lezione 4 modelli per la stima del rischio

Giovanni Della Lunga

Università degli Studi di Bologna

Modelli di Value-at-Risk con VBA

RiskmetricsTM e CreditmetricsTM

Il capitano dice al mozzo di bordo: “giovanotto, io non vedo niente, c’è solo un po’ di nebbia che annuncia il sole. Andiamo avanti tranquillamente!”

F. De Gregori

“I Muscoli del Capitano”

Introduzione a RiskMetrics

Il mapping dei flussi

Integrare Excel con Access

L’approccio Delta-Gamma

Come Funziona CreditMetrics



Come si calcola il VaR

Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede i seguenti passi :

misurazione della posizione a rischio (tasso, cambio..) per ogni unità operativa (mark-to-market);

calcolo della volatilità storica o implicita e delle correlazioni fra i fattori di rischio;

valutazione del tempo minimo di liquidazione per tipologia di posizione;

determinazione del livello di probabilità (o intervallo di confidenza).

Il capitale a rischio ovvero la massima perdita potenziale per il livello di probabilità stabilito è dato dalla moltiplicazione delle quattro componenti sopra riportate.

Come si calcola il Value-at-Risk

In condizioni di elevata liquidità dei mercati finanziari e supponendo che le posizioni possano essere smobilizzate in un giorno, la stima della massima perdita probabile prende il nome di DEaR (Daily Earnings at Risk).

Il calcolo del DEaR di un singolo strumento e/o di una posizione richiede la determinazione dei seguenti elementi

il valore di mercato dello strumento o della posizione, che indicheremo con Vx ;

la sensibilità di tale valore alle variazioni dei fattori di rischio dV/dy; la volatilità dei fattori di rischio y ponderata per il livello di confidenza

prescelto nell’ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti e/o dei cambi.


L’approccio delta-normal

ydy

dVVDEaR x y

dy

dVVDEaR x

Valore Posizione

Sensitività

Volatilità fattore di rischio


Ferma restando l’ipotesi di normalità, quando la misura del rischio avviene su un orizzonte temporale di investimento superiore al giorno, la massima perdita potenziale prende il nome di VAR e si calcola moltiplicando il DEaR per la radice quadrata del numero di giorni di detenzione.

Specificando ulteriormente gli elementi introdotti per il calcolo del

DEaR, il valore di mercato si ottiene attualizzando i flussi di cassa

futuri generati dallo strumento o dalla posizione in esame; la

sensibilità del valore di mercato può essere approssimata dalla

duration modificata, limitatamente agli strumenti “interest rate

sensitive” o da un indice di volatilità storica.

Risk Metrics

Un’applicazione della metodologia VAR è consentita

dall’utilizzo del prodotto RiskMetrics che la JP Morgan ha

messo a disposizione degli utenti sul circuito telematico

Internet. Tale prodotto si compone di un dataset di volatilità e

correlazioni giornaliere relative ad un elevato numero di

attività e strumenti finanziari. I dati forniti coprono 25 paesi

relativamente alle seguenti classi di attività: cambi, indici di

borsa, tassi di interesse per diverse scadenze e merci.


Obbligazioni Supponiamo di detenere una posizione in Euro pari a 46.6 Milioni in

un (ipotetico) zero coupon bond decennale. Supponiamo di aver stimato che la volatilità del rendimento a

scadenza 10 anni non sia superiore a 1.995% al 90 % di probabilità.

Per calcolare la corrispondente variazione percentuale sul valore da noi posseduto possiamo applicare la seguente formula

y

dyx yy

DVDEaR

1 y

dyx yy

DVDEaR

1

Supponendo che la “modify duration” sia pari a 9.26 e che il tasso di rendimento a 10 anni sia pari a 7.96 otteniamo

Pertanto abbiamo il 10 % di probabilità di perdere, su

questa posizione, più di 685.000 Euro nell’arco di 24 ore

000.685

01995.00796.026.9000.600.46

DEaR

000.685

01995.00796.026.9000.600.46

DEaR


Obbligazioni

Come si calcola il VaR: Azioni Il VAR di un titolo azionario è definito come il prodotto del valore di

mercato MV per la volatilità del prezzo ponderata per il livello di confidenza prescelto (per il 90% il fattore di ponderazione è 1.65)

Poiché RiskMetrics non fornisce le volatilità dei singoli titoli, le posizioni in azioni vengono “mappate” rispetto agli indici locali nazionali. La base di questa procedura va ricercata ancora una volta nel CAPM che lega il rendimento di un titolo a quello dell’indice di mercato.

SSMVDEaR 65.1 SSMVDEaR 65.1

Come si calcola il VaR: Azioni E’ possibile suddividere il rischio del titolo nella componente specifica e

in quella sistematica

La componente di rischio specifico può essere resa trascurabile con un’adeguata politica di diversificazione del portafoglio, per cui possiamo scrivere

2222SMSS

2222SMSS

MSS

SS

MV

MVDEaR

65.1

65.1

MSS

SS

MV

MVDEaR

65.1

65.1

Come si calcola il VaR: Opzioni In prima approssimazione si assume che l’opzione possa essere

descritta in termini di “Delta-equivalent”, quest’approssimazione

consiste nel trascurare tutti i termini della precedente equazione tranne

il primo. In questo modo l’opzione viene approssimata come un titolo

con “payoff” lineare.

Nell’approssimazione “Delta-equivalent” il VAR di un’opzione è dato

semplicemente da

tetansottosOpzione VaRVaR tetansottosOpzione VaRVaR

Come si calcola il VaR: Opzioni Possiamo rendere l’approssimazione più precisa includendo

anche il fattore ; in questo caso la standar deviation del prezzo dell’opzione è legata alla varianza del titolo sottostante dalla relazione

In questo caso il VaR dell’opzione non è più una funzione lineare del VaR del sottostante.

22/

22/

22 )(2

1SdSSdSdV SS

22/

22/

22 )(2

1SdSSdSdV SS

Come si calcola il VaR: correlazione fra fattori di rischio In generale, il DEaR di un portafoglio costituito da N titoli, ciascuno dei quali

caratterizzato da un DEaRi ( i = 1, …., N ) è calcolato come segue

dove

TVCVDEaR TVCVDEaR

),...,,( 21 NDEaRDEaRDEaRV

1

1

1

1

N

N

C

N

T

DEaR

DEaR

DEaR

V

2

1

Come si calcola il VaR: correlazione fra fattori di rischio

Anche nel caso in cui i fattori di rischio siano più di uno occorre prendere in

considerazione le correlazioni fra questi ultimi.

Consideriamo come esempio la posizione in uno zero coupon bond decennale in

Euro per un valore complessivo di 46.5 Milioni ma questa volta poniamoci nei panni

di un investitore la cui valuta di riferimento sia il dollaro USA.

In questo caso i fattori di rischio sono due:

1) la volatilità dei rendimenti nella posizione sullo ZCB a 10 anni,

2) la volatilità del cambio EUR/USD.

Il rischio complessivo sarà dato da

FXYFXYFXY abba 10,10222

102 2 FXYFXYFXY abba 10,10

22210

2 2

Come si calcola il VaR: correlazione fra fattori di rischio

La componente dovuta al rischio di tasso è quella calcolata sopra ed è pari a 685.000 EUR,

ipotizzando un livello di cambio EUR/USD pari a 5.402 questa cifra equivale a 126.805 USD.

Supponiamo poi che la volatilità sul tasso di cambio sia pari allo 0.953 % e che la correlazione

fra il rendimento dello ZCB decennale e il tasso di cambio EUR/USD sia pari a –0.0726.

La componente di rischiosità dovuta alla volatilità dei cambi è data dal prodotto fra quest’ultima

e il valore in dollari della posizione

Il rischio complessivo è quindi espresso da

USD b FX 033.8200953,0402,5

000.500.46 USD b FX 033.8200953,0

402,5

000.500.46

USD810.145033.82805.1260726.02033.82805.126 22 USD810.145033.82805.1260726.02033.82805.126 22

I flussi dei diversi mercati devono essere ripartiti su un numero limitato

di scadenze (“buckets”) in modo da preservarne le caratteristiche

finanziarie

Requisiti Uguale Segno dei flussi: se il flusso originario è una posizione lunga

(corta), i flussi trasformati devono essere posizioni lunghe (corte).

Uguale Valore di mercato: il valore di mercato del flusso originario deve

essere uguale al valore di mercato della somma dei flussi trasformati

Uguale Rischio di mercato: la sensibilità al rischio del flusso originario

deve essere uguale alla sensibilità al rischio della somma dei flussi

trasformati

Come si calcola il VaR: il mapping dei flussi

Opzione Fisher-Weil: i due flussi trasformati sono determinati in modo che

la loro somma abbia: (i) lo stesso valore di mercato e (ii) la stessa duration del flusso originario.

Opzione RiskMetrics: i due flussi trasformati sono determinati in modo che

la loro somma abbia: (i) lo stesso valore di mercato e (ii) la stessa volatilità del flusso originario.

Come si calcola il VaRIl mapping dei flussi

I fattori di sconto corrispondenti alle scadenze ti e ti-1 sono noti; il fattore di sconto relativo alla scadenza è ottenuto utilizzando il tasso di rendimento interpolato


iii

ii

ii

it ti

tt

tti

tt

ti

1

11

1

iii

ii

ii

it ti

tt

tti

tt

ti

1

11

1

t

ti

P

1

1

t

ti

P

1

1

Nell’opzione Fisher-Weil i due flussi sono calcolati risolvendo il sistema:


tit

itiit

i1it1i

1it

1i

titi1it1i

Pci1

ttPc

ti1

tttPc

ti1

tt

PctPctPc

tit

itiit

i1it1i

1it

1i

titi1it1i

Pci1

ttPc

ti1

tttPc

ti1

tt

PctPctPc

c1c

cc

i

1i

)(

c1c

cc

i

1i

)(

)()(

)(

)()(

)(

it

i

1it

1i

it

i

t

tPtt

tPtt

tPtt

Pt

)()(

)(

)()(

)(

it

i

1it

1i

it

i

t

tPtt

tPtt

tPtt

Pt

Nel caso di utilizzo dell’opzione RiskMetrics sono necessarie anche le volatilità dei fattori di sconto, o più precisamente dei ritorni, corrispondenti alla classe j e alle scadenze ti e ti-1, nonché la correlazione tra di essi.

Imporre l’eguaglianza della standar deviation comporta due passi

Interpolare la volatilità ignota a partire dalle volatilità dei due buckets adiacenti


1ii a1a )(ˆ 1ii a1a )(ˆ

Imporre che la volatilità così calcolata sia uguale alla volatilità dei due flussi (da determinare) con scadenza uguale ai due buckets adiacenti


21i

21ii1ii

2i

22 112 ,ˆ 21i

21ii1ii

2i

22 112 ,ˆ

221i

21i1ii1ii

1ii1ii2

1i2i

2

c

22b

2a

0cba

ˆ

,

,

221i

21i1ii1ii

1ii1ii2

1i2i

2

c

22b

2a

0cba

ˆ

,

,

Database e DBMS La maggior parte dei sistemi informativi non si affida direttamente al

File System ma ad uno strumento software chiamato Database

Management System (DBMS). Un DBMS può essere visto in prima

approssimazione come uno strato di comunicazione fra applicazioni

e dati.

Lo scambio di informazioni fra applicazione e DBMS avviene

attraverso linguaggi di interrogazione. I comandi sono interpretati

dal DBMS che cerca di soddisfare le richieste (query)

dell’applicazione.

I DBMS si differenziano fra loro in base al meccanismo di

organizzazione logica dei dati, quelli che considereremo nel seguito

sono DBMS relazionali che usano il linguaggio di interrogazione

chiamato SQL.

Visual Basic come del resto Access si appoggia su un motore per Database Relazionali chiamato Microsoft Jet Engine. Il linguaggio di interrogazione usato è SQL.

SQL non è un linguaggio di programmazione vero e proprio, ma i programmi che accedono ai dati sono scritti in altri linguaggi (Visual Basic, C/C++, Java, etc) i quali presentano meccanismi che consentono di inviare query SQL al DBMS e gestirne i risultati.

Il linguaggio SQL

L’istruzione SELECT Il linguaggio SQL fornisce un’istruzione flessibile e potente

per interrogazioni su tabelle: l’istruzione SELECT. Un’interrogazione è un meccanismo che consente di

selezionare colonne e righe di una tabella che soddisfano particolari caratteristiche.

Sintassi

SELECT [predicato] { * | tabella.* | [tabella.]campo1 [AS alias1] [, [tabella.]campo2 [AS alias2] [, ...]]}

FROM espressionetabella [, ...] [IN databaseesterno][WHERE... ][GROUP BY... ][HAVING... ][ORDER BY... ][WITH OWNERACCESS OPTION]

L’istruzione SELECT

Tradotta in italiano una SELECT è una frase che suona pressappoco così:

“seleziona (SELECT) tali attributi <lista-attributi> da (FROM) tali tabelle <lista-tabelle> nelle quali (WHERE) è soddisfatta tale condizione <condizione>”

SELECT Nome, Cognome, Corso FROM

TSTUDENTI WHERE Corso = ‘Finanza’;

L’istruzione INSERT INTO Il comando INSERT INTO consente

l’inserimento di dati all’interno delle tabelle. I dati possono essere specificati direttamente, la sintassi del comando è la seguente

INSERT INTO destinazione [(campo1[, campo2[, ...]])] VALUES (valore1[, valore2[, ...])

ESEMPIO

INSERT INTO Tstudente (matricola, cognome, nome) VALUES (‘0123459’, ‘SEMPRONIO’,’CAIO’)

L’istruzione UPDATE Per modificare dati già presenti all’interno di tabelle,

SQL mette a disposizione il comando UPDATE. La sintassi è la seguente

UPDATE <nome tabella> SET <campo> = <espressione>, … [WHERE

<condizione>]

ESEMPIO:

UPDATE Tarticolo SET prezzo = 0.8*prezzo WHERE prezzo > 50000

Visual Basic & Database L’oggetto Database consente

ai programmi Visual Basic di interfacciarsi con un file di database.

Un Database è un elemento dell’insieme Databases contenuto in un altro oggetto chiamato Workspace.

A sua volta l’oggetto Database contiene altri insiemi di oggetti.

L’oggetto RECORDSET Come dice la parola stessa un Recordset

rappresenta un insieme di record. Proprietà e metodi dell’oggetto consentono di effettuare numerose operazioni come inserimenti, cancellazioni, aggiornamenti, etc.

L’oggetto Recordset è un’interfaccia Visual Basic per l’accesso ai dati.

Il metodo OpenRecordSet applicato ad un oggetto Database crea di fatto un nuovo oggetto RecordSet

L’oggetto RECORDSET LA SINTASSI

Set recordset = object.OpenRecordset (source, type, options, lockedits)

dove

recordset è il nome dell’oggetto Recordset; object è il nome dell’oggetto Database da cui

estrarre l’insieme di record; source è la fonte da dove vengono prelevati i dati. Può

essere una tabella del database oppure un’istruzione SQL di selezione;

L’oggetto RECORDSET Da questo momento in poi l’oggetto Recordset è a nostra

completa disposizione. I record contenuti in RS non sono altro

che le righe della tabella. Grazie alle proprietà e ai metodi

dell’oggetto Recordset è possibile operare sui record e di

conseguenza sulle righe delle tabelle.

Il ciclo di vita di un Recordset è caratterizzato da un puntatore che

referenzia il record corrente. Molte proprietà e metodi operano su

questo record. Ovviamente è possibile spostare il puntatore su

altri record.

Per accedere ad un campo del record corrente si può ricorrere

alla collezione Fields presente all’interno di ogni Recordset.

L’oggetto Recordset

Metodi per la navigazione MoveFirst

il record corrente diventa il primo del Recordset MoveLast

il record corrente diventa l’ultimo del Recordset MoveNext

il record corrente diventa il record successivo MovePrevious

il record corrente diventa il record precedente

Esempio ProgrammazioneVBA


Il mapping dei FlussiIl mapping dei Flussi

Funzione Caratteristica

la funzione caratteristica di una variabile aleatoria x è definita come

è la Trasformata di Fourier della funzione densità di probabilità

si definisce poi la funzione generatrice dei momenti

dxexf xi )()(

dxexf xi )()(

)()( ,)()( idxexfs sx

)()( ,)()( idxexfs sx


Dalla definizione è evidente che

inoltre

il che giustifica il nome di funzione generatrice dei momenti.

xisx eEeEs )( ,)( xisx eEeEs )( ,)(

)()()( )()( nnnsxnn mxE0exEs )()()( )()( nnnsxnn mxE0exEs

Approssimazione Delta-Gamma Assumiamo di avere un derivato sensibile a un solo fattore di rischio

che identificheremo col prezzo del sottostante S. Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al secondo ordine

possiamo esprimere la variazione di prezzo dell’opzione in funzione della variazione di prezzo del sottostante come

22

2

2

2

1

2

1SSS

S

VS

S

VV

22

2

2

2

1

2

1SSS

S

VS

S

VV

22

2

1

S

S

V

S

S

S

V

S

V

V 22

2

1

S

S

V

S

S

S

V

S

V

V

Ponendo

V

S

V

Vr

S

Sr

e ˆ , V

S

V

Vr

S

Sr

e ˆ ,

~ ~

S~ S~

22 ~

2

1~

2

1ˆ rrrSrr 22 ~

2

1~

2

1ˆ rrrSrr

Approssimazione Delta-Gamma

A questo punto, il passaggio successivo nella nostra analisi, consiste nel trovare un modo per calcolare la distribuzione di r^ o, quanto meno, per trovarne una buona approssimazione.

Assumiamo che il rendimento del sottostante, r, sia distribuito secondo una normale con media 0 e standard deviation pari a

222 ~

2

1~~

2

1~ˆ rrrrr

222 ~

2

1~~

2

1~ˆ rrrrr

r

r

r

r

2~

~ e

~~ 2~

~ e

~~


Anche ipotizzando che il rendimento del sottostante sia distribuito secondo una normale, il rendimento dell’opzione segue una distribuzione molto diversa. In particolare nell’approssimazione Delta-Gamma che qui stiamo analizzando tale distribuzione è il risultato della combinazione lineare di due variabili di cui la prima è distribuita secondo una Chi-quadrato non centrata e la seconda è una costante;

Non esiste un’espressione in forma chiusa che ci permetta di calcolare semplicemente il percentile corrispondente ad un generico livello di confidenza;

~

~

2

1~

~~

2

1ˆ

22

rr

~

~

2

1~

~~

2

1ˆ

22

rr


Vediamo ora alcuni metodi che permettono di affrontare il problema del calcolo del percentile in maniera sufficientemente generale.

Questi metodi, come vedremo, si basano sul calcolo dei momenti della distribuzione da stimare al fine di approssimarla con una distribuzione di forma nota di cui sia possibile calcolare in maniera semplice il percentile per ogni livello di confidenza desiderato.

Per calcolare i momenti della distribuzione faremo uso della funzione caratteristica.


Se x è distribuita secondo una normale standard allora y data da

Risulta distribuita secondo una chi-quadro non centrata con parametro di non centralità pari a .

2 xy 2 xy

s

s

ss

21exp

21

1)(

2

s

s

ss

21exp

21

1)(

2




Quindi tenendo conto che la funzione caratteristica di una costante k è semplicemente exp(-ks) e che la funzione caratteristica della combinazione lineare di più variabili è il prodotto delle funzioni caratteristiche, possiamo scrivere l’espressione della funzione caratteristica di r^

~

~

~

~

~1

~2

1

exp~1

1

~

~exp~

~

~1

~2

1

exp~1

1)(

22

22

ˆ

ss

s

s

ss

s

ssr

~

~

~

~

~1

~2

1

exp~1

1

~

~exp~

~

~1

~2

1

exp~1

1)(

22

22

ˆ

ss

s

s

ss

s

ssr


0

)(

s

k

k

k ss

0

)(

s

k

k

k ss

~

~

~

~

~1

~2

1

exp

~

~

~

~

~1

~2

1

~1

1~1

~2

1)(

22

22

2

2/3

ˆ

ss

s

ssss

s r

~

~

~

~

~1

~2

1

exp

~

~

~

~

~1

~2

1

~1

1~1

~2

1)(

22

22

2

2/3

ˆ

ss

s

ssss

s r

2

0

ˆ1

~

2

1~

2

1)( ˆ

s

r ss

r2

0

ˆ1

~

2

1~

2

1)( ˆ

s

r ss

r


2

2

84622

4

6342

3

4222

2

3~

3~~

12

~~~3

~

2

1~

2

2

84622

4

6342

3

4222

2

3~

3~~

12

~~~3

~

2

1~

2

2

42

2/3

2

31

2

2ˆ

r

2

2

42

2/3

2

31

2

2ˆ

r


Le funzioni di Johnson

)( exp)( XfX

Xf

)( exp)( XfX

Xf

)( exp1

exp)( Xf

X

X

Xf

)( exp1

exp)( Xf

X

X

Xf

X

sinhXf )(

X

sinhXf )(

In tutte le funzioni X è una variabile aleatoria distribuita secondo una normale standard. Tutte le funzioni dipendono da quattro parametri , , e . Per ciascuna funzione la determinazione dei parametri avviene imponendo che i primi quattro momenti siano uguali a quelli della distribuzione che intendiamo approssimare.


Dopo aver determinato f(X) possiamo calcolare il VaR semplicemente come

dove z è il percentile di X al livello di confidenza .

)( zfVaR )( zfVaR




L’approccio Delta-GammaL’approccio Delta-Gamma

CreditMetricsTM

Proposto da JP Morgan sull’onda del successo di RiskMetrics™

Considera sia il rischio di default che il rischio di deterioramento del merito creditizio della controparte

E’ basato su una logica di valutazione a valori di mercato

Il valore attribuito ad ogni posizione altro non è che il valore attuale dei flussi futuri scontato ad un tasso espressivo del rischio di credito dell’operazione

Il rischio connesso alle variazioni di merito può essere letto attraverso le variazioni del valore di mercato della posizione connesse alla variazione del tasso di attualizzazione dei flussi futuri

Un peggioramento dello standing creditizio implicherà la richiesta da parte del mercato di un tasso di attualizzazione più elevato

CreditMetricsTM

Il livello di rischio della controparte è definito sulla base del suo rating Il rating è la sola discriminante del profilo di rischio della singola esposizione

La possibile evoluzione del profilo di rischio del cliente è rappresentata mediante una matrice (detta matrice di transizione) che esprime la probabilità che una controparte avente un dato rating al tempo t si trovi in ciascuna delle diverse possibili classi di rating al tempo t + 1

I tassi di attualizzazione sono ricavati ricostruendo, per ogni classe di rating, la curva dei tassi forward relativa all’orizzonte temporale sul quale si intende misurare il rischio (tipicamente un anno)

CreditMetricsTM

La matrice di transizione rappresenta la probabilità di una controparte caratterizzata da un certo rating al tempo t …

Ratinginiziale AAA AA A BBB BB B CCC Default

AAA 90.81% 8.33% 0.68% 0.06% 0.12% 0.00% 0.00% 0.00%AA 0.70% 90.65% 7.79% 0.64% 0.06% 0.14% 0.02% 0.00%A 0.09% 2.27% 91.05% 5.52% 0.74% 0.26% 0.01% 0.06%

BBB 0.02% 0.33% 5.95% 86.93% 5.30% 1.17% 0.12% 0.18%BB 0.03% 0.14% 0.67% 7.73% 80.53% 8.84% 1.00% 1.06%B 0.00% 0.11% 0.24% 0.43% 6.48% 83.46% 4.07% 5.20%

CCC 0.22% 0.00% 0.22% 1.30% 2.38% 11.24% 64.86% 19.79%

Matrice di transizione ad un annoRating a fine anno

… di trovarsi in una delle diverse possibili classi di rating al tempo t+1 (tipicamente dopo un anno) …

… oppure di cadere in stato di insolvenza

Come si vede, per ogni classe di rating l’evento più probabile è quello di rimanere nella medesima classe di partenza

CreditMetricsTM

Occorre poi determinare quale tasso di attualizzazione sia associato ad ogni stato;

CM utilizza la curva dei tassi forward zero coupon calcolata alla data di un anno dal momento della valutazione Tale curva può essere calcolata sulla base dei tassi spot riferiti ad ogni

scadenza per ogni classe di rating In questo modo la curva ricavata dipende da un lato dalla term structure dei

tassi a termine e dall’altro dalla struttura per scadenza dei credit spread

Sulla base della curva dei tassi forward per ogni classe di rating è possibile calcolare il valore di mercato di ogni titolo o prestito in corrispondenza ad ogni possibile classe di rating alla data di un anno da quella di valutazione (esempio).

CreditMetricsTM

Procedendo con questa modalità è possibile calcolare il valore di mercato futuro del titolo in corrispondenza di qualsiasi livello di rating.

Ciò che invece non può essere calcolato con questo procedimento è il valore del credito in caso di default In questo caso il valore del prestito viene posto pari ad una percentuale del

valore nominale del prestito che rappresenta la stima dell’ammontare che si presume di recuperare (recovery rate)

In particolare si possono utilizzare delle statistiche legate ai tassi di recupero sui prestiti obbligazionari societari, suddivisi per classi di seniority (ovvero in base alla graduazione dei privilegi nel rimborso dei crediti)

Deviazionestandard

Senior Secured 53.80% 26.86%Senior Unsecured 51.13% 25.45%Senior Subordinated 38.52% 23.81%Subordinated 32.74% 20.18%Junior Subordinated 17.09% 10.90%

Tassi di recupero per classe di seniority (% del valore nominale)

Classe di seniority MediaDeviazionestandard

Senior Secured 53.80% 26.86%Senior Unsecured 51.13% 25.45%Senior Subordinated 38.52% 23.81%Subordinated 32.74% 20.18%Junior Subordinated 17.09% 10.90%

Tassi di recupero per classe di seniority (% del valore nominale)

Classe di seniority Media

CreditMetricsTM

A questo punto per ogni titolo di una determinata classe di rating disponiamo Della matrice di transizione Dei possibili valori associati ad ogni possibile rating finale e all’evento

di default

E’ possibile costruire la distribuzione dei valori del titolo alla data di un anno a partire da oggi!

CreditMetricsTM

Il programma VBA sviluppato effettua il calcolo delle quantità richieste producendo in output la seguente tabella

Tabella 1 - Valori futuri e probabilità ad un anno per un prestito di classe BBBcon Valore Nominale : 100 Tasso : 6 Durata : 5

Rating di fine anno Valore Probabilità Variazione valore prestitoAAA 109.35 0.02% 1.82AA 109.17 0.33% 1.64A 108.64 5.95% 1.11

BBB 107.53 86.93% 0.00BB 102.01 5.30% -5.52B 98.09 1.17% -9.45

CCC 83.63 0.12% -23.91Default 51.13 0.18% -56.40

Calcola

Tabella 1 - Valori futuri e probabilità ad un anno per un prestito di classe BBBcon Valore Nominale : 100 Tasso : 6 Durata : 5

Rating di fine anno Valore Probabilità Variazione valore prestitoAAA 109.35 0.02% 1.82AA 109.17 0.33% 1.64A 108.64 5.95% 1.11

BBB 107.53 86.93% 0.00BB 102.01 5.30% -5.52B 98.09 1.17% -9.45

CCC 83.63 0.12% -23.91Default 51.13 0.18% -56.40

Calcola

CreditMetricsTM

Dalla distribuzione del valore del prestito è immediatamente desumibile anche la distribuzione delle perdite ad esso associate Per determinare la distribuzione delle perdite occorre però fare attenzione alla

determinazione della probabilità associata all’evento “perdite nulle”. In questo caso infatti questo evento ha una probabilità pari alla somma delle probabilità che si verifichino perdite pari a zero e delle probabilità che si verifichino dei guadagni ossia dei casi in cui il prestito migri verso le classi di rating migliori.

Perdite Probabilità0.00 93.23%5.52 5.30%9.45 1.17%23.91 0.12%56.40 0.18%

Perdite Probabilità0.00 93.23%5.52 5.30%9.45 1.17%23.91 0.12%56.40 0.18%

CreditMetricsTM

Come si vede la distribuzione dei valori del prestito e delle relative perdite è tutt’altro che normale;

Le perdite in casi estremi (evidenziate dalle code a destra) sono più probabili rispetto a quelle derivanti da una distribuzione statistica di tipo gaussiano;

Distribuzione valore del Prestito

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

8.00%

9.00%

10.00%

109.35 109.17 108.64 107.53 102.01 98.09 83.63 51.13

Distribuzione delle perdite

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

8.00%

9.00%

10.00%

0.00 5.52 9.45 23.91 56.40

CreditMetricsTM

I calcoli confermano un marcato allontanamento dai risultati che potremmo aspettarci in caso di distribuzione normale

media 107.07varianza 8.94

Dev. Standard 2.991o perc. Normale 100.101o perc. Effettivo 92.28

media 107.07varianza 8.94

Dev. Standard 2.991o perc. Normale 100.101o perc. Effettivo 92.28

VaR Effettivo = 14.79

VaR Normale = 6.97

Il Value-at-Risk effettivo è più del doppio di quello stimato con l’ipotesi di normalità !!!

CreditMetricsTM

Il rischio di Portafoglio Estendendo la metodologia appena vista al caso di un portafoglio con più

prestiti emerge un ulteriore fattore di rischio: la correlazione fra i vari prenditori;

Maggiore è la correlazione all’interno del portafoglio, più elevato è il rischio; La correlazione tende ad essere elevata per aziende appartenenti allo stesso

settore industriale; Le correlazioni sono sensibili al ciclo economico;

Nel modello CreditMetrics™ si procede alla stima delle correlazioni fra i rendimenti dei prenditori utilizzando come “proxy” i relativi rendimenti azionari;

Si ipotizza pertanto che gli attivi aziendali siano finanziati esclusivamente dal capitale azionario;

Utilizzando queste correlazioni si determina la distribuzione congiunta dei rendimenti dei prenditori;

CreditMetricsTM

Secondo il modello del valore delle attività aziendali proposto da Merton (1974), il default di un’azienda si verifica quando il valore delle sue attività scende al di sotto di un certo livello;

Assumiamo che il tasso di rendimento delle attività aziendali si distribuisca secondo una normale e consideriamo la distribuzione standardizzata;

Se la probabilità di insolvenza per un determinato prenditore i è pari a pi allora il valore soglia di default è dato da

Dove è l’inversa della funzione di densità cumulata di una distribuzione normale standard.

)(1ip )(1

ip(.)1

CreditMetricsTM

Nel caso di un prenditore che si trovi inizialmente nella classe BBB troviamo

Rating di fine anno Valore Probabilità Prob. Cum. SogliaAAA 109.35 0.02% 100.00%AA 109.17 0.33% 99.98% 3.54A 108.64 5.95% 99.65% 2.70

BBB 107.53 86.93% 93.70% 1.53BB 102.01 5.30% 6.77% -1.49B 98.09 1.17% 1.47% -2.18

CCC 83.63 0.12% 0.30% -2.75Default 51.13 0.18% 0.18% -2.91


BBB 107.53 86.93% 93.70% 1.53BB 102.01 5.30% 6.77% -1.49B 98.09 1.17% 1.47% -2.18

CCC 83.63 0.12% 0.30% -2.75Default 51.13 0.18% 0.18% -2.91

Distribuzione normale standard di un prenditore BBB(fonte: Benninga S. Modelli Finanziari McGraw-Hill 2001)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Rendimento attività

Prob

abili

tà

Default0,18%

CCC0,12%

B1,17%

L'azienda rimane BBB86,93%

A5,95%

AA0,33%

AAA0,02%

ZDef

-2,91

ZCCC

-2,75ZB

-2,18

ZBB

-1,49

ZBBB

1,53ZA

2,70

ZAA

3,54

BB5,30%

Distribuzione normale standard di un prenditore BBB(fonte: Benninga S. Modelli Finanziari McGraw-Hill 2001)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Rendimento attività

Prob

abili

tà

Default0,18%

CCC0,12%

B1,17%

L'azienda rimane BBB86,93%

A5,95%

AA0,33%

AAA0,02%

ZDef

-2,91

ZCCC

-2,75ZB

-2,18

ZBB

-1,49

ZBBB

1,53ZA

2,70

ZAA

3,54

BB5,30%

CreditMetricsTM

A questo punto analizziamo i movimenti dei rendimenti dell’attivo di due prenditori caratterizzati da una determinata misura di correlazione;

Poiché i valori degli attivi non sono osservabili sul mercato, in CreditMetrics™ i coefficienti di correlazione sono stimati sulla base dei prezzi azionari dei prenditori (o di gruppi di prenditori sulla base dell’area geografica e del settore di appartenenza);

Assumiamo che i rendimenti dell’attivo di due prenditori si distribuiscano secondo una distribuzione normale standard bivariata che è funzione dei rendimenti relativi alle varie classi di rating ri ed rj e del coefficiente di correlazione fra i rendimenti degli attivi aziendali :

jijiji rrrrrrf

2

12

1exp

12

1),,( 22

22

jijiji rrrrrrf

2

12

1exp

12

1),,( 22

22

CreditMetricsTM

Esempio: calcolare la probabilità che due prenditori di classe rispettivamente BBB e A restino nella stessa classe iniziale Determinazione delle soglie


BBB 107.53 86.93% 93.70% 1.53BB 102.01 5.30% 6.77% -1.49B 98.09 1.17% 1.47% -2.18

CCC 83.63 0.12% 0.30% -2.75Default 51.13 0.18% 0.18% -2.91


BBB 107.53 5.52% 6.59% -1.51BB 102.01 0.74% 1.07% -2.30B 98.09 0.26% 0.33% -2.72

CCC 83.63 0.01% 0.07% -3.19Default 51.13 0.06% 0.06% -3.24

53.149.1 ir 53.149.1 ir

98.151.1 jr 98.151.1 jr

CreditMetricsTM

Calcolo dell’integrale doppio

53.1

49.1

98.1

51.1

jijiji

ABBB

drdrrrrr

rrP

212

1exp

12

1

98.151.1;53.149.1(

2222

53.1

49.1

98.1

51.1 jijiji

ABBB

drdrrrrr

rrP

212

1exp

12

1

98.151.1;53.149.1(

2222

53.1

49.1

98.1

51.1

Il calcolo di questo integrale avviene per via numerica

CreditMetricsTM

L’integrale doppio può essere ricondotto ad un integrale in una singola variabile attraverso le seguenti trasformazioni

1

b

a2

12

2

122

1

1

b

a

2

b

a2

2

122

1

1

b

a

2

b

a2

21

2

2

21

221

22

2

21

1

b

a

2

b

a2

212

22

21

21

b

a

b

a2

212

22

1

dr1

raN

1

rbN

2

r

drdr12

rr

2

r

drdr12

r

12

rrr2r

12

r

drdr12

rr2r

12

r

drdr12

rr2rr

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

exp

expexp

expexpexp

expexp

exp

1

b

a2

12

2

122

1

1

b

a

2

b

a2

2

122

1

1

b

a

2

b

a2

21

2

2

21

221

22

2

21

1

b

a

2

b

a2

212

22

21

21

b

a

b

a2

212

22

1

dr1

raN

1

rbN

2

r

drdr12

rr

2

r

drdr12

r

12

rrr2r

12

r

drdr12

rr2r

12

r

drdr12

rr2rr

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

exp

expexp

expexpexp

expexp

exp

CreditMetricsTM

Public Function Prob_congiunta(a1 As Double, a2 As Double, b1 As Double, b2 As Double, _

rho As Double, parti As Integer) As Double

Dim i As Long

Dim intervallo As Double

Dim cumX As Double

Dim cumY As Double

intervallo = (b1 - a1) / parti

cumX = a1

cumY = 0

For i = 0 To parti

With Application.WorksheetFunction

cumY = cumY + .NormDist(cumX, 0, 1, False) * ((.NormDist((b2 - rho * cumX) / Sqr(1 - rho ^ 2), 0, 1, True)) - (.NormDist((a2 - rho * cumX) / Sqr(1 - rho ^ 2), 0, 1, True)))

End With

cumX = cumX + intervallo

Next

Prob_congiunta = cumY * intervallo

End Function

CreditMetricsTM

Effettuando il calcolo per tutte le possibili combinazioni di rating dei due prenditori, otteniamo una tabella che contiene le probabilità di migrazione congiunte

Correlazione 0.2Nr. Parti 100

Soglia AAA AA A BBB BB B CCC DefaultSoglia 4.00 3.12 1.98 -1.51 -2.30 -2.72 -3.19 -3.24 -4.00 TotaleAAA 3.54 0.00% 0.00% 0.02% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.02%AA 2.70 0.00% 0.02% 0.30% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.33%A 1.53 0.02% 0.29% 5.56% 0.15% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 6.03%BBB -1.49 0.07% 1.91% 79.74% 4.71% 0.61% 0.21% 0.01% 0.04% 87.31%BB -2.18 0.00% 0.04% 4.67% 0.52% 0.08% 0.03% 0.00% 0.01% 5.36%B -2.75 0.00% 0.01% 1.00% 0.14% 0.02% 0.01% 0.00% 0.00% 1.18%CCC -2.91 0.00% 0.00% 0.10% 0.02% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.12%Default -4.00 0.00% 0.00% 0.15% 0.03% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.18%

Totale 0.09% 2.28% 91.53% 5.55% 0.74% 0.26% 0.01% 0.06% 100.53%

Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori

Prenditore 2Prend. 1

Correlazione 0.2Nr. Parti 100

Soglia AAA AA A BBB BB B CCC DefaultSoglia 4.00 3.12 1.98 -1.51 -2.30 -2.72 -3.19 -3.24 -4.00 TotaleAAA 3.54 0.00% 0.00% 0.02% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.02%AA 2.70 0.00% 0.02% 0.30% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.33%A 1.53 0.02% 0.29% 5.56% 0.15% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 6.03%BBB -1.49 0.07% 1.91% 79.74% 4.71% 0.61% 0.21% 0.01% 0.04% 87.31%BB -2.18 0.00% 0.04% 4.67% 0.52% 0.08% 0.03% 0.00% 0.01% 5.36%B -2.75 0.00% 0.01% 1.00% 0.14% 0.02% 0.01% 0.00% 0.00% 1.18%CCC -2.91 0.00% 0.00% 0.10% 0.02% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.12%Default -4.00 0.00% 0.00% 0.15% 0.03% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.18%

Totale 0.09% 2.28% 91.53% 5.55% 0.74% 0.26% 0.01% 0.06% 100.53%

Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori

Prenditore 2Prend. 1

In questo esempio abbiamo ipotizzato una correlazione pari a 0.2

CreditMetricsTM

Dobbiamo ora calcolare il valore attuale delle esposizioni delle attività dei due prenditori. Il calcolo è analogo a quello visto precedentemente, si tratta semplicemente di attualizzare i flussi futuri con le appropriate curve dei tassi forward. Ad esempio ipotizzando due strutture di prestito del tipo Prenditore 1 : rating BBB, valore nominale 100, cedola 6%, scadenza 5 anni Prenditore 2: rating A, valore nominale 100, cedola 5%, scadenza 3 anni

Otteniamo

Rating di fine anno Valore 1 Valore 2AAA 109.35 106.59AA 109.17 106.49A 108.64 106.30

BBB 107.53 105.64BB 102.01 103.15B 98.09 101.39

CCC 83.63 88.71Default 51.13 51.13

Rating di fine anno Valore 1 Valore 2AAA 109.35 106.59AA 109.17 106.49A 108.64 106.30

BBB 107.53 105.64BB 102.01 103.15B 98.09 101.39

CCC 83.63 88.71Default 51.13 51.13

CreditMetricsTM

Combinando i dati fin qui calcolati siamo in grado di calcolare media, varianza e percentile della distribuzione di valori. Nel nostro caso otteniamo

Media = 213.26 Varianza = 10.97 St. Deviation = 3.31

VaR = ?

CreditMetricsTM

Quando il portafoglio è composto da più attività i calcoli diventano ovviamente più complessi;

CreditMetrics™ propone un metodo basato sulla simulazione Monte Carlo. Questo metodo si suddivide in tre fasi

Generazione di vari scenari che corrispondono ai possibili “stati del mondo” (ossia alle classi di rating dei nostri prenditori) che possono verificarsi alla fine dell’orizzonte temporale di riferimento (1 anno)

Valutazione del portafoglio in ogni scenario Sintesi dei risultati ottenuti attraverso il calcolo delle statistiche

di rischio del portafoglio

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Generazione degli scenari Consideriamo un portafoglio composto da 3 prestiti così costituito

$4mil., BBB rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 6%, scadenza 5 anni

$2mil., A rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 5%, scadenza 3 anni

$1mil., CCC rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 10%, scadenza 2 anni

Prestito 1

Prestito 2

Prestito 3

CreditMetricsTM

Il primo passo consiste, come prima, nel calcolo delle probabilità di migrazione e delle soglie dei rendimenti dell’attivo

p i cumul z i p i cumul z i p i cumul z i

AAA 0.02 100.00 0.09 100.00 0.22 100.01AA 0.33 99.98 3.54 2.27 99.91 3.12 0.00 99.79 2.86A 5.95 99.65 2.70 91.05 97.64 1.98 0.22 99.79 2.86

BBB 86.93 93.70 1.53 5.52 6.59 -1.51 1.30 99.57 2.63BB 5.30 6.77 -1.49 0.74 1.07 -2.30 2.38 98.27 2.11B 1.17 1.47 -2.18 0.26 0.33 -2.72 11.24 95.89 1.74

CCC 0.12 0.30 -2.75 0.01 0.07 -3.19 64.86 84.65 1.02Default 0.18 0.18 -2.91 0.06 0.06 -3.24 19.79 19.79 -0.85

RatingAzienda 1 (BBB) Azienda 2 (A) Azienda 3 (CCC)

Probabilità di migrazione (%) e soglie dei rendimenti dell'attivo

p i cumul z i p i cumul z i p i cumul z i

AAA 0.02 100.00 0.09 100.00 0.22 100.01AA 0.33 99.98 3.54 2.27 99.91 3.12 0.00 99.79 2.86A 5.95 99.65 2.70 91.05 97.64 1.98 0.22 99.79 2.86

BBB 86.93 93.70 1.53 5.52 6.59 -1.51 1.30 99.57 2.63BB 5.30 6.77 -1.49 0.74 1.07 -2.30 2.38 98.27 2.11B 1.17 1.47 -2.18 0.26 0.33 -2.72 11.24 95.89 1.74

CCC 0.12 0.30 -2.75 0.01 0.07 -3.19 64.86 84.65 1.02Default 0.18 0.18 -2.91 0.06 0.06 -3.24 19.79 19.79 -0.85

RatingAzienda 1 (BBB) Azienda 2 (A) Azienda 3 (CCC)

Probabilità di migrazione (%) e soglie dei rendimenti dell'attivo

CreditMetricsTM

Come abbiamo già detto nel modello CreditMetrics™, che si ispira al modello di Merton, i rendimenti logaritmici dell’attivo di ogni singola azienda si distribuiscono secondo una normale standard, quelli di due aziende secondo una normale bivariata e, quelli di n aziende secondo una normale multivariata;

Questi movimenti congiunti sono caratterizzati da una certa misura di correlazione che, nel modello CreditMetrics™ viene derivata dai prezzi azionari delle società in portafoglio.

Azienda 1 Azienda 2 Azienda 3Azienda 1 1.0 0.3 0.1Azienda 2 0.3 1.0 0.2Azienda 3 0.1 0.2 1.0

Matrice di correlazioneAzienda 1 Azienda 2 Azienda 3

Azienda 1 1.0 0.3 0.1Azienda 2 0.3 1.0 0.2Azienda 3 0.1 0.2 1.0

Matrice di correlazione

CreditMetricsTM

Per la determinazione della correlazione si può procedere nel modo seguente

Esprimiamo il rendimento della singola società, sulla base di un modello multifattoriale, come funzione del rendimento di alcuni indici azionari rappresentativi di paese/settore e di una componente specifica;

Sulla base delle correlazioni tra i diversi indici di paese/settore, determinare le correlazioni fra i rendimenti delle attività di due controparti da utilizzare ai fini della simulazione

CreditMetricsTM

Ad esempio si considerino due imprese A e B il cui rendimento azionario può essere scomposto come

I1, I2 e I3 rappresentano tre indici di settore/paese che consentono di

spiegare i rendimenti azionari di A e B, r’A r’B la componente di

rischio specifico dei singoli titoli e i coefficienti w identificano i pesi attribuiti a ciascuna controparte.

E’ possibile a questo punto calcolare la correlazione fra i rendimenti di A e B sulla base della correlazione fra i diversi fattori;

BBBB

AAAAA

rwIwr

rwIwIwr

,23,1

,32,21,1

BBBB

AAAAA

rwIwr

rwIwIwr

,23,1

,32,21,1

CreditMetricsTM

Le componenti idiosincratiche del rendimento dei due titoli sono ipotizzate indipendenti dalle rimanenti variabili quindi la loro correlazione con qualsiasi altro indice è pari a 0

Per ottenere gli scenari occorre generare numeri casuali distribuiti secondo una normale standard ma con correlazione assegnata pari alla matrice di correlazione ricavata dai proxy di mercato

Per questo si può ricorrere al metodo della decomposizione di Cholescky

3221 ,,1,2,,1,1, IIBAIIBABA wwww 3221 ,,1,2,,1,1, IIBAIIBABA wwww

CreditMetricsTM

Dopo aver determinato la decomposizione di Cholescky dalla matrice di correlazione procediamo alla generazione dei numeri casuali correlati in 4 stadi Iniziamo con la generazione di numeri casuali normali standard

non correlati; Moltiplichiamo ogni vettore per la matrice di Cholescky Associamo questi scenari dei rendimenti alle varie classi di rating

in quanto ogni variazione dei rendimenti comporta il cambiamento dei valori soglia;

E’ possibile simulare la migrazione del rating del singolo emittente confrontando i valori estratti dalla distribuzione aleatoria con i valori soglia determinati per ogni classe di rating. In funzione dell’intervallo nel quale il valore estratto cade è possibile determinare il rating del singolo soggetto per ogni giro della simulazione.

Infine determiniamo il valore delle esposizioni delle 3 attività finanziarie per ogni classe di rating.

CreditMetricsTM

Valorizzazione dell’esposizione Analogamente a quanto descritto in precedenza il valore di ogni

esposizione nelle varie classi di rating è uguale al valore attuale dei flussi di cassa futuri scontati agli appropriati fattori di sconto forward;

L’unica eccezione riguarda il valore dell’esposizione in caso di default che si considera pari ad una percentuale di recupero sul valore nominale dell’esposizione

Gli autori di CreditMetrics™ ipotizzano che il recovery rate si distribuisca secondo una distribuzione Beta, che può variare fra 0 ed 1 ed è caratterizzata da due parametri alfa e beta, che sono funzione della media e della deviazione standard della distribuzione stessa

2

22 )(

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CreditMetricsTM

Conclusioni Il modello CreditMetrics™ consente di stimare il Value-at-Risk (VaR)

relativo al rischio di credito delle attività finanziarie (obbligazioni, prestiti bancari, etc…);

In particolare si perviene all’identificazione della massima perdita potenziale del portafoglio su un orizzonte temporale predefinito e in base ad un certo intervallo di confidenza;

Questo modello richiede molti input di base tra cui Un sistema di rating interno per la classificazione dei prenditori in classi di

rischio Una matrice di transizione che fornisce le probabilità di transizione da una

classe di rating ad un’altra I tassi forward ad un anno per ogni classe di rating necessari per

l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri dell’esposizione I tassi di recupero sull’esposizione suddivisi per classi di seniority

CreditMetricsTM

L’importanza di questo modello è stata recentemente ribadita dal Comitato di Basilea sulla Vigilanza Bancaria che lo ha adottato come riferimento metodologico per la determinazione dei nuovi coefficienti di adeguatezza del capitale delle istituzioni finanziarie a fronte del rischio di credito.

Limiti del modello CreditMetrics

1) Per risalire dalla probabilità osservata a quella usata nel modello di Merton è necessario conoscere volatilità dell'attivo e prezzo di mercato del rischio

2) La correlazione tra i valori dell'azienda, che è ricavata dalla correlazione tra i valori dell'equity, può essere significativamente distorta dalla presenza di leverage"

Testi di riferimento S. Benninga

Modelli Finanziari McGraw-Hill, 2001 U. Cherubini, G. Della Lunga

Il Rischio Finanziario McGraw-Hill, 2001 U. Cherubini, G. Della Lunga

Matematica Finanziaria, applicazioni con VBA per Excel McGraw-Hill, 2002 A. Resti (a cura di)

Misurare e Gestire il Rischio di Credito nelle Banche Alpha Test, 2001 F. Saita

Il risk management in banca EGEA, 2000 A. Sironi, M. Marsella (a cura di)

La misurazione e la gestione del Rischio di Credito Bancaria Editrice, 1998

lezione 4 modelli per la stima del rischio

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