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ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
LÓGICA
PROPOSICIONAL COMPETENCIA EN LÓGICA PROPOSICIONAL:
DESARROLLA CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS DE LA LÒGICA PROPOSICIONAL, PARA TRANSFORMAR E INTERPRETAR, DE MANERA COHERENTE, EL LENGUAJE ORDINARIO EN SU FUNCIÓN INFORMATIVA HASTA CONVERTIRLO EN LENGUAJE SIMBÓLICO-LÒGICA PROPOSICIONAL, REEXPRESANDO LA INFORMACIÓN RECOGIDA DE LAS SITUACIONES REALES ACONTECIDAS, PARA SU ANÁLISIS, SU APLICACIÓN EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y EN LA TOMA ASERTIVA DE LAS DECISIONES
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LOGICA
La lógica es una ciencia muy importante
que sirve de apoyo a la matemática
moderna, aunque en la vida diaria, nos
ayuda a resolver situaciones que
ocurren a nuestro alrededor, como por
ejemplo: desentrañar el misterio de un
asesinato o determinar la paternidad de
un niño. Sin embargo, la lógica no está
en lo que acontece, no pertenece al
mundo concreto; sino surge de la mente
del hombre y refleja cierta estructura y
procesos mentales, productos de la
creación de la mente humana.
No obstante, el conocimiento o saber lógico, no tan solo se usa dentro del campo filosófico o del pensamiento, sino en todas las formas del conocimiento, dado que en todas las áreas se requiere de un ordenamiento de los elementos que implica un razonamiento.
Los principios y las reglas de la lógica, se usan en la construcción del análisis de un problema específico y nos permiten establecer un orden de las partes a tratar y hacer un razonamiento que nos lleve a establecer un juicio objetivo. Por ejemplo, si necesitas calcular el área de un triángulo, ¿qué harías?
Queda pues claro que en la vida diaria del hombre común, así como en el campo de la ciencia, la lógica nos da las herramientas necesarias para argumentar correctamente.
Lógica Proposicional.- Es aquella parte de la lógica formal que estudia las proposiciones como un todo indiviso, como bloques unitarios, con total abstracción de su estructura interna. No analiza las palabras individuales que componen la proposición. Examina las conexiones lógicas existentes entre las proposiciones consideradas, es decir las conexiones lógicas que existen entre las proposiciones a través de los conectivos lógicos u operadores lógicos. Toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o falsas,
evaluando primero las proposiciones atómicas o simples y luego evalúa las proposiciones compuestas o moleculares, formadas mediante el uso de los conectivos lógicos. El cálculo proposicional recurre a símbolos: variables proposicionales, conectivos lógicos u operadores lógicos (constantes lógicas), reglas de formación de expresiones (sintaxis), símbolos auxiliares o signos de agrupación, valores veritativos (valores de verdad).
ENUNCIADOS Enunciado.- Es una serie determinada de signos, que forman un segmento lingüístico. Usualmente es toda frase u oración. Ejemplos de enunciados en la lengua española: La Policía Nacional del Perú La Policía nacional del Perú y la Fuerza armada. ¡Alto! ¿Quién anda ahí? Perro que labra no muerde Mi auto nuevo 2 + 2 = 5 Todas las gallinas son aves Dos más tres es igual a cinco Prohibido hacer bulla 5x + y > 34 “x gira alrededor del sol”. “x es mecánico”. “x + y = 0” “x es número real”. “x es padre de y”. “x > y” “x + 3 = 7” ENUNCIADOS ABIERTOS. Son expresiones que contienen variables y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso. Ejemplos: x < 5 es un enunciado abierto, porque no
podemos afirmar que es “V” o “F”. Solo cuando la variable “x” toma un valor numérico se hace “V” o “F”.
Así tendremos: Si x = 3 : 3 < 5 es “V” Si x = 8 : 8 < 5 es “F”
SESIÓN N°01
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PROPOSICIONES Proposición.- Es un enunciado lingüístico aseverativo (afirmativo o negativo) con propósito informativo, libre de ambigüedades, que tiene la propiedad de ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Expresan la afirmación o negación de algo con respecto al referente. Afirmativa: Admite cualidad o propiedad. Ejemplo: El
área del circulo es *r2”. Negativa: Rechaza cualidad o propiedad. Ejemplo: El número dos no es impar. La proposición describe algún hecho o aspecto del universo fáctico o formal
Ejemplo: P: Lima es capital del Perú ( V ) Q: Mozart escribió Trilce ( F ) R: 4 + 9 = 13 ( V )
Existen dos tipos de proposiciones: -Proposición Simple o Atómica: Es aquella proposición que carece de conectivo lógico u operador lógico. Pueden ser predicativas o relacionales. Ejemplos:
La Tierra es un planeta. La Lunaessatélite de la tierra. Paris es la capital de Argentina.
-Proposición Compuesta o Molecular: Es aquella proposición que tienen conectivo lógico u operador lógico. Los conectivos lógicos u operadores lógicos se representan
o denotan así: “” , “”, “”, “”, “”,
“”, “”, “”, “” Juan y Luís son deportistas. Luís es ingeniero o médico. O Franco se va al colegio o se va a pasear. Si Juan el deportista, mantiene una dieta estricta. n es par si y sólo si n es múltiplo de 2.
Conectivos Lógicos y Operaciones Lógicas
CONECTIVO
LÓGICO
OPERACIÓN
LÓGICA
SIMBOLIZA-
CION
LENGUAJE
ORDINARIO
Negación p No p
. Conjunción pq p y q
Disyunción pq p o q
Débil
∆
Disyunción
Exclusiva pq O p o q
Implicación pq
Si p
entonces
q
Replicador pq p si q
Bicondicional pq p si sólo si q
Negación
Conjuntiva pq Ni p ni q
Binegación
Disyuntiva pq No p o no q
Nota:
El conectivo lógico “” es un operador para la
“negación conjuntiva”, llamada también
“Binegación”.
El conectivo lógico “” es un operador para la
“Binegación disyuntiva”, también se le llamada
“Negación alternativa”, o “Incompatibilidad”.
Proposición Negativa. “” De manera general, la oración aseverativa
negativa en lengua cotidiana se caracteriza
por llevar la palabra “no” antes del verbo.
Ejemplos: Paúl no es peruano.
El número 2 no es impar.
Estas oraciones aseverativas negativas se
representan en la lógica proposicional
utilizando una variable proposicional y el
operador monádico “” Desde el punto de
vista de la lógica proposicional estas
proposiciones se representan así:
p: no (Paúl es peruano).
q: no (El número 2 es impar).
El operador lógico “” se puede aplicar a una
proposición simple o atómica y también se
puede aplicar a otras proposiciones diádicas o
moleculares.
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La expresión “no es el caso que”, “ es falso
que” se usan generalmente para negar
proposiciones compuestas. Ejemplo: No es el
caso que la casa sea negra y la puerta roja. En
este caso tenemos una proposición conjuntiva,
negada: (p q). No es el caso que si llueve,
haga calor. En este caso tenemos una
proposición condicional, negada: (r s)
En el lenguaje lógico-matemático, la negación
de una negación equivale siempre a una
afirmación. Ejemplo: “no es verdad que no
está en casa” equivale a decir “está en casa” y,
en general “no-(no-A)” es lo mismo que “A”.
Es inobjetable que A A A.
No es innegable que no A AA.
En nuestra lengua natural, lengua española, no
siempre es así, sino que a veces, utilizamos la
acumulación de negaciones para dar mayor
énfasis a nuestra expresión. “No iré nunca” es
para nosotros más o menos lo mismo que
“nunca iré”.
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”.
Función.- Negar una proposición afirmativa.
Regla Metalógica
Si p es verdadera, p es falsa; y viceversa.
Tabla de verdad:
p p
V F
F V
Conectores equivalentes a “”.
No A // Nunca A // Jamás A // Tampoco A // Es absurdo que A // Es imposible que A // No ocurre que A // No es verdad que A // Es inadmisible que A// No acaece que A // No es innegable que A // Es erróneo que A // Es incierto que A // De ninguna forma se da que A // No es el caso que A// No es cierto que A // Es Inconcebible que A // Es mentira que A // Es incorrecto que A // Es falso que A // Es negable que A // Es refutable que A // Es objetable que A // En modo alguno A // En forma alguna A // De ningún modo A // De ninguna manera A // Nunca sucede que A // Bajo ninguna condición A // No siempre que A // No es inobjetablemente cierto que A// No es innegable que A // Nadie que sea A // No es que A // No se da la posibilidad que A // No es inobjetable que A //
Ejemplos
Es absurdo que el Edgar patee con las dos piernas.
No es cierto que el cuadrado sea un polígono.
Francisco Pizarro nunca descubrió América.
Nunca Francisco Pizarro descubrió América.
De ningún modo iré a tu casa.
Es inadmisible que 3 + 3 = 9.
No es verdad que toma refrescos.
Es objetable que salga a pasear.
Es falso que tenga dinero.
Es inconcebible que Martín salga desaprobado.
En modo alguno los ofidios poseen extremidades.
En forma alguna los peces son anfibios.
No hay cumplimiento de leyes.
No ocurre que María canta.
No acaece que el carro es blanco.
No es el caso que Luís sea propietario del
computador.
Es irrefutable que la suma de los ángulos internos
de un triángulo es 360 grados.
Es mentira que en el Perú hay democracia.
Jamás vayas al cine en la mañana.
Es imposible que exista vida en el planeta Venus.
Es incorrecto que 2 + 3 = 10.
Es erróneo que 16 = 9.
Nunca sucede que los peces no nadan en el aire.
Es incierto que los alumnos de primaria ingresan a
la universidad.
Es innegable que las ballenas tengan extremidades.
No es innegable que ballenas sean ovíparas.
De ninguna forma se da 5<2.
No es inobjetable cierto que el elefante no demora
20 meses para nacer.
No es falso que sea imposible que el pulpo sea
un molusco.
Tampoco el elefante demora 20 meses para
nacer.
Proposiciones Conjuntivas “”“ . “
Sean las oraciones aseverativas “Juan es
deportista” y “Luís es deportista.” Estas
oraciones la podemos reescribir mediante una
oración aseverativa compuesta “Juan y Luís
son deportistas”, en este caso, las oraciones
dadas han sufrido una transformación de
elisión, o sea, se han omitido una o más
palabras, pero se mantiene el sentido completo
de las oraciones aseverativas primigenias. En
el uso cotidiano de la lengua, de manera
general, no hablamos ni escribimos “Juan es
deportista y Luís es deportistas.” sino “Juan y
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Luís son deportistas.” Esta oración compuesta
en la lógica proposicional es una proposición
molecular con operador diádico “” o “.“ Siendo una proposición molecular la podemos
representar mediante las variables
proposicionales “p” para representar a la
proposición simple o atómica “Juan es
deportista” y “q” para representar a la
proposición simple o atómica “Luís es
deportista”, siendo el conector u operador
diádico “” que representa a la conjunción
“y” o su equivalente, de la lengua española.
Por consiguiente, en lógica proposicional, la
proposición molecular o compuesta con
conectivo binario (diádico) “”, se representa
mediante la fórmula “pq”.
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”
“.”
Función.- Se usan para aumentar información
del mismo nivel. Algunos tienen un matiz
enfático.
Regla Metalógica o Principio Lógico Sólo es verdadera, cuando ambas
proposiciones atómicas son verdaderas. Es
falsa en todos los demás casos.”
Tabla de verdad:
p q p q
V V V F F V F F
V F F F
Conectores equivalentes a “”
Y // también // además // así mismo //
asimismo // del mismo modo que// aunque //
sin embargo // así como // igualmente // pero//
al igual que // tal como // no obstante //
incluso// a la vez también // al mismo tiempo
que // y al mismo tiempo // de la misma
manera // tanto como // además // aún cuando
// empero // sino // a pesar de //
Cierto A lo mismo que B // Así como A, B //
No sólo A también B // No sólo A sino
también B // Que A es compatible con que B //
Si A e incluso B // simultáneamente A con B //
Tanto A como B // Aún cuando A , B A B
// Tanto A como cuando B // Tomar A como
cuando B // A , B también // Siempre ambos
A con B // A vemos que también B //
Ejemplos
La ETS PNP Puente Piedra y la ETS San Bartolo son
escuelas de formación policial.
La PNP es una institución del estado y
garantiza el orden interno.
Los alumnos de la ETS PNP Puente Piedra
garantizarán la seguridad ciudadana además de
ser ciudadanos responsables.
Juan y Luís son deportistas.
Es verano sin embargo hace frío.
Juan es médico y deportista.
La batalla ha terminado aunque la guerra
continúa.
Roxana no sólo bailo sino también cantó.
Grau fue un héroe, Bolognesi también.
Lidia es muy sensual pero inocente.
No sólo es aplicado también bondadoso.
No sólo es sabio, también bueno.
No sólo Pedro sino también Luís estudian.
Que Pedro estudia es compatible con que Ana
estudia.
Tanto Pedro como Ana estudian.
Gustavo es profesor tanto como artista.
Claudia ingreso a la universidad al mismo
tiempo
que José ingresó a la marina.
El sueldo mínimo equivale a S/. 750, no
obstante
las familias hacen esfuerzos para conseguir
más dinero.
El sol es una estrella además un planeta.
El número dos es par, también es primo.
No sólo el número dos es par sino también
número primo.
La boa es un ofidio al igual que carece de
extremidades.
Así como trabajas, te alimentas.
Te alimentas así como trabajas.
Te alimentas así mismo trabajas.
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Proposiciones Disyuntivas Débiles o
Inclusivas “”
Sean las oraciones aseverativas “Rosa pidió
ayuda a Raquel” o “Rosa pidió ayuda a
Juana”. Estas oraciones la podemos reescribir
mediante una oración aseverativa compuesta
“Rosa pidió ayuda a Raquel o a Juana”, en este
caso, las oraciones dadas han sufrido una
transformación de elisión, o sea, se han
omitido una o más palabras, pero se mantiene
el sentido completo de las oraciones
aseverativas primigenias. En el uso cotidiano
de la lengua, de manera general, no hablamos
ni escribimos “Rosa pidió ayuda a Raquel o
Rosa pidió ayuda a Juana” sino “Rosa pidió
ayuda a Raquel o a Juana.” Esta oración
compuesta en la lógica proposicional es una
proposición molecular con operador diádico
“”. Siendo una proposición molecular la
podemos representar mediante las variables
proposicionales “p” para representar a la
proposición simple o atómica “Rosa pidió
ayuda a Raquel.” y “q” para representar a la
proposición simple o atómica“Rosa pidió
ayuda a Juana.”, siendo el conector u operador
diádico “” que representa a la conjunción
“o” de la lengua española. Por consiguiente, en
lógica proposicional, la proposición molecular
o compuesta con conectivo binario (diádico)
“”, se representa mediante la fórmula “pq”.
Nota:
En el lenguaje matemático, por convención,
“o” tiene siempre un significado incluyente.
Esto implica a veces una patente diferencia
con el uso del lenguaje ordinario que llama la
atención a quien esta convención no se le ha
hecho bien explícita y familiar. Ejemplo: “3 es
menor o igual que 5” es una expresión
matemática verdadera, aunque todos sabemos
bien que lo verdadero es que “3 es menor que
5”. “5 es menor o igual que 5” es una
expresión matemática verdadera, aunque todos
sabemos bien que lo verdadero es que “5 es
igual que 5”. Se podría expresar el sentido de
esta convención diciendo que el matemático en
su uso de la “o” se considera obligado a decir
la verdad, pero no se considera obligado a
decir nada más que la verdad. Lo cual, no es la
forma habitual de proceder en nuestra
interacción social al compartir e intercambiar
mensajes con los individuos con quienes nos
relacionamos o entendemos.
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”
Función.- Se usa para señalar la posibilidad de
elegir entre dos opciones. Esta alternativa es
débil porque las dos opciones son posibles.
Regla Metalógica. Es verdadera, en todos los casos, excepto,
cuando ambas proposiciones atómicas son
falsas. Tabla de verdad:
p q p q p q
V V V F F V F F
V V V F
Conectores equivalentes a “”.
A o B // A excepto que B // A o también B // A
salvo que B // A al menos que B //A ya bien B
// A o a la vez B //A y / o B // A o incluso B // a
menos que A, B //A alternativamente B // A a
menos que B // A a no ser que B // A o además
B // A y bien o también B // A o incluso B // A o
sino B// A o bien B // A o en todo caso B //
Y bien A o también B // Salvo que A, B // a
menos que A, no B A B //
Ejemplos:
De dos idiomas: inglés y francés, Charlie habla
por lo menos un idioma.
Luís es ingeniero o médico.
Se llama Francisco o Paco.
La historia es descriptiva o explicativa.
Carmen trabaja a menos que estudie.
Jorge es abogado salvo que sea ingeniero.
Descartes fue francés excepto que sea italiano.
A menos que ingreses, te compran carro.
José es responsable a menos que David también lo
sea.
Salvo que David sea responsable José lo es.
David es responsable o bien José lo es.
Estudias medicina o a la vez matemática.
Cantas o también bailas.
El triángulo es un polígono o también una figura
geométrica.
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Las figuras planas están formadas por líneas rectas o
bien por líneas curvas.
Proposiciones Disyuntivas Fuertes o
Exclusivas
“”
Sean las oraciones aseverativas “Franco va al
colegio.” o “Franco se va a pasear.”, el sentido
semántico de una
es diferente al sentido semántico de la otra; con
estas dos oraciones aseverativas podemos
formar una oración aseverativa compuesta, que
nos denote un sentido semántico excluyente, es
decir, que se cumple uno y sólo uno de los dos
sentidos semánticos, los mismos que son
diferentes entre si, para lo cual, escribimos la
oración aseverativa compuesta siguiente: “O
Franco va al colegio o Franco se va a pasear.”
Esta oración compuesta la podemos reescribir
así “O Franco se va
al colegio o se va a pasear.” en este caso, la
oración compuesta ha sufrido una
transformación de elisión, o sea, se han omitido
una o más palabras, pero se mantiene el sentido
completo de la oración compuesta primigenia.
En el uso cotidiano de la lengua, de manera
general, no hablamos ni escribimos “O Franco
va al colegio o Franco se va a pasear.” sino “O
Franco se va al colegio o se va a pasear.” Esta
oración aseverativa compuesta, en la lógica
proposicional, es una proposición molecular o
compuesta con operador diádico “”. Siendo
una proposición molecular la podemos
representar mediante la variable “p” para
representar a la proposición simple o atómica
“Franco va al colegio.” y la variable “q” para
representar a la proposición simple o atómica
“Franco se va a pasear.”, siendo el conector u
operador diádico “” que representa a la
conjunción “O…..o…..” de la lengua española,
que denota sentido excluyente, es decir, que se
cumple una y sólo una entre dos proposiciones.
Por consiguiente, en lógica proposicional, la
proposición molecular o compuesta con
conectivo binario (diádico) “”, se representa
mediante la fórmula “p q”. Otro ejemplo: Una
niña se empeña en que su padre la lleve el
domingo por la mañana al parque de atracciones
y por la tarde al cine de su barrio. El padre le
dice “No, Saldremos por la tarde e iremos al
cine o al parque de atracciones”. Este es el
sentido excluyente de “O….o….”: “Saldremos
por la tarde e iremos al cine o al parque de
atracciones” es lo mismo que decir “O iremos al
cine o al parque de atracciones.” En la lógica
proposicional se representa mediante la fórmula
“p q”. Significa en este caso que, tiene lugar
exactamente o se cumple una de las dos
proposiciones. Según este sentido “o p o q” sólo
es verdadera, cuando sólo una de las
proposiciones atómicas es verdadera. En otras
palabras, “o p o q”es verdadera, si p es
verdadera y q es falsa; si p es falsa y q es
verdadera; en todos los demás casos es falsa. En
el lenguaje ordinario, cuando queremos poner
de manifiesto y de manera bien clara, que se
trata del sentido excluyente, usamos “o bien... o
bien” o incluso nos hacemos más explícitos:
“No insistas, haremos una sola cosa, vamos al
cine o vamos al parque de atracciones”. Como
consecuencia de lo dicho hasta ahora, en el
lenguaje matemático, si se desea utilizar el
significado excluyente, es preciso hacerlo bien
explícito como se ha indicado, con frases tales
como: “o bien p o bien q.”
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”
Función.- Se usa para señalar la posibilidad
de elegir entre dos opciones. Esta alternativa
es fuerte porque una sola de las opciones
puede darse, se refuerza repitiendo “o” delante
de cada proposición.
Regla Metalógica.
Sólo es verdadera, cuando sólo una
de las proposiciones atómicas es verdadera.
En todos los demás casos es falsa.
Tabla de verdad:
p q p q
V V
V F
F V
F F
F
V
V
F
Conectores equivalentes a “”.
A o exclusivamente B // A o sólo B // O A o B //Ya
bien A ya bien B // A o solamente B // A no biimplica
B // A no es equivalente B // A o
prioritariamente B //A o únicamente B // A
excepto únicamente B // A excepto que B (en
sentido excluyente) // A a menos que B (en
sentido excluyente) // A salvo que B (en sentido
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excluyente)// A alternativamente que B (en
sentido excluyente) // A o bien B (en sentido
excluyente) / O bien A o bien B // O A o tan
sólo B // O es A o es B//
Ejemplos
O Rodrigo nació en Europa o América.
De dos idiomas: inglés y francés, el policía habla
solo un idioma.
Charlie es un policía habla inglés pero no francés o
habla francés pero no inglés.
El Armero ordenó coger una pistola o un revolver
pero no ambos.
O Gabriel nació en Lima o en Arequipa.
O bien la luna es un planeta o bien un satélite.
Ocho es par o impar.
O Comerá galletas o sólo caramelos.
O por la mañana descansas o me voy a la
playa.
O 9 es múltiplo de tres o es múltiplo de 4.
O viajó el lunes o el martes.
O Tudela està vivo o está muerto.
O estudias o trabajas.
Proposiciones Condicionales o Implicativas
“”
Las oraciones condicionales son oraciones
compuestas que constan de dos oraciones
inseparables. La primera, se denomina oración
subordinada o prótasis, que formula o expresa
una condición para que se cumpla la acción de
la segunda oración, denominada oración
principal o apódosis, que expresa los efectos o
resultados.La oración subordinada expresa una
condición de la que depende el cumplimiento
de la oración principal. El conector más
característico o más frecuente para encabezar e
introducir una oración subordinada es la
conjunción condicional “si”: Si vas por la
autopista, tardarás menos.Si vienes entonces
te invitaré un postre. Si ahorro,podré irme de
vacaciones a Centroamérica.Si tuviera más
dinero, me iría a Centroamérica. Si hubieras
venido, te habrías divertido mucho.Si la
situación empeorara,habría que llevarlo al
hospital.Si quisieras,podrías hacerlo. Si
ahorrara un poquito más,podría irme de
vacaciones.
Estas oraciones expresan una condición de
realización posible. La oración principal se
refiere a un hecho real, futuro y probable.
Si + presente del indicativo + presente del
indicativo: expresa una condición en el
presente que se quiere presentar como
probable de realizar.
Si vienes temprano, cenamos juntos.
Si + presente del indicativo + futuro
perifrásico (ir + a + infinitivo): expresa una
condición en el futuro que se quiere presentar
como probable de realizar.
Si vienes temprano, vamos a cenar juntos.
Si + presente del indicativo + futuro
imperfecto del indicativo Si vienes temprano, cenaremos juntos.
Si me llaman de la otra empresa, entonces
dejare este trabajo.
Si + presente del indicativo + imperativo Si necesitas cualquier cosa, llámame.
La oración condicional construida con el
verbo en modo indicativo:
El verbo en modo indicativo, desde el punto de
vista semántico, es cuando el hablante asume
la acción del verbo como un hecho real y
objetivo, de cuya realización se siente muy
seguro, pues enuncia el hecho como pura
constatación de la realidad. Por ejemplo:
“Descargó la mercadería del coche.”,
“Cosecharemos el algodón.” “Los perros
asustan a los ladrones.” El hablante presenta
un hecho de validez general porque se apega a
la realidad. Su punto de vista es objetivo,
referencial, de actitud enunciativa o
aseverativa del hecho, como pura constatación
de la realidad. Cuando la oración condicional
se considera como un hecho real o necesario,
se emplea el modo indicativo del verbo.
Ejemplo: Si estudias, aprobarás.
Sea la oración condicional “Si el pejerrey es un
pez entonces el pejerrey tiene respiración
braquial.” Esta oración está compuesta por una
oración subordinada, llamada prótásis (la
condición): “Si el pejerrey es un pez” y la
oración principal, llamada apódosis (los
efectos): “entonces el pejerrey tiene respiración
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braquial.” La oración condicional primigenia la
podemos reescribir así “Si el pejerrey es un
pez entonces tiene respiración braquial.”, en
este caso, la oración compuesta original ha
sufrido una transformación de elisión, o sea, se
han omitido una o más palabras, pero se
mantiene el sentido completo de la oración
condicional primigenia. En el uso cotidiano de
la lengua, de manera general, no hablamos ni
escribimos “Si el pejerrey es un pez entonces el
pejerrey tiene respiración braquial.” sino“Si el
pejerrey es un pez entonces tiene respiración
braquial.” Esta oración condicional aseverativa
en la lógica proposicional es una proposición
molecular o compuesta con operador diádico
“” (Si …entonces…). Siendo una proposición
molecular la podemos representar mediante las
variables proposicionales “p” para representar a
la proposición simple o atómica “así “el
pejerrey es un pez” y “q” para representar a la
proposición simple o atómica “el pejerrey
tiene respiración braquial.”, siendo el
conector u operador diádico “” que representa
a la expresión “Si…entonces…” de la lengua
española, Por consiguiente, la proposición
compuesta o molecular, condicional “Si el
pejerrey es un pez entonces tiene respiración
braquial.” en la lógica proposicional se
representa mediante la fórmula “p q”. En la
lengua natural, ordinaria o cotidiana existen
muchos sinónimos, tanto para la conjunción
condicional “si”, que es la que propone el
antecedente o condición suficiente; como para la
conjunción consecutiva “entonces.”, que
propone el consecuente o condición necesaria.
Con el conocimiento de dichos sinónimos es
posible construir gran cantidad de proposiciones
implicativas.
Conectivo Lógico u Operador Lógico “”
p q
donde:
p : Antecedente
q : Consecuente
Función.- vincula dos proposiciones que
tienen la peculiaridad o característica
siguiente: La primera proposición se llama,
“antecedente”, la segunda proposición se
llama, consecuente. Desde el punto de vista
cognitivo, la proposición antecedente formula
o expresa una condición para que se realice la
acción, efecto o resultado de la proposición
consecuente y la proposición consecuente
expresa acción, efecto o resultado, cuyo
cumplimiento se da, si previamente se cumple
la condición dada en la proposición
antecedente, es decir, la proposición
consecuente depende de la proposición
antecedente.
Regla Metalógica. Sólo es falsa, cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso. En todos
los demás casos es verdadera.
Tabla de verdad:
p q p q V V V F F V F F
V F V V
Sinonimos de “Si”
Porque// Ya que/ Puesto que// Dado que//
Siempre que// Basta que// En el caso de que//
Cuando// Cada vez que// Con la condición de
que// Con tal de que/Pues// Es implicado por//
Teniendo en cuenta que// Sólo cuando// Es
suficiente//
Sinonimos de “Entonces”
Aunque// así pues// así que// luego// en
consecuencia// consecuentemente// con que//
de manera que// pues// tanto que// por lo
tanto// se infiere// se deduce// implica// Por
eso// es obvio// por consiguiente// de allí que//
por ello// bien se ve que// sòlo si// solamente
si// únicamente si //exclusivamente si//
prioritariamente si//
Conectores equivalentes a “”
A implica B// A luego B// A
consecuentemente B// A en consecuencia B//
A por tanto B// A solo si B// A de ahí que B//
A de manera que B// Si A entonces B// Con tal
que A entonces B// Basta que A entonces que
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B// Con la condición de que A entonces B//
Dado que A entonces B// Es implicado por A
entonces B// Puesto que A entonces B//
Cuando A así pues B// Pues A entonces B//
Porque A entonces B// Ni bien A entonces B//
Siempre que A entonces que B// Ya que A
entonces B// Porque A por eso B// Si A por eso
B// A menos que A, B// Siempre que A, B//
Una vez que A, B// Cada vez que A es porque
B// En vista que A es evidente que B// Si A,
B// En la medida que A de allí B// En la
medida que A de allí que B// En el caso de A
en este caso B// Cuando a así pues B// Cuando
A pues B// En virtud de que A es evidente
que B// En el caso de que A en tal sentido B//
Para A es condición necesaria B// Toda vez
que a en consecuencia B// Cada vez que A
entonces B// Con tal que A es obvio que B//
Dado A por eso B// Dado que A por eso B// En
cuanto A por tanto B// De A deviene B//
Siempre que A por consiguiente B// Siempre
que A es obvio que B// A es condición
suficiente para B// Ya que A bien se ve que B//
A impone a B// De A derivamos B// Si A, B//
En la medida que A de allí B// Puesto que A,
B// Es condición suficiente A para B//
Ejemplos
Si el alumno estudia entonces aprobará la
asignatura de Lógica.
Si el alumno estudia, aprobará el curso.
El alumno aprobará el curso si estudia.
Dado que el alumno estudia aprobará el curso.
Puesto que el alumno estudia aprobará el curso.
Si Juan el deportista, mantiene una dieta estricta.
Si hay vida en la nebulosa Andrómeda, existen
seres extraterrestres.
Ya que hay nubes, bien se ve que lloverá.
Cuando tenga visa, viajaré a los Estados Unidos.
Dado que sembré a tiempo por eso cosecharé
pronto.
Dado que mi tío es cruel por eso sus hijos sufren.
Dado que llegas tarde por eso te despedirán del
trabajo.
Cuando tenga pasaporte pues viajaré.
En la medida en que entrenes de allí que
triunfarás.
Con tal que trabajes es obvio que ganas dinero.
Siempre que estudies, ingresaras a la
universidad.
Bajo la condición de estudiar, ingresaré a la
universidad.
Una vez que yo estudié, debo ingresar.
Al estudiar, es posible que pueda ingresar.
El que Miriam trabaje en la Universidad
Nacional de Piura es condición suficiente para
qué este asegurada.
La detección del sida implica los análisis que
sean necesarios para detectar ésta enfermedad.
Estudió en el Instituto de Enseñanza Pre
Universitaria de la Universidad Nacional de
Piura (IDEPUNP) por lo tanto postularé a la
Universidad Nacional de Piura.
Ambas triunfarán, si María trabaja y Kasandra
estudia.
Cada vez que los metales se dilatan obviamente
el oro se dilata.
Porque el insecto es invertebrado por eso es
volador.
Los dinosaurios no se extinguieron solamente si
(entonces) evolucionaron.
La demanda aumenta únicamente porque
(entonces) los precios suben.
Porque la oferta aumenta, por eso los precios
disminuyen.
A menos que ingreses, te compraran carro.
Para construir la democracia es necesario
respetar la constitución.
11
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Si los jueces del poder judicial dictan
sentencias condenatorias, contrarias al texto
claro y expreso de la ley, envían a prisión a
personas, de manera irregular, violan el debido
proceso legal, las garantías judiciales, los
derechos fundamentales de la persona humana,
entonces los jueces del poder judicial están
cometiendo delito contra la administración de
justicia, en la modalidad de prevaricato.
Si los jueces del poder judicial dictan
sentencias contrarias al texto expreso de la ley,
no motivadas, ni sustentadas ni
fundamentadas, entonces los jueces del poder
judicial están violando las garantías judiciales
del condenado.
Proposiciones Replicativas “” Es la proposición molecular que presenta en orden invertido antecedente y consecuente, con respecto a la proposición condicional: “Consecuente….si Antecedente”. En símbolos
q p (replicador), donde p es antecedente, q
es consecuente y es el conectivo lógico,
llamado “replicador”. Ejemplo: “Saldré, si vienes a buscarme”, presenta el conectivo
lógico binario “”, q, consecuente y el antecedente encabezado por si p. En
símbolos: q p. La fórmula: q p tiene
sentido, ya que el replicador () es el invertido del condicional. Ejemplo: Solo el pejerrey tiene respiración braquial, si el pejerrey es un pez”. Realizar la transformación de elisión, es decir, omisión en la oración de una o más palabras para una construcción gramatical completa; manteniendo el sentido completo de la oración: “Sólo el pejerrey tiene respiración braquial, si
es un pez”. En símbolos: “q p”. Proposición
atómica q, llamada consecuente: “El pejerrey tiene respiración braquial”. Proposición atómica p, llamada antecedente: “El pejerrey es un pez”.
Conectivo Lógico u Operador Lógico“”
Función: análogo al conectivo u operador
lógico“”
Regla Metalògica: Sólo es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los demás casos es verdadera.
Tabla de verdad
p q p q
V V V F F V F F
V V F V
Conectores equivalentes a “” A porque B// A si B// A sólo cuando B// A se
concluye de B// A siempre que B// A es insuficiente
para B// A cada vez que B// A dado que B// A ya que
B// A puesto que B// A es condición de que B// A en
vista de que B// A pues B// A solo si B// A para B//
A pero si B// A suficiente que B// A es implicado
por B// A con tal de que B// A es condición
necesaria para B// A con la condición de que B//
Sólo si A , B// Cada vez A, B// Es condición
necesario A para B// a cada vez que B, A// Para A es
condición suficiente B// Cada vez que A es porque
B// Sólo A, si B// Para A es suficiente B// A supone
B//
Ejemplos.
El profesor no controló la asistencia, puesto
que (si) la oficina de dirección del colegio
estaba cerrada y no estaba el portero.
Pedro compró un libro sólo cuando (si) tenía
dinero.
Iré de viaje y me divertiré si me sacó la
lotería.
Se pararon las luces porque (si) se
interrumpió el fluido eléctrico.
Roberto aprobará el curso puesto que(si) dio
un buen examen.
El número entero b es primo, si b es divisible
por 1 y por sí mismo.
Toledo será presidente siempre que(si) al
postular gane las elecciones.
Habrá ingresantes dado que(si)hubieron
postulantes.
Existe la democracia porque(si) existen los
derechos humanos.
12
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Ingresará a la universidad porque(si) ha
estudiado.
Morirás si estas con sida.
Compra libros porque(si) son útiles.
El sueldo mínimo equivale a s/. 750 no
obstante las familias hacen esfuerzos para
conseguir más dinero, ya que(si) el Perú está
pasando por un momento crítico.
No hay tuberculosis, puesto que(si) no hay
infección de bacilos.
Proposiciones Bicondiconales “”
Es la proposición compuesta que presenta el
conectivo lógico binario (diádico) “ … si y sólo
si ...”. En símbolos: p q. Este conectivo
lógico se denomina bicondiconal. Como su
nombre lo indica significa dos condicionales,
es decir está compuesta por dos proposiciones
condicionales que tienen ciertas
peculiaridades. Son dos proposiciones
condicionales que se caracterizan por ser una
reciproca de la otra; las mismas que están
enlazadas por el conectivo lógico binario “y”.
Ejemplo: “n es número par si y sólo si n es
múltiplo del número dos”. En símbolos: p
q, se observa que hay dos proposiciones
condicionales, tales como: “Si n es número par
entonces n es múltiplo del numero dos” y “Si n
es múltiplo del número dos entonces n es
número par”. En símbolos: (p q) (q p)
o también (p q) (p q). El uso de la
expresión “si y sólo si” es relativamente
reciente en el lenguaje matemático. En el
lenguaje más tradicional se expresaba “A es
condición necesaria y suficiente para B”, hoy
la expresión más usada y equivalente a la
anterior es “A si y sólo si B”.
Conectivo Lógico u Operador Lógico“”
Función: vincular dos proposiciones
condicionales, que tienen la peculiaridad o
característica de ser una reciproca de la otra;
las mismas que están enlazadas por el
conectivo lógico binario “y”.
Regla Metalógica: “Sólo es verdadero, cuando ambas proposiciones atómicas son verdaderas o ambas son falsas. En los demás casos es falsa.”
Tabla de verdad:
p q p q p q
V V V F F V F F
V F F V
Conectores equivalentes a “”
A si y sólo B// A es equivalente a B// A siempre
que y sólo cuando B// A es lo mismo que B//
A por lo cual y según lo cual B// A se define
como B// A es idéntico a B// A es igual a B// A
igualmente B// A es igual entonces a B// A
siempre y cuando B// A si de la misma forma
B// A siempre que y sólo si B// A siempre que y
sólo cuando B// A del mismo modo que B// A es
condición suficiente y necesaria para B// A porque
y solamente si B // Es necesario y suficiente A
para que B// A es suficiente y B también// Si y
sólo si A entonces B // Si y sólo si A , B// A es
de la misma forma que B // A ya que y
solamente porque B//
Ejemplos.
Te graduarás de policía si y solo si apruebas todas
las asignaturas.
La Policía Nacional del Perú recuperará su
prestigio si y solo si los alumnos de la ETS PNP
son preparados sobre la base de valores.
Habrá cosecha siempre que y sólo cuando llueva.
Hace frío si de la misma forma hace calor.
5 < 8 si y sólo si 5 < 6 y 6 < 8
La demanda procede cuando y sólo cuando
es consistente.
Sí y sólo si n es par, n es múltiple 2.
Los rayos catódicos tienen carga negativa del
mismo modo los rayos anódicos tienen carga
positiva.
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La sugerencia de Rosa es idéntica a la orden
de Pablo.
1 = 2 -1 es equivalente a 3 - 2 = 4 - 3.
Es necesario y suficiente que Sandra viaje a
España para que estudie abogacía.
Estar con fiebre es igual entonces a estar
enfermo.
Toledo será presidente siempre que y sólo si
gana las elecciones.
La lógica se define como el estudio del
razonamiento correcto.
Habrá reforma sí y sólo hay cambio
estructural.
Existe Estado de derecho si y sólo si se
respeta la constitución.
Iré al cine siempre y cuando vaya contigo.
Toda investigación es científica ya que y
solamente porque se fundamenta en datos
objetivos, probados o demostrados.
Proposiciones de Negación Conjunta o
Binegación “”
Es la proposición compuesta que presenta el
conectivo lógico binario , para realizar la
operación lógica p q, denominada
“Negación Conjuntiva” que significa
“ni...ni…” . Ejemplo: Sean las proposiciones
atómicas “Lima es un puerto”, “Callao es una
laguna”. Le aplicamos a ambas proposiciones
el conectivo lógico “no…” y obtenemos las
proposiciones negativas siguientes: “Lima no
es un puerto”, “Callao no es una laguna”.
Reescribimos ambas proposiciones: no (Lima
es un puerto); no (Callao es una laguna).
Aplicamos a ambas proposiciones el conectivo
lógico binario “y”, y obtenemos la proposición
siguiente: no (Lima es un puerto) y no (Callao
es una laguna) que equivales a decir: Ni Lima
es un puerto, ni Callao es una laguna. A esta
proposición molecular se le denomina
“negación conjuntiva”, “negación conjunta” o
“Binegación”. En símbolos: p q. A éste
conectivo lógico también se le conoce con el
nombre de función de Nicod, aunque fue
descubierta por Sheffer, fue Nicod quien
insistió en su estudio. p q es equivalente a
pqp q Ni p, ni q.
Conectivo Lógico u Operador Lógico“”
Función: vincular dos proposicionesnegadas,
cuya forma p q es equivalente a la forma p
q, que son dos proposiciones negadas,
enlazadas por el conectivo lógico .
Regla Metalógica:
Sólo es verdadera, cuando ambas proposiciones
atómicas son falsas. En los demás casos es falsa. Tabla de verdad
p q p q
V V
V F
F V
F F
F
F
F
V
Conectores equivalentes a “”
No A y no B// No A, ni B// Ni A, ni B//
Ejemplos
Ni cantas ni bailas.
No ingresó a la universidad y no postula a la católica.
Ni Colón conquistó el Perú ni Pizarro descubrió
América.
Ni viajará a México ni regresará a su país.
Ni Ricardo Palma fue el escritor, ni Mariatigui fue
poeta.
No ganarás la rifa y no ganarás el bingo.
Ni ganarás la rifa, ni ganarás el bingo.
Ni son proposiciones, ni son enunciados abiertos.
En el Perú ni hay trabajo, ni hay justicia.
Ni trabajas ni estudias
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Ni Cesar Vallejo es francés ni Antonio Machado es
boliviano.
Proposiciones de Negación Alternativa o
Binegación Disyuntiva o Incompatibilidad
“”
Es la proposición compuesta que presenta el
conectivo lógico binario (diádico) “”. El
conectivo lógico binario “” es utilizado para
realizar la operación lógica denominada
Negación alternativa o Binegación disyuntiva
o incompatibilidad, denotada por el símbolo:
p q, se lee “no p o no q. La binegación
disyuntiva es la negación de las proposiciones
no p y no q, enlazadas al mismo tiempo por el
conectivo lógico . En símbolos:
pqp q. Ejemplo: Sean las proposiciones
atómicas “Yo compro el auto”, “Yo voy al
mercado”. Le aplicamos a ambas
proposiciones el conectivo lógico “no…” y
obtenemos las proposiciones negativas
siguientes: “Yo no compro el auto”, “Yo no
voy al mercado”. Aplicamos a ambas
proposiciones la elipsis, es decir suprimimos
en las proposiciones dadas aquellas palabras
que no son indispensables para la claridad de
las mismas. En éste caso suprimimos la
palabra “Yo”. Luego las proposiciones dadas
las podemos reescribir así: “no compro el
auto”, “no voy al mercado”. A ambas
proposiciones le aplicamos el conectivo lógico
binario “o” (funciona como disyunción
inclusiva), y obtenemos la proposición llamada
negación alternativa, binegación disyuntiva o
incompatibilidad: “No compro el auto o no
voy al mercado”. En símbolos: p q. A éste
conectivo lógico también se le conoce con el
nombre de función de Sheffer.
p q p qp q. Con la incompatibilidad lo único que se quiere decir es que una misma persona no puede ser, a la vez, dos cosas; así en el ejemplo "es incompatible ser juez y abogado", se manifiesta que una persona no puede actuar a la vez como juez y como abogado, por tanto, de ser verdaderas las dos proposiciones atómicas, la molecular tendría el valor de falso.
Conectivo Lógico u Operador Lógico“”
Función: vincular dos proposicionesnegadas,
cuya forma p q es equivalente a la forma
p q, que son dos proposiciones negadas,
enlazadas por el conectivo lógico .
Regla Metalógica:
Sólo es falsa, cuando ambas proposiciones
atómicas son verdaderas. En los demás casos
es verdadera.
TABLA DE VERDAD
p q p q
V V
V F
F V
F F
F V V V
Conectores equivalentes a “” No A excepto que no B// A es incompatible con B//
No A a menos que no B//
Ejemplos
No compro auto o no voy al mercado.
No juego por alianza o no es su futbolista.
No comentes o no respondo de mí.
No eres pintor o no eres artista.
No es divisor de 20 o no es número primo.
Los cetáceos no respiran por braquias o no son
terrestres.
1. Escribe “e" si es un enunciado y “p” si es proposición en:
a) 3 es mayor que 2. …e y p….
b) ¡Viva el Perú! …e…….
c) Prohibido hacer bulla. .…e……
d) 5 < 6 …e y p..
e) Cuatro es divisible por 2. …e y p….
f) Quito es la capital de Bolivia. …e y p…
g) 7 5 …e y p.. h) César Vallejo escribió “Los dados
eternos” …e y p …
i) Copérnico es el autor de la teoría
heliocéntrica. …e y p….
j) x 3 …e y p..
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k) Si me pagan en la UNMSM, entonces
viajaré al Cuzco. …e y p..
l) José C. Mariátegui es autor de “El
artista y la Época” o “Temas de
Educación” ..e y p…
m) No es el caso que un número sea
divisible entre dos y que no sea par.
…e y p..
n) Si a un número par le sumo otro número
par, entonces el número resultante es
también par. ..e y p…
o) ¿Quién es el Rector de la UNMSM?
…e….
2. Escribe “C” si es una proposición compuesta o molecular y “S” si es proposición simple o atómica:
1) Pizarro jugó, aunque estuvo lesionado. ……C………….
2) 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 2 y 3. ……C………..
3) Cuando tenga visa, viajaré a los
Estados Unidos. ………C………..
4) Dado que sembré a tiempo por eso
cosecharépronto. .………C…………
5) No compro auto o no voy al mercado.
………C..………..
6) No eres pintor o no eres artista.
……..C….……….
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Señale verdadero (V) o falso (F):
( F ) Basta que el antecedente sea falso para
que la proposición condicional sea falsa.
( F )Una proposición bicondicional es
verdadera solamente cuando sus dos
componentes son verdaderas.
A) VV B) VF
C) FV D) FF
E) No se puede determinar
02. Señale verdadero (V) o falso (F):
(V ) Solamente cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso, la
proposición condicional es falsa.
( V) Basta que el consecuente sea verdadero
para que la proposición condicional sea
verdadera.
A) FV B) FF C) VV D) VF
E) No se puede determinar
03. Señale verdadero (V) o falso (F):
(V ) “Si y sólo sí” es una conectiva
bicondicional
( F ) Basta que uno de los componentes de una
proposición conjuntiva sea verdadero,
para que la proposición conjuntiva sea
verdadera.
A) VV B) VF C) FV D) FF
E) No se puede determinar
04. Es una proposición que admite el valor V sólo
cuando las dos proposiciones componentes
son verdaderas:
A) Conjunción
B) Disyunción débil
C) Disyunción fuerte
D) Implicación
E) Negación
05. Es una proposición en la cual basta que una de
las proposiciones sea verdadera, para que toda
ella sea verdadera
A) Conjunción
B) Disyunción Débil
C) Bicondicional
D) Implicación
E) Negación
06. Es una proposición que es verdadera sólo
cuando las dos proposiciones tienen el mismo
valor de verdad.
A) Disyunción
B) Bicondicional
C) Conjunción
D) Implicación
E) Negación
07. Es una proposición falsa sólo cuando forman la
combinación V y F, en ese orden.
A) Disyunción
B) Bicondicional
C) Conjunción
D) Implicación
E) Negación
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08. Dada la proposición : “Si estudio, triunfo.
Estudio, por lo tanto triunfo”. Corresponde a un
esquema:
A) Tautológico
B) Consistente
C) Contradictorio
D) Indeterminado
E) Falso
09. Dada la proposición: “Si llueve, el suelo se
moja”. Los valores de la matriz principal de su
tabla de verdad son:
A) FVFV
B) VFVF
C) VVVV
D) VFVV
E) FFVV
10. Si la proposición : “No es cierto que, estudiemos y no
aprobemos”, es verdadera, entonces podemos
afirmar.
A) Aprobamos y no estudiamos
B) No es el caso que, estudiamos o aprobamos
C) Estudiamos o no aprobamos
D) Aprobamos o no estudiamos
E) Estudiamos y aprobamos
11. Si se sabe que:
p r es F
r q es V
q V t es F
Determine los valores de verdad de p, q, r y t
A) VVVV B) VVFF C) VFVF
D) FVFF E) FFFF
12. Si la proposición compuesta:
( p q) (r V t ) es falsa
Indicar las proposiciones que son verdaderas:
A) p y r B) p y q C) r y t
D) q y t E) p; r y t
13. Si la proposición: ( p q) r, es falsa,
determinar, ¿Cuáles de las proposiciones son
falsas?
A) p y q B) p y r
C) p; q y r D) q y r E) r y q
14. Los valores de verdad de las proposiciones p,
q, r y s son respectivamente V, F, F, V.
Obtener los valores de verdad de:
( V ) [(p V q) V r ] s
(V ) r (s q)
(F ) (p V r) (r s)
A) VFF B) VVV
C) FFF D) FVV
E) VVF
17
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VALORES DE VERDAD Y TABLAS DE VERDAD
Valores Veritativos (Valores de
Verdad).- Son símbolos denotados
(indicados) por: “V” que representa
el valor de “verdadero” y “F” que
representa el valor de “falso”;
también pueden utilizarse los
símbolos de “1” para representar el
valor de “verdadero” y “0” para
representar el valor de “falso”.
Estos signos no son signos lógicos
sino metalógicos.
Una proposición simple o
atómicadesde el punto devista
semántico tiene un sólo valor de
verdad, puede ser o verdadero “V”
o falso “F”, pero no ambos a la vez.
Esquemáticamente lo expresamos
así:
p
V
F
¿Cuándo decimos que una
proposición atómica es “V” y
cuándo decimos que es “F”?
Decimos que una proposición
atómica es verdadera “V” cuando
dicha proposición guarda
correspondencia con los hechos o
realidad objetiva, ejemplo: la
proposición “El cisne es blanco”, es
verdadera sólo si, guarda
correspondencia con la realidad
objetiva, /el cisne es blanco/.
Decimos que una proposición
atómica es falsa “F” cuando dicha
proposición no guarda
correspondencia con los hechos o
realidad objetiva, ejemplo: la
proposición “Juan tiene cinco
manos”, es falsa sólo si, no guarda
correspondencia con la en la realidad
objetiva, /Juan tiene dos manos/.
En otras palabras, la propiedad
designada como "verdad" o
“falsedad” es la medida en que las
proposiciones atómicas corresponden
a la realidad a la que se refieren.
Nada más, pero también nada menos.
Parecería aceptable que la polaridad
"verdadero- falso" sólo es relevante a
las proposiciones cuyo contenido
forma parte de la naturaleza, de la
realidad empíricamente verificable.
El punto que me interesa subrayar es
que de todo lo que los seres humanos
nos decimos unos a otros cada día,
sólo una pequeña fracción cae dentro
de la jurisdicción de la polaridad
“verdadero-falso”; el resto de lo que
nos decimos puede ser inspirado,
patético, torpe, valorativo o de
opinión, optimista, profundo,
inquisitivo, emotivo, exhortativo,
dubitativo interrogativo, desiderativo,
exclamativo, refranes, fantástico o
ficticio: de la literatura, de los
comics, de las supersticiones, de la
religión, de los mitos o leyendas;
pero no tienen (ni puede tener)
relación alguna con la verdad. Hay
resistencia a aceptar este concepto
restringido de verdad. Este concepto
restringido de verdad excluye áreas
del pensamiento humano tales como:
la filosofía, la religión, la demagogia
y ciertos tipos de literatura fantástica
o poética. Lo que quiero decir es que
la polaridad “verdadero- falso” no
consume la totalidad de las vivencias
humanas y que afortunadamente
existen muchas otras aperturas para
canalizar la enorme riqueza de la
existencia del Homo sapiens. El
calificativo de "verdadero" o de
“falso” sólo debería aplicarse a las
proposiciones que o describen,
refieren con fidelidad o que no
describen, no refieren con fidelidad
fenómenos naturales específicos. Y
SESIÓN N° 02
18
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como éste es el oficio específico de la
ciencia, mi conclusión es que la
polaridad “verdadero-falso” sólo
puede aplicarse al conocimiento
científico.
Valores de Verdad para las
proposiciones moleculares La única manera de determinar la
relación entre la verdad de las
proposiciones compuestas o
moleculares y la de sus componentes
(proposiciones atómicas) es
definiendo el significado de los
conectivos lógicos u operadores
lógicos por estipulación semántica.
Por ejemplo, la regla metalógica de la
negación, de la conjunción, de la
disyunción débil, disyunción fuerte,
del condicional, de la biimplicación,
de la binegación y de la binegación
disyuntiva definen por estipulación
semántica el significado de sus
respectivos conectivos lógicos u
operadores lógicos, es decir, el
comportamiento de un operador
lógico suele definirse mediante su
correspondiente regla metalógica. Las
reglas metalógicas, que estipulan el
significado, uso, comportamiento de
los conectivos lógicos, son verdaderas
definiciones semánticas, a manera de
postulados de significación. La
verdad o falsedad de una proposición
molecular puede conocerse
universalmente sin la necesidad de la
evidencia empírica; depende de las
reglas metalógicas que estipulan el
uso de los conectivos lógicos
presentes en la proposición
compuesta. De esta manera, la
verdad de las proposiciones
moleculares depende de las
significaciones atribuidas a los
conectivos lógicos.
Las tablas de verdad son una
representación esquemática o gráfica
de las reglas metalógicas que permite
establecer el valor de verdad de un
esquema o fórmula proposicional,
considerando todas las combinaciones
posibles de los valores de verdad de
las variables que la componen. Las
tablas de verdad son interpretaciones
semánticas de las posibilidades de
verdad “V” y falsedad “F” que tienen
las proposiciones compuestas. El
número de posibilidades (opciones)
de verdad “V” y falsedad “F” que
tienen las proposiciones compuestas
es igual a 2n. Donde n indica el
número de proposiciones simples
(variables proposicionales) que,
intervienen como componentes de la
proposición molecular. En símbolos:
opciones = 2n. La tabla de verdad
permite hallar la matriz principal que define al esquema proposicional. Por ejemplo, si esta matriz resulta tautológica, es decir, en todos los
mundos posibles es verdadero el operador principal, el razonamiento dado será valido. Considerando la distribución de los valores de verdadero y falso, en la matriz principal de la tabla de verdad de las fórmulas proposicionales, éstas se clasifican en: tautológicas, contingentes y contradictorias. Fórmulas proposicionales tautológicas (T). Son aquellas cuya matriz principal contiene únicamente valores de verdadero.
19
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Fórmulas proposicionales contingentes o consistentes (Q). Son aquellas cuya matriz principal contiene tanto valores de verdadero como de falso.
Fórmulas proposicionales contradictorias
(). Son aquellas cuya matriz principal contiene únicamente valores de falso.
Evaluación de fórmulas mediante tablas de
verdad
Evaluar una fórmula mediante las
tablas de verdad consiste en obtener
los valores de verdad (V y F) del
operador lógico o conectivo lógico
principal de la fórmula, a partir de
todas las opciones de verdad o
falsedad que tiene cada una de las
variables proposicionales.
Ejercicio 1. Evaluar la fórmula:
p qq r
Ejercicio 2. Evaluar la fórmula:
(pq)(qr
PROBLEMAS APLICACIÓN 1. Sean p: “José es estudioso ” , y q: “José
es alto ”. Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica, con p y q:
a) José es estudioso y es alto.
……pq…. b) José no es estudioso o no es alto.
…pq... c) No es verdad que José es alto o estudioso.
…qp…. d) Es falso queJosé es alto o que es
estudioso. …qp.. e) José es alto, pero no es estudioso.
…qp…. 2. Simbolizar: "José estudia y trabaja, pero practica fútbol"
a) (pq) r b) p (q r) c ) p q d) pq r e) (p q) r
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3. Simbolizar: "No es el caso que, Rubén canta y toca cajón"
a) ~ p q b) ~p V q c) ~p ~ q d) ~(p q) e) p V ~q
4. Simbolizar: "No es el caso que, hace frío y no se congele"
a) ~(p~ q) b) ~p ~ q c) p ~q d) ~p V ~ q e) ~(p V ~q)
5. Simbolizar: "Es falso que si el ciclotrón bombardea al átomo, entonces no se acelera la velocidad de los protones".
a) ~p ~q b) ~p q c) ~(p ~q) d) ~p q e) (p ~q) f)
6. Sean p “ Gabriel es estudioso ” , y q “Gabriel es alto ”. Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica con “ p y q “. a)Gabriel es estudioso y es alto p Λ q b) Gabriel no es estudioso o no es alto -p v-q c) No es verdad que Gabriel es bajo o
estudiosop v q d) No es el caso que Gabriel es alto o que es estudioso –(p v q) e) Gabriel es alto pero no es estudioso
pq 7. Completa :
a) V v F = V b) F vF =F c) V V= V d) F Λ F= F e) V F=F f) F v V=V g) V Λ V= V h) F V=F i) F V=V j) V Λ F=F
8. Si la proposición es verdadero, hallar el valor de cada variable en:
~ [ ( ~ p y q) ( ~ r ~ s) ] a) f fff b) f v v f c) f v f v d) v v f f
9. Se sabe que la negación de :
P ( ~ q V r ) ; e s verdadera , entonces el valor de verdad de: ( q r ) { ( q r ) t } e s : O b s . t n o e s t a d e f i n i d a a ) V b ) F c ) V ó F d ) N A
10.Los valores de verdad de p,q, r son : ~[(~ p V q) V ( r q)] [ ( ~pV q) ( q ~ p)]si el enunciado es verdadero
a) f f v b) v v f c) v f f d) v f v e) f ff
11. Si la proposición ( p ~q) ( r ~ s)
es falsa , el valor de verdad de las proposiciones : q , p , r , s respectivamente son a) f v vv b) f v f f c) v vvv d) v f v v
12. De la falsedad de:
( p ~ q ) V ( ~ r ~ s), se deduce que:
a ) ~ (~ q V ~ s) ~ p
b ) ~ (~ r s) ( ~ p ~ q)
c) P ~ [ q ~(s r ) ] Sonrespectivamente : a) f f v b) v v f c) v f f d) v f v e) f ff
13. Si ( p ) = V ( ~ q) = F ( r ) = V
Determinar el valor de verdad o falsedad
a ) [ ( p q ) ( ~ r V q ) ] ~ q
b) [ ( ~ p r ) ( q V p ) ]
c) [ ( p r ) V x ] ( ~ q ~ r ) 14. Si se sabe que :
21
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S p = V,r s = F , q p f Determinar el valor de los siguientes diagramas:
a) ( ~ r q) ( s p )
b) [ ( p V ~ s) r ] ~ r c) ( p ~ q ) V ( ~ r ~ s )
15. Si la negación de la siguiente formula
lógica es verdadera , hallar los valores de verdad de cada uno de ellos.
~{( p s ) [ ( p r ) V ( ~ qs)] } a) f fff b) f v v f c) f v f v d) v v f f e) v f ff
16. Mediante la aplicación de las reglas metalógicas
de los operadores o conectivos lógicos y el uso de tablas de verdad ejecute la evaluación de las fórmulas lógicas siguientes:
1) p q
2) p q
3) p q
4) p q
5) pq r
6) p q r)
7) (p q) (r s
8) (p q) r
9) {[p r q] r s} q
10) {[ p s q] r q} [(
p ( r s]
11) [(pq) (pr) (p p)] [(q s]
12) {[(p q) (r s)] (p s)} ( r q)
13) {[(p q) (r s)] (p vs)} ( r q)
14) {(p q) [ p(q r)]}(r p)
15) (p q) (r s)
16) [(p q) q] p
17) [(p q r] r
18) [(pq) q r)] (p r)
19) [(pq) q r)] (p vr)
20) p (q r)
21) Evalúe el siguiente esquema: pq. El
esquema es de tipo :
A) Contradictorio
B) Consistente
C) Tautológico
D) Indeterminado
E) B y D
22) Simplificar:
(p q) ( q V p)
a. Tautología
b. Contradicción
c. Contingencia
d. p
e. q
23) Sea el esquema: (A V B), la matriz
correspondiente es:
1. VVVV
2. Consistente
3. VFVV
4. Contradictoria
5. Tautológica.
Son ciertas:
A) 2 y 3 B) 1 y 5 C) Sólo 4
D) 2 y 4 E) Sólo 5
24) Si la proposición:
(p q) (rs] es falsa, el valor de verdad
de q, p, r, s ( en ese orden es)
A) FVVV B) VVVF C) VFVV
D) FVFF E) VVFF
25) Determine si las siguientes proposiciones son
tautologías o contradicciones.
I. ( r s) ( r s)
II. [(p V q) p] p
III. (pq)[(pq)(pVq)p]
A) C, T, C B) T, C, T C) T, T,T
D) C, C, C E) C, C,T
26) Hallar la tabla de verdad de :
(p q) (q V p)
A) VVFF B) VVFV C) VFFV
D) VFFF E) VVVF
27) Si :
[(p q) (p p)] [(r s) q]
Es verdadera, cuáles son los valores de p, q, r,
s respectivamente.
A) VFFF B) VFVV C) FVFF
D) FVVV E) Sin solución
28) Si se sabe que:
[(p r) q] [(p V p) V (p q)]
es verdadera, hallar los valores de p,q,r
A) VVV B) FFF C) FVF
D) VFV E) No se determina
29) Si la proposición:
[(p q) (p V w)] s es falsa, se afirma que la
siguiente proposición:
[s V( p W) ] V (p q)
es:
A) Verdadera
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B) Falsa
C) No se afirma nada
D) Toma ambos valores de verdad
E) Faltan datos
30) Si la siguiente proposición compuesta es falsa:
( p q) (q r)
Luego:
I. (p q) no es falsa
II. q V s es verdadera
III. q p es verdadera
Son ciertas:
A) I y II B) I y III
C) II y III D) Todas E) Sólo II
31) Si la proposición:
( p q) (p r) es verdadera
¿Cuántas son verdaderaS?
I. ( s r) ( p V s)
II. (s q ) (p V r)
III. ( q r) V ( p r)
A) Sólo I B) Sólo II C) I y II
D) I y III E) Todas
LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
I. LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
Leyes Lógicas.- Son fórmulas lógicas cuyas tablas de verdad tienen por resultado únicamente valores de verdad “verdaderos”. También se les denomina “tautologías”. Características fundamentales de la ley lógica:
1) La ley permanece al plano teórico; 2) Su enunciado es susceptible de verdad o falsedad; 3) Se expresa en el interior del cálculo lógico; 4) Su expresión es un enunciado lógico; 5) La ley pertenece al lenguaje lógico. 6) La ley usa los functores o conectivos u operadores lógicos.
LEYES LÓGICAS IMPORTANTES
1. LEY DEL MODUS PONENDO PONENS O MODUS PONENS
[(p q) p] q
2. LEY DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS O MODUS TOLLENS
[(p q) q] p
3. LEYES DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO
6.1. [(p q) p] q
6.2. [( p q) q] p
4. LEYES DE TRANSITIVIDAD O SILOGISMO HIPOTÉTICO
7.1.DEL CONDICIONAL
[(p q) (q r)] (p r)
7.2.DEL BICONDICIONAL
[(p q) (q r)] (p r)
5. LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO
[(p q) (r s) (p r)] (q s )
6. LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO
[(p q) (r s)( q s)] ( p r)
7. LEY DEL DILEMA SIMPLE
[(p r) (q r) (p q)] r
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EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
Las Argumentaciones
Un argumento o razonamiento es un sistema de proposiciones (dos o más) en el que una de ellas, llamada conclusión, se pretende que esté fundada en o se infiera de la/s otra/s, llamada/s premisa/s. La argumentación puede ser inductiva o deductiva. Un razonamiento deductivo es un sistema de
proposiciones (dos o más) en el que se
pretende que una de ellas, llamada
“conclusión”, se infiera o derive con el
carácter de necesidad de la/s premisa/s.
Ejemplo de un razonamiento deductivo: “El
ladrón entró por la puerta o la ventana. Por
la puerta no entró, como lo ha demostrado la
investigación policial. Por lo tanto, el ladrón
entró por la ventana.” Tomando el
razonamiento deductivo del ejemplo dado,
líneas arriba, procedemos a formalizarlo
como fórmula lógica, teniendo como
resultado la fórmula de la lógica
proposicional: [(p q) p] q), que es una
ley lógica (tautología) denominada “Modus
Tollendo Ponens o Silogismo Disyuntivo.”
Razonamiento Deductivo u operación de
deducción es aquella operación que consiste en
que dadas ciertas proposiciones, llamadas
“premisas” se obtenga, se infiera, se derive se
deduzca con el carácter de necesidad una
proposición, llamada “conclusión.”, es decir, se
pretende que una de ellas, llamada “conclusión”,
se infiera en forma necesaria de la/s premisa/s.
Una deducción es una secuencia de enunciados,
los cuales pueden ser o bien premisas o bien se
han obtenido de la aplicación de un conjunto de
reglas de inferencia a enunciados anteriores.
Reglas de Inferencia.- Son normas, prescripciones, licencias que indican cómo debe hacerse la operación de deducción, a fin de obtener una
conclusión correcta a partir de unas premisas dadas. . El uso de las reglas de inferencia garantizan la validez o legitimidad del acto llamado “operación deductiva” o “inferencia”.
Las características fundamentales de las reglas lógicas son:
a. La regla se sitúa en el plano práctico, dice cómo debe hacerse una operación deductiva.
b. Su enunciado es normativo, prescriptivo, y, por eso, la regla puede ser buena o mala, útil o inútil, eficiente o deficiente.
c. Se expresa al exterior del cálculo, justifica, garantiza la legitimidad o validez de la deducción.
d. Su expresión es enunciado metalógico. e. La regla pertenece al metalenguaje. f. La regla menciona los functores u
operadores lógicos.
g. A toda regla lógica le corresponde su
respectiva ley lógica.
REGLAS DE INFERENCIA IMPORTANTES
1. REGLA DEL MODUS PONENDO PONENS O MODUS PONENS (MPP)
A partir de un condicional y la afirmación de su antecedente, es legítimo inferir u obtener su consecuente Esquema:
A B
A
B
2. REGLA DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS O MODUS TOLLENS (MTT)
A partir de un condicional y negación de su consecuente, es legítimo inferir u obtener la negación de su antecedente.
Esquema:
A B
B
3. REGLA DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO (SD)
A partir de una disyunción débil y la negación de uno de sus disyuntivos, es legítimo inferir u obtener el otro disyuntivo. Esquemas:
SESIÓN 03
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~
A B
B
A
~
A B
A
B
4. REGLAS DE TRANSITIVIDAD O SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)
A partir de dos condicionales, donde el consecuente del primero es el antecedente del segundo, es legítimo inferir u obtener el condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo. Esquema:
A B
B C
A C
A partir de dos bicondicionales, de la forma
AB, BC, es legítimo inferir u obtener el
bicondicional de la forma AC. Esquema:
A B
B C
A C
5. REGLA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO
Dados dos condicionales y la disyunción
de sus antecedentes, es legítimo inferir u
obtener la disyunción de sus
consecuentes. Esquema:
A B
C D
A C
B D
6. REGLA DEL DILEMA DESTRUCTIVO
Dados dos condicionales, y la disyunción de la negación de sus consecuentes, es legítimo inferir u obtener la disyunción de las negaciones de sus antecedentes.
Esquema:
A B
C D
B D
A C
7. REGLA DEL DILEMA SIMPLE
Dados dos condicionales, que tienen el mismo consecuente, y la disyunción de sus antecedentes, es legítimo inferir u obtener el
consecuente de los dos condicionales dados. Esquema:
A B
C B
A C
B
Los componentes de los razonamientos
deductivos son las premisas (proposiciones que
implican a la conclusión), la conclusión
(proposición implicada por las premisas) y las
expresiones derivativas. Las expresiones
derivativas tienen por objeto indicar cuál es la
conclusión y cuáles son las premisas. No siempre
figuran en los razonamientos, algunas veces están
implícitas. Son de dos tipos: las que se anteponen
a la conclusión, como “luego”, “por tanto”, “por
consiguiente”, etc., y las que se colocan después
de la conclusión, antepuestas a alguna de las
premisas, como “ya que”, “puesto que”, “dado
que”, “como” y otras.
Un signo lógico que hace las veces de las
expresiones derivativas (que separa a las
premisas de la conclusión) es una barra “
_______/“ que se coloca después de las
premisas encolumnadas, al lado derecho se
escribe la conclusión.
En los ejemplos que siguen a continuación
se podrá observar la barra, que hace las
veces de las expresiones derivativas. Los
siguientes ejemplos ilustran los dos tipos de
expresiones derivativas.
Ejemplo 1. “El ladrón “José” entró por la
puerta o por la ventana. Por la puerta no
entró, como lo ha demostrado la
investigación policial. Por lo tanto,
(expresión derivativa que se antepone a la
conclusión) el ladrón “José” entró por la
ventana.” Los componentes del
razonamiento deductivo dado son:
Premisa 1: El ladrón “José” entró por la
puerta o por la ventana.
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Premisa 2: Por la puerta no entró./
Conclusión: Por lo tanto, el ladrón “José”
entró por la ventana.
Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Premisa 1: p q
Premisa 2: __ p / Conclusión: q
La regla lógica “Modus TollendoPonens o
Silogismo Disyuntivo” prescribe lo
siguiente: “A partir de una disyunción débil
y la negación de uno de sus disyuntivos es
legítimo inferir u obtener el otro
disyuntivo”, de esta manera justifica,
garantiza la legitimidad o validez de la
operación de deducción. Es decir, este
conjunto de proposiciones están
relacionadas de modo tal, que la
proposición, llamada conclusión: “El ladrón
“José” entró por la ventana.” Está fundada
o se infiere de las otras dos proposiciones,
llamadas premisas. En éste caso, la regla
lógica del modus tollendoponens o
silogismo disyuntivo, nos autoriza, nos
prescribe ha inferir u obtener la conclusión:
“El ladròn“José” entró por la ventana.” En
símbolos:
A B,
_A__/ B
Ejemplo 2. “El agua hervirá, dado que
(expresión derivativa que se coloca después
de la conclusión) si la temperatura está a
1000 C entonces el agua hervirá. La
temperatura está a 1000 C” Al formalizarlo,
tenemos como resultado la fórmula lógica:
q [(pq) p], que es una ley lógica (tautología) denominada “Ley Lógica del Modus Ponendo Ponens.” Procedemos a reestructurar el razonamiento deductivo dado, para obtener un razonamiento deductivo equivalente, tal como: “Si la
temperatura está a 1000 C entonces el agua hervirá. La temperatura está a 1000 C. Por consiguiente, el agua hervirá.” Este sistema de proposiciones formalizadas, equivalente al sistema de proposiciones inicialmente dado, también podemos verla o percibirla como una representación del argumento o razonamiento deductivo dado. Los componentes, reestructurados, de éste razonamiento deductivo son: Premisa 1: Si la temperatura está a 1000 C
entonces el agua hervirá.
Premisa 2: La temperatura está a 1000 C./ Conclusión: Por consiguiente, El agua hervirá. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos:
Premisa 1: p q.
Premisa 2: _p_____/ Conclusión: q. La regla lógica, “Modus PonendoPonens”,
prescribe lo siguiente: “A partir de un
condicional y la afirmación de su
antecedente es legítimo inferir su
consecuente.”
Ejemplo 3. “Si hace calor, Juan va a la piscina. Si Juan va a la piscina, arregla la casa después de almorzar. Luego, si hace calor, se arregla la casa después de almorzar.”Procedemos a formalizarlo como fórmula lógica, teniendo como resultado la
fórmula de la lógica proposicional [(pq)
(q r)] (pr), que es una ley lógica (tautología) denominada “Ley Lógica Silogismo Hipotético o Transitividad” Este conjunto de proposiciones, formalizadas, también podemos verlas o percibirlas como una representación del argumento orazonamiento deductivo, dado. Los componentes, reestructurados, de éste razonamiento deductivo son: Premisa 1: Si hace calor, Juan va a la piscina. Premisa 2: Si Juan va a la piscina, arregla la casa después de almorzar. Conclusión: Luego, si hace calor, se arregla la casa después de almorzar.
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Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos:
Premisa 1: p q.
Premisa 2: q r/ Conclusión: p r.
La regla lógica, “Silogismo Hipotético o
Transitividad”, prescribe lo siguiente: “A
partir de dos condicionales, donde el
consecuente del primero es el antecedente
del segundo es legítimo inferir el
condicional formado por el antecedente del
primero y el consecuente del segundo”
¿Cuándo un conjunto de proposiciones no
es un razonamiento deductivo? Cuando no
hay ninguna proposición, de las dadas, que
se afirme sobre la base de las otras.
Tomemos como ejemplo las proposiciones
siguientes: “Llueve mucho. Será mejor que
no salgamos. Podemos postergar la
excursión para mañana.” Efectuando la
formalización se tiene la siguiente fórmula:
p q r. Si bien estas proposiciones están
relacionadas en cuanto al contenido, no hay
ninguna que se afirme sobre la base de las
otras. En consecuencia, no se trata de un
razonamiento deductivo.
Conclusión y premisas son términos
relativos. Una misma proposición puede ser
premisa en un razonamiento deductivo y
conclusión en otro. Esta circunstancia
origina cadenas de razonamientos
deductivos.
PROBLEMAS LÓGICOS
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS PONENDOPONENS
[(p q) p] q
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
1. Si Venus es un planeta entonces Venus brilla con luz refleja. Venus es un planeta.
2. Si son las cinco, la oficina está cerrada. Son las cinco.
3. Si Juan va a la Unión, se encuentra con Pedro. Juan va a la Unión.
4. Si llovió anoche, las pistas están mojadas. Llovió anoche.
5. Si voy de paseo, me encuentro con Ana. Voy de paseo.
6. Si la policía hace patrullaje urbano, captura a los delincuentes. La policía hace patrullaje urbano. Resolución
Formalización: (p qp
Razonamiento
P1: p q
P2: p_____/q: La policía captura a los
delincuentes.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus PonendoPonens.
7. Si el Atestado Policial prueba que estafaste, serás privado de tu libertad. El Atestado Policial prueba que estafaste. Resolución
Formalización: (p qp
Razonamiento
P1: p q
P2: p_____/q: serás privado de tú libertad
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus PonendoPonens.
8. Si los terremotos son fenómenos
naturales, los terremotos obedecen a leyes físicas. Los terremotos son fenómenos naturales.
9. Si Gabriel es un alumno-policía que práctica buenos hábitos, será un policía disciplinado y responsable. Gabriel es un alumno-policía que práctica buenos hábitos.
10. Si hay igualdad de oportunidades, hay justicia social. Hay igualdad de oportunidades.
11. Si las computadoras bajan de precio, las personas se educaran. Las computadoras bajan de precio.
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12. Dado que los objetos caen, existe gravedad. Los objetos caen.
13. Si Luís no ha pasado de año, no viaja a la Argentina. Luís no ha pasado de año.
14. Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la solución es un ácido. El papel de tornasol se vuelve rojo.
15. Si el satélite entra en órbita, el proyecto espacial será un éxito. El satélite entra en órbita.
A. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS
[(p q) q] p
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
1. Dado que los objetos caen entonces existe gravedad. No es cierto que los objetos caén.
2. Si es estrella, ese astro tiene luz propia. Ese astro no tiene luz propia. Resolución
Formalización: (p q (q)
Razonamiento
P1: p q
P2: q _____/p: no es estrella.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus TollendoTollens.
3. Si llueve, la ropa se moja. La ropa no se moja. Resolución
Formalización: (p q (q)
Razonamiento
P1: p q
P2: q _____/p: no llueve.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus TollendoTollens.
4. Si Carlos no viaja a Tumbes, no se encontrará con Gabriel. Carlos se encontró con Gabriel.
5. Si Juan no ésta en clase entonces está de servicio. Juan no está de servicio.
6. Si Pedro compró el libro entonces es
propietario del libro. Pedro no es propietario del libro.
7. Si un objeto flota en el agua entonces es menos denso que el agua. No es menos denso que el agua.
8. Si eres bondadoso y honrado, serás premiado. No serás premiado.
9. Si = 1500 entonces Sen = ½. Sen ½. 10. Si Víctor es un graduado universitario
entonces Víctor no es mecánico. Víctor es mecánico.
11. Teniendo en cuenta que hace frió, bien se ve que la gente se abriga. La gente no se abriga.
12. Si hoy es día de pago, iré de compras. No iré de compras.
13. Si Pedro se encuentra en casa, la luz está encendida. La luz no está encendida.
14. Si vienes, me voy. No me voy. 15. Si estudio lógica matemática, mejoro mi
razonamiento deductivo. No mejoro mi razonamiento.
16. Si son las siete de la mañana, el avión partió. El avión no partió.
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO
[(p q) p] q
[( p q) q] p
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
1. Me llamo Julio o Jorge. No me llamo Julio.
2. No viajo a Trujillo o no viajo a Arequipa. Viajo a Arequipa.
3. El policía viajó en auto o avión. El policía no viajó en avión.
4. Las Fuerzas Operativas de la Policía Nacional del Perú van al Estadio Nacional o al Mercado de Santa Anita. Las Fuerzas Operativas de la Policía Nacional no van al Estadio Nacional.
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5. Maria juega Voley o Básquet. Maria no juega básquet.
6. El paciente tiene sarampión o tifoidea. El paciente no tiene sarampión.
7. En Piura llueve o hace calor. En Piura no llueve.
8. El sol es estrella o satélite. El sol no es satélite.
9. En Irak hay guerra o paz. En Irak no hay paz.
10. Fujimori será extraditado o liberado. Fujimori no será liberado.
11. Los funcionarios policiales trabajan con hipótesis o refutaciones de hipótesis. Los funcionarios policiales no trabajan con refutaciones de hipótesis.
12. El reo es culpable o inocente del delito que se le imputa. El reo no es inocente del delito que se le imputa.
13. 13. El ladrón entró por la puerta o la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial.
14. Maritza se dedica a la función policial o se dedica a la función jurisdiccional. Maritza no se dedica a la función jurisdiccional.
15. El accidente de tránsito fue causado por ebriedad del chofer o falla mecánica del vehículo. El accidente de tránsito no fue causado por falla mecánica, de acuerdo a la investigación policial.
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DE SILOGISMO HIPOTÈTICO O TRANSITIVIDAD
DEL CONDICIONAL:
[(p q) (q r)] (p r)
DEL BICONDICIONAL:
[(p q) (q r)] (p r)
Dadas las premisas infiera o derive una conclusión Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 1. Si un policía es profesional y ético, es
responsable de su buena conducta. Si es responsable de su buena conducta,
evita realizar acciones delictivas. Resolución
Formalización: [(pq) r] (r s)
Razonamiento
P1: (pq) r
P2: r s /(pq) s: Si un policía es
profesional y ético, entonces evita
realizar acciones delictivas
2. Si se denuncia la comisiòn de un delito,
la policìaefectùa la investigaciòn.Si la policía efectúa la investigación, establece la responsabilidad de los involucrados. Resolución
Formalización: (p q) (q r)
Razonamiento
P1: p q
P2: q r /p r:
Conclusión: p r: Si se denuncia la
comisión de un delito, entonces la
policía establece la responsabilidad de
los involucrados.
3. Si Elizabeth viaja a Estados Unidos, visitará a su papá. Si visita a su papá, pasará buenas vacaciones.
4. Si los ladrones asaltan el Banco de la Nación, el cajero aprieta el botón de alarma. Si el cajero aprieta el botón de alarma, la patrulla policial interviene a los ladrones.
5. Si el Gobierno está a favor de las nacionalizaciones de las empresas, está en contra de la empresa privada. Si el Gobierno está en contra de la empresa privada, es comunista.
6. Si Bertrand Russell fue neopositivista, conformó el Circulo de Viena. Si conformó el Circulo de Viena, confiaba en la Lógica Simbólica.
7. Si Luisa obtiene buenas notas, le dan una beca. Si le dan una beca, viaja a Colombia.
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8. Si hay abundancia de peces, habrá abundante harina de pescado. Si hay abundante harina de pescado, se incrementa la exportación.
9. Si sube la gasolina, subirá la harina de trigo. Si sube la harina de trigo, subirá el precio del pan.
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO Dados los razonamientos deductivos
siguientes. Verifique, si dichos
razonamientos son válidos o inválidos,
utilizando cualesquiera de las técnicas de
validación que se le ha enseñado y usted ha
aprendido.
1. Si llueve, jugaremos ajedrez. Si el campo está seco, jugaremos fútbol. O
llueve o el campo está seco. / O jugaremos al ajedrez o fútbol.
2. Si voy al cine, no estudio. Si no voy a la fiesta, viene Felipe a Estudiar. Voy al
cine o no voy a la fiesta. / No estudio o viene Felipe a estudiar. Resolución
Formalización:
(p q) (rs) (p r )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: p r / (q s): No estudio o viene Felipe a estudiar.
3. Si se mantiene la paz, las ciencias progresan. Si se fomenta la guerra, los pueblos se empobrecen. O se mantiene
la paz o se fomenta la guerra. / Las ciencias progresan o los pueblos se empobrecen. Resolución
Formalización: (p q) (r s) (p r )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: p r / (q s): Las ciencias progresan o los pueblos se empobrecen.
APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL DILEMA DESTRUCTIVO Dados los razonamientos deductivos
siguientes. Verifique, si dichos
razonamientos son válidos o inválidos,
utilizando cualesquiera de las técnicas de
validación que se le ha enseñado y usted ha
aprendido.
1. Si me encuentro con Pedro, voy a Chosica. Si me encuentro con Eduardo, voy a Barranco. No voy a Chosica o no
voy a Barranco. / O no me encuentro con Pedro o no me encuentro con Eduardo.
2. Si voy a Chosica, no me encuentro con Pedro. Si me encuentro con Eduardo, no voy a Barranco. O me encuentro con
Pedro o voy a Barranco. / O voy a Chosica o me encuentro con Eduardo. Resolución Formalización:
(p q) (rs) (q s )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: q s / (pr): No voy a Chosica o no me encuentro con Eduardo.
Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Dilema destructivo.
Si te dedicas a la ciencia, serás un científico. Si cultivas las artes, serás un artista. O no serás un científico o no serás
un artista. / O no te dedicas a las ciencias o no cultivas las artes. Resolución Formalización:
(p q) (rs) (qs )
Razonamiento
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P1: p q
P2: r s
P3: q s / (pr): No te dedicas a la ciencia o no cultivas las artes.
Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Dilema destructivo.
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