. TÖLTÉS MOZGÁSA HOMOGÉN SZTATIKUS ELEKTROMOS 83ÉS MÁGNESES TÉRBEN

Az a állandó általában komplex. írjuk fel a = bela alakban, ahol b és a valós. Mivel a szorzótényezője e~lo)\ ezért a t = 0 kezdeti időpont megfelelő választásával az a fázisnak tetszőleges értéket adhatunk. Válasszuk a-t úgy, hogy 0 valós legyen. Ekkor x + iy valós és képzetes részét szétválasztva:

Ex = a cos oot+ c , y = —a sin cot (22,3)H

adódik. A t = 0 időpillanatban a sebesség az x tengely irányába mutat. Látható, hogy a sebességkomponensek az idő periodikus függvényei; átlagértékeik:

- c E y T nx = - f f * y = °-

Egymásra merőleges elektromos és mágneses térben mozgó töltésnek ezt az átlag- sebességét szokás elektromos driftsebességnek nevezni. Iránya merőleges mindkét térerősség irányára, és a töltés előjelétől független. Vektoriális alakban is felírható:

v = . (22,4)

E szakaszban levezetett képletek akkor érvényesek, ha a részecske sebessége a fény- sebességhez képest kicsi. Látható: ez megköveteli, hogy az elektromos és mágneses térerősség kielégítse az

§ - « 1 (22,5)

feltételt, Ey és H nagysága egyébként tetszőleges.A (22,3) egyenleteket még egyszer integrálva és az integrációs állandókat úgy

választva, hogy t = 0 -ban x = y = 0 legyen, a következő eredményt kapjuk:

a . cEv a , _x — — sin cöt+——t, y = — (cos cot — l). (2 2 ,6 )o) H o)

Ezek az ún. trochoid paraméteres egyenletei. Attól függően, hogy a abszolút értéke nagyobb vagy kisebb cEyjH abszolút értékénél, a részecske pályájának az xy síkra való vetülete a 6 a vagy 6b ábrán látható.

Ha a ——cEy\H , akkor (22,6) az

CE cEx = ——r (cot sin oot), y = ——— (1 — cos cot) (2 2 ,7 )

00H c ű H

egyenletekbe megy át, a pálya xy síkra való vetülete ciklois (6c ábra)r 6 *


Feladatok

1. írjuk le töltött részecske relativisztikus mozgását egymással párhuzamos elektromos és mágneses térben.

Megoldás. A mágneses tér nem befolyásolja az E és H irányában (z tengely) végbemenő mozgást, ezt az elektromos tér határozza meg. A 20. § szerint írhatjuk, hogy

Z = — , Skin = U l+ (c eE íf.eE

Az xy síkban történő mozgás egyenletei:

vagy másképp:

Ebből

d , . s . eH , . . ieHc .777 ( P x + ‘P y ) = - ‘ — W y ) = - -7------- ( P x - t P y ) -ai c okin

P x + Í P y =

ahol pt az impulzus xy síkba eső állandó nagyságú vetülete. A cp segédmennyiségre a

dtdcp = eHc

egyenlet érvényes, amiből

22. §. TÖLTÉS MOZGÁSA HOMOGÉN SZTATIKUS ELEKTROMOS 85ÉS MÁGNESES TÉRBEN

így tehát

px+ip, = Pfi~i,f = r (*+ '?) =eH d(x+ iy) c dtp

ahonnan

y = — c° s cp. (2)

Az (1) és (2) képlet, valamint a

adják a részecske pályájának paraméteres egyenleteit. A pálya cpJeH sugarú és monoton növekvő menetemelkedésű csavarvonal, melyen a részecske <p — eHcjSkin csökkenő szögsebességgel mozog, a z tengely menti sebesség pedig c-hez tart.

2. írjuk le töltött részecske relativisztikus mozgását egymásra merőleges, egyenlő nagyságú elektromos és mágneses térben.8

Megoldás. Ha H á z tengely, E az y tengely irányába mutat, és E = H, a mozgásegyenletek alakja a következő:

Ezek következménye a (17,7) egyenlet:

<2kin - c 2pl = (<skin + cpx) (<2tln- cpx) - c-pl+E-

egyenlőséget (ahol e2 = n fc 1+ c~p\ = const), kapjuk, hogy

<2kin+cpx = — (e-pl + e-),

majd ezután„ _ a , c2p2 + e2

° kin 2 2aa c2pl + e2 2 c 2ac

írhatjuk tovább, hogy

(cSkIn- ^ ^ ) = eE(£kin- c Px) = rffe,

amiből

(1)

8 Egymásra merőleges különböző nagyságú E és H erőtérben való mozgás megfelelő Lorentz- transzformációval visszavezethető tiszta elektromos vagy mágneses térben történő mozgásra (lásd a 25. §-t).


A pálya meghatározásához adx = c2pxdt ^kin

egyenletekben dt — S kin dpyjeEoL szerint a py változóra térünk át. Integrálás után a következő összefüggéseket kapjuk:

Az (1) és (2) képletek teljesen meghatározzák a részecske pályáját paraméteres alakban (a paraméter py). Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a sebesség leggyorsabban az E-re és H -ra merőleges irányban növekszik.

3. Határozzuk meg nemrelativisztikus töltött részecske pályája vezércentrumának driftsebességét kvázihomogén és állandó mágneses térben (H . Alfven, 1940).

Megoldás. Indulásként feltételezzük, hogy a részecske körpályán mozog, azaz sebességének nincs longitudinális (térerősséggel párhuzamos) összetevője. A pályagörbe egyenletét r = R (0+ ?(0 alakban keressük, ahol R(0 a vezércentrum (időben lassan változó) helyvektora,g (t) pedig a vezércentrum körül végzett forgómozgást leíró, gyorsan oszcilláló mennyiség. Átlagoljuk a részecskére ható e . .

— (rxH (r)) erőt az oszcilláló (kör-) mozgás egy periódusára (lásd az I. kötet 30. §-át). A benne c

szereplő H(r) függvényt £ hatványai szerint sorbafejtjük:

H(r) = H(R)+(£v)H (R).

Az átlagolásnál az oszcilláló £(0 mennyiségben elsőrendű tagok eltűnnek, a másodrendű tagok az erőhöz az

ahol n a H irányába mutató egységvektor; a frekvencia co = eH/mc; v± a részecske kerületi sebessége, Az n-re merőleges síkban forgó £ vektor komponensei szorzatának átlagértéke:

( - 1+ •£ -)* + (2)

f = y t o x H

kiegészítő tagot adják. Körmozgásra

ahol őap a síkbeli egységtenzor. Eredményként a következőt kapjuk:

A H(R) állandó térerősség kielégíti a div H = 0, rot H = 0 egyenleteket, ezért

(n x v) x H = - n div H + (nv)H +n rot H = (nv)H = #(nv)n+n(n vH).

23. §. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉRERŐSSÉGTENZOR 87

Bennünket az n-hez képest transzverzális erő érdekel, ennek hatására tolódik el a pálya;

ahol g a mágneses erővonalak görbületi sugara adott pontban, v pedig a görbületi középpontból az adott pont felé mutató egységvektor.

Ha a részecskének Vj ( longitudinális (n irányú) sebessége is van, akkor áttérve arra a vonatkoztatási rendszerre, amely az erővonal (a vezércentrum trajektóriája) pillanatnyi görbületi középpontja körül Vji Iq szögsebességgel mozog, az előző esetre jutunk. Ebben a rendszerben a részecskének nincs longitudinális sebessége, viszont az előző transzverzális erőhöz hozzájárul még a centrifugáliserő. A teljes transzverzális erő:

Ez az erő fj^/e nagyságú állandó elektromos térrel ekvivalens. így a pálya vezércentrumának drift- sebessége (22,4) szerint:

A 17. §-ban levezettük a töltés mozgásegyenleteit a háromdimenziós alakban felírt(16,4) Lagrange-függvényből kiindulva. Ugyanezt tesszük most közvetlenül, a négy- dimenziós jelölésekkel felírt (16,1) hatásfüggvény felhasználásával.

A legkisebb hatás elve szerint

A sebesség előjele a töltés előjelétől függ.

23. §. Az elektromágneses térerősségtenzor

b

(23,1)a

Kihasználva, hogy ds = Íd x { d x \ a következőket írhatjuk (az integrálás a, b határait a továbbiakban a rövidség kedvéért nem írjuk ki):


Az első két tagban parciálisán integrálunk. Az első tagban bevezetjük a d x jd s = w, négyessebességet. Ekkor

í(mcdui bxijr ~ bx* dAt— €— b A id x^ — ^m cui+ ~ bx* = 0. (23,2)

Az egyenlőség második tagja zérus, mivel a végpontokban a variáció eltűnik. Továbbá

U = | =

ezert

í(-mc dui bx* + — bxi dxk - ~ - dx c oxk c oxk

du ■ .Az első tagban a dut = — ds, a másodikban és harmadikban a dx1 = ul ds átalakítást

dsvégezzük, a harmadikban felcseréljük az i és k indexeket (ezekre összegeznünk kell* így a csere semmit sem változtat). Végül is

dui e (dA k dAA , mc ds c { dxi dxk ) u

bx1 tetszőleges, ezért az integrandus eltűnik,

bx* ds — 0 .

( 8A k dA ,\ \ dx‘ dxk j

dui e íd A k dAA m c - ; - = — ds c

Bevezetjük az

Fik =dAk dAi dx' 8x k

(23,3)

jelölést. Az antiszimmetrikus Fik tenzort az elektromágneses térerősségtenzomak nevezzük. Ezzel a kapott egyenlet a következő alakban írható :

m c ^ _ — f_p iku (23,4)ds c

Ez a töltés négydimenziós alakban írt mozgásegyenlete.Az Fik tenzor egyes komponenseinek jelentését könnyen tisztázhatjuk, ha (23,3)-ba

23. §. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉRERŐSSÉGTENZOR 89

beírjuk az A t = (99, — A) négyesvektort. Az eredmény táblázatban foglalható össze, az i = 0, 1, 2, 3 index a sorokat, a k az oszlopokat jelöli:

így tehát az elektromos és mágneses tér komponensei ugyanannak a tenzornak, az elektromágneses tér négyestenzorának komponensei.

Háromdimenziós jelölésre áttérve, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a (23,4) egyenlet térkomponensei (i = 1, 2, 3) a (17,5) vektoriális mozgásegyenlettel, az idő- komponens (i = 0 ) a (17,7) munkaegyenlettel ekvivalens. Az utóbbi a mozgásegyenletek következménye. Az a tény, hogy a (23,4) egyenletek közül csak három független, közvetlenül is könnyen belátható, ha (23,4) mindkét oldalát w*-vel szorozzuk. Az egyenlőség bal oldala ekkor az ul és dujds négyesvektorok ortogonalitása, a jobb oldal az Fík tenzor antiszimmetrikus volta következtében eltűnik.

Ha a öS variációban csak a valóságos pályákat tekintjük, akkor (23,2) első tagja azonosan eltűnik. A második tag, melyben a felső határt állandónak tartjuk, a hatás differenciálját adja a koordináták függvényeként. így

A d S /dxl négyesvektor a részecske Pi általános impulzusa. p t és A i összetevőivel:

(23,5)

Rövidebb alakban (lásd a 6 . §-t):

Fik = (E, H), F ik = ( —E, H).

(23,6)

EbbőldS e e

= mcui-i— At = Pi-i— Ai. dx1 c c(23,7)

(23,8)

Ahogy azt vártuk, a négyesvektor térszerű összetevői az általános impulzus (16,5) háromdimenziós vektorát alkotják, az időszerű összetevő <5/c, ahol £ a töltés teljes energiája a külső térben.


24. §. A térerősség Lorentz-transzformációja

Felírjuk a térerősség transzformációs képleteit, amelyek szerint az meghatározható egy inerciarendszerben, ha egy másikban már ismerjük.

A potenciálokra vonatkozó transzformációs képletek közvetlenül adódnak a négyesvektorok (6 , 1 ) transzformációs képleteiből:

Fik másodrendű, antiszimmetrikus négyestenzor, egy ilyennek a transzformációs képletei a 6 .§ 2. feladatában találhatók: az F23 és F01 komponensek nem változnak, az F 02, F 03 és F 12, F 13 komponensek úgy transzformálódnak, mint x° és x 1. Az Flk tenzor komponenseit E és H komponenseivel (23,5) szerint kifejezve, kapjuk az elektromos térerősség

transzformációs képleteit.Az elektromos és mágneses térerősség tehát, mint a fizikai mennyiségek többsége,

relatív mennyiségek, azaz tulajdonságaik az egyes vonatkoztatási rendszerekben

egyik rendszerben, ugyanakkor a másikban nem az.A (24,2) és a (24,3) transzformációs képletek lényegesen egyszerűsödnek a F « c

esetben. Vjc nagyságrendű tagokig bezárólag:

(24,2)

és a mágneses térerősség

(24,3)

különbözőek. így például az elektromos (vagy mágneses) térerősség zérus lehet az

Vektoriális alakban ezek így írhatók:

E = E ' + — H'XV, H = H '—— E'XV. (24,4)c c

25. §. AZ ERŐTÉR INVARIÁNS MENNYISÉGEI 91

A fordított irányú transzformáció képletei (24,2)—(24,4)-bői a vesszők cseréjével és V előjelének megváltoztatásával adódnak.

Ha a K f rendszerben a H' mágneses térerősség eltűnik, akkor a K rendszerben az elektromos és mágneses tér között a (24,2) és (24,3) képletek szerint a

H = — V X E (24,5)c

összefüggés áll fenn. Ha a K' rendszerben E' = 0, akkor a K rendszerben

E = —— V X H . (24,6)c

A K rendszerben a mágneses és elektromos térerősség mindkét esetben merőleges egymásra.

A fenti összefüggéseknek fordított jelentése is érdekes: ha egy K vonatkoztatási rendszerben E és H merőleges egymásra (de nem egyenlő nagyságúak), akkor létezik olyan K ' rendszer, amelyben csak elektromos vagy csak mágneses tér van. E rendszer (K-hoz viszonyított) sebessége E-re és H-ra merőleges, nagysága az első esetben cH jE (szükséges, hogy H < E fennálljon), a másodikban pedig cE/H (E < //-nak kell teljesülnie).

25. §. Az erőtér invariáns mennyiségei

Az elektromos és a mágneses térerősségvektorok komponenseiből invariáns meny- nyiségek képezhetők, melyek az egyik inerciarendszerből a másikba való áttérés során nem változnak.

Az invariánsok alakja, kiindulva az Flk antiszimmetrikus négyestenzorból, könnyen megtalálható. Nyilvánvaló, hogy a tenzorkomponensekből a következő invariáns mennyiségek képezhetők:

FikFik = inv, (25,1)eiklmFikFim = inv, (25,2)

ahol elklm a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor (lásd a 6 . §-t). Az első skalár-, a második pszeudoskalár mennyiség (Flk-nak és duálisának szorzata) . 9

Flk komponenseit E és H komponenseivel kifejezve, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az invariánsok háromdimenziós alakja a következő:

A második nyilvánvalóan pszeudoskalár, mivel az az E poláris vektor és a H axiális vektor skalárszorzata. [Az (EH ) 2 kifejezés már valódi skalár.]

A két kifejezés invarianciájából levonhatunk bizonyos következtetéseket. Ha valamilyen vonatkoztatási rendszerben az elektromos és a mágneses tér merőleges egymásra, azaz EH = 0, akkor minden más inerciarendszerben is merőlegesek lesznek. Ha valamilyen rendszerben E és H abszolút értéke egyenlő, akkor ez minden más rendszerben is igaz.

Egyenlőtlenségeket is felírhatunk. Ha valamilyen rendszerben^ > H (yagyE < H \ akkor ez minden más rendszerben is fennáll. Ha valamilyen rendszerben az E és H vektorok hegyes (vagy tompa) szöget zárnak be, akkor hegyes (vagy tompa) szöget zárnak be minden más rendszerben is.

Lorentz-transzformációval E és H tetszőleges értéke elérhető azzal a feltétellel, hogy E 2- H 2-nek és EH-nak meghatározott értéket kell felvenniük. így például található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az elektromos és a mágneses tér egy adott pontban párhuzamos egymással. Ebben EH = EH; az

egyenletekből E és H meghatározható (Eo és H 0 az elektromos és a mágneses térerősség a kiindulási rendszerben).

Kivételt képez az az eset, mikor mindkét invariáns értéke zérus. Ekkor E és H minden rendszerben azonos abszolút értékűek, és merőlegesek egymásra.

Ha csak EH = 0, akkor található olyan vonatkoztatási rendszer, melyben E = 0 vagy H = 0 (aszerint, hogy E 2—H 2 negatív vagy pozitív), azaz az erőtér (mező) tisztán mágneses vagy tisztán elektromos. Fordítva, ha valamilyen rendszerben E = 0 vagy H = 0, akkor minden más rendszerben merőlegesek egymásra, az előző szakasz végén mondottaknak megfelelően.

Megbeszéljük még az antiszimmetrikus négyestenzor invariánsai vizsgálatának egy más módját. Ez a módszer nyilvánvalóvá teszi a (25,3) és (25,4) két független invariáns

9 Megjegyezzük, hogy a (25,2) pszeudoskalár négyesdivergencia formájában is előállítható:

H 2- E 2 = inv, EH = inv.

(25.3)(25.4)

E~—H 2 = E H = E0H„

é klmFikFlm = 4 '‘éez könnyen igazolható, ha figyelembe vesszük, hogy eiklm antiszimmetrikus.

25. §. AZ ERŐTÉR INVARIÁNS MENNYISÉGEI 93

egyértelműségét, és ugyanakkor rámutat a Lorentz-transzformáció négyestenzorokra való alkalmazásának néhány tanulságos matematikai sajátságára.

Tekintsük azF = E + /H (25,5)

komplex vektort. A (24,2) és (24,3) képleteket használva, könnyen látható, hogy a Lorentz-transzformáció hatása a vektorra a következő:

Fx = F 'x, Fy — Fy eh (p—iF'z sh cp — Fy cos icp —F ' sin icp,p (25,6)

Fz = Fz cos z<p + F^ sin icp, ahol th cp — — .

Látjuk, hogy a négyestér x t síkjában való forgatás (amely éppen a vizsgált Lorentz- transzformáció) az F vektorra nézve a háromdimenziós tér yz síkjában képzetes szöggel való elforgatással ekvivalens. A lehetséges négyestérbeli forgatások összessége (beleértve az x, y, z tengely körüli egyszerű forgatásokat is) a háromdimenziós térben végzett komplex szögű forgatások összességével ekvivalens (a négyestérbeli hat el- forgatási szögnek a háromdimenziós forgások hat komplex szöge felel meg).

A forgatásokkal szemben egyetlen vektorinvariáns kifejezés a vektor négyzete: F2 = F 2 —/ / 2 -b2zEH. Ezért az E 2—H 2 és EH valós mennyiségek képezik az Fik tenzor invariánsait.

Ha F2 ^ 0, akkor F előállítható F = an alakban, ahol n komplex egységvektor (n2 = 1 ) . Megfelelő komplex forgatással n beállítható valamelyik koordinátatengely irányába; ekkor n nyilván valós lesz, és meghatározza a két vektor, E és H irányát: F = (E + iH )n. Más szavakkal a forgatás eredményeként E és H párhuzamos lesz egymással.

Feladat

Határozzuk meg annak a vonatkoztatási rendszernek sebességét, amelyben az elektromos és mágneses térerősség párhuzamos egymással.

Megoldás. Végtelen sok, a feladat feltételét kielégítő K' vonatkoztatási rendszer létezik: ha egy ilyen ismert, akkor rendelkezik ezzel a tulajdonsággal tetszőleges más olyan rendszer is, amely az elsőhöz képest E és H közös irányába mutató sebességgel mozog. Ezért elegendő meghatározni azt a rendszert, amelynek sebessége a két térerősség irányára merőleges. Legyen a sebesség iránya az x tengely, felhasználva azt, hogy a K' rendszerben E'x = H'x = 0, E fyH'z-E 'zHy = 0, a (24,2) és (24,3) képletek segítségével a rendszernek a kiindulási rendszerhez viszonyított V sebességére a következő kifejezést kapjuk:

V/c E x H1 + W c 2 “ E 2+ H 2

(a másodfokú egyenletnek természetesen azt a gyökét kell választani, amelyik c-nél kisebb).

IV. F E J E Z E T

AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR EGYENLETEI

26. §. Az első két Maxwell-egyenlet

A

A T . 1 0 A ,H = rot A, E = ------- ----- grad cpc d t

kifejezésekből könnyen kaphatunk csak E-t és H -t tartalmazó egyenleteket. Ennek érdekében határozzuk meg rőt E-t:

1 0 . rot E = -----rot A —rőt grad cp.

c dt

Mivel azonban minden gradiens rotációja nulla, következésképpen

1 dHrot E = ------- — . (26,1)c dt

A rot A = H egyenlet mindkét oldalának divergenciáját képezve, és emlékezve, hogy minden rotáció divergenciája nulla, azt kapjuk, hogy

div H = 0. (26,2)

A (26,1) és (26,2) egyenletek alkotják az első két Maxwell-egyenletet.1 Megjegyezzük, hogy e két egyenlet még nem határozza meg teljesen az erőtér (mező) tulajdonságait. Ez már abból is látható, hogy a mágneses térerősség időbeli változását (a dH /dt differenciálhányadost) meghatározzák, de a dE/dt differenciálhányadost nem.

A (26,1) és (26,2) egyenletek integrál alakban is felírhatok. A Gauss-tétel szerint

J div H dV = j u d f ,

1 A Maxwell-egyenleteket — az elektrodinamika alapegyenleteit — Maxwell az 1860-as években alkotta meg.

26. §. AZ ELSŐ KÉT MAXWELL-EGYENLET 95

ahol a jobb oldali integrált a bal oldali integrációs térfogatot körülvevő' zárt felületre kell képezni. (26,2) alapján

>Hdf = 0. (26,3)

Egy vektor valamilyen felületre vett integrálját a vektor e felületen keresztülfolyó áramának nevezzük. így a mágneses tér minden zárt felületen keresztülfolyó árama zérus.

A Stokes-tétel szerint

J rot E di = <j> E dl,

ahol a jobb oldali integrált a bal oldali integrációs felületet határoló zárt görbére kell képezni. (26,1) mindkét oldalát valamilyen felületre integrálva kapjuk, hogy

(26>4)

Egy vektor valamilyen zárt görbére vett integrálját a vektor cirkulációjának nevezzük. Az elektromos tér cirkulációját az adott görbére vett elektromotoros erőnek is szokás nevezni. Valamilyen görbére vett elektromotoros erő így a mágneses tér (az adott görbe által határolt felületre képzett) fluxusának időderiváltjával arányos.

A (26,1) és (26,2) Maxwell-egyenleteket négydimenziós jelölésekkel is felírhatjuk. Az elektromágneses tértenzor

F = dAk dAi lk dx* 8x k

meghatározásából kiindulva, könnyen belátható, hogy

dFik dFkl dF„ _ nfeT + ^ + 0 ^ - a (26’5)

Az egyenlet bal oldalán álló kifejezés mindhárom indexében antiszimmetrikus harmadrendű tenzor. Komponensei csak i ^ k ^ l esetén különböznek zérustól. így összesen négy különböző egyenletet kapunk, amelyek, mint arról (23,5) felhasználásával könnyen meggyőződhetünk, a (26,1) és (26,2) egyenletekkel azonosak.

Harmadrendű antiszimmetrikus négyestenzor duális négyesvektorát úgy kapjuk, hogy a tenzort elklm-mél szorozzuk, és három indexpárt összeejtünk (lásd a 6 . §-t). így (26,5) az

eik,m^ = 0 (26,6)

alakban írható, ami világosan mutatja, hogy négy független egyenletről van szó.

27. §. Az elektromágneses tér hatásfüggvénye

96 IV. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR EGYENLETEI

Az elektromágneses tér és a benne mozgó részecskék együttes rendszerének S hatásfüggvénye három részből kell, hogy álljon:

S = S m + S r+ S rm. (27,1)

S r a hatásnak az a része, amely csak a részecske tulajdonságaitól függ, ez a szabad részecske hatásfüggvénye. Ennek értékét egy szabad részecskére nézve a (8,1) képlet adja meg. Több részecske hatásfüggvénye az egyes részecskék hatásfüggvényeinek összege. így

S r — — Yj m c J ds. (27,2)S rm a hatásnak az a része, amely a részecskék és a mező kölcsönhatásának felel

meg. A 16. § szerint

S rm = - Y J^ A k dxK (27,3)

Ak az összeg minden tagjában a mező potenciálját jelenti a mezőnek és az időnek abban a pontjában, amelyben a megfelelő részecske tartózkodik. Az S r-\-Srm összeg a már ismert (16,1) hatást adja.

Végül S m a hatásnak az a része, amely csak a mező (erőtér) tulajdonságaitól függ, azaz a töltések nélküli mező hatásfüggvénye. Mindaddig, amíg csak a töltésnek az adott elektromágneses térben végbemenő mozgását vizsgáltuk, S m mint a részecskétől független mennyiség érdektelen volt, mivel ez a tag a részecske mozgásegyenleteit nem befolyásolja. Szükségessé válik azonban akkor, amikor magát a mezőt meghatározó egyenleteket keressük. Ennek felel meg az a körülmény, hogy az S r-\-Srm hatásból csak a (26,1)—(26,2) egyenletpárt kapjuk meg, ezek még nem elegendőek a mező teljes meghatározásához.

Az S m hatásfüggvény felírásához az elektromágneses tér (mező) következő nagyon fontos tulajdonságából indulunk ki. A tapasztalat azt mutatja, hogy az elektromágneses térre érvényes a szuperpozíció elve. Ez azt jelenti, hogy egy töltésrendszer által keltett eredő térerősség minden egyes pontban az egyes térerősségek (vektoriális) összege.

A téregyenletek minden megoldása megvalósulhat a természetben. A szuperpozíció elve szerint tetszőleges ilyen terek összege is megvalósulhat, azaz az összeg is mindenkor kielégíti a téregyenleteket.

Mint ismeretes, a lineáris differenciálegyenleteknek megvan az a tulajdonságuk, hogy tetszőleges megoldásaik összege is megoldás. A téregyenletek tehát szükségképpen lineáris differenciálegyenletek.

27. §. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR HATÁSFÜGGVÉNYE 97

Az elmondottakból következik, hogy az S m hatásfüggvényben az integráljel alatt a térerősség négyzetes kifejezésének kell szerepelnie. A hatás variációjaként adódó téregyenletek csak ebben az esetben lineárisak, ugyanis a variációnál az integrál alatt álló kifejezés fokszáma 1 -gyel csökken.

Az S m hatás kifejezésében nem szerepelhetnek a potenciálok, mivel azok meghatározása nem egyértelmű (*Srm-ben a többértelműségnek nincs jelentősége). S m ezért az Fik elektromágneses tértenzor valamilyen függvényének integrálja. A hatásnak skalárnak kell lennie, így az integrandus is szükségszerűen skalár. Egyedül az FikFxk szorzat ilyen .2

így S m alakja a következő:

ahol a koordináták szerint a teljes térre, az idő szerint két adott időpont közé eső tartományra kell integrálni; a valamilyen állandó. Az integrandus FikFik = 2(H 2—E 2). Az E térerősség a dA[8 t differenciálhányadost tartalmazza. Könnyen látható, hogy a hatásfüggvényben (dA/dt ) 2 (és ezért E 2) előjelének pozitívnak kell lennie. Valóban, ha (0 Afd t) 2 előjele negatív lenne, akkor a potenciálnak (az adott időintervallumban) elég gyors időbeli változásával S m mindig tetszőlegesen nagy abszolút értékű negatív mennyiséggé lenne tehető; következésképpen *Sm-nek nem lenne minimuma, pedig azt a legkisebb hatás elve megköveteli. Ezért a szükségszerűen negatív.

a számértéke a térerősség egységének megválasztásától függ. Megjegyezzük, hogy adott a és adott térerősségegység mellett minden más elektromágneses mennyiség egysége meghatározott.

A továbbiakban a Gauss-féle egységrendszert használjuk; ebben a dimenziótlan mennyiség, értéke — 1/16tt.3

A mező hatásfüggvénye tehát

2 Sm integrandusa nem tartalmazhatja deriváltjait, mivel a Lagrange-függvényben a rendszer koordinátáin kívül csak azok idő szerinti első differenciálhányadosai szerepelhetnek, a variálandó változók szerepét pedig ebben az esetben a tér Ak potenciáljai játsszák; ez azzal analóg, hogy a mechanikában a mechanikai rendszerek Lagrange-függvénye csak a részecske koordinátáit és azok idő szerint képzett első differenciálhányadosait tartalmazza.

Az eiklmFikFlm (25. §) mennyiség (amint azt a 25. § 9 számú lábjegyzetében említettük) teljes négyesdivergencia, ezért ha szerepel is Sm integrandusában, ez a „mozgásegyenletekben” nem tükröződik. Érdekes, hogy már ez is kizárja a hatásfüggvényből attól függetlenül, hogy nem valódi, hanem pszeudoskalár.

3 A Gauss-egységrendszeren kívül használják az ún. Heaviside-félét is, amelyben a = —1/4. Ebben a téregyenletek alakja egyszerűbb (4n nem szerepel bennük), a 4tt osztó a Coulomb-törvénv- ben lép fel. A Gauss-egységrendszerben fordított a helyzet.

S m = a J J FikFik dV dt, dV = dx d yd z ,

S,n = — FikFik dQ, dQ — c dt dx dy dz. (27,4)

7 Elmélet i fizika II. - 42 221 /II,


Háromdimenziós alakban:

Más szóval a mező Lagrange-függvénye:

s m = Jj* (E2 — H2) dV dt.

-függvénye :

(27,5)

Lm = (E2- H 2)d V . (27,6)

Az elektromágneses tér és a benne levő töltések teljes hatásfüggvénye tehát

Megjegyezzük, hogy a töltéseket már nem tekintjük kicsiknek, mint a mozgásegyenlet levezetésekor. Ezért Ak és Fik a valódi mezőre vonatkoznak, tehát a külső mezőre és a töltések mezőjére együtt; Ak és Fik most a töltések helyzetének és sebességének függvényei.

A kényelmes matematikai leírás kedvéért gyakran nem pontszerű, hanem a térben folytonosan elosztott töltéseket vizsgálunk. Bevezethető úgy a q töltéssűrűség, hogy a dV térfogatban levő össztöltés q dV legyen; q általában a koordináták és az idő függvénye. £-nak valamilyen térfogatra vett integrálja megadja a térfogatban levő össztöltést.

Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a valóságban a töltések pontszerűek, ezért q mindenhol nulla, kivéve a töltések helyét, az J q dV integrál pedig az adott térfogatban levő töltések összegével egyenlő. Ezért a q sűrűség 6 -függvények4 segítségével

4 A (5(x) függvény meghatározása a következő: ő(x) = 0, ha x ^ 0; x = 0 esetén ő(0) = oor úgyhogy

A definícióból a következő tulajdonságok adódnak: tetszőleges f(x) függvényre fennáll, hogy

(27,7)

28. §. Négydimenziós áramvektor

J á(jf) dx = 1 . 0 )

J f(x) d(x-a)dx= f(a); (2)

28. §. NÉGYDIMENZIÓS ÁRAMVEKTOR 99

írható fel a következő alakban:

q = £ í>a<5(r-ra), (28,1)a

ahol az összegezésben mindegyik töltés szerepel, ra az ea töltés helyzetvektora.A részecske töltése a definíció szerint invariáns mennyiség, független a koordináta-

rendszer választásától. A q sűrűség ellenben nem invariáns, csak a qdV szorzat. Szorozzuk meg a de = qdV egyenlőség mindkét oldalát dx'-ve 1:

dx 1ded x* = q d V d x i = q d V d t - ^ - .

A bal oldalon négyesvektor áll (ífe skalár, d x 1 négyes vektor). Négyesvektomak kelldx*

lennie a jobb oldalon is. dV dt skalár, ezért q —— négyesvektor. Neve négyes áram ai

(sűrűség-) vektor:

dx*J l = Q

A három térszerű komponens a

f = 2 W . (28,2)

j = G-v (28,3)

speciálisan+ °oJ f(x ) <5(.y) dx = /(0) (3)

(az integrálás határai nem szükségszerűen ± oo ; megfelel bármely tartomány, amely tartalmazza azt a pontot, amelyben a ő-függvény nem tűnik el).

A most következő egyenlőségeket úgy kell érteni, hogy bal és jobb oldalukat integráljel alatt szorzótényezőként alkalmazva, azonos eredmény adódik:

ő ( -x ) = ő(x), ő(ax) = —Í-- ő(x), (4)\a\

A második egyenlőség a következő általánosabb összefüggés speciális esete:

= (5)

ahol (p(x) egyértékű függvény (inverz függvénye nem kell, hogy egyértékű legyen), a{ pedig a (p(x) = 0 egyenlet gyöke.

Az egyváltozós ő(x) definíciójához hasonlóan bevezethető a ő(r) háromdimenziós függvény, mely a háromdimenziós koordináta-rendszer kezdőpontját kivéve, mindenhol nulla, a függvény teljes térre vett integrálja 1. ő(r) felírható a á(x) <5(j) ő(z) szorzatalakban.

7*

háromdimenziós vektort alkotja, v a töltés sebessége az adott pontban, j neve: áramsűrűség-vektor. A négyes áramvektor időszerű komponense cq. így

/ = (cg, j). (28,4)

Az össztöltést a teljes térre vett J qdV integrál adja. Ezt felírhatjuk négydimenziós alakban:

j* QdV = 1 jV dV = I p (28,5)

ahol az integrálást az x° tengelyre merőleges négydimenziós hipersíkra kell elvégezni. (Nyilvánvaló, hogy ez a teljes háromdimenziós térre vett integrálást jelenti.) A tetsző-

i rleges hipersíkra v e t t — I/dS ,-in tegrál általában azoknak a töltéseknek az összegét

adja, amelyek világvonala metszi az adott hipersíkot.A hatás (27,7) kifejezésébe beírjuk az áram négyesvektorát, és átalakítjuk a máso

dik tagot. Az e ponttöltések helyett a o sűrűségű folytonos eloszlást bevezetve, a második tag a következő alakban írható :


— |* oAidx' dV,

a töltésekre való összegezést most a teljes térfogatra vett integrálás helyettesíti. A kifejezést a

1 r /7v*A id V d t1 f dx1

c \ q dtalakban írva:

- ~ \ A , fd Q .

így az S hatás alakja a következő:

5 = - ' z j m c d s ~ j A i f dí->-T ~ j FikF!k dQ. (28,6)

29. §. A kontinuitási egyenlet

A töltés időbeli változását adott térfogatban a

es \ edvdifferenciálhányados adja meg. Másrészt ugyanezt az időegységre jutó megváltozást

29. §. A KONTINUITÁSI EGYENLET 101

az adott térfogatból időegység alatt kijutó, illetve az abba beáramló töltésmennyiség határozza meg. A térfogatot határoló di felületelemen időegység alatt áthaladó töltés g\ di, ahol v a töltés sebessége a di felületelemet meghatározó pontban. A d i vektor, ahogyan ez szokásos, a felület külső normálisának irányába, tehát a térfogatból kifelé mutat. Ezért gv d i pozitív, ha a töltés a térfogatból kimegy, negatív, ha abba bemegy. Az adott térfogatból időegység alatt kilépő teljes töltésmennyiség következésképpen <J> gv di, ha az integrált a térfogatot határoló teljes zárt felületre terjesztjük ki.

A két kifejezést összevetve:i* *

^ \ q d V = - ^ o v d f . (29, 1)

A jobb oldalon azért áll negatív előjel, mert a bal oldal pozitív, ha az adott térfogatban az össztöltés nő. A töltésmegmaradást kifejező (29,1) egyenlet az integrálalakban felírt kontinuitási egyenlet. Mivel ov éppen az áramsűrűség, ezért (29,1) a

i p = - < f , di (29,2)

alakban írható.Felírjuk az egyenlet differenciális alakját is. (29,2) jobb oldalán a

<j> j di = J div j dV

Gauss-tételt alkalmazva, kapjuk, hogy

j (divj+íf) dV = 0.

Mivel az integrálási térfogat tetszőleges, az integrandusnak el kell tűnnie:

d i v j + s7 = 0* (29’3)

Ez a kontinuitási egyenlet differenciális alakja.Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy o-nak ő-függvényekkel kifejezett (28,1)

alakja automatikusan kielégíti a (29,3) egyenletet. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy egyetlen töltésről van szó, így

Az áramsűrűség ekkorq = e<5( r - r 0).

= ev<5(r—r0),


ahol v a töltés sebessége. Képezzük a dg jd t differenciálhányadost. A töltés mozgása során annak ro helyzetvektora változik:

dg dg drod t 0 r o d t

Itt dro/dt éppen a töltés v sebessége. Mivel g az r —r 0 függvénye, azért

dg dg dr0 ~ dr

Következésképpen

= —v grad g = —div ovc t

(a töltés v sebessége természetesen független r-től). így a (29,3) egyenletet kapjuk.A (29,3) kontinuitási egyenlet négydimenziós alakja azt mondja, hogy a négyes -

áram négyesdivergenciája zérus:

i = 0. ((29,4)

Az előző szakaszban láttuk, hogy a teljes térben levó' töltés az

alakban írható, ahol az integrálás az a 0 = const hiperfelületre történik. Egy más időpillanatban az össztöltést ugyanez az integrál adja az x° tengelyre merőleges másik hipersíkon. Könnyen igazolható, hogy a (29,4) egyenlet valóban a töltésmegmaradást fejezi ki: az ^ j ldSt integrál értéke azonos, bármilyen x° = const hipersíkra integrálunk. Két különböző hipersíkra vett J j ldSt integrál különbsége j> j ldS t alakba írható, ahol az integrált a vizsgált két hipersík által közrefogott négyestérfogatot körülvevő teljes zárt hiperfelületre kell képezni. (Az integrál a keresett különbségtől a végtelen távoli „oldal” -felületekre vett integrálban különbözik, ez azonban nulla, mert a végtelenben nincsenek töltések.) A (6,15) Gauss-tétel segítségével a különbség négyes térfogati integrállá írható át, és így

j j ' d S , = j * | > = 0. (29,5)

Ezt kellett bizonyítanunk.A bizonyítás nyilván érvényben marad akkor is, ha az J j ldSt kifejezésben az

integrálást két tetszőleges végtelen hiperfelületre (nem feltétlenül olyanokra, am e

lyekre x° = const) végezzük, melyek a teljes (háromdimenziós) teret magukban1 f .

foglalják. Látható tehát, hogy az — j ldSt integrál értéke azonos (és a térben levőc %)

teljes töltést adja meg) tetszőleges ilyen hiperfelületre.M ár említettük (lásd a 18. § 5 számú lábjegyzetét), hogy szoros összefüggés van az

elektrodinamika egyenleteinek mértékinvarianciája és a töltésmegmaradás törvénye között. Most még egyszer megmutatjuk ezt a hatás (28,6) kifejezésén. Ha az A t — A t—df/dx 1 helyettesítést végezzük, akkor a második taghoz az

30. §. A MAXWELL-FÉLE MÁSODIK EGYENLETPÁR 103

íintegrál adódik. A töltés megmaradása, amit a (29,4) kontinuitási egyenlet fejez ki,

8 ■ . . . .lehetővé teszi, hogy az integrandust a — -r { f f ) négyes divergencia alakjában írjuk.

dx1Ezután a térfogati integrál a Gauss-tétel felhasználásával átírható a határoló hiper- felületekre vett integrállá; a hatás variációjával ezek az integrálok kiesnek, és így a mozgásegyenletek nem változnak.

30. §. A Maxwell-féle második egyenletpár

Ha a legkisebb hatás elvéből a téregyenleteket akarjuk származtatni, akkor a töltések mozgását adottnak kell feltételeznünk, és csak a mező potenciáljait kell variálnunk (ezek játsszák az anyagi rendszer „koordinátáinak” szerepét); ha a mozgásegyenleteket akarjuk felállítani, akkor fordított a helyzet: a mezőt tekintjük adottnak, és a részecske pályáját (világvonalát) variáljuk.

Most a (28,6) első tagjának variációja nulla, a második tagban a f áramot nem kell variálni. Ezért

d ü = 0 .

(A második tag variációjánál figyelembe vettük, hogy Flk öFik = FikdF,k.) Az

F = dAk dAi lk 8x l 8x k

« - 4 f ÖFlkC o 7 t

helyettesítéssel kapjuk, hogy

A második tagban az i és k összegező indexeket felcseréljük, és az Fik — Fik helyettesítést végezzük. Ekkor

“ = 4A második tagban parciálisán integrálunk, azaz a Gauss-tételt alkalmazzuk:

“ = *A ' d a - L \ r ‘k i A ‘* i ' :• (30-'>

A második tagot az integrálási tartomány határain kell venni. A koordinátákra vonatkozó integrálás végpontjai a végtelenben vannak, ahol a mező eltűnik. Az idő szerinti integrálás határain, azaz az adott kezdeti és végső időpontban a potenciálok variációja zérus, mivel a legkisebb hatás elve értelmében a potenciálok ezekben az időpontokban adottak. (30,1) második tagja tehát zérus, így:

1 .. 1 dFik\ * ,— J lJr~A---- ^r~r I bAidQ = 0.c J 4tz dxk )

Mivel a legkisebb hatás elve értelmében a 8A t variációk tetszőlegesek, 8A t együtthatójának a téridő minden pontján el kell tűnnie, azaz

dFik 4 ti 1 W = — c r -

E négy egyenletet (/ = 0, 1, 2, 3) háromdimenziós alakba írjuk át. i = 1-re:

1 dF10 dF11 dF12 dF13 \4n _ -------- 1--------- 1--------- 1------- — _!— ; i.c dt dx dy dz c

A tenzorkomponenseket behelyettesítve, a következő egyenletet kapjuk:

1 dEx dHz dHy _ 47t . c dt dy dz c ^x*

Ez a következő két egyenlettel (/ = 2, 3) együtt vektoriális alakban írható :

1 9E 4i r . _“F ~dt ~c~1' (3° ’3)

Végül az i — 0 egyenlet:div E = 4 reg. (30,4)

A (30,3) és (30,4) egyenletek alkotják a keresett második Maxwell*féle egyenletpárt . 5 Ezek az elsővel együtt teljesen meghatározzák az elektromágneses teret.

5 A Maxwell-egyenleteknek a vákuumbeli elektromágneses térre és a benne levő ponttöltésekre alkalmazható alakját Lorentz állította fel.


30. §. A MAXWELL-FÉLE MÁSODIK EGYENLETPÁR 105

A Maxwell-egyenletek az elektromágneses tér elméletének, az elektrodinamikának alapegyenletei.

Felírjuk az egyenleteket integrális alakban. (30,4)-et valamilyen térfogatra integrálva és az

egyenletre jutunk. Az elektromos tér zárt felületre képzett fluxusa tehát a felület által határolt térfogatban levő össztöltés 4tt-szerese.

(30,3)-at valamilyen nyitott felületre integrálva és a

alakban írva, látható, hogy a mágneses tér valamilyen görbére vett cirkulációja a görbe által határolt felületen keresztülfolyó valódi áram és „eltolási áram ” 4 t t /o szerese.

A Maxwell-egyenletekből levezethető a már ismert (29,3) kontinuitási egyenlet. Képezzük (30,3) mindkét oldalának divergenciáját:

De div rot H = 0, és (30,4) szerint div E — 4tzq. így ismét a (29,3) egyenlethez jutunk.(30,2)-bői négydimenziós alakban:

Az i, k indexeiben szimmetrikus 8 2/ 8x l 8 x k operátor az Flk antiszimmetrikus tenzort azonosan zérussá teszi, így a négydimenziós alakban felírt (29,4) kontinuitási egyenletre jutunk.

Gauss-tételt alkalmazva, azJ d i v E dV = j E d f

(30,5)

Stokés-tételt alkalmazva, aJ ro t Hí f f =

(30,6)

egyenletet kapjuk. Az

_L4 t i d t

(30,7)

mennyiséget „eltolási áramnak” is nevezzük. (30,6)-ot a

(30,8)

div rot H = ---- — div E h----- div j.c dt c

Q2fik 4 jjr Qji

dx18x k c dx* *

31. §. Energiasűrüség és energiaáram

Szorozzuk meg a (30,3), ill. (26,1) egyenlet mindkét oldalát E-vel, ill. H-val, és az így kapott egyenleteket adjuk össze:

- E ^ + ^ H ^ = - ^ j E - C H rot E —E rot H).c dt c dt c

A vektoranalízis ismertdiv (aXb) = b rot a —a rőt b

összefüggését felhasználva, a fenti egyenlőség a következő alakba írható át:

1 () 4 7TYc (£ 2 + 7 / 2) = _ _ j E - d i v ( E X H ) ,

vagy

w ^ = - iE- divS- (3U)Az

S = ^ E X H (31,2)

vektort Poynting-vektomak nevezik.Integráljuk (31 ,l)-et valamilyen térfogatra, és a jobb oldal második tagjára alkal

mazzuk Gauss tételét. Ekkor a következő egyenlőséget kapjuk:

7, \ m r ' l r = - \ v ‘i v -§ s ‘*- <3UI

Ha a teljes térfogatra integrálunk, akkor a felületi integrál eltűnik (a tér a végtelenben nulla). Az § jE d V integrált az £ e\E összeg alakjában írhatjuk, a térben levő összes töltésre kell összegezni. (17,7) szerint:

^ d p= dt kinm

Ekkor (31,3) a következő egyenletbe megy át:

32. §. AZ ENERGIA-IMPULZUS-TENZOR 107

Tehát az elektromágneses tér és a benne levő töltések zárt rendszerére a kapcsos zárójelben álló mennyiség megmarad. A kifejezés második tagja a kinetikus energia (a részecskék nyugalmi energiájával együtt; lásd a 17.§ 4 számú lábjegyzetét), következésképpen az első tag az elektromágneses tér energiája. A

<3,,5)

mennyiséget ezért az elektromágneses tér energiasűrűségének nevezhetjük; ez az erőtér (mező) egységnyi térfogatának energiája.

Ha (31,3)-t valamilyen véges térfogatra integráljuk, akkor a felületi integrál általában nem tűnik el, így az egyenletet a

d v + Z £ l ‘'} = - j > s d t <31^

alakban írhatjuk, ahol most a kapcsos zárójelben álló mennyiségben csak a vizsgált térfogaton belül levő részecskékre kell összegezni. A bal oldalon a mező és a részecskék teljes energiájának időegység alatti megváltozása áll. Ezért a <j> S di integrált az adott térfogatot határoló felületen keresztülfolyó energiaáramnak kell tekintenünk, az S Poynting-vektor tehát az energiaáram-sűrűség vektora, az egységnyi felületen egységnyi idő alatt átáramló energiamennyiség. 6

32. §. Az energia-impulzus-tenzor

Az előző szakaszban bevezettük az elektromágneses tér energiakifejezését. Most ezt az erőtér impulzusával együtt négydimenziós alakban írjuk fel. Az egyszerűség kedvéért egyelőre a töltésmentes elektromágneses teret vizsgáljuk. A további alkalmazás lehetőségét (gravitációs teret) és a kifejtés egyszerűségét is szem előtt tartva, a levezetést általánosságban végezzük el, az anyagi rendszer konkretizálása nélkül.

Tekintsünk valamilyen anyagi rendszert, melynek hatásintegrálja

s = \ A (?' w ) dvdt = ~ ^ Adí}’ (32>1)

ahol A a rendszer állapotát meghatározó q mennyiségeknek és azok koordináták és idő szerinti deriváltjainak függvénye (elektromágneses térben a q mennyiségek a

n Feltesszük, hogy a vizsgált térfogat felületén az adott időpillanatban nincsenek részecskék. Ellenkező esetben a jobb oldalon ki kellene írni a felületet keresztező részecskék által hordott energiaáramot is.


négyespotenciál komponensei); a rövidség kedvéért csak egy q változót írunk ki. Megjegyezzük, hogy a J A d V integrál az anyagi rendszer Lagrange-függvénye, így A Lagrange-sürűségnek tekinthető'. Az anyagi rendszer zártságát matematikailag az fejezi ki, hogy A nem függ explicit módon x'-től, hasonlóan ahhoz, hogy zárt mechanikai rendszer Lagrange-függvénye nem függ explicit módon az időtől.

A „mozgásegyenletek” (azaz ha valamilyen térről van szó, a téregyenletek) a legkisebb hatás elve szerint S variációjával adódnak. Eszerint:

ss = 7 { ( f *•') dQ =8 A ~ 8 / 8A \ 8 8A

dx* dqti dÜ = 0 .

A második tag a Gauss-tétel szerint átalakítható, és a teljes térre való integrálás során eltűnik. így a következő „mozgásegyenletekre” jutunk:

8 8A 8A

(a kétszer előforduló i indexre természetesen mindenütt összegeznünk kell).A továbbiakban az eljárás azonos azzal, amit a mechanikában az energiameg

maradás törvényének levezetésekor megismertünk. Eszerint felírjuk, hogy

dA dA dq dA dqt k dx1 dq dx1 8qy k d x '1

Behelyettesítve ide (32,2)-t, és észrevéve, hogy q k i = qiUk, a következőket kapjuk:

dA _ d / dA \ 8A dq, i _ 8 / dA \ dx 1 8xk k j ' l r 8qik d x k 8xk y * 18q, k J '

A bal oldalon

Bevezetve a

jelölést, az egyenletet a

dx* 1 8x k ‘

1 dq, k

8T *# =0 (32’4)

alakba írhatjuk. Ha nem egy, hanem több q(/) mennyiségünk van, akkor (32,3) helyett

(32,5)

érvényes.A 29. §-ban láttuk, hogy egy 8 A k/dxk = 0 egyenlet, azaz egy vektor négyesdiver

genciájának zérus volta ekvivalens azzal az állítással, hogy a vektornak a teljes három- dimenziós térfogatot körülzáró hiperfelületre vett j A k dSk integrálja megmarad. Nyilvánvaló, hogy azonos állítás érvényes a tenzorokra is: a (32,4) egyenlet ekvivalens azzal, hogy a

P l = const J T ik dSk

vektor megmarad. P l-1 a rendszer négyesimpulzusával kell azonosítanunk. Az integrál előtt álló szorzótényezőt úgy választjuk meg, hogy a P 0 időszerű komponens a korábbi meghatározásnak megfelelően az anyagi rendszer energiájának oszerese legyen.

P° = const J T okdSk = const [ T m dV ,

ha az integrált az x° — const hipersíkra képezzük. Másrészt (32,3) szerint

7™ = oq

(ahol q = dq/dt). Az energiát a Lagrange-függvénnyel összekötő ismert összefüggésnek megfelelően 7"00-t az energiasűrűségnek kell tekintenünk, tehát J T 00dV a rendszer teljes energiája. Ezért az állandó helyébe 1/c-t kell írnunk. így a rendszer négyesimpulzusának végső kifejezése a következő:

32. §. AZ ENERGIA-IMPULZUS-TENZOR 109

T 'k dSk. (32,6)c' J

A T lk tenzort a rendszer energia-impulzus-tenzorának nevezzük.Meg kell jegyeznünk, hogy a T lk tenzor meghatározása nem egyértelmű. Valóban,

ha T lk a (32,3) képlettel meghatározott tenzor, akkor minden más

dT ik+ ^ j- ip ikl, ipiki = —ip'ik (32,7)

alakú tenzor kielégíti a (32,4) megmaradási egyenletet, mivel a \plkl tenzor a k és /d2

indexekben antiszimmetrikus, és így teljesül a — -— - iplkl = 0 azonosság. A rendszerdx dx

teljes négyesimpulzusa azonban nem változik, mert (6,17) szerint

c s e í U = i j = 1 1 > « ,


ahol az egyenlőség jobb oldalán az integrált arra a (közönséges) felületre kell képezni, amely körülfogja a bal oldali integrációs tartományt képező hiperfelületet. Ez nyilvánvalóan a háromdimenziós tér végtelen távoli felülete, és mivel a végtelenben a tér is eltűnik, részecskék sincsenek, az integrál értéke zérus. így az anyagi rendszer négyesimpulzusa egyértelműen meghatározott mennyiség, ahogy annak lennie kell.

A T lk tenzor egyértelmű meghatározásához felhasználhatjuk azt, hogy az impulzusmomentum négyestenzora az

jik = j* (xi dpk _ x k dpi) = i j* (x‘T kl—x kT‘') dS, (32,8)

összefüggésben áll a négyesimpulzussal, azaz a megfelelő sűrűségek között teljesül a szokásos összefüggés.

Könnyen megkaphatjuk, hogy ehhez milyen feltételt kell az energia-impulzus - tenzornak kielégítenie. Az impulzusmomentum megmaradásának törvénye, mint már tudjuk, kifejezhető úgy, hogy J lk (32,8) alakjában az integrandus divergenciája zérus, vagyis

( x r ^ - x W ) = 0. (32,9)

Mivel dxljd x l = b\ és STkI/dxl = 0, ezért

b\Tkl—bkT il = T ki- T ik = 0, vagy T ik = Tki, (32,10)

azaz az energia-impulzus-tenzornak szimmetrikusnak kell lennie.Megjegyezzük, hogy a (32,5) képlettel meghatározott T lk tenzor általában nem

szimmetrikus, de (32,7) segítségével azzá tehető \plkl megfelelő megválasztásával. A későbbiekben (94. §) látni fogjuk, hogy létezik olyan módszer, amellyel a szimmetrikus T lk tenzor közvetlenül megkapható.

M ár előbb szó volt arról, hogy ha (32,6)-ban az integrálást egy x° = const hiper- síkra végezzük, akkor P l alakja a következő:

P' = ~ ^ T i0dV, (32,11)

ahol az integrálást a teljes (háromdimenziós) térre kell végezni. P l térszerű komponensei az anyagi rendszer impulzusának hármasvektorát alkotják, az időszerű kom ponens pedig az energia oszerese. Ezért az

7^10 1 7^20 1 J -30c ’ c ’ c

összetevők által alkotott vektort impulzussűrűségnek, a

JF = J 00

mennyiséget pedig energiasűrűségnek nevezhetjük.T lk többi komponense jelentésének kiderítéséhez átírjuk a (32,4) megmaradási

egyenletet, szétválasztva benne a tér és idő szerint képzett differenciálhányadosokat

1 07™ 0TOa „ 1 dTa0 ffT# „ ^7 ~ d F + l b F ~ ’ ( ^

Integráljuk az egyenleteket a tér valamely F térfogatára. Az első

32. §. AZ ENERG IA-IMPULZUS-TENZOR \ \ 1

7 W 1

c s t 0*í/F = 0

dx“

vagy a második integrált a (háromdimenziós) Gauss-tétellel átalakítva,

A (32,13)

ahol a jobb oldalon a F térfogatot határoló felületre kell integrálni (<dfx, dfy, ^ a í/f a háromdimenziós felületelem vektorösszetevői). Az egyenlőség bal oldalán a F térfogatban levő energia változási sebessége áll. Ebből látszik, hogy a jobb oldalon az adott térfogat határán átáramló energiamennyiség jelenik meg, a

cT °\ cT02, cT0S

összetevőkből álló S vektor az energiaáram-sűrűség (az az energiamennyiség, amennyi egységnyi felületen egységnyi idő alatt keresztülfolyik). így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a relativisztikus invariancia követelménye, amely a T lk mennyiség tenzor jellegében jut kifejezésre, automatikusan határozott kapcsolathoz vezet az energiaáram és az impulzus között: az energiaáram-sűrűség az impulzussűrűség c2-szerese.

(32,12) második egyenletéből analóg módon a következőt kapjuk:

ddt

A bal oldalon a F térfogat impulzusának időegységre jutó megváltozása áll, ezért az adott térfogatból időegység alatt kijutó impulzus mennyisége. így az

energia-impulzus-tenzor Ta/3 komponensei az impulzusáram-sűrűség háromdimenziós tenzorát alkotják — ez az un .feszültségi tenzor; jelöljük tf^-val (oc, fö = x ,y , z). Az energiaáram sűrűsége vektor; az impulzus maga vektor, így az impulzusáram


sűrűségének tenzornak kell lennie. (A aaj3 komponens az impulzus a-adik összetevőjének az x^ tengelyre merőleges felületegységen az időegység alatt átáramló mennyiségét adja.)

Felírjuk még egyszer az energia-impulzus-tenzor különböző komponenseinek je lentését mutató táblázatot:

W S x/c Sy/cS X/C (?XX 0 Xy

Sy/C (TyX Oyy

S z/C G z x Ozy

(32,15)

33. §. Az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzora

Az előző szakasz általános eredményeit most az elektromágneses térre alkalmazzuk. Ebben az esetben a (32,1) integrál integrandusa (27,4) szerint:

• ' = - m e “p '

A q mennyiségek a tér Ak négyespotenciáljának komponensei, tehát a tenzor (32,5) alakja a következő:

7 * = M _____ ökAdx '' d{dA,/dxk) ' ‘

A differenciálhányadosának kiszámításához felírjuk a

6/1 = — 1 Fkl 8Fkl = - — Fk,ö ( ~ - dAk- \Sn u 8 jt \ 0 x* dx> }

variációt. Felcserélve az indexeket és kihasználva, hogy Fki antiszimmetrikus, a következőt kapjuk:

bA = - - 1 Fk!b dJ-'~ .4 t i d x

Ebből látható, hogyM * FU

d(dA,/dxk) 4 n ’

és ezért

vagy a kontra variáns komponensekkel felírva:

1 r)Al 1

Ez a tenzor még nem szimmetrikus Hogy az legyen, hozzáadjuk az

— Fki 4jt dxi

mennyiséget. Ha töltések nincsenek, akkor a (30,2) téregyenlet szerint 8Fkf dxl = 0, és ezért

1 8 A* „, 1 0 ,-A---- 5T- Fki = -7" (A'Fki),An dxi 4rt dxi

tehát r l/c-t a (32,7) által leírt módon változtattuk meg, ami megengedett. dAl!dx —— dAi/dxl = Fl\ így az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorára végül a következő' kifejezést kapjuk:

T ik = ~ | - P 'F k, + 1 g ikFlmF . (33,1)

Nyilvánvaló, hogy ez a tenzor szimmetrikus, átlósösszege

TI = 0. (33,2)

A T ik tenzor komponenseit kifejezzük az elektromos és a mágneses térerősséggel. F,k -nak a (32,5) alakját használva, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy T 00, amint annak lennie kell, a (31,5) energiasűrűséggel, a cT°a komponensek pedig a (31,2)

Poynting-vektor komponenseivel egyeznek meg. A T ^ térszerű komponensek hár- mastenzort alkotnak, ennek komponensei:

*** = ~ (£*+£» h \ - m i

o xy = — ^ { E xE , + H xH y)

stb., vagy általánosan:

^ = Í { (33,3)

E háromdimenziós tenzort Maxwell-féle feszültségtenzornak nevezik.Hogy a T lk tenzort diagonalizáljuk, olyan vonatkoztatási rendszerre kell áttérnünk,

amelyben az E és H vektorok (a tér adott pontjában, adott időpillanatban) párhuza-,8 Elméleti fizika II. - 4 2 221/11.

33. §. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR ENERGIA-IMPULZUS-TENZORA 113


mosak, vagy egyikük zérus; már láttuk (25. §), hogy ez mindig lehetséges, kivéve azt az esetet, amikor E és H merőleges egymásra, és nagyságuk megegyezik. Könnyen látható, hogy e transzformáció után T lk-r\ak zérustól különböző komponensei a következők :

7"00 _ _ J l l — 7^22 _ 7^33 — ff/

(a térerősség az x tengely irányába mutat).Ha az E és H vektor merőleges egymásra, és nagyságuk megegyezik, akkor a T lk

tenzor nem transzformálható diagonális alakra . 7 A nullától különböző komponensek ebben az esetben:

7^00 — 7^33 — 7^30 _ ff/

(E irányát választottuk x tengelynek, H irányát y tengelynek.)Eddig az erőteret (mezőt) töltések nélkül vizsgáltuk. Töltött részecskék jelenléte

esetén az egész rendszer energia-impulzus-tenzora az elektromágneses tér és a részecskék energia-impulzus-tenzorának összege. (Az utóbbiban feltételezzük, hogy a részecskék nem hatnak kölcsön egymással.)

A részecskék energia-impulzus-tenzorának meghatározásához a tömeg térbeli eloszlását a „tömegsűrűséggel” kell leírnunk, hasonlóan ahhoz, ahogyan a pontszerű töltések eloszlását leírjuk a töltéssűrűségükkel. A (28,1) képlethez hasonlóan a tömegsűrűség a

ta = £ mab( r - r a) (33,4)a

alakban írható (ra a részecske helyvektora, összegezni a rendszer összes részecskéjére kell).

A részecskék „négyesimpulzus-sűrűségét” \xcui alakban írjuk. Tudjuk, hogy ezt az energia-impulzus-tenzor T°*/c komponensei adják, azaz T 0a — fic2ua (a = 1, 2, 3).

n dxkA tömegsűrűség azonban a ------— négyesvektor időszerű összetevője (hasonlóan

c dta töltéssűrűséghez; lásd a 28. §-t). Ezért az egymással nem kölcsönható részecskék rendszerének energia-impulzus-tenzora:

dx1 dxk . v ds ^T ‘ = f ‘c m n r = >‘cu'‘* s - (33p)

A tenzor, amint az várható, szimmetrikus.Közvetlen számolással győződünk meg arról, hogy az anyagi rendszer energiája

7 Az a tény, hogy a T ik szimmetrikus négyestenzor nem mindig transzformálható főtengelyekre, a négyestér pszeudoeuklideszi voltával függ össze (lásd a 94. § feladatát).

és impulzusa, mint az erőtér és a részecskék energiájának és impulzusának összege, valóban megmarad. Igazolnunk kell tehát a megmaradási törvényt kifejező

- J ^ ( T ^ + T ^ ) = 0 (33,6)

egyenletet.Differenciáljuk a (33,1) kifejezést:

33. §. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR ENERGIA-IMPULZUS-TENZORA 115

4tt \ 2 dx1 dxk 1 dxk

A (26,5) és (30,2) Maxwell-egyenletek szerint a

dFim _ 8Fmi 8Fn 8Fkl _ An <7 0A'Z 0A'm ’ 0** C ^

helyettesítéseket végezhetjük. így kapjuk, hogy

W )ki L ( _ L F U n ^ _ l Flm^ _ Fkl^ _ ^ F . \8x k A n \ 2 8x l 2 8x m 8x k c 1 J

Megfelelő indexcseréket végezve, könnyen megmutatható, hogy az első három tag együtt zérust ad, így

8 T (t)k 1- ^ = - 7 ^ / . (33,7)

A (33,5) tenzor differenciálhányadosa:

8T^r)k 8 l dxk \ dxk 8uj~ CUi~ d^ \ f i ~ d r ) + fiC~dF 8.*F '

A kifejezés első tagja eltűnik, mivel az egymással kölcsönhatásban nem álló részecs-dxk

kék tömege megmarad. Valóban: a a —— mennyiség a „tömegáram” négyesvektora,dt

ami a töltések áramának (28,2) négyesvektorával analóg kifejezés; a tömegmegmaradást e négyesvektor négyesdivergenciájának eltűnése fejezi ki:

8x k

hasonlóan (29,4)-hez, ami a töltésmegmaradás kifejezése.így

Q T ^k _ dxk 8ut _ dut~aW ~ MC~ d r ~ ^ W

8*

0 ( ^ ) = O , (33,8)

A további átalakításhoz felhasználjuk a térben levő töltés négydimenziós alakban felírt (23,4) mozgásegyenletét:

dui e m c —r- = — Fikur. ds c

A folytonos töltés- és tömegeloszlásra való áttérésnél a ^ és q sűrűségek definíciója szerint írhatjuk, hogy /i/m = q[e. Ezért a mozgásegyenlet a

dUi P r k^ ds ~ c ikU ’

vagy tovább alakítva adu^ _ ^ J_ jp.,/fcdt - c ,kqu dt - c ,kJ

alakban írható. így végülQT<.r)k 1

~ 8x ^ = ~cFikJ'k' ^

(33,7)-et és (33,9)-et összeadva, valóban nullát kapunk, azaz a (33^6) egyenletre jutunk.


34. $. A viriáltételo

Mivel az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorának átlósösszege nulla, a kölcsönható részecskék tetszőleges rendszerét tekintve, a T\ összeg mindig a részecskék energia-impulzus-tenzorának átlósösszegét adja meg. Ezért a (33,5) kifejezés felhasználásával azt kapjuk, hogy

Tj = T (r)'i = ficitjU' d£ = /ic dJ t = (ic2 1 .

Átírjuk az eredményt, visszatérve a részecskékre való összegezésre, azaz [i helyett a (33,4) összeget használjuk. Ekkor

Ti = E mac2 ] f 1 ő(r —rö). (34,1)a r C

Megjegyezzük, hogy a fenti képlet szerint minden rendszerre fennáll, hogy

77 ^ Ö, (34,2)

az egyenlőség csak a töltés nélküli elektromágneses tér esetében érvényes.

Vizsgáljuk a véges mozgást végző töltött részecskék olyan zárt rendszerét, amelyben az anyagi rendszert jellemző minden mennyiség (koordináták, impulzusok) véges intervallumon belül változik . 8

Átlagoljuk az

1 8T«° dT*f> c dt + dx&

egyenletet [lásd a (32,12) egyenlőséget] az idő szerint. Ekkor a d T ^ /d t differenciálhányadosnak, mint általában minden véges tartományban változó mennyiség differenciálhányadosának, átlagértéke nulla .9 így

. d - fP = o dx? a u*

Szorozzuk az egyenletet xa-val, és integráljuk a teljes térre. Az integrált a Gauss-tétel segítségével átalakítjuk; mivel a végtelenben Tf = 0 , a felületi integrál eltűnik:

J * ■ ! ? ^ = - í = ° '

vagy végső alakban:

$T Z dV = 0. (34,3)

Ennek alapján T\ = T* + Tq integráljára a következőt írhatjuk:

$Ti dy = fT§ dV = ó,

ahol S a rendszer teljes energiája.Végül (34,1) helyettesítésével az

34. §. A VIRIÁLTÉTEL 117

= E m « c 2 1/ 1 (34,4)a r C

8 Feltesszük még azt is, hogy az elektromágneses tér a végtelenben eltűnik. Ez azt jelenti, hogy ha az anyagi rendszer elektromágneses hullámokat sugároz ki, akkor speciális „tükröző lemezek” megakadályozzák, hogy a hullámok a végtelenbe kifussanak.

9 Legyen/ilyen mennyiség. A df/dt differenciálhányados átlagértéke valamilyen T intervallumra

dt T

f i t ) csak véges határok között változik, ezért ha T végtelenhez tart, akkor az átlagérték valóban zérus.


egyenletre jutunk. Ez a klasszikus mechanika viriáltételének (lásd az I. kötet 10. §-át) relativisztikus általánosítása. Kis sebességeknél ez az

egyenlőségbe megy át, azaz az anyagi rendszer teljes energiája (a részecskék nyugalmi energiáit nem számítva) a kinetikus energia átlagértékének — 1 -szerese. Ezt az eredményt kapjuk a töltött (egymással Coulomb-törvény szerint kölcsönható) részecskék rendszerére vonatkozó klasszikus viriáltételből is.

35. §. Makroszkopikus testek energia-impulzus-tenzora

A pontszerű részecskék rendszerének (33,5) energia-impulzus-tenzora mellett a to vábbiakban szükségünk lesz a tenzor kifejezésére folytonos szerkezetű m akroszkopikus testek esetében is.

A test felületelemén átfolyó impulzusáram valójában az erre az elemre ható erő. Ezért 0apdfp a d i felületelemre ható erő a-adik komponense. Tekintsük most azt a vonatkoztatási rendszert, amelyben a test adott térfogateleme nyugalomban van. Ebben a rendszerben érvényes Pascal törvénye, azaz a test kiválasztott részére ható p nyomás minden irányban azonos, nyírófeszültségek nincsenek. 10 Ezért írhatjuk, hogy = p d f^ amiből a feszültségtenzor craj0 = p ö^. Az impulzussűrűséget megadó T a0 komponensek a test adott térfogatára nézve a vizsgált vonatkoztatási rendszerben eltűnnek. A T 00 komponens, mint mindig, a test energiasűrűségével egyenlő, ezt most e-nal jelöljük; a tömegsűrűség, azaz az egységnyi térfogat tömege e/c2. Hangsúlyozzuk, hogy egységnyi sajáttérfogatról van szó, tehát abban a vonatkoztatási rendszerben dolgozunk, amelyben a test adott része nyugszik.

így a vizsgált koordináta-rendszerben a test kiszemelt részének energia-impulzus- tenzora a következő a lakú :

10 Pascal törvénye szigorúan véve csak folyadékokra és gázokra érvényes. Szilárd testekben azonban a különböző irányokban mért nyomások lehetséges maximális különbsége jelentéktelen ahhoz a nyomáshoz képest, ami a relativitáselméletben szerepet játszhat, így a különbségek elhanyagolhatók.

S -Y m a C *a a ^a a

(35,1)

35. §. MAKROSZKOPIKUS TESTEK ENERGIA-IMPULZUS-TENZORA 119

Ezek után könnyű meghatározni az energia-impulzus-tenzor kifejezését tetszőleges vonatkoztatási rendszerben. Bevezetjük a térfogatelem makroszkopikus mozgásának

nos kifejezését úgy kell megválasztanunk, hogy ebben a rendszerben a (35,1) alakot adja vissza. Belátható, hogy ez a következő:

Ezzel meghatároztuk a makroszkopikus testek energia-impulzus-tenzorát. Az ener giasűrűség, az energiaáram-sűrűség és a feszültségtenzor megfelelő kifejezései:

Ha a makroszkopikus mozgás v sebessége a fénysebességhez képest kicsi, akkor közelítőleg:

Mivel S jc1 az impulzussűrűség, a tömegsűrűség ebben az esetben (p+ e)/c2.T lk kifejezése egyszerűbb, ha a testet alkotó valamennyi részecske sebessége kicsi

a fénysebességhez képest (a makroszkopikus mozgás sebessége tetszőleges lehet). Ekkor az s energiasűrűségben minden olyan tag elhanyagolható, amely a nyugalmi energiához képest kicsi, azaz s helyett f ioc2 írható, ahol f i 0 a test egységnyi (saját) térfogatában levő részecskék összes tömege. (Hangsúlyozzuk, hogy általános esetben ez különbözik a pontos s[c2 tömegsűrűségtől, mivel az utóbbi magában foglalja a részecskék mikroszkopikus mozgásának energiájától és kölcsönhatásuk energiájától származó tömeget is.) A molekulák mikroszkopikus mozgásának energiája által meghatározott nyomás a vizsgált esetben természetesen szintén kicsi a fj0c2 nyugalmi energiasűrűséghez képest. így az adott esetben

ü négyessebességét. A térfogatelem nyugalmi rendszerében ul — (1, 0). A T lk általá-

T ik = (p+ 8)u'uk — pgu\ (35,2)

vagy kevert komponensekben:

(35,3)

S = (/? + e)v.

(35,2)-bői:

T ik = [ioc2uluk.

Tj = e -3 p .

(35.4)

(35.5)

Az energia-impulzus-tenzor tetszőleges rendszerre fennálló (34,2) tulajdonsága most abban mutatkozik, hogy a nyomás és a makroszkopikus test s energiasűrűsége között mindig fennáll a

P < y (35,6)

egyenlőtlenség.Hasonlítsuk össze a (35,5) kifejezést a tetszőleges anyagi rendszerre érvényes (34,1)

általános képlettel. Mivel most makroszkopikus testet vizsgálunk, a (34,1) kifejezést r szerint egységnyi térfogatra átlagolni kell. Az eredmény a következő:

£- 3 p ^ Y .M a C 2 11 l - J (35,7)

(az egységnyi térfogatban levő részecskékre összegezünk). Extrém relativisztikus határesetben az egyenlőség jobb oldala nullához tart, így az anyag állapotegyenlete11

p = ej 3. (35,8)

A kapott képleteket alkalmazzuk az ideális gázra, amelyről feltételezzük, hogy azonos részecskékből áll. Mivel az ideális gáz részecskéi nem hatnak kölcsön egymással, a (33,5) képletet alkalmazhatjuk. Ezt átlagolva kapjuk, hogy

dx1 dxkT lk = nme ---- j—,dt ds

ahol n az egységnyi térfogatban levő részecskék száma, a felülvonás pedig az összes részecskére való átlagolást jelenti. Ha a gázban semmiféle makroszkopikus mozgás nincs, akkor T lk-ra érvényes a (35,1) kifejezés is. Összehasonlítva a kettőt, a következő egyenletekre jutunk:

C nm V f'l* Q\e = nm , p = —------r = -^ = ' • (35,9)

Ezek meghatározzák a relativisztikus, ideális gáz sűrűségét és nyomását a részecskék sebességének függvényében; a második képlet a nemrelativisztikus, kinetikus gázelmélet p = nm v2/3 ismert képletét helyettesíti.

11 Ebben a határesetben érvényes egyenlet a részecskék elektromágneses kölcsönhatásának fel- tételezésével nyerhető. A későbbiekben (amikor erre a XIV. fejezetben szükségünk lesz) úgy vesszük, hogy ez a részecskék között fellépő egyéb kölcsönhatás esetén is érvényes, bár ez a feltevés a mai napig nincs bizonyítva.

V. F E J E Z E T

SZTATIKUS ELEKTROMÁGNESES TÉR

36. §. A Coulomb-törvény

Állandó elektromos, azaz elektrosztatikus tér esetén a Maxwell-egyenletek a következő' alakot öltik:

d ivE = 4 7zq, (36,1)rot E = 0. (36,2)

Az E elektromos térerősség kifejezhető egyedül a skalárpotenciállal:

E = —grad cp. (36,3)

(36,3)-at (36,l)-be helyettesítve, megkapjuk az állandó elektromos tér potenciáljára vonatkozó egyenletet:

A cp = —4 n q . (36,4)

Ez a Poisson-egyenlet. Vákuumban (p = 0 esetén) a potenciál a

Acp = 0 (36,5)

Laplace-egyenletnek tesz eleget.Az utóbbi egyenletből egyebek között az következik, hogy az elektromos tér poten

ciáljának sehol nem lehet se maximuma, se minimuma. Hogy 99-nek szélső értéke legyen, annak szükséges feltétele, hogy cp koordináták szerinti első differenciálhányadosai eltűnjenek, a 8 2cp/8x2, 8 2cp f8y2, 8 2cp j8z2 második differenciálhányadosok előjele pedig azonos legyen. Ez utóbbi azonban nem lehetséges, mivel akkor a (36,5) egyenlet nem teljesülhetne.

Meghatározzuk a ponttöltés által létrehozott erőteret. Szimmetriamegfontolások alapján világos, hogy a térerősség minden pontban az e töltés helyéről a kérdéses pontba mutató helyvektorral azonos irányú. Ugyanúgy nyilvánvaló az is, hogy az E térerősség nagysága csak a töltéstől mért R távolság függvénye. A térerősség nagyságának meghatározására a (36,1) egyenlet (30,5) integrálalakját használjuk. Az elekt

122 V. SZTATIKUS ELEKTROMÁGNESES TÉR

romos térnek az e töltés körül rajzolt R sugarú gömb felületén keresztülfolyó árama 47tR 2E-vel egyenlő; ennek Ane-wol kell megegyeznie. Ezért

Vektoriális alakban:

E = - R 2 *

<?RE = ™ “ - (36>6>

így a ponttöltés tere a töltéstől mért távolság négyzetével fordítottan arányos. Ez a Coulomb-törvény. Az erőtér potenciálja:

(36>7>

Töltésrendszer erőtere a szuperpozíció elve alapján az egyes töltések erőterének összege. Az ilyen erőtér potenciálja:

7 = 1 ^ ,a l x a

ahol R a a potenciálpontnak az ea töltés helyétől mért távolsága. Bevezetve a g töltéssűrűséget, ez a képlet a

q' = j dv (36,8) alakban írható, ahol R a dV térfogatelemnek és a megfigyelési pontnak a távolsága.

Felírjuk g és cp ponttöltésre vonatkozó kifejezéseinek (36,4)-be való helyettesítésével adódó matematikai összefüggést. A g — ^<5(R) és q) = e/R képletek alapján:

A 1 = —4jtő(R). (36,9)K

37. §. A töltések elektrosztatikus energiája

Meghatározzuk egy töltésrendszer energiáját. A térenergia fogalmából, azaz az energiasűrűség (31,5) kifejezéséből indulunk ki. Eszerint a töltésrendszer energiája

37. §. A TÖLTÉSEK ELEKTROSZTATIKUS ENERGIÁJA 123

ahol E a töltések által létrehozott erőtér; az integrál a teljes erőtérre vonatkozik. E = —grad 9 helyettesítéssel U a következőképpen alakítható át:

u = - kE grad cp dV = — J div (Ecp) dV + j* div E dV.

Az első integrál Gauss tétele szerint Ecp-nek az integrációs tartományt határoló felületre vett integráljával egyenlő. Minthogy a térfogati integrál a teljes térre vonatkozik, az elektromos tér pedig a végtelenben nulla, a felületi integrál eltűnik. A második integrálban a div E = 4nq helyettesítést végezve, a töltésrendszer energiájára a következő kifejezést kapjuk:

U = j j w d V . (37,1)

ea ponttöltésekből álló rendszernél az integrál helyett a töltésekre vonatkoztatott összeget írhatunk,

U = (37,2)

ahol cfa az összes töltés által létrehozott erőtér potenciálja az ea töltés helyén.Ha a kapott képletet egyetlen töltött elemi részecskére (mondjuk elektronra) és az

általa létrehozott erőtérre alkalmazzuk, arra a következtetésre jutunk, hogy a részecskének ecpjl „saját” potenciális energiával kell rendelkeznie, ahol tp a részecske erőterének potenciálja a részecske helyén. Tudjuk azonban, hogy a relativitáselméletben minden elemi részecskét pontszerűnek kell tekintenünk. A cp — e/R potenciál az R = 0 helyen végtelenné válik. így az elektrodinamika szerint az elektron ,,saját” energiájának és következésképpen tömegének végtelennek kellene lennie. Az eredmény fizikailag értelmetlen volta azt mutatja, hogy már az elektrodinamika alapelveiből korlátok adódnak az elmélet alkalmazhatóságára.

Megjegyezzük, hogy mivel az elektrodinamikából végtelen nagy sajátenergia és -tömeg adódik, a klasszikus elektrodinamika keretein belül nem szabad olyan kérdést feltenni, hogy az elektron teljes tömege elektromágneses eredetű-e (azaz hogy a tömeg a részecske elektromágneses sajátenergiájával függ-e össze) . 1

Mivel az elemi részecskék fizikai értelemmel nem bíró, végtelen nagy sajátenergiájának fellépte azzal függ össze, hogy a részecskéket pontszerűeknek kell tekintenünk, arra a következtetésre juthatunk, hogy az elektrodinamika, mint logikailag zárt fizikai elmélet, elég kis távolságoknál ellentmondásossá válik. Feltehetjük a kérdést, milyen

1 Az elektron tömegének végességét tisztán formális szempontból magyarázhatjuk úgy, hogy bevezetünk egy végtelen nagy negatív, nem elektromágneses eredetű tömeget, ami kompenzálja a végtelen elektromágneses tömeget (tömeg-„renormálás”). A későbbiekben azonban látni fogjuk <75. §), hogy ez a módszer nem szünteti meg a klasszikus elektrodinamika összes belső ellentmondását.


nagyságrendűek ezek a távolságok. A kérdésre válaszolhatunk, ha észrevesszük, hogy az elektron elektromágneses sajátenergiájára az mc2 nyugalmi energia nagyságrendjébe eső értéket kellene kapni. Ha másrészt az elektronnak valamilyen R 0 méretet tulajdonítunk, akkor a potenciális sajátenergia e2/R 0 rendű. E két mennyiség nagyság- rendi megegyezésének követelményéből, azaz az e2/Ro ~ mc2 feltételből azt kapjuk, hogy

Ezt a távolságot „elektronsugárnak” szokták nevezni. Valójában ez határozza meg az elektrodinamika elektronokra való alkalmazásának az elektrodinamika alapelveiből adódó határait. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy az itt vizsgált klasszikus elektrodinamika alkalmazhatósági határait a kvantumos jelenségek jóval magasabban vonják meg. 2

Ismét visszatérünk a (37,2) képlethez. A benne szereplő potenciál a Coulomb- törvény szerint:

ahol R ab az ea és eb töltések távolsága. A (37,2) energiakifejezés két részből áll. Az első tartalmazza a végtelen nagy állandót — a töltések sajátenergiáját —, ez nem függ a töltések kölcsönös helyzetétől. A második a töltések kölcsönhatásának energiája, ez függ a helyzetüktől. Fizikailag nyilvánvalóan csak ez a rész érdekes. Nagysága

az ea töltés pontjában a többi által létrehozott potenciál. U' tehát így írható:

(37,4)

(37,5)

ahol

(37,6)

j j r __ 1 r í~ T j? , * (3 7,7)

Speciálisan két töltés kölcsönhatási energiája:

^ 1 2(37,8)

2 A kvantumos effektusok hjmc nagyságrendű távolságoknál válnak jelentőssé, fi a Planck- állandó.

38. §. EGYENLETESEN MOZGÓ TÖLTÉS ERŐTERE 125

38. §. Egyenletesen mozgó töltés erőtere

Meghatározzuk az egyenletes V sebességgel mozgó töltés erőterét. K-val jelöljük a nyugvó, K '-vt 1 a töltéssel együtt mozgó vonatkoztatási rendszert. Legyen a töltés a K ’ rendszer kezdőpontjában, K' a K-hoz képest az x tengely irányában mozog; az y, ill. z tengely párhuzamos j '-v e 1, ill. z'-vel. A t = 0 kezdeti időpontban a két rendszer egybeesik. A töltés koordinátái tehát a K rendszerben: x = V t9 y = z = 0. A X ' rendszerben állandó elektromos tér van, a vektorpotenciái A' = 0 , a skalárpoten- ciál fp' — e[R \ ahol R ' 2 = a '2 + j ' 2 + z '2. A (24,1) képletek szerint rendszerben

Ki kell most fejeznünk R '-t a K rendszerbeli .x, y 9 z koordinátákkal. A Lorentz- transzformáció képletei szerint

cp = ( 3 8 , 1 )

x - V ty 1 = y, z = z,

és így

(38,2)

Ezt (38,l)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

e(38,3)

ahol bevezettük az

(38,4)

jelölést,A K rendszerben a vektorpotenciái:

A K' rendszerben mágneses tér nincs, az elektromos térerősség:

E = e R -R '3 •

A (24,2) képletek alapján a következőket kapjuk:

exp __ i:' _____ Z7V --- ---- n /<i 9


í£L F E ’y - ey’ F = ez'R ’3 ’ A v r -------p a r ^ ’ 2 f

Behelyettesítve ide az R \ x \ y \ z ’ mennyiségek x, y, z-vel kifejezett alakjait, azt kapjuk, hogy

^ í i V 2\ eR( (? } R*z ’ ^

ahol R az e töltéstől a tér x, y, z megfigyelési pontjába mutató helyvektor (komponensei x —Vt, y, z).

E-nek ezt a kifejezését más alakban is írhatjuk, ha bevezetjük a mozgás iránya és az R helyvektor által bezárt 0 szöget. Nyilvánvaló, hogy y 2 + z2 = R 2 sin2 0, és ezért R *2 az

R *2 = R 2{ l - - ^ sin2 0) (38,7)-~ CT sin2 0)

alakban írható. E kifejezése ezzel a következő:

i - v~

E = w > ^ <38-8>/ 7^ 2 \ 3 /2 *

( l in ' 8)

A töltéstől adott R távolságra a térerősség nagysága növekszik, ha 0 nullától /2-ig nő (vagy 7r-ről jr/2-ig csökken). A legkisebb értéket a mozgásiránnyal párhuzamos irányban ( 0 = 0 , n) veszi fel; itt

- ; c v i

A sebességre merőleges irányban ^0 = legnagyobb a térerősség, itt

38. §. EGYENLETESEN MOZGÓ TÖLTÉS ERŐTERE 127

Megjegyezzük, hogy a sebesség növekedésével csökken, E ± nő. Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy a mozgó töltés elektromos tere a mozgás irányában „összelapul” . Fénysebességhez közeli sebességnél a (38,8) képlet nevezője a 0 = tz/2 körüli szűk intervallumban vesz fel nullához közeli értéket. Az intervallum szélessége

fnagyságrendű. A gyorsan mozgó elektromos töltés tere a töltéstől adott távolságban tehát csak egy szűk szögtartományban különbözik jelentősen a nullától, a tartomány szélessége V növekedésével } 1 — V 2/c2 szerint csökken.

A K rendszerben a mágneses térerősség:

H = — V X E (38,9)c

[lásd a (24,5) képletet]. Speciálisan, F « c esetén az elektromos teret közelítőleg az eR

E = —jr Coulomb-törvény adja meg, ekkor a mágneses térerősség:jfv

(38,10)

Feladat

Határozzuk meg (a K rendszerben) a kölcsönhatási erőt két azonos V sebességgel mozgó töltés között.

Megoldás. A keresett F erő az, amit az egyik töltésre (<ej) a másik (<e2) erőtere kifejt. (38,9) segítségével írhatjuk, hogy

F = e]E2 + — V x H j = í J l - i ^ W + V C V E ,) .c \ c& / <r

E2 (38,8)-beli kifejezését behelyettesítve, az erőnek a mozgás irányába eső (Fx) és arra merőleges (Fy) komponensére a következőket kapjuk:

(1 - cos 0 (l — ^ - ) sin 0_ e,e.z \ c£ ! _ eie2 V c- /R2 í. V2 . 2 , \ 3'2 ’ “ R2 (. V2 . \ 3/2 ’

ahol az e2-iő\ ex-\\QZ húzott helyzetvektor hosszúsága, 0 az R és V vektor által bezárt szög.

39. §. Mozgás Coulomb-térben

m tömegű, e töltésű részecske mozgását vizsgáljuk egy másik ef töltés erőterében; feltételezzük, hogy az utóbbi tömege olyan nagy, hogy mozdulatlannak tekinthető. Ekkor a feladat az, hogy az e töltés mozgását vizsgáljuk centrálszimmetrikus elektromos erőtérben, amelynek potenciálja cp = e'/r.

A részecske teljes energiája:

c5 = c ] V + m 2c2 + - , r

ahol a = ee'. A részecske mozgásának síkjában felvett polárkoordinátákkal, mint az a mechanikából ismeretes,

ahol pr az impulzus radiális komponense, J pedig a részecske állandó impulzusmomentuma. Ekkor

<5 = c |/" P * + ^ + r n 2c2 + y • (39,1)

Kérdés, vajon mozgása során a részecske tetszőlegesen közel juthat-e a középponthoz. Nyilvánvaló, hogy nem, ha az e és e' töltések taszítják egymást, azaz ha e és e' egyező előjelűek. Továbbá vonzás esetén (ha e és e' különböző előjelűek) sem lehetséges, ha Jc > | a | ; valóban, ebben az esetben (39,1) első tagja mindig nagyobb a másodiknál, és r — 0 esetén az egyenlőség jobb oldala végtelenné válna. Ellenben ha Jc < | a | , akkor r -► 0 esetén a kifejezés értéke véges m aradhat (pr természetesen végtelenhez tart). így, ha

/ c < | a | , (39,2)

akkor mozgása során a részecske belezuhan az őt vonzó töltésbe — ellentétben a nemrelativisztikus mechanikával, ahol Coulomb-térben ez a bezuhanás egyáltalán nem lehetséges (kivéve az J = 0 esetet, amikor az e részecske egyenesen az é részecskére esik).

Coulomb-térben a töltés mozgásának teljes meghatározásához legcélszerűbb a Hamilton—Jacobi-egyenletből kiindulni. Vegyük fel a mozgás síkjában az r, cp polár- koordinátákat. A (16,11) Hamilton—Jacobi-egyenlet alakja most a következő:

1 /8S a \ 2 /8 S \ 2 1 / 8 S \2 9 9 „

+ ( s r ) + ~ ^ \ 8 ^ ) + m c ~ ° -

39. §. MOZGÁS COULOMB-TÉRBEN 129

Keressük S-et az

S = —£ tJ c p - \ - f (r),

alakban, ahol £ és J a mozgó részecske állandó energiája és impulzusmomentuma. A következő eredményt kapjuk:

S = - £ t + J ( p + j j /J L ^ _ £ L j dr. (39,3)

A pályagörbét a d S/dJ = const egyenlet határozza meg. (39,3) integrálásával a következő eredményeket kapjuk:

a) ha Jc > | a | , akkor

(c2J 2 —a 2) y = c Y{J£ ) 2 —m2c2(J2c2 —a 2) cos (q9 | A ;

b) ha Jc < | a | , akkor

(«2 - e V 2) y = ± c vVc$)2 + m 2c2(a 2 - / V 2) eh (r/» (39,5)

^ ha /c = | a | , akkor

2<5a 9 /< 5 a \ 2— = ^ c í y ja j • (39>6)

A z integrációs állandó kezdőértékének tetszőleges megválasztásában jelentkezik(39.4)-ben a gyök előjele lényegtelen, mivel ez is a cos argumentumában levő cp

kezdőértékének megválasztásával kapcsolatos. Az egyenlet által meghatározott görbe,r vonzás esetén (a < 0 ) teljes egészében r véges értékein megy keresztül (véges mozgás), ha £ < mc2. Ha £ > mc2, akkor r végtelenné is válhat (a mozgás nem véges). A nemrelativisztikus mechanikában a véges mozgás zárt pályán (ellipszisen) való mozgásnak felel meg. A relativisztikus mechanikában a pályagörbe soha nem lehet zárt, hiszen (39,4)-bői látható, hogy a cp szöget 2?r-vel megváltoztatva, a középponttól mért r távolság nem tér vissza a kiindulási értékhez. Ellipszis helyett a pályagörbe itt egy nem záródó „rozetta” . A nemrelativisztikus mechanika szerint Coulomb-térben a véges mozgás zárt pályán történik, a relativisztikus mechanikában viszont a Coulomb- tér elveszti ezt a tulajdonságát.

(39.5)-ben a gyök előtt a + előjelet kell választani a < 0 , a — előjelet a > 0 esetén [a másik előjel annak felelne meg, hogy (39,l)-ben a gyök előjelét megváltoztatnánk].

a < 0 esetén a (39,5) és (39,6) görbék spirálok, melyeknek r sugara nullához tart *p oo esetén. A töltés véges idő alatt zuhan be a koordináta-rendszer kezdőpont-9 Elméleti fizika II. - 42 221/11.

jába. Erről könnyen meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy az r koordináta időfüggését a 8S / 8 S = const egyenlet határozza meg; (39,3)-ból látható, hogy az időtartam ot olyan integrál adja meg, amely r —- 0 esetén konvergál.

Feladatok

1. Határozzuk meg a taszító Coulomb-térben (a > 0) mozgó töltés elhajlási szögét.

Megoldás. Az elhajlási szög, % = n — 2<p0, ahol <p0 a (39,4) trajektória két aszimptotája által bezárt szög. Az eredmény:

2c J vY?J2- a2X = .-i--7=====r arctg

ca

ahol v a töltés sebessége a végtelenben.2. Coulomb-térben határozzuk meg a kisszögű szórás effektív hatáskeresztmetszetét.

Megoldás. A do hatáskeresztmetszet az adott dQ térszögelembe (1 s alatt) szóródó részecskék számának és a szóródó részecskék áramsűrűségének (azaz a részecskenyalábra merőleges 1 cm2 területen 1 s alatt átmenő részecskék számának) hányadosa.

Az elektromos erőtéren áthaladó részecske % elhajlási szögét a q „ütközési paraméter” határozza meg. (Az ütközési paraméter a középpontnak attól az egyenestől való távolsága, amelyen a részecske mozogna, ha nem lenne elektromos erőtér.) így

do — 2 7io do = 2 7io dx = ~ ^ ^d l * d% sin x '

ahol dQ = 2 j is in / í / / (lásd az I. kötet 18. §-át). Az elhajlási szög (ha kicsi) egyenlőnek vehető az impulzusváltozás és az eredeti impulzusérték hányadosával. Az impulzus növekedése a töltésre a

a qmozgás irányára merőlegesen ható erő időintegrálja; ez az erő közelítőleg — — .íg y

n r

P Jolq dt 2a

( q 2 + V 2t 2) 312 P Q V

(v a részecske sebessége). Ebből kapjuk a kisszögű szórás hatáskeresztmetszetét (kis %-ro):

Nemrelativisztikus esetben p ^ mv, és a fenti kifejezés megegyezik a Rutherford-képlet kis /-re érvényes alakjával (lásd az I. kötet 19. §-át).

40. §. DIPÓLMOMENTUM 131

40. §. Dipólmomentum

Töltésrendszer terét vizsgáljuk a rendszer méreteihez képest nagy távolságban. Olyan koordináta-rendszert használunk, amelynek kezdőpontja valahol a töltés

rendszer belsejében van. Az egyes töltések helyvektorait r fl-val jelöljük. A tér potenciálja az R 0 helyvektorú pontban

^ ir T (40'‘>(összegezni kell az összes töltésre); itt R0 —ra az ea töltéstől a potenciálpontba m utató helyvektor.

E kifejezést nagy R0 mellett kell vizsgálnunk (R0 » ra). Ezért ra/R 0 hatványai szerint sorba fejtjük, felhasználva az

/ ( R o - r ) = / ( R 0) - r g ra d /(R 0)

képletet. (A gradiensben az R 0 vektor végpontjának koordinátái szerint kell differenciálni.) Az elsőrendű tagokig bezárólag:

3>

összeget a töltésrendszer dipólmomentumának nevezzük. Lényeges, hogy ha £ ea össz- töltés nulla, akkor a dipólmomentum független a koordináta-rendszer kezdőpontjának megválasztásától. Valóban, ugyanazon töltés két különböző koordináta- rendszerben mért ra és r'a helyvektora között az

ra = l*a+a

összefüggés áll fenn, ahol a valamilyen állandó vektor. Ezért ha £ ea = 0, akkor a dipólmomentum mindkét koordináta-rendszerben azonos:

d' = £ e ará = X e flra+ a £ e fl = d.

Ha a rendszer pozitív és negatív töltéseire, ill. azok helyvektoraira az e+, r* és ~ ea ’ ra jelöléseket használjuk, akkor a dipólmomentum a

d = £ e+r+ - £ e~r~ = R+ £ e+ - R ~ £ e~ (40,4)9*

alakban írható, ahol

p+ p - _ X ea ra MOWR ~ T 5 T - R ~ T ^ ~ w >

a pozitív és negatív „töltésközéppontok” helyvektorai. Ha Y ,ea = E ea = e> akkor

d = é?R+_, (40,6)

ahol R + _ = R + — R~ a negatív töltések középpontjától a pozitívakéhoz mutató helyvektor. Ha speciálisan csak két töltés van, akkor R +_ az ezeket összekötő helyvektor.

Ha a rendszer össztöltése nulla, akkor az erőtér potenciálja nagy távolságokban:

< p = - d v - ^ = ^ - . (40,7)


A térerősség:

E = -g ra d = - - L grad (dR0) - (d R 0) grad ~

vagy végső alakban:

E = 3(nd^ " d . (40,8)

ahol n az R 0 irányba mutató egységvektor. Hasznos lehet a következő alak is :

E = (dv) V - L . (40,9)^<0

Olyan töltésrendszer erőterének potenciálja tehát, amelynek össztöltése nulla, nagy távolságokban a távolság négyzetével, térerőssége pedig a távolság köbével fordítottan arányos. A tér d irányára nézve tengelyszimmetrikus. A tengelyen (ezt választjuk z tengelynek) átmenő síkban a térerősség komponensei:

3 cos2 0 - 1 3 sin0 cos 0 .2 M ------ ’ E x = d -------]$ ------• (40,10)

Ebben a síkban a sugárirányú és érintőleges összetevők:

41. §. MULTIPÓLMOMENTUMOK 133

41. §. Multipólmomentumok

A potenciál 1 jR 0 hatványai szerint végzett

(p = (p(o) _j_ (1) _j_ (2) _j_ _ e # (41,1)

sorfejtésében a ^ (w) tag l/i?JJ+1-gyel arányos. Láttuk, hogy az első, ^ (0) tagot az össztöltés, a második, 9r(1) tagot (amit a rendszer dipólpotenciáljának nevezünk) a dipólmomentum határozza meg.

A sorfejtés harmadik tagja

(41,2)

ahol az összegezés az egyes töltésekre vonatkozik; a töltés sorszámát jelölő indexet most elhagytuk; xa az r, X a az R0 vektor összetevői. A potenciálnak ezt a részét kvadrupólpotenciálnak hívják. Ha a rendszer össztöltése és dipólmomentuma zérus, akkor a sorfejtés ^ (2)-vel kezdődik.

A (41,2) kifejezésben hat Y<exax p mennyiség szerepel. Könnyen látható azonban, hogy a valóságban az erőtér nem hat, hanem csak öt független mennyiségtől függ. Ez abból következik, hogy az 1 /R 0 függvény kielégíti a

. 1 _ l o Ö2 1

Ro ^ e x . d x } Ro

Laplace-egyenletet. <(2)-t ezért a következő alakban írhatjuk:

f|C<2) = 2 ^ e ( x «xe - J r2ő«e) e x ad x p l ü 'A

Q«í> = £ e(3x *x f) - (41,3)

tenzort a rendszer kvadrupólmomentumának nevezzük. Qa/S meghatározásából következik, hogy főátlóbeli elemeinek összege nulla:

<2«« = 0. (41,4)

A szimmetrikus tenzornak ezért öt független komponense van. Ezzel

a differenciálást elvégezve:

s 2 i _ 3 x xx 0 a*dXa dXfi R0 R l

majd figyelembe véve még, hogy = Qaa = 0,

<p™ = . (41,6)

M int minden szimmetrikus hármastenzor, Qa/? is főtengelyre transzformálható. A (41,4) feltétel miatt általános esetben a három főérték közül csak kettő független. Ha a töltésrendszer valamilyen tengelyre (z tengelyre) nézve szimmetrikus, 3 akkor ez a ö a/3 tenzor egyik főtengelye, a másik két tengely helyzete az xy síkban tetszőleges, és a három főérték között a

& « = & * = ~ j 6 » (41,7)

összefüggés áll fenn. A Qzz komponenst S-val jelölve (ez esetben Q-t egyszerűen kvadrupólmomentumnak szokás nevezni), a potenciálra a következő alakot kapjuk:

V ™ = 4 % (3 COS2 d~ í ) = l k n C O S 6% (41,8)

ahol 0 az R 0 és a z tengely által bezárt szög, P 2 pedig Legendre-polinom.Ahhoz hasonlóan, ahogyan az előző paragrafusban dipólmomentumra megmutat

tuk, könnyen beláthatjuk, hogy a rendszer kvadrupólmomentuma nem függ a kezdőpont megválasztásától, ha a rendszer teljes töltése és dipólmomentuma nulla.

Hasonló módon írhatnánk le a (41,1) sorfejtés következő tagjait. A sorfejtés /-edik tagját egy /-ed rangú tenzor (az ún. 2 /-multipólmomentum tenzor) határozza meg, a tenzor bármely két indexében szimmetrikus, és bármely két indexet összeejtve zérust ad; megmutatható, hogy az ilyen tenzor független komponenseinek száma: 2 / + 1 . 4

Felírjuk a potenciál sorfejtésének általános tagját más alakban, felhasználva a gömbfüggvények elméletéből ismert

---- ------= -7 ....... 1 — = £ - 4 - Pt (cos x) (41,9)|Rq — r | ÍR q + i3, — 2rRo cos / 1=0 R}0+ í

3 Tetszőleges, másodiknál magasabb rendű tengelyről van szó.4 Az ilyen tenzort irreducibilisnek nevezzük. Hogy bármely két indexet összeejtve zérust kapunk,

azt jelenti, hogy a tenzor komponenseiből nem lehet valamilyen alacsonyabb rangú tenzort képezni.

képletet, ahol % az R 0 és r által bezárt szög. Bevezetjük a <9, <t> és 0, (p polárszögeket, amelyek megadják az R 0 és r vektor irányát a rögzített koordinátatengelyekhez képest, és felhasználjuk a gömbfüggvényekre vonatkozó ismert addíciós tételt:

itfcos x) = mt ^ ^ ( c o s 0)i>jm|(cos (41,10)

ahol jPJ”-ek az egyesített Legendre-polinomok. Bevezetjük az

41. §. MULTIPÓLMOMENTUMOK 135

Ylm(0, cp) = ( - 1r i‘ ] [ m °os d)e‘mv’ m - 0 ’

r / f _ w ( 0 , <p) = ( — i ) , - m Y f \ m \(41,11)

gömbfüggvényeket is . 5

A (41,9) sorfejtés ezekkel így írható:

W=íi = l Í- , :* F

A (40,1) összeg minden tagjában elvégezve ezt a sorfejtést, a potenciál sorfejtésének /-edik tagjára a következő kifejezést kapjuk:

= ^7+rmZ_f ] / "2 / q r r #) , (41,12)

ahol

es? = z ^ (4 l >í3)

A 2 /+1 darab Q{£ mennyiség együtt a töltésrendszer 2/-multipólmomentumát alkotja.Az ily módon meghatározott mennyiségek és a d dipólmomentumvektor kom

ponensei között az összefüggés a következő:

QSP = id z, égi = + ~ i d x ± id }) . (41,14)

A QjJ* mennyiségeknek és a ö a/9 tenzor komponenseinek kapcsolata:

Q f = - J Q~, Q(M = ( e » ± iö „ ) ,

ö l = - ~ = ( Q XX- Q y y ± 2 i Q xy).

5 A kvantummechanikában elfogadott definíciót használjuk.

(41,15)

Feladat

Határozzuk meg homogén töltéssűrűségű ellipszoid középpontjára vonatkoztatott kvadrupól- momentumát.

Megoldás. Az összegezést (41,3)-ban az ellipszoid térfogatára való integrálással helyettesítjük. így

Qxx = Q J J (2x2- y 2 - z2) dx dy dz stb.

Az ellipszoid tengelyeit választjuk koordinátatengelyeknek, a kezdőpont az ellipszoid középpontja. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy a tengelyek éppen a Qa$ tenzor főtengelyei. Az

x = x'a, y — y'b , z = z'ctranszformációval az


ellipszoid térfogatára vett integrált az eg>ségsugarú

x '2+ y'2 + z'2 = 1

gömb térfogatára való integrállá írhatjuk át. Az eredmény:

Qxx = - y (2a2 - 62 - c% Q„ = ~ (2Z>2 - a2 - c2), 0« = y (2c2 - ű2 - ö2) ,

4tiahol = — abcQ az ellipszoid teljes töltése.

42. §. Töltésrendszer külső erőtérben

Külső elektromos térben levő töltésrendszert vizsgálunk. A külső erőtér potenciálját <£(r)-rel jelöljük. Az egyes töltések potenciális energiája eacp(ra), a rendszer teljes potenciális energiája:

U = ^ e a<f(ra). (42,1)a

A koordináta-rendszert ismét úgy választjuk, hogy kezdőpontja valahol a rendszer belsejében legyen; ra az ea töltés helyvektora ezekben a koordinátákban.

Feltételezzük, hogy a külső erőtér a töltésrendszer által elfoglalt tartom ányban keveset változik, vagyis az erőtér a töltésrendszer körül kvázihomogén. Az U energiát ekkor ra hatványai szerint sorba fejthetjük. Az

U = t/(°)+£/(i)+£/(2) +

sor első tagjaE/< °> = y o 5 > « ,

a

ahol (po a potenciál értéke a koordináta-rendszer kezdőpontjában. Ebben a közelítésben a töltésrendszer energiája annyi, mintha az összes töltés egyetlen pontban lenne.

A sorfejtés második tagjaC/d) = (grad f )o ‘Y ,eara-

Ha a koordináta-rendszer kezdőpontjában a térerősség E 0, a töltésrendszer dipólmomentuma pedig d, akkor

*y(i) = _ dEo. (42,4)

A töltésrendszerre a külső kvázihomogén erőtérben ható teljes erő második közelítésben

F = E 0 £ í?a+ (grad dE)0.

Ha az össztöltés nulla, akkor az első tag eltűnik, és

F = (dv)E, (42,5)

azaz az erőt a térerősség differenciálhányadosa (a kezdőpontban felvett érték) határozza meg. A töltésrendszerre ható teljes forgatónyomaték

M = £ r öX eaE 0 = d X E 0, (42,6)

ezt tehát a térerősség határozza meg.Tekintsünk két olyan rendszert, amelyek mindegyikének össztöltése nulla, dipól

momentumaik di és Ű2, egymástól való távolságuk nagy a saját méreteikhez képest. Meghatározzuk kölcsönhatásuk U potenciális energiáját. E célból vizsgálhatjuk az egyiket a másik által létrehozott erőtérben. Ekkor

U = - d 2Ei,

ahol Ei az első rendszer erőtere. Behelyettesítve (40,8)-at, azt kapjuk, hogy

v = (d1d2)J?2- 3 ( d 1R )(d2R) (42 ?)jR5

ahol R a két töltésrendszert összekötő vektor.Abban az esetben, amikor az egyik rendszer e össztöltése nem zérus, a fentihez

hasonlóan a következőt kapjuk:

u = e ™ > (42>8)

ahol R a dipólustól a töltéshez mutató vektor.

42. §. TÖLTÉSRENDSZER KÜLSŐ ERŐTÉRBEN 137

A (42,1) sorfejtés következő tagja:

7 /(2 ) _ Y e x x- 2 L ex«xi> dx dxp •

Itt, akárcsak a 41. §-ban, elhagytuk a töltésekre vonatkozó indexet; a potenciál második deriváltjának kezdőpontbeli értékét kell venni. A cp potenciál azonban kielégíti a

d2y = * d2(p . nS-c* 0 xa dxa


Laplace-egyenletet. Ezért írhatjuk, hogy

C/(2) = I ^

vagy a végső alakban2

m = % . (42,9)

A (42,2) sor általános tagja kifejezhető az előző paragrafusban meghatározott Öm 2/-multipólmomentummal. Ehhez a <p(r) potenciált először sorba kell fejteni a gömbfüggvények szerint, a sorfejtés általános alakja:

00 1 t i 4 ÜTtp(r) = Z r ' É ai»‘ y "öTTT Y,m (42,10)/=0 m = —l r

ahol r, 0, cp a pont gömbkoordinátái, ö/m pedig állandó együtthatókat jelöl. Most m ár képezhetjük a (42,1) összeget, melyre a (41,13) definíció figyelembevételével a következőt kapjuk:

£/( 0 = í almQm- (42,11)m = — l

43. §. Sztatikus mágneses tér

Korlátozott mozgást végző töltések által létrehozott mágneses teret vizsgálunk, a részecskék az egész idő alatt a tér véges tartományában maradnak, impulzusaik is végesek. Az ilyen mozgás stacionárius jellegű, érdemes megvizsgálni a töltések által létrehozott H átlagos (időbeli átlag) mágneses térerősséget; H csak a koordináták függvénye, az időnek nem, azaz állandó.

Az átlagos mágneses teret meghatározó egyenletet úgy kapjuk, hogy a

j* „ x x 1 dE 4tz .div H = 0, rot H = -----— H----- jc dt c

Maxwell-egyenleteket idő szerint átlagoljuk. Az elsőből egyszerűen

div H = 0 (43,1)

adódik. A második egyenletben a dE/dt differenciálhányados átlagértéke nulla, mint minden véges tartományban változó mennyiség differenciálhányados átlagértéke (lásd a 35. § 9 számú lábjegyzetét). Ezért a második Maxwell-egyenlet alakja most

_ 4jr _rot H = — j. (43,2)

A fenti két egyenlet határozza meg az állandó H teret.Bevezetjük az A átlagos vektorpotenciáit,

rot A = H.Ezt (43,2)-be helyettesítve a

_ — 4jt -grad div A —a A = — j

cegyenletet kapjuk.

Tudjuk azonban, hogy a vektorpotenciái meghatározása nem egyértelmű, ezért tetszőleges mellékfeltétel kiszabható rá. Válasszuk tehát úgy az A potenciált, hogy teljesüljön a

div A - 0 (43,3)

egyenlőség. Az állandó mágneses tér vektorpotenciálját meghatározó egyenlet ekkor a következő:

a A = - í? Ü j. (43,4)c

Az egyenlet megoldását könnyen megkapjuk, ha észrevesszük, hogy (43,4) teljesen analóg az állandó elektromos tér skalárpotenciáljára vonatkozó (36,4) Poisson- egyenlettel, a q töltéssűrűség helyett itt a j/c áramsűrűség szerepel. A Poisson-egyenlet(36,8) megoldásához hasonlóan írhatjuk, hogy

43. §. SZTATIKUS MÁGNESES TÉR 139

A = — c

-jL dV, (43,5)

ahol R a dV térfogatelem és a potenciálpont távolsága.

A (43,5) képletben az integrálásról a töltések szerinti összegezésre térhetünk át, j helyett gy-t írva, és szem előtt tartva, hogy a töltések pontszerűek. Emellett nem szabad elfelejteni, hogy a (43,5) integrálban R egyszerű integrációs változó, arra az

€ Vátlagolás természetesen nem vonatkozik. Ha a í j \/R dV integrál helyett a

R(Zösszeget írjuk, akkor az egyes töltések R a helyvektorai a töltések mozgása során változnak. Ezért

A = i - V Í £ í L , (43,6)C ^ R a

ahol az átlagolást az egész vonal alatti kifejezésre kell végezni.A ismeretében a térerősség


H = rőt A = rőt

A rőt operációt a megfigyelési pont koordinátái szerint kell végezni. Ezért a rő t bevihető az integráljel alá, a differenciálásnál j állandónak vehető. Felhasználva az ismert

rot / a = / rot a+ g rad /X a

képletet, amelyben / , ill. a tetszőleges skalár, ill. vektor, a következőket kapjuk:

♦ Í A 1 Í X R~R = ~R ~R*~ ’

következésképpen

(43'7)

(R a dV térfogatelemből a megfigyelési pontba mutató vektor.) Ez a Biot—Savart- törvény.

44. §. Mágneses momentum

A stacionáriusan mozgó töltések rendszere által létrehozott átlagos mágneses teret vizsgáljuk a töltésrendszertől nagy távolságban.

A koordináta-rendszer kezdőpontját valahol a töltésrendszeren belül vesszük fel, mint ahogyan a 40. §-ban tettük. Az egyes töltésekhez mutató helyvektorokat ra-val jelöljük. R 0 annak a pontnak helyvektora, amelyben a térerősséget keressük. Ekkor

R0 —ra az ea töltéstől a megfigyelési pontba mutató vektor. (43,6) szerint a vektor- potenciál :

T 1 € aY a

C

44. §. MÁGNESES MOMENTUM 141

^ ' - a 1 a

A ~ - L |R 0 —r 0 1

Sorba fejtjük e kifejezést ra hatványai szerint ugyanúgy, mint a 40. §-ban. Az elsőrendű tagokig bezárólag (az a indexet a rövidség kedvéért elhagyjuk):

A = Y e v —- Y evírv - - YcR0 ^ c ^ [ R ó j

Az első tagban

er

írható. A véges intervallumban változó mennyiség differenciálhányadosának átlagértéke zérus. Ezért csak A második tagja marad meg:

Átalakítjuk ezt a kifejezést. Figyelembe véve, hogy v = r, a következőket írhatjuk (Ro állandó vektor):

X <?(R0r)v = j ~ Z er(rR0) + y £ ^ O ^ o ) -r(vR 0)].

Beírva ezt A kifejezésébe, az első tag (az idő szerint képzett differenciálhányados) ismét eltűnik, így azt kapjuk, hogy

A = 2cR$ E *WrRo)-r(vRo)]-

Bevezetjük az

m = ~ Y j erX v (44,2)

vektort, ezt hívjuk a rendszer mágneses momentumának. Ezzel

T m xR o „ 1 ÍAA= s í = íö ■ <44'3)

A vektorpotenciái ismeretében a mágneses térerősség könnyen meghatározható. A

rőt aX b = (b v )a —(a v )b + a div b —b div a

képlet segítségével azt kapjuk, hogy

H = rőt A = rő t O T X ^ = m divK q K q K q

A két tagot külön-külön kiszámítjuk:

R 1 1

div ^ = Ro grad + ^ i div Ro = ° ’

, S v ) - 5 2 = * ( m y ) R „ W = ~ 1 ' - ”

így

B = 3D<” ) - m ■ (44,4)

ahol n most is az R 0 irányba mutató egységvektor. Látjuk, hogy a mágneses térerősség ugyanúgy fejezhető ki a mágneses momentum segítségével, mint az elektromos térerősség az elektromos dipólmomentummal [lásd a (40,8) egyenletet].

Ha a töltés és a tömeg hányadosa a rendszer mindegyik töltésére azonos, akkor

Ha mindegyik töltés sebességére v « c , akkor my a töltés p impulzusa, és

“ = = (44' 5>

ahol J = X r XP a rendszer mechanikai impulzusmomentuma. Ebben az esetben tehát a mágneses momentum és az impulzusmomentum hányadosa állandó, és ejlmc-wú egyenlő.

Feladat

Határozzuk meg a mágneses momentum és az impulzusmomentum hányadosát két töltésből álló rendszerre (a sebességekre fennáll, hogy v c).

Megoldás. A koordináta-rendszer kezdőpontját a két részecske tömegközéppontjában vesszük fel, ekkor tn1r1 + m2r2 = 0, és px = - p2 = p, ahol p a relatív mozgás impulzusa. Ezeket felhasználva azt kapjuk, hogy

45. §. A LARMOR-TÉTEL 143

45. §. A Larmor-tétel

Külső, állandó, homogén mágneses térben levő töltésrendszert vizsgálunk.A rendszerre ható, időben átlagolt

F = £ - ő < H = ^ £ - r X H ^ c dt ^ c

erő eltűnik, mint minden korlátos tartományon belül változó mennyiség idő szerinti differenciálhányadosa. A forgatónyomaték átlagértéke,

M = Y -r X (v X H )^ c

nullától különböző. M kifejezhető a töltésrendszer mágneses momentumával; a kettős vektorszorzatot felbontva, írhatjuk, hogy

M = {v(rH) -H(vr)} = £ £ jv(rH) r’ J.

Átlagolásnál a második tag eltűnik, ezért

M = £-^-v(ÍH ) = ^ £ e{v(rfl) - r(vH)}

[az utóbbi transzformáció ekvivalens a (44,3) levezetésekor végzettel], vagy végső alakban

M = mXH. (45,1)

Felhívjuk a figyelmet az elektromos eset (42,6) képletével fennálló analógiára.Külső, homogén, állandó mágneses erőtérben levő töltésrendszer Lagrange-

függvénye (a zárt rendszer Lagrange-függvényéhez képest) egy további tagot tartalmaz:

L » = 1 7 Av = E ~ (HXr)v = Z { ~ (rXv)H. (45,2)

[Felhasználtuk a homogén tér vektorpotenciáljára vonatkozó (19,4) kifejezést.] A rendszer mágneses momentumát bevezetve, írhatjuk, hogy

L h = WH. (45,3)

Az elektromos térrel fennálló analógia ismét megtalálható: homogén elektromos térben levő zérus össztöltésű rendszer Lagrange-függvénye az

L e = dE

tagot tartalmazza, ez a töltésrendszer potenciális energiájának —1 -szerese (lásd a 42. §-t).

Valamilyen nyugalomban levó' részecske által létrehozott gömbszimmetrikus elektromos erőtérben (ü « c sebességgel) korlátozott mozgást végző töltésrendszert vizsgálunk.

A nyugvó koordináta-rendszerről a mozdulatlan részecskén átmenő tengely körül .egyenletesen forgó rendszerre térünk át. A részecske eredeti és új rendszerbeli v és v' sebessége között az ismert

v' = v + f í x r

összefüggés áll fenn, ahol r a részecske helyvektora, £ 2 a forgó koordináta-rendszer szögsebessége. A nyugvó rendszerben a töltésrendszer Lagrange-függvénye


L = ---- U,

ahol U magában foglalja a töltések potenciális energiáját külső elektromos térben és az egymással való kölcsönhatás energiáját is. U a töltések nyugvó részecskétől és egymástól mért távolságainak függvénye: a forgó koordináta-rendszerre való áttérés során ezek nyilvánvalóan nem változnak. Ezért a Lagrange-függvény alakja az új rendszerben a következő:

yyjL = 1 yO +S2X r)2- t / .

Feltesszük, hogy az ejm hányados minden részecskére azonos. Legyen

= (45’4)

Ekkor elegendően kicsi H mellett (amikor a H 2-es tagok elhanyagolhatók) a Lagrange-függvény alakja a következő:

£ = £ ^ + ^ I > ( H x r ) v - t / .

Látható, hogy ez megegyezik azzal a Lagrange-függvénnyel, amely a vizsgált töltések mozgását írná le nyugvó vonatkoztatási rendszerben, állandó mágneses térben [vö.(45,2)-vel].

2

45. §. A LARMOR-TÉTEL 145

Arra az eredményre jutottunk tehát, hogy gömbszimmetrikus elektromos térben és gyenge homogén mágneses térben korlátozott mozgást végző, azonos efm hánya- dosú töltések rendszere ugyanúgy viselkedik, mintha a mágneses tér nem létezne, de a töltésrendszer egy (45,4) szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben lenne. Ez Larmor tétele. A z Q = eH jlm c szögsebességet Larmor-frekvenciának nevezik.

A kérdést más szempontból is megvizsgálhatjuk. Elegendően gyenge mágneses erőtérben a frekvencia az adott töltésrendszer véges mozgásának frekvenciájához képest kicsi, a rendszerre vonatkozó mennyiségeket átlagolhatjuk a In jQ periódushoz képest kis időtartamra. A mennyiségek időbeli változása lassú (kis Q frekvenciájú) lesz.

Vizsgáljuk a rendszer átlagos mechanikai J impulzusmomentumának változását. A mechanika ismert egyenlete szerint J differenciálhányados a rendszerre ható erők M forgatónyomatékával egyenlő. Ezért a (45,1) képlet segítségével írhatjuk, hogy

4 J - = M = mXH. at

Ha az efm hányados a rendszer minden részecskéjére nézve azonos, akkor a mechanikai impulzusmomentum és a mágneses momentum arányos egymással, s a (44,5) és (45,4) képletek szerint

^ = - S l X J . (45,5)

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az J vektor (és ezzel együtt az nt mágneses momentum)— £2 szögsebességgel forog a tér iránya körül, J abszolút értéke és az erőtér irányá

val bezárt szöge nem változik. (Ez a Larmor-precesszió.)

10 Elméleti fizika II. - 42 221/I I .

VI. F E J E Z E T

ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

46. §. A hullámegyenlet

Vákuumban az elektromágneses tér meghatározásánál a Maxwell-egyenletekbe g = 0-t és j = 0-t kell írni. Az egyenletek alakja ekkor a következő:

Ezeknek az egyenleteknek létezhet zérustól különböző megoldása. Ez azt jelenti, hogy elektromágneses tér akkor is lehet, ha semmiféle töltés sincs jelen.

A töltések nélküli vákuumbeli elektromágneses tereket elektromágneses hullámoknak nevezzük. A következőkben az ilyen erőterek tulajdonságait tanulmányozzuk.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ezek az erőterek feltétlenül időben változóak. Valóban: az ellenkező esetben 8H fdt = SE/dt = 0, és a (46,1)—(46,2) egyenletek az állandó mezőt leíró (36,1)—(36,2) és (43,1)—(43,2) egyenletekbe mennek át, amelyekben most g = 0 , j = 0 . Az egyenletek (36,8) és (43,5) által meghatározott megoldásai azonban g = 0 és j = 0 esetén eltűnnek.

Levezetjük az elektromágneses hullámok potenciáljait meghatározó egyenleteket.Mint már tudjuk, a potenciálok nem egyértelműek, mindig kiszabható valamilyen

mellékfeltétel. Válasszuk az elektromágneses hullámok skalárpotenciálját zérusnak:

irot E = ------- , div H = 0,

c dt(46,1)

1rot H = -----x - , div E = 0.

c dt(46,2)

cp = 0 . (46,3)Ekkor

(46,4)

E két kifejezést (46,2) első egyenletébe helyettesítve, a következő t k a p ju k :

1 d2Aro t rő t A = — A A + g ra d div A = — - .c ct2

(46,5)

46. §. A HULLÁMEGYENLET 147

Annak ellenére, hogy egy mellékfeltételt már kikötöttünk, az A potenciál még mindig nem egyértelmű. Nevezetesen tetszőleges, időtől független függvény gradiensét hozzáadhatjuk (úgy, hogy közben cp-t nem változtatjuk). Speciálisan az elektromágneses hullám potenciálja megválasztható úgy, hogy a

div A = 0 (46,6)

teljesüljön. Valóban, E (46,4) kifejezését a div E = 0 egyenletbe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

0 A 0 a ndlv s 7 = 0 7 d l vA = 0’

tehát div A csak a koordináták függvénye. Ez a függvény mindig zérussá tehető úgy, hogy A-hoz hozzáadjuk egy megfelelő, időtől független függvény gradiensét.

A (46,5) egyenlet alakja ekkor a következő:

1 82 AA A - ^ r ^ = 0. (46,7)

Ez az elektromágneses hullámok potenciálját meghatározó egyenlet. Neve: D'Alembert-egyenlet vagy hullámegyenlet.1

(46,7)-re a rőt és 8/8t operációt alkalmazva, meggyőződhetünk arról, hogy az E és H térerősségek ugyanilyen hullámegyenletet elégítenek ki.

Megismételjük a hullámegyenlet levezetését négydimenziós formában. E célból a második Maxwell-egyenletpárt a

^ = 08 .v*

alakban írjuk fel. [Ez a (30,2) egyenlet / = 0 esetén.] Beírva ide F lk-nak a potenciállal kifejezett

Fik = dA*_dA>8xí 8xk

alakját, azt kapjuk, hogy

82A h 82A l8 x { 8 x k 8 x k 8 x k

0. (46,8)

1 A hullámegyenletet néha a DA = 0 alakban írják, ahol

_____ c^__ _ 1 6 2

^ dxi dxi A c2 dt2az ún. D'Alembert-operátor.10*

148 VI. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

Kössük ki a

£ - 0

mellékfeltételt (ezt Lorentz-feltételnek, az ezt kielégítő potenciálokat Lorentz-mérték- ben megadott potenciáloknak hívjuk). Ekkor a (46,8) egyenlet első tagja eltűnik, és a következő m arad:

82A * „ 82A l .= S -*rrw-i = Q- (46,10)8xk dxk dxk dx1

Ez a négydimenziós alakban felírt hullámegyenlet.2

A (46,9) feltétel háromdimenziós alakban a következő:

— $ ^ + d i v A = 0 . (46,11)C öt

Ez általánosabb, mint az előbb használt cp = 0, div A = 0 feltételek; ez utóbbiakat kielégítő potenciálok természetesen (46,ll)-et is kielégítik. A Lorentz-feltétel azonban relativisztikusan invariáns: ha a potenciálok teljesítik ezt egy vonatkoztatási rendszerben, akkor teljesítik minden más rendszerben is. [A (46,3) és (46,6) feltételek a vonatkoztatási rendszer transzformációja során általában sérülnek.]

47. §. Síkhullámok

Vizsgáljuk az elektromágneses hullámoknak azt a speciális esetét, amikor a mező csak az egyik, mondjuk az x koordinátától (és az időtől) függ. A téregyenletek ekkor

f - S -alakúak, ahol/ az E vagy H vektorok tetszőleges összetevőjét jelenti.

A megoldáshoz írjuk az egyenletet a

8 8 \ / 8 .(s -4 ) (s+ 4 ) / -

2 Meg kell jegyeznünk, hogy a (46,9) feltétel nem határozza meg teljesen egyértelműen a poten-1 d fciálokat. Nevezetesen A-hoz grad/ hozzáadható, ®-ből egyidejűleg------- levonható, az / függvényc dt

azonban nem tetszőleges; mint arról könnyen meggyőződhetünk, ki kell elégítenie a □ / = 0 hullámegyenletet.

alakba, és vezessük be a

új változókat. Ezekkel

es

47. §. SÍKHULLÁMOK 149

f. x xI = / -----, rj = H—c c

(?? + £), * = y 0 ?-£ ),

ö _ 1 / ö Ö \ 0 __ 1 / 0 0 \2 C 0xj5 cfy 2 y0/~*"C 0xj’

Az /-re vonatkozó egyenlet:

gyo.

S | dr]

Nyilvánvaló, hogy ennek megoldása

/ = / l ( ö + / 2fo)

alakú, ahol f i és / 2 tetszőleges függvények. így

f=fi(t~^)+f2(t+í)- (47’2)

Legyen pé.dául / , = 0, t e h i , / = / , ( , - f ) . E megoldás je tó é s e , következő:

minden x = const síkban a mező időben változik, adott időpillanatban különböző x-ekre különböző. Nyilvánvaló, hogy a térerősség ugyanazt az értéket veszi fel azokra

xaz x 91 értékpárokra, amelyekre fennáll, hogy t —— = const, azaz

c

x = const+ct.

Ez a következőt jelenti: ha valamilyen t = 0 időpontban a tér valamely x pontjában a térerősség meghatározott értéket vett fel, akkor ugyanezt az értéket veszi fel t idő múlva a kezdeti ponttól ct távolságnyira az x tengely mentén. Azt mondhatjuk, hogy az elektromágneses tér az x tengely mentén a fénysebességgel megegyező sebességgel terjed.

így tehát f i { t — — j a pozitív x tengely irányában haladó síkhullámot ír le. Nyilván

való, hogy / 2 ^ - f — j jelentése az ellentétes irányban haladó síkhullám.

A 46. §-ban megmutattuk, hogy az elektromágneses hullám potenciáljai megválaszthatok úgy, hogy cp = 0 és div A = 0 teljesüljön. Válasszuk meg így a most vizsgált síkhullám potenciáljait. A div A = 0 feltétel a

¥ * = °d x

egyenlettel egyenértékű, mivel egyetlen mennyiség sem függ y-tó\ és z-től. (47,1) szerint d2A J d t 2 = 0, azaz d A Jd t = const. A dA/dt differenciálhányados azonban meghatározza az elektromos teret; látjuk, hogy zérustól különböző Ax a vizsgált esetben állandó longitudinális elektromos teret jelentene. Mivel ilyen térnek az elektromágneses hullámhoz nincs köze, ezért A x = 0 írható.

A síkhullám vektorpotenciálja tehát mindig megválasztható úgy, hogy merőleges legyen az x tengelyre, azaz a hullám terjedési irányára.

Tekintsük a pozitív x tengely irányába haladó síkhullámot; ennél minden mennyi- x

ség, így A is, csak t ----- függvénye. Ezért azc

_ 1 SA .E = ------- — , H = rőt A

c d t ’

képletekből

E = ——A', H = v X A = v í í ——'l XA' = —— nX A ', (47,3)C \ C J c

Xahol a vessző a t -----szerinti differenciálást jelenti, n pedig a hullám terjedési irányába

cmutató egységvektor. Az első egyenlőséget a másodikba helyettesítve, kapjuk, hogy

H = nXE. (47,4)

Látjuk, hogy a síkhullám elektromos és mágneses térerősség, E és H, a hullám terjedési irányára merőleges. Ennek alapján az elektromágneses hullámokat transzverzálisnak nevezik. (47,4)-ből látható, hogy a síkhullám elektromos és mágneses térerőssége merőleges egymásra, abszolút értékeik megegyeznek.

A síkhullám energiaárama:

S = 5 Í E X H = S Í EX<" X E >-

Az energiaáram tehát a hullám terjedési irányába mutat. Mivel W = ~ ( P + H 2) =8 71

E 2= , a hullám energiasűrűsége:

4n

S = cW n, (47,5)

egyezésben azzal a ténnyel, hogy az elektromágneses hullám fénysebességgel terjed.Az elektromágneses tér egységnyi térfogatának impulzusa S[c2. A síkhullámban ez

(W jc)n. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az elektromágneses hullám W energiája és W jc impulzusa között ugyanaz az összefüggés áll fenn, mint a fénysebességgel mozgó részecskénél (lásd a (9,9) egyenletet].

Az erőtér impulzusáramát a Maxwell-féle (33,3) feszültségtenzor adja meg. A hullám terjedési irányának a fentiekhez hasonlóan az x tengelyt választva, azt találjuk, hogy aap egyetlen, zérustól különböző komponense

a xx = W. (47,6)

Amint az várható, az impulzusáram iránya a hullám terjedési iránya, nagysága az energiasűrűség nagysága.

Meghatározzuk az elektromágneses síkhullám energiasűrűségének transzformációs törvényét egyik inerciarendszerről a másikra való áttérés esetén. Ehhez a


W

képletbe [lásd a 6 .§ 1 . feladatát]

S'x = cW ’ cos a ', a'xx = W' cos2 a '

helyettesítendő, ahol oc' az x' tengely (ebbe az irányba mutat a V sebességvektor) és a hullám terjedési iránya által bezárt szög (a K f rendszerben). Az eredmény a következő :

v A 21 1 H---- cos ac j

= ---------y r - * - . (47,7)1 — r

cl

Mivel W = E 2/4ti = H 2j4n , a térerősség nagysága úgy transzformálódik, mint Y w

Feladatok

1. Határozzuk meg egy elektromágneses hullámot visszaverő síklemezre ható erőt (a visszaverő- dési együttható R).

Megoldás. A lemez egységnyi felületére ható f erőt a felületen átfolyó impulzusáram adja meg, f komponensei tehát

/a — O'a/S g + O'^A^,

ahol N a felületnormális vektora, o a/5 és a^ pedig a beeső és visszaverődő hullám feszültségtenzorá- nak komponensei. (47,6) figyelembevételével azt kapjuk, hogy

f = í^h(Nn)+ J 'n^Nn').

A visszaverődési együttható definíciója szerint W ' = RW. Bevezetve a 6 beesési szöget (amely a visszaverődési szöggel egyenlő), az erő normális komponense (fénynyomás):

f N = W(\ + R) cos2 6,a tangenciális komponens:

f t = W (\-R ) sin 6 cos 6.

2. Határozzuk meg a töltés mozgását elektromágneses síkhullám terében a Hamilton—Jacobi- módszer segítségével.

Megoldás. A Hamilton—Jacobi egyenlet négydimenziós alakja:

(°l+±- AÁ (11 ■ 6g i _I---\ ox% c

Mivel síkhullám teréről van szó, A 1 egyetlen független változó függvénye, mely f = kpé alakban írható, ahol k,1 állandó négyesvektor, négyzete kjc% = 0 (vö. a következő paragrafussal). A potenciálokra a Lorentz-feltételt rójuk ki:

dA< dA* .

a hullám változó terére ez az A*kt = 0 egyenlettel egyenértékű.Keressük az (1) egyenlet megoldását az

5 = -fixt + Ftf)

alakban, ahol /* = (/° , f ) az f j 1 = m2c2 feltételt kielégítő állandó vektor (S = a Hamilton— Jacobi-egyenlet megoldása p l = f négyesimpulzusú szabad részecskére). Ezt (l)-be helyettesítve, az

e2 dF leÍ - A ‘A‘- 2 y j f - f fiA‘ = 0

egyenletre jutunk, ahol y — k J 1 állandó. Innen meghatározhatjuk F-et, amivel

S = — f ix i — — cy j / iA i dÍ+ 2^c„ j AiA'dS.

Áttérünk háromdimenziós jelölésre; a hullám terjedési irányát választjuk x tengelynek. Ekkor £ = ct—x, az állandó pedig y — f 0- / 1 + f. A kétdimenziósf y, f z vektort x-val jelölve, az /,/*’ = = (/°)2— ( f 1)2 — * 2 = m~c2 feltételből azt kapjuk, hogy

' fo + P =

Válasszunk a potenciálokra olyan mértéket, amelyben (p = 0, A(|) pedig az yz síkban fekszik. A (2) kifejezés alakja ekkor a következő:

V / m2c2 + x2 . e f . e2 f . _S = ^ - f + — J x A d s - ^ J A-</{.

A mozgás meghatározására vonatkozó általános szabályok szerint (lásd az I. kötet 47. §-át) dS dS

a — } — differenciálhányadosokat valamilyen új állandókkal kell egyenlővé tennünk, ezeket a dy

kezdő koordináta és a kezdeti időpont megfelelő megválasztásával zérussá tehetjük. így kapjuk a következő paraméteres képleteket (paraméter a S mennyiség):

= — f A „ d l z = — y j - — f Az dí,y y cy J y cy J

- i « . (+-e

A P = pH---- A általános impulzust és az S energiát a hatásnak a koordináták és az idő szerintc

végzett differenciálásával kapjuk:

e . e . y , m2c2 + x2 e . e2P » -y -y- — Ay, Pz — A„ px - + ^ 7 7 x A + 2ycr ’

<5 = (yH-íV>c ■

Ha e mennyiségeket idő szerint átlagoljuk, akkor az A(£) periodikus függvényt első hatványon tartalmazó tagok eltűnnek. Válasszuk a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy benne a részecske átlagban nyugalomban legyen, azaz átlagos impulzusa nulla legyen. Ekkor

x — 0, y2 — m2c2 + e2A2.

A mozgást meghatározó végső képletek:

- - - 3 ? J W - V M Í .2 y2c2

Z=- ^ S A‘dÍ' c/ = í+2^-J(A2-^2)ű,|;Px = lyc* (A2_^ 2)’ ^ = ~ T AV’ = - ~ A‘’

£ = ^ + ^ (A2- A2>-

(3)

(4)

154 VI, ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

48. §. Monokromatikus síkhullám

Az elektromágneses hullámok egyik fontos speciális esete az, amikor a térerősség az idő egyszerű periodikus függvénye. Az ilyen hullámot monokromatikusnak hívjuk. A monokromatikus hullámban minden mennyiség (potenciálok, térkomponensek) időfüggését egy cos(&>/+a) tényező írja le, ahol co a hullám körfrekvenciája (vagy egyszerűen frekvenciája).

A terek hullámegyenletében szereplő idő szerint képzett második differenciálhányados most d2f /d t2 = —co2f ‘ így a monokromatikus hullám térbeli eloszlását a

A /4- f = 0. (48,1)

egyenlet határozza meg.x

Síkhullámban (amely az x tengely mentén terjed) a térerősség csak t ----- függvé-c

xnye. Ha tehát a síkhullám monokromatikus, benne a térerősség t — — egyszerű perio-

cdikus függvénye. Az ilyen hullám vektorpotenciálját célszerű egy komplex kifejezés valós részeként felírni:

A = Re {Aoé?-f£ü<'-*/c>}. (48,2)

Itt A 0 valamilyen komplex állandó vektor. Nyilvánvaló, hogy ugyanilyen alakúak az E és H térerősségek is azonos co frekvenciával. A

A = (48,3)Cü

mennyiséget hullámhossznak nevezzük; ez a tér x tengely menti változásának periódusa adott t időpontban.

A

k = Y n (48,4)

vektor neve hullámvektor. Ezzel (48,2) az

A = Re { A o ^ -* ^ } (48,5)

alakban írható. E kifejezés független a koordinátatengelyek megválasztásától. A kitevőben az i mellett álló tényezőt a hullám fázisának szokás nevezni.

Mindaddig, amíg a mennyiségeket csak lineáris operációknak vetjük alá, nem kell kiírnunk a valós rész jelölését, dolgozhatunk magukkal a komplex mennyiségekkel.3

így (47,3)-ba az

A = A0 (kr~CÜÍ)

kifejezést helyettesítve, kapjuk a monokromatikus síkhullám vektorpotenciálja és a térerősségek között fennálló

E = ikA , H = zkXA (48,6)

összefüggéseket.A továbbiakban részletesen vizsgáljuk a monokromatikus hullám terének irányát.

Konkrétan az

E = Re {E0eí(kr~co0}

térerősségről beszélünk (az alábbiak természetesen éppen így vonatkoznak a mágneses térre is). E0 valamilyen komplex vektor. Négyzete, E2 általában valamilyen komplex szám. Ha e szám argumentuma — 2a (azaz Eq = | E§| e~2l% akkor az

E 0 = be~iOL

egyenlőséggel definiált b vektor négyzete, b2 = |E 0 | 2 valós. E definícióval

E = R e{ b ^kr~íü/- a>}. (48,8)

írjuk b-t ab = bi + /b2

alakban, ahol bt és b2 két valós vektor. Mivel b2 = b2—^ + 2 ^ ^ szükségszerűen valós mennyiség, ezért bib2 = 0 , azaz a bi és b2 vektorok merőlegesek egymásra.

3 Ha valamilyen két mennyiséget komplex alakban írunk:

A(/) = A 0e~iwt, B(0 = B0e~if 1,

akkor szorzatuk képzésekor természetesen előre le kell választanunk a valós részeket. Ha azonban, amint ez gyakran előfordul, csak a szorzat (időbeli) átlagértékére vagyunk kíváncsiak, akkor ez úgy számítható, mint

j Re {AB*}.Valóban

Re A Re B = ^ (A0e { ' + A J ^ ) (B0e"<w,+ B ;e<<üí) .

Az e±2,cot szorzótényezőt tartalmazó tagok az átlagolás során eltűnnek, így

Re A Re B = -i- (AB* +A*B) = ~ Re (AB*).

48. §. MONOKROMATIKUS SÍKHULLÁM 155


Mutasson az y tengely b i irányába (az a; tengely a hullám terjedési iránya). Ekkor(48.8)-ból

Ey = Z?iCOS (cot —k r+ a ), Ez = ± b 2 sin (cot —k r+ a ), (48,9)

az előjel + vagy — aszerint, hogy a b2 vektor a pozitív vagy negatív z tengely irányába mutat. (48,9)-ből következik, hogy

f 4 - ■-

Látjuk tehát, hogy az elektromos térerősség vektora a tér minden pontjában a hullám terjedési irányára merőleges síkban forog, végpontja a (48,10) ellipszist írja le. Az ilyen hullámot elliptikusán polározottnak hívjuk. A forgás egy x tengelyű csavarmenettel egyező vagy azzal ellentétes irányban megy végbe, aszerint, hogy(48.9)-ben + vagy — előjel szerepel.

Ha bx — 6 2 , akkor a (48,10) ellipszis körbe megy át, azaz az E vektor nagysága a forgás közben nem változik. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a hullám cirkulárisán polározott. Az y és z tengelyt nyilván tetszőlegesen választhatjuk. Megjegyezzük, hogy az ilyen hullámban az Eo komplex amplitúdó y é sz komponensének hányadosa;

(48,11)JZQy

annak megfelelően, hogy a forgás iránya a csavarmenet irányával egyező vagy ellentétes (jobbra és balra polarizált hullám ) . 4

Végül, ha b\ vagy b2 zérus, akkor a hullám tere mindig és mindenhol párhuzamos (vagy ellentétes) egy adott iránnyal. A hullámot ebben az esetben lineárisan polarizált- nak vagy síkban polarizáltnak nevezik. Az elliptikusán polározott hullám nyilvánvalóan két lineárisan polározott hullám szuperpozíciójának tekinthető.

Visszatérünk a hullám vektor meghatározásához, és bevezetjük a négydimenziós hullámvektort a következő komponensekkel:

* ' = ( 7 . k )- (48,12)

Hogy ezek a mennyiségek valóban négyesvektort alkotnak, az már abból is nyilvánvaló, hogy az négyesvektorral szorozva skalár adódik. Ez a hullám fázisa:

k tx 1 — cot—kr. (48,13)

A (48,4) és (48,12) definíciókból látható, hogy a négyes hullámvektor négyzete zérus:

k% = 0. (48,14)

4 Magától értetődően az *, y, z tengelyek, mint mindig, jobbsodrású rendszert alkotnak.

Ez az összefüggés közvetlenül adódik abból is, hogy az

A = A0exp ( —iktX1)

kifejezésnek ki kell elégítenie a (46,10) hullámegyenletet.M int minden síkhullámnál, az x tengely mentén terjedő monokromatikus sík

hullámnál is az energia-impulzus-tenzornak csak a következő komponensei különböznek nullától (lásd a 47. §-t):

7-00 _ 7 01 _ j’ii _ \y

Ezek az egyenlőségek a négyes hullámvektor segítségével tenzoralakban írhatók:

Wc2T ik = — k ik k. (48,15)CO

Végül a négyes hullámvektor transzformációs törvényének felhasználásával köny- nyen levezethető a Doppler-jelenség: a megfigyelőhöz képest mozgó forrás által kibocsátott hullám co frekvenciája megváltozik ugyanennek a forrásnak K 0 nyugalmi rendszerében mért co0 „sajátfrekvenciájához” képest.

Legyen V a forrás (azaz a K q vonatkoztatási rendszer) sebessége KAíoz képest. A négyesvektorok általános transzformációs szabályai szerint

VkP — k 1

k (0)0 = c ,

Beírva ide a k° = o jc, k ' = k cos <x = — cos a kifejezéseket (a a hullám kibocsátásáig

nak iránya és a forrás sebességének szöge a K rendszerben), co-1 co0-val kifejezve azt kapjuk, hogy

48. §. MONOKROMATIKUS SÍKHULLÁM 157

co = coo-----y ---------. (48,16)1 -----cos a

c

Ez a keresett képlet. V c esetén, ha a nincs túl közel jr/2-höz,

co ~ a)0^l -h-~ cos a j . (48,17)

Ha a = jr/2, akkor

( 4 8 ’i 8 )

ebben az esetben a frekvencia relatív megváltozása F /c négyzetével arányos.

F 2

Feladatok

1. Határozzuk meg a polarizációs ellipszis tengelyeinek hosszát az E0 komplex amplitúdó segítségével.

Megoldás. A feladat a valós négyzetű b = bj+zbg vektor meghatározása. (48,7)-ből

E0EJ = b\ + b \, E0 X EJ = — 2/bi X b2, (1)vagy

b\ +b\ = A 2 + B2, b1b2 = AB sin ő,ahol az

I Em | = A, | Et,\ = B, =

jelöléseket vezettük be E0y és Eoz abszolút értékére és a közöttük levő (ő) fáziskülönbségre. Ebből

bh 2 = Ya 2 + B2 + 2AB sin ö ± Í A 2+ B2-2 A B sin (5, (2)

amivel a polarizációs ellipszis féltengelyeinek hosszát meghatároztuk.Irányuk meghatározásához (tetszőleges y, z tengelyek mellett) a

Re{(E0b1)(E?b2)} = 0

egyenlőségből indulunk ki, melynek helyességéről E0 = (b1 + zb2)e-<a behelyettesítésével könnyen meggyőződhetünk. Az egyenlőséget y, z koordinátákkal kifejezve, a b2 vektor és az y tengely által bezárt 0 szögre a

(3)

összefüggést kapjuk.A térerősség forgásirányát a (b1X b2) vektor * komponensének előjele határozza meg. (l)-ből

2/dhXb,), = E ^ E S .-E t.E ^ , = I Em |2 { ( § '" ') - (-§7 )*} •

Innen látható, hogy a (bxx b 2) vektor irányát (azt, hogy pozitív vagy negatív x tengely irányába mutat-e) és így a forgás előjelét (azt, hogy az x tengelyű csavarvonallal egyező vagy ellenkező) az E j E 0y hányados képzetes részének előjele szabja meg (amely + az első, — a második esetben). Ez a cirkuláris polarizációra vonatkozó (48,11) szabály általánosítása.

2. Határozzuk meg töltés mozgását lineárisan polarizált monokromatikus síkhullám terében.

Megoldás. Mutasson az y tengely az E térerősség irányába, ekkor

cEEu = E = £n cos A v = A = ------ - sin co£* » y Oj

A 47. § 2. feladatának (3)—(4) képletei szerint (abban a vonatkoztatási rendszerben,

49. §. SPEKTRÁL1S FELBONTÁS 159

amelyben a részecske átlagban nyugalomban van) a mozgást a következő paraméteres előállításban (a paraméter rj = co|) adhatjuk meg:

e2E 2c . eE0c x = sin 2^, 7 = --------«- cos w, z = 0 ;

r] e2E% . 0 „/ = --------- 2 3 sin 2r/, y2 = + ~ ;w 2 or

e2is2 eis^ = “ 4 ^ cos 2??’ Py = ~7J° sin ^ ^ = °*

A töltés az xy síkban mozog szimmetrikus 8-as alakú görbén, melynek hossztengelye az y tengely. A mozgás egy periódusának az rj paraméter O-tól 2jz-ig való változása felel meg.

3. Határozzuk meg töltés mozgását cirkulárisán polarizált hullám terében.

Megoldás. A hullámban a térerősség és a potenciál a következő:Ey = Eq cos <x>|, Ez = Eq sin cü|,

^ sin to|, cos cu£.y oj coA mozgást leíró képletek:

„ ecJEn ecE0x = (), v = -------cosw/, z = T- sm w/,yar yordE cE

Px = 0. py = sm 0}t-> Pt = — ~ 0- cos 0JT>

r2F2o I C ^ 0y2 = ra2c~H----- 5— .O)

A töltés tehát ecEJyco2 állandó sugarú körpályán mozog az yz síkban, impulzusának nagysága, p = eE0/co állandó; az impulzus iránya minden időpontban megegyezik a hullám mágneses terének irányával.

49. §. Spektrális felbontás

Minden hullámra el lehet végezni a spektrális felbontást, azaz bármely hullám előállítható különböző frekvenciájú monokromatikus hullámok szuperpozíciójaként. A felbontás jellegét a térerősség időfüggése határozza meg.

Az egyik csoportba tartozó esetekben a felbontás egy diszkrét frekvenciasorozatot tartalmaz. A legegyszerűbb ilyen sorozat a tiszta periodikus (ha nem is m onokromatikus) térerősség felbontásában fordul elő. Ez a szokásos Fourier-sorba fejtés;

2 na benne szereplő frekvenciák az a)0 = — „alapfrekvencia” egész számú többszörösei,

ahol T a térerősség periódusa. A felbontás alakja.

/ = Z f„ e - ia°ntn = — 00

(49,1)

( / valamelyik térmennyiség). Az f n mennyiségek az / függvénnyel az

T I 2

f n = ]f j dt (49,2)- T I 2

integrálok formájában fejezhetők ki. Mivel a z /( í) függvény valós, ezért nyilvánvaló, hogy

/-» = /«• (49,3)

Bonyolultabb esetekben a felbontásban olyan frekvenciák is megjelenhetnek, amelyek különböző, egymással nem összemérhető alapfrekvenciák egész számú többszörösei (és azok összegei).

A (49,1) összeg négyzetének időátlagában a különböző frekvenciájú tagok szorzatai a bennük levő oszcilláló tényező miatt eltűnnek, csak a z / w/ _ w = | / J 2 típusú tagok maradnak meg. így a térerősség négyzetének átlagértéke (a hullám átlagos intenzitása) úgy írható, mint a monokromatikus összetevők intenzitásainak összege:

f 2 = t l/»l2= 2 E !/„;2. (49,4)n — — oo n — 1

(Magától értetődően az / (í) függvény egy periódusra vett átlagértéke nulla, így /o =

=7=o.)A másik csoportba azok a hullámok tartoznak, amelyek különböző frekvenciák

folytonos sorozatát tartalmazó Fourier-integrálként állíthatók elő. Ehhez az f ( t ) függvénynek meghatározott feltételeket kell kielégítenie; általában olyan függvényekről van szó, amelyek t = ± o© esetén eltűnnek. Az ilyen felbontás

m = j

alakú, a Fourier-komponensek az f ( t ) függvénnyel az

= J dt.— OO

integrálok formájában fejezhetők ki. (49,3)-hoz hasonlóan

/ - , = / ; . (49,7)

A Fourier-komponensek intenzitásaival kifejezzük a hullám teljes intenzitását, azaz


(49,5)

(49,6)

a z / 2 függvénynek a teljes időtartam ra vett integrálját. (49,5) és (49,6) segítségével:

50. §. RÉSZLEGESEN POLARIZÁLT FÉNY 161

oo ©o

\ pd,= í f r = J f - \ fJ-dco 2n ’

vagy (49,7) figyelembevételével:

o

p d t =J /2*= J i i2ír = 2J 2 tz(49,8)

50. §. Részlegesen polarizált fény

A definíció szerint minden monokromatikus hullám feltétlenül polarizált. Á ltalában azonban csak majdnem monokromatikus hullámok fordulnak elő, ezek valamilyen kis A cú tartományon belüli frekvenciákat tartalmaznak. Ilyen hullámot vizsgálunk; co legyen ennek valamilyen átlagos frekvenciája. A hullám terét (konkrétan az elektromos térről lesz szó) egy adott pontban az

E = E0(t)e~iwt

alakban írhatjuk, ahol az E o( 0 komplex amplitúdó az időnek valamilyen lassan változó függvénye (szigorúan monokromatikus hullámnál Eo — const lenne). Mivel Eo meghatározza a hullám polarizációját, az előző állítás azt jelenti, hogy a polarizáció a hullám minden pontjában időtől függően változik; az ilyen hullámot részle- gesen polarizáltnak nevezzük.

Az elektromágneses hullámok, speciálisan a fény polarizációs tulajdonságait kísérletileg úgy tanulmányozzák, hogy a fényt különböző testeken (például NicoJ- prizmán) bocsátják keresztül, és mérik az áthaladó fény intenzitását. Matematikailag ez azt jelenti, hogy a fény polarizációs tulajdonságaira nézve a térerősség bizonyos kvadratikus függvényeinek értékeiből vonnak le következtetéseket. Természetesen a függvények időbeli átlagértékeiről van szó.

A térerősség kvadratikus függvényei az EJE^ E*Ep vagy EJEp szorzatokkal arányos tagokból állnak. Az

E aE fi = EoaEope-***, E ^ = E ^ E 0> 2-'

típusú szorzatok a gyorsan oszcilláló e±2laJt tényezőt tartalmazzák, ezek az időátlagolás során eltűnnek. Az EJE^ — E q Eq szorzat ilyen tényezőt nem tartalmaz,11 Elméleti fizika II. — 42 221/II*


ezért átlagértéke nullától különböző'. Látjuk tehát, hogy a részlegesen polarizált fény tulajdonságait teljes mértékben jellemzi a

J*p — EoaEop. (50,1)tenzor.

Mivel az Eo vektor mindig a hullám irányára merőleges síkban fekszik, a J ^ tenzornak négy, nullától különböző komponense van. (Ebben a paragrafusban az a, /? indexek az 1 , 2 értékeket veszik fel az y és z tengelynek megfelelően; az x tengely a hullám terjedési irányába mutat.)

A J ap tenzor főátlóbeli komponenseinek összege valós mennyiség, ez az E 0 vektor (vagy ami ugyanaz, az E vektor) abszolút értéke négyzetének átlaga:

J = J U = EoEo. (50,2)

Ez a mennyiség határozza meg a hullám intenzitását, ami a benne folyó energiaáram sűrűségét méri. Hogy kiküszöböljük ezt a polarizációs tulajdonságokkal egyenes kapcsolatban nem álló mennyiséget, J a/8 helyett a

e * = J~ f (50,3)

tenzort vezetjük be, amelyre £aa = 1 ; ezt nevezzük polarizációs tenzornak.Az (50,1) definícióból látható, hogy a J a/5 és ezzel együtt a q ^ tenzor komponensei

között fennáll a= Qp a (50,4)

összefüggés (azt mondjuk, hogy a tenzor hermitikus). Ennek megfelelően a qu és q22 diagonális komponensek valósak (9 n + 9 22 = 1)’ továbbá q21 = g*2- Következésképpen a polarizációs tenzort három valós paraméter jellemzi.

Most megvizsgáljuk, hogy teljesen polarizált fény esetén milyen feltételeket kell kielégítenie a qaj5 polarizációs tenzornak. Ebben az esetben Eo = const, így egyszerűen

J up — J Qot.p — E o x E o p (50,5)

(átlagolás nélkül), azaz a tenzor komponensei valamilyen állandó vektor komponenseinek szorzataként állíthatók elő. Ennek szükséges és elégséges feltétele a | gajS [ determináns eltűnése:

l a/sl = 911^22 — 912^21 = 0. (50,6)

Az ellentétes eset a polarizálatlan vagy természetes fén y . A teljes polarizálatlanság azt jelenti, hogy (az yz síkban) minden irány egyenértékű. Más szóval, a polarizációs


tenzor alakja szükségszerűen a következő:

1 ^2 a ‘ (50,7)

A determináns: |ga/8| = 1/4.Általánosan, tetszőleges polarizációnál a determináns értéke 0 és 1/4 között van . 5 A

(50,8)

összefüggéssel definiált pozitív P mennyiséget a polarizáció fokának nevezzük. Ez a 0 és 1 közötti értékeket vehet fel, polaiizálatlan fényre 0 , polarizáltra 1 .

Tetszőleges q ^ tenzor felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére. Az első rész,

a q hermitikussága következtében valós. Az antiszimmetrikus rész ezzel ellentétben tiszta képzetes. M int minden, a dimenziók számával azonos rendű antiszimmetrikus tenzor, ez is egy pszeudoskalárral adható meg (lásd a 14.§ 8 számú lábjegyzetét):

ahol A valós pszeudoskalár, eaj8 az antiszimmetrikus egységtenzor (komponensei e i2 = —e2i = 1 ). így a polarizációs tenzor alakja a következő:

azaz egy valós szimmetrikus tenzorra és egy pszeudoskalárra vezethető vissza. Cirkulárisán polarizált hullám esetén E 0 = const, és

Könnyen látható, hogy = 0, A = ± 1. Ezzel ellentétben a lineárisan polarizált hullámnál az állandó Eo vektor valósnak választható, így A = 0. Az A mennyi-

5 Arról, hogy tetszőleges (50,1) alakú tenzor determinánsa pozitív, könnyen megg>őződhetünk úgy, hogy az átlagolást különböző, diszkrét értékek sorozatára vett összegezésnek tekintjük, és alkalmazzuk az ismert

Qccf} — 2 * a/3 — ^3a? (50,9)

■Eq2 = ílEÍdi-

algebrai egyenlőtlenséget.

11*


séget általában a cirkuláris polarizáció fokának nevezhetjük; lehetséges értékei + 1

és — 1 közé esnek; e határértékek a cirkulárisán jobbra, ill. balra polarizált hullámnak felelnek meg.

A valós S ap tenzor, mint minden szimmetrikus tenzor, főtengelyre transzformál-

Jelölje a főtengelyek irányába mutató egységvektorokat n(1) és n(2), ekkor S a/3 a következő alakban írható :

A Ai és 12 mennyiségek pozitívak, 0 és 1 közötti értéket vesznek fel.Legyen A = 0, így = S ^ . (50,10) mindkét tagja egy állandó valós vektor

polarizált fénynek felel meg. Látjuk továbbá, hogy (50,10)-ben nincs olyan tag, amely e két hullám komponenseinek szorzatát tartalmazná. Ez azt jelenti, hogy a két rész egymástól fizikailag függetlennek tekinthető, vagy ahogy mondani szokás, inkoherens. Valóban, ha két hullám független egymástól, akkor az szorzat átlagértéke az.egyes tényezők átlagértékeinek szorzata, és minthogy ez utóbbiak zérusok,

Arra az eredményre jutottunk tehát, hogy a vizsgált, esetben (A = 0) a részlegesen polarizált hullám két inkoherens (Ai-gyel, ill. 2 2-vel arányos intenzitású), egymásra merőleges irányban lineárisan polarizált hullám szuperpozíciójaként állítható elő .6

(Általános esetben komplex ga/3 tenzorra megmutatható, hogy a fény két inkoherens elliptikusán polarizált hullám szuperpozíciójaként állítható elő; a polarizációs ellipszisek hasonlóak, és merőlegesek egymásra. Lásd a 2. feladatot.)

Legyen cp az 1 tengely (y tengely) és az n(1) egységvektor által bezárt szög; ekkor

Bevezetve az / = X1 — X2 mennyiséget (legyen Xi > A2), az (50,10) tenzor komponenseit a következő alakba írhatjuk:

így a hullám polarizációs tulajdonságait tetszőleges y, z tengelyek esetén a következő három valós paraméterrel jellemezhetjük: A a cirkuláris polarizáció foka, / a maxi

ható; a két különböző főértéket és A2 jelöli. A főtengelyek merőlegesek egymásra.

(50,10)

vagy }^ 2n(2)) két komponensének szorzata. Más szóval, mindkét tag lineárisan

n^> = (cos cp, sin 99), n(2) = ( — sin 99, cos cp).

(50,11)

6 A determináns | = A ^2. Legyen > A2, ekkor a polarizáció foka (50,8) szerint P = 1 - 2/ 2 Az adott esetben (A = 0) a polarizáció fokának jellemzésére gyakran használják a depolarizciciós együtthatót, amelyet a hányados definiál.

mális lineáris polarizáció foka, cp a maximális polarizáció n(1) iránya és az y tengely által bezárt szög.

Ezek helyett bizonyos esetekben célszerűbb lehet másik három paraméter:

! i = / sin 2 9, | 2 = A, | 3 = Icoslcp (50,12)

(ezeket Stokes-paramétereknek szokták nevezni). A polarizációs tenzor velük kifejezett alakja:

Q«t3

M indhárom paraméter — 1 és + 1 között változik. I 3 az y és z tengelyek menti lineáris polarizációra jellemző: a | 3 = 1 érték az y tengely menti, a I 3 = — 1 a z tengely menti teljes lineáris polarizációnak felel meg. A | i paraméter az y tengellyel 45°-os szöget bezáró egyenes menti lineáris polarizációt jellemzi: a | i = 1 a <p — t z [ 49 a ! i = — 1 a cp = — t t [ 4 irányú teljes polarizációnak felel meg.7

Az (50,13) tenzor determinánsa

(50,14)

(50,8)-cal összehasonlítva, látjuk, hogy

P = J 'S + Ü + Ü , (50,15)

így ha a polarizáció P foka rögzített, adott négyzetösszeggel rendelkező | i , I 2 , 1 3

három mennyiséggel jellemzett különböző polarizációtípusok valósulhatnak meg; a számhármas tagjai adott hosszúságú vektor komponenseiként viselkednek.

Megjegyezzük, hogy a | 2 = 4 és I 3 = / mennyiségek Lorentz-transzformációval szemben invariánsak. Ez már jelentésükből is majdnem nyilvánvaló; egyik a cirkuláris, másik a lineáris polarizáció foka .8

7 A teljes elliptikus polarizációjú hullámra a Stokes-paraméterek értéke a következő (bi és b2> az ellipszis tengelyei):

0, | 2 = ± 2bxb, , | 3 = b\ - b t

8 A pontos bizonyítást az*. 1 kezdjük, hogy mivel a hullámban a térerősség tetszőleges vonatkoztatási rendszerben transzverzális, így előre nyilvánvaló, hogy a £a/5 az új rendszerben is kétdimenziós. A transzformáció során a abszolút értékek négyzeteinek összege nem változik. (Valóban, a transzformációs képlet nem függ a fény konkrét polarizációs tulajdonságaitól, teljesen polarizált hullámra pedig ez az összeg tetszőleges vonatkoztatási rendszerben 1.) Mivel a transzformáció valós, az (50,9) tenzor valós és képzetes része egymástól függetlenül transzformálódik, s így ezekre külön-külön igaz, hogy a komponensek négyzetösszege nem változik. A két négyzetösszeg rendre /-lel és ,4-val fejezhető ki.

Feladatok

1. Tetszőleges részlegesen polarizált fényt bontsunk fel „természetes” és „polarizált” részre.

Megoldás. A felbontás azt jelenti, hogy a J ^ tenzort a

■faP = Y J(°6 + E^Eo$}*

alakban állítjuk elő. Az első tag a fény természetes, a második annak polarizált része. Az intenzitások meghatározásához megjegyezzük, hogy a második tenzor determinánsa zérus:

J a f ) - Y JlOŐ*p | = i ^SSbS T I = 0.

= jQafi-1 az (50,13) alakban írva és az egyenletet megoldva, azt kapjuk, hogy

/co = /(I _p).

A polarizált rész intenzitása J{P) = | EoP)|2 = / - J (t) = JP.A fény polarizált része általában elliptikusán polarizált hullám, az ellipszis tengelyei az •Sae/J

tenzor főtengelyeivel esnek egybe. A tengelyek bx és bz nagysága, a bx tengely és az y tengely által bezárt <p szög a

b\+bl = JP, 2bLb., = J l., tg 2p = -f2-<=3

egyenlőségekből határozható meg.2. Állítsunk elő tetszőleges részlegesen polarizált hullámot két inkoherens elliptikusán polarizált

hullám szuperpozíciójaként.

Megoldás. A hermitikus Qap tenzor „főtengelyeit” az a két n komplex egységvektor (nn* = 1) határozza meg, amely kielégíti a

Q*pnp = *>na (1)egyenletet. A és A2 sajátértékeket a

I Qa.@ I = 0

egyenlet gyökei adják. Szorozzuk meg (1) mindkét oldalát n*-gal:

A = Q*pnZnp = — | .Eoarta |2 ,

amiből látszik, hogy A1? ^ valósak és pozitívak. A

(1) « (1) * (2)* « *

egyenletek közül az elsőt /42)*-gal, a másodikat /2l>-gyel szorozva és a kettőt egymásból kivonva, a É>aj8 tenzor hermitikus voltát felhasználva, azt kapjuk, hogy

* = o.

Ebből következik, hogy n(1)n(2)* = 0, azaz az n(1) és n(2) egységvektorok merőlegesek egymásra.

51. §. AZ ELEKTROSZTATIKUS TÉR FELBONTÁSA 167

A keresett felbontás:« (1) (1)* « (2) (2)*Qtxfi = -Ma np +Á2ria np .

A komplex amplitúdó mindig megválasztható úgy, hogy a két merőleges összetevő közül az egyik valós, a másik képzetes legyen (vö. a 48. §-sal). Az

n(i = bl9 ráp = ib2

választással (ahol most ^-re és Z?2-re a b\ + bl = 1 normálási feltétel érvényes) az n(1)n(2)* = 0 egyenletből azt kapjuk, hogy

rí^ = ib2, n f} = bx.

Látható, hogy az elliptikusán polarizált rezgések ellipszisei hasonlóak (a tengelyek aránya azonos), és egymásra merőlegesek.

3. Határozzuk meg a Stokes-paraméterek transzformációs szabályát az y, z tengelyek cp szöggel való elforgatása során.

Megoldás. A keresett szabályokat a Stokes-paraméterek és az yz síkbeli kétdimenziós tenzor komponensei között fennálló összefüggések határozzák meg. Az eredmény a következő:

cos 2cp - i 3 sin 2<p, i'3 = i 1 sin 2<p+13 cos 2<p, | 2 = £2-

51. §. Az elektrosztatikus tér felbontása

A töltések által létrehozott erőtér (mező) formálisan szintén kifejthető síkhullámok szerint (Fourier-integrálként). Ez a kifejtés azonban lényegesen különbözik a vákuumbeli elektromágneses hullámok kifejtésétől. A töltések tere nem elégít ki homogén hullámegyenletet, és így ennek a kifejtés egyik tagja sem tesz eleget. Ebből az következik, hogy egy töltés terének kifejtésében szereplő síkhullámokra nem áll fenn a

co2k 2 — -T- összefüggés, ez csak monokromatikus elektromágneses síkhullámokra

<rteljesül.

Ha az elektrosztatikus teret formálisan síkhullámok szuperpozíciójaként állítjuk elő, akkor e hullámok frekvenciája zérus lesz, mivel a vizsgált erőtér az időtől független; a hullámvektorok természetesen nullától különbözőek.

Vizsgáljuk a kezdőpontban levő e ponttöltés által létrehozott teret. A tér cp potenciálját a

A99 = — 47teö(r) (51,1)

egyenlet határozza meg (lásd a 36.§-t).

Állítsuk elő cp-1 térbeli Fourier-integrálként, azaz a következő alakban:


-1- oo

C d3kcp = eikrrpk , (Pk = dkx dky dkz. (51,2)

Itt<Pk = J <p(r)e~ikT dV.

Alkalmazzuk (51,2) mindkét oldalára a Laplace-operátort:

+ 00f , dsk

A < p = - j k ^ c p k — ,

így a A cp kifejezés Fourier-együtthatója

(A<p)k = - k 2(pk.

(A<p)k másrészt úgy is meghatározható, hogy az (51,1) egyenlet mindkét oldalának megfelelő Fourier-komponensét vesszük:

(A<p)k = — J 47zed(r)e~ikT dV = —4ne.

Összehasonlítva a két kifejezést, a következőre ju tunk :

< P *= -jT- (51,3)

Ez a képlet adja a feladat megoldását.A cp potenciálhoz hasonlóan kifejthető az E térerősség is :

d3kE = J <51,4)

(51,2) segítségével írhatjuk, hogy

E = —grad J •

Ezt (51,4)-gyel összevetve, azt kapjuk, hogy_ Azték _vEk = -ik<pk = - 1 . (51,5)

Innen látható, hogy a Coulomb-tér kifejtésében szereplő „hullámok” térerőssége a hullámvektor irányába mutat. Ezért e hullámokat longitudinálisnak nevezhetjük.

52. §. Az elektromágneses tér sajátrezgései

52. §. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR SAJÁTREZGÉSEI 169

Vizsgáljuk a tér valamely véges térfogatában a szabad (töltésmentes) elektromágneses teret. A további számítások egyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy a kiválasztott térfogat hasáb, melynek oldalai: A ,B ,C . Ekkor a hasábban levő tér minden jellemző mennyiségét hármas Fourier-sorba fejthetjük (a három koordináta szerint). írjuk ezt a kifejtést (pl. a vektorpotenciáira) a következő alakba:

A = £ Ake'kr. (52,1)k

A k vektor lehetséges értékeire összegezünk; k komponensei, mint ismeretes, a következő értékeket vehetik fel:

k , _ 2 n n y _ 2 n n zx ~ 9 B 9 — C *

ahol nx., ny, nz pozitív és negatív egész számok.Minthogy az A vektorpotenciái valós, az (52,1) sorfejtésben szereplő együtthatók

között fennáll az A_k = Ak összefüggés. A div A — 0 egyenletből következik, hogy minden k-ra

kAk = 0, (52,3)

vagyis az Ak komplex vektor merőleges a megfelelő hullámvektorra. Az Ak vektorok természetesen időfüggőek, az

Ak+ c2k2 Ak = 0 (52,4)

egyenletet elégítik ki.Ha a kiválasztott térfogat A , B , C méretei elég nagyok, akkor a szomszédos kx, ky9 k z

értékek (melyekre nx, ny, nz 1-gyel különbözik) igen közel vannak egymáshoz. Beszélhetünk a lehetséges k x, ky9 k z értékek számáról a nem nagy A kx, A ky, A kz intervallumokban.

Mivel, mondjuk, k x szomszédos értékei 1-gyel különböző nx értékeknek felelnek meg, ezért a A kx intervallumban levő lehetséges k x értékek Anx száma egyszerűen az nx értékek megfelelő intervallumának nagyságával egyenlő. így


A Akx, Aky, A kz intervallumokba eső komponensekkel rendelkező k vektorok lehetséges An számát a Anx Any Anz szorzat adja, azaz

V== Akz, (52,5)(2 n f

ahol V = a térfogat.Most már könnyen meghatározhatjuk a Zl& intervallumba eső nagyságú, a Zlí?

térszögelembe mutató hullámvektorok lehetséges értékeinek a számát. Ehhez csak „A:-térbeli” gömbkoordinátákra kell áttérnünk, és Akx Aky A kz helyett ez új koordinátákban kell felírnunk a térfogatelemet. így

An = k 2 zJAr J f í . (52,6)

Végül a tetszőleges irányú, ZlA: intervallumba eső abszolút értékű k vektorok lehetséges értékeinek száma (AQ helyett egyszerűen 4?r-t írva):

A n = ^ r k * A k .A T I1

Számítsuk ki a vizsgált tér

& = ~ L \ {E2+H2)d V

teljes energiáját a V térfogatban az Ak mennyiségek segítségével. Az elektromos és mágneses térerősség:

E = - Í Á = - l £ Á k * t oC C k

H = rőt A = i £ k X Ake'kr.

Az összegek négyzetreemelésénél szem előtt kell tartanunk, hogy a k ^ - k ' tagok szorzatai a térfogatra való integrálás során zérust adnak. Valóban, az ilyen tagok egy £i{k+k')r tl'p US£ szorzótényezőt tartalmaznak, és például az

A. 2 ni — n ,x

A

integrál nullától különböző egész nx re nulla. Azok a tagok pedig, amelyekben k' = — k miatt az exponenciális tényezők eltűnnek, a dV szerinti integrálással egyszerűen a V térfogatot adják.

Eredményünk tehát a következő:

& = í ? A kA í + ( k X A k) ( k X A £ ) J .

(52,3) szerint

( k X A fc) ( k x A * ) = k 2A fcA£,

és így végül

& = 8 ^ ? { A k U +Fc2AkA^- (52,S)

Ennek az összegnek minden egyes tagja megfelel az (52,1) sorfejtés egy tagjának.Az (52,4) egyenlet értelmében az Ak vektorok az idő harmonikus függvényei a

hullámvektor abszolút értékeitől függő cok = ck frekvenciával. E függvények választásától függően az (52,1) sorfejtés egyes tagjai álló vagy haladó síkhullámok lehetnek, írjuk a tér sorfejtését olyan alakba, hogy egyes tagjai haladó síkhullámok legyenek. A sort így alakítjuk á t :

A = £ (a^ ikr+ aie~ikr). (52,9)

Ebből az alakból azonnal látható, hogy A valós. Az egyes ak vektorok időfüggése

ak ~ e~iüik\ cok = ck. (52,10)

Ezért az (52,9) sor egyes tagjai csak a k r—cokt különbségtől függnek, ami a k irányba terjedő hullámnak felel meg.

Az (52,9) és (52,1) sorfejtéseket összevetve, azt kapjuk, hogy az együtthatók kapcsolata:

Ak = ak+a_k,

az időderiváltakra pedig (52,10) szerint

Ak = - ic k ( ak—aí)

teljesül.Ezt (52,8)-ba helyettesítve, kifejezhetjük a tér energiáját az (52,9) sorfejtési együtt

hatók segítségével. Az aka_k és aka* k tagok kiejtik egymást. A £ akak és £ a_ka!_k összegek csak az összegezési index jelölésében különböznek, ezért egymással egyenlők. Végül is kapjuk, hogy

k 2V<5=£<5k, 4 = 2 ~ a k a í . (52,11)

A hullámmező teljes energiája tehát az egyes síkhullámok energiáinak összege.

Hasonlóan számíthatjuk ki a hullámmező teljes

=^fJexh^

impulzusát; az eredmény a következő:

? Í 7 ' <52’12>

Ez az eredmény a síkhullámok energiája és impulzusa között ismert összefüggés a 47. § alapján előre várható volt.

Az (52,9) kifejtés változók diszkrét sorozatával (ak vektorok) írja le a mezőt egy olyan folytonos sorozat helyett, amilyen például a tér minden pontjában megadott A(x, j , z, t) potenciállal való leírás. Most az ak változókat tovább transzformáljuk, így a téregyenletek olyan alakra hozhatók, amelyek megfelelnek a mechanika kanonikus egyenleteinek (a Hamilton-egyenleteknek).

Vezessünk be valós „kanonikus változókat” a

/■(52,13)

\ -i"h . |/Pk — —l(0k |/ ^nc2 (ak — ak) — Qkösszefüggésekkel.

A mező Hamilton-függvényét úgy kapjuk, hogy ezeket az (52,11) energiakifejezésbe helyettesítjük:

35 = £ % = £ J (p k + ^ Q k ) . (52,14)

A 876/8Pk = Qk Hamilton-egyenletek megegyeznek a P k = Qk egyenlőségekkel, amelyek tehát valóban a mozgásegyenletek következményei [ezt az (52,13) transzformáció együtthatóinak helyes megválasztásával értük el]. A 876/8Qk = —P k egyenletek a

Qk+co|Qk = 0 (52,15)

mozgásegyenletekre vezetnek, ezek éppen a téregyenletek.Minden Qk és P k vektor merőleges a k hullámvektorra, azaz két független kom

ponense van. E vektorok irányát a megfelelő haladó hullám polarizációs iránya


szabja meg. ő kj-vel ( j = 1, 2) jelölve a Qk vektor k-ra merőleges síkban fekvő kétkomponensét, írhatjuk, hogy Q k = £ Q k/, hasonlóan P k-ra is. Ekkor

J

Látjuk, hogy a Hamilton-függvény független tagok összegére esik szét, ezek mindegyike egy Qkj, PkJ párt tartalmaz. Minden ilyen tag egy meghatározott hullámvek - torú és polarizációja haladó hullámnak felel meg. 7úkj alakilag olyan, mint az egyszerű harmonikus rezgőmozgást végző egydimenziós „oszcillátor” Hamilton-függvénye. Ezért a kapott kifejtést néha a mező oszcillátorokra való felbontásának nevezik.

Felírjuk még a térerősségeket a Qk változókkal kifejezve. (52,13)-ból

(52,16)

Ezeket (52,l)-be helyettesítve, a vektorpotenciáira kapjuk, hogy

(52,18)

Az elektromos és a mágneses térerősségre az

(52,19)

kifejezéseket kapjuk.

VII. F E J E Z E T

A FÉN Y TERJEDÉSE

53. §. Geometrikai optika

A síkhullámra az jellemző, hogy terjedési iránya és amplitúdója mindenütt ugyanaz. Tetszőleges elektromágneses hullámra ez természetesen nem áll fenn.

Gyakran előfordul azonban, hogy egy elektromágneses hullám a tér bármely kis tartományában síkhullámnak tekinthető. Ehhez az szükséges, hogy a hullám amplitúdója és terjedési iránya kevéssé változzék a hullámhosszal összemérhető távolságokon.

Ha ez a feltétel teljesül, akkor bevezethetjük a hullámfelületeket, amelyeknek minden pontjában megegyezik a hullám fázisa egy adott időpillanatban (síkhullám esetén ezek a terjedési irányra merőleges síkok). A tér bármely kis tartományában beszélhetünk a hullám terjedési irányáról, amely merőleges a hullámfelületre. Bevezethetjük a sugár fogalmát is : ez egy olyan vonal, amelynek bármely pontjához húzott érintője a hullám terjedési irányába mutat.

Az ilyen hullámok terjedési törvényeinek vizsgálata a geometriai optika tárgyát képezi. A geometriai optika tehát az elektromágneses hullámok — többek között a fény — terjedését hullámtulajdonságaiktól teljesen elvonatkoztatva szemléli, és mint sugarak terjedését írja le. Más szóval, a geometriai optika a kis hullámhosszak (A -► 0) határesetének felel meg.

Vezessük most le a sugarak terjedési irányát meghatározó alapegyenletet. Legyen / a hullámmezőt leíró valamilyen mennyiség (E vagy H bármelyik komponense). Monokromatikus síkhullámban/ a következő alakba írható:

/ = ^ ( k r - ^ + a) _ űexp [ _ ! _ # ) ] . (53,1)

(A Re jelet elhagyjuk; komplex kifejezéseknél mindig azok valós részét fogjuk fizikai jelentéssel felruházni.)

A fenti kifejezést írjuk az

/ = aév (53,2)

alakba. Ha a hullám nem síkhullám, de a geometriai optika alkalmazható, az a

53. §. GEOMETRIAI OPTIKA 175

amplitúdó általában a koordináták és az idő függvénye, a ip fázis pedig, amelyet eikonálnak is neveznek, nem olyan egyszerű alakú, mint (53,l)-ben. Lényeges azonban, hogy az eikonál értéke nagy. Ez már abból is látható, hogy 2jr-vel változik egy hullám- hossznyi távolságon, a geometriai optika pedig a X -► 0 határesetnek felel meg.

Kis tér- és időbeli tartományokra az eikonált sorba fejthetjük; az elsőrendű tagokig bezárólag :

dw 8w’’ = í ’o + r w + ' á r

(a koordináta-rendszer kezdőpontját és a t = 0 időpillanatot az adott tér- és időtartományban vesszük fel; a deriváltak az origóhoz tartoznak). Ezt a kifejezést (53,1)- gyel összehasonlítva, felírhatjuk, hogy

k = s grad w’ w = ~ W ’ (-53,3->

ami megfelel annak, hogy a tér bármely kis tartományában (és kis időintervallumokra) a hullámot síkhullámnak tekinthetjük. Négydimenziós alakban az (53,3) összefüggéseket a

*■=-!? <5m>egyenlőségben foglalhatjuk össze, ahol k t a négydimenziós hullámvektor.

A 48. §-ban láttuk, hogy a k l vektor komponensei eleget tesznek a k fé = 0 feltételnek. Ide (53,4)-et behelyettesítve, a

= 0 (53 5)d x i d x 1 1 ;

egyenlethez jutunk. Ez az ún. eikonál-egyenlet, amely a geometriai optika alapegyenlete.

Az eikonál-egyenletet közvetlenül a hullámegyenletből is levezethetjük a X -> 0 határátmenet segítségével. Az / térmennyiség eleget tesz a

^ - = 0dxi d x *

hullámegyenletnek. A z/ = aeitp kifejezést behelyettesítve, azt kapjuk, hogy

e-V+2/^L * L & + i f J * E ___ * L f = 0 (53 6)dx, dx‘ dxi dx' 8xidx‘ dxi dx' ’

A íp eikonál viszont — mint azt fentebb mondottuk — nagy mennyiség; ezért az első három tagot a negyedik mellett elhagyhatjuk, és így megkapjuk az (53,5) egyenletet.

176 VII. A FÉNY TERJEDÉSE

Levezetünk még néhány összefüggést, amelyek vákuumban terjedő fényre alkalmazva, triviális eredményekre vezetnek ugyan, általános alakjukban viszont anyagi közegben terjedő fény esetében is alkalmazhatóak.

Az eikonál-egyenlet alakjából következik, hogy a geometriai optika és az anyagi részecskék mechanikája között érdekes analógia áll fenn. Egy részecske mozgását a (16,11) Hamilton—Jacobi-egyenlet határozza meg. Az eikonál-egyenlethez hasonlóan ez is elsőrendű, másodfokú parciális differenciálegyenlet. Mint ismeretes, az S hatásból megkaphatjuk a részecske p impulzusát és 76 Hamilton-függvényét:

8S _ d sp = 0 P x = ~ w

A fenti összefüggéseket (53,3)-mal összehasonlítva, látjuk, hogy a hullámvektor a geometrikai optikában ugyanazt a szerepet játssza, mint a részecske impulzusa a mechanikában. A frekvencia a Hamilton-függvénynek, vagyis a részecske energiájának felel meg. A hullámvektor k abszolút értéke és a frekvencia között a k = co/c összefüggés áll fenn. Ez megfelel a p = Sfc összefüggésnek, amely egy nulla tömegű és fénysebességgel haladó részecske impulzusát és energiáját köti össze.

Részecskékre teljesülnek a Hamilton-egyenletek:

p = s T ’ v = r = 5iT-

Az említett párhuzam miatt a sugarakra is felírhatunk hasonló egyenleteket:

• 8 o ) , 8 o j , _ _ _

= ~ a r ’ r = W (53’7>

Vákuumban co = ck , így k = 0, v = cn (n a terjedés irányába mutató egységvektor), vagyis — amint az várható volt — vákuumban a sugarak egyenesek, amelyek mentén a fény c sebességgel terjed.

A hullámvektor és egy részecske impulzusa között az analógia igen szemléletesen megnyilvánul a következő példában. Tekintsünk egy monokromatikus hullámok szuperpozíciójaként előálló hullámot, amely egy véges térrészt foglal el, és amelynek spektrumában szereplő monokromatikus hullámok frekvenciája egy kis intervallumba esik (ún. hullámcsomag). A (32,6) képletet és az energia-impulzus-tenzor (48,15) kifejezését (az egyes monokromatikus komponensekre) alkalmazva, számítsuk ki a hullám négyesimpulzusát. Az így kapott képletben k l-1 valamilyen középértékével helyettesítve.

(53,8)

53. §. GEOMETRIAI OPTIKA 177

alakú kifejezést kapunk, ahol az A arányossági együttható skalár. Háromdimenziós alakban ez a

P = Ak, £ = Aco (53,9)

összefüggéseket eredményezi. Látjuk tehát, hogy a hullámcsomag impulzusa és energiája az egyik vonatkoztatási rendszerről a másikra való áttéréskor úgy transzformálódik, mint a hullámvektor és a frekvencia.

Az analógiát folytatva, a geometriai optikában felírhatjuk a mechanikából ismert legkisebb hatás elvének megfelelőjét. Ezt azonban nem írhatjuk a <5 J L dt = 0 Hamilton-féle alakban, mivel a sugarakra nem lehet bevezetni a részecskék Lagrange- függvényének megfelelő függvényt. Valóban, egy részecske L Lagrange-függvénye a

Hamilton-függvényből az L = p —-----76 összefüggés segítségével fejezhető ki.Sp

A Hamilton-függvényt az co frekvenciával, az impulzust a k hullám vektorral helyet-dco

tesítve, az optika Lagrange-függvényére a k - ^ - —co kifejezést kapjuk. Ez azonban

zérus, mivel co = ck . Az, hogy a sugarakra nem lehet Lagrange-függvényt bevezetni, már abból a fentebb említett körülményből is látható, hogy a sugarak terjedése egy zérus tömegű részecske mozgásával analóg.

Ha a hullámnak egy meghatározott co frekvenciája van, a hullámtér időfüggését egy e~Uút szorzó tényező határozza meg. Egy ilyen hullám eikonálja tehát

V = - iú t+ íp 0(x, y, z), (53,10)

ahol \po csak a koordináták függvénye. Az (53,5) eikonál-egyenlet ekkor a következő alakban írható :

(gTadVo f = ~ . (53,11)

A hullámfelületek mentén az eikonál értéke állandó: y)o(x, y, z ) = const. Az egyes pontokban a sugarak merőlegesek a megfelelő hullámfelületre; irányukat a V fo gradiens határozza meg.

Mint ismeretes, azokban az esetekben, mikor a részecske energiája állandó, a legkisebb hatás elvét a Maupertuis-elv alakjában is felírhatjuk:

ŐS = ő J p dl = 0,

ahol a részecske pályája mentén kell integrálni annak két adott pontja között. Az impulzust ekkor a részecske energiájának, koordinátáinak és ezek differenciáljainak függvényében kell felírni. A fenti elv megfelelőjét sugarak esetére Fermat-elvnek nevezik. Ekkor az analógia alapján felírhatjuk, hogy

dy) = d J k dl = 0.1 2 Elméleti fizika II. - 42 221 /I I .

(53,12)


Vákuumban k = — n, ezért (n dl = dl m iatt): c

d j dl = 0, (53,13)

ami a sugarak egyenes vonalú terjedésének felel meg.

54. §. Intenzitás

Az előzőek szerint a geometriai optikában a fényt sugárnyalábnak tekinthetjük. A sugarak azonban önmagukban csak azt határozzák meg, hogy az egyes pontokban mi a fény terjedési iránya. Számot kell még adnunk a fény intenzitáseloszlásáról is.

Jelöljünk ki az adott sugárnyaláb valamelyik hullámfelületén egy végtelen kis felületelemet. A differenciálgeometriából ismeretes, hogy egy felület minden pontjához tartozik két, általában különböző fő görbületi sugár. Az adott felületelem főköreinek megfelelő kis részei legyenek ac és bd (7. ábra). Ekkor az a és c pontokon átmenő sugarak az O i, a b és d pontokon átmenő sugarak az 0 2 görbületi középpontban metszik egymást.

Ha az Oi-ből, ill. 0 2-ből kiinduló sugarak nyílásszöge adott, akkor az ac és bd szakaszok hossza arányos az R \ és R 2 görbületi sugarakkal (vagyis az OiO és 0 20 távolságokkal); a felületelem nagysága arányos az ac és bd hosszak szorzatával, vagyis R i R 2-vg\. Más szóval, ha adott sugarak által határolt hullámfelületet tekintünk, akkor a sugarak mentén haladva, a felületelem nagysága i?i7?2-vel arányosan változik.

Másrészről viszont az intenzitás, vagyis az energiaáram sűrűsége fordítottan arányos annak a felületnek a nagyságával, amelyen az adott mennyiségű fényenergia átáramlik. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az intenzitás:

b

B

d

7. ábra

const (54,1)R \R 2

Ezt a képletet a következőképpen kell értelmezni. Bármelyik adott sugáron {AB a 7. ábrán) létezik két olyan pont, O i és O2, amelyek az adott sugarat metsző bármely

54. §. INTENZITÁS 179

hullámfelületnek görbületi középpontjai. A hullámfelület és a sugár 0 metszéspontjának az Oi, ill. 0 2 pontoktól mért 0 0 i , ill. 0 0 2 távolságai megadják az adott hullámfelület 0 pontjához tartozó R i9 R 2 görbületi sugarakat. így az (54,1) képlet meghatározza a fény intenzitásának változását egy adott sugár mentén bizonyos, a sugáron elhelyezkedő pontoktól mért távolságok függvényeként. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a fenti képlet segítségével nem hasonlíthatjuk össze az intenzitásokat egy hullámfelület különböző pontjaiban.

Mivel az intenzitást a térerősség abszolút értékének négyzete adja meg, maga a térerősség egy adott sugár mentén az

f = const^ ,**

képlet szerint változik, ahol az elkR fázisszorzóban R jelentheti az R l9 R 2 távolságok bármelyikét; az elkRl és e lkR2 mennyiségek (az adott sugárra) csak egy állandó szorzótényezőben térnek el egymástól, mivel a két görbületi középpont távolsága, az R 1 — R 2 különbség állandó.

Ha a hullámfelület két görbületi sugara egybeesik, akkor az (54,1) és (54,2) képletek a következő alakot ö ltik :

f = (54,3)

Ez a többi között mindazokban az esetekben fennáll, amikor a fényt pontszerű forrás bocsátja ki (a hullámfelületek ekkor koncentrikus gömbök, R pedig a fényforrástól mért távolság).

(54,l)-ből látható, hogy az intenzitás végtelenné válik az R í = 0, R% = 0 pontokban, vagyis a hullámfelületek görbületi középpontjaiban. Ezt a nyalábban levő összes sugarakra alkalmazva, azt kapjuk, hogy a fény intenzitása az adott nyalábban általában két felületen — a hullámfelület görbületi középpontjainak mértani helyén — végtelenné válik. Ezeket a felületeket kausztikáknak nevezik. Ha a sugárnyaláb hullámfelületei gömbfelületek, akkor a két kausztika egyetlen ponttá olvad össze (fókusz).

Megjegyezzük, hogy — egy felületsereg görbületi középpontjainak mértani helyére vonatkozó, a differenciálgeometriából ismert állítás szerint — a sugarak érintik a kausztikákat.

Előfordulhat, hogy (domború hullámfelületek esetén) a hullámfelületek görbületi középpontjai nem magukon a sugarakon, hanem azoknak az őket létrehozó optikai rendszeren túlnyúló meghosszabbításain fekszenek. Ilyen esetekben képzetes kausz- tikákról (vagy képzetes fókuszokról) beszélünk. A fény intenzitása ekkor sehol sem végtelen.12*


Ami az intenzitás végtelenné válását illeti, a valóságban természetesen a fény intenzitása a kausztikákon nagy lesz, de véges marad (lásd az 59. § feladatát). A form ális végtelenné válás azt jelenti, hogy a geometriai optika a kausztikák közelében nem alkalmazható. Ezzel a körülménnyel függ össze az is, hogy a fázis változását egy sugár mentén az (54,2) képlet csak a sugárnak a kausztikákkal való érintési pontjait nem tartalmazó tartományban írja le helyesen. A későbbiekben (az 59. §-ban) megmutatjuk, hogy a valóságban a kausztika mellett elhaladva, a tér fázisa 7z/2-vel csökken. Ez azt jelenti, hogy ha a sugár mentén az első kausztikával való érintési pontig a tér é kx-szo[ arányos (x a sugár menti koordináta), akkor a kausztika melletti elhaladás után el(kx~7z/2)-\Ql lesz arányos. Ugyanez történik a második kausztikával való érintési pont közelében, ezután a tér el(kx~:z)-wQl lesz arányos.1

55. §. Szögeikonál

Ha a vákuumban terjedő fénysugár valamilyen átlátszó anyagon megy keresztül, akkor iránya az áthaladás után általában más lesz, mint az eredeti. Ennek mértéke természetesen függ az adott test konkrét tulajdonságaitól és alakjától. Általános törvényeket is le lehet azonban vezetni tetszőleges közegen való áthaladás esetére. Azt kell csak feltételeznünk, hogy a vizsgált testen keresztül terjedő sugarakra érvényes a geometriai optika. Az ilyen átlátszó testeket, amelyeken fénysugarakat bocsátanak keresztül, optikai rendszereknek fogjuk nevezni.

Az 53. §-ban megemlítettük, hogy a sugarak terjedése és a részecskék mozgása egymással analóg, ezért ugyanazok az általános törvények érvényesek olyan részecskék irányváltoztatására, amelyek kezdetben egyenes vonalú mozgást végeznek vákuumban, majd valamilyen elektromágneses téren áthaladva, újra vákuumba jutnak. A határozottság kedvéért azonban a továbbiakban fénysugarak terjedéséről beszélünk.

Láttuk, hogy a sugarak terjedését meghatározó eikonál-egyenlet (adott frekvenciájú fényre) (53,11) alakban írható. A továbbiakban az co/c állandóval osztott eikonált ^-vel jelöljük. Ekkor a geometriai optika alapegyenlete a következő alakot ölti:

(v ^ )2 = 1. (55,1)

A fenti egyenlet bármely megoldása valamilyen sugárnyalábot ír le; a tér adott pontján átmenő sugár irányát y gradiensének ebben a pontban felvett értéke határozza meg. A mi céljainkra azonban ez a leírás nem kielégítő, mivel nem egyetlen sugár

1 Bár az (54,2) képlet nem érvényes a kausztikák közelében, ez a fázisváltozás formálisan annakfelel meg, hogy a fenti képletben Rx vagy R2 előjelét megváltoztatjuk (azaz ein-vs\ szorozzuk őket).

nyalábnak, hanem tetszőleges sugaraknak az áthaladását leíró általános összefüggéseket keresünk. így olyan alakú eikonált kell használnunk, amellyel tetszőleges, vagyis a tér bármely két pontján áthaladó sugarakat le lehet írni. A szokásos alakjában a ^(r) eikonál egy adott nyalábban az r ponton áthaladó sugár fázisa. M ost az eikonált y)(r, r') alakban két pont függvényeként kell felírnunk (r, r ' a sugár kezdő- és végpontjának helyvektorai). Bármely r, r ' pontpáron keresztül vezethetünk egy sugarat, ip(r, r ') a sugár fáziskülönbsége az r és r ' pontok között (más szóval az optikai úthossz). A továbbiakban r és r ' a sugárnak az optikai rendszeren való áthaladása előtti és utáni pontjaira vonatkoznak.

Ha y)(r, r')-ben az egyik helyzetvektort, mondjuk r'-t adottnak tekintjük, akkor r függvényében ip egy adott sugárnyalábot ír le, mégpedig azt, amely az r ' ponton á thaladó sugarakból áll. így y) szükségképpen kielégíti az (55,1) egyenletet, amelyben r szerint kell deriválni. Ha r-et tekintjük adottnak, akkor hasonló módon még egy egyenletet kapunk y(r, r')-re, tehát

(Vr^)2 = 1, ( v ^ ) 2 - h (55,2)

A sugár irányát fázisának a gradiense határozza meg. Mivel ip(r, r') az r' és r pontok fáziskülönbsége, így a sugár irányát r' pontban az n' = dyifdr', az r pontban pedig az n = — dip/dr vektorok adják meg. (55,2)-ből látható, hogy ezek egységvektorok:

n2 = n '2 = 1. (55,3)

Az r, r', n, n' vektorok között bizonyos összefüggések állnak fenn, mivel közülük kettő (n, n') egy y) függvénynek a másik kettő szerinti deriváltja. Ami a ip függvényt illeti, az eleget tesz az (55,2) kiegészítő feltételeknek.

Az n, n', r, r ' összefüggéseinek levezetéséhez célszerű rp helyett egy olyan mennyiséget bevezetni, amelyet nem korlátoznak kiegészítő feltételek (vagyis nem kell valamilyen differenciálegyenletnek eleget tennie). Ezt a következőképpen tehetjük meg. A tp függvényben r és r ' a független változók, és így a dtp differenciál:

dy) = ^ L d x + ^ -y dr' = —n d r + n ' dr'.8 r d r

Vezessük be most új független változóként az n, n' vektorokat r, r ' helyett Legendre- transzformáció segítségével, azaz alakítsuk át a fenti differenciált:

dip = — J (n r)+ r dn+ d(n 'r')—r ' dn\ahonnan a

% = n ' r ' - n r - ^ , (55,4)

függvényt bevezetve, azt kapjuk, hogy

55. §. SZÖGEIKONÁL 181

d% = — r dn+ r' dn'. (55,5)


A % függvényt szögeikonálnak nevezzük; amint (55,5)-ből látható, ebben n és n' a független változók. A %-t már nem korlátozzák kiegészítő' feltételek. Valóban, az (55,3) egyenletek most csak a független változókra tartalmaznak megszorításokat. Ezek következtében az n vektor (és hasonlóan az n' vektor) három komponense, nx, ny, nz közül csak kettő független. A továbbiakban független változókként az ny9 nz,, ríy, nz komponenseket választjuk, így

nx = Y 1 - r i j - r í z . n'x = j'l ~ n f - n 'z2.

Ha ezeket behelyettesítjük a

d% = —x dnx —y dny — z dnz+ a*' dn'x+ y ' dríy + z ' dn '

kifejezésbe, a d% differenciálra az adódik, hogy

Ebből a következő egyenleteket kapjuk:

nvy ~ z r x u r i v rí x u n z

(55,6)ny

nx

n-

8nv nx ’ dnz

, ií ,

dn$9z --------j X

nx dríz *

Ezek megadják a keresett általános összefüggését n, n', r, r' között. Az % függvény annak a tesnek a konkrét tulajdonságait jellemzi, amelyen a sugarak áthaladnak (töltött részecskék mozgása esetén pedig az elektromágneses tér tulajdonságait).

Adott n és n7 mellett (55,6)-ban a két egyenletpár két egyenest határoz meg. Ezek az egyenesek az optikai rendszeren való áthaladás előtti és utáni fénysugarak. Tehát az (55,6) egyenletek közvetlenül megadják a sugarak menetét az optikai rendszer mindkét oldalán.

56. §. Keskeny sugárnyalábok

Az optikai rendszereken áthaladó sugárnyalábok vizsgálatában különleges szerepet játszanak az olyan nyalábok, amelyeknek minden sugara egy pontban találkozik (ún. homocentrikus nyalábok).

Ha egy homocentrikus nyaláb optikai rendszeren halad át, általában véve nem lesz többé homocentrikus, vagyis az adott testen áthaladva, a sugarak nem gyűlnek össze

56. §. KESKENY SUGÁRNYALÁBOK 183

egyetlen pontba. Csak különleges esetekben fordul elő, hogy egy fénylő pontból kiinduló sugarak — miután az optikai rendszeren áthaladnak — mind újra egy pontban, a fénylő pont képében metszik egymást.2

Bebizonyítható (lásd az 57. §-t), hogy az egyetlen eset, amikor az optikai rendszeren áthaladó minden homocentrikus nyaláb szigorúan homocentrikus marad, az azonos leképezés, tehát mikor a kép megkapható a tárgyból annak egészként való eltolásával, elforgatásával vagy tükrözésével.

Az előzőek szerint egy optikai rendszer sem képezhet le egészen élesen egy (véges kiterjedésű) tárgyat, az azonos leképezés triviális esetétől eltekintve.3 Kiterjedt tárgyak nem azonos leképezését csak közelítően, nem teljesen élesen lehet megvalósítani.

A legfontosabb olyan eset, amikor homocentrikus nyalábok közelítőleg homo- centrikusba mennek át az, amikor a nyalábok elegendően keskenyek (vagyis kicsi a nyílásszögűk), és az adott optikai rendszer által meghatározott vonal mentén terjednek. Ezt a vonalat a rendszer optikai tengelyének nevezzük.

Itt meg kell jegyeznünk, hogy (a háromdimenziós térben) még végtelenül keskeny sugarak sem szükségszerűen homocentrikusak; láttuk (7. ábra), hogy a különböző sugarak egy ilyen nyalábban is általában különböző pontokban metszik egymást (ez a jelenség az asztigmatizmus). A hullámfelületnek azok a pontjai képeznek kivételt, amelyekben a két görbületi sugár egyenlő; az ilyen pont közelében a felület kis darabkáját gömbfelületnek tekinthetjük, az ennek megfelelő keskeny sugárnyalábot pedig homocentrikusnak.

A továbbiakban hengerszimmetrikus optikai rendszereket vizsgálunk.4 Egy ilyen rendszer szimmetriatengelye egyúttal az optikai tengely is. Valóban, a fenti tengely mentén terjedő nyaláb hullámfelületei szintén hengerszimmetrikusak; egy forgásfelület szimmetriatengelyén levő pontjában pedig a két görbületi sugár egyenlő. így az ilyen irányú keskeny nyaláb homocentrikus marad.

Vezessük le a leképezést meghatározó általános összefüggéseket hengerszimmetrikus optikai rendszereken áthaladó keskeny nyalábok esetére. Ehhez először az (55,6) egyenletben szereplő % függvény alakját kell meghatározni.

Mivel a sugárnyalábok keskenyek, és az optikai tengely közelében haladnak, így az n és n' vektorok bármelyik nyaláb esetén majdnem a fenti tengely irányába m utatnak. Ha az optikai tengelyt választjuk x tengelynek, ákkor az ny, nz, ríy, nz komponen

2 A metszéspont lehet a sugarakon vagy azok meghosszabbításán; ettől függően valódi vagy képzetes leképezésről beszélünk.

3 Ilyen leképezést síktükrök segítségével valósíthatunk meg.4 Meg lehet mutatni, hogy nem hengerszimmetrikus optikai rendszer esetén az optikai tengelyhez

közeli keskeny nyalábokkal történő leképezés visszavezethető egy axiális szimmetriájú rendszer leképezésére, majd ezt követően az így keletkezett képnek a leképezendő tárgyhoz viszonyított elforgatására.


sek kicsik lesznek az egységhez képest. Ugyanakkor nx % 1 és ríx % + l vagy — 1. Az első esetben a sugarak majdnem az eredeti irányban haladnak tovább, áthaladnak az optikai rendszeren, amelyet ekkor lencsének nevezünk. A második esetben a sugarak iránya majdnem ellentétesre változik; az ilyen optikai rendszert tükörnek nevezzük.

Mivel ny9 nz9 ny9 nz kicsik, a %(ny9 nz9 ny9 nz) szögeikonált sorba fejthetjük, és elég a sor első tagjait figyelembe venni. A rendszer tengelyszimmetriája miatt % invariáns az optikai tengely körül végzett elforgatással szemben. Ebből látható, hogy % sorfejtésében az n és n' vektorok y és z komponenseinek első hatványával arányos tagok nem szerepelhetnek — az ilyen tagok nem rendelkeznek a kívánt invarianciával. A m ásodrendű tagok közül szóba jöhetnek az n2, n'2 négyzetek és az nn' skalárszorzat. így tengelyszimmetrikus optikai rendszerek esetén a szögeikonál másodrendű tagokig

ahol/ , g, h állandók.Az egyértelműség kedvéért a lencse esetét fogjuk vizsgálni, ekkor ríx ^ 1. (Hasonló

képletek érvényesek tükrökre is.) Az (56,1) kifejezést az (55,6) általános egyenletbe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

Tekintsünk egy, az x 9 y, z pontból kiinduló homocentrikus nyalábot; x', y', z' legyen az a pont, amelyben a nyaláb sugarai a lencsén áthaladva metszik egymást. Ha az (56,2) egyenletrendszer első és második két egyenlete független lenne egymástól, akkor adott x 9 y 9 z, x ', y '9 z' mellett ez a négy egyenlet egyértelműen meghatározná az ny, nz, ny, nz értékeket, tehát az x, y 9 z pontból kiinduló sugarak közül csak egy haladna át az x \ y '9 z' ponton. Ahhoz, hogy az x, y , z pontból kiinduló minden sugár áthaladjon az x', y '9 z' ponton, az szükséges, hogy az (56,2) egyenletek ne legyenek függetlenek, tehát hogy az egyik egyenletpár a másik következménye legyen. Ez a feltétel nyilvánvalóan azt jelenti, hogy a két egyenletpár megfelelő együtthatói arányosak egymással. Ezért teljesülnie kell az

egyenlőségeknek. így többek között fenn kell állnia az

bezárólag:

(56,1)

ny(x - g ) - fr iy = y, fn y + ny{x’+ * ) = / , nz( x - g ) - f r í z = z, f n z+ n ’z(x '+ h ) = z'. (56,2)

összefüggésnek.(x-g)(>c' + h) = - P (56,4)


A kapott egyenletek megadják a kép és a tárgy koordinátáinak kapcsolatát keskeny nyalábok segítségével végzett leképezés esetén.

Az optikai tengelyen fekvő x = g9 x = —h pontokat az optikai rendszer fő fóku szainak nevezzük. Tekintsünk az optikai tengellyel párhuzamos sugarakból álló nyalábot. Egy ilyen nyaláb forrása nyilvánvalóan az optikai tengelyen a végtelenben levő pont, azaz x = ^ . Az (56,3) összefüggésből látható, hogy ebben az esetben x' — —h. Tehát a párhuzamos sugárnyaláb az optikai rendszeren áthaladva, az egyik főfókuszban egyesül. Ugyanakkor a főfókuszból kiinduló sugárnyaláb a rendszeren áthaladva, párhuzamossá válik.

Az (56,3) egyenletekben az x és x' koordinátákat az optikai tengelyen fekvő azonos kezdőponttól számítottuk. Célszerű azonban a tárgy és a kép koordinátáit különböző kezdőpontoktól, nevezetesen a megfelelő főfókuszoktól számítani. A koordinátatengelyek pozitív irányát úgy választjuk meg, hogy a sugár terjedési irányába m utasson. A tárgy és a kép új koordinátáit nagybetűkkel jelölve:

A leképezést meghatározó (56,3) és (56,4) egyenletek az új jelölésekkel a követke- zőek:

Az / mennyiséget a rendszer f ő fókusztávolságának nevezzük.Az Y 'fY hányados az oldalirányú nagyítás. Mivel a koordináták nem arányosak

egymással, a hosszirányú nagyítást differenciális alakban kell felírni, összehasonlítva a tárgy tengelyirányú hosszelemét a kép megfelelő hosszelemével. (56,5)-ből a hosszirányú nagyítás:

Ebből láthatjuk, hogy még végtelenül kicsiny tárgyak esetén sem kaphatunk m értanilag hasonló képet. A hosszirányú nagyítás sohasem egyenlő az oldalirányúval (az azonos leképezés triviális esetétől eltekintve).

Az optikai tengely X — f pontjából kiinduló nyaláb a tengely X ' = —f pontjában egyesül újra. Ezt a két pontot főpontoknak szokás nevezni. Az (56,2) egyenletekből (nyX —fn y = Y , nzY —fn z = Z) látható, hogy ebben az esetben (X = fY = Z = 0) fennállnak az ny = ny9 nz = nz egyenlőségek. így az egyik főpontból kiinduló bármelyik sugár az optikai tengelyt a másik főpontban metszi az eredetivel párhuzamos irányban.

X = x - g , X ’ = x ' + h9 Y = y , Y ’ = y \ Z = z, Z ' = z \

x x ' = - p 9Y' _ Z^ _ / _ X 't ~~z ~ ~x ~

(56,5)

(56,6)

(56,7)

Ha a tárgy és a kép koordinátáit a főpontoktól számítjuk (nem pedig a főfókuszoktól), akkor ezek a koordináták:

r = x '+ f9 i - x - /Ezt (56,5)-be helyettesítve, a következő leképezési törvényt kapjuk:

j - j r = - j - (5M )

Megmutatható, hogy a vékony optikai rendszereknél (pl. tükörnél, vékony lencsénél) a két fő pont majdnem egybeesik. Ebben az esetben különösen célszerű az (56,8) egyenletet használni, mivel ebben |- t és Ü'-t gyakorlatilag ugyanattól a ponttól számítjuk.

Ha a fókusztávolság pozitív, akkor a fókusztól a sugár haladási irányába eső tárgyakról (X > 0) egyenes állású képet kapunk (Y '/Y > 0): az ilyen optikai rendszert gyűjtő rendszernek nevezzük. Ha / < 0, akkor X > 0 esetén Y '[Y < 0, vagyis a kép fordított állású; az ilyen rendszert szoro rendszernek nevezzük.

A leképezésnek létezik egy olyan határesete, amelyet az (56,8) képlet nem tartalmaz; ez az az eset, mikor az / , g, h együtthatók mindegyike végtelenné válik (vagyis az optikai rendszer fókusztávolsága végtelen, és a főfókuszai a végtelenben vannak). H a/ , g, h tart a végtelenhez, akkor az (56,4) egyenlet a következőképpen írható:

, h f 2—ghx' = — x + - -----— .g g

Mivel csak az az eset érdekes, amikor a tárgy és a kép az optikai rendszertől véges távolságra vannak, az / , g, h értékeknek úgy kell a végtelenhez tartaniuk, hogy a h/g* ( f 2—gh)/g hányadosok végesek maradjanak. Ezeket a 2-tel és /5-val jelölve, azt kapjuk, hogy x' = a 2x+/?.

A másik két koordinátára az (56,7) egyenlet alapján fennáll, hogy

~ = — = ± a .>> z

Ha az x és x' koordinátákat újra különböző pontoktól, a leképezendő tengelyen felvett tetszőleges ponttól, ill. annak képétől számítjuk, a leképezés törvénye egyszerű alakot ölt:

X ' = oc2X, r - ±ocY, Z ' = ±ocZ. (56,9)

Tehát a hosszirányú és az oldalirányú nagyítás állandó (de a kettő nem egyenlő egymással). A fenti leképezést teleszkopikusnak nevezik.


A lencsékre levezetett (56,5)—(56,9) képletek ugyanúgy alkalmazhatók tükrök esetére, sőt nem tengelyszimmetrikus optikai rendszerekre is, ha a leképezés az optikai tengely mentén haladó keskeny nyalábok segítségével jön létre. Eközben a tárgy és a kép ^-koordinátájának az optikai tengely mentén a megfelelő pontoktól (a főfókuszoktól vagy a főpontoktól) kell mérnünk a sugár haladási irányában. Természetesen a nem tengelyszimmetrikus optikai rendszereknél az optikai tengely a rendszer két oldalán különböző irányba mutat.

Feladatok

1. Határozzuk meg a fókusztávolságot két, közös optikai tengelyű, tengelyszimmetrikus optikai rendszer segítségével történő leképezés esetén.

Megoldás. Legyenek f x és f 2 a rendszerek fókusztávolságai. Mindkét rendszerre külön-kiilön igaz, hogy

X vX ' i = - f l X 2X Í = - P 2 .

Mivel az első rendszer által alkotott kép a második rendszer tárgya, az első rendszer hátsó főfókusza és a második rendszer elülső főfókusza között levő távolságot /-lel jelölve, azt kapjuk, hog> X2 = = X\ —/. Az X2-t X,-gyel kifejezve:

X JIf i + i x ,

vagy

ahonnan látható, hogy a rendszer főfókuszai az X± = —f{/l, XI, = f \ / l pontokban vannak, a fókusz- távolság pedig

A/g / */ =

(Az utóbbi kifejezés előjelének megállapításához fel kell írni az oldalirányú nagyítás megfelelő egyenleteit.)

Ha / = 0 , akkor a fókusztávolság / = o o , vagyis az összetett rendszer teleszkopikus leképezést ad. Ebben az esetben X2 = ^ 3( /2//i)2, tehát az a paraméter értéke az (56,9) általános képletben a = / 2//i.

2. Határozzuk meg a töltött részecskékre ható „mágneses lencse” fókusztávolságát, amelyet egy / hosszúságú, hosszanti irányú, homogén mágneses erőtér alkot (8. ábra).5

-~x

x = 0 x=[8. ábra

5 Ez lehet például egy hosszú tekercs, amelynek a végein elhanyagoljuk a mágneses erőtér inhomogenitását.

Megoldás. Mágneses erőtérben mozgó részecske mozgási energiája állandó marad; így az S0(r) rövidített hatásra (a teljes hatás S = - S t - r S0) a Hamilton—Jacobi-egyenlet a következő:

ahol

p2 = -—0— m2c2 = const. c

A homogén mágneses erőtér vektorpotenciálját leíró (19,4) képletet felhasználva, a Hamilton— Jacobi-egyenlet a következő alakot ölti:

ahol r az x tengelytől mért távolság, S0 pedig a: és a* függvénye. (Az a; tengelyt a mágneses erőtér irányában vettük fel, ezt tekintjük a tengelyszimmetrikus optikai rendszer optikai tengelyének.)

Az optikai tengely közelében haladó keskeny részecskenyalábok esetén az r koordináta kicsi, így S0-t r hatványsoraként keressük. A sor első két tagja:

S0 = px+^-oix)**, (2)

ahol (t(x ) kielégíti a

po'(x)Jro2+ - ^ j H 2 = 0 (3)

egyenletet.

A lencse előtti 1 tartományban azt kapjuk, hogy

X — X \

ahol x x < 0 állandó. Ez a megoldás az optikai tengely x = x x pontjából kiinduló, egyenes sugarak mentén terjedő szabad részecskenyalábnak felel meg. Valóban, az x = x x pontból kiinduló, p jmpulzusú szabad részecskéknek megfelelő hatás:

S0 = p ír z + ix — x j r ~ p ( x - x d + ~K x -x J

Hasonlóan, a lencse mögötti 2 tartományban

ahol az x 2 állandó az atj pont képének koordinátáját jelenti. A lencsén belüli 3 tartományban a (3) egyenlet megoldása:

’( ■ £ * ♦ 4ahol C tetszőleges állandó.

eH í eHi r ct8 '

57. §. LEKÉPEZÉS SZÉLES SUGÁRNYALÁBOKKAL 189

Adott Xi mellett a C és x2 állandókat úgy határozzuk meg, hogy o(x) folytonos legyen az x = 0 ■és x = / pontokban:

P eH ^ P eH l eH \Ctgc> ~i —" = cts hr~ l+C •Xi 2c l —x 2 2c \ 2cp ]

Kiküszöbölve innen a C állandót, azt kapjuk, hogy

(.xx- g ) (x2+h) = - / 2,ahol6

2 cp eHl lepg = ^ctg --, h = g - l , / =& 2c/? ö ’ rr . eHl *eH sin ——2 cp

57. §. Leképezés széles sugárnyalábokkal

Az előző szakaszban tárgyalt, keskeny nyalábok segítségével megvalósított leképezés csak közelítő; a kép annál pontosabb (azaz élesebb), minél keskenyebbek a nyalábok. Vizsgáljuk most meg a tetszőleges szélességű nyalábokkal végzett leképezést.

Keskeny nyalábok segítségével a tárgyakat bármilyen tengelyszimmetrikus optikai rendszeren keresztül leképezhetjük. Ezzel ellentétben széles sugarak esetén erre a célra csak meghatározott módon felépített optikai rendszerek alkalmasak. Mint azt az 56. §-ban már megjegyeztük, még ilyen megszorítások esetén sem lehetséges leképezés a tér minden pontjában.

A további következtetések egy lényeges megjegyzésen alapulnak. Egy O pontból kiinduló összes sugár a rendszeren áthaladva, találkozzék ismét egy O' pontban. Könnyen belátható, hogy a ip optikai úthossz minden sugárra ugyanakkora. Valóban, az O és O' pontok közelében a bennük találkozó sugarak hullámfelületei O , ill. O' középpontú gömbfelületek, amelyek a pontok felé közeledve, az O , ill. O' ponttá zsugorodnak. A hullámfelületek mentén viszont a fázis állandó, így a fázisváltozás különböző sugarakon haladva, két adott hullámfelület között ugyanakkora. Ebből következik, hogy az O és O' pontok között a teljes fázisváltozás is ugyanakkora a különböző sugarakra.

Határozzuk meg egy kis egyenes szakasz széles nyalábokkal való leképzésének feltételeit. A kép ilyenkor szintén egy kis egyenes szakasz. Vegyünk fel egy-egy tengelyt e szakaszok mentén (jelöljük ezeket |-vel és l'-vel), az O és O' kezdőpontokat pedig

6/ értéke a helyes előjellel szerepel, ennek megállapítására azonban további vizsgálatra van •szükség.


a tárgy és a kép valamely egymásnak megfelelő pontjaiban vegyük fel. Legyen jp az O-ból induló és O -be érkező sugarakhoz tartozó optikai úthossz. Az O ponthoz végtelenül közeli, dl koordinátájú pontból kiinduló és a kép dl' koordinátájú pontjában találkozó sugarakra az optikai úthossz ip + dip, ahol

Vezessük be a leképezés „nagyítását” :_ d l1

** d l

mint a kép dl' és a tárgy d l hosszelemeinek hányadosát. Minthogy a leképezett szakasz kicsi, az a nagyítást állandónak vehetjük a szakasz mentén. A szokásos módon dip/d l = —rit, dip/dl' — n (n^ a sugárirányok és a | , ill l ' tengelyek által bezárt szögek koszinuszai), így

dip = (a n'g—ng)dl.

Éppúgy mint a tárgy és a kép tetszőleges, egymásnak megfelelő két pontjára, itt is fennáll, hogy a dl koordinátájú pontból kiinduló és a dl' pontba érkező minden sugárra a ip+dip optikai úthossz ugyanakkora. Ebből a következő feltételt kapjuk:

o c ^ —n = const. (57,1)

Ez a keresett feltétel, amelynek az optikai rendszerben haladó sugaraknak eleget kell tenniük kis egyenes szakasz széles nyalábok segítségével megvalósított leképezésekor. Az (57,1) feltételnek az O pontból kiinduló minden sugárra teljesülnie kell.

Alkalmazzuk most a kapott feltételt tengelyszimmetrikus optikai rendszer segítségével történő leképezésre.

Vizsgáljuk először az optikai tengelyen (az x tengelyen) fekvő egyenes szakasz leképezését. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy a kép is a tengelyen lesz. Az optikai tengely mentén haladó sugár (nx = 1) a tengelyszimmetria miatt a rendszeren áthaladva nem változtatja meg az irányát, vagyis ríx = 1. Ebből következik, hogy az (57,1) jobb oldalán szereplő állandó az adott esetben olx— 1, és így (57,l)-et a következő alakba írhatjuk:

1 —nx = a*.1 ~ n x

0-val és 6 '-vei jelölve egy sugár és az optikai tengely által bezárt szöget, a tárgy és a kép pontjaiban:

6 6'1 — nx] = 1 —cos 6 = 2 sin2 — , 1 —rix = 2 sin2 - y .

58. §. A GEOMETRIAI OPTIKA HATÁRAI 191

const = Yocx . (57,2)

Tekintsük továbbá a tengelyszimmetrikus rendszer optikai tengelyére merőleges, kis felületelem leképezését. A kép nyilvánvalóan szintén merőleges lesz a tengelyre(57,l)-et a leképezendő felületen fekvő tetszőleges szakaszra alkalmazva, azt kapjuk* hogy

a r sin 0' —sin 0 = const,

ahol 6 és 0' továbbra is a sugár és az optikai tengely által bezárt szögek. A leképezendő sík és az optikai tengely metszéspontjából kiinduló és a tengely mentén (0 = 0 ) haladó sugárra a szimmetria miatt 6' = 0 . így const = 0 , tehát a leképezés feltétele :

sin 0 4. rzn ^——777- = const = a r. (57,3)sin 0

Könnyen belátható, hogy háromdimenziós tárgyak széles nyalábokkal akkor sem képezhetők le, ha a tárgy térfogata kicsi, mivel az (57,2) és (57,3) feltételek nem egyeztethetők össze.

58. §. A geometriai optika határai

Egy monokromatikus síkhullám amplitúdója definíció szerint mindig és mindenütt ugyanakkora. Egy ilyen hullám a tér bármilyen irányában végtelen kiterjedésű, és időben — «> -tői + 00 -ig mindig létezik. Bármely hullám, amelynek amplitúdója nem mindenhol és nem mindig állandó, csak többé-kevésbé lehet monokromatikus. A to vábbiakban a hullámok monokromatikustól való eltérésének mértékével foglalkozunk.

Tekintsünk egy olyan elektromágneses hullámot, amelynek amplitúdója a tér minden pontjában az idő függvénye. Legyen co0 a hullám valamilyen átlagfrekvenciája. Ekkor a hullámmező (pl. az elektromos erőtér) egy adott pótban Eo{t)elOJot alakú. Ezt a mezőt, amely természetesen nem monokromatikus, monokromatikus összetevők szerint Fourier-integrálba lehet fejteni. A kifejtésben az co frekvenciához ta rtozó amplitúdó a következő integrállal arányos:

J Eo(/)e,'(t° -£0o)í dt.

így a leképezés feltétele:

sin —


Az elia)~Wo)t szorzótényező periodikus függvény, amelynek átlagértéke zérus. Ha E 0 állandó lenne, az integrál pontosan nullát adna co ^ coo esetén. Ha Eo(0 változik, de l/(co —co0) időtartam alatt majdnem állandó, akkor az integrál majdnem zérus, annál pontosabban, minél lassabban változik Eo. Az integrál csak akkor különbözhet észrevehetően nullától, ha Eo(0 is észrevehetően változik l/(co—co0) nagyságrendű időtartam alatt.

Jelöljük At-vel annak az időtartamnak a nagyságrendjét, amelynek elteltével a hullám amplitúdója a tér adott pontjában észrevehetően megváltozik. A fenti meggondolásból következik, hogy a hullám spektrális felbontásában még észrevehető intenzitással szereplő co0-tól legtávolabb eső frekvenciákat az l/(co0—co) ~ At feltételből határozhatjuk meg. zJco-val jelölve a spektrális felbontás frekvenciatartományát (az coo átlagfrekvencia körül), fennáll tehát a következő összefüggés:

AcoAt ~ 1. (58,1)

Látjuk, hogy a hullám valóban annál inkább monokromatikus (vagyis Aco annál kisebb), minél nagyobb A t, azaz minél lassabban változik az amplitúdója a tér egyes pontjaiban.

A hullámvektorra is könnyen levezethetünk (58,l)-hez hasonló összefüggést. Legyenek Ax, Ay, Az azoknak a távolságoknak nagyságrendjei az x, y, z tengelyek mentén, amelyeken a hullám amplitúdója észlelhetően megváltozik. Egy adott időpillanatban a hullámtér a koordináták függvényében

E0( r y k°r

alakú, ahol k 0 a hullámvektor valamilyen átlagos értéke. (58,l)-hez hasonlóan meghatározható az adott hullám Fourier-kifejtését jellemző Zik intervallum nagysága:

Akx Ax ~ 1, AkyAy ~ 1, Akz Az — 1. (58,2)

Speciális esetként tekintsünk egy véges idő alatt kisugárzott hullámot. Jelöljük A í -vq\ a kisugárzás időtartamának nagyságrendjét. A tér egy pontjában a hullám amplitúdója A t idő alatt bizonyosan észrevehető módon megváltozik; ezalatt a hullám teljes egészében áthalad az adott ponton. Az (58,1) összefüggés alapján ekkor kijelenthetjük, hogy a hullám „monokromatikustól való eltérésének mértéke”, Aoj biztosan nem lehet lfAt-nél kisebb (természetesen nagyobb lehet):

Hasonlóan, ha Ax, Ay, Az a hullám térbeli kiterjedését jellemző mennyiségek,

58. §. A GEOMETRIAI OPTIKA HATÁRAI 193

akkor a hullám kifejtésében szereplő hullámvektor értéktartományára azt kapjuk, hogy

* 4 ' A k ' * W ’ A k - ’ i h - ( 5 8 '4 )

A fenti képletekből következik, hogy véges szélességű nyaláb terjedése esetén a fény terjedési iránya az adott nyalábban nem lehet szigorúan állandó. Ha az x tengely a fény (átlagos) terjedési irányába mutat, akkor

(58’5>

ahol dy a nyaláb átlagos terjedési irányától való eltérés nagyságrendje, / pedig a hullámhossz.

Az (58,5) képletből megkaphatjuk az optikai képek élességének korlátait is. Egy olyan fénynyaláb, amely a geometriai optika szerint egy közös pontba összefutó sugarakból áll, a valóságban nem pontszerű, hanem elmosódott képet ad. A folt A szélességére (58,5)-ből azt kapjuk, hogy

a~TS~>í' (5 8 ’6)

ahol 6 a nyaláb nyílásszöge. Ez a képlet nemcsak a képre, hanem a tárgyra is alkalmazható. Azt állíthatjuk, hogy egy pontszerű fényforrásból kiinduló fénynyaláb megfigyelésekor ezt a pontot nem lehet megkülönböztetni egy X[6 méretű testtől, így az (58,6) képlet megadja egy mikroszkóp felbontóképességének határát. A minimális értéke A, ezt 6 ~ 1-nél éri el, teljes egyezésben azzal az állítással, hogy a geometriai optika korlátait a fény hullámhossza határozza meg.

Feladat

Határozzuk meg egy résre beeső párhuzamos fénynyalábból származó, véges szélességű nyaláb minimális szélességének nagyságrendjét a réstől / távolságban.

Megoldás. A rés szélességét d-vs 1 jelölve, a sugarak elhajlásának szöge („a diffrakció szöge”)

(58,5)-ből A/d, amiből a nyaláb szélességének nagyságrendje d-\---- /. Ennek a minimális értéke Jí XL

13 Elméleti fizika II. — 42 221/II.


59. §. Elhajlási jelenségek

A geometriai optika törvényei szigorúan véve csak abban az ideális esetben érvényesek, amikor a hullámhosszt végtelen kicsinek tekinthetjük. Minél rosszabbul teljesül ez a követelmény, annál nagyobb a geometriai optikától való eltérés. Az ebből származó jelenségeket elhajlási jelenségeknek (diffrakciónak) nevezzük.

Az elhajlást megfigyelhetjük például, ha a fény7 terjedésének útjába egy akadályt (tetszőleges alakú átlátszatlan testet) helyezünk (az ilyen testet ernyőnek fogjuk nevezni), vagy például, ha a fény egy átlátszatlan ernyő résén halad keresztül. Ha a geometriai optika törvényei pontosan teljesülnének, az ernyő mögötti tartomány — az árnyék — élesen elkülönülne a megvilágított tartománytól. Az elhajlás a fény és árnyék éles határa helyett elég bonyolult intenzitáseloszlást eredményez. Az elhajlás jelensége annál kifejezettebben mutatkozik, minél kisebbek az ernyők és rések méretei, vagy minél nagyobb a hullámhossz.

A diffrakcióelmélet feladata az, hogy a testek adott elhelyezkedése és alakja (és a fényforrások elhelyzekedése) mellett meghatározza a fény eloszlását, vagyis az elektromágneses erőteret a tér minden pontjában. Ez a feladat pontosan csak úgy oldható meg, ha megkeressük a hullámegyenlet olyan megoldását, amely kielégíti a megfelelő peremfeltételeket a testek felületén; ezek a feltételek ráadásul az anyag optikai tulajdonságaitól is függnek. E feladat megoldása általában komoly m atematikai nehézségekbe ütközik.

Sok esetben azonban elegendő közelítőleg meghatározni a fény eloszlását a fény és árnyék határán. Ez a módszer alkalmazható, ha a geometriai optikától való eltérés kicsi. így először is feltételezzük azt, hogy minden méret nagy a hullámhosszhoz képest (ez vonatkozik az ernyők és rések méretére, valamint a testek és a fényforrások, ill. a megfigyelés pontjai közti távolságokra); másodszor pedig azt, hogy a fény terjedési iránya csak kevéssé tér el a geometriai optika által meghatározott terjedési iránytól.

Tekintsünk egy ernyőt, amelynek nyílásán adott források fénye halad át. A 9. ábra az ernyő keresztmetszetét mutatja (vastag vonal); a fény balról jobbra terjed. Jelöljük u-val az E vagy H térerősség tetszőleges komponensét, u -1 csak a koordináták függvényének tekintjük, tehát elhagyjuk az időfüggést meghatározó e~mt szorzótényezőt. Feladatunk a fényintenzitás (vagyis az u térerősség) meghatározása az ernyő mögötti tetszőleges P észlelési pontban. Ha a geometrikai optikától való eltérés csekély, akkor a rés pontjaiban a térerősséget ugyanakkorának vehetjük, mintha az ernyő egyáltalán nam léteznék.

7 Az egyszerűség kedvéért fényről beszélünk; az alábbiak természetesen tetszőleges elektromágneses hullámokra érvényesek. .

59. §. ELHAJLÁSI JELENSÉGEK 195

9. ábra

Más szóval, a térerősség nagyságát ezekben a pontokban megkaphatjuk a geometriai optikából. Közvetlenül az ernyő mögötti pontokban a térerősségeket nullának vehetjük. Ekkor természetesen az ernyő anyagának tulajdonságai semmilyen szerepet nem játszanak. Az is nyilvánvaló, hogy a vizsgált esetekben a diffrakció szempontjából csak a nyílás szélének alakja számít, az átlátszatlan ernyő alakja nem lényeges.

Vegyünk fel az ernyő nyílását elzáró és annak szélével határolt valamilyen felületet (egy ilyen felület metszetét a 9. ábrán szaggatott vonallal jeleztük). Osszuk ezt a felületet olyan d f nagyságú részekre, amelyek kicsik a rés méretéhez, de nagyok a hullámhosszhoz vizonyítva. Ekkor azokat a felületdarabkákat, amelyeket a fényhullám elért, úgy tekinthetjük, mintha maguk is fényforrásokká válnának, ahonnan a fény minden irányban terjed. A P pontban a teret ilyen, a nyílást elzáró felület d f darabkáiból kiinduló hullámok szuperpozíciójaként tekintjük (ez a Huyghens-elv).

A d f felületdarabka által a P pontban létrehozott mező arányos u-nak a d f darabkán felvett értékével (emlékeztetünk arra, hogy d fb zn a térerősséget akkorának tételeztük fel, amekkora az az ernyő nélkül lenne). Ezenkívül a térerősség P-ben arányos a d f felület dfn vetületével, ahol n a fényforrásból df-be érkező sugár iránya, és dfn az erre merőleges síkra eső vetület. Ez abból következik, hogy bármilyen alakú is legyen a d f darabka, ugyanazok a sugarak haladnak rajta keresztül, ha dfn változatlan, és így hatása a P pontban észlelt térerősségre is ugyanaz.

így a d f darabka által létrehozott térerősség a P pontban u dfn-nél arányos. Figyelembe kell még venni a hullám amplitúdójának és fázisának változását, amíg d f bői a P pontba ér. Ezt a megváltozást az (54,3) képlet adja meg. Tehát u dfn-tt meg kell még

szorozni az -j- elkR tényezővel (ahol i? a d f és P közti távolság, k pedig a fény hullám-iv

vektorának abszolút értéke); így azt kapjuk, hogy a keresett térerősség

gikRau - R df„,

13*


ahol a egyelőre ismeretlen állandó. A P pontban a teljes térerősség az egyes d f darabkák által létrehozott térerősségek szuperpozíciója, tehát

uP = a ^ —^ - d f n, (59,1)

ahol a nyílás szélei által határolt felületre kell integrálni. Az adott közelítésben ez az integrál természetesen nem függ a fenti felület alakjától. Az (59,1) képlet nyilvánvalóan nemcsak egy ernyő résén létrejövő diffrakció esetében alkalmazható, hanem akkor is, ha a fény útjába egy ernyőt állítunk, amely körül a fény szabadon terjedhet. Ebben az esetben (59,l)-ben az ernyő szélein kívül eső felületre kell integrálni.

Az a állandó meghatározására tekintsük az x tengely mentén terjedő síkhullámot; a hullámfelületek párhuzamosak az yz síkkal. Ekkor az x tengelyen felvett P pon tban a térerősség up — uelkx. Másrészt viszont a térerősséget a P pontban az (59,1) képletből is meghatározhatjuk, ahol integrálási felületnek például az yz síkot választjuk. Mivel a diffrakció szöge kicsi, az integrálban csak az .yz síknak az origóhoz közeli pontjai lényegesek, vagyis amelyekre y, z x (x a P p o n t koordinátája).

Ekkor_______________ y 2 I 2-2

R = ]/x2 -by2 -bz2 ^ x~b-2x

és (59,l)-ből:

í dy íuP — a u - — I é 2x dy I e 2x dz,

ahol u állandó (a térerősség az j^z síkban); a l /R tényezőben R ^ x — const írható. A fenti integrálok az y — f Í2 x \k helyettesítéssel a következő alakra hozhatók:

+ 00 4-00 + oo

J é"1 í/f = J cos |2 d'E, + i J sin f2 dt, = j/~- (1 +/),

így azt kapjuk, hogy2Í7t

Up — auelkx

Másrészt viszont uP — uelkx\ tehát

Ezt (59,l)-be helyettesítve, megkapjuk a kitűzött feladat megoldását:

kuuP í 2niR■ j\kR df,r (59,2)

Az (59,2) képlet levezetésében a fényforrást lényegében pontszerűnek, magát a fényt szigorúan monokromatikusnak tételeztük fel. A nem monokromatikus fényt kibocsátó kiterjedt fényforrás esetét azonban nem kell külön vizsgálnunk. Mivel a fényforrás különböző pontjából származó fény teljesen független (inkoherens), és mivel a kisugárzott fény különböző spektrális komponensei is inkoherensek, az eredő elhajlási kép egyszerűen a fény független komponenseiből származó intenzitáseloszlások összege lesz.

Határozzuk meg az (59,2) képlet segítségével a fázis megváltozását, miközben a sugár áthalad a kausztikával való érintési pontján (lásd az 54. § végét). Integrálási felületnek (59,2)-ben válasszuk valamelyik hullámfelületet, és számítsuk ki az uP térerősséget egy adott sugáron, a sugár és a hullámfelület metszéspontjától x távolságra fekvő P pontban. (A koordináta-rendszer O kezdőpontjának a metszéspontot választjuk, a hullámfelületet az O pontban érintő síkot pedig az yz síknak.) Az (59,2) integrálban csak a hullámfelületnek az O pont körül fekvő kis darabkája lényeges. Ha az a t és az síkokat úgy választjuk meg, hogy egybeessenek a hullámfelület O pontjához tartozó fő görbületi síkokkal, akkor e pont közelében a felület egyenlete:

X J L + J L2R! 2R2

ahol R í és R 2 a görbületi sugarak. A hullámfelület X, y\ z pontja és az a , 0, 0 koordinátájú P pont között a távolság:

1R = H x - X f + y 2 + z* % A- + — -

A hullámfelület mentén u állandónak vehető; ugyanez vonatkozik az l/R tényezőre is. Minthogy bennünket csak a hullám fázisának megváltozása érdekel, az együtthatót elhagyhatjuk, és így

1uP -----r

7oikR dfn d y ~h)'-’ dz. (59,3)

A hullámfelület görbületi középpontjai az adott sugáron, az a^— R í és x = R2 pontokban vannak; ezek a sugár és a két kausztika érintési pontjai. Legyen R 2 < Rí. Ha a < R 2, akkor az integrandusok kitevőiben az / mellett álló tényező mindkét

integrálban pozitív, ezért mindkét integrál egy (1 + 0 tényezőt tartalmaz. Tehát az első kausztikával való érintési pontig uP ~ elkx. Ha R 2 < x < R u vagyis az két érintési pont között a dy szerinti integrál egy 1 + U a dz szerinti integrál egy 1 — i tényezőt tartalmaz, szorzatunkból tehát i kiesik. így itt uP ~ —ieikx = e^kx- n^ 9 vagyis az első kausztika mellett elhaladva, a fázis még — crr/2-vel ugrik. Végül x > R i esetén uP ~ —elkx = eKkx~n), vagyis a második kausztika mellett elhaladva, a fázis még egyszer megváltozik — ti/2-vél.

Feladat

Határozzuk meg a fény intenzitásának eloszlását a sugár és a kausztika érintési pontjának közelében.

Megoldás. A feladat megoldásához alkalmazzuk az (59,2) képletet, integrálási felületnek valamelyik, az adott érintési ponttól elég távoli hullámfelületet választva. A 10. ábrán ab a fenti hullámfelület metszete, a'b' a kausztika metszete; a'b' az ab görbe evolutája. Bennünket az intenzitás elosz

lása érdekel a QO sugár és a kausztika O érintési pontjának közelében. Feltételezzük, hogy a QO szakasz D hossza elég nagy. Jelöljük x-szel az O ponttól a kausztika normálisa mentén mért távolságot, mégpedig x értékét azokra a pontokra tekintjük pozitívnak, amelyek a fenti normálison a görbületi középpont felé helyezkednek el.

(59,2)-ben az integrandus a P pont és a hullámfelület tetszőleges Q' pontja közti R távolság függvénye. Az evoluta ismert tulajdonsága szerint az O' ponthoz húzott érintő Q'O' szakaszának és az O'O ívhossznak az összege megegyezik az O pontban húzott érintő QO szakaszának hosszával. Közel fekvő O és O' pontok esetén OO' = 6q (q a kausztika görbületi sugara az O pontban). így Q'O' = D —0q. A Q'O távolság (egyenes vonalban) körülbelül (a 6 szöget kicsinek feltételezve):

003Q'O % Q'O' + q sin 0 = D — Oq+ q sin 0 % D — ~ .

Végül az R = Q'P távolság: R % Q 'O -x sin 6 % Q'O — xO, vagyis

R D - x d - ~ o d %.6

Ezt a kifejezést (59,2)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

93 de = 2 J cos (kx8+ 03) de.0


(Az integrandusban a lassan változó 1 /£> tényező az exponenciális tényezőhöz viszonyítva lényegtelen, és állandónak tekintjük.) Bevezetve a | = (kg/2)113 6 új integrálási változót, az eredmény:

ahol 0(t) az Airy-függvény.8 Az / ~ | uP |2 intenzitásra írhatjuk, hogy

/ = 2A m ve-\ Q J

(Az állandó szorzótényező megválasztásáról lásd alább.)Nagy pozitív x értékekre innen a következő aszimptotikus képletet nyerjük:

I « —— exp 2]j x

í 4xs'2 -j[2k*\\ 3 ( J ’

tehát az intenzitás exponenciálisan csökken (az „árnyék” tartománya). Nagy abszolút értékű negatív ^-ekre

, 2A • 2 I « — — sin2i - x

2 ( - X ) 3' 2 y / ~ 2 k '2 + -

8 A 0(t) Airy-függvényt a

integrál határozza meg (lásd a III. kötet Matematikai kiegészítések b §-át). Nagy pozitív t értékekre 0(t) exponenciálisan csökken a következő aszimptotikus képlet szerint:

1 exp ( - H -2/1/4

Nagy abszolút értékű negatív t értékekre @(t) csökkenő amplitúdóval oszcillál:

10(t) :( - 0 1/4

(2)

(3)

Az Airy-függvény kifejezhető az 1/3 rendű Macdonald-függvény (módosított Hankel-fiiggvény) .segítségével:

(4)

A (2) képlet a Kv(t) függvény

K„(t) í:Ti‘~aszimptotikus kifejezésének felel meg.


tehát az intenzitás gyorsan oszcillál; az oszcillációkra átlagolva értéke:

7 = - 4 = .V -x

Innen kiderül az A állandó jelentése — ez határozza meg az intenzitást a kausztikátol távol, amelyet megkaphattunk volna a geometriai optikából a diffrakció jelenségének figyelembevétele nélkül.

A 0(í) függvény maximális értéke 0,949, ezt a t = —1,02 pontban veszi fel; ennek megfelelően: az intenzitás x(2A:2/o)1/3 = — 1,02 esetén a legnagyobb, ekkor

/ = 2 ,Q 3 A k 'lso - 1,(i.

IA sugár és a kausztika érintési pontjában az intenzitás / = 0,89A kirsg 1/(í, mivel $(0) — 0,629]. így a kausztika közelében az intenzitás &1/3-nal, azaz A~1/3-nal arányos (A a hullámhossz). A -*■ 0 esetben az intenzitás végtelenhez tart, amint az várható (vö. az 54. §-sal).

60. §. Fresnel-elhajlás

Ha a fényforrás és a P pont, amelyben az intenzitást meg akarjuk határozni, véges távolságra vannak az ernyőtől, akkor az (59,2) integrálban a hullámfelületnek csak egy kis része lényeges, az a rész, amely a fényforrást és a P pontot összekötő egyenes közelében helyezkedik el. Valóban, mivel az eltérés a geometriai optikától csekély, a hullámfelület különböző pontjaiból a P pontba érkező fény intenzitása igen gyorsan csökken az említett egyenestől mért távolság függvényében. Azokat az elhajlási jelenségeket, amelyekben a hullámfelületnek csak kis részei játszanak szerepet, Fresnel-elhajlásnak nevezzük.

Tekintsünk egy ernyőn létrejövő Fresnel-elhajlást. Az említett tulajdonság miatt ekkor (adott P pont esetén) csak az ernyő szélének kis darabkája játszik szerepet. Viszont az ernyő szélének elegendően kicsiny részét mindig egyenesnek tekinthetjük. Ezért a továbbiakban az ernyő széle számunkra egy ilyen egyenes darabkát jelent.

Az xy síkot vegyük fel úgy, hogy átmenjen a Q fényforráson (11. ábra) és az ernyő

60. §. FRESNEL-ELHAJLÁS 201

szélének vonalán. Az erre merőleges xz sík menjen át a Q ponton és a P megfigyelési ponton, amelyben a fény intenzitását keressük. Végül a koordináta-rendszer O kezdőpontját az ernyő szélének vonalán vegyük fel, ezzel mindhárom tengely helyzetét meghatároztuk.

Legyen a Q fényforrás távolsága az origótól Dq. A P megfigyelési pont x koordinátáját jelöljük Z^-vel, z koordinátáját, vagyis az xy síktól mért távolságát pedig d-ve 1. A geometriai optika szerint a fény csak az xy sík fölötti pontokba juthat el; az xy sík alatti tartományban a geometriai optika szerint árnyék van (ez a geometriai árnyék tartománya).

Határozzuk most meg a fény intenzitásának eloszlását az ernyő mögött a geometriai árnyék határának közelében, vagyis (Dp-hez és Dq hoz viszonyítva) kis d értékekre. Negatív d azt jelenti, hogy a P pont a geometriai árnyék tartományában van.

Integrálási felületnek (59,2)-ben válasszuk az ernyő szélének vonalán áthaladó, és az xy síkra merőleges fél síkot. E felület x és y koordinátái között az x = y tg cc összefüggés áll fenn (oc az ernyő szélének vonala és az y tengely által bezárt szög). A felület z koordinátája pozitív. A Q-ból kiinduló hullám tere a forrástól Rq távolságban exp (ikRq) -val arányos. így az u tér az integrálási felületen

u ~ exp [ik y'y2-\-z2 + (Dq-\-y tg cc)2 ].

Az (59.2) integrálban R helyére az

R = yy2jr { z - d f+ { D p - y tg a)2

kifejezést kell beírni. Az integrandusban a lassan változó tényezők lényegtelenek az exponenciálishoz képest. Ezért l/R -et állandónak tekinthetjük, és dfn helyett dy dz-1 írhatunk. Ekkor a P pontban a térerősség:

uP ~ J J exp \iky (D q + y tg a )2 + j ,2 + z2 + y(Z)p—j; tg oc)2jry'l jr ( z —d)2]dy dz.- cc !*}

(60,1)

Mint már említettük, a P pontba a fény főként az integrálási felületnek az origóhoz közeli pontjaiból érkezik. Ezért a (60,1) integrálban (Dq hoz és Dp-hez képest) kis y és z értékek játszanak szerepet. írhatjuk, hogy

___________________ i *2 cp£“ OC —|— ^}(D q + y tg oc)2-I-y 2H-z2 Dq + '-----— -------- 1-y tg a,

\ \D p- y Ig c tf + f + i z - c l f ^ Dp+ V d-— y tg a.

Helyettesítsük ezeket a (60,1) képletbe. Mivel bennünket csak a mező d-függése érdekel, az exp [ik(Dp-\-Dq)] állandó szorzótényezőt elhagyjuk. A dy szerinti integrálás

202 VII. A FÉNY TERJEDESE

szintén egy d -tői független kifejezést eredményez, tehát ezt is elhagyjuk. így azután marad, hogy

uP2 Dq 2DP

dz.

Ezt a kifejezést a következő alakba is írhatjuk:

ikd2

2 (Dp + Dq)exp ik ( Í + b;)2 Dn

Dp + D q

dz. (60,2)

A fény intenzitását a térerősség négyzete, \uP\2 határozza meg. Az intenzitás szempontjából az integrál előtt álló tényező lényegtelen, konjugáltjával szorozva 1 -et ad. Nyilvánvaló változócserével az integrál a következő alakra hozható:

uP J eiri2 dy],

ahol

w kDa2 Dp(Dq+Dp)

így az I intenzitás értéke a P pontban:

(60,3)

(60,4)

1 = lo71

OO 2

J* e"r dr\ = ~ ^C(H'2) + y j + S(ca*) +

ahol

C(z) = J cos V2 drj, S(z) = J sin rf- dr]

(60,5)

az ún. Fresnel-integrálok. A (60,5) képlet megadja a kitűzött feladat megoldását — meghatározza a fény intenzitását d függvényében, h a fény intenzitása a megvilágított területnek az árnyék szélétől elég távoli pontjaiban, vagyis w » 1 esetén [a w -► oo határesetben C ( oo ) = S (oo ) = 1/2].

60. §. FRESNEL-ELHAJLÁS 203

A geometriai árnyék tartományának negatív w értékek felelnek meg. Könnyű kiszámítani az I(w) függvény aszimptotikus alakját nagy negatív w értékekre. Parciálisán integrálva, azt kapjuk, hogy

e ir? chn = — _ . v — r e *w2 + 2 i\w \

|w|i f

ein‘ dr]

Az egyenlőség jobb oldalán még egyszer parciálisán integrálva és a fenti műveletet folytatva, egy l/\w \ hatványai szerinti sort kapunk:

co

f e* * , = í » ( - l f L r + _ L F - . . j

M

(60,6)

Bár ez a végtelen sor nem konvergens, de mivel nagy | w | értékekre az egymás után következő tagok egyre gyorsabban tűnnek el, elég nagy | w\ -kre már az első tag is jól közelíti a bal oldalon álló függvényt (az ilyen sorokat aszimptotikus soroknak nevezik). így a (60,5) I(w) intenzitásra a nagy negatív w értékekre érvényes

Io4 nw2

(60,7)

aszimptotikus kifejezést kapjuk.Látjuk, hogy a geometrikai árnyék tartományában, ennek szélétől távol, az inten

zitás az árnyék szélétől mért távolság négyzetével fordított arányban tart nullához. Tekintsük most a pozitív w értekeket, vagyis az xy sík feletti tartományt. Ekkor

oo _J_ oo — U! CO

J é r‘l \dq = J* eirr drj - J é * dq = ( l + 0 | / y - J ehf dr).— W — oo _ oo W

Ha w elég nagy, akkor beírhatjuk a jobb oldali integrál aszimptotikus alakját, és így

CO

í d t] ~ (1 + 0 (60,8)

Ezt a kifejezést (60,5)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

7 l \

" 4 /I = h 1 + fn

sin I w‘

w(60,9)


Tehát a megvilágított területen, az árnyék szélétől távol az intenzitásnak végtelen sok maximuma és minimuma van, az I / I0 arány az egység körül ingadozik. Az ingadozás nagysága w növekedésével a geometriai árnyék szélétől mért távolsággal fordított arányban csökken, a maximumok és minimumok helyei pedig egyre közelebb kerülnek egymáshoz.

Geometriaiárnyék

12. ábra

Kis w értékekre az 7(vr) függvény hasonló jellegű (12. ábra). A geometriai árnyék tartományában az árnyék szélétől távolodva monoton csökken (magán a határon I/Io — 1/4). Pozitív w értékekre maximumok és minimumok követik egymást. Az első maximumban, amely a legnagyobb, 7//0 = 1,37.

61. §. Fraunhofer-elhajlás

A fizikai alkalmazások szempontjából különösen érdekesek azok az elhajlási jelenségek, amikor az ernyőre párhuzamos sugárnyaláb esik. Az elhajlás folytán a nyaláb nem lesz többé párhuzamos, az eredetitől eltérő irányban terjedő fény jelenik meg. Határozzuk meg az eltérített fény intenzitásának szögeloszlását az ernyő mögött nagy távolságban. (Ezt a kérdésfeltevést emlegetik Fraunhofer-elhajlás néven.) Most is csak olyan eseteket vizsgálunk, amelyekben a geometriai optikától való eltérés kicsi, azaz feltételezzük, hogy a sugarak az eredeti terjedési iránytól csak kis szögekkel térnek el (elhajlási szögek).

Ezt a feladatot az (59,2) általános képletből kiindulva is megoldhatnánk úgy, hogy abban elvégeznénk az ernyőtől végtelen távoli forrásnak és megfigyelési pontnak megfelelő határátmenetet. A vizsgált eset jellegzetes sajátja, hogy az elhajlást szenvedett fény intenzitását meghatározó képletben a hullámfelületnek, amelyen integrálunk, minden része lényeges (a Fresnel-elhajlás esetével ellentétben, amikor is a hullámfelületnek csak az ernyők szélei körül elhelyezkedő részei játszottak szerepet).9

y A Fresnel- és Fraunhofer-elhajlás feltételeit könnyen megkaphatjuk, visszatérve a (60,2) képlethez, és például egy a szélességű résre alkalmazva azt (egy különálló ernyő széle helyett), dz szerint

61. §. FRAUNHOFER-ELHAJLÁS 205

Egyszerűbb azonban a feltett kérdést újra, az (59,2) általános képlet segítsége nélkül megvizsgálni.

Jelöljük wo-val az ernyők mögötti térerősséget, amelyet akkor kapnánk, ha a geometriai optika pontosan teljesülne. Ez egy síkhullám, amelyben azonban (az átlátszatlan ernyők „árnyékának” megfelelő) zérus térerősségű részek is vannak. Jelöljük S-sel a keresztmetszet síkjának azt a részét, amelyben u0 különbözik zérustól; mivel minden ilyen sík hullámfelülete a síkhullámnak, az egész S felületen u = const.

A valóságban azonban egy véges keresztmetszetű hullám nem lehet szigorúan síkhullám (lásd az 58. §-t). A hullám térbeli Fourier-kifejtésében különböző irányú hullámvektorok jelennek meg, és ez okozza az elhajlást.

Fejtsük kétdimenziós Fourier-integrálba az u0 teret a keresztmetszet síkjának z koordinátái szerint. A Fourier-komponensek:

í/q = J J u0e~iqr dy dz, (61,1)

ahol q valamilyen állandó vektor az yz síkban; az integrálást ténylegesen az yz síknak csak arra az S tartományára kell elvégezni, amelyen u0 különbözik zérustól. Ha k a beeső hullám hullámvektora, akkor a térerősség uqeiqr komponensének a k' = k + q hullámvektor felel meg. Tehát a q = k' — k vektor a fény hullámvektorának az elhajlás során történt megváltozását jelenti. Mivel az abszolút értékek: k' = k = co/c, az xy és xz síkokban mért kis dr 0Z elhajlási szögek és q komponenseinek kapcsolata a következő:

O ) 0 ) _ ^qy = _ 0v, qz = _ 0=. (61,2)

Ha a geometriai optikától való eltérés kicsi, akkor uo kifejtésének összetevői jó közelítéssel megegyeznek az elhajlást szenvedett fény valódi terének komponenseivel, tehát a (61,1) képlet megoldja a kitűzött feladatot.

Az elhajlást szenvedett fény intenzitásának eloszlását \uq\2 adja meg a q vektor függvényében. A beeső fény intenzitásával ezt a következő képlet köti össze:

| | u% dy dz = | | ! Mq |2 (61,3)

ekkor (60,2)-ben 0-tól a-ig keli integrálni. A Fresnel-elhajlás annak az esetnek felel meg, amikor az integrandus kitevőjében a z2-es tag lényeges, és az integrálás felső határa co-nel helyettesíthető Ez akkor áll fenn, ha

Ha viszont ebben az egyenlőtlenségben ellenkező előjel áll. akkor a z2-es tag elhagyható; ennek az esetnek felel meg a Fraunhofer-elhajlás.


[vö. a (49,8)-cal]. Innen látható, hogy az elhajlás relatív intenzitását a d ü = döy dör elemi térszögben az

mennyiség adja meg.Tekintsünk két olyan ernyőn létrejövő Fraunhofer-elhajlást, amelyek egymás „k i

egészítései” : az első ernyőnek ott van nyílása, ahol a második átlátszatlan, és fordítva. Jelöljük w(1)-gyel és w(2)-vel a fenti ernyőkön elhajlást szenvedett fény terét (egyforma beeső fény mellett). Mivel és a (61,1) integrállal fejezhetők ki, ahol az ernyők nyílására kell integrálni, és mivel a két ernyő nyílásai teljes síkká egészítik ki egymást, annak az erőtérnek a Fourier-komponense, amelyet az ernyőknélkül kapunk, vagyis a beeső fényé. A beeső fény viszont szigorúan adott irányba terjedő síkhullám, így = 0, bármely, zérustól különböző q-ra. Tehát == — u f , vagy a megfelelő intenzitásokra

Ez azt jelenti, hogy az egymást kiegészítő ernyőkön az elhajlást szenvedett fény intenzitáseloszlása egyforma (ez az ún. Babinet-elv).

Itt megemlítjük a Babinet-elv egyik érdekes következményét. Tekintsünk valamilyen fekete testet, azaz olyan testet, amely az egész reá eső fényt elnyeli. A geometriai optikának megfelelően egy ilyen test megvilágításakor mögötte geometriai árnyék jelenne meg, amelynek keresztmetszete megegyezik a testnek a fény beesési irányára merőleges keresztmetszetével. Az elhajlás jelensége azonban azt eredményezi, hogy a fény részlegesen eltérül az eredeti irányától. Ennek következtében a test mögött nagy távolságban nem lesz árnyék, és az eredeti irányban terjedő fényen kívül megjelenik egy bizonyos fénymennyiség, amely az eredetivel kis szögeket bezáró irányokban terjed. Könnyen meghatározhatjuk ennek a szórt fénynek az intenzitását. Vegyük észre, hogy a Babinet-elv szerint az adott testen az elhajlás következtében eltérült fénymennyiség megegyezik azzal, amely egy átlátszatlan ernyőbe vágott, az adott test keresztmetszetével megegyező alakú és nagyságú nyíláson eltérül. Viszont nyíláson keletkező Fraunhofer-elhajlás esetén a nyílásra beeső egész fény eltérül. Innen következik, hogy egy fekete test által szórt fény teljes mennyisége megegyezik a testre eső és elnyelt fénymennyiséggel.

Feladatok

1. Határozzuk meg a Fraunhofer-elhajlást abban az esetben, amikor egy síkhullám merőlegesen esik egy átlátszatlan ernyőbe vágott (2a szélességű) végtelen résre.

Megoldás. Válasszuk a rés síkját az jz síknak, és haladjon a z tengely a rés hosszanti irányiban (a 13. ábrán az ernyő metszete látható). Merőleges beesés esetén a rés síkja egyúttal egy hullám-

(61,5)

61. §. FRAUNHOFER-ELHAJLÁS 207

-a i\ +a ^i \L-\\0 \

\ k*

x13. ábra

felület — ezt választjuk a (61,1) képletben integrálási felületnek. Mivel a rés végtelen hosszú, a fény csak az xy síkban hajlik el [a (61,1) integrál qz ^ 0-ra eltűnik]. Ezért az u0 teret csak az y koordináta szerint kell kifejteni:

= w0 J e~igw dy =2«0 .---- sin qa.Q

Az elhajlást szenvedett fény intenzitása dO szögintervallumban

dl = dg2 71

70 sin2Tiak 02

dO,

ahol k = oj/c, 70 pedig a résre eső fény intenzitása.

74.

dl/dO az elhajlás szögének függvényében úgy néz ki, amint azt a 14. ábra mutatja. Ha a d szöget0 = 0-tól egyik vagy másik irányban növeljük, az intenzitás egy sor gyorsan csökkenő magasságú maximumot vesz fel. A maximumok között, a 0 = tm/ka helyeken vannak a minimumok (« egész szám), ezekben az intenzitás eltűnik.

2. Ugyanez a feladatunk rácson történő diffrakció esetén, ahol a rács egy sík ernyőbe vágott egyforma, párhuzamos résekből áll (a rés szélessége 2a, az átlátszatlan ernyő szélessége a szomszédos rések között 2b, a rések száma N).


Megoldás. Válasszuk a rács síkját yz síknak, a z tengely legyen párhuzamos a résekkel. A diffrakció ismét csak az xy síkban megy végbe, és (61,l)-ben az integrálás eredményei

A'-l \ _p—2iNqd«* = “ú E 0 2,n,d = "í ■ j •

ahol d = a-t-b, és w' az egy résre elvégzett integrál eredménye. Felhasználva az első feladat eredményét, azt kapjuk, hogy

n _ l s*n N q d \2 ( sin q a \2 A _ / 0 / sin NkOd \ 2 sin2 m ” mT \^ in ~ ^ T / l j y ~ \ sin kOd ) W

(/0 az összes résen áthaladó fény teljes intenzitása).Ha a rések száma nagy (iV->oo), akkor ezt a képletet más alakban is felírhatjuk. A q = 7in/d

értékeknél (n egész) dlfdq-nak maximuma van; egy ilyen maximum közelében (vagyis qd — rm+e esetén, ahol e kicsi):

_ /s in qa \ 2 sin2 Ne ,dl = í ()a --------- ------ dq .\ qa t ti Ns

Viszont N -► oo-re igaz a következő képlet:10

sin2 Nxhm —— — = ö(x) xN x“

így mindegyik maximum közelében

tehát a maximumok határesetben végtelenül keskenyek, és a fény intenzitása az /z-edik maximumban

un) _ r d sin2 (n7ia!d)* *0 2 '>7iza ív

3. Határozzuk meg az intenzitás szögeloszlását egy a sugarú környílásra merőlegesen beeső fény esetén.

Megoldás. Vezessük be a z, r, (p hengerkoordinátákat, ahol a z tengely átmegy a nyílás középpontján, és merőleges annak síkjára. Nyilvánvaló, hogy az elhajlási kép szimmetrikus a z tengelyre nézve, és így a q vektornak csak sugárirányú komponense van: qr = q = kd. A q? szöget q irányától számítva és (61,l)-ben a nyílás síkjára integrálva, azt kapjuk, hogy

a 2n a— wo j* f e~iqr cosCpr d(f dv — 2?iu0 | J0(qr)rdt\

10 x ^ 0 esetén az egyenlőség bal oldalán álló függvény zérus, és a Fourier-sorok elméletéből ismert képletek alapján:

Ebből látható, hogy a fenti függvén) tulajdonságai valóban megegyeznek a ó-fűggvényéivel (lásd a 28. § 4 számú lábjegyzetét).

61. §. FRAUNHOFER-ELHAJLÁS

ahol / 0 a nulladrendű Bessel-fiiggvény. Az ismert

r cij J^iqr) r dr = — J x{aq)

képlet alapján

2mi0aua = ---------J\(aq),Q

és végül (61,4) szerint a dü térszögbe szórt fény intenzitása

„ r JÍ(akO) ^dl = h ^ ■ dQ ,

ahol /0 a nyílásra eső fény teljes intenzitása.

14 Elméleti fizika II. — 42 221/11.

VIII. F E J E Z E T

MOZGÓ TÖLTÉSEK ERŐTERE

62. §. Retardált potenciálok

Az V. fejezetben nyugvó töltések által keltett állandó mezőt vizsgáltunk, a VI. fejezetben pedig időben változó mezőt, de töltések nélkül. Most olyan eseteket fogunk vizsgálni, amikor a mezők időben változnak, bennük a töltések tetszőleges mozgást végeznek.

Vezessük le azokat az egyenleteket, amelyek meghatározzák a mozgó töltések által keltett mező potenciáljait. Ezt célszerű négydimenziós alakban elvégezni, megismételve a 46. § végén ismertetett levezetést, azzal a különbséggel, hogy most a

8Fik An .. dxk c ^

(30,2) Maxwell-egyenleteket kell alkalmazni, és a jobb oldal különbözik zérustól. Ugyanez a jobb oldal jelenik meg a (46,8) egyenletben is, és miután a potenciálokra kiróttuk a

fi a * 1 dm= 0, vagyis az — ^ - + div A = 0 (62,1)

dx1 c dt

Lorentz-feltételeket, azt kapjuk, hogy

0 2 A i A j r

/'. (62,2)dx k Sxk c

Ez az egyenlet tetszőleges elektromágneses tér potenciálját meghatározza. H árom dimenziós alakban ez két, A-ra és cp-re vonatkozó egyenletként írható le:

. 1 82A 47 t . /a A “ -2 -^2 = h (62,3)

&<P- - C2 = - 4 ne. (62,4>

62. §. RETARDÁLT POTENCIÁLOK 211

Állandó erőterek esetén ezek az általunk már ismert (36,4) és (43,3) egyenletekre vezetnek, töltés nélküli változó erőterek esetén pedig a homogén hullámegyenletekre.

A (62,3) és (62,4) inhomogén lineáris egyenletek megoldását felírhatjuk a jobb oldal elhagyásával kapott homogén egyenletek megoldásának és az eredeti inhomogén egyenletek speciális megoldásának összegeként. E speciális megoldás meghatározása céljából osszuk fel az egész teret végtelen kis részekre, és számítsuk ki az egyik ilyen térfogatelemben levő töltés által létrehozott erőteret. Mivel az egyenletek lineárisak, a valódi erőtér az egyes elemek által létrehozott erőterek összege lesz.

Az adott térfogatelem de töltése általában véve az idő függvénye. Ha a koordináta- rendszer kezdőpontját az említett térfogatelemben vesszük fel, akkor a töltéssűrűség q = de(t) <5(R), ahol R az origótól mért távolság. így a következő egyenletet kell megoldanunk:

* P -~ C2 W = ~ 471 de(t) Ó(R)- (62’5)

Az origón kívül <5(R) = 0 mindenütt, tehát teljesülnie kell a

1 d2wA<P~72 W = 0 (62,6)

egyenletnek. Nyilvánvaló, hogy az adott esetben cp gömbszimmetrikus, vagyis csak R függvénye. Ha tehát a Laplace-operátort gömbkoordinátákban írjuk fel, (62,6) a következő alakot ö lti:

J _ J L í m &P_\__ 1 _ nR 2 8R \ d R ) c2 dt2

Végezzük el ebben az egyenletben a q = %(R, t)/R helyettesítést. Ekkor /-re azt kapjuk, hogy

_ J g2% _ ndR2 c2 dt2

Ez viszont éppen a síkhullámok egyenlete, amelynek megoldása (lásd a 47. §-t) a következő alakú:

Mivel az egyenletnek csak egy speciális megoldását keressük, az / u /2 függvények közül elég az egyiket megtartani. Általában kényelmesebb az / 2 = 0 választás (erről lásd alább). Ekkor a cp potenciál, az origót kivéve, mindenütt így írható :

212 VIII. MOZGÓ TÖLTÉSEK ERŐTERE

A fenti egyenlőségben a % függvény egyelőre tetszőleges; válasszuk most meg úgy, hogy a potenciálra az origóban is helyes értéket kapjunk. Más szóval %-nek olyannak kell lennie, hogy az origóban teljesüljön a (62,5) egyenlet. Ezt könnyen megtehetjük, ha észrevesszük, hogy R 0-ra a potenciál a végtelenhez tart, és így a koordináták szerint képzett deriváltjai gyorsabban nőnek, mint az időderiváltja. Ezért R -► 0

1 d2cpesetén a (62,5) egyenletben az — ta§ elhagyható A cp mellett. Ekkor viszont az

általunk már ismert (36,9) egyenletet kapjuk, amely a Coulomb-törvényhez vezet, így a (62,7) kifejezésnek az origó közelében a Coulomb-törvénybe kell átmennie, ahonnan következik, hogy %(t) = de(t), vagyis

Innen könnyen megkaphatjuk a (62,4) egyenlet megoldását tetszőleges @(x, y , z, t) töltéseloszlás esetén. Ehhez elég behelyettesíteni a de — q dV kifejezést (<dV a térfogatelem) és integrálni az egész térre. A (62,4) inhomogén egyenlet így kapott megoldásához hozzáadjuk a jobb oldal elhagyásával kapott homogén egyenlet egy <p0 megoldását. Az általános megoldás tehát:

^ r ’ ^ = f ¥ e ( r ’ d V ’ + (p0'J V ’ (62,8)

R = r — r', dV' = dx' dy' d z \

ahol r = (x, y, z), r' = (x', y \ z'), R a távolság a dV térfogatelem és a „megfigyelési pont” (amelyben a potenciál értékét keressük) távolsága. Ezt a kifejezést röviden a következő alakban írjuk:

v = j* dv+(po' (62,9)

ahol az index azt jelenti, hogy q értékét a t —Rfc időpillanatban kell venni, dV-ről elhagytuk a vesszőt.

Hasonló kifejezéssel határozható meg a vektorpotenciái is :

A = 7 1 d v + Ao’ (62’10)

ahol Ao a homogén (62,3) egyenlet megoldása.A (62,9) és (62,10) kifejezéseket (c p o és A0 nélkül) retardált potenciáloknak szokás

nevezni.Álló töltések (vagyis időtől független q sűrűség) esetén a (62,9) képlet az elektro

sztatikus tér potenciálját meghatározó (36,8) képletbe megy át; (62,10) pedig a tölté

63. §. LIENARD—WIECHERT-POTENCIÁLOK 2 13

sek stacionáris mozgása esetén (átlagolás után) az állandó mágneses tér vektorpotenciálját leíró (43,5) képletbe.

A (62,9) és (62,10) kifejezésekben a 990, A 0 mennyiségeket úgy kell meghatározni, hogy teljesüljenek a feladat feltételei. Ehhez nyilvánvalóan elegendő' lenne megadni a kezdeti feltételeket, vagyis az erőteret a kezdeti időpontban. Ilyen feltételek azonban általában nem fordulnak elő. Ehelyett adott az erőtér a töltésektől nagy távolságokban és minden időpillanatban. Például adott a töltésrendszerre beeső külső sugárzás. Ennek megfelelően a fenti sugárzás és a rendszer kölcsönhatása következtében kialakuló erőtér a külső erőtértől csak a töltésrendszerből kiinduló sugárzásban különbözhet. A töltésrendszerből kiinduló sugárzásnak nagy távolságokban olyan hullámnak kell lennie, amely a rendszertől távolodik, vagyis a növekvő R értékek irányában halad. Ennek a feltételnek éppen a retardált potenciálok felelnek meg. Az utóbbiak tehát a töltésrendszerből kiinduló erőteret adják meg, a <^0 és A0 potenciálokat viszont a töltésrendszerre ható külső erőtérrel kell azonosítanunk.

63. §. Lienard—Wiechert-potenciálok

Határozzuk meg egy adott r = r o(0 mozgást végző részecske által keltett erőtér potenciáljait.

A retardált potenciálokat meghatározó képletek szerint az erőteret a P (x , j,- z) észlelési pontban a t időpillanatban a töltésnek egy ezt megelőző t' időpillanatra vonatkozó mozgásállapota határozza meg, ahol a töltés r 0(O helyéről kiinduló fényjel éppen t —t' idő alatt ju t el a P észlelési pontba. Legyen R(í) = r—r o(0 az e töltésből a P pontba mutató helyvektor; r o(0 “vel együtt ez is adott függvénye az időnek. Ekkor a t' időpillanatot a

t ’+ ^ p - = t (63,1)

egyenlet határozza meg. Ennek az egyenletnek t bármely értékére csak egy t' gyöke van . 1

1 Ez az állítás önmagában is elég nyilvánvaló, de közvetlenül is meggyőződhetünk helyességéről. Válasszuk a P megfigyelési pontot és a t időpillanatot a négydimenziós koordináta-rendszer O kezdőpontjának, és vegyük fel az O pontból kiinduló fénykúpot (2. §). E kúp alsó része, amely az (O ponthoz képest) abszolút múlt tartományát határolja, azoknak a pontoknak a mértani helye, amelyekből kiinduló fényjel eljut az O pontba. A fenti hiperfelület és a töltés mozgását leíró világvonal metszéspontjai éppen a (63,1) egyenlet gyökeinek felelnek meg. Mivel a részecske sebessége kisebb a fénysebességnél, világvonala mindig kisebb szöget zár be az időtengellyel, mint a fénykúp. Ebből következik, hogy a részecske világvonala a fénykúp alsó részét csak egy pontban metszheti.

Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske a t' időpillanatban nyugalomban van, az észlelési pontban a t időpillanatbeli erőteret egyszerűen a Coulomb-potenciál adja meg, azaz

< P = ~ r y A — 0. (63,2)

Tetszőleges koordináta-rendszerben a potenciálok olyan négyes vektort alkotnak, amely v = 0 sebesség esetén 99-re és A-ra a (63,2) értékeket adja. Észrevéve, hogy(63,1) alapján a (63,2)-ben megadott cp potenciált a

alakban is írhatjuk, azt kapjuk, hogy a keresett négyesvektor

Ai = e ^ , (63,3)

ahol uk a töltés négyes sebessége, az R k négyesvektor pedig R k — [c ( t~ tf), r —r'] Itt x', y \ z', tf kielégítik a (63,1) összefüggést; az utóbbit invariáns alakban is felírhatjuk :

R kRk = 0. (63,4)

Visszatérve a háromdimenziós jelölésekre, egy tetszőlegesen mozgó pontszerű töltés által keltett erőtér potenciáljaira a következő kifejezéseket kapjuk:

y = V l ó , , A = - ..g ^ - . , (63,5)

ahol R a töltés helyéből a P észlelési pontba mutató helyvektor, és a jobb oldalon szereplő mennyiségek a (63,1) által meghatározott tr időpillanatra vonatkoznak. A (63,5) alakban felírt kifejezések a Lienard—Wiechert-potenciálok.

Ha ki akarjuk számítani az elektromos és mágneses térerősséget az

1 0A t _ _E = ------- =---- grad H = rőt A

c dt

képletek segítségével, akkor a 99 és A potenciálokat az észlelési pont x, y , z koordinátái és az észlelés t időpillanata szerint kell deriválnunk. Viszont a (63,5) képletek a potenciálokat t' függvényében adják meg, és csak a (63,1) összefüggésen keresztül kapjuk meg az x, y , z, t függést. Ezért a keresett deriváltak kiszámításához először

63. §. LIENARD—WIECHERT-POTENCIÁLOK 2 1 5

a f szerint képzett deriváltakat kell meghatározni. Az R(t') = c ( t - t ' ) összefüggést / szerint deriválva, azt kapjuk, hogy

dR BR Bt' Rv dt' _ / , dt Bt' Bt R Bt C

[BRfBt' értékét az i?2 = R2 azonosság deriválásával és a BR(t')IBt — — v(í') behelyettesítéssel kapjuk; a negatív előjel onnan ered, hogy az R vektor az e töltéstől a P pontba mutat, és nem fordítva]. Ebből

Re

Ugyanazt az azonosságot a koordináták szerint deriválva, azt kapjuk, hogy

grad f = - 1 grad R {f) = ~ ^ grad ' ' + ,

ahonnan

grad t ’ = — , R r , . (63,7)

A fenti képletek segítségével E és H kiszámítása nem okoz nehézséget. A közbenső számításokat elhagyva, közöljük a kapott eredményt:

E = e ----- ( r - ^ # ) + g R x ( ( r - - / ? ) x »1, (63.8'1 C 1 * ( * - * ) U ' ' 1

H = 4 - R X E . (63,9)R

Itt v = B\/Bt'; a jobb oldalakon szereplő minden mennyiséget a t' időpillanatban kell venni. Érdemes megemlíteni, hogy a mágneses térerősség mindenütt merőleges az elektromos térerősségre.

A (63,8) elektromos tér két különböző jellegű részből áll. Az első tag csak a részecske sebességétől függ (a gyorsulásától nem), és nagy távolságokban l/7?2-ként viselkedik. A második tag függ a gyorsulástól, és nagy R-ekre l/i?-ként csökken. A későbbiekben (66. §) látni fogjuk, hogy az utóbbi tag a részecske által kisugárzott elektromágneses hullámokkal kapcsolatos.

Ami az első tagot illeti, ez, független lévén a gyorsulástól, egy egyenletesen mozgó töltés erőterének felel meg. Valóban, állandó sebesség esetén az

R = R í'—\ ( t —t')c

különbség éppen a töltés és az észlelési pont között a megfigyelés pillanatában mért R t távolság. Ugyancsak közvetlenül ellenőrizhető, hogy

R t— ^ Rf'V = | / ^ - ^ ( v X R , ) 2 = R t |^ 1 sin2 0„

ahol dt az R, és v által bezárt szög. így azt kapjuk, hogy (63,8) első tagja egybeesik a (38,8) kifejezéssel.

Feladat

A Lienard—Wiechert-potenciálokat a (62,9) és (69,10) képletekből vezessük le közvetlen integrá-1 ássál.

Megoldás. írjuk a (62,8) képletet

alakba [hasonlóan A(r, 0 _re], ahol a ő-függvény beírásával megszabadultunk q implicit változóitól. Adott r = r0(/) pályán mozgó pontszerű töltésre:

o(r\ t) = <?ó[r'-r0(T)j.

Ezt behelyettesítve és a dV' szerinti integrálást elvégezve, azt kapjuk, hogy

?(r’ 0 = e J T ^ ) T ó[T“ ,+ T l r - r»(T)1]-

dr szerint az integrálást a

srcv M Ö (T-t')W *)] = -T w r

képlet szerint végezzük el [/' az F(t') = 0 egyenlet gyöke], és ez a (63,5) képletre vezet.

64. §. A RETARDÁLT POTENCIÁLOK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA 217

64. §. A retardált potenciálok spektrális felbontása

A mozgó töltések által létrehozott erőteret kifejthetjük monokromatikus hullámok szerint. Az erőtér egyes monokromatikus komponensei 99 A o)e~lcvt alakúak.Az erőteret létrehozó töltéseket és áramokat szintén kifejthetjük különböző frekvenciájú komponensek szerint. Nyilvánvaló, hogy az erőtér egyes monokromatikus komponenseit g és j megfelelő komponensei határozzák meg.

Az erőtér spektrális komponenseinek a töltés és az áram komponenseivel való megadása céljából írjuk be (62,9)-ben cp és q helyett a (pcoe~l0)l és Q(l)e~l(l>t kifejezéseket. Ekkor

e *"JÍ-vel egyszerűsítve és a hullámvektor k = co/c abszolút értékét bevezetve:

Vegyük észre, hogy a (64,1) képlet a Poisson-egyenlet megoldásának kiterjesztése a

általánosabb egyenlet esetére [amelyet a (62,4) egyenletből kapunk, ha q és y időfüggését egy e~IOJt szorzótényező írja le].

A töltéssűrűség Fourier-komponense

(64,1)

Aro-ra a fentihez hasonlóan azt kapjuk, hogy

(64,2)

Atyn+IApa, = —4nqV) (64,3)

~r 0 0

Qa> = | QeioJt dt.

Ezt a kifejezést (64,1)-be helyettesítve,

218 Vili. MOZGÓ TÖLTÉSEK ERŐTERE

A folytonos töltéseloszlásról még át kell térnünk pontszerű töltésekre, hiszen a valóságban ezeknek a mozgásáról van szó. Ha csak egy pontszerű töltésünk van, akkor

q = ed[r —r 0(OL

ahol a töltés r 0(0 helyvektora az idő adott függvénye. Ezt a kifejezést (64,4)-be helyettesítve és a dV szerint az integrálást elvégezve [ez azt eredményezi, hogy r-et ro(0_vel kell helyettesíteni], azt kapjuk, hogy

4- oo

cp0J = e j* eko[t+R(<t)lc] dt, (64,5)

— oo

ahol R(t) a mozgó részecske és az észlelési pont távolsága. A fentihez hasonló módon a vektorpotenciáira az

Af„ = — f ek,)[t+R lc] dt (64,6)c J * (0

képletet nyerjük, ahol v = r 0(0 a részecske sebessége.A (64,5) és (64,6) összefüggéseknek megfelelő képleteket arra az esetre is felírhat

juk, amikor a töltés és az áram spektrális kifejtése diszkrét frekvenciákat tartalmaz, így például egy pontszerű töltés periodikus (T = 2tt/co0 periódusú) mozgása esetén az erőtér spektrális kifejtése csak nco0 frekvenciákat tartalmaz, és a vektorpotenciái megfelelő komponensei:

T

= An f - S l dt (64,7)cT J R(t) v0

(hasonlóan 9vre). A (64,6) és (64,7) képletekben a Fourier-komponenseket a 49. § szerint definiáltuk.

Feladat

Fejtsük ki síkhullámok szerint egy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző ponttöltés erőterét.

Megoldás. Járjunk el úgy, mint az 51.§-ban. A töltéssűrűséget írjuk o = eö(x—\t) alakban, aholv a részecske sebessége. A □ 99 = — 4xeö(r— \t) egyenlet Fourier-komponensét véve, azt kapjuk," hogy

(□9»k = - 4 : r ^ - í(vk>'.Másrészről viszont a

f /kr d*k (r=i e

9

65. §. A LAGRANGE-FÜGGVÉNY 219

egyenlőségbőli a^k

így

ahonnan végül

<pk = Ane -

Innen látható, hogy a k hullámvektorhoz tartozó frekvencia o j — kv. Hasonlóképpen a vektorpotenciáira azt kapjuk, hogy

4:ze ve -l{ky)t c r> /kv\ 2

M t)Végezetül a térerősségek:

Ek = _ /k?k + Í ^ Ak = i4~re-------

k!- { v )

H|i = /kXA|i = i ^kV>í •

65. §. A Lagrange-függvény a másodrendű tagok f igy elembevételével

A szokásos klasszikus mechanikában az egymással kölcsönható részecskék rendszere leírható a Lagrange-függvény segítségével, amely csak a részecskék (egyazon időpillanathoz tartozó) koordinátáitól és sebességeitől függ. Ezt végső soron az teszi lehetővé, hogy a mechanikában a hatások terjedési sebességét végtelennek tételezzük fel.

Már mondottuk, hogy a hatások terjedésének véges sebessége miatt az erőteret saját „szabadsági fokokkal” rendelkező önálló rendszernek kell tekinteni. Ezért az egymással kölcsönható töltött részecskékből álló rendszer leírására a részecskéket és az erőteret magábafoglaló anyagi rendszert kell vizsgálnunk. Ennek következtében, a hatások véges terjedési sebességét figyelembe véve, a kölcsönható részecskék rendszere nem írható le egzaktul olyan Lagrange-függvénnyel, amely csak a részecskék

koordinátáitól és sebességeitől függ, és nem tartalmaz a tér „szabadsági fokaival’’ összefüggő mennyiségeket.

Ha azonban a részecskék v sebességei mind kicsik a fénysebességhez képest, akkor a töltések rendszere leírható egy közelítő Lagrange-függvény segítségével. Ilyen Lagrange-függvény használata nemcsak vjc összes hatványainak elhanyagolásakor lehetséges (klasszikus Lagrange-függvény), hanem a v2jc2 nagyságrendű tagok figyelembevételével is. Ez azzal kapcsolatos, hogy a mozgó töltések által kisugárzott elektromágneses hullámok (és így az „önálló” erőtér) csak a vjc szerinti harmadik közelítésben jelennek meg (lásd a későbbi 67.§-t).2

Előzetesen megjegyezzük, hogy a nulladik közelítésben, tehát a potenciálok retar- dálásának teljes elhanyagolásakor a töltésrendszer Lagrange-függvénye

alakú. (Az összegezés a rendszert alkotó töltésekre vonatkozik.) A második tag a kölcsönhatás potenciális energiája álló töltések esetén.

Válasszuk ki a rendszer valamelyik töltését, határozzuk meg a többi töltés által létre-

részecskék koordinátáival és sebességeivel (éppen ez az, amit csak közelítőleg tehetünk meg: </-t v-jc1 rendig, A-t pedig v/c rendig). A potenciálok így kapott kifejezéseit (65,2)-be helyettesítve, megkapjuk a rendszer egyik töltéséhez tartozó Lagrange- függvényt (a többi adott mozgása mellett). Ebből már könnyen levezethetjük az egész rendszer Lagrange-függvényét.

A retardált potenciálok

kifejezéseiből indulunk ki. Ha az összes töltés sebessége kicsi a fénysebességhez képest, akkor a töltéseloszlás „nem ér rá ” nagyon megváltozni R/c idő alatt. így a

9

(65,1)

A következő közelítés meghatározása céljából írjuk fel egy külső térben mozgó ea töltés Lagrange-függvényét:

(65,2)

hozott potenciálokat az első töltés helyén, és fejezzük ki ezeket az erőteret létrehozó

2 Különleges esetekben a sugárzás megjelenése eltolódhat a vjc szerinti ötödik rendig; ebben azesetben a Lagrange-függvény (v/c)4-es tagokat is tartalmazó közelítésben is létezik. (Lásd a 75. § 2.feladatát.)


Qt -Ri c 5 h - R / c mennyiségeket sorba fejthetjük R j c hatványai szerint. A skalárpoten- ciálra másodrendig a következő kifejezést kapjuk:

C gdV 1 d r ___ 1 d2 r J R~ c d t ] 2 + 2c2 dt2 ) Q

(Az index nélküli g a t időpillanatban vett g értéket jelöli; az idő szerinti deriválás jele, mint az könnyen látható, kivihető az integráljel elé.) Viszont j gdV a rendszer állandó töltése, így a kapott kifejezés második tagja eltűnik, tehát:

( 6 5 ' 3 )

Hasonlóan járhatunk el A-val is. Az áramsűrűséggel kifejezett vektorpotenciái azonban már maga is tartalmaz egy 1/c tényezőt, ezt a Lagrange-függvénybe helyettesítve, ismét fellép egy 1/c. Mivel a Lagrange-függvényt csak a másodrendű tagokig bezárólag keressük, így A kifejtésében elegendő az első tagot megtartani, azaz

(beírtuk, hogy j = gv).Tegyük fel először, hogy az erőteret egyetlen pontszerű e töltés hozza létre. Ekkor

(65,3)-ból és (65,4)-bőle e d2R e \

v ~ r + 2?: H F ' Í r ’ (

ahol R a töltéstől mért távolság.Vezessünk be a cp és A potenciálok helyett más, cp>f és A' potenciálokat, vagyis hajt

sunk végre mértéktranszformációt (lásd a 18. §-t):

1 d f(p ? a = A+ g r a d / ,

ahol az / függvényt válasszuk a következőnek:

r _ e dRf ~2~c ~df '

Ekkor azt kapjuk, hogy3. e . , e\ e dR

V = R ’ = ~cR+ 2 c V l h '

3 Ezek a potenciálok már nem teljesítik a (62,1) Lorentz-feltételt, és így nem tesznek eleget a(62,3) és (62,4) egyenleteknek sem.


dR dA' kiszámításához veeyük észre, hogy v — = — vR . A v művelet az észlelési

dt dtpont koordinátái szerinti deriválást jelenti (ebben a pontban keressük az A' potenciált). Ezért a v R gradiens az e töltésből az észlelési pontba mutató egységvektorral egyenlő, tehát

A, e \ e .= ~cR + 2 c n '

TovábbáR Rw

8 / R \ Rn “ dt U J ~ X

Viszont a — R derivált adott észlelési pont esetén a töltés v sebességével egyenlő, és az R deriváltat könnyen meghatározhatjuk az R- = R2 azonosság deriválásával:

RR = RR = -R v .

így—v + n(nv)

Ezt az A'-re felírt kifejezésbe helyettesítve, végül azt kapjuk, hogy

e * / e[v+(vn)n]* = 7 P A = 2c R • (65’6)

Ha a teret nem egy, hanem több töltés hozza létre, akkor ezeket a kifejezéseket nyilvánvalóan minden töltésre összegezni kell.

Az így kapott potenciálokat (65,2)-be helyettesítve, megkapjuk az ea töltés L a. Lagrange-függvényét (a többi töltés megadott mozgása esetén). Eközben (65,2) első tagját szintén sorba fejtjük v j c hatványai szerint, és a másodiknál magasabb rendű- tagokat elhagyjuk. így azt kapjuk, hogy

ftlaVa 1 níaVa yrp, r , x ✓La = + ^ ~ ö ~ - eaL -s— (v*n0*)(v*nű6)J.

Z o C b Jâ b b -K-ab

(Az ea kivételével minden töltésre összegezni kell, nab az eb és ea töltések helyzete által meghatározott irány egységvektora.)

Ezután már nem okoz nehézséget az egész rendszer Lagrange-függvényének meghatározása. Könnyű rájönni, hogy ez a függvény nem az egyes töltésekre felírt L a kifejezések összege, hanem a következő:

W la ^ a v-* W âVa y ' 1 ^ a ^ b €a@b r . , \l = L 9 + L ~ ö ~ r - £ -B— + £ [v«vö+ (v anű6)(vönűö)]. (65,7)a Z u oC a > b fâb a> b ZC J\ab

Valóban, a töltések bármelyikére a többi töltés adott mozgása esetén ez az L függvény a fenti L a-ba megy át. A (65,7) kifejezés megadja a töltések rendszerét leíró Lagrange- függvényt a másodrendű tagokat tartalmazó pontossággal (ezt először C. G. Darwin vezette le 1922-ben).

Végül határozzuk meg egy töltésekből álló rendszer Hamilton-függvényét ugyanebben a közelítésben. Ezt megkaphatnánk L-ből az általános szabályok szerint, egyszerűbben célt érünk azonban a következőképpen. A (65,l)-ben felírt L(0)-hoz(65,7) második és negyedik tagja kis korrekciót ad. Másrészről viszont a mechanikából tudjuk, hogy kis változások esetén azL-hez és 76-hoz adódó kis korrekciók nagysága megegyezik, előjelük pedig különböző (mégpedig L változását adott koordináták és sebességek, 76 változását adott koordináták és impulzusok mellett kell érteni; lásd az I. kötet 40.§-át).

így rögtön felírhatjuk 76-1, ha a2

gcm = y . y^ 2m a a^b Rah

kifejezésből kivonjuk (65,7) második és negyedik tagját, amelyekben előzetesen a sebességeket a v ö = palma első közelítés segítségéve] az impulzusokkal helyettesítettük. Tehát

^ = Z ~ “ + Z Z „ Z " * * [P«P*+(PaM (P * n a*)1- (65,8)« 2ma «=>* R ab a 8c'mf, a =-* 2c~mambRab

Feladatok

1. Határozzuk meg (másodrendű tagokat tartalmazó pontossággal) egy kölcsönható részecskékből álló rendszer tömegközéppontját.

Megoldás. A feladatot legegyszerűbben az

\ WtcIV

R ~ Z ^ + J'W dV

képlet segítségével határozhatjuk meg [vö. (14,6)-tal], ahol S a a részecske mozgási energiája (a nyugalmi energiáját is beleértve), W pedig a részecskék által keltett erőtér energiasűrűsége. Mivel az S a energia az mac2 nagy mennyiséget tartalmazza, a következő közelítés meghatározásához elegendő <a-ban és W-ben a c-1 nem tartalmazó tagokat, vagyis a részecskék nemrelativisztikus mozgási energiáját és az erőtér potenciálját figyelembe venni. Ekkor

a végtelen távoli felületre vett integrál eltűnik; a második integrál felületi integrállá alakítható át, és ez is eltűnik, míg a harmadikba a A (p = - 4to helyettesítése után azt kapjuk, hogy

ahol <pa az a potenciál, amit a rendszer töltései, en figyelembevétele nélkül, az ra pontban hoznak létre.4

így a végeredmény:

a rendszer teljes energiája. Tehát a vizsgált közelítésben a tömegközéppont koordinátái valóban kifejezhetők kizárólag a részecskékre vonatkozó mennyiségek segítségével.

2 . írjuk fel két részecskéből álló rendszer Hamilton-függvényét második közelítésben, kiküszöbölve belőle a rendszer egészének mozgását.

Megoldás. Válasszunk olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben a két részecske impulzusainak összege zérus. Az impulzusokat a hatás deriváltjaival kifejezve:

Innen látható, hogy az adott vonatkoztatási rendszerben a hatás a két részecske helyzetvektorainak r = r2 — különbségétől függ. így p2 = — Pi = p, ahol p = dS/dr a részecskék relatív mozgásának impulzusa.

A Hamilton-fiiggvény tehát:

(az összegezés minden b-re vonatkozik, b = a kivételével), ahol

4 A részecske sajátterének elhagyása a 37. § í számú lábjegyzetében említett tömeg-„renormálás- nak” felel meg.

IX. F E J E Z E T

ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KISUGÁRZÁSA

66. §. Töltésrendszer erőtere nagy távolságokban

Tekintsük egy mozgó töltésekből álló rendszer elektromágneses terét a rendszer saját méreteihez képest nagy távolságokban.

A koordináta-rendszer O kezdőpontját válasszuk valahol a töltésrendszer belsejében. Az O-ból a P észlelési pontba húzott hely vektort jelöljük R 0-val, ennek irányába mutató egységvektort n-nel. A de — q dV töltéselem helyvektora legyen r, a de-bői a P pontba mutató helyvektor pedig R; nyilvánvalóan R = Ro—r.

A rendszertől nagy távolságban R 0 ^> r, és közelítőleg fennáll, hogy

R = | R0 —r | ^ tfo -n r .

Helyettesítsük ezt be a retardált potenciálokat meghatározó (62,9) és (62,10) képletekbe. Az integrandusok nevezőjében rn-et elhanyagolhatjuk R 0-hoz képest. A t —R 0/c argumentumban ezt általában véve nem tehetjük meg; az elhanyagolás lehetőségét nem R 0/c és rn/c relatív nagysága határozza meg, hanem az, hogy q és j mennyire változik rn/c idő alatt. Figyelembe véve, hogy integráláskor R 0 állandó, és így kivihető az integráljel elé, a töltésrendszertől távol a potenciálokra a következő kifejezéseket kapjuk:



A rendszertől elég nagy távolságra a tér kis tartományában az erőteret síkhullámnak tekinthetjük. Ehhez az szükséges, hogy a távolság ne csak a rendszer méreteihez, hanem a rendszer által kisugárzott elektromágneses hullámok hullámhosszához képest is nagy legyen. Az erőtérnek ezt a tartományát a sugárzás hullámzónájának nevezzük.

Síkhullámban az E és H térerősségek közt fennáll az E = H X n (47,4) összefüggés. Mivel H = rőt A, a hullámzónában a mágneses térerősség meghatározásához ele-15 Elméleti fizika IT. - 42221/11.

226 IX. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KISUGÁRZÁSA

gendő a vektorpotenciáit kiszámítani. Síkhullámban H = Á X n [vö. (47,3)-mal]; a betű feletti pont idő szerinti deriválást jelent.1 Tehát A ismeretében H-t és E-t a következő képletek segítségével kapjuk meg:2

H = — Á X n , E = - ( Á X n ) X n . (66,3)c c

Megjegyezzük, hogy nagy távolságban a térerősség a sugárzó rendszertől mért Ro távolság első hatványával fordítottan arányos. Megemlítjük még, hogy a t idő a (66,1)—(66,3) kifejezésekben mindenütt 7?0-val együtt, a t—R 0/c kombinációban fordul elő.

Egyetlen tetszőlegesen mozgó ponttöltés sugárzásának kiszámításához célszerű a Lienard—Wiechert-potenciálokat használni. A rendszertől távol a (63,5) képletben a változó R helyvektort helyettesíthetjük az állandó Ro mennyiséggel, viszont a f időpillanatot meghatározó (63,1) feltételben R = R 0~ r0n-et kell írnunk [ro(0 a töltés helyvektora]. így3

ahol í' a következő egyenlőség segítségével határozható meg:

t ' —— ro(On — t — —— • (66,5)c c

A rendszer által kisugárzott elektromágneses hullámok bizonyos energiát visznek magukkal. Az energiaáramot a Poynting-vektor adja meg, ez síkhullámban:

A sugárzás egy dÜ térszögelemre eső d l intenzitását az origó középpontú, Ro sugarú gömbfelület d f = R% dü elemén időegység alatt átfolyó energiamennyiségként definiáljuk. Ez a mennyiség nyilvánvalóan az S energiaáram-sűrűségnek és d f nek a szorzata, vagyis

d l = c ~ R \ d Q . (66,6)

1 Az adott esetben ezt a képletet könnyen ellenőrizhetjük a (66,2) kifejezés rotációjának közvetlen kiszámításával is; a számítások során az Í I R 20-q s tagokat el kell hagyni az ~ 1 /R0 tag mellett.

2 Az E = — Á/c képlet [lásd (47,3)-at] itt nem alkalmazható, mivel a (p, A potenciálok nem elégítik ki a 47. §-ban kirótt mellékfeltételeket.

3 Az elektromos teret meghatározó (63,8) képletben ennek az felel meg, hogy az első tagot elhanyagoljuk a második mellett.

66. §. TÖLTÉSRENDSZER ERŐTERE NAGY TÁVOLSÁGOKBAN 2 2 7

Mivel H fordítottan arányos i?0-val, látjuk, hogy a rendszer által az időegység alatt egy adott térszögbe kisugárzott energia minden távolságra ugyanakkora (azonos t -R o /c különbség mellett). Természetesen ennek így is kell lennie, mivel a rendszer által kisugárzott energia a környező térben c sebességgel terjed, nem hajlik el, és nem vész el.

Vezessünk most le a rendszer által kisugárzott hullámok spektrális kifejtésére vonatkozó képleteket. Ezeket közvetlenül a 64. § képleteiből származtathatjuk.(64,2)-be az R = R 0—rn kifejezést helyettesítve (az integrandus nevezőjében elegendő R = R(rt írni), a vektorpotenciái Fourier-komponensére a következő kifejezést kapjuk:

(ahol k = &n). A H cy, Ew komponensek a (66,3) képletek segítségével határozhatók meg. Ha ezekbe H, E, A helyett megfelelően a H íy _ÍCÜÍ, ~E(üe~lait, A 0je~ltot kifejezéseket írjuk, majd ^“ iojr-vel egyszerűsítünk, azt kapjuk, hogy

A sugárzás intenzitásának spektrális eloszlásáról beszélve, meg kell különböztetnünk a Fourier-integrál és a Fourier-sor szerinti kifejtést. Fourier-integrálba kell fejteni a töltött részecskék ütközésekor fellépő sugárzást. Ilyenkor általában az ütközés ideje alatt kisugárzott teljes energiamennyiség érdekel bennünket. (Ez megegyezik az ütköző részecskék energiaveszteségével.) Legyen dSQa) egy do frekvenciatartományba eső hullám alakjában egy d ü térszögbe kisugárzott energia. A (49,8) általános képlet szerint a teljes sugárzásnak a dcojln intervallumra eső részét megkaphatjuk az intenzitás szokásos kifejezéséből, ha a térerősség négyzetét a Fourier-komponense abszolút értékének négyzetével helyettesítjük, és az eredményt megszorozzuk 2-vel. így (66,6) helyett azt kapjuk, hogy

Ha a töltések periodikus mozgást végeznek, a sugárzás terét Fourier-sorba kell fejteni. A (49,4) általános képlet szerint a Fourier-sorfejtés egyes komponenseinek intenzitását úgy kaphatjuk meg, hogy az intenzitás szokásos kifejezésében a térerősséget annak Fourier-komponensével helyettesítjük, és az eredményt 2-vel szorozzuk, így az co = n o 0 frekvenciájú, d ü térszögelembe jutó sugárzás intenzitása

>ikR(

(66,7)

H,„ = ik X A„, Ea = — k X (Aw X k).CO

(66,8)

d£nm = ~ \ U a ? R l d Q ~ . (66,9)

dln = ~ \ H „ \ 12R 20dQ. (66,10)

15*

Végül vezessük le azokat a képleteket, amelyeknek segítségével a sugárzó töltések adott mozgásából közvetlenül meghatározhatjuk a tér Fourier-komponenseit. A Fourier-integrálba fejtéskor

4- oo

j„ = J \ e iml d t .

Ezt (66,7)-be helyettesítve, majd a folytonos árameloszlásról egy ro = ro(0 pályán mozgó pontszerű töltésre áttérve (vö. a 64. §-sál), azt kapjuk, hogy

4- 00 pikRo fAa, = — — í>v(/)e'['" -kro<oi dt. (66,11)

cR o J

Mivel v = dro/dt, azért \ d t = dro, és ezt a kifejezést vonalintegrálként is felírhatjuk:pikRo P

A,,, = e —— d r 0. (66,12)cRo J

Integrálnunk a töltés pályája mentén kell. (66,8) alapján a mágneses tér Fourier- komponense:

Í(t)p‘kRo f*= e ~P R— £/(a ~kro)nX<A’o. (66,13)

Ha a töltés zárt pályán periodikus mozgást végez, akkor a térerősséget Fourier- sorba fejtjük. A kifejtés komponenseit megkaphatjuk, ha a (66,11)—(66,13) képletekben a teljes időtartam ra vett integrálást a mozgás T periódusidejére való átlagolással helyettesítjük (a definíciókat lásd a 49. §-ban). így a mágneses térerősség co = nco0 — = IrcnjT frekvenciához tartozó Fourier-komponense:

= g ^ T lR— J ^(WCOoí" kro(°)iiX \(t)-d t = <? ^ e^naJot- kro)n X d r0. (66,14)o

A második integrálban az összegezést a részecske zárt pályájára kell elvégezni.

Feladat

Határozzuk meg egy adott pályán mozgó töltés által kisugárzott négyesimpulzus spektrális kifejtését négydimenziós alakban.

Megoldás. (66,8)-at (66,9)-be helyettesítve, és figyelembe véve, hogy a (62,1) Lorentz-feltétel miatt kcp(0 = kAw, azt kapjuk, hogy

dU„ = ~ (k21 A(012 - [ kA(IJ |*)J?; dü ~ = £ kH\ K , |‘ - 1 <pa m i d ü ~ =

= - ~ k * A ií0A i* R * ,d Ü ^- .Z.T 2.71

Az A iv) négyespotenciált (66,12)-hözhasonló alakban írva, a következő kifejezést nyerjük:

k2P2= - "4^ r t i t * dii dk,

ahol / ' az alábbi négyesvektort jelöli:

X1 = J exp { - i k ^ d x 1.

Itt a részecske világvonala mentén kell integrálnunk. Végül négydimenziós jelölésekre áttérve [többek között a k -tér négydimenziós térfogatelemére, vö. a (10,1 a) egyenlőséggel], a kisugárzott négyesimpulzus így írható:

dPl = “ 2^ v t a ^ i k mkm) d*k.

67. §. DIPÓLSUGÁRZÁS 229

67. §. Dipólsugárzás

A retardált potenciálokat leíró (66,1) és (66,2) kifejezések integrandusaiban az rn/c időt elhanyagolhatjuk, ha ezalatt a töltések eloszlása csak kicsit változik. Ennek a feltételét könnyű meghatározni. Jelölje T annak az időtartamnak a nagyságrendjét, amely alatt a rendszer töltéseloszlása észrevehetően megváltozik. A rendszer sugárzásának periódusa nyilvánvalóan T nagyságrendjébe esik (vagyis a frekvencia i /T nagyságrendű). Jelöljük továbbá a-val a rendszer méreteinek nagyságrendjét. Ekkor az említett idő rn/c ~ afc. Ahhoz, hogy ez idő alatt a rendszer töltéseloszlása ne változzék lényegesen, szükséges, hogy a/c <$c T legyen. Viszont cT a sugárzás X hullámhossza. így az a « cT feltételt az

a <$c A (67,1)

alakban is felírhatjuk, vagyis a rendszer méreteinek kicsiknek kell lenniük a kibocsátott sugárzás hullámhosszához képest.

Vegyük észre, hogy a (67,1) feltételt (66,7)-ből is megkaphatjuk. Integráláskor r a rendszer méreteinek megfelelő tartományon fut végig, mivel a rendszeren kívül j zérus. Ezért az zkr kitevő kicsi, és így elhagyható, ha a vizsgált hullámokra &£ « 1, ami ekvivalens (67,1)-gyei.

Ezt a feltételt másképpen is megfogalmazhatjuk, ha észrevesszük, hogy T ~ a/v és így 1 ~ ca/v, ahol v a töltések sebességének nagyságrendje. Az a « A feltételből ekkor azt kapjuk, hogy

í? « c', (67,2)

vagyis a töltések sebességeinek kicsiknek kell lenniük a fénysebességhez képest.


A továbbiakban abból indulunk ki, hogy ez a feltétel teljesül, és a sugárzást a rendszertől a hullámhosszhoz (és következésképpen a rendszer méreteihez) képest nagy távolságokban vizsgáljuk. Mint a 66. §-ban megjegyeztük, ilyen távolságokban a mezőt síkhullámnak tekinthetjük, és így meghatározásához elegendő a vektor- potenciált megadni.

A (66,2) vektorpotenciái most

A = ' (67,3)

alakú, ahol f = t —Ro/c, és már nem függ az integrálási változóktól. A j = ov kifejezést behelyettesítve, a (67,3) képletet átírjuk a következő alakra:

A=7kG")-ahol a rendszer töltéseire kell összegezni. A rövidség kedvéért a f indexet elhagyjuk, az egyenlőségek jobb oldalán minden mennyiséget a f időpillanatban kell venni. Viszont

5 > = £ l « = A

ahol d a rendszer dipólmomentuma. Tehát

A = - ^ - d . (67,4)cRo

A (66,3) képletek segítségével azt kapjuk, hogy a mágneses térerősség

H = 1 dXn, (67,5)c2R 0

az elektromos térerősség pedig

E = Yu~ (dXn) Xn. (67,6)c Ro

Megjegyezzük, hogy az adott közelítésben a sugárzást a dipólmomentum másod ik deriváltja határozza meg. Ezt nevezik dipólsugárzásnak.

Mivel d = azért d = Tehát a töltések csak akkor sugározhatnak, hagyorsuló mozgást végeznek. Egyenletesen mozgó töltések nem sugároznak. Ez különben közvetlenül is következik a relativitás elvéből, mivel az egyenletesen mozgó töltést olyan rendszerből is szemlélhetjük, amelyben nyugalomban van, viszont az álló töltések nem sugároznak.

67. §. DIPÓLSUGÁRZÁS 231

(67,5)-öt (66,6)-ba helyettesítve, a dipólsugárzás intenzitására a következő kifejezést kapjuk:

d l = - - (d X n)- d í l = sin2 6 d ü (67,7)4 tv c ó

(itt 0 a d és n vektorok által bezárt szög). Ez a rendszer által időegység alatt cíQ térszögbe kisugárzott energia. Megjegyezzük, hogy a szögeloszlást a sin2 0 szorzótényező határozza meg.

dQ — 2n sin 0 dO behelyettesítése után dO szerint 0-tól jr-ig integrálunk, így megkapjuk a sugárzás teljes intenzitását:

/ = 3 ^ d ^ . (67,8)

Ha csak egyetlen, külső térben mozgó töltés van, akkor á = er és ú — ew, ahol w a töltés gyorsulása. A gyorsuló töltés teljes sugárzása tehát

2 e2w21 = ~3pr~ • (67.9)

Megjegyezzük, hogy ha egy zárt rendszer részecskéi töltésének és tömegének aránya azonos, akkor az nem bocsáthat ki dipólsugárzást. Valóban, ilyen rendszerre a dipólmomentum

e m€

ex — Y — mr = const V mr.

itt a const a fajlagos töltés, ez pedig minden részecskére megegyezik. Viszont £ mx = = R ^ m , ahol R a rendszer tömegközéppontjának helyvektora. (Emlékeztetünk arra,

hogy az összes sebességre v <$c c, és így alkalmazható a klasszikus mechanika.) Ezért d arányos a tömegközéppont gyorsulásával, azaz zérus, mivel a tömegközéppont egyenletesen mozog.

Végül írjuk fel a dipólsugárzás intenzitásának spektrális kifejtéseit. Az ütközéskor fellépő sugárzás esetén vezessük be az ütközés egész ideje alatt a dcojln frekvenciaintervallumban kisugárzott d&w energiamennyiséget (vö. a 66.§-sal). Ezt úgy kapjuk(67,8)-ból, hogy d-ot a űfí) Fourier-komponensével helyettesítjük, és szorzunk 2-vel:

A Fourier-komponensek definíciója szerint

ahonnan d , = — co2d,(). írhatjuk tehát, hogy

(67,10)

A részecskék periodikus mozgása esetén hasonlóképpen határozhatjuk meg az co = no)0 frekvenciájú sugárzás intenzitását. Ez a következő:

/ „ = ^ V , | 2. (67,11)


Feladatok

l . Határozzuk meg egy adott síkban állandó co0 szögsebességgel forgó dipólus terét.4

Megoldás. A forgás síkjának az xy síkot választva, a dipólmomentum komponensei:

dj. = d{) cos o)0t, dy — d{) sin w0t.

Ezek a függvények monokromatikusak, így a sugárzás szintén monokromatikus lesz w = co0 frekvenciával. A (67,7) képletből megkapjuk a forgás periódusára átlagolt sugárzás szögeloszlását:

_ //2í.j4d I= ^ L~ (\+ co s2^)dÜ,

ahol ö* a sugárzás iránya (n) és a z tengely által bezárt szög. A teljes sugárzás

2dlco 4/ =3c3

A sugárzás polarizációját a dxn = arnXd vektor iránya határozza meg. Ezt az nz síkba eső és az arra merőleges irányra vetítve azt kapjuk, hogy a sugárzás elliptikusán polarizált, a polarizációs ellipszis féltengelyeinek aránya nz = cos O’; így például a z tengely irányában haladó sugárzás cirkulárisán polarizált.

2 . Határozzuk meg egy olyan töltésrendszer sugárzásának szögeloszlását, amely mint egész, v sebességgel mozog, ha ismerjük a szögeloszlást abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a rendszer mint egész nyugalomban van.

Megoldás. Legyendl' = /(cos 0, cp') dÜ', d ü ' = í/(cos 6') dcp'

a sugárzás intenzitása a töltésrendszerrel együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben (Ö', y ' a gömb koordináták, a poláris tengely a rendszer mozgásának irányába mutat). A K nyugvó (laboratóriumi"

4 Ide tartozik a dipólmomentummal rendelkező rotátor és szimmetrikus pörgettyű sugárzása Az első esetben d szerepét a rotátor teljes impulzusmomentuma játssza, a második esetben pedig a pörgettyű dipólmomentumának egy olyan síkra eső vetülete, amely merőleges a precesszió tengelyére vagyis a forgás teljes impulzusmomentumának irányára).

68. §. DIPÓLSUGÁRZÁS ÜTKÖZÉSKOR 233

vonatkoztatási rendszerben dt idő alatt kisugárzott d£ energia a K' rendszerben kisugárzott d&' energiával a következő transzformációs képlet segítségével kapcsolható össze:

V\7J O 1---- COS 0

d f = c

f iV2

(Adott irányban terjedő sugárzás impulzusa az energiájából a \ dP\ = d£/c képlet segítségével határozható meg.) A 6 és 0 ' polárszögek — a sugárzás irányai a K é s a K ' rendszerben — az (5,6) képletek szerint függenek össze. (Az azimutszögek megegyeznek, cp = cp'.) Végül a K' rendszerben mért dt'

időnek a K rendszerben dt = d t 'f y l — K 2/c 2 idő felel meg. így a trendszerben a d l = d/!>/dt intenzitásra a következő kifejezést nyerjük:

O - ^ ) 2 ‘ a vdí = — A — 1 -------— -— , (p I dü .

Egy saját tengelye mentén mozgó dipólusra / = const-sin2 0', és a fenti képlet segítségével az kapjuk, hogy

J / 2 \ 3I sin2 0t í

11 — cos 0 j

\ c2 / dl — const —------—--------— dÜ.

68. §. Dipólsugárzás ütközéskor

Az ütközéseket kísérő fékezési sugárzás vizsgálatakor ritkán találkozunk azzal a feladattal, hogy meghatározzuk két, adott pályán mozgó részecske ütközésekor fellépő sugárzást. Általában párhuzamosan mozgó részecskékből álló teljes nyaláb szórását vizsgáljuk, ekkor célunk az egységnyi részecske-áramsűrűségre vonatkoztatott teljes sugárzás meghatározása.

Ha a nyalábban a részecskék áramának sűrűsége egységnyi (vagyis egységnyi idő alatt a nyaláb egységnyi keresztmetszetén egy részecske halad keresztül), akkor a nyaláb olyan részecskéinek száma, amelyeknek „ütközési paramétere” q és q-hdq között van, 2nqdq (a pés q + dq sugarú körök közti körgyűrű területe). így a keresett teljes sugárzást úgy kapjuk meg, hogy egy (adott ütközési paraméterű) részecske A& teljes sugárzását megszorozzuk 2nq dq-val, és integráljuk dq szerint 0-tól oo -ig- Az így kapott mennyiség dimenziója az energia és a terület szorzata. Ezt effektív sugárzásnak nevezzük, és ^-val jelöljük:

(68,1)

A x számnak a sugárzó rendszer energiájához való viszonyát sugárzási energiaveszteségnek nevezzük. Hasonló módon definiálhatunk egy adott dQ térszögelembe, adott dco frekvenciaintervallumba stb. eső effektív sugárzást.5

Vezessük le a gömbszimmetrikus erőtérben szóródó részecskenyaláb sugárzásának szögeloszlását le^ó általános képletet dipólsugárzásra szorítkozva.

Egy részecske által kibocsátott sugárzás intenzitását (bármely időpillanatban) a (67,7) képlet adja meg, ahol d a részecske dipólmomentuma a szóró centrumhoz viszonyítva.6 Először is átlagoljuk ezt a kifejezést a d vektornak a nyalábkeresztmetszet síkjára eső vetülete szerint. Mivel (d X n )2 = d2— (nd)2, átlagolnunk csak az (nd)2 kifejezést kell. A szóró erőtér gömbszimmetrikus, a nyaláb párhuzamos, ezért a szórás (és ezzel együtt a sugárzás is) tengelyszimmetrikus a centrumon átmenő tengelyre vonatkozóan. Válasszuk ezt x tengelynek. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy dv, dz első hatványai átlagoláskor zérust adnak, és mivel dx-ot nem átlagoljuk, így

dxdv = dxdz = 0.

dy és d2x átlagértékei megegyeznek, ezért

% = % = j (d2-</?).

Ezeket figyelembe véve, azt kapjuk, hogy

(d X n)2 = y (d2 + dl) + ~ ( d2 — 3dl) cos2 0,

ahol 6 a sugárzás n iránya és az x tengely által bezárt szög.Az intenzitást az idő és az ütközési paraméter szerint integrálva, megkapjuk az

effektív sugárzást az irány függvényében:

ahol

j “Q í Á „ 3 cos2 6 — 1 v , ^4ttc { 2------- ) ' ^

A = y j* j* d 2 d tln o d o , B = y j J —Idf} d tln q d p . (68,3)

5 Ha az integrandus függ a dipólmomentum irányának a nyaláb keresztmetszetének síkjára eső vetületétől, akkor e síkban levő összes irányra átlagolunk. Csak ezután kell 2tiq dg-val szorozni és integrálni.

fí Ténylegesen általában két részecske — a szóródó és a szórt — dipólmomentumáról van szó a közös tömegközéppontjukhoz viszonyítva.

68. §. DIPÓLSUGÁRZÁS ÜTKÖZÉSKOR 235

(68,2) második tagját úgy írtuk fel, hogy az irányok szerint átlagolva eltűnjék, tehát a teljes eífektív sugárzás x = A /c3. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a sugárzás szögeloszlása szimmetrikus a szórócentrumon áthaladó és a nyalábra merőleges síkra nézve: a (68,2) kifejezés nem változik, ha a 6 szögetn — 0-val helyettesítjük. Ez a tulajdonság a dipólsugárzásra jellemző, v\c magasabb hatványait is tartalmazó közelítésekre áttérve elvész.

A fékezési sugárzás intenzitását két részre oszthatjuk: az x tengelyen és az n irányon átmenő síkban (nevezzük ezt xy síknak) polarizált sugárzás intenzitására és a merőleges x z síkban polarizált sugárzáséra.

Az elektromos térerősség iránya megegyezik az

n x ( n x d ) = n(nd) —d

vektor irányával [lásd a (67,6) képletet]. A fenti vektor xy síkra merőleges komponense— áfz, az xy síkra eső vetülete pedig [sin 0-dx— cos 0-dy j. (Az utóbbi egyenlő a dX n irányú mágneses térerősség z komponensével.)

E-t négyzetre emelve és a d vektor yz síkra eső vetületének iránya szerint átlagolva, először is azt vesszük észre, hogy a térerősség xy síkban levő és arra merőleges komponensének szorzata eltűnik. Ez azt jelenti, hogy az intenzitás valóban két független rész, két egymásra merőleges síkban polarizált sugárzás intenzitásainak összegeként írható. j

Ha a sugárzás elektromos tere az xy síkra merőleges, intenzitását dl = — (d2 — df)

átlaga határozza meg. Az eífektív sugárzás megfelelő részére a következő kifejezést kapjuk:

4jrc:i 2 í0(d2 —dx) dt 2tio dq. (68,4)

Megjegyezzük, hogy a sugárzásnak ez a része izotrop, nem függ a sugárzás irányától. Az xy síkba eső elektromos térerősség esetére az eífektív sugárzás képletét nem szükséges leírni, mivel nyilvánvalóan

d xn + d x" = dxn.

Hasonlóan határozhatjuk meg egy adott frekvenciaintervallumba eső eífektív sugárzás szögeloszlását is :

aí \ ur \ cos2 0 “ 1A(a))-h B(co). dÜ

dü n 2 TtC3ahol

(68,5)2tt

A(oj) = 2y | d lln o dq, B(o>) = ^ | (d* - 3 d l ) 2no dq. (68,6)

69. §. Kis frekvenciájú fékezési sugárzás

A fékezési sugárzás spektrális eloszlásában az intenzitás legnagyobb része az co ~ 1 jx frekvenciákra esik, ahol r az ütközés időtartamának nagyságrendje. Most azonban a spektrumnak nem ezt a részét vizsgáljuk (erre nem írhatók fel általános képletek), hanem az eloszlás kisfrekvenciás végét, amelyre fennáll, hogy

ojr « 1. (69,1)

Most nem feltételezzük, hogy az ütköző részecskék sebessége kicsi a fénysebességhez képest, mint azt az előző szakaszban tettük; az alábbi képletek tetszőleges sebességekre vonatkoznak.

A4-OC

H tu = J H eicot dt

integrálban a sugárzás H tere csak x nagyságrendű ideig különbözik észrevehetően zérustól. Ha tehát a (69,1) feltétel teljesül, az integrandusban cot <sc 1, és az ela)t tényezőt 1-gyel helyettesíthetjük; ekkor

+ 00H„ J H dt.

Behelyettesítve ide a H = A X n /c kifejezést, és dt szerint integrálva, azt kapjuk, hogy

H w = i - ( A 2- A 1)x n , (69,2)c

ahol A2 — A i az ütköző részecskék által létrehozott vektorpotenciái megváltozása az ütközés folyamán.

Az ütközés ideje alatti (co frekvenciájú) teljes sugárzást úgy kaphatjuk meg, hogy(69,2)-t (66,9)-be helyettesítjük:

R2d£noj = [(A2-A ,)X I1 fdQ dco. (69,3)

4 c t i ó

A vektorpotenciái Lienard—Wiechert-féle (66,4) alakját használva, azt kapjuk, hogy

dó no} —1

4n2c3v2Xn viX n

1 — - nv2 1 — - nvii c c

2dÜ do>, (69,4)

69. §. KIS FREKVENCIÁJÚ FÉKEZÉSI SUGÁRZÁS 237

ahol V i, \2 a részecskék sebességei az ütközés előtt és után, az összegezést pedig a két ütköző részecskére értjük. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy dco együtthatója nem függ a frekvenciától. Más szóval, kis frekvenciák esetén [a (69,1) feltétel] a sugárzás spektrális eloszlása független a frekvenciától, vagyis dSntJdco állandó határértékhez tart co 0 esetén.7

Ha az ütköző részecskék sebessége kicsi a fénysebességhez képest, akkor (69,4) egyszerűsíthető:

d&am = 4 [£í<V 2 -V i)X n ]2 d ü dm. (69,5)

Ez a kifejezés a dipólsugárzásnak felel meg, amelynek vektorpotenciálját (67,4) szolgáltatja.

A fenti képletek érdekes alkalmazási lehetősége egy új töltött részecske kibocsátását követő sugárzás vizsgálata. (Például amikor egy /3-részecske kirepül a magból.) A folyamatot ekkor úgy kell tekintenünk, mint a részecske sebességének egy pillanat alatt végbemenő megváltozását zérustól egy adott értékre. [Mivel a (69,5) képlet Vi és V2 felcserélésére nézve szimmetrikus, a fenti esetben keletkező sugárzás megegyezik a fordított folyamat, a részecske hirtelen megállása során keletkező sugárzással.] Lényeges, hogy mivel az adott folyamat r „időtartam a” 0-hoz tart, a (69,1) feltétel gyakorlatilag minden frekvenciára teljesül.8

Feladat

Határozzuk meg egy v sebességgel kibocsátott töltött részecske teljes sugárzásának spektrális eloszlását.

Megoldás. A (69,4) képlet szerint (amelyben most v2 = v, = 0):

dSm = doy sin2 04-t 2c3

- 2.t sin 6 dO.- cos 6 1

7 Az ütközési paraméter szerint integrálva, egy részecskenyaláb effektív sugárzására hasonló eredményt kapunk. Figyelembe kell azonban venni, hogy a fenti eredmény nem érvényes az effektív sugárzásra, ha az ütköző részecskék között Coulomb-kölcsönhatás lép fel, mivel ekkor a dg szerint számított integrál nagy q értékekre (logaritmikusan) divergál. A következő szakaszban látni fogjuk, hogy ebben az esetben az effektív sugárzás kis frekvenciákra nem marad állandó, hanem logaritmikusan függ a frekvenciától.

8 A képletek alkalmazhatóságát azonban korlátozza az a kvantumfeltétel, hogy co/í-nak kicsinek kell lennie a részecske mozgási energiájához viszonyítva.

Az integrál kiszámítása a következő eredményre vezet:9

= J i ( ü ln £ ± ^ _ 2w (!)71C \ V C— V J V '


v « c esetén ez a képlet

2e2v2

alakba megy át, ami (69,5)-ből közvetlenül is megkapható.

70. §. Sugárzás Coulomb-kölcsönhatás esetén

Ebben a szakaszban két töltött részecskéből álló rendszer dipólsugárzására vonatkozó összefüggéseket származtatunk le, feltételezve, hogy a részecskék sebessége kicsi a fénysebességhez viszonyítva.

A részecskerendszer egészének egyenletes mozgása (a tömegközéppont haladása) nem érdekes számunkra, mivel nem vezet sugárzáshoz, ezért csak a részecskék relatív mozgását kell vizsgálnunk. A koordináta-rendszer kezdőpontját vegyük fel a tömeg- középpontban. Ekkor a rendszer d = eixi + e2r2 dipólmomentuma

e1m 2- e 1m 1 ( e 1 e2 \d = ------- ---------r = fi ------------r (70,1)m1 + m2 \mi m2J

alakban írható, ahol 1 és 2 a két részecskére vonatkozó indexek, r = rí — x2 a részecs-mLm2

kék relatív helyzetvektora, es a = ---------- a redukált tömeg.m1 + m2

Kezdjük olyan sugárzás vizsgálatával, amely két, egymást a Coulomb-törvény szerint vonzó részecske elliptikus mozgásakor lép fel. Amint azt a mechanikából tudjuk (lásd az J. kötet 15. §-át), ezt a mozgást leírhatjuk úgy, mint egy // tömegű részecske mozgását egy ellipszis mentén, amelynek alakja polárkoordinátákban:

1 + fi cos fp = ~'(l , (70,2)

,J Mint azt már említettük, a (69,1) feltétel a folyamat „pillanatnyi” volta miatt minden frekvenciára teljesül, a teljes kisugárzott energiát mégsem kaphatjuk meg (l)-ből dm szerint kiintegrálva, hiszen az integrál nagy frekvenciákra divergál. A klasszikus leírás érvényességét biztosító feltétel nagy frekvenciákra nem teljesül, sőt az adott esetben maga a klasszikus tárgyalás is helytelen,, mivel a részecske gyorsulása kezdetben végtelen.

ahol az a fél nagytengely és az e excentricitás a következő:

70. §. SUGÁRZÁS COULOMB-KÖLCSÖNHATÁS ESETÉN 239

Itt & a részecske teljes energiája (a nyugalmi tömeg nélkül!), amely véges mozgás esetén negatív; J — [ir2cp az impulzusmomentum; a aCoulomb-törvényben szereplő állandó:

a = |<?i<?2|.A koordináták időfüggését az

r = <2(1 — £ cos |) , f (! — f sin !) (70,4)

paraméteres egyenletek adják. Az ellipszisen egy teljes keringés során a | koordináta 0-tól 27r-ig változik; a mozgás periódusa:

r = 2* 1

Határozzuk meg a dipólmomentum Fourier-komponenseit. Mivel a mozgás periodikus, Fourier-sorba kell fejtenünk. A dipólmomentum arányos az r helyvektorral, így a feladat visszavezethető az x = r cos cp, y — r sin cp koordináták Fourier-komponenseinek kiszámítására. A koordináták időfüggését az

_y = a(c os | — e), y = a f l —e2 sin £, co0t = £ — f sin £ (70,5)

paraméteres egyenletek határozzák meg. Itt bevezettük az

T \ /a (2 |<5|)3/2

COo — rr ~ / ----- ö — /y / i l /2^ 17 fia3frekvenciát.

A koordináták Fourier-komponensei helyett egyszerűbb a sebesség Fourier-komponenseit kiszámítani, és felhasználni azt, hogy x„ = —iamxn, y n = —iomyn. Ekkor

Xn =

TXn i

— ÍCÚQfl COqTiTeico°ntx dt.

Viszont x d t — dx = — a sin | a szerinti integrálásról dl szerintire áttérve, azt kapjuk, hogy

Hasonlóképpen

- Í gAKf-í rin f) cos t d t = la^ 1 g2 f J 2t777£ J0 0

* I gí«Kf-« rin f) cos I </| = “ I gíXi- « si" ö <£. 2777Z 1 ^---- 1

(Az első integrálból a másodikat úgy kaphatjuk meg, hogy az integrandusban

a cos £ = ^ c o s | —— jn — helyettesítést végezzük; ekkor az első tag integrálja ki

számítható, az eredmény azonosan zérus.) Végül használjuk fel a Bessel-függvények elméletének ismert képletét:

2t

_1_ j em - x sin £> | cos ( « | — x sin I) dl = / w(.x), (70,6)2t tt

f gíí/il-jcsiní) dI = — I ,J 71 J

ahol /„(x) az rendű Bessel-függvény. így a keresett Fourier-komponensekre a következő kifejezéseket kapjuk:

ct f * i á i 1—e2 r . . _ _x „ = — Jn{ne), y n = ------------------- / w ( « e ) , (70,7)n ne

(A vessző a Bessel-függvényen az argumentuma szerinti deriválást jelenti.)A sugárzás monokromatikus komponenseinek intenzitását megkapjuk, ha x tn-t és

y a)-1 behelyettesítjük az

3c3 m 2J

képletbe [lásd (67,1 l)-et] a-1 és w0-t a részecskék jellemző adataival kifejezve, a végeredmény :

L =64az2<54 / \ 23c3a 2 y m i m 2 /

(70,8)

írjuk fel például az intenzitás aszimptotikus kifejezését nagyon magas felharmonikusokra (nagy ft-ekre) egy parabolához közeli pálya esetén (e közel van 1-hez). Ehhez használjuk fel a

70. §. SUGÁRZÁS COULOMB-KÖLCSÖNHATAS ESETEN 241

aszimptotikus képletet, ahol & az Airy-függvény (a definíciót lásd az 59. § 8. számú lábjegyzetben).10 Ezt (70,8)-ba helyettesítve:

In =64*22/3 «4/3<í4 / e\ e%

+

3tt

' 2 \ 2/3

c3a 2 \ m i yyi 2- e 2) +

/ 2 \ 2/3 r / n \ 2/3

( » ) * * [ ( * ) ■( l - £ 2)

(70,10)

Az eredményt a A",, Macdonald-függvények segítségével is kifejezhetjük:

64 «2c54 / ^2 N 2/„ = 9tt2 c3*2 \ m i

- (i — s2y2 \3/2

(A szükséges képletek megtalálhatók a 74. § 20. számú lábjegyzetében.)Tekintsük továbbá két, egymást vonzó töltött részecske szórását. Relatív mozgásuk

leírható egy p tömegű részecskének az

1 + e cos q)

hiperbolán végzett mozgásával, ahol

a(e2 — 1)

2c5 ’

(most ő > 0). r idóTüggését az

r = a(e eh 1 — 1),

B = 1 +2&J2[MX2

t ^ - ( e s h l - S )

(70,11)

(70,12)

(70,13)

10 n » 1 esetén a71

Jn{ne) = — J cos [/?(! — e sin !)]o

integrálban a kis I értékek játszanak lényeges szerepet (nem kicsiny | értékekre az integrandus gyorsan oszcillál). Ennek megfelelően a koszinusz argumentumát kifejtjük £ hatványai szerint:

JJne) = 1 J cos [ » ( 1 ^ í + - f ) ]0

Az integrál gyors konvergenciája miatt a felső határt co-re változtattuk; a £3-ös tagot meg kell tartani az elsőfokú tagban szereplő kis 1 — s ^ (1 — e2)/2 együttható miatt. A kapott integrál egyszerű helyettesítéssel a (70,9) alakra hozható.16 Elméleti fizika II. - 42221/Ii.

paraméteres egyenlet határozza meg, ahol a | paraméter — <=0 -tői + 00 -ig változik. Az x, y koordinátákra azt kapjuk, hogy

A Fourier-komponenseket (most Fourier-integrálba fejtésről van szó) ugyanúgy számítjuk ki, mint az előző esetben. Az eredmény:

jelölést ( r0 a részecskék relatív sebessége a végtelenben; az energia & = (jvl/2).11 A számítások során felhasználtuk a következő ismert összefüggést:

Érdekesebb ennél a párhuzamos részecskenyaláb szórására vonatkozó „eífektív sugárzás” (lásd a 68. §-t). Kiszámításához szorozzuk be dS^-t 2ngdg-va\, és integráljuk a 0-tól 00 -ig terjedő g értékekre. A dg szerinti integrálást ds szerinti integrálással helyettesíthetjük (1-től 00 -ig), felhasználva azt, hogy Ing dg = 2nd1 e de; ez az összefüggés (70,12)-ből adódik, ahol J és <5 a g ütközési paraméterrel és v0 sebességgel a következőképpen fejezhetők ki:

11 Emlékeztetünk arra, hogy a H$(ivé) függvény tiszta képzetes, deriváltja pedig: Hfvy(ivé) valós.

x = a(e—eh |) , J7 — 0 j/e2 — 1 sh | . (70,14)

(70,15)

ahol az első fajú, iv rendű Hankel-függvény, és bevezettük a

co

Yol/[jlcP fiV §(70,16)

/?£ — sh | = inH (p \ i x ). (70,17)

(70,15)-öt behelyettesítve a

képletbe [lásd (67,10)-et], azt kapjuk, hogy

Az így kapott integrált a

képlet segítségével számíthatjuk ki, ahol Z p(z) a p-Qd rendű Bessel-egyenlet tetszőleges megoldása.12 Figyelembe véve, hogy a H ^(ive) Hankel-függvény e -+ <=>0 esetén eltűnik, a következő eredményt kapjuk:

dxa = — — V I« /? ( » ) 1 dM- (70,19)3cá/ü ,o \ m2 /

Vizsgáljuk meg külön a kis és nagy frekvenciák határeseteit. A Hankel-függvényt meghatározó

-f °°J ^Kí-sh í) ^ = inH n.(iv) (70,20)

-- OO

integrálban a | integrálási változónak csak az a tartománya lényeges, amelyben a kitevő egységnyi nagyságrendű. Kis frekvenciák esetén (v <$c 1) ezért a nagy | értékek tartománya lényeges. Nagy |-kre viszont sh | :$> Ezért közelítőleg

+ 00

//^(íV) ^ j* *~'>sh di = H o\iv).

Hasonlóképpen kapjuk azt, hogy

H Í'/jiv) % JÍ^OV).

Végűi felhasználva a Bessel-függvények elméletéből ismert, kis .T-ekre érvényes

iH(o \ix ) % — In —jt yx

közelítő kifejezést (y — ec, ahol C az Euler-állandó; y = 1 ,781 ...), az effektív sugárzásra kis frekvenciák esetén a következő képletet kapjuk:

= ha m ^ S É . (70,21)3vgc3 \w 3 m2J \yo)oc) a

Ez logaritmikusan függ a frekvenciától.

12 Ez a képlet közvetlen következménye a


z " + - L z ' + ( i - £ ) z = o

Bessel-egyenletnek.

16*

Nagy frekvenciák (v 1) esetén viszont a (70,20) integrálban a kis | értékek lénye* gesek. A kitevőt £ hatványai szerint sorba fejtve, közelítőleg fennáll, hogy

+ co -j- co

m i v ) ^ _ 1 j* exp ( - ^ | j dt = Re . j exp ( - f i 3) dk ..

— oo 0

Ez az integrál iv^ /6 = 7] helyettesítéssel /'-függvényre vezet, ezért azt kapjuk, hogy

Hasonlóképpen írhatjuk, hogy

Végül a jH-függvények71


r ( x ) r ( \ —x ) = —sm nx

ismert tulajdonságát felhasználva, az eífektív sugárzásra nagy frekvenciák esetén a következő eredményt kapjuk:

lÓTza,2 / ex e2 \ 2 , , pvl* > = F i + r ( ^ - ^ ) • C70'22)

ami a frekvenciától független kifejezés.Térjünk most át két, egymást az U = a /r (a > 0) törvény szerint taszító részecske

ütközését követő sugárzás vizsgálatára. A mozgás a következő egyenletű hiperbolán játszódik le :

ű(g2 — 1- 1 + £ cos <p = ±-------L ; (70,23)

x a(e + eh |) , y = ű / e 2- l sh f, t = J / ^ - ( £ s h | + | ) (70,24)

[a és e (70,12)-ből adódik]. A számításokat erre az esetre nem kell újra elvégezni, mert visszavezethetők az előzőekre. Valóban, az x koordináta Fourier-komponensét meghatározó

~r

— í ehi’sh sh | d í03 J

integrál a | — in — | helyettesítéssel visszavezethető a vonzás esetére kapott integrálra, amelyet most még e~7rv-vel kell szorozni; ugyanez igaz y^-ra is.

így az Fourier-komponenseket megadó kifejezések taszítás esetén egy e~nvtényezőben térnek el a vonzás esetére kapott megfelelő kifejezésektől. A sugárzást meghatározó képletekben ennek következtében egy e~2nv tényező jelenik meg. így például kis frekvenciák esetén az előző, (70,21) képletet kapjuk (mivel v 1 esetén e~2nv ^ 1). Nagy frekvenciák esetén az effektív sugárzásra adódó eredmény:

7 ló jra2 / e, e2 \ 2 l 2 tccúol\ 7 ,* . = ;3 5 ^ ( — » p ( - — r ) * » , ha . (70,25)

Ez exponenciálisan csökken a frekvencia növelésével.

Feladatok

1. Határozzuk meg a teljes átlagos intenzitást két, egymást vonzó részecske elliptikus mozgása esetén.

Megoldás. A dipólmomentum (70,1) kifejezésének segítségével a sugárzás teljes intenzitására az

/ = W (-H— ÍS-)*;. = ^ ^ ) 2 JL3<r \m l m2] 3ít \m 1 m2] r4

kifejezést kapjuk, ahol felhasználtuk a jur = —ocr//-3 mozgásegyenletet. Az r koordinátát a pálya(70,2) egyenletének megfelelően 95-vel fejezzük ki, az időíntegrálást pedig a dt = jur2 dcpjJ egyenlőség segítségével a (p szög szerinti integrálással helyettesítjük (0 és 2jt határok között). így az átlagos intenzitásra a következő eredményt kapjuk:

T J 3c3 \rrix m2] J 5 \ /na2 /0

2. Határozzuk meg két töltött részecske ütközésekor fellépő A£ teljes sugárzást.

Megoldás. Vonzás esetén a pálya a (70,11), taszítás esetén pedig a (70,23) hiperbola. A hiperbola aszimptotája és tengelye (p0 szöget zár be, ahol ±cos(p0 = l/e, a részecskék eltérülésének szöge pedig (abban a koordináta-rendszerben, amelyben a tömegközéppont nyugalomban van) 2(p01.A számításokat ugyanúgy végezzük, mint az 1. feladatban (dcp szerint -<p0-tói <p0-ig kell integrálni), így vonzás esetére a következő kifejezést kapjuk:

taszítás esetére pedig:

^ - -gf «■ 1 [<*-*> ('+3 í) -6 ■« f ](■£--£)' •Mindkét esetben % az a pozitív szög, amelyet a

összefüggés határoz meg. Taszító töltések centrális ütközésére a q -► 0, % -*■ n határátmenetből a következő eredményt nyerjük:

3. Határozzuk meg egy részecskenyaláb taszító Coulomb-térben történő szórásának teljes eífektív sugárzását.

Megoldás. A keresett mennyiség:

Az időintegrálást a töltés pályája mentén végzett dr szerinti integrálással helyettesítjük, felhasználva, hogy dt = dr/vr ahol a vr = r radiális sebesség r-rel a

képlet segítségével fejezhető ki. dr szerint a végtelentől a középponthoz legközelebbi r0 = r0(g) távolságig kell integrálni (ez az a pont, ahol vr = 0), és ezután /-0-tól újra a végtelenig; ez az r0-tóloo -ig vett integrál kétszerese. A kettős integrál kiszámításához célszerű az integrálás sorrendjét felcserélni — először do, majd dr szerint integrálni. Az eredmény:

4. Határozzuk meg a teljes sugárzás szögeloszlását abban az esetben, mikor az egyik töltés olyan gyorsan halad el a másik mellett, hogy (bár sebessége kicsi a fénysebességhez képest) pályája csak kicsit tér el az egyenes vonalútól.

Megoldás. Az eltérés szöge kicsi, ha a fiv-!/2 mozgási energia nagy a potenciális energiához viszonyítva, amelynek nagyságrendje ol/q (fxv2 a /o). Válasszuk a mozgás síkját xy síknak, legyen a koordináta-rendszer kezdőpontja a tömegközéppontban, és az x tengely mutasson a sebesség irányába. Az első közelítésben a pálya egyenes: x = vt, y = q. A következő közelítésben a mozgásegyenletekből

S T 2" / J0 — OO

)■'

a y ao

adódik, aholr = iX íjr y 1 q2-f v2t2.

A (67,7) képlet segítségével:+ oo

rf<5“ = rfflé * ( - £ r _ -2 r) S ^ 2+y2- ^ + y n dt-

ahol n a dü irányába mutató egységvektor. Az integrandust f-vel kifejezve és az integrálást elvégezve, azt kapjuk, hogy

5lvc°Qó \ nii

71. §. Kvadrupólsugárzás és mágneses dipólsugárzás

71. §. KVADRUPÓLSUGÁRZÁS ÉS MÁGNESES DIPÓLSUGÁRZÁS 247

Vizsgáljuk most meg azt a sugárzást, amely a vektorpotenciái oí[X szerinti hatványsora következő tagjainak felel meg. A fenti hányadost, a rendszer méreteinek és a hullámhossznak az arányát továbbra is kicsinek tételezzük fel. Bár ezek a tagok általában véve kicsik a dipólsugárzást eredményező elsőhöz viszonyítva, lényegesek azokban az esetekben, amikor a rendszer dipólmomentuma zérus, és így a dipól- sugárzás nem jöhet létre.

az integrandust rn/c hatványai szerint sorba fejtve, és most az első két tagot megtartva, azt kapjuk, hogy

Helyettesítsük be ide a j = ov összefüggést, és térjünk át pontszerű töltésekre. Ekkor

Itt és az alábbiakban (akárcsak a 67. §-ban) a rövidség kedvéért az egyenlőségek jobb oldalán a t' indexet elhagyjuk.

A második tagot átalakítjuk:

neses momentum. A további átalakításoknál hasznos lesz, ha észrevesszük, hogy a térerősség megváltoztatása nélkül A-hoz hozzáadhatunk egy n-nel arányos tetszőleges vektort. [A (66,3) képletek szerint ekkor E és H valóban nem változik meg.]

(66,2)-ben

A ” cR0 j ' '+rn/c dV’í

A = i Zev+? k í Sev<rn)' (71,1)

így A-ra az

cRo 2c2R 0 dt2d 1 d2„ -f , 9 f- (71,2)

kifejezést kapjuk, ahol d a rendszer dipólmomentuma, m = —- £ <?rX v pedig a mág-1

2c

így (71,2) helyett ugyanolyan joggal a következő kifejezést is felírhatjuk:

a = ^ + ■£1 í,3r(nr) ■n r ! i + *x “■Viszont a d2/d t2 jel mögött álló kifejezés n^Q^, az n vektor és a Qa/3 = £ e(3xax^—— 8a/3r2) kvadrupólmomentum-tenzor (lásd a 41. §-t) szorzata. Bevezetve a Oa = ö a/s ^ komponensekkel rendelkező Q vektort, a vektorpotenciáira a következő végleges kifejezést kapjuk:

A = “ | - + ^ ^ Q + “ L - , i , X n - <71’3>cRo 6c~Ro cRo

A ismeretében a (66,3) képletek segítségével meghatározhatjuk a H és E térerősséget:

H = |d X n + -J^ Q X n + (m X n )X n |,

1 f - 1 1 (7M ) E = J ( d x n ) x n + — (Q x n )x n + nx*iiv.

A d ü térszögbe eső sugárzás d l intenzitását (66,6) adja meg. Az alábbiakban a teljes sugárzást határozzuk meg, vagyis a rendszer által minden irányban az időegység alatt kisugárzott energiát. Ehhez átlagoljuk d l-1 n irányai szerint; a teljes sugárzást ebből 477>vel szorozva kapjuk. A mágneses tér négyzetének átlagolásakor H első, második, harmadik tagjainak egymással való szorzatai eltűnnek, így csak négyzeteik átlaga marad meg. Egyszerű számítások13 a következő kifejezést eredményezik:

, = 3 ? # + i- m ü ' + é * * - <71-5)

13 Az alábbiakban egy kényelmes módszert adunk az egységvektor komponensei szorzatának átlagolására. Mivel az tenzor szimmetrikus, kifejezhető a ő ^ egységtenzor segítségével. Figyelembe véve, hogy a tenzor átlója 1, azt kapjuk, hogy

— _ 1 a

Négy komponens szorzatának átlagértéke:

nanpnyn0 = (őa őyö + ő0,yópö +

A jobb oldalt egy egységtenzorokból összeállított, minden indexében szimmetrikus negyedrangú tenzorként írtuk fel; a közös együtthatót ezután úgy határoztuk meg, hogy két indexpárja szerint képzett átlója 1-et adjon.

71. §. KVADRUPÓLSUGÁRZÁS ÉS MÁGNESES DIPÓLSUGÁRZÁS 249

így tehát a teljes sugárzás közelítésünkben három független részből áll; ezeket elektromos dipól-, elektromos kvadrupól- és mágneses dipólsugárzásnak nevezik.

Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban a mágneses dipólsugárzás sok esetben nem lép fel. így például hiányzik az olyan rendszereknél, amelyekben a töltés és a tömeg aránya minden mozgó részecskére ugyanaz (ebben az esetben a dipólsugárzás is hiányzik, mint azt a 67. §-ban már említettük). Valóban, egy ilyen rendszernél a mágneses momentum arányos a mechanikai impulzusmomentummal (lásd a 44. §-t), így az utóbbi megmaradási törvénye miatt lit = 0. Ugyanabból az okból (lásd a 44. § feladatát) nincs mágneses dipólsugárzás olyan rendszer esetén, amely mindössze két részecskéből áll (ilyenkor a dipólsugárzás lehetséges).

Feladatok

1. Számítsuk ki töltött részecskék áramának a velük egyforma részecskéken való szórásakor fellépő teljes effektív sugárzást.

Megoldás. Az elektromos dipólsugárzás (éppen úgy mint a mágneses dipólsugárzás) egyforma részecskék szórásakor hiányzik, így csak a kvadrupólsugárzást kell kiszámítanunk. Két egyforma részecske kvadrupólmomentumának tenzora (a tömegközéppontjukhoz viszonyítva):

£?a/3 = ~2 (3Xx*/3 - r2Ó^),

ahol a részecskéket összekötő r helyvektor komponense. Qap háromszoros deriválása után az xx koordináták időderiváltjait kifejezzük a részecskék va relatív sebességeivel a következő képletek segítségével:

m .. e2xa m ... VrXr — 3x0LvXa — - a — 3 5 Xa = e~ — ,

ahol vr = \r/r a sebesség radiális komponense. (A második egyenlőség a töltés mozgásegyenlete, a harmadikat pedig az első deriválásával kapjuk.) A számítással az intenzitásra a következő eredményt kapjuk:

1 - 2eG 11 = = -7 T & +iU%>

(v2 = v, + Vy); a v és vv mennyiségeket kifejezzük r-rel a

4e2 ov 0mr * rv2 = v \ ------- , vm =

egyenlőségek segítségével. Az időintegrálást dr szerinti integrálással helyettesítjük, mint ahogyan azt a 70. § 3. feladatában tettük, vagyis kihasználjuk, hogy


A (idr és do szerint kijelölt) kettős integrálban először dq, majd dr szerint integrálunk, A számítás

2. Határozzuk meg az állandó korlátos mozgást végző sugárzó részecskerendszerre ható reakcióerőt.

Megoldás. A keresett F erőt kiszámíthatjuk a rendszer által időegység alatt leadott impulzusként, azaz a rendszer sugárzása által elvitt impulzusáram alakjában:

Az integrálást egy nagy R0 sugarú gömbfelületre kell kiterjesztenünk. A feszültségtenzort a (33,3) összefüggés határozza meg, az E és H térerősségeket pedig (71,4)-ből vesszük. Minthogy a térerősségek transzverzálisak, az integrál az

kifejezésre vezet. Az n irányokra a 71. § 13 számú lábjegyzetében leírt módon átlagolunk. (Páratlan számú n komponens szorzata eltűnik.) Az eredmény:14

A dipólsugárzás képleteit a hullámhosszhoz (és még inkább a sugárzó rendszer méreteihez) viszonyítva nagy távolságok esetére vezettük le. Ebben a szakaszban továbbra is feltételezzük, hogy a hullámhossz nagy a rendszer méreteihez képest, az erőteret azonban olyan távolságokban fogjuk vizsgálni, amelyek nagyok ugyan az utóbbiakhoz viszonyítva, de összemérhetők a hullámhosszal.

A vektorpotenciáit leíró

(67,4) képlet továbbra is érvényben marad, mivel levezetésekor csak azt használtuk ki, hogy Ro nagy a rendszer méreteihez képest. Az erőteret azonban most még kis

eredménye:4jt e*vl9 mc5

F = f 2H 2n R ld ü orr J

72. §. A sugárzás erőtere a forrástól kis távolságokban

14 Megjegyezzük, hogy ez az erő 1/c-ben magasabb rendű, mint a Lorentz-féle súrlódási erő (75. §). Ez utóbbi nem ad járulékot az eredő reakcióerőhöz: az elektromosan semleges rendszer részecskéire a (75,5) erők összege eltűnik.

tartományokban sem tekinthetjük síkhullámnak. Ezért az elektromos és mágneses erőteret leíró (67,5) és (67,6) képletek nem alkalmazhatók, kiszámításukhoz előbb A-t és cp-t kell meghatároznunk.

A skalárpotenciál kifejezését megkaphatjuk A alakjából, ha felhasználjuk, hogy a potenciálok kielégítik a (62,1) feltételt:

d i v A + I Í = 0.c dt

A (72,1) kifejezést ebbe helyettesítve, majd az idő szerint integrálva, azt kapjuk, hogy

cp = -d iv A . (72,2)K q

Az integrálási állandót (amely a koordináták tetszőleges függvénye) elhagyjuk, mivel bennünket csak a potenciál időben változó része érdekel. Emlékeztetünk arra, hogy a (72,2) képletben, akárcsak (72,l)-ben, d értékét a f — í —Rq/c időpillanatban kell venni.15

Most már nem okoz nehézséget az elektromos és mágneses térerősség kiszámítása. Az E és H térerősségeket a potenciálokkal összekötő általános képletek alapján azt kapjuk, hogy

H = I r o t A (72,3)c Ro

72. §. A SUGÁRZÁS ERŐTERE A FORRÁSTÓL KIS TÁVOLSÁGOKBAN 251

E = grad div A A (72,4)

A z E-t meghatározó kifejezést más alakban is felírhatjuk, észrevéve, hogy dt /R

[akárcsak a koordináták és az idő tetszőleges — f i t — — \ alakú függvénye kielé-

Ro \ c /gíti az

l d2 ác2 W ^ “ A ~Ro

hullámegyenletet. Felhasználva az ismert

rot rőt a = grad div a —Aa

15 Néha bevezetik a Her'z-vektort, amelynek definíciója:

Ro \ c JEkkor

képletet is, azt találjuk, hogy

E = rot rőt . (72,5)R o

A kapott képletek meghatározzák a térerősséget a hullámhosszal összemérhető távolságokban. A fenti képletekben l/i?o-t természetesen nem szabad kivinni a derivá lás jele elé, mivel az l/R^-et és az l /R 0-t tartalmazó tagok aránya éppen A/R0 nagy ságrendű.

Végül határozzuk meg a térerősség Fourier-komponenseit. H w meghatározása cél jából a (72,3) képletbe H és d helyett írjuk be ezek monokromatikus komponenseit vagyis a H ve~luA és a doie~Wit kifejezéseket. Emlékeznünk kell azonban arra, hogy a (72,1)—(72,5) egyenlőségek jobb oldalait a t' = t —Ro/c időpillanatban kell venni Ezért d helyébe a

g — iü)(t — RqIc) g — iojt + ikRo

kifejezést kell írnunk. A behelyettesítést elvégezve és e~‘m,-ve] egyszerűsítve, azt kapjuk, hogy

,ikR0 \ s>ikR[


í gikRo \H„, = —ik rot I d,„ | = ikd, ,xv-

glKJtÍQ

R o ’

vagy a deriválást elvégezve:

H<„ = ik(d„,Xn) e‘kKo' (72,6)

ahol n az Ro irányába mutató egységvektor.(72,4)-bői hasonlóan kapjuk, hogy

pikRo \pikRo

0 *M)

vagy a deriválást elvégezve:

_ _ í k2 ik 1 \ , x / k 2 3ik 3 \ _v

A hullámhosszhoz képest nagy távolságokban (kRo 1) a (72,5) és a (72,6) képletekben elhagyhatjuk az 1/i^-es és 1/i^-ös tagokat, és így visszakapjuk a „hullámzóna” terét:

k2 k2 E,, = —- n X (dw X n)eikR°, H w = - —- d^ X neikR\

o

A hullámhosszhoz viszonyított kis távolságokban (kRo « 1) elhagyjuk az l/Ro-s és 1/jRo-es tagokat, és beírjuk az elkR° % 1 közelítést; ekkor

72. §. A SUGÁRZÁS ERŐTERE A FORRÁSTÓL KIS TÁVOLSÁGOKBAN 253

ami megfelel a statikus elektromos dipóltérnek (40.§); ebben a közelítésben a mágneses tér nyilvánvalóan eltűnik.

Feladatok

1. Határozzuk meg a kvadrupól- és mágneses dipólsugárzás terének potenciáljait kis távolságokban.

Megoldás. A rövidség kedvéért feltételezzük, hogy nincs dipólsugárzás. Ekkor (vö. a 71.§-ban végzett számításokkal):

ahol az integrandust r = R0— R hatványai szerint fejtettük sorba. A 71. §-ban végzett számításokkal ellentétben az 1 /R0 tényezőt most nem vihetjük ki a differenciálás jele elé. Vigyük ki az utóbbit az integrál jele elé, és írjuk át a képletet tenzorjelölésekre:

{Xp az R0 helyvektor komponenseit jelöli). Az integrálról a töltések szerinti összegezésre áttérve:

Ugyanúgy, ahogy a 71.§-ban, ez a kifejezés szétválasztható kvadrupól és mágneses dipól részre. A megfelelő skalárpotenciálokat úgy lehet a vektorpotenciáiból kiszámítani, mint azt ebben a szakaszban láttuk. így a kvadrupólsugárzásra a következő eredményt kapjuk:

<(a jobb oldalakon álló mennyiségeket, mint általában, a f = t — R0/c időpillanatban kell venni). A mágneses dipólsugárzás térerősségei:

E „, = ^3-{3n(d(,n ) - d 4 ,

— _°L (Z evQLXp)t' ^c dXp R0

6 dXzdXp R0 ’1 08 Öa/3

a mágneses dipólsugárzásra pedig:irtA = rőt , cp = 0

E = ----- rőtcnt H = rot rőt .

Ezeket (72,3)-mal és (72,4)-gyel összehasonlítva, látjuk, hogy H és E úgy fejezhető ki a mágneses dipólsugárzás esetén nt segítségével, mint E és — H az elektromos dipólsugárzás esetén d segítségével.

A kvadrupólsugárzás potenciáljainak spektrális komponensei:

í k , ( m \ S g i k R a 1 / 02A i- = -r- e V , ?<«> = - r Q tf6 ^ ‘ dXp Rn ' ' 6 ^ ' dX^dXf, R0 '

A térerősségek kifejezései nagyon hosszadalmasak, ezért ezeket nem írjuk ki.2. Egy töltésrendszer dipól jellegű elektromágneses sugárzást bocsát ki. Határozzuk meg impul

zusmomentuma csökkenésének sebességét.

Megoldás. (32,9)-nek megfelelően az elektromágneses tér impulzusmomentumának áramsűrűségét az x lTM—x*Tü négyestenzor térkomponense adja meg. Hármas térbeli jelölésekre térve, bevezetjük

az impulzusmomentum hármasvektorát, melynek komponensei — e ^ yJ^y\ ennek áramsűrűségét az

a/SyixpPyd xy(J{3ő)

hármasvektor adja, ahol oap = Ta/3 a hármas Maxwell-féle feszültségtenzor. (Csak alsó indexeket használunk, ahogyan a hármas írásmódban szokásos.) A rendszer impulzusmomentumának időegység alatti teljes csökkenése egyenlő a sugárzási tér impulzusmomentumának egy R0 sugarú, gömbfelületen áthaladó áramával:

dJ* í ^— = q> e ^ yxpOvönö d f \

ahol d f = R20 d ü , n pedig az R0 irányába mutató egységvektor. A tenzor (33,3) alakját használva, azonnal kapjuk, hogy

J {(n x E) (nE)+ (n x H) (nH)} dü. (1)

Ezt a képletet a rendszerből nagy távolságban fellépő sugárzási térre alkalmazva, nem elegendő csak az ^1 /R0 tagokat megtartani; ebben a közelítésben ugyanis nE — nH = 0, úgyhogy az egész integrandus eltűnik. Az ~1 //?0 tagok elegendőek az nXE és nXH szorzatok kiszámításához, az nE és nH transzverzális összetevők azonban az ^ 1 /R l tagokból származnak [tehát az (1) kifejezés integrál alatti mennyisége ^ l /R l , és az R0 távolság, mint vártuk, kiesik az eredményből]. Dipól közelítésben a hullámhossz A » a, ezért meg kell különböztetni [a (65,5)—(65,6) kifejezéshez képest] újabb ~A //?0 vagy szorzót tartalmazó tagokat; elegendő csupán az előbbieket megtartani.Éppen ezeket kapjuk (72,3)-ból és (72,5)-ből; l//?0-ban a másodrendű tagokig elmenve, azt kapjuk, hogy

En = — nd, Hn - 0. (2)cRv

(A Hn kifejezés csak az a/R0-ban magasabb rendű tagok figyelembevétele esetén különbözne null á tói.) Behelyettesítve (l)-be (2)-t és (67,6)-ot, az adódik, hogy

cl J 1dt 2 ne3

J (n x d) (nd) dü.

Végül az integrál alatti kifejezést e ^ yiipdynődő alakba írjuk, és n lehetséges irányaira átlagolunk, amivel adódik, hogy

d3 2 • •• _^ r = - 3? dxd- (3>

Megjegyezzük, hogy lineáris oszcillátor (d = d0 cos cot, dQ valós amplitúdó) esetén a (3) kifejezés eltűnik: a sugárzás nem jár impulzusmomentum-veszteséggel.

73. §. GYORSAN MOZGÓ TÖLTÉS SUGÁRZÁSA 255

73. §. Gyorsan mozgó töltés sugárzása

Tekintsünk most egy töltött részecskét, amelynek sebessége összemérhető a fény- sebességgel.

A 67. § képletei, amelyeket a v <£. c feltételezés mellett vezettünk le, erre az esetre közvetlenül nem alkalmazhatók. Vizsgálhatjuk viszont a részecskét egy olyan koordináta-rendszerben, amelyben az az adott pillanatban nyugalomban van; ebben a koordináta-rendszerben az említett képletek nyilvánvalóan alkalmazhatók. (Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ezt csak egyetlen mozgó részecske esetén tehetjük meg; ha több részecske van jelen, általában nem létezik olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben mind egyidejűleg nyugalomban lennének.)

így az említett vonatkoztatási rendszerben a részecske dt idő alatt

d & = ~ v f i d t (73,1)

energiát sugároz ki [a (67,9) képlet alapján], ahol w a részecske gyorsulása ugyanebben a rendszerben. Az általa „kisugárzott” impulzus az adott vonatkoztatási rendszerben zérus:

dP = 0. (73,2)

Valóban, a kisugárzott impulzust úgy határozzuk meg, hogy a sugárzási tér impulzusáramának sűrűségét a részecskét körülvevő zárt felületre integráljuk. Viszont a dipólsugárzás szimmetriatulajdonságai miatt az ellenkező irányokban elvitt impulzusok nagyság szerint megegyeznek, és ellentétes irányúak; ezért az említett integrál azonosan zérus.

Tetszőleges vonatkoztatási rendszerre való áttérés céljából a (73,1) és (73,2) képleteket írjuk fel négydimenziós alakban. Könnyen látható, hogy a dPl „kisugárzott négyesimpulzusnak”

7_. l é 1 duk duk . l é 1 duk duk . , _dP' = — - ± d x J ^ - f - u 1 ds 73,3)

3c ds ds 3c ds ds

alakúnak kell lennie. Valóban: abban a koordináta-rendszerben, amelyben a részecskeduk du w2

nyugszik, az ul négyessebesség térszerű komponensei eltűnnek, és —------ -- = — — - ;ds ds c4

ezért dPl térszerű komponensei eltűnnek, időszerű komponense pedig a (73,1) egyenlőséget adja.

Adott elektromágneses téren átrepülő részecske által az átrepülés egész ideje alatt kisugárzott négyesimpulzust a (73,3) képlet adja meg, azaz


A J H = „ 2f ! f dlt d x i (73 4)3c ds ds ’ ^ ’ ’

írjuk fel ezt a képletet más alakban, fejezzük ki a duljds négyesgyorsulást a külső elektromágneses tér tenzorával a (23,4) mozgásegyenletek segítségével:

duk e mc , = — Fkiul.

ds c

Ekkor azt kapjuk, hogy

*A (73,4) vagy (73,5) egyenlet időszerű komponense adja meg a kisugárzott A S teljes energiát. A négydimenziós mennyiségeket háromdimenziósokkal kifejezve:

(vXw)22e- "" ~

dt (73,6)

H )(w = v a részecske gyorsulása), vagy a külső elektromos és mágneses térerősség segítségével felírva:

2é>4 23 m2c*

{e + I v x h }2- 1 ( E v)2dt. (73,7)

1 —

A kisugárzott teljes impulzust meghatározó képletek ezektől csupán az integráljel alatt szereplő további v szorzótényezőben különböznek.

A (73,7) képletből látható, hogy a fénysebességhez közel az időegység alatt kisugárzott teljes energia a sebességtől lényegében (1 — v2[c2)~1 alakban függ, vagyis arányos a mozgó részecske energiájának négyzetével. Kivételt csak az elektromos térben, a térerősség irányában végzett mozgás képez. Ebben az esetben a nevezőben álló (1 — v2/c2) tényező kiesik a számláló hasonló tényezőjével, így a sugárzás független lesz a részecske energiájától.

Végül vizsgáljuk meg a gyorsan mozgó részecske sugárzásának szögeloszlását. Ehhez célszerű a (63,8)—(63,9) Lienard—Wiechert-potenciálokat használni. Nagy távolságokban elegendő az 1 JR kisebb hatványát tartalmazó [tehát a (63,8) képletben a második] tagot megtartani. A sugárzás irányába mutató n egységvektort bevezetve (R — nJR), a következő képleteket kapjuk:

Ee

l mMX{(ll~~c)Xff}

(l-T ÍH = nX E, (73,8)

ahol az egyenletek jobb oldalán álló mennyiségeket a retardált t' = t —R /c időpillanatban kell venni.

A d ü térszögbe jutó sugárzás intenzitása d l = — E?R2 dü . Az £ 2-et kifejtve, azt4 71

kapjuk, hogy

d l = H ) (nw)2dü. (73,9)

H a a töltés mozgásának egész ideje alatt kibocsátott teljes sugárzás szögeloszlását akarjuk meghatározni, akkor az intenzitást integrálni kell az idő szerint. Emlékezzünk arra, hogy az integrandus tf függvénye; ezért a

(73,10)

képletnek megfelelő változócserét kell végrehajtanunk [lásd (63,6)-ot], tehát közvetlenül dt' szerint integrálhatunk. így a d ü térszögelembe jutó teljes sugárzás:

d = ^ dQ2(nw)(vw) w* \ c*/ '

f W +F W ~ ~ p f )(«-$) (nw)2

>df. (73,11)

Mint az (73,9)-ből látható, a sugárzás szögeloszlása általános esetben meglehetősen bonyolult. Extrém relativisztikus esetben (1 — v/c <$c 1) viszont az 1 —vnjc különbségnek a nevezőkben szereplő magas hatványai miatt jellegzetes szögeloszlást kapunk,1 7 Elméleti fizika II. - 42 221/11.

éspedig az intenzitás nagy abban a szűk szögtartományban, amelyben az 1 — \n/c különbség kicsi. Az n és v által alkotott szöget 0-val jelölve,

Tehát az extrém relativisztikus részecske lényegében mozgásának irányába, az ekörüli(73,12) szögtartományba sugároz.

Megjegyezzük még, hogy a részecske tetszőleges sebessége és gyorsulása esetén létezik két olyan irány, amelyben a sugárzás intenzitása nulla. Az említett irányok azok, amelyekben az n —v\c vektor párhuzamos a w vektorral, és így a (73,8) térerősség eltűnik (lásd még a 2. feladatot a szakasz végén).

Végül felírunk a (73,9) képlet két speciális esetének megfelelő néhány egyszerű képletet.

Ha a részecske sebessége és gyorsulása párhuzamos, akkor

Ez természetesen szimmetrikus v és w közös iránya körül, és eltűnik a sebesség irányában (0 = 0) s az ezzel ellentétes irányban (0 = tz). Extrém relativisztikus esetben az intenzitásnak 0 függvényében a (73,12) tartományban éles kettős maximuma van, köztük 0 = 0-nál nulláig csökken.

Ha a sebesség és a gyorsulás merőleges egymásra, (73,9)-ből a következőt kapjuk:

ahol 0 ismét az n és v közti szög, <p pedig az n vektornak a v-re merőleges síkban

ez a különbség kicsi (~ 1 — v/c)9 ha 0 VT — vjc , vagy ami ugyanaz,

(73,12)

e wXn~d*R 3"’

és az intenzitás:

d l = e,2 w2 sin2 0 d ü (73,13)

4 7ZC3

e2w2


w-től számított azimutszöge. Ez az intenzitás csak a vw síkra nézve szimmetrikus, és az e síkban fekvő két irányban tűnik el, amelyek a sebességgel 6 = arc cos {vjc) szöget zárnak be.

Feladatok

1. Határozzuk meg egy álló töltés Coulomb-terében (a potenciál cp = e2jr) q ütközési paraméterrel mozgó relativisztikus töltés teljes sugárzását.

Megoldás. Az erőtéren áthaladó relativisztikus részecske alig térül el.16 Ezért (73,7)-ben a v sebességet állandónak vehetjük, így a térerősség a részecske helyén:

F _ e$_ ^ e2rr3 ~ (q2+ v2í2)^2 9

itt x — v t ,y = q. (73,7)-ben az időintegrálást elvégezve, azt kapjuk, hogy

AJ> = 4C2~ ^212m2c3Q3v c2 — v2

2. Határozzuk meg azokat az irányokat, amelyekben a sugárzás intenzitása eltűnik.

Megoldás. A geometriai szerkesztés (15. ábra) alapján azt kapjuk, hogy a keresett n irányok a vw síkban fekszenek, és a w irányával bezárt % szögre teljesül a

• v V .sin a = — sm a cösszefüggés, ahol a a v és w vektorok közti szög.

16 v ~ c esetén észrevehető szögű elhajlás csak q ~ e2!mc2 ütközési paraméter mellett történhet, ez azonban már nem vizsgálható klasszikusan.

17*


74. §. Mágneses fékezési sugárzás

Tekintsük a homogén mágneses térben tetszőleges sebességgel körpályán mozgó töltés sugárzását; ennek neve mágneses fékezési sugárzás.

A körpálya r sugarát és a mozgás cdh körfrekvenciáját a H térerősséggel és a részecske v sebességével a következőképpen fejezhetjük ki (lásd a 21.§-t):

A sugárzás irányaira összegezett teljes intenzitás a (73,7) képletből határozható meg (időintegrálás nélkül), amelyben most E = 0, H í v :

Látjuk, hogy a teljes intenzitás arányos a részecske impulzusának négyzetével.Ha a sugárzás szögeloszlását keressük, akkor a (73,11) képletet kell használnunk.

A mozgás periódusára átlagolt intenzitást kívánjuk meghatározni, így (73,ll)-ben a részecske egy körfordulatának idejére integrálunk, és az eredményt elosztjuk a T = 2tt/cojj periódusidővel.

mcv v eH í '(74,1)

2 eíH 2ví(74,2)

X

z

16. ábra

Válasszuk a pálya síkját az xy síknak (az origó legyen a kör középpontjában), az yz sík pedig haladjon keresztül a sugárzás k irányán (16. ábra). A mágneses térerősség mutasson a negatív z tengely irányába (a részecskének a 16. ábrán látható

74. §. MÁGNESES FÉKEZÉSI SUGÁRZÁS 261

mozgásiránya pozitív e töltésnek felel meg). Legyen továbbá 0 a sugárzás k iránya és az y tengely által bezárt szög, cp = coHt pedig a részecske helyvektora és az x tengely közti szög. Ekkor a k irány és a v sebesség által bezárt szög koszinusza cos 0 cos cp (a v vektor az xy síkban fekszik, és mindig merőleges a részecske helyvektorára). A részecske w gyorsulását kifejezhetjük a H térerősséggel és a v sebességgel a mozgásegyenlet alapján [lásd (21,l)-et]r

ew = — mc Y ^ xh.

Egyszerű számítások után azt kapjuk, hogy

1 sin2 0+ ("^"“cos ® cos

dI d Q 8n2m2c5

2n [*

e4H 2v2 / v2 '

K ) ^1 — — cos 6 cosdp (74,3)

(az időintegrálást dq> = caH dt szerintivel helyettesítettük). Az integrálás maga elemi, bár a részletszámítások elég hosszadalmasak. Eredményül a következő képletet kapjuk:

elHd l = dQ 8jrm2c5

2 + ^ - cos2 6 ^1 ^ 4 + ^ - cos2 cos2 ö/ /;2 \ 5 /2 / *;2 \ 7 / 2

( 1- ^ 2 cos20) ‘4 ( 1 - ^ cos20J

(74,4)

A 0 = jr/2 (a pálya síkjára merőleges) és a 6 = 0 (a pálya síkjába eső) irányokban kibocsátott sugárzás intenzitásának aránya:

( d im . 4 + 3 ^ (74>5)(d l/dü)nl2 / »2\ 5'2/

v 0 határesetben ez a hányados 1 /2-hez tart, de a fénysebességhez közel nagyon nagy lesz. Erre a kérdésre az alábbiakban még visszatérünk.

Továbbmenve tekintsük a sugárzás spektrális eloszlását. Mivel a töltés mozgása periodikus, Fourier-sorfejtést kell alkalmaznunk. A számításokat célszerű a vektor- potenciál kifejtésével kezdeni. Ennek Fourier-komponense [vö. (66,12)-vel]:

pikR0gikRo í*A„ = e ~~RoT (j) exp {i(mHn t - kr)} dr,

ahol a részecske pályájára (körre) kell integrálnunk. A részecske koordinátái: x = r cos cuHt, y — r sin cx>Ht. Integrálási változónak a cp = coHt szöget választjuk. Észrevéve, hogy

kr = kr cos 0 sin cp = — cos 0 sin cp c

(k = nojH/c = nv/cr\ a vektorpotenciái x összetevőjének Fourier-komponensére a következő kifejezést kapjuk:


2nev

A — _____ ü l ___ p i k R 0Slxn — ~ „ é:27tcRoi n l y — — cos 6 sin 9?) .

e x c 1 sin cp dcp.0

Ilyen integrállal már találkoztunk a 70. §-ban. Ez kifejezhető a Bessel-függvény deriváltjával:

A xn = - eikR°J'n^ ~ öcs 0j . (74,6)

Hasonlóképpen számítható ki Ayn is:

<74-7)

A z tengely irányába mutató komponens nyilvánvalóan zérus.A 66. § képletei szerint a dQ térszögbe kibocsátott co = frekvenciájú sugárzás

intenzitása:

dIn = é 1H " '* S o ^ = ^ ! k X A „ |2 Rt dQ.

Figyelembe véve, hogy| A x k |2 = A 2k2-{-A2k2 sin2 0,

és a (74,6)—(74,7) kifejezéseket behelyettesítve, a sugárzás intenzitására a következő képletet kapjuk (G . A Schott, 1912):

n2e*H2 ( v2\ r J n v \ r, J n v \ _w ( ' - • ? ) .,g c o s ) + ? " ( t cos e) .

d h =■ dQ. (74,8)

Az w = rcco# frekvenciával kibocsátott sugárzás teljes intenzitásának meghatározásához ezt a kifejezést integrálnunk kell a teljes térszögre. Az integrálás azonban nem végezhető el zárt alakban. A Bessel-függvények bizonyos összefüggéseit felhasználva, több átalakítás után a keresett integrál a következő alakra hozható:

vlc

2e/kH 2 ( v2\ v2 (2 n v \ / v2\ fIn = ^ { 1- ^ ) /8 »(— ) - n [ l - ■ ? ) J J M ) d í ■ (74’9)

Vizsgáljuk meg részletesebben az extrém relativisztikus esetet, amikor a részecske közelítőleg fénysebességgel mozog.

A (74,2) kifejezés számlálójában a v — c helyettesítést elvégezve, azt kapjuk, hogy a mágneses fékezési sugárzás teljes intenzitása extrém relativisztikus esetben arányos a részecske <5 energiájának négyzetével:

2e*H2 / S \ 27 = 3 ^ 3 ( 7 ^ ) • ( 7 4 , I 0 )

A szögeloszlás az adott esetben erősen anizotrop: lényegében a pálya síkjábanösszpontosul. Azt a AO szögtartományt, amelybe a sugárzás nagy része esik, könnyen

v2 v2megbecsülhetjük az 1 - — cos2 0 ~ 1 — —;- feltételből. Nyilvánvalóan

A e - Í l ~ 2 = ' ^ r (74’n )

[ez az eredmény természetesen összhangban van a pillanatnyi intenzitás szögeloszlásával, amit az előző szakaszban vizsgáltunk; lásd (73,12)-t.]17

Sajátos jellege van az extrém relativisztikus esetben a sugárzás spektrális eloszlásának is (L . A. Arcimovics és I. J. Pomerancsuk, 1945).

A későbbiekben látni fogjuk, hogy ebben az esetben a nagyon nagy n értékeknek megfelelő frekvenciák játszanak lényeges szerepet a sugárzásban. így felhasználhatjuk a (70,9) aszimptotikus képletet, amely szerint

J2ni2n ) ~ - J — 0[«2/*(l -S 2)]. (74,12)yrcn113

Ezt (74,9)-be helyettesítve, nagy n értékekre a sugárzás spektrális eloszlását a következő alakban kapjuk meg:18

2e*H2 mc2In = —------ ----- \u

ynm2c3 &

17 Ne tévesszük azonban össze az e szakaszban használt d szöget a 73. §-ban használt 0-val, amely ott az n és v által közbezárt szög volt.

18 Behelyettesítéskor az integrál egyik határa (n2/3) helyett a kívánt pontossággal végtelent írtunk, és ahol az lehetséges volt, elvégeztük a v = c helyettesítést. Bár a (74,9) integrálban nemcsak 1-hez közeli | értékek szerepelnek, ennek ellenére megengedett a (74,12) képlet használata, mivel az integrál az alsó határon gyorsan konvergál.

(74, 13)

u -* 0 esetén a szögletes zárójelben álló kifejezés a <Z>'(0) = — 0 ,4587... állandóhoz tart.19 így « « 1 értékekre:

1(, , ( & \s ,nA*As, - = °-5 2 7 » r ( ' ^ ) " • ■ (74-14>

u » 1 értékekre felhasználhatjuk az Airy-függvények ismert aszimptotikus alakját (lásd az 59.§ 8 számú lábjegyzetét), ebből:


In =e4# V /2 /m c2\ 5/2 2 ^mn-c3

/mc2\512 r 2 /m c2\ 3] / (5 \ 3( _ _ ) (74’15>

vagyis az intenzitás nagyon nagy rc-ekre exponenciálisan csökken.Következésképpen a spektrális eloszlásnak n ~ (£/mc2)2 körül maximuma van, a

sugárzás legnagyobb része az/ c5 \ 3 eH í & \ 2

(Ú — Ü)H\----ö I = ---- ( --- 2 I (74,16)\ mc-J mc \m czJ

körüli frekvenciatartományba esik. Ezek a frekvenciák igen nagyok az egyes szomszédos frekvenciák coH távolságához képest. Más szóval a sugárzás spektruma sok, egymáshoz közeli vonalból áll, azaz kvázifolytonos jellegű. Ezért az In eloszlás helyett bevezethetjük az co = ncoH folytonos változó szerinti eloszlást:

d l = I„ dn = .cdh

A numerikus számítások céljára ezt az eloszlást érdemes a K v Macaonald-függ- vények segítségével kifejezni.20 A (74,13) képlet egyszerű átalakításával ez a következő' alakban írható :

K M d ^ (74,17)2n mc2

19 Az Airy-fiiggvény definíciója alapján:

31/6r(2/3)0'(O) = — -tLt í I sin — d£ = ----—í---- í x-1/3 sin x dx = — -KttJ 3 /tt.31/3 j

20 Az Airy-függvény és a 7£1/3 függvény közti kapcsolatot az 59. § 8 számú lábjegyzetének (4) képlete adja meg. A további átalakítások során felhasználtuk a következő rekurziós összefüggéseket:

Kv- iU )- Kv+i(x) Kv, 2Kí(x) = - Kv- ,U) - Kv+iU),

és ezenkívül K _ v{x) = Kv{x). Könnyű például belátni, hogy


ahol bevezettük az

(74,18)2mc \m c 2

jelölést. Az F ( |) függvény alakja a 17. ábrán látható.Végül néhány megjegyzést teszünk arról az esetről, mikor a részecske nem kör

pályán, hanem csavarvonal mentén mozog, vagyis v cos % longitudinális sebessége van H iránya mentén (% a H és v által bezárt szög). A forgás frekvenciáját ekkor is a (74,1) képlet határozza meg, de a v vektor nem kört ír le, hanem egy kúp felülete mentén mozog, amelynek tengelye H irányába mutat, és nyílásszöge 2%. A sugárzás teljes intenzitását (ezen a részecske 1 s alatti teljes energiaveszteségét értve) megkaphatjuk (74,2)-ből, ha H-t H ± = H sin %-vel helyettesítjük.

Extrém relativisztikus esetben a sugárzás a „sebességkúp” alkotóinak irányában összpontosul. A spektrális eloszlás és a teljes intenzitás (ugyanabban az értelemben) megkapható a (74,17) és (74,10) képletekből a H -*■ H ± helyettesítéssel. Ha az említett irányban távolabb elhelyezkedő mozdulatlan megfigyelő által észlelt intenzitásról van szó, akkor a fenti képletekbe be kell vezetni egy tényezőt, amely figyelembe veszi a sugárforrás (a körpályán mozgó részecske) általános közeledését vagy távolodását a megfigyelőhöz képest. Ez a tényező a dt/dtmegf hányados, ahol a forrás által dt időkülönbséggel kibocsátott két jel dtmcg{ időkülönbséggel érkezik a megfigyelőhöz. Nyilvánvalóan

17. ábra

ahol $ a k és H irányok által bezárt szög (ez utóbbit választottuk a sebesség pozitív irányának). Extrém relativisztikus esetben, amikor k iránya v irányához közel esik,# « x, így


Feladatok

1. Hogyan változik egy állandó mágneses térben körpályán mozgó töltés energiája, ha az energia- veszteséget a sugárzás okozza ?

Megoldás. (74,2) alapján az energiaveszteség az időegység alatt:

(S a részecske energiája). Ebből

t növekedésével az energia monoton csökken, és t °o-re aszimptotikusan tart az rC = mc- értékhez (a részecske teljesen megáll).

2 . Adjuk meg a sugárzás spektrális eloszlásának aszimptotikus alakját nagy n értékekre egy körpályán mozgó részecske esetén, amelynek sebessége nincs közel a fénysebességhez.

Megoldás. Használjuk fel a Bessel-függvények elméletének ismert

Ez a képlet /z(l — ?r/c2)3/2 » 1 esetén alkalmazható; ha emellett 1 — v2/c2 kicsi, akkor (74,15)-be megy át.

3. Határozzuk meg a mágneses fékezési sugárzás polarizációját.

Megoldás. Az En elektromos térerősség a (74,6)—(74,7)-ben megadott An vektorpotenciáiból a következő képlet segítségével számítható ki:

Legyen e1 és e2 a k-ra merőleges sík két egység vektor a, ahol ex párhuzamos az x tengellyel, e2 pedig az yz síkban fekszik [a komponenseik: e2 = (1, 0, 0), e2 = (0, sin 6, —cos 6)]; az ex, e2, k vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak. Ekkor az elektromos térerősség:

képletét, amely //(1 - e2):i/2 » 1 esetén érvényes. Ennek segítségével (74,9)-ből

En = (k x A*) x k = - — k(kAJ + ikAn.

En = ikAxne l + ik sin 6A,jne2,

vagy elhagyva a lényegtelen közös tényezőket:

75. §. A SUGÁRZÁS VISSZAHATÁSA 2 6 7

A hullám elliptikusán polarizált (lásd a 48. §-t).

Az extrém relativisztikus esetben nagy n-ek és kis 0 szögek esetén a Jn és J'n függvények kifejez- hetők Klj3 és K2j3 segítségével, ezek argumentumaiban pedig így közelíthetünk:

v2 v2 / mc2 \ 21 - ^ 0 0 8 * 0 * 1 - _ + 0* = +0*.Az eredmény:

E* = ( - | v-3) + 3 ( y V3) , ¥> = ] / + 0* ■

0 = 0 esetén az elliptikus polarizáció ej menti lineáris polarizációba megy át. Nagy 0 értékek esetén (| Q \ » mc2/S , n92 » 1) Klj3(x) ^ K2l3(x) ^ |/n/2xe,~x, és a polarizáció cirkulárissá válik: En ~ ex± + /e2; a sugárzás intenzitása azonban ekkor exponenciálisan kicsi. A közbenső szögtartományokban az ellipszis kistengelye e2, nagytengelye el irányba mutat. A polarizáció forgásiránya függ 0 előjelétől (9 > 0, ha a H és k irányok a pálya síkjának különböző oldalain helyezkednek el, amint a 16. ábrán látható).

75. §. A sugárzás visszahatása

A 65.§-ban megmutattuk, hogy egy töltésrendszer potenciáljainak kifejtése vjc hatványai szerint második közelítésben egy olyan Lagrange-függvényre vezet, amely (az adott közelítésben) teljesen meghatározza a töltések mozgását. Fejtsük ki most a potenciálokat magasabb rendű tagokig, és állapítsuk meg, hogy milyen jelenségekre vezetnek az új tagok.

A

R Q t - R I c dV

skalárpotenciál 1 le szerinti sorfejtésének harmadrendű tag ja:

r(3) _ _6c3 d/3

R2o dV. (75,1)

Ugyanazokból az okokból, mint (65,3) levezetésekor, a vektorpotenciái sorfejtésében csak az 1 jc szerinti másodrendű tagot kell vennünk, azaz

A(2) -1 d

c2 dt j dV. (7 5 ,2)

Hajtsuk végre a potenciálokon a

1 d fq/ - (p -— A' = A + g rad /

transzformációt, ahol a / függvényt válasszuk meg úgy, hogy a 99(3) skalárpotenciál eltűnjön:

1 d2 f

Ekkor az új vektorpotenciái:

A,e' = - ^ w j i ‘,y- é & * j RSe‘,í' =

= - F w j i ', F - 3 ? £ - { R ^ F '

Az integrálásról az egyes töltések szerinti összegezésre áttérve, a jobb oldal első

tagjára a kifejezést kapjuk. A másodikban azt írjuk, hogy R = R 0—r, ahol

Ro és r a szokásos mennyiségek (lásd a 6 6 . §-t); ekkor R — — r = — v, és így a

második tag V ev. Tehát 3<r ^

A'<2)= - ^ I ^ . (75,3)

A fenti potenciálnak megfelelő mágneses térerősség zérus (H = rőt A '(2) =0), mivel A/(2) nem tartalmazza explicit módon a koordinátákat. Az E — — Á '(2)/c elektromos tér pedig a következő:

^ j 3 c 3 ( 7 5 , 4 )

ahol d a rendszer dipólmomentuma.Tehát a térerősség sorfejtésének harmadrendű tagjai a töltésekre ható új erőket

adnak, amelyek nem szerepelnek a (65,7) Lagrange-függvényben; ezek az erők a töltések gyorsulásainak időderiváltjaitól függnek.

Tekintsünk egy stacionáris mozgást végző töltésrendszert, 21 és számítsuk ki a(75,4) térerősség által időegység alatt végzett munkát. Mindegyik töltésre f = eE erő hat, azaz

f = ~ d . (75,5)


21 Pontosabban szólva, egy olyan mozgást, amely a sugárzást elhanyagolva stacionáris lenne, így viszont fokozatosan csillapodik.

Időegység alatt ez az erő fv munkát végez; a töltéseken végzett teljes munka ennek a töltésekre vonatkoztatott összegével egyenlő:

„ 2 ~ ^ 2 ~ • 2 /“•-v 2£ ÍV = 3c* = 3 ^ dd = 3c® ~dt _ 3c* d '

A z idő szerinti átlagoláskor az első tag eltűnik, és így az átlagos m unka:

= f(75,6)

Viszont a jobb oldalon álló kifejezés tulajdonképpen (negatív előjellel) a rendszer által időegység alatt kisugárzott átlagos energia [lásd (67,8)-at]. így a harmadik közelítésben megjelenő (75,5) erők a sugárzásnak a részecskékre való visszahatását írják le. Ezeket az erőket sugárzási fékezőerőknek vagy Lorentz-féle súrlódási erőknek nevezzük.

Egy sugárzó rendszerben az energiaveszteségen kívül impulzusmomentum-veszteség is fellép. Az impulzusmomentum dJ/dt csökkenése az időegység alatt könnyen meghatározható a fékezőerők kifejezéséből. A J = £ r X p impulzusmomentumot idő szerint deriválva, J = £ r X p , mivel ^ ]rX p = J]ravX v = 0. Az impulzus időderiváltját a részecskére ható (75,5) fékezőerővel helyettesítve, azt kapjuk, hogy

j = 2 > X f = _ ? _ £ CTXd = ~ d X d . ]

Bennünket az impulzusmomentum-veszteség időátlaga érdekel stacionáris mozgás esetén, akárcsak fentebb, amikor az energiaveszteségről volt szó. A

d ..............d X d = ^ - d X d - d X d

átalakítást elvégezve, és észrevéve, hogy az időderivált (az első tag) az átlagoláskor eltűnik, végül a sugárzó rendszer átlagos impulzusmomentum-veszteségére a következő kifejezést kapjuk:

n r = ~ 3 c~s d x d (-75,7-)

(összhangban a 72. § 2. feladatában nyert (3) alatti eredménnyel).A sugárzás által kifejtett fékezőerő akkor is fellép, ha egy töltés külső erőtérben

mozog. Ennek nagysága:

2e2 ..f = 3^8 v- (75,8)

75. §. A SUGÁRZÁS VISSZAHATÁSA 269

Egy részecske esetén mindig választhatunk olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben az az adott pillanatban nyugalomban van. Ha ebben a rendszerben kiszámítjuk a töltés terének sorfejtésében szereplő további tagokat, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ha a töltést és az észlelési pontot összekötő R vektor zérushoz tart, akkor ezek a tagok eltűnnek. így egy töltés esetén a (75,8) képlet pontosan leírja a sugárzás visszahatását abban a rendszerben, amelyben a töltés nyugalomban van.

Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a töltés „önmagára való” hatásának a fékezési erő segítségével való leírása nem teljesen kielégítő, és ellentmondásokra vezet. Külső erőtér hiányában a részecskére csak a (75,8) erő hat, és így mozgásegyenlete:

. lé 1 ..mv = 3^ v.

Ennek az egyenletnek a triviális v = const megoldáson kívül olyan megoldása is van, amelyben a v gyorsulás exp (3mc3í/2^2)-tel arányos, vagyis korlátlanul növekszik. Ez azt jelentené például, hogy egy valamilyen erőtérben áthaladó részecske, abból kilépve, korlátlanul gyorsítaná önmagát. Ennek az eredménynek képtelensége a (75,8) képlet korlátozott alkalmazhatóságára hívja fel a figyelmet.

Felmerülhet az a kérdés, hogy az elektrodinamika, amely teljesíti az energiamegmaradás törvényét, hogyan vezethet olyan lehetetlen eredményre, hogy egy szabad részecske korlátlanul növeli az energiáját. A fenti nehézség alapvető oka az elemi részecskék már említett (37. §) végtelen „sajátenergiájában” keresendő. Amikor a mozgásegyenletekben a töltés tömegét végesnek vesszük, ezzel tulajdonképpen formálisan egy nem elektromágneses eredetű, végtelen negatív „sajáttömeget” tulajdonítunk neki, amely az elektromágneses tömeggel együtt a részecske véges tömegét eredményezi. Mivel azonban egyik végtelennek a másikból való kivonása nem teljesen korrekt matematikai művelet, így ez egy sor további nehézséghez vezet, többek között a fent említetthez.

Abban a koordináta-rendszerben, amelyben a részecske sebessége kicsi, a mozgásegyenlet a sugárzási visszahatás (fékezőerő) figyelembevételével a következő alakot ölti:

€ 2é?2 .. mv = <?E+ — v X H + ^ 3 v. (75,9)

Az említett meggondolások alapján ez az egyenlet csak akkor alkalmazható, ha a visszahatás kicsi a külső erőtér által a töltésre ható erőhöz viszonyítva.

Derítsük ki e feltétel fizikai értelmét. Abban a koordináta-rendszerben, amelyben a töltés nyugalomban van, a sebesség idő szerinti második deriváltja a visszahatás elhanyagolásával a következő:

v = — É + — V X H . m mc

0

A második tagba (ugyanolyan pontossággal) beírhatjuk, hogy v = eE /ra, és így

v = — E + - ^ - E X H . m m~c

Ennek megfelelően a visszahatás két tagból á ll:

2e3 • 2<?4f = & E + w E x H - (75’10)

é?3coHa co a mozgás frekvenciája, akkor E arányos coE-vel, és így az első tag — E

mc6

nagyságrendű; a második tag nagyságrendje pedig — E H . így az a feltétel, hogyra^ci4

a súrlódóerő kicsi legyen a töltésre ható eE erőhöz képest, először is azt adja, hogy

( o 1.mc6

vagy a A ~ c/co hullámhosszat bevezetve:

A » - ^ . (75,11)mc2

Tehát a sugárzási visszahatást leíró (75,8) képlet csak akkor alkalmazható, ha a részecskére ható mező hullámhossza nagy a töltés e2/mc2 „sugarához” képest. Látjuk, hogy ismét az e2/m c2 nagyságrendű távolságok alkotják azt a határt, amelyen túl az elektrodinamika önmagával ellentmondásba ju t (lásd a 37. §-t).

Másodszor, a visszahatás második tagját az eE erővel összehasonlítva, a következő feltételt kapjuk:

ffl2C4H « - i r . (75,12)

Tehát az is szükséges, hogy az erőtér ne legyen nagyon erős. Az ra2c4/<?3 térerősségek is azt a határt jelentik, amelyen túl a klasszikus elektrodinamika belső ellentmondásokra vezet. Itt azonban meg kell jegyeznünk, hogy a klasszikus elektrodinamika a kvantumjelenségek következtében már sokkal kisebb térerősségek esetén alkalmazhatatlanná válik.22

A félreértések elkerülése végett emlékeztetünk arra, hogy (75,ll)-ben a hullámhosszat és (75,12)-ben a térerősséget abban a vonatkoztatási rendszerben kell érteni, amelyben a részecske az adott pillanatban nyugalomban van.

22 ~ m2c3/fte nagyságrendű terek esetén, vagyis amikor hcoH ^ mc2. Ez a határ a (75,12) feltétel által meghatározottnál hc/e2 = 137-szer kisebb.

Feladatok

1. Határozzuk meg azt az időt, amely alatt két, egymást vonzó és elliptikus mozgást végző töltés (amelyek sebessége kicsi a fénysebességhez képest) a sugárzásból eredő energiaveszteség következtében egymásba „esik”.

Megoldás. Ha feltételezzük, hogy az egy keringés alatt kicsi az energiaveszteség, az energia időderiváltját egyenlőnek vehetjük a sugárzás átlagos intenzitásával (amit a 70. § 1. feladatában határoztunk meg):

ahol a = | e1e2\. Az energia mellett a részecskék impulzusmomentuma is csökken. Az időegységre jutó impulzusmomentum-veszteséget a (75,7) képlet adja meg; behelyettesítve ebbe d-nek (70,1) kifejezését, és észrevéve, hogy fir = — ar/r3 és J = jurXv, azt kapjuk, hogy

Átlagoljuk ezt a kifejezést a mozgás periódusára. Mivel J lassan változik, a jobb oldalon elegendő az r~s tényezőt átlagolni; ezt az átlagot ugyanúgy számítjuk ki, ahogyan azt a 70. § 1. feladatában r~4 esetén tettük. Ennek eredményeként az időegység alatti impulzusmomentum-veszteség:

[az átlagolás jelét, akárcsak (l)-ben, elhagyjuk]. Az (1) és (2) mennyiség hányadosát véve, a

Az integrálási állandókat úgy választottuk meg, hogy J = J0 esetén S — SQ legyen, ahol J0 és S0 a részecske impulzusmomentumának és energiájának kezdeti értékei.

A részecskék egymásba „esésének” / -+■ 0 felel meg. (3)-ból látható, hogy ekkor, amint az várható volt, <5 -*■- oo.

Megjegyezzük, hogy az \£ \ J 2 szorzat ^a2/2-höz tart, és a (70,3) képletből látható, hogy az e excentricitás zérushoz tart, vagyis a részecskék közeledésével a pálya alakja a körhöz közeledik; (3)-at (2)-be helyettesítve, meghatározzuk a dtjdJ deriváltat J függvényében, majd ezt dJ szerint / 0-tól 0-ig integrálva, megkapjuk az egymásba esés idejét:

d \6 \ _ (2 1&1)3/2 ^ 5'2«8dt

|)3 /2 ^ 5 /2 a 8 / e i g 2 X 2 / 2 \S \ J*\3c3J 5 \ m 1 m2 / \ / ’ (1)

dJ_dt

(2)

differenciálegyenletet kapjuk, amelynek megoldása

(3)

0

2. Határozzuk meg két egyforma töltött részecskéből álló rendszer Lagrange-függvényét a negyedrendű tagokat is figyelembe véve23 (/. A. Szmorogyinszkij és V. N. Golubenkov, 1956).

Megoldás. A számításokat célszerű a 65. §-ban használttól eltérő módszerrel végezni. Induljunk ki a részecskéket és az általuk létrehozott erőteret együtt leíró Lagrange-függvényből:

L - JAz

E2 —H 2 = e ( — V ^ - H r o t A

egyenlőséget behelyettesítve, majd parciálisán integrálva azt kapjuk, hogy

Egy dipólusként nem sugárzó rendszer esetén a végtelen távoli felületre vett integrál nem ad járulékot az 1/c4 rendű tagokhoz. Az idő szerinti teljes derivált a Lagrange-függvényből elhagyható. így a Lagrange-függvény keresett negyedrendű tagjait az

L = T / ( t jA' w) dv~ % Y 1

kifejezés tartalmazza.A 65. §-ban végzett sorfejtést folytatva, határozzuk meg az 1. töltés által a 2. töltés helyén létre

hozott potenciálok (90 és A jc) negyedrendű tagjait:

e 04/?3 1 e 02 (Pl( } ~ ~7Aé dt'- ’ y lU ) “" 2^ _ ' s F ( l)-

A (18,3) transzformációt egy megfelelő / függvénnyel alkalmazva, ezeket a potenciálokat a következő ekvivalens alakra hozhatjuk:

* lO) - 0 , ± A , < 2 ) - ^ r [ - | r(R „ ) + 1 L | r ( V * . ) ] . ( , )

(A d/dt deriválás elvégzésekor az észlelési pontot, vagyis a 2. pontot kell rögzíteni; a V deriválás az észlelési pont koordinátája szerint kell elvégezni.)

A Lagrange-függvény negyedrendű tagjai tehát:24

£(4) = - ^ [A^2)y-+A2(1 + i £ ‘W+^>-

23 Lásd a 65. § 2 számú lábjegyzetét. A harmadrendű tagok a Lagrange-függvényből automatikusan kiesnek: a részecskék által keltett erőtér megfelelő rendű tagjai a dipólmomentum időderiváltjaiból kaphatók meg [lásd (75,3)-at], amely az adott esetben megmaradó mennyiség.

24 Itt elhagytuk a végtelen tagokat, amelyek a sajáttérnek a részecskére való hatásával kapcsolatosak. Ez a művelet a Lagrange-függvény ben szereplő tömegek „renormálásának” felel meg (vö. a 37. § 1 számú lábjegyzetével).18 Elm életi fizika II. - 42 221/11.

(l)-ben a deriválásokat részben elvégezve, A j^ - t a következő alakra hozzuk:

(ahol n az 1. ponttól a 2. pontba mutató egységvektor). A további számítások előtt célszerű kiküszöbölni L(4)-ből a sebességek többszörös időderiváltjait. Ehhez vegyük észre, hogy

7 A'l2),•ahol

~df (VzFl) = T i (T*Fl)+(T!V) V2Fl)

teljes időderivált (az R vektor mindkét vége szerinti deriválás), és a Lagrange-függvényből elhagyható. A kapott kifejezésből a gyorsulásokat az első közelítésben felírt mozgásegyenletek segítségével kiküszöböljük: im 1 = —e2n/R2, m \2 = e2n/R2. Elég hosszas számítás után a következő kifejezést kapjuk:

8 c4Ré2 2e* 1 yyi

+ 1 3(nv' )2+3(nv^ ] + 7 } + 1^4 W +^)-

A két egyforma részecskéből következő szimmetria miatt eleve nyilvánvaló, hogy abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a tömegközéppont nyugalomban van, vx = - v2. Ekkor a Lagrange- függvény negyedrendű tagjai:

L {á) = ~ A nr | [ - vfv%+ 2(v1v2)2 - K m ^ 2 (nv2)2+ (nvx)2 v2+ (nv2)2 rf] +

e2 ( \ c2 2e* 1 yyivL<á) = W { r e I 1' — 3,nv)4 + 2(nv)2 * ] + _ [3(„y)* -,* ] + - _ } + _ - ,

ahol v = v2- v r

76. §. A sugárzás visszahatása relativisztikus esetben

Vezessük le a sugárzási fékezőerő relativisztikus kifejezését egy töltésre, mely kifejezés a fénysebességgel összemérhető sebességek esetén is alkalmazható. Ez az erő most egy gl négyesvektor, amellyel ki kell egészíteni a töltés négydimenziós alakban felírt mozgásegyenletét:

dul emc — - = — Flkuk + g l. (76,1)ds c

g l meghatározásához előzetesen megjegyezzük, hogy v <zc c esetén a három térbeli komponensnek a (75,8) alatt meghatározott f/c vektor megfelelő komponenseibe kell

76. §. A SUGÁRZÁS VISSZAHATÁSA RELATIVISZTIKUS ESETBEN 275

2e2 d2u*átmennie. Könnyen látható, hogy a —----- — négyesvektor ilyen tulajdonságú. Ez

3c dsazonban nem teljesíti a glut = 0 azonosságot, amely minden négydimenziós erőre fennáll. Ahhoz, hogy ezt a feltételt kielégítsük, a fenti kifejezéshez hozzá kell adnunk egy négyesvektort, amely az ui négyesvektort és deriváltjait tartalmazza. E vektor térbeli komponenseinek v = 0 határesetben el kell tűnniük, hogy ne változtassák

2e2 d2uimeg f helyes kifejezését, amelyet a tag m<*r megad. Ilyen tulajdonsággal

az ul négyesvektor rendelkezik, és így a keresett kiegészítő tagnak a ul alakúnak kell lennie. Az oc skalárt úgy kell megválasztanunk, hogy teljesüljön a glut = 0 összefüggés. Innen azt kapjuk, hogy

2e2 [(P-U* . h d2Uk\<76-2)

Ezt a képletet másképpen is felírhatjuk, ha a cPu'/ds? deriváltakat a mozgásegyenleteknek megfelelően kifejezzük a részecskére ható külső elektromágneses tér tenzorá- val:

dul e d2ul e dFik . e2A~ = — 2 F Uk> ~ ~2 UkU + ^ FlkFkjul.as mcz as* mc1 dx' m~c*

Behelyettesítéskor figyelembe kell venni, hogy az /, k indexeiben antiszimmetrikus dFlk/dx1 tenzor és a szimmetrikus utuk tenzor szorzata eltűnik. így

A gl négyeserő adott erőtéren áthaladó részecske világvonalára vett integráljának egybe keli esnie (ellenkező előjellel) a töltés teljes sugárzása által elvitt APl négyesimpulzussal [ahhoz hasonlóan, ahogyan a nemrelativisztikus esetben az f erő átlagértéke megegyezik a dipólsugárzás intenzitásával; lásd (75,6)-ot]. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez valóban így van. (76,2) ejső tagja integráláskor eltűnik, mivel a végtelenben a részecskének nincs gyorsulása, azaz du'jds = 0. A második tagot parciálisán integrálva azt kapjuk, hogy

f 2e2 C d2uk■ j * ' * = i ? j “ i / í - *

2g2 ‘ 3c

diik duk

ami pontosan megegyezik (73,4)-gyel.Ha a részecske sebessége közeledik a fénysebességhez, akkor a (76,3) négyesvektor

térbeli komponenseiben az a tag nő leggyorsabban, amelyik a négyessebesség komponenseinek hármas szorzatát tartalmazza. Ezért (76,3)-ban csak ezt a tagot megtartva,

és a gl négyesvektor térbeli komponensei és a háromdimenziós f erő közti (9,18) összefüggést felhasználva, az utóbbira azt találjuk, hogy

2eí(Fklul) ( F ^ u m)n.

3m2c4

ahol n a v irányába mutató egységvektor. Következésképpen ebben az esetben az f erő a részecske sebességével ellentétes irányba mutat; ezt az irányt választva x tengelynek, és a négydimenziós kifejezéseket kifejtve, azt kapjuk, hogy

, _ 2e* (Ey - H xf + {EZ+ H y fJx 3m2c4 U i )

c2

(a nevező kivételével mindenhová v = c értéket írtunk). Látjuk, hogy extrém relativisztikus részecskére a visszaható erő a részecske energiájának négyzetével arányos.

Felhívjuk a figyelmet a következő érdekes körülményre. Az előző szakaszban megmutattuk, hogy a sugárzási visszahatásra kapott kifejezések csak olyan terek esetén érvényesek, amelyeknek nagysága a részecske Ko nyugalmi rendszerében kicsi az ra2£>4/e3-höz viszonyítva. Legyen F a külső térerősség nagyságrendje a K rendszerben, amelyben a részecske v sebességgel mozog. Ekkor a K 0 rendszerben a térerősség nagyságrendje f JY 1 — v2[c2 (lásd a 24. § transzformációs képleteit). Ezért F-nek ki kell elégítenie az

e3F........ ......— « 1 (76,5)m W ] j 1 - ^

feltételt. Ugyanakkor a (76,4) sugárzási visszahatás és a külső erő arányának nagyságrendje:

<?3F

Látható, hogy a (76,5) feltétel teljesülése nem gátolja meg azt, hogy a visszaható- erő (elég nagy sebesség esetén) nagy legyen az elektromágneses térben a részecskére ható közönséges Lorentz-erőhöz képest.25 Tehát extrém relativisztikus részecske

25 Ez az eredmény természetesen egyáltalán nem mond ellent a gl négyeserő fenti relativisztik usekifejezésének, amelynek levezetésekor feltételeztük, hogy g* „kicsi” az — F uk négyeserőhöz képest.c

Elegendő, ha egy négyesvektor komponensei a másikhoz viszonyítva legalább egy rendszerben kicsik; az ebből a feltevésből kapott képletek a relativisztikus invariancia miatt automatikusan igazak bármely más vonatkoztatási rendszerben is.

esetén előfordulhat, hogy a sugárzási visszahatás a legjelentősebb erő, amely a részecskére hat.

Ebben az esetben a részecske (mozgási) energiájának egységnyi útra vonatkoztatott csökkenését egyenlőnek vehetjük az f x visszaható erővel. Figyelembe véve, hogy az utóbbi arányos a részecske energiájának négyzetével, igaz, hogy

w = k (x ^ n’

ahol k(x )-szel jelöltük az * koordinátától függő arányossági együtthatót, mely (76,4) szerint a térerősség transzverzális komponenseivel fejezhető ki. A fenti differenciálegyenletet integrálva azt kapjuk, hogy

a:

To I k{x) dx ,^kin \&0 J

— oo

ahol <50-val jelöltük a részecske kezdeti energiáját (az i - oo -nél felvett energiát), így a részecske <5i végállapoti energiáját (miután a részecske áthaladt az erőtéren) a következő képlet adja meg:

+ oo

J k(x) dx.— oo

Látjuk, hogy <50 -► 00 esetén az S í végállapoti energia egy cV tól független állandó értékhez tart (/. J. Pomerancsuk, 1939). Ebből következik, hogy az erőtéren átrepülő részecske energiája nem haladhatja meg az

+ 00

-p— — k(x) dx ó kr J

egyenlőséggel definiált S kT értéket. Ugyanez az egyenlőség k(x) kifejezését behelyettesítve a következő:

76: §. A SUGÁRZÁS VISSZAHATÁSA RELATIVISZTIKUS ESETBEN 277

+ 00

Feladatok

1. Határozzuk meg egy ttt mágneses dipólus erőterén áthaladó részecske maximális energiáját; az tlt vektor és a mozgás iránya egy síkba esnek.

Megoldás. Válasszuk az ttt vektoron és a mozgás irányán áthaladó síkot az xz síknak, és mozogjon a részecske az x tengellyel párhuzamosan, attól q távolságban. A mágneses dipólus erőterének a részecskére ható transzverzális komponensei [(44,4) szerint]:

3(tttr)z — mzr2 m r_. , „Hv = 0, Ht = ------- ---------- = -(- 2-+Ayj5/i {3<e cos q> + x sin <p)Q- (o2 + x2) cos <p)

(99 az ttt és a z tengely által bezárt szög). Ezt (76,6)-ba helyettesítve, és az integrálást elvégezve, azt kapjuk, hogy

1 m27i í e2 \ 2ní- l 0 . 2 ,— = ' 71— 9 ~ r T ” I —— í r ) (15 + 26 co s2 99).<kr 64 m2c4@5 \ mc1 )

2. írjuk fel a visszaható erő háromdimenziós kifejezését relativisztikus esetben.

Megoldás. A (76,3) négyesvektor térkomponenseit kiszámítva, azt kapjuk, hogy

+ - í ^ n r Í E x H + — H x ( H x v ) + + E(vE ) | —3 wr c 4 l e C J

------------ ------ - ^ - - v { ( E ^ 4 r V X H ) 2- l ( E v ) 4 .w ( i - - 5 ) U c" 1 c í

11. §. A sugárzás spektrális felbontása extrém relativisztikus esetben

Fentebb (73. §) megmutattuk, hogy az extrém relativisztikus részecskék sugárzása túlnyomórészt előre irányul, a részecske sebessége mentén majdnem teljesen a v irány körüli kis

szögtartományba esik.A sugárzás spektrális eloszlásának kiszámításában lényeges szerepet játszik a fenti

szögtartománynak és a külső elektromágneses téren áthaladó részecske a teljes eltérülési szögének aránya.

Az a szöget a következőképpen becsülhetjük meg: a részecske impulzusának (a mozgás irányához viszonyítva) transzverzális megváltozása az eF transzverzális erő26 és az erőtéren való áthaladás t ~ aj v ^ ajc idejének szorzatával azonos nagyságrend ű (ahol a annak a tartománynak a hossza, amelyben az erőtér észrevehetően különbözik zérustól). Ennek a mennyiségnek és a

m v mcP = ■

77. §. A SUGÁRZÁS SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA 279

impulzusnak az aránya határozza meg a kis oc szög nagyságrendjét:

eFa i í . v2 oc ~ — / 1 —

m r y

Ezt A 0-val elosztva azt kapjuk, hogy

- (77 1)

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez az arány nem függ a részecske sebességétől, azt a külső erőtér tulajdonságai határozzák meg.

Először tegyük fel, hogyeFa mc2, (77,2)

vagyis a részecske teljes eltérülési szöge /10-hoz képest nagy. Ekkor azt állíthatjuk, hogy az adott irányba kibocsátott sugárzás lényegében a pályának arról a szakaszáról ered, ahol a részecske sebessége majdnem párhuzamos ezzel az iránnyal (Ad nagyság- rendű szöget zár be), és amelynek hossza kicsi az a-hoz viszonyítva. Egy ilyen szakaszon az F erőt állandónak vehetjük, és mivel egy görbe kis szakaszát körívnek tekinthetjük, alkalmazhatjuk a 74. §-ban az egyenletes körmozgáskor fellépő sugárzásra levezetett képleteket (H helyett most F-et írva). így például a sugárzás túlnyomó része az

eF(77,3)

frekvencia körül összpontosul [lásd (74,16)-ot].

e26 Ha az x tengelyt a részecske mozgásának irányában választjuk, akkor (eF)2 az eYL-\— vxH

cLorentz-erő y és z komponenseinek négyzetösszegével egyenlő. A v m c behelyettesítéssel:

Az ellenkező határesetben, amikor

eFa <§c mc2, (77,4)

a részecske teljes elhajlási szöge kicsi zl 0-hoz képest. Ebben az esetben lényegében az egész sugárzás a mozgás iránya körüli Ad szögtartományra korlátozódik, és azt a részecske egész pályája határozza meg.

Az intenzitás spektrális felbontásának kiszámítására ekkor célszerű a térerősség hullámtartományának (73,8) Lienard—Wiechert-féle alakjából kiindulni. Számítsuk ki az

+ °oEOJ = J Eeimt dt

---OO

Fourier-komponenst. A (73,8) képlet jobb oldalán álló mennyiség a retardált f időpillanat függvénye, ahol f = t —R(f)/c. Egy majdnem állandó v sebességgel mozgó részecskétől nagy távolságban

Ro 1 / f-Ro 1 ./f ^ t -----h — nr(0 % t - * ---f— nyfc c c c


[r = r(t) % yt a részecske helyvektora], vagyis

A dt szerinti integrálást d f szerintivel helyettesíthetjük, ahol

így azt kapjuk, hogy

^ - í 11 c) 1

A y sebességet itt mindenhol állandónak tekintjük; csak a w(í') gyorsulás változik. Bevezetve az

© ' = 0 ) ^ 1 - ^ (77,5)

jelölést és a gyorsulás ennek megfelelő Fourier-komponensét, E^-t a következő alakba írhatjuk:

e eikRo [ co \ 2/ c o \ 2 í l y \ 1

77. §. A SUGÁRZÁS SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA 281

Végül (66,9) alapján megkapjuk a d ü térszögbe és dco frekvenciatartományba kisugárzott energiát:

dónrü -- 2 7tCS( ^ x { H H r < . (77,6)

Könnyű megbecsülni annak a frekvenciának a nagyságrendjét, amely körül a (77,4) esetben a sugárzás túlnyomó része összpontosul, ha észrevesszük, hogy a Fourier - komponens csak akkor különbözik észrevehetően nullától, ha az 1 /co', vagyis az

1

K )co

idő ugyanabba a nagyságrendbe esik, mint az a/v ~ ajc idő, amely alatt a részecske gyorsulása észrevehetően változik. így azt kapjuk, hogy

(77,7)

i ' - i )Ez a frekvencia ugyanúgy függ az energiától, mint (77,3), de az együttható más.

A fenti két esetben [(77,2) és (77,4)] feltételeztük, hogy az erőtéren áthaladó részecske teljes energiavesztesége viszonylag kicsi. Most megmutatjuk, hogy az első esetre vezethető vissza az is, amikor egy extrém relativisztikus részecske teljes energia- vesztesége összemérhető a kezdeti energiájával.

Az erőtéren áthaladó részecske energiaveszteségét úgy is meghatározhatjuk, mint a Lorentz-féle súrlódási erő munkáját. A (76,4) erő a hosszúságú úton végzett munkájának nagyságrendje:

e*F2aa f ~ -ra2e4K )

Ahhoz, hogy ez összemérhető legyen a részecske mc2) Í \ — v2lc2 teljes energiájával, az erőtérnek

>2

távolságra kell kiterjednie. Ekkor azonban automatikusan teljesül a (77,2) feltétel:

mivel az F erőtér szükségképpen eleget tesz a (76,5) alatti megismert feltételnek, amely nélkül a szokásos elektrodinamika egyáltalán nem alkalmazható.

Feladatok

1. Határozzuk meg a sugárzás teljes (szögekre kiintegrált) intenzitásának spektrális eloszlását a(77,2) feltétel fennállása mellett.

Megoldás. A pálya bármely hosszeleméről jövő sugárzás a (74,11) képlettel írható le, amelyben H-1 az F transzverzális erőnek adott pontban felvett értékével kell helyettesíteni, és ezenkívül a diszkrét frekvenciaspektrumról folytonosra kell áttérni. Ezt dn-m\ való formális szorzás és az

r j j dn j r dú)In dn = In —-— dco = In — dco a)n

helyettesítés segítségével érhetjük el. Az intenzitást idő szerint integrálva, a teljes sugárzás spektrális eloszlását a következő alakban kapjuk meg:

J ®'(u) f <*>(«) du dt,

ahol 0{u) az Airy-függvény, és ennek argumentuma

f m cco í v 2 \ 1 2/3

I . . / ,- >l •

Az integrandus az u mennyiségen keresztül függ a t integrálási változótól (F és ezzel együtt u is változik a részecske pályája mentén; adott mozgás esetén ezt a változást tekinthetjük az idő függvényében).

2. Határozzuk meg (a szögekre kiintegrált) teljes kisugárzott energia spektrális eloszlását a (77,4) feltétel mellett.

Megoldás. Mivel a mozgás irányával kis szöget bezáró sugárzás játszik alapvető szerepet, felírhatjuk, hogy

A (77,6) kifejezés dü = sin 0 dO d(p ^ 6 dO d(p szerinti integrálját d(p da>'jco szerinti integrállal helyettesítjük. A (77,6)-ban szereplő kettős vektoriális szorzat négyzetre emelésekor vegyük figyelembe, hogy extrém relativisztikus esetben a gyorsulás longitudinális összetevője kicsi a transzverzálishoz viszonyítva (1 —v2/c2 arányban), és ilyenkor a w és v vektorokat kellő pontossággal egymásra merőlegeseknek vehetjük. így a teljes sugárzás spektrális eloszlására a következő képletet kapjuk:

déjoj —e2oj dco

2jic3 j dü)'.

78. §. FÉNYSZÓRÁS SZABAD RÉSZECSKÉKEN 283

78. §. Fényszórás szabad részecskéken

Ha egy töltésekből álló rendszerre elektromágneses hullám esik, akkor ennek hatására a töltések mozgásba jönnek. Ez a mozgás viszont sugárzást eredményez minden irányban; így a kezdeti hullám szóródott a töltésrendszeren.

A szórást célszerű a rendszer által adott irányban időegység alatt kibocsátott energiamennyiség és a rendszerre eső sugárzás energia-áramsűrűségének arányával jellemezni. Ez az arány terület dimenziójú, és a szórás hatáskeresztmetszetének nevezzük.

Legyen d l a rendszer által ( I s alatt) d ü térszögbe kisugárzott energia, ha a beeső hullám Poynting-vektora S. Ekkor a szórás (dü térszögre eső) haíáskeresztmetszete:

d a = ^ (78,1)u

(a betű fölötti vonás az idő szerinti átlagot jelenti). da-\rák a szögek szerinti a integrálja a szórás teljes hatáskeresztmetszete.

Tekintsük az egyetlen mozdulatlan szabad töltésen létrejövő szórást. Essen erre a töltésre egy lineárisan polarizált monokromatikus hullám. Ennek elektromos terét

E = Eo cos (kr—co/+oc)

alakban írhatjuk.A továbbiakban feltételezzük, hogy a részecskének a beeső hullám hatására létre

jö tt sebessége kicsi a fénysebességhez képest, ami gyakorlatilag mindig teljesül. Ekkor úgy vehetjük, hogy a töltésre eE erő hat, a mágneses erőtértől származó e— vX H erőt elhanyagolhatjuk. Ebben az esetben eltekinthetünk a töltés rezgés köz- cben végzett elmozdulásának hatásától. Ha a töltés az origó körül rezeg, úgy vehetjük, hogy mindig az origóban mért térerősség hat rá, vagyis

E = Eo cos (cot —oc).

Mivel a töltés mozgásegyenlete

m i — eE,

és dipólmomentuma d = e r , ezért

A szórt sugárzás intenzitásának kiszámításához használjuk fel a dipólsugárzást leíró (67,7) képletet; ezt megtehetjük, mivel feltételezésünk szerint a töltés sebessége kicsi. Vegyük észre azt is, hogy a töltés által kisugárzott (azaz szórt) hullám frekvenciája nyilvánvalóan megegyezik a beeső hullám frekvenciájával.

(78,2)-t (67,7)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

d/ = s s y (E X ">‘ ‘' a

Másrészt viszont a beeső hullám Poynting-vektora:

4 71

Innen megkapjuk a dÜ térszögbe eső szórás hatáskeresztmetszetét:

do — sin2 0 dü, (78,4)y mcz )

ahol 0 a szórás iránya (az n vektor) és a beeső hullám E elektromos erőterének iránya által közrezárt szög. Látjuk, hogy a szabad töltésen való szórás hatáskeresztmetszete nem függ a frekvenciától.

Határozzuk meg a teljes hatáskeresztmetszetet. Ehhez válasszuk E irányát polár- tengelynek, ekkor dQ = sin Odd dcp. Most dd szerint 0-tól jz-ig, d(p szerint 0-tól 2jr-ig integrálva, azt kapjuk, hogy

8 r / e2 \ 2< *= -*- — ö) • (78,5)3 y m r J

Ez a Thomson-hatáskeresztmetszet.Számítsuk ki végül a do differenciális hatáskeresztmetszetet abban az esetben,

amikor a beeső fény nem polarizált (természetes fény). Ehhez (78,4)-et átlagolnunk kell az E vektor lehetséges irányaira, melyek merőlegesek a beeső hullám terjedési irányára (a k hullámvektor irányára), e-vel jelölve az E irányú egységvektort:

sin2 0 = 1 - (ne)2 = 1 - n an^eae .

A z átlagolást a következő képlet segítségével végezhetjük el:27

2és így azt kapjuk, hogy

1sin2 6 = — — p —j = — (1 + cos2 #),

27 Valóban, e„ep szimmetrikus tenzor átlósösszege 1, és A:a-val szorozva eltűnik, mivel e és k merőlegesek. Ezeknek a feltételeknek tesz eleget a leírt kifejezés.


ahol $ a beeső és a szórt hullám iránya által bezárt szög (a szórási szög). így a polari- zálatlan hullám szabad töltésen keletkező szórásának hatáskeresztmetszete:

da = i 2 0 + cos2 0 ) (78>7)2 \m cL]

A szórás fellépte bizonyos, a szóró részecskére ható erőt eredményez. Erről a követs kező meggondolás segítségével győződhetünk meg: a részecskére eső hullám időegység alatt átlagban cWa energiát veszít, ahol W a sugárzás átlagos energiasűrűsége, cr pedig a teljes hatáskeresztmetszete. Mivel az erőtér impulzusa egyenlő a térenergia és a fénysebesség hányadosával, a beeső hullám időegység alatt Wa impulzust veszít. Másrészt viszont abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a töltés az éE erő hatása alatt csak kis rezgéseket végez, és így v sebessége kicsi, a vjc-ben magasabb rendű tagokat elhagyva, a szórt hullám teljes impulzusa zérus. (A 73. §-ban megmutattuk hogy abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben v — 0, a részecske nem sugároz ki impulzust.) így a beeső hullám teljes impulzus veszteségét a szóró részecske „nyeli el” . A részecskére ható átlagos f erő megegyezik az időegység alatt elnyelt impulzussal, azaz

f = a Wn0 [(78,8)

(no a beeső hullám terjedési irányába mutató egységvektor). Megjegyezzük, hogy ez az átlagos erő másodrendű a beeső hullám erőteréhez viszonyítva, a „pillanatnyi” erő viszont (amelynek fő része eE) elsőrendű a beeső térerősséghez képest.

A (78,8) képletet közvetlenül is megkaphatjuk, ha a (75,10) sugárzási visszahatást átlagoljuk. Az É-tal arányos első tag az átlagoláskor eltűnik (akárcsak az eE erő átlaga). A második tagból azt kapjuk, hogy

F _ 2í>4 _ 8?r / \ 2 „

3m2c4 0 3 \ mc- / ' 4n n°’

am i (78,5) miatt egybeesik (78,8)-cal.

Feladatok

1. Határozzuk meg elliptikusán polarizált hullám szabad töltésen fellépő szórásának hatáskeresztmetszetét.

Megoldás. A hullám tere E = A cos (co/+a)-f B sin(co/-f a) alakú, ahol A és B egymásra merőleges vektorok (lásd a 48. §-t). A szövegben elvégzett levezetéshez hasonló módon azt kapjuk, hogy


2. Határozzuk meg egy lineárisan polarizált hullám olyan töltésen való szórásának hatáskeresztmetszetét, amely (valamilyen rugalmas erő hatására) kis rezgéseket végez (oszcillátor).

Megoldás. A töltés mozgásegyenlete E = E0 cos (ojí+ ol) beeső hullám esetén:Q

= ----E0 cos (w/+a),m

ahol oj0 a szabad rezgések frekvenciája. Innen a kényszerrezgésekre

_ eE0 cos (cüt+a.) m(col — oj2)

adódik. Ebből d-ot meghatározva, azt kapjuk, hogy

do = ( - - V ) 2 sin2 0 dü\ mc- / (C05- co-)2(6 az E és n közti szög).

3. Határozzuk meg a fény szórásának teljes hatáskeresztmetszetet, ha a szóró objektum egy elektromos dipólus, amely mechanikai szempontból nézve rotátor. A hullám co frekvenciáját vegyük nagynak a rotátor szabad forgásának ü 0 frekvenciájához képest.

Megoldás. Az co » Q0 feltétel teljesülése esetén a rotátor saját forgását elhanyagolhatjuk, elegendő csupán a kény szer forgást tekinteni, amit a beeső hullámtól származó d x E forgatónyomaték hoz létre. A fenti mozgás egyenlete: 0SI = dx E , ahol 0 a rotátor tehetetlenségi nyomatéka, SÍ pedig a forgás szögsebessége. A dipólmomentum változása — minthogy abszolút értéke állandó — egyszerűen d = Sl xd. Ebből a két egyenletből (a kis £2 mennyiségben kvadratikus tagokat elhagyva):

3 = J _ ( d x E )x d = -^- {E d 2 - (Ed)dJ.

A dipólus lehetséges térbeli irányait azonosan valószínűeknek tekintve, a teljes hatáskeresztmetszetre azt kapjuk, hogy

\6 jid4 ° ~ 9c4©2 ’

4. Határozzuk meg a szón fény depolarizációjának mértékét szabad töltésen szóródó természetes fény esetén.

Megoldás. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy a szórt fény két inkoherensen polarizált komponense (lásd az 50. §-t) lineárisan polarizált lesz: az egyik a szórás síkjában (a beeső és a szórt sugár által kifeszített síkban), a másik pedig erre a síkra merőlegesen. A fenti komponensek intenzitását a beeső hulláin erőterének a szórási síkba eső (Ejj) és az erre merőleges (E± ) összetevője határozza meg, továbbá (78,3) szerint arányos (EMXn)2 = £ 2cos2$-val, ill. (E1 Xn)2 = F^-tel

a szórási szög). Mivel természetes beeső fény esetén Ef{ = E \ , a depolarizáció foka [az (50,9) definíció szerint]:

o = cos2 d'.

5. Határozzuk meg egy mozgó töltés által szórt fény co' frekvenciáját.

Megoldás. Abban a koordináta-rendszerben, amelyben a töltés nyugalomban van, a fény frekvenciája a szórás során nem változik (co = co'). Invariáns alakban ez így írható fel:

ahol ul a töltés négyessebessége. Innen könnyen megkapjuk, hogy

<o'(l — “ cos 0 ' = eo^l — cos 0^,

ahol 0 és 0' a beeső és a szórt hullámnak a mozgás irányával bezárt szöge (v a töltés sebessége).6 . Határozzuk meg egy lineárisan polarizált hullám szórásának szögeloszlását, ha a szórócentrum

a hullám terjedési irányában tetszőleges v sebességgel mozgó töltés.

Megoldás. A részecske v sebessége merőleges a beeső hullám E és H erőterére, és így merőleges a részecske w gyorsulására is. A szórás intenzitását a (73,14) képletből kaphatjuk meg, amelyben a w gyorsulást az E és H erőterekkel kell kifejezni a 17. § feladatában levezetett képlet segítségével. A dl intenzitást a beeső hullám Poynting-vektorával osztva, megkapjuk a szórás hatáskeresztmetszetét :

do = & (, v [(’ " t sin 6 cos ’’M 1 ~ í ) cos2 e]da'II — -- sin 0 cos cp\

ahol most 0 és 99 az n irány polár- és azimutszöge egy olyan koordináta-rendszerben, amelynek z tengelye E irányába, a: tengelye pedig v irányába mutat [cos (n, E) = cos 0, cos (n, v) = sin 0 cos 99].

7. Határozzuk meg egy töltött részecske mozgását az általa szórt hullám részéről kifejtett átlagos erő hatására.

Megoldás. A (78,8) erő és így a vizsgált mozgás sebessége is a beeső hullám terjedési irányába mutat (ez az x tengely). Ha felveszünk egy K0 rendszert, amelyben a töltés nyugszik (emlékeztetünk arra, hogy a kis rezgések periódusára átlagolt mozgásról van szó), a reá ható erő aW0, és az ebből eredő gyorsulás

w0 - — Wo m

(a nulla index a K0 rendszerben mért mennyiségeket jelöli). A kezdeti K rendszerre (amelyben a részecske v sebességgel mozog) a 7. § feladatában levezetett képlet és (47,7) segítségével térünk át:

d v 1 dv Wa

^ j / 1 V* ||l ?’2 j 3 2 dt

Ezt az egyenletet integrálva azt kapjuk, hogy

c

c

Wo í— t = — mc 3

v1 H---- ----------^___ c >___ c _ 2______ . ___ __ ?C C

amely implicit alakban megadja a v = dxldt sebességet mint az idő függvényét (az integrálási állandót úgy választottuk meg, hogy t = O-ban v = 0 legyen).

8. Határozzuk meg egy lineárisan polarizált hullám oszcillátoron fellépő szórásának hatáskeresztmetszetét a sugárzási visszahatás figyelembevételével.


Megoldás. A beeső hullámmezőben a töltés mozgásegyenletét

e le2,r + o;2r------E0e~i(Ul + - — 7 rm 3mcd

alakban írhatjuk. A visszahatás kifejezésébe közelítőleg beírhatjuk, hogy F = — a^r; ekkor

r + yr+co2r = — E0e~iwt, m2e2 9

ahol y = — — coq. Ebből azt kapjuk, hogy 3/77C3

e e-io)tr = — E(

Végül a hatáskeresztmetszet:

o —

m 0 o)2—o)~ — iojy

Üti / e2 \ 2 3 \m c2) (w- — co2)2 + co2y2

79. §. Kis frekvenciájú hullámok szórása

Elektromágneses hullámok töltésrendszeren való szórása elsősorban abban tér el az egy (mozdulatlan) töltésen fellépő szórástól, hogy a rendszer töltéseinek saját mozgása következtében a szórt sugárzás frekvenciája különbözhet a beeső hullám frekvenciájától. A szórt sugárzás spektrális felbontásában a beeső hullám co frekvenciáján kívül olyan co' frekvenciák is szerepelnek, amelyek co-tól a szóró rendszer mozgásának valamelyik sajátfrekvenciájában különböznek. A frekvenciaváltozással járó szórást inkoherens ( vagy kombinációs) szórásnak, az azonos frekvenciájú szórást pedig koherens szórásnak nevezik.

Feltéve, hogy a beeső hullám tere gyenge, az áramsűrűséget j = jo + j' alakban írhatjuk, ahol jo az áramsűrűség a külső tér figyelembevétele nélkül, j ' pedig az áram sűrűség változása a beeső hullám hatására. Ennek megfelelően a rendszer terét leíró vektorpotenciái (és a többi mennyiség) A = A0+ A ' alakú, ahol A0 és A' a j 0 és j '

áramokból határozható meg; az A' potenciál a rendszer által szórt hullámot írja le.Tekintsük egy olyan hullám szórását, amelynek co frekvenciája kicsi a rendszer

bármelyik sajátfrekvenciájához viszonyítva. A szórásnak lesz koherens és inkoherens része is, de mi itt csak a koherens szórást vizsgáljuk.

Elég kis oo frekvencia esetén a szórt hullám terének kiszámítására felhasználhatjuk a retardált potenciáloknak a 67. és 71. §-ban elvégzett kifejtését még akkor is, ha a rendszer részecskéinek sebessége nem kicsi a fénysebességhez képest. Valóban, az

79. §. KIS FREKVENCIÁJÚ HULLÁMOK SZÓRÁSA 289

integrál említett kifejtéséhez csak az szükséges, hogy az rn jc ~ 0 /c idő kicsi legyen .az ~ 1/co időhöz viszonyítva; elég kis co értékekre (co <<c c/a) ez a feltétel a rendszer részecskéinek sebességétől függetlenül teljesül.

A sorfejtés első tagjaiból kapjuk, hogy

H' = -2 ^ {d 'X n + (m 'X n )X n },C K o

ahol d', m' a rendszer dipól- és mágneses momentumának az a része, amelyet a rendszerre beeső sugárzás hoz létre. A sorfejtés további tagjai magasabb időderiváltakat tartalmaznak, és elhagyjuk őket.

A szórt hullám terének spektrális komponensét, amely a beeső hullám frekvenciájának felel meg, ugyanez a képlet adja meg, csak a benne szereplő mennyiségek helyett Fourier-komponensüket kell beírni: d ^ = —co2d'fJ, Üiw = — co2mai- Ekkor

co2= ~d*Ro {n x C + n X (ttC X n)}* (79,2)

A sorfejtés további tagjai a kis co frekvencia magasabb hatványait eredményezték volna. Ha a rendszer részecskéinek sebessége kicsi (v <*c c), akkor (79,l)-ben a második tagot elhagyhatjuk, mivel a mágneses momentum vfc hányadost tartalmaz. Ekkor

H = 72k 0,2nxd:'' (79,3)

Ha a részecskerendszer össztöltése zérus, akkor co -+■ 0 esetén d és állandó határértékekhez tartanak. (Ha a töltések összege zérustól különböző volna, akkor co = 0 esetén, azaz állandó erőtérben az anyagi rendszer egészként kezdene mozogni.) Kis co értékekre (co <<c v/á) tehát a d^, nt^ momentumokat a frekvenciától függetleneknek tekinthetjük, így a szórt hullám tere arányos a frekvencia négyzetével. Következésképpen az intenzitás co4-nel arányos. Ily módon kis frekvenciájú hullámok szórása esetén a koherens szórás hatáskeresztmetszete a beeső sugárzás frekvenciájának negyedik hatványával arányos.28

28 Ez az eredmény gyakorlatilag érvényes nemcsak semleges atomokon, hanem ionokon történő fényszórás esetében is. A mag nagy tömege következtében az ion egészének mozgásából eredő szórást elhanyagolhatjuk.19 Elméleti fizika II. - 42221/11.

80. §. Nagy frekvenciájú hullámok szórása

Tekintsük most a hullámok töltésrendszeren való szóródásának ellenkező határesetét, amikor a hullám co frekvenciája nagy a rendszer jellemző sajátfrekvenciájához képest. Az utóbbiak nagyságrendje co0 ~ v/a, tehát co-nak eleget kell tennie az

v00 ?£> OOo ~ — (80,1)a

feltételnek. Ezenkívül azt is fel fogjuk tételezni, hogy a rendszer töltéseinek sebessége kicsi (í; « c).

A (80,1) feltétel szerint a töltések mozgásának periódusideje nagy a hulláméhoz képest. így a hullám periódusideje alatt a rendszert alkotó töltések mozgását egyenletesnek tekinthetjük. Ez azt jelenti, hogy rövid hullámok szórása esetén eltekinthetünk a töltések kölcsönhatásától, azaz szabadoknak tekinthetjük őket.

így a beeső hullám terében a töltés által nyert v' sebesség kiszámításakor a rendszer töltéseit külön-külön vizsgálhatjuk, és felírhatjuk rájuk az

^dy'= e E = é>E0é>-/(cüí- kr)a t

mozgásegyenletet, ahol k = oon/c a beeső hullám hullámvektora. A töltés helyvektora természetesen az idő függvénye. A jobb oldalon álló exponenciális tényező kitevőjében az első tag időben sokkal gyorsabban változik, mint a második (az első frekvenciája co, a másodikénak nagyságrendje pedig k v ~ voo/c <$c co). Ezért a mozgásegyenlet integrálásakor a jobb oldalon r-et állandónak vehetjük. Ekkor

v' = — - E0e_ '(“"-kr). (80,2)loom

A szórt hullám vektorpotenciálja (a töltésrendszertől nagy távolságra) a (66,2) általános képlet szerint

A' = 1cRo

ahol a rendszer töltéseire kell összegezni; n' a szórás irányába mutató egységvektor.(80,2)-t ide behelyettesítve, azt kapjuk, hogy

80. §. NAGY FREKVENCIÁJÚ HULLÁMOK SZÓRÁSA 291

ahol q = k' — k a szórt huilám k' = con'/c és a beeső hullám k = arn/c hullámvektorá-nak különbsége.29 A (80,3)-ban szereplő összeg értékét a t' = t —Ro/c időpontban kell venni, mivel r-nek rn'/c idő alatt bekövetkezett változását a részecskék feltételezett kis sebessége miatt elhanyagolhatjuk (a t' indexet, mint általában, a rövidség kedvéért nem írjuk ki). A q vektor abszolút értéke

ahol fi a szórási szög.Atomon (vagy molekulán) történő szórás esetén a (80,3) összegben elhanyagolhat

juk a magoknak megfelelő tagokat, mivel ezek tömege sokkal nagyobb az elektronok

térerőssége és a sugárzás iránya által bezárt 0 szöget, végül megkapjuk a hatás- keresztmetszetet:

A vonás idő szerinti átlagolást, vagyis a töltések mozgására való átlagolást jelent. Ezt azért kell elvégezni, mert a szórás megfigyelésének időtartama nagy a rendszer töltéseinek mozgásperiódusához képest.

A (80,1) feltételből a beeső sugárzás hullámhosszára a A <<c ac/v egyenlőtlenséget kapjuk. Ami A és a relatív nagyságát illeti, itt mindkét határeset: A » a és A « a előfordulhat. Az általános (80,6) képlet mindkét esetben jelentősen egyszerűsödik.

Ha A » a, akkor (80,6)-ban qr 1, mivel q ~ 1/A, r ~ a. Ennek megfelelően eiqr helyett 1 -et írva, azt kapjuk, hogy

vagyis a szórás arányos az atomban levő elektronok Z számának négyzetével.

(80,4)

tömegénél. Az alábbiakban ezt az esetet vizsgáljuk. Az e2/m tényezőt kivisszük az összeg jele elé (e és m az elektron töltését és tömegét jelöli).

A szórt hullám H ' tere (66,3) szerint

(80,5)

Az n' irányban d ü térszöge kisugárzott energiaáram a következő:

Ezt a beeső hullám c |E o |2/8tt energiaáramával osztva és bevezetve a beeső hullám E

(80,6)

(80,7)

29 Szigorúan véve, k' = co'n'/c, ahol a szórt hullám co' frekvenciája különbözhet cd-tói. Az co'— co ~ ~ co0 különbséget azonban nagy co frekvenciák esetén elhanyagolhatjuk.

19*

Térjünk át a X <§: a esetre. A (80,6)-ban szereplő összeg négyzetében az egyes tagok egységnyi abszolút értékű négyzetei mellett eiq(Tl~T2) alakú szorzatok is vannak. A töltések mozgására, vagyis a rendszeren belül elfoglalt kölcsönös helyzetükre átlagolva az n — 1% különbség egy a nagyságrendű tartományban változik. Mivel X <sc a, az e,q(ri-r2) tényező ebben a tartományban gyorsan oszcilláló függvény, és átlagértéke zérus. így X <sc a esetén a szórás hatáskeresztmetszete

da = Z Í sin2 6 dQ, (80,8)\ mcz )

vagyis a rendszám első hatványával arányos. Felhívjuk a figyelmet, hogy ez a képlet nem alkalmazható kis szórási szögekre (# — X/a), mivel ebben az esetben q ~ &/X ~ ~ 1/cz, és a qr kitevő nem nagy az egységhez viszonyítva.

A koherens szórás hatáskeresztmetszetének kiszámításához el kell különítenünk a szórt hullám terének co frekvenciájú részét. Az erőteret meghatározó (80,5) kifejezés az időtől az elo)t szorzótényezőn keresztül függ, de az időtől függ még a eiqr összeg is. Ez utóbbi függés vezet ahhoz, hogy a szórt hullám terében az co frekvencián kívül más (bár közeli) frekvenciák is megjelennek. A térerősségnek co frekvenciájú részét nyilvánvalóan úgy kapjuk meg, ha a összeget idő szerint átlagoljuk. Ennekmegfelelően a koherens szórás dakoh hatáskeresztmetszete a teljes do hatáskeresztmetszettől abban tér el, hogy benne az összeg abszolút értéke négyzetének átlaga helyett az összeg átlaga abszolút értékének négyzete szerepel:

d^koh = |E * “ íqr|2 sin2 9dQ. (80,9)

Érdemes megjegyezni, hogy az összeg átlagértéke (az együtthatótól eltekintve) tulajdonképpen az atom g(r) átlagos elektromos töltéssűrűségének térbeli Fourier-komponense:

= f q(r)e-^T dV = gq. (80,10)

X » a esetén e~iqr-et ismét az egységgel helyettesíthetjük, így

dakoh = sin2 d dQ. (80,11)

Összehasonlítva ezt a (80,7) teljes hatáskeresztmetszettel, látjuk, hogy dakoh — da, vagyis a teljes szórás koherens.

Ha viszont X <§: a, akkor átlagoláskor a (80,9)-ben szereplő összeg minden tagja (mint időben gyorsan oszcilláló függvény átlagértéke) eltűnik, azaz dakoh = 0. Tehát ebben az esetben a szórás teljes egészében inkoherens.

X. F E J E Z E T

RÉSZECSKE GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN

81. §. Gravitációs erőterek a newtoni mechanikában

A gravitációs tér (nehézségi erőtér) alaptulajdonsága, hogy benne minden test (azonos kezdeti feltételek mellett) tömegétől függetlenül azonos mozgást végez.

Például a Föld nehézségi erőterében a szabadesés törvénye minden testre ugyanaz; tömegétől függetlenül minden test pontosan ugyanolyan mértékben gyorsul.

A gravitációs terek e tulajdonsága lehetővé teszi, hogy párhuzamot vonjunk a gravitációs erőtérben való mozgás és a gyorsuló rendszerben végzett szabad mozgás között. Valóban, inerciarendszerben minden szabadon mozgó test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, tehát ha valamely kezdeti időpillanatban sebességük megegyezett, akkor a későbbiekben is meg fog egyezni. Nyilvánvaló, hogy ha ugyanezt a mozgást gyorsuló rendszerből vizsgáljuk, azt találjuk, hogy valamennyi test azonos mozgást végez.

A gyorsuló koordináta-rendszerekben végzett mozgás tulajdonságai tehát ugyanolyanok, mint egy gravitációs térben levő inerciarendszerben való mozgásé. Más szóval, egy gyorsuló vonatkoztatási rendszer mindig ekvivalens valamely gravitációs erőtérrel. Ez az ekvivalencia-elv.

Vizsgáljuk például a mozgást egyenletesen gyorsuló vonatkoztatási rendszerben. Egy ilyen vonatkoztatási rendszerben minden tetszőleges tömegű, szabad mozgást végző test nyilvánvalóan azonos, állandó gyorsulással mozog, melynek számértéke megegyezik a rendszer gyorsulásával, iránya pedig azzal ellentétes. Ilyen a mozgás egy homogén állandó gravitációs térben is, például a Föld nehézségi erőterében (pontosabban a Föld nehézségi erőterének egy olyan kis részében, amelyben az erőtér homogénnek tekinthető). Következésképpen egy egyenletesen gyorsuló koordináta- rendszer ekvivalens egy állandó homogén külső gravitációs erőtérrel. Ugyanebben az értelemben az egyenes vonalú mozgást végző, de nem egyenletesen gyorsuló koordináta-rendszer ekvivalens egy homogén, de változó gravitációs térrel.

A gyorsuló koordináta-rendszerekkel ekvivalens gravitációs erőtereket mégsem tekinthetjük teljesen azonosaknak a „valódi”, inerciarendszerekben is létező gravitációs terekkel, ugyanis a végtelenben való viselkedésük lényegesen különbözik.

294 X. RÉSZECSKE GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN

A gravitációs teret létrehozó testtől végtelen távolságban a „valódi” gravitációs tér erőssége aszimptotikusan mindig zérushoz tart. Ugyanakkor egy gyorsuló rendszerrel ekvivalens gravitációs tér erőssége a végtelenben minden határon túl nő, vagy határesetben legfeljebb állandó értékhez tart. így például, forgó rendszerben ébredő „centrifugális erők” nagysága a forgástengelytől távolodva minden határon túl nő; egyenes vonalú mozgást végző gyorsuló rendszerrel ekvivalens gravitációs tér erőssége pedig a koordinátatér minden pontjában, tehát a végtelenben is ugyanakkora.

A gyorsuló rendszerekkel ekvivalens erőterek inerciarendszerre térve eltűnnek. Ezzel ellentétben a „valódi” gravitációs terek (amelyek inerciarendszerben is léteznek), nem szüntethetők meg a vonatkoztatási rendszer semmiféle megválasztásával. Ez már abból a fent említett tényből is következik, hogy a „valódi” giavitációs erőterek és a gyorsuló koordináta-rendszereknek megfelelő erőterek a végtelenben eltérően viselkednek; mivel az utóbbiak térerőssége a végtelenben nem tart zérushoz, nyilvánvaló, hogy a koordináta-rendszer semmiféle megválasztásával sem lehet megszüntetni egy végtelenben zérushoz tartó „valódi” erőteret.

A koordináta-rendszer helyes megválasztásával mindössze annyit érhetünk el, hogy kioltjuk a gravitációs teret egy olyan térrészében, amely elegendően kicsi ahhoz, hogy ott a gravitációs térerősséget homogénnek tekinthessük. Ez úgy érhető el, hogy mozgó rendszer gyorsulását az adott térrészbe helyezett részecske gyorsulásával egyenlőnek vesszük.

A newtoni mechanikában egy részecske mozgását gravitációs erőtérben (inerciarendszerben) az alábbi Lagrange-függvénnyel határozzuk meg:

TYIV2L = ~2-----mV’ (8 U )

ahol cp a gravitációs térre jellemző, tér- és időkoordinátáktól függő függvény, a gravitációs potenciál.1 A részecske mozgásegyenletei ennek megfelelően

v = — grad cp (81,2)

alakúak. A gravitációs erőterek alaptulajdonságát fejezi ki az a tény, hogy ezek az egyenletek nem tartalmaznak sem tömegeket, sem a részecske valamilyen tulajdonságait jellemző más állandót.

1 A későbbiekben nem használjuk a (p elektromos potenciált, ezért nem vezethet félreértésre, hogy a gravitációs potenciált ugyanezzel a betűvel jelöljük.

82. §; GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR A RELATIVISZTIKUS MECHANIKÁBAN 295

82. §. Gravitációs erőtér a relativisztikus mechanikában

A gravitációs erőtereknek az az alaptulajdonsága, hogy bennük minden test azonos módon mozog, megmarad a relativisztikus mechanikában is. Megmarad tehát a gravitációs erőterek és a gyorsuló rendszerek között mutatkozó analógia is. Természetes ezért, hogy gravitációs erőterek tanulmányozásakor a relativisztikus mechanikában is ebből az analógiából kell kiindulnunk.

Inerciarendszerben, Descartes-koordinátákat használva, az ívelemnégyzetet az alábbi kifejezés definiálja:

ds2 = c2 dt2 — dx2 — dy2 — dz2.

Valamilyen másik inerciarendszerre való áttéréskor (azaz Lorentz-transzformáció során), mint tudjuk, az ívelemnégyzet ugyanilyen alakú marad. Gyorsuló rendszerre térve, az ívelemnégyzet már nem írható fel a négy koordinátadifferenciál négyzetének összegeként.

Például egyenletesen forgó koordináta-rendszerre térve

x = x ' cos cot —y ' sin cot, y = x* sin cot+y' cos cot, z — z

(co a z tengely körüli forgás szögsebessége) az ívelemnégyzet a következő alakot ölti:

ds2 = [c2—co2(x '2-\-y,2)\ dt2 —dx'2 —dy'2 - d z '2-{-2coy' dx' d t—lcox' dy ' dt.

Ez a kifejezés az időkoordináta semmiféle transzformációjával sem írható fel koordinátadifferenciálok négyzeteinek összegeként.

Eszerint gyorsuló koordináta-rendszerben az ívelemnégyzet a koordinátadifferenciálok általános kvadratikus alakjával adható meg, azaz

ds2 = g ijcdxi dxk (82,1)

alakú, ahol gik az x1, x2, x3 háromtérkoordináta és az x° időkoordináta valamilyen függvénye. Az x°, x1, x2, x3 négydimenziós koordináta-rendszer nem inerciális vonatkoztatási rendszerben görbevonalú. A gik mennyiségek minden görbevonalú koordináta-rendszerben meghatározzák a téridőkontínuum valamennyi geometriai tulajdonságát, vagy más szóval: metrikáját.


A g ik mennyiségek / és k indexeiben mindig szimmetrikusak (g ik = g ki) 9 minthogy azokat a (82,1) szimmetrikus alakban definiáljuk, ahol g jk és gki ugyanannak a d x1 doF szorzatnak az együtthatója. A legáltalánosabb esetben ezért mindössze 10 különböző gik mennyiség van, amelyből 4 diagonális (/ = k) és 4-3/2 = 6 nem diagonális (/ ^ k) elem. Inerciarendszerben x 1,2,3 = x ,y , z Descartes-térkoordinátákat és x° = = ct időkoordinátát használva, a g ik mennyiségek értékei:

# 0 0 = 1, g l l — g 22 = g 33 — — 1, gik = 0 , / ^ k. (82,2)

A g/A. ilyen értékeivel jellemzett (négydimenziós) koordináta-rendszert Galilei-féle koordináta-rendszernek nevezzük.

Az előző szakaszban megmutattuk, hogy a gyorsuló rendszerek mindig valamilyen erőtérrel ekvivalensek. Most látjuk, hogy ezeket az erőtereket a relativisztikus mechanikában a g ik mennyiségek határozzák meg.

Ugyanez vonatkozik „valódi” gravitációs erőterekre is. Egy gravitációs erőtér hatása abban áll, hogy megváltoztatja a téridő metrikáját, tehát a teret a neki megfelelő g ik metrikus tenzorral adhatjuk meg. Ez a fontos körülmény azt jelenti, hogy a téridő geometriai tulajdonságait (metrikáját) fizikai jelenségek határozzák meg, tehát a tér és idő geometriai tulajdonságai nem állandóak.

A gravitációs terek relativisztikus elmélete az általános relativitáselmélet. Ezt Einstein dolgozta ki (végleges alakban 1916-ban), és minden bizonnyal ez a legszebb a létező fizikai elméletek közül. Figyelemre méltó, hogy Einstein elméletét tisztán deduktív úton vezette le, azt csak később igazolták csillagászati megfigyelések.

Éppúgy, mint a newtoni mechanikában, a „valódi” gravitációs terek és a gyorsuló vonatkoztatási rendszerekkel ekvivalens erőterek között alapvető különbség van.. Gyorsuló vonatkoztatási rendszerre való áttérésnél a kvadratikus alak (82,1) típusú lesz, azaz a g ik mennyiségek a (82,2) Galilei-féle értékből koordinátatranszformációval kaphatók meg. Ennek megfelelően a gyorsuló rendszerekhez rendelt g ik m etrikus tenzor inverz transzformációval az egész térben ismét Galilei-féle alakra hozható. Az, hogy a g ik ilyen alakja mennyire speciális, már abból is látható, hogy az általános esetben a négy koordináta transzformációjával a tíz gik mennyiséget nem lehet előre megadott alakra hozni.

A „valódi” gravitációs tér semmiféle koordinátatranszformációval nem szüntethető meg. Másképp fogalmazva, gravitáció jelenlétében olyan a téridő szerkezete, hogy annak metrikáját meghatározó g ik mennyiségek semmilyen koordinátatranszformációval nem hozhatók az egész térben Galilei-féle alakra. Az ilyen téridőt gör~ bültnek nevezzük a görbületien euklideszi téridővel ellentétben, amelyben a fent említett transzformáció végrehajtható.

A g ik nem Galilei-féle téridő megfelelő koordinátatranszformációval bármely pontban ugyancsak Galilei-alakra hozható: mindössze diagonális alakra kell hoznunk egy állandó együtthatós (g ik-nak a kérdéses pontban felvett értékeivel jellemzett^

82. §. GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR A RELATIVISZTIKUS MECHANIKÁBAN 297

kvadratikus formát. Az így meghatározott koordináta-rendszert az adott ponthoz rendelt Galilei-féle rendszernek fogjuk nevezni.2

Megjegyezzük, hogy egy, az adott pontban diagonális gik mátrixnak egy pozitív és három negatív főértéke van (ezeknek az előjeleknek az összességét a mátrix szignatúrájának nevezzük). Ebből például az következik, hogy a gik mennyiségekből alkotott g determináns a valódi téridőben mindig negatív:

g < 0. (82,3)

A téridő metrikájának megváltozása a térmetrika megváltozását is jelenti. A Gali- lei-féle gih-r\ak görbületien téridőben a tér euklideszi geometriája felel meg. Ugyanakkor gravitációs erőtérben a geometriai tér nem-euklideszivé válik. Ez egyaránt igaz „valódi” gravitációs erőterekre, amelyekben a téridő görbült, és a gyorsuló rendszerre való áttérésnél keletkező erőterekre, amelyekben azonban a téridő görbületien marad.

A gravitációs terek térbeli geometriai tulajdonságait részletesen a 84.§-ban vizsgáljuk. Most egyszerű megfontolással szemléltetjük, miért válik szükségszerűen a tér nemeuklideszivé gyorsuló koordináta-rendszerre való áttérés esetén. Tekintsünk egy K inerciarendszert és egy, a z tengely körül egyenletesen forgó K' rendszert. Az első rendszer xy síkjában levő kör (amelynek középpontja az origó) egyúttal a K' rendszer x 'y ' síkjában levő körnek is tekinthető. A kör kerületét és átmérőjét egy K rendszerbeli mérőléccel mérve, a két mennyiség arányára n-i kapunk, azzal összhangban, hogy inerciarendszerben a tér euklideszi. Végezzük el most a mérést a K '-ben nyugalomban levő mérőeszközzel. A K rendszerből szemlélve ez utóbbi mérést, azt találjuk, hogy a kör kerülete mentén elhelyezett mérőszalag Lorentz-kontrakciót szenved, és rövidebb lesz, míg a sugár mentén elhelyezett mérőléc hossza változatlan marad. Nyilvánvaló, hogy az utóbbi mérésnél a kerület és átmérő aránya n-né\ kisebb.

Időben változó tetszőleges gravitációs tér esetén azonkívül, hogy a tér metrikája nemeuklideszi, még időben is változik. Ez azt jelenti, hogy a különböző geometriai távolságok aránya is változik az időben. Ennek eredményéül a térbe helyezett „próbarészecskék” kölcsönös távolsága semmilyen koordináta-rendszerben sem maradhat változatlan.3 Mivel a kör kerületének és átmérőjének aránya itt nem^r, és időben változik, ha például a részecskéket valamely kör kerülete és átmérője mentén helyezzük

2 A félreértések elkerülése végett azonban már most rá kell mutatnunk arra, hogy egy ilyen koordináta-rendszer megválasztása nem jelenti még a gravitációs tér kioltását a megfelelő infinitezi- málisan kicsi négyes térfogatelemben. Az, hogy az ekvivalencia-elv miatt ilyen kioltás mindig lehetséges, valamivel többet jelent. (Lásd a 87. §-t.)

3 Szigorú értelemben ez csak négynél több próbarészecske esetén igaz. Minthogy a közöttük levő hat szakasz egy tetraédert határoz meg, a vonatkoztatási rendszer megfelelő választásával mindig elérhetjük, hogy a négy részecske rendszere merev tetraédert alkosson. Még inkább lehetséges a kölcsönös mozdulatlanságot két vagy három részecske rendszerére definiálni.

298 X, RÉSZECSKE GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN

el, érthető, hogy az átmérő mentén állandó részecsketávolság esetén a kerület menti távolság változik, és megfordítva. Az általános relativitáselméletben tehát részecske- rendszerek kölcsönös mozdulatlansága általában nem lehetséges.

Ez a körülmény lényegesen megváltoztatja magának a vonatkoztatási rendszernek a fogalmát az általános relativitáselméletben a speciális elméletben megszokott értelmezéshez képest. Az utóbbiban a vonatkoztatási rendszert egymáshoz képest nyugalomban levő és változatlan távolságban elhelyezett testek összességeként értelmezzük. Változó gravitációs térben nem létezik a testeknek ilyen rendszere. Hogy a térben egy részecske helyzetét pontosan megadhassuk, szigorú értelemben az egész teret kitöltő végtelen sok test összességére van szükségünk, mely valamilyen „közegre” emlékeztet. A testeknek ez a rendszere a velük kapcsolatos, egyenként tetszőlegesen járó órákkal együtt alkotja az általános relativitáselméletben a vonatkoztatási rendszert.

Minthogy a vonatkoztatási rendszer tetszőlegesen választható, a természettörvényeket az általános relativitáselméletben úgy kell felírnunk, hogy formálisan bármely négydimenziós koordináta-rendszerben azonos (vagy, mint mondani szokás, ko variáns) alakúak legyenek. Ez azonban természetesen nem jelenti mindezeknek a vonatkoztatási rendszereknek a fizikai ekvivalenciáját (olyan értelemben, mint a speciális relativitáselméletben az inerciarendszerek ekvivalensek). Éppen ellenkezőleg, a fizikai jelenségek konkrét alakja, például testek mozgásának jellemzői, különböző vonatkoztatási rendszerekben különbözőek.

83. §. Görbevonalú koordináták

Gravitációs terek tanulmányozásakor a jelenségeket tetszőleges vonatkoztatási rendszerekben kell vizsgálnunk. Ezért a négydimenziós geometriát tetszőleges koordináták esetén használható alakban kell megfogalmaznunk. Ezt a 83—85. §-okban tesszük meg.

Vizsgáljuk az x°, x 1, x 2, x 3 koordináta-rendszernek egy másik x '°, x '1, x '2, x '3 rendszerbe történő transzformációját:

x* = /* (* 'o, jc'1, * '2, x '3\

ahol f l valamilyen függvény. A transzformáció során a koordináták differenciáljai a

képlet szerint transzformálódnak.

dx‘^ ^ dx’k (83,1)

83. §. GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 299

Négy A 1 mennyiség összességét kontravariáns négyesvektornak nevezzük, ha koordinátatranszformáció során úgy transzformálódnak, mint a koordinátadifferenciálok, azaz

A > = ^ r k A'K (83,2)

Legyen cp skalár. A dqo/dxl deriváltak koordinátatranszformáció alkalmával az alábbi képlet szerint transzformálódnak:

8 8x'kdx' ~ dx'k dx‘ ’ ' ’ '

Ez különbözik a (83,2) képlettől. Négy A t mennyiség összességét kovariáns négyesvektornak nevezzük, ha koordinátatranszformáció során úgy transzformálódnak, mint egy skalár deriváltjai:

dx'kA, = W -A Í. (83,4)

Hasonlóan definiálhatjuk a különböző rendű négyestenzorokat. így például másodrendű kontra variáns négyestenzornak nevezzük a 16 A lk mennyiség összességét, ha úgy transzformálódnak, mint két kontravariáns négyesvektor komponenseinek szorzatai, azaz a következő szabály szerint:

dx '1 8x 'm • ( ’ ’

Egy másodrendű kovariáns A ik tenzor pedig az

dx’1 dx'mik ~ ~ 8^~ ~dx*~ lm ( s )

szabály szerint transzformálódik. Végül a kevert négyestenzor transzformációs szabályát az

d x ' m

képlet határozza meg.Ezek a definíciók a Galilei-koordinátákkal definiált négyesvektorok és négyes-

tenzorok definícióinak (6.§) természetes általánosításai, amelyek szerint a dx1 differenciálok szintén kontra variáns, a d(p/dxl deriváltak pedig kovariáns négyesvektort alkotnak.4

4 A Galilei-féle rendszerekben maguk az x* koordináták is négyesvektort alkotnak (nem csupán differenciáljaik), a görbevonalú koordinátákra viszont ez természetesen már nem áll fenn.

A négyestenzorok más négyestenzorok összeszorzásával vagy indexegybeejtéssel való képzési szabályai ugyanazok, mint Galilei-koordináták esetén. A (83,2) és (83,4) képletek használatával könnyen meggyőződhetünk például arról, hogy két négyes- vektor A lBi skalárszorzata valóban invariáns:

A'B = Jfe* d-* m j ' i f i ' _ fix m , _ ^ ,/d /1 dx '1 dx* m ~ dx'i m ~ h

A blk négyes egységtenzor definíciója görbevonalú koordinátákra áttérve ugyanaz marad: komponensei ismét ö‘k = 0, ha i k, és dk = l 9 ha i = k. Ha Ak négyesvektor, akkor ő^-val szorozva, ismét négyesvektort kapunk:

’A k6í = A \

ezzel azt is megmutattuk, hogy a 6lk tenzor.Az ívelemnégyzetet görbevonalú koordinátákban a dx1 differenciálok kvadratikus

alakja adja meg:ds2 = gik dx1 dxk, (83,8)

ahol gik a koordináták olyan függvénye, amely az i és k indexekben szimmetrikus:

gik = g u . (83,9)

Mivel a gik tenzornak a dx1 dxk kontravariáns tenzorral való szorzata (kontrakciója) skalár, a gik mennyiségek kovariáns tenzort alkotnak; g jk-1 metrikus tenzornak nevezzük.

Az A ik és B lk tenzorok egymás inverzei, ha

A ikBkl =

A gik tenzor glk inverzét kontravariáns metrikus tenzornak nevezzük:

gikgkl = «{. (83,10)

Ugyanazt a fizikai vektormennyiséget egyaránt jellemezhetjük kontravariáns vagy kovariáns komponensekkel. Nyilvánvaló, hogy a két megadási mód között a metrikus tenzor komponensei segítségével lehet kapcsolatot teremteni. Ez a kapcsolat a következő:

A i = g ikA k, A t = gikA k. (83,11)

Mivel Galilei-rendszerben a metrikus tenzor komponensei:


gW = gi m = i : ; : : i , 0 3 ,12)

1 0 0 ° \0 -1 0 ° l0 0 -1 ö l ’,0 0 0 - 1 /

0

•ebben a rendszerben a (83,11) egyenlőségek az ismert A 0 = A0, A 1,2,3 = — A 12 3 összefüggésekre vezetnek.5

Az elmondottak a tenzorokra is vonatkoznak. Ugyanannak a fizikai tenzornak különböző alakjait szintén a metrikus tenzor segítségével lehet összekapcsolni:

A*k = g ilA /k, A ik = g ilgkmAim,stb.

A 6.§-ban (Galilei-féle koordináta-rendszerben) definiáltuk a teljes antiszimmetrikus pszeudo-egységtenzort, elklm-et. Transzformáljuk ezt görbevonalú koordináta- rendszerbe, az eredményt jelöljük E tklm-mel. [Az el/c/m jelölést tartsuk fenn a korábban e0123 = 1 (vagy e0i 23 = — 1) segítségével definiált mennyiségekre.]

Legyen x '1 Galilei-féle, x l pedig tetszőleges görbevonalú koordináta. A tenzor - transzformációk általános szabálya szerint

. dx* dxk d x1 dxmJ7iklm — _____ _____ _____ _____ gprst

dxfp dx 'r dx 's dx'*azaz

J7iklm — J g i k l m

ahol J a dxl/dx'p deriváltakból képzett determinánst jelöli, azaz éppen a Galilei- féle koordináta-rendszerből a görbevonalúba átvivő transzformáció Jacobi-deter- m inánsát:

0(x°, x 1, x 2, x 3)

83. §. GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 301

J0(JC'°, x ’\ x ' \ Jt'3) *

Ezt a Jacobi-determinánst ki lehet fejezni az (x l rendszerbeli) gik metrikus tenzor segítségével. E célból írjuk fel először a metrikus tenzor transzformációs képletét:

., dx* dxk ....crik __ ___ ____ p-(0)lm

* d x '1 dx 'm*

és tegyük egyenlővé az egyenlőség két oldalán álló mennyiségekből képzett determinánsokat. Az inverz tenzor determinánsa: g lk = l/g. Másrészről viszont |g (0)/m| = = — 1, ezért azt kapjuk, hogy l/g = — / 2, amiből J — l /V - g.

Tehát a negyedrendű antiszimmetrikus egységtenzort görbevonalú koordináta- rendszerben így számíthatjuk ki:

E iklm = - j L eik,m. (83,13)Y - g

5 Amikor az illusztráció vagy az analógia kedvéért a Galilei-féle koordináta-rendszerre hivatkozunk, nem szabad elfelejtenünk, hogy ilyen rendszert csupán sík négyestérben használhatunk. Görbült négyestér esetén azonban a Galilei-féle koordináta-rendszer az adott infinitezimálisan kisnégyes-térfogatelemhez tartozó rendszer. Ilyen koordináta-rendszert mindig lehet választani. A következmények ilyen finomítás után is ugyanazok lesznek.


Az indexeket E lklm-ben azeprstgipgkrglsgmt — g^iklm

képlet segítségével húzhatjuk le, tehát az E lklm kovariáns komponensei:

Eiklm = Í — gCiklm • (83,14)A Galilei-féle x n koordináta-rendszerben egy skalár dQ' = dx'° dx '1 d x '2 dx '3 szerinti

integrálja szintén skalár, azaz a dQ' elem integráláskor skalárként viselkedik (6. §). Görbevonalú x l koordinátákra áttérve, a dQf integrálási térfogatelem így transzformálódik :

d ü ' - j - d ü = f i~ g d ü .

Görbevonalú koordinátákban tehát a négyestérfogat szerinti integrálás során a Y —g dÜ szorzat invariáns.6

Mindaz, amit a 6.§ végén a hiperfelületre vonatkozólag a felület és vonal menti integrálási elemekkel kapcsolatban megállapítottunk, igaz marad görbe vonalú koordinátákban is, azzal a különbséggel, hogy a duális tenzorok definíciója némileg megváltozik.

A hiperfelület három infinitezimálisan kis elmozdulással meghatározott „területeleme” kontravariáns antiszimmetrikus tenzor dSlkl; a neki megfelelő duális vektort a Í —geiklm tenzorral való szorzással kapjuk:

f - g d S , = — *• eiklm dSMm Í ~ g . (83,15)

Hasonlóan, ha d f lk két infinitezimális elmozdulással meghatározott (kétdimenziós) felületelem, akkor a neki megfelelő duális tenzort a

V ^ g df*k = i - 1H íg eiklm d p " (83,16)

kifejezéssel definiáljuk.7

6 Ha cp skalár, a ]/— gcp mennyiséget dü -\al szorozva, invariáns kifejezést kapunk. Ezért a / — gcp szorzatot néha skalár sűrűségnek nevezik. Hasonlóan beszélnek Jí — gAl vektor- és j /—gAtk tenzor- sűrűségekről stb. Ezeket a mennyiségeket a négyes-térfogatelemmel megszorozva, vektorokat, illetve tenzorokat kapunk. (A véges tartományra vett J A 1 ^ — g dü integrál általában nem vektor, mivel az A% vektor transzformációs szabályai a tartomány különböző pontjaiban különbözőek.)

7 Magától értetődő, hogy a dSm és d fik elemek a végtelenül kis d x \ d x \ dx"1 elmozdulásokból oly módon vannak felépítve, ahogyan a 6. §-ban definiáltuk, függetlenül attól, hogy mi a dx1 koordináták geometriai értelme. így érvényes marad a dSi9 df^. elemek korábbi formális értelmezése is. Speciálisan, mint korábban, dS0 = dx1 dx2 dx3 = dV. A továbbiakban a három térkoordináta differenciáljaiból képzett szorzatra az előzőekben használt dV jelölést megtartjuk; nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy a geometriai térfogatelemet a görbevonalú koordinátákban nem dV, hanem a Jíy dV szorzat adja, ahol y a térbeli metrikus tenzor determinánsa (amelyet a következő szakaszban értelmezünk).

84. §. TÁVOLSÁGOK ÉS IDŐTARTAMOK 303

A dSr v d és df*k-gal, éppúgy mint korábban, az ^~eklmidSkbn és ~ e ik,md f,m

mennyiségeket jelöljük (és nem ezeknek Y - g - v e 1 való szorzatát); így a (6,14)—(6,19) integráltranszformálási szabályok változatlanok maradnak, mivel levezetésük formális része független a megfelelő mennyiségek tenzortulajdonságaitól. A szóban forgó integráltranszformálási szabályok közül elsősorban a hiperfelületre vett integrálnak négyestérfogatra vett integrállá való átalakítására lesz szükségünk (Gauss- tétel), amit a

d S i - ^ d Ü - — (83,17)

helyettesítéssel valósíthatunk meg.

84. §. Távolságok és időtartamok

Az előzőekben már említettük, hogy az általános relativitáselméletben a koordináta-rendszer kiválasztása teljesen önkényes; az x 1, x 2, x 3 térkoordináták gyanánt bármely, a testek térbeli helyzetét meghatározó három mennyiséget használhatunk, az x° időkoordinátát tetszőlegesen járó órákkal határozhatjuk meg. Felmerül a kérdés, hogyan lehet meghatározni az x °, x 1, x 2, x 3 mennyiségek értékeinek ismeretében a valódi távolságokat és időtartamokat.

Határozzuk meg először a valódi x idő kapcsolatát az x° koordinátával. E célból figyeljünk meg a tér adott pontjában végbemenő két infinitezimálisan közeli eseményt. Az események ds íveleme c d t , ahol dr a két esemény között eltelt „valódi” időtartam.

Az általános ds2 = gikdxl dxk kifejezésbe dx1 = dx2 = dx3 = 0 értékeket helyettesítve, azt kapjuk, hogy

ds2 = c2 dx2 = goo(dx0)2,

következésképpen

dx = ^Y goodxo. (84,1)

A tér adott pontjában bekövetkező bármilyen két esemény között eltelt időtartamot tehát a

1x — —

c Ygoo dx°. (84,2)

integrál határozza meg.


Ezek az összefüggések egyúttal meghatározzák a „valódi időtartam okat” (vagy a szokásos szóhasználattal, a tér adott pontjához rendelt sajátidőt) az x° koordináta függvényében. Érdemes még megjegyezni, hogy a fenti képletekből következik a goo komponens pozitív volta:

goo > 0. (84,3)

Hangsúlyozni kell, hogy a (84,3) feltétel és a g ik tenzor határozott szignatúrá- jára (a főértékek előjeleire) vonatkozó feltétel (82. §) nem azonos. Ha egy g ik tenzor az utóbbi feltételt nem elégíti ki, az a g ik általában nem felelhet meg valódi gravitációs térnek, azaz nem adhatja meg egy valóságos téridő metrikáját. Ugyanakkor a(84,3) feltétel sérülése csupán azt vonná maga után, hogy a megfelelő vonatkoztatási rendszert nem lehetne valódi testekkel megvalósítani; de ha ezzel egyidejűleg a főértékekre vonatkozó feltétel teljesül, akkor a koordináták megfelelő transzformálásával elérhetjük, hogy a goo pozitív legyen (egy ilyen rendszerre példa a forgó koordináta-rendszer; lásd a 89.§-t).

Következő lépésként meghatározzuk a dl térbeli távolságelemet. A speciális relativitáselméletben a dl-et két infinitezimálisan közeli, de ugyanabban az időpillanatban végbemenő esemény közötti ívelemként definiáltuk. Az általános relativitáselméletben azonban ez a definíció általában nem kielégítő, azaz nem lehet dl-et egyszerűen úgy definiálni, hogy ds-be dx° = 0-t teszünk. Gravitációs térben ugyanis, a sajátidő a tér különböző pontjaiban különböző kapcsolatban áll az x° koordinátával.

dl-et ezért az alábbiak szerint definiáljuk.Induljon el a tér valamely B pontjából (amelynek koordinátái x*+ dxa) egy fényjel

a hozzá infinitezimálisan közeli A pontba (amelynek koordinátái x% majd onnan azonnal forduljon vissza ugyanazon az úton. Az ehhez szükséges idő (amelyet ugyanabban a B pontban mérünk) övei szorozva nyilvánvalóan a két pont távolságának kétszerese.

Az ívelemnégyzet képletében válasszuk szét az idő- és a térkoordinátákat:

ds2 = ga/S dxa dx&+ 2g0a dxQ dxx+ goo(dx°)2, (84,4)

ahol megállapodásunknak megfelelően a kétszer ismétlődő görög indexek 1, 2, 3 értékeire összegezünk. A fényjel egyik pontból való kiindulásának és visszaérkezésének megfelelő események ívelemnégyzete zérus. A d s 2 = 0 egyenletet dx°-ra megoldva, két gyököt kapunk:

0(1) _ ( - g t)y dx' - \^(g(hSoft -g ^ g o o ) dxr/ dx?), goo

! ____________________ (84,5)d x 0(2) = ----- ( - goa dx* + i (goago/3 - g^goo) d x 1 d x 0),

goo

ami a jel A é s B között két lehetséges irányú terjedésének felel meg. Ha x° a jel A-ba való beérkezésének pillanata, akkor a 5-ből való elindulásának és a 5-be való visszatérésének megfelelő pillanatai x°-\-dxoa) és x °+ dx0i2). A 18. ábrán látható folytonos vonalak a megadott xa és x a + dxa koordinátáknak felelnek meg, a szaggatott vonal pedig a jel világvonala.8

x°+dx0(2)

x°+dx0(1>

A B18. ábra

Nyilvánvaló, hogy a jel kiindulása és ugyanabba a pontba való visszatérése között eltelt teljes „időtartam ”

dxJH2) - dxoa'> = ----- / (g o a g o /3 -g*pgoo) dx* dx>:-g oo

A megfelelő valódi idó'tartam a (84,1) szerint Vgöojc-ve 1 való szorzással, a két pont d l távolsága pedig még további c/2-vel való szorzással adódik. Eredményül azt kapjuk, hogy

dl2 =\ g 00 /

Ez pedig a távolságot a térkoordináták elemei segítségével meghatározó kifejezés. í r ju k a keresett képletet

dl2 = y ^ d jfd x P (84,6)

alakba, ahol

y ^ = - á ^ + - ° ^ (84,7)goo

a (hármas) metrikát, azaz a (közönséges) tér geometriai tulajdonságait meghatározó

8 A 18. ábrán feltételeztük, hogy dx0(2) > 0, í/x0(1) < 0, ami azonban nem kötelező: dx(0)1 és A 0(2) egyforma előjelűek is lehetnek. Az a tény, hogy ilyen esetben a jel 4-ba érkezésének pillanatában x°(A) értéke kisebb lehet, mint a jel 5-ből való kiindulási pillanatában vett x°(B) érték, önmagában nem jelent semmilyen ellentmondást, minthogy a tér különböző pontjaiban levő órák járásáról nem tételezzük fel, hogy bármi módon is szinkronizálva lennének.20 Elm életi fizika II. - 42221/11.

háromdimenziós metrikus tenzor. A (84,7) összefüggések kapcsolatot teremtenek a közönséges tér és a négydimenziós téridő metrikája között.9

Emlékeztetnünk kell azonban arra, hogy gik általában függ x°-tól, így a (84,6) térmetrika is változik az időben. Emiatt a dl szerinti integrálásnak nincs értelme, egy ilyen integrál értéke függene attól, hogy a tér adott két pontja között milyen világvonal mentén integrálunk. Az általános relativitáselméletben tehát általában értelmét veszti a két test közötti határozott távolság fogalma, helyette csupán infinitezimális távolságról beszélhetünk. A távolságot a tér véges tartományaiban csak olyen téridőben definiálhatjuk, amelynek gik metrikája nem függ az időtől, ezért az j dl térbeli görbe mentén vett integrálnak határozott értelme van.

Vegyük észre, hogy — yaj9 a g ^ háromdimenziós kontravariáns tenzor inverze. Valóban, a glkgkl — egyenlőséget komponensekben kiírva, azt kapjuk, hogy

g *% y + g*°gOy =, a?,

g*gpo+g»goo = o, (84,8)g°% o+ g00goo = 1.

ga0-t a második egyenletből kifejezve és az elsőbe téve, a keresett

- r f y * =

összefüggés adódik. Ezt az eredményt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a —g*? komponensek a (84,6) metrikának megfelelő kontravariáns háromdimenziós metrikus tenzort alkotnak:

y*P = -g«P. (84,9)

Felhívjuk a figyelmet arra is, hogy a gik és y ^ mennyiségekből alkotott g és y determinánsok egymással egyszerű kapcsolatban állnak:

- g = gooy. (84,10)

9 A (84,6) kvadratikus alak szükségképpen pozitív definit. Ezért együtthatóinak ismeretes módon az alábbi feltételeket kell teljesítenie:

y a y i2 y i3V n > 0, V n Vl2 > 0, y*i

y$iy 22?32

y 23>33

> 0.y 2i y 22

A yik együtthatókat g^-kal kifejezve, e feltételek

£oo goi §02£oo #01 < 0, £10 gll §12£ io g l l g20 g21 §22

alakba írhatók. A metrikus tenzor komponenseinek eleget kell tenniük ezeknek és a (84,3) feltételeknek minden olyan vonatkoztatási rendszerben, amely valódi testekkel megvalósítható.


A későbbi alkalmazások során hasznos lesz a g hármasvektor, amelynek kovariáns komponenseit a

egyenlőség definiálja. Ha a (84,6) metrikájú térben g-t vektorként kezeljük, akkor kontravariáns komponenseit a g“ = y^gp egyenlőséggel kell definiálnunk. (84,9) és(84,8) második egyenlete segítségével könnyű belátni, hogy

egyenlőséget is, mely a (84,8) harmadik egyenletéből következik.Térjünk át ezek után az egyidejűség fogalmának meghatározására az általános

relativitáselméletben. Tisztázzuk a tér különböző pontjaiban levő órák szinkroni- zálhatóságának kérdését, azaz megvizsgáljuk, hogy egyezésbe lehet-e egymással hozni ezeknek az óráknak az állását.

Egy ilyen szinkronizálást nyilvánvalóan a pontok között fényjelek cseréjének segítségével kell megvalósítanunk. Vizsgáljuk meg ismét a jelek terjedését a 18. ábrán lerajzolt infinitezimálisan közel fekvő A és B pontok között. Az A pontbeli x° pillanattal a B -beli óráknak azt az állását kell egyidejűnek tekinteni, amely a jel 5-ből való kiindulása és oda való visszaérkezése időkülönbségének számtani közepe, azaz

Behelyettesítve ide (84,5)-öt, azt kapjuk, hogy két egyidejű, infinitezimálisan közeli pontban végbemenő esemény x° „idő” különbsége az alábbi alakba írható:

Ez az összefüggés lehetőséget ad arra, hogy a tér bármely, infinitezimálisan kis térfogatában szinkronizáljuk az órákat. Hasonlóan továbbfolytatva, az A pontból kiindulva, szinkronizálhatjuk az órákat, azaz definiálhatjuk az események egyidejűségét bármilyen nem zárt görbe mentén.10

Az órákat zárt görbe mentén általában nem lehet szinkronizálni. Valóban, a kontúr mentén körbejárva és a kiindulási pontba visszaérkezve, azt kapjuk, hogy Ax° nem

10 A (84,14) egyenlőséget ^oo'lal megszorozva és mindkét tagot egy oldalra írva, a szinkronizálás feltételét dx0 = goi dxi = 0 alakban adhatjuk meg: két infinitezimálisan közeli egyidejű esemény között a dx° „kovariáns differenciálnak” zérusnak kell lennie.

(84,11)

g* = ^ g p = - g * . (84,12)írjuk még fel a

(84,13)

(84,14)

20*


nulla. Ugyanígy lehetetlen az órák egyértelmű szinkronizálása az egész térben. Csupán azok a vonatkoztatási rendszerek képeznek kivételt, amelyekben az összes g0a komponens zérus.11

Hangsúlyoznunk kell: az a tény, hogy az összes óra nem szinkronizálható, nem a téridőnek, hanem az önkényesen választott koordináta-rendszernek a tulajdonsága. Bármely gravitációs térben mindig választható olyan vonatkoztatási rendszer (mégpedig végtelen sokféleképpen), hogy a három mennyiség zérus legyen, ami egyúttal lehetővé teszi az órák teljes szinkronizálását (lásd a 100. §-t).

Egymáshoz képest mozgó órák esetén a sajátidő már a speciális relativitáselméletben is másképpen telik. Az általános relativitáselméletben a sajátidő másképpen telik egy adott vonatkoztatási rendszerben a tér különböző pontjaiban is. Ez azt jelenti, hogy a tér valamely pontjában lezajló két esemény közötti sajátidő-intervallum általában különbözik a tér egy másik pontjában, az előzőekkel egyidejű események közötti sajátidő-intervallumtól.

85. §. Kovariáns differenciálás

Galilei-féle koordinátákban12 az At vektor dAt differenciálja vektorkomponenseinek koordináták szerint dAi/dxk deriváltjai tenzorokat képeznek. Görbevonalú koordinátákban ez a tulajdonság nem marad meg; dAt nem vektor, dA Jdxk pedig nem tenzor. Ez azzal kapcsolatos, hogy dAt a tér (infinitezimálisan közeli) különböző pontjaiban vett vektorok különbsége; minthogy azonban a (83,2) és (83,4) transzformációs képletekben szereplő együtthatók függenek a koordinátáktól, a vektorok a tér különböző pontjaiban különbözőképpen transzformálódnak.

A mondottakról közvetlenül is könnyen meggyőződhetünk. E célból levezethetjük a dAt differenciálok transzformációs képleteit görbevonalú koordinátákban. Egy kovariáns vektoi az

A - 8 x 'k V A ‘ ~ dxi A *

képlet szerint transzformálódik, ezért

dAi = ^ d Á k + A'kd - * - r = - ^ d A l + A 'b - ^ r - j d x 1.d x1 o x l dx1 d x1 dx1

11 Ugyanide kell sorolni azokat az eseteket is, amikor a zérusba vihetők az időkoordináta olyan egyszerű transzformációjával, amely a térkoordináták meghatározására szolgáló tárgyak rendszerének kiválasztását nem érinti.

12 Általában mindig, amikor a gik mennyiségek állandók.

85. §. KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 309

Látható, hogy dAt nem transzformálódik vektorként (természetesen ugyanez vonatkozik a kontravariáns vektorok differenciáljaira is) csak abban az esetben, ha a

32x 'k fmásodik deriváltak eltűnnek, azaz ha az x k-k x k-k lineáris függvényei. Ekkor

dx1 dx1d x 'k

dAi = ^ - d A ' k .

Próbáljunk most egy olyan tenzort definiálni, amely görbevonalú koordináta-rendszerben ugyanolyan szerepet játszik, mint a d A ^d x1"- tenzor a Galilei-féle koordinátákban. Pontosabban dAi/dxk-t transzformáljuk Galilei-féle koordinátákból görbevonalúkba.

Ahhoz, hogy görbevonalú koordinátákban vektor differenciálja ismét vektor legyen, az szükséges, hogy a térnek ugyanabban a pontjában adott vektorokat vonjuk ki egymásból. Más szóval, a két infinitezimálisan közeli vektor közül az egyiket át kell vinnünk valamilyen módon abba a pontba, ahol a másik adott, majd ezután a tér egy és ugyanazon pontjához tartozó két vektor különbségét kell valahogyan meghatároznunk. Eközben az áthelyezés műveletét úgy kell definiálnunk, hogy Galilei-koordinátákban a fenti különbség megegyezzék a szokásos dAi differenciállal. Minthogy dAt egyszerűen két végtelenül közel fekvő vektor különbsége, ez a feltétel azt jelenti, hogy az áthelyezési művelet eredményeképpen a vektor komponenseinek Galilei-féle koordinátákban változatlanoknak kell maradniuk. Egy ilyen áthelyezés pedig nem lehet más, mint a vektornak önmagával párhuzamos eltolása. Párhuzamos eltolás során a vektor komponensei Galilei-féle koordinátákban nem változnak, de görbevonalú koordináták használata esetén ilyen eltoláskor a vektor komponensei általában megváltoznak. Ha tehát görbevonalú koordináta-rendszerben toljuk el az egyik vektort abba a pontba, ahol a másik van, a két vektor komponenseinek különbsége az eltolás után más lesz, mint az eltolás előtt (azaz megváltozik a dAt differenciál).

Ily módon, két infinitezimálisan közeli vektor összehasonlításakor először az egyiket párhuzamosan el kell tolni abba a pontba, ahol a másik van. Vizsgáljunk egy kontravariáns vektort; ha az x l koordinátájú pontban az értéke A \ akkor a szomszédos x l-\-dx1 koordinátájú pontban A l + dAl lesz. Ha az A 1 vektort infinitezimálisan kicsi, az x l + dxl-be vivő párhuzamos eltolásnak vetjük alá, értéke őA'-ve 1 változik meg. így a most már egy pontban levő vektorok D A 1 különbsége:

D A 1 = d A t-b A K (85,1)

iA vektorkomponensek infinitezimálisan kis párhuzamos eltoláskor fellépő öA

megváltozásai függenek maguknak a komponenseknek az értékeitől. A függvénykapcsolat nyilvánvalóan lineáris. Ez közvetlenül következik abból, hogy két vektor


összege ugyanolyan szabály szerint transzformálódik, mint az egyes összetevő vekto rok. öAl tehát a következő alakban adható m eg:

ahol a P kl mennyiségek a koordináták valamilyen függvényei; alakjuk természetesen függ a koordináta-rendszer választásától, Galilei-féle rendszerben minden r ikl nulla.

egy tenzor zérus valamelyik koordináta-rendszerben, akkor a többi koordináta- rendszerben is eltűnik. Görbült térben a koordináta-rendszer alkalmas választásával természetesen nem érhető el, hogy egyszerre az összes F lkl nulla legyen. Lehet viszont olyan koordináta-rendszert választani, amelyben F lkl-tk egy adott infinitezimálisan kis tartományban zérussá válnak (lásd e szakasz végét).13 A F lkl mennyiségeket Cristoffel-szimbólumoknak nevezik. Használni fogjuk a r t kl mennyiségeket is,14 amelyeket így definiálunk:

A Christoffel-szimbólumokkal könnyen kapcsolatba hozhatók a kovariáns vektorkomponensek párhuzamos eltoláskor fellépő megváltozásai is. Először megjegyezzük, hogy a skalárok párhuzamos eltoláskor nyilvánvalóan változatlanok maradnak. Speciálisan, két vektor skaláris szorzata párhuzamos eltoláskor ugyanaz marad.

Legyenek A t és B l tetszőleges kovariáns és kontravariáns vektorok. Ekkor a SiAjB1) = 0 feltételből azt kapjuk, hogy

ami éppen a kovariáns vektor párhuzamos eltoláskor fellépő megváltozása.

13 Éppen ilyen koordináta-rendszert kell majd választanunk minden olyan megfontolás során, amikor a rövidség kedvéért egyszerűen Galilei-féle rendszerről beszélünk; ekkor az összes bizonyítás egyaránt érvényes marad nemcsak az euklideszi, hanem a görbült négyestérre is.

dAi — -F 'klAk d x\ (85,2)

M ár ebből is látszik, hogy a P kl mennyiségek nem alkotnak tenzort. Ugyanis ha

r Í; kl — ginJ'kl ■ (85,3)Fordítva:

(85,4)

B ‘ÖAi = - A, ÖB‘ = r klBkA, dx',

vagy az indexek jelölését megváltoztatva,

B‘dAi = ru A kBldxl.

Minthogy B' tetszőleges vektor, ezért

ÖAj = rfiA/c d x \ (85,5)

0

(85,l)-be (85,2)-t és dA‘ — — — dx’-ct helyettesítve, azt kapjuk, hogy

85. §. KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS

ÖA1'

311

(85,6)

Hasonlóan adódik a kovariáns vektorra:

(85,7)

A (85,6)—(85,7)-ben a zárójelben álló mennyiségek tenzorok, minthogy ezek a d x1 vektorral szorozva vektort adnak. Nyilvánvaló, hogy éppen ezek azok a tenzorok, amelyek megvalósítják a vektor deriváltja fogalmának görbevonalú koordinátákra való keresett általánosítását. Ezeket a tenzorokat az A \ illetve az A t vektorok kovariáns deriváltjainak nevezzük. így tehát

Galilei-féle koordinátákban P kl = 0, és a kovariáns deriváltak átmennek a szokásos deriváltakba.

Ezek után nem jelent nehézséget a tenzorok kovariáns deriváltjainak értelmezése sem. E célból elegendő meghatároznunk a tenzor végtelen kis párhuzamos eltolásakor fellépő megváltozást. Vizsgáljunk például egy olyan kontravariáns tenzort, amely két kontravariáns vektor A lBk szorzata. Párhuzamos eltolás esetén:

DA' = A\ i dx1, D At = A i; z dx1, (85,8)

és maguk a kovariáns deriváltak:

(85,9)

(85,10)

ő(AiBk) = A i dBk+ B kŐAi = — A T kmBl dxm —Bkr jmA l dxm.

Minthogy ez a kifejezés lineáris, tetszőleges A lk tenzorra is igaz az, hogy

dAik = - ( <A imr* a+ A mkr ina)dx*.Ezt behelyettesítve a

D A ik = dAik — öAik = A ik. t dx1

egyenlőségbe, az A ik tenzor kovariáns deriváltját

(85,11)

A* ;l = ~dxr + rÍmlAmk+r™iAU (85,12)

alakban kapjuk.


Ugyanígy kaphatjuk meg a vegyes és a kontravariáns tenzorok kovariáns deriváltja it definiáló kifejezéseket:

d ASá , , = (85,i3)

Aik; i = ^ r - r?,'Amk- r ^ A im. (85,14)

Hasonló eljárással definiálhatjuk tetszőleges rendű tenzorok kovariáns deriváltjait. A kovariáns differenciálásra a következő általános szabályt kapjuk: egy A\\\ tenzor kovariáns deriváltját úgy képezhetjük x l szerint, hogy a szokásos dA \\mJ d x l deriválthoz hozzáadunk minden kovariáns z indexnek megfelelően (A[-l) egy- I*Ayk: tagot, minden kontravariáns z indexnek megfelelően (A[[[) pedig egy + P klA 'k[ tagot.

Könnyen belátható, hogy szorzat kovariáns deriváltját ugyanúgy kell képezni, mint a szorzat szokásos deriváltját. Egy cp skalár kovariáns deriváltján a szokásos deriváltat értjük, cpk = dcp/dxk tehát kovariáns vektor, hiszen skalárokra dcp = 0* és ezért Dcp = dcp. Például az A iBk szorzat kovariáns deriváltját az

í4iBk);i = A i.iBkJr A iBk.i

szabály szerint kell képezni.Kovariáns deriváltak differenciálásra utaló indexét felhúzva, az úgynevezett kont

ravariáns deriváltakat kapjuk. így

A jk — gklA i;i , A i;k = g^A'.j.

Bebizonyítjuk, hogy a P kl Christoffel-szimbólumok alsó indexeikben szimmetrikusak. Mivel egy vektor A i;k kovariáns deriváltja tenzor, az A i;k—A k;i különbség is tenzor. Legyen A t egy skalár deriváltja, azaz A t = dcp/dx1. Minthogy

dA t _ d2cp _ 8Ak dxk dx* dxk dx*

a (85,10) kifejezés segítségével azt kapjuk, hogy

Galilei-féle koordináta-rendszerben a kovariáns deriváltak átmennek a szokásosokba, ezért a fenti egyenlet bal oldala zérussá válik. De Ak. — A-v k tenzor, ezért ha egy adott rendszerben eltűnik, akkor minden más koordináta-rendszerben is nulla. Ebből az következik, hogy

r i i = r i k . (85,15)

85. §. KOVARIÁNS DIFFERENCIÁLÁS 313

Nyilvánvaló, hogyr i, ki — r ijk (85,i6)

is fennáll.Általános esetben mindössze 40 különböző r ikl mennyiség van : az i index mind a

négy értékéhez a 10 különböző k , / indexpár tartozik (azonosnak tekintjük az egymásból k é s i felcserélésével adódó párokat).

E szakasz befejezéseképpen megadjuk, hogyan transzformálódnak a Christoffel- szimbólumok egy másik koordináta-rendszerre való áttérés során. Ezeket az összefüggéseket úgy kaphatjuk meg, hogy összehasonlítjuk tetszőleges kovariáns deriváltak transzformációs szabályait meghatározó egyenletek két oldalát, és megköveteljük, hogy a két oldal ugyanúgy transzformálódjon. Egyszerű számolás után az alábbi kifejezésre jutunk:

p i = p'm d x ‘ d x '” 8X 'P | 8V m 8x1 , 0* ^kl np dx 'm dxk d x1 dxk dx1 dx 'm

Ebből leolvashatjuk, hogy a F lkl mennyiségek csak a koordináták lineáris transzformációja esetén viselkednek tenzorként [amikor is (85,17)-ben a második tag eltűnik].

A (85,17) összefüggés segítségével könnyen bebizonyítható az a fentebbi állítás, hogy mindig található olyan koordináta-rendszer, amelyben egy tetszőleges, de előre megadott pontban az összes P kl zérussá válik (ezeket a rendszereket nevezik lokálisan geodetikus koordináta-rendszereknek; lásd a 87. §-t).15

Valóban, válasszuk az adott pontot a koordináta-rendszer kezdőpontjának, és legyen a F lkl mennyiségek értéke (az x l koordinátákban) ebben a rendszerben ( ^ 7)0. Hajtsunk végre e pont környezetében egy

x '‘ = x i+ - ^ ( n , ) 0x kx l (85,18)

transzformációt. Ekkor a

V \ = ( n , ) 07 0

összefüggést kapjuk, és (85,17) szerint az összes r'™ zérussá válik. Megjegyezzük, hogy a (85,18) transzformációra

d x '1

15 Meg lehet mutatni azt is, hogy a koordináta-rendszer megfelelő választásával az összes zérussá tehető nemcsak egy adott pontban, de egy adott vonal mentén is. [Ennek az állításnak a bizonyítását P.K . Rasevszkij „Riemann-geometria és tenzoranalízis” című könyvének 91.§-ában találhatjuk meg, „Nauka” (1964).]

ezért ez a transzformáció minden tenzor origóbeli értékét változatlanul hagyja (így a gik tenzorét is), tehát egyszerre hozhatjuk a Galilei-féle alakra a gik tenzort, és tehetjük zérussá a Christoífel-szimbólumokat.

86. §. A Christoffel-szimbólumok és a metrikus tenzor kapcsolata

Először bebizonyítjuk, hogy a gik metrikus tenzor kovariáns deriváltja zérus. E célból megjegyezzük, hogy a D At vektorra, mint minden vektorra, érvényes a

DAi = gikDAk

összefüggés. Másrészről A t = gikAk, tehát

= D(g*^*) = gikD Ak+ A kDgik.

D At két alakját összehasonlítva és A 1 differenciálhatóságát figyelembe véve,

Dgik = 0

adódik. Ezért a kovariáns derivált is zérus:

gik;l= 0- (8<M)

Kovariáns deriválásnál tehát a gffc-t állandónak kell tekintenünk.A gik;l = 0 egyenlőséget arra használhatjuk fel, hogy a Christoffel-szimbólu-

mokat kifejezzük a glVfc metrikus tenzor segítségével. E célból a (85,14) általános definíciónak megfelelően felírjuk, hogy

g*:, = ^ r - g mkr $ - g lmr% = ’* - r k.a- r t'U = o.

Eszerint gik deriváltjai kifejezhetők a Christoffel-szimbólumokkal.16 írjuk le ezeket a deriváltakat az z, k , / indexek felcserélésével:

Őgik _ j -í p dgli _ p p _ 7-1 7-1gx/ — -L k , U -*■ i . k h Q ^ k — J- i . k l - r - L l , i k , — J- l , k i — J- k , l i -

16 Ezért a lokálisan geodetikus koordináta-rendszer használata esetén az adott pontban a metrikus tenzor komponenseinek összes első deriváltja nulla.

86. §. A CHRISTOFFEL-SZIMBÓLUMOK ÉS A METRIKUS TENZOR KAPCSOLATA 315

Ezeket az egyenlőségeket összeadva (figyelembe véve, hogy r i kl = r i lk), a

^ 1 ( d g i k , S g a d g u \

Fi’kl = - 2 \ - M + W ^ — d ¥ ) (86’2)

összefüggést nyerjük. Ebből a F lkl — gimr m> kl szimbólumokra a

p i _ 1 „im í d g m k d g m l Ő g k l \

k i~ ~ 2 g ( - f r r + - d * - (86’3)

kifejezést kapjuk. Ezek a képletek adják a Christoífel-szimbólumok és a metrikus tenzor keresett kapcsolatát.

Most levezetünk egy, a későbbiek szempontjából hasznos kifejezést az összeeső indexű r ik;i Christoífel-szimbólumra. E célból először határozzuk meg a gik tenzor komponenseiből alkotott g determináns dg differenciálját; dg-1 úgy lehet megkapni, hogy minden egyes gik tenzorkomponens differenciálját szorozzuk a determinánson belüli együtthatójával, azaz a megfelelő aldeterminánssal. Másrészről gik inverz tenzorának, glk-r\ak a komponensei, mint ismeretes, egyenlőek a gik mennyiségekből képzett determináns aldeterminánsainak és magának a determinánsnak a hányadosával. Ezért a g determináns aldeterminánsai gg^-val egyenlőek. így tehát

dg = g g ik dgik = - g g ik dgik (86,4)

(mivel gikg'k = = 4, ezért gik dgjk = - g ik dgik).(86,3) szerint írhatjuk, hogy

p i __ J _ im í d g m k d g mi d g k i \

k i ~~ 2 g \ d x ‘ * d x k dx™ y

A zárójelben levő első és harmadik tagban az m és / indexeket felcserélve, azok kiejtik egymást, így

pi — JL p i m imx ki o o2 5 ’ vagy (86,4) szerint

= = 0J£Í ' f £ . (86,5)2g dxk dxk

Érdemes felírni a gklr ikl-rQ vonatkozó kifejezést is. Tudjuk, hogy

crklpi — J _ p-klp-im( d g m k Ő g l m _ Ő g k l \ _ kibírni d g m k ___ 1 Qgfc/ \* kl 2 * g \ dx1 ^ dxk dx™) g * \ dx1 2 dx™) '

(86,4) segítségével ezt

alakra hozhatjuk.

gk'n , = — 1 = (86,6)Y —g dxk

Alkalmazások esetén hasznos lehet annak ismerete, hogy a glk kontravariáns tenzor deriváltjai a gik deriváltjaival az alábbi kapcsolatban állnak:

*“! £ = <86-7>(Ezt a gnglk = ök egyenlőség differenciálásával kaphatjuk meg.) Végül megmutatjuk, hogyan fejezhetők ki glk deriváltjai a P kl mennyiségekkel. A glkt — 0 azonosságból azonnal következik, hogy

4 “ ;- = - r -mSmk - r i ,g lm- (86,8)

A kapott összefüggések segítségével egyszerű alakra hozhatjuk az A \t kifejezést is, ami a vektordivergencia általánosítása görbevonalú koordinátákra. (86,5) segítségével azt kapjuk, hogy

A i _ 8A ‘ , P i _ 8A ‘ |dx1 h ~ dx‘ dx1 ’

vagy végül

A\t = - l = d^ ~ gA,) . (86,9)| / - g dx1


Hasonló kifejezések érvényesek az antiszimmetrikus tenzor divergenciájára is.(85,12)-ből

dA ik dxk

De A mk = — Akm, ezértn,kAmk = - n mAkm = o.

A!* = - = ^ + r L A mk+ r kkAi"'.

Behelyettesítve r ^ k helyére a (86,5) kifejezést, végül az

A% = - J = 8(]/- gA:k} (86,10)Y — g dxk

képlethez jutunk.Legyen most A ik szimmetrikus tenzor, és kevert komponenseire határozzuk meg az

Ak k kifejezést. Azonnal adódik, hogy

a U = M + r ?kA li- r ! kA f = - L d{A^ ~ g ) - r ' kiA idxk Í - g 8xk

Itt az utolsó tag a1 / dgn dgki dgik \2 \ dxk dx1 d x1

kifejezéssel egyenlő. Az A kl tenzor szimmetriája miatt a zárójelben levő két utolsó tag kölcsönösen kiejti egymást, így

87. §. RÉSZECSKE MOZGÁSA GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN 317

1 d(Y -g A f) 1 dgki Y — g 8xk 2 8x i

0 4; 0v4fc „ . .Descartes-koordinátákban a -^—r — — különbség antiszimmetrikus tenzor.

cbr ox*Görbevonalú koordinátákban ennek A i;k—Ak;i felel meg. Felhasználva az A i;k-ra kapott kifejezéseket és figyelembe véve a P kl = egyenlőséget, azt találjuk, hogy

0.4/ 0 A ^ 1 ^dxk dxi ■ (86’12>

Végül írjuk fel görbevonalú koordinátákban egy cp skalár második deriváltjainak82cp

—— összegét. Nyilvánvalóan ez az összeg görbevonalú koordinátákban cp\\ oxí d x1

alakú. De cp;i = 8cpl8x\ egy skalár kovariáns differenciálhányadosa tehát egyszerűen a szokásos derivált. Ha az i indexet felhúzzuk, azt kapjuk, hogy

Cp’, i _ gik dcp8xk 9

és a (86,9) képlet segítségével adódik, hogy

<p\j = '— ( i ~ g g ik —“ )• (86,13)Y — g 8 x l \ 8xk /

Érdemes még megjegyezni, hogy a (83,17) Gauss-tételt, amely azt mondja meg, hogyan kell átalakítani egy vektor hiperfelületre vett integrálját négyestérfogatra vonatkozó integrállá, (86,9) figyelembevételével a következő alakba írhatjuk:

A1 Y ^ g dSi = J AI i dQ. (86,14)

87. §. Részecske mozgása gravitációs erőtérben

Egy szabad részecske mozgását a speciális relativitáselméletben a legkisebb hatás elve határozza m eg:

ÖS = -m c ö J ds = 0. (87,1)

Eszerint a részecske úgy mozog, hogy világvonala két adott világpont között szélső értéket vesz fel, azaz a szóban forgó esetben egyenes. (A szokásos háromdimenziós térben ennek egyenes vonalú egyenletes mozgás felel meg.)

A részecske mozgását gravitációs térben a legkisebb hatás elvével, (87,l)-gyel azonos formában kell meghatároznunk, mivel a gravitációs tér hatása csupán a téridő metrikájának megváltoztatásában áll, és ez csak ds-nek dx1-kkel való kifejezését módosítja. Gravitációs térben tehát a részecske úgy mozog, hogy a világpontja által leírt görbe extremális, vagy amint mondani szokták, az x°, x1, x2, x 3 négyestérben geodetikus vonal legyen; mivel azonban gravitációs tér jelenlétében a téridő nem Galilei-féle, ezért ez a világvonal nem „egyenes”, a részecske mozgása a háromdimenziós térben pedig nem egyenes vonalú és nem egyenletes.

Ahelyett azonban, hogy újra közvetlenül a legkisebb hatás elvéből indulnánk ki (lásd e szakaszt követő feladatot), egyszerűbb a részecske gravitációs térbeli mozgásegyenletét a speciális relativitáselméletben a szabad mozgásra levezetett differenciálegyenletek megfelelő általánosításával származtatni. Ezek az egyenletek du'jds = 0 vagy másképp dul = 0 alakúak, ahol ul = dxl\ds a négyessebesség. Görbevonalú koordinátákban ennek az egyenletnek általánosított alakja nyilvánvalóan

Dul = 0. (87,2)

A (85,6) kifejezés szerint a vektor kovariáns differenciálja

dul+ r ikiuk dx1 = 0.

Ezt az egyenletet ífe-sel osztva,

d2x< dxk 'dx1 _- W + F k l ~ d i ^ - ° - ( 8 7 ’ 3 )

Ez a keresett mozgásegyenlet. Látjuk, hogy^ a részecske mozgását gravitációs térben a r ikl mennyiségek határozzák meg. A d2x l/ds2 derivált a részecske négyes- gyorsulása. Ezért a —mriklukul mennyiséget a részecskére gravitációs térben ható négyeserőnek nevezhetjük. A gik tenzor itt a gravitációs tér „potenciáljának” szerepét játssza, deriváltjai határozzák meg a r ikl „térerősségeket”.17

17 Felírjuk a mozgásegyenletnek a négyesgyorsulás kovariáns komponenseivel megadott alakját is. A Düí = 0 feltételből azt kapjuk, hogy

= 0.

Behelyettesítve ide r k ü (86,2)-vel adott kifejezését, két tag kiejti egymást, végül a

y 4 f r = 0 <87’3a>ds 2 oxiegyenletet kapjuk.

A 85. §-ban megmutattuk, hogy a koordináta-rendszer alkalmas megválasztásával bármely adott téridőpontban mindig zérussá tehető az összes P kl. M ost már azt is látjuk, hogy ilyen, lokális inerciarendszer választása a gravitáció kikapcsolását jelenti a tér adott infinitezimálisan kis részében; az pedig, hogy ilyen választás mindig lehetséges, a gravitáció relativisztikus elméletében érvényes ekvivalencia-elv kifejezése.18

A gravitációs térben a részecske négyesimpulzusát ugyanúgy definiáljuk, mint régebben:

p [ — mcu\ (87,4)

ennek négyzete

PiP* = m2c2. (87,5)

Ha itt — SS/dx'-t írunk p t helyett, a gravitációs térben mozgó részecske Hamilton— Jacobi-egyenletét kapjuk:

= ( 8 7 ’ 6 )

A fényjel terjedésének leírására a geodetikus vonal (87,3) alakban adott egyenletét nem alkalmazhatjuk, mert a fénysugár terjedésének világvonala mentén a ds intervallum zérussal egyenlő, és így a (87,3) egyenletben mindegyik tag végtelenné válik. Ha erre az esetre is meg akarjuk adni a megfelelő alakú mozgásegyenletet, abból kell kiindulnunk, hogy a geometriai optikában a fénysugár terjedésének irányát a hullám- számvektor határozza meg, amely párhuzamos a sugár érintő irányú egységvektorá- val. Ezért a négydimenziós hullámszámvektort k l — dx'jdX alakban írhatjuk, ahol X a sugár mentén változó valamilyen paraméter. A speciális relativitáselméletben a fény vákuumbeli terjedésekor a hullámszámvektor nem változik a sugár mentén, tehát dk* = 0 (lásd az 53. §-t). Gravitációs térben ez az egyenlet D k1 = 0 alakú lesz, vagyis

^ + r iklk kk‘ = 0. (87,7)

(Ugyanezek az egyenletek határozzák meg a X paramétert is.)19A hullámszám négyesvektorának négyzete zérus (lásd a 48.§-t), tehát

kiiV = 0. (87,8)

18 A 85. § 15 számú lábjegyzetében említettük, hogy lehet olyan vonatkoztatási rendszert választani, amely egy „adott világvonal mentén inerciális”. Speciálisan, ha e vonalként az időkoordináta vonalát választjuk (amelynek mentén x 1, x2, x3 = const), akkor az adott térfogatelemben a teljes idő folyamán kioltjuk a gravitációs erőteret.

19 Azokat a geodetikus vonalakat, amelyekre ds == 0, nullavonalaknak vagy fény vonalaknak nevezzük.


helyére dipfdxl-t helyettesítve, a gravitációs térben érvényes eikonál-egyenletet kapjuk:

W(ip az eikonál).

Kis sebességeknek megfelelő határesetben a részecske relativisztikus gravitációs mozgás egyenlete átmegy a megfelelő nemrelativisztikus egyenletbe. Itt azt is figyelembe kell vennünk, hogy a sebességek kicsi voltának feltételezéséből egyúttal az is következik, hogy magának a gravitációs erőtérnek gyengének kell lennie; ellenkező esetben a benne mozgást végző részecske nagy sebességre tenne szert.

Vizsgáljuk meg ebben a határesetben a kapcsolatot a gik metrikus tenzor és a gravitációs tér cp potenciálja között.

A részecske gravitációs mozgását a nemrelativisztikus mechanikában a (81,1) Lagrange-függvény határozza meg. írjuk ezt most

YYl VpL = —mc2j\— ------mcp (87,10)

alakba, hozzáadva egy — mc2 állandót.20 Egy ilyen tagot azért kell L-hez hozzáadnunk, hogy az erőmentes szabad Lagrange-függvény alakja éppen L = —mc2 + m v2j2 legyen, amelybe a megfelelő relativisztikus L = — mc2\ l — v2jc2 függvény a vjc -> 0 határesetben átmegy.

A részecske nemrelativisztikus hatásfüggvénye gravitációs térben tehát

S = { L J , = - m c U c - £ + Z } d l

alakú. Ezt összehasonlítva az S = — mc J ds kifejezéssel, látjuk, hogy az adott határesetben

Négyzetre emelve és a c oo határesetben zérushoz tartó tagokat elhagyva,

ds2 - (c2 + 2cp) dl2 —dr2, (87,11)

ahol figyelembe vettük, hogy \ d t = dr.Az adott határesetben tehát a metrikus tenzor goo komponense:

goo = i + ^ . (87,12)

20 A <p potenciál természetesen csak egy tetszőleges additív állandó erejéig határozott. Ennek értékét illetően hallgatólagosan mindenütt azzal a természetes választással élünk, amely szerint a testek által létrehozott erőtér a testektől nagy távolságban nullához tart.


Ami a többi komponenst illeti, (87,ll)-bőJ az következne, hogy ga = őaj8 és g0a = 0. Valójában azonban ezekhez a komponensekhez általában ugyanolyan nagyságrendű járulékok adódnak, mint a goo-ban szereplő korrekció (erről részletesebben lesz szó a 106. §-ban). Ezeket azért nem lehetett a fenti módszerrel meghatározni, mert a g ap-ban egy, a g00-ban szereplő korrekcióval megegyező nagyságrendű járulék a Lagrange-függvényben magasabb rendben kis tagokat eredményezne (mivel a ds2 kifejezésében a gaj8 komponensek, a g00 komponenssel ellentétben, nincsenek c2-tel megszorozva).

Feladat

Vezessük le a (87,3) egyenletet a (87,1) legkisebb hatás elvéből kiindulva!

Megoldás, ds2 variációja a következő:

$ c/y2 = 2 (V/y = ő(^7, dx1 dxk) = dx1 dxk -y y - W + dxi dbxk.

Ezért

1 d x 1 d x h d g i k c 7 d x 1 d ö x kóS = — mc [ f í d x 1 d x k d g ik c 7 d x i d ö x k \ .

J Í T ~dT - a ? - óx ~dT -Js 7 * =

f í 1 d x 1 d x k d g ik w d l d x 1 \ s \

J 1 T "rfT -rfT w - W (f t ‘ ÜT) öx í ds'(A parciális integrálásnál figyelembe vettük, hogy a határokon óx* = 0.) Az integrandus második tagjában cseréljük fel a k és / indexeket. Ekkor a tetszőleges variáció együtthatóit zérussá téve, azt kapjuk, hogy

1 t. k dgik d 1 k dg^ dié dgü— u'ak - - - (guir) = — uUt ^ ~ g u —-----u'uk - — = 0.2 dx' ds 2 6*' c/s 0 ^

Figyelembe véve, hogy a harmadik tag

alakban írható, és bevezetve (86,2) szerint a F]d ChristoíTel-szimbólumokat.

dul n s i gil d s r hi*li U = 0

adódik. A (87,3) ebből az / index felhúzásával kapható meg.

21 Elméleti fizika II. - 42221/11.


88. §. Állandó gravitációs erőtér

Állandónak mondjuk a gravitációs teret, ha van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a metrikus tenzor összes komponense független az x° időkoordinátától; ekkor x°-t világidőnek nevezzük.

A világidő választása nem egészen egyértelmű. Ha ugyanis x°-hoz hozzáadjuk a térkoordináták valamilyen függvényét, az összes gik továbbra is független lesz x°-tól; ez a transzformáció annak felel meg, hogy az időmérés kezdőpontját a tér minden pontjában önkényesen választhatjuk meg.21 Természetesen szabad a világidőt egy állandóval megszorozni, azaz a világidő mértékegysége tetszőleges.

Szigorúan véve csak egyetlen test által létrehozott erőtér lehet állandó. Több test rendszerében a kölcsönös gravitációs vonzás mozgást eredményez, ennek következtében a testek által keltett erőtér is változik.

Ha az erőteret létrehozó test mozdulatlan (abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben gik független x°-tól), akkor a két időirány egyenértékű. Az időmérés kezdőpontját a tér minden pontjában megfelelően választva, a ds intervallum ebben az esetben független lesz x° előjelétől, ezért a metrikus tenzor összes g0a komponense azonosan zérus. Az ilyen állandó gravitációs teret sztatikus gravitációs térnek nevezzük.

Az erőtér állandóságának az őt létrehozó test mozdulatlansága nem szükséges feltétele. Állandó például egy saját tengelye körül egyenletesen forgó tengelyszimmetrikus test által keltett erőtér is. Ebben az esetben azonban a két időirány már egyáltalán nem egyenértékű — az idő előjelének megváltoztatásával megváltozik a forgás szög- sebességének előjele is. Ezért ilyen gravitációs térben (amelyeket állandó vagy stacionárius gravitációs térnek nevezünk) a metrikus tenzor g0a komponensei általában nem tűnnek el.

Állandó gravitációs térben a világidőnek az ad értelmet, hogy a tér egy pontjában végbemenő két esemény között eltelt időtartam megegyezik a tér bármely másik pontjában végbemenő, az előbbi eseménypárral (a 84. §-ban tisztázott értelemben)

21 Könnyű belátni, hogy egy ilyen transzformáció esetén a háromdimenziós tér metrikája állandó marad. Valóban az

x° xP+ftx1, x 2, x 3)

helyettesítéskor [ f ix 1, x2, x3) egy tetszőleges függvény] gik komponenseit az alábbiakkal kell helyettesítenünk:

8a.fi góc fi + £00 /, a/, fi + g o o if , fi + g o f i f , a>

goo: $ 0 a + g o o / , a> g o o goo>

aho l/t a = df/dx*. Ilyen helyettesítés esetén a (84,7) háromdimenziós tenzor változatlan marad.

88. §. ÁLLANDÓ GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR 323

egyidejű bármely másik két esemény között eltelt időtartammal. Ugyanakkor az x° világidő különböző térpontokban mért azonos időtartamainak a r sajátidő különböző időtartam ai felelnek meg. Az x° és t közötti (84,1) összefüggést a jelen esetben

T = - Y g o o x ° (88,1)

alakba írhatjuk bármely véges időtartam esetén is.Gyenge gravitációs térben a (87,12) közelítő képletet használhatjuk; ebben az

esetben (88,1) ugyanilyen pontossággal a

(88,2)

összefüggésbe megy át. A sajátidő tehát annál lassabban telik, minél kisebb a tér szóban forgó pontjában a gravitációs potenciál, azaz minél nagyobb a gravitációs potenciál abszolút értéke. (A 99. §-ban megmutatjuk, hogy cp mindig negatív.) Ha két azonosan járó óra közül az egyiket bizonyos időre gravitációs térbe helyezzük, az a továbbiakban késni fog a másikhoz képest.

M ár említettük, hogy sztatikus gravitációs térben a metrikus tenzor g0a komponensei nullával egyenlők. A 84. § eredményei szerint ez azt jelenti, hogy ilyenkor az órákat az egész térben szinkronizálhatjuk.

Azt is megemlítjük, hogy a térbeli távolságelemet sztatikus térben egyszerűen az alábbi összefüggés adja meg:

dl2 = — dx* dx$. (88,3)

Stacionárius térben g0(X nem zérus, így az órák nem szinkronizálhatok a teljes térben. Minthogy a gik-k függetlenek x°-tól, a tér különböző pontjaiban végbemenő két egyidejű esemény közt eltelt (84,14) világidőtartamot az alábbi alakba írhatjuk:

A * W 4 )J

E képlet alkalmazható bármely két pontra, amely rajta van az órák szinkronizálásának vonalán. Zárt kontúr mentén szinkronizálva az órákat, a kiindulási pontba való visszatérés esetén észlelt világidő-különbség

gn* dx" , (88,5)J goo

ahol a szóban forgó zárt kontúr mentén kell integrálnunk.22

22 A (88,5) integrál azonosan zérus, ha a^a0 dx*lg00 összeg a térkoordináták valamilyen függvényének teljes differenciáljával egyenlő. De ez egyúttal azt is jelentené, hogy sztatikus térrel van dolgunk, mert ebben az esetben egy x° -► *°-f/U a) alakú transzformációval az összes ga0 zérussá tehető.21*

Vizsgáljuk meg fénysugár terjedését állandó gravitációs térben. Az 53. §-ban azt láttuk, hogy a fény frekvenciája a tp eikonál időderiváltja (negatív előjellel). Az x°/c világidőben mért frekvencia ezért co0 = —cdy)/dx°. Mivel a (87,9) eikonál-egyenlet állandó gravitációs térben x°-t expliciten nem tartalmazza, az co0 frekvencia a fénysugár terjedése közben állandó marad. A sajátidőben mért co = — dxp/dr frekvencia ugyanakkor a tér különböző pontjaiban különböző.

Adip dip dx° dy) c dr dx° dr dx° ]/goo

összefüggés miatt

co — . (8 8 ,6 )Vgoo

Ebből gyenge gravitációs tér esetén közelítőleg az

(88,7)

összefüggést kapjuk. Látjuk, hogy a fény frekvenciája a gravitációs potenciál abszolút értékének növekedésével, tehát az erőteret létrehozó testekhez közeledve, növekszik; és megfordítva, az erőteret létrehozó testektől távolodó fénysugár frekvenciája csökken. Ha a fénysugár kibocsátásának helyén a gravitációs potenciál értéke 991, és ugyanitt a fénysugár frekvenciája co, akkor egy olyan pontba érve, ahol a gravitációs potenciál cp2, a frekvencia (ennek a pontnak a sajátidejében mérve)

T T T Í ' - f H 1 ) 'c2

A Napon levő atom ok által kibocsátott vonalas színkép a Napon ugyanúgy néz ki, mint az ugyanolyan földi atomok által kibocsátott színkép a Földön megfigyelve. Ha azonban a Napon levő atomok által kibocsátott spektrumot a Földön figyeljük meg, akkor a fentiekből az következik, hogy színképvonalai eltolódnak a Földön kibocsátott fény ugyanazon színképvonalaihoz képest. Egy co frekvenciájú vonal eltolódása

A o = y i ~ ? 2 a), (88.8)(r

ahol (p± és cp2 a gravitációs potenciál értékei a kibocsátás, illetve a spektrum megfigyelésének helyén. Ha a Napon vagy a csillagokban kibocsátott spektrumot a Földön figyeljük meg, akkor \ cpi\ > 19^21, és (8 8 ,8 )-ból az következik, hogy Aco < 0 , tehát az


eltolódás a kisebb frekvenciák felé történik. A most leírt jelenséget gravitációs vöröseltolódásnak nevezzük.

E jelenség eredetét a világidővel kapcsolatban m ondottakból kiindulva, közvetlenül is megvilágíthatjuk. Az erőtér állandósága miatt az a világidőtartam, amely ahhoz kell* hogy a fényhullám egy bizonyos rezgése a tér egy adott pontjából a tér egy másik pontjába érjen, független x°-tól. Ezért az egységnyi világidő alatt végbement rezgések száma a sugár mentén minden pontban ugyanaz. De egy és ugyanaz a világidőtartam annál nagyobb sajátidőtartamnak felel meg, minél távolabb vagyunk az erőteret létrehozó testektől. Következésképpen a testektől távolodó fénysugár egységnyi sajátidő alatt végbement rezgéseinek száma csökken.

Állandó gravitációs erőtérben a mozgó részecske energiája, amit a hatásnak a világidő szerinti — cd S /d x0 deriváltjaként definiáltunk, megmarad. Ez például abból következik, hogy a Hamilton-—Jacobi-egyenletben x° expeliciten nem szerepel. Az így definiált energia a p k = mcuk = mcgkiul kovariáns négyesimpulzus időszerű komponense. Sztatikus térben ds2 = goo(dx°)2—dl2, így az £ 0 energiára azt kapjuk, hogy

Vezessük be a részecske sajátidőben, tehát az adott helyen levő megfigyelő által mért

Ez a mennyiség marad állandó a részecske mozgása során.Könnyű megmutatni, hogy a (88,9) kifejezés stacionárius terekben is érvényes, ha

a v sebességet a részecske pályája mentén szinkronizált órák által meghatározott sajátidőben mérjük. Ha a részecske az x ° világidő-pillanatban indul az A pontból, és az x ° - \ - d x ° pillanatban érkezik az infinitezimálisan közeli B pontba, akkor a sebesség definíciójában most nem az (x0+ d x 0)— x ° = d x ° időtartam ot kell vennünk, hanem az

= m c 2g oo d x °

sebességét:dl cd lv = — ■d r Y goo d x °

Ekkor az energia

(88,9)

x ° - \ - d x ° és az x°— ^ d x * időadat különbségét, ahol az utóbbi a B pontban egyidejű£oo

az A pontbeli x ° időpillanattal:

Ezt még Ygoojc-vel megszorozva, a megfelelő sajátidőtartamot kapjuk, ezért a sebesség:

c d x a(88,10)

fh(dx° -g .x dxx) ’

ahol a (84. §-ban már említett) g háromdimenziós vektorra és a goo háromdimenziós skalárra a

= - ^ , / i = g o o (88,11)goo

jelölést vezettük be. A ya/3-val adott metrikájú háromdimenziós térben a v hárm assebesség kovariáns komponenseit és e hármasvektor négyzetét a következőképpen adhatjuk meg:23

Vx = Vs- = v.xv«. (88,12)

Megjegyezzük, hogy a ds ívelemet a sebességgel a fenti definíciók szerint kifejezve, a szokásoshoz hasonló képlethez jutunk:

ds2 = goo(dx°f+ 2goz dxu dxy + gxf} dxx dx? —

= h(dx° —g*dx*)2 —dl2 = h (d x ° -g adx« f (l-JV (88,13)

Az ul = dxljds négyessebesség komponensei:

v*u * = ---- ^ ----- , M «=------- i = + — 8f X.— . (88,14)

Ekkor az energia:

<5o = mc^goiU1 = mc2h(u° — gawa),

ami (88,14) behelyettesítése után (88,9) alakú lesz.

23 A továbbiakban a négyesvektorok és négyestenorok mellett többször használunk olyan hármasvektorokat és hármastenzorokat is, amelyeket a ya/g-val adott metrikájú háromdimenziós térben definiálunk; ilyenek például a már bevezetett g és v vektorok. A négyes tenzorok esetén a tenzor- operációkat (így az indexek fel- és lehúzását) a gik metrikus tenzor segítségével végezzük, a hármas- tenzorok esetén viszont ugyanezt a y^-vsil hajtjuk végre. Hogy elkerüljük az ebből adódható félreértéseket, a háromdimenziós mennyiségek esetén a négydimenziós mennyiségek jelölésére használtaktól eltérő jeleket alkalmazunk.

2 cpGyenge gravitációs erőtér és kis sebességek határesetében (88,9)-be goo = 1 + -z- -t

c~helyettesítve, közelítőleg érvényes lesz az

0 0 rriuOo = mcl + —2-+m<p (88,15)

képlet, ahol m<p a részecske potenciális energiája a gravitációs térben, egyezésben a (87,10) Lagrange-függvénnyel.

Feladatok

1. Határozzuk meg az állandó gravitációs térben levő részecskére ható erőt.

Ezekben a kifejezésekben a g háromdimenziós vektoron és a h háromdimenziós skaláron az összes tenzorműveletet (kovariáns differenciálások, indexek le- és felhúzása) a y ^ által meghatározott metrikájú háromdimenziós térben kell végrehajtani; Xpy a háromdimenziós Christoffel-szim- bólum, amit a y^p tenzor komponenseiből ugyanúgy kell megalkotni, ahogy a r ikl-t gik komponenseiből; a számításokban a (84,9)—(84,12) képleteket használtuk.

(l)-et a mozgásegyenletbe helyettesítve:

A négyessebesség komponenseire a (88,14) képleteket használva, egyszerű átalakítások után azt kapjuk, hogy

Megoldás, jFkl számunkra szükséges komponenseire az alábbi összefüggéseket kapjuk:

(1)

cl Va í h i g - p - g W ( 2)

A részecskére ható f erő a p impulzusnak a részecske (szinkronizált) sajátideje szerint képzett deriváltja, amelyet háromdimenziós kovariáns differenciálás segítségével határozhatunk meg:


(2)-ből ezért azt kapjuk (a kényelem kedvéért lehúzva az a indexet), hogy

_ tncJ a —

cr

vagy a közönséges háromdimenziós vektorjelölést használva :24

f = —- ”l-. .... - { - grad In j h + j h — X rőt g l . (3)

24 Háromdimenziós görbevonalú koordinátákban az antiszimmetrikus egységtenzort az alábbiak szerint definiáljuk:

Vxfiy = fyetffy, TfPv = _ L Yy

ahol e123 = e123 = 1, az indexek felcserélésekor pedig előjelet vált [lásd a (83,13) és (83,14) összefüggéseket]. Ennek megfelelően a cpy = apby— aybp antiszimmetrikus tenzorhoz duális vektorként rendelt c = a x b vektor komponensei:

1 — - 1 1c « = — iye^yC^y = iye^yü^bv, c* — — tPPvcfo = — e^apb7.

2 2 \ y YyMegfordítva:

Coc/3 = YyeaPyCy, = -j=-e*PYcy.yy

Speciálisan rőt a ugyanilyen értelemben az

_ dap 0fla0Xa

tenzorhoz duális vektor, e vektor kontravariáns komponensei:

(rőt a)a = — e*Pv í ~ ^ - — .2 Íy \ dxP dxy /

Emlékeztetünk továbbá arra, hogy egy vektor háromdimenziós divergenciája:

div a = —L---- — dya*)\ y dxa

[lásd (86,9)-et].Hangsúlyozzuk, hogy a vektorműveletekre vonatkozóan ortogonális görbevonalú koordináta-

rendszerekben felírt képletek (lásd például a „Folytonos közeg elektrodinamikája” című Vili. kötet Függelékét) közvetlenül nem hasonlíthatók össze a fentiekkel, hiszen most egy vektor komponensein a

Y gT M = \’a \~a '),mennyiségeket értjük.


Megjegyezzük, hogy ha a test mozdulatlan, akkor a rá ható erő potenciálból származtatható [az első tag (3)-ban]. Kis sebességeknél (3) második tagja mc y /ivXrőt g alakú, ami emlékeztet az

co = y ^ / i r o tg .

szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben (erőtérmentes esetben) fellépő Coriolis-erőre.2. Vezessük le az állandó gravitációs térben terjedő fénysugárra vonatkozó Fermat-elvet.

Megoldás. A Fermat-elv szerint (lásd az 53. §-t)

ő j ka dxa = 0,

ahol a fénysugár mentén kell integrálni, az integrandust pedig ki kell fejezni a sugár mentén állandó oj0 frekvenciával és a koordináták differenciáljaival. Észrevéve, hogy k0 = — dy>ldx() = w0/c, írhatjuk, hogy

~ = kft = goik1 = go^'+gmk* - h(k0- g ak«).

Ezt a kfk1 = g:kk 'kk összefüggésbe tesszük, amit a h(ku— gctkCÍ)- — y(xpk'xk^ — 0 alakban írunk, fgy az adódik, hogy

i = °-Figyelembe véve még, hogy a /ca vektor dx*-val azonos irányú, írhatjuk, hogy

= - 0 - ^ 1 c íh dl

ahol dl (84,6) a sugár mentén vett térbeli távolságelem. ka végleges alakjának meghatározásához felhasználjuk még, hogy

k* = sf'k, = g^kv + g^kp = -g « -^ - -y * P k p ,

amiből

Végül dx*-val szorozva, a Fermat-elvet (az állandó szorzó elhagyásával) a

alakban kapjuk meg.Sztatikus térben egyszerűen:

sl fi - °-kelhívjuk a figyelmet arra, hogy gravitációs térben a fénysugár nem a legrövidebb úton terjed a Foordinátatérben, ezt ugyanis a ő J dl = 0 egyenlet határozná meg.

89. §. Forgás

Az egyenletesen forgó vonatkoztatási rendszerre való áttéréskor keletkező „erőtér” a stacionárius gravitációs erőterek egy speciális esete.

A ds ívelem meghatározása céljából hajtsunk végre nyugvó (inerciális) rendszerből egy egyenletesen forgó rendszerbe átvivő transzformációt. Nyugvó rendszerben r \ q z', t koordinátákkal (térbeli hengerkoordinátákat használunk) felírt ívelemnégy- zet alakja:

Forgó rendszerben legyenek a hengerkoordináták r, 99, z. Ha a forgástengely a z és z tengelyekkel esik egybe, akkor r' = r, z' = z, 99' = 9 9 - f c o í, ahol co a forgás szög- sebessége. Ezt (89,1)-be helyettesítve, megkapjuk az ívelemnégyzet keresett alakját forgó vonatkoztatási rendszerben:

Meg kell jegyeznünk, hogy forgó vonatkoztatási rendszer csak c/co-nál kisebb távolságok esetén használható. Valóban, (89,2) szerint r > cjco esetén goo negatívvá válik, ami nem megengedett. A forgó vonatkoztatási rendszerek nagy távolságokban való alkalmazhatatlansága azzal kapcsolatos, hogy a forgás sebessége a fénysebességnél nagyobbá válna, ezért egy ilyen rendszert lehetetlen valóságos testekkel létrehozni.

Mint stacionárius terekben általában, forgó testen sem lehet az órákat egyértelműen szinkronizálni a test minden pontján. Egy zárt görbe mentén végezve el a szinkronizálást, azt kapjuk, hogy a kiindulási pontba visszatérve, az idő kiindulási értékétől

mennyiséggel különbözik; feltételezve, hogy cor/c <$c 1 (azaz a forgatás sebessége kicsi a fénysebességhez képest),

ds2 = c2 dt2 —dr'2 —r'2 dq)'2 —dz'2. (89,1)

ds2 = (c2 —o)2r2) dt2 — 2cor2 dcp dt — dz2 —r2 dq)2 — dr2. (89,2)

[lásd (88,5)-öt]

(89,3)

ahol S a kontúr területének a forgástengelyt merőlegesen metsző síkra vett vetülete. (Az előjel + vagy — aszerint, hogy a kontúrt a forgással egyező vagy ellentétes irányban jártuk be.)

90. §. AZ ELEKTRODINAMIKA EGYENLETEI GRAVITÁCIÓS TÉRBEN 331

Tételezzük fel, hogy a fénysugár valamely zárt görbe mentén terjed. Számítsuk ki a v/c rendű tagokig bezárólag a fénysugárnak a kiindulási pontba való visszatéréséig eltelt t időt. A fény sebessége a definíció szerint c, ha az időt zárt görbe mentén szinkronizáljuk, és minden pontban a sajátidőt használjuk. Minthogy a sajátidő és a világidő eltérése v2jc2 nagyságrendű, a vjc rendű tagokig vett pontosság esetén, a keresett t időintervallum kiszámításakor ezt a különbséget elhanyagolhatjuk. Ezért azt kapjuk, hogy

L 2(0 ^t = — ± —7> S,c cz

ahol L a görbe hossza. Ha tehát a fénysebességet az L jt hányadossal mérjük, az adódik, hogy értéke

c +2a> y . (89,4)Ju

Ezt az összefüggést tisztán klasszikus úton is levezethetjük, akárcsak a Dopplereltolódás első közelítésben kapott képletét.

Feladat

Határozzuk meg a térbeli távolságelemet forgó koordináta-rendszerben.

Megoldás. A (84,6) és (84,7) összefüggések segítségével azonnal írhatjuk, hogy

dP = dr2 + dz2 + - -/'2rfy2 2 ,1 -O J 2 ~c1

ami meghatározza a tér geometriáját forgó vonatkoztatási rendszerben. Megjegyezzük, hogy a z = const síkban fekvő kör kerületének és sugarának aránya (ha a kör középpontja a forgástengelyen van):

90. §. Az elektrodinamika egyenletei gravitációs térben

Az elektromágneses tér speciális relativitáselméletben megismert egyenletei könnyen általánosíthatók oly módon, hogy azok bármely görbevonalú koordináta- rendszerben, tehát gravitációs térben is, érvényesek legyenek.

Az elektromágneses tértenzort a speciális relativitáselméletben FÍJe —^ lk dxk dx1

által definiáltuk. Nyilvánvaló, hogy most az Fik = A i. k—A k. i definíciót kell elfogadnunk. (86,12) szerint azonban

- A k;t A i;k - d x . dxk , (90,1)

így tehát Fjk-nak az A t potenciállal való kapcsolata nem változik meg. Ennek következtében a Maxwell-egyenletek első (26,5) párja szintén változatlan marad :25

e j ^ dFu dFudx1 + 8xk + dx' 1

A második két Maxwell-egyenlet átírásához először meg kell határoznunk az áram négyesvektorát görbevonalú koordináta-rendszerben. A 28. §-ban mondottakhoz hasonlóan fogunk eljárni. A dx1, dx2, dx3 térbeli koordinátaelemekkel adott térbeli térfogatelem Y y dV , ahol y a háromdimenziós tér (84,7) metrikus tenzorának determinánsa, és dV = dx1 dx2 dx3 (lásd a 83. § 7 számú lábjegyzetét). Vezessük be a q töltéssűrűséget a de = o Y y dV definícióval, ahol de a i y dV térfogatelemben levő töltése mennyiséggel egyenlő. Ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát dxl-ve 1 megszorozva, azt kapjuk, hogy

d e d x 1 = q d x 1 Y y d x 1 d x 2 d x z = -JL= Y —g d üY goo d x °

[felhasználtuk a — g = y g Q0 (84,10) egyenlőséget]. A Y — g d ü szorzat az invariáns négyes-térfogatelem, az áram négyesvektora tehát

r = « 3>Y goo d x °(A koordináták x ° ,,idő” szerinti változásának sebességét mérő d x ' / d x 0 mennyiség maga nem négyesvektor!) Az áram négyesvektorának j ° komponensét Ygoojc-vél szorozva, a térbeli töltéssűrűséget kapjuk.

Pontszerű töltésekre a q sűrűséget a (28,1) képlethez hasonlóan ő-függvények összegeként adhatjuk meg. A ő-függvény definícióját úgy kell kiterjesztenünk, hogy görbevonalú koordináta-rendszerben is érvényes maradjon. Mint eddig is, ő(r)-en

25 Könn>ű megmutatni, hogy ez az egyenlet

Fik;i + FH.k+ F kl.; = 0

alakba is írható, amiből kovarianciája nyilvánvaló.


a őía'1) ő(x2) ő(x3) szorzatot értjük, függetlenül az x1, a 2, a 3 koordináták geometriai jelentésétől. Ennek dV (és nem pedig Y ydV ) szerint képzett integrálja egyenlő 1-gyel: J ő(r)d V = 1. A ő-függvény definíciójával a töltéssűrűség:

Q = Y t~ b { r - r a),a y y

az áram négyesvektora pedig

./' = X e“C- b ( r - t a) df - . (90,4)a Y - g dx°

A töltésmegmaradást a kontinuitási egyenlet fejezi ki, amely (29,4)-től csupán abban különbözik, hogy a közönséges deriváltak helyett kovariáns deriváltat írunk:

/ = t L d ~ g j ') = 0 (90,5)y - g dx'

[felhasználtuk a (86,9) összefüggést].Hasonlóan általánosíthatjuk a (30,2) alatt megismert második Maxwell-egyenletpárt

is. Bennük a közönséges deriváltakat kovariáns deriváltakkal helyettesítve, azt kapjuk, hogy

Fik;k = ' — - ^gF'K) = - - - ./'• (90,6)]/ - g 8xk c

[felhasználtuk a (86,10) képletet].Végül töltött részecske mozgásegyenletét gravitációs és elektromágneses erőtérben

úgy kapjuk, hogy (23,4)-ben a dullds négyesgyorsuláts Du'jds-sel helyettesítjük:

mc = m c l ^ j + r ^ i ^ u 1 = ~ F ikuk. (90,7)

90. §. AZ ELEKTRODINAMIKA EGYENLETEI GRAVITÁCIÓS TÉRBEN 333

Feladat

írjuk fel az adott gravitációs térben érvényes Maxwell-egyenleteket hármas alakban (a al adott metrikájú háromdimenziós térben), az E, D hármasvektorok és a Ba)3, antiszimmetrikus hármastenzorok alábbi definíciójának felhasználásával:

E<x — Fq Ba.fi — FD « = - F0*, H*t> = ]ÍJ^F ^. (1)

Megoldás. Az adott módon bevezetett mennyiségek nem függetlenek. Az

Fi,, = F«P = grtgf^F,,


egyenlőségek részletes kiírásához bevezetjük a yap = — gap+hgagp háromdimenziós metrikus tenzort [£-t és h-1 (88,ll)-gyel definiáltuk]. A (84,9) és (84,12) képletek felhasználásával azt kapjuk, hogy

F F f aPDa = -7^ + B& = — +gf>E*-g*EP. (2)

y h \ h

Definiáljuk a B^p és H ^ tenzorokkal duális B és H vektorokat

& --------- ^ = - — ifyeafrHfiv (3)2)V 2

szerint (vesd ezt össze a 88. § 24. lábjegyzetével; a mínusz előjelet azért vezettük be, hogy Galilei- koordinátákban a H és B vektorok megegyezzenek a mágneses tér szokásos térerősségvektoraival). Ekkor (2)-t az alábbi alakban írhatjuk:

D = ^ + H x g , B = - 5 - + gxE. (4)fh ih

A (90,2) egyenleteket az (1) definíciók segítségével átírva:

dB^p f dByx dB py _ d B ap d E a dEp _

' dxP dx7' ’ 0x° 0x^ dx*

vagy a (3) duális mennyiségekre áttérve:

div B = 0, r o t E = ----- — O'yB). (5)c y y dt

(Itt x° = ct. A rőt és div operációk definícióit a 88. § 24 számú lábjegyzetében adtuk meg.) Hasonlóan (90,6)-ból a következő egyenleteket kapjuk:

-4=- — (íyD«) = 4.TO,}'y 8x*

-J=r — (íyH *P )+ -^r- — = - 4 ^ ~ ,f y dx& i y dx° dx

vagy háromdimenziós vektorjelöléssel:

div D = 4tiq, rot H = —\=- — (tfyD) + - s, (6)cj/y 0/ c

ahol az s vektor komponensei: sa = o dx^Jdt.A teljesség kedvéért a (90,5) kontinuitási egyenletet is felírjuk háromdimenziós alakban:

—L- (Y ^ -^ d iv s = 0. (7)I y dt

Érdemes megfigyelni az (5), (6) egyenletek és a folytonos közegben érvényes Maxwell-egyenletek (persze tisztán formális) hasonlóságát. Speciálisan, sztatikus gravitációs tér esetén azokban a tagokban, amelyekben időderiválás szerepel, }fy kiesik, a (4) összefüggés pedig egyszerűen D = e /} ' h-m és B = H/]//z-ra vezet. Ezt az eredményt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a sztatikus gravitációs tér az elektromágneses térre kifejtett hatás szempontjából egy e = 1 /j//z elektromos permittivitású és fi = 1/^/1 mágneses permeabilitású közeggel helyettesíthető.

XI. F E J E Z E T

A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR EGYENLETEI

91. §. A görbületi tenzor

Térjünk vissza ismét egy vektor párhuzamos eltolásának fogalmához. Amint a 85. §-ban megmutattuk, tetszőlegesen görbült négydimenziós térben egy vektor önmagával párhuzamos, infinitezimálisan kicsiny eltolását úgy definiálhatjuk, mint egy olyan eltolást, amelynél a vektor komponensei változatlanok maradnak abban a koordináta-rendszerben, amely az adott infinitezimálisan kis térfogatban Galilei-féle koordináta-rendszer.

Ha egy görbe paraméteres egyenlete x l = (s valamilyen ponttól számított ívhossz), akkor az ul — dx'jds vektor a görbe érintő egységvektora. Ha a vizsgált görbe geodetikus, akkor e vonal mentén Dul = 0. Ez azt jelenti, hogy ha az ul vektort párhuzamosan eltoljuk egy geodetikus vonalon levő x l pontból egy ugyanazon vonalon levő x lJrd x l pontba, akkor az eltolt vektor az ul + dul vektorral egyezik meg, mely a szóban forgó pályának x l+ d x l pontjában vett érintője. Tehát egy geodetikus vonal mentén végezve eltolást, az érintő önmagával párhuzamosan mozdul el.

Másrészt két vektor párhuzamos eltolásakor az általuk bezárt „szög” nyilvánvalóan változatlan marad. Ezért azt mondhatjuk, hogy egy tetszőleges vektornak geodetikus vonal mentén való párhuzamos eltolásakor az adott vektor és a vonal érintővektora által alkotott szög is változatlan marad. Más szóval, egy vektor párhuzamos eltolása során annak a geodetikus vonalakra vett vetületei az út minden pontjában ugyanazok.

Rendkívül lényeges, hogy görbült térben egy vektor adott pontból egy másik adott pontba való eltolásának eredménye függ attól, hogy milyen út mentén végeztük az áthelyezést. Ebből például az is következik, hogy egy zárt görbe mentén önmagával párhuzamosan eltolt vektor a kiindulási pontba visszaérkezve, nem egyezik meg önmagával.

A jobb megértés céljából tekintsünk egy kétdimenziós görbült teret, azaz valamilyen görbült felületet. A 19. ábrán három geodetikus vonal által határolt felületdarabot ábrázoltunk. Toljuk el az 1 vektort önmagával párhuzamosan a geodetikus vonalak által alkotott kontúr mentén. Az 1 vektornak az AB mentén való eltolásakor e vonal-

336 XI. A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR EGYENLETEI

1

19. ábra

lal bezárt szöge állandó, így átmegy a 2 vektorba. A BC mentén való eltoláskor hasonlóképpen a 3 vektorba megy át. Végül, C-ből a CA görbe menti elmozgatással, miközben a CA görbével bezárt szöge megmarad, a vizsgált vektor egy olyan 1' vektorba jut, amely nem egyezik meg az 1 vektorral.

Vezessük le egy vektor infinitezimálisan kis zárt görbe mentén végzett párhuzamos eltolásakor bekövetkező megváltozásának általános kifejezését. Ez a AAk megváltozás őAk alakban írható, ahol az adott görbe mentén kell integrálnunk. öAk-1(85,5)-ből véve, azt kapjuk, hogy

ÁAk — j) r ikiAi dx1; (91,1)

az integrál alatt álló A t vektor a görbe mentén való eltolásának megfelelően változik.Ennek az integrálnak további átalakítása előtt a következő megjegyzést tesszük:

az A; vektornak a görbén belül felvett értékei nem egyértelműek, mert A i értéke függ attól az úttól, amelynek mentén az adott pontba eljutunk. A levezetendő eredményekből látni fogjuk, hogy ez a határozatlanság másodrendűén kicsiny. Ezért a transzformáció szempontjából elegendő pontossággal az elsőrendű mennyiségekig úgy tekinthetjük, hogy az A { vektort egy infinitezimálisan kis zárt kontúr belsejében egyértelműen meghatározzák a vektor komponenseinek a kontúron felvett értékei, mégpedig a őAl = r%An dx1 képlet, azaz a

dAi~dxl

(91,2)

derivált segítségével.A (91,1) integrálra a (6,19) Stokes-tételt alkalmazva, és figyelembe véve, hogy

a vizsgált görbe által körülzárt A f lm terület infinitezimálisan kicsiny, azt kapjuk, hogy

A AkJ_2

\2

diFkmAj)d x 1

dCPkiA,)dx"

d x 1A; _kI

dxm

A f lm -

d A tA i+ r ‘k'n~dx>

dAinikl dx>

im

Behelyettesítve ide (91,2)-ből a deriváltak értékeit, végül az adódik, hogy

AAk = j R Í llmAiA f ‘", (91,3)

ahol Rlklm egy negyedrendű tenzor:

fipi flpiRkn = - - ^ + n , n m - n mn , . (9 1 ,4)

R lklm tenzorjellege abból látható, hogy (91,3) bal oldalán egy vektor áll, nevezetesen ugyanazon pontban vett vektorok AAk különbsége. Az R lklm tenzort görbületi tenzornak vagy Riemann-tenzornak nevezzük.

Könnyű levezetni a kontravariáns vektorra vonatkozó analóg képletet. E célból vegyük figyelembe, hogy párhuzamos eltolódás esetén a skalárok nem változnak, A(AkBhc) = 0, ahol Bk tetszőleges kovariáns vektor. (91,3) segítségével ebből

A(AkBk) = Ak ABk+ B k A A k = 1 AkBiR iklmA flm+ B k AAk =

= Bk(A A k+ l- A ‘Rklm /l/"« j = 0

adódik. Figyelembe véve, hogy a Bk vektor teljesen tetszőleges, azt kapjuk, hogy

A A k = - ~ R kinA‘A f1"'. (91,5)

Ha az A t vektort az x k és x l szerint kétszer kovariáns vektorként deriváljuk, akkor a közönséges deriváltakra érvényes szabállyal ellentétben a végeredmény általában függ a deriválás sorrendjétől. Arra a következtetésre jutunk, hogy az A i;l.kkülönbséget éppen a fenn bevezetett görbületi tenzor határozza meg:

k ~ An^ikh (91,6)

amit lokálisan geodetikus koordináta-rendszerben végzett közvetlen számítással egyszerűen ellenőrizhetünk. Hasonlóan a kontravariáns vektorra :x

A !;k;l-A ! ;l; k = - A mR imkh (91,7)

Végül könnyű ugyanilyen képleteket levezetni a tenzorok második deriváltjaira is. [Ezt legegyszerűbb úgy csinálni, hogy például az A tBk tenzort vizsgáljuk (91,6) és

1 A (91,7) képlet (91,6)-ból közvetlenül is megkapható az i index felhúzásával és az Riklm tenzor szimmetriatulajdonságainak felhasználásával (92. §).22 Elm életi fizika II. - 42221/11.

91. §. A GÖRBÜLETI TENZOR 337


(91,7) felhasználásával; az így kapott összefüggések lineárisak, így bármilyen A ik tenzorra érvényesek lesznek.]

■Aik\l\m ^ik;m;l in^klm~^~ ^nk^ilm* (91,8)

Euklideszi térben a görbületi tenzor zérus, mert ebben az esetben mindig választhatunk olyan koordinátákat, amelyekben az összes r ikl mindenhol zérus, ezért R lkim = 0. R lklm tenzorjellege miatt azonban ekkor ezek a mennyiségek bármilyen más koordináta-rendszerben is eltűnnek. Ez annak felel meg, hogy euklideszi térben egy vektornak adott pontból egy másikba való párhuzamos eltolása egyértelmű művelet, zárt görbén körbejárva a vektor nem változik meg.

A tétel megfordítása is érvényes: ha R klm — 0, akkor a négyestér nem görbült. Valóban, minden téridőben lehet találni olyan koordináta-rendszert, amely egy infinitezimálisan kis tartományban Galilei-féle. R lklm = 0 esetén a párhuzamos eltolás egyértelmű művelet, ily módon a Galilei-féle rendszert a kiszemelt kis tartományból a téridő többi részére eltolva egy, az egész négyestérben Galilei-féle koordináta-rendszert tudunk megszerkeszteni, amivel az állítást bebizonyítottuk.

A görbületi tenzor zérus vagy attól különböző volta tehát egy olyan feltétel, amelynek segítségével egyértelműen eldönthetjük, hogy a négyestér görbületien vagy görbült.

Megjegyezzük, hogy bár görbült térben is lehet (egy adott pontban) lokálisan geodetikus koordináta-rendszert választani, ebben az esetben azonban a görbületi tenzor nem tűnik el az adott pontban (mert bár maguk -T^-ek zérussal egyenlők, deriváltjaik nem).

Feladat

Határozzuk meg két infinitezimálisan közeli geodetikus világvonal mentén mozgó részecske relatív gyorsulását.

Megoldás. Vizsgáljuk meg valamilyen v paraméter értékeivel megkülönböztetett geodetikus vonalak összességét; másképpen fogalmazva, adjuk meg a világpont koordinátáit x l = x \s , v) függvények segítségével, melyek minden egyes v = const érték esetén egy geodetikus vonal egyenleteit adják (s e vonal mentén vett ívhossz, amelyet a vonalak valamely adott hiperfelülettel való metszéspontjától számítunk). Vezessük be az

dxi * .Y f = — — - Ö V = V 1 ÖVdv

négyesvektort, amely (a vés v+ öv paraméterértékeknek megfelelő) infinitezimálisan közeli geodetikus vonalak azonos s értékekhez tartozó pontjait köti össze.

A kovariáns derivált definíciójából és a d^/dv = dv1 Ids egyenlőségből (ahol w* = dx1 Ids) az következik, hogy

k v k = V*; k Uk . ( 1 )

92. §. A GÖRBÜLETI TENZOR TULAJDONSÁGAI 339

Tekintsük a

—— = (V; Ul = WikV^nU1 = Ul■ k- tVkUl + Ul■ kVk; tUl

második deriváltat. A második tagban ismét (l)-et használjuk, az első tagban pedig (91,7) segítségével felcseréljük a kovariáns differenciálások sorrendjét. Ezek után azt kapjuk, hogy

D2vl(w*;iwO;* v*+umR%mklulvl.ds2

Mivel geodetikus vonalak mentén u*. ^ = 0, az első tag zérussal egyenlő. Az állandó <5r együtthatóval való beszorzás után végül azt kapjuk, hogy

r>2r? = Rfimukultim.

(Ezt az egyenletet a geodetikus elhajlás egyenletének nevezik.)

92. §. A görbületi tenzor tulajdonságai

A görbületi tenzor további szimmetriatulajdonságainak felderítése érdekében az R'klm kevert komponensekről az

R i k lm g i n R kim

kovariáns komponensekre kell áttérnünk. Egyszerű átalakítások után a következő kifejezést kapjuk:

d _ J _ / d 2g im 0 2g k l ________d ~ g n _______ d 2g k m \ ( p n p p _ _ p n p p \ ( n j i \ik lm o \ A v k A ,~ k P v / P v / r " W w ím 1 km-1 il)-

Ebből triviálisan következnek az

Riklm ~ Rkilm = Rikmh (92,2) Riklm = Rlmik (92,3)

szimmetriatulajdonságok, azaz a tenzor az ik és lm indexpárjában antiszimmetrikus, e két pár egymással való felcserélésével szemben pedig szimmetrikus. Ezért R iklm- nek összes, az ik vagy lm indexpárok szerint vett diagonális eleme zérus.

Könnyen ellenőrizhetjük továbbá, hogy R iktm bármelyik három indexe szerint képzett ciklikus összeg zérussal egyenlő, például:

Riklm~\~ Rimkl~f" Rilmk ~ 0. (92,4)

[A többi ilyen típusú összefüggés (92,4)-bői, a (92,3) szimmetriatulajdonságok miatt, azonnal következik.]22*

Végül bebizonyítjuk a Bianchi-azonosságot, mely szerint

R nikl;m + R nimk;l+Rnilm;k = 0. (92,5)

A bizonyítást célszerű lokálisan geodetikus koordináta-rendszerben elvégezni. Tenzor - jellege miatt a (92,5) azonosság tetszőleges koordináta-rendszerben érvényes. A (91,4) kifejezést differenciálva, majd a vizsgált pontban F lkl = 0-t helyettesítve, azt kapjuk, hogy

Rn _ dRniki 62r f z a2/ i• lkl; m d x m d x m 8 xk dx m d x 1'

Ennek segítségével könnyű meggyőződni arról, hogy a (92,5) azonosság valóban helyes.

A görbületi tenzorból indexegybeejtéssel képezhetünk másodrendű tenzort. Ilyenfajta indexegybeejtést azonban csak egyféleképpen hajthatunk végre: az R iklm tenzor,i és k vagy / és m indexét összeejtve, zérust kapunk, minthogy a tenzor ezekben az indexekben antiszimmetrikus. Bármilyen más indexpár összeejtésével pedig egy előjel erejéig azonos eredményt kapunk. Az R ik tenzort (az úgynevezett Ricci-tenzort) az alábbiak szerint definiáljuk:2

Rik ~ S lmRlimk — R'ük- (92,6)(91,4) szerint:

r)Fl f)r ln _ UJ- ik il , p/ -pm _pm Tl /'QO 7\■R-ik dxk * y > )

Ez a tenzor nyilvánvalóan szimmetrikus:

Rik = R ki. (92,8)

Végül R ik indexeit is összeejtve az

R = g ikRik = g ugkmRiUm (92,9)

invariánst kapjuk. Az R skalár neve: invariáns görbület.Az R ik tenzor komponensei egy differenciálazonosságnak tesznek eleget, mely

a (92,5) Bianchi-azonosságból az ik és lm indexpárok összeejtésével kapható:


(92-10)

A (92,2)—(92,4) összefüggések miatt a görbületi tenzor komponensei nem teljesen függetlenek. Határozzuk meg R iktm független komponenseinek számát.

2 Az irodalomban Rik-ra más definíció is használatos, amikor i í^ -b e n az első és utolsó indexet ejtjük össze. Ez az általunk elfogadott definíciótól egy előjelben különbözik.

A görbületi tenzornak a fenti képletekkel adott definíciója tetszőleges dimenziószámú térre érvényes. Vizsgáljuk először a kétdimenziós tér, azaz a közönséges felület esetét; jelöljük a görbületi tenzort Pabcd-ve 1 (hogy megkülönböztessük a négydimenziós mennyiségektől), a metrikus tenzort pedig y^-vel, ahol az a, i , . . . indexek az 1, 2 értékeket vehetik fel. Minthogy az ab és cd indexpárok mindegyikében a két indexnek különböző értékűnek kell lennie, nyilvánvaló, hogy a görbületi tenzor valamennyi, zérustól különböző komponense megegyezik vagy előjelben különbözik egymástól. Ebben az esetben tehát csupán egy független komponens van, például P 1 2 1 2* Ekkor az invariáns görbület:

p = v ^ ^ = rur22_ (yi2)2_ (92>11)

A P/2 mennyiség megegyezik a felület K Gauss-féle görbületével:

y = K = i (92-12)

ahol gi és g2 a felület kiszemelt pontjához tartozó fő görbületi sugarakat jelöli. (Emlékeztetünk arra, hogy £i-et és £2-t akkor tekintjük azonos előjelűnek, ha a nekik megfelelő görbületi középpontok a felületnek ugyanazon az oldalán vannak, különböző előjelűek az ellenkező esetben. Az első esetben K > 0, a másodikban K < 0 . ) 3

Térjünk át ezek után a háromdimenziós tér görbületi tenzorára; ezt P a/5y(5-val, a metrikus tenzort pedig ya/3-val jelöljük, az a, /?, . . . indexek lehetséges értékei most 1, 2, 3. Az a/? és y<5 indexpárok mindössze három 23, 31, 1 2 lényegesen különböző értéket vesznek fel (az indexek felcserélése a páron belül csupán a komponens előjelét változtatja meg). Mivel P ^ yő szimmetrikus az a/? és yö indexpárok felcserélésével szemben, csupán 3-2/2 = 3 különböző indexpárú és 3 azonos indexpárú független komponens van. A (92,4) azonosság ezután már nem ad további megszorítást. Tehát a háromdimenziós térben a görbületi tenzornak hat független komponense van. Ugyanennyi komponense van a P ^ szimmetrikus tenzornak is. Ezért a PyC ó tenzor

A (92,12) képletet könnyű levezetni, ha a felület egyenletét az adott (x = y = 0) pont környe- *2 y2 2Qi 2q2X" v2

zetében z = ------1----- alakban írjuk. Ekkor az ívelemnégyzet:

P 1 2 1 2 (92,1) alapján kiszámítva az x — y = 0 pontban (ahol csupán ya/5 második deriváltjai adnak járulékot), a (92,12) képlet adódik.


összes komponensét kifejezhetjük a P a/5 és a ya/3 metrikus tenzor komponenseivel, megoldva a P a/S = gyöPyaőp lineáris egyenletrendszert (lásd az 1. feladatot). Ha az adott pontban Descartes-féle koordináta-rendszert használunk, akkor a koordináta- rendszer alkalmas elforgatásával a Pa/3 tenzort diagonizálhatjuk.4 így a háromdimenziós tér görbületét a tér minden pontjában három mennyiség határozza meg.5

Végül térjünk rá a négydimenziós tér esetére. Ekkor az ik és lm indexpárok 6 különböző' értéket vehetnek fel: 01, 02, 03, 23, 31, 12. Emiatt R iklm-nek hat komponense van megegyező, és 6-5/2 = 15 komponense különböző indexpárokkal. Az utóbbiak azonban még nem teljesen függetlenek egymástól: a négy különböző indexű három komponens a (92,4) azonosság szerint az alábbi összefüggésnek tesz eleget:

^0123+^0312+^0231 = 0. (92,13)

Tehát a négydimenziós térben a görbületi tenzornak mindössze 20 független kom ponense van.

Vezessünk be egy adott pontban Galilei-féle koordináta-rendszert. Tekintsük azokat a transzformációkat, amelyek e koordináta-rendszer elforgatásainak felelnek meg (oly módon, hogy az adott pontban gik értékei ne változzanak a transzformáció során). Ekkor elérhető, hogy a görbületi tenzor hat komponense zérus legyen. (A négydimenziós koordináta-rendszer független elforgatásainak száma hat.) Tehát a legáltalánosabb esetben a négyestér görbületét minden egyes pontban 14 mennyiség határozza meg.

Ha R ik — 0,6 akkor tetszőleges koordináta-rendszerben a görbületi tenzornak csak 10 független komponense van. Ekkor megfelelő koordinátatranszformációval az R ikhn tenzor (a négyestér bármely adott pontjában),,kanonikus” alakra hozható, amelyben komponensei az általános esetben négy független mennyiséggel fejezhetők ki; speciális esetekben a független mennyiségek száma kevesebb is lehet.

Ha R ik 0, akkor a görbületi tenzorra ugyanez igaz az R ik tenzor komponensei

4 A Prf tenzor főártékeinek tényleges kiszámításához nincs okvetlenül szükség arra, hogy az adott pontban Descartes-féle koordináta-rendszerre térjünk át. A főértékeket meg lehet határozni a \Pap -X yap \ = 0 egyenlet gyökeiként is.

6 A Pxpyő tenzor ismeretében bármely térben adott felület K Gauss-féle görbületét ki tudjuk számítani. Itt csak azt említjük meg, hogy ha x l, x 2, x3 ortogonális koordináta-rendszert alkot, akkor az x3 tengelyre (a kiszemelt pontban) merőleges sík Gauss-féle görbülete:

V11/22 ~~ (^12)“

Síkon itt geodetikus vonalakkal képzett felületet értünk.6 A későbbiekben látni fogjuk (95.§), hogy a vákuumbeli gravitációs tér görbületi tenzora ilyen

tulajdonságú.

által meghatározott rész leválasztása után. Ilyenkor a következő tenzort kell képeznünk:7

Könnyen beláthatjuk, hogy ez a tenzor rendelkezik az R iklm tenzor összes szimmetria- tulajdonságával, az il vagy km indexpárokat egybeejtve pedig zérust kapunk.

Megmutatjuk, hogyan lehet R ik — 0 esetén osztályozni a kanonikus alakra hozott görbületi tenzor lehetséges típusait (A. Z. Petrov, 1950).

Tételezzük fel, hogy a négyestér vizsgált pontjában a metrikus tenzort Galilei-féle alakra hoztuk. Az R ikbn tenzor 20 független komponensének összességét az

egyenletekkel definiált három háromdimenziós tenzor összességeként adjuk meg (<eaj3y az antiszimmetrikus egységtenzor; mivel a háromdimenziós metrika Descartes- féle, összegezésekor nem kell különbséget tennünk az alsó és felső indexek között). Az A ^ és Ca/3 tenzorok definíciószerűen szimmetrikusak, a B a/3 viszont aszimmetrikus, de a (92,13) összefüggés miatt zérus átlósösszegű tenzor. A (92,15) definíciók szerint például

B 11 = ^ 0 1 2 3 , B 12 = ^ 0 1 3 1 , ^ 1 3 = ^ 0 1 1 2 , C n = i?23235 • • • •

Könnyen beláthatjuk, hogy az R km = gllR ik!m = 0 feltétel a (92,15) tenzorok komponensei között az alábbi összefüggéseket ad ja:

C i k lm — R ik lm 2 R i l g k m 'f" ^ R im gkl~ ^~

H- ^ k l g i m 2R k r n g i l~ h R ( g i l g k m g im g k l ) -

(92,14)

Ay.fi RoaOfii ^ cc fi ^ oiy efiXfxRyőXfx B afi 2 ayőRofiyő (92,15)

Ayx - 0, B afi Bpa, a/3 C fi. (92,16)

Vezessük be továbbá a

D^fi ^ '2‘ÍR'xfi -'txfi) Aafi-\-ÍBafi (92,17)

7 Ezt a bonyolult kifejezést tömörebb alakban is megadhatjuk:

C ik lm R ik lm Rlli§k]m ~^~ P-mUSk^l ^ §lL ig k ]m ^

ahol a szögletes zárójelben levő indexekben antiszimmetriálni kell:

A[ik1 (Aik A ki).

A (92,14) tenzort Weyl-tenzornak szokás nevezni.


szimmetrikus komplex tenzort. Két valós háromdimenziós A a/3 és B ^ tenzornak egyetlen komplex tenzorrá való ilyen egyesítése pontosan az E és H vektorok (25. §- ban megismert) komplex F vektorrá való egyesítésének felel meg, a D a/S és az R iklm négyestenzor kapcsolata pedig éppen az F és az Fik négyestenzor közötti kapcsolat hasonmása. Ebből következik, hogy az R mm tenzor négydimenziós transzformációi ekvivalensek a Da/3 komplex tenzor háromdimenziós komplex forgatásaival.

E forgatásokhoz tartozó X = X' + iX" sajátértékeket és az na sajátvektorokat (amelyek általában komplex vektorok) úgy definiálhatjuk, mint a

egyenletrendszer megoldásait. A X mennyiségek a görbületi tenzor invariánsai. Mivel 2)aa = 0, a (92,18) egyenlet gyökeinek összege szintén zérussal egyenlő:

AíD + AO + AG) = 0.

A független na sajátvektorok számától függően a Petrov-féle I—II. kanonikus típusokhoz jutunk, amelyek a görbületi tenzor redukálása lehetséges eseteinek alábbi osztályozását adják.

I. Három független sajátvektor van. Ekkor ezek n^n* négyzetei zérustól különbözőek, egy alkalmas elforgatással D a/3 és vele együtt az A a/S és is diagonális alakra hozható:

Ebben az esetben a görbületi tenzornak négy független invariánsa van.8 A Xa \ X(2> komplex invariánsok algebrailag kifejezhetők az

komplex skalárok segítségével, ahol a betű feletti csillag a duális tenzort jelenti:

(92,18)

h = (R ikimR iklm- i R i kimR iklm),

h - ~ R ik l m R lmprRprik + iR ik lmR lmprRprik)

(92,20)

8 Azt az elfajult esetet, amikor A(1)/ = A(2)/és A(l)// = A(2>" az irodalomban D típusnak nevezik.

/i-et és / 2 -t a (92,19) képlet segítségével kiszámítva, azt kapjuk, hogy

h = y (;«>2+A(2)2+Ao>A(2>), jI 2 (92,21)

Ha valamely koordináta-rendszerben ismerjük R iklm-et, e képletek segítségével a A(1), A(2) invariánsokat kiszámíthatjuk.

II. Két független sajátvektor van. Ebben az esetben egyikük négyzete zérussal egyenlő, ezért ezt koordinátatengely megadására nem használhatjuk fel, de mindig megválaszthatjuk úgy, hogy az x '9 x 2 síkban legyen; ekkor n2 = im , n% = 0. A (92,18) megfelelő egyenletei azt adják, hogy

D11 ~(~ iD i 2 = A, — iD \2 — A,

amiből

D \\ — A — i/x, D 22 — A-f//x, ^ 1 2 —

A A = A' + iA" komplex mennyiség skalár, és ezért nem változtatható meg. A /x mennyiség azonban különböző komplex forgatások révén bármely (zérustól különböző) értékre szert tehet; ezért /i-t az általánosság korlátozása nélkül valósnak vehetjük. Végeredményben az Aap9 Ba/5 valós tenzorok következő kanonikus típusát kapjuk:

/A' /x 0 \ í l " — [i 0 0 \4 * = U A' 0 , ^ - 0 A" + /x 0 . (92,22)

\ 0 0 -2 A 7 \ 0 0 — 2A'V

Ebben az esetben csupán két invariáns van: A' és A". Továbbá (92,21) szerint h = A2,h - így A3 = 4

III. Mindössze egy sajátvektor van, melynek négyzete zérus. Ebben az esetben az összes A sajátérték azonos, tehát zérussal egyenlő. A (92,18) egyenlet megoldását £>n = D 22 — D 12 — 0, D 13 = /x, Z>23 = ifi alakra lehet hozni, ezért

/ 0 0 / x \ / 0 0 0 \

0 0 0 , 5 ^ = 0 0 /x . (92,23)V 0 0 / \o [i 0/

Ebben az esetben a görbületi tenzornak egyetlen invariánsa sincs, és meglehetősen sajátságos helyzettel állunk szemben: a négyestér görbült, de nem létezik olyan invariáns, amely görbültségének mértékéül szolgálhatna.9

9 U g y a n e z a h e ly z e t á ll e lő a I I . d e g e n e rá lt e se té b e n , m ik o r X' = a" = 0 (e z t a z a la k o t N t íp u s n a k s z o k á s n e v e z n i) .


Feladatok

1 . F e je z z ü k k i a h á r o m d im e n z ió s té r Papyö g ö r b ü le t i te n z o r á t a P ajg m á s o d r e n d ű te n z o r r a l.

Megoldás. K e r e s s ü k Papyc5-t a s z im m e t ria f e lt é t e le k n e k e le g e t te v ő

Py. fiyő = A^y^g A%$ypy+ Ap^yay A^y^Q

a la k b a n , a h o l A ^ v a la m e ly s z im m e t r ik u s te n z o r , a m e ly n e k P afi - v a l v a ló k a p c s o la t á t a z a és y

in d e x e k e g y b e e jté s é v e l k a p o t t k ife je z é s h a t á r o z z a m eg . I l y m ó d o n a z t k a p ju k , h o g y

Pafi Ayap + Afxfi, A fi Py.fi ^ Pyo.fi">v é g ü l

PPafiyő = P ayy fid ~ P a.őy fiy P fiőy ay y (Voidyfiy ~~ VxyVfid)-

2. S z á m ít s u k k i a z Réklm és Rik t e n z o r o k k o m p o n e n s e it , h a a gik te n z o r d ia g o n á lis .

Megoldás. A m e t r ik u s t e n z o r z é ru s t ó l k ü lö n b ö z ő k o m p o n e n s e it íg y á l l í t j u k e lő :

gu = Co — í , ea = - 1.

A (9 2 ,1 ) k é p le t f e lh a s z n á lá s á v a l e lv é g z e tt s z á m ít á s a g ö r b ü le t i te n z o r e l n e m t ű n ő k o m p o n e n s e ir e a k ö v e t k e z ő e r e d m é n y t a d ja :

Riwc = l(Ft< kFk> i + Fi kFlt i - Fh iFu k - Flt if k), i ^ k ^ / ;

Rmt = e / F (F i, ( F , , , - F I t - Fu i ) + eiéiFi(Fh ,F{, , - F ? , , - F(, , , , ) -

£ W V r f , ) f u F | , .

(a z is m é t lő d ő in d e x e k s z e r in t n in c s ö s s z e g e z é s !). A v e s s z ő u t á n á lló in d e x k ö z ö n s é g e s d if f e r e n c iá lá s t je le n t a m e g fe le lő k o o r d in á t a s z e r in t .

K é t in d e x e t ö s s z e e jtv e a z t k a p ju k , h o g y

Kik = £ (^ í- Fi, ífi> * “ i ^ k;l ?£ i, A

= E [ F j , i F M - F i !, í - F í , , . , i + Cw - 2( í í " í '') ( f ' / , i f i , i - / 77 , í - F , . ( , í - F !. , í J . / » . ' ) ] •

93. §. A gravitációs erőtér hatásintegrálja

A gravitációs erőteret meghatározó egyenletek felírásához definiálnunk kell az erőtér Sg hatásintegrálját. A keresett egyenleteket ezután az erőtér és az anyagi részecskék hatásintegráljai összegének variálásával kaphatjuk meg.

93. §. A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR HATÁSINTEGRÁLJA 347

Az S g hatás, ugyanúgy mint az elektromágneses tér esetében is, mindig felírható bizonyos J G Í —g d ü skaláris integrál alakjában, ahol az integrálást a térkoordinátákban az egész térre, az x° időkoordinátában pedig két előre megadott érték között kell venni.

Abból indulunk ki, hogy a gravitációs egyenletek (akárcsak az elektrodinamikában) a „térpotenciáloknak” legfeljebb második deriváltjait tartalmazzák. Minthogy a téregyenleteket a hatás variálásával kapjuk meg, ez a feltétel csak akkor teljesíthető, ha az integrál alatt szereplő G mennyiség g^-nak legfeljebb elsőrendű deriváltjait tartalmazza; G-t tehát a gik tenzorból és a r ikl mennyiségekből kell felépíteni.

Csupán a gik és F lkl mennyiségekből azonban nem tudunk skalárt képezni. Ez már abból is látható, hogy a koordináta-rendszer alkalmas választásával egy adott pontban az összes F lkl mennyiség zérussá tehető. Létezik azonban egy skalár, a négyestér R invariáns görbülete, amely bár gik-n és gik elsőrendű deriváltjain kívül tartalmazza g ik másodrendű deriváltjait is, de az utóbbiakat csak lineárisan. Emiatt az j R Í —gdQ invariáns integrál a Gauss-tétel segítségével olyan kifejezés integráljává alakítható, amely már nem tartalmaz második deriváltakat. Az invariáns integrált két tag összegeként írhatjuk fel:

| R rfí.- = J c

ahol G csak a gik tenzort és annak elsőrendű deriváltjait tartalmazza, a második integrál alatt álló kifejezés pedig valamely wl mennyiség divergenciája. (A részletes számítást e szakasz végén végezzük el.) A Gauss-tétel szerint a második integrált a másik két integrál integrációs térfogatát határoló hiperfelületre vonatkozó integrállá alakíthatjuk. A hatásintegrál variálásakor a jobb oldal második tagjának variációja tehát eltűnik, mivel a legkisebb hatás elve szerint az integrálási tartomány határain az erőtér variációja zérus. Következésképpen azt írhatjuk, hogy

8 J R dQ = ő J G Y ^ g d Q .

A bal oldalon egy skalár áll, ezért a jobb oldalon álló kifejezésnek is skalárnak kell lennie. (Maga a G mennyiség természetesen nem skalár.)

A G mennyiség eleget tesz a fenti követelményeknek, minthogy csak gik-1 és annak első deriváltjait tartalmazza. Tehát azt írhatjuk, hogy

ÖS- = - T ^ d \ G ^ d Q = - - á k d i R ^ ‘LQ' (93-'>

ahol k egy új univerzális állandó. Ahhoz hasonlóan, ahogy az elektromágneses tér hatásintegráljának vizsgálata során a 27. §-ban eljártunk, beláthatjuk, hogy a k állandó szükségképpen pozitív (lásd e szakasz végét).

A k állandót gravitációs állandónak nevezzük, k dimenziója (93,l)-ből közvetlenül megállapítható. A hatás dimenziója gcm 2 s_1; a koordináták dimenziója cm, gik pedig dimenziótlan szám, tehát R dimenziója cm2. Végeredményül azt kapjuk, hogy k dimenziója cm3 g_1 s“ 2. Számértéke pedig

k = 6,67-10"8 cm3g-1s“ 2. (93,2)

Megjegyezzük, hogy k-t egységnyinek (vagy tetszőleges dimenziótlan számnak) is választhattuk volna. Ebben az esetben azonban meg kellene változtatnunk a tömeg szokásos egységét.10

Befejezésül számítsuk ki a (93,l)-ben szereplő G mennyiséget. Az R ;k-ra vonatkozó(92,7) kifejezésből azt kapjuk, hogy

| ~ g R = Í ~ g g ikR ik =

A jobb oldalon levő első két tagra érvényesek az alábbi összefüggések:

yZr§gik^ r = - W

]!~ ggik S = - n { ] f ^ g g ik).A teljes deriváltakat elhagyva, azt kapjuk, hogy

y ~ gG = ir„ ~ ( lí^g g * ) - Pik ~ { \/~ gg ik) - ( r v n , n- r i krrm) gik

A (86,5)—(86,8) képletek segítségével láthatjuk, hogy a jobb oldal első két tagja Í — g, szorozva a

2r\kr\mg™k-rr„n,gkl-r\krvngik = g%2rlmkr'ii-rrmr\k- r likr ^ =_ 0rrik( ~Pm ~Pl T'l ~Pm \“ V1 il 1 k m 1 ik1 lm)

együtthatóval.Végül tehát

g = gik(n n m - r\krrm). (93,3)A gravitációs teret a metrikus tenzor komponensei határozzák meg. Ezért a

gravitációs térre alkalmazva a legkisebb hatás elvét, a gik mennyiségeket kell variálni. Itt a következő lényeges megjegyzést tesszük. A jelen esetben nem mondhatjuk, hogy

10 H a a k — c1 v á la s z tá s t t e n n é n k , a k k o r a tö m e g e t c e n t im é t e r e k b e n m é r n é n k , 1 c m — 1 ,3 5 • 1 0 28g. N é h a a k h e ly e tt a

ö TrjsX = = 1,86- 10~27 c m g _1

c2

m e n n y is é g e t h a s z n á lju k , a m e ly e t E in s t e in - f é le g r a v it á c ió s á lla n d ó n a k n e v e z ü n k .


93. §. A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR HATÁSINTEGRÁLJA 349

-a megvalósuló térben a hatásintegrálnak gik valamennyi lehetséges variációjával szemben minimuma (nem pedig egyszerűen extrémuma) van. Ez azzal van összefüggésben, hogy gik megváltozása nem minden esetben vonja maga után a téridő metrikájának, azaz a valódi gravitációs térnek a megváltozását. A gik komponensek már a koordináták olyan egyszerű transzformációi esetén is megváltoznak, amelyek ugyanabban a téridőben egyik rendszerről egy másikra való áttérést jelentenek. A koordinátáknak minden ilyen transzformációja általában (a koordináták számának megfelelően) négy független transzformáció összessége. A gik komponensek ilyen, a metrika változásától független megváltozásait kizárhatjuk, ha rájuk négy kiegészítő feltételt rovunk ki, és megköveteljük, hogy a variáláskor ezek a feltételek teljesüljenek. így, a legkisebb hatás elvét gravitációs térre alkalmazva, csak azt mondhatjuk, hogy ki lehet róni a metrikus tenzor elemeire olyan mellékfeltételeket, amelyek teljesülése esetén a hatásnak gik variálásával szemben minimuma van.11

E megjegyzések figyelembevételével most megmutatjuk, hogy a gravitációs állandó pozitív. Az említett négy mellékfeltételként azt követeljük, hogy a három g0a komponens legyen zérus, továbbá a g ^ komponensekből képzett |ga/5| determináns legyen állandó:

goa = 0, Igotfl = const; ez utóbbi feltétel miatt fennáll a

r 8x°

összefüggés. Bennünket itt a hatásintegrálban szereplő integrandusnak azok a tagjai érdekelnek, amelyek tartalmazzák gik-nak x° szerinti deriváltjait (vö. a 27.§-sal). A (93,3) összefüggés segítségével végzett egyszerű számítás azt mutatja, hogy a G- ben szereplő ilyen tagok az alábbiak:

— — a Wjppgyö j fo j .4 dx° dx° ■

Könnyű belátni, hogy ez a mennyiség negatív-definit. Valóban, a tér adott pontjában és adott időpillanatban Descartes-féle koordináta-rendszert választva (gai3 = ga/5 = = - őai3), a fenti kifejezés

- i o O O ^ - V4 \ dx° J

alakú lesz, és mivel g00 = l/goo>0, e mennyiség előjele nyilvánvaló. Ha mármost a

n H a n g s ú ly o z z u k a z o n b a n , h o g y a f e n t m o n d o t t a k n e m b e f o ly á s o l já k a g r a v it á c ió s e g y e n le te k n e k a le g k is e b b h a tá s e lv é b ő l v a ló le v e z e té s é t (9 5 . § ). E z e k e t a z e g y e n le te k e t m á r a k k o r is m e g k a p ju k , h a a z t k ö v e t e ljü k c s a k m e g , h o g y a h a t á s n a k e x t r é m u m a le g y e n (a z a z e ls ő v a r iá c ió ja t ű n jö n e l) , n e m k e l l o k v e t le n ü l m in im u m á n a k le n n ie . E z é r t a g r a v it á c ió s e g y e n le te k le v e z e té s e k o r a z ö s s z e s g ik k o m p o n e n s f ü g g e t le n ü l v a r iá lh a t ó .

variálás során a gaj3 komponensek időfüggését elég erősre választjuk (az idő- integrálás határai között g ^-t elég gyorsan változtatjuk), a —G mennyiség tetszőlegesen naggyá tehető. Ha a k állandó negatív lenne, akkor a hatás minden határon túl csökkenne (abszolút értékben tetszőleges nagy értékeket véve fel), azaz nem léteznék minimum.

94. §. Energia-impulzus-tenzor

A 32. §-ban általános szabályt kaptunk arra, hogyan kell egy olyan tetszőleges fizikai rendszer energia-impulzus-tenzorát kiszámítani, amelynek hatásintegrálját a négyestérfogatra vett (32,1) integrál adja meg. Görbevonalú koordináták használata esetén ez az integrál az alábbi alakot ölti:

-gdÜ (94,1)

(Galilei-koordinátákban g = — 1 és S átmegy J A dV dt-be). Az integrálást a teljes hármastérre és két adott időpillanat közé eső időtartamra, tehát a négyestérnek két hiperfelülettel határolt végtelen tartományára kell kiterjeszteni.

Amint már a 32. §-ban megmutattuk, a (32,5) képlettel definiált energia-impulzus- tenzor nem okvetlenül szimmetrikus. Ha szimmetrizálni akarjuk, akkor a (32,5)

. . 8kifejezéshez egy megfelelően megválasztott y ikl alakú tagot kell hozzáadni, ahol

Viki = -V ak-Most az energia-impulzus-tenzor kiszámítására egy másik módszert adunk, amely

nek megvan az az előnye, hogy azonnal a szimmetrikus kifejezésre vezet.(94,l)-ben az x l koordinátákról áttérünk az új x '1 = x lJr%1 koordinátákra, ahol

I* kis mennyiség. Ebben az esetben a g lk komponensei így transzform álódnak:

dx'* 8x 'k 01* \ / e, d£kg 'ik(x '1) = g nm(x1)- 8xn 8xn • ( « + £ ) ( « + - & )

8Bkgik(x l + gim <gkn_8xm 8xn

Itt a g 'lk tenzor az x n függvénye, a glk tenzor pedig a korábbi x l koordináták függvénye. Azért, hogy az összes mennyiséget ugyanannak a változónak függvényként adhassuk meg, fejtsük sorba g'lk(xl+t-1)-1 l l hatványai szerint. Elhanyagolva továbbá a | ;-ben magasabb rendű tagokat, a | z-eket tartalmazó tagokban g nk helyett glk-t írhatunk. így

8gifcö i ~ i m i ~ k m .*"*(*') = s'*(*0 - S m- £ ^ + g im6xm 8xm dxm

94. §. ENERGiA-IMPULZUS-TENZOR 351

Közvetlenül ellenőrizhetjük, hogy a jobb oldalon az utolsó három tagot | kontravariáns deriváltjaiból álló 1 összegként is felírhatjuk. Ezáltal glk transzformációját végül az alábbi alakban kapjuk meg:

yik+ 8gik, bgik = k+ l. (94,2)g ’ik = g"

A kovariáns komponensek pedig:

gik = gik-}-bgik, bgik = “ S i;k- (94,3)

'kl .(Ezáltal elsőrendben kis mennyiségekig terjedő pontossággal teljesül a g l7g feltétel.)12

Minthogy az S hatás skalár, koordinátatranszformáció során változatlan marad. Másrészt a hatás koordinátatranszformáció által okozott bS megváltozását formálisan fel lehet írni. M int a 32. §-ban, jelöljük itt is #-val az S hatású rendszert meghatározó mennyiségeket. Koordinátatranszformációt végezve, q mennyiségek bq-val változnak. bS kiszámításánál azonban el lehet hagyni a q megváltozásával kapcsolatos tagokat. Ezek a tagok az anyagi rendszer mozgásegyenletei miatt kölcsönösen kiejtik egymást, hiszen ezeket a mozgásegyenleteket éppen azzal definiáltuk, hogy *S-nek q szerinti variációja nulla legyen. Ezért elegendő a gik megváltozásának megfelelő tagokat leírni. Szokás szerint a Gauss-tételt használjuk, és megköveteljük, hogy a határokon bgik — 0 legyen.13 Ekkor

bS1 d]/-

gA ög* + 8]/ -g ' 1 * dg'kdgik

8]/ ~ g A 8 8gik 8x l

8 8gik 8 x l8 x l

d ] / - g A

dQ

88gikdx1

bgik dü.

12 M e g je g y e z z ü k , h o g y a£<;*+£*;< = Q

e g y e n le te k a z a d o t t m e t r ik á t m e g n e m v á lt o z t a t ó k o o r d in á t a t r a n s z f o r m á c ió t h a t á r o z z á k m eg . A z i r o d a lo m b a n e z e k e t a z e g y e n le te k e t g y a k r a n Killing-egyerdeieknek n e v e z ik .

13 H a n g s ú ly o z z u k , h o g y a s z im m e t r ik u s g ik t e n z o r k o m p o n e n s e i s z e r in t k é p z e tt d e r iv á lt a k itt b e v e z e te tt je lö lé s e b iz o n y o s é r te le m b e n s z im b o lik u s je lle g ű . P o n t o s a b b a n , a dF/dgik d e r iv á lt a k ( F a

dFgik k o m p o n e n s e k v a la m ily e n fü g g v é n y e ) lé n y e g é b e n c s a k a dF = ----- dgik té n y t f e je z ik k i. A

dgikdF

— — dgik ö s s z e g b e a z o n b a n a dgik d if f e r e n c iá lla l a r á n y o s t a g o k i ^ k e se té n k é ts z e r s z e r e p e ln e k . dgik

E z é r t e g y k o n k r é t F k if e je z é s t v a la m e ly ik k is z e m e lt n e m d ia g o n á lis gik k o m p o n e n s s z e r in t d if fe r e n c iá lv a o ly a n m e n n y is é g e t k a p n á n k , a m e ly k é ts z e r n a g y o b b a n n á l, m in t a m it dF/dgik-va l j e lö lü n k . E z t a m e g je g y z é s t a k k o r k e l l f ig y e le m b e v e n n i, a m ik o r k o n k r é t é rté k e k e t a d u n k a z i, k in d e x e k n e k a z o k b a n a k é p le t e k b e n , a m e ly e k b e n gik k s z e r in t i d e r iv á lá s s z e re p e l.

Vezessük be az

- 1 l~ ~ e T , - ___ 0 d Y ~ g A (9 4 4 )2 s 7 * - d x1 . dgik_

0*'jelölést; ekkor &S a következő alakot ölti:14

ÖS = J L j Tik ög* j T Z ^ = _ bgik v'-7gdQ. (94,5)

(Megjegyezzük, hogy gik bglk = - g , k Ögik, és ezért T ik bgik = - T ikög‘k.) Behelyet- tesítve ide bgik (94,2) kifejezését, valamint a tenzor szimmetriatulajdonságait felhasználva, azt kapjuk, hogy

J r /fc(i« * + ak’ o f' - #■ d ü = 1 J <*2 .


05 2c

Alakítsuk át ezt a kifejezést a következő m ódon:

- g d Q - -c

Az első integrált (86,9) segítségével

Tf;k? V - g d í* . (94,6)

| J a U ^ gTÍ' )d!ialakban írjuk, és átalakíthatjuk hiperfelületre vett integrállá. Minthogy az integrálás határain |*-k zérussá válnak, ez az integrál eltűnik,

így dS-Qt zérussal téve egyenlővé, azt kapjuk, hogy

dS = - j \ T ? . k & V - g d Q = 0 .

Tekintettel arra, hogy teljesen tetszőleges, ebből az következik, hogy

n j c = 0 . (94,7)

Összehasonlítva ezt az egyenletet a Galilei-féle koordinátákban érvényes és (32,4) alatt felírt dTikjdxk = 0 egyenlettel, látjuk, hogy a (94,4) képlet által m eghatározott tenzor — legalábbis egy állandó szorzó erejéig — az energia-impulzus - tenzorral azonos. Hogy ez a szorzó 1-gyel egyenlő, legkönnyebben úgy ellenőrizhető,

14 A v iz s g á lt e se tb e n a t íz őgik m e n n y is é g n e m fü g g e tle n , m in t h o g y e z e k a n é g y k o o r d in á t a t r a n s z f o r m á c ió já n a k e r e d m é n y e k é p p e n lé p n e k fe l. E z é r t a b b ó l, h o g y ŐS z é r u s s a l e g y e n lő , e g y á lt a lá n n e m k ö v e t k e z ik m é g , h o g y Tik = 0 !

94. §. ENERGIA-IMPULZUS-TENZOR 353

hogy a (94,4) képlet segítségével elvégzünk egy konkrét számítást, például az elektromágneses tér esetére, amikor

A =

Ily módon, a (94,4) képlet alkalmazásával, az energia-impulzus-tenzort ^1-nak a metrikus tenzor komponensei (és azok deriváltjai) szerint végzett differenciálásával számíthatjuk ki. Ilyenkor a Tik azonnal szimmetrikus alakban adódik. A (94,4) képlet használata az energia-impulzus-tenzor kiszámítására nemcsak gravitációs tér jelenlétében kényelmes, de minden olyan esetben is, amikor nincs gravitációs tér. Ilyenkor a metrikus tenzornak nincs önálló jelentése, a görbevonalú koordinátákra való áttérést pusztán formálisan, mint a Tűt kiszámítását célzó közbenső lépést végezzük el.

Az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorára kapott (33,1) kifejezést görbevonalú koordinátákban

Tik = Í ( - F'lFk‘+ \ FímF ^ gi^ (94,8)

alakba kell írni. Makroszkopikus testek esetében pedig az energia-impulzus-tenzor [(35,2)-vel összevetve]:

T ik =(p+s)UiUk - pgik. (94,9)

Megjegyezzük, hogy a Too komponens mindig pozitív:15

Too éé 0. (94,10)

(A Tq kevert komponenseknek általában nincs határozott előjelük.)

Feladat

V iz s g á lju k m e g e g y s z im m e t r ik u s m á s o d r e n d ű te n z o r le h e tsé g e s k a n o n ik u s a la k ja it .

Megoldás. E g y s z im m e t r ik u s Aik te n z o r f ő t e n g e ly - t r a n s z f o r m á c ió já n a k e lv é g z é se t u la jd o n k é p p e n a z o k n a k a „ s a já t v e k t o r o k n a k ” a m e g h a tá r o z á s a , a m e ly e k re

Aikn* = hl,. (1 )

15 V a ló b a n Too — £ul+p(ul-goo)- A z e ls ő ta g n y i lv á n v a ló a n p o z it ív . A m á s o d ik ta g b a p e d ig b e ír v aaz

g00 dx°+ g0(X dx?w0 = £ooW°+goaWa = ds

k if e je z é s t , e g y s z e r ű á t a la k ít á s u t á n a z t k a p ju k , h o g y a z g00p(dl/ds)2-tQ\ e g y e n lő , a h o l dl a (8 4 ,6 )t é r b e li t á v o ls á g e le m ; e b b ő l m á r lá t h a t ó , h o g y 00 m á s o d ik ta g ja is p o z it ív . U g y a n ily e n k ö n n y ű ab iz o n y ít á s a (9 4 ,8 ) t e n z o r e se té b e n is.

2 3 Elm életi fizika II. - 42221/11.

A m e g fe le lő f ő é rté k e k e t, m e ly e k a te n z o r in v a r iá n s a i , a n e g y e d fo k ú

I A w — Agik | = 0 ( 2 )

e g y e n le t g y ö k e ik é n t h a t á r o z h a t ju k m e g . M i n d a A m e n n y is é g e k , m in d a n e k ik m e g fe le lő v e k t o r o k k o m p le x e k is le h e t n e k . ( A z Aik t e n z o r k o m p o n e n s e k r ő l te rm é s z e te s e n f e lt é t e le z z ü k , h o g y v a ló s a k .)

A z ( 1 ) e g y e n le te t h a s z n á lv a , a s z o k á s o s m ó d o n k ö n n y e n b e lá t h a t ju k , h o g y k ü lö n b ö z ő A(1) és A<2) fő é r té k e k h e z t a r t o z ó rtf'* és nJ2) s a já t v e k t o r o k e g y m á s ra m e r ő le g e s e k :

npnW = o. (3)

S p e c iá lis a n , h a a ( 2) e g y e n le tn e k v a n k é t o ly a n A és A* g y ö k e , a m e ly e k e g y m á s k o m p le x - k o n ju g á lt - j a i , és a m e ly e k n e k a z nt é s n* e g y m á s h o z k o m p le x - k o n ju g á lt s a já t v e k t o r o k f e le ln e k m e g , a z o k r a is t e lje s ü l a z

Hité* = 0 (4 )

ö s s z e fü g g é s .A z A ik t e n z o r t k if e je z h e t jü k fő é r té k e i és m e g fe le lő s a já t v e k t o r a i s e g íts é g é v e l:

^ = (5)

( h a c s a k v a la m e ly ik ntnl s z o r z a t n e m n u l l a ; lá s d a lá b b ) . A (2 ) e g y e n le t g y ö k e in e k je lle g é t ő l fü g g ő e n a k ö v e t k e z ő h á r o m e se t le h e tsé g e s.

I . M i n d a n é g y A s a já té r té k v a ló s . E b b e n a z e se tb e n v a ló s a k a z rf s a já t v e k t o r o k is , m iv e l p e d ig a z //*-k e g y m á s ra k ö lc s ö n ö s e n m e rő le g e s e k , e m ia t t h á r o m s a já t v e k t o r ir á n y a t é rs z e rű , e g y é p e d ig i d ő s z e r ű (e z e k a z ntnl = - 1, i lle t v e a z n%rí = +1 f e lt é t e le k k e l n o r m á lh a t ó k ) . H a a k o o r d in á t a t e n g e ly e k e t a s a já t v e k t o r o k i r á n y á b a n v e s s z ü k f e l, Aik d ia g o n á lis le s z :

Aa :

>> 0 0 0 '0 -Ad) 0 00 0 -A*2) 0,0 0 0 -A '3>

(6)

I I . A ( 2) e g y e n le tn e k k é t v a ló s (A (2), A(3)) és k é t k o m p le x g y ö k e v a n , a m e ly e k e g y m á s n a k k o m p le x - k o n ju g á lt ja i (A'±iA"). A k é t k o m p le x g y ö k n e k m e g fe le lő , e g y m á s h o z k o m p le x - k o n ju g á lt ni9 n* v e k t o r o k a t üf+ibf a la k b a n í r j u k ; m iv e l a k o m p le x s a já t v e k t o r o k c s u p á n te tsz ő le g e s k o m p le x s z o r z ó e re jé ig h a t á r o z o t t a k , a z o k a t a z nrf = nfn*{ = 1 f e lt é t e le k k e l n o r m á lh a t ju k . A (4 ) e g y e n le te t is f ig y e le m b e v é v e , a z ai9 v a ló s v e k t o r o k r a a z

aid+ bfb1 = 0 , atb1 — 0 , Oid — bjb1 — 1

fe lt é t e le k a d ó d n a k , a m ib ő l = 1/ 2, b f í — - 1/2 k ö v e t k e z ik , te h á t a z a{ v e k t o r id ő s z e r ű , a bi p e d ig té r s z e r ű .16

16 M iv e l c s u p á n e g y v e k t o r le h e t id ő s z e r ű , e b b ő l a z k ö v e t k e z ik , h o g y a (2 ) e g y e n le te k n e k n e m le h e t k é t k o m p le x - k o n ju g á lt g y ö k p á r ja .

95. §. AZ EINSTE1N-EGYENLETEK 355

A k o o r d in á t a t e n g e ly e k e t a z a \ b \ n(2)i, n(3)i v e k t o r o k i r á n y á b a v é v e fe l, a z A ik t e n z o r a la k ja (a m e ly e t ( 5 ) s e g ítsé g é v e l s z á m ít h a t u n k k i ] :

'A' A" 0 0A" -A ' 0 00 0 - A < 2 > 00 0 0 -A<3)

I I I . H a a z e g y ik n% v e k t o r n é g y z e te z é ru s (ntnl = 0), a k k o r e z t a v e k t o r t n e m v á la s z t h a t ju k k o o r d in á t a t e n g e ly i r á n y á n a k . M e g v á la s z t h a t ju k a z o n b a n ú g y a z e g y ik x°xa s ík o t , h o g y a z n1 v e k t o r e b b e n a s ík b a n le g y e n . V á la s s z u k e s ík n a k a z x V - e t . E k k o r ntnl = 0 - b ó l k ö v e t k e z ik , h o g y n0 = n1, a z ( 1) e g y e n le t s z e r in t p e d ig

^ o o + ^ o i = A, A 10+ A n — ~ Ka m ib ő l

^ o o = A+ fi, A n — — A+ [i, A 01 = —fi

k ö v e t k e z ik , a h o l (jl n e m in v a r iá n s m e n n y is é g , m iv e l a z x°x1 s ík b a n v é g r e h a jto tt f o r g a t á s o k s o r á n m e g v á lt o z ik ; e g y m e g fe le lő e lf o r g a t á s s a l fi m in d ig v a ló s s á te h e tő . A z x 2, xá te n g e ly e k e t a m á s ik k é t (t é r s z e r ű ) w(2)\ n{d)i v e k t o r m e n t é n v é v e f e l, a z A ik t e n z o r t a z a lá b b i a la k r a h o z h a t ju k :

A-\- fi -fi 0 0 '

— A + fi 0 0

0 0 - A < » 0

0 0 0 - A™

E z a z e set a n n a k fe le l m e g , a m ik o r a (2 ) e g y e n le t k é t g y ö k e (A(0) é s A(1)) e g y e n lő .M e g je g y e z z ü k , h o g y a fé n y s e b e s s é g n é l k is e b b se b e ssé g g e l m o z g ó a n y a g f iz ik a i Tik e n e rg ia -

im p u lz u s - t e n z o r a c s a k e ls ő t íp u s ú le h e t ; e z a z z a l k a p c s o la t o s , h o g y i ly e n k o r m in d ig lé t e z ik e g y o ly a n v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r , a m e ly b e n a z a n y a g e n e r g ia á r a m a , a z a z a h á r o m a ^ot0 k o m p o n e n s e lt ű n ik . U g y a n a k k o r a z e le k t ro m á g n e s e s h u l lá m o k e n e r g ia - im p u lz u s - t e n z o r a a h a r m a d ik t íp u s o ly a n s p e c iá lis e se té h e z t a r t o z ik , a m ik o r A = A(2) = A(3) = 0 ( lá s d a 3 3 . § - t ) ; m e g m u ta t h a t ó , h o g y e lle n k e z ő e se tb e n lé te z n e o ly a n v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r , a m e ly b e n a z e n e r g ia á r a m f e lü lm ú ln á a c - v e l s z o r z o t t e n e rg ia s ű rű s é g e t .

95. §. Az Einstein-egyenletek

Most már hozzákezdhetünk a gravitációs tér egyenleteinek levezetéséhez. Ezeket az egyenleteket a legkisebb hatás elvéből, a 8(Sm+ S g) = 0 feltételből kaphatjuk meg, ahol Sg és S m a gravitációs térhez, illetve a gravitáló anyaghoz tartozó hatásfüggvény. Most a gravitációs teret jellemző gik mennyiségeket variáljuk.23*

Számítsuk ki a 6Sg variációt. Első lépésben a

á j R ^ g d Ü = b $ g ikR ikf ~ g d Q =

= J { R ik í - g b g ik+Rikgik& í - g + g ikí - g S R ik ) d Q

egyenlőséget kapjuk. Behelyettesítve ide a (86,4)-nek megfelelő

S l f - g = - , -ggik& gik2 i - g 2

összefüggést, azt kapjuk, hogy

- g d Q = J { R ik - ^ g ik R ^ &gikí —g d Q + j g ik ő R ik Y -g d ü . (95,1)

dRik kiszámítása előtt megjegyezzük, hogy bár a P kl mennyiségek nem alkotnak tenzort, a 8Pkl variációk mégis tenzort alkotnak. Ez abból következik, hogy egy vektort valamely P pontból egy infinitezimálisan közeli P' pontba párhuzamosan eltolva, a r# A k dx1-lel változik [lásd (85,5)-öt]. Ezért drftAk dxl két olyan vektor különbsége, amelyeket a P pontból ugyanabba a P' pontba való kétféle (egy nem variált és variált P kl-lel történő) párhuzamos eltolással kapunk. Ugyanabban a két pontban vett vektorok különbsége ismét vektor, és emiatt bPkl tenzor.

Használjunk lokálisan geodetikus koordináta-rendszert. Ekkor az adott pontban minden P kl = 0. Az R ik-ra vonatkozó (92,7) képlet segítségével (figyelembe véve, hogy glk első deriváltjai ilyenkor eltűnnek) azt kapjuk, hogy

g* dRik _ g'k J Qxl b r lik dxk <yv,J - g* d x , ö r ‘ik gű dxl ö r kk _ Q x l,

ahol

w1 = gik ö r !ik- g ^ r f k .

Mivel wl vektor, a kapott összefüggés tetszőleges koordináta-rendszerben érvényes alakja:

g ikdRik = Í _ - - ^ — (Y -g w l)Y - g d x1

[dwl/dx l-1 wl. r lel helyettesítettük, és felhasználtuk (86,9)-et]. Tehát (95,l)-ben a m ásodik integrálra fennáll, hogy

95. §. AZ E1NSTE1N-EGYENLETEK 357

amit a Gauss-tétel szerint átalakíthatunk w-nek az egész négyestérfogatot körülzáró hiperfelületre vett integráljává. Ez a tag eltűnik, mivel az erőtér variációja az integrációs felületen zérus. A öSg variáció tehát:17

ÖSg = 1 ónk J - J g ikl t ) dg* f=~g dQ. (95,2)

Megjegyezzük, hogy ha az

lónkgdQ

kifejezésből indulnánk ki, akkor könnyen meggyőződhetnénk arról, hogy

öS, == -c3 0 ( G / - g ) 0 e ( G V -g) ]

1 ónk dgik d x1 a dgik% d x1

ögik dQ.

Ezt (95,2)-vel összehasonlítva, a következő összefüggést kapjuk:

d{G lT^g) 0 d{G ]/~g)1 1R i k - ^ g i k R = dgik d x1 g dgik

d x 1

Az anyag hatásintegráljának variációját (94,5) szerint a

8Sm = ~ ^ T ik b g * Í~ g d Q

(95,3)

(95,4)

képlettel adhatjuk meg, ahol T ik az anyag energia-impulzus-tenzora (az elektromágneses teret is beleértve). A gravitációs kölcsönhatás csak elegendően nagy tömegű testek esetén játszik szerepet (a gravitációs állandó kicsisége miatt). Ezért a gravitációs terek vizsgálata során rendszerint makroszkopikus testekkel van dolgunk, így Tik -ra rendszerint a (94,9) kifejezést kell használni.

A legkisebb hatás 8Sm+ öSg = 0 elvéből kapjuk, hogy

c3[lónk J r,*) d g * Y - g d£2 = o,

17 F e l h í v j u k a f ig y e lm e t a k ö v e t k e z ő é r d e k e s k ö r ü lm é n y r e : h a R J*} / — g d ü v a r iá c ió t [ ( 9 2 ,7 ) á lt a l a d o t t i ^ - v a l f e l í r v a ] ú g y s z á m ít a n á n k k i , h o g y a i ^ - e k e t te k in t e n é n k fü g g e tle n v á lt o z ó k n a k , a £ ít - k a t p e d ig á lla n d ó k n a k , s a s z á m ít á s v é g é n m é g f e lh a s z n á ln á n k a Th-re v o n a t k o z ó ( 86,3) ö s s z e fü g g é s t, a k k o r , a m in t e r r ő l k ö n n y e n m e g g y ő z ő d h e t ü n k , a z o n o s a n z é r u s t k a p n á n k . F o r d í t v a : Tkl é s a m e t r ik u s t e n z o r k a p c s o la t á t ú g y is m e g h a t á r o z h a t n á n k , h o g y m e g k ö v e t e ljü k a f e n t i v a r iá c ió e ltű n é s é t.

amiből öglk tetszőleges voltára való tekintettel az

1 8 J L /c / í \ r /— x

Rik — ^ g ik R = ~^A~Tik (95,5)


egyenlet következik, vagy kevert komponensekkel:

(95,6)

Ezek a keresett gravitációs egyenletek, az általános relativitáselmélet alapegyenletei.

Ezeket az egyenleteket Einstein-egyenletnek nevezzük.

A (95,6)-ban összeejtve az i és k indexeket:

(T = T\). Ezért a téregyenleteket az

alakban is felírhatjuk.Az Einstein-egyenletek nem lineárisak. Ezért a gravitációs terekre nem érvényes

a szuperpozíció elve. Ez az elv gyenge terek esetén, amikor az Einstein-egyenletek linearizálhatók, közelítőleg teljesül. (Ez a helyzet például a klasszikus newtoni gravitációs tér esetében; lásd a 99.§-t.)

Üres térben Tik = 0, ilyenkor a gravitációs egyenletek az

egyenletekre redukálódnak. Ez még egyáltalán nem jelenti, hogy az üres téridő nem görbült, ehhez az erősebb R lkhn — 0 feltételek teljesülése volna szükséges.

Az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorának átlósösszege zérus, T\ = 0 flásd (33,2)-t]. Ebből a (95,7) képlet figyelembevételével következik, hogy amíg csupán az elektromágneses tér van jelen, mindenféle tömeg nélkül, akkor a téridő skalár görbülete zérus.

Mint ismeretes, az energia-impulzus-tenzor divergenciája eltűnik:

Ezért divergenciamentes a (95,6) egyenlet bal oldala is. Ez a (92,10) azonosság miatt valóban így is van. A (95,10) feltételt tehát a (95,6) gravitációs egyenletek

(95,8)

Rtk = 0 (95,9)

(95,10)

95. §. AZ EINSTEIN-EGYENLETEK 359

lényegében már tartalmazzák. Másrészt a (95,10) egyenletek, amelyek az energia és impulzus megmaradásának törvényét fejezik ki, magukban foglalják a,nnak a fizikai rendszernek a mozgásegyenleteit, amelyre a vizsgált energia-impulzus-tenzor vonatkozik (tehát az anyagi részecskék mozgásegyenletét vagy a Maxwell-egyenletek második párját). Ily módon a gravitációs egyenletek tartalmazzák magának a gravitációs teret létrehozó anyagnak az egyenleteit is. Ezért a gravitáló anyag eloszlását és mozgását egyáltalán nem adhatjuk meg tetszőlegesen. Éppen ellenkezőleg, ezeket az anyag által létrehozott térrel egyidejűleg kell meghatározni (adott kezdeti feltételek mellett megoldva a téregyenleteket).

Felhívjuk a figyelmet, hogy ilyen szempontból lényeges különbség van a gravitációs tér és az elektromágneses tér között. Az elektromágneses tér egyenletei (a Maxwell- egyenletek) csak a teljes töltés megmaradásának egyenletét (a kontinuitási egyenletet) tartalmazzák, a töltések mozgásegyenletét nem. A töltések eloszlását és mozgását önkényesen adhatjuk meg, csak az össztöltés állandóságára kell ügyelnünk. A töltéseloszlás ismeretében az általa létrehozott teret a Maxwell-egyenletek segítségével határozzuk meg.

Ugyanakkor azt is világosan kell látnunk, hogy gravitációs térben az anyag eloszlásának és mozgásának teljes meghatározásához az Einstein-egyenletek mellett az anyag állapotegyenletét, azaz a nyomást és sűrűséget összekapcsoló egyenletet is fel kell használnunk. Az Einstein-egyenletek természetesen ezt nem tartalmazzák. Ezt az egyenletet a téregyenletekkel együtt kell megadni.18

A négy x l koordinátát tetszőleges transzformációnak vethetjük alá. Egy ilyen transzformáció segítségével a gik tenzor tíz komponenséből négynek tetszés szerinti értéket adhatunk. Ezért a gik mennyiségekből csupán hat komponens tekinthető független, ismeretlen függvénynek, Továbbá az energia-impulzus-tenzorban szereplő négyessebesség négy ul komponense között fennáll az utul = 1 összefüggés. Tehát, ahogy ennek lennie kell, a (95,5) alatt felírt tíz téregyenletben tíz ismeretlen függvény szerepel: a gik komponensei közül hat, az ul komponensek közül három az ismeretlen meghatározandó, továbbá az anyag g/e2 sűrűsége (vagy p nyomása). Az üres térben érvényes gravitációs egyenletben mindössze hat ismeretlen mennyiség van (g[k komponensei), és ennek megfelelően a független téregyenletek száma is lecsökken: a tíz R ik = 0 egyenlet közül négyet megszorít a (92,10)-zel adott négy azonosság.

Ismerjük meg az Einstein-egyenletek szerkezetének néhány különleges tulajdonságát. Az Einstein-egyenletek másodrendű parciális differenciálegyenlet-rendszert al

18 A z á lla p o te g y e n le t v a ló já b a n n e m k é t, h a n e m h á r o m t e r m o d in a m ik a i m e n n y is é g e t k a p c s o l ö s s z e , p é ld á u l a z a n y a g n y o m á s á t , s ű rű s é g é t és h ő m é rs é k le t é t . A g r a v it á c ió s k ö lc s ö n h a t á s o k le ír á s á b a n a z o n b a n e z a k ö r ü lm é n y r e n d s z e r in t n e m lé n y e g e s, m iv e l a z itt h a s z n á lt k ö z e lít ő á lla p o t e g y e n le te k le g t ö b b s z ö r fü g g e tle n e k a h ő m é r s é k le t t ő l ( i ly e n á lla p o te g y e n le te k r e p é ld a a r i t k a a n y a g p — 0 e g y e n le te v a g y a z e rő s e n ö s s z e n y o m o tt a n y a g r a v o n a t k o z ó e x tr é m r e la t iv is z t ik u s p = e /3 á lla p o t e g y e n le t s tb .).


kotnak, de nem szerepel bennük mind a tíz gik komponens időderiváltja. Valóban, (92,4)-ből látható, hogy idő szerinti második deriváltak csak a görbületi tenzor R 0a0

komponenseiben szerepelnek — y g ^ típusú tagok alakjában (ponttal az x° szerinti

deriválást jelöljük); a metrikus tenzor g0oL és g00 komponenseinek második deriváltjai nem fordulnak elő. Nyilvánvaló ebből, hogy a görbületi tenzorból kontrakcióval kapott R ik tenzorban és ezzel együtt a (95,5) egyenletekben is csak a hat térszerű

komponens második időderiváltja szerepel.Azt is könnyű belátni, hogy ezek a deriváltak csupán a (95,5) f-egyenleteiben szere

pelnek, tehát az

X Z - J % R = - ^ T £ (95,11)

egyenletekben. A JJ- és ^-egyenletek, tehát az

R ° o - j R = ^ n B 0 = 3 ^ _ T S (95,12)

összefüggések csupán első időderiváltakat tartalmaznak. Erről meggyőződhetünk, ha

ellenőrizzük, hogy amikor kontrakcióval az R iklm-bői az i?£-t és az R °— =

= ~ (Rq—^a)‘t képezzük, akkor az R 0(top alakú komponensek valóban kiesnek.

Még egyszerűbben láthatjuk ezt a (92,10) azonosságból, ha azt

- J = - ( e j - J ő?xj (95,13)

alakba írjuk (/ = 0, 1, 2, 3). A legmagasabb rendű időderiváltak ennek az egyenletnek a jobb oldalán másodrendűek (amelyek magukban az R f és az R mennyiségekben lépnek fel). Mivel a (95,13) egyenlet azonosság, bal oldalán is csak másodrendűnél nem magasabb időderiváltak szerepelhetnek. Egy időderiválást azonban már explici

ten tartalmaz az egyenlet, ezért maguk az R °— ~ d^R mennyiségek legfeljebb csak

elsőrendű időderiváltakat tartalmazhatnak.Ezenkívül a (95,12) egyenletek bal oldalai nem tartalmazzák a g0a és g00 első derivál

takat sem (hanem csupán Í a/3-ot). Valóban, ezek a deriváltak a r t kl szimbólumok közül csak a -T^oo’ban és .r0}00-ban szerepelnek, ezek viszont a görbületi tenzor R 0a0/3 típusú komponenseiben lépnek fel, amelyek, mint már tudjuk, kiesnek a (95,12) egyenletek bal oldalának képzésekor.

95. §. AZ EINSTEIN-EGYENLETEK 361

Ha az Einstein-egyenletek adott kezdeti (idő szerint) feltételekhez tartozó megoldásai érdekelnek bennünket, felmerül a kérdés, hány mennyiség kezdeti térbeli eloszlását adhatjuk meg önkényesen.

A másodrendű egyenletekre vonatkozó kezdeti feltételek tartalmazzák mind a differenciálható mennyiségek, mind pedig azok időderiváltjainak eloszlását. Mivel azonban az adott esetben az egyenletek csupán a hat ga/3 mennyiség második deriváltját tartalmazzák, kezdeti feltételként nem adhatjuk meg önkényesen az összes g ik-1 és gik-ot. Tetszőlegesen megadhatjuk a ga/3 és ga/3 függvények kezdeti értékeit (az anyag sűrűségével és sebességével együtt), majd a (95,12) egyenletekből meghatározhatjuk a g0a és g00 megengedett kezdeti értékeit; a (95,11) egyenletekben azonban még megmaradnak g ^ tetszőleges kezdeti értékei.

A megadható kezdeti feltételek így meghatározott számába azonban belevettük azokat a függvényeket is, amelyeknek önkényesen megadható volta egyszerűen a négyes koordináta-rendszer kiválasztásában meglevő önkénnyel kapcsolatos. Ezért az így megadott tetszőleges függvények közül csupán annyinak van reális fizikai értelme, amennyi fizikailag különböző, melyek számát a koordináta-rendszer semmilyen megválasztásával sem lehet már csökkenteni. Fizikai meggondolások alapján könnyen beláthatjuk, hogy az ilyen értelemben egyszerre megadható önkényes függvények száma nyolc: a kezdeti feltételeknek meg kell adniuk az anyag sűrűségeloszlását és sebességének három komponensét, továbbá még négy (az anyaggal nem kapcsolatos) mennyiséget, amelyek a szabad gravitációs teret jellemzik (lásd a a 107. §-t); a vákuumbeli szabad gravitációs tér kezdeti feltételeit ez az utóbbi négy mennyiség adja meg.

Feladat

í r j u k f e l ú g y a z á lla n d ó g r a v it á c ió s té r e g y e n lé té it , h o g y a t é r k o o r d in á t á k s z e r in t a z ö s s z e s d iffe r e n c iá lá s , a yap (8 4 ,7 ) m e t r ik á jú té rb e n é rte lm e z e tt k o v a r iá n s d e r iv á lt a k k a l le g y e n k ife je z v e .

Megoldás. V e z e s s ü k b e a g00 = ^ £oa = ~ hga ( 8 8 ,1 1 ) je lö lé s e k e t és a va h á rm a s s e b e s s é g e t (8 8 ,1 0 ). A z a lá b b ia k b a n a ga, va h á r o m d im e n z ió s v e k t o r o k k a l és a h á r o m d im e n z ió s h s k a lá r r a l k a p c s o la t o s in d e x fe lh ú z á s t , i lle t v e - le h ú z á s t é s a k o v a r iá n s d e r iv á lá s t a yap m e t r ik á jú h á r o m d im e n z ió s té rb e n k e l l é r t e n ü n k .

A k e re s e tt e g y e n le te k n e k in v a r iá n s a k n a k k e l l le n n iü k a z

— **, x° — x°+/(*“) (1)

t r a n s z f o r m á c ió v a l s z e m b e n , a m e ly a té r s t a c io n a r it á s á t m e g ő r z i. E g y i ly e n t r a n s z f o r m á c ió e se tén a z o n b a n , a m in t a r r ó l k ö n n y e n m e g g y ő z ő d h e t ü n k ( lá s d a 88. § 21-es s z á m ú lá b je g y z e t é t), ga gx—

d f------ - , a h s k a lá r é s a yap = —gzp+hgggp te n z o r p e d ig v á lt o z a t la n m a r a d . E z é r t v i lá g o s ,

dxh o g y a k e re s e tt e g y e n le te k , b á r b e n n ü k a yap, h és m e n n y is é g e k s z e r e p e ln e k , a gx-t c s u p á n o ly a n


d e r iv á lt a k k o m b in á c ió já n a k a la k já b a n t a r t a lm a z h a t já k , a m e ly e k h á r o m d im e n z ió s a n t is z im m e t r ik u s t e n z o rt a lk o t n a k :

fctfi ~~ gpi a get; (3 : (2)dxa dx@e z p e d ig a z ( 1 ) t r a n s z f o r m á c ió v a l s z e m b e n in v a r iá n s . F ig y e le m b e v é v e e z t a k ö r ü lm é n y t , a s z á m ít á s o k lé n y e g e se n e g y s z e r ű s íth e t ő k , a g ^ = 0 és g onp + g p ; «. ~ 0 ö s s z e fü g g é s e k re t á m a s z k o d v a 19 (a z R ik-

b a n s z e r e p lő ö s s z e s d e r iv á lt k is z á m ít á s a u t á n ).A C h r is t o f f e l- s z im b ó lu m o k :

rSo = y / i :a,

/i;a + "^-gíi/a/3+ ■ • Flj} = ^ f f ---ygfjh'*.

*3 II 1~2g

r ° -í aü —1

2 h

II 1~~2

/ i a1 Pv = t f y -

( dg*+ ~faf)~^2h(gall;P+gPh;a + g^*P~l~ ---

A z e lh a g y o tt t a g o k (a m e ly e k r e a p o n t o k u t a ln a k ) n é g y z e te s e k a ga v e k t o r k o m p o n e n s e ib e n : e z e k b iz t o s a n k ie s n e k , a m ik o r a z 7 ? ^ -b e li (9 2 ,7 ) d if f e r e n c iá lá s o k e lv é g z é se u t á n = 0 -t v e s z ü n k . A s z á m ít á s o k b a n a (8 4 ,9 ), (8 4 ,1 2 ), (8 4 ,1 3 ) k é p le t e k e t h a s z n á lt u k ; % - k a h á r o m d im e n z ió s C h r is t o f f e l- s z im b ó lu m o k , a m e ly e k e t a yap m e t r ik á n a k m e g fe le lő e n a lk o t t u n k m eg .

A Tik te n z o r a (9 4 ,9 ) k é p le t s e g ítsé g é v e l h a t á r o z h a t ó m e g , m ik ö z b e n «*-1 ( 8 8 ,1 4 ) - b ő l v e s s z ü k (a h o l s z in té n ga = 0-t h e ly e tte s ítü n k ).

A s z á m ít á s e r e d m é n y e k é p p e n a (9 5 ,8 ) e g y e n le te k b ő l a z a lá b b ia k a t k a p j u k :

8 Tik1 s + p

C“

e - p

8 Tik p + e

(3)

(4)1

2 hix;p =

8Tik ~ (p + e )v xv e - p(5 )

It t P* e g y h á r m a s t e n z o r , a m e ly y a^ - k b ó l u g y a n ú g y k é p e z h e t ő , m in t Rtk a g ^ - k b ó l . 2'

19 A fé lre é rt é s e k e lk e r ü lé s e v é g e tt h a n g s ú ly o z z u k , h o g y a s z á m ít á s o k e lv é g z é s é n e k e z a z e g y s z e r ű s íte tt m ó d ja , a m e ly a h e ly e s té re g y e n le te k e t a d ja m e g , ö n m a g á b a n v é v e n e m v o ln a e lő n y ö s Rih te tsz ő le g e s k o m p o n e n s é n e k k is z á m ít á s á r a , m iv e l a z o k n e m in v a r iá n s a k a z ( 1) t r a n s z f o r m á c ió v a l s z e m b e n . A ( 3 ) — (5 ) e g y e n le te k b a l o ld a lá n a R ic c i- t e n z o r n a k a z o k a t a k o m p o n e n s e it tü n t e t t ü k fe l, a m e ly e k k e l té n y le g e s e n e g y e n lő k a f e l ír t k ife je z é s e k . E z e k a k o m p o n e n s e k in v a r iá n s a k a z (1 ) t r a n s z - f o r m á c ió v a l s z e m b e n .

20 A z E in s te in -e g y e n le te k e t h a s o n ló m ó d o n f e l le h e t í r n i a z á lt a lá n o s e se tb e n is , a m ik o r a m e t r ik a a z id ő t ő l fü g g . E k k o r a t é r k o o r d in á t á k s z e r in t v e tt d e r iv á lt a k m e lle tt a z e g y e n le te k b e n s z e r e p e ln e k a yap, ga és h m e n n y is é g e k id ő d e r iv á lt ja i is . L á s d A .L . Zelmanov, D o k i . A k . S Z S Z S Z R 107, 8 1 5 (1 9 5 6 ).

96. §. A GRAVITÁCIÓS TÉR ENERGIA-IMPULZUS PSZEUDOTENZORA 363

96. §. A gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora

Ha gravitációs tér nincs, az anyag (beleértve az elektromágneses erőteret is) energiájának és impulzusának megmaradását a

6Tik/d xk = 0

egyenlet fejezi ki. Ennek az egyenletnek gravitációs tér jelenlétében is érvényes általánosítása a

T k = _ ± =__ aCr f Y ^ g ) _ l dgk± J k l = 0 (96,1)Í — g 8 x k 2 d x '

egyenlet. Ez az egyenlet azonban ilyen alakban általában semminek sem fejezi ki a megmaradását.21

Ez a körülmény azzal kapcsolatos, hogy gravitációs térben nem a gravitáló anyag négyesimpulzusának, hanem az anyag és a gravitációs tér együttes négyesimpulzusának kell megmaradnia; az utóbbit a Tf-re adott kifejezés nem veszi figyelembe.

A gravitációs tér és a benne levő anyag megmaradó, teljes négyesimpulzusának meghatározása céljából a következőképpen járunk el (L. D. Landau, E. M. Lifsic, 1947).22 Válasszuk meg úgy a koordináta-rendszert, hogy a téridő valamilyen kiszemelt pontjában a gik mennyiségek koordináták szerinti összes első deriváltja zérus legyen. (Maguknak a gik-knak nem kell feltétlenül Galilei-félének lenniük.) Ekkor a ki-

f í ------ d ^ - g T *21 E z a b b ó l lá t h a t ó , h o g y a z J T f y — g dSk in t e g r á l c s u p á n a -— — k = 0 fe lt é t e l, n e m p e d ig

(9 6 ,1 ) te lje s ü lé s e e se té n m a r a d m e g . E r r ő l k ö n n y e n m e g g y ő z ő d h e t ü n k , h a a 2 9 .§ - b a n G a l i le i - k o o r - d in á t á k b a n e lv é g z e tt s z á m ít á s o k a t m e g is m é t e ljü k g ö r b e v o n a lú k o o r d in á t á k b a n . E g y é b k é n t e le g e n d ő e g y s z e rű e n a z t é s z r e v e n n i, h o g y e z e k a s z á m ít á s o k te lje s e n f o r m á lis a k , és fü g g e tle n e k a m e g fe le lő m e n n y is é g e k t e n z o r t u la jd o n s á g a it ó l. [A G a u s s - t é t e l b iz o n y ít á s a fü g g e tle n a v á lt o z ó k tr a n s z f o r m á - c ió ja it ó l, e z é r t a G a u s s - t é t e l g ö r b e v o n a lú k o o r d in á t á k k a l m e g a d o tt ( 8 3 , 1 7 ) a la k ja u g y a n o ly a n , m in t a D e s c a r t e s - k o o r d in á t á k k a l a d o t t e g y e n le té t.]

22 F e lm e r ü lh e t a z a z ö t le t , h o g y a lk a lm a z z u k g r a v it á c ió s té rre a (9 4 ,4 ) k é p le te t, a b b a A = — c4G ll6jik-t h e ly e tte s ítv e . H a n g s ú ly o z z u k a z o n b a n , h o g y e z a k é p le t c s a k o ly a n f iz ik a i r e n d s z e r e k r e é rv é n y e s , a m e ly e k a ^ - k t ó l k ü lö n b ö z ő q m e n n y is é g e k k e l ír h a t ó k le ; e z é r t n e m a lk a lm a z h a t ju k a g r a v it á c ió s té rre , a m e ly e t m a g u k a gik m e n n y is é g e k h a t á r o z n a k m e g . M e llé k e s e n m e g je g y e z z ü k : h a (9 4 ,4 )-b e n A h e ly e tt G -t h e ly e tte s ítü n k , e g y s z e rű e n z é ru s t k a p u n k , a m in t e z (9 5 ,3 )- b ó l és a v á k u u m b e li té r e g y e n le te k b ő l k ö z v e t le n ü l lá t h a tó .

szemelt pontban a (96,1) egyenlet második tagja eltűnik, az első tagban pedig V—g kihozható a deriválás jele elé, és így a

- d T k _ q8xk 1

egyenlet érvényben m arad; ugyanez kontravariáns komponensekben:

8


8xkT ik = 0.

Az ezeket az egyenleteket azonosan kielégítő T mennyiségeket

r ‘ = W ’>‘ '

alakban adhatjuk meg, ahol az rjlkl-Q k a i , / indexekben antiszimmetrikus mennyiségek:

Yjikl __ _Yjilk

Nem nehéz T lk-1 expliciten ilyen alakra hozni. Induljunk ki a téregyenletekből:

c.4

%7tkÍ92,l) szerint pedig

R i k _ 1 p i m p k p p l n I ----- ------------------ l1 f , 62Smn _ Wgtn 82gmp ][2 | 8xm 8xn 8x l 8xp [8xm 8xp 8x l 8x” J

^emlékeztetünk arra, hogy a vizsgált pontban az összes T lkl = 0). Egyszerű transzformációk után a T lk tenzort

T “ - - w { t s f t e * * - -*"**■)]}alakra hozhatjuk.

A kapcsos zárójelben álló kifejezés a A:, / indexekben antiszimmetrikus, és megegyezik azzal, amit korábban rjlkl-lel jelöltünk. Mivel gik első deriváltjai a vizsgált pontban nullák, az l / ( —g) faktort kihozhatjuk a 8/8xl deriválási jel alól. Vezessük be a

bikl = Xiklm (96,2)dxm ’

es a

l iklm = ( - g ) (gikg lm - g “gkm) (96,3)

jelöléseket; b‘kl-ek a k, l indexekben antiszimmetrikus mennyiségek:biki = _ buk_ (96,4)

Ekkor azt írhatjuk, hogyflfyikl

_ __ = ( — Cr)TÍk.d x1 K g)

8 g kEz a —V = 0 feltevéssel levezetett össszefüggés nem marad érvényes tetszőleges

dx18b*k^

koordináta-rendszerre való áttéréskor. Az g)Tlk különbség általános eset

ben nem tűnik el. A különbséget jelöljük (~ g )tlk-val. Ekkor definíciószerűen:

8bikl= (96,5)

A tlk mennyiségek az /, k indexekben szimmetrikusak:

t ik = tki. (96,6)

Ez a definíciójukból közvetlenül leolvasható, mivel mind a T lk tenzor, mind a dblkljd x l deriváltak szimmetrikus mennyiségek.23 T lk az Einstein-egyenletek segítségével R ik-v&\ fejezhető ki. így az alábbi azonosságot kapjuk:

<% ’7)

Ebből meglehetősen hosszú számolás után tlk-ra az adódik, hogy

tik ^2r ‘'nr ^ - r ipr>n, - W J (g‘lgkm-g ikg,m) +

_i_ g‘,gmn( rfp r?n„+r knn rplp —r kprplm —r kmr p )+ +gklgmn(rílprpmn+ r imnrjp - n Pr?m - r ilmrpp)+ +g,mgn%rinr kmp- r ilmn p)}, (96,8)

vagy közvetlenül a metrikus tenzor komponenseinek deriváltjaival


{ - g ) í ik = jfi'*. / 8/m. m - 0". / Qkm, m + ~ g ikgun0lln, p 9"". „ -

- ( g Ílg m n $ kn , p % m p, l + g k lg m n % Ín , P %m p , l ) + g l m g np 8'7. n% k m .p +

+ J (2g u g km ~ g ikg lm ) (2g „ Pg qr - g pqg „ r )a >nr, i § pq . mJ, (96,9)

ahol Qik = Í~—gglk, az «, /» index pedig közönséges deriváltat jelöl x l szerinti

23 T ik f e n t i k ife je z é s é b e n é p p e n e m ia t t h o z t u k k i ( — # )-t a z xl s z e r in t i d e r iv á lá s je le a ló li E lle n k e z ő e se tb e n dbikl/dxl, és íg y tik- k s e m le n n é n e k s z im m e t r ik u s a k a z i, k in d e x e k b e n .


A t lk mennyiségek lényeges tulajdonsága, hogy nem képeznek tenzort; ez már abból is látható, hogy 8blkl/d x l-ben közönséges és nem kovariáns derivált szerepel. Ugyanakkor a tlk-k kifejezhetők a F lkl mennyiségek segítségével, az utóbbiak pedig a koordináták lineáris transzformációi esetén tenzorként viselkednek (lásd a 85.§-t), tehát ugyanez érvényes tlk-ra is.

A (96,5) definícióból az is következik, hogy a T lk+ tlk összeg azonosan eleget tesz a

~^7k- ( - g ) (Tik+ t ik) = 0 (96,10)

egyenleteknek. Ez azt jelenti, hogy a

pi = 7 J (~ S) (T‘k+t ik) d s k (96,1 1 )

mennyiségre megmaradási törvény érvényes.Ha nincs gravitációs tér, Galilei-koordinátákban tlk = 0, a (96,11) integrál pedig

-i- J T lk dSk-ba megy át, ami az anyag négyesimpulzusa. Ezért a (96,11) mennyiségeket

a gravitáló anyag és gravitációs tér eredő négyesimpulzusával azonosíthatjuk. A tik mennyiségek összességét a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzorának nevezzük.

A (96,ll)-ben szereplő integrálást elvégezhetjük bármilyen végtelen hiperfelületre, amely tartalmazza a háromdimenziós teret. Ha az x ° = const hiperfelületet választjuk, akkor P l felírható háromdimenziós térfogati integrál alakjában:

P ‘ = ( - g ) (Tm+1‘°) dV. (96,12)

Rendkívül lényeges az a tény, hogy az anyag és a tér teljes négyesimpulzusát az i és k indexeikben szimmetrikus mennyiségekre vett integrálok alakjában lehet kifejezni. Ez azt jelenti, hogy megmarad a négyes impulzusmomentum, amelyet az alábbi kifejezés definiál (lásd a 32. §-t) :24

J ik = | (x‘dPk ~ x k dP') = - I J [xi(Tkl+ tkl) ~ x k(T‘l+ /'')] ( - g ) dS,. (96,13)

24 S z ü k s é g e s n e k t a r t ju k m e g je g y e z n i, h o g y a z a n y a g és té r n é g y e s im p u lz u s á r a á lt a lu n k k a p o t t k ife je z é s e g y á lt a lá n n e m a z e g y e tle n le h e tő s é g . E lle n k e z ő le g , s z á m t a la n m á s m ó d s z e r r e l le h e t o ly a n k if e je z é s h e z j u t n i , a m e ly a té r k ik a p c s o lá s a e se té n T ik- b a m e g y á t, a dSk s z e r in t i in t e g r á l ja i p e d ig m e g m a r a d ó m e n n y is é g e k (lá s d p é ld á u l a z e s z a k a s z h o z t a r t o z ó f e la d a t o t ) . D e a z á lt a lu n k h a s z n á lt m ó d s z e r a z e g y e tle n o ly a n , a m e ly n e k a lk a lm a z á s á v a l a g r a v it á c ió e n e r g iá já n a k és im p u lz u s á n a k p s z e u d o t e n z o r a ^ - n a k c s u p á n e ls ő d e r iv á lt ja it (é s n e m m a g a s a b b r e n d ű e k e t ) t a r t a lm a z z a (a m e ly fe lt é t e l f iz ik a i s z e m p o n t b ó l te lje s e n te rm é s z e te s ), és e m e lle tt s z im m e t r ik u s , e z á lt a l le h e tő v é te s z i a z im p u lz u s m o m e n t u m m e g m a r a d á s i t ö r v é n y é n e k m e g fo g a lm a z á s á t.


Ily módon az általános relativitáselméletben is megmarad a gravitációs terek zárt rendszerének teljes impulzusmomentuma, ezenkívül az egyenletes mozgást végző tömegközéppont ugyanúgy definiálható, mint korábban. Ez utóbbi a J °a komponenseknek megmaradásával kapcsolatos, amit az alábbi egyenletek fejeznek ki (lásd a 14. §-t):

„Y° J (7™+ fM ) ( - g ) d V - j xH T00+ /"«) ( - g ) d v = const,

így a tömegközéppont koordinátáit az

{ x«(To°+ t°o)(-g)dVX* = ± - ------------- ------- ------ (96,14)

J(roo+?oo ) ( - g)d Vképletek adják meg.

Az adott térfogatelemben inerciális koordináta-rendszert választva, a téridő bármely pontjában az összes tlk mennyiséget zérussá tehetjük (eközben természetesen az összes r ikl is zérussá válik). Másrészről tlk-nak zérustól különböző komponensei lehetnek euklideszi, azaz gravitációmentes térben, ha Descartes-koordináták helyett közönséges görbevonalúakat használunk. Ezért mindenesetre értelmetlen arról beszélni, hogy a gravitációs tér energiája a térben lokalizált. Ha a Tik tenzor zérus valamely világpontban, ez bármely vonatkoztatási rendszerben is igaz, ezért mondhatjuk, hogy ebben vagy abban a pontban nincs anyag, nincsen elektromágneses tér. Ezzel ellentétben, abból, hogy egy speciális vonatkoztatási rendszert alkalmazva, a pszeudotenzor valamely pontban zérussal egyenlő, egyáltalán nem következik, hogy ugyanott eltűnik egy másik vonatkoztatási rendszer használata esetén is. Ezért értelmetlen arról beszélni, hogy egy adott pontban van-e gravitációs energia. Ez teljesen megfelel annak, hogy a koordináták alkalmas megválasztásával az adott térfogatelemben a gravitációs teret meg lehet „szüntetni”, hiszen a fentebb mondottak szerint ezzel egyidejűleg ugyanabban az elemben a tlk pszeudotenzor is zérussá válik.

Ugyanakkor a tér és anyag együttes Pl négyesimpulzusának teljesen határozott jelentése van, amely láthatóan olyan mértékben független a vonatkoztatási rendszer megválasztásától, amilyen mértékben fizikai meggondolások alapján függetlennek kell lennie.

Vegyünk fel a vizsgált tömegek körül egy olyan nagy tértartományt, hogy a gravitációs tér a tartományon kívül elhanyagolhatóan kicsi legyen. A négydimenziós téridőben ez a tartomány az idő múlásával egy „csatornát” metsz ki. E „csatornán” kívül nincs erőtér, úgyhogy a négyestér sík. Ebből következően az erőtér energiájának és impulzusának kiszámításakor a vonatkoztatási rendszert úgy kell megválasztanunk, hogy az a „csatornán” kívül Galilei-féle legyen, és minden tlk eltűnjön.

Ez a követelmény természetesen még egyáltalán nem határozza meg egyértelműen a vonatkoztatási rendszert, azt a csatorna belsejében tetszőlegesen választhatjuk.


A P l mennyiségek fizikai jelentésével teljes egyezésben azonban azok teljesen függetlenek attól, hogy hogyan választottuk meg a koordináta-rendszert a „csatorna” belsejében. Valóban, vizsgáljunk két olyan koordináta-rendszert, amely a „csatornán” kívül ugyanabba a Galilei-féle koordináta-rendszerbe megy át, a „csatornán” belül azonban különbözik, és hasonlítsuk össze a négyesimpulzus két rendszerben adódó Pl és P '1 értékeit adott x°, ill. x'° „időpillanatokban”. Vezessünk be egy harmadik koordináta-rendszert, amely a csatorna belsejében az x° időpillanatban az első rendszerrel, x'° időpillanatban pedig a másodikkal esik egybe, a csatornán kívül pedig ugyanazzal a Galilei-félével. Az energia és impulzus megmaradása miatt a P l mennyiségek állandóak (dPl/dx° = 0). Ez, akárcsak az első kettőben, igaz a harmadik koordináta-rendszerben is. Ebből következik, hogy P l = P '\ amit bizonyítanunk kellett.

A fentiekben megjegyeztük, hogy a tlk mennyiségek lineáris koordinátatranszformációk során tenzorként viselkednek. Ezért a Pl mennyiségek négyesvektort alkotnak lineáris transzformációkkal szemben, speciálisan az olyan Lorentz-transzformációk- kal szemben is, amelyek a végtelenben az egyik Galilei-rendszert egy másikba viszik át.25

A P l négyesimpulzust ki lehet fejezni végtelen távoli, az „egész teret” magában foglaló háromdimenziós felületre vett integrál alakjában is. (96,5)-öt (96,ll)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

1 r 8bikl c J d x1 k•

Ez az integrál a (6,17) képlet segítségével közönséges felületi integrállá alakítható:

P‘ = - ^ j > b ikldfk*l . (96,15)

Ha (96,ll)-ben integrálási tartományként az x° = const hiperfelületet választjuk, akkor (96,15)-ben az integrálási felület tisztán térszerű:26

P ‘ = X~ ^ b ‘ d f 0í: (96,16)

25 S z ig o r ú é rte le m b e n , a (9 6 ,1 1 ) d e f in íc ió s z e r in t , a P * - k c s a k a z e g y s é g n y i d e t e r m in á n s ú l in e á r is t r a n s z f o r m á c ió k k a l s z e m b e n a lk o t n a k n é g y e s v e k t o r t ; i ly e n e k a f iz ik a i s z e m p o n t b ó l é rd e k e s L o r e n t z - t r a n s z f o r m á c ió k is . H a m e g a k a r u n k e n g e d n i n e m e g y s é g n y i d e t e r m in á n s ú t r a n s z f o r m á c ió k a t is , a k k o r P i d e f in íc ió já b a a ( 9 6 ,1 1 ) b a l o ld a lá n b e k e l l v e z e t n i g v é g te le n b e li é rté k é t, P l h e ly e tt

ír v a .26 A dfj*í „ n o r m á l is ” f e lü le te le m a d f ik „ t a n g e n c iá l is ” f e lü le te le m m e l a ( 6 ,1 1 ) a la t t m e g is m e rt

df*k = ~ eiUm d f lm k a p c s o la t b a n v a n . A z x° te n g e ly re m e rő le g e s h ip e r f e lü le t e t m a g á b a n f o g la ló

f e lü le te n c s u p á n a z /, m = 1, 2 , 3 in d e x ű d f lm k o m p o n e n s e k k ü lö n b ö z n e k z é r u s t ó l, e m ia t t df{l~n a k c s a k o ly a n k o m p o n e n s e i v a n n a k , a m e ly e k re a z i é s k in d e x e k e g y ik e z é r u s . A dfo k o m p o n e n s e k p e d ig é p p e n a fe lü le te le m k ö z ö n s é g e s h á r o m d im e n z ió s k o m p o n e n s e i, a m e ly e k e t e g y s z e rű e n dfa-val j e lö lü n k .

Az impulzusmomentumra vonatkozó hasonló képlet levezetése céljából helyettesítsük (96,5)-öt (96,13)-ba, és használjukfel bm (96,2) alakját. Ezután parciális integrálással azt kapjuk, hogy

... 1 C ( . 82Xklmn . 82Xilm" \~~c J (*' 8xm dxn X ~8xm 8xn ) 1 ~

1 f / 8Xklmn t 8Xilmn\ jrit 1 f / s. 8Xklmn 8Xilmn \~ 2c J (* 8xn X 8x" ) flm c J ( m 8xn m dxn ) 1

= (x ibklm- x kb ilm) - 7 1 (XkUn ~ X‘lkn) d s ‘-

A l lklm definíciójából könnyű belátni, hogy

} i lk r t_} k l in __

Ezért a megmaradt dSt szerinti integrál az

1 C dAilnk 1 C

kifejezéssel egyenlő'.Végül, ismét tisztán térszerű integrálási felületet választva, kapjuk a végeredményt:

J lk = -1 j* (x ‘bk<)ri - x kb i(yí+ A'0afc) dfa. (96,17)


Feladat

H a t á r o z z u k m e g a (3 2 ,5 ) k é p le t f e lh a s z n á lá s á v a l a g r a v it á ló a n y a g é s g r a v it á c ió s té r te lje s n é g y e s im p u lz u s á t .

Megoldás. G ö r b e v o n a lú k o o r d in á t a - r e n d s z e r e k b e n ( 3 2 , 1 ) s z e re p é t a z

5 = \ A Í ~ g d V d t

k if e je z é s v e s z i á t, e z é r t a m e g m a r a d ó m e n n y i n e k m e g h a t á r o z á s á n á l (3 2 ,5 )- b e n A h e ly e tt A Y - g - t k e l l í r n u n k . í g y a n é g y e s im p u lz u s

dSk.

E z t a k é p le t e t a lk a lm a z z u k a z a n y a g r a , e k k o r a q{l) m e n n y is é g e k n e m a z o n o s a k a £ <jfc- k k a l , íg y

Y —g-t a d e r iv á lá s i j e le k a ló l k ih o z h a t ju k . A z in t e g r a n d u s Y^~gTi l e s z > a h o l 7 ? a g r a v it á ló a n y a g

2 4 Elm életi fizika II. - 42221/11.


e n e r g ia - im p u lz u s - t e n z o r a . H a a f e n t m e g a d o t t k é p le t e t g r a v it á c ió s té r r e a lk a lm a z z u k , a k k o r

16 nkG k ife je z é s t k e l l v e n n ü n k , a q{ ) m e n n y is é g e k p e d ig a m e t r ik u s te n z o r gik k o m p o n e n s e it

je le n t ik . A z a n y a g é s té r te lje s n é g y e s im p u lz u s á t te h á t a z a lá b b i k é p le t a d ja m e g :

Pf =í

Ti|/- * ‘,S*+ TÍJFJ

Gf - g ő t - dx* dg,mdxk

dSk.

G - n e k ( 9 3 ,3 ) k ife je z é s é t f e lh a s z n á lv a , e z t a k é p le t e t a z a lá b b i a la k r a le h e t h o z n i:

V-g+- Í6nk [gY - g ó t + r f „ g) - r L ,dx*d(gmkf —g)

dx*

A k a p c s o s z á r ó je le k b e n le v ő m á s o d ik ta g a z a n y a g t ó l m e n te s g r a v it á c ió s té r n é g y e s im p u lz u s á t h a t á r o z z a m e g . A z in t e g r a n d u s n e m s z im m e t r ik u s a z i és k in d e x e k b e n , e z é rt n e m te s z i le h e tő v é , h o g y a z im p u lz u s m o m e n t u m m e g m a r a d á s á n a k t ö r v é n y é t m e g fo g a lm a z z u k .

97. §. Szinkronizált vonatkoztatási rendszer

Amint a 84. §-ban láttuk, az órák járását csak abban az esetben lehet a tér különböző pontjaiban szinkronizálni, ha a metrikus tenzor g0a komponensei zérussal egyenlőek. Ha ezen túlmenően még a goo = 1 egyenlőség is fennáll, akkor az x° = t időkoordináta a sajátidő lesz a tér minden pontjában.27 Azt a vonatkoztatási rendszert, amely eleget tesz a

goo = 1, go, = 0 (97,1)feltételeknek, szinkronizált vonatkoztatási rendszernek nevezzük. Egy ilyen rendszerben az ívelemnégyzet

ds2 = d f — y aj3 dx* dx&, (97,2)

ahol a térbeli metrikát megadó tenzor komponensei (előjeltől eltekintve) a ga/3 komponensekkel egyeznek meg:

V*fi = -g*p- (97,3)Szinkronizált vonatkoztatási rendszerben az idővonalak a négyestérben geodetikus

vonalak. Valóban, az x1, x2, xs = const világvonal ul = dx'/ds érintő-négyes - vektorának komponensei = 0, u° = 1, és ez automatikusan kielégíti a geodetikus egyenleteket:

^ + n , u kui = n 0 = o,

mivel a (97,1) feltétel m iatt a /^o, ^oo Christoffel-szimbólumok azonosan eltűnnek.

27 E b b e n a p a r a g r a f u s b a n c — 1 -g y e l s z á m o lu n k .

97. §. SZINKRONIZÁLT VONATKOZTATÁSI RENDSZER 371

Könnyen beláthatjuk azt is, hogy ezek a vonalak merőlegesek a t = const felületre.

Ez abból következik, hogy egy ilyen hiperfelülethez tartozó nt = normális

négyesvektornak a komponensei nx = 0 és n0 = 1. A megfelelő kovariáns komponensek a (97,1) feltétel miatt szintén i f = 0, n° = 1, azaz megegyeznek az idővonalak ul érintő irányú négyesvektorának komponenseivel.

Fordítva, a most talált két tulajdonságot felhasználhatjuk tetszőleges téridőbeli szinkronizált vonatkoztatási rendszer geometriai megkonstruálására. E célból kiindulásként válasszunk tetszőleges térszerű hiperfelületet, azaz olyat, amelynek minden pontjához időszerű (az adott eseménypontban felvett fénykúp belsejében levő) normális tartozik; egy ilyen hiperfelületben az összes ívelem térszerű. Ezek után keressük meg a szóban forgó felületre merőleges geodetikus vonalakat. Ha végül ezeket a vonalakat választjuk az idő koordinátavonalainak, és a t időkoordinátát a geodetikus vonalak kiindulási felülettől mért s ívhosszként definiáljuk, akkor szinkronizált vonatkoztatási rendszert kapunk.

Világos, hogy egy ilyen konstrukció, azaz egy szinkronizált koordináta-rendszer választása elvileg mindig lehetséges. Sőt ez a választás még nem is egyértelmű. A (97,2) alakú metrika a térkoordináták tetszőleges, időt nem érintő transzformációja esetén, továbbá a fenti geometriai konstrukcióban szereplő kiindulási hiperfelület megválasztásában levő önkény által megengedett transzformáció esetén változatlan marad.

Szinkronizált vonatkoztatási rendszerre vezető transzformációt elvileg analitikusan lehet elvégezni, a Hamilton—Jacobi-egyenletek segítségével. E módszer alapja, hogy gravitációs térben a részecskepályák egyben geodetikus vonalak.

Egy gravitációs térben levő (egységnyi tömegű) részecske Hamilton—Jacobi egyenlete:

dr_ J t8 6x< dxk l , )

(a hatást r-val jelöltük). Ennek teljes integrálja

* = / ( ! « , * 0 + A t ) (97,5)

alakú, ahol / a négy x l koordináta és három | a paraméter függvénye; a negyedik állandót, A-t a három | a tetszőleges függvényének tekintjük, r ilyen ábrázolása esetén a részecske pályájának egyenleteit abból lehet megkapni, hogy zérussá tesszük a 0 r /0 |a deriváltakat, azaz

0 / 8 A /r_~ w ~ w ' ^

A £a paraméterek minden megadott értékéhez a (97,6) egyenlet jobb oldalának meg-24*

határozott állandó értéke tartozik, és a (97,6) egyenletek által meghatározott világvonal a részecske egyik lehetséges pályája. Szinkronizált vonatkoztatási rendszert úgy kapunk, hogy a pálya mentén új térkoordinátákként a | a mennyiségeket, új időkoord*^ taként pedig a r mennyiséget választjuk, a (97,5) és a (97,6) egyenletek pedig m eghám ozzák a régiekről az új koordinátákra történő áttérés keresett transz- formációját. d ió b a n , egy ilyen transzformáció esetén az idővonal automatikusan geodetikussá v*Iik, és ezek a vonalak a r = const hiperfelületek normálisai lesznek. Ez utóbbi nyilvánvalóan következik egy mechanikából vett analógiából: a hiperfelület normális egységvektora — d t/d x ( a mechanikában a részecske négyesimpulzusát adja, így iránya me&e<*yezik az ul négyessebességnek, tehát a világvonal érintő-négyes - vektorának a. bányával. Végül a goo = 1 feltétel teljesülése nyilvánvalóan adódik abból, hogy a hatás világvonal mentén vett —dt/ds deriváltja a részecske tömegét adja, amelyet egységnyinek vettünk, tehát \dt/ds\ = 1.

írjuk fel az Einstein-egyenleteket szinkronizált vonatkoztatási rendszerben, szétválasztva bennük az idő és tér szerint végrehajtandó differenciálást.

Vezessük be a háromdimenziós metrikus tenzor komponenseinek időderiváltjaira a

= (97,7)

jelölést; e mennyiségek szintén háromdimenziós tenzort alkotnak. A #a/3 tenzor indexeinek fel- és lehúzását, annak kovariáns differenciálását a későbbiekben a y^ metrikájú háromdimenziós térben végezzük.28 Megjegyezzük, hogy a összeg a y = \yap\ = — g determináns logaritmikus deriváltjával egyenlő:

^ = ^ % - = w I n y - (97’8)A Christoffel-szimbólumokra

r ooo = n 0 = r í = 0, n? = jx aP, r h = 4, (97,9)

adódik, ahol Xpy-k a yaj3 tenzorból képzett háromdimenziós Christoffel-szimbólumok. A (92,7) képletből kiindulva, az R ik komponensekre a következő kifejezéseket kapjuk:

■R°° = ~ J ^ = \1 0 1

= P*f) + Y + (KtfXy-Zx&ííy)-

(97,10)

28 E z a z o n b a n te rm é s z e te s e n n e m v o n a t k o z ik a z Rik, T%k n é g y e s t e n z o r o k té r k o m p o n e n s e it j e lö lő in d e x e k f e l- és le h ú z á s á r a ( lá s d a 88. § 2 3 s z á m ú lá b je g y z e t é t). í g y a j f , m in t k o r á b b a n , a z g^yTyo,+gP°T0a ö s s z e g e t je le n t i , a m i az a d o t t e s e tb e n g^yTyoL- r a r e d u k á ló d ik , é s e z e lő je lb e n k ü lö n b ö z ik y^yTy0L- tó i.


Itt P^p a háromdimenziós Ricci-tenzor, amelyet a ya(5 komponensekből ugyanúgy kell felépíteni, ahogyan a £,fc-kból az R ik tenzort; az alábbiakban P ^ indexeit is a y„p metrikus tenzor segítségével húzzuk fel.

Az Einstein-egyenleteket kevert komponensekben adjuk meg:

*8 = - j (Tő - y (97,11)

R°a = J = 8«kTS, (97,12)

R í = = 8 » f c ( r 2 - i « £ r y (97,13)2 Yy dt \ 2 J

A szinkronizált vonatkoztatási rendszerek egyik jellemző tulajdonsága, hogy nem stacionáriusak: a gravitációs tér egy ilyen rendszerben nem lehet állandó. Állandó gravitációs térben ugyanis = 0 lenne. Ez azonban, anyag jelenlétében, ellentmondásban állna a (97,11) egyenlettel (amelynek jobb oldala zérustól különbözik). Üres térben pedig (97,13)-ból azt kapnánk, hogy az összes P ^ és ezért a P ^ yö háromdimenziós görbületi tenzor valamennyi komponense is zérussá válik, ami azt jelenti, hogy egyáltalán nincs erőtér (szinkronizált rendszerben euklideszi térmetrika esetén a tér- időkontinuum nem görbült).

Szinkronizált vonatkoztatási rendszerben általában a teret kitöltő anyag sem lehet nyugalomban. Ez nyilvánvaló abból, hogy olyan anyag részecskéi, amelyben nyomóerők hatnak, általában nem geodetikus vonal mentén mozognak; ugyanakkor a nyugalomban levő részecske világvonala idővonal, amely szinkronizált rendszerben geodetikus. Kivételt csak a „porszerű” (p = 0) anyag képez. Mivel egy ilyen anyag részecskéi nem állnak kölcsönhatásban egymással, geodetikus világvonal mentén mozognak; ebben az esetben tehát a vonatkoztatási rendszer szinkronizáltságának feltétele nem mond ellent a rendszerben levő anyag ,együttes mozgása” feltételének.29 Más állapotegyenleteknél hasonló helyzet csak akkor lehetséges, ha az összes vagy némely irányban a nyomás gradiense zérus.

29 M é g e b b e n a z e s e tb e n is c s a k a k k o r v á la s z t h a t u n k „ s z in k r o n iz á lt a n e g y ü t t m o z g ó ” v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r t , h a a z a n y a g „ f o r g á s n é l k ü l ” m o z o g . E g y ü t t m o z g ó r e n d s z e r b e n a n é g y e sse b e ssé g k o n t r a v a r iá n s k o m p o n e n s e i u° = 1, wa = 0 . H a a v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r e z e n k ív ü l m é g s z in k r o n iz á lt is , a k k o r a k o v a r iá n s k o m p o n e n s e k r e s z in t é n u0 = 1, wa = 0, e z é r t a n é g y e s s z ö g se b e ssé g

ÖM* duk««*-««» = g-i- = 0.

E n n e k a t e n z o r e g y e n lő s é g n e k v is z o n t te tsz ő le g e s m á s ik v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r b e n is ig a z n a k k e li le n n ie . í g y e g y s z in k r o n iz á lt , d e n e m e g y ü t t m o z g ó r e n d s z e r b e n a v h á r o m d im e n z ió s se b e ssé g re a r ő t v = 0 fe lt é t e lt k a p ju k .

A (97,11) egyenlet segítségével megmutathatjuk, hogy a metrikus tenzor — g = y determinánsának szinkronizált vonatkoztatási rendszerben feltétlenül zérussá kell válnia véges idő alatt.

E célból megjegyezzük, hogy a (97,11) jobb oldalán álló kifejezés tetszőleges anyageloszlás esetén is állandó. Ugyanis a (94,9) energia-impulzus-tenzorra szinkronizált vonatkoztatási rendszerben a

kifejezést kapjuk [a négyessebesség komponenseit (99,14)-ből vettük], amely nyilvánvalóan pozitív. E tulajdonság érvényes marad az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorára is (T = 0,7"° az erőtér pozitív energiasűrűsége). így (97,1 l)-ből azt kapjuk, hogy

alakba írhatjuk át. Legyen például valamely időpillanatban pozitív. Ekkor r csökkenésével az mennyiség is csökken, miközben deriváltja mindig véges (nem zérus), és ezért 1 /«“ véges idő alatt zérussá válik. Más szóval, -f- oo-né válik, és minthogy = d In y/dt, ez azt jelenti, hogy a y determináns zérussá válik [mégpedig a (97,15) egyenlőtlenség szerint, nem gyorsabban, mint Z6]. Ha a kiindulási időpillanatban < 0, akkor ugyanez növekvő időre igaz.

Ez az eredmény azonban még egyáltalán nem bizonyítja, hogy a metrikában okvetlenül léteznie kell a valódi, fizikai szingularitásnak. Csak olyan szingularitást tekintünk fizikainak, amely a téridőnek belső tulajdonsága, és nincs összefüggésben a vonatkoztatási rendszer választásának jellegével. (Egy ilyen szingularitást okvetlenül az jellemez, hogy a végtelenben skaláris mennyiségek, mint az anyagsűrűség vagy a

(97,14)

(az egyenlőségjel üres térben érvényes). Felhasználva a

'4-4 ^ y ( * 9 2

egyenlőséget,30 (97,14)-et

vagy

6 (97,15)

30 A z e g y e n lő t le n s é g é r v é n y e s s é g é r ő l k ö n n y e n m e g g y ő z ő d h e t ü n k a t e n z o r (te ts z ő le g e s id ő p i lla n a t b a n v é g r e h a jt o t t ) d ia g o n a liz á lá s á v a l.


görbületi tenzor invariánsai, zérussá válnak.) A szinkronizált vonatkoztatási rendszerben fellépő szingularitás, amelynek elkerülhetetlenségét most bizonyítottuk, általában fiktív, amely másik (nem szinkronizált) vonatkoztatási rendszerre áttérve eltűnik. Felléptük egyszerű geometriai megfontolásokból megérthető'.

A fentiekben láttuk, hogy szinkronizált vonatkoztatási rendszer megszerkesztése visszavezethető tetszőleges térszerű hiperfelületre merőleges geodetikus vonalsereg megtalálására. Egy tetszőlegesen adott halmazhoz tartozó geodetikus vonalak azonban általában bizonyos burkoló felületekben metszik egymást, amelyek a geometriai optika kausztikus felületeinek négydimenziós analogonjai. A koordinátavonalak metszéspontja pedig természetesen az adott koordináta-rendszerben a metrika szingularitási pontja. A szingularitások felléptének tehát olyan geometriai okai vannak, amelyek a szinkronizált vonatkoztatási rendszer speciális tulajdonságaival kapcsolatosak, ezért nincs fizikai jelentésük. A négyestér tetszőleges metrikája általában megengedi egymást nem metsző időszerű geodetikus vonalcsaládok létezését is. Az, hogy szinkronizált vonatkoztatási rendszerben a y determináns elkerülhetetlenül zérussá válik, azt jelenti, hogy a valódi (nem feltétlenül euklideszi) téridő görbületének a téregyenletek által megengedett tulajdonságai (amelyeket az ^ 0 egyenlőtlenség fejez ki) kizárják a geodetikus vonalak egymást nem metsző halmazainak létezését, ezért az idővonalak minden szinkronizált vonatkoztatási rendszerben elkerülhetetlenül metszik egymást.31

Mint már említettük, a szinkronizált vonatkoztatási rendszer porszerű anyagra, egyidejűleg együtt mozgó is lehet. Ebben az esetben az anyagsűrűség a kausztikán végtelenné válik egyszerűen annak következtében, hogy a részecskéknek az idő vonalakkal azonos világvonalai metszik egymást. Világos azonban, hogy a sűrűség ilyen szingularitása már infinitezimálisan kis nyomás bevezetésével is megszüntethető, és ebben az értelemben a porszerű anyagban fellépő szingularitás sem fizikai.

31 A m e t r ik á n a k a s z in k r o n iz á lt v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r b e n f e llé p ő f ik t ív s z in g u la r it á s k ö z e lé b e n v a ló a n a lit ik u s m e g h a t á r o z á s á t ille t ő e n lá s d E. M. Lifsic, V. V. Szudakov, I. M. Halatnyikov Z S E T F 4 0 , 1 8 4 7 (1 9 6 1 ) . E m e t r ik a á lt a lá n o s t u la jd o n s á g a i g e o m e tr ia i m e g f o n t o lá s o k k a l t is z t á z h a t ó k . A k a u s z t ik u s h ip e r f e lü le t m in d e n e se tb e n t a r t a lm a z id ő s z e r ű ív h o s s z a k a t (a g e o d e t ik u s id ő v o n a la k n a k a k a u s z t ik u s f e lü le tt e l v a ló é r in t é s i p o n t ja ik b a n v e tt ív e le m e k e t), íg y a z n e m le h e t té r s z e r ű . T o v á b b á a k a u s z t ik u s f e lü le t e n z é ru s s á v á l ik a y^p m e t r ik u s t e n z o r e g y ik fő é rté k e , a m i a n n a k f e le l m e g , h o g y z é r u s s á v á l ik a t á v o ls á g (ő ) k é t o ly a n s z o m s z é d o s g e o d e t ik u s v o n a l k ö z ö t t , a m e ly e k a k a u s z t ik u s h ip e r f e lü le t t e l v a ló é r in t é s i p o n t ja ik b a n m e t s z ik e g y m á s t, ő a m e ts z é s i p o n t t ó l m é r t tá v o ls á g ( / ) e ls ő h a t v á n y á v a l ta rt z é r u s h o z . E z é r t a m e t r ik u s t e n z o r fő é rté k e , íg y a y d e t e r m in á n s is /2 s z e r in t t a r t a n a k n u llá h o z .

S z in k r o n iz á lt v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r t ú g y is k o n s t r u á lh a t u n k , h o g y a z id ő v o n a la k e g y k é t d im e n z ió s f e lü le t e n m e s s é k e g y m á s t, a z a z o ly a n p o n t h a lm a z o n , a m e ly n e k d im e n z ió s z á m a k is e b b , m in t e g y h ip e r f e lü le t é . E z t a f e lü le te t a m e g fe le lő g e o d e t ik u s v o n a lc s a lá d f o k á l is fe lü le t é n e k is n e v e z h e t jü k . I ly e n m e t r ik a a n a l it ik u s k o n s t r u k c ió já t ille t ő e n lá s d V. A. Belinszkij, L M . Halatnyikov, Z S E T F , 49, 1 0 0 0 (1 9 6 5 ) c ik k é t .

376 XL A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR EGYENLETEI

Feladatok

1 . í r j u k f e l a g r a v it á c ió s e g y e n le te k m e g o ld á s á t v á k u u m b a n i d ő s z e r in t i s o r a la k já b a n e g y n e m s z in g u lá r is id ő p o n t k ö rn y e z e té b e n .

Megoldás. A v iz s g á lt id ő p o n t o t a z id ő m é r é s k e z d ő p o n t já n a k v á la s z t v a , yap-1 a

a la k b a n k e r e s s ü k , a h o l aap, bap, cap a t é r k o o r d in á t á k f ü g g v é n y e i. U g y a n e b b e n a k ö z e líté s b e n a z i n v e r z t e n z o r :

(b = b*, c = e j ) . A k o v a r iá n s d e r iv á lá s itt a z aap m e t r ik á jú h á r o m d im e n z ió s té rre v o n a t k o z i k ; u g y a n e z z e l a m e t r ik á v a l k e l l m e g h a t á r o z n i a Pap t e n z o rt is .

(4 ) - b ő l a cxp e g y ü t t h a t ó k te lje s e n m e g h a t á r o z h a t ó k a z aap és bap se g ítsé g é v e l. E z u t á n (2 ) a

A 1 2 aap, bap m e n n y is é g e t te h á t a z e g y e tle n ö s s z e fü g g é s t je le n t ő ( 5 ) és a h á r o m e g y e n lő s é g e t adó- (6) e g y e n le te k k a p c s o l já k ö s s z e ú g y , h o g y m e g m a r a d a h á r o m t é r k o o r d in á t a n y o lc te tsz ő le g e s f ü g g v é n y e . H á r o m k ö z ü lü k a h á r o m t é r k o o r d in á t a ö n k é n y e s m e g v á la s z t h a t ó s á g á v a l, e g y p e d ig a v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r s z in k r o n iz á lá s á n á l s z e r e p lő k i in d u lá s i h ip e r f e lü le t te tsz ő le g e s m e g v á la s z t h a t ó s á g á v a l k a p c s o la t o s . T e h á t , a m in t a n n a k le n n ie k e l l ( lá s d a 9 5 . § v é g é t), n é g y „ f iz ik a i la g k ü lö n b ö z ő ” * m e g h a t á r o z a t la n f ü g g v é n y m a r a d .

Vetp — a*p+ tbap+ t2cap-h . . . (1|

a h o l a z aap te n z o r in v e r z e ; a z in d e x e k f e lh ú z á s á t a t ö b b i t e n z o r n á l a7'1 s e g ítsé g é v e l v é g e z z ü k . E m e lle t t f e n n á l l a

= bap+2tcap, x í = b í+ li lc v -b a y b ^ )ö s s z e fü g g é s is .

A ( 9 7 , 1 1 ) — ( 9 7 , 1 3 ) E in s t e in -e g y e n le t e k a z a lá b b i ö s s z e fü g g é s e k e t a d iá k :

R l = - c + - j l & b p = 0, (2)

= 0, (3 >

i- ^ b íb + ^ -b ltP y -c i = 0 (4)

P + \ b 2~ \b íb } = 0 ( 5 )

ö s s z e fü g g é s t a d ja . A ( 3 ) - b a n a n u lla r e n d ű t a g o k b ó l a z t k a p ju k , h o g y

(6)

A ( 3 ) e g y e n le tb e n a ~ / - e d r e n d ű t a g o k a z ( 5 ) és ( 6) k é p le t és a = — P. a a z o n o s s á g ;

lá s d (9 2 ,1 0 )- e t b e h e ly e tte s íté s é v e l a z o n o s a n z é r u s s á v á ln a k .

2. Számítsuk ki az Rmm görbületi tenzor komponenseit szinkronizált vonatkoztatási rendszer- b e n .

Megoldás. A (9 7 ,9 ) C h r is t o f f e l- s z im b ó lu m o k s e g ítsé g é v e l a (9 2 ,1 ) k é p le t s z e r in t a z t k a p j u k , h o g y

Ra./3yő ~ Pafiyő ( aő fiy y fiő\

- Oa/Sy = ~~2 • P a/S; y)>

1 0 1 y- oao/S — 2 0 4 P’

a h o l P aigy(3 a y a/5 h á r o m d im e n z ió s té r b e li m e t r ik á n a k m e g fe le lő g ö r b ü le t i t e n z o r .3. H a t á r o z z u k m e g a n n a k a z in f in it e z im á lis t r a n s z f o r m á c ió n a k á lt a lá n o s a la k já t , a m e ly n e m s é r t i

a v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r s z in k r o n iz á lt s á g á t .

Megoldás. A t r a n s z f o r m á c ió a la k j a :

t -*■ / + 9o(x\ x2, x3), xa - > xP+ZHx1, x 2, x 3, 0 »

a h o l 9?, £a k is m e n n y is é g e k . A ^00 = 1 fe lté te lt a z á lt a l t a r t ju k t is z te le t b e n , h o g y (p n e m fü g g /- tő i, a ^oa = 0 fe lté te l m e g ő r iz h e t ő , h a te lje s ü ln e k a

Vxp~dT ~ H í?'e g y e n le te k , a m ib ő l k ö v e t k e z ik , h o g y

= Wff í dt+f a(x1’ * 2>*3>’ (I)

a h o l a z / a- k is m é t k is m e n n y is é g e k (a m e ly e k e g y f h á r o m d im e n z ió s v e k t o r t a lk o t n a k ) . E k k o r a yap t é r b e li m e t r ik u s t e n z o r á tm e g y a

?a/S “*■ ya/S+ la; /5+ f/5; a — 9 a/9 (2)

t e n z o r b a [ a m ir ő l k ö n n y e n m e g g y ő z ő d h e t ü n k (9 4 ,3 ) se g ítsé g é v e l].A t r a n s z f o r m á c ió , a m in t a n n a k le n n ie k e l l, a t é r k o o r d in á t á k n é g y te tsz ő le g e s ( k is ) fü g g v é n y é t ,

9?-t é s / a-t ta r t a lm a z z a .

98. §. AZ EINSTEIN-EGYENLETEK NÉGYLÁB-ÁBRÁZOLÁSA 377

98. §. Az Einstein-egyenletek négyláb-ábrázolása

Valamilyen tetszőlegesen választott metrika esetén a Ricci-tenzor komponenseinek meghatározása (így az Einstein-egyenletek felírása is) általában meglehetősen bonyolult számításokkal jár. Ezért mindazok a képletek, amelyek bizonyos esetekben lehetővé teszik e számítások egyszerűsítését és az eredmény áttekinthetőbb alakban való megadását, nagy jelentőségűek. Ilyen a görbületi tenzor „négylábak” segítségével való kifejezése.

Vezessünk be négy (az a indexszel számozott) lineárisan független bázis-négyes- vektort, e^-kat, amelyek mindössze az

€\a)€(b)i ~ y]ab (98,1)

feltételnek tartoznak eleget tenni, ahol r]ab előre megadott -f -------- szignatúrájúállandó mátrix; az rjab mátrix inverzét r fb-vei jelöljük (r]acrjcb -- öb).S2 Az e\a) vektornégyes (négyláb, kvartett) mellett vezessük be az

^ (98,2)

feltételekkel definiált reciprok e(a)l vektornégyest is. Minden e{a)i vektor merőleges három é{tí) (b ^ a) vektorra. A (98,2) egyenletet <?fa)-val megszorozva, azt kapjuk, hogy (ek(a)e<ia))e\b) — ek(by amiből látható, hogy (98,2)-vel együtt automatikusan teljesülnek az

4 aK> = 8i (98>3)egyenlőségek is.

Az ela)e(c)i = r]ac egyenletet mindkét oldalról r/&c-ve 1 szorozva:

<?(’a ) ( v bce(c)<) =

(98,2)-vei való összehasonlítás után adódik, hogy

ef> = r]hce<c)h em = rjbce ^ . (98,4)

A bázisindexek fel- és lehúzását tehát az t}bc és rjbc mátrixok segítségével végezhetjük.Az így bevezetett bázisvektorok azért jelentősek, mert segítségükkel a metrikus

tenzort kifejezhetjük. Valóban, egy négyesvektor kovariáns és kontra variáns kom ponensei kapcsolatának definíciója szerint ef> = g ;7e(a)/; az egyenlet mindkét oldalát e(a)kmval megszorozva és a (98,3), (98,4) összefüggéseket felhasználva, azt kapjuk, hogy

gik = e(a)ie f = r\abéia e^\ (98,5)

A (98,5) metrikus tenzorhoz tartozó ívelemnégyzet a következő alakot ölti:

ds2 = r}ab(e\a) dx*) (e ^ dxk). (98,6)

32 E b b e n a s z a k a s z b a n a z a, 6, c, . . . la t in b e t ű k k e l a b á z is v e k t o r o k a t s z á m o z ó in d e x e k e t j e l ö l j ü k ; a n é g y e s t e n z o r o k in d e x e it a z e lő z ő e k h e z h a s o n ló a n a z i, k, l, . . . b e t ű k je lö l i k . A z ir o d a lo m b a n e l te r je d t s z o k á s a b á z is in d e x e k e t z á r ó je lb e n á lló in d e x e k k e l (v a g y s z á m o k k a l) j e lö ln i. A k é p le t e k t ú lz o t t a n k ö r ü lm é n y e s í r á s m ó d já n a k e lk e r ü lé s e c é l já b ó l z á r ó je le k e t c s u p á n o tt a lk a lm a z u n k , a h o l a b á z is in d e x e k a n é g y e s t e n z o r - in d e x e k k e l e g y ü tt (v a g y u g y a n o ly a n k ö r ü lm é n y e k k ö z ö t t ) s z e re p e ln e k . O ly a n m e n n y is é g e k e se té b e n , a m e ly e k n e k a d e f in íc ió s z e r in t c s a k b á z is in d e x e ik v a n n a k ( p é ld á u l rjab és a z a lá b b ia k b a n yabe, Áabe), a z á ró je le k e t e lh a g y ju k . M in d e n k é ts z e r is m é t lő d ő b á z is in d e x r e (m in t a t e n z o r in d e x e k r e is ) ö s s z e g e z n i k e ll.

98. §. AZ EINSTEIN-EGYENLETEK NÉGYLÁB-ÁBRÁZOLÁSA 379

Ami a tetszőlegesen megoldható 7]ab mátrixot illeti, legkézenfekvőbb azt „Galilei- féle” alakúnak választani (tehát diagonális mátrixnak 1, —1, —1, —1 elemekkel); ekkor (98,1) szerint a bázisvektorok merőlegesek egymásra, egyikük időszerű, a másik három pedig térszerű.33 Hangsúlyozzuk azonban, hogy egy ilyen választás egyáltalán nem kötelező, és bizonyos esetekben előfordulhat (például a metrika szimmetriatulajdonságai következtében), hogy nem ortogonális kvartett választása célszerű.34

Az A 1 négyesvektor négylábra vonatkoztatott komponenseit (és hasonlóan b ármilyen rendű négyestenzorét is) a bázis-négyesvektorokra való „vetületként” definiáljuk:

A(ü) = é (a)Ah A™ = e ^ A ‘ = v f A ^ . (98,7)

M egfordítva:

A, = A ‘ = e>la)AM (98,8)

Ugyanígy definiáljuk az „a irány mentén vett” differenciálás műveletét is:

_ í dq'9",(*) - eW dxt •

Vezessük be a továbbiakban szükséges

Yacb — e(a)i-,ke(b)e(c) (98,9)

mennyiségeket35 és lineáris kombinációikat:

^abc yabc Yacb i. (a)i;k (a)k; i) (b) (c) a)i,k (a)k, i) (b) (c)' (98,10)

A (98,10)-beli utolsó egyenlőség (86,12)-ből következik; megjegyezzük, hogy a Aabc mennyiségeket a bázisvektorok egyszerű differenciálásával számíthatjuk ki. yabc-nek Xabc~wA való kifejezése:

yabc = (. abc ^bca ^cab). (98,11)

33 A n é g y e s té r a d o tt e le m é b e n a k o o r d in á t a t e n g e ly s z a k a s z a in a k a dx{a) = e\a) dx1 l in e á r is a la k o k a t v á la s z t v a (é s „ G a l i l e i - f é l e ” yab-1 v é v e ), e g y ú t ta l e b b e n a té rfo g a te le m b e n a m e t r ik á t G a l i le i - a la k r a h o z z u k . Is m é te lte n h a n g s ú ly o z z u k , h o g y a dx{a)-k á lt a lá b a n n e m a d h a t ó k m e g a k o o r d in á t á k v a la m ily e n fü g g v é n y é n e k te lje s d if f e r e n c iá lja k é n t .

34 A n é g y lá b c é ls z e r ű m e g v á la s z tá s á t s u g a llh a t ja m á r a z is, h a ds2-Qi e lő z e te s e n (9 8 ,6 ) a la k r a h o z z u k , ds2 (8 8 ,1 3 ) a la k b a n v a ló k if e je z é s é n e k a z

e!0) = ( }fh, - f h g \ e f ] = ( 0, e (a))

b á z is v e k t o r o k f e le ln e k m e g , a h o l e (a) m e g v á la s z tá s a dl2 t é r b e li a la k já t ó l fü g g .35 A yabe m e n n y is é g e k e t Ricci-féle forgási együtthatóknak n e v e z z ü k .

Ezek a mennyiségek az alábbi szimmetriatulajdonságokkal rendelkeznek:

ya b c y b a c? ^a bc ~~ ^cab* (98,12)

Határozzuk meg a görbületi tenzor négylábkomponenseit. E cél érdekében (91,6) definícióból indulunk ki, ezt a bázisvektorok kovariáns deriváltjaira alkalmazva:

Ezt a kifejezést könnyen átírhatjuk a yabc mennyiségek segítségével. Az

^(a)i; k ya b c^ i ^4^

összefüggést használjuk, majd ismételt kovariáns deriválás után a bázisvektorok differenciálhányadosait újból ugyanúgy kifejezhetjük; eközben a yabc skalármeny- nyiség kovariáns deriváltja megegyezik közönséges deriváltjával.36 Eredményünk:

f R ( a ) (b) (c) (d ) =: yabc, d yabd, c “f- y a b f iy ^ c d y ^ d c) 4“ y a fc y ^ b d y a fd y ^ b c > (98,13)

ahol az általános szabálynak megfeleló'en yabc = r f ^ y ^ stb.E tenzor a, c indexpárját összeejtve a Ricci-tenzor keresett négylábkomponenseit

kapjuk; adjuk meg e komponensek Xabc mennyiségekkel való kifejezését:

R ( a ) ( b ) = 2 ( ^ ab C, c~i“ ^ b a C, c “f~ ^ °c a ,b ~ \~ ^ °c b ,a ~ \~ ^ C^b ^cd a ~ \~ ^ C b ^ d c a

Végül vegyük észre: a levezetésben lényegében sehol sem használtuk fel, hogy a metrika négydimenziós. Ezért a kapott eredményeket a háromdimenziós Riemann- és Ricci-tenzorok háromdimenziós metrika szerint való kiszámítására is alkalmazhatjuk. Ilyenkor természetesen a négyesvektorokból alkotott négyláb helyett a hármasvektorokból alkotott háromlábbal lesz dolgunk, az rjab mátrix pedig + + 4- szignatúrájú (ilyen alkalmazást a 116.§-ban fogunk látni).

36 A te lje s s é g k e d v é é r t m e g a d ju k te tsz ő le g e s n é g y e s v e k t o r é s n é g y e s te n z o r k o v a r iá n s d e r iv á lt ja ir a h a s o n ló t r a n s z f o r m á c ió v a l a d ó d ó k if e je z é s e k e t :

€ ( a ) i ; k ; l e ( a ) i ; l ; k — & (a )R m ik l

vagy

R (a ) (b ) (c) (d) — ( e ( a ) i ; k ; l — ^ ( a ) i ; l ; k ) e lb)ekc)^[d y

(98,14)

Ax h?1 {a)eha,) — A (a)f (b)+A(d)ydab,

Aik; ie\a>ek(b)el(c) = ^(a), (b), ( c ) + A (<l)(6)y aae-i-A(a)(d)y dbc

stb .

XII. F E J E Z E T

G R A V ITÁ LÓ TE ST EK E R Ő TER E

99. §. A Newton-törvény

Vizsgáljuk az Einstein-egyenletek klasszikus mechanikának megfelelő határesetét. A m int a 87. §-ban megmutattuk: az a feltételezés, hogy valamennyi részecske sebessége kicsi, azt is megköveteli, hogy a gravitációs erőtér gyenge legyen.

A 87. §-ban a metrikus tenzor goo komponensére (ez az egyetlen komponens, amelyre szükségünk lesz) a vizsgált határesetben az alábbi kifejezést vezettük le:

Továbbá, az energia-impulzus-tenzor komponenseire a (35,4) kifejezést használhatjuk, ahol ju a test tömegsűrűsége (az egységnyi térfogatban levő részecskék nyugalmi tömege; /u-nek a 0 indexét a rövidség kedvéért elhagytuk). Mivel természetesen azt is feltételezzük, hogy a makroszkopikus mozgás lassú, ul térkom ponensei elhanyagolhatók, tehát i f = 0-t és u° = u0 = 1-et írhatunk. így Tf kom ponenseiből mindössze egy marad meg:

goo — 1 + .

T Q0 = i ^ 2.

A T = T] skalár ugyancsak [jlc2-tel egyenlő.A téregyenletek (95,8)

(99,1)

alakját használva, i = k = 0 esetén

A vizsgált esetben az összes többi egyenlet azonosan eltűnik, amint arról könnyen meggyőződhetünk.

382 XII. GRAV1TÁLGS TESTEK ERŐTERE

i?o-nak a (92,7) általános képletből való kiszámításához előzetesen megjegyezzük, hogy a P kl mennyiségek deriváltjait tartalmazó tagok minden esetben másodrendűén kis mennyiségek. A x° = ct szerinti deriválásokat tartalmazó tagok szintén kicsik (az xa térkoordináták szerinti deriváltakat tartalmazó tagokhoz képest), mert egy1 jc szorzó szerepel bennük. Végeredményben:

Behelyettesítve a

értéket:

r aJ- 00

K = Rw = d r « jd x \

1 dgoo __ 1 dq>2 dx* c2 dxa

Tehát a téregyenletekből azt kapjuk, hogy

A99 = 4jck[Á. (99,2)

Ez pedig éppen a gravitációs erőtér newtoni mechanikából ismert egyenlete. Form ailag (99,2) pontos hasonmása az elektrosztatikus potenciál (36,4) Poisson-egyenleté- nek, csak most töltéssűrűség helyett a — £>val szorzott tömegsűrűség áll. Ezért a(96,2) általános megoldását (36,8)-hoz hasonlóan azonnal felírhatjuk:

<p = - k \ (99,3)

Ez a képlet, nemrelativisztikus közelítésben tetszőleges tömegeloszlás esetén meghatározza a gravitációs potenciált.

Speciálisan, egy m tömegű részecske potenciálja:

A \9 = ---- j j - > (99,4)

és így ebben a térben egy másik (m' tömegű) részecskére ható F erőt az

„ hmm’F = — w ~

képlet adja meg. Ez az általános tömegvonzás jól ismert Newton-féle törvénye.Gravitációs térben levő részecske potenciális energiája egyenlő az erőtér potenciál

jának a részecske tömegével képzett szorzatával, mint ahogyan az elektromos erőtérben a potenciális energia egyenlő a töltés és az erőtér elektromos potenciáljának

= — rrí dcpjdR

(99,5)

99. §. A NEWTON-TÖRVÉNY 383

szorzatával. Ezért (37,1) mintájára tetszőleges tömegeloszlás potenciális energiáját az alábbi kifejezés adja meg:

E/ = y j W rfF. (99,6)

Az állandó gravitációs erőtér potenciáljára a teret létrehozó testtől nagy távolságban az elektrosztatikus térre a 41—42.§-okban kapott sorfejtéshez hasonlót írhatunk fel. Válasszuk a koordináta-rendszer origójának a tömegközéppontot. Ekkor a töltésrendszer dipólmomentumának megfelelő J ixr dV integrál azonosan eltűnik. Emiatt, az elektromos erőtérrel ellentétben, gravitációs erőtérben mindig ki lehet zárni a „dipól-tagot”. A cp potenciál sorba fejtett alakja tehát

( M l 82 1 \+ _ + . . .V (99,7)

ahol M [idV a rendszer össztömege, a

Q*p = J p(3xxxp — r2dafi)dV (99,8)

mennyiséget pedig a tömeg kvadropólmomentum-tenzorának nevezhetjük.1 A mennyiségek a

= J n(r2b ^ - x axp)dV

tehetetlenségi nyomaték szokásos tenzorával

Qafi = & y A f - 3 0 * (99,9)kapcsolatban vannak.

Adott tömegeloszláshoz tartozó Newton-féle potenciál meghatározása a m atematikai fizika egyik fejezetét képezi; a megfelelő módszerek ismertetése nem lehet e könyv feladata. Szemléltetésként levezetjük egy homogén, ellipszoid alakú test által létrehozott gravitációs erőtér potenciálját meghatározó képleteket.

Adjuk meg az ellipszoidot az

+ + a > b > c (99,10)

egyenlettel. Ekkor az erőtér potenciálját tetszőleges, a testen kívül levő x, y , z pontban a következő integrál adja m eg:

7 / x2 y 2 z2 \ dsr = - * l * b c k \ 1 - - ^ - - ^ - ^ —

í __________________ (99,11)R s = V{a1+ s) (b2+ s) (c2+ j),

1 It t v a la m e n n y i oc, fi in d e x e t a lu l í r ju k , n e m k ü lö n b ö z t e t jü k m e g a k o v a r iá n s és k o n t r a v a r iá n s k o m p o n e n s e k e t , m e rt m in d e n m ű v e le te t a k ö z ö n s é g e s N e w t o n - fé le ( e u k lid e s z i) té rb e n h a jt u n k v é g re .

a h o l | az

384 xn. GRAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

X 2 V 2

+ T T 7 T + - Í 7 T = 1 <99,12)a2+ l ^ 6 2+ l ^ c2+ |

«gyenlet pozitív gyöke. A potenciált az ellipszoid belsejében a

(99,13)

0

képlet határozza meg, amely abban különbözik (99,1 l)-től, hogy itt az integrálás alsó határa zérus; megjegyezzük, hogy ez a kifejezés az x , y , z koordináták kvadratikus függvénye.

A test gravitációs energiáját (99,6) szerint úgy kaphatjuk meg, hogy integráljuk (99,13)-at az ellipszoid térfogatára. Az integrálás elemi úton2 elvégezhető, és azt adja, hogy

tt _ 3km 2 [* [ 1 ( a2 ( b2 t c2 \ t ] ds _ 3km 2 f [ 2 ^ J 1 2 ds ]í r J |y (y+ s+7^+i+~ +7j~ J~R = ~8 J [j vrj-yT?;]

/ 4tz \1 m = — afec/x a test össztömege I; az első tagot parciálisán integrálva végeredményül

azt kapjuk, hogy

Ü = - T r { f - (99-14)0

A (99,11)—(99,14) képletekben szereplő valamennyi integrál visszavezethető egy első- vagy másodrendű elliptikus integrálra. Forgási ellipszoidok esetén ezek elemi függvények segítségével kifejezhetők. Speciálisan, lapos forgási ellipszoid (a = b > c) gravitációs energiája:

U = ------ “= = = arc cos — , (99,15)5 / a 2 — c2 a

a megnyúlt forgási ellipszoidé (a > b = c) pedig

U = ----- . ar eh — . (99,16)5 /a» -c® c

2 A z x 2, j>2, z 2 n é g y z e t e k in t e g r á lá s á t le g e g y s z e rű b b e n a z a: = ű x ', y = b y \ z = e z ' h e ly e tte s íté s s e l v é g e z h e t jü k e l, a m ik o r is a z e ll ip s z o id t é r f o g a t á r a v e tt in t e g r á l h e ly e tt e g y e g y s é g n y i s u g a r ú g ö m b t é r f o g a t á r a v e tt in t e g r á lt k e l l k is z á m ít a n u n k .

99. §. A NEWTON-TÖRVÉNY 385

Göm bre (<a = c) mindkét összefüggés az U = —3km 2/5a értéket adja, amely te rmészetesen elemi úton is levezethető.3

Feladat

H a t á r o z z u k m e g e g y e g é s z é b e n e g y e n le te se n f o r g ó , s a já t g r a v it á c ió s e r ő te r e á lt a l ö s s z e t a rt o tt , h o m o g é n t ö m e g e lo s z lá s ú f o ly a d é k e g y e n s ú ly i a la k já t .

Megoldás. A z e g y e n s ú ly fe lté te le a z , h o g y a te st fe lü le t é n a g r a v it á c ió s p o t e n c iá l és a „ c e n t r if u g á lis e r ő ” p o t e n c iá l já n a k ö s s z e g e á lla n d ó le g y e n :

CD2cp— — (x2+ y 2) = c o n s t

(co a fo r g á s s z ö g s e b e ss é g e ; a f o r g á s te n g e ly e a z te n g e ly ). A k e re se tt a la k e g y la p o s f o r g á s i e ll ip s z o id . A z e ll ip s z o id p a r a m é t e r e in e k m e g h a t á r o z á s a c é l já b ó l a z e g y e n s ú ly i fe lté te lb e b e h e ly e tt e s ít jü k (9 9 ,1 3 )- a t és a (9 9 ,1 0 ) s e g ítsé g é v e l k ik ü s z ö b ö l jü k z 2-e t ; e r e d m é n y ü n k :

(x2+ y 2)ds oj2 c2 f ds

(a2 + s)2 Í c 2 + 5 27ijuka2c a2 J (a2 + s) (c2 + s)31- f - a2 J c o n s t,

a m ib ő l a z k ö v e t k e z ik , h o g y a s z ö g le te s z á r ó je lb e n le v ő k ife je z é s n u lla . A z in t e g r á lá s o k a t e lv é g e z v e , v é g e r e d m é n y k é n t a z

( a 2 + 2 c 2)c c 3c2 o)2 2 5 / 4 j r \ 1/3 J 2u1 l c \ 4/3 a r c c o s --------- ---- 0- = - —, = — - r 1 x(a2 — c2)312 a a2 — c2 Inkfi 6 \ 3 / ml°l3k (f)

l ó d ik =e g y e n le t a d ó d ik | / = — m a 2 w a test z te n g e ly re v o n a t k o z t a t o t t im p u lz u s m o m e n t u m a j , a m e ly m e g

h a t á r o z z a a ej a a r á n y t a d o t t co v a g y / e s e t é n , cfa-n a k / - t ő i v a ló fü g g é se e g y é r te lm ű , / n ö v e lé s é v e l m o n o t o n c s ö k k e n .

K i d e r ü l a z o n b a n , h o g y a f e n t i s z im m e t r ik u s a la k c s u p á n a b b a n a z e s e tb e n s t a b il ( k is p e r t u r b á c i ó k k a l s z e m b e n ), h a / n e m t ú ls á g o s a n n a g y . P o n t o s a b b a n , a s t a b il it á s / = 0 ,2 4 A:1/2m 5/3 / i _1/6 é r t é k n é l m e g s z ű n ik ( e k k o r cía — 0 ,5 8 ). / t o v á b b i n ö v e k e d é s é n é l a z e g y e n s ú ly i a la k h á r o m t e n g e ly ű e ll ip s z o id d á v á l ik , f o k o z a t o s a n (é r te le m s z e r ű e n 1- tő l, i l l . 0 , 5 8 - t ó l) c s ö k k e n ő b/a és c/a é r t é k e k k e l. E z a z a la k a z t á n is m é t in s t a b il lá v á l ik / = 0 ,3 1 kll2m5l3ju~ll6-nál ( a m ik o r a: b : c = 1 : 0 ,4 3 : 0 ,3 4 ).4

3 A h o m o g é n a s u g a r ú g ö m b b e ls e jé b e n a p o t e n c iá l

cp = - 2nkju |a

4 G . L a m b : „ H i d r o d i n a m i k a ” ( X I I . fe je z e t, G o s z t y e h iz d a t 1 9 4 7 .) k ö n y v é b e n t a lá lh a t u n k e z e k k e l a k é r d é s e k k e l f o g la lk o z ó i r o d a lm i ú t m u t a t á s o k a t .

2 5 Elméleti fizika II. - 42221/11.

386 XII. GRAV1TÁLÓ TESTEK ERŐTERE

100. §. Gömbszimmetrikus gravitációs erőtér

Vizsgáljunk gömbszimmetrikus gravitációs erőtereket. Ilyen erőteret tetszőleges gömbszimmetrikus anyageloszlás létesíthet; ilyenkor természetesen, nemcsak az anyageloszlás, hanem a mozgás is gömbszimmetrikus, azaz a sebesség minden pontban sugárirányú.

Az erőtér gömbszimmetriája azt jelenti, hogy a téridő metrikája, tehát a ds ívelemet megadó kifejezés a középponttól egyenlő távolságban levő pontokban azonos alakú. Euklideszi térben ez a távolság a helyvektor hosszával egyenlő: nemeuklideszi térben azonban nincs olyan mennyiség, amely egyesítené az euklideszi helyvektor összes tulajdonságait (hossza egyenlő a középponttól mért távolsággal és a kör kerületének 2jt-ed részével). Ezért a „helyvektor” megválasztása a jelen esetben önkényes.

„Göm bi” r, 0, cp térkoordinátákat bevezetve, a ds2-et megadó legáltalánosabb gömbszimmetrikus kifejezés

ds2 — h(r, t) dr2 + k(r, t) (sin2 0 dcp2 + dd2) + l(r, t) dt2-\-a(r, t) dr dt (100,1)

alakú, ahol a, h, k, l az r „helyvektor” és a t „idő” valamilyen függvényei. Az általános relativitáselméletben a koordináta-rendszert tetszőlegesen választhatjuk, ezért a koordinátákat még alávethetjük a ds2 gömbszimmetriáját nem sértő tetszőleges transzformációnak; ez azt jelenti, hogy az r és t koordinátákat az

r t ' \ t = f 2(r', t ')

képletekkel transzformálhatjuk, ahol f i és fa az r' és f új koordináták tetszőleges függvényei.

E lehetőséget felhasználva, válasszuk meg az r koordinátát és t időt oly módon, hogy egyrészt a ds2-et megadó kifejezésben a dr dt tag a(r, t) együtthatója zérussá váljon, másrészt a k(r, t) együttható egyszerűen — r2 legyen.5 Ez utóbbi azt jelenti, hogy az r helyvektort oly módon választottuk meg, hogy az origó köré írt kör kerülete 2nr legyen (a 0 — n j l síkban a kör íveleme dl = r dcp). Célszerű h-t és /-et rendre— el és c2ev alakba írni, ahol X és v az r és t valamilyen függvénye. így ds2-re a következő kifejezést kapjuk:

ds2 = evc2 dt2- r 2(dd2-\-sin2d»d(p2) —e* dr2. (100,2)

5 E z e k a fe lt é t e le k m é g n e m h a t á r o z z á k m e g e g y é r te lm ű e n a z id ő k o o r d in á t a m e g v á la s z tá s á t . P o n t o s a b b a n s z ó lv a , a z id ő k o o r d in á t á t m é g te tsz ő le g e s t = / ( / ' ) a la k ú , r-e t n e m t a r t a lm a z ó t r a n s z - f o r m á c ió n a k v e t h e t jü k a lá .

x°, x 1, x 2, x 3 gyanánt a ct, r, 0 , 99 koordinátákat véve, a metrikus tenzor zérustól különböző' komponenseire a

g-00 = ev, g n = - e \ g 22 = - r 2, g 3 3 = - r 2 sin2 0

kifejezést kapjuk. Nyilvánvaló, hogy

g°° = e~v, g11 = — e~}\ g12 = — r~2, g33 = — r ~~2 sin- 2 0 .

Ennek ismeretében, felhasználva a (86,3) képletet, könnyen kiszámíthatjuk a mennyiségeket. A számítás eredménye (a vessző r szerinti, a betű feletti pont pedig t szerinti diíFerenciálást jelent):

r° = - 2 ’ 10 2 ’

100. §. GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR 387

r\l = — , r % = — , n a = -sin0 cos0,i

SLpX-v r í — _ rs>-z r 1 — __ 2 e 5 1 22 — re , 1 00 ~ (100,3)

^ 1 0 = y > ^ 3 3 = - r sin2 de~\

Az összes többi jT^ komponens (a fentiekből csupán az alsó indexek felcserélésében különbözőkön kívül) zérussal egyenlő.

Az egyenletek felírásához meg kell még határoznunk (92,7) segítségével az R k tenzorkomponenseket. Egyszerű számítás után az alábbi egyenleteket kapjuk:

%jtkn = - e - ^ + - ^ ) + ± - , (100,4)

r á

8jt k[C

c* r

[(95,6) összes többi komponense azonosan eltűnik]. Az energia-impulzus-tenzor komponenseit (94,9) alapján kifejezhetjük az anyag s energiasűrűségével, p nyomásával és v sugárirányú sebességével.25*

388 XII. GRAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

A (100,4) egyenletek maradéktalanul integrálhatók az anyagmentes gömbszimmetrikus terek igen fontos esetében, azaz az erőteret létrehozó tömegeken kívül. A z energia-impulzus-tenzort zérussá téve, a következő egyenleteket kapjuk:

/ / 1 \ 1 e A( y + 7 2 j “ 7 2 = (ioo,8 )

^ ( 7 - ^ ) + ^ = ° > (100,9)

A = 0 (100,10)[a negyedik, (100,5) alatti egyenlet a másik három következménye, azért elhagyhatjuk].

(100,10)-ből látjuk, hogy A nem függ az időtől. Továbbá a (100,8) és (100,9) egyenleteket összeadva, A' + v' = 0 adódik, azaz

X+v = F (t\ (100,11)

ahol F(t) csak az idő függvénye. A ds2 ívelemnégyzet (100,2) alakjában még meghagytuk azt a lehetőséget, hogy az időt tetszőleges t = f ( t ' ) alakú transzform ációinak vessük alá. Ez ekvivalens egy tetszőleges időfüggvény ^-höz való hozzáadásával. Ily módon a (100,1 l)-ben levő F(t)-t mindig zérussá tehetjük. így tehát a általánosság korlátozása nélkül úgy vehetjük, hogy A+v = 0. Látható, hogy a gömbszimmetrikus gravitációs tér vákuumban az egyenletekből következően szükségképpen sztatikus.

A (100,9) egyenletet könnyen integrálhatjuk:

e - i = e" = i + ^ B Ü , (100,12)

Amint annak lennie kell, a végtelenben (r oo) e~x = ev = 1, tehát kiadódik, hogy a gravitáló testektől messze, a metrika euklideszi. A const együttható könnyen kifejezhető a tömegekkel, megkövetelve, hogy nagy távolságokban, ahol az erőtér gyenge, a Newton-törvény legyen érvényes.6 Nevezetesen, goo = l + 299/c2, ahol a 99

potenciál a Newton-féle (99,4) kifejezésével egyenlő: (p = —km fr (m az erőteret létrehozó test teljes tömege). Ebből látható, hogy const = —2kmfc2. E mennyiség hosszúságdimenziójú, és a test rg gravitációs sugarának nevezzük:

2 km*> = — 2- . (100,13)

6 G ö m b s z im m e t r ik u s e lo s z lá s ú a n y a g g ö m b a la k ú ü r e g é n e k b e ls e jé b e n le v ő té rre a c o n s t = 0 - n a k k e l l t e lje s ü ln ie , m iv e l e lle n k e z ő e se tb e n a m e t r ik á n a k s z in g u la r it á s a v o ln a a z r = 0 p o n t b a n . T e h á t a m e t r ik a e g y i ly e n ü re g b e ls e jé b e n a u t o m a t ik u s a n e u k lid e s z iv é v á l ik , v a g y is a z ü r e g b e ls e jé b e n

^ a k á r c s a k a N e w t o n - e lm é le t b e n ) n in c s g r a v it á c ió s e r ő té r .

Végeredményünk tehát az, hogy a téridő-m etrika:

ds2 = | l - ^ c 2 dt2- r \ sin2 d á P2 + d(P)------i (100,14)

r

Az Einstein-egyenletek fenti megoldását K. Schwarzschild adta meg (1916). E megoldás teljesen meghatároz egy tetszőleges gömbszimmetrikus tömegeloszlás által létrehozott gravitációs erőteret a tömegen kívül. Hangsúlyozzuk, hogy ez a megoldás nemcsak nyugvó, de mozgásban levő tömegekre is igaz, amennyiben a mozgás szintén rendelkezik a szükséges szimmetriával (például gömbszimmetrikus pulzáló mozgás). Megjegyezzük, hogy a (100,14) metrika csak a gravitáló test össztömegétől függ, éppen úgy, mint a newtoni elméletben.

A háromdimenziós tér metrikája meghatározza a térbeli távolság ívelem négyzetét:

dl2 = — —-----h^2(sin2 d dcp2 + d62). (100,15)l _ z *

r

Az r koordináta geometriai jelentése, hogy a (100,15) metrikában az erőtér középpontja körül rajzolt kör kerülete 2nr. Ugyanakkor két ugyanazon a sugáron levő rí és r2 pont közötti távolságot az

= ^ > r 2 — rí (100,16)ÍL r

integrál adja.Látható továbbá, hogy goo ^ 1. A (84,1) képlet szerint a valódi idő d t — ^goodt,

ezért

dx ^ dt. (100,17)

Az egyenlőség jele a végtelenben érvényes, amikor t megegyezik a valódi idővel. A tömegtől véges távolságban tehát „lassabban” telik az idő, mint végtelen távolságban.

Végül leírjuk még ds2-nek a koordináta-rendszer kezdőpontjától nagy távolságban érvényes közelítő alakját:

'Jlsyyids2 = ds2---- ~ ( d r 2 + c2 dt2). (100,18)

A második tag kis járulékot ad a dsl Galilei-féle metrikához. Az erőteret létre-


dr


hozó tömegektől nagy távolságban minden erőtér gömbszimmetrikus. Ezért (100,18) a testek bármilyen rendszerétől nagy távolságban érvényes metrikát határozza meg.

Néhány általános kijelentést tehetünk a gravitáló tömeg belsejében levő gömbszimmetrikus gravitációs térre vonatkozóan. A (100,6) egyenletből látható, hogy r -► 0 esetén 2-nak is legalább r2 szerint zérushoz kell tartania, ellenkező esetben ugyanis az egyenlet jobb oldala r 0 esetén végtelenné válna, azaz T^-nak r = 0- ban szinguláris pontja lenne. A (100,6) egyenletet formálisan, a X = 0 határ-

feltétel mellett integrálva, azt kapjuk, hogy

A = — In I 1 T y d r \ .

Mivel (100,10) szerint Tq — e VT00 ^ 0, látható, hogy 2 ^ 0 , azaz

ex ^ 1.

Továbbá a (100,4) egyenletből (100,6)-ot kivonva,

(«+/>) ( h - ^ )

(100,19)

(100,20)

1 - -

adódik, tehát v' + X' ^ 0. De r -► oo esetén (a tömegtől nagy távolságban) a metrika Galilei-féle metrikába megy át, azaz v -► 0, X -► 0. Ezért v' + X' ^ 0-ból következik, hogy az egész térben

v + X ^ 0 . (100,21)

Mivel X ^ 0, nyilván v ^ 0, azaz

ev ^ í . (100,22)

A kapott egyenlőtlenségek azt mutatják, hogy a térmetrikának és az órák járásának a gömbszimmetrikus, vákuumbeli gravitációs erőtérre kapott (100,16) és (100,17) tulajdonságai a gravitáló tömegek belsejében levő térre is érvényesek.

Ha a gravitációs teret egy a „sugarú”, gömb alakú test hozza létre, akkor r > a esetén TJ = 0. Ezért az r > a pontokban (100,19) szerint


Másrészt alkalmazhatjuk a vákuumban érvényes (100,14) képletet, amely szerint

2 k m \ c2r ]

A két kifejezés összehasonlításával

hom = | T%r2dr (100,23)

adódik, ami a test teljes tömegének energia-impulzus-tenzorával való kifejezése. Speciálisan, sztatikus anyageloszlás esetén a test belsejében = tehát

a

m = ^ f £r 2 dr. (100,24)

Vegyük észre, hogy bár a (100,2) metrikában a térbeli térfogatelem dV = 47rr2eKl2dr, ahol (100,20) szerint em > 1, az integrálást Anr2 dr szerint kell elvégezni. Ez a különbség a test gravitációs tömeghiányát fejezi ki.

Feladatok

1 . H a t á r o z z u k m e g a S c h w a r z s c h ild - m e t r ik á jú (1 0 0 ,1 4 ) té r g ö r b ü le t i t e n z o r á n a k in v a r iá n s a it .

Megoldás. ( 1 0 0 ,3 ) - b ó l v e tt / ^ - e k k e l (9 2 ,1 ) s z e r in t (v a g y a 92 . § 2. f e la d a t á b a n k a p o t t k é p le t e k s z e r in t ) s z á m o lv a , a g ö r b ü le t i t e n z o r z é r u s t ó l k ü lö n b ö z ő k o m p o n e n s e ir e a z

D _ r„ D R0303 _ r/r-r,)*0101 ~ " s in 2 0 ^ 2r* ’

^ “ = ■ 4 ^ - = R™ = - rr• * * *

k ife je z é s e k e t n y e r jü k . í g y a z u t á n a (9 2 ,2 0 ) s z e r in t i Ix és I2 i n v a r iá n s o k :

( A z o k a s z o r z a t o k , a m e ly e k b e n a z Rildm d u á lis t e n z o r s z e re p e l, a z o n o s a n z é r u s o k .) A g ö r b ü le t i t e n z o r a P e t r o v - f é le Z M íp u s h o z t a r t o z ik (v a ló s Xa) = / l (2) — —rg!2rÁ in v a r iá n s o k k a l) . M e g je g y e z z ü k , h o g y a z in v a r iá n s o k n a k c s a k a z r = 0 p o n t b a n v a n s z in g u la r it á s u k , r — r -b e n n in c s .

2 . H a t á r o z z u k m e g a t é r b e li g ö r b ü le t e t a z e lő z ő f e la d a t b a n s z e r e p lő m e t r ik a e se té n .

Megoldás. A h á r o m d im e n z ió s té r Papy0 g ö r b ü le t i t e n z o r á n a k k o m p o n e n s e it k if e je z h e t jü k a Pap t e n z o r (é s a y ajS t e n z o r ) k o m p o n e n s e in e k se g ítsé g é v e l, íg y e le g e n d ő Pap k o m p o n e n s e it k is z á m ít a n u n k

( lá s d a 9 2 . § 1. fe la d a t á t ). Pap u g y a n ú g y f e je z h e tő k i y aíj- v a l , m in t a z Rik te n z o r £ tt- v a l. y rjjj ( 1 0 0 , 1 5 ) - b ő l v e tt é r t é k e iv e l a d ó d ik , h o g y

*8 = ^ = - £ . r r = - £ ,

és P f = 0 , h a a ^ /?. M e g je g y e z z ü k , h o g y Pde, P ^ > 0 , P , < 0 és P = P “ = 0 .A 9 2 . § 1. f e la d a t á b a n k a p o t t k é p le t f e lh a s z n á lá s á v a l:

PrQrQ = ( P Í + P ö ) y r r W = “ P ^ r r W ,

Prcprcp — — P o y r r y q x p , P'Ocpdfp — ~ P ryO O ycprp .

E b b ő l m á r k ö v e t k e z ik ( lá s d a 92 . § 5 s z á m ú lá b je g y z e t é t), h o g y a s u g á r r a m e rő le g e s s ík o k b a n a G a u s s - fé le g ö r b ü le t :

K — PerPerP _ _ p r . 0yeeVqxp

( E z a z t je le n t i , h o g y a s ík n a k a r á m e rő le g e s s u g á r r a l v a ló m e ts z é s p o n tja k ö z e lé b e n r a jz o lt k is h á r o m s z ö g e k s z ö g e in e k ö s s z e g e n -n é l n a g y o b b .)

U g y a n a k k o r a k ö z é p p o n t o n á tm e n ő „ s í k ” G a u s s - f é le g ö r b ü le t e K < 0 ; e z a z t je le n t i , h o g y a z e b b e n a s ík b a n fe lv e tt k is h á r o m s z ö g e k s z ö g e in e k ö s s z e g e n-né 1 k is e b b . ( H a n g s ú ly o z z u k , h o g y e z u t ó b b i t u la jd o n s á g n e m v o n a t k o z ik a z o k r a a h á r o m s z ö g e k r e , a m e ly e k b e ls ő p o n t k é n t t a r t a lm a z z á k a té r k ö z é p p o n t já t ; a s z ö g ö s s z e g e e g y i ly e n h á r o m s z ö g b e n n a g y o b b , m in t n.)

3 . H a t á r o z z u k m e g a z t a f o r g á s i fe lü le te t, a m e ly n e k g e o m e tr iá ja u g y a n o ly a n , m in t a z ü r e s g ö m b s z im m e t r ik u s g r a v it á c ió s té r k ö z é p p o n t já n á tm e n ő s ík é .

Megoldás. A z = z ( r ) f o r g á s i f e lü le t e n a g e o m e tr iá t (h e n g e r k o o r d in á t á k b a n ) a

dl2 = dr2 + dz2 + r2d(p2 = dr2( \ + z ' 2) + r2d(p2

ív e le m n é g y z e t h a t á r o z z a m e g . E z t a 0 = x/2 , , s ík b a n ” le v ő ( 1 0 0 ,1 5 )

dr2dl2 = r2 dtp2 + -

r

ív e le m n é g y z e t t e l ö s s z e h a s o n lít v a , a z t k a p j u k , h o g y

1+z'2= ( 1- v ) " 1’a m ib ő l

z = 2 i r g(r - / ■ , ) .

A z r = rg h e ly e n e n n e k a fü g g v é n y n e k s z in g u la r it á s a , e lá g a z á s i p o n t ja v a n . E z a z z a l k a p c s o la t o s , h o g y a (1 0 0 ,1 5 ) t é r b e li m e t r ik á n a k [a (1 0 0 ,1 4 ) t é r id ő - m e t r ik á v a l e lle n t é t b e n ] v a ló b a n s z in g u la r it á s a v a n r = r~n é l.

A k ö z é p p o n t o n á tm e n ő „ s í k ” e lő z ő f e la d a t b a n m e g m u ta to tt á lt a lá n o s t u la jd o n s á g a it ú g y is m e g k a p h a t ju k , h o g y a z itt k a p o t t s z e m lé le te s m o d e ll g ö r b ü le t é t v iz s g á lju k .

4. T r a n s z f o r m á l j u k a (1 0 0 ,1 4 ) in t e r v a l lu m o t o ly a n k o o r d in á t á k b a , a m e ly e k b e n a té r m e t r ik a k o n f o r m - e u k lid e s z i a la k ú (a z a z a dl2 e u k l id e s z i k if e je z é s é v e l a r á n y o s ) .

Megoldás. A z

p a r a m e t r iz á lá s t v é v e , (1 0 0 ,1 4 ) - b ő l a z t k a p ju k , h o g y

A q, 0,<p k o o r d in á t á k a t iz o t r o p g ö m b k o o r d in á t á k n a k n e v e z z ü k ; h e ly e t t ü k h a s z n á lh a t ju k a z a:, y, z iz o t r o p D e s c a r t e s - k o o r d in á t á lc a t is . S p e c iá lis a n , n a g y t á v o ls á g o k b a n (q » rg) k ö z e lít ő le g a z t k a p j u k , h o g y

5 . H a t á r o z z u k m e g g ö m b s z im m e t r ik u s g r a v it á c ió s té r e g > e n le te it a n y a g b a n , e g y ü t tm o z g ó v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r b e n .

Megoldás. A (1 0 0 ,1 ) ív e le m n é g y z e tb e n s z e r e p lő r , t k o o r d in á t a k é t le h e tsé g e s t r a n s z f o r m á c ió já t a r r a h a s z n á lju k , h o g y e g y ré s z t z é ru s s á t e g y ü k a dr dt ta g a{r, t) e g y ü t th a tó já t , m á s ré s z t m in d e n p o n t b a n e lt ü n t e s s ü k a z a n y a g s u g á r ir á n y ú se b e ssé g é t (a se b e ssé g t ö b b i k o m p o n e n s e a g ö m b s z im m e t r ia m ia t t ú g y is z é r u s ) . E z e k u t á n a z r és / k o o r d in á t á k a t m é g te tsz ő le g e s r = r(r'), t = t{t' ) t r a n s z f o r m á c ió k n a k v e t h e t jü k a lá .

J e lö l j ü k a z íg y m e g v á la s z to t t r a d iá lis k o o r d in á t á t és id ő t 7?-re l és r - v a l , a h, k , / e g y ü t t h a t ó k p e d ig le g y e n e k r e n d r e — eK, — e**, ev (A, fi, v a z R és r v á lt o z ó k fü g g v é n y e i) . E k k o r a z ív e le m n é g y z e t :

( A v e s s z ő R, a p o n t p e d ig r s z e r in t i d if f e r e n c iá lá s t je le n t . )

7 A z Rik k o m p o n e n s e k e t k ö z v e t le n ü l k is z á m ít h a t ju k , v a g y a h o g y a s z ö v e g b e n te t tü k , a 9 2 . § 2 . f e la d a t á b a n k a p o t t k é p le t e k s e g ítsé g é v e l h a t á r o z h a t ju k m e g .

ds2 = c2ev dr2 — eK dR2 — t^ydO2- s in 2 0 d<p2). (1>

A z e n e r g ia - im p u lz u s - t e n z o r k o m p o n e n s e i a z e g y ü t tm o z g ó v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r b e n :

n = e, T \ = T \ = T l = - p .

H o s s z a d a lm a s s z á m ít á s u t á n a k ö v e t k e z ő té re g y e n le te k e t k a p j u k :7

(2)

(3)

(4)

8 n kT I — 0 = — e ~ K 2 f i ' + f i f i ' - \ f i ' - v ' f i ) . (5)

A, fx , v-yq k ö n n y ű n é h á n y á lt a lá n o s ö s s z e fü g g é s t f e l í r n i , k i in d u lv a a té r e g y e n le te k b ő l k ö v e t k e z ő Tf.k = 0 ö s s z e fü g g é s e k b ő l. A ( 8 6 ,1 1 ) k é p le t e t f e lh a s z n á lv a , a z a lá b b i k é t e g y e n le te t k a p j u k :

l + 2 f i = ----- — , v' = ---- ( 6)p + e p + e

H a p m in t e f ü g g v é n y e is m e r t , a k k o r a ( 6) e g y e n le te k e t i n t e g r á lv a :

a d ó d ik , a h o l f^R ) és f 2(r) te tsz ő le g e s e n m e g v á la s z t h a t ó f ü g g v é n y e k , m in t h o g y a fe n t m o n d o t t a k é rte lm é b e n s z a b a d a k o o r d in á t á k a t te tsz ő le g e s a la k ú , R = R(R'), r = t ( t ' ) t r a n s z f o r m á c ió k n a k a lá v e t n i.

6. H a t á r o z z u k m e g e g y h e n g e r s z im m e t r ik u s test k ö r ü l i , a n y a g m e n t e s , s z t a t ik u s g r a v it á c ió s te re t le ír ó e g y e n le te k e t (H . Weyl, 1 9 1 7 ) .

Megoldás. xl = tp, x2 = q, x 3 = z h e n g e r k o o r d in á t á k b a n a s z t a t ik u s ív e le m n é g y z e te t

ds2 — evc2 dt2 — ew dq)2 — e** (<dQ2 + dz2)

a la k b a n k e r e s s ü k , a h o l v, co, fi a q és z v á lt o z ó k f ü g g v é n y e i; a z ily e n á b r á z o lá s a k o o r d in á t á k a t e g y Q = QÍQ'i z ')> z — z(q\ 20 t r a n s z f o r m á c ió e re jé ig r ö g z ít i , m e ly a dq2 + dz2 k v a d r a t ik u s a la k o t c s u p á n e g y k ö z ö s s z o r z ó e re jé ig v á lt o z t a t ja m e g .

A z

= [ 2v q, g + v, e{v, q+ cot Q) + 2vf Z) z + vt z{vt z + c ü 2) ] = 0 ,

= - j e-^[2co>Q)Q+ ú j>6(v)Q+ M Q) + 2co>ZíZ + co>z(v)Z + új z)] = 0

e g y e n le t e k b ő l ( a h o l a és , z in d e x e k q és z s z e r in t i d if f e r e n c iá lá s t je le n t e n e k ), ö s s z e a d v a ő k e t a

q'q, e+í?'z, z — 0ö s s z e fü g g é s t k a p ju k , a h o l

V + O)

T e h á t q ' ( q , z ) a q , z v á lt o z ó k h a r m o n ik u s fü g g v é n y e . A h a r m o n ik u s f ü g g v é n y e k is m e r t t u la jd o n s á g a i s z e r in t e z a z t je le n t i , h o g y lé t e z ik a z '(o , z ) h a r m o n ik u s tá r s , a m e ly re q ' + í z ' — f ( Q + i z ) te lje s ü l, a h o l / a o + i z k o m p le x v á lt o z ó a n a l it ik u s fü g g v é n y e . Ú j k o o r d in á t á k k é n t q ' - t és z '- t v á la s z t v a , m iv e l a q , z q ' , z ' t r a n s z f o r m á c ió k o n f o r m le k é p z é s , a z a d ó d ik , h o g y

e ^ ( d Q 2 + d z 2) = e ^ ' ( d Q ' 2 + d z ' 2),

a h o l fi'(o',z') v a la m ily e n ú j fü g g v é n y . U g y a n a k k o r é° = g/2e v; b e v e z e tv e a z co + v = y je lö lé s t , é s a t o v á b b ia k b a n e lh a g y v a a v e s s z ő k e t,

ds2 = evc2 dt2 — o2e~v d(p2 — eY~v(dQ2 + dz2) ( 1 )

101. §. MOZGÁS GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN 395

a d ó d ik . E r r e a m e t r ik á r a r é s z le te s e n f e l í r v a a z R£ = 0 , R l— R\ = 0 , R\ = 0 e g y e n le te k e t, a z t k a p ju k , h o g y

1 d í dv \ d2vJ ^ [ e 0 ^ ’ (2)

dy _ dv dv dy _ q 1 7 dv \ 2 / dv \ 21 0z ® dQ dz ’ do 2 [ \ dg / \ 0z / J

M e g je g y e z z ü k , h o g y ( 2) é p p e n h e n g e r k o o r d in á t á k b a n f e l í r t L a p la c e - e g y e n le t (cp- tő i n e m fü g g ő fü g g v é n y r e ) . E z t a z e g y e n le te t m e g o ld v a , a y(Q, z ) f ü g g v é n y t a (2 ) és ( 3 ) e g y e n le te k te lje s e n m e g h a t á r o z z á k . A te re t lé t r e h o z ó te s ttő l m e s sz e a v é s y f ü g g v é n y e k n e k z é r u s h o z k e l l t a r t a n iu k .

101. §. Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs erőtérben

Vizsgáljuk meg egy test gömbszimmetrikus gravitációs erőtérben végzett mozgását. M int minden gömbszimmetrikus erőtérben, a mozgás most is a koordináták kezdőpontján átmenő síkban megy végbe; válasszuk e síkot a 6 = tt/2 síknak.

A részecske pályájának meghatározása céljából a Hamilton—Jacobi-egyenletet használjuk:

..y. SS dS dx* 8xkgik-*7i ~ ^ ~ m2c2 = ° ’

itt m a részecske tömege. Az erőteret létesítő test tömegét rri-vei jelöljük.A (100,14) metrikus tenzor segítségével ez az egyenlet az

alakra hozható, ahol rg = lm 'k je2 a középponti test gravitációs sugara.A Hamilton—Jacobi-egyenlet megoldásának általános szabálya szerint S-et az

5 = - ő r f + j y + S 'ir) (101,2)

alakban keressük, állandó <5o energia és J impulzusmomentum mellett. Ezt (101,l)-be helyettesítve, megkapjuk a dSr\dr deriváltat, amiből azután

1/2dr. (101,3)


Az r = r{t) függést ismeretes módon a dS/d£ 0 az I. kötet 47.§-át), amiből

ct = cSomc2

í/r

(1- t ) [ ( ^ ) , - ( 1+s w >)( ' - t )

const egyenlet határozza meg (lásd

(101,4)1/2

A pályát 8S/8J = const egyenletből számíthatjuk, eredményül azt kapjuk, hogy

J dr(101,5)

Ez az integrál elliptikus integrállá alakítható.A Nap gravitációs erőterében levő bolygók mozgásához, mivel a bolygók sebessége

nagyon kicsi a fénysebességhez viszonyítva, a relativisztikus elmélet a Newton-elmé- lethez képest csupán jelentéktelenül kis járulékot ad. A (101,5) pályaegyenletben ennek megfelelően kicsi az r j r hányados, ahol rg a Nap gravitációs sugara.8

A pálya kiszámításakor fellépő relativisztikus járulék meghatározásához célszerű a (101,3) kifejezésből, a hatás sugártól függő részének a J szerint való differenciálás előtti alakjából kiindulni.

Hajtsunk végre integráltranszformációt az r(r— rg) — r '2, azaz r—r j 2 ^ r' új változó bevezetésével, melynek eredményeképpen a gyök alatt a J 2-et tartalmazó tag J 2\r '2 alakú lesz. A többi tagban rg/r' hatványai szerint sorba fejtve, a szükséges pontossággal azt kapjuk, hogy

= + — (2m2m 'k-\'4£ fmrg) — \ r r1 \ J 2-

3m2c2r | \

^ /

1/2dr, (101,6)

ahol az integrációs változó mellől elhagytuk a vesszőt, és bevezettük a nemrelativisztikus (nyugalmi energiát nem tartalmazó) &’ energiát.

A gyök alatt az első két tagban szereplő együtthatókban a korrekciós tagok csak a Newton-féle ellipszispálya paraméterei, valamint a részecske energiája és impulzusmomentuma közötti (nem különösebben érdekes) összefüggésekben jelentkeznek. Az l / r 2-hez tartozó együttható megváltozása fontosabb jelenséghez, a pálya perihéliumának szisztematikus szekuláris eltolódásához vezet.

8SMivel a pálya egyenletét a + — const egyenlőség határozza meg, a y szög

megváltozása a bolygómozgás egy periódusa alatt

0Acp

dJ A S r

8 A N a p r a rg = 3 k m , a F ö l d e se té b e n rg — 0 ,9 c m .

ahol A Sr az S r mennyiség megfelelő megváltozása. Az 1 jr2 együtthatójában levő kis járulék szerint sorba fejtve, azt kapjuk, hogy

JC ■_ A s «» 3m-c'rl dáS?)a ,- ’

ahol Zl^0) a mozdulatlan zárt ellipszisen végbemenő mozgásnak felel meg. J szerint differenciálva e képlet mindkét oldalát, és figyelembe véve, hogy

= AcpW = 2n,

azt kapjuk, hogy, - 3 nm 2c2rl 6jtk2m 2m '2

Itt a második tag a Newton-féle ellipszis egy körbefordulás ideje alatt történő keresett dq) elfordulása, vagyis a pálya perihéliumának elmozdulása. Az ismert J 2/km 'm 2 = = a(l — e2) képlet segítségével ő<p-t kifejezhetjük az ellipszis a nagytengelyével és e excentricitásával :9

a 6 7 t k m ' /int* = e-a( !-«■ ) ■ (,01' 7)

Vizsgáljuk ezután a fénysugár terjedését gömbszimmetrikus gravitációs térben. A fénysugár útját a (87,9)

dW S i p _8x! 8xk

eikonál-egyenlet határozza meg, amely a Hamilton—Jacobi-egyenletből m — 0 helyettesítésével adódik. Ezért a sugár pályáját (98,5)-ből m = 0-t írva közvetlenül is kiszámíthatjuk; a részecske <50 = — dSfdt energiája helyett az co = —dip/dt

cJfrekvenciát használjuk. A J állandó helyett a g = — állandót bevezetve, kapjuk,

co0hogy

dr

101. §. MOZGÁS GÖMBSZIMMETRIKUS GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN 397

y?4 K)(101,8)

A relativisztikus járulékok elhanyagolásával (rg —- 0) ez az egyenlet r = qjcoscp fényutat ad, azaz a koordináták kezdőpontjától q távolságban haladó egyenest.

9 A ( 1 0 1 , 7 ) k é p le t á lt a l m e g h a t á r o z o t t s z ö g v á lt o z á s s z á m s z e r ű é r t é k e i a M e r k ú r r a , 4 3 , 0 " , a F ö l d r e 3 , 8 " s z á z é v a la tt.

A relativisztikus járulékok kiszámításakor az előző esetben mondottakhoz b >p on- lóan járunk el.

Az eikonál radiális része [lásd (101,3)-at]:


/ \ _ 0)0 1 / r2 Q2 j%Prr ~ c J y ( r - r gf r ( r - r g) r'

Végrehajtva ugyanazokat a transzformációkat, amelyek alkalmazásával (101,3)-ból megkaptuk (1 0 1 ,6 )-ot, a

eredményre jutunk. Az integrandust rg/r hatványai szerint sorba fejtve, azt kapjuk,, hogy

= v!»>+ ^ í = ,*•>+ ^ ar eh r- ,c J J/r2_^2 ^

ahol ^ 0) a klasszikus egyenes sugárnak felel meg. Amikor a sugár valamilyen nagyon nagy R távolságból közeledik a centrumhoz legközelebb eső r = 9 pontba, majd újra i? távolságra távolodik el, teljes megváltozása

Ay)r = 2 — ar eh — .C Q

A sugár menti cp polárszögnek ehhez az R -hez tartozó megváltozását J = qcoo/c szerint differenciálva kaphatjuk meg:

^ __ dAy)r d A tf» + 2rgRdJ dJ qYR2- q2 '

Végül figyelembe véve, hogy az egyeneshez Acp = n tartozik, az R -> 00 határátm enetben azt kapjuk, hogy

a 2rgAq) = 7t~\---- — .Q

Ez azt jelenti, hogy a gravitációs erőtérben a fénysugár elgörbül: a fényút olyan görbe, amelynek konvex oldala a centrum felé esik (a fénysugarat „vonzza” a centrum), a két aszimptota által bezárt szög pedig 7r-től

= 4 W (p c2e

értékkel különbözik, más szóval az erőtér középpontjától q távolságban haladó fénysugár bep szöggel térül el.10

10 A n a p k o r o n g k ö z e lé b e n e lh a la d ó f é n y s u g á r r a őcp = 1, 7 5 " .

102. §. GÖMBSZIMMETRIKUS TEST GRAVITÁCIÓS KOLLAPSZUSA 399

102. §. Gömbszimmetrikus test gravitációs kollapszusa

A (100,14) Schwarzschild-metrikában az r = rg értéknél (a „Schwarzschild-féle gömbfelületen”) a goo zérussá, a g n pedig végtelenné válik. Ez a körülmény egy olyan következtetésre adhatna alapot, hogy a téridőmetrikának itt szingularitása van, továbbá hogy (adott tömeg esetén) nem létezhet a gravitációs sugárnál kisebb „sugarú” test. Ilyen következtetés azonban elhamarkodott volna. Erre utal már az is, hogy a g = — r4 sin2 6 determinánsnak r = r -nél nincs semmilyen szingularitása, tehát a (82,3) g < 0 feltétel nem sérül meg. Látni fogjuk, hogy a gn -ben r = r^-nél fellépő szingularitás csupán azt jelenti, hogy r < rg esetén merev vonatkoztatási rendszer nem valósítható meg.

A téridőmetrika e tartományban való viselkedésének tisztázása céljából11 hajtsuk végre a következő koordinátatranszformációt:

Az r = rg-né\ levő szingularitást eltüntethetjük, ha f(r )-e t úgy választjuk, hogy

is (gTT = 1). Az egyértelműség kedvéért (102,l)-ben válasszuk először a felső előjelet, ekkor azt kapjuk, hogy

(102,1)

Ekkor

ds2 = —— (<c2dr2 —f 2 dR2) — r2(d62+ sin2 6 dcp2).

/ ( r g) = 1 legyen. Az f ( r ) — Ír g\r választással az új rendszer egyúttal szinkronizált

R —ct =

vagy

(102,2)

11 A S c h w a r z s c h i ld - s z in g u la r it á s f iz i k a i é r te lm é t e lő s z ö r D. Finkelstein t is z t á z t a (1 9 5 8 ) e g y m á s ik t r a n s z f o r m á c ió se g ítsé g é v e l. A (1 0 2 ,3 ) m e t r ik á t e z t m e g e lő z ő e n G. Lemaitre a d t a m e g 1 9 3 8 -b a n .

400 XII. GRAVITALO TESTEK ERŐTERE

(a r időmérés kezdőpontjának választásától függő integrálási állandót zérusnak vettük). Az ívelemnégyzet

ds2 = c2 dr2 —dR2

W . {R ' a )

2/34/3

r2gis(dd2+sin2dd(p2). (102,3)

Ezekben a koordinátákban a Schwarzschild-féle gömbfelület amelynek itt a

— (R —cx) = rg egyenlet felel meg nem szinguláris. R mindenütt térkoordináta, x

pedig időkoordináta. A (102,3) metrika nem stacionárius. Mint minden szinkronizált vonatkoztatási rendszerben, az idővonalak most is geodetikusak. Más szóval, a vonatkoztatási rendszerhez képest nyugalomban levő „próbatestek” az erőtérben szabad mozgást végeznek.

r adott értékeihez az R —cx = const világvonalak tartoznak (a 20. ábrán ezek a ferde egyenesek). A vonatkoztatási rendszerhez képest nyugalomban levő részecskék világvonalai ugyanezen az ábrán függőleges egyenesekkel ábrázolhatok; az utóbbi világvonalak mentén haladva, a részecskék a valódi idő véges intervallumának eltelte után a tér „centrumába” zuhannak (r = 0), amely a metrika valódi szingularitási pontja.

Vizsgáljuk a sugárirányú fényjelek terjedését. A ds2 = 0 egyenlet (0, cp = const esetén) a sugár menti dxjdR deriváltra a

dx I dR l ±-

2 rt

__ l_

-(R - c x )1/3 - 4

(102,4)

kifejezést adja, a két előjel azon „fénykúp” határainak felel meg, amelynek csúcsa az adott világpontban van. r < r esetén (az a pont a 20. ábrán) e határok meredeksége \cdx/dR \ < 1, így az r = const egyenes (amelynek mentén c dxjdR = 1) a kúp

belsejében halad. Az r < rg tartományban ugyanakkor (a' pont) \cdx/dR \ > 1, tehát az r = const egyenes, ami az erőtér középpontjához képest nyugvó részecske világvonala, a fénykúpon kívül halad. A fénykúp mindkét határa véges távolságon belül merőlegesen metszi az r = 0 vonalat. Mivel az egymással oksági kapcsolatban álló események nem fekhetnek a fénykúpon kívül haladó világvonalon, arra következtethetünk, hogy az r < rg tartományban nem lehetnek nyugvó részecskék. Ebben a tartományban az összes kölcsönhatás és jel az erőtér középpontja felé tart, amelyet véges x időtartamon belül el is ér.

Hasonló módon a (102,3)-tói csak x előjelében különböző metrikájú „táguló” rendszert kapunk, ha (102,1) transzformációban az alsó előjeleket választjuk. Ez a rendszer olyan téridőnek felel meg, amelyben (az r < rg tartományban) szintén nem létezik nyugalomban levő részecske, de itt az összes jel a középponttól távolodva terjed.

Ezek az eredmények a nagy tömegű testek általános relativitáselméletbeli tárgyalásában alkalmazhatók. A gömbszimmetrikus test relativisztikus egyensúlyi feltételeinek vizsgálata mutatja: elegendően nagy tömeg esetén előfordulhat, hogy nincs a testnek sztatikus egyensúlyi állapota (lásd az V. kötet „Newton’’-gömb egyensúlya c. §-át). Nyilvánvaló, hogy egy ilyen test minden határon túl összehúzódik. (Ez az úgynevezett gravitációs kollapszus.)12

Nem a testhez kötött, a végtelenben Galilei-féle vonatkoztatási rendszerben [(100,14) metrika] az erőtér központi testének sugara rg-né\ nem lehet kisebb. Ez azt jelenti, hogy a nagyon messze levő megfigyelő órái szerint az összezsugorodó test sugara csupán aszimptotikusan, t -► oo esetén tarthat a gravitációs sugárhoz. E közelítés aszimptotikus tulajdonságait könnyű tisztázni.

Az összehúzódó test felületén levő részecske mindig egy, a test m egész tömege által létrehozott vonzó erőtérben van. r -► rg esetén a vonzóerő igen naggyá válik; ugyanakkor a test sűrűsége (és ezzel együtt nyomása) állandó marad. Emiatt a test sugarának időfüggését, a nyomóerőket elhanyagolva, egy m tömegű test terében szabadon eső próbarészecske vizsgálatára visszavezetve határozhatjuk meg.

A Schwarzschild-térben történő szabadesés r(t) függését a (101,4) integrál adja meg. A tisztán sugárirányú mozgás J impulzusmomentuma zérus. Ha tehát a szabadesés valamely to időpillanatban a centrumtól r0 „távolságban” zérus sebességgel kezdődik, akkor a részecske energiája <50 = mc2 Vl — rg/r0, és az r „távolságot” abban a t időpontban éri el, amelyre fennáll, hogy

r or drc ( t — to ) (102,5)

12 E je le n s é g a la p t u la jd o n s á g a it e ls ő k é n t J. R. Oppenheimer és H. Snyder t is z t á z t á k (1 9 3 9 ).

2 6 Elméleti fizika II. - 42221/IJ.

Ez az integrál r — rg esetén — rg In (r— /'„) szerint divergál. Következőleg r úgy tart rg-hez, hogy

Ct

r —rg = const e ro . (102,6)

így a kollapszust szenvedő test gravitációs sugárhoz való közeledésének végső szakasza nagyon kis ~ r j c időállandójú exponenciális törvény szerint megy végbe.

Bár a kívülről megfigyelt összehúzódás sebessége aszimptotikusan zérushoz tart, a szabadon eső részecskék sajátidejében mért v sebessége éppen ellenkezőleg, a fény- sebességhez tartva növekszik. Valóban, a (88,10) definíció szerint

y2 = jV - g ü ^ 2\ ígoo d t

A g n és goo mennyiségeket (100,14)-ből véve, drjdt-t pedig (100,5)-ből, azt kapjuk, hogy

„2 i - r g/rc2 1 —rg/r0 U ’0

A külső megfigyelő órái szerint a gravitációs sugárhoz való közeledés végtelen ideig tart, sajátidőben (a próbatesthez rögzített vonatkoztatási rendszerben mért időben) azonban véges időtartam elegendő. Ez már a fenti általános vizsgálatból is nyilvánvaló, de meggyőződhetünk róla közvetlenül is, kiszámítva a sajátidőt a

dt2c2goo ^ 2 + g n

1/2dr

invariáns integrál elvégzésével, drjdt-1 (102,5)-ből vesszük, így az r 0-ból r-be érés sajátidejére azt kapjuk, hogy

' - * • = 7 / ( 7 <,o2-8>

Ez az integrál r -► rg esetén konvergens.M iután a test elérte a gravitációs sugarat, folytatja az összehúzódást, részecskéi

véges sajátidőn belül a középpontba jutnak; a középpontba esés időpillanata az anyag minden egyes darabkájára vonatkozólag a téridőmetrika valódi szingularitása. A testnek Schwarzschild-féle gömbfelületen belülre történő összehúzódásának folyam ata azonban külső vonatkoztatási rendszerből nem figyelhető meg. A test e gömbfelületen a t = 00 időpillanatban halad át; így azt mondhatjuk, hogy a Schwarzschild- gömb belsejében a kollapszus teljes folyamata a távoli megfigyelő „idővégtelenjében” zajlik le, szélsőséges példát szolgáltatva arra, hogy az idő múlása relatív. E képben természetesen nincs semmilyen logikai ellentmondás. Az összehúzódó vonatkoztatási


rendszer fentebb említett tulajdonsága ezzel teljes összhangban van: ebben a rendszerben semmiféle jel nem jön ki a Schwarzschild-gömb belsejéből. A részecskék és fénysugarak (együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben) csupán egy irányban metszhetik ezt a gömböt: befelé haladva, és ha egyszer beértek a gömbbe, vissza már soha nem jöhetnek. Ezt az „egyirányú szelepet” eseményhorizontnak nevezzük.

A külső megfigyelő azt tapasztalja, hogy a gravitációs sugárra történő összehúzódást a test „önbezáródása” kíséri. A test által kibocsátott jelek terjedésének ideje végtelenhez tart. Ugyanis fényjelekre ds2 = 0 és Schwarzschild-féle rendszerben cd t = drj(\ — r jr ) \ az r-től valamely r0> r-ig való terjedés idejét a

integrálja adja, mely [éppen úgy, mint a (102,5) integrál] r -> rg esetén divergál.A sajátidőtartamok a test felületén a végtelen távoli megfigyelő t időtartamaihoz

képest r rg esetén

arányban csökkennek, tehát a testen végbemenő összes folyamat „befagy” a külső megfigyelőhöz képest. A testen kibocsátott és a távoli megfigyelő által regisztrált spektrumvonal frekvenciája csökken, nemcsak a gravitációs vörös eltolódás miatt, hanem a gömbfelülettel a centrumba zuhanó fényforrás mozgása következtében fellépő Doppler-eltolódás m iatt is. Amikor már a test sugara rg közelébe ju t (és így a zuhanás sebessége csaknem eléri a fénysebességet), ez a hatás a frekvenciát

tényezővel csökkenti. A két hatás eredményeképpen a megfigyelt frekvencia r rg esetén tehát az

törvény szerint tart zérushoz.A távoli megfigyelő szempontjából tehát a gravitációs kollapszus „befagyott” test

keletkezésére vezet, amely a körülötte levő térbe semmilyen jelet nem küld, és a külső világgal csak sztatikus gravitációs tere révén áll kölcsönhatásban. Az ilyen képződményt feke te lyuknak (vagy kollapszárnak) nevezzük.

Befejezésül még egy metodikai jellegű megjegyzést teszünk. Láttuk, hogy vákuumban gömbszimmetrikus térre a „külső megfigyelő” végtelenben inerciális rendszere

(102,9)

r

(102,10)

26*


nem teljes: egy ilyen rendszerben nem figyelhetők meg a Schwarzschild-gömb belsejében mozgó részecskék világvonalai. A (102,3) metrikát ugyanakkor alkalmazhatjuk a Schwarzschild-féle gömb belsejében is, de ez a vonatkoztatási rendszer az ismert értelemben szintén nem teljes. Vizsgáljunk ugyanis ebben a rendszerben egy olyan részecskét, amely a középponttól sugárirányban távolodik. Világvonala r -► oo esetén a végtelenbe megy, de x — oo esetén egy ilyen részecske világvonalának aszimptotikusan r — rg-hez kell tartania, mivel az adott metrikában a Schwarzschild-gömb belsejében csupán a középpont felé tartó mozgás lehetséges. Másrészt a részecske r — rg tői egy tetszőleges r > rg pontba való jutásához véges sajátidőtartam szükséges. Sajátidőben tehát a gömb belsejében történő mozgás elkezdése előtt a részecskének belülről kell a Schwarzschild-gömbfelülethez jutnia; de a részecske életének ezt a részét az adott vonatkoztatási rendszerben nem lehet leírni.13

Hangsúlyozzuk azonban, hogy csak akkor lép fel a teljesség hiánya, ha a metrikát formálisan pontszerű tömeg által létrehozott erőtérnek tekintjük. A valódi fizikai feladatban, nevezetesen kiterjedt test kollapszusát tárgyalva, ilyen probléma nem lép fel: a (102,3) metrikának az anyag belsejében levő megoldáshoz való illesztésével adódó metrika természetesen teljes, és a részecskék összes lehetséges mozgásának történetét helyesen írja le. (Azoknak a részecskéknek a világvonalai, amelyek az r > rg tartományban a középponttól távolodva mozognak, feltétlenül az anyageloszlás felületéről indulnak ki, még mielőtt az a Schwarzschild-gömb alá húzódna.)

Feladatok

1. Határozzuk meg fekete lyuk terében mozgó részecske körpályáinak sugarát. (Sz . A. Kaplan, 1947).

Megoldás. A Schwarzschild-térben mozgó részecske r(t) függvénye a (101,4) képlettel vagy differenciális alakban az alábbi egyenlettel adható meg:

(1)ahol

«*»— [ ( - ^ o ^ r(m a részecske tömege, rg = Ikm '/c2 a központi test gravitációs sugara). Az U(r) függvény az „effektív potenciális energia” szerepét játssza abban az értelemben, hogy a mozgás megengedett tartományait (a nemrelativisztikus elmélethez hasonlóan) az S0 ^ U(r) feltétel határozza meg. A 21. ábrán az U(r) görbék láthatók a részecske J impulzusmomentumának különböző értékei mellett.

A körpályák sugarait, valamint a nekik megfelelő S0 és / értékeket az U(r) függvény szélső értékei határozzák meg; a minimumok stabil, a maximumok pedig instabil pályáknak felelnek meg.

13 Az ilyen nehézségektől mentes vonatkoztatási rendszerről a következő szakasz végén beszélünk.

Az U(r) = S0, U\r) = 0 egyenletek együttes megoldása azt adja, hogy

ahol a felső előjel a stabil, az alsó pedig az instabil pályákra vonatkozik. A középponthoz közeledve a stabil körpálya paraméterei:

r — 3rg, J = / 3mcrg, <50 = j/"-~ mc2.

Az instabil pálya minimális sugara 3^/2, ez az érték / -► oo, £0 oo határesetben érhető el. A 22. ábrán az r/rg mint J/mcrg függvénye látható; a görbe felső ága a stabil, alsó ága*az instabil pályák sugarait adja meg.14

M/mcrg

22. ábra

14 Az összehasonlítás kedvéért emlékeztetünk arra, hogy a Newton-féle erőtérben a középponttól1 bármely távolságban lehetséges körpálya (és az mindig stabil; sugara az impulzusmomentummal az r — J^jkm'm2 összefüggés által adott kapcsolatban van).

2. Határozzuk meg ugyanebben a térben a végtelenből eső részecskék gravitációs befogásának határkeresztmetszetét, ha aj a részecskék nem relativisztikusak, b) a részecskék extrém relativisztikusak (/. B. Zeldovics, / . £>. Novikov, 1964).

Megoldás, a) A (végtelenben) nemrelativisztikus t’oo sebességű részecske energiája <50 mc2. A 21. ábrán látható, hogy az S0 — mc2 egyenes az összes olyan potenciálgörbe felett helyezkedik ■el, amelyekre / < 2mcrg, tehát az ütközési paraméterekre q < Ic r jv ^ . Az összes ilyen £-val beeső részecske gravitációsan befogódik: ezek a részecskék a Schwarzschild-gömböt (aszimptotikusan t oo-ben) elérik, és nem jutnak el újból a végtelenbe. A befogás hatáskeresztmetszete:

b) Az 1. feladat (1) egyenletében az extrém relativisztikus részecske (vagy a fénysugár) határesetét az m -► 0 határátmenet elvégzésével kaphatjuk meg. Bevezetve itt is a £ — cJ/S0 ütközési paramétert, azt kapjuk, hogy

_ j — ^ = í / ] _ 4 + 4 l .ra cdt r r2 r 31 ------—

r változásának határait a gyök alatti kifejezés zérushelyei adják meg. E zérushelyeket q függvényében a 23. ábra mutatja; a lehetséges mozgásoknak az üresen hagyott tartomány felel meg. A görbének a

3^3 3e = —y ~ r°' r = ~i r°

pontban van minimuma. Az ütközési paraméter kisebb értékeinél a részecskék nem fordulnak vissza, hanem átmennek a Schwarzschild-gömbön. Ebből a befogás hatáskeresztmetszete:

103. §. Porgömb gravitációs kollapszusa

A kollapszust szenvedő test belső állapotváltozása menetének tisztázása céljából (a Schwarzschild-gömbön belülre történő összehúzódást is beleértve) az anyagi közegben fellépő gravitációs teret meghatározó Einstein-egyenleteket kell megöl-

103. §. PORGÖMB GRAVITÁCIÓS KOLLAPSZUSA 407

dánunk. Gömbszimmetrikus esetben, zérus nyomást feltételező közelítésben („porszerű” anyag állapotegyenletét használva, g = 0), a téregyenletek általános alakban megoldhatók (R . Tolman, 1934). Noha ez a közelítés reális körülmények között általában nem megengedett, e feladat általános megoldása metodikai szempontból figyelmet érdemel.

Amint a 97. §-ban megmutattuk, porszerű közegben választhatunk olyan vonatkoztatási rendszert, amely egyidejűleg szinkronizált és együttmozgó.15 Az így megválaszto tt időt és a sugárirányú koordinátát r-val, ill. i^-rel jelölve, a gömbszimmetrikus ívelemnégyzetet a

ds2 = dx1 —eÁ(T’ dR2 —r2(r, R) (dQ2 + sin2 6 dq)2) (103,1)

alakban írjuk.16 Az r(r, R) függvény a „sugár”, amelyet úgy definiáltunk, hogy az (origó középpontú) kör kerületének hossza 2ttr legyen. A (103,1) alak r megválasztását egyértelműen rögzíti, de még megengedi a sugárkoordináta tetszőleges R = R(R ') transzformációját.

E metrika esetén a Ricci-tenzor komponenseinek kiszámítása az Einstein-egyenletek következő rendszerére vezet:17

—e~Pír'2jr2 rr+ f2+ 1 = 0 , (103,2)

€~ fX •• X2 2 V--------(2r" — r'X')-\------- \-X-\- ——I---- = 0, (103,3)

r r 2 r

— e-^~(2rr"-\-r'2 — /t'A') + -^- (rrÁ + r2+ l) = Snks, (103,4)t r

2 r '-X r ' = 0 , (103,5)

ahol a vessző R szerinti, a pont r szerinti deriválást jelent.A (103,5) egyenlet idő szerint közvetlenül integrálható, eredményünk:

! + / ( * ) ’(103,6)

15 E k ö z b e n a z t is m e g k e l l k ö v e t e ln ü n k , h o g y a z a n y a g „ f o r g á s n é l k ü l ” m o z o g jo n ( lá s d a 9 7 . § 29 s z á m ú lá b je g y z e t é t). E f e lt é t e l a z a d o t t e se tb e n m in d e n t o v á b b i n é lk ü l t e lje s ü l, m iv e l a g ö m b s z im m e t r ia a z a n y a g t is z t á n s u g á r ir á n y ú m o z g á s á t je le n t i.

16 E b b e n a s z a k a s z b a n c = 1 m é r t é k r e n d s z e r t h a s z n á lu n k .17 V ö . a 10 0 . § 5 . f e la d a t á v a l. A (1 0 3 ,2 )— (1 0 3 ,5 ) e g y e n le te k e fe la d a t ( 2 ) — (5 ) e g y e n le te ib ő l a d ó d n a k ,

h a a z o k b a v = 0 , é 1 — r 2, p = 0 é r té k e k e t h e ly e tte s ítü n k . M e g je g y e z z ü k , h o g y u g y a n e n n e k a f e la d a t n a k a (6 ) e g y e n le te i k ö z ü l a m á s o d ik b ó l p = 0 e se té n v ' = 0 a d ó d ik , te h á t v = v(t); a z (1 ) m e t r ik á b a n a r m e g v á la s z t á s á v a l k a p c s o la t b a n m e g m a r a d t ö n k é n y e z é r t m e g e n g e d i, h o g y i-t z é r u s s á te g y ü k , a m i a z t m u t a t ja , h o g y b e v e z e th e tő o ly a n v o n a t k o z t a t á s i r e n d s z e r , a m e ly e g y s z e r r e s z in k r o n iz á lt és e g y ü t tm o z g ó .

ahol f ( R ) tetszőleges, csupán az l + / > 0 feltételnek eleget tevő függvény. Ezt a kifejezést (103,2)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

2 r r + r 2—/ = 0.

fA (103,3)-ba való helyettesítés már nem ad semmi újat.] Ennek az egyenletnek az első integrálja:

r2 = / ( t f ) + ® , (103,7)

ahol F(R ) tetszőleges függvény. Ebből azután azt kapjuk, hogy

Az integrálás eredményeként adódó r(r, R) függvény paraméteres alakban állítható elő:

r — (e h rj — 1), r0( R ) - x = 7]-rj), ha / > 0, (103,8)

r = (1 -c o s rj), %0( R ) - t = 2 ( - f ) 312 ^ ~ sin ha / < ° ’ (103>9)

ahol T0(R) ismét egy tetszőleges függvény. Ha pedig / = 0, akkor

r = ( ^ ) 1/3[ r ° ( i? ) - r ]2/3, ha / = 0 . (103,10)

Mindhárom esetben: (103,6)-ot (103,4)-be helyettesítve és f-e t (103,7) segítségével kiküszöbölve, az anyagsűrűségre a következő kifejezést kapjuk:18

8 j t k s — -. (103,11)r rl

A (103,6)—(103,11) képletek a keresett általános megoldást határozzák meg.19 Megjegyezzük, hogy ez mindössze két „fizikailag különböző”, tetszőleges függvény

18 A z F , / , r 0 f ü g g v é n y e k n e k c s a k a z r é s e p o z it iv it á s á t b iz t o s ít ó f e lt é t e le k n e k k e l l e le g e t te n n iü k . A m á r e m lít e t t l + / > 0 fe lt é t e l m e lle tt e b b ő l a z is k ö v e t k e z ik , h o g y F > 0 . Ú g y t e k in t jü k m a jd , h o g y F' > 0 , r ' > 0 is f e n n á l l ; e z k iz á r j a a z a n y a g g ö m b i r é t e g e in e k s u g á r ir á n y ú m o z g á s a i s o r á n a m e ts z é s le h e tő s é g é t.

19 N e m t a r t a lm a z z á k a z o n b a n a z t a s p e c iá lis e se tet, a m ik o r r — r(r) a z i? - t ő l fü g g e t le n , íg y tehát a (1 0 3 ,5 ) e g y e n le t t a r t a lo m n é lk ü l i a z o n o s s á g r a v e z e t ; lá s d V. A. Ruban, Z S E T F 56, 1 9 1 4 (1 9 6 9 ). E z a z e set a z o n b a n n e m e lé g ít i k i a v é g e s te st k o lla p s z u s á r a v o n a t k o z ó f e la d a t fe lt é t e le it .


tői függ: bár három függvény,/, F, x0 szerepel benne, az R koordinátát még alávethetjük egy tetszőleges R = R(R ') transzformációnak. Ezek szerint az anyag legáltalánosabb gömbszimmetrikus eloszlását két függvénnyel (a sűrűségeloszlással és az anyag sugárirányú sebességével) adhatjuk meg, gömbszimmetrikus szabad gravitációs tér pedig egyáltalán nem létezik.

Minthogy a vonatkoztatási rendszer az anyaggal együtt mozog, minden egyes részecskének határozott R érték felel meg; ugyanakkor az r(r, R) függvény R értéke mellett meghatározza a vizsgált részecske mozgástörvényét, az r derivált pedig sugárirányú mozgásának sebességét. A kapott megoldás fontos tulajdonsága, hogy a benne szereplő tetszőleges függvények 0-tól valamilyen iV ig terjedő intervallumban való megadása az R 0 sugarú gömb viselkedését teljesen meghatározza; az nem függ attól, hogyan adtuk meg ezeket a függvényeket az R > R 0 tartományban. Ezzel automatikusan megkapjuk a belső feladat megoldását bármilyen véges gömbre. A gömb teljes tömegét (100,23) szerint az

integrál adja. Ebbe (103,1 l)-et behelyettesítve és figyelembe véve, hogy F(0) = 0 (R = 0-ban r-nek is zérusnak kell lennie), azt kapjuk, hogy

(rg a gömb gravitációs sugara).F = const ^ 0 esetén (103,1 l)-ből s = 0 adódik, ez a megoldás tehát üres térre

vonatkozik, vagyis (a középpontban, a metrika szinguláris pontjában levő) pontszerű tömeg terét írja le. így F = rg, f — 0, r0 = R értékeket véve a (102,3) metrikát kapjuk meg.20

A (103,8)—(103,10) képletek (attól függően, hogy az rj paraméter milyen értékeket fut be) egyaránt leírják a gömb összehúzódását és tágulását; maguk a téregyenletek egyformán megengedik ezt is és azt is. Nagy tömegű instabil test valódi mozgása az összehúzódást, a gravitációs kollapszust valósítja meg.

A (103,8)—(103,10) megoldásokat oly módon adtuk meg, hogy akkor lép fel összehúzódás, amikor r növekedve r 0-hoz tart. A r = r 0(R) időpillanatnak a vizsgált R sugarú anyaggömb centrumba érkezése felel meg (ekkor szükségképpen r'0 > 0).

A gömb belsejében a metrika viselkedése r ■— r 0(R) határátmenet során mind a három [(103,8)—(103,10)] esetben ugyanaz:

r(r, Ro)

m = 4 tz J er2 dr = 4 n J er2rf dRo r

(103,12)

(103,13)

20 F — 0 [amikor (103,7)-ből: r = | / / ( r — r 0)] a térmentes esetnek felel meg; a változók megfelelő transzformációjával a metrikát Galilei-féle alakra hozhatjuk.

Ez azt jelenti, hogy az összes sugárirányú távolság (a vizsgált együttmozgó vonatkoztatási rendszerben) végtelenhez tart, a kerület menti távolságok pedig zérushoz, miközben minden térfogatelem is [ ( r—r 0)2 szerint] zérushoz tart.21 Ennek megfelelően az anyag sűrűsége minden határon túl nő :22

2 F'■ <io3' i4)

így a 102.§-ban mondottakkal egyezésben az egész anyageloszlás központba irányuló kollapszusa következik be.23

Abban a speciális esetben, amikor r 0(R) = const (azaz a gömb összes részecskéje egyszerre éri el a centrumot), a zsugorodó gömb belsejében más a metrika jellege. Ebben az esetben

/ 9 F \ 1/3 / 2 \ 1/3 F fr ^ ( — | ( t 0 - t ) 2/3, e m % ( — ) ---------- — = ( t 0 - t ) 2/3,

\ 3 / \ 3 / 2F2/3 |/l + /

<l03-,5)

azaz r -*■ r 0 esetén az összes távolság — mind a kerület, mind a sugár mentén — azonos ~ ( r0—t)2/3 törvény szerint tart zérushoz, az anyagsűrűség pedig ( r0—r)“ 2 szerint tart végtelenhez, a határesetben eloszlása homogénné válik.

Figyeljük meg, hogy a kollapszust szenvedő gömb Schwarzschild-felület mögé jutásának pillanatát [r(r, R 0) = r j egyik esetben sem jelzi semmi a gömb belső dinamikája számára (amelyet az együttmozgó vonatkoztatási rendszer metrikája ír le). Minden egyes időpillanatban azonban a gömb egy meghatározott része már az „eseményhorizontja” alatt található. Ahogyan F(R0) a (103,12) szerint a gömbnek mint egésznek gravitációs sugarát határozza meg, ugyanúgy R bármilyen előre megadott értékére F(R) az R = const gömbfelületen belül található gömbrész gravitációs sugarával egyenlő; ezért a gömb szóban forgó részét minden egyes r időpillanatban az r(r, R) ^ F(R) feltételből határozhatjuk meg.

21 A centrumon áthaladó „sík” geometriája ilyenkor olyan, mint amilyen egy olyan kúpszerű forgási felületen volna, amely alkotói mentén időben tágul, s egyidejűleg minden kerülete mentén összehúzódik.

22 Az a tény, hogy a tanulmányozott megoldásban a kollapszus bármilyen tömegű gömb esetén bekövetkezik, a nyomás elhanyagolásának egyszerű következménye. Nyilvánvaló, hogy e -► oo esetén az a feltételezés, hogy az anyag porszerű, fizikai szempontból minden esetben elfogadhatatlan. Ebben a határesetben az extrém relativisztikus p = e/3 állapotegyenletet kell használnunk. Az összehúzódás általános jellemzői azonban csak jelentéktelen mértékben függnek az állapotegyenlettől. [(E . M. Lifsic, I. M. Halatnyikov, ZSETF, 39, 149 (I960)].

23 A r 0 = const eset speciálisan a homogén gömb kollapszusát foglalja magában, lásd a feladatot.


Végül megmutatjuk, hogyan lehet felhasználni a kapott képleteket a 102. § végén felvetett kérdés megoldására: a pontszerű tömeg tere legteljesebb vonatkoztatási rendszerének felépítésére.24

E célból olyan vákuummetrikából kell kiindulnunk, amely egyaránt tartalmazza az összehúzódó és kitáguló téridőtartományokat. Ilyen vonatkoztatási rendszer a (103,8) megoldás, amelyben F — const = rg értéket kell venni. Ezenkívül az

1/ = - ? (R lrgf + 1 ’

választással élve, azt kapjuk, hogy

r 1 /R 2

T 1 / R 2 \ 3/27 ; = 2 - ( 7 r + 1 )

(103,16)

az r] paraméter 27r-től 0-ig való változása során. A r idő (adott .R-nél) monoton nő, r pedig zérustól kezdődően növekszik, átmegy egy maximumon, majd ismét zérusra csökken.

B* A'24. ábra

A 24. ábrán az ACB és A'C'B' vonalak (melyek az rj paraméter ?/ = 2n és rj ~ 0 értékeihez tartoznak) az r = 0 pontnak felelnek meg. Az AOA' és BOB' vonalak

24 Ilyen rendszert elsőként M. Kruskal (1960) konstruált, más változókat használva [lásd: Phys. Rév. 119, 1743 (I960)]. Az alábbiakban levezetésre kerülő megoldás alakját, amelyben a vonatkoztatási rendszer szinkronizált, I. D. Novikov adta meg (1963).


az r = rg Schwarzschild-gömbnek felelnek meg. Az A 'C 'B ' és az A'OB' közötti téridőtartományban csupán a centrumból távolodó mozgás, az ACB és AOB közötti ta rtományban pedig csak a centrumhoz közeledő mozgás lehetséges.

A vonatkoztatási rendszerünkben nyugvó részecske világvonala függőleges egyenes (R = const). E világvonal az r = 0 pontban kezdődik {a pont), a Schwarzschild - gömböt a b pontban metszi, a r = 0 időpillanatban távolodik el a legmesszebbre [r = rg(R2/rg-\- 1)], azután a részecske ismét a Schwarzschild-gömbre zuhan, amelyet a c pontban metsz, és a

n [R 2 \ 3/2 t = r' 2 [ l f + l )

időpillanatban újra eléri az r = 0 pontot pont).A kapott vonatkoztatási rendszer teljes: a térben mozgó valamennyi részecske vi

lágvonalának végpontjai vagy a valódi r — 0 szingularitáson vannak, vagy a végtelenbe távolodnak. A nem teljes (102,3) metrika csak az A O Á vonaltól jobbra (vagy a BOB '-tői balra) levő tartom ányt írja le, az ugyanolyan „táguló” vonatkoztatási rendszer pedig a BOB '-tői jobbra (vagy az A O Á -tői balra) levő tartományt. Ami a (100,14) metrikájú Schwarzschild-féle vonatkoztatási rendszert illeti, az csupán a B O Á -tő i jobbra (vagy az AOB '-tői balra) levő tartományt foglalja magában.

Feladat

Oldjuk meg egy porszerű, a kezdeti időpontban nyugalomban levő, homogén gömb gravitációs kollapszusának belső feladatát.

Megoldás. r 0 = const, f = — sin2 R, F = 2 a0 sin3 R értékeket véve, azt kapjuk, hogy

r = a0 sin 2?(1 — cos rj), t — t 0 = a0(r] — sin rj) (1)

(itt az R radiális koordináta dimenzió nélküli, és értékei befutják a 0-tól 2n-\g terjedő intervallumot). Ekkor a sűrűséget a

* nk£ = a S d - L v f (2)

kifejezés adja, amely adott r esetén független 2?-től, azaz a gömb homogén. Az (l)-ből vett r-rel a(103,1) metrikát

ds2 = dT2 — a2(r) [J2?2 + sin2 R(dd2+ sin2 6 dq2)], a = a0( 1 — cos rj)

alakban írhatjuk. Figyeljük meg, hogy (3) megegyezik egy olyan világ metrikájára adódó Friedmann- féle megoldással, amelyet homogén porszerű anyag tölt ki (112. §); ez teljesen természetes eredmény, mivel egy homogén eloszlású anyagból kimetszett gömb gömbszimmetrikus.25

25 A (3) metrika állandó, pozitív görbületű térnek felel meg. Hasonlóan / = sh2 R, F — 2a0 sh3 R értékeket véve, olyan megoldáshoz jutunk, amely állandó, negatív görbületű teret jelent (113. §).

104. §. NEM GÖMBSZIMMETRIKUS ÉS FORGÓ TESTEK 413

Az (1) megoldás az a0 és r 0 állandók alkalmas megválasztása esetén eleget tehet az adott kezdeti feltételeknek. Itt a kényelem kedvéért az r] paraméter definícióját r] -► ui-rj-ra változtatva, a megoldást

r0 sin R „ . r0r = 1 ----- :— (1 + cos 77), r = — —— (rj+sm rj) (4)2 sin i?0 2 sm R 0

alakban adjuk meg, és [(103,12)-nek megfelelően] a gömb gravitációs sugara rg = r0 sin2 i?0. A kezdeti pillanatban (r = 0, rj — 0) az anyag nyugalomban van (r = 0), a gömb kerületének kezdeti hosszúsága pedig 27ir0 ~ 2nr(0, R0). A teljes anyag centrumba hullásának pillanata r = nrJ2. sin R0.

A távoli megfigyelő vonatkoztatási rendszerében (Schwarzschild-féle rendszer) mért t időnek a gömbön mért r sajátidővel való kapcsolatát a

d r2 = ( 1 - - 7 -) dt2- dr2

r

egyenlet adja meg, ahol r a gömb felületének megfelelő r(r, P0) érték. E kapcsolatot kifejező egyenlet integrálásával az alábbi kifejezést kapjuk:

, ctg ^ 0 + tg-~- J— = l n --------------- - + c tg /?0h + (q+sinr;) , (5)

ctg jR0- t g | L 2 s m i ? » J

amely í-t mint a fenti paraméter függvényét adja meg. (A t = 0 pillanat a r = 0 pillanatnak felel meg.) A gömbfelületnek Schwarzschild-gömbön [r{r, R0) = rg] történő áthaladásakor az 7] paraméter értékét a

cos2 \ — — = sin2 2?0 2 r0

egyenlet határozza meg. Ehhez az értékhez közeledve, t -> oo, egyezésben a 102. §-ban mondottakkal.26

104. §. Nem gömbszimmetrikus és forgó testek gravitációs kollapszusa

A két előző fejezetben mondottak csak szigorúan gömbszimmetrikus testek esetén érvényesek. Egyszerű megfontolások azonban azt mutatják, hogy a gravitációs kollapszus kvalitatív képe változatlan marad a gömbszimmetrikustól kicsit eltérő testekre is (A. G. Doroskevics, J. B. Zeldovics, I. D. Novikov, 1965).

26 A (4) képletekkel meghatározott r(r, R0) függvény természetesen megegyezik a külső metrika szerint kiszámított függvénnyel, amelyet a (102,8) integrál ad meg. Ugyanez vonatkozik a (4) és (5) képletekkel meghatározott t{r) függvényre is, amely a (102,5) integrállal adott függvénnyel egyezik meg.


Először olyan testekkel foglalkozunk, amelyek gömbszimmetriától való eltérését az anyageloszlás aszimmetriája okozza, nem pedig a test egészének forgása.

Nyilvánvaló, hogy ha egy nagy tömegű gömbszimmetrikus test gravitációsan nem stabil, akkor ez az instabilitás a szimmetria kis sérülése esetén is megmarad, tehát ilyen test is kollapszust szenved. A kis aszimmetriát gyenge perturbációként kezelve, fejlődébe nyomon követhető a test összehúzódásának folyamán (együttmozgó vonatkoztatási rendszerben). A perturbációk általában a test sűrűsége növekedésének mértékében nőnek. Ha a perturbációk az összehúzódás kezdetén elegendően kicsik, akkor kicsik maradnak abban a pillanatban is, amikor a test eléri a gravitációs sugarat; a 113.§-ban megjegyeztük, hogy ez az időpillanat nem jelentős az összehúzódó test belső dinamikája szempontjából; a test sűrűsége itt magától értetődően véges.27

A testben levő belső perturbációk kicsisége miatt kicsik a test által létrehozott gömbszimmetrikus külső gravitációs tér perturbációi is. Ez azt jelenti, hogy majdnem változatlan marad az „eseményhorizont” felülete, a Schwarzschild-gömb, így (együttmozgó rendszerben) semmi sem gátolja a kollapszust szenvedő testet, hogy áthaladjon rajta.

A test belsejében levő perturbációk fejlődéséről semmiféle információ nem jut el a külső megfigyelőhöz, mivel az eseményhorizont alól semmilyen jel nem jön ki; az egész folyamat a távoli megfigyelő „idővégtelenje” mögött marad. Ebből pedig az következik, hogy külső vonatkoztatási rendszerben a kollapszust szenvedő test gravitációs terének stacionárius térhez kell tartania, amikor a test aszimptotikusan közeledik a gravitációs sugárhoz. E közeledés jellemző ideje igen kicsi ( ~ rg/c). Ezután úgy vehetjük, hogy a külső térben csupán a gömbszimmetrikus tér korábban keletkezett perturbációi maradnak. Az összes, időben változó perturbációnak azonban idővel szét kell oszlania a térben a végtelenbe kifutó (vagy a horizont mögé futó) gravitációs hullámok formájában.

A keletkező fekete lyuk külső gravitációs terében azonban nem maradhatnak időtől független, sztatikus perturbációk sem. Erre a következtetésre a vákuumbeli Schwarzschild-térre szuperponált állandó perturbációk analízise alapján juthatunk. Egy ilyen analízis azt mutatja, hogy sztatikus esetben minden (végtelenben csökkenő) perturbáció, a nem perturbált feladat Schwarzschild-gömbjéhez közeledve, minden határon túl növekszik;28 ugyanakkor az adott esetben külső térbeli nagy perturbációk keletkezésére, amint már kimutattuk, semmilyen ok sincs.

27 A nem stacionárius, végtelen, homogén anyageloszlásban levő perturbációk fejlődését a 115.§- ban vizsgáljuk meg (az ott kapott képletek egyaránt érvényesek a kitágulás és az összehúzódás eseteire). A nem perturbált eloszlás inhomogenitása vagy a test végessége ezeket az állításokat nem változtatja meg.

28 Lásd T. Regge, J. A. Wheeler, Phys. Rév. 108, 1063 (1957). Hangsúlyozzuk, hogy olyan perturbációkról van szó, amelyek magától a központi testtől erednek. A végtelenben való viselkedésre kirótt feltétel kizárja azt az esetet, amikor a sztatikus perturbációk külső forrásokból származnak: ilyen esetekben a gyenge perturbációk egy kissé eltorzítják a Schwarzschild-gömböt, de nem változtatják meg kvalitatív tulajdonságait, és nem hoznak létre rajta valódi téridő-szingularitást.


A test sűrűségeloszlásának gömbszimmetrikustól való eltérését e sűrűség kvadrupól- és magasabb multipólmomentumai írják le; minden egyes multipólmomentum járu lékot ad a külső térhez. Ebből pedig az következik, hogy a külső tér minden ilyen perturbációja a kollapszus véges szakaszaiban (a külső megfigyelő szempontjából) kialszik.29 A kollapszár kialakult tere ismét gömbszimmetrikus Schwarzschild-féle tér, amelyet a test teljes tömege egyértelműen meghatároz.

A test kollapszusának az eseményhorizont alatti véges jövőjével (amelyet külső vonatkoztatási rendszerből nem figyelhetünk meg) kapcsolatos kérdés nem teljesen világos. Úgy tűnik, itt is igaz marad, hogy a kollapszus a téridőmetrika valódi szin- gularitásával fejeződik be, de egészen más típusú szingularitással, mint a gömbszimmetrikus esetben. Ez a kérdés azonban jelenleg még nem teljesen tisztázott.

Térjünk most rá annak az esetnek a vizsgálatára, amikor a gömbszimmetria gyenge sérülését nem csupán a sűrűségeloszlás aszimmetriája okozza, hanem a test egésznek forgása is. Az a feltételezés, hogy a gömbszimmetriától való eltérés kicsi, ilyenkor azt jelenti, hogy a forgás elegendően lassú. Az összes fent tett állítás egynek kivételével érvényben marad. Eleve nyilvánvaló, hogy a test J teljes impulzusmomentumának megmaradása miatt a kollapszár tere ez esetben nem függhet egyedül csak a tö megtől. Éppen ennek felel meg az a körülmény, hogy a gömbszimmetrikus gravitációs tér stacionárius (de nem sztatikus) perturbációi között van egy olyan, amely r -► rg esetén nem nő minden határon túl. Ez a perturbáció éppen a test forgásával kapcsolatos, és úgy írható le, hogy a Schwarzschild-féle gik metrikus tenzorhoz (az x° = t, x 1 = r, x 2 = d, x 3 = cp koordinátákban) kis nem diagonális komponenseket adunk:30

Ok Tg 03 = sin2 0 (104,1)

(lásd a 105. §-t követő feladatot). Ez a kifejezés (külső térben) igaz marad a testnek a gravitációs sugárhoz való közeledésekor is, ezért a lassan forgó kollapszár gravitációs tere (a kis J impulzusmomentum szerint vett első közelítésben) a kis (104,1) járulékkal korrigált gömbszimmetrikus Schwarzschild-féle tér lesz. Ez a tér már nem sztatikus, csupán stacionárius.

Ha lehetséges gravitációs kollapszus a gömbszimmetria kis sérülése mellett, akkor létezhet ugyanilyen jellegű kollapszus (a test eseményhorizont alá való jutásával) olyan véges tartományban is, ahol a gömbszimmetriától lényeges eltérés mutatkozik; e tartományt meghatározó feltételeket a mai napig még nem sikerült megállapítani. E feltételektől függetlenül úgy tűnik, azt lehet mondani, hogy egy ilyen kollapszus eredményeképpen létrejött képződmény (a forgó fekete lyuk) tulajdonságai a külső

29 E kialvás törvényét illetően lásd R. H. Price, Phys. Rev. D 5, 2419, 2439 (1972). A külső gravitációs tér kezdeti sztatikus, /-pólus perturbációi l / /2i+2 szerint csökkennek a kollapszus során.

30 Ebben a szakaszban c — 1 egységrendszert használunk.

megfigyelő szempontjából függetlenek az eredeti test jellemzőitől, kivéve a test m teljes tömegét és J impulzusmomentumát.31 Ha a test mint egész nem forog ( / = 0), akkor a fekte lyuk külső gravitációs tere gömbszimmetrikus Schwarzschild-tér.32

Ugyanakkor a forgó kollapszár gravitációs terét a tengelyszimmetrikus és stacionárius Kerr-metrika adja meg:33

ds1 = | l - d? - * j d r--Q 2 dd2-

— ^r2 + a2+ sin2 ö j sin2 6 d<p2+ ~ ^ a sin2 6 dcp dt. (104,2)

Itt bevezettük aA = r2—rgr+ a 2, q2 = r2 + a2 cos2 6 (104,3)

jelölést, rg pedig most is rg = 2mk. Ez a metrika két állandó paramétertől függ, ra-től és a-tól, amelyek jelentése a metrika nagy r távolságokban való aszimptotikus viselkedéséből olvasható le. Az ~ 1/r rendű tagokig vett pontossággal fennáll, hogy

1 rs rsa ' 2 ögoo ~ 1 — —, go3 ~ -p - sin 6 ;

az első kifejezést (100,18)-cal, a másodikat (104,l)-gyel összehasonlítva, azt kapjuk, hogy m a test tömege, az a paraméter pedig a J impulzusmomentummal áll kapcsolatban :

J = ma (104,4)

(a szokásos egységekben J = mac), a — 0 esetén a Kerr-metrika átmegy a Schwarzschild-metrika (100,14) standard alakjába.34

31 A félreértések elkerülése végett megemlítjük, hogy nem vizsgálunk olyan testeket, amelyeknek nem kompenzált elektromos töltésük van.

32 Ezt az állítást lényegesen megerősíti Israel következő tétele: az Einstein-egyenletek összes, zárt, egyszeresen összefüggő térszerű felületekkel (^00 = const, t = const) rendelkező, a végtelenben Galilei-féle megoldásai közül egyedül a Schwarzschild-féle megoldásnak van olyan horizontja (#oo = 0), amelyen nincs a téridő-metrikának szingularitása. [Ennek az állításnak a bizonyítását illetően lásd W. Israel cikkét: Phys. Rév. 164, 1776 (1967).]

33 Az Einstein-egyenleteknek ezt a megoldását más alakban Kerr adta meg (R . Kerr, 1963), a(104,2) alakra Boyer és Lindquist hozta (R. H. Boyer, R. W. Lindquist, 1967). Az irodalomban nem létezik a (104,2) metrika fizikai jelentésének megfelelő, konstruktív analitikus levezetése, az Einstein- egyenletek e megoldásának közvetlen ellenőrzése is igen bonyolult számításokkal jár. A Kerr- metrikának mint a forgó fekete lyuk terének unicitására vonatkozó állítást a fentebb említett, a Schwarzschild-térre vonatkozó Israel-féle tételhez hasonló tétel erősíti meg [lásd B. Carter cikkét, Phys. Rev. Lett. 26, 331 (1971)].

34 a-ban elsőrendű tagokig vett pontossággal a (104,2) metrika ű « 1 esetén csupán a (2rgajr) sin2 6 d(p dt tagban különbözik a Schwarzschild-metrikától — összhangban a gömbszimmetriától való kis eltérés esetével kapcsolatban mondottakkal.


Figyeljük meg, hogy a (104,2) kifejezés szembetűnő invarianciát mutat az időtükrözéssel szemben: a t -+ — t transzformáció a forgás irányát, tehát az impulzusmomentum előjelét (a — — a) is megváltoztatja, a ds2 azonban változatlan marad.

A metrikus tenzor determinánsa (104,2) alapján:

Megadjuk a g lk kontravariáns komponenseket is. Ezekkel a négyesgradiens-operátor négyzete így írható :

m = 0 esetén, amikor nincs gravitáló tömeg, a (104,2) metrikának Galilei-alakúra kell egyszerűsödnie. Valóban, a

kifejezés tulajdonképpen ads2 = dt2 — dx2 — dy2 — dz2

Galilei-metrika, belapult térbeli szferoidális koordinátákban; ezek az alábbi képletekkel transzformálhatok Descartes-koordinátákba:

A (104,2) metrikának a (100,14) Schwarzschild-metrikához hasonlóan r = rg-né\ fiktív szingularitása van. A Schwarzschild-esetben azonban az r — rg felületen egyidejűleg válik goo zérussá, g u pedig végtelenné, a Kerr-metrikában viszont e két felület különböző. A g00 = 0 egyenlőség q2 = rrg-nél áll fenn; e másodfokú egyenlet nagyobbik gyöke:

—g == p4 sin2 6. (104,5)

0 \ 2 2 rgra d d q2A dcp ~8t *

(104,6)

ds2 = dl2 — ^ ^ dr2 — q2 d62 — (r2+ a2) sin2 6 dcp2 r d r (104,7)

x = ^r2jra 2 sin 6 cos cp,

y = yV2-j-ű2 sin 6 sin cp,

r cos 6.

A z r — const felület belapult forgási ellipszoid:

r2+ a2 a2

(goo — 0). (104,8)

27 Elm életi fizika II. - 42221 /IT.

g n viszont akkor válik végtelenné, amikor A — 0, az egyenlet nagyobbik gyöke ilyenkor

fhor = ~ + | / ”( ~ r ) ~ d '1 = 00)• (104,9)

Jelöljük az r = r0 és r = rhoT felületeket a rövidség kedvéért S 0-val illetve *Shor-ral. Ezek fizikai jelentését rövidesen tisztázzuk. Az Shor felület gömb, *S0 pedig egy belapult forgási idom. S hor az S 0 felület belsejében van, a két felület két pontban (0 = 0 és Q = ti) érintkezik egymással.

Amint a (104,8) és (104,9) összefüggésekből leolvasható, az S 0 és S hor felületek csak a ^ r j 2 esetén léteznek, a > rJ2 esetén a (104,2) metrika jellege gyökeresen megváltozik, fizikailag nem megengedhető, az okság elvét sértő tulajdonságokat vesz fel.35

Az a tény, hogy a Kerr-metrika a > r j 2 esetén értelmét veszíti, azt jelenti, hogyaz

Y VY1Vtfm ax = - j - , J max = ^ (104,10)

érték a fekete lyuk impulzusmomentuma lehetséges értékeinek felső határát adja. ű max"o t minden bizonnyal aszimptotikus értéknek kell tekinteni, amelyhez tetszőlegesen közel juthatunk, de az a — amax pontos értéket nem érhetjük el. Az S 0 és *Shor felületek sugarainak megfelelő aszimptotikus értékei:

ro = - y - ( l + s i n ö), rhor = - ^ . (104,11)

Megmutatjuk, hogy az Shor felület az eseményhorizontot adja, amely a mozgó részecskéket és a fénysugarakat csak egy irányban, befelé engedi át.

Előbb általánosan megmutatjuk, hogy minden fényszerű hiperfelület (amelynek normálisa a felület minden pontjában nulla-négyesvektor) rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy csak egy irányban engedi át a mozgó részecskék világvonalait. Adjunk meg egy hiperfelületet az f ( x ° , x 19 x2, x 3) = const egyenlettel. E felület normálisának iránya megegyezik az nt = dfjdx1 négyesgradiens irányával, így fényszerű felületre fennáll az npi = 0 egyenlőség. Más szóval ez azt jelenti, hogy a normális iránya magában a hiperfelületben fekszik: a hiperfelület mentén d f = nt dx1 — 0, és ez a feltétel teljesül, ha a dx1 és nl négyesvektorok irányai megegyeznek. Ekkor az npi1 = 0

35 Ezek az okság elvét sértő tulajdonságok zárt időszerű világvonalak megjelenésében mutatkoznak meg; ilyen világvonalak segítségével lehetséges volna a jövő felé elindulni, és később a múltba visszatérni. Azonnal megjegyezzük, hogy ilyenféle sértés fellép már a < rJ2 esetén is, ha a Kerr- metrikát az ^hor alá folytatjuk, ami arról tanúskodik, hogy *-*hor belsejében e metrika fizikailag nem alkalmazható (erre az alábbiakban még visszatérünk). Ugyanebből az okból nem érdekesek fizikailag azok a felületek, amelyeket a g00 — 0 és 1 /gn = 0 másodfokú egyenletek kisebbik gyökei határoznak meg, és amelyek 5hor belsejében vannak; lásd B. Carter, Phys. Rév. 174, 1559 (1968) cikkét.

tulajdonság miatt a hiperfelületen ugyanabban az irányban vett ds hosszúságelem zérus, vagyis ebben az irányban a hiperfelület az adott pontban érinti az e ponthoz tartozó fénykúpot. Tehát a fényszerű hiperfelület minden egyes pontjából (mondjuk a jövő irányába) kiinduló fénykúpok teljes egészében a hiperfelület egyik oldalán helyezkednek el, a hiperfelületet (az illető' pontokban) egyik alkotójuk mentén érintve. Ez a tulajdonság viszont éppen azt jelenti, hogy a részecskék vagy fénysugarak (jövőbe irányított) világvonalai a hiperfelületet csak az egyik irányból keresztezhetik.

A fényszerű felületek tárgyalt tulajdonságának fizikai tartalma rendszerint triviális: az e felületeken való egyirányú áthaladás egyszerűen azt fejezi ki, hogy a fénysebességnél nagyobb sebességgel való mozgás nem lehetséges (a legegyszerűbb példát erre a nem görbült téridő x — t hiperfelülete szolgáltatja). Új, nem triviális fizikai helyzettel állunk szemben, amikor a fényszerű hiperfelület nem terjed ki a térbeli végtelenre, hanem a t = const felülettel való metszete zárt térbeli felületet alkot. Ezek a felületek éppen az eseményhorizontok, olyan értelemben, ahogyan gömbszimmetrikus gravitációs tér esetén a Schwarzschild-gömbre leírtuk.

A Kerr-térben az *Shor felület éppen ilyen. Valóban, az / ( r , 0) Kerr-térbeli hiperfelületre az n^n1 = 0 feltétel

alakú [glk -1 (104,6)-ból vettük]. Ez az egyenlet nem teljesül *S0-n, de teljesül S hOT-on (amelyre df/dd = 0 , A = 0 ).

A Kerr-metrikának a horizontfelület belsejébe való folytatása (ahogyan ezt a Schwarzschild-metrikára is bemutattuk a 102— 103. §-okban) fizikailag értelmetlen. Egy ilyen folytatás csak ugyanattól a két paramétertől (m -tői és a-tói) függene, amelytől az *Shor-on kívüli tér is függ, és már ebből nyilvánvaló, hogy a folytatásnak nincs semmi köze a kollapszust szenvedő test eseményhorizont alá jutását követő sorsának: fizikai problematikájához. A gömbszimmetriától való eltérést adó effektusok az együttmozgó vonatkoztatási rendszerben egyáltalán nem alszanak ki, éppen ellenkezőleg, a test további összehúzódásakor növekednek. Ezért semmilyen okunk sincs azt várni, hogy a horizont alatt csupán a test össztömege és impulzusmomentuma határozza meg a teret .36

Térjünk rá most az S 0 felület, továbbá az S 0 és a horizont közötti tér tulajdonságainak vizsgálatára (a Kerr-tér e tartományát ergoszférának nevezzük).

Az ergoszféra alaptulajdonsága, hogy benne egyetlen részecske sem maradhat nyugalomban a távoli megfigyelő vonatkoztatási rendszerében: ha r, 0 , 99 = const, akkor ds2 < 0 , tehát az ívelemnégyzet nem időszerű, bár ezt egy részecske világvonala esetén mindig elvárjuk; a t változó elveszíti időjelJegét. Egy merev vonatkoztatási rendszer

36 Matematikai szempontból ez úgy jelentkezik, hogy, mint már említettük, a Kerr-metrikának az ^hor belsejébe való folytatásánál sérül az okság elve.27*


tehát nem terjedhet ki a végtelentől az ergoszféra belsejéig, és ebben az értelemben So-t a stacionaritás határfelületének nevezhetjük.

Az ergoszférában szükségképpen mozgó részecskék mozgásának jellege lényegesen más, mint a Schwarzschild-térben az eseményhorizont belsejében végbemenő mozgásé. Az utóbbi esetben a részecskék szintén nem lehetnek nyugalomban a külső vonatkoztatási rendszerhez képest, mégpedig úgy, hogy r — const számukra lehetetlen: az összes részecskének sugárirányban, a centrum felé kell mozognia. A Kerr-tér ergoszférájában ugyanakkor cp = const lehetetlen (a részecskéknek szüntelenül keringeniük kell a tér szimmetriatengelye körül), r = const azonban megengedett. Ezen tú lmenően, a részecskék (és fénysugarak) mozgása egyaránt járhat r növelésével és csökkenésével, miközben ki is jutnak az ergoszférából a külső térbe. Ezzel a jelenséggel összhangban a külső térből érkező részecske elérheti az ergoszférát: ilyen részecske (vagy fénysugár) SVra jutásának távoli megfigyelő által mért t ideje az egész SVra véges, kivéve azt a két pólust, amelyben S 0 érinti S hor-t. E pontok elérésének ideje, akárcsak az egész $ h o r eléréséé, az előzőekkel egyezésben végtelen .37

Tekintettel arra, hogy a részecske keringése az ergoszférában elkerülhetetlen, a metrikát ebben a tartományban kézenfekvő módon az alábbi alakban adhatjuk meg:

ds2 = (goo---- + g 11 4-goo dO14-g 3 3 / dcp -j— d t\ . (104,13)\ # 3 3 / \ g 33 /

Itt dt2 együtthatója:

goo — #03£ 3 3 r2 -f a2 + rgra2 sin2 O/q2

Ez S hor-on kívül mindenütt pozitív (és nem válik zérussá S 0-on ); az r = const, 0 = const, dcp — —(go3lg3z) dt értékekhez tartozó ds ívelem időszerű. A

gos rgarg33 q2ir2 + a2) + rgra2 sin2 6

(104,14)

mennyiség az „ergoszféra forgásának szögsebessége” külső vonatkoztatási rendszerben. (A forgás iránya megegyezik a központi test forgásának irányával. ) 38

37 Végtelen lehet az S0 egyes pontjaiba jutás ideje a részecske energiájának és impulzusmomentumának speciális értékeinél, amikor a sugárirányú sebesség az S0 adott pontjában zérus.

38 Vegyük észre, hogy az ergoszféra határa mentén mozgó részecskék sajátidő-intervallumai nem válnak zérussá £00 eltűnésével. Ebben az értelemben S0 nem tekinthető a „végtelen vöröseltolódás” felületének; az S0-ról mozgó források által (itt nincsenek nyugvó források!) kibocsátott és a távoli megfigyelő által megfigyelt fényjelek frekvenciái nem válnak zérussá. Megjegyezzük, hogy gömbszimmetrikus térben a Schwarzschild-felületen nincsenek sem mozgó, sem nyugalomban levő források (a fényszerű hiperfelület nem tartalmazhat időszerű világvonalakat). A „végtelen vöröseltoiódás” ebben az esetben akkor következik be, ha (adott dt mellett) r -► rg esetén a vonatkoztatási rendszerhez képest nyugvó órákkal mért sajátidő-intervallumok, dr - Jf d t zérushoz tartanak.

A részecske energiája (amit úgy definiáltunk, mint a hatásnak a pálya mentén szinkronizált órák r sajátideje szerint képzett — 8 S /6 t deriváltját, 88. §) mindig pozitív. De a 88. §-ban tisztáztuk, hogy a t időtől független térben való mozgásakor a —6S/dt differenciálhányadossal definiált óo energia megmarad; ez a mennyiség megegyezik a négyesimpulzus p 0 = mu0 = mg0idxl kovariáns komponensével (itt m a részecske tö mege). Az a tény, hogy a t változónak (a távoli megfigyelő órái által jelzett időnek) nincs időjellege, sajátos helyzetre vezet: ebben a tartcmányban goo *< 0, és ezért az

& o = r a (g o o W ° + g o 3W3) = m ^ g o o ^ - i - g o s

mennyiség negatív lehet. Az <50 energia nem lehet negatív a külső térben, ahol t időváltozó, ezért az <30 < 0 energiájú részecske kívülről nem juthat be az ergoszférába. Ilyen részecskék keletkezésére lehetőség van például akkor, amikor a test ergo- szférájába repülő részecske, mondjuk, két részre bomlik, és egyikük „negatív energiájú” pályán befogódik. Ez a rész már nem tud kijönni az ergoszférából, és végül a horizont belsejébe kerül. A másik rész ugyanakkor visszatérhet a külső térbe; mivel So additíven megmaradó mennyiség, a második rész energiája ekkor nagyobb lesz, mint e kezdeti test energiája volt. Ezáltal a forgó fekete lyukból energiát nyerünk (R . Penrose, 1969).

Végül megjegyezzük, hogy bár So a téridőmetrikának nem szinguláris felülete, ilyenkor a tisztán térbeli metrika a (104,2) rendszerben szinguláris. *SVn kívül, ahol t

változó időjellegű, a térbeli metrikus tenzor a (84,7) képlet szerint számítható ki, és a térbeli ívelem

()2 y\ sin2 f)dl2 - ~ - -drZ+p*d02+ -------- dcp2 (104,15)

Zi2 " 1 - r r g/Q2

alakú. So közelében a 6 = const, r = const párhuzamos kontúrok hossza a 2?ra sin2 Oj^goo törvény szerint végtelenhez tart. Ugyanekkor végtelenhez tart az e zárt kontúrok mentén szinkronizált órák állásai közötti különbség is [lásd (88,5)-öt].

Feladatok

1. Válasszuk szét a változókat a Kerr-térben mozgó részecske Hamilton—Jacobi-egyenletében (.B. Carter, 1968).

Megoldás. A (104,6) alapján gik-val felírt Hamilton—Jacobi-egyenlet:

? a ? e ? - m' = a

(Itt m a részecske tömege, ez nem tévesztendő össze a központi test tömegével!) Ebben az egyenletben a t idő és a cp szög ciklikus változók; ezért az S hatásban —£0t+L<p alakban szerepelnek, ahol S0

a megmaradó energia, L-lel pedig a részecske impulzusmomentumának a tér szimmetriatengelyének irányába eső komponensét jelöljük. Bebizonyítható, hogy a 0 és r változók szintén szétválaszthatok. S-et

alakba írva, a Hamilton—Jacobi-egyenlet két közönséges differenciálegyenletre esik szét (lásd az I. kötet 48. §-át):

ahol a K szétválasztási paraméter tetszőleges új állandó. Ebből SQ és Sr egyszerű integrálással meghatározható.

A részecske négyesimpulzusa:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát (1) és (2) segítségével kiszámítva, a következő egyenleteket kapjuk:

Ezek az egyenletek a mozgásegyenleteknek (a geodetikus vonalak egyenleteinek) az első integráljai. A pályaegyenlet és a koordináták időfüggése vagy a (3)—(6) képletekből, vagy közvetlenül a

dS/BS0 = const, dSJdL = const, dS/dK = const

egyenletekből határozható meg. Fényjelek esetén a (3)—(6) egyenletek jobb oldalán m — 0-t, S0 helyett co0-1 kell helyettesítenünk (vesd össze a 101.§-ban mondottakkal), a bal oldalon pedig az md/ds derivált helyét a sugár mentén változó A paraméter szerinti djdX differenciálás foglalja el (lásd a 87. § végét).

A (4)—(6) egyenletek tisztán sugárirányú mozgást csupán a test forgástengelye mentén engednek meg, amint ez már szimmetriamegfontolásokból is látható. Ugyanezekből a megfontolásokból következik az is, hogy „sík mozgás” csak akkor lehetséges, ha ez a sík az egyenlítő síkja. Az utóbbi esetben 6 = 7i/2-1 véve, és felhasználva a dd/ds = 0 feltételt, valamint K-t S0 és L által kifejezve, a mozgásegyenleteket az

•S — —OqÍ-{-L(p + S(r) + Sq{6) (1)

(2)

(3)

(4)

™2(-^-)2 = - 'r [0-'-' <r)íu - flL]2 - - 1- (K n fr2), (5)

(6)

(7)

(8)

(9)

alakban kapjuk.

105. §. GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR A TESTEKTŐL TÁVOL 423

2. Határozzuk meg az aszimptotikus Kerr-tér egyenlítői síkjában (a r j l ) mozgó részecske középponthoz legközelebb eső stabil körpályájának sugarát (R . Ruffini, J. A. Wheeler, 1969).

Megoldás. A 102. § 1. feladata megoldásához hasonlóan járva el, bevezetjük az U(r) „effektív potenciális energiát5', amelyet az

[(r2 + a2) U (r)-aL]2-A [(aU (r)-L )2 + r2m2] = 0

egyenlettel definiálunk. [c 0 = U esetén a (9) egyenlet jobb oldala zérussá válik.] A stabil pályák sugarait az U{r) függvény minimumai, tehát az U{r) = S0, U'(r) = 0 egyenletek közös megoldásai határozzák meg U"(r) ^ 0 mellett. A középponthoz legközelebb eső pályának az U"(rmin) = 0 egyenlőség felel meg; r < rmin esetén az U(r) függvénynek nincsenek minimumai. Eredményül a mozgás paramétereire a következő értékek adódnak:

a) Ha L < 0, tehát a részecske a fekete lyuk forgási irányával ellentétes irányban mozog, akkor

ÍEÜL = 1. A = _A _ _A_ = JI__/•» 2 ’ w 3 f í ’ ra-, 3 V3

b) L > 0 esetén (a fekete lyuk forgási irányával egyező mozgásnál) az ö -*• r j 2 határesetben

a z r min sugár az eseményhorizont sugarához tart. a = — ^ (l + ő) behelyettesítésévelő 0 esetén azt

kapjuk, hogv

= 4- o + /2ó). — = 4 - + (4ó>,/3]- /> 2 /•, 2Ekkor

A = A - = 4=[1+ (4ó)'/3].m mrg y 3

Figyeljük meg. hogy mindig érvényes marad az rmin/rhOT > 1 egyenlőtlenség, tehát a pálya a hori* zonton kívül van. így is kell lennie: a horizont egy olyan fényszerű hiperfelület, amelyben nem fekhetnek mozgó részecskék időszerű világvonalai.

105. §. Gravitációs erőtér a testektől távol

vizsgáljuk meg a gravitációs erőteret létrehozó testektől nagy távolságban kialakuló stacionárius gravitációs teret, és határozzuk meg e tér 1/r szerinti sorfejtésének első tagjait.

A testtől nagy távolságban az erőtér gyenge. Ez azt jelenti, hogy a téridőmetrika itt majdnem Galilei-féle, tehát lehet olyan vonatkoztatási rendszert választani, amelyben a metrikus tenzor komponensei közelítőleg egyenlőek Galilei-féle

8® = 0, gf ó>=l , = (105,1)

értékekkel. Ennek megfelelően g ik-1

Sík — gffl+hík (105,2)

alakban írjuk, ahol hik-k a gravitációs erőteret meghatározó kis korrekciók.A hik tenzorral végrehajtandó műveletek során hik indexeinek fel- és lehúzását a

„nem pertubált” metrika segítségével fogjuk végezni: hk = gi0)klha stb. Eközben okvetlenül különbséget kell tennünk a hlk és a metrikus tenzor kontravariáns g lk komponenseiben szereplő korrekciók között. Az utóbbiakat, mint a

g i i g ,k = ( g f + h i d g 1* = d f

egyenlet megoldásait definiáljuk, tehát másodrendűén kis tagokig vett pontossággal:

gik = g i m _ h ik+ fyhik' (105,3)

Ugyanilyen pontossággal a metrikus tenzor determinánsát a

g = g i0)( l + h + ± h * - j hih^j ■ (105,4)

kifejezés adja, ahol h = h).M ár itt hangsúlyozzuk, hogy a hik kicsi voltát kiszabó feltételek egyáltalán nem

rögzítik egyértelműen a vonatkoztatási rendszer megválasztását. Ha ez a feltétel valamely rendszerben teljesül, akkor teljesülni fog bármely x l = x '+ l* transzformáció után is, ahol |*-k kis mennyiségek. Ekkor (94,3) szerint hik átmegy a

h* = h,k &<* ~ ~§.¥ (105,5)

tenzorba, ahol [Mivel állandó, a (94,3) kovariáns deriváltak az adottesetben közönséges deriváltakra redukálódnak.]39

Első közelítésben, l[r rendű tagokig terjedő pontossággal a Galilei-féle értékekhez adódó kicsiny járulékokat a gömbszimmetrikus Schwarzschild-metrika sorfejtésének megfelelő tagjaival adhatjuk meg. A (végtelenben Galilei-féle) vonatkoztatási rendszer megválasztásában levő, már említett bizonytalansággal egyezésben, hik tényleges alakja ekkor az r sugárkoordináta definíciójától függ. Ha tehát a Schwarzschild- metrikát a (100,14) alakban írjuk fel, akkor sorfejtésének első tagjait nagy r értékeknél (100,18) adja. Térbeli gömbi polárkoordinátákról Descartes-koordinátákra áttérve

39 Stacionárius térre természetesen csupán olyan transzformációkat engedünk meg, amelyek nem sértik gJí időfüggetlenségét; tehát a £*-k csupán a térkoordináták függvényei lehetnek.


(a dr = na dxa helyettesítéssel, ahol n az r irányába mutató egységvektor), a következő értékeket kapjuk:

ahol rg = 2km /c2. 40Az l / r 2-tel arányos másodrendű tagok eredete kétféle lehet. Egy részük annak

eredménye, hogy az elsőrendű tagokkal felírt Einstein-egyenletek nem lineárisak. Mivel az elsőrendű járulékok csak a testek össztömegétől függenek (és függetlenek minden más jellemzőtől), ezek a másodrendű tagok is csak a tömegtől függenek. Ezért nyilvánvaló, hogy ezeket a tagokat a Schwarzschild-metrika sorfejtésével is meg lehet kapni.

Ugyanazokban a koordinátákban azt kapjuk, hogy

A többi másodrendű tag már a lineárizált téregyenletek megfelelő megoldásaként adódik. Figyelembe véve a későbbi alkalmazásokat is, linearizáljuk az egyenleteket. A képleteket az itt szükségesnél általánosabb alakban írjuk, nem használjuk ki a tér stacionárius voltát.

magasabb hatványokat elhanyagolva, a (92,1) görbületi tenzorban csupán az első zárójelben levő tagokat hagyhatjuk meg:

40 Ha pedig izotrop térkoordinátákban adott Schwarzschild-metrikából indultunk volna ki (lásd a 100. § 4. feladatát), akkor a

(105,6)

(105,7)

Kis hik-k esetén ezek deriváltjaiból nyerhető P kl mennyiségek is kicsik. Az elsőnél

R i k l m ~ * (105,8)

(105,9)

(105,6a)

értékeket kaptuk volna. A (105,6)-ból a (105,6a)-ba való átmenet a

(105,5) transzformációval valósítható meg.

A (105,9) kifejezést a vonatkoztatási rendszer megválasztásában megmaradó önkény felhasználásával egyszerűsíthetjük. A hik-ra kirovunk (a tetszőleges f 1 függvények számának megfelelően) négy mellékfeltételt:

dy)‘ - o , wf = h f ~ ~ őfh. (105,10)


dx* Y' 1 2

Ekkor a (105,9)-ben az utolsó három tag kölcsönösen kiejti egymást, marad az

. 1 „<«)/» 82h*2 d x18xm

összefüggés.A bennünket érdeklő stacionárius esetben, amikor minden hik időtől független, a

1 2~

náta szerint képzett Laplace-operátor. A vákuumbeli Einstein-egyenletek a

A hik = 0 (105,12)

(105,11) kifejezés az R ik = — a hik képletre egyszerűsödik, ahol A ahárom térkoordi -

Laplace-egyenletre szűkülnek, a (105,10) mellékfeltételek pedig az alábbi alakot öltik:

ddx&

8x f ( h i - ^ h ö ^ j = 0 , (105,13)

8 K = 0. (105,14)dx&

Figyeljük meg, hogy még ezek a feltételek sem rögzítik egyértelműen a vonatkoztatási rendszert. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ha a hik tenzor eleget tesz a (105, 13) és (105,14) feltételeknek, akkor ugyanezt a feltételt a (105,5) tíik is kielégíti, amennyiben

A | ‘ = 0. (105,15)

A hoo komponenst a háromdimenziós Laplace-egyenlet skalár megoldása adja meg.

Ez a megoldás l / r2-tel arányos, és ismeretes módon a v — alakú, ahol a egy állandó

vektor. De a h0o-ban szereplő ilyen tagot mindig kompenzálni lehet azzal, hogy az 1 jr szerint elsőrendű tagban eltoljuk a koordináták kezdőpontját. Amennyiben /zoo-ban ilyen tag szerepel, az csupán a koordináták origójának nem szerencsés választásáról tanúskodik, ezért fizikailag érdektelen.

A /z0a komponenseket a Laplace-egyenlet vektormegoldásai adják, így azoknak

^0a JL 1dx& r

alakiaknak kell lenniük, ahol egy állandó tenzor. A (105,14) feltétel szerint

S2 1 dxa dx& r

amiből következik, hogy a tenzor alakú, ahol aa/3 egy antiszimmet-0 1 ?

rikus tenzor. De a ) .--------alakú megoldást a (105,5) transzformációval, |° = —;8xa r r

| a = 0-t választva [ezek eleget tesznek a (105,15) feltételeknek], ki lehet küszöbölni.Ezért valódi jelentése csak a

i. 0 1"0a — Qoip-


dx$ r

alakú megoldásnak van.Végül hasonló, de jóval bonyolultabb érveléssel meg lehet mutatni, hogy a tér

koordináták alkalmas transzformációjával a Laplace-egyenlet (a-ban és /3-ban szimmetrikus) tenzormegoldása által adott mennyiségek mindig kiküszöbölhetők.

Ami az tenzort illeti, az a teljes impulzusmomentum J ^ tenzorával van kapcsolatban. h0a-ra végül a

(2) 2 k d l 2 k ni3 n°“ - C3 J «t> qxp r = - C3 r ( 5,1 )

eredményt kapjuk. Ezt a (96,17) integrál kiszámításával mutatjuk meg.A impulzusmomentum csak h0oL-val kapcsolatos, ezért a számításban hik összes

többi komponensét zérusnak vehetjük. h0a-ban elsőrendű tagokig vett pontossággal (96,2)-ből és (96,3)-ból azt kapjuk, hogy

b m = T Ü * " J r ( i - V ' - s ’V O = - - j ~ ^

(Megjegyezzük, hogy ga0 = —ha0 = ha0, a — epedig csak másodrendű tagokban különbözik egytől.) Ide (105,16)-ot behelyettesítve, a deriválási jel alatt eltűnik a második tag. az első pedig azt adja, hogy

= _ _ £ _ / & 1 -- c j9,71 “r dxt> dx* r 8n ar r2

E kifejezés segítségével a (96,16)-ban szereplő, az r sugarú gömb felületére vonatkozó integrálást is elvégezve (dfy = nyr2 d ü ), azt kapjuk, hogy

j { x ab ^ - x ^ b ^ ) d f y ^ J { n j i y J p y —npnyJ ay) d ü = - y ( d ^ J ^ - d ^ J ^ y )2_T J 2/3*

Hasonló számítás után adódik:

X<*vPdfy = J (hxodfp — hpo dfa) =

A két mennyiséget összeadva kapjuk J ^ keresett értékét.Hangsúlyozzuk, hogy az általános esetben, amikor az erőtér a test közelében erős

lehet, / a/5 a test és a gravitációs tér eredő impulzusmomentuma. Az erőtér járulékát csak akkor hanyagolhatjuk el, ha az mindenütt gyenge.41

A (105,6), (105,7) és a (105,16) képletek a kitűzött feladatot 1 /r2 rendű tagokig vett pontossággal oldják meg.42 A metrikus tenzor kovariáns komponensei:

giu = g T + h ® + h t\ (105,17)

Továbbá (105,3) szerint a kontravariáns komponensek ugyanolyan pontossággal:g ik = g(o)ik_h(i)ik _ h(2)ik+ ha)ijí(W ' (105,18)

A (105,16) képlet felírható vektoralakban is.43

2 kg = - y r “XJ, (105’19>

ahol J a test impulzusmomentum-vektora. A 88.§ első feladatában megmutattuk, hogy stacionárius térben a részecskére ugyanolyan ,,Coriolis-erő” hat, amilyen egy

W = y |/g^rotg

szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben hatna a részecskére. Ezért azt mondhatjuk, hogy a forgó test terében a távol levő részecskére az

w 2 rot g = [J - 3n(Jn)] (105,20)

szögsebességnek megfelelő Coriolis-erő hat.

41 Ha a forgó test gömb alakú, akkor J iránya az egyetlen kitüntetett irány a testen kívüli teljes térben. Ha az erőtér mindenütt gyenge (és nemcsak a testtől távol), akkor a (105,16) képlet az egész térben érvényes a testen kívül. A képlet akkor is érvényes az egész térben, ha az erőtér gömbszimmetrikus része nem mindenhol gyenge ugyan, de a gömbszimmetrikus test elegendően lassan forog; lásd az 1. feladatot.

42 A (105,5) transzformációk |° = 0, | a = l aU \ x 2, *3) választás esetén változatlanul hagyják /70a-t. Ezért ^ (105,16) kifejezés nem függ az r koordináta megválasztásától.

43 A vizsgált pontossággal a ga vektorra igaz, hogy = - g 0Jgoo ^~gou- Ugyanebből az okból a vektorszorzat és a rotáció definícióiban y = 1-et kell vennünk (lásd a 88. § 24 számú lábjegyzetét)* ezért azokat a Descartes-vektoroknak tekinthetjük.


Végül a (105,6) kifejezéseket a gravitáló test (96,16) integrállal adott teljes energiájának kiszámítására alkalmazzuk, b lkl szükséges komponenseit (96,2) és (96,3) szerint a kívánt pontossággal (az ~ 1/r2 tagokat hagyjuk meg) kiszámítva, azt kapjuk, hogy

b* °0 = 0,

1nn C4 S / nn mc2 Ő l ^ \ mc2 11ftOOa ___________ ( prOOprOCfA _ ------- --------- j -------„ _L16 n k d x ? 8tt \ r r s ) 4 ti

Ezután (96,16)-ban egy r sugarú gömbfelületre integrálva, végeredményként azt kapjuk , hogy

p a = q9 Fo = (105,21)

amint vártuk. Miként mondani szokták, ez a „súlyos” és a „tehetetlen” tömeg egyenlőségének tényét fejezi ki. („Súlyos” tömegnek nevezzük azt az adatot, amely meghatározza a test által keltett gravitációs tér erősségét; ez az a tömeg, amely a gravitációs tér ívelemének kifejezésében vagy a Newton-törvényben szerepel. A tehetetlen tömeget a test impulzusának és energiájának a kapcsolata határozza meg, többek között a test nyugalmi energiája egyenlő tömegének c2-szeresével.)

Állandó gravitációs térben a gravitáló anyag és az erőtér összes energiája egyszerű integrálképletből származtatható, amelyben csak a gravitáló anyag által elfoglalt térrészre kell integrálni. Ezt a kifejezést például az

R2 = 7 = ^ r ( ^ « ) 005’22>azonosságból kiindulva lehet megkapni, arr^ely akkor igaz, amikor egyik mennyiség sem függ x°-tól.44

44 ( 92,7)-ből következik, hogy

K = gmRio = sw( - ^ - + r u r r m- r n r ‘omy

A (86,5) és (86,8) segítségével pedig azt kapjuk, hogy ezt a kifejezést

*8 = - ^ - ( y ^ g ^ r Q + g ^ r uV — g O X l

alakban is felírhatjuk; a (86,8) kifejezés felhasználásával pedig könnyen meggyőződhetünk arról is,1 dglm

hogy a jobb oldalon a második tag azonosan egyenlő - — r?m —— -val, ami nulla, mivel minden2 dx°

mennyiség független a:0-tói. Végül ugyanebből az okból az első tagban az /-re vonatkozó összegezést a-ra való összegezéssel helyettesítve, megkaphatjuk a szövegben idézett (105,22) képletet.

K Í ~ g-t egész (háromdimenziós) térre integrálva és a háromdimenziós Gauss-tételt alkalmazva, azt kapjuk, hogy

J R U - g dV = j Y - ggior aoi dfrj.

Az integrálási felületet elég messzire eltávolítva és e felületen a gik (105,6) kifejezését használva, egyszerű számolás után az adódik, hogy

E>0 , / --------AJ.V 4 j t k DOR U - g d v = — m = - —r ? 0-

Figyelembe véve még azt is, hogy a téregyenletek szerint

Rl = = ^ ( T l - T \ - T l - T Í ) ,

a keresett összefüggést kapjuk:

j>o = mc = 1 j (T i + T $ + T l - T g) Y ^ g d v . (105,23)

Ez a képlet a gravitáló anyag és az állandó gravitációs tér összes energiáját (azaz a test teljes tömegét) egyedül az anyaghoz tartozó energia-impulzus-tenzor segítségével fejezi ki (R . Tolman, 1930). Emlékeztetünk arra, hogy gömbszimmetrikus tér esetén ugyanerre a mennyiségre már egy másik kifejezést is kaptunk, a (100,23) képletet.


Feladatok

1. Mutassuk meg, hogy (105,16) egy gömbszimmetrikus forgó testen kívül az egész térben érvényes marad, ha a forgás elegendően lassú (az impulzusmomentum J cmrg) anélkül, hogy az erőtér gömbszimmetrikus részének gyenge voltát megkövetelnénk (A. G. Doroskevics, J. B. Zeldo• vies, I. D. Novikov, 1965, V. Gurovics, 1965).

Megoldás. Gömbi térkoordinátákban (x1 = r, x~ = 6, x 3 = (p) a (105,16) képlet

^03 — sin2 (1)

alakba írható. Ezt a mennyiséget a (100,14) Schwarzschild-metrikához adódó kis járuléknak tekintve, csak azt kell ellenőriznünk, teljesül-e a h03 szerint linearizált R03 = 0 egyenlet. (A többi téregyenletben a járulékos tagok azonosan zérust adnak.) Ros-1 a 95. § feladatának (4) képlete segítségével szá


míthatjuk ki; itt a linearizálás mindössze azt jelenti, hogy a háromdimenziós tenzorműveleteket a (100,15) „nem perturbált” metrika szerint kell elvégezni. Eredményül az

/, r, \ d-hm | 2r, , , sin 6 8 / 1 8/;03 \ _ n \ r / dr2 r3 03 r2 dO \ sin 0 dO /

egyenlet adódik, amelynek az (1) kifejezés valóban eleget tesz.

2. Határozzuk meg egy origó középpontú test erőterében mozgó részecske pályájának a test forgása miatt bekövetkező szekuláris eltolódását (/. Lense, H. Thirring, 1918).

Megoldás. Minthogy az összes relativisztikus effektus kicsi, azok lineárisan adódnak össze, így a test forgása miatt fellépő jelenségek kiszámításakor elhanyagolhatjuk a gömbszimmetrikus erőterek 101. §-ban vizsgált relativisztikus korrekcióit; más szóval, a számítást azzal a feltételezéssel lehet elvégezni, hogy az összes hik közül csupán a h0oL-k különböznek zérustól.

A részecske klasszikus pályájának helyzetét két megmaradó vektor határozza meg: a részecske J = rX p impulzusmomentuma és az

p , kmm'rA = — x J -----------m r

vektor, amely jellegzetesen csak a cp — — km'/r Newton-féle erőtér esetében marad meg (m' a központi test tömege); lásd az I. kötet 15. §-át. A J vektor merőleges a pálya síkjára, A pedig az ellipszis nagyobbik féltengelye mentén a perihélium felé mutat (nagysága kmm'e, ahol e a pálya ex- centricitása). A pálya keresett eltolódását úgy írhatjuk le, mint a J és az A vektorok irányának megváltozását.

A térben mozgó részecske (105,19) Lagrange-függvénye:

ds _ Cr 2km _/7L — — mc — = L0 + öL, ÖL = mcgv = J (v x r). (J)

(A test impulzusmomentumát itt J'-vel jelöljük, hogy megkülönböztessük a részecske J impulzus- momentumától.) Ebből a Hamilton-függvény [lásd az I. kötet (40,7) képletét]:

?k2ő = 2Ő0+Ö7Ő, Ő7Ő - — ■ J'(r xp).

Az r = ----- , p = -------- - Hamilton-egyenletek segítségével kiszámítva a J = rXp + rXp déri-dp dr

váltakat, azt kapjuk, hogy

j = 5 r J ' x J - (2>

Mivel bennünket J szekuláris megváltozása érdekel, ezt a kifejezést a részecske körbefordulásának T periódusára kell átlagolnunk. Az átlagolás elvégzésekor az r időfüggésére ellipszis pálya esetén előnyös az alábbi parametrikus ábrázolást használni:

Tr — a( \ —e cos |) , t = —— (£ — e sin I)2n

(a és e az ellipszis fél nagytengelye és excentricitása, lásd az I. kötet 15. §-át), ekkor

T 2 n

- f - = - - í J r3 Ina3 ]T J r3 2na3 J (1— cosl)2 a \ \ — e2)312 o o


így J szekuláris változását adJ _ 2 k J 'x J dt c2a3( l —e2)3/2

képlet adja; tehát a J vektor a test forgástengelye körül forog, nagysága pedig változatlan marad. Hasonló számítás az A vektor esetén azt adja, hogy

• 2k 6k T T.A = ——- J ' X A + —— r- (JJ )r X J. clrá clmrb

E kifejezést a fentiekhez hasonlóan kell átlagolni; szimmetriamegfontolásokból azonnal nyilvánvaló, hogy az r/r5 vektor átlagértékének iránya az ellipszis nagy tengelyének irányába mutat, tehát az A vektorral párhuzamos. A szekuláris változására a számítás a következő kifejezést adja:

ik T'-W = a x A - 42 = (4)

(n H n' az J és J ' irányába mutató egységvektorok), tehát az A vektor £1 szögsebességgel forog, mgy- sága pedig változatlan marad; ez utóbbi azt jelenti, hogy a pálya excentricitása nem szenved szeku- láris változást.

A (3) képletet

alakba írhatjuk, a (4)-ben szereplő £2-val. Másképpen megfogalmazva: £2 az ellipszisnek mint „egésznek” forgását leíró szögsebesség. Ez a forgás magában foglalja mind a pálya perihéliumának (a 101.§-ban vizsgálthoz viszonyított) járulékos eltolódását, mind a pálya síkjának a test tengelye körüli forgását. (Az utóbbi jelenség nem lép fel, ha a pálya síkja egybeesik a test egyenlítősíkjával.)

Az összehasonlítás kedvéért megjegyezzük, hogy a 101.§-ban vizsgált effektusnak

_ 6nkm c2a(l —e2)T n

szögsebesség felel meg.

106. §. Részecskerendszerek mozgásegyenletei második közelítésben

Amint az alábbiakban látni fogjuk (110. §), a mozgó testek rendszere gravitációs hullámokat sugároz ki, miközben energiát veszít. Ez a veszteség azonban csupán az 1/c szerinti ötödik közelítésben lép fel. Az első négy közelítésben a rendszer energiája állandó marad. Ebből következik, hogy gravitáló testek rendszerét Lagrange-függ- vényekkel 1 /c4 rendű tagokig vett pontossággal lehet leírni, ellentétben az elektromágneses térrel, ahol az általános esetben csak másodrendű tagokig vett pontossággal

106. §. RÉSZECSKERENDSZEREK MOZGÁSEGYENLETEI 433

létezik Lagrange-függvény (65. §). E szakaszban levezetjük a pontrendszer Lagrange- függvényét másodrendű tagokig vett pontossággal. Ezzel együtt a rendszer mozgásegyenleteit is megkapjuk, a newtoni közelítésnél eggyel magasabb közelítésben.

A testeket „pontszerűeknek” tekintjük, tehát belső struktúrájukat és méreteiket elhanyagoljuk; más szóval az ajl hatványai szerinti sorfejtés nullarendű tagjaira szorítkozunk, ahol a a testek méreteit, / pedig a közöttük levő távolságokat jellemzi.

A kitűzött feladat megoldását azzal kell kezdenünk, hogy a megfelelő közelítésben meghatározzuk a testek által létrehozott gyenge gravitációs teret a testek méreteihez képest nagy, de a rendszer által kisugárzott gravitációs hullámok X hullámhosszához képest kis távolságokban ( ű « r « 2 ~lc/v).

\/c 2 rendű mennyiségekig vett pontossággal a testtől távol az erőteret az előző szakaszban kapott /z^-val jelölt kifejezések adják meg; ezeket (105,6a) alakjukban használjuk. A 105. §-ban hallgatólagosan feltételeztük, hogy az erőteret mindösz- sze egy (az origóban levő) test hozza létre. Mivel azonban a h $ erőtér tulajdonképpen a linearizált Einstein-egyenletek megoldása, b$ -k ra érvényes a szuperpozíció elve. Ezért a testek rendszerétől nagy távolságban kialakult erőteret az egyes testek által keltett erőterek egyszerű összegezésével kaphatjuk meg; írjuk ezt az erőteret

h£ = ~ < p % , (106,1)

K = 0, h00 =-^r<p (106,2)

alakban, ahol

a pontszerű testek rendszerének Newton-féle potenciálja (ra az ma tömegű test helyvektora). A (106,1) és (106,2) metrikus tenzorral az ívelemnégyzetet a

ds2 - dt2- ( d x * + d y 2+dz 2) (106,3)

alakban fejezhetjük ki.Megjegyezzük, hogy cp szerint elsőrendű tagok nemcsak g00-ban, hanem g ^ -ban

is szerepelnek; a 87. §-ban már említettük, hogy a g^ -ban szereplő járulékos tagok a mozgásegyenletekben olyan mennyiségekre vezetnek, amelyek magasabb rendben kicsik, m intagoo-ból származó tagok; emiatt a Newton-féle mozgásegyenletekkel való összehasonlítással csak goo határozható meg.

Amint a továbbiakból kitűnik, a keresett mozgásegyenletek felírásához a komponenseket elegendő a (106,l)-ben kapott ( ~ 1/c2) pontossággal ismernünk; a kevert komponenseket (amelyek az 1/c2 közelítésben zérussal egyenlők) ugyanakkor28 Elméleti fizika II. - 42221/11.


1/c3, a h0o időkomponenset pedig 1/c4 tagokig vett pontossággal kell tudnunk. Ezek kiszámítása érdekében ismét az általános gravitációs egyenletekhez fordulunk, figyelembe véve bennük a megfelelő rendű tagokat.

A testek makroszkopikus voltát elhanyagolva, az anyag energia-impulzus-tenzorát a (33,4)—(33,5) alakban állítjuk elő. Görbevonalú koordinátákban ez a kifejezés így írható :

a Y - g ds dt

[az i jY — g tényezőt illetően lásd a (90,4)-beli hasonló átírást.] Az összegezést a rendszerben levő összes testre kiterjesztjük.

A

komponens első közelítésben (Galilei-féle ^ h a s z n á la ta esetén) £ r a öc2(5(r—rn)-vala

egyenlő; a következő közelítésbengik-t (106,3)-ból vesszük; egyszerű számolással azt kapjuk, hogy

~c^ + S > j 8{r~ ra)’ (106,5)

ahol v a közönséges háromdimenziós sebesség (va = dxa/dt), cpa pedig az erőtér potenciálja az va pontban. (A cpa-ban levő végtelen részre, az ma részecske saját erőterének pontenciáljára egyelőre ne fordítsunk figyelmet; erre később még visszatérünk.)

Ami az energia-impulzus-tenzor T * ^0a komponenseit illeti, azokra ugyanebben a közelítésben elegendő csupán a (106,4) kifejezések sorfejtésének első tagjait beírni:

Tap = X m a»aa»a(3ő ( r - r a),a

7oa = — X »Jac0ŰOIő(r —r„). (106,6)a

Ezek után áttérünk az R ik tenzor komponenseinek kiszámítására. Előnyös az R ik = glmRumk képlet szerint a (92,4)-ből vett R limk-val számítani. Közben nem szabad elfelejtenünk, hogy a h00 mennyiségek l/c 2-nél, a /z0a mennyiségek pedig l/c3-nél alacsonyabb rendűek; ugyanakkor az x° = ct szerinti differenciálás 1-gyel növeli az 1 jc hatványai szerinti rendet.

i?oo-ban a vezető tagok 1/c2 rendűek; velük együtt meg kell tartanunk a következő

nem eltűnő, 1/c4 rendű tagokat is. Egyszerű számítás az alábbi eredményre vezet:

1 d ( dhl 1 d h l \ 1Roo — c dt \ dx* 2c dt

\ , 1 aI. , 1 02/100 1 ( dh° ° Y ) 2 2 dx«dxP 4 ( dx’ )

hoo U dh%U.-*5 [ dx“

_ J_ d^°° U dhp dhl \4 \ / ’

Itt a hik mennyiségekre még semmiféle mellékfeltételt nem használtunk fel. K ihasználva ezt a szabadságot, a hik mennyiségekre most a

m '° 1 m i = 0 (106,7)&xa 2c dt

mellékfeltételt rójuk ki, amelynek eredményeképpen jR00-ból teljesen kiesnek a h0a komponenseket tartalmazó tagok. A megmaradó tagokba

hi = -~ c p ö P , hoo = +

kifejezéseket helyettesítve, az előírt pontossággal azt kapjuk, hogy

1 2 2Roo = y A/ioo + (p A99 - (Vq?)2, (106,8)

ahol már háromdimenziós jelöléseket alkalmaztunk.Az R 0oí komponens kiszámításánál elegendő csupán az első nem eltűnő, — 1/c3 ren

dű tagokat megtartani. Hasonló módon kapjuk, hogy

1 ffX 1 d X 1 d % 1Oot 2c d t dx& 2 d x a d x P 2c d t d x a 2 Oot’

Ezután a (106,7) feltétel figyelembevételével:

* < " = ? (I06’9>

A nyert (106,5)—(106,9) kifejezések segítségével írjuk fel most az

Rik = ( r ik - j g u . T ' j (106,10)

Einstein-egyenleteket.28*

A (106,10) egyenlet időkomponense azt adja, hogy

A/!00+-^<pA <p-^(v<-/>)2 = + ^ - + Ö(r — ra) ;

a4( V99)2 = 2 A(<p2) — 499 A 12>

alakba írjuk át. A számítások elvégzése után a (105,12) jobb oldalán cpa-t a

, t r í / Wlb9a = ~ k L ■


b I Ta — r& I

kifejezéssel helyettesítettük, tehát az ma részecskét kivéve, az összes részecske által keltett erőtér ra pontbeli potenciáljával. Az itt használt módszerben a részecskéket pontszerűeknek tekintjük. A részecskék végtelen sajáttömegének kizárása tömegeik „újranorm álásának” felel meg, aminek eredményeképpen azok maguk a részecskék által létrehozott erőteret is számításba vevő értékeiket veszik fel.45

A (106,12) egyenlet megoldását az ismert (36,9)

A — = — 4 n b ( r ) r

összefüggés figyelembevételével azonnal fel tudjuk írni. Ily módon azt kapjuk, hogy

2cp 2cp2 2k ^ m a(pa 3k m avl

A (106,10) egyenlet kevert komponense a

, 1 ÓTtk ^ x 1 02Q9A/l0* = ----- ^3- Z m«®««a( r ->■<.)--5- dt 8x« (106,14)

45 Valóban, ha a rendszer mindössze egy mozdulatlan részecskéből áll, az egyenlet jobb oldalán8 Tik

egyszerűen ---- - m0<5(r— ra) szerepel, ez az egyenlet (második közelítésben) helyesen adja a részecskec2

által keltett erőteret.

kifejezésre vezet. E lineáris egyenlet megoldása:46

4k v m avaoi 1 02/


c3 a | r —r a | c3 dt dxa

ahol / ar v-i km a

A f = = - Z - r —ra

segédegyenlet megoldása. Figyelembe véve a Ar — 2/r összefüggést,

/ = - - £ I > „ | r - r a |

adódik. Végül egyszerű számítások után a következő eredményt kapjuk:

ho« = [7Wac+(van > M]. (106,15)2c**3 ^ I r —r« |

Itt na a z r - r fl vektor irányába mutató egységvektor.A (106,1), (106,13), (106,15) kifejezések elegendőek a keresett Lagrange-függvény

másodrendű tagokig terjedő pontossággal való kiszámításához.A többi részecske által keltett „külső” gravitációs erőtérben mozgó részecske

Lagrange-függvénye:

r ds „ / . , v* v2 , v%vP\112 L a -----m ac —j j — —m ac 11 + /zoo + 2/zoa ---------^ aP— j

Sorba fejtve a gyököt és elhagyva a lényegtelen —mac2 állandót, e kifejezést előírt pontossággal az

L a = ^ + ^ - mac ^ + h0^ + c2- h^ o- ^ f + v Í j (106,16)

alakba írhatjuk át. Itt hik összes értékét az ra pontban kell vennünk; közben ismét el kell hagynunk a végtelenné váló tagokat, ami az La-ban együtthatóként szereplő ma tömeg „újranorm álására” vezet.

46 Stacionárius esetben a (106,14) egyenlet jobb oldalán levő második tag hiányzik. A rendszertől nagy távolságban azonnal felírható az így kapott egyenlet megoldása, a (43,4) egyenlet (44,3) megoldásának analógiájára:

2h0a = — (n x J)a

[ahol J = J (r x/LL\)dV = ra0(r0 x v0) a rendszer impulzusmomentuma]. Ez a (105,19) képiette* teljes egyezésben van.

A számítások további menete a következő. A rendszer teljes Lagrange-függvénye magától értetődően nem egyenlő az egyes testek L a függvényeinek összegével, hanem azt úgy kell megalkotni, hogy az egyik testre ható fa erőt helyesen adja vissza a többi test adott mozgása esetén. E célból az La Lagrange-függvény differenciálásával számítsuk ki az fa erőket:

H -^ ) ■\ / r = r„

(A differenciálást a hik-kra vonatkozó kifejezésekben a „megfigyelési pon t” r futó koordinátái szerint kell elvégeznünk.) Ezek után könnyű olyan általános Lagrange- függvényt megszerkeszteni, amelyből mindezek az ia erők előállíthatok a dLjdra parciális deriválásokkal.

Nem vesztegetve az időt az egyszerű közbenső számításokkal, azonnal a Lagrange- függvényre kapott végeredményt adjuk meg:47

j _ y. WlaVa V1 V1' ^^^a^b^a . y y yv2c*rab “ 2 ^

- Z Z ' [V(v„vfc) + (v„na6)(v*n„/,)]- Z Z ' Z ' ’ (106’17)a b ' a b a b c ' ab' ac

ahol rab = |r fl— r j , nab az ra—rb irányú egységvektor, az összegező jelnél pedig azt jelenti a vessző, hogy el kell hagyni a b — a vagy c — a tagokat.

Feladatok

1. Határozzuk meg gravitációs tér hatásintegrálját newtoni közelítésben.

Megoldás. gik (106,3) kifejezésének segítségével a (93,3) képlet szerint azt kapjuk, hogy G = = — 2(v<p)2/c4, így az erőtér hatásintegrálja:

A gravitációs tér és a n sűrűségeloszlású tömegek együttes hatásintegrálja:

m

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy S-nek (p szerinti variálása a (99,2) Poisson-egyenletre vezet, amint annak lennie kell.

Az energiasűrűséget a A Lagrange-sűrűségből [(1) integrandusából] a (32,5) általános képlet szerint számíthatjuk ki, ami az adott esetben (amikor /l-ban nem szerepel cp időderiváltja) a második

47 Lagrange-függvénynek megfelelő mozgásegyenleteket elsőként A. Einstein, L. Infeld és B. Hoffmann (1938), továbbá A: Eddington és G. Clark (1938) adtak meg.

és a harmadik tag előjelének a megváltoztatását jelenti. Az energiasűrűséget úgy integráljuk a térre, hogy a második tagban [xcp = <p A(p/4jik helyettesítést végzünk, majd parciálisán integrálunk, az erőtér és a gravitáló anyag összes energiáját végül

alakban kapjuk meg. Tehát a Newton-elméletben a gravitációs tér energiasűrűsége W= — (v^)2/8-tA'.4S

2. Határozzuk meg gravitáló testekből álló rendszer tömegközéppontjának koordinátáit második közelítésben.

Megoldás. A gravitációs kölcsönhatás Newton-törvényének és az elektrosztatikus kölcsönhatás Coulomb-törvényének hasonlóságát figyelembe véve, a tömegközéppont koordinátáit a 65. § 1. feladatában kapott képlethez hasonlóval adhatjuk meg:

3. Határozzuk meg két, egymással összemérhető tömegű gravitáló test pálya-perihéliumának szekuláris eltolódását (H . Robertson, 1938).

Megoldás. Két testből álló rendszer Lagrange-függvénye:

Hamilton-függvényre áttérve és kiküszöbölve abból a tömegközéppont mozgását (lásd a 65. § 2. feladatát), azt kapjuk, hogy

ahol p a relatív mozgás impulzusa.Határozzuk meg az impulzus pr sugárirányú összetevőjét a J (impulzusmomentum) és az <5

{energia) paraméterek függvényében. Ezt a függvényt a K> — £ egyenlet határozza meg (a másodrendű tagokban p2-nek nulladik közelítésben kapott kifejezését kell használni):

[3(v{ + v2) - 1 (\1\ 2) - (Vjn) (v2n)] -

(triiVf +m2v%) +

2c2 r2

p2 / 1 1 \ km Ym2 p1 / 1 1 \ 2 r 8c2 \ m\ + m \ )

k lm xm2(m m2)2W1 ' (K

48 Az esetleges félreértések elkerülése végett megemlítjük, hogy ez a kifejezés nem egyezik meg az «nergia-impulzus-pszeudotenzor (— g)t00 komponensével [amelyet a (106,3)-beli g^-val számítottunk] ; W-hQz (— g)Tik-ból is adódik járulék.

A számítás további menete a 101.§-ban elvégzetthez hasonló. Meghatározzuk a felírt algebrai egyenletből pr-tt, majd az

= jPrdr

integrálban úgy transzformáljuk az r változót, hogy a J-t tartalmazó tag J 2/r2 alakú legyen. Ezután a gyök alatti kifejezést a kis relativisztikus korrekciók szerint sorba fejtve, azt kapjuk, hogy

[vö. (101,6)-tal], ahol A, B állandó együtthatók, amelyeknek konkrét kiszámítására nincs szükség. Végeredményben a relatív mozgás pálya-perihéliumának elfordulására az adódik, hogy

„ _ 6jik2m 2ml _ 67ik(m1+ m 2)^ c2J 2 c2a ( l—e2) 8

Ezt (101,7)-tel összehasonlítva, azt látjuk, hogy a pálya adott méretei és alakja esetén a perihélium elmozdulása ugyanolyan, mint egy rögzített erőcentrum körül mozgó m1+m 2 tömegű testé.

4. Határozzuk meg egy olyan gömb alakú pörgettyű precessziójának frekvenciáját, amely pályamozgását egy, a saját tengelye körül forgó központi te«t gravitációs terében végzi.

Megoldás. A keresett effektus első közelítésben két független rész összegeként adható meg, amelyek közül az egyik a gömbszimmetrikus erőtér nem-klasszikus tulajdonságaival (H. Weyl, 1923), a másik pedig a központi test forgásával kapcsolatos (L. Schiff\ 1960).

Az első részt a pörgettyű Lagrange-függvényében megjelenő kiegészítő tag írja le, amely a (106,17)- beli második tagnak felel meg. írjuk a pörgettyű egyes (dm tömegű) elemeinek sebességét v = V+ + <oXr alakban, ahol V pálya menti mozgásának sebessége, co a szögsebesség, r a dm elemnek a pörgettyű tömegközéppontjához viszonyított helyvektora. (Ez utóbbit válasszuk úgy, hogy a pörgettyű térfogatára vett J r dm integrál zérus legyen.) Az co-tól független tagokat elhagyva, az c*> szerint négyzetes tagokat pedig elhanyagolva azt kapjuk, hogy

5jM/r 3km' 2V(coxr) ,6 L = ^ ---------R ------- d m >

ahol m' a központi test tömege, R = |R0+ r | a dm tömegelemnek a centrumtól mért távolsága, R0 a pörgettyű tömegközéppontjának helyvektora. Az 1 /R & l/R 0—nr/Rl (ahol n = R0/^ 0) szerinti sorfejtés első tagjának integrálja zérus, a második tag integrálját pedig az

J xaxp dm = y 0<5a/3

képlet segítségével számíthatjuk ki, ahol 0 a pörgettyű tehetetlenségi nyomatéka. Eredményül azt kapjuk, hogy

- i s j - K ' . * - ) .

ahol J = <9a) a pörgettyű impulzusmomentuma.A Lagrange-függvénynek a központi test forgásával kapcsolatos járulékos tagját (106,17)-ből is

megkaphatnánk, de a 105. § feladatának (1) képlete segítségével még egyszerűbben kiszámíthatjuk:

ahol J' a központi test impulzusmomentuma. Elvégezve az

T e * « í + ^ s ( r - 3n(nr))sorfejtést és az integrálást:

{JJ'-3(nJ)(nJ')}.

Ily módon a Lagrange-függvényhez adódó teljes járulék

ŐL = - 3 S l , Sl = 2c2R, nx v0+ {3n(n3 ')- J'}.

Ennek a


mozgásegyenlet felel meg [vö. a 105. § feladatának (2) egyenletével]. Ez azt jelenti, hogy a pörgettyű J impulzusmomentuma £2 szögsebességgel precesszál, de nagysága nem változik.

XIII. F E J E Z E T

GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK

107. §. Gyenge gravitációs hullámok

A kölcsönhatások terjedésének véges sebessége, az elektrodinamikához hasonlóan, a gravitáció relativisztikus elméletében is lehetővé teszi a testektől független szabad gravitációs tér, tehát a gravitációs hullámok létezését.

Vizsgáljuk meg vákuumban a gyenge, szabad, gravitációs tereket. Éppúgy, mint a 105. §-ban, bevezetjük a hik tenzort, amely a Galilei-metrika gyenge perturbációit írja le :

g * = g f + h ik. (107,1)

Ekkor, hik-ban elsőrendű tagokig vett pontossággal a kontra variáns metrikus tenzor:

g ik = g«»/*_A/* (107,2)

A gik tenzor determinánsa pedig

g = g«»(l + A) (107,3)

ahol h = h\\ a tenzorindexek fel- és lehúzásának összes műveletét a nem perturbált metrika szerint kell végezni.

Mint már a 105. §-ban megmutattuk, a hik kicsiségére vonatkozó feltétel meghagyja a vonatkoztatási rendszer x l = x lJr'S,1 alakú transzformációjának lehetőségét, ha | - k kicsik; ekkor

h '* = h - - § k - dÉ r - 007,4)

Felhasználva ezt a hik tenzor „mértékében” levő önkényességet (amint mondani szokás), hik-kra rójuk ki a

| ^ = °, V? = h ? -^ Ö $ h (107,5)

107. §. GYENGE GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK 443

mellékfeltételeket. így a Ricci-tenzor egyszerűen

R i k = ^ U h n c (107,6)

alakú lesz [(105,11)], ahol rj a d ’ A lem bert-operátor:

02n = — e (0)/m--------------- = A — -u 8 d x18xm c2 dt2 '

A (107,5) feltétel még nem rögzíti egyértelműen a vonatkoztatási rendszer megválasztását: ha bizonyos hik-k eleget tesznek ezeknek a feltételeknek, akkor a (107,4)- beli tíjk-k is kielégítik ezeket, hacsak a J* mennyiségek a

□ I 1' = 0 (107,7)

egyenlet megoldásai.(107,6)-ot zérussal téve egyenlővé, a vákuumbeli gravitációs tér egyenleteit

D hf = 0 (107,8)alakban kapjuk meg.

Ez közönséges hullámegyenlet. A gravitációs hullám tehát éppúgy, mint az elektromágneses hullám, vákuumban fénysebességgel terjed.

Vizsgáljuk meg a gravitációs síkhullámot. Ilyen hullámban az erőtér csak egy térbeli irány mentén változik; fektessük ebbe az irányba az x 1 = x tengelyt. A (107,8) egyenletek ekkor a

egyenletekbe mennek át, amelyeknek bármely t± x/c-tő\ függő függvény megoldása

(47-§)-Terjedjen a hullám pozitív x irányban. Ilyen rendszerben minden mennyiség t —xfc

függvénye. A (107,5) mellékfeltételek ebben az esetben a ipj—yf} = 0 egyenletre vezetnek, ahol a betű fölötti pont t szerinti deriválást jelent. Ezeket az egyenlőségeket egyszerűen úgy integrálhatjuk, hogy letöröljük a differenciálás jelét; az integrálási állandót zérusnak választhatjuk, mivel itt bennünket (csakúgy, mint az elektromágneses hullámok esetében) kizárólag az erőtér változó része érdekel. Ilyen módon egyes komponensei között az alábbi összefüggések állnak fenn:

v i = y>i, f i = f t f i = f t f i = v t - (107,10)

Amint már kimutattuk, a (107,5) feltétel nem határozza meg egyértelműen a vonatkoztatási rendszert; a koordinátákat még x '1 = x l-\-£(t— xjc) alakú transzformációknak vethetjük alá. E transzformációkat arra használhatjuk fel, hogy a négy

444 XIII. GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK

V2 + V3 komponenst zérussá tegyük. (107,10) szerint ebben az esetben zérussá válnak a vl* v\* Vo komponensek is. Ami a komponenseket illeti,azok a vonatkoztatási rendszer semmilyen megválasztásával sem tehetők nullává, mivel, amint (107,4)-bői látható, = %l(t— x/c) transzformáció esetén ezek a kom ponensek változatlanok maradnak. Megjegyezzük, hogy zérussá válik %p = is, és ezért \pk = hk.

A gravitációs síkhullámot tehát két mennyiség, h23 és h22 — — 3 3 határozza meg. Más szóval: a gravitációs hullámok transzverzális hullámok, amelyeknek polarizációjá t egy, az yz síkban másodrendű szimmetrikus tenzor határozza meg. E tenzor diagonális elemeinek összege: ^ 2 2 + 3 3 = 0. A két független polarizációnak azokat az eseteket választhatjuk, amelyekben a két h23 és {h22—h ^ ) l2 mennyiség közül az egyik zérus. E két polarizáció az yz sík?r/4 szögű elforgatásában különbözik egymástól.

Számítsuk ki a gravitációs síkhullám energia-impulzus-pszeudotenzorát. A tlk komponensek másodrendűén kis mennyiségek; azokat a náluk még magasabb rendű tagok elhanyagolásával kell kiszámítanunk. Mivel h — 0 esetén a g determináns g(0) = — 1-től csak másodrendű mennyiségekben különbözik, ezért a (96,9) általános képletben §lk t ^ glk t ^ —hlk}l írható. Síkhullámokra a tlk valamennyi zérustól különböző tagját (96,6)-nak a kapcsos zárójelben levő

J L <yilp k n i p g. ~ n r „ p q J _ Un, i foq, k2 Ő ő S n p & q r ö , / ó , m 2

tagja tartalmazza. (Erről könnyen meggyőződhetünk, ha a Galilei-féle vonatkoztatási rendszer egyik tengelyét a hullám terjedésének irányában vesszük fel.) Tehát

íik = ^ h« ih- (107’11>

A hullám energiaáramát a — cgt°a ^ ct°a mennyiségek határozzák meg. Az x 1 tengely mentén terjedő síkhullámban, amelyben a zérustól különböző h2 3 és h 2 2 = — ^ 3 3 komponensek csak a t—x/c különbségtől függenek, ez az áram ugyancsak az x 1 tengely mentén terjed, és a

kifejezéssel egyenlő.Tetszőleges gravitációs hullám kezdeti feltételeit a koordináták négy tetszőleges

függvényével adhatjuk m eg: a hullámok transzverzalitása miatt /za/3-nak csak két független komponense van, de rajtuk kívül meg kell adnunk első időderiváltjaikat is. Bár a független kezdeti feltételek összeszámlálását a gyenge gravitációs terek esetén végeztük el, világos, hogy az eredmény, a négyes szám, nem lehet kapcsolatban a gyengeség feltételezésével, és érvényes marad bármely szabad (gravitáló tömegekhez nem csatolt) gravitációs térre.

^23+“4 ' (^ 2 2 ■- U 2 (107,12)

108. §s GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK GÖRBÜLT TÉRIDŐBEN 445

Feladat

Határozzuk meg gyenge gravitációs síkhullám görbületi tenzorát.

Megoldás. A (105,8) segítségével kiszámítva Riklm-Qt, a zérustól különböző komponensek a következők:

Az a:2, x 3 tengelyek alkalmas elforgatásával (a négyestér adott pontjában) a o és [i mennyiségek egyike zérussá tehető; a a mennyiséget eltüntetve, a görbületi tenzor a degenerált II. Petrov-féle osztálynak {az N típusnak) megfelelő alakot veszi fel.

108. §. Gravitációs hullámok görbült téridőben

Ahogy a gravitációs hullámok terjedését a görbületien téridő „hátterén” tanulm ányoztuk, ugyanúgy megvizsgálhatjuk kis perturbációk terjedését egy tetszőleges (nem Galilei-féle) „nem perturbált” gf^ metrikához képest. Tekintetbe véve bizonyos egyéb alkalmazásokat is, a szükséges képleteket itt a legáltalánosabb alakban adjuk meg.

A g ik-1 ismét (107,1) alakban írva, azt kapjuk, hogy a Christoffel-szimbólumokhoz adódó elsőrendű járulékok hik-k segítségével a

képlet szerint fejezhetők ki, amiről közvetlen számolással győződhetünk meg. (Itt és a későbbiekben, az összes tenzorművelet — indexek fel- és lehúzása, kovariáns differenciálás — a nem Galilei-féle metrikával végzendő.) A görbületi tenzorhoz adódó járulékokra az

“ ^ 0 2 0 2 ~ ^ 0 3 0 3 — “ ^ 1 2 1 2 — ^ 0 2 1 2 ' ^ 0 3 3 1 ~ ^ 3 1 3 1 “ <J’>

^ 0 2 0 3 : “ ^ 1 2 3 1 = “ ^ 0 3 1 2 = ^ 0 2 3 1 = 1 5

— ^ ( h lk-,i+hi;k — hki*1) (108,1)


kifejezést kapjuk. Ebből a Ricci-tenzor megváltozása:

(108,3)

(108,4)

A pontos metrikának vákuumban ki kell elégítenie a zR ik = OEinstein-egyenleteket. Mivel a nem perturbált metrika kielégíti az Rf^ = 0 egyenletet, a perturbációra az R ^ = 0 egyenletet kapjuk, tehát

Tetszőleges gravitációs hullámok esetén ez az egyenlet nem hozható a (107,8)-hoz hasonló egyszerű alakra. Lehetséges viszont ilyen egyszerűsítés a nagy frekvenciájú hullámok fontos esetében: ekkor a X hullámhossz és a Xjc periódusidő kicsi azon jellemző L távolságokhoz és Ljc időkhöz képest, amelyeken belül a nem perturbált erőtér állandónak tekinthető. A hik mennyiségek minden egyes differenciálása a nagyságrendet a nem perturbált g$ metrika deriváltjaihoz képest LjX -szorosra növeli. A két legnagyobb rendű [(LjX)2 és (L/X)] tagig terjedő pontosságra szorítkozva,(108,5)-ben felcserélhetjük a differenciálás sorrendjét; valóban a

különbség nagyságrendje (L/X)°, a h\.k l és hj l;k mennyiségek mindegyike tartalmaz magasabb rendű [(L/X)2-1 és {LjX)-1 egyaránt] tagokat. Kiróva ezek után hik-ra a

egyenletet kapjuk, ami a (107,8) egyenlet általánosítása.A 107. §-ban említett okok miatt a (108,6) feltétel nem rögzíti a koordináták egy

értelmű megválasztását. A koordinátákat még az x l — x lJrh,1 transzformációnak vethetjük alá, ahol |*-k kicsiny mennyiségek, és kielégítik a £i;k.k = 0 egyenletet. Ezeket a transzformációkat speciálisan arra is felhasználhatjuk, hogy kirójuk hjk-kra még a h = h\ = 0 feltételt is. Ekkor ipf = /zf, így /zf kielégíti a

h li; k ; l + h lk; i; / — ^ / — i; k ~ 0 . (108,5)

Wi; k = 0

mellékfeltételeket [amelyek (107,5) hasonmásai], a

hik' l;i — 0 (108,7)

(108,6)

hf-k = 0, h — 0 (108,8)

108. §. GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK GÖRBÜLT TÉRIDŐBEN 447

feltételeket. A megengedett transzformációk tartománya ezek után a S1. i = 0 feltételre szűkül.

A tlk pszeudotenzor a nem perturbált /(0),A tagok mellett általában /?//v-kban különböző' rendű tagokat is tartalmaz. A (107,1 l)-hez hasonló kifejezéshez jutunk, ha a ílk mennyiségeknek a négyestér A-hoz képest nagy, deZ-hez képest kicsi részeire átlagolt értékeit vesszük. Egy ilyen átlagolás (amelyet az alábbiakban ( . . . ) hegyes zárójelekkel jelölünk) nem változtatja meg g\jj}-t, és zérussá teszi a gyorsan oszcilláló hik mennyiségekben az összes elsőrendű tagot. A négyzetes tagokból csak az \/X szerint legmagasabb (másod-) rendű tagokat tartjuk meg; ezek a hik l = dhik/d x l deriváltakban négyzetes tagok.

Ilyen pontosság mellett a /^-ban szereplő összes négyesdivergencia elhagyható. Valóban, az ilyen kifejezéseknek a négyestér tartományaira (az átlagolás tartom ányaira) vonatkozó integráljait a Gauss-tétel segítségével átalakíthatjuk. Erinek eredményeképpen l / l szerinti nagyságrendjük az egységre csökken. Ezen túlmenően kiesnek azok a tagok is, amelyek parciális integrálás után (108,7) és (108,8) miatt zérussá válnak. így parciális integrálással és a négyesdivergenciák elhag>ásá\al azt kapjuk, hoay

{hln,Phl„) = —{h,nhftP'„) = 0,(h“,„hf'n) = = 0.

Végeredményben a másodrendű tagok közül csupán az alábbi marad meg:

< ^ (2)> = 3 ^ < W > * 0 ° 8’9)

Megjegyezzük, hogy ugyanezzel a pontossággal: (z(2)*> = 0.Az energiát tartalmazó gravitációs erőtér maga is járulékos gravitációs tér forrása.

Ez az erőtér azonban az őt létrehozó energiával együtt a hik-ban másodrendű. Nagy- frekvenciás gravitációs hullámok esetében azonban ez a hatás lényegesen felerősödik: az a tény, hogy a tlk pszeudotenzor hik deriváltjaiban négyzetes, a nagy / ~ 2 számmal becsülhető szorzótényezőt hoz í,A-ba. Ilyen esetben azt mondhatjuk, hogy maguk a hullámok hozzák létre azt a háttér-teret, amelyben terjednek. Ezt a teret célszerű úgy tanulmányozni, hogy a négyestér A-hoz képest nagyméretű tartományaira a fentebb leírt módon átlagolunk. Az ilyen átlagolás a rövid hullámhosszú „fodrokat” kisimítja, és egy lassan változó háttérmetrikát eredményez (R . A . Isaacson, 1968).

E metrikát meghatározó egyenlet levezetéséhez az R ik tenzor sorfejtésében nemcsak a /^-ban lineáris, hanem a négyzetes tagokat is figyelembe kell vennünk: R ik = R\J?-f- + R f^+ R f^. M int már említettük, az átlagolás nem érinti a nulladrendű tagokat* Az (R ik) = 0 átlagolt téregyenlet tehát

R $ = ~ ( R \ V ) (108,10)

alakú lesz, és R$ - ban csupán az 1/A-ban másodrendű tagokat kell megtartani. Ezeket könnyen megkaphatjuk a (96,7) azonosság alapján. Az azonosság jobb oldaláról származó hik-kban négyzetes tagok négyesdivergencia alakjában lépnek fel, ezért az átlagolásnál (az adott pontosság mellett) eltűnnek, és így az

/ ( r * = - ~ (t*v>y

egyenlet marad, vagy mivel = 0, ugyanilyen pontossággal:


Végül (108,9) felhasználásával megkapjuk a (108,10) végleges alakját:

R ® = \ ( K , M , k). (108,11)

Ha a „hátteret” teljesen maguk a hullámok hozzák létre, akkor a (108,11) és(108,7) egyenleteket együttesen kell megoldani. A (108,11) jobb és bal oldalán álló kifejezések nagyságrendi becslése azt mutatja, hogy ebben az esetben, a háttérmetrika görbületi sugarának L nagyságrendje a X hullámhosszal és a h által keltett erőtér nagyságrendjével L -2 ~ /z2/A2, azaz a A/L ~ h szerint van kapcsolatban.

109. §. Erős gravitációs hullámok

Ebben a szakaszban azEinstein-egyenleteknek azt a megoldását vizsgáljuk, amely a sík téridő gyenge gravitációs síkhullámainak általánosítása (/. Robinson, H. Bondi, 1957).

Olyan megoldást keresünk, amelyben a metrikus tenzor komponensei a vonatkoztatási rendszer alkalmas megválasztása esetén csupán egyetlen (előre meg nem határozott jellegű) x° változótól függnek. Ez a feltétel megengedi még a koordináták

xa -► Xa+99a(%°),x° -► cp0(x0)

alakú transzformációját, ahol (p°, cp* tetszőleges függvények.A megoldás jellege lényegesen függ attól, hogy a (109,1) transzformációkkal zérussá

tehető-e az összes g0űc. Ez akkor érhető el, ha a \g^\ determináns nem nulla. Valóban,

(109.1)(109.2)

a (109,1) transzformáció esetén g0oc — (a pont x° szerinti differenciálástjelent), és ha \g ^ \ ^ 0, a

g0a + g ^ = 0

egyenletrendszer meghatározza a kívánt transzformációt megvalósító <^(x°) függvényeket. Ilyen esetet a 117. §-ban vizsgálunk; itt most a

l&tfl = 0 (109,3)megoldással foglalkozunk.

Ilyenkor nem létezik olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az összes g0a eltűnik. Ehelyett azonban a (109,1)—(109,2) transzformációkkal elérhetjük, hogy

£ 1 0 = 1, goo = £ 2 0 = g 3o — 0 (109,4)

legyen. Az x° változó jellege ekkor „fényszerű” : dxa = 0, í/x° 7 0 esetén a ás ívelem zérus; az így megválasztott x° változót az alábbiakban x° — rj-val jelöljük. A (109,4) feltételek teljesülése mellett az ívelemnégyzet

ds2 = 2 í/x1 dr]+gab(dxa+ g a dx1) {dxb+ gb dx1) (109,5)

alakú. Ebben a szakaszban az c, . . . indexek a 2, 3 értékeket veszik fel; gab(r])-t kétdimenziós tenzornak, a két ga{rj) mennyiséget pedig egy kétdimenziós vektor komponenseinek tekinthetjük. Az R ab mennyiségek kiszámítása a következő téregyenletekre vezet:

R a b = ~ ^ g a c g Cg b d g d = 0 .

Ebből következik, hogy gacgc = 0 vagy g° = 0, azaz = const. Az x^+g^x1 — x° transzformációval a vizsgált metrikát ezért a

ífc2 = 2 dx1 drj+ ga^(^) dxa dxb (109,6)alakra lehet hozni.

E metrikus tenzor - g determinánsa megegyezik a \gab\ determinánssal, a Christoffel-szimbólumok közül pedig csak a következők különböznek zérustól:

P b O — ~2 r \ b — — ~2 x ab •

Itt bevezettük a xab = ga6, k* = gbcxac kétdimenziós tenzort. A Ricci-tenzor összes komponensei közül csupán Roo nem azonosan nulla, így az

^ 0 0 = - j * 1 - J = 0 (109,7)

egyenletet kapjuk.

109. §. ERŐS GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK 449

29 Elméleti fizika II. — 42221/11.


Ezek szerint a három g22(jj% S2s(j]% Sss(jl) függvénynek csupán egy egyenletet kell kielégítenie. Ezért közülük kettőt teljesen tetszőlegesen adhatunk meg. A kényelem kedvéért (109,7)-et más alakba írjuk a gab mennyiségek

gab = ~ fV a b , \ y ab \ ~ 1 (109,8)

parametrizálásának felhasználásával. Ekkor a —g determináns: — g = \gab\ = %4, ami(109,7)-be való behelyettesítés és egyszerű átalakítások után a

z + y (facYbc) (fb d y ad)% = o (109,9)

egyenletet adja (yab a kétdimenziós yab tenzor inverze). Megadva a tetszőleges yab(rj) függvényeket (amelyek egymással a \yab\ = 1 összefüggés révén vannak kapcsolat* ban), ez az egyenlet meghatározza a yXv) függvényt.

így olyan megoldáshoz jutottunk, amely két tetszőleges függvényt tartalmaz. Köny- nyű belátni, hogy ez a megoldás a 107. §-ban vizsgált (egy irányban terjedő) gyenge gravitációs síkhullámok általánosítása.1 Az egyszerűbb esetet az

t+ x , t —x7] = - = - , X 1 =

]/2 f í

transzformáció és a yab = 8ab+ hab(rj) helyettesítés elvégzésével (hab-k kis mennyiségek, amelyek eleget tesznek a ^ 2 2 + ^ 3 3 = 0 feltételeknek) x = 1-et véve kapjuk vissza; % állandó értéke a másodrendűén kis tagok elhanyagolásával kielégíti a (109,9) egyenleteket.

Haladjon át az erőtér valamely x pontján egy véges kiterjedésű gyenge gravitációs hullám („hullámcsomag”). Az áthaladás előtt hab = 0, % = 1; az áthaladás után ismét hab = 0, d2yjd t2 = 0, de a (109,9) egyenletben a másodrendű tagok figyelembevétele d%/dt zérustól különböző negatív értékére vezet:

(az integrálást a hullám áthaladási idejére kell elvégezni). Ezért a hullám áthaladása után % = 1 —const*? lesz, és véges időintervallum elteltével % előjelet vált. % zérussá válása azonban a g metrikus determináns eltűnését jelenti, azaz a metrikában szingu- laritás jelenik meg. Ez a szingularitás azonban nem fizikai, csak az áthaladó gravitációs hullám által „elrontott” vonatkoztatási rendszer fogyatékosságaival kapcsolatos, és a rendszer megfelelő transzformációjával megszüntethető; a valóságban a hullám á thaladása után a téridő ismét sík lesz.

1 Több változótól függő hasonló megoldásokat találtak: I. Robinson, A. Troutman, Phys. Rév. Lett. 4, 431 (1960); Proc. Roy. Soc. A265, 463 (1962).

109. §. ERŐS GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK 451

Erről közvetlenül is meggyőződhetünk. Ha rj értékét a szinguláris pontban felvett értékétől számítjuk, akkor % = 7 7 , tehát

ds2 = 2 drj dx1 — r)2[(dx2)2 + (dx3)2].

A z

2 3 1 t y2+ z2rjxz = = z, x1 = § ------ ------2rj

transzformáció elvégzése után azt kapjuk, hogy

ds2 — 2 drj d l — dy2 — dz2,

ami végül az rj — (t+ x )jY 2, | = ( t—x)/Y2 helyettesítéssel Galilei-alakra hozható.A gravitációs hullámoknak az a tulajdonsága, hogy fiktív szingularitás keletkezésére

vezethetnek, természetsen független attól, hogy az erőtér gyenge, és hogy a (109,7) egyenlet általános megoldására is elmondható. Éppúgy, mint a vizsgált példában, a szingularitás közelében % ~ 97, azaz — g ~ r?4.2

Feladat

Határozzuk meg annak feltételét, hogy a

í/s2 = dt2 — ífo2 — dy2 — dz2 + f ( t — x, 7 , z) (dt — í/a)2

alakú metrika vákuumban az Einstein-egyenletek egzakt megoldása legyen (A. Peres, 1960).

Megoldás. A Ricci-tenzort legegyszerűbben az w = ( t - x ) jY 2, v = (/+*)/}/2, z koordinátákban lehet kiszámítani, amelyekben

ds2 = — dy2 — dz2-\-2 du dv+2f(u, y, z)du2.

A £22 = £33 = — 1 mellett a metrikus tenzornak csupán a következő komponensei különböznek zérustól: guu = 2/, guv = 1; eközben = — 2f , g uv= 1, a determináns pedig £ = — 1. A (92,1) szerint elvégzett közvetlen számítás a görbületi tenzor zérustól különböző komponenseire a következő értékeket adja:

R = ~ * L R = - * L R0Z2 » l x y u zu 0 0 Z •

A Ricci-tenzor egyetlen zérustól különböző komponense Ruu = A f , ahol A az y, z koordináták szerinti Laplace-operátor. így az Einstein-egyenlet A / = 0, tehát az f ( t —x ,y , z) függvénynek harmonikusnak kell lennie az y, z változókban.

2 Ez a (109,7) egyenlet segítségével ugyanúgy bizonyítható, mint a 97. §-ban a hasonló három-dimenziós egyenlet esetében szinkronizált vonatkoztatási rendszerben tettük. Akárcsak ott, a fiktívszingularitás keletkezése most is a koordinátavonalak metszésével kapcsolatos.29*

Ha az / függvény nem függ az y, z változóktól, vagy ezekben lineáris, akkor nincs erőtér; a téridő sík (a görbületi tenzor zérus). Az y, z-ben másodrendű

f(u , y, z) = yzfx(u )+ ~ (y-~ z2)f2(u)

függvény az x tengely mentén pozitív irányban terjedő síkhullámnak felel meg; valóban, ilyen térben a görbületi tenzor csak t — x-től függ:

R y u zu R yu yu R z u z u

A hullám két lehetséges polarizációjának megfelelően a metrika ebben az esetben két tetszőleges fi(u ) és / 2(w) függvényt tartalmaz.

110. §. Gravitációs hullámok kisugárzása

Vizsgáljuk a fénysebességhez képest lassan mozgó testek által keltett gyenge gravitációs erőteret.

Anyag jelenlétében a gravitációs egyenletek az egyszerű (107,8) nh* = 0 alakú hullámegyenletektől abban különböznek, hogy a jobb oldalon megjelennek az energia-impulzus-tenzorból eredő tagok. Ezeket az egyenleteket

j ny>i = (110,1)

alakban írjuk, ahol hkt helyett bevezettük az ilyenkor kényelmesebb

f f = h f ~ Y őfh

mennyiségeket, r f pedig szimbolikusan azokat a járulékos kifejezéseket jelöli, am elyeket az egzakt gravitációs egyenletekből a gyenge erőterek határesetére térve kapunk. Könnyű belátni, hogy a tJJ és t° komponensek közvetlenül T* megfelelő komponenseiből kaphatók, leválasztva a bennünket érdeklő rendnél nem kisebb mennyiségeket. Ami a tp komponenseket illeti, azok a 7^-ból adódókon kívül az

R *—— b^R-böX származó másodrendűén kis tagokat is tartalmazzák.3

3 A (110,1) egyenletekből ismét megkaphatjuk a 106. §-ban felhasznált, a testektől nagy távolságban levő gyenge, állandó erőtérre vonatkozó (106,1)—(106,2) képleteket. Első közelítésben elhanyagoljuk az idő szerinti kétszeres deriválást (l/c2-et) tartalmazó tagokat, rf komponensei közül pedig csak r j = fic2-Qt tartjuk meg. A = 0, a K = 0» Ayí = l6jik/Li/c2 egyenletek végtelenben eltűnő megoldásai: = 0, y l = 0, v>o — 4< /c2, ahol 1egyenletet]. Ebből a h* = YÍ —— Yn5* tenzorra a (106,1)—(106,2) értékek adódnak.

A ipk mennyiségek kielégítik a (107,5) 8y)k/8xk = 0 feltételt. (110,l)-ből pedig az következik, hogy ugyanilyen egyenlet áll fenn a rf-kre is :

8xká ? = °- (110’2)

Most ez az egyenlet helyettesíti az általános T k k = 0 összefüggést.A leírt egyenletek segítségével vizsgáljuk meg a mozgó testek által gravitációs hul

lámok alakjában kisugárzott energia kérdését. E feladat megoldása megköveteli a gravitációs térnek a „hullámzónában” , azaz a kisugárzott hullámok hullámhosszához képest nagy távolságokban való meghatározását.

Elvileg az egész számítás pontos hasonmása az elektromágneses hullámok esetére elvégzettnek. A gyenge gravitációs tér (110,1) egyenletei alakjukban megegyeznek a retardált potenciálok egyenletével (62.§). Ezért (110, 1) általános megoldását azonnal felírhatjuk:

Vi = - ^ r (110,3)

Mivel a rendszerben valamennyi test kis sebességgel mozog, a rendszertől nagy távolságokban az erőtérre azt írhatjuk (vö. a 66. és 67. §-okkal), hogy

110. §. GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK KISUGÁRZÁSA 453

■í-ahol R 0 valahol a rendszer belsejében levő origótól mért távolság. A későbbiekben a rövidség kedvéért az integrandusban elhagyjuk a t —R o / c indexet.

Ezeknek az integráloknak a kiszámításához a (110,2) egyenleteket használjuk. Lehúzva r f indexét és szétválasztva a tér- és időkomponenseket, (110,2)-t a

8 t a y d t a p 8 t p y d t p o _

d*y 8x° v > d x y 8xo - u Viiup;

alakba írjuk. Az első egyenletet -val szorozva és a teljes térre integrálva:

A J = = J

A jobb oldal első tagját a Gauss-tétel segítségével átalakítjuk, mivel a végtelenben r ik = 0, ez eltűnik. A megmaradt egyenlőség és az indexek felcserélésével kapott ugyanilyen egyenlőség összegét véve és kettővel osztva, azt kapjuk, hogy


Szorozzuk most meg a (110,5) második egyenletét A ^-v a l, és integráljuk ezt is a teljes térre. Az előzőekhez hasonló átalakításokkal a

egyenlőségekre jutunk. A két eredményt összehasonlítva az következik, hogy

Tehát valamennyi r a/S integrálja kifejezhető a t 00 komponenst tartalmazó integrálok segítségével. Ez utóbbi azonban, mint már említettük, megegyezik az energia-impulzus-tenzor T 0o komponensével, és elegendő pontossággal [lásd (99,l)-et] azt kapjuk, hogy

alakba írhatjuk át.A testektől nagy távolságokban (kis térrészekben) a hullámot síkhullámnak tekint

hetjük. Ezért az anyagi rendszer által, mondjuk az x1 tengely irányában, kisugárzott energiaáramot kiszámíthatjuk a (107,12) képlet segítségével. Ebben csak a h2 3 = v 23

és a /í22 — hss = ^ 2 2 — ^ 3 3 komponensek szerepelnek, melyekre (110,8)-ból az alábbi kifejezéseket kapjuk:4

(a pont idő szerinti differenciálást jelent). Itt bevezettük a tömegek (99,8) kvadrupól- momentum-tenzorát:

alak adódik. Ebből az adott irányban levő térszögelembe kisugárzott energiaáramot dü-yal való szorzással kapjuk.

4 A (110,8) tenzor nem elégíti ki azokat a feltételeket, amelyek mellett a (107,12) képleteket levezettük. A vonatkoztatási rendszernek a hik-kát a szükséges mértékre hozó transzformációja a z o n

ban nem befolyásolja az itt használt (110,9) komponensek értékeit.

ddx° í

(110,6)

Too = í«C2. (110,7)

Behelyettesítve ezt (110,6)-ba és bevezetve a t — x°jc időt, (110,4)-et a

(110,8)

/K •• /// M M/*23 = — 2clR hzz — hzz ~ ~ 2cí r ( Q ^ —Qsz) (110,9)

(110,10)

Végeredményben az x 1 tengely mentén terjedő energiaáramra a

(110,11)

Ebben a kifejezésben a két tag a két független polarizációjú hullám kisugárzásának felel meg; invariáns (a kisugárzás irányának megválasztásától független) alakban való felírásához bevezetjük a gravitációs síkhullám háromdimenziós polarizációs egység - tenzorát, ea/3-t. Ez azt határozza meg, hogy mely komponensei különböznek zérustól (a hik mértéke olyan, hogy /z0a = h00 — h = 0). A polarizációs tenzor szimmetrikus, és kielégíti az

0, 0, a/S a/3 1 (110,12)

feltételeket, ahol n a hullám terjedési irányába mutató egységvektor; az első két feltétel a hullám tenzor- és transzverzális jellegét fejezi ki. E tenzor segítségével az adott polarizációjú sugárzás intenzitását a d ü térszögben a

dI= i é ^ { )2dü (110,13)képlettel adhatjuk meg.

Ez a kifejezés az n iránytól közvetett módon, az = 0 feltételen keresztül függ. Valamennyi polarizációs irányra összegezett szögeloszlást a (110,13)-nak a polarizációkra történő összegezésével, vagy ami ugyanaz, a polarizációkra átlagolt szögeloszlást kettővel (a független polarizációk számával) szorozva kapjuk meg. Az átlagolás az

^<x(3^yő ^ ~ f ~ ( a / 0 ( f t a f l y b ^ / 3 ^ y ^ a ő ~ f “ W y J ld b fiy~\~ ^ 3 ^ < 5 ^ x y )

“ a/3Öyő+ (ŐayŐj8(5+ ^y^aő)} (110,14)

összefüggés felhasználásával végezhető el. (A jobb oldal az egységtenzor és az n vektor komponenseiből alkotott olyan tenzor, amely indexeiben rendelkezik az összes megkövetelt szimmetriával, és az a, y, ill. a /?, d indexek összeejtésekor egységtenzort ad, továbbá amelynek az n vektorral képzett skaláris szorzata nulla.) Eredményünk:


d l36tz c5

J + y Q i f l - Q y p Q v y l l p l l y dü. ( 11 o, 15)

Az irányokra összegezett sugárzás, tehát a rendszer időegység alatti ( —d&jdt) energiavesztesége egyenlő d ljd ü Atz-vqI szorzott irány szerinti átlagával. Az átlagolás a 71. § 13. számú lábjegyzetében levő képletek segítségével könnyen elvégezhető, amivel a

- # “ 4 5 ? ® . (110,16)

eredményre jutunk.Megjegyezzük, hogy a gravitációs hullámok kisugárzása 1/c-ben ötödrendű effek

tus. Ez a körülmény — azzal együtt, hogy a k gravitációs állandó kicsi — általában rendkívül kis hatást eredményez.

Feladatok

1. Két, egymást a Newton-törvény szerint vonzó test (közös tömegközéppontjuk körül) körpálya mentén mozog. Határozzuk meg a gravitációs hullámok kisugárzásának (egy keringés periódusára) átlagolt intenzitását, valamint a sugárzás polarizációs és irányeloszlását.

Megoldás. Az origónak a tömegközéppontot választva, a két test helyvektoraira azt kapjuk, hogy

m2 w,- - r, r2 = ------------r, r - r1- r 2.m x + m 2 m 1+ m 2

A Qajö tenzor komponensei (az xy sík megegyezik a mozgás síkjával):

Qxx = jLir2{3 cos2 \p — 1), Qyy = fir2(3 sin2 \p — 1),

Qxy = 3/ur2 cos v> sin ip, Qzz = - f,ír2,

ahol fi = m1m2/(m1 +m2), ^ az r vektor xy síkbeli polárszöge. Körmozgás esetén r = const és xp = r-3 2 y k (m 1 + m2) = co.

Az n irányt gömbi polárszögekkel adjuk meg (a 6 polárszöggel és a <p azimutális szöggel), polár- tengelyként a mozgás síkjára merőleges z tengelyt választjuk. Két polarizációt vizsgálunk, amelyekre:1. ee<p = l/j/2 , 2. eee = — = l/j/2 . A gömbi eö és merőleges egységvektorokra vetített

tenzort (110,13)-ba helyettesítve, időben átlagolva a fenti két esetre és azok I = /jH -^ összegére, végeredményként azt kapjuk, hogy

d lx kfi2co6r4 2fl dl2 kfi2wGrá d l k fi2oj2r4dn = 4 C0S T fl = 2Ítc® (1 +C0S 6) ’ díi = 0 + 6 COS 6 + C0S 6)’

majd az irányokra integrálva:

d£ _ j _ 32kfi2coGr4 _ 32A:4mfm2(wi + m 2) _ 5

í / / 5 c 5 5c5r5 I2 7

[Ha csak a teljes / intenzitást akartuk volna kiszámítani, természetesen a (110,16)-ot használtuk volna.]

A sugárzó rendszer energiavesztesége a testek fokozatos (szekuláris) közeledését eredményezi. Mivel & = — km1m2/2r, a közeledés sebessége:

2r2 64A:3mim2(w1+ m 2)km1m2 dt 5c V3

2. Határozzuk meg két, ellipszis pályán mozgó testből álló rendszer gravitációs hullámok alakjában kisugárzott (egy forgási periódusra átlagolt) energiáját (P. C. Peters, J. MathewsJ.5

Megoldás. A körmozgással ellentétben, az r távolság és a szögsebesség a pálya mentén időben változik az

a( 1 - e 2) dtp 1 2 2---------- = 1 -f e cos y>, — = -g- [&(»*! + w2) ű(1 - 2)]1/2r dt n

5 E sugárzás szög-, polarizációs és spektrális eloszlását illetően lásd Phys. Rév. 131, 435 (1963)

törvénynek megfelelően, ahole az excentricitás, a pedig az ellipszis fél nagytengelye (lásd az I. kötet 15. §-át). A (110,16) szerinti hosszadalmas számolás eredménye, hogy

dS 8WmImKmy + m?) , \2 , 2 • 2 i~ ~ d f = ---- 15^c5(l~ " ^ ) 5— ( +e cosy)y ^ l + e cos y>) +e2 sin2 tp].

A forgási periódusra átlagolva a dt integrációs változó helyett dip-1 kell bevezetnünk. Kiintegrálva:

d& _ 32kim {m l(m 1Jrm 2) 1 / 73 2 37 \ d f ~ 5cV (1 -e 2)7'2 \ + ^ 4 e + 96"® / '

Figyeljük meg, hogy a sugárzás a pálya excentricitásának növekedésével rohamosan nő.3. Határozzuk meg stacionáriusan mozgó gravitációs hullámokat kisugárzó soktest-rendszer

impulzusmomentumának időegység alatt bekövetkező átlagos csökkenését.

Megoldás. A képletek egyszerűbb írásmódja kedvéért a testeket átmenetileg tekintsük pontszerű részecskékből álló halmazoknak. Az időegység alatt bekövetkező átlagos energiaveszteséget úgy adjuk meg, mint az egyes részecskékre ható f „súrlódási erők” munkáját:

# = o)

(a részecskéket számozó indexeket nem írjuk ki). Az időegység alatti átlagos impulzusmomentumveszteséget a

= Y, ^ X f )* = E e^yXpfy (2)

képlet segítségével számíthatjuk ki [lásd a (75,7) képlet levezetését], f meghatározása céljából írjuk fel az energiaveszteséget

~~dt = _ 45c5 = ~ "45~cf

alakban (felhasználtuk, hogy a teljes időderiváltak átlagértékei zérussal egyenlők). Behelyettesítve ide a Qap = ^ m(3xa^ + 3x ^ a—2rv<5a/3) kifejezést, (l)-gyel összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

2 k (F)- A = - j s j Q * P mxp-

Ezt (2)-be írva, az alábbi eredményt adódik:

~ d t = 45cs“ = 45^ e^yQpsQyg . (3>

4. Két, ellipszis pályákon mozgó testből álló rendszer esetén határozzuk meg az időegység alatti átlagos impulzusmomentum-veszteséget.

Megoldás. Az előző feladat (3) képlete alapján, a 2. feladatban bemutatotthoz hasonló számítás az alábbi eredményre vezet:

dJz _ 32k7i2m lm l Ím x+ m 2 1 / 7 A dt ~~ 5c5ű7/2 (\ - e 2)2 l 4

Körpálya esetén (e = 0) az & és J értékek között fennáll az £ = Jco összefüggés, amint azt vártuk.

XIV. F E J E Z E T

RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA

111. §. Izotrop tér

Az általános relativitáselmélet új utakat nyit a kozmikus méretekben tanulm ányozott világ tulajdonságait érintő kérdések megoldásához. Az általa feltárt ragyogó új lehetőségek (amelyekre elsőként Einstein m utatott rá 1917-ben) a téridő nem- Galilei voltával kapcsolatosak.

Ezeket a lehetőségeket még fontosabbá teszi az a körülmény, hogy a Newton-féle mechanika olyan ellentmondásokra vezetett, amelyeket nem lehet elegendően általános alakban kikerülni a nemrelativisztikus elmélet keretei között. így a gravitációs potenciál (96,3) Newton-féle képletét végtelen, sehol el nem tűnő átlagsűrűségű, egyébként tetszőleges anyageloszlású euklideszi térre alkalmazva (amilyen a tér a newtoni mechanikában), azt kapjuk, hogy a potenciál minden pontban végtelen. Ekkor az anyagra ható erők végtelen nagyok lennének, ami értelmetlenség.

Mielőtt hozzákezdenénk a relativisztikus kozmológiai modellek szisztematikus tárgyalásához, a kiindulásul vett alapvető téregyenletekkel kapcsolatban a következő megjegyzést tesszük.

A 93. §-ban a gravitációs tér hatásintegráljának definiálásakor feltételként felállított követelményeknek továbbra is eleget teszünk, ha a G skalárhoz egy állandó tagot adunk, azaz ha az

kifejezést használjuk, ahol A egy új (cm2 dimenziójú) állandó. Ilyen módosítás az Einstein-egyenletekben egy új Agik tag megjelenésére vezet:

Rik — R g ik =8 7tk

c

Ha a A „kozmológiai állandónak” kis értéket tulajdonítunk, akkor egy ilyen tag jelenléte nem túl nagy téridő tartományokban nem módosítja lényegesen a gravitációs erőteret, viszont új típusú „kozmológiai megoldások” megjelenésére vezet, ame

111. §. IZOTROP TÉR 459

lyek alkalmasak lehetnek a világnak mint egésznek leírására .1 Jelenleg azonban semmilyen sürgős és meggyőző elméleti vagy kísérleti okunk nincs arra, hogy az eredeti téregyenleteket ilyen módon megváltoztassuk. Hangsúlyozzuk, hogy olyan módosításról lenne szó, amelynek nagyon mély fizikai jelentése van : egy, a tér állapotától teljesen független állandó beírása a Lagrange-sűrűségfüggvénybe azt jelentené, hogy a téridőnek egy elvileg sem kiküszöbölhető görbületet tulajdonítunk, amely egyaránt független az anyagtól és a gravitációs hullámoktól. E fejezetben a továbbiakban az összes kérdést az eredeti „klasszikus” Einstein-egyenletek alapján tárgyaljuk, a „kozmológiai állandó” bevezetése nélkül.

Mint ismeretes, a csillagok térbeli eloszlása egyáltalán nem egyenletes, azok csillagrendszerekbe (galaktikákba) csoportosulnak. A világegyetem „nagy méretekben” való tanulmányozása során azonban el kell vonatkoztatnunk az anyag csillagokba és csillagrendszerekbe történt tömörülése által létrehozott „helyi” inhomogenitásaitól. Ezért tömegsűrűségen a tér olyan tartományaira átlagolt sűrűséget kell értenünk, amelyek méretei jóval nagyobbak a galaktikák közötti távolságoknál.

Az Einstein-egyenletek alábbiakban (111— 114. §) vizsgálandó megoldásai — az úgynevezett izotrop kozmológiai modell (elsőként A. A. Friedmann állította fel 1922-ben) — azon a feltevésen alapulnak, hogy az anyag térbeli eloszlása homogén és izotrop. A meglevő csillagászati adatok nincsenek ellentmondásban egy ilyen feltevéssel. 2 Jelenleg minden okunk megvan annak feltételezésére, hogy az izotrop m odell nemcsak a világegyetem jelenlegi állapotát, de főbb vonalaiban a múltbeli fejlődés jelentős szakaszát is helyesen írja le. A későbbiekben látni fogjuk, hogy e m odell alaptulajdonsága a nemstacionárius jelleg. Kétségtelen, hogy ez a tulajdonság („a világegyetem tágulása”) a kozmológiai problémák szempontjából alapvető jelenségre, a „vöröseltolódásra” helyes magyarázatot ad (114. §).

Ugyanakkor világos, hogy az a feltevés, mely szerint a világmindenség homogén és izotrop, önmagában csak közelítő jellegű lehet, mivel ezek a tulajdonságok eleve sérülnek kisebb méretekre való áttérés esetén. A világmindenség inhomogenitásának a kozmológiai probléma különböző vonatkozásaiban játszott lehetséges szerepével kapcsolatos kérdésre a 115— 119. §-okban még visszatérünk.

A tér homogenitása és izotropiája azt jelenti, hogy minden időpillanatban lehet olyan világidőt választani, amelynél a tér metrikája minden pontban és minden irányban ugyanaz.

Foglalkozzunk mindenekelőtt az izotrop tér metrikájával, nem törődve egyelőre a metrika esetleges időfüggésével. Amint már az előzőekben is tettük, a háromdimen

1 A többi között stacionárius megoldások is fellépnek, amelyek A = 0 esetén nem léteznek. Einstein éppen ezért vezette be a „kozmológiai tagot”, mielőtt még Friedmann a téregyenletek nemstacionárius megoldásait felfedezte.

2 A galaktikák térbeli eloszlásával és az izotropiával, az úgynevezett maradványsugárzással kapcsolatos adatokra gondolunk.

460 XIV. RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA

ziós metrikus tenzort yai0-val jelöljük, azaz a térbeli távolságelemet

dl2 - y^d x^d x? (111,1)

alakban írjuk fel.A tér görbületét teljesen meghatározza háromdimenziós görbületi tenzor, amelyet

Pa(3yő-\al jelölünk, hogy az R ikim négydimenziós tenzortól megkülönböztessük. Teljes izotropia esetén a Pa yö tenzor nyilvánvalóan kifejezhető egyedül a y ^ metrikus tenzor segítségével, szimmetriatulajdonságai miatt pedig e függés csak

iV/<5 = Ky y ö - TW/jy) (l 11,2)

alakú lehet, ahol X állandó szám. A P ^ — Pyay másodrendű tenzor, ennek megfelelően

P ^ = 2 1 y ^ (111,3)a skalárgörbület pedig

P = 6L (111,4)

Azt látjuk tehát, hogy az izotrop tér görbületi tulajdonságait mindössze egyetlen állandó határozza meg. Ennek megfelelően a térbeli metrikának mindössze három, lényegesen különböző esete lehetséges: 1. az állandó pozitív görbületű tér (X pozitív értékeinek megfelelően); 2 . az állandó negatív görbületű tér {X < 0 értékeknek megfelelően) és 3. a zérus görbületű tér (X = 0 ). A legutolsó eset az euklideszi tér.

A metrika tanulmányozása során célszerű geometriai analógiából kiindulni, az izotrop háromdimenziós tér geometriáját egy (valamilyen fiktív négydimenziós térben fekvő) 3 eleve izotrop hiperfelület geometriájának tekintve. Ilyen felület a hiper- gömb; a neki megfelelő háromdimenziós kontínuum pedig egy állandó pozitív görbületű tér. Az a sugarú hipergömb egyenlete az x v x 2, x3, x 4 négydimenziós koordináta-rendszerben

x \+ x \+ x \+ x \ = a2

alakú, a felületén levő ívelemet a

dl2 = d x l+ d x l + d x i+ d x2kifejezés adja.

Az xi, * 2, xs koordinátákat választva a három térkoordinátának és dl2-bői az első egyenlet segítségével kiküszöbölve a fiktív x 4 koordinátát, a térbeli távolságelemre az alábbi képletet kapjuk:

jp = . m ,,5)ű X^ X% A3

3 Ennek természetesen, semmi köze sincs a négydimenziós téridőhöz.

E kifejezést használva, könnyű kiszámítani a (lll,2 )-ben szereplő X állandót. Mivel már az eddigiekből tudjuk, hogy a P ^ tenzor a tér minden pontjában (111,3) alakú, így elegendő azt egy, az origó közelében levő pontban kiszámítani, ahol fennáll a

Ő X y X fí

egyenlőség.yap első deriváltjai és velük együtt a mennyiségek is zérussá válnak a koordináta-

rendszer origójában, így a (92,7) általános képlet szerinti számolás nagyon egyszerűnek bizonyul, és a

l = ± r (111,6)

eredményre vezet.Az a mennyiséget a tér „görbületi sugarának” nevezhetjük. Az xi , x 2, * 3 koordiná

ták helyett vezessük be a nekik megfelelő r, 0, cp „gömbi” koordinátákat. Ekkor az ívelem alakja:

dP = — i r + /-(sin2 8 dy2 + d92). (111,7)

a1

Természetesen a tér bármelyik pontját választhatjuk origónak. A kör kerülete ezekben a koordinátákban 2ttt, a gömb felülete pedig Ajzr2. Ugyanakkor a kör (vagy a gömb) „sugara” az

111. §. IZOTROP TÉR 461

o

kifejezéssel egyenlő, azaz r-nél nagyobb. A kerület hosszának a sugárhoz való viszonya tehát 27r-nél kisebb.

dl2 egy másik előnyös alakját a „négydimenziós gömbkoordinátákkal” lehet megadni, amelyeket akkor kapunk meg, ha r helyett az r = a sin % helyettesítéssel bevezetjük a x „szöget” 4 (amely 0 -tó ln-ig változik):

dl2 = a2[d%2jr sin2 #(sin2 6 dcp2+ dd2)\. (1 1 1 ,8 )

4A zx 1; x2, x 3, x4 Descartes-koordináták az a, 0, <p, % négydimenziós gömbi polárkoordinátákkal az alábbi kapcsolatban vannak:

x x = a sin % sin 6 cos cp, x 2 = a sin x sin 8 sin cp, x 3 = a sin x cos 6, x4 = a cos

A % koordináta az origótól való távolságot méri, ami ö%-vel egyenlő. A gömb felülete ezekben a koordinátákban 4na2 sin2 %. Látjuk, hogy az origótól távolodva, a gömbfelület nagysága addig nő, míg a n a jl távolságban el nem éri a 4na2 maximumát. Ezután az csökkenni kezd, és ponttá zsugorodik a tér „ellentétes pólusában”, na távolságban, ami ilyen térben a lehető legnagyobb távolság. [Mindez természetesen( 1 1 1 ,7)-ből is látható, ha figyelembe vesszük, hogy az r koordináta a-nál nagyobb értékeket nem vehet fel.]

A pozitív görbületű tér térfogata a2 71 71 71

V — J J J a3 sin2 % sin 6 dx dd dcpo o o

integrállal adható meg, amibőlV = 2n2a3. (111,9)

A pozitív görbületű tér tehát „önmagába zá rt”, térfogata véges, de természetesen határa nincs.

Érdekes megfigyelni, hogy a zárt térben az elektromos össztöltésnek nullának kell lennie. Valóban, a véges térben minden zárt felület mindkét oldalról a tér véges tarto mányait fogja körüK Ezért az elektromos térerősségnek ezen a felületen áthaladó fluxusa egyrészt megegyezik a felület belsejében levő össztöltéssel, másrészt pedig a felületen kívüli, ellentétes előjellel vett töltéssel. Ezért a felület két oldalán levő töltések összege zérus.

Hasonlóan a négyesimpulzus felületi integrál alakjában adott (96,16) kifejezésből következik, hogy az egész térben levő eredő P l négyesimpulzus zérus. így a teljes négyesimpulzus definíciója lényegében értelmét veszti, mivel a neki megfelelő megmaradási tétel az üres 0 = 0 azonosságba megy át.

Vizsgáljuk meg ezután az állandó negatív görbületű tér geometriáját. ( l l l , 6 )-ból látjuk, hogy a 1 állandó akkor válik negatívvá, ha a képzetes. Ezért az összes negatív görbületű térre vonatkozó képletet közvetlenül megkaphatjuk az előzőekből, ha azokban a-t ia-ra változtatjuk. Más szóval, a negatív görbületű tér geometráját matematikailag úgy lehet megkapni, mint a képzetes sugarú négydimenziós pszeudo- gömb felületének geometriáját.

Ily módon a 1 állandó most a

* = - 4 r 011,1°)a*

kifejezéssel adható meg, a negatív görbületű tér hosszúságelemét r, 0 , (p koordinátákban pedig a

drdl2 = -------+ r2(sin2 6 d<p2 + dd2) (111,11)

112. ZÁRT IZOTROP MODELL 463

képlet szolgáltatja, ahol az r koordináta 0-tól oo -ig minden értéket felvehet. A kerületnek a sugárhoz való viszonya ebben az esetben nagyobb, mint 2n. A dl2 ( l l l , 8 )-nak megfelelő kifejezését a % koordinátának r = a sh % szerinti bevezetésével kaphatjuk meg {% itt 0-tól oo -ig változik). Ekkor

dl2 = a2{dy2 + sh2 x(sin2 6 dcp2+ dd2)}. (1 1 1 , 1 2 )

A gömb felülete most 4na2 sh2 ^-vel egyenlő, és az origótól távolodva (%-t növelve) minden határon túl nő. A negatív görbületű tér térfogata nyilvánvalóan végtelen.

Feladat

Hozzuk a (111,7) hossznégyzetet euklideszi kifejezésével arányos alakra (komform-euklideszi. koordináták).

Megoldás. Az

helyettesítés a

dl2 = (l + "^~2~) (dr\ + r\ dd2 + rf sin2 6 d<p2)

eredményre vezet.

112. §. Zárt izotrop modell

Az izotrop modell téridőmetrikájának vizsgálatára térve, először is a vonatkoztatási rendszert kell megválasztanunk. A legkényelmesebb az „együttmozgó” rendszert használni, amely az tér minden pontjában együtt mozog az ott levő anyaggal. Más szóval, a vonatkoztatási rendszer maga a teret kitöltő anyag. Az anyag sebessége ebben a rendszerben definíciószerűen mindenütt zérus. Nyilvánvaló, hogy izotrop modell használata esetén a vonatkoztatási rendszer ilyen választása természetes: más választás esetén az anyag sebességeinek irányítottsága a különböző térbeli irányok látszólagos inekvivalenciájára vezetne. Az időkoordinátát az előző szakasz elején említett módon kell megválasztanunk, tehát úgy, hogy a metrika minden időpillanatban az egész térben ugyanaz legyen.

Figyelembe véve az összes irány ekvivalenciáját, a metrikus tenzor g0a komponensei az általunk választott vonatkoztatási rendszerben zérussal egyenlők. Valóban, a három

g0a komponenst úgy tekinthetjük, mint egy háromdimenziós vektor komponenseit; ha ez nem tűnne el, a különböző irányok inekvivalenciáját okozná. így szükségszerű a ds2 = goo(dx°)2—dl2 alak. A goo komponens itt csak az x° függvénye. Ezért mindig megválaszthatjuk úgy az időkoordinátát, hogy goo = 1 legyen. Ezt az x°-t ct-ve 1 je lölve, a

ds2 = c2 dt2 — dl2 (112,1)

képletet kapjuk. A t idő a tér minden pontjában sajátidő.Kezdjük a vizsgálatot a pozitív görbületű terekkel; az alábbiakban a rövidség ked

véért az Einstein-egyenletek megfelelő megoldásáról mint zárt modellről beszélünk. dl-re a (111,8) kifejezést használjuk, amelyben az a „görbületi sugár” általában az idő függvénye. Ezért az ívelemnégyzetet a

ds2 = c2 dt2 — a2(t) {dy2 + ú n 2 %(dd2jr sin2 6 dcp2)} (1 1 2 ,2 )

alakban írjuk.Az a(t) függvényt az Einstein-egyenletek határozzák meg. Az egyenletek megoldása

szempontjából előnyös, ha az idő helyett a

c d t = adr] (112,3)

összefüggéssel definiált rj mennyiséget használjuk. Ekkor

ds2 = a2(r]) {drj2 — d%2 — sin2 %(dd2-\- sin2 6 dcp2)}. (112,4)

A téregyenletek felírását az R ik tenzor komponenseinek kiszámításával kell kezdeni (az x°, x 1, x 2, x 3 koordináták most rj, %, 0 ,99-vel egyenlők). A metrikus tenzor

goo = a2, g 11 = - a2, g 22 = ~ a 2 sin2 %9 g 33 = — a2 sin2 % sin2 6

elemeinek felhasználásával kiszámítjuk a P kl mennyiségeket:

r°0 = £ , r%> = - ! gafh rip = a- bi r% = r «00 = 0,

ahol a vessző rj szerinti differenciálást jelent (a komponensek explicit alakjára nem lesz szükségünk). A felsorolt értékek segítségével a (92,7) általános képlet szerint azt kapjuk, hogy

R ° = a* a '2~ aa ' ' )•

Ugyanolyan szimmetriamegfontolások alapján, amelyeket g0oc esetén alkalmaztunk, itt is előre nyilvánvaló, hogy R 0a = 0. Az R? komponensek kiszámításával kapcsolatban megjegyezzük, hogy ha azokban leválasztjuk a csak gaj5-t (tehát csak r ^ y-1) tártál-


mazó tagokat, akkor ezek a tagok szükségképpen a — Pf háromdimenziós tenzor komponenseit alkotják. Ennek értékeit (lll,3 )-bó l és ( l l l , 6 )-ból már ismerjük:

R Í = - P Í + . . . = ~ ^ € +

ahol a pontok olyan tagokat jelölnek, amelyek ga/3-n kívül g00-t is tartalmazzák. Az utóbbiakat kiszámítva azt kapjuk, hogy

R& = ---- y (2a2 -j- a! 2 + aa”)df ,a*

majd ebből

R — — ---- ^ (a-{- a").aó

Mivel a választott vonatkoztatási rendszerben az anyag nyugalomban van, itt u a = 0 , u° = 1 fa, (94,9)-ből pedig az következik, hogy = s, ahol e az anyag energiasűrűsége. A kapott kifejezéseket az

„ 1 „R o~ 2 R = ^ ~ T o

egyenletbe behelyettesítve az adódik, hogy

-^r-e = ^ (a +-a )• (112,5)

Itt két ismeretlen függvény szerepel: s és a, ezért még egy egyenletet kell kapn unk Erre a célra kényelmesebb az Einstein-egyenletek térkomponensei helyett a belőlük ismert módon származtatható (94,7) egyenletek egyikét, a T l0;i= 0 egyenletet választani. Ez az egyenlet közvetlenül, termodinamikai megfontolások segítségével a következőképpen vezethető le.

A téregyenletekben az energia-impulzus-tenzor (94,9) kifejezését használva, az összes disszipációs, entrópianövelő folyamatot elhanyagoljuk. Ilyen közelítés itt te rmészetesen teljes mértékben megengedett, mivel azok a járulékos tagok, amelyeket az energiadisszipáció miatt kellene Tjéhez adni, a nyugalomban levő testek energiáját magába foglaló e energiasűrűséghez képest jelentéktelenek.

Ezért a téregyenletek levezetése közben a teljes entrópiát állandónak tekinthetjük. Használjuk ezek után az ismert dó = T d S —p dV termodinamikai összefüggést, ahol <5 a rendszer energiája, S az entrópiája, V a térfogata; p a nyomás és T a hőmérséklet3 0 Elm életi fizika II. - 42221/11.

112. §. ZÁRT IZOTROP MODELL 465


Állandó entrópia mellett egyszerűen d S = —p dV. Bevezetve az s = S /V energiasűrűséget, nehézség nélkül azt kapjuk, hogy

N dVds = - ( s +p) — .

A tér V térfogata (111,9) szerint arányos az a görbületi sugár köbével. Ezért dV/'V = 3da/a = 3d\na , így

----- — — 3 d In a,E+p

vagy integrálva:

ds3 In a P + e

+ const (1 1 2 ,6 )

(az integrálban az alsó határ állandó).

Ha az s és p összefüggése (az anyag állapotegyenlete) ismert, akkor a (112,6) meghatározza s-t az a függvényében. Ekkor (112,5)-ből

rj — ±-ifink 2

d° = ■ (112,7)

A (112,6)—(112,7) egyenletek az izotrop zárt modell metrikájának meghatározására vonatkozó feladatot átalános alakban oldják meg.

Ha az anyag a térben különálló makroszkopikus testekbe tömörül, akkor az általa létrehozott gravitációs erőtér meghatározásakor ezeket a testeket adott tömegű anyagi részecskéknek tekinthetjük, egyáltalán nem törődve belső szerkezetükkel. A testek sebességét (c-hez képest) kicsinek feltételezve, egyszerűen s = /xc2-et vehetünk, ahol /x a testek egységnyi térfogatra vonatkoztatott összes tömege. Ugyanezért e testekből álló „gáz” nyomása e-hoz képest nagyon kicsi, így elhanyagolhatjuk (a testek belső nyomása, a mondottak szerint, a vizsgált kérdés szempontjából teljesen érdektelen). Végül a térben levő sugárzás mennyisége kicsi, ezért energiáját és nyomását elhanyagolhatjuk.

A vizsgált modell keretei között tehát a világegyetem jelenlegi állapotának leírására a „porszerű” anyag

£ = [IC 1, p = 0

állapotegyenletét kell használni.A (112,6)-ban levő integrál ekkor a \xcfi = const összefüggést adja. Ezt az egyenletet

közvetlenül is felírhattuk volna, minthogy egyszerűen azt fejezi ki, hogy a teljes térben

112. §. ZÁRT IZOTROP MODELL 467

levő testek tömegeinek M összege állandó, ami a porszerű anyag esetében természetes . 5 Mivel zárt modellben a tér térfogata V = 2tt2ö3, így const = M jln 2. Tehát

M\ia3 = const = -T --z . (1 1 2 ,8 )

2 71

(112,8)-at behelyettesítve a (112,7) egyenletbe, és elvégezve az integrálást, azt kapjuk, hogy

a = ö0(l — cos rj), (112,9)ahol az állandó

2kM a° ~ ~3tzc '

Végül a t és rj (112,3) kapcsolatából az adódik, hogy

/ = -y - ( í j- s in i j ) . (112,10)

A (112,9)—(112,10) egyenletek paraméteres alakban határozzák meg az a(t) függést. Az a(t) függvény a t = 0 (rj = 0)-nál levő zérus értékétől kezdve a maximális a = 2a0 értékéig nő, amelyet t ~ Ttao/c (rj = n) idő alatt ér el, majd a t = 2 7 ta o /c (rj = 2 tc)

időpontban ismét zérusra csökken. rj 1 esetén közelítőleg a = a 0rj2/ 2 , t = aorj3/ 6 c , tehát

/ 9 flp C 2 \ 1 /3 ?2/3

Az anyag sűrűsége pedig

(112,11)

1 _ 8-105^ _ önki2 ~ t2 ( 1 1 2 , 1 2 )

(az együttható számszerű értékéhez, g cm~3-ban adott sűrűségre és másodpercben adott t időre vonatkozik). Vegyük észre, hogy ebben a határesetben a fi(t) függésnek univerzális jellege van abban az értelemben, hogy független az a0 paramétertől.

a 0 esetén a fi sűrűség végtelenhez tart. /i — °o esetén azonban a nyomás is végtelen naggyá válik, ezért a metrikának ebben a tartományban való tanulmányozására (adott s energiasűrűség mellett) a lehető legnagyobb nyomás ellentétes esetét kell megvizsgálnunk, tehát az anyagot a

e

5 A fé lr e é r t é s e k (a m e ly e k a z itt m o n d o t t a k n a k a 1 1 1 . § -b a n e m lít e t t e k k e l v a ló ö s s z e h a s o n lít á s a k o r a d ó d h a t n a k , m e ly s z e r in t a z á r t v i lá g te lje s n é g y e s im p u lz u s a n u lla ) e lk e r ü lé s e v é g e tt h a n g s ú ly o z z u k , h o g y M a z e g y e s te s te k tö m e g e in e k ö ssz e g e , g r a v it á c ió s k ö lc s ö n h a t á s u k f ig y e le m b e v é te le n é lk ü l.

30*

állapotegyenlettel írja le (lásd a 35.§-t). Ekkor a (112,6) képletből azt kapjuk, hogy

ea1 = const = 1 (112,13)oTCfö

(ai egy új állandó). Ennek felhasználásával a (112,7) és (112,3) egyenletek az

a = a i sin rj, t = ( 1 — cos rj)

összefüggésekre vezetnek. Mivel ez a megoldás csak s igen nagy értékei (tehát kis a) esetén értelmes, vegyünk rj <$c 1-et. Ekkor a ^ air/, t ^ air]2/2c, tehát

a = y2thct. (112,14)

ígye 3 4 ,5-105

V ~ 32 Ttkí2 ~ fi

(ez az összefüggés sem tartalmaz paramétert).t — 0 esetén most is a 0 , tehát a í = 0 érték az izotrop modell téridőmetrikájának

valódi szinguláris pontja. (Ugyanez vonatkozik zárt modellben a másik pontra is, amelyben a — 0.) (112,14)-bőlaztis leolvashatjuk, hogy t előjelének megváltoztatása esetén az a(t) függvény képzetessé, négyzete pedig negatívvá válna. Ekkor a (112,2)-ben szereplő g/A:-nak mind a négy komponense negatívvá, a g determináns pedig pozitívvá válna. Egy ilyen metrika fizikailag értelmetlen. Ez azt jelenti, hogy fizikailag értelmetlen a metrikának analitikus folytatása a szinguláris ponton túl.

113. §. Nyílt izotrop modell

Negatív görbületű izotrop térnek megfelelő megoldást ( nyílt modell) az előzőekben tárgyalthoz teljesen hasonlóan lehet megkapni. (108,2) helyett ds2 kifejezése most

ds2 = c2 df- - a2(t) {dx2+ sh2 %{d62+ sin2 6 dcp2)}. (113,1)

t helyett a c d t = a dr] összefüggéssel ismét vezessük be az ?; változót; ekkor azt kapjuk, hogy

ds2 = a2{rj) {drf - d f - sh2 y^dd2 + sin2 0 dtp2)}. (113,2)

Ez a kifejezés formálisan (112,4)-ből is származtatható, r]9 a helyett h /, i%9 ia kifejezéseket írva. Ugyanezzel a helyettesítéssel (112,5)-ből és (112,6)-ból a téregyenleteket is megkaphatjuk. A (112,6) egyenlet változatlan alakú marad:

C de3 In a = — --------- f-const, (113,3)J e + p

(112,5) helyett pedig azt kapjuk, hogy

~ r ~ e = - x ( ö ' 2 - a 2). (113,4)

113. §. NYÍLT IZOTROP MODELL 469

Ennek megfeleló'en (112,7) helyett az

r dan = ±

i [ %7ik

kifejezés adódik. Ebből porszerű anyagra :6

(113,5)

a = a<>{ch.ri — 1), t = (sh r\ — rj), (113,6)

Va3z=^ k ao' ^113’7>

6 Megjegyezzük, hogy az

r — Aen sh / , ex = Aen eh

Aev = Yc2z2 — r2, th / = - V—C T

transzformációval a (113,2) kifejezést „konform-Galilei” -alakra lehet redukálni:

ds2 = f( r , z) [c2 dx2 - dr2 - r2(dd2 + sin2 6 dq)2)].

Konkrétan, a (113,6) esetben (A = a j l választással) azt kapjuk, hogy

ds2 = ( l ------; Q°- - ■) 4 {c2 dr- - dr2 - rHdffi + sin2 0 dtp1)}\ 2 ^cH2 — r'-J

(V .A .F ok , 1955). yc2r2 — r2 nagy értékeinél (amiknek 17 » 1 felel meg) ez a metrika Galilei-féle metrikához tart; ezt annak alapján természetes volt elvárni, hogy ilyenkor a görbületi sugár végtelenhez tart.

r, 6, q, t koordinátákban az anyag nem mozdulatlan, eloszlása sem homogén; ekkor az anyag a térben a x ,0 ,q koordináta-rendszer origójának tetszőlegesen választott pontja körül gömbszimmetrikus mozgást végez, és eloszlása is gömbszimmetrikus.

A (113,6) képletek paraméteres alakban határozzák meg az a(t) függést. A zárt modelltől eltérően itt a görbületi sugár monoton változik, t = 0 (rj = 0 )-nállevő zérus értéktől a / - > ° o -ben (77 -► oo) végtelenig nőve. Az anyagsűrűség ennek megfelelően a t = 0- ban levő végtelen értéktől kezdődően monoton csökken. [77 <<c 1 esetén e csökkenés ugyanazzal a ( 1 1 2 , 1 2 ) közelítő képlettel adható meg, mint a zárt modellben.]

Nagy sűrűségekre a (113,6)—(113,7) megoldás nem alkalmazható, ekkor ismét a p = ej3 állapotegyenletet kell használni. Újra az adódik, hogy

V 4/72£ö4 = const = - 77—7—. (113,8)

öTtk

Az ö(0 függvényre pedig az

a = ax sh r\, t = — (eh 77 — 1 )6*

kifejezéseket kapjuk, vagy rj <$c 1 esetén

ö = ilcixct (113,9)

[és e(0-re az előbbi (113,15) képlet érvényes]. így a metrikának nyílt modellben is van szinguláris pontja (de a zárt modellel ellentétben csak egy).

Végül a görbületien (euklideszi) tér modellje a vizsgált megoldásoknak az a határesete, amely végtelen görbületi sugarú térnek felel meg. A ds2 ívelemnégyzetet ebben a modellben

d ^ l= c2dt2- b 2(t)(dx2^ d y (1 d z 1) (113,10)

alakban írhatjuk (térkoordinátáknak az x, y, z Descartes-koordinátákat választottuk). A térbeli távolságelemben szereplő, időtől függő szorzó nyilvánvalóan nem változtatja meg a térbeli metrika euklideszi jellegét, mivel ez adott t esetén állandó, és egyszerű koordinátatranszformációval 1-gyé tehető. Az előző szakaszban elvégzett ehhez hasonló számítások a következő egyenletekre vezetnek:

Sjck 3 [ d b \ 2 f ds— ‘ 3 1 n 6 = - j _ + c o n s t .

Kis nyomás esetén azt kapjuk, hogy

jub3 = const, b = const -t213. (113,11)

Kis t-k esetén a p = s/3 állapotegyenletet kell használni, amiből

sb* = const, b = const / / . (113,12)

A metrikának tehát ebben az esetben is van szinguláris pontja (t = 0).

113. §. NYÍLT IZOTROP MODELL 471

Megjegyezzük, hogy az itt talált összes izotrop megoldás mindegyikére az anyag- sűrűség zérustól különböző; üres tér esetén az Einstein-egyenleteknek ilyen megoldásuk nincs.7 Azt is megemlítjük, hogy matematikai szempontból az izotrop modellek a megoldásoknak a térkoordináták három, fizikailag különböző, tetszőleges függvényét tartalmazó általánosabb osztályának speciális esetei (lásd a feladatot).

Feladat

Határozzuk meg a szinguláris pont közelében egy olyan metrika általános alakját, amelyben a tér tágulása „kvázihomogén”, azaz valamennyi y ^ p ~ —gap komponens azonos törvény szerint tart zérushoz (a szinkronizált vonatkoztatási rendszerben). A teret kitöltő anyag állapotegyenlete p = ej3. (E. M. Lifsic, /. M. Halatnyikov, 1960).

Megoldás. A szinguláris pont (t = 0) közelében keressük a megoldást

Vaj! — taaj8+í2 a|8+ • • • (1)

alakban, ahol a^p, b ^ a (tér-) koordináták függvényei;8 az alábbiakban c = 1-et használunk. Az inverz tenzor:

yCCp _ --t

ahol az d^ az aap tenzor inverze, és bx& = aaya^őbyö; az alábbiakban az indexek felhúzásának és a kovariáns differenciálásnak összes műveletét az időtől független aap metrika segítségével végezzük.

A (97,11) és (97,12) egyenletek bal oldalainak 1 jt szerint a szükséges rendben való kiszámításával azt kapjuk, hogy

3 1 8 Tik , 1 , a x 32 zik —W ~2t = ~ 1 ~ £( “5 + >’ = ------3— f"«"o

(ahol b = b*). Figyelembe véve még az

1 = UiU1 ^ Uq — ~ UaUpcPPazonosságot is, a

8 n k e = ~ — ~ , « a = - i - ( b ; x - b%; p) (2 )

összefüggések adódnak.

7 e = 0 esetén, a (113,5) egyenletből azt kaptuk volna, hogy a = aQer‘ = ct [a (112,7) egyenlet pedig, minthogy gyöke képzetes, értelmét veszti]. A

ds2 = c2 dt2 — c2t2 {dy2 + sh2 x(d62jr sin2 6 d(p2)}

metrikát ugyanakkor az r — ct sh r = t eh % transzformáció alkalmazásával ads2 = c2 dr2 — dr2 — r2(dd2+ sin2 6 dq)2)

alakra, tehát egyszerűen a Galilei-féle téridő alakjára lehet hozni.8 A Friedmann-féle megoldásnak az függvények olyan speciális választása felel meg, amely

állandó görbületi sugarú teret ad.


A háromdimenziós Christoffel-szimbólumok, velük együtt a tenzor l / t szerinti első közelítésben az időtől függetlenek; Paj6 megegyezik az aaj3 metrikával végzett számításból kapott kifejezésekkel. Ezt figyelembe véve azt kapjuk, hogy a (97,13) egyenletben a t~2 rendű tagok kölcsönösen kiejtik egymást, az ~ 1// tagok pedig azt adják, hogy

^ + T ^ + l J ő«b = 0,

amiből4 r 5

ba. = —3~ g~ (3)

(itt P = aPyPpy). Figyelembe véve a

í ,f ; / 3 - y / ’ia = 0

azonosságot [lásd (92,13)-at], érvényes a

összefüggés, és ezért wa-1

alakba írhatjuk.így mind a hat aajS függvény tetszőleges marad, de az (1) sorfejtés következő tagjának Z>aj8 együtt

hatóit az aa/9-k határozzák meg. Az (1) metrikában az idő megválasztását egyértelműen meghatározza az a feltétel, hogy a szinguláris pontban t = 0, ugyanakkor a térkoordináták még három, az időt nem érintő tetszőleges transzformációt engednek meg (e transzformációkat például felhasználhatjuk aap diagonizálására). Ezért a kapott megoldás mindössze három „fizikailag különböző”, tetszőleges függvényt tartalmaz.

Megjegyezzük, hogy ebben a megoldásban a térmetrika inhomogén és anizotrop, de az anyag- sűrűség eloszlása t -► 0 esetén homogén eloszláshoz tart. A v háromdimenziós sebesség rotációja [a (4) közelítésben] zérus, nagysága pedig a

v2 = vpya& ~ tztörvény szerint tart zérushoz.

114. §. Vöröseltolódás

Valamennyi tanulmányozott megoldás alapvető jellemvonása, hogy a metrika nem stacionárius: a tér görbületi sugara függ az időtől. A görbületi sugár megváltozása ugyanakkor általában a térbeli testek között az összes távolság megváltozására vezet, amint ez már abból is látható, hogy a d l térbeli távolságelem ö-val arányos. így ilyen

114. §. VÖRÖSELTOLÓDÁS 473

térben a növekedtével a testek „szétfutnak” (nyílt modellben a növekedésének rj > 0, zárt modellben pedig 0 < r] felel meg).

Valamelyik testen levő megfigyelő szempontjából ez azt a látszatot kelti, mintha az összes többi test a megfigyelőtől távolodva sugárirányban mozogna. A „szétfutás” sebessége (az adott t időpillanatban) arányos a testek közötti távolsággal.

Az elméletnek e következménye az alapvető csillagászati megfigyelésnek felel meg, amely szerint a galaxisok spektrumvonalai a vörös irányába eltolódnak. Ezt Dopplereltolódásként értelmezve, a galaxisok „szétfutására” kell következtetnünk, tehát arra, hogy a világegyetem jelenleg tágul.9

Vizsgáljuk a fénysugár terjedését izotrop térben. E célból legegyszerűbb abból kiindulnunk, hogy a fényjel terjedésének világvonala mentén ds = 0. A %, 0, cp koordináták origójának válasszuk azt a pontot, amelyből a fénysugár kiindul. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy a fénysugarak radiálisán terjednek, tehát a0 = const, cp — const vonalak mentén. Ennek megfelelően (112,4)-ben vagy (113,2)-ben dd = dcp = 0-t véve, azt kapjuk, hogy ds2 = a2(drf—d%2). Ezt zérussal téve egyenlővé, dr] = ±d%, vagy integrálva:

% =+r] + const. (114,1)

Az rj előtt a plusz előjel az origótól távolodó, a mínusz pedig az origóba befutó sugárnak felel meg. Ebben az alakban a (114,1) egyenlet egyaránt alkalmas nyílt és zárt modellekben terjedő sugarak leírására. Ebből az előző szakasz képleteinek segítségével ki tudjuk fejezni a fénysugár által megtett u tat az idő függvényében.

A fénysugár nyílt modellben a kibocsátási ponttól minden határon túl eltávolodik. Z árt modellben viszont a kiindulási pontból kifutó fénysugár végül eljuthat a tér „ellentétes pólusába” (aminek a % koordináta 0-tól n-ig való változása felel meg); a további terjedés folyamán pedig a sugár a kiindulási ponthoz kezd közeledni. A „tér körbejárásának” a % koordináta 0-tól 2n-ig való változása felelne meg. (114,l)-ből azt látjuk, hogy ekkor r]-nak is 2n-ve\ kell megváltoznia, ami azonban lehetetlen (egy esetet kivéve, amikor azr] = 0 pillanatban lép ki a sugár.) Tehát a fénysugár a tér „körbejárásával” soha sem juthat vissza a kiindulási pontba.

A megfigyelési pontba (az origóba) beérkező fénysugárnak a (114,1) negatív előjeles alakja felel meg. Ha a sugár e pontba érkezésének időpillanata t(rj0), akkor r] = rj0 esetén %-nek zérusnak kell lennie; ilyen sugarak terjedésének egyenlete tehát

X = V o ~ V (114,2)

9 Azt a következtetést, hogy a(t) növekedtével a testek „szétfutnak”, természetesen csak akkor vonhatjuk le, ha teljesül az a feltétel, hogy a testek kölcsönhatási energiája kicsi a „szétfutásuknak” megfelelő mozgás kinetikus energiájához képest; ez mindenesetre teljesül az egymástól elég távol levő galaxisok esetében. Az ellenkező határesetben a testek kölcsönös távolságát elsősorban kölcsönhatásaik határozzák meg; ezért például a vizsgált jelenségnek nem kell fellépnie a galaxisok, még kevésbé bolygórendszerek méreteiben.


alakú. Ebből látható, hogy a y = 0 pontban levő megfigyelőhöz a t(r]0) időpillanatban csak azok a fénysugarak juthatnak el, amelyek y = ^o-nál kisebb „távolságban” levő pontokból indultak ki.

Ez a nyílt és zárt modellekre egyaránt érvényes eredmény rendkívül lényeges. Egy t(rj) időpillanatban a tér adott pontjából nem figyelhető meg az egész tér, hanem csupán a y ^ r]-nak megfelelő része. Matematikai szempontból a tér „látható tartom ánya” a négydimenziós téridőből a fénykúp által kimetszett rész. Ez a metszet nyílt és zárt modellek esetén egyaránt végesnek bizonyul. (A nyílt modellben ugyanakkor végtelen a t = const hiperfelülettel való metszet, ez olyan térnek felel meg, amelynek minden pontjához ugyanaz a t időpillanat tartozik.) Ebben az értelemben a zárt és nyílt tér különbsége nem olyan lényeges, mint az első pillanatban gondoljuk.

Egy adott időpillanatban minél messzebb van a megfigyelőtől a tér általa megfigyelt tartománya, ott annál korábbi időpillanatnak megfelelő állapotot észlel. Képzeljünk el egy olyan gömbfelületet, amely azoknak a pontoknak mértani helye, amelyekből a fény a t(rj — y) időpillanatban lépett ki, és az origóban t{rj) időpontban figyelték meg. E felület területe Arca-^ — y) sin2 %-vel (zárt modellben) vagy 4:ta2(r)—y) sh2 %-vel (nyílt modellben) egyenlő. A megfigyelőtől való távolság szerint a „látható gömbfelület” területe először zérus értéktől (x — 0) nő, azután elér egy maximumot, majd újból csökken, y = ^-nál [ahol a(rj — y) = a(0) = 0] zérussá válva. Ez azt jelenti, hogy a fénykúppal való metszet nemcsak véges, de zárt is. Mintegy bezáródik a megfigyelővel „ellentétes” pontban; ez a pont a tér bármely irányában végzett megfigyeléssel lá tható. Ebben a pontban s — oo, ezért elvileg az anyagfejlődés minden szakasza megfigyelhető.

A megfigyelhető teljes anyagmennyiség nyílt modellben az

M megf = 47t J t-ia2, sh2 x dyo

integrállal egyenlő. (113,7)-ből behelyettesítve ^a3-t, azt kapjuk, hogy

M megf = (sh n eh v - n ) . (114,3)

Ez a mennyiség minden határon túl nő, ha r\ — c®. Zárt modellben M megf növekedését természetesen az M össztömeg korlátozza; ebben az esetben hasonló módon adódik:

MM meg f = — (r j-sm rjeo srj). (114,4)

71

??-nak 0-tól :t-ig való növekedése mértékében ez a mennyiség 0-tól M -ig n ő ; M megf-nek a kapott képlet szerint való további növekedése azonban fiktív, ami egyszerűen annak felel meg, hogy az „összehúzódó” világban a távoli testeket kétszer figyelnénk meg (a teret két oldalról „körbejáró” fénynek megfelelően).

Vizsgáljuk meg most azt, hogyan változik meg a fény frekvenciája izotrop térben való terjedésekor. E célból előzetesen megjegyezzük a következőt. A tér valamely pontjában dt = a(rj) drjjc időkülönbséggel következzék be két esemény. Ha ezeknek az eseményeknek az időpillanataiban fényjelek indulnak el, amelyeket a tér egy másik pontjában megfigyelnek, ekkor e jelek megfigyeléseinek időpillanatai között az rj mennyiség ugyanakkora drj megváltozásának megfelelő időtartam telik el, mint a kibocsátás pontjában. Ez közvetlenül következik a (114,1) egyenletből, amely szerint az rj mennyiség megváltozása a fénysugár egyik pontból a másik pontba való terjedésének ideje alatt csak e két pont y koordinátáinak különbségétől függ. Mivel azonban a jel terjedésének ideje alatt az a görbület megváltozott, a két jel kibocsátásának és megfigyelésének időpillanatai között eltelt t időtartamok különbözőek lesznek; ezeknek az időtartamoknak az aránya egyenlő az a megfelelő értékeinek arányával.

Ebből speciálisan az következik, hogy a fényrezgések t világidőben mért periódusai a sugár mentén a-val arányosan változnak. Nyilvánvaló, hogy a fény frekvenciája a-val fordítottan arányos. így a fény terjedése közben a sugár mentén állandó az alábbi szorzat:

ojü = const. (114,5)

Tételezzük fel, hogy a t(rj) időpillanatban megfigyeljük a y koordináta határozott értékének megfelelő távolságban levő forrás által kibocsátott fényt. A kibocsátás pillanata (114,1) szerint a t(i] — y) időpont. Ha a fény frekvenciája kibocsátásának pillanatában coo, akkor az általunk megfigyelt oj frekvencia (114,5) szerint:

(114.6)a(rj)

M onoton növekedő a(rj) függvény esetén oj < co0, tehát a fény frekvenciája csökken, vagyis a beérkező fény spektrumát megfigyelve azt tapasztaljuk, hogy összes vonala a vörös irányába eltolódik a közönséges feltételek között levő anyagok azonos vonalaihoz képest. Ez a jelenség a vöröseltolódás, ami lényegében az egymástól távolodó testek Doppler-effektusa.

A vöröseltolódás nagysága, amelyet az eltolt frekvenciának a nem eltolt frekvenciához való oj/ ojo arányával mérhetünk, függ a megfigyelt fényforrás távolságától (a megfigyelés adott pillanatában), ui. a (114,6) hányadosban szerepel a fényforrás % koordinátája. Nem túl nagy távolságok esetén az a ( j j - y )-1 % szerint sorba fejthetjük. Az első két tagra szorítkozva, azt kapjuk, hogy

Ü L = 1 y a'Woj0 * a(rj)

(a vessző rj szerinti deriválást jelöl). Megjegyezzük továbbá, hogy a ya(rj) szorzat éppen a megfigyelt forrás / távolsága. Valóban, a „sugárirányú” ívelem dl = a dy;


ennek az összefüggésnek az integrálásakor felmerül a kérdés: a fizikai megfigyelés mely módszerével határozzuk meg a távolságot, ettől függően a-nak az integrálási út különböző pontjaiban a különböző időpillanatbeli értékeit kell vennünk. (Az rj = const mellett vett integrálás az út összes pontja egyidejű figyelembevételének felelne meg.) „K is” távolságok esetén a változása elhanyagolható az integrálási út mentén, és egyszerűen / = a% írható, a-nak a megfigyelés pillanatában vett értékével.

Végeredményül a frekvencia megváltozásának relatív nagyságára a következő képletet kapjuk:

z = COo~ a> = — /, (114,7)OJq C

ahol a H Hubble-állandó:

H = c ^ = l í ± . („ 4 ,8 )a\rj) a dt

Ez a mennyiség a megfigyelés adott pillanatában független /-tői. így a spektrumvonalak relatív eltolódása arányos a fényforrásnak a megfigyelőtől való távolságával.

A vöröseltolódást Doppler-effektus eredményének tekintve, meghatározhatjuk a galaktikák megfigyelőtől való távolodásának v sebességét, z = vjc-1 (114,7)-tel összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

v = HL (114,9)

[Ezt a képletet a v = d(ay)!dt derivált kiszámításával közvetlenül is meg lehet kapni.] A csillagászati adatok megerősítik a (114,7) törvényt, de a Hubble-állandó értéké

nek meghatározását megnehezíti a távoli galaxisok kozmikus távolságmeghatározásánál fellépő bizonytalanság. A legújabb mérések a

H % 0 ,8 -lO-10 év"1 = 0,25-10-17 s ~ \ - L % 4-1017 s = 13-109év (114,10)t i

értékekre vezetnek. Ez az érték megaparsec-enként 75 km/s „szétfutási sebességet” ad.10

A (113,4) egyenletbe s = fxc2 és H = ca'/a2-ethe\yettesítve, a nyílt modellre a következő összefüggést kapjuk:

/ 2 ürrk= (114,11)

a2 3 r

Ezt az egyenletet összevetve a

H = A * 111’ = - c t h 3 .ö0(c h ^ —l)2 2

10 Léteznek olyan frissebb becslések, amelyek H -ra kisebb értéket adnak. Ez megaparsec-enként 55 km/s szétfutási sebességnek felel meg; ekkor Í/H ^ 18* 109 év.

egyenlőséggel, az adódik, hogy

c h l = H ] [ 3 . (114,12)2 y

Z árt modellre hasonló m ódon:

c2 Snk3 ^ - # 2, (114,13)

cos —- = H \j X—.— . (114,14)

amiből

2 1 ^ ‘SuxkLi

(114,ll)-et és (114,13)-at összehasonlítva látjuk, hogy a tér görbülete a — ----- H 2

különbség előjelétől függően negatív vagy pozitív. Ez a különbség [1 = [ik esetén válik zérussá, ahol

3 H 2^ = 8 S F - (H 4’15)

(114,10) ismeretében azt kapjuk, hogy fik ^ 1 • 10~29 g/cm3. A csillagászat mai állásánál a térbeli átlagos anyagsűrűséget csak igen durván lehet megbecsülni. A becslés, amely a galaxisok megszámlálásán és a bennük levő tömeg átlagos értékén alapul, mai ismereteink alapján 3*10-31 g/cm3 körüli értéket ad. Ez 30-szor kisebb, mint ilyen módon a nyílt modell mellett tanúskodhat. De attól eltekintve, hogy ez az érték maga is bizonytalan, nem szabad azt sem elfelejtenünk, hogy ebben a számban nincs figyelembe véve egy esetleges intergalaktikus gáz létezése, amely lényegesen megnövelhetné az anyag átlagsűrűségét.

Felírunk még egy egyenlőtlenséget, amely a H mennyiség ismert értéke mellett alkalmazható. Nyílt modellre H — c sh?7/öo(ch r\ — l)2, amiből

c ( V V) H(chrj — l)2 '

Mivel 0 < íj < oo, fennáll a2 1---- < t •< -—-

3H H

_ sin 7](r) — sin rj)1 ~ H ( c h r j~ l f '

egyenlőtlenség. Zárt modellre ugyanúgy kapjuk, hogy

(114,16)

a(rj) növekedésének a 0 < r\ < n tartomány felel meg; ezért azt kapjuk, hogy

(114,17)

Határozzuk meg a megfigyelőhöz a % koordináta adott értékének megfelelő távolságú forrásból jutó fény / intenzitását. A fényenergia áramsűrűsége a megfigyelési pontban fordítottan arányos annak a gömbnek a felületével, amelynek középpontja a forrás, és amely átmegy a vizsgált ponton. Negatív görbületű térben a gömb felülete Arca2 sh2 %. A forrás által dt — a(r] — %)dr]lc idő folyamán kibocsátott fény a megfigyelési pontba a(rj) dt/a(r] — %) = a(rj) drjjc idő alatt érkezik. Mivel az intenzitás az időegységre eső energiaáram, /-ben szerepelni fog az a(r] — %}ja(rj) tényező. Végül a hullámcsomag energiája arányos a frekvenciával [lásd (53,9)], mivel a frekvencia a fény terjedése folyamán (114,5) szerint változik, ez /-ben még egy a(rj — %)ja(rj) szorzó megjelenésére vezet. Végeredményben az intenzitást

I = const* -a T[ J p (114,18)a\rj) sh2 % v ’

alakban kapjuk meg. Zárt modellre hasonló módon az adódik, hogy

/ = const* - ü ^ ^ . (114,19)a\ri) sm2 % '

Ezek a képletek adják meg az objektum megfigyelt fényességének távolságfüggését (adott abszolút fényesség esetén). Kis %-re közelítőleg a(rj — %) % a(rj) írható, ekkor / ~ 1 /a2(rj)%2 = 1 //2, ami az intenzitásnak a távolság négyzetével arányos megszokott csökkenése.

Végül vizsgáljuk meg a testek úgynevezett valódi mozgásával kapcsolatos kérdést. Az anyag mozgásáról és sűrűségéről beszélve, mindig átlagolt mozgást és átlagolt sűrűséget értettünk; az eddig használt vonatkoztatási rendszerben a mozgás átlag- sebessége zérus. A testek valódi sebességei az átlag körül szórnak. A testek valódi mozgásának sebessége az időben változik. Az időbeli változás meghatározása céljából vizsgáljunk egy szabadon mozgó testet, és helyezzük a koordináta-rendszer kezdőpontját a pálya valamely pontjába. Ekkor a pálya radiális vonal lesz, amelyre 6 — const, cp = const. A (87,6) Hamilton—Jacobi-egyenlet glk értékeinek behelyettesítése után az alábbi alakot ölti:

(r)C \ 2 / \ 2W ) - ( ^ ) + m2c2a2^ = °- <114’20)

Mivel ez utóbbi egyenlet együtthatóiban % nem szerepel (tehát / ciklikus koordináta), fennáll a dS/d% = const megmaradási törvény. A mozgó test p impulzusa az

általános definíció szerint p = dSjdl = dS/ad%. Ezért a test mozgása folyamán a pa szorzat állandó m arad:

pa = const. (114,21)

A test sajátmozgásának v sebességét amv


képlet szerint bevezetve, azt kapjuk, hogy

= const. (114,22)

E törvény határozza meg a sebességek időbeli változását, a növekedtével a v sebességek monoton csökkennek.

Feladatok

1. Határozzuk meg a galaxisok látható fényességét vöröseltolódásuk függvényében a sorfejtés második tagjáig bezárólag; a galaxisok abszolút fényessége időben az / at)S = c o n s t exponenciális törvény szerint változik (H . Robertson, 1955).

Megoldás. Az rj „időpillanatban” megfigyelt köd látható fényességének a % távolságtól való függését (zárt modellben) az

I = const* ar{rj) sin- /

képlet adja. A (114,7) szerint definiált vöröseltolódás:

_ o j0 - o j _ a (rj) - a ( r j - / )

co a{rj — x)

7-t és z-1 x szerint sorba fejtve [az a(rj) és t{rj) függvényeket (112,9)-ből és (ll2,10)-ből vesszük], a kapott kifejezésekből /- t kiküszöbölve, eredményül adódik, hogy

' = const-- i - [ l - ( l - | + ^ ) z ] ,

ahol bevezettük a

1 COS Tj (.lh

jelölést. Nyílt modellre ugyanez a képlet érvényes, de akkor

2. Határozzuk meg egy adott sugarú „gömb” belsejében levő galaxisok számát megadó függvény sorfejtésének első tagjait mint e gömb határán észlelhető vöröseltolódás függvényét. (Tegyük fel, hogy a galaxisok térbeli eloszlása homogén.)

Megoldás. A /-nél kisebb vagy azzal egyenlő „távolságban” levő galaxisok száma (zárt modellben):

%N = const-J sin2%d% ^ const*/3.

o

Behelyettesítve ide a %(z) függvény sorának első két tagját, azt kapjuk, hogy

N = const *z3£l — (2+#)zj.

Ez a képlet ilyen alakban nyílt modellre is igaz.

115. §. Izotrop világ gravitációs stabilitása

Vizsgáljuk meg a kis perturbációk viselkedését izotrop modellben, vagyis elemezzük az izotrop modell gravitációs stabilitásának problémáját (E . M . Lifsic, 1946). Itt csak olyan perturbációk vizsgálatára szorítkozunk, amelyek a térnek viszonylag olyan kis tartományaira terjednek ki, melyeknek lineáris méretei az a sugárnál jóval kisebbek.11

A térmetrikát minden ilyen tartományban első közelítésben euklideszinek vehetjük, a (111,8) vagy a (111,12) metrikát a

dl2 = a\rj) (dx2+ dy2+ dz2) (115,1)

metrikával helyettesítjük, ahol x, y, z az a sugár egységeiben mért Descartes-koordináták. Időkoordinátaként, az előzőekhez hasonlóan, rj-t használjuk.

Az általánosság korlátozása nélkül megtehetjük, hogy a perturbált teret szinkronizált vonatkoztatási rendszerben írjuk le, tehát a metrikus tenzor ögik megváltozásaira kirójuk a ög00 = <5g0ot = 0 feltételeket. E feltételek mellett variálva a gikuluk = 1 azonosságot [és tekintetbe véve, hogy a négyessebesség komponenseinek nem variált értéke u° = 1 fa, ua = 0],12 a goou0 öu° = 0 egyenlőséget kapjuk, amiből öu° = 0. A <5wa perturbációk viszont általában zérustól különböznek, ezért a vonatkoztatási rendszer már nem lesz együttmozgó.

11 A kérdés részletesebb kifejtését és egyúttal az a-val összemérhető kiterjedésű tartományokban fellépő perturbációk vizsgálatát illetően lásd Uszpeki Fizicseszkij Nauk 80, 411 (1963); Adv. of. Phys. 12, 208 (1963).

12 A mennyiségek nem perturbált értékeit ebben a szakaszban a (0) index nélküli szimbólumokkal jelöljük.

115. §. IZOTROP VILÁG GRAVITÁCIÓS STABILITÁSA 481

A térbeli metrikus tenzor perturbációit jelölje = őya/3 = — bg^. Ekkor byrf == —/z0 , ahol h indexeinek felhúzását a nem perturbált ya/5 metrikával végeztük.

Lineáris közelítésben a gravitációs tér kis perturbációi a

ÖRÍ-~Ő>[ŐR = ~ - ^ b T f (115,2)

egyenletnek tesznek eleget.Szinkronizált vonatkoztatási rendszerben a (94,9) energia-impulzus-tenzor kom

ponenseinek variációi:

bTÍ = ~ b í bp, bTl = a (p + s) bu\ bTS = be. (115,3)

Mivel be és bp infinitezimálisan kicsi, bp = be írható, és ade

b T Í = ~ ^ b T l (115,4)

összefüggést kapjuk.A bB^-xQ vonatkozó képlet a (97,10) kifejezés variálásával adódik. Mivel a nem

perturbált metrikus tenzor alakja yaj6 — a2ba a nem perturbált értékek:

2á 2a' fí 2a' ^Bq Yip — ~ 2 — a‘>

ahol a pont ct, a vessző pedig rj szerinti deriválást jelent. Ugyanakkor a xap és =— KavyvP mennyiségek perturbációi:

= ha{3 = bxí = -h P ^ y + y ^ K y = hí = ~~ hí',

ahol /*f = y^yKi3- A (H 5 ,l) euklideszi metrika esetén a P f háromdimenziós tenzor nem perturbált értékei zérussal egyenlők. A őPf variációkat pedig a (108,3) és (108,4) képletek segítségével számíthatjuk: nyilvánvaló, hogy bP^ ugyanúgy fejezhető ki a byap-val, ahogy a négyestenzor őg/Vk-val. Az összes tenzorműveletet a (115,1) metrikájú háromdimenziós térben kell elvégezni; minthogy e metrika euklideszi, az összes kovariáns differenciálás az xa koordináták szerint elvégzett közönséges differenciálásokra egyszerűsödik (a kontravariáns differenciálásoknál még tf2-tel osztani kell). Mindezt figyelembe véve (és mindenütt áttérve a t szerinti deriválásokról rj szerintiekre), egyszerű számítás után azt kapjuk, hogy

bRÍ = ~ Í (h l:" + W * - W y - - ^ h í" - í h* - 4 & h ’b l

8R0° = ~ ^ h,' - - & h'’ 8R*°= -‘b & ' - w y (115>5>

31 Elméleti fizika II. - 42221/11.

(h = /?*). Itt és a következőkben a vessző után álló alsó és felső indexek egyaránt az jva koordináták szerinti közönséges deriválást jelölik. (Csak azért használjuk továbbra is a felső és az alsó indexeket, hogy megőrizzük a jelölések egyöntetűségét.) A /zf-ra vonatkozó végleges egyenleteket megkapjuk, ha a 8T* komponenseknek <5i^-val (115,2) szerint kifejezett alakját (115,4)-be helyettesítjük. Ilyen egyenletek gyanánt kényelmes a (115,4)-bői aza esetén, illetve az a, /? indexek összeejtésekor adódó egyenleteket választanunk. Alakjuk a következő:

(hl:?/ + h ^ í - h i - h í j ) + hí'' + 2 ~ h í ' = 0, « # fi,

+ ) + * " + » 4 ( 2 + 3 £ ) 015,6)

Az anyag sebességének és sűrűségének perturbációi /zf ismeretében a (115,2) és(115,3) képletek segítségével kiszámíthatók. így a relatív sűrűségváltozásra az adódik, hogy

-F = 837 = W <"5-7>

A (115,6) egyenlet megoldásai között vannak olyanok, amelyeket a vonatkoztatási rendszer egyszerű (szinkronizáltságát nem sértő) transzformációjával ki lehet zárni, ezért nem jelentik a metrika valódi fizikai megváltozását. Az ilyen megoldások alakját a 97. § 3. feladatában kapott (1) és (2) képletek segítségével közvetlenül megállapíthatjuk. E képletekbe a nem perturbált ya/3 = a2öa/5 értékeket helyettesítve, a metrika fiktív perturbációira a

(115,8)

alakot kapjuk, a h o l/0, / a az x, y , z koordináták tetszőleges (kicsiny) függvényei.Mivel a metrika a tér általunk vizsgált kisebb tartományaiban feltevésszerűen

euklideszi, a tartomány minden egyes pontjában a tetszőleges perturbációkat síkhullámok szerint sorba fejthetjük. x 9 y , z-n az a egységekben mért Descartes-koordinátá- kat értve, a síkhullámok térben periodikus szorzóját emr alakban írhatjuk, ahol az n dimenzió nélküli vektor az 1 /c egységekben mért hullámszámvektor (a hullámszám- vektor: k = n/a). Ha ~ / lineáris méretű tértartományban lép fel perturbáció, akkor sorfejtésében elsősorban 1 = Ircajn ~ / hullámhosszúságú komponensek jelentősek. Az / <<c a méretű tartományokra való korlátozódás egyúttal annak feltételezését is jelenti, hogy az n szám elegendően nagy (n 2n).

A gravitációs perturbációkat három típusra lehet osztani. Ez az osztályozás a szimmetrikus ha/3 tenzor sorában szereplő síkhullámok lehetséges típusainak meghatározására vezethető vissza. így a következő osztályokat kapjuk:


1. AQ = e inv (115,9)

skalár függvény segítségével képezhetünk egy P = nQ vektort és két tenzort:13

E síkhullámoknak olyan perturbációk felelnek meg, amelyekben a gravitációs térrel együtt az anyag sűrűsége és sebessége is megváltozik, tehát olyan perturbációkkal van dolgunk, amely együtt já r anyagsűrűsödések és -ritkulások keletkezésével. A perturbációt ekkor a Qf és P f tenzorokkal, a sebesség perturbációit a P vektorral, a sűrűség perturbációját pedig a Q skalárral lehet kifejezni.

2. A transzverzális

vektorhullám segítségével az r^Sa+nJSfi tenzort képezhetjük. Mivel nS = 0, megfelelő skalár nem létezik. Ezeknek a hullámoknak olyan perturbációk felelnek meg, amelyekben a gravitációs térrel együtt változást szenved a sebesség, de az anyagsűrűség m ár nem; ezeket forgó perturbációknak nevezhetjük.

3. Transzverzális tenzorhullám:

Ezzel sem vektort, sem skalárt nem lehet képezni. E hullámoknak olyan perturbációk felelnek meg, amelyekben az anyag nyugvó és homogén térbeli eloszlású marad. M ás szóval ezek az izotrop világ gravitációs hullámai.

Az első típusú perturbációk a legérdekesebbek. Tegyük fel, hogy /*£ alakja:

A A és \x függvényeket meghatározó egyenletek (115,13)-nak (115,6)-ba való helyettesítésével adódnak:

13 A közönséges n Descartes-féle vektor esetében csak azért írunk alsó és felső indexeket, hogy megőrizzük a jelölések egyöntetűségét.

(115,10)

S = seinr, sn = 0 (115,11)

Gi = g&?ínr> g&P = 0. (115,12)

hl = Mn)PÜ:+Kv)Qt h = fiQ.

(115,7)-ből a sűrűség relatív megváltozására azt kapjuk, hogy

(115,13)

(115,14)

31*

Ezeknek az egyenleteknek mindenekelőtt van két olyan partikuláris megoldása, amelyek a metrika a vonatkoztatási rendszer transzformációjával eltüntethető fiktív megváltozásainak felelnek m eg:

A = — fi = const, (115,16)

X = — n1 J , [i — rí1

[az első / 0 = 0 , / a = Pa választással, a második / 0 = ő , / a = °"val adódik (115,8)- ból].

A világ tágulásának kezdeti stádiumában, amikor az anyagot a p — ej3 állapotegyenlet írja le, a ^ tfi^, r] <<c 1 (mind a nyílt, mind a zárt modellben). A (115,15) egyenletek ekkor

2 n2 3 2w2X" + - k ' — T (k + ti) = 0, ^ + ” (^4-^) = 0 (115,18)

TJ J Tj J

alakúak lesznek. Ezeket az egyenleteket előnyös a két nagy n és l/rj mennyiség kölcsönös viszonyának megfelelő két határesetben külön-külön vizsgálni.

Tételezzük fel először, hogy az n szám nem túl nagy (vagy rj elegendően kicsi), ezért m] <$c 1. Azzal a pontossággal, amellyel a (115,18) egyenletek igazak, az adott esetben azokból a következőket kapjuk:

*_2£i+c ( ,+£<■). , _ - " c * +c.(

ahol Ci, C 2 állandók; innen már kiküszöböltük a (115,16) és (115,17) alakú megoldásokat. (Ez az a megoldás, amelyben 1— — const, és amelyben A-f/x ~ Ijrj2.) ds/e-t(115,14) és (115,15) szerint kiszámítva, a metrika és a sűrűség perturbációira a következő kifejezéseket kapjuk:

h} = ! C l p í + c M .+ r í ) ,rj

Ő £ FI2 E 1— ^ — ( C ^ + C ^ e , ha p — —-, (115,19)

A Ci, C 2 állandóknak határozott feltételeket kell kielégíteniük, amelyek azt fejezik ki, hogy a perturbáció keletkezésének r jo időpontjában kicsi volt: teljesülnie kell a /*£ 1 (amiből A <$c 1, fi <<c 1) és ős/e <sc 1 feltételeknek. Ezeket (115,19)-re alka- mazva, a C i « r jo , C 2 <sc 1 egyenlőtlenségekhez jutunk.

A (115,19) kifejezésekben szerepelnek olyan tagok, amelyek a táguló világban az a = ai?? sugár különböző hatványai szerint növekednek. Ez a növekedés azonban


dr] 3a'(115,17)

nem jelenti, hogy a perturbáció naggyá válhat: ha a (115,19) képleteket rendre alkalmazzuk rj ~ 1/rc-nél is, akkor azt látjuk, hogy (a Ci-re és C 2 -re kapott egyenlőtlenségek miatt) a perturbációk kicsik maradnak még e képletek érvényességi tartományának felső határán is.

Legyen most az n szám olyan nagy, hogy nr] 1. A (115,18) egyenleteket e feltétel teljesítése mellett megoldva, azt kapjuk, hogy A-ban és /^-ben a vezető tagok

X = — = const e'W/s2 7]z

alakúak.14 Ebből a metrika és a sűrűség perturbációira azt kapjuk, hogy

hí = (Pl - 2Q^)eim », ~ = - y Qein'M \

P = y , (115,20)

ahol C a | C | <sc 1 feltételnek eleget tevő komplex állandó. E kifejezésekben a periodikus szorzó fellépése teljesen természetes. Nagy n-eknél olyan perturbációkkal van dolgunk, amelyek térbeli periodicitását a k = nja nagy hullámszámvektor határozza meg. Az ilyen perturbációk hanghullámként terjednek

u = ][ dpd(e/c2) ]/3

r Yif)sebességgel. A fázis időbeli részét az \ ku dt = nagy integrál határozza meg,

Jakárcsak a geometriai akusztikában. A sűrűség relatív megváltozásának amplitúdója, amint látjuk, állandó marad, ugyanakkor a táguló világban a metrika perturbációinak amplitúdója a~2 szerint csökken.15

Vizsgáljuk meg ezek után a tágulás későbbi szakaszait, amikor az anyag már annyira ritka, hogy nyomását elhanyagolhatjuk (p = 0). Itt csak a kis rj-k esetére szorítkozunk, ami a tágulás olyan szakaszának felel meg, amikor az a sugár még nagyon kicsi a jelenlegi értékhez képest, de az anyag már elegendően ritka.

14 Az exponenciális előtt álló 1 írj* tényező az 1 jnrj szerinti sorfejtés első tagja. Meghatározásához a sorfejtés első két tagját [melyet a (115,18) egyenletek pontossága megenged] esetenként egyidejűleg kell megvizsgálnunk.

15 Könnyű belátni, hogy (p = e/3 esetén) nr\ ^ L/X, ahol L ~ uj^ke/c2. Természetes, hogy a a hullámhosszúságú perturbációk viselkedését meghatározó karakterisztikus L hosszúságot

pusztán „hidrodinamikai” mennyiségek: az ele2 anyagsűrűség és a benne terjedő hang u sebessége (valamint a k gravitációs állandó) határozzák meg. Megjegyezzük, hogy a perturbációk növekedése Xy>L esetén következik be [(115,19)-ben].

p = 0 és rj <z£ 1 esetén a % ao??2/2 és a (115,15) egyenletek

4 n2 4 - n 2X " H— X' — (A -f p) — 0, p " H— // + — (A+ /i) = 0

rj ó rj ó

alakúak lesznek. Az egyenletek megoldásai:

1 , _ 6C2 1 _ 2 / C]^2 , 4C2\A+/ í — 2 C i ^3- , +

A (115,14) és (112,12) képletek segítségével be/e-t is kiszámítva, azt kapjuk, hogy

hí = C úrt+ Q Z ) + (P í- Qt), ha V « ^ >

hi = ^ n Y ( H - Q Z ) + ^ ^ ( H - Q i ) , ha ^ « n « \ , (115,21)

be _ / Cm hj2 C 2n2\ e ~ \ 30 rj2

Látjuk, hogy beje egy a-val arányosan növekvő tagot tartalmaz.16 Ha azonban nrj « 1, akkor bs/s nem válik naggyá a C i 1 feltétel m iatt még rj ~ l/n esetén sem. Ha pedig rjn » 1, akkor rj ~ 1 esetén a sűrűség relatív megváltozása Cin2 nagyság- rendű, és a kezdeti perturbáció kicsi voltának megkövetelése csupán a C-jPrfc <?c 1 egyenlőtlenségre vezet. Noha a perturbáció lassan növekszik, a teljes növekedés a fentiek szerint mégis jelentős lehet, s végeredményben a perturbáció viszonylag erőssé válhat.

Hasonlóan vizsgálhatjuk meg a fent említett második és harmadik típusú perturbációt is. E perturbációk kialvásának törvényszerűségeit részletes számítások nélkül is, egyszerű megfontolások alapján kitalálhatjuk.

Ha az anyag (/ lineáris méretű) kicsiny darabjában bv sebességgel forgó perturbáció lép fel, akkor e rész impulzusmomentuma ~ (e/c2)/3*/ *v. A világ tágulásakor az / méret a-val arányosan nő, az s pedig a~z szerint (p = 0 esetén) vagy a " 4 szerint (p = e/3 esetén) csökken. Az impulzusmomentum megmaradása miatt ezért azt kapjuk, hogy

e 1bv = const, ha p = y , b v ^ — , ha p = 0. (115,22)

16 A kis p(é) nyomást figyelembe vevő gondosabb analízis azt mutatja, hogy a nyomást csak akkor lehet elhanyagolni, ha teljesül az utjn/c 1 feltétel (ahol u = c Ydp/de a kis hangsebesség); könnyű ellenőrizni, hogy ez ebben az esetben is a X L feltétellel egyezik meg. Tehát a perturbációk mindig növekszenek, ha X L.

116. §. HOMOGÉN TEREK 487

A gravitációs hullámok energiasűrűségének a világ tágulásakor a~é szerint kell csökkennie. Másrészt e sűrűséget a metrika perturbációval a ~ &2(/i£)2 képlettel fejezhetjük ki, ahol k = n/a a perturbáció hullámszámvektora. Ebből következik, hogy a gravitációs hullám típusú perturbáció az időben l/a szerint csökken.

116. §. Homogén terek

A tér homogén és izotrop voltának feltételezése a metrikát teljesen meghatározza (mindössze a görbület előjelét hagyja szabadon). Lényegesen nagyobb szabadságot engedünk meg, ha csupán annyit tételezünk fel, hogy a tér homogén, mindenféle járulékos szimmetria nélkül. Vizsgáljuk meg homogén terek metrikus tulajdonságait.

A dott t időpillanatban vizsgált tér metrikájáról lesz szó. Emellett feltételezzük, hogy a vonatkoztatási rendszer szinkronizált, tehát t egységes, az egész térre szinkronizált idő.

A homogenitás azt jelenti, hogy a metrikus tulajdonságok a tér minden pontjában ugyanazok. E fogalom pontos meghatározása érdekében meg kell vizsgálnunk az összes olyan koordinátatranszformációt, amely a teret önmagába viszi át, azaz változatlanul hagyja annak metrikáját: ha a transzformáció előtt az ívelem négyzet

dl2 = y^Cx1, x 2, x 3) dxa dx?

volt, akkor a transzformáció után ugvanez az ívelemnégyzet

dl2 = y<xp(xa , x '2, x '3) dx'* dx'?

lesz az új koordinátáknak ugyanazokkal a yap függvényeivel. A tér akkor homogén, ha megenged minden olyan transzformációt (az úgynevezett mozgáscsoportot), amelynek segítségével a tér egy adott pontját bármelyik pontjával helyettesíthetjük. Mivel a tér háromdimenziós, nyilvánvaló, hogy ez esetben a csoport különböző transzformációit három független paraméter határozza meg.

Euklideszi térben a tér homogenitása abban ju t kifejezésre, hogy a metrika invariáns a Descartes-féle koordináta-rendszer párhuzamos eltolásaival (transzlációival) szemben. Mindezek a transzformációk változatlanul hagyják a három független (dx, dy, dz) differenciált, a hosszúságelem pedig belőlük épül fel.

A nemeuklideszi homogén tér általános esetében a megfelelő mozgáscsoport szintén változatlanul hagyja a három független lineáris differenciális formát, amelyek azonban nem alkotják a koordináták bizonyos függvényeinek teljes deriváltjait. írjuk fel ezeket a formákat

e ^ d x a (116,1)

alakban, ahol az (á) latin index a három független (koordinátáktól függő) bázisvektor sorszámát jelöli.

A (116,1) formák segítségével az adott mozgáscsoporttal szemben invariáns térmetrikát a

dl2 = Vab(eía) dx") (e p dxp) (116,2)

képlettel adhatjuk meg, azaz a metrikus tenzor

= Vabeía)4 b) (116,3)

alakú, ahol az a, b indexekben szimmetrikus rjab együtthatók az idő függvényei.Tehát a három bázisvektor segítségével a térmetrika „három láb” ábrázolásához ju

tottunk; erre az ábrázolásra a 98. §-ban kapott összes képlet alkalmazható. Megjegyezzük, hogy a bázisvektorok megválasztásának módját a tér szimmetriatulajdonságai sugallják, azok általában nem ortogonálisak (az rjab mátrix nem diagonális).

Akárcsak a 98. §-ban, az é£* vektorhármas mellett itt is bevezetjük az e*a) reciprok vektorokat, amelyekre

?(a)eíh> = bba, e 'ta f f = (116,4)

A háromdimenziós esetben a bázisvektorok és reciprokaik kapcsolatát expliciten is megadhatjuk vektorszorzatok segítségével:

e1 = l ( e2X e3), e2 = ^■(e3X e1), e 3 = ~ ( e ^ e 2), (116,5)

aholv = \ e ^ \ = e (1)(e (2)X e (3)).

Az e(ű) és é a) vektorokat úgy kell értenünk, mint olyan Descartes-féle vektorokat, amelyeknek komponensei e a), illetve e ^ \ A (116,3) metrikus tenzor determinánsa:

y = Y)V2, (116,6)

ahol rj az rjab mátrix determinánsa.A (116,1) differenciális formák invarianciája azt jelenti, hogy

é £ \x ) dx* = eia\ x ' ) dx’\ (116,7)

ahol e ^ -k az egyenlet mindkét oldalán a régi és az új koordinátáknak ugyanazok a függvényei. Ezt az egyenlőséget ^ a)(x')-ve 1 szorozva, a dx& = (dx'^/dxa) dx* helyettesítés elvégzése és az azonos dxa differenciálok együtthatóinak összehasonlítása után azt kapjuk, hogy


- j f - r = 4 d x 'H a\x ). (116,8)

Ez egy differenciálegyenlet-rendszer, amelyből az x \ x ) függvényeket meghatározhatjuk az adott bázisvektorok segítségével.17 Az integrálhatóság szükséges feltétele, hogy a (116,8) egyenletek azonosan eleget tegyenek a

d2x 'p d2x'P


dx* dxy dx7 dx*

feltételeknek. A deriváltak kiszámítása után azt kapjuk, hogy

M indkét oldalt etd)(x ) exc)(x ) e(/ \ x ) -vei szorozva és áthárítva a differenciálást egyes tényezőkről másokra, a bal oldalon (116,4) figyelembevételével azt kapjuk, hogy

e Y \x ') = 4 c íx ' ) etd íx ')de(p ( x ') de{öf) (x')

dx'6 dx'P

a jobb oldalon pedig ugyanilyen kifejezés adódik, csak x függvényként. Mivel x és x ' tetszőlegesek, ez azt jelenti, hogy a két oldal külön-külön állandó:

A Ccab állandókat a csoport struktúraállandóinak nevezzük. Mindkét oldalt í^ -v e l megszorozva, (116,9) az

ea ^ e^ ^ e7{ci) — C c py n i 6 10)dx* dx? ~~ }

alakba írható át.A (116,10) egyenletek a tér homogenitásának keresett feltételeit adják. A (116,9)

egyenlet baloldalán levő kifejezés megegyezik a (98,10) alatt definiált Xcab mennyiségekkel, amelyek ezek szerint állandók.

A struktúraállandók alsó indexeikben definíciószerűen antiszimmetrikusak:

Ccab= - C % a. (116,11)

17 x'P -*► alakú transzformációk esetén, ahol £^-k kicsik, (116,8)-ból a

egyenletek adódnak. Ezeknek az egyenleteknek három lineárisan független |fé) (b = 1, 2, 3) megoldása meghatározza a tér mozgáscsoportjának infinitezimális transzformációit. A £fb) vektorokat Killing-vektoroknak nevezzük (lásd a 94. § 12 számú lábjegyzetét).

C°ab-krQ még egy azonosságot kapunk, ha figyelembe vesszük, hogy a (116,10) egyenlet ekvivalens az

[Xa, X b] = X aX b- X bX a = C'abXe (116,12)csereszabállyal, ahol

Xa = e*°>-& (116,13)

lineáris differenciáloperátor.18 Ekkor az említett összefüggés az

[[Xa9 X bl X c] + [[Xh9 X c], X a] + [[X« X a l X b] = 0

azonosságból (az úgynevezett Jacobi-azonosságból) következik, és

C fabCdcf+ C fbcC daf+ C fcaC dbf = 0 (116,14)alakú.

A háromindexes C°ab állandókkal szemben határozott előnnyel rendelkeznek a duális transzformációval adódó

* Ccab = eabdCdc (116,15)

kétindexes mennyiségek, ahol eabc = eabc az antiszimmetrikus egységtenzor (e123 = = -f 1). Az említett állandók használatával a (116,12) csereszabályok

eabcX bX c = C adX d (116,16)

alakba írhatók. A (116,11) tulajdonságot már a (116,15) definícióban figyelembe vettük, a (116,14) tulajdonság pedig

ehcdCcdCba = 0 (116,17)

alakú. Megjegyezzük azt is, hogy a Cah mennyiségek (116,9) definíciója vektoralakban is felírható:

C ab = —-^ e (a) rő t é b\ (116,18)

ahol a vektorműveleteket ismét úgy kell elvégeznünk, mintha az xa koordináták Descartes-félék volnának.

A (116,1) differenciális formákban szereplő bázisvektorok (és velük együtt az X a

18 Az úgynevezett folytonos csoportok (vagy Lee-csoportok) matematikai elméletében a (116,12) alakú feltételeknek eleget tevő operátorokat a csoport generátorainak nevezik. Más tárgyalásmódokkal való összehasonlítás esetén adódható félreértések elkerülése végett azonban megjegyezzük, hogy a folytonos csoportok szisztematikus elméletét rendszerint az Xa = |*a) d/dx* Killing-vektorok segítségével definiált generátorokból kiindulva építik fel.


116.1 HOMOGÉN TEREK 491

operátorok) megválasztása természetesen nem egyértelmű. Azokat tetszőleges állandó együtthatójú lineáris transzformációknak vethetjük alá:

1 e(ö) — (116,19)

Ilyen transzformációkkal szemben r\ab és Cab tenzorként viselkednek.A Cab állandóknak csupán a (116,17) feltételeket kell kielégíteniük. Az állandók

nak e feltételek által megengedett sorozatai között azonban ekvivalensek is vannak abban az értelemben, hogy azok a (116,19) transzformációkkal egymásba vihetők. A homogén terek osztályozásának feladata visszavezethető a struktúraállandók összes inekvivalens sorozatainak meghatározására. Ezt a Cab mennyiségek „tenzor- tulajdonságainak” felhasználásával a következő egyszerű módszerrel végezhetjük el (C. G. Behr, 1962).

A Cah nem szimmetrikus „tenzort” szimmetrikus és antiszimmetrikus részekre bontjuk fel. A szimmetrikus részt nab-ve 1 jelöljük, az antiszimmetrikus részt pedig kifejezzük a vele duális ac „vektorral” :

Q a b _ n ab + e abcac% ( J ] g ^ O )

Ezt (116,17)-be helyettesítve aznabab = 0 (116,21)

feltételhez jutunk.A (116,19) transzformációkkal a szimmetrikus nab „tenzor” diagonális alakra

hozható: főértékei legyenek nl9 rc3. A (116,21) egyenlőség azt mutatja, hogy az ab „vektor” (ha létezik) az nab „tenzor” egyik főirányába mutat, abba, amely zérus főértéknek felel meg. Ezért az általánosság korlátozása nélkül ab = (a, 0, 0) írható. Ekkor (116,21) az ani = 0 egyenlőségre redukálódik, tehát az a vagy m közül az egyik zérus. A (116,16) csereszabályok pedig

[Xl9 X 2] = - a X 2+ n 3X 3, [X2, X3] = m X l9 [X3, Z J = n2X 2+ a X s (116,22)

alakúak lesznek. Ezek után még megváltoztathatjuk az operátorok előjelét, és azokat dilatációs transzformációnak vethetjük alá (megszorozhatjuk egy állandóval). Ez lehetővé teszi, hogy egyidejűleg megváltoztassuk az összes m 9 n2, n3 előjelét, a-t pedig pozitívvá tehetjük (ha zérustól különböző). Ha az a, n2, m mennyiségek közül legalább az egyik zérus, az összes struktúraállandót is ± 1 -gyé tehetjük. Ha viszont mind a három különbözik zérustól, akkor a dilatációs transzformációk változatlanul hagyják az a2!n2m hányadost.19

19 Szigorúan véve, a Cah „tenzortulajdonságainak” megtartása érdekében a (116,15) definícióban még egy szorzót is be kellett volna írnunk (lásd a 83. §-ban mondottakat arról, hogyan kell tetszőleges koordinátatranszformációk esetén antiszimmetrikus egységtenzort definiálni). Itt nem megyünk bele ilyen részletekbe: a kitűzött cél eléréséhez a struktűraállandók transzformációs törvényét közvetlenül a (116,22) egyenlőségekből is meghatározhatjuk.

így megkapjuk a homogén terek lehetséges típusainak osztályozását. A táblázat első oszlopában azt a számot tüntetjük fel, amellyel a Bianchi-féle osztályozás (L. Bianchi, 1918)20 típusait általában jelölni szokták:

Típus a ni n2

I 0 0 0 0II 0 1 0 0

VII 0 1 1 0VI 0 1 - 1 0IX 0 1 1 1

VIII 0 1 1 - 1V 1 0 0 0

IV 1 0 0 1VII a 0 1 1III (a = 1)1 a 0 1 _ 1VI (a * l ) f

Az I jelű típus az euklideszi tér; a térbeli görbületi tenzor minden komponense zérus [lásd alább a (116,24) képletet]. A Galilei-metrika triviális esetén kívül ide tartozik még a következő szakaszban tárgyalandó, időtől függő metrika is.

A IX jelű típus speciális esetként tartalmazza az állandó pozitív görbületű teret. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a (116,2) ívelemben rjab — dab/4X-t helyettesítünk, ahol X pozitív állandó. Valóban, C11 = C22 = C33 = 1 értékekkel számolva (ezek a IX

típus struktúraállandói), (116,24) alapján P(anb) = ^ &ab adódik, így

p «p = P(a,(bAa)4 h) =ami pontosan az említett térnek felel meg [lásd (111,3)-at].

Hasonlóan, az állandó negatív görbületű tér az V jelű típus speciális esete. Valóban, Vab — helyettesítve, és a C23 = — C32 = 1 értékekkel P(aHbyt (116,24) szerintkiszámítva, azt kapjuk, hogy

R(a)(b) 2baby P<xfiami állandó negatív görbületnek felel meg.

Végül megmutatjuk hogyan lehet a homogén terű világ Einstein-egyenleteit olyan közönséges differenciálegyenlet-rendszerre redukálni, amely csak időtől függő függvényeket tartalmaz. E célból a négyesvektorok és négyestenzorok komponenseit fejtsük ki az adott tér bázisvektorainak triplettje szerint:

R (a ) W = R . t f a f f b ) , R o (a ) = R o A " *

20 Az a paraméter az összes pozitív értéket befutja. A megfelelő típusok ténylegesen különböző csoportok egy paraméteres összességei, azoknak az összevont VI és VII típusokba való egyesítése feltételes jellegű.

ahol mindezek a mennyiségek csupán a t idő függvényei; a skalármennyiségek úgyszintén időfüggvények, ilyen az s energiasűrűség és a p nyomás.

Szinkronizált vonatkoztatási rendszerben az Einstein-egyenleteket a háromdimenziós xrjp és tenzorok segítségével (97,11)—(97,13) szerint fejezhetjük ki. Az elsőre egyszerűen azt kapjuk, hogy

*(«)(*) = Vab, x\a) = Vac'lfb (116,23)(a pont idő szerinti deriválást jelent). Ugyanakkor a P(a)ib) komponenseket az rjab mennyiségekkel és a csoport struktúraállandóival (98,14) segítségével fejezhetjük ki. A háromindexes Xabc = Cabc állandóknak kétindexes Cab állandókra való cserélése és egy sor átalakítás után :21

PU = ^ - { 2 CbdC ad+ C dbCad+ C bdC da- C “d(Cba+ C ab) +

+ m c ddf - 2 C dfC df]}. (116,24)

Itt az általános szabállyal összhangban:

C ab = rjacC cb, Cab = rjacVbdC^.

Azt is megjegyezzük, hogy a háromdimenziós tenzorra vonatkozó Bianchi- azonosság homogén térben

P cbC bca+ P caC bc b = 0 (116,25)alakú.

A négydimenziós Ricci-tenzor22 bázisösszetevőire végeredményül az alábbi kifejezéseket kapjuk:

K ) = - J K$(c' bbac d d c\ (116,26)

Hangsúlyozzuk, hogy az Einstein-egyenletek felállításához, ilyen módon nincs szükségünk a bázisvektorok explicit koordinátafüggésének ismeretére.

21 Felhasználjuk az

V „ d V b ^ c fe i e f = n e „be- e ab!e c,,t =

képleteket.22 Az i?£-ban szereplő y kovariáns deriváltakat a 98. § 36 számú lábjegyzetében megadott képlet

segítségével alakíthatjuk át.



117. §. Sík anizotrop modell

Az a tény, hogy az izotrop modell a világegyetem fejlődése későbbi szakaszainak megfelelő leírását adja, önmagában még nem ad alapot arra a várakozásra, hogy az izotrop modell ugyanúgy alkalmas a fejlődés időszingularitás közelében levő korábbi szakaszainak leírására is. A kérdést a 119.§-ban részletesen tárgyaljuk majd. Ebben és a következő szakaszokban pedig előzetesen megvizsgáljuk az Einstein-egyenleteknek azokat a megoldásait, amelyeknek szintén van időbeli szingulárisuk, de a Friedm ann-féle szingularitástól elvileg különböző típusúak.

Azt a megoldást keressük, amelyben a vonatkoztatási rendszer alkalmas megválasztása esetén a metrikus tenzor összes komponense csupán egyetlen változótól, az x° = t időtől függ.23 Ilyen kérdést már a 109. §-ban tanulmányoztunk, ahol azonban csak a |g a/3| = 0 esetet vizsgáltuk meg. Most feltételezzük, hogy ez a determináns zérustól különbözik. Amint a 109.§-ban megmutattuk, ilyen esetben az összes g0a-t az általánosság korlátozása nélkül zérusnak vehetjük. Ezek után /-nek Yg^0dt

dt transzformációjával g0o-t egységnyivé tehetjük, így szinkronizált vonatkoztatási rendszert kapunk, amelyben

Az Einstein-egyenleteket a (97,11)—(97,13) alakban használhatjuk. Mivel a y ^ mennyiségek és velük együtt a = y a/3 háromdimenziós tenzor komponensei sem függenek az xa koordinátáktól, R 0a = 0. Ugyanezért P a/3 = 0, és végeredményben a gravitációs egyenletek vákuumban a következő egyenletrendszerre vezetnek:

gOO = 1, gOa = 0, g a/3 = — ya/s(0* (117,1)

% + = o,

-~=- (j/7*f)’ = 0.Fy

(117,3)

(117,2)

(117,3)-ból következik, hogvV v 4 = 2%, (117,4)

ahol Af-k állandó mennyiségek. Az oc és fi indexek összeejtésével azt kapjuk, hogy

23 A 117—118. §-ban a képletek írásmódjának egyszerűsítése végett c = 1-et veszünk.

amiből látható, hogy y = const-/2. Az általánosság korlátozása nélkül const = 1-et vehetünk (ez egyszerűen az xa koordináták egységének megváltoztatásával érhető el); ^kkor X* = 1. Ezután (117,4)-et (117,2)-be helyettesítve, a

7&l = \ (117,5)

összefüggést kapjuk, amely a X& állandók között létesít kapcsolatot.Továbbá (117,4)-ben lehúzva a /? indexet, ezeket az egyenlőségeket y ^ - ra vonat

kozó közönséges differenciálegyenlet-rendszer alakjába írjuk át:

y«e = Y x&vf>' (117,6)

A együtthatók összességét egy lineáris helyettesítés mátrixának tekinthetjük. Az x \ x 2, x3 koordináták (vagy ami ezzel ekvivalens, a glj8, g,^ g3/5 mennyiségek) megfelelő lineáris transzformációjának segítségével e mátrix általában átlós alakra hozható. Legyenek a mátrix főértékei: p u p 2,p s \ tételezzük fel, hogy mindegyikük valós, és különbözőek (az egyéb eseteket lásd később); a megfelelő sajátirányokba mutató egységvektorok legyenek n(1), n(2), n(3). Ekkor a (117,6) egyenlet megoldása

y*p = t ^ n P + ^ n f > + M ? n f > (117,7)

alakban írható (a t hatványai előtt álló együtthatók a koordináták egységeinek alkalmas megválasztásával mindig 1-gyé tehetők). Végül az n(1), n(2), n(3) vektorok irányait választva a koordinátatengelyek (jelük legyen: x, y 9 z) végleges irányaiként, a metrikát az alábbi alakra hozhatjuk (E. Kasner, 1922):

ds2 = dt2 — t2pi dx2 — t2pz dy2 — t2?3 dz2. (117,8)

Itt p i ,p 2,p 3 tetszőleges három szám, melyek két összefüggésnek tesznek eleget:

Pi+Pz+Ps = 1> Pi+PÍ+PÍ = 1 (117,9)

(az első abból következik, hogy — g = t2, a második pedig ezután (117,5)-ből].A p i9p 29p 3 számok nyilván nem lehetnek egymással egyenlők. Kettő közülük

/ 1 2 2 \csak akkor lehet egyenlő, ha a három érték vagy (0, 0, l),vagy I — —, —, — I. Min

den más esetben a p i9 p 2, ps számok különbözőek, egyikük negatív, a másik kettő pedig pozitív. Ha p \ < p 2 < ps módon rendezzük őket, akkor értékeik az alábbi intervallumokban lesznek:

117. §. SÍK ANIZOTROP MODELL 495

- l ^ / H ^ O , O S f t á y , y S p j S l . (117,10)

Ily módon a (117,8) metrika homogén, de anizotrop sík térnek felel meg, amelyben minden térfogat (az idő múlásával) í-vel arányosan nő, a lineáris távolságok pedig két tengely ( j , z) mentén növekednek, a harmadik (x) mentén pedig csökkennek. A t = 0 időpillanat a megoldás szinguláris pontja; a metrika ebben a pontban olyan szingularitással rendelkezik, amelyet a vonatkoztatási rendszer semmilyen megválasztásával nem lehet eltüntetni, a négydimenziós görbületi tenzor invariánsai végtelenné válnak. Kivételt csak a p i = p 2 = 0, /?3 = 1 eset képez; ekkor egyszerűen Minkowski-féle téridővel van dolgunk: a t sh z = C, t eh z = r transzformáció segítségével a (117,8) metrika Galilei-alakra hozható.24

A (117,8) metrika az Einstein-egyenletek egzakt megoldása vákuumban. A szinguláris pont közelében azonban kis t értékekre (az \ \ t szerint haladó sorban a vezető tagokat megtartva) az egyenletek közelítő megoldások maradnak egyenletes térbeli eloszlású anyag jelenléte esetén is. Az anyagsűrűség változásának menetét és sebességét ekkor egyszerűen az adott gravitációs térben való mozgás egyenletei határozzák meg, az anyagnak a térre való visszahatása pedig elhanyagolhatónak bizonyuk Az anyagsűrűség t — 0 esetén végtelenhez tart, egyezésben a szingularitás fizikai jellegével (lásd a 3. feladatot).

Feladatok

1. Határozzuk meg a (117,6) egyenletek megoldását abban az esetben, amikor a Af mátrixnak egy valós (/?3) és két komplex (ph 2 = p'± ip") főértéke van.

Megoldás. Ebben az esetben az x° változónak, amelytől az összes mennyiség függ, térszerűnek kell lennie, ezért vezessük be az x° = x jelölést. Ennek megfelelően (117,l)-ben most A (117,2) és (117,3) egyenletek változatlanok maradnak.

(117,7)-ben az n(1), n(2) vektorok komplexekké válnak: n(1,2; = (n '+«i")/j/2, ahol n', n" egységvektorok. Ha az x 1, x 2, tengelyeket az n', n", n(3) irányokban vesszük fel, a megoldást

- g i i = g ‘22 = x 2p/ cos {lp" In g12 = - x 2p' sin (lp " In

*3 3 = - * 2í,3> - g = ~ g 0 0 I g a p I =

24 A (117,8) típusú megoldás akkor is létezik, amikor változója tér jellegű; ilyenkor csupán az előjeleket kell megfelelő módon megváltoztatni, például:

ds2 = x 2pi dt2 — dx2 — t 2p* dy2 — t2p* dz2.

Ebben az esetben azonban más alakú megoldások is léteznek, amelyek akkor lépnek fel, ha a (117,6) egyenletekben szereplő Á% mátrixnak komplex vagy egybeeső főértékei vannak (lásd az 1. és 2. feladatokat). Idő jellegű t változó esetén ezek a megoldások nem lehetségesek, mert ilyenkor a g determinánsra nem teljesülne a g < 0 szükséges feltétel.

[Megadjuk a hivatkozást, amelyben a vákuumbeli Einstein-egyenletek több egzakt, rokon típusú és sok változótól függő megoldását is megtalálhatjuk: B. K. Harrison, Phys. Rév. 116, 1285 (1959).}

117. §. SÍK ANIZOTROP MODELL 497

alakban kapjuk meg, ahol a egy állandó (amelyet már nem lehet kiküszöbölni az x tengely menti mérték megváltoztatásával). A p 1,p 2,p 3 számok, akárcsak az előzőkben, most is eleget tesznek a (117,9) összefüggéseknek, miközben a valós p3 szám vagy kisebb — 1/3-nál, vagy nagyobb 1-nél.

2. Oldjuk meg az előző feladatot megegyező főértékek esetében (p 2 = p3).

Megoldás. Amint a lineáris differenciálegyenletek általános elméletéből ismeretes, ebben az esetben a (117,6) rendszer a következő kanonikus alakra hozható:

2 pi . 2p2 . 2p2 XÖ 11 ~ “ £ l l > £ 2OL = 82 .V.1 0 3a = “ <?3a + ~ g g a j OC = _, 3,

ahol X egy állandó. A = 0 esetén (117,8)-hoz jutunk vissza. Ha X 0, akkor /l - 1 vehető, és így

g u = - x 2pi, g2a = tfa*2P2, £3oc = í/a^2p2 In X+6aX2í,2.

A ^32 = g23 feltételből azt kapjuk, hogy a2 = 0, a3 = b2. Az x2, x 3 tengelyek mentén megfelelően választva a mértékeket, végül a metrikát a következő alakra hozhatjuk:

ds2 = — dx2 — x 2pi(dx1)2 + 2x2P2 dx2 dx3± x 2p2 In — (dx3)2.a

A p l9 p2 számok értékei vagy 1, 0, vagy — 1 /3, 2/3 lehetnek.3. Határozzuk meg a (117,8) metrikájú térben egyenletesen elosztott anyag sűrűségének időbeli

változására vonatkozó törvényt a t = 0 szinguláris pont közelében.

Megoldás. Az anyagnak a térre való visszahatását elhanyagolva, az alábbi hidrodinamikai mozgásegyenletekből indulunk ki:

- J ® 0 ^ „ 0 = o, (P+e) A * * L) = _ J p _ . (1)0** \ 0X* 2 a*' / 9** ck*

Ezek az egyenletek a Tg.k=0 egyenletekből következnek (lásd a VIII. kötet 125. §-át). Itt o az entrópia- sűrűség; a szinguláris pont közelében az extrém relativisztikus p = e/3 állapotegyenletet kell használni, akkor a co e3/4.

A (117,8)-ban levő időfaktorokat jelöljék a = tp\ b = tp2, c = tp\ Mivel az összes mennyiség csak az időtől függ, és mivel Jf — g = abc, az (1) egyenletek azt adják, hogy

d , * „iís n * diini ds-ar (ű6cw»£3/4> = °> 4es r + ■“« n r = °-

Ebből

abcu0e31* = const, (2)wae1/4 = const. (3)

(3) szerint az összes kovariáns wa összetevő azonos nagyságrendű. A kontravariáns komponensek között (/ -* 0 esetén) w3 = u3/c2 a legnagyobb. Az w-w* = 1 azonosságban csak a legnagyobb tagokat tartva meg, azt kapjuk, hogy w2 ^ u3u3 = (u3)2/c2, ezért (2)-ből és (3)-ból az következik, hogy

e co , wa co / r á , azb2vagy

£ CO = /-2(1-i»0} Ma ^ ^32 Elméleti fizika I I .- 42221/11.

Ahogyan kell, pz minden értékére t 0 esetén e a végtelenhez tart, csak a ps — 1 eset képez kivételt, azzal egyezésben, hogy a (0, 0, 1) kitevőhöz tartozó metrika szingularitása nem fizikai.

A használt közelítések érvényességét a (117,2)—(117,3) egyenletek jobb oldalán elhagyott T* komponensek nagyságrendjének becslésével ellenőrizhetjük. Bennük a vezető tagok:

TI - eu%t co -a+p»>, í j - f i o )7"| ~ r-(1+2í»2-í»3)j 7"| ^ su3u3 Cn t~ 1+p3>.

Mindegyikük valóban lassabban növekszik t -► 0 esetén, mint az egyenletek t~2 szerint növekvő bal oldalai.


118. §. A szinguláris ponthoz való közeledés rezgési tartománya

A IX típusú homogén terű világ modellje példáján a metrika oszcilláló jellegű időbeli szingularitását tanulmányozzuk (V . A . Belinszkij, E. M . Lifsic, /. M. Halat- nyikov). A következő szakaszban látni fogjuk, hogy egy ilyen jelleg rendkívül általános jelentőségű.

Bennünket a modellnek a szinguláris pont közelében m utatott viselkedése érdekel (amelyet az időmérés kezdőpontjának választunk, t = 0). Akárcsak a 117.§-ban vizsgált Kasner-féle megoldásban, az anyag jelenléte e viselkedés kvalitatív tulajdonságaiban nem tükröződik, ezért a vizsgálat egyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy az erőtér üres.

Helyettesítsünk a (116,3) mátrixba diagonális rjab(t)-t, diagonális elemei legyenek á 2, &2, c2; a három e (1), e (2), e (3) bázisvektor jele legyen 1, m , n. Ekkor a térmetrikát

y*p = a2ljp + b 2m amp+ <?n*np (118,1)

alakban írhatjuk. A IX típusú tér struktúraállandói:25

C11 = C22 = C33 = 1 (118,2)

(ekkor C 123 = C 2si = C3i2 = 1).

25 Ezeknek az állandóknak a következő bázisvektorok felelnek meg:

1 = (sinjc3, — co s* 3 sinjc1, 0), m = (cos a:3, sin a:3 sin * 1, 0), n = (0, co s* 1, 1).

A koordináták a 0 ^ x 1 ^ ji, 0 ^ *2 ^ 2ti, 0 ^ x3 ^ 4ji intervallumokba eső értékeket futják be. A tér zárt, térfogata:

V — J i y dx1 dx2 dx3 = abc J* sin x 1 dx1 dx2 dx3 = 16ji2abc.

a = b = c esetén ez a tér állandó pozitív görbületű, 2a görbületi sugarú térbe megy át.

9

118. §. A SZINGULÁRIS PONTHOZ VALÓ KÖZELEDÉS REZGÉSI TARTOMÁNYA 499

A (116,26)-ból láthatjuk, hogy ilyen állandók és diagonális rjab esetén a Ricci- tenzor komponensei szinkronizált vonatkoztatási rendszerben zérussá válnak. (116,26) szerint ugyancsak eltűnnek a P(aKb) nemdiagonális elemei is. Az Einstein- egyenletek megmaradó komponensei az a(t% b(t% c(t) függvényekre az alábbi egyenletrendszert ad ják :

(ábcY 1 - . W - c - f - a * ) ] ,

[(ű2- f* )2- n (H8,3)

abc 2 aW c2

(abc)' 1abc 2a-b-c2

(abc)' 1

- + £ + - = 1. (118,4)a b c

[(118,3) az ]R$] = RW = = 0 egyenleteknek, (118,4) az R°0 = 0 egyenletnek felel meg.]

A (118,3)—(118,4)-ben levő időderiváltak egyszerűbb alakúak lesznek, ha az a, b, cfüggvények helyett azok a, /?, y logaritmusait használjuk:

a = ey\ b — e^, c = ey, (118,5)

a t helyett pedig a

dt = abc dr (118,6)

képlettel definiált r változót. Ekkor

2a, r,r = (b2 — c2)2 — Űf4,2 P'Tr = (a2- c 2)2- b \ (118,7)2y>r>r = {a2~ b 2f - c \

— (a + + y ) ,T, T = a T/?.r + a ryfT+/ í fTy,T, (118,8)

ahol a r index r szerinti deriválást jelent. A (118,7) egyenleteket tagonként összeadva és a bal oldalon a második deriváltak összegét (118,8) szerint helyettesítve, azt kapjuk, hogy

a iTp ,T+ x , Ty ,T+ p ,Ty ,T = cl - 2 a W - 2 a 2c2- 2 b 2c2). (11§,9)

Ez az összefüggés csak első deriváltakat tartalmaz, így a (118,7) mozgásegyenletek első integrálját adja.32*

A (118,3) és (118,4) egyenleteket analitikus alakban nem lehet egzaktul megoldani, de a szinguláris pont közelében részletes mennyiségi vizsgálatot tesznek lehetővé.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ha elhagynánk a (118,3) egyenletekben [vagy ami ugyanaz, a (118,7)-ben] a bal oldalakon levő tagokat az egyenletrendszer megoldhatóvá válna, s a megoldás azt adná, hogy

a ~ tPl, b ~ tp™, c ~ tPn, (118,10)

ahol pl9 pm9 pn számok a

P& Pm +Pn — Ph+Pm + Pn ~ 1 (118,1 1)

összefüggésnek tesznek eleget [a homogén görbületien tér Kasner-féle (117,8) megoldásához hasonlóan]. A hatvány kitevőknek növekedési sorrendjük meghatározása nélkül itt a pl9 pm9 pn jeleket adtuk; a 117. § p l9 p29 p3 jelölését pedig arra a p ± < p 2 < < p 3 sorrendben rendezett olyan számhármasra tartjuk fenn, amelyeknek érték- tartományai értelemszerűen a (117,10) intervallumok. Ezek a számok paraméteres előállításban az alábbiak szerint adhatók meg:

/”■<“> = = í” <“> = r (118' l2)

/7i, /?2, /?3 összes különböző értékét (a feltételezett sorrend betartása mellett) akkor kapjuk meg, ha az u paraméter befutja az u ^ 1 tartomány értékeit. Az u < 1 értékek pedig ugyanarra a tartományra vezetnek a

összefüggések szerint.A 25. ábrán a p \9 p 2, P3 paramétereket l/u függvényében ábrázoljuk.

25. ábra

118. §. A ZINGULÁRIS PONTHOZ VALÓ KÖZELEDÉS REZGÉSI TARTOMÁNYA 501

Tételezzük fel, hogy bizonyos időintervallumban a (118,7) egyenletek jobb oldalai ténylegesen kicsik, úgyhogy azokat elhanyagolhatjuk, és a (118,10) Kasner-féle megoldás érvényes. Ez a helyzet azonban nem állhat fenn (t 0 esetén) minden határon túl, mert az említett tagok között mindig vannak növekvőek. így, ha az a{t) függvény hatványkitevője negatív pt = p x < 0, a Kasner-féle megoldás perturbációi az a4 tagok miatt lépnek fel; a többi tag t csökkenésekor csökkenni fog.

A (118,7) jobb oldalain csupán ezeket a tagokat tartva meg, az

« . * . = - 4 e - ,

P .r .» = y .,.r = J « ta (118,14)

egyenletrendszerhez jutunk. A fenti egyenletek megoldásának kell leírnia a metrika „kezdeti” állapotból való fejlődését; a „kezdeti állapotban” a metrikát a (118,10) képletek írják le,26 a kitevők határozott értékeire (miközben p t < 0); legyen p t = p l9 Pm = P2* Pn = P& így

0 = tP\ b = c = tp3.

(Ezekben a kifejezésekben az arányossági tényezőket 1-nek vehetjük az alábbi eredmény általánosságának csorbítása nélkül.) Ezenkívül abc = t9 % = In í+ const, ezért a (118,14) egyenletek kezdeti feltételeit

<*,r=Pl , P , r = P 2 , y , r = P Z

alakban adhatjuk meg.A (118,14) egyenletek közül az első olyan alakú, mint egy exponenciális potenciálfal

terében egyenes vonalú mozgást végző részecske mozgásegyenlete, a a koordináta szerepét játssza. Ennek a hasonlóságnak megfelelően a kezdeti Kasner-féle tarto mánynak az állandó oct T = p 1 sebességű mozgás felel meg. M iután a részecske a falról visszaverődött, ismét szabadon mozog ellentétes előjelű a T = —p 1 sebességgel. Észrevéve azt is, hogy a (118,14) egyenletek szerint

a, T+fi, r = const, a T+ y, 5 = const,

azt kapjuk, hogy /? T és y>T a /? T = p 2+2pl9 T,t = Pz+^Pi értékeket futják be. Ebből a, /?, y-t, majd (118,6) szerint í-t is meghatározva, az adódik, hogy

é?a ~ 6 ~ P l t 9 ~ ^(P2 + 2pi)r g y ^(p3 + 2p i)r 9 £ ^ £>(l+2pi)r^

26 Emlékeztetünk arra, hogy a metrika fejlődését t -*■ 0 esetén vizsgáljuk; ezért a „kezdeti” feltételek a későbbi, nem pedig a korábbi időpontnak felelnek meg.

azaz a ~ tp\ b ~ tPm, c ~ ahol

\P i \ 2 \ P l \ - P i , p% — 2 \P \ | n í 9 1 «J Z . 2 )-p7l’ P " — 1 —2 \ p l | ’ 1 —21/?! | • (H8’15)

Tehát a perturbáció hatására az egyik Kasner-féle „korszak” egy másikkal cserélődik fel, miközben a t negatív hatványa az 1 irányról az m irányra tevődik át: ha p\ < 0 volt, akkor most pm < 0. A felcserélődés folyamatában az a(t) függvénynek maximuma, a Z?(/)-nek minimuma van: az eredetileg csökkenő a(t) függvény nőni, a növekvő b(t) függvény csökkenni kezd, a c(t) függvény pedig folytatja csökkenését. A perturbáció maga [az a4 tagok a (118,7) egyenletekben], amely eredetileg növekedett, csökkenni kezd és kialszik.

A metrika további fejlődése megint perturbáció kifejlődésére, a Kasner-féle kitevők következő váltására vezet, amelyeket a (118,7) egyenletekben a b4 tagok fejeznek ki stb.

A (118,15) kitevők váltásának szabályát előnyös a (118,12) parametrizálás segítségével megadni: ha

P l = P l ( u ) , P m = péu), P n = P s ( u ) ,

akkorp 'l= P 2ÍU - l) , p'm = p 1(u - l% p'n = p z( u - 1). (118,16)

A két pozitív kitevő közül a nagyobbik marad pozitív.A Kasner-féle korszakok egymást követő váltásainak e folyamatából érthetjük meg

igazán, hogy milyen a metrika fejlődésének jellege a szinguláris ponthoz közeledve.A negatív (p \) hatványkitevő I és m irányok közötti áttevődésével járó, egymást

követő (118,16) váltások mindaddig folytatódnak, amíg az u kezdeti értékének egész része el nem fogy, és u 1-nél kisebbé nem válik. Az u < 1 értékek az u > 1 tarto mányba (118,13) szerint transzformálódnak át; ebben a pillanatban a p t vagy a p m kitevő negatív, a p n pedig a két pozitív szám közül a kisebbik (p n = /?2) lesz. A váltások következő sorozatában a negatív kitevő már az n és 1 vagy az n és m irányok között fog egyikről a másikra áttevődni. Tetszőleges (irracionális) kezdeti u érték esetén a váltások folyamata soha nem ér véget.

Az egyenletek pontos megoldásában a p i ,p 2,p s kitevők természetesen elveszítik betű szerinti jelentésüket. Megjegyezzük, hogy a p i9 p 2, P3 számok (s velük együtt az u paraméter) definíciójában e körülmény által behozott bizonyos „szétkenődés”, bármilyen kicsi is, értelmetlenné teszi u értékeinek bármiféle megkülönböztetését (például, hogy u racionális). Éppen ezért csupán azoknak a szabályszerűségeknek van reális jelentésük, amelyek az általános esetben, u tetszőleges irracionális értékei mellett is mutatkoznak.

Ezek szerint a modellnek a szinguláris pont felé történő fejlődési folyamata rezgések egymásra következő sorozatából tevődik össze, amelyek mindegyikének idő

118. §. A SZINGULÁRIS PONTHOZ VALÓ KÖZELEDÉS REZGÉSI TARTOMÁNYA 503

tartam a alatt két térbeli tengely mentén a távolságok oszcillálnak, a harmadik tengely mentén pedig monoton csökkennek; a térfogat t 0 esetén ~ t szerint csökken. Egyik sorozatról a következőre való áttérés esetén az az irány, amelynek mentén a távolságok monoton csökkennek, egyik tengelyről egy másikra vált át. Ezeknek az átmeneteknek a sorrendje aszimptotikusan statisztikus jellegűvé válik. Ugyanilyen jellegre tesz szert a rezgések egymás utáni sorozatai hosszúságának (azaz a „Kasner- féle korszakok” minden egyes sorozatán belül a váltakozó számoknak) cserélődési sorrendje is.27

A rezgések egymás utáni sorozatai a szinguláris ponthoz való közeledés mértékében besűrűsödnek. A t világidő bármely véges időpontja és a t — 0 időpillanat között még végtelen sok rezgési sorozat van. E fejlődés időbeli lefolyásának leírására nem maga a t idő, hanem t logaritmusa, In t bizonyul természetes változónak, amely szerint a szinguláris ponthoz való közeledés teljes folyamata a — -be nyúlik ki.

A levezetett megoldás kiindulási pontjában némiképp leegyszerűsítettük a feladatot, amikor feltételeztük, hogy a (116,13)-ban levő rjab{t) mátrix diagonális. Ha megengedjük, hogy az r)ab mátrixnak nemdiagonális komponensei is legyenek, ezzel a metrika fejlődésének leírt rezgési jellegét és a felcserélődő Kasner-féle korszakok Pi> Pm> Pn kitevői váltásainak (118,16) törvényét nem változtatjuk meg. rjab nem diagonális elemei azonban egy további tulajdonság fellépésére vezetnek; a kitevők cseréjét azoknak a tengelyeknek az irányváltozása kíséri, amelyekre e kitevők vonatkoznak.28

27 Ha az u paraméter „kezdeti” értéke u0 = k0+ x Q (ahol k0 egész szám, x0 pedig kisebb l-nél)r akkor a rezgések első sorozatának hossza &0, a következő sorozat kezdeti u értéke pedig = \/x 0= = kx+ x x stb. Ebből már könnyű levonni azt a következtetést, hogy az egymás utáni sorozatok hosszúságait (irracionális w0 esetén) az

«o = &o+-

k2 ~b kz +

végtelen lánctört k0i k l9 k2, . . . elemeivel adhatjuk meg. Egy ilyen kifejtés távoli elemei értékeinek felcserélése statisztikus törvényszerűségeknek tesz eleget.

28 Ezt és a vizsgált típusú homogén kozmologikus modell viselkedésének egyéb részleteit illetően lásd V. A. Belinszkij, E. M. Lifsic, I. M. Halatnyikov, Uszpehi Fizicseszkih Nauk 102, 463 (1970); Adv. in Physics 19, 525 (1970); ZSETF 60, 1969 (1971).


119. §. Időbeli szingularitás az Einstein-egyenletek általános kozmologikus megoldásában

M int már említettük, az a tény, hogy a világegyetem jelenlegi állapotának leírására a Friedmann-modell alkalmas, önmagában még nem jelenti azt, hogy ugyanúgy alkalmasnak kell lennie a világ fejlődése korai szakaszainak leírására is. Ezzel kapcsolatban mindenekelőtt az a kérdés merül fel, hogy a kozmologikus modelleknek milyen mértékben elkerülhetetlen tulajdonsága az időbeli szingularitás létezése, és mi e tulajdonság kapcsolata a modellek kiindulási pontjaiban tett specifikus egyszerűsítő feltevésekkel (elsősorban a szimmetriákkal). Hangsúlyozzuk, hogy szinguláris ponton fizikai szingularitást értünk, amelyben az anyagsűrűség és a négydimenziós görbületi tenzor invariánsai végtelenné válnak.

A specifikus tulajdonságoktól való függetlenség azt jelentené, hogy a szingularitás fellépte nem csupán az Einstein-egyenletek speciális megoldásainak jellegzetes tulajdonsága, hanem az általános megoldásé is. Az általánosság kritériumát a megoldásban megmaradó, „fizikailag tetszőleges” függvények száma adja. Az általános megoldásban az ilyen függvények számának annyinak kell lennie, amennyi elegendő b ármely kiválasztott időpontban a kezdeti feltételek tetszőleges megadására (4 az üres térre, 8 az anyaggal betöltött térre, lásd a 95. §-t).29

Természetesen lehetetlen megtalálni az egész téridőre az általános megoldást. A feltett kérdés megválaszolásához azonban erre nincs is szükség: elegendő a megoldás alakját a szingularitás közelében tanulmányozni.

A Friedmann-megoldásban levő szingularitásra az jellemző, hogy a térbeli távolságok minden irányban azonos törvény szerint válnak zérussá. Az ilyen típusú szingularitás nem eléggé általános: ilyen szingularitással a megoldásoknak az az osztálya rendelkezik, amely csak három tetszőleges koordinátafüggvényt tartalmaz (lásd a 113.§-hoz tartozó feladatot). Azt is megjegyezzük, hogy ilyen megoldások csak anyaggal kitöltött térre léteznek.

Az előző szakaszban tárgyalt rezgő típusú szingularitás viszont általános jellegű. Az Einstein-egyenletsknek van ilyen szingularitással rendelkező megoldása, amely

29 Már most hangsúlyozzuk azonban, hogy nemlineáris differenciálegyenlet-rendszerre, mint amilyenek maguk az Einstein-egyenletek is, az általános megoldás fogalma nem egyértelmű. Elvileg több olyan általános megoldás létezhet, melyek mindegyike az értelmes kezdeti feltételeknek nem teljes halmazát, hanem annak csupán egy véges részét foglalja magában. Éppen ezért az, hogy van szingularitással rendelkező általános megoldás, még nem jelenti, hogy nincsenek egyéb szingularitás- mentes általános megoldások. Például semmi okunk sincs kételkedni a nem túl nagy tömegű stabil izolált testet leíró, szingularitás nélküli általános megoldás létezésében.

119. §. IDŐBELI SZINGULARITÁS 505

szükséges számú tetszőleges függvényt tartalmaz. Egy ilyen megoldás megkonstruálásának módszerét itt a részletes számítások nélkül, röviden vázoljuk.30

Akárcsak a homogén modellben (118. §), a szingularitáshoz való közeledés rezgési tartom ánya az egymást váltó „Kasner-féle korszakok” váltakozó sorozatából tevődik össze. Minden egyes ilyen korszakban a térbeli metrikus tenzor (szinkronizált vonatkoztatási rendszernél az 1 j t szerinti kifejezés) vezető tagjai (118,1) alakúak lesznek a(118,10)-ből vett a, b, c időtől függő függvényekkel, de az I, m, n vektorok most a térkoordináták tetszőleges függvényei (nem egyértelműen meghatározottak, mint a homogén modellben). Ugyanilyen függvények lesznek (és nem egyszerű számok) a Pi* Pm* Pn kitevők is, amelyek továbbra is kielégítik a (118,11) feltételeket. Az így megszerkesztett metrika vezető tagjai bizonyos véges időintervallumban a vákuumbeli tér R q = 0, RP = 0 egyenleteinek tesz eleget. Az R^ = 0 egyenletek pedig három (időt nem tartalmazó) olyan összefüggésre vezetnek, amelyeket a térkoordináták y ^ - ban szereplő tetszőleges függvényeinek ki kell elégíteniük. Ezek az összefüggések 10 különböző függvényt hoznak kapcsolatba egymással: az 1, m, n három vektor három három komponensét és az idő hatványkitevőinek egy függvényét [bármelyiket a három p h p m,p n függvény közül, amelyeket a (118,11) két feltétel kapcsol össze]. A fizikailag tetszőleges függvények számának meghatározásakor azt is figyelembe kell vennünk, hogy a szinkronizált vonatkoztatási rendszer még a három térkoordináta tetszőleges, időtől azonban független transzformációját engedi meg. Ezért a metrika mindössze 10—3 — 3 = 4 tetszőleges függvényt enged meg — pontosan annyit, amennyinek a vákuumbeli tér általános megoldásában szerepelnie kell.

Egyik Kasner-féle korszaknak egy másikra való cseréje (éppúgy, mint a homogén modellben) azért megy végbe, mert a hat R& = 0 egyenlet közül háromban olyan tagok vannak jelen, amelyek t csökkenésével gyorsabban nőnek, mint a többiek, s így a Kasner-féle korszakot szétromboló perturbáció szerepét játsszák. Ezek az egyenletek az általános esetben alakilag csupán abban különböznek (118,14)-től, hogy bal oldalukon a térkoordinátáktól függő [Író t l/l(mXn)]2 szorzó31 jelenik meg (magától értetődő, hogy a három p t, p m, p n kitevő közül p t a negatív). Mivel azonban a (118,14) egyenletek, az időfüggés szempontjából közönséges differenciálegyenlet-rendszert alkotnak, ez a különbség semmilyen befolyással sincs megoldásukra és a Kasner- féle kitevők váltakozásainak e megoldásból következő (118,16) törvényére, ezzel együtt pedig az összes további, a 118.§-ban kifejtett következményre sem.32

A megoldás ugyanilyen általános marad, ha az anyag létezését is megengedjük:

30 A részletes számítások V. A. Belinszkij, E. M. Lifsic, I. M. Halatnyikov ZSETF, 62, 1606 (1972) cikkében található.

31 Homogén modellben ez a tényező a C11 struktúraállandó négyzetével egyezik meg, és így definíciószerűen állandó.

32 Ha a megoldás tetszőleges függvényeire kirójuk az 1 rot 1 = 0 mellékfeltételt, akkor a rezgések eltűnnek, és a Kasner-féle tartomány egészen a t = 0 pontig folytatódik.


az anyagot a metrikába az általa behozott 4 új koordinátafüggvénnyel „írhatjuk be”, amelyek az anyag sűrűségének és három sebességkomponensének kezdeti eloszlását adják meg. Az anyag T f energia-impulzus-tenzora a téregyenletekbe olyan tagokat hoz be, amelyek 1 jt szerint magasabb rendűek, mint a vezető tagok (ahhoz hasonlóan, ahogyan ezt a 117.§-t követő harmadik feladatban sík homogén modellre megmutattuk).

Tehát az idő szerinti szinguláris pont létezése az Einstein-egyenletek megoldásainak egyik legáltalánosabb tulajdonsága, a szinguláris ponthoz való közeledés tartománya az általános esetben is rezgési jelleggel rendelkezik.33 Hangsúlyozzuk, hogy ez a jellemző tulajdonság az anyag jelenlététől független (és ezért független az anyag állapotegyenletétől is), és már az üres téridő sajátságának tekinthető. Az anyag részvételétől függő, a Friedmann-féle megoldásnak tulajdonított monoton változó, izotrop típusú szingularitás ugyanakkor csupán részleges jelentőségű.

Amikor kozmológiai szempontból beszélünk szingularitásról, olyan szinguláris pontra gondolunk, amelyet az egész tér elér, nem pedig csupán egy korlátos része, mint a véges test gravitációs kollapszusa esetén. A rezgő megoldás általánossága azonban alapot ad arra, hogy feltételezzük: ugyanilyen jellegű az a szingularitás is, amelybe az eseményhorizont alatt, együttmozgó vonatkoztatási rendszerben, a kollapszust szenvedő véges test kerül.

A szinguláris ponthoz való közeledés irányáról végig úgy beszéltünk, mint az időbeli csökkenés irányáról. Figyelembe véve azonban, hogy az Einstein-egyenletek invariánsok az idő előjelének megváltoztatásával szemben, ugyanolyan joggal beszélhetnénk a szingularitáshoz való közeledés irányáról az idő növekedési irányában is. Ténylegesen azonban a jövő és a múlt fizikai inekvivalenciája miatt e két eset között magának a kérdésfelvetésnek a szempontjából lényeges különbség van. A jövőbeli szingularitásnak csupán akkor lehet fizikai értelme, ha azt valamely korábbi időpillanatban adott tetszőleges kezdeti feltételek mellett el lehet érni. Természetesen semmi ok sincs arra, hogy a világegyetem fejlődési folyamatában valamely időpontban elért térgeometriáról és anyageloszlásról azt tételezzük fel, hogy olyan speciális feltételeknek felelnek meg, amelyek az Einstein-egyenletek ilyen vagy olyan partikuláris megoldásának megvalósulásához szükségesek.

A múltbeli szingularitás típusára vonatkozó kérdést aligha lehet általában egyértelműen megválaszolni, csupán a gravitációs egyenletek vizsgálatával. Természetesen felmerül az az elképzelés, hogy a valódi világnak megfelelő megoldás kiválasztása valamilyen mély fizikai elvvel van kapcsolatban, amelyet kizárólagosan a gravitáció

33 Az Einstein-egyenletek általános megoldásában a szinguláris pont létezésének tényét elsőként Penrose mutatta meg (R . Penrose, 1965) topológikus módszerekkel, amelyek azonban nem teszik lehetővé a szingularitás konkrét analitikus jellegének megállapítását. Ezeknek a módszereknek és a segítségükkel kapott tételeknek az összefoglaló tárgyalását illetően lásd R. Penrose, A téridő szerkezete, Mir, 1972. könyvét.

119. §. IDŐBELI SZINGULARITÁS 507

létező elméletének alapjain nem lehet felállítani, és amelyet a fizikai elméletek további szintéziseinek eredményeképpen lehet csak tisztázni. Ebben az értelemben elvileg bebizonyosodhatna, hogy a valódi megoldásnak valamelyik speciális típusú (például izotrop) szingularitás felel meg. De eleve természetesebbnek látszik az a felfogás, hogy a rezgési tartomány jellege miatt éppen ezzel a megoldással kell leírnunk a világ fejlődésének kezdeti szakaszait.

Végül még a következőt kell megjegyeznünk. Maguknak az Einstein-egyenleteknek az alkalmazhatósági tartományát a kicsi távolságok vagy a nagy anyagsűrűségek részéről semmi sem korlátozza abban az értelemben, hogy az egyenletek ebben a határértékben sem vezetnek semmilyen belső ellentmondásra (ellentétben például a klasszikus elektrodinamika egyenleteivel). Ebben az értelemben a téridő-metrika szingularitásainak az Einstein-egyenletek alapján végzett vizsgálata teljesen korrekt. Kétségtelen azonban, hogy az említett határértékben a kvantumos jelenségek lényegessé válnak, de ezekről az elmélet jelenlegi állapotában még semmit sem tudunk mondani. A gravitáció elméletének és a kvantumelméletnek jövőbeli szintézise tisztázhatja csupán azt, hogy a klasszikus elmélet eredményei közül melyeknek marad reális értelmük. Ugyanakkor az is kétségtelen, hogy az Einstein-egyenletek megoldásaiban a szingularitások fellépésének ténye (mind kozmologikus nézőpontból, mind a véges testek gravitációs kollapszusánál) mély fizikai jelentésű. Nem szabad arról sem megfeledkeznünk, hogy a gravitációs kollapszus folyamatában már azoknak a hatalmas sűrűségeknek az elérése is, amelyeknél még semmi okunk sincs kételkedni a gravitáció klasszikus elméletének helyességében, elegendő okot ad arra, hogy fizikailag „szinguláris” jelenségről beszéljünk.

TÁRGYMUTATÓ

adiabatikus invariánsok 80 Airy-függvény 264 asztigmatizmus 183 axiális vektor 34

Babinet-elv 206 Bianchi-azonosság 340— típusú terek 492 Bi ot—Savart-törvény 140

delta-függvény 98 depolarizáció szóráskor 286-----s együttható 164dipól-kölcsönhatás 137 Doppler-effektus 157 driftsebesség 83 duális tenzor 33

eífektív sugárzás 233egyenletesen gyorsuló mozgás 39együttmozgó koordináta-rendszer 373, 393eikonál 175ekvivalencia-elv 293elektromos kvadrupólmomentum 133elliptikus polarizáció 156eltolási áram 105ergoszféra 419eseményhorizont 402, 419extrém relativisztikus állapotegyenlet 120-------határeset 45

fázistér 48 fekete lyuk 403 fékezési sugárzás 233, 245 fényaberráció 27 fénykúp 19

fénynyomás 152 Fermat-elv 177 feszültségi tenzor 111, 113 fókusztávolság 185 forgó folyadék egyensúlya 385

Galilei-féle görbület 341— koordináták 296 Gauss-féle egységrendszer 97 geodetikus vonalak 318 görbület Petrov-féle típusai 343 gravitációs állandó 348— potenciál 294— sugár 387

Hamilton—Jacobi-egyenlet 47, 70 Heaviside-féle egységrendszer 97 hengerszimmetrikus gravitációs tér 394 Hertz-vektor 251 Hubble-állandó 476 hullám fázisa 154-----csomag 176-----vektor 154Huygens-elv 195

idő szinkronizációja 307, 325 időtükrözés 73impulzusmomentum-veszteség sugárzáskor

254, 269, 457 inerciarendszer 11

Kasner-metrika 495 kausztika 179, 197 Kerr-metrika 416 Killing-egyenlet 351, 490 klasszikus elektronsugár 124

510 TÁRGYMUTATÓ

koherencia 164konform euklideszi metrika 392, 463— Galilei-metrika 470 kozmológiai vöröseltolódás 475

Larmor-precesszió 145 lencsék 184 lineáris polarizáció 156 lokálisan geodetikus rendszer 313 Lorentz-erő 72-----kontrakció 25---- mérték 148

mágneses lencsék 187 Maupertuis-elv 75 metrika szignatúrája 297 metrikus tenzor 32, 300 mozgás síkhullám terében 152, 158 mozgáscsoport 487

optikai úthossz 181 oszcillátor mágneses térben 81

pálya évszázados változása 396, 431, 439 Poisson-egyenlet 121 poláris vektor 34 polarizációs tenzor 162 porszerű anyag 373, 466 Poynting-vektor 106pörgettyű precessziója gravitációs térben 440

pszeudoeuklideszi geometria 15 pszeudotenzorok 33

reakcióerő sugárzásnál 250 Ricci-együtthatók 379 ---- tenzor 340

Schwarzschild-metrika 389 sebességtér 56 Stokes-paraméterek 165 struktúraállandók 492 súlyos és tehetetlen tömeg 429

szórás Coulomb-térben 130 szuperpozíció-elv 96

teleszkopikus leképezés 186 tenzor spurja 31-----sűrűség 302-----ok kontrakciója 31térerősség 72 természetes fény 162 térszerű ívhosszak 18 Thomson-hatáskeresztmetszet 284 tömegközéppont 64, 223, 439 tömegrenormálás 123

világidő 322 világpont, világvonal 15 vöröseltolódás 325

Megjegyzés. Ez a tárgymutató kiegészíti a könyv tartalomjegyzékét anélkül, hogy megismételné. Elsősorban azokat a fogalmakat, elnevezéseket soroltuk fel, amelyek a tartalomjegyzék alapján nehezebben lennének megtalálhatók.

TARTALOMJEGYZÉK

A z első és a második kiadás előszavából ........................................................................................... 7

A hatodik kiadás előszavából ............................................................................................................... 8

Néhány je lö lés ......................................................................................................................................... 9

I. FEJEZET. A RELATIVITÁS ELVE

1. §. A kölcsönhatások terjedési sebessége ............................................................................. 112. §. ívh o ssz .................................................................................................................................. 143. §. Sajátidő .............................................................................................................................. 194. §. Lorentz-transzformáció ..................................................................................................... 225. §. Sebességek transzformációja ............................................................................................. 266. §. Négyesvektorok ................................................................................................................ 287. §. Négyessebesség .................................................................................................................. 39

II. FEJEZET. RELATIVISZTIKUS MECHANIKA

8. §. A legkisebb hatás elve ...................................................................................................... 419. §. Energia és impulzus ..................................................... .................................................... 43

10. §. Eloszlásfüggvények transzformációi ............................................................................... 4811. §. Részecskék bomlása ........................................................................................................ 5012. §. Invariáns hatáskeresztmetszet .......................................................................................... 5413. §. Részecskék rugalmas ütközése ......................................................................................... 5714. §. Impulzusmomentum ......................................................................................................... 62

•III. FEJEZET. TÖLTÉS ELEKTROMÁGNESES TÉRBEN

15. §. Elemi részecskék és a relativitáselmélet ......................................................................... 6616. §. Az erőtér négyespotenciálja ................................................................................... .. 6817. §. Töltés mozgásegyenlete elektromágneses térben ................................................... .. 7018. §. Mértékinvariancia ............................................................................................................. 7419. §. Sztatikus elektromágneses tér ........................................................................................... 7520. §. Mozgás homogén elektrosztatikus térben ....................................................................... 7721. §. Mozgás homogén magnetosztatikus térben ................................................................... 78

512 TARTALOMJEGYZÉK

22. §. Töltés mozgása homogén sztatikus elektromos és mágneses térben ............................ 8223. §. Az elektromágneses térerősségtenzor ............................................................................... 8724. §. A térerősség Lorentz-transzformációja ........................................................................... 9025. §. Az erőtér invariáns mennyiségei ..................................................................................... 91

IV. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR EGYENLETEI

26. §. Az első két Maxwell-egyenlet ........................................................................................... 9427. §. Az elektromágneses tér hatásfüggvénye ......................................................................... 9628. §. Négydimenziós áramvektor ......................................................................................... .. • 9829. §. A kontinuitási egyenlet ..................................................................................................... 10030. §. A Maxwell-féle második egyenletpár ............................................................................. 10331. §. Energiasűrűség és energiaáram ......................................................................................... 10632. §. Az energia-impulzus-tenzor ............................................................................................. 10733. §. Az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzora ......................................................... 11234. §. A viriáltétel ........................................................................................................................ 11635. §. Makroszkopikus testek energia-impulzus-tenzora ......................................................... 118

V. FEJEZET. SZTATIKUS ELEKTROMÁGNESES TÉR

36. §. A Coulomb-törvény........................................................................................................... 12137. §. A töltések elektrosztatikus energiája ............................................................................ 122

38. §. Egyenletesen mozgó töltés erőtere ................................................................................... 12539. §. Mozgás Coulomb-térben ................................................................................................... 12840. §. Dipólmomentum ............................................................................................................... 13141. §. Multipólmomentumok ....................................................................................................... 13342. §. Töltésrendszer külső erőtérben ......................................................................................... 13643. §. Sztatikus mágneses tér ....................................................................................................... 13844. §. Mágneses momentum ....................................................................................................... 14045. §. A Larmor-tétel .................................................................................................................... 143

VI. FEJEZET. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK

46. §. A hullámegyenlet ............................................................................................................... 14647. §. Síkhullámok ....................................................................................................................... 14848. §. Monokromatikus síkhullám .............................................................................................. 15449. §. Spektrális felbontás ........................................................................................................... 15950. §. Részlegesen polarizált fény ............................................................................................. 16151. §. Az elektrosztatikus tér felbontása ................................................................................... 16752. §. Az elektromágneses tér sajátrezgései .............................................................................. 169

VII. FEJEZET. A FÉNY TERJEDÉSE

53. §. Geometriai optika ............................................................................................................. 17454. §. Intenzitás ........................................................................................................................... 17855. §. Szögeikonál ....................................................................................................................... 18056. §. Keskeny sugárnyalábok ..................................................................................................... 18257. §. Leképezés széles sugárnyalábokkal ................................................................................. 18958. §. A geometriai optika határai ............................................................................................. 191

TARTALOMJEGYZÉK 513

59. §. Elhajlási jelenségek ............................................................................................................. 19460. §. Fresnel-elhajlás ................................................................................................................. 20061. §. Fraunhofer-elhajlás ........................................................................................................... 204

VIII. FEJEZET. MOZGÓ TÖLTÉSEK ERŐTERE

62. §. Retardált potenciálok ........................................................................................................21063. §. Lienard—Wiechert-potenciálok ........................................................................................21364. §. A retardált potenciálok spektrális felbontása ......................................................... . 21765. §. A Lagrange-függvény a másodrendű tagok figyelembevételével .................................219

IX. FEJEZET. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KISUGÁRZÁSA

66. §. Töltésrendszer erőtere nagy távolságokban ................................................................... .22567. §. Dipólsugárzás ......................................................................................................................22968. §. Dipólsugárzás ütközéskor ................................................................................................23369. §. Kis frekvenciájú fékezési sugárzás ................................................................................. .23670. §. Sugárzás Coulomb-kolcsönhatás esetén ......................................................................... .2387 ]. §. Kvadrupólsugárzás és mágneses dipólsugárzás ............................................................. 24772. §. A sugárzás erőtere a forrástól kis távolságokban ......................................................... ..25073. §. Gyorsan mozgó töltés sugárzása ..................................................................................... ..25574. §. Mágneses fékezési sugárzás .................................................................................................26075. §. A sugárzás visszahatása .......................................................................................................26776. §. A sugárzás visszahatása relativisztikus esetben ........................................................... ..27477. §. A sugárzás spektrális felbontása extrém relativisztikus esetben ...................................27878. §. Fényszórás szabad részecskéken ....................................................................................28379. §. Kis frekvenciájú hullámok szórása ..................................................................................28880. §. Nagy frekvenciájú hullámok szórása ................................................................................290

X. FEJEZET. RÉSZECSKE GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN

81. §. Gravitációs erőterek a newtoni mechanikában ............................................................. ..29382. §. Gravitációs erőtér a relativisztikus mechanikában ....................................................... ..29583. §. Görbevonalú koordináták ...................................................................................................29884. §. Távolságok és időtartamok .................................................................................................30385. §. Kovariáns differenciálás ....................................................................................................30886. §. A Christoffel-szimbólumok és a metrikus tenzor kapcsolata .....................................31487. §. Részecske mozgása gravitációs erőtérben ....................................................................... .31788. §. Állandó gravitációs erőtér ..................................................................................................32289. §. Forgás ................................................................................................................................ .33090. §. Az elektrodinamika egyenletei gravitációs erőtérben ................................................... .331

XI. FEJEZET. A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉR EGYENLETEI

91. §. A görbületi tenzor ..............................................................................................................33592. §. A görbületi tenzor tulajdonságai ......................................................................................33993. §. A gravitációs erőtér hatásintegrálja ..................................................................................34694. §. Energia-impulzus-tenzor ....................................................................................................35095. §. Az Einstein-egyenletek ........................................................................................................355

33 Elméleti fizika II. - 42221/II.

514 TARTALOMJEGYZÉK

96. §. A gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora ................................................... .. 36397. §. Szinkronizált vonatkoztatási rendszer ............................................................................. 37098. §. Az Einstein-egyenletek négyláb-ábrázolása ................................................................. . 377

XII. FEJEZET. GRAVITÁLÓ TESTEK ERŐTERE

99. §. A Newton-törvény ............................................................................................................ 381100. §. Gömbszimmetrikus gravitációs erőtér ........................................................................... 386101. §. Mozgás gömbszimmetrikus gravitációs erőtérben ......................................................... 395102. §. Gömbszimmetrikus test gravitációs kollapszusa ........................................................... 399103. §. Porgömb gravitációs kollapszusa ................................................................................... 408104. §. Nem gömbszimmetrikus és forgó testek gravitációs kollapszusa ................................ 413105. §. Gravitációs erőtér a testektől távol ............................................................................... 423106. §. Részecskerendszerek mozgásegyenletei második közelítésben ..................................... 432

XIII. FEJEZET. GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK

107. §. Gyenge gravitációs hullámok ......................................................................................... 442108. §. Gravitációs hullámok görbült téridőben ....................................................................... 445109. §. Erős gravitációs hullám ok................................................................................................. 448.110. §. Gravitációs hullámok kisugárzása................................................................................... 452

XIV. FEJEZET. RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA

111. §. Izotrop tér ........................................................................................................................ 458112. §. Zárt izotrop modell ...........................................................................................................463113. §. Nyílt izotrop m odell........................................................................................................... 468114. §. Vöröseltolódás .................................................................................................................. 472115. §. Izotrop világ gravitációs stabilitása ................................................................................ 480*116. §. Homogén terek ................................................................................................................. 487117. §. Sík anizotrop modell ....................................................................................................... 494

118. §. A szinguláris ponthoz való közeledés rezgési tartománya.............................................49&119. §. Időbeli szingularitás az Einstein-egyenletek általános kozmologikus megoldásában 504

lev landau elmeleti fizika ii

Documents