Lezione 1:La matematica che serve

Sandro Gronchi

Modelli di welfare a confronto

AA 2012-2013

Avvertenza: le slides sono animate. Si prega di visionarle attivando il

movimento (chiave F5)

1. Tassi di crescita unitari e percentuali

Nel linguaggio parlato, i tassi di crescita si esprimono normalmente in termini percentuali. Ad esempio, si usa dire che una grandezza cresce al 10% per significare che cresce di un’unità per ogni 100 che ne fanno parte.

In matematica, i tassi di crescita si esprimono invece in termini unitari. Ad esempio, un tasso pari a 0,1 fa crescere la grandezza di un decimo per ogni unità che ne fa parte. Dal tasso unitario si passa all’equivalente tasso percentuale moltiplicandolo per 100.

Per ottenere la crescita, basta moltiplicare la grandezza per il tasso unitario. Ad esempio, moltiplicando una grandezza che vale 200 unità per un tasso unitario che vale 0,1 (10%) si ottiene una crescita di 200 x 0,1 = 20 unità.

2.Montante di una grandezza k che cresce al tasso r

30k

0

1

2 tempo

0 1

In generale, il montante

di al tempo 'n' è :k

n

nk k r

valore di k iniziale

1 0 0 0 1

fattore dicrescita

valore crescitainiziale

k k r k k r

montante (valore

raggiunto da k) al

tempo ‘1’ 3

3 2 01 1k k r k r

montante al tempo ‘3’

Se k è un capitale, il tasso di crescita è un tasso d’interesse e il fattore di crescita un fattore di interesse

k0 è moltiplicato per la potenza n.esima

del fattore di crescita

2

2 1 01 1k k r k r montante al tempo ‘2’

3

0k

0

2

3. Montante a tasso variabile

tempo

3 2 3

3

01

1 1 11 2 3

1

1

ii

r r r

k k r

k r

1

1 0 11k k r

01

1n

n ii

k k r

In generale :

2

2 1 2 01

1 11 2

1 1

ii

r r

k k r k r

k0 è moltiplicato per il prodotto di n fattori di crescita (anziché per la potenza n.esima di

un unico fattore)

0 1 0

... si trova risolvendo l'equazione

nell'incognita . Pertanto ...1 kk +r = k

0 2 3

4. Sconto di una grandezza in crescita al tasso r

0

1

1

1

1

In generale, si sconta

moltiplicandolo per la potenza

n.esima del fattore di sconto:

n

n

k

n

n n=+ r +r

k = k k

1

1k

Lo sconto del valore k1 che k assume al tempo ‘1’ è il valore che k aveva al tempo ‘0’ (prima della crescita) ...

Lo sconto serve a rispondere a domande del tipo: quale capitale occorre investire al tempo ‘0’ in un titolo che rende il 10% per ottenere 11.000 euro al tempo ‘1’, oppure 12.100 al tempo 2, oppure 13.310 al tempo 3?

1

2

2

0 2

Come lo sconto di si trova

risolvendo . Quindi ...

k

k +r = k

2k

0 2

1

12k = k

+ r

0 1

1

1k = k

+ r

3

0 3

3

Come lo sconto di si trova

risolvendo . Quindi...1

k

k +r = k

3k

0 3 3

1

1k k

r

la frazione (reciproco del fattore

d’interesse) si chiama fattore di sconto

5. Sconto a tasso variabile

0 2 31

2

01

1

1i ir 2=k k

10 1

11+ r

k = k

3

3

01

1

1i ir =k k

0

1

In generale, si sconta moltiplicandolo

per il prodotto di fattori di sconto:

11

n

n

i i

k

n

r n=k k

1k 2k 3k

6. Come si trova il tasso di crescita

Una grandezza k passa dal valore k0 (ad esempio, 100.000) nell’anno ‘0’ al valore kn nell’anno ‘n’ (ad esempio, 133.100 dopo 3 anni). Per sapere a quale tasso annuo è cresciuta, basterà risolvere l’equazione nell’incognita r: 0 1 n

nk k r

0

da cui 1nn

kr

k

0

e perciò: 1nn

kr

k

1

0

Si noti che, per n=1, 1k

rk

3

Nell'esempio:

133.100 1 1,1 1 0,1 10%

100.000r

Si consideri una grandezza che cresce del 10% per una prima concausa e del 20% per una seconda. I due tassi ‘si compongono’ (sono composti) nel senso che l’uno agisce non solo sul valore iniziale della grandezza ma anche sulla crescita generata dall’altro. Ad esempio, se il valore iniziale è 100, il 20% agisce anche sulle 10 unità aggiuntive generate dal 10%.

γ (?)

7. Il tasso ‘somma’

valore f

Il tasso somma, indicato con si trova come

spiegatonella slide precedente e cioè sottraendo

l'unità al quoziente fra il valore finale della

grandezza e quello iniziale, Perciò:

100 1 0,1 1 0,2

inale

valore iniziale

1100

1 0,1 1 0,2 1

0,32

γ = 0,32 (32%)

110

100 1 0,1

100

132

100 1 0,1 1 0,2

0,1 (10%) 0,2 (20%)

A quale tasso ‘somma’ (complessivo) cresce la grandezza?

In generale, per somma dei

tassi e intenderemo:

1 1 1

Si noti che:

1 1 1 1 1 1

cioè l'ordine di applicazione dei tassi composti

non cambia il tasso somma

8. Un esempio di somma

In base a un contratto di lavoro, ai nuovi assunti spetta un ‘salario d’ingresso’ di 100 euro che deve crescere in base al tasso d’inflazione (per reintegrare il potere d’acquisto) e al 20% per accrescere il potere d’acquisto di tale percentuale

Pertanto la corretta applicazione del contratto deve prevedere l’uso del tasso composto

E' la somma 'composta':

1 0,1 1 0,2 1

0,32

?γ (?)100

Qual è il tasso γ che ottempera al contratto nel caso l’inflazione sia del 10%?

132γ = 0,32 (32%)

..e non quella 'semplice':

0,1 0,2

0,3

Infatti, se il livello generale dei prezzi fosse inizialmente stato di 1 € (in media, le merci fossero

costate 1€) il salario iniziale avrebbe potuto acquistare 100 unità di 'merce media'. Crescendo

al130

tasso semplice =0,3 il salario finale potrebbe acquistarne =108,33 mentre il contratto1,2

vuole che possa acquistarne 110.

è l'incognita dell'equazione:

100 1 0,1 1 100 1 0,32

110 132

da cui:

1 0,321

1 0,1

e perciò:

1 0,321 0,2

1 0,1

Un contratto di lavoro prevede una crescita del salario d’ingresso a un tasso γ=32% all’anno.

In generale, per differenza

fra i tassi e intenderemo:

1+ 11

9. Il tasso ‘differenza’

Se l’inflazione è del 10%, a quale tasso β cresce il potere d’acquisto?

γ= 0,32100

βα = 0,1

100 1 0,1

110

100 1 0,32

132

salario che garantirebbe la

sola invarianza del potere d’acquisto

1+ 11

γ α β0,32 0,00 0,320,32 0,04 0,270,32 0,08 0,220,32 0,12 0,180,32 0,16 0,140,32 0,20 0,100,32 0,24 0,060,32 0,28 0,030,32 0,32 0,000,32 0,36 -0,030,32 0,40 -0,060,32 0,44 -0,080,32 0,48 -0,110,32 0,52 -0,130,32 0,56 -0,150,32 0,60 -0,180,32 0,64 -0,200,32 0,68 -0,21

... ... ...-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80

Dalla formula della differenza

11

1

seguono i limiti:

il tasso β tende a -1 per α che tende all’infinito

lim 1

il fattore 1+ β tende a zero per α che tende all’infinito

mentre:

lim 1 0

10. Il grafico della differenza

11. Il grafico della differenza (continua)

-1

α

β

β = γ

β=0 per α=γ

la differenza β tende a -1 per α che tende all’infinito

1+β = 1+γ il fattore 1+β tende a 0 per α che tende all’infinito

α

1+β

A prescindere dall’esempio, in generale il grafico della differenza è di questo tipo

periodi 0 1 2 3

il debito del 200.000 200.000 1 0,09 318.000 1 0,09 94.620 1 0,09

v/s amico 100.000 318.000 252.000 94.620

103.1

v/s pagamenti (-)200.000 100.000 252.000 110.000

e incassi (+)

35,8

Vi chiedete: a quale Tasso Interno di Rendimento (tasso d’interesse implicito) investite i vostri soldi se accettate il ‘progetto’ (la proposta) ?

in tale ipotesi, il debito dell’amico (v/s credito) è di 318.000 € al tempo 1 ...

... 94.620 € al tempo 2 ...

... 103.135,8 € al tempo 3 ...

Si risponde ‘per tentativi’ verificando, per cominciare, un’ipotesi qualsiasi, ad esempio che sia TIR = 9%

12. Il tasso interno di rendimento (TIR)

Un amico vi chiede prestiti (v/s pagamenti) per 200.000 € al tempo 0 (quest’anno) e 100.000 al tempo 1 (l’anno prossimo).

Vi propone altresì rimborsi (v/s incassi) per 252.000 € al tempo 2 (fra 2 anni) e 110.000 € al tempo 3 (fra 3 anni).

...mentre l’amico promette di saldarvi con 110.000 €. Perciò vi siete sbagliati: dovrà essere TIR > 9%

periodi 0 1 2 3

il debito del 200.000 200.000 1 0,11 322.000 1 0,11 + 105.420 1 0,11

v/s amico 100.000 322.000 117252.000 105.420

v/s pagamenti (-)200.000 -100.000 +252.000 +110.000

e incassi (+)

.016,2

in tale ipotesi, il vostro amico vi deve 322.000 € al tempo 1 ...

... 105.420 € al tempo 2 ...

... 117.016,2 € al tempo 3 ...

13. Il tasso interno di rendimento (continua)

Sebbene fallito, il primo tentativo vi ha permesso di escludere che il TIR sia inferiore o uguale al 9%

TIR esclusi

9%

TIR ancora possibili

Testiamo ora un TIR > 9%, ad esempio testiamo TIR = 11%

11%

...mentre promette di saldarvi con 110.000 €. Perciò vi siete di nuovo sbagliati. Dovrà essere TIR < 11%

9%

TIR ancora possibili

11%

periodi 0 1 2 3

il debito del 200.000 200.000 1 0,10 320.000 1 0,10 100.000 1 0,10

v/s amico 100.000 320.000 252.000 100.00 110.0000

v/s

=

pagamenti (-)300.000 100.000 252.000 110.000

e incassi (+)

in tale ipotesi, il vostro amico vi deve 320.000 € al tempo 1 ...

... 100.000 € al tempo 2 ...

... 110.000 € al tempo 3 ...

14. Il tasso interno di rendimento (continua)

Sebbene falliti, i primi due tentativi vi hanno permesso di stabilire che il TIR è compreso fra il 9% e l’11%

Testiamo ora un TIR intermedio,. Ad esempio, testiamo TIR = 10%

Poiché vi salderà proprio con 110.000 €, avete finalmente scoperto il vostro TIR !!!

primo pagamentoo secondo pagamento primo rimborso

debito al tempo 1

debito al tempo 2

200 000 1 100 000 1 252 000 1

. TIR . TIR .

debito finale dell'amico

opposto delsecondo rimborso

110 000

TIR .

15. Il tasso interno di rendimento (continua)

A ben vedere, avete trovato il TIR come incognita dell’equazione:

3 2200 000 1 100 000 1 252 000 1 110 000 . . . .

Svolgendo i prodotti, l’equazione diventa:

2 3

100.000 252.000 100.000200.0000 0

1 1 1

Portando il secondo rimborso al primo membro e dividendo per (1+TIR) l’equazione diventa infine:

Avete quindi trovato il TIR risolvendo (per tentativi) l’equazione che azzera il valore attuale del progetto

16. Il tasso interno di rendimento (continua)

pagamenti

1a 2a 3a na

incassi

In generale, dato un progetto così articolato in pagamenti (a i<0) e incassi (bi>0),

sconto dei pagamenti (numeri negativi) sconto degli incassi (numeri positivi)

3 1 221 2 1 1 1

01 1 1 1 1 1

n n n n mn n n n m

a a b b baa

TIR TIR TIR TIR TIR TIR

Il suo TIR si trova come incognita dell’equazione:

che azzera lo sconto del progetto stesso

...1nb 2nb n mb ...

tempo

1 2 3 n n+1 n+2 n+m