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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

La struttura nucleare dell’atomo

Lezione 1

Prequel: la struttura atomica della materia

•  Alla fine dell’800 è ormai completamente assodata la struttura atomica della materia: –  su di essa si basa tutta la chimica –  elementi chimici classificati nella tavola periodica –  identificati dal numero atomico Z

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2016/17 2

Z Numero atomico

Peso atomico

Peso atomico: massa [in g] di una mole NA = 6.022×1023

di atomi dell’elemento

L’esperimento di Rutherford (Das-Ferbel, cap. 1)

•  J.J. Thomsons aveva estratto dall’atomo particelle cariche negativamente.

•  Essendo neutro, l’atomo doveva contenere delle cariche positive. •  Si pone il problema di come queste siano distribuite. •  L’esperimento di Rutherford e collaboratori del 1910 dimostrò che la

carica positiva è concentrata in un nucleo –  puntiforme entro la risoluzione dell’esperimento –  inizio della fisica “nucleare”

•  Introdurremo due concetti fondamentali per il corso: –  il processo di scattering –  e la definizione di sezione d’urto

•  con le definizioni collegate di coefficiente di assorbimento e cammino libero medio o lunghezza di interazione

•  Vedremo: –  la cinematica dell’urto non relativistico –  come calcolare la sezione d’urto per scattering coulombiano


→ scoperta dell’elettrone

L’esperimento di Rutherford


Prima di realizzare l’esperimento per cui è universalmente ricordato


•  Nel 1910 due assistenti di Rutherford, H. Geiger e E. Marsden, iniziarono sotto la direzione di Rutherford, una serie di esperimenti a Manchester.


•  Con questi esperimenti fu misurata la sezione d’urto di diffusione delle particelle α da parte degli atomi del bersaglio.

•  L’osservazione che destò l’interesse di Rutherford fu la relativa abbondanza di particelle α diffuse a grande angolo.


•  L’esperimento consiste nella misura del numero di particelle α deviate in funzione dell’angolo di deflessione:

•  È necessario determinare quantitativamente: –  la probabilità che una particelle α venga deflessa in un certo angolo

solido –  il tasso di eventi effettivamente atteso –  concetto di sezione d’urto


dΩ

Interludio: angolo solido

•  L’angolo solido in steradianti (sr) è l’area sottesa sulla superficie sferica di raggio unitario. –  In analogia all’angolo in radianti (rad) che è l’arco sotteso sulla

circonferenza di raggio unitario.

•  Il differenziale dΩ è dato da:

–  a volte si sottintende l’integrazione su φ:

•  Come ci si aspetta:


θ θ

=sinθdφdθ

dΩ = sinθdϕdθ= dϕ d cosθ

= 2sin θ 2( )cos θ 2( )dϕ dθ

dΩ = 2π sinθdθ

dΩ∫ = dϕ dθ sinθ0

π∫0

2π∫ = 2π dθ sinθ

0

π∫

= 2π dcosθ−1

1∫ = 4π

Un rivelatore di area A, ad una distanza r sottende un angolo solido ΔΩ=A/r2

Sezione d’urto

•  In fisica nucleare e subnucleare siamo interessati a interazioni che avvengono in regioni di dimensioni inferiori a quelle di un atomo: –  dimensioni minori del più piccolo strumento che possiamo costruire; –  la stessa preparazione dello stato iniziale ha incertezze maggiori della

regione in cui avvengono i fenomeni.

•  In esperimenti di scattering studiamo stati asintotici: –  parametri (intensità, quantità di moto...) del fascio incidente –  parametri (angolo di deflessione, quantità di moto...) delle particelle

diffuse –  entrambi misurati a “grandi” distanze dalla regione di interazione. –  Si può misurare il tasso con cui si ottiene un certo risultato finale a partire

dal sistema inizialmente preparato.

•  La sezione d’urto è una quantità collegata alla probabilità che si verifichi un certo evento: –  Quantità osservabile –  Interpretabile sia in meccanica classica che in meccanica quantistica


Sezione d’urto


•  Consideriamo un esperimento ideale: –  un fascio di proiettili –  incidente su una lamina di materiale –  andiamo a misurare quante vengono deflesse verso un rivelatore

•  Il numero di interazioni al secondo dn/dt è proporzionale a: –  l’intesità del fascio (numero di particelle incidenti al secondo) I0

–  la densità di bersagli (numero di bersagli per unità di volume) nT –  lo spessore del bersaglio dz –  l’angolo solido sotteso dal rivelatore ΔΩ

•  La costante di proporzionalità ha le dimensioni di una superficie ed è detta sezione d’urto differenziale dσ/dΩ

dzoI dn θ( )dt

∝ nT

dn θ( )dt

= I0nTdzdσdΩ

ΔΩ

I0nT dz ΔΩ

ΔΩ

Misura della sezione d’urto


•  Supponiamo di potere considerare il bersaglio sottile (condizione che si verifica molto frequentemente) –  ciò è equivalente alla condizione

•  in queste condizioni per una ben definita condizione sperimentale –  ad es. una fissata energia del fascio, una fissata accettanza angolare ΔΩ –  il numero N0 di particelle del fascio è misurato con un rivelatore monitor –  il numero di interazioni n è misurato con il rivelatore

•  inoltre sono ovviamente conosciuti –  lo spessore del bersaglio dz –  la densita nT di atomi/nuclei bersaglio (target)

•  ρ è la densità, A peso atomico e NA il numero di Avogadro

•  La sezione d'urto allora è

•  se gli errori su tutte le grandezze sono trascurabili escluso l'errore statistico su n, l'errore statistico sulla sezione d'urto è

nTdzσ ≪ 1

nT =ρANA

dσdΩ

=1ΔΩ

1nTdz

nN0

Δσσ

=Δnn=

nn

=1n

monitor θ

rivelatore E

N.B.: ΔΩ = area rivelatore/distanza2

Assorbimento e lunghezza di interazione


•  La sezione d’urto totale σ si ottiene integrando la sezione d’urto differenziale su tutto l’angolo solido:

•  Il tasso totale di particelle diffuse si traduce in una diminuzione dell’intensità I del fascio:

•  Se la diminuzione del numero di particelle nel fascio non è trascurabile, l’intensità varia con la profondità secondo la legge:

•  dove µ=nTσ prende il nome di coefficiente di assorbimento. •  Analogamente si può introdurre la lunghezza d’interazione λ

(detta anche libero cammino medio)

⇒dII z( )

= −nTσdz

I z( ) = I0e−nTσ z = I0e−µz

λ =1µ=1nTσ

I z( ) = I0 e−zλ

dndt

= −dI = InTdzσ 0 Ldz

fascio

z

σ = dϕ sinθ dθ dσdΩ0

π∫0

2π∫

Assorbimento e lunghezza di interazione

•  Se lo spessore z è piccolo (z≪λ): –  il fascio uscente è ridotto in intensità di un fattore 1-z/λ –  la probabilità di scattering di un particella del fascio è

–  prodotto della densità superficiale nTz per la sezione d’urto σ

•  La densità di centri di scattering dipende dalla densità del materiale:

–  spesso si esprime λ normalizzata per la densità:

•  dipende dal materiale, ma non dallo stato dello stesso •  ha le dimensioni di una densità superficiale.


z λ = nT zσ

nT =ρANA

λ =1nTσ

=A

ρNAσλρ( ) =

ANAσ

Urto non relativistico tra due particelle

–  Conservazione del momento

–  Conservazione dell’energia cinetica


!vo

!vα

!vtmα!vo = mα

!vα +mt!vt

!vo =!vα +

mtmα!vt vo2 = vα2 +

mt2

mα2vt2 + 2

mtmα!vt ⋅!vα

12mαvo2 =

12mαvα2 +

12mtvt2

2 2 2to t

mv v vmaa

= + 2 2tt

mv v

maa

+ = vt2 =mtmα

vt2 + 2!vt ⋅!vα

vt2 1−mtmα

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2

!vt ⋅!vα

vα2 +mt2

mα2vt2 + 2

mtmα!vt ⋅!vα

Urto non relativistico tra due particelle

•  In base alla relazione

•  Se mt<mα

•  le due particelle escono nella stessa direzione

•  Se mt>mα

•  le due particelle tendono a uscire in direzioni opposte


vt2 1−mtmα

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2

!vt ⋅!vα

1 0tmma

- >!vt ⋅!vα > 0

1 0tmma

- <!vt ⋅!vα < 0



•  Nel modello di Thomson dell’atomo

•  Sappiamo che l’elettrone è molto leggero (misura e/m)

•  Se l’urto fosse con l’elettrone

•  La particelle α non sarebbe apprezzabilmente deviata dall’elettrone –  Si può verificare che neppure la carica positiva uniformemente

distribuita sulle dimensioni dell’atomo deflette apprezzabilmente la particella α

+

-

mtmα∼ 10−4 !vo =

!vα +mtmα!vt ≈

!vα



•  Supponiamo che l’atomo abbia un nucleo molto piccolo ma molto pesante –  ad esempio se consideriamo l’oro (A=197, mt ~ 2×105 MeV)

–  Inoltre

–  Pertanto il momento del nucleo dopo l’urto è

•  Significa che la particella α può addirittura rinculare indietro

vt2 1−mtmα

"#$

%&' = 2

!vt ⋅!vα vt2 1−

mtmα

"#$

%&' = 2vt ⋅ vα cosθ ≤ 2vt ⋅ vα

vt2 ≤ 2mαmt

vt ⋅ vα vt ≤ 2mαmt

vα

vo2 = vα2 +mtmα

vt2

mtmα∼ 50

≤ vα2 +mtmα

2mαmt

"#$

%&'2vα2 = vα2 + 4

mαmt

vα2 ∼ vα2 vo ∼ vα

vt ≤ 2mαmt

vα mtvt ≤ 2mαvα mtvt ≤ 2mαvo

mα!vo

mtvt ∼ 2mαvomαvo

1− mtmα

≈ −mtmα

Scattering coulombiano


•  Fino a questo punto abbiamo fatto dei ragionamenti qualitativi •  Si può fare un calcolo quantitativo con interazione

fra la particella α e il nucleo di tipo Coulombiano

•  La traiettoria è un ramo di un’iperbole •  Ci sono due costanti del moto

–  L’energia totale:il campo è conservativo –  Il momento angolare: la forza è

diretta lungo e ha momento nullo

V r( ) =14πεo

ZZαe2

r

z

θχοb

b = parametro d’impatto

θ = angolo di scattering mα!vo

E ≡12mαvo2 =

12mαv2 +U r( )

!L =!r ×m!v

χr

!r

ro

!r ×!F = 0

� Utilizziamo le coordinate polari r e χ

� Le coordinate del punto di massimo avvicinamento sono ro e χo

� vogliamo trovare la relazione fra b e θ

DIM

Scattering Coulombiano


•  Passiamo in coordinate polari r e χ:

–  Se scomponiamo la velocità nelle componenti radiale e trasversale:

–  Equazione della traiettoria:

–  Angolo al punto di massimo avvicinamento: •  dove r0 è soluzione di

•  Un calcolo lungo ma non difficile permette di ottenere

z

θχοb

mα!vo

χr

b = 14πεo

ZZαe2

2Ecotθ2

E =12mαvo2

DIM

L = mαvob = 2mαEb

dχdt

=Lmr2

vT =Lmr

vT = rdχdt

vr =drdtvr = v2 − vT2 =

2mEkin −

L2

m2r2=

2m

E −V (r)− L2

2mr2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

drdt=

2m

E −V (r)− L2

2mr2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

dχdr

=Lmr2

2m

E −V (r)− L2

2mr2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−1/2

θ = π-2χ0

χ0 = dr Lmr2

2m

E −V (r)− L2

2mr2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−1/2

r0

+∞

∫E −V (r)− L2

2mr2= 0

Sezione d’urto di Rutherford

•  Dalla relazione tra parametro di impatto e angolo di deflessione:

•  ricaviamo la relazione differenziale:

•  Le particelle α che vengono diffuse tra un angolo θ e θ+dθ sono quelle che passano in un’area:


b = 14πεo

ZZαe2

2Ecotθ2

db = 14πεo

ZZαe2

2E−12

1sin2θ 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dθ

dσ = 2πbdb

= 2π 14πεo

ZZαe2

2E⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟212cosθ 2sin3θ 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dθ

DIM


•  Possiamo quindi costruire una relazione tra l’angolo solido in cui le particelle α vengono diffuse e l’area in cui sono passate:


b = 14πεo

ZZαe2

2Ecotθ2 db = 1

4πεoZZαe2

2E−12

1sin2θ 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dθ

dσ 12cosθ 2sin3θ 2

dϕdθ

bdϕdb = 14πεo

ZZαe2

2E⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟212cosθ 2sin3θ 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dϕdθ

=142cosθ 2sinθ 2

sin4θ 2dϕdθ

=14sinθsin4θ 2

dϕdθ

=14

1sin4θ 2

dΩ

DIM



•  Otteniamo quindi l’espressione:

•  Supponiamo di avere un fascio di n0 particelle per unità di area incidenti su un atomo: –  Il numero di particelle diffuse in un angolo solido dΩ sono quelle che

entrano nell’area corrispondente:

•  Se il fascio incide su NT atomi:

•  In un caso realistico un fascio di N0 particelle di sezione S incide su un bersaglio di spessore dz con nT atomi per unità di volume:

•  Il numero totale di particelle deflesse nell’angolo solido dΩ sarà:

dσdΩ

=14πεo

ZZαe2

4E⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 1sin4θ 2

dn θ( ) =NoSnTdzS

dσdΩ

dΩ

dn θ( ) = n0 dσ = n0dσdΩ

dΩ

dn θ( ) = n0NTdσdΩ

dΩ

n0 = N0 S NT = nTdzS

= NonTdzdσdΩ

dΩ

Sezione d’urto differenziale per scattering coulombiano


•  La sezione d’urto totale si può ricavare da quella differenziale per integrazione:

•  Nel caso dello scattering Coulombiano è facile rendersi conto che l’integrale non è convergente per piccoli angoli:

–  Effetto del grande range delle forze elettromagnetiche: per quanto grande sia b, c’è sempre almeno una piccola deviazione.

–  In realtà per b maggiore della dimensione atomica, gli elettroni schermano completamente la carica nucleare.

•  La formula per la sezione d’urto totale escludendo un piccolo angolo:


σ = dϕ sinθ dθ dσdΩ0

π∫0

2π∫

σ = 2π ZZα4!cEα

!"#

$%&2 sinθ dθ

sin4θ 20

π∫

σ θ > θ1( ) = 4π14πεo

ZZαe2

2E⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 1sin2θ1 2

−1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 8π ZZα4!cEα

!"#

$%&2 d sinθ 2( )

sin3θ 20

1∫

ESERCIZI


Esercizio 1 (vedi es. 1.11 del Das-Ferbel)

•  Considerare una sorgente collimata di particelle α di 8 MeV di energia, che fornisce 104 α/s su un foglio d’oro di 0.1 mm. Che tasso di conteggio ci si aspetta in un rivelatore che sottende un anello conico di Δθ=0.05 rad ad un angolo di scattering di 90°? Lo si confronti con il tasso a 5°. Il risultato pone dei problemi?


Esercizio 2

•  Calcolare la sezione d’urto differenziale e totale per l’urto di una particella puntiforme di massa trascurabile su una sfera rigida di raggio R


Esercizio 3 (vedi sezione 1.5 del Das-Ferbel)

•  La derivazione della sezione d’urto per scattering coulombiano, è stata eseguita assumendo un centro di forze fisso.

•  Sapendo che, per una forza centrale, si può scomporre il problema a due corpi in un moto relativo con una massa pari alla massa ridotta dei due corpi e nel moto del centro di massa: –  dimostrare che il dΩ nel sistema del centro di massa è uguale

al dΩ del moto relativo –  determinare la relazione tra la sezione d’urto nel sistema del

centro di massa e quella nel sistema del laboratorio:


dσdΩlab.

=dσ

dΩc.m.dΩc.m.dΩlab.

Esercizio 4

•  Il neutrone venne osservato come una radiazione neutra in grado di trasferire un’energia significativa ai nuclei. –  dimostrare che la massima energia

trasferita da un proiettile di massa ed energia m1 ed E1 ad un bersaglio di massa m2 è:

–  Chadwick misurò (con errori relativa- mente grandi) una radiazione neutra che produceva un’energia massima di rinculo di 5 MeV su nuclei di idrogeno e di 1 MeV su nuclei di azoto. Che e- nergia e massa ha questa radiazione? (usare i pesi atomici per determinare le masse dei nuclei)


Emax = E14ζ

(1+ζ )2, ζ =

m1m2

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