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高等教育“十一五”规划教材

高职高专公共课教材系列

应用微积分学习辅导

（下册）

刘春凤 　主 　编

马醒花 　杨爱民 　副主编

彭亚绵 　阎少宏 　刘琳琳 　袁淑娟 　纪 　楠 　参 　编

北 　京

内 　容 　简 　介

本书是 枟应用微积分枠 （刘春凤主编 ，科学出版社） 的配套学习辅导教材 ，与主教材 枟应用微积分枠 内容协调一致 ．本书考虑到读者在学习过程中可能遇到的困难与实际需要 ，首先给出每章的知识网络图和知识卡片 ；继之进行典型例题的选讲和主教材习题选解 ；最后还附有自测题和相关知识的数学实验 ，以期成为读者学习 枟应用微积分枠 的得力助手 ．

本书可作为成人教育和高职高专学生教材使用 ，也可作为相关人员参考用书 ．

　图书在版编目（（（（CIP）））） 数据

　应用微积分学习辅导 （下册） ／刘春凤主编 ． —北京 ：科学出版社 ，２０１０畅２　 （高等教育 “十一五” 规划教材 ·高职高专公共课教材系列）　 ISBN ９７８唱７唱０３唱０２６８２３唱５

　 Ⅰ畅 ①应 … 　 Ⅱ畅 ①刘 … 　 Ⅲ畅 ①微积分 高等学校 ：技术学校 教学参考

资料 　 Ⅳ畅 ① O１７２　中国版本图书馆 CIP数据核字 （２０１０） 第 ０２７７９９号

责任编辑 ：沈力匀 　张 　斌／责任校对 ：赵 　燕责任印制 ：吕春珉／封面设计 ：耕者设计工作室

出版北京东黄城根北街 １６ 号

邮政编码 ： １００７１７

h t tp ：／／ w w w ．sciencep ．com　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 印刷科学出版社发行 　 各地新华书店经销

倡

２０１０ 年 ２ 月第 一 版

２０１０ 年 ２ 月第一次印刷

印数 ： １ — ３ ０００

　 　

开本 ： ７８７ × １０９２ 　 １／１６

印张 ： ７ １／４

字数 ： １７２ ０００

定价 ： 14畅00元（如有印装质量问题 ，我社负责调换 枙 　 　 枛）

销售部电话 ０１０唱６２１３４９８８ 　 　 编辑部电话 ０１０唱６２１３５２３５ （VP０４）版权所有 ，侵权必究

举报电话 ： ０１０唱６４０３０２２９ ； ０１０唱６４０３４３１５ ； １３５０１１５１３０３

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编 　 委 　 会

主 　任 　刘保相

副主任 　金殿川

编 　委 　刘春凤 　万星火 　肖继先 　张春英

　 　 　 　徐秀娟 　魏明军 　阎红灿 　李丽红

前 　 　言

本书是 枟应用微积分枠 （刘春凤主编 ， 科学出版社） 的配套学习辅导教材 ， 专门为成人高等教育和大中专学生学习而编写 ．

本书遵循教育部微积分课程教学基本要求 ，力求适合素质教育 ，培养学生的创新精神 、应用意识 ，使学生系统地获得高等数学的主要基本知识 ，掌握微积分必要的基础理论和常用的计算方法 ，培养学生的抽象概括问题的能力 、自学能力 、较熟练的综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力 ，为学生学习后续课程和进一步获得专业知识奠定必要的数学基础 ．

本书与主教材 枟应用微积分枠 协调一致 ，内容充实 ，题型全面 ，每章首先给出知识网络图和知识卡片 ；继之进行典型例题的选讲 、主教材习题选解 ；最后还附有自测题和相关知识的数学实验 ，以期成为读者学习 枟应用微积分枠 的得力助手 ．

本书编写组成员均为长期工作在教学一线的教师 ，其中多数教师为省精品课 枟高等数学枠 课程组成员 ，对大学基础数学的特点和规律有较深入地了解 ．本书结构框架由主编刘春凤完成 ，上册审稿和定稿由副主编米翠兰 、阎少宏负责 ，下册审稿和定稿由副主编马醒花 、杨爱民负责 ， 参加全书编写的有彭亚绵 、 徐志元 、 梁彦冰 、 刘琳琳 、 袁书娟 、纪楠 ．本书的出版 ，得到河北理工大学教材指导委员会的关心与指导 ；以及科学出版社的支持与协作和河北理工大学基础数学系全体教师的关注与建议 ，在此一并表示衷心的感谢 ．

由于水平有限 ，书中谬误之处恳请广大读者批评指正 ，以期不断修改完善 ．

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目 　 　录

第 7章 　空间解析几何与向量代数 １…………………………………………………………………

　 　 ７畅１ 　知识网络图 １……………………………………………………………………………………

　 　 ７畅２ 　知识卡片 １………………………………………………………………………………………

　 　 ７畅３ 　典型例题 ４………………………………………………………………………………………

　 　 ７畅４ 　习题详解 １２………………………………………………………………………………………

　 　 ７畅５ 　自测题及参考答案 ２４…………………………………………………………………………

　 　 ７畅６ 　数学实验 ２６………………………………………………………………………………………

第 8章 　无穷级数 ３６………………………………………………………………………………………

　 　 ８畅１ 　知识网络图 ３６…………………………………………………………………………………

　 　 ８畅２ 　知识卡片 ３６………………………………………………………………………………………

　 　 ８畅３ 　典型例题 ３９………………………………………………………………………………………

　 　 ８畅４ 　习题详解 ４５………………………………………………………………………………………

　 　 ８畅５ 　自测题 ５２…………………………………………………………………………………………

　 　 ８畅６ 　数学实验 ５５………………………………………………………………………………………

第 9章 　常微分方程 ６２……………………………………………………………………………………

　 　 ９畅１ 　知识网络图 ６２…………………………………………………………………………………

　 　 ９畅２ 　知识卡片 ６２………………………………………………………………………………………

　 　 ９畅３ 　典型例题 ６３………………………………………………………………………………………

　 　 ９畅４ 　习题详解 ７２………………………………………………………………………………………

　 　 ９畅５ 　自测题及参考答案 ８４…………………………………………………………………………

　 　 ９畅６ 　数学实验 ８６………………………………………………………………………………………

附录 　模拟试题 ９２…………………………………………………………………………………………

主要参考文献 １０５……………………………………………………………………………………………

第 7章 　空间解析几何与向量代数

７畅１ 　知识网络图

７畅２ 　知 识 卡 片7畅2畅1 　向量代数

１畅 向量加法

（１）交换律 　 a匙 ＋ b匙

＝ b匙

＋ a匙 ；

（２）结合律 　 （a匙 ＋ b匙

） ＋ c匙 ＝ a匙 ＋ （b匙

＋ c匙 ） ．

２畅 数与向量乘积

（１）结合律 　 λ（μa匙 ） ＝ μ（λa匙 ） ＝ （λμ）a匙 ；（２）分配律 　 （λ ＋ μ）a匙 ＝ λa匙 ＋ μa匙 ；

λ（a匙 ＋ b匙

） ＝ λa匙 ＋ λ b匙

．

其中 ，λ ，μ均为实数 ．

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３畅 向量的模与两点间的距离公式

R３ 空间上的两点 P１ （ x１ ，y１ ，z１ ） ，P２ （ x２ ，y２ ，z２ ）间的距离为

P１ P２ ＝ P１ P２

— ——— 匙

＝ （ x２ － x１ ）２ ＋ （ y２ － y１ ）２ ＋ （ z２ － z１ ）２ ．

４畅 方向余弦

向量 a匙 ＝ ｛ x ，y ，z｝与三个坐标轴正方向之间的夹角为 α ，β，γ ．

cosα ＝ xx２ ＋ y２ ＋ z２

＝ xa匙 ；

cosβ ＝ yx２ ＋ y２ ＋ z２

＝ ya匙 ；

cosγ ＝ zx２ ＋ y２ ＋ z２

＝ za匙 ．

５畅 数量积

a匙 · b匙

＝ a匙 · b匙 cosθ．

数量积具有下列运算规律 ：

（１）交换律 　 a匙 · b匙

＝ b匙

· a匙 ；

（２）分配律 　 a匙 · （b匙

＋ c匙 ） ＝ a匙 · b匙

＋ a匙 · c匙 ；

（３）结合律 　 （λa匙 ） · b匙

＝ λ（a匙 · b匙

） ＝ a匙 · （λb匙

） ；

（λa匙 ） · （μb匙

） ＝ λμ（a匙 · b匙

） ．

６畅 向量积

a匙 × b匙

＝i匙

j匙

k匙

ax a y a zbx b y b z

；

向量积满足下列运算规律 ：

（１）a匙 × b匙

＝ － b匙

× a匙 ；

（２）a匙 × （b匙

＋ c匙 ） ＝ a匙 × b匙

＋ a匙 × c匙 ；（b匙

＋ c匙 ） × a匙 ＝ b匙

× a匙 ＋ c匙 × a匙 ；

（３）（λa匙 ） × b匙

＝ λ（a匙 × b匙

） ＝ a匙 × （λb匙

） ．

7畅2畅2 　空间解析几何

１畅 平面方程

（１）点法式方程 ：A（ x － x０ ） ＋ B（ y － y０ ） ＋ C（ z － z０ ） ＝ ０ ；

·２· 应用微积分学习辅导（下册）

（２）截距式方程 ： xa ＋ yb ＋ zc ＝ １ ；

（３）一般式方程 ：A x ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ ０ 　 （ A２ ＋ B２ ＋ C２ ≠ ０） ．

２畅 直线方程

（１）对称式方程 ： x － x０m ＝ y － y０n ＝ z － z０p ；

（２）一般式方程 ：A１ x ＋ B１ y ＋ C１ z ＋ D１ ＝ ０A２ x ＋ B２ y ＋ C２ z ＋ D２ ＝ ０

　 （其中 A１ ，B１ ，C１ 与 A２ ，B２ ，C２ 不对应

成比例） ；

（３）参数式方程 ：x ＝ x０ ＋ mty ＝ y０ ＋ nt （ t为参数）z ＝ z０ ＋ p t

．

３畅 两平面夹角 、垂直 、平行

两平面夹角 cosθ＝ ｜n匙 １ · n匙 ２ ｜｜n匙 １ ｜｜n匙 ２ ｜ ＝ ｜ A１ A２ ＋ B１ B２ ＋ C１ C２ ｜

A２１ ＋ B２１ ＋ C２

１ · A２２ ＋ B２２ ＋ C２

２

；

两平面垂直 骋 n匙 １ · n匙 ２ ＝ ０ 骋 A１ A２ ＋ B１ B２ ＋ C１ C２ ＝ ０ ；

两平面平行 骋 n匙 １ × n匙 ２ ＝ ０匙骋 A１A２ ＝ B１

B２＝ C１C２ ．

４畅 两直线夹角 、垂直 、平行

两直线夹角 cosθ＝ v匙 １ · v匙 ２

｜ v匙 １ ｜ · ｜ v匙 ２ ｜ ＝ m１ m２ ＋ n１ n２ ＋ p１ p２m２

１ ＋ n２１ ＋ p２１ · m２２ ＋ n２２ ＋ p２２

；

两直线垂直 骋 v匙 １ · v匙 ２ ＝ ０ 骋 m１ m２ ＋ n１ n２ ＋ p１ p２ ；

两直线平行 骋 v匙 １ × v匙 ２ ＝ ０匙骋 m１

m２＝ n１n２ ＝ p１p２ ．

５畅 直线与平面夹角 、垂直 、平行

直线与平面夹角 sinθ＝ ｜ Am ＋ Bn ＋ Cp｜A２ ＋ B２ ＋ C２ · m２ ＋ n２ ＋ p２

；

直线与平面垂直 骋 v匙 × n匙 ＝ ０匙骋 Am ＝ Bn ＝ Cp ；

直线与平面平行 骋 v匙 · n匙 ＝ ０ 骋 Am ＋ Bn ＋ Cp ＝ ０ ．

６畅 点 P（ x０ ，y０ ，z０ ）到平面 π ： Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ ０的距离公式

d ＝ | Ax０ ＋ By０ ＋ Cz０ ＋ D |A２ ＋ B２ ＋ C２

．

·３·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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７畅 曲面方程

F（ x ，y ，z） ＝ ０ ．

几种常见的曲面及其直角方程

椭球面 ： x２

a２ ＋ y２

b２ ＋ z２

c２ ＝ １ ；　 　 　 　 　单叶双曲面 ： x２

a２ ＋ y２

b２ － z２

c２ ＝ １ ；

双叶双曲面 ： x２

a２ ＋ y２

b２ － z２

c２ ＝ － １ ； 椭圆抛物面 ： z ＝ x２

a２ ＋ y２

b２ ；

双曲抛物面 ： z ＝ x２

a２ － y２

b２ ； 二次锥面 ： x２

a２ ＋ y２

b２ ＝ zc２

２

．

７畅３ 　典 型 例 题

第一部分 　向 量 代 数引入空间直角坐标系之后 ，有以下的一一对应关系 ：

三维数组 ← →空间点 ← →向径由此 ，空间中的点就可以由它的坐标（三维有序数组）表示 ，也可以由起点在原点的向

量（向径）表示 ，这样就建立起了向量和三维有序数组的关系 ，即向量的坐标 ，从而把向量的运算转化为坐标的代数运算 ．

题型一 　向量概念的相关问题

【例 7畅1】 　向量OM——— 匙

与 x轴成 ４５° ，与 y轴成 ６０° ，它的模为 ６ ，它在 z轴上的坐标是负

的 ，求向量OM——— 匙

的各个坐标 ，与OM——— 匙

方向一致的单位向量 ．

解 　设向量 OM——— 匙

的单位向量为 a匙 ，又设 OM——— 匙

对应的方向余弦为 cosα ，cosβ，cosγ ，则a匙 ＝ ｛cosα ，cosβ，cosγ｝ ，并且

cosα ＝ cos４５° ＝ ２２ ，　 cosβ ＝ cos６０° ＝ １

２ ．

由 cos２ α ＋ cos２ β＋ cos２ γ ＝ １ ，得到 cos２ γ ＝ １４ ，又因为OM

——— 匙

在 z轴上的坐标是负的 ，所以

cosγ ＜ ０ ，因此 cosγ ＝ － １２ ．

所以 ，与OM——— 匙

方向一致的单位向量为 ２２ ，１２ ，－ １

２，并且OM

——— 匙

＝ ６ · ２２ ，１２ ，－ １

２＝

｛３ ２ ，３ ，－ ３｝ ，OM——— 匙

在 x轴 、y轴和在 z 轴上的分量分别是 ３ ２ ，３ ，－ ３ ．

·４· 应用微积分学习辅导（下册）

题型二 　向量的运算

１畅 线性运算

【例 7畅2】 　 设 a匙 ＝ ｛２ ，１ ，０｝ ，b匙 ＝ ｛ － １ ，１ ，３｝ 畅 设 x匙 ，y匙 为未知向量 ，解方程组５ x匙 － ３ y匙 ＝ a匙

３ x匙 － ２ y匙 ＝ b匙畅

解 　如同解以实数为未知元的线性方程组一样 ，可解得x匙 ＝ ２a匙 － ３b匙 ，　 y匙 ＝ ３a匙 － ５b匙 ．

以 a匙 ，b匙 的坐标代入 ，可得x匙 ＝ ２｛２ ，１ ，０｝ － ３｛ － １ ，１ ， － ３｝ ＝ ｛７ ， － １ ，９｝ ，

y匙 ＝ ３｛２ ，１ ，０｝ － ５｛ － １ ，１ ， － ３｝ ＝ ｛１１ ， － ２ ，１５｝畅

２畅 向量与向量的数量积 、向量积

解题思路 　向量的数量积 、向量积的计算主要应用于讨论两向量相互垂直 、平等 、重合 、夹角等问题 ．

【例 7畅3】 　求由 A（１ ，１ ，１） ，B（３ ，０ ，２）和 C（ － ２ ，２ ，－ １）确定的三角形 ABC的面积 ．

解 　 ∵ AB———匙

＝ ｛２ ，－ １ ，２｝ ，AC———匙

＝ ｛ － ３ ，１ ，２｝

AB———匙

× AC———匙

＝i匙

j匙

k匙

２ － １ １

－ ３ １ － ２

＝ i匙

＋ j匙

－ k匙

；

AB———匙

× AC———匙

＝ １２ ＋ １２ ＋ （ － １）２ ＝ ３ ；

∴ 所求三角形 ABC的面积为 S ＝ １２ AB

———匙

× AC———匙

＝ ３２ ．

【例 7畅4】 　已知三角形三个顶点的坐标是 A（ － １ ，２ ，３） ，B（１ ，１ ，１） ，C（０ ，０ ，５） ，试证明

三角形 ABC是直角三角形 ，并求角 B ．

解 　 B A———匙

＝ ｛ － ２ ，１ ，２｝ ，CA———匙

＝ ｛ － １ ，２ ，－ ２｝ ，BC———匙

＝ ｛ － １ ，－ １ ，４｝ ；

又 BA———匙

· CA———匙

＝ （ － ２） × （ － １） ＋ １ × ２ ＋ ２ × （ － ２） ＝ ０ ；

∴ BA———匙

⊥ CA———匙

；

从而三角形 ABC为直角三角形 ．

cos ∠ B ＝ BA———匙

· BC———匙

| BA———匙

| · | BC———匙

|＝ ２ － １ ＋ ８

４ ＋ １ ＋ ４ · １ ＋ １ ＋ １６＝ ２

２

∠ B ＝ π４ ．

·５·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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【例 7畅5】 　设（a匙 ＋ ３b匙

）与（７a匙 － ５b匙

）垂直 ，（a匙 － ４b匙

）与（７a匙 － ２b匙

）垂直 ，求 a匙 与 b匙

之间的

夹角 ．

解 　 ∵ （a匙 ＋ ３b匙

） ⊥ （７a匙 － ５b匙

） ；

∴ （a匙 ＋ ３b匙

） · （７a匙 － ５b匙

） ＝ ０ ；

即 ７｜a匙 ｜２ － １５｜b匙

｜２ ＋ １６a匙 · b匙

＝ ０ ； （７唱１）又（a匙 － ４b

匙

） ⊥ （７a匙 － ２b匙

） ，即（a匙 － ４b匙

） · （７a匙 － ２b匙

） ＝ ０ ；

即 ７｜a匙 ｜２ ＋ ８｜b匙

｜２ － ３０a匙 · b匙

＝ ０ ； （７唱２）

联立式（７唱１） 、式（７唱２）得

| a匙 | ２ ＝ | b匙

| ２ ＝ ２a匙 · b匙

；

所以cos枙a匙 ，b匙

枛 ＝ a匙 · b匙

｜a匙 ｜ · ｜b匙

｜＝ １

２ ；

枙a匙 ，b匙

枛 ＝ π３ ．

【例 7畅6】 　设 a匙 ＝ ｛１ ，４ ，５｝ ，b匙

＝ ｛１ ，１ ，２｝ ，求 λ使（a匙 ＋ λb匙

）垂直于（a匙 － λb匙

） ．

解法一 　

欲使（a匙 ＋ λb匙

） ⊥ （a匙 － λb匙

） ，则应有

（a匙 ＋ λb匙

） · （a匙 － λb匙

） ＝ ０ ，即 a匙 ２ － λ２ b匙 ２ ＝ ０ ；

λ２ ＝ a匙 ２

b匙 ２

＝ ７ ；

故 λ ＝ ± ７ ．解法二 　

∵a匙 ＋ λb

匙

＝ ｛１ ＋ λ ，４ ＋ λ ，５ ＋ ２λ｝ ；

a匙 － λb匙

＝ ｛１ － λ ，４ － λ ，５ － ２λ｝ ；

又 ∵ （a匙 ＋ λb匙

） ⊥ （a匙 － λb匙

） ，即（a匙 ＋ λb匙

） · （a匙 － λb匙

） ＝ ０ ；（１ － λ２ ） ＋ （１６ － λ２ ） ＋ （２５ － ４λ２ ） ＝ ０ ；

解得 λ ＝ ± ７ ．【例 7畅7】 　设 a匙 与 b匙 互相垂直 ， a匙 ＝ ５ ， b匙 ＝ １２ ，试求 a匙 ＋ b匙 ＋ a匙 － b匙 畅解 　 ∵ a匙 ⊥ b匙 ， a匙 ＝ ５ ， b匙 ＝ １２

a匙 ＋ b匙 ２ ＝ a匙 ２ ＋ b匙 ２ ＝ ５２ ＋ １２２ ＝ １３２ ，则 a匙 ＋ b匙 ＝ １３同理 a匙 － b匙 ＝ １３ ；

a匙 ＋ b匙 ＋ a匙 － b匙 ＝ ２６畅

第二部分 　空间解析几何题型一 　求平面方程

解题思路 　 （１）如果已知平面上的点（ x０ ，y０ ，z０ ）和平面的法向量 n匙 ＝ ｛ A ，B ，C｝ ，用点

·６· 应用微积分学习辅导（下册）

法式方程 A（ x － x０ ） ＋ B（ y － y０ ） ＋ C（ z － z０ ） ＝ ０ ；

（２）如果已知平面在三个坐标轴上的截距 a ，b ，c ，用截距式方程 xa ＋ yb ＋ zc ＝ １ ；

（３）如果已知平面具有某种特殊位置 ，比如平行于坐标轴 、经过坐标轴 、或者经过原点等情况 ，见表 ７畅１ ，用一般方程 A x ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ ０ ．

表 7畅1位置 系数取值 平面方程

过点 过原点 D ＝ ０ A x ＋ B y ＋ C z ＝ ０

平行于坐标轴

（过坐标轴）

平行于 x 轴 A ＝ ０ ，D ≠ ０ B y ＋ C z ＋ D ＝ ０

过 x 轴 A ＝ ０ ，D ＝ ０ B y ＋ C z ＝ ０

平行于 y轴 B ＝ ０ ，D ≠ ０ A x ＋ C z ＋ D ＝ ０

过 y 轴 B ＝ ０ ，D ＝ ０ A x ＋ C z ＝ ０

平行于 z 轴 C ＝ ０ ，D ≠ ０ A x ＋ B y ＋ D ＝ ０

过 z 轴 C ＝ ０ ，D ＝ ０ A x ＋ B y ＝ ０

平行于坐标面

（过坐标面）

平行于 xO y面 A ＝ B ＝ ０ C z ＋ D ＝ ０

与 xOy 面重合 A ＝ B ＝ D ＝ ０ z ＝ ０

平行于 yO z 面 B ＝ C ＝ ０ A x ＋ D ＝ ０

与 yO z 面重合 B ＝ C ＝ D ＝ ０ x ＝ ０

平行于 zO x 面 A ＝ C ＝ ０ B y ＋ D ＝ ０

与 zO x 面重合 A ＝ C ＝ D ＝ ０ y ＝ ０

【例 7畅8】 　求经过（１ ，１ ，１）且与平面 π１ ∶ x － y ＋ z ＝ ７和 π２ ∶ ３ x ＋ ２ y － １２ z ＋ ５ ＝ ０ 垂直的平面方程 ．

解 　所求平面的法向量 n匙 与平面 π１ ，π２ 的法向量均垂直 ，因此有

n匙 ＝i匙

j匙

k匙

１ － １ １３ ２ － １２

＝ １０ i匙

＋ １５ j匙

＋ ５ k匙

；

利用点法式方程 ，所求平面方程为 ２（ x － １） ＋ ３（ y － １） ＋ （ z － １） ＝ ０ ，即２ x ＋ ３ y ＋ z － ６ ＝ ０ ．

【例 7畅9】 　求过原点及点（６ ，－ ３ ，２） ，且与平面 ４ x － y ＋ ２ z ＝ ８垂直的平面方程 ．解 　设过原点的平面方程为 A x ＋ By ＋ Cz ＝ ０法向量 n匙 １ ＝ ｛ A ，B ，C｝ ；

平面 ４ x － y ＋ ２ z ＝ ８的法向量为 n匙 ２ ＝ ｛４ ，－ １ ，２｝ ；

由题意得４ A － B ＋ ２C ＝ ０６ A － ３B ＋ ２C ＝ ０

，得 A ＝ B ＝ － ２３ C ，代入平面方程 A x ＋ By ＋ Cz ＝ ０得

２ x ＋ ２ y － ３ z ＝ ０ ．

·７·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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题型二 　求直线方程 、两直线的夹角以及直线与平面的夹角

１畅 求直线方程

解题思路 　 （１）对称式方程 ：如果已知直线过一点 A（ x０ ，y０ ，z０ ）和直线的方向向量

l匙

＝ ｛m ，n ，p｝ ，可利用对称式方程 x － x０m ＝ y － y０n ＝ z － z０p ；

（２）一般式方程 ：如果已知过直线的两个平面 π１ ∶ A１ x ＋ B１ y ＋ C１ z ＋ D１ ＝ ０ 和

π２ ∶ A２ x ＋ B２ y ＋ C２ z ＋ D２ ＝ ０ 则直线方程可以表示为A１ x ＋ B１ y ＋ C１ z ＋ D１ ＝ ０

A２ x ＋ B２ y ＋ C２ z ＋ D２ ＝ ０；

（３）参数式方程 ：由对称式方程 x － x０m ＝ y － y０n ＝ z － z０p 引入参数 t ，令x － x０m ＝ y － y０n ＝

z － z０p ＝ t ，可得到直线的参数式方程

x ＝ x０ ＋ mty ＝ y０ ＋ nt ， t为参数z ＝ z０ ＋ p t

．

一般情况下 ，题目中涉及点的坐标的时候 ，习惯上利用参数式方程 ，只需要确定出参数 t即可 ．

【例 7畅10】 　求过点（ － １ ，２ ，３） ，垂直于直线 x４ ＝ y５ ＝ z６ 且平行于平面 ７ x ＋ ８ y ＋ ９ z ＋

１０ ＝ ０的直线方程 ．

解 　设所求的直线的方向向量为 l匙

＝ ｛m ，n ，p｝ ，依题意有｛m ，n ，p｝ · ｛４ ，５ ，６｝ ＝ ０ ，｛m ，n ，p｝ · ｛７ ，８ ，９｝ ＝ ０ ；

即４m ＋ ５n ＋ ６ p ＝ ０７m ＋ ８n ＋ ９ p ＝ ０

；

解得 m ＝ t ，n ＝ － ２ t ，p ＝ t ，从而所求的直线方程为x ＋ １１ ＝ y － ２

－ ２ ＝ z － ３１ ．

【例 7畅11】 　求过点 P（１ ，１ ，１）且与直线 L ∶ x２ ＝ y１ ＝ z ＋ ２－ ３ 垂直相交的直线方程 ．

分析 　此题给出点 ，需要找到直线的方向向量 ，即可得到直线的对称式方程 ．题目中给出的是与所求直线垂直的一条直线 ，而空间中与 L垂直的直线有无数多条 ，因此 ，可以先确定一个过 P点且与 L 垂直的平面 ，所求直线必在这个平面上 ，此平面与 L有一个交点 ，记为 N ，由 P ，N可得到所求直线的对称式方程 ．

解 　过 P且垂直于 L 的平面 π的方程为２（ x － １） ＋ （ y － １） － ３（ z － １） ＝ ０即 ２ x ＋ y － ３ z ＝ ０

设 π 与 L 的交点为 N （ x０ ， y０ ， z０ ） ，为求 N 点的坐标 ，由 L 的参数方程 ，设

·８· 应用微积分学习辅导（下册）

x０ ＝ ２ ty０ ＝ tz０ ＝ － ３ t － ２

，代入 π的方程 ，得 t ＝ － ３７ ，相应的有 x０ ＝ － ６

７ ，y０ ＝ － ３７ ，z０ ＝ － ５

７ ，由此

得到直线上的两点 N － ６７ ，－ ３

７ ，－ ５７ 和 P（１ ，１ ，１） ，直线的方向向量 v匙 ＝ NP

———匙

＝

１３７ ，１０７ ，１２７ ，直线的对称式方程为

x － １１３７

＝ y － １１０７

＝ z － １１２７

化简得 x － １１３ ＝ y － １

１０ ＝ z － １１２ 畅

２畅 求两直线的夹角以及直线与平面的夹角

解题思路 　直接利用两直线的夹角公式以及直线与平面的夹角公式求出即可 ．注意直线与平面夹角公式中利用的是直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦 ．

【例 7畅12】 　 （１）求两直线 x － １１ ＝ y － ５

－ ２ ＝ z ＋ ８１ 与 x － ６

１ ＝ y１ ＝ z － ３

－ ２ 的夹角 ；

（２）求两平面 x ＋ z － ２ ＝ ０ ，x ＋ y ＋ ３ ＝ ０的夹角 ．解 　 （１）两直线的方向向量分别为 ｛１ ， － ２ ，１｝与 ｛１ ，１ ， － ２｝

则 cosθ ＝ | １ × １ ＋ （ － ２） × １ ＋ １ × （ － ２） |１２ ＋ （ － ２）２ ＋ １２ １２ ＋ １２ ＋ （ － ２）２

＝ １２ ，夹角为 π

３ ；

（２）两平面的法向量分别为 ｛１ ，０ ，１｝ ，｛１ ，１ ，０｝ ，

则 cosθ ＝ １ × １ ＋ ０ × １ ＋ １ × ０１２ ＋ ０２ ＋ １２ １２ ＋ １２ ＋ ０２

＝ １２ ，夹角为 π

３ 畅

【例 7畅13】 　设有直线 L ∶x ＋ ３ y ＋ ２ z ＋ １ ＝ ０２ x － y － １０ z ＋ ３ ＝ ０

及平面 π ∶ ４ x － ２ y ＋ z － ２ ＝ ０ ，则直线

L（ 　 　 ） ．（A）平行于 π ；　 　 　 　 （B）在 π上 ；　 　 　 　 （C）垂直于 π ；　 　 　 　 （D）与 π 斜交 ．

分析 　直线 L的方向向量为 v匙 ＝i匙

j匙

k匙

１ ３ ２２ － １ － １０

＝ ｛ － ２８ ，１４ ，－ ７｝ ，平面 π 的法向

量为 n匙 ＝ ｛４ ，－ ２ ，１｝ ；因此选（C） ．

题型三 　直线与平面综合问题

由于直线可以看成是两个平面的交线 ，而两条平行或者相交的直线又可以确定一个平面 ，另外已知一条直线和线外的一点也可以确定一个平面等 ，所以 ，就产生了有关直线

·９·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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和平面的综合问题 ．

【例 7畅14 】 　 过 点 M （ １ ，２ ， － １ ） 且 与 直 线x ＝ － t ＋ ２y ＝ ３ t － ４z ＝ t － １

垂 直 的 平 面 方 程

为 ．分析 　直线的方向向量为｛ － １ ，３ ，１｝ ，即为平面的法向量 ，由于平面过点 M（１ ，２ ，－ １） ；由平面的点法式方程得所求平面为 － （ x － １） ＋ ３（ y － ２） ＋ （ z ＋ １） ＝ ０ ；即 x － ３ y － z ＋ ４ ＝ ０ ．

【例 7畅15】 　已知两条直线的方程是 l１ ：x － １１ ＝ y － ２

０ ＝ z － ３－ １ ； l２ ：x ＋ ２

２ ＝ y － １１ ＝ z１ ，则

过 l１ 且平行于 l２ 的平面方程是 ．分析 　 l１ 的方向向量为｛１ ，０ ，－ １｝ ；l２ 的方向向量为｛２ ，１ ，１｝

由题意知 ，所求平面的法向量为 n匙 ＝i匙

j匙

k匙

１ ０ － １２ １ １

＝ ｛１ ，－ ３ ，１｝

取点（１ ，２ ，３） ，利用平面的点法式方程得（ x － １） － ３（ y － ２） ＋ （ z － ３） ＝ ０即 x － ３ y ＋ z ＋ ２ ＝ ０ ．除了可以利用上述的寻找直线和平面方程的方法以外 ，还可以利用平面束的概念 ．

解题思路 　已知直线方程为 l ：A１ x ＋ B１ y ＋ C１ z ＋ D１ ＝ ０A２ x ＋ B２ y ＋ C２ z ＋ D２ ＝ ０

，其中 A１ ，B１ ，C１ 与 A２ ，B２ ，

C２ 不成比例 ，则过此直线的所有平面方程可以表示成 λ１ （ A１ x ＋ B１ y ＋ C１ z ＋ D１ ） ＋λ２ （ A２ x ＋ B２ y ＋ C２ z ＋ D２ ） ＝ ０ ，其中 λ１ ，λ２ 为待定系数 ，当 λ１ ，λ２ 取不同的值时 ，表示的是过直线 l的不同的平面 ，把它们称作过 l的平面束 ．

λ１ ＝ ０ ，λ２ ≠ ０时 ，表示的是 π２ ： A２ x ＋ B２ y ＋ C２ z ＋ D２ ＝ ０λ１ ≠ ０ ，λ２ ＝ ０时 ，表示的是 π１ ：A１ x ＋ B１ y ＋ C１ z ＋ D１ ＝ ０

一般情况下 ，考虑 λ１ ≠ ０时（即忽略掉平面束中的 π２ ） ，令 λ２λ１ ＝ λ ，则平面束的方程为

A１ x ＋ B１ y ＋ C１ z ＋ D１ ＋ λ（ A２ x ＋ B２ y ＋ C２ z ＋ D２ ） ＝ ０ ． （７唱３）　 　此时 ，当 λ取不同的值的时候 ，代表着过 l的不同的平面（仅仅不包括 π２ ） ，反之 ，通过l的任何平面（仅仅不包括 π２ ）都包含在（７唱３）内 ，因此 ，把这样的平面的全体称作平面束 ，方程（７唱３）称作过 l的平面束方程 ．

【例 7畅16】 　求过直线 l ：２ x － ３ y － z ＋ ４ ＝ ０４ x － ６ y ＋ ５ z ＋ １ ＝ ０

的平面 π ，使它满足以下条件之一 ：

（１）平行于直线 l１ ： x１ ＝ y－ １ ＝ z２ ；

（２）垂直于平面 π１ ：２ x － y ＋ ５ z － ３ ＝ ０ ．解 　过直线 l的平面束方程为

·０１· 应用微积分学习辅导（下册）

（２ x － ３ y － z ＋ ４） ＋ λ（４ x － ６ y ＋ ５ z ＋ １） ＝ ０

　 　 （１）平面束中不包含的平面 ４ x － ６ y ＋ ５ z ＋ １ ＝ ０ 与 l１ ： x１ ＝ y－ １ ＝ z２ 不平行 ，由于

π ∥ l１ ，因此 π的法向量 n匙 垂直于 l１ 的方向向量 v匙 １ ＝ ｛１ ，－ １ ，２｝ ，于是有 n匙 · v匙 １ ＝ （２ ＋ ４λ）

－ （ － ３ － ６λ） ＋ ２（ － １ ＋ ５λ） ＝ ０ ，解得 λ ＝ － ３２０ ，故所求平面方程为 ４ x － ６ y － ５ z ＋ １１ ＝ ０ ；

（２）平面束中不包含的平面 ４ x － ６ y ＋ ５ z ＋ １ ＝ ０与 π１ ：２ x － y ＋ ５ z － ３ ＝ ０不垂直 ，由于π ⊥ π１ ，故法向量 n匙 ⊥ n匙 １ ，n匙 １ ＝ ｛２ ，－ １ ，５｝ ，于是 n匙 · n匙 １ ＝ ２（２ ＋ ４λ） － （ － ３ － ６λ） ＋ ５（ － １ ＋ ５λ）

＝ ０ ，解得 λ＝ － ２２９ ，故所求平面方程为 １０ x － １５ y － ７ z ＋ ２２ ＝ ０ ．

【例 7畅17】 　求过原点并过直线 L ：x ＝ ３ － ty ＝ １ ＋ ２ tz ＝ t

的平面方程 ．

解 　写出直线 L的一般式方程为x ＋ z － ３ ＝ ０y － ２ z － １ ＝ ０

，

　 　则过 L的平面方程为x ＋ z － ３ ＋ λ（ y － ２ z － １） ＝ ０ ，

　 　平面束中不包含的平面 y － ２ z － １ ＝ ０不过原点 ，把原点（０ ，０ ，０）代入上式得λ ＝ － ３

　 　故所求平面方程为x － ３ y ＋ ７ z ＝ ０ ．

　 　 【例 7畅18】 　求直线 L１ ：x ＋ １１ ＝ y － １

２ ＝ z３在平面 π１ ：x ＋ y ＋ z － ２ ＝ ０上投影直线 L的

方程 ．解 　直线 L１ 的一般方程为

２ x － y ＋ ３ ＝ ０３ x － z ＋ ３ ＝ ０

；

　 　过 L１ 的平面束方程为（２ ＋ ３λ） x － y － λz ＋ ３（１ ＋ λ） ＝ ０在其中选择一平面 π２ ，使 π２ ⊥ π１ ，令 n匙 １ · n匙 ２ ＝ ０ ，即

１ · （２ ＋ ３λ） ＋ １ · （ － １） ＋ １ · （ － λ） ＝ ０ ；

　 　得 λ ＝ － １２ ；

于是 ，所求平面方程为 x － ２ y ＋ z ＋ ３ ＝ ０ ；故所求投影直线方程为

L ：x ＋ y ＋ z － ２ ＝ ０x － ２ y ＋ z ＋ ３ ＝ ０

．

·１１·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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７畅４ 　习 题 详 解

习 　题 　 １１畅 指出下列各点在直角坐标系中的位置有何特点 ？A ．（３ ，０ ，０） ，B ．（０ ，４ ，０） ，C ．（０ ，－ ７ ，３） ，D ．（３ ，０ ，２） ．解 　 A ．在 x轴上 ，B ．在 y轴上 ，C ．在 yOz坐标面上 ，D ．在 zOx坐标面上 ．

２畅 自点 P（a ，b ，c）分别做各坐标面的垂线 ，写出坐标面上各垂足的坐标 ．解 　 （a ，b ，０） ；（a ，０ ，c） ；（０ ，b ，c） ．

３畅 设点 P在第 Ⅰ卦限 ，OP———匙

与三个坐标轴的正方向成等角 α ，且OP———匙

的模为 m ，试写出P点的坐标 ．解 　 （mcosα ，mcosα ，mcosα） ．

４畅 求点 P（４ ，－ ３ ，２）到坐标原点和到各坐标轴的距离 ．

解 　 P到坐标原点的距离为 ４２ ＋ （ － ３）２ ＋ ２２ ＝ ２９ ；

　 　到 x轴的距离为 （ － ３）２ ＋ ２２ ＝ １３ ；

　 　到 y轴的距离为 ４２ ＋ ２２ ＝ ２ 　５ ；

　 　到 z轴的距离为 ４２ ＋ （ － ３）２ ＝ ５ ．

５畅 求下列各对点之间的距离 ．（１）（２ ，３ ，１） ，（５ ，３ ，５） ；　 　 　 　 （２）（４ ，３ ，１） ，（７ ，１ ，２） ．

解 　 （１） （２ － ５）２ ＋ （３ － ３）２ ＋ （１ － ５）２ ＝ ５ ；

（２） （４ － ７）２ ＋ （３ － １）２ ＋ （１ － ２）２ ＝ １４ ．

６畅 指出下列各点在哪一卦限 ？ A（２ ，－ １ ，１） ，B（ － １ ，２ ，５） ，C（３ ，１ ，－ ４） ．解 　 A 点在第 Ⅳ卦限 ，B点在第 Ⅱ卦限 ，C 点在第 Ⅴ卦限 ．

习 　题 　 ２１畅 如图 ７畅 １所示 ，设 M 、N 、P分别是三角形 ABC 的三个边 AB 、BC 、CA的中点 ，已

知 AB———匙

＝ a匙 ，BC———匙

＝ b匙

，CA———匙

＝ c匙 ，求 A N———匙

、BP———匙

、CM———匙

．

解 ：A N———匙

＝ AB———匙

＋ １２ BC

———匙

＝ a匙 ＋ １２ b

匙

，

BP———匙

＝ BC———匙

＋ １２ CA

———匙

＝ b匙

＋ １２ c

匙 ，

CM———匙

＝ CA———匙

＋ １２ AM

———匙

＝ c匙 ＋ １２ a

匙 ．

２畅 如图 ７畅 ２ 所示 ，在平行四边形 ABCD中 ，设 AB———匙

＝ a匙 ，AD———匙

＝ b匙

，试用 a匙 、b匙

表示向量

·２１· 应用微积分学习辅导（下册）

M A———匙

，MB———匙

，MC———匙

，MD———匙

，这里 M是平行四边形对角线的交点 ．

图 ７畅１ 图 ７畅２

解 　 a匙 ＋ b匙

＝ AC———匙

＝ ２ MC———匙

＝ － ２ M A———匙

a匙 － b匙

＝ DB———匙

＝ ２ DM———匙

＝ ２ MB———匙

M A———匙

＝ － １２ （a匙 ＋ b

匙

）

MB———匙

＝ １２ （a匙 － b

匙

）

MC———匙

＝ １２ （a匙 ＋ b

匙

）

MD———匙

＝ １２ （b

匙

－ a匙 ） ．

３畅 设 m匙 ＝ a匙 ＋ b匙

＋ ３ c匙 ，n匙 ＝ a匙 － ２b匙

＋ ３ c匙 ，试用 a匙 ，b匙

，c匙 表示 ３m匙 － ２n匙 ．

解 　 ３m匙 － ２n匙 ＝ ３（a匙 ＋ b匙

＋ ３ c匙 ） － ２（a匙 － ２b匙

＋ ３ c匙 ） ＝ a匙 ＋ ７b匙

＋ ３ c匙 ．

４畅 用向量方法证明 ：三角形的中位线平行于底边 ，且它的长度等于底边长度的一半（图 ７畅３） ．

　 　图 ７畅３ 图 ７畅４ 　 　

证明 　 DE———匙

＝ AE———匙

－ AD———匙

＝ １２ （ AC

———匙

－ AB———匙

） ＝ １２ BC

———匙

DE———匙

／／BC———匙

且｜DE———匙

｜ ＝ １２ ｜BC

———匙

｜ ．

·３１·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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５畅 在 △ ABC中 ，D 是 BC 边上一点 ，若 AD———匙

＝ １２ （ AB

———匙

＋ AC———匙

） ，证明 D 是 BC 的中点

（图 ７畅４） ．

证明 　 AD———匙

＝ AB———匙

＋ BD———匙

＝ AC———匙

＋ CD———匙

AD———匙

＝ １２ （ AB

———匙

＋ BD———匙

＋ AC———匙

＋ CD———匙

）

＝ １２ （ AB

———匙

＋ AC———匙

） ＋ １２ （BD

———匙

＋ CD———匙

）

BD———匙

＋ CD———匙

＝ ０匙即 BD

———匙

＝ － CD———匙

所以 ，D是 BC 的中点 ．

习 　题 　 ３

１畅 设 A（１ ，－ １ ，２） ，B（１ ，１ ，０） ，C（ － １ ，４ ，２） ，求 AB———匙

＋ ３ BC———匙

－ ４ CA———匙

．

解 　 AB———匙

＝ ｛０ ，２ ，－ ２｝ ＝ ２ j匙

－ ２ k匙

，

BC———匙

＝ ｛ － ２ ，３ ，２｝ ＝ － ２ i匙

＋ ３ j匙

＋ ２ k匙

，

CA———匙

＝ ｛２ ，－ ５ ，０｝ ＝ ２ i匙

－ ５ j匙

AB———匙

＋ ３ BC———匙

－ ４ CA———匙

＝ （２ j匙

－ ２ k匙

） ＋ ３（ － ２ i匙

＋ ３ j匙

＋ ２ k匙

） － ４（２ i匙

－ ５ j匙

）

＝ － １４ i匙

＋ ３１ j匙

＋ ４ k匙

２畅 已知向量 a匙 ＝ ２ i匙

－ ３ j匙

＋ ４ k匙

，始点为（ － １ ，－ ２ ，３） ，求向量 a匙 的终点坐标 ．解 　向量 a匙 的终点坐标为（１ ，－ ５ ，７） ．

３畅 设 a匙 ＝ ２ i匙

－ ３ j匙

－ ４ k匙

，b匙

＝ i匙

＋ j匙

－ ３ k匙

，c匙 ＝ － i匙

－ j匙

＋ ２ k匙

，求 ３a匙 ＋ ２b匙

－ c匙 在 x ，y ，z轴上的分向量 ．

解 　 ３a匙 ＋ ２b匙

－ c匙 ＝ ３（２ i匙

－ ３ j匙

－ ４ k匙

） ＋ ２（ i匙

＋ j匙

－ ３ k匙

） － （ － i匙

－ j匙

＋ ２ k匙

） ＝ ９ i匙

－ ６ j匙

－ ２０ k匙

在 x ，y ，z轴上的分向量分别为 ９ i匙

，－ ６ j匙

，－ ２０ k匙

．

４畅 设 a匙 ＝ ２ i匙

－ j匙

＋ ２ k匙

，求｜a匙 ｜及 a匙 的方向余弦 ．

解 　 ｜a匙 ｜ ＝ ２２ ＋ （ － １）２ ＋ ２２ ＝ ３

a匙 的方向余弦 cosα ＝ x｜a匙 ｜ ＝ ２

３ ；cosβ＝ y｜a匙 ｜ ＝ － １

３ ；cosγ ＝ z｜a匙 ｜ ＝ ２

３

５畅 已知点 A（３ ，３ ，２）和 B（４ ，５ ，０） ，求与 AB———匙

方向一致的单位向量 ．

解 　 AB———匙

＝ ｛４ － ３ ，５ － ３ ，０ － ２｝ ， AB———匙

＝ （４ － ３）２ ＋ （５ － ３）２ ＋ （０ － ２）２ ＝ ３ ，

AB———匙

０ ＝ AB———匙

AB———匙 ＝ １

３ ，２３ ，－ ２３ ．

·４１· 应用微积分学习辅导（下册）

６畅 设向量 a匙 的方向余弦 cosβ＝ ２３ ，cosγ ＝ ２

３ ，｜a匙 ｜ ＝ ３ ，求向量 a匙 的坐标 ．

解 　 ∵ cos２ α ＋ cos２ β＋ cos２ γ ＝ １ ，cosβ＝ ２３ ，cosγ ＝ ２

３

则 cosα ＝ ± １３ ；

向量 a匙 的坐标 x ＝ ｜a匙 ｜cosα ＝ ± １y ＝ ｜a匙 ｜cosβ＝ ２z ＝ ｜a匙 ｜cosγ ＝ ２

向量 a匙 的坐标 a匙 ＝ ｛１ ，２ ，２｝或 a匙 ＝ ｛ － １ ，２ ，２｝ ．

习 　题 　 ４

１畅 已知向量 a匙 ＝ ｛４ ，－ ２ ，－ ４｝ ，b匙

＝ ｛６ ，－ ３ ，２｝ ，求 a匙 · b匙

，｜ a匙 ｜ ，｜ b匙

｜ ，（２a匙 － ３b匙

） · （ a匙 ＋

２b匙

） ．

解 　 a匙 · b匙

＝ ４ × ６ ＋ （ － ２） × （ － ３） ＋ （ － ４） × ２ ＝ ２２ ；

｜a匙 ｜ ＝ ４２ ＋ （ － ２）２ ＋ （ － ４）２ ＝ ６ ；

｜b匙

｜ ＝ ６２ ＋ （ － ３）２ ＋ ２２ ＝ ７ ；

（２a匙 － ３b匙

） · （a匙 ＋ ２b匙

） ＝ ２ a匙 ２ － a匙 · b匙

－ ６ b匙 ２ ＝ － ２４４ ．

２畅 设 a匙 ＝ i匙

＋ ２ j匙

＋ ３ k匙

，b匙

＝ ３ i匙

－ ４ j匙

＋ k匙

，试计算 a匙 · b匙

，及 a匙 与 b匙

之间夹角的余弦 ．

解 　 a匙 · b匙

＝ ｛ i匙

＋ ２ j匙

＋ ３ k匙

｝ · ｛３ i匙

－ ４ j匙

＋ k匙

｝ ＝ ３ ＋ ２ × （ － ４） ＋ ３ ＝ － ２ ；

cosθ＝ a匙 · b匙

｜a匙 ｜｜b匙

｜＝ － １

９１．

３畅 已知 a匙 ＝ ｛１ ，２ ，３｝ ，b匙

＝ ｛４ ，５ ，０｝ ，求 a匙 × b匙

．

解 　 a匙 × b匙

＝i匙

j匙

k匙

１ ２ ３４ ５ ０

＝ － １５ i匙

＋ １２ j匙

－ ３ k匙

＝ ｛ － １５ ，１２ ，－ ３｝ ．

４畅 两向量 a匙 ＝ ｛１ ，２ ，５｝ ，b匙

＝ ｛３ ，０ ，m｝相互垂直 ，求 m ．

解 　 a匙 ⊥ b匙

骋 a匙 · b匙

＝ ０ ；即 ３ ＋ ５m ＝ ０ ；

所以 m ＝ － ３５ ．

５畅 若｜a匙 ｜ ＝ ２ ，｜ b匙

｜ ＝ ５ ，且 a匙 ⊥ b匙

，求｜（a匙 ＋ b匙

） × （a匙 － b匙

）｜ ．

解 　因为 a匙 ⊥ b匙

，sin（a匙 ，b匙

） ＝ １ ；

·５１·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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｜（a匙 ＋ b匙

） × （a匙 － b匙

）｜ ＝ ｜２b匙× a

匙

｜ ＝ ２｜a匙 ｜｜b匙

｜sin（a匙 ，b匙

） ＝ ２０ ．

６畅 已知｜a匙 ｜ ＝ ２ ，｜a匙 × b匙

｜ ＝ ３ ，a匙 · b匙

＝ ５ ，求｜b匙

｜ ．

解 　因为｜a匙 × b匙

｜ ＝ ｜a匙 ｜｜b匙

｜sin（a匙 ，b匙

） ，a匙 · b匙

＝ ｜a匙 ｜｜b匙

｜cos（a匙 ，b匙

） ；

则｜a匙 × b匙

｜２ ＋ （a匙 · b匙

）２ ＝ ｜a匙 ｜２ ｜b匙

｜２ ；

将｜a匙 ｜ ＝ ２ ，｜a匙 × b匙

｜ ＝ ３ ，a匙 · b匙

＝ ５代入上式 ，得

b匙

＝ ３４２ ．

７畅 证明 ：（a匙 ＋ b匙

）（a匙 ＋ b匙

） ＋ （a匙 － b匙

）（a匙 － b匙

） ＝ ２（｜a匙 ｜２ ＋ ｜b匙

｜２ ） ．

证明 　 （a匙 ＋ b匙

）（a匙 ＋ b匙

） ＋ （a匙 － b匙

）（a匙 － b匙

）

＝ ｜a匙 ｜２ ＋ ｜ b匙

｜２ ＋ b匙

· a匙 ＋ a匙 · b匙

＋ ｜a匙 ｜２ ＋ ｜b匙

｜２ － b匙

· a匙 － a匙 · b匙

＝ ２（｜a匙 ｜２ ＋ ｜b匙

｜２ ） ．

８畅 在 xOy面上求一单位向量 ，使它与向量 a匙 ＝ － ４ ，３ ，７ 垂直 ．解 　设 xOy面上所求单位向量为 e匙 ＝ ｛m ，n ，０｝ ，m２ ＋ n２ ＝ １因为 e匙 ⊥ a匙 ，即 e匙 · a匙 ＝ ０

得－ ４m ＋ ３n ＝ ０m２ ＋ n２ ＝ １

，解得m ＝ ３

５

n ＝ ４５

，或m ＝ － ３

５

n ＝ － ４５

，

所求向量为

３５ ，４５ ，０ ， － ３

５ ， － ４５ ，０ ．

　 　 ９畅 平行四边形的两邻边为 a匙 ＝ i匙

－ ３ j匙

＋ k匙

，b匙

＝ ２匙i － j

匙

＋ ３ k匙

，求该平行四边形的面积 ．

解 　平行四边形的面积 S ＝ AB———匙

× AC———匙

＝ ｜i匙

j匙

k匙

１ － ３ １２ － １ ３

｜ ＝ ｜ － ８ i匙

－ j匙

＋ ５k匙

｜ ＝ ３ １０ ．

１０畅 已知 △ ABC的顶点分别是 A（１ ，２ ，３） 、B（２ ，０ ，４） 、C（２ ，－ １ ，３） ，求 △ ABC的面积 ．

解 　 AB———匙

＝ ｛１ ，－ ２ ，１｝ ，AC———匙

＝ ｛１ ，－ ３ ，０｝ ；

△ ABC的面积 S ＝ １２ AB

———匙

× AC———匙

＝ １２ ｜

i匙

j匙

k匙

１ － ２ １１ － ３ ０

｜ ＝ １２ １１ ．

习 　题 　 ５１畅 一平面通过点 P（２ ，１ ，３）且平行于平面 x ＋ y － ２ z ＋ ８ ＝ ０ ，求此平面的方程 ．

·６１· 应用微积分学习辅导（下册）

解 　设所求平面方程为 x ＋ y － ２ z ＋ D ＝ ０ ；将点 P（２ ，１ ，３）代入方程得 D ＝ ３ ；∴ 所求平面方程为 x ＋ y － ２ z ＋ ３ ＝ ０ ．

２畅 一平面通过点 P（２ ，－ ５ ，３）且平行于 xOz平面 ，求此平面的方程 ．解 　由题意知 ，平面法向量为 n匙 ＝ ｛０ ，１ ，０｝ ；设平面方程为 By ＋ D ＝ ０ ；将点 P（２ ，－ ５ ，３）代入得 D ＝ ５B ；∴ 所求平面为 y ＋ ５ ＝ ０ ．

３畅 求过三点 A（１ ，１ ，－ １） ，B（ － ２ ，－ ２ ，２） ，C（１ ，－ １ ，２）的平面的方程 ．解 　

所求平面的法向量 n匙 ＝ AB———匙

× AC———匙

＝i j k

－ ３ － ３ ３０ － ２ ３

＝ ｛ － ３ ，９ ，６｝

平面的点法式方程为 － ３（ x － １） ＋ ９（ y － １） ＋ ６（ z ＋ １） ＝ ０　 　整理得 x － ３ y － ２ z ＝ ０ ．

４畅 一平面过点 A（１ ，１ ，１） ，B（１ ，０ ，２）且垂直于平面 x ＋ ２ y － z ＝ ０ ，求此平面的方程 ．解 　设所求平面方程为

A x ＋ By ＋ C z ＋ D ＝ ０ （７唱３）　 　因为与平面 x ＋ ２ y － z ＝ ０垂直 ，即

A ＋ ２B － C ＝ ０ （７唱４）　 　将 A（１ ，１ ，１） ，B（１ ，０ ，２）代入方程得

A ＋ B ＋ C ＋ D ＝ ０ （７唱５）A ＋ ２C ＋ D ＝ ０ （７唱６）

联立式（７唱４） 、式（７唱５） 、式（７唱６）得A ＝ － B ＝ － C ＝ D

即

x － y － z ＋ １ ＝ ０　 　 ５畅 指出下列各平面的特殊位置 ：

（１）２ x － ３ y － ４ ＝ ０ ；（２） y ＋ ２ z ＝ １ ；（３）３ x ＋ ２ y ＋ z ＝ ０ ．解 　 （１）由于 C ＝ ０ ，所以平面是平行于 z轴的平面 ；（２）由于 A ＝ ０ ，所以平面是平行于 x轴的平面 ；（３）由于 D ＝ ０ ，所以平面通过原点 ．

６畅 一平面过点（１ ，２ ，１）且同时垂直于平面 π１ ：x － y ＋ z ＝ ８ 和 π２ ：３ x ＋ ２ y － ６ z ＋ ６ ＝０ ，求此平面的方程 ．

解 　设所求平面为 π ，π 同时垂直于 π１ ，π２ ，则 π 的法向量 n匙 同时垂直于 π１ ，π２ 的法向量 ，即

·７１·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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n匙 ＝i匙

j匙

k匙

１ － １ １３ ２ － ６

＝ ｛４ ，９ ，５｝

则所求平面为 ４ x ＋ ９ y ＋ ５ z ＋ D ＝ ０ ．将（１ ，２ ，１）点代入方程得D ＝ － ２７

　 　 ∴ 所求平面方程为 ４ x ＋ ９ y ＋ ５ z － ２７ ＝ ０ ．

７畅 求 P（１ ，２ ，１）到平面 x ＋ ２ y ＋ ２ z － １０ ＝ ０的距离 ．

解 　代入点到平面距离公式得 d ＝ １ ＋ ２ · ２ ＋ ２ · １ － １０１２ ＋ ２２ ＋ ２２

＝ １ ．

８畅 求一平面的方程 ，它与平面 ６ x ＋ ３ y ＋ ２ z － ２３ ＝ ０ 平行且原点到该平面的距离为 １畅

解 　设所求平面方程为 ６ x ＋ ３ y ＋ ２ z ＋ D ＝ ０ ；

原点到此平面的距离为 d ＝ ｜D｜６２ ＋ ３２ ＋ ２２

＝ １ ；

解得 D ＝ ± ７ ；∴ 所求平面为

６ x ＋ ３ y ＋ ２ z ＋ ７ ＝ ０ ，　 ６ x ＋ ３ y ＋ ２ z － ７ ＝ ０ ．

　 　 ９畅 求两平面 ２ x － y ＋ z － ８ ＝ ０和 x ＋ y ＋ ２ z ＋ ７ ＝ ０之间的夹角 ．解 　两平面的法向量分别为 n匙 １ ＝ ｛２ ，－ １ ，１｝ ，n匙 ２ ＝ ｛１ ，１ ，２｝ ，设两平面之间夹角为 θ；

则 cosθ＝ ｜n匙 １ · n匙 ２ ｜｜n匙 １ ｜｜n匙 ２ ｜ ＝ ２ · １ ＋ （ － １） · １ ＋ １ · ２

２２ ＋ （ － １）２ ＋ １２ １２ ＋ １２ ＋ ２２＝ １

２ ；

∴ θ＝ π３ ．

习 　题 　 ６

１畅 求直线x － ２ y ＋ z － ３ ＝ ０２ x ＋ y － ２ z ＋ ６ ＝ ０

的对称式方程和参数方程 ．

解 　令 x ＝ ０ ，－ ２ y ＋ z － ３ ＝ ０y － ２ z ＋ ６ ＝ ０

，得 y ＝ ０ ，z ＝ ３ ，即直线过点（０ ，０ ，３） ．

直线方向向量为

v匙 ＝i匙 j匙 k

匙

１ － ２ １２ １ － ２

＝ ｛３ ，４ ，５｝ ；

　 　故直线对称式方程为x３ ＝ y

４ ＝ z － ３５ ；

·８１· 应用微积分学习辅导（下册）

　 　参数方程为x ＝ ３ ty ＝ ４ tz ＝ ５ t ＋ ３

．

　 　 ２畅 一直线通过 A（２ ，２ ，－ １）且与直线x ＝ ３ ＋ ty ＝ tz ＝ １ － ２ t

平行 ，求此直线的方程 ．

解 　直线x ＝ ３ ＋ ty ＝ tz ＝ １ － ２ t

的方向向量为｛１ ，１ ，－ ２｝ ，即为所求直线的方向向量 ．

所以 ，所求直线方程为x － ２１ ＝ y － ２

１ ＝ z ＋ １－ ２ ．

　 　 ３畅 若直线３ x － y ＋ ２ z － ６ ＝ ０x ＋ ４ y － z ＋ D ＝ ０

与 z轴相交 ，试求常数 D ．

解 　设交点坐标为（０ ，０ ，z）

则２ z － ６ ＝ ０－ z ＋ D ＝ ０

；解得 D ＝ ３ ．

４畅 求直线 x － １１ ＝ y

－ ４ ＝ z ＋ ３１ 和直线

x２ ＝ y ＋ ２

－ ２ ＝ z－ １的夹角 ．

解 　设两直线的夹角为 θ，

两直线的方向向量分别为 v匙 １ ＝ ｛１ ，－ ４ ，１｝ ，l匙

２ ＝ ｛２ ，－ ２ ，－ １｝

则 cosθ＝ ｜ v匙 １ · l匙

２ ｜v匙 １ l

匙

２

＝ ｜１ · ２ ＋ （ － ４） · （ － ２） ＋ １ · （ － １）｜１２ ＋ （ － ４）２ ＋ １２ ２２ ＋ （ － ２）２ ＋ （ － １）２

＝ ２２ ，

∴ θ＝ π４ ．

５畅 求直线 x － １－ ２ ＝ y

－ １ ＝ z － ５２ 和平面 x ＋ y ＋ ５ ＝ ０的夹角 ．

解 　设直线与平面的夹角为 θ，直线的方向向量为 v匙 ＝ ｛ － ２ ，－ １ ，２｝ ；平面的法向量为 n匙 ＝ ｛１ ，１ ，０｝ ；

sinθ ＝ | v匙· n匙 |v匙 n匙

＝ | １ · （ － ２） ＋ １ · （ － １） ＋ ０ · ２ |（ － ２）２ ＋ （ － １）２ ＋ ２２ １２ ＋ １２ ＋ ０２

＝ ２２ ；

　 　 ∴ θ＝ π４ ；

６畅 求通过直线２ x － z ＝ ０x ＋ y － z ＋ ５ ＝ ０

且垂直于平面 ７ x － y ＋ ４ z － ３ ＝ ０的平面 ．

·９１·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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解 　 设所求平面在平面束 x ＋ y － z ＋ ５ ＋ λ（２ x － z） ＝ ０中 ，法向量 n匙 ＝ ｛１ ＋ ２λ ，１ ，－ １ － λ｝ ；

平面 ７ x － y ＋ ４ z － ３ ＝ ０的法向量 n匙 １ ＝ ｛７ ，－ １ ，４｝ ；

n匙 · n匙 １ ＝ ０ ，即 ７（１ ＋ ２λ） － １ － ４（１ ＋ λ） ＝ ０ ；

解得 λ ＝ － １５ ，代入平面束方程 ，则所求平面方程为

３ x ＋ ５ y － ４ z ＋ ２５ ＝ ０ ．

　 　 ７畅 求点 A（ － １ ，２ ，－ ３）在直线 x２ ＝ y － ３３ ＝ z ＋ ６

－ １ 上的垂足 ．

解 　过 A（ － １ ，２ ，－ ３）与直线 x２ ＝ y － ３３ ＝ z ＋ ６

－ １ 垂直的平面方程为

２（ x ＋ １） ＋ ３（ y － ２） － （ z ＋ ３） ＝ ０ ；

　 　直线 x２ ＝ y － ３３ ＝ z ＋ ６

－ １ 的参数方程为

x ＝ ２ ty ＝ ３ t ＋ ３z ＝ － t － ６

，代入平面方程 ，得 t ＝ － ４７ ；

则交点坐标为 － ８７ ，９７ ，－ ３８

７ ．

８畅 一直线通过原点且垂直于平面 x ＋ y － z ＋ ５ ＝ ０ ，求此直线的方程 ．

解 　设所求直线为 xm ＝ yn ＝ zp ，方向向量为 v匙 ＝ ｛m ，n ，p｝ ；

平面 x ＋ y － z ＋ ５ ＝ ０ 的法向量为 n匙 ＝ ｛１ ，１ ，－ １｝ ；

由直线与平面垂直 ，取 v匙 ＝ n匙 即可 ；

所求直线方程为 x ＝ y ＝ － z ．

９畅 求过点（ － ３ ，２ ，５）且与两平面 x － ４ z ＝ ３ 和 ２ x － y － ５ z ＝ １ 的交线平行的直线方程 ．

解 　两平面的法向量分别为 n匙 １ ＝ ｛１ ，０ ，－ ４｝ ，n匙 ２ ＝ ｛２ ，－ １ ，－ ５｝ ；

依题意 ，所求直线的方向向量为 n匙 １ × n匙 ２ ＝i匙

j匙

k匙

１ ０ － ４２ － １ － ５

＝ ｛ － ４ ，－ ３ ，－ １｝ ；

所求直线的方程为 x ＋ ３４ ＝ y － ２

３ ＝ z － ５１ ．

１０畅 求直线 x － ２３ ＝ y ＋ １

－ ２ ＝ z － ５１ 与平面 ２ x ＋ y ＋ z － ６ ＝ ０的交点 ．

·０２· 应用微积分学习辅导（下册）

解 　直线的参数方程为x ＝ ３ t ＋ ２y ＝ － ２ t － １z ＝ t ＋ ５

，代入平面方程 ，得

t ＝ － ２５代回到直线参数方程得交点坐标为

４５ ，－ １

５ ，２３５ ．

习 　题 　 ７１畅 求下列旋转曲面的方程 ．（１）将 xOz面内的抛物线 z２ ＝ x绕 x 轴旋转一周 ．

解 　旋转曲面的方程为 ± y２ ＋ z２２＝ x ；

即 y２ ＋ z２ ＝ x ．

（２）将 xOz面内的双曲线 x２

a２ － z２

c２ ＝ １绕 x轴和 z 轴旋转一周 ．

解 　绕 x轴旋转曲面的方程为 x２

a２ － ± z２ ＋ y２２

c２ ＝ １ ，即 x２

a２ － y２ ＋ z２c２ ＝ １ ；

绕 z轴旋转曲面的方程为 ± x２ ＋ y２２

a２ － z２

c２ ＝ １ ，即 x２ ＋ y２a２ － z

２

c２ ＝ １ ；

（３）将 yOz面内的椭圆 y２

b２ ＋ z２

c２ ＝ １绕 z轴旋转一周 ．

解 　绕 z轴旋转一周旋转曲面的方程为 ± y２ ＋ x２２

b２ ＋ z２

c２ ＝ １ ，

即x２ ＋ y２b２ ＋ z

２

c２ ＝ １ ．

２畅 说明下列旋转曲面是怎样形成的 ？

（１） x２

４ ＋ y２

４ ＋ z２ ＝ １ ；

xOz面内的椭圆 x２

４ ＋ z２ ＝ １绕 z轴旋转而成 ；

或者 ，yOz面内的椭圆 y２

４ ＋ z２ ＝ １绕 z轴旋转而成 ．

（２） x２ ＋ z２ ＝ ３ y ；xOy面内的抛物线 x２ ＝ ３ y绕 y 轴旋转一周 ；或者 ，yOz面内的抛物线 z２ ＝ ３ y绕 y 轴旋转一周 ．

３畅 确定下列方程各表示什么曲面 ？并做简图 ．（１） x２ ＋ y２ ＝ １（图 ７畅５圆柱面） ；　 　 　 　 　 （２） x２ ＋ y２ ＝ ２ z（图 ７畅６旋转抛物面） ；

·１２·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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图 ７畅５　 　 　

图 ７畅６

（３） x２

a２ ＋ z２

b２ ＝ y（图 ７畅７椭圆抛物面） ； （４） x２ － z２ ＝ １（图 ７畅８双曲柱面） ；

图 ７畅７　 　 　

图 ７畅８

（５） x２ ＋ y２ － z２ ＝ ０（图 ７畅９锥面） ； （６） x２

９ ＋ y２

４ ＋ z２ ＝ １（图 ７畅１０椭球面） ．

·２２· 应用微积分学习辅导（下册）

图 ７畅９ 图 ７畅１０

４畅 画出下列曲面所围成的立体图形 ．

（１） z ＝ １ － x２ － y２ ，z ＝ x２ ＋ y２ （图 ７畅１１） ；　 （２） z ＝ ６ － x２ － y２ ，z ＝ x２ ＋ y２ （图 ７畅１２） ；

图 ７畅１１　 　

图 ７畅１２

（３） x２ ＋ y２ ＝ １ ，z ＝ ０ ，z ＝ ２（图 ７畅１３） ； （４） z ＝ １ － y２ ，３ x２ ＋ y２ ＝ z（图 ７畅１４） ．

·３２·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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图 ７畅１３　 　

图 ７畅１４

７畅５ 　自测题及参考答案

7畅5畅1 　单项选择题（每小题 4分 ，共 40分）

１畅 两个非零向量 a匙 与 b匙

互相垂直 ，则（ 　 　 ） ．　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A ．必要不充分条件是 a匙 · b

匙

＝ ０ ； B ．充分必要条件是 a匙 · b匙

＝ ０ ；

C ．充分不必要条件是 a匙 · b匙

＝ ０ ； D ．充分必要条件是 a匙 × b匙

＝ ０匙．

２畅 已知向量 x匙 与三向量 a匙 ＝ １ ，０ ，０ ，b匙

＝ ０ ，１ ，０ ，c匙 ＝ ０ ，０ ，１ 的数量积分别为 １ ，２ ，３ ，则 x匙 ＝ （ 　 　 ） ．

A ．x匙 ＝ ｛１ ，２ ，３｝ ； B ．x匙 ＝ ｛２ ，１ ，３｝ ； C ．x匙 ＝ ｛３ ，２ ，１｝ ； D ．x匙 ＝ ｛１ ，１ ，２｝ ．３畅 向量 a匙 ＝ ｛ax ，ay ，az ｝方向余弦中的cosα ＝ （ 　 　 ） ．

A ． axa x ＋ ay ＋ az

； B ． axa２x ＋ a２y ＋ a２z

；

C ． ± axa２x ＋ a２y ＋ a２z

； D ． ± axa x ＋ ay ＋ az

．

４畅 已知矢量 a匙 ，b匙 的模分别为 a匙 ＝ ２ ， b匙

＝ ２及 a匙 · b匙 ＝ ２ ，则 a匙 × b匙 ＝ （ 　 　 ） ．

A ．２ ； B ．２ ２ ； C ． ２２ ； D ．１畅

·４２· 应用微积分学习辅导（下册）

５畅 xOy平面上曲线 ４ x２ － ９ y２ ＝ ３６绕 x轴旋转一周 ，所得曲面方程是（ 　 　 ） ．A ．４（ x２ ＋ z２ ） － ９ y２ ＝ ３６ ； B ．４ x２ － ９（ y２ ＋ z２ ） ＝ ３６ ；C ．４（ x２ ＋ z２ ） － ９（ y２ ＋ z２ ） ＝ ３６ ； D ．４ x２ － ９ y２ ＝ ３６畅

６畅 平面 x ＋ z － １ ＝ ０在空间直角坐标系中的位置（ 　 　 ） ．A ．平行于 zOx平面 ； B ．垂直于 y轴 ；C ．平行于 y轴 ； D ．垂直于 x轴 ．

７畅 过点 M１ （３ ，－ ２ ，１） ，M２ （ － １ ，０ ，２）的直线方程是（ 　 　 ） ．

A ．－ ４（ x － ３） ＋ ２（ y ＋ ２） ＋ （ z － １） ＝ ０ ； B ．x － ３４ ＝ y ＋ ２

２ ＝ z － １１ ；

C ．x ＋ １４ ＝ y２ ＝ z － ２

－ １ ； D ．x ＋ １－ ４ ＝ y２ ＝ z － ２

１ ．

８畅 过点（０ ，２ ，４）且与平面 x ＋ ２ z ＝ １及 y － ３ z ＝ ２都平行的直线是（ 　 　 ） ．

A ．x － ０１ ＝ y － ２

０ ＝ z － ４２ ； B ．x － ０

０ ＝ y － ２１ ＝ z － ４

－ ３ ；

C ． x－ ２ ＝ y － ２３ ＝ z － ４

１ ； D ．－ ２ x ＋ ３（ y － ２） ＋ z － ４ ＝ ０ ．

９畅 球面 x２ ＋ y２ ＋ z２ ＝ １４与直线 x１ ＝ y

２ ＝ z３ 的交点是（ 　 　 ） ．

A ．（１ ，２ ，３） ； B ．（１ ，２ ，３）（ － １ ，－ ２ ，－ ３） ；C ．（ － １ ，－ ２ ，－ ３） ； D ．（０ ，０ ，０） ．

１０畅 过点（３ ，０ ，－ １）且与平面 ３ x ＋ ７ y ＋ ５ z － １２ ＝ ０ ，x ＋ y ＋ ２ z － １５ ＝ ０ 均垂直的平面方程为（ 　 　 ） ．

A ．－ ９ x ＋ y ＋ ４ z ＋ ３１ ＝ ０ ； B ．９ x ＋ y ＋ ４ z ＋ ３１ ＝ ０ ；C ．９ x － y ＋ ４ z ＋ ３１ ＝ ０ ； D ．９ x － y － ４ z ＋ ３１ ＝ ０

7畅5畅2 　填空题（每小题 4分 ，共 20 分）

１畅 直线x ＋ y ＋ ３ z ＝ ０x － y ＋ z ＝ ０

和平面 x － y － z ＋ １ ＝ ０ 间的夹角为 ．

２畅 设 m匙 ＝ i匙

＋ j匙

＋ k匙

，n匙

＝ i匙

－ j匙

－ k匙

，p匙

＝ i匙

＋ j匙

，向量 a匙 ＝ m匙 ＋ n匙

－ p匙

的 x坐标为，在 y轴上的分向量为 ．

３畅 与直线 L ：x ＋ ２ y ＋ z ＝ ０x ＋ z ＝ ０

平行且通过点（０ ，－ １ ，１）的直线方程为 ．

４畅 设 a匙 ＝ i匙

＋ j匙

＋ k匙

，则与 a匙 平行的单位向量为 ．５畅 过点（１ ，－ ２ ，３）且与平面 ７ x － ３ y ＋ z － ６ ＝ ０平行的平面方程为 ．

·５２·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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7畅5畅3 　计算题（每小题 8分 ，共 40 分）

１畅 分别按下列条件求平面方程 ：（１）平行于 xOz面且经过点（２ ，－ ５ ，３） ；（２）通过 z轴和点（ － ３ ，１ ，－ ２） ；（３）平行于 x轴且经过两点（４ ，０ ，－ ２）和（５ ，１ ，７） ．

２畅 求在平面 x ＋ y ＋ z ＝ ０ 上且与两直线x ＋ y － １ ＝ ０x － y ＋ z ＋ １ ＝ ０

，２ x － y ＋ z － １ ＝ ０x ＋ y － z ＋ １ ＝ ０

都相交

的直线方程 ．

３畅 平面 π过直线 L ：３ x － ４ y ＋ ６ ＝ ０２ y ＋ z － １１ ＝ ０

且与平面 ３ x － ４ y ＋ ６ ＝ ０垂直 ，求平面 π 方程 ．

４畅 求点（１ ，２ ，１）到平面 x ＋ ２ y ＋ ２ z － １０ ＝ ０的距离 ．

５畅 平 面 π与直线 x６ ＝ y

－ ４ ＝ z－ １垂直且与球面 x

２ ＋ y２ ＋ z２ ＝ １相切 ，求平面 π的

方程 ．

自测题答案

７畅 ５畅１ 　单项选择题１ ．B ；　 ２ ．A ；　 ３ ．B ；　 ４ ．A ；　 ５ ．C ；　 ６ ．C ；　 ７ ．D ；　 ８ ．C ；　 ９ ．B ；　 １０ ；A ．７畅 ５畅２ 　填空题

１畅 ０ ；　 　 ２畅 １ ， － j匙

； 　 　 ３畅x ＋ ２ y ＋ z ＝ － １x ＋ z ＝ １

； 　 　 ４畅 ± １３（ i

匙

＋ j匙

＋ k匙

） ；

５畅 ７ x － ３ y ＋ z － １６ ＝ ０ ．７畅 ５畅３ 　计算题１畅 （１） y ＋ ５ ＝ ０ ；（２） x ＋ ３ y ＝ ０ ；（３）９ y － z － ２ ＝ ０ ；

２畅x － １

２１ ＝

y － １２

２ ＝ z ＋ １３ ；

３畅 ２４ x ＋ １８ y ＋ ２５ z － ２２７ ＝ ０ ；

４畅 d ＝ １ ＋ ４ ＋ ２ － １０１ ＋ ４ ＋ ４

＝ ３３ ＝ １ ；

５畅 ６ x － ４ y － z ± ３ ＝ ０ ．

７畅６ 　数 学 实 验

7畅6畅1 　实验内容

（１）用 Mathematica绘制空间曲面 ；

·６２· 应用微积分学习辅导（下册）

（２）用 Mathematica绘制空间曲线 ．

7畅6畅2 　实验目的

（１）掌握绘制空间图形的 Mathematica语句 ；（２）展示空间曲线 、曲面和立体图形 ．

7畅6畅3 　常用 Mathematica绘图命令

★ 三维图形的修饰（三维图形输出选项 、缺省值和说明）（１）BoxRatios唱 ＞ ｛1 ，1 ，1｝ 图形高宽比｛ x ，y ，z｝ ；（２）Axes唱 ＞ True 是否包括坐标轴 ；（３）Axes Label 唱 ＞ None 在轴中加标志｛xLabel ，yLabel｝ ；（４）Boxed唱 ＞ True 是否在曲面周围加立方体 ；（５）Mesh唱 ＞ True 是否在表面画出 x ，y网格 ；（６）Shading唱 ＞ True 表面是阴影还是留白的 ；（７）View Point唱 ＞ ｛1畅3 ，－ 2畅4 ，2｝ 视点 ．

１畅 直角方程表示的曲面的绘制

基本语句 　 Plot3D［f［x ，y］ ，｛x ，a ，b｝ ，｛y ，c ，d｝ ，可选项｝功能 　式中 Plot３D为空间直角方程绘图函数 ，f［x ，y］为直角方程式曲面 y ＝ f［x ，y］

的表达式 ，u与 v为自变量 ，x的下限为 a ，上限为 b ，y的下限为 c ，上限为 d ，可选项内容为对三维图形的修饰项 ．

【实验 7畅1】 　绘制下列函数所表示的曲面 ．（１） y ＝ sin（ x２ ＋ y２ ） ；解 　 Mathematica语句 ：

　 　 　 　 f[x＿ ,y＿]:＝ Sin[x^2 ＋ y^2];Plot3D[f[x,y],{x,－ 2,2},{y,－ 2,2},BoxRatios唱 ＞ {1,1,0畅4}]

运行结果（图 ７畅１５） ：（２）绘制双曲抛物面 、抛物柱面的图形 ．Mathematica语句 ：

　 　 　 　 f[x＿ ,y＿]:＝ x^2 ＋ y^2;Plot3D[f[x,y],{x,－ 2,2},{y,－ 2,2},BoxRatios唱 ＞ {1,1,0畅4}]

运行结果 ：双曲抛物面如图 ７畅１６所示 ．Mathematica语句 ：

　 　 　 　 f[x＿ ,y＿]:＝ x^2;Plot3D[f[x,y],{x,－ 2,2},{y,－ 2,2},BoxRatios唱 ＞ {1,1,1}]

运行结果 ：抛物柱面如图 ７畅 １７所示 ．

·７２·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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图 ７畅１５

图 ７畅１６

·８２· 应用微积分学习辅导（下册）

图 ７畅１７

【练习 7畅1】 　绘制下列函数的图形 ．（１） f（ x ，y） ＝ sin（ x － y） ；　 　 　 （２） f（ x ，y） ＝ x２ y２ e x２ ＋ y２ ；解

（１） f（ x ，y） ＝ sin（ x － y） ；Mathematica语句 ：

　 　 　 　 f[x＿ ,y＿]:＝ Sin[x－ y];Plot3D[f[x,y],{x,－ 4,4},{y,－ 4,4},BoxRatios唱 ＞ {1,1,1}]

运行结果（图 ７畅１８） ：（２） f（ x ，y） ＝ x２ y２ e x２ ＋ y２ ．Mathematica语句 ：

　 　 　 　 f[x＿ ,y＿]:＝ x^2倡y^2倡Exp [x^2 ＋ y^2)];Plot3D[f[x,y],{x,2,2},{y,－ 2,2},BoxRatios唱 ＞ {1,1,0畅5}]

运行结果（图 ７畅１９） ：

·９２·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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图 ７畅１８

图 ７畅１９

２畅 参数方程表示的曲面的绘制

基本语句 　 ParametricPlot3D［｛x［u ，v］ ，y［u ，v］ ，z［u ，v］｝ ，｛u ，a ，b｝ ，｛v ，c ，d｝ ，可选项｝

功能 　式中 ParametricPlot3D为空间参数式绘图函数 ，x［u ，v］ ，y［u ，v］ ，z［u ，v］为参数式曲面的表达式 ，u与 v为参变量 ，参量的下限为 a ，上限为 b ，变量 v的下限为 c ，上限

·０３· 应用微积分学习辅导（下册）

为 d ，可选项内容为对三维图形的修饰项 ．【实验 7畅2】 　绘制下列参数方程表示的曲面 ．

（１）

x（u ，v） ＝ uy（u ，v） ＝ v

z（u ，v） ＝ u２

２ － v２

２

　 （ － １ ≤ u ，v ≤ １） ；

（２）x（u ，v） ＝ secucos vy（u ，v） ＝ secusin vz（u ，v） ＝ tanu

　 － π３ ≤ u ≤ π

３ ，０ ≤ v ≤ ２π ；

（３）

x（u ，v） ＝ sin ucos vy（u ，v） ＝ sinusin vz（u ，v） ＝ v４

　 （０ ≤ u ≤ ２π ，０ ≤ v ≤ ２π） ；

解 　 （１）Mathematica语句 ：　 　 　 　 x[u＿ ,v＿]:＝ u;

y[u＿ ,v＿]:＝ v;z[u＿ ,v＿]:＝ u^2/2 － v^2/2;

ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,－ 1,1},{v,－ 1,1},Boxed唱 ＞ False,BoxRa唱

tios唱 ＞ {1,1,1}]

运行结果 ：马鞍面如图 ７畅２０所示 ．

图 ７畅２０　 　 　

图 ７畅２１

（２）Mathematica语句 ：　 　 　 　 x[u＿ ,v＿]:＝ Sec[u]Cos[v];

y[u＿ ,v＿]:＝ Sec[u]Sin[v];

·１３·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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z [u＿ ,v＿]:＝ Tan[u];

图 ７畅２２

　 　 　 　 ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,－ Pi/3,Pi/3},{v,0,2Pi},Boxed唱 ＞ False,BoxRatios唱 ＞ {1,1,1}]

运行结果 ：单叶双曲面如图 ７畅２１所示 ．（３）Mathematica语句 ：

　 　 　 　 x[u＿ ,v＿]:＝ Sin[u]Cos[v];y[u＿ ,v＿]:＝ Sin[u]Sin[v];z[u＿ ,v＿]:＝ v/4;ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},Boxed唱 ＞ False,BoxRatios唱 ＞ {1,1,1}]

运行结果 ：螺旋面如图 ７畅２２所示 ．说明 　本例实验中 ，可选项的选择中去掉方

框 ，图形长 、宽 、高比定义为 １ ∶ １ ∶ １ ，使得图形更美观 ．【实验 7畅3】 　绘制高维麦比乌斯曲面 ．

f（u ，t） ＝ ２ ＋ cos u２ sin t － sin u２ sin２ t cosu

g（u ，t） ＝ ２ ＋ cos u２ sin t － sin u２ sin２ t sinu

h（u ，t） ＝ sin u２ sin t ＋ cos u２ sin２ t

　 （０ ≤ u ≤ ２π ，０ ≤ t ≤ ２π）

解

Mathematica语句 ：　 　 　 　 a ＝ 2;

f ＝ (a ＋ Cos[u/2]Sin[t] － Sin[u/2]Sin[2t])Cos[u];g ＝ (a ＋ Cos[u/2]Sin[t] － Sin[u/2]Sin[2t])Sin[u];h ＝ Sin[u/2]Sin[t] ＋ Cos[u/2]Sin[2t];ParametricPlot3D[{f,g,h},{t,0,2Pi},{u,0,2Pi},Boxed唱 ＞ False,Axes唱 ＞ False,PlotPoints唱＞ 30]

运行结果（图 ７畅２３） ：说明 　本例中 ，可选项的选择中去掉方框 ，去掉坐标轴 ，加密了连线中的点数 ．

·２３· 应用微积分学习辅导（下册）

图 ７畅２３

　 　 【练习 7畅2】 　绘制下列参数方程表示的函数的图形 ．

（１）柱面x（u ，v） ＝ cos vy（u ，v） ＝ sin vz（u ，v） ＝ u

（０ ≤ u ≤ ２ ，０ ≤ v ≤ ２π）

图 ７畅２４

解

Mathematica语句 ：　 　 　 　 x[u＿ ,v＿]:＝ Cos[v];

y[u＿ ,v＿]:＝ Sin[v];z[u＿ ,v＿]:＝ u;ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,0,2},{v,0,2Pi},Boxed唱 ＞ False,BoxRatios唱 ＞ {1,1,1}]

运行结果（图 ７畅２４） ：

（２）x（u ，v） ＝ sin（u ＋ v）y（u ，v） ＝ cos（u ＋ v）z（u ，v） ＝ u

　 （ － ２ ≤ u ，v ≤ ２） ．

Mathematica语句 ：　 　 　 　 x[u＿ ,v＿]:＝ Sin[u＋ v];

y[u＿ ,v＿]:＝ Cos[u＋ v];z[u＿ ,v＿]:＝ u;ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,－ 2,2},{v,－ 2,2},Boxed唱 ＞ False,BoxRatios唱 ＞ {1,1,1}]

运行结果（图 ７畅２５） ：

·３３·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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图 ７畅２５

附 ：图形欣赏

１畅 Mathematica语句　 　 　 　 Plot3D[(x ＋ y)/(xy),{x,－ 1,1},{y,－ 1,1 },PlotPoints唱 ＞ {40,40},Axes唱 ＞ False,Boxed唱 ＞

False]

运行结果（图 ７畅２６） ：

图 ７畅２６

２畅 Mathematica语句　 　 　 　 a＝ Plot3D[(x ＋ y^2)/(y^2 － x),{x,－ 1,2},{y,－ 2,2 },DisplayFunction唱 ＞ Identity];

xyz＝ Graphics3D[{Thickness[0畅01],Hue[0畅9],Line[{{0,0,0},{2,0,0}}],Line[{{0,0,0},

·４３· 应用微积分学习辅导（下册）

{0,2,0}}],Line[{{0,0,0},{0,0,20}}]}];Show[{a,xyz},DisplayFunction唱 ＞ MYMDisplayFunction,Axes唱 ＞ False,Boxed唱 ＞ False,View唱Point唱 ＞ {2,3,4}];

运行结果（图 ７畅２７） ：

图 ７畅２７

·５３·第 ７章 　空间解析几何与向量代数

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