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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Teoria dello scattering

Lezione 7

Teoria dello scattering

•  Abbiamo già usato la regola d’oro di Fermi per calcolare delle sezioni d’urto: –  L’interazione nell’elemento di matrice |⟨f|V|i⟩| vista come piccola

perturbazione sugli stati di particella libera i ed f.

•  Oggi tratteremo un approccio formalmente esatto che permette di mettere in evidenza alcune proprietà generali dei processi di scattering: –  quali stati di momento angolare contribuiscono alla diffusione –  limiti alle sezioni d’urto –  processi di risonanza

•  Il processo logico che seguiremo sarà il seguente: –  Per stati non legati esistono infinite autofunzioni con energia E –  Una qualunque combinazione lineare di queste è autofunzione di E –  Possiamo sceglierne una combinazione che abbia la forma di un’onda

piana incidente ed un’onda diffusa –  L’ampiezza dell’onda diffusa sarà la sezione d’urto

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 1 A. Andreazza - a.a. 2015/16 2

Autostati di particella libera

•  Coordinate cartesiane

–  Autofunzioni di H e di p

•  Coordinate sferiche

–  Autofunzioni di H e L, Lz


−!2

2m∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ψ(r) = Eψ(r) −

!2

2m∂2

∂r2u(r)+ !

2l(l +1)2mr2

u(r) = Eu(r)

ψ r( ) =un,l (r)r

Yl,m (θ,ϕ )

ψ r( ) = Aeik⋅rk = p / !

k = 2mE / !

ψ r( ) = jl (kr)Yl,m (θ,ϕ )

Funzioni di Bessel sferiche

j0 (kr) =sinkrkr

j1(kr) =sinkr(kr)2

−coskrkr

j2 (kr) =3sinkr(kr)3

−3coskr(kr)2

−sinkrkr

jl (kr) ≈sin(kr − lπ / 2)

krper kr→∞

Autostati di particella libera

•  Possiamo esprimere la funzione d’onda di una base, in termini di dell’altra:

•  Questa costruzione prende il nome di sviluppo in onde parziali •  Si noti che, avendo scelto k diretto lungo l’asse z, in questo sviluppo

ci sono solo componenti con Lz=0 •  mancano i termini exp(imφ)

•  A grande distanza (kr→∞) dalla regione di interazione:


Aeikz = A il (2l +1) jl (kr)Pl (cosθ )l=0

∞

∑ψinc r( ) =Onda piana incidente

ψinc r( ) ≈ A il (2l +1) ei(kr−lπ /2) − e−i(kr−lπ /2)

2ikrPl (cosθ )

l=0

∞

∑sin(kr + lπ / 2)

kr

=A2kr

il+1(2l +1) e−i(kr−lπ /2) − ei(kr−lπ /2)⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )l=0

∞

∑Onda sferica

entrante Onda sferica

uscente

Autostati in presenza di potenziale

•  Indipendentemente dai dettagli del potenziale, per r→∞, l’equazione radiale si riduce alla forma:

•  che ha soluzioni del tipo:

•  che possiamo scrivere in forma generica

–  valori di B e δl determinati dalla continuità con la soluzione esatta dipendente dal potenziale

–  l’effetto del potenziale è introdurre uno sfasamento •  es.: il puro potenziale centrifugo genera δl =lπ/2

–  un’autofunzione rilevante avrà l’espressione (per r→∞)


−!2

2m∂2

∂r2u(r)+V (r)u(r)+ !

2l(l +1)2mr2

u(r) = Eu(r) ⇒ −!2

2m∂2

∂r2u(r) = Eu(r)

u(r) =C sinkr +Dcoskr

u(r) = Bsin(kr − lπ / 2+δl ) C = Bcosδl, D = Bsinδl

ψ =A2kr

il+1(2l +1) e−i(kr−lπ /2+δl ) − ei(kr−lπ /2+δl )⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )l=0

∞

∑

Onda incidente e onda diffusa

•  Scegliamo una combinazione lineare leggermente diversa, moltiplicando ogni funzione per il exp(iδl):

•  Possiamo in tal modo riscrivere la soluzione esatta a grandi distanze dalla regione di interazione:


ψ =A2kr

il+1(2l +1) e−i(kr−lπ /2) − ei(kr−lπ /2+2δl )⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )l=0

∞

∑

ψ =A2kr

il+1(2l +1) e−i(kr−lπ /2) − ei(kr−lπ /2) + ei(kr−lπ /2) − ei(kr−lπ /2+2δl )⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )l=0

∞

∑

=A2kr

il+1(2l +1) e−i(kr−lπ /2) − ei(kr−lπ /2)⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )l=0

∞

∑

+A2kr

il+1(2l +1)ei(kr−lπ /2) 1− e2iδl⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )l=0

∞

∑

ψ =ψinc +Aeikr

2kri(2l +1) 1− e2iδl⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )

l=0

∞

∑Onda piana incidente

Onda sferica diffusa.

-il

Sezione d’urto differenziale

•  Funzione d’onda sovrapposizione: –  dell’onda piana incidente, ψinc

–  di un onda sferica uscente dal centro di diffusione ψsc

•  Descrive un processo di scattering: –  la sezione d’urto dipende dalla probabilità di trovare

asintoticamente la particella nel cono dΩ:


ψ =ψinc +Aeikr

2kri(2l +1) 1− e2iδl⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )

l=0

∞

∑

dσ =φ(ψsc )(r

2dΩ)φ(ψinc )

=ψsc

2 (!k /m)(r2dΩ)ψinc

2 (!k /m)

=14k2

i(2l +1) 1− e2iδl⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )l=0

∞

∑2

dΩ

dσdΩ

=14k2

i(2l +1) 1− e2iδl⎡⎣ ⎤⎦Pl (cosθ )l=0

∞

∑2

Sezione d’urto totale

•  Per calcolare la sezione d’urto totale dobbiamo integrare su tutto l’angolo solido:

–  usando la normalizzazione per i polinomi di Legendre

–  La sezione d’urto risulta scomposta in sezioni d’urto parziali.

–  Ogni sezione d’urto parziale è limitata:


σ =14k2

dΩ∫ i(2l1 +1) 1− e2iδl1⎡

⎣⎤⎦Pl1 (cosθ )

l1=0

∞

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

*

i(2l2 +1) 1− e2iδl2⎡

⎣⎤⎦Pl2 (cosθ )

l2=0

∞

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=14k2

(2l1 +1)(2l2 +1) 1− e−2iδl1⎡

⎣⎤⎦ 1− e

2iδl2⎡⎣

⎤⎦ dΩPl1 (cosθ )∫ Pl2 (cosθ )

l2=0

∞

∑l1=0

∞

∑

dΩPl1 (cosθ )∫ Pl2 (cosθ ) =4π2l1 +1

δl1,l2

σ =πk2

(2l +1)1− e2iδl2

l=0

∞

∑

σ ≤4π (2l +1)

k2

σ =4πk2

(2l +1)sin2 δll=0

∞

∑

Parametro di impatto

•  Sembrerebbe che il calcolo delle sezioni d’urto richieda una sommatoria infinita.

•  In realtà alla sezione d’urto reale contribuiscono solo un numero limitato di onde parziali.

•  Una particella con momento p=ħk e momento angolare L2=l(l+1)ħ2, passera tipicamente ad una distanza b. –  Se il potenziale si estende fino ad un raggio R, influenza gli stati di

momento angolare fino a: –  lħ=pR → l=kR –  Il numero di onde parziali da considerare aumenta con l’energia –  La sezione d’urto massima è:


b p

σ ≤4πk2

(2l +1)l=0

kR

∑ =4πk2(kR+1)2 = 4π R+ 1

k⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

= 4π R+λ( )2

(2l +1) = (n+1)2l=0

n

∑ Lunghezza d’onda Compton

Buca di potenziale

•  Per fissare le idee torniamo alla buca di potenziale:

–  in onda s, le soluzioni ad energia positiva sono

–  e le condizioni di continuità danno:

–  e dal rapporto, otteniamo l’equazione per lo sfasamento δ0:


E

-V0

r

R

u r( ) =Asink1r k1 = 2m(E +V0 ) / ! r < R

Bsin(k2r +δ0 ) k2 = 2mE / ! r > R

⎧⎨⎪

⎩⎪

V r( ) =−V0 r < R0 r > R

⎧⎨⎪

⎩⎪

Asink1R = Bsin(k2R +δ0 )

Ak1 cosk1R = Bk2 cos(k2R +δ0 )

k1 cot k1R = k2 cot(k2R +δ0 )

Buca di potenziale

•  Indicando per comodità: •  con un po’di trigonometria si ottiene:

•  Da cui la sezione d’urto:

•  La lunghezza di scattering: •  corrisponde al limite k→0, σ=4πa2 •  ovvero anche al limite k→0, -δ0/k:


E

-V0

r

R cotδ0 =

k sinkR +α coskRk coskR −α sinkR

k1 cot k1R = α k2 = k

sin2δ0 =1

1+ cot2δ0=coskR − (α / k)sinkR[ ]2

1+α2 / k2

σ =4π sin2δ0

k2= 4π coskR − (α / k)sinkR[ ]2

k2 +α2

a = coskR − (α / k)sinkRα

Bsin(kr +δ0 ) = Bsink(r − a)

scelta convenzionale zero della funzione d’onda

Core repulsivo in interazioni tra nucleoni


Risonanze

•  La sezione d’urto è massima per sfasamento δl=π/2

•  Sviluppando cotδl

•  e definendo

•  in prossimità di tale valore dello sfasamento:


cotδl (E) = cotδl (ER )+ (E − ER )∂cotδl∂E

+ ...

Γ=∂cotδl∂E

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−1

cotδl (E) =E − ERΓ / 2

sin2δl =1

1+ cot2δl=

1

1+ (E − ER )2

Γ2 / 4

=Γ2 / 4

Γ2 / 4 + (E − ER )2

•  Si ottiene la sezione d’urto risonante:

σ =πk2(2l +1) Γ2

Γ2 / 4 + (E − ER )2

Sezione d’urto e+e-


49. Plots of cross sections and related quantities 5

σ and R in e+e− Collisions

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

1 10 102

σ[m

b]

ω

ρ

φ

ρ′

J/ψ

ψ(2S)Υ

Z

10-1

1

10

102

103

1 10 102

Rω

ρ

φ

ρ′

J/ψ ψ(2S)

Υ

Z

√

s [GeV]Figure 49.5: World data on the total cross section of e+e− → hadrons and the ratio R(s) = σ(e+e− → hadrons, s)/σ(e+e− → µ+µ−, s).σ(e+e− → hadrons, s) is the experimental cross section corrected for initial state radiation and electron-positron vertex loops, σ(e+e− →µ+µ−, s) = 4πα2(s)/3s. Data errors are total below 2 GeV and statistical above 2 GeV. The curves are an educative guide: the broken one(green) is a naive quark-parton model prediction, and the solid one (red) is 3-loop pQCD prediction (see “Quantum Chromodynamics” section ofthis Review, Eq. (9.7) or, for more details, K. G. Chetyrkin et al., Nucl. Phys. B586, 56 (2000) (Erratum ibid. B634, 413 (2002)). Breit-Wignerparameterizations of J/ψ, ψ(2S), and Υ(nS), n = 1, 2, 3, 4 are also shown. The full list of references to the original data and the details ofthe R ratio extraction from them can be found in [arXiv:hep-ph/0312114]. Corresponding computer-readable data files are available athttp://pdg.lbl.gov/current/xsect/. (Courtesy of the COMPAS (Protvino) and HEPDATA (Durham) Groups, May 2010.)

√s [GeV]

Generalizzazione a scattering anelastico

•  Nel caso ci sia la possibilità di assorbimento o cambiamento di natura delle particelle, ψsc diventa:

•  con •  Oltre alla sezione d’urto elastica

•  Sezione d’urto anelastica:

•  e totale:

•  Γ è la larghezza di decadimento totale della risonanza.

•  Se ci sono diversi canali di decadimento, si introducono le larghezze parziali per I vari canali:

•  La risonanza è prodotta con spin I da particelle con spin s1 ed s2, il fattore 2l+1 va modificato:


ψ =ψinc +Aeikr

2kri(2l +1) 1−ηl[ ]Pl (cosθ )

l=0

∞

∑

ηl ≤1

σ el =πk2

(2l +1) 1−ηl[ ]2

l=0

∞

∑

σ an =πk2

(2l +1) 1− ηl2⎡

⎣⎤⎦

l=0

∞

∑

σ an =2πk2

(2l +1) 1−ℜηl[ ]l=0

∞

∑

Γ= Γicanali∑

σ =πk2

2I +1(2s1 +1)(2s2 +1)

ΓinΓoutΓ2 / 4 + (E − ER )2

Stato iniziale Stato finale

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