libro de algebra

Lic. Daniel A. Arana www.licdarana.com.ar Álgebra

2012 1

APUNTES

TEÓRICO - PRÁCTICOS

DE

ÁLGEBRA

Daniel A. Arana


2012 2

ÍNDICE

Índice 2 Prólogo 3 Estructuras Algebraicas 5 Ejercitación 14 Matrices y Determinantes 17 Ejercitación 40 Sistemas de ecuaciones lineales 65 Ejercitación 71 Espacios Vectoriales 85 Ejercitación 102 Programación Lineal 108 Ejercitación 120 Bibliografía 136


2012 3

PRÓLOGO Este cuadernillo fue elaborado para ayudar a los alumnos en la comprensión de una materia de las consideradas “duras” del Ciclo Básico Común de la Facultad de Ciencias Económicas de la UBA. Cada capítulo tiene una gran cantidad de ejercitación con el objeto de acercarles los más complejo que tiene el estudio de la matemática: su puesta en práctica. Para ello, tomé parte de la ejercitación utilizada en los libros y cuadernillos que habitualmente son utilizados por los alumnos en esta materia, así como tuve en mi vista muchos libros escritos sobre la asignatura, lo que me sirvió para tomar de los diferentes autores la forma más clara de explicar cada tema. Alguno de los ejercicios tienen su respuesta, en otros a cambio, he preferido incentivar a los alumnos a que las realicen sin ninguna ayuda. Estoy plenamente convencido que para aprobar esta materia es necesario desarrollar una ejercitación a conciencia, espero que los alumnos entiendan que esta frase no está agregada sin razón, sino que la coloqué para que los mismos tengan en claro que sin ejercitación, aprobar Álgebra se transforma en muy difícil. Verán una marcada tendencia a ejemplificar cada tema con cuestiones económicas, lo que tiene su origen en que la economía es la ciencia social que hemos elegido para profesionalizarnos. Mi enorme agradecimiento a quienes siempre colaboraron conmigo en estos 15 años de docencia, desde la persona que confió en mí y me dió la oportunidad de conocer el fantástico rol de docente, la Doctora Elba Font de Malugani. Mi agradecimiento a mis estimadísimos colegas: mi querido amigo y compañero de interminables horas de estudio Osvaldo Enrique Fernández, mi amigo y compañero en el dictado de cursos Eugenio Anselmi, y mi queridísima hermana Andrea Rebecchi. Han sido ellos


2012 4

quienes, a mi pedido, han leído y corregido estos Apuntes de Álgebra. Mi enorme agradecimiento por el celo que han puesto para cumplir con mi solicitud, haciéndome llegar las correcciones que consideraban conveniente efectuar. Gracias nuevamente para Andrea, Eugenio y Osvaldo. Un agradecimiento especial merece la Profesora Alicia Bernardello, dotándome de confianza en mi rol, ya sea como profesor adjunto de su Cátedra, ya sea como Coordinador de Tutores de la Sede San Isidro en el Programa “Económicas + vos”. Agradezco a mis estimadísimas colaboradoras de tantos cuatrimestres, Julieta Otero y Melina Pena, quienes han puesto un cariño especial en cada clase dictada, en cada ejercicio que ayudaron a resolver a los alumnos que las consultaran, su ayuda estableció una clarísima diferencia que sirvió como motivación adicional a los estudiantes. Doy la bienvenida a María Belén Paredes, brillante alumna hace algunos cuatrimestres, que ahora me brinda su invalorable ayuda como docente ayudante. Por supuesto, mi agradecimiento también para mis hijos Belén, Marcos, Sebastián y Consuelo. Para terminar, es absolutamente justo expresar el agradecimiento a mis alumnos del CBC de las Sedes San Isidro, Pilar y Bulnes por la paciencia que tuvieron al hacer las veces de correctores literarios de cada ejercicio. Va en este párrafo mi enorme saludo a ellos, los grandes móviles de este sencillo trabajo.

¡¡¡ Ojalá les sirve para aprobar esta materia!!!

Daniel A. Arana Enero de 2010

www.licdarana.com.ar


2012 5

CAPÍTULO

1

ESTRUCTURAS

ALGEBRAICAS


2012 6

Capítulo 1 - Estructuras Algebraicas

En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica.

Ley de composición interna: Una ley de composición interna en un conjunto no vacío A consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A como resultado de la operación. La ley interna va de A x A →→→→ A. Es decir que:

∀ a ∈ A , ∀ b ∈ A ⇒ a * b = c / c ∈ A

Ejemplo: El par formado por (R, +) cumple con la ley de composición interna, porque dado cualquier número real, si a ese número le sumamos otro número real, obtenemos un elemento del mismo conjunto.

R 12 / 12 7 5 R 7 , 5 ∈=+⇒∈∀∀ El par formado por (N, -) no cumple con dicha ley, ya que si el sustraendo es mayor que el sumando, el resultado de la resta da un número negativo, y, como tal, no forma parte del conjunto de los números naturales.

N 2- / -2 7-5 N 7 5, ∉=⇒∈∀∀ Ejemplo: La siguiente tabla definen leyes de composición interna en el conjunto A={a, b, c) i)

* a b c a a b c b b c a c c a b


2012 7

ii) * a b c a a b b b c a c c b c a

Propiedades de una ley de composición interna:

Ley asociativa:

Una ley interna (*) en un conjunto no vacío A es asociativa ⇔⇔⇔⇔

∀ a ∈ A , ∀ b ∈ A , ∀ c ∈ A : (a*b)*c = a * (b*c)

Ejemplo: Veamos el cumplimiento de esta propiedad con el conjunto de los números enteros y la suma

( Z , + ).

Dados los números enteros 2, 3 y 4, podemos verificar que:

( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) 5 + 4 = 2 + 7

9 = 9 Podríamos verificar que la multiplicación también cumple con esta ley.

24 24

12 . 2 4 . 6

) 4 . 3 ( . 2 4 . ) 3 . 2 (

Z 4y 3 , 2

===∈∀

Verifiquemos si lo hace la resta:

( 2 – 3 ) – 4 ≠ 2 – ( 3 – 4) -1 -4 ≠ 2 + 1

-5 ≠ 3

Donde verificamos que el par ( Z , - ) no cumple con esta propiedad.


2012 8

Ley conmutativa:

Una ley interna en un conjunto A es conmutativa ⇔⇔⇔⇔

∀ a ∈ Α , ∀ b ∈ Α : a * b = b * a

Podemos verificar que, tanto la suma como el producto son conmutativos para los conjuntos numéricos naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Ejemplo:

5 + 6 = 6 + 5 11 = 11

5 . 6 = 6 . 5

30 = 30

Como el alumno podrá deducir claramente, ni la resta ni la división son conmutativas, dado que:

1/3 3

9 / 3 3 / 9

2- 2

4 - 2 2 - 4

≠≠≠≠

Existencia de elemento neutro: Se llama elemento neutro y se lo denomina e a un elemento que operando a izquierda y derecha con cualquier otro elemento a da el mismo resultado. El elemento e tiene que pertenecer al mismo conjunto numérico que el elemento a.

e ∈∈∈∈ A es elemento neutro para la ley * ⇔⇔⇔⇔

∀ a ∈ A, ∃ e ∈ A , / a * e = e * a = a Podemos verificar la existencia de este elemento para lo enteros, racionales y los reales y la operación suma, pero no para los números naturales, ya que el número 0 no forma parte de dicho conjunto numérico.

5 5 0 0 5 / R Q, Z, 0 R Q, Z, 5 =+=+∈∃∈∀


2012 9

En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro existe para todos los conjuntos numéricos usuales, siendo éste único.

5 5 . 1 1 . 5 / R Q, Z,N, 1 R Q, Z,N, 5 ==∈∃∈∀

En los capítulos siguientes, estudiaremos matrices y sus propiedades y vectores y las suyas, pero podemos anticipar que la suma y el producto entre matrices tienen su elemento neutro. Regularidad de un elemento respecto de una ley inte rna: La regularidad de un elemento respecto de una ley de composición interna consiste en que es cancelable o simplificable a izquierda y a derecha en los dos términos de una igualdad.

=⇒==⇒=

⇔∈c b a * c a * b

c b c * a b * a * de respectoregular esA a

Existencia de elemento simétrico en una ley con neu tro: Dado un elemento a ε A se llama simétrico de a y se lo denomina -a a un elemento que operando a izquierda y derecha con a da el neutro. De acuerdo a lo antedicho, es menester que exista neutro para una operación, para que exista elemento simétrico.

-a ∈∈∈∈ A es elemento simétrico de a para la ley * ⇔⇔⇔⇔

∀ a ∈ A , ∃ -a ∈ A / a * -a = -a * a = e

5 1 . 5 Z 5

0 4- 4 Q 4

=⇒∈∀=+⇒∈∀

Ley de composición externa: En este caso se opera con elementos de dos conjuntos, de tal manera que el resultado sea un elemento de uno de ellos.


2012 10

∀ α ∈ Α , ∀ v ∈ V ⇒ α . v = w / w ∈ V Ejemplo: El producto de escalares por matrices es un ejemplo de esta Ley de Composición Externa.

−−

=

=

∈⇒∈∀∧∈∀

189

1512

63-

5-4 3. A . 3

R A R A Z

2x2

mxnmxn αα

Por norma se coloca primero el escalar. El producto de un vector por un escalar es otra demostración de la Ley de Composición Externa

(10,15,20) (2,3,4) . 5

R a R R a 33

=∈⇒∈∀∧∈∀ αα

Estructura de Grupo : Definición: Sea el par formado por un conjunto no vacío G, y una función *, dicho par (G , *) es un grupo si y sólo si * es una ley interna en G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de *. Ejemplo: El par formado por el conjunto de Matrices cuadradas y el producto ( Rnxn, . )

a) Cumple con la Ley de Composición Interna A2x2 . B2x2 = C2x2

b) Cumple con la propiedad asociativa (A . B) . C = A . (B . C)

c) Cumple con la existencia de Elemento Neutro A2x2 . I2x2 = A2x2

d) Cumple con la existencia de elemento inverso A2x2 . A-1 = I2x2

De lo expuesto, surge que las matrices cuadradas y la operación producto tienen Estructura de Grupo.


2012 11

Estructura de Grupo Abeliano: Si además cumple con la propiedad conmutativa, el grupo se denomina abeliano. El par formado por el conjunto de los Números Reales (R) y el producto ( R , . )

a) Cumple con la Ley de Composición Interna 5 . 2 = 10

b) Cumple con la propiedad asociativa (2 . 3) . 4 = 2 . (3 . 4)

c) Cumple con la propiedad conmutativa 2 . 3 = 3 . 2

d) Cumple con la existencia de Elemento Neutro 2 . 1 = 2

e) Cumple con la existencia de elemento inverso 2 . 1/2 = 1

De lo expuesto, surge que el par formado por los números reales y la operación producto tienen Estructura de Grupo Abeliano.

Semigrupo : Definición :

El par ( A , * ), donde A ≠ φ y * es una operación, es un semigrupo si y sólo si * es ley de composición interna y cumple con la propiedad asociativa en A.

Estructura de Cuerpo: Definición: La terna ( K , + , . ), formado por el conjunto numérico K y por las operaciones suma y producto respectivamente es un cuerpo si y sólo si :

1. ( K , + ) es grupo abeliano. 2. ( K - {0} , . ) es grupo abeliano.

3. El producto es distributivo respecto de la suma. Propiedades de los cuerpos :

1. Los cuerpos no admiten divisores de cero.


2012 12

2. En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo.

3. Si b ≠ 0, entonces la ecuación b . x = a admite solución única en K.

4. El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco.

Ejemplo:

( R , +, . ) Los elementos del conjunto de los reales, la suma y el producto tienen Estructura de Cuerpo ya que:

1) ( R , + ) es Grupo Abeliano:

a) ( R , + ) cumplen con la L.C.I., ya que la suma de dos reales cualesquiera dan por resultado otro número real.

b) ( R . + ) cumplen con la propiedad asociativa (4 + 3)+2 = 4 + (3 + 2)

c) ( R , + ) cumplen con la propiedad conmutativa 4 + 3 = 3 + 4

d) ( R , + ) cumple con la existencia de elemento neutro 4 + 0 = 4

e) ( R , + ) cumple con la existencia de elemento simétrico 4 + (-4) = 0

2) ( R - {0} , . ) es Grupo Abeliano:

a) ( R - {0} , . ) cumple con la L.C.I., ya que el producto de dos reales cualesquiera dan por resultado otro número real.

b) ( R - {0} , . ) cumple con la propiedad asociativa (4 . 3).2 = 4 . (3 . 2)

c) ( R - {0} , . ) cumple con la propiedad conmutativa 4 . 3 = 3 . 4

d) ( R - {0} , . ) cumple con la existencia de elemento neutro 4 . 1 = 1 . 4

e) ( R - {0} , . ) cumple con la existencia de elemento simétrico 4 . ¼ = 1

3) El producto (.) es distributivo respecto de la suma (+):

( 2 + 3 ) . 5 = ( 2 . 5 ) + ( 3 . 5 ) = 25

5 . 5 = 10 + 15 = 25


2012 13

Por lo expuesto, hemos podido verificar que la terna formada por ( R , + , . ) tiene Estructura Algebraica de Cuerpo.


2012 14

CAPITULO 1 – EJERCITACIÓN 1- Analizar que propiedades cumplen los siguientes pares a) (N0;+), b) (N;+), c) (Z;+), d) (Z;-), e) (N;.), f) (Z; ÷), g) (Q;.) h) (Q; ÷), i) (R;+), j) (R;.), k) (R; ÷) 2- Analizar si las siguientes tablas correspondientes a leyes asociativas tienen estructuras de grupo abeliano: a)

∆∆∆∆ p q R p p q R q q r P r r p Q

b)

* 0 1 0 0 1 1 1 2

c)

* a b c D a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c

3- Completar la siguiente tabla si P son los números pares e I son los impares. Analizar si tiene estructura de Grupo Abeliano. Indicar el elemento neutro y simétrico.

+ P I P I

4. Sabiendo que (C ; *) tiene estructura de grupo, que C={a;b} y que b es el Neutro, a)completar la tabla b) ¿Es grupo abeliano?

* a b a b

5- Probar que la adición y la multiplicación son leyes de composición interna en el conjunto de los enteros pares.


2012 15

6- Determinar si (Z;.) tiene estructura de Grupo abeliano. 7- Indique entre las operaciones habituales definidas en R:

a) Una operación asociativa. b) Una operación no asociativa. c) Una operación conmutativa d) Una operación no conmutativa e) Una operación distributiva respecto de la suma y la resta f) Una operación no distributiva respecto de la suma y la resta.

8- Dado A={m,p,r} y las operaciones *, & y # definidas en él:

∗∗∗∗ m p r m m m m p m p r r m r p

&&&& m p r m m p r p p r m r r m p

#### m p r m m m m p m p r r r r m

a) Verificar que cada una de ellas defina una ley de composición interna en A. b) Hallar el resultado de:

1. (m*m)+r 2. (m*r)#p 3. (p#r)*(p&r) 4. (m#m)&r 5. [(m*p)&r]#p

c) Indicar cuál es el elemento neutro para cada operación definida.

d) Hallar el inverso de cada elemento de A (si existen) respecto de *.

e) Determinar cuáles son las operaciones dadas son conmutativas. Justificar.

9- Analizar si constituyen o no grupo abeliano, justificando:

(N;+); (Z;+); (Q;.); (R;+); (R;.) 10- Probar que (R2;+) es grupo abeliano.


2012 16

11-Averiguar, justificando en cada caso, si las siguientes ternas tienen estructura de cuerpo:

a) (Z; +; .) b) (Q; +; .) c) (R; +; .)

Siendo + y . La suma y el producto habituales.


2012 17

CAPÍTULO

2

MATRICES Y

DETERMINANTES


2012 18

Capítulo 2 – MATRICES Y DETERMINANTES

Definición de Matriz:

Se denomina matriz a un arreglo o disposición rectangular de números .

Son cuadros que agrupan cantidades. La matriz es un medio común y hábil para resumir y

presentar números o datos.

Orden: Se llama orden de la matriz al número de filas y número de columnas que posee. Una matriz que tiene m filas y n columnas es de orden m x n (m por n).

−−62

51

Esta matriz, como posee dos filas y dos columnas, es de orden 2x2.

Notación de una matriz: La matriz lleva como nombre una letra mayúscula del abecedario, y los elementos de la matriz se encuentran entre corchetes.

A=

−−62

51

Elementos de una matriz: Una matriz de orden m x n tiene (m x n) elementos, los que se denominan con la misma letra que la matriz, pero en letra minúscula, y tienen para su correcta ubicación, dos subíndices, el primero de los cuales (i) indica la fila y el segundo (j) la columna a la que pertenece. De esta forma, al elemento que ocupe la segunda fila, tercera columna de la matriz A, se lo denomina a23 .

=

232221

131211Aaaa

aaa

A ε R2x3, entonces, tiene 2 x 3 = 6 elementos


2012 19

Ejercicio: escribir la matriz definida por la siguiente expresión:

−−−−−

=

=−=∈

840

106242/RA

232221

1312112x3

aaa

aaajiaij

Tipos de matrices:

Matriz nula: Recibe este nombre aquella matriz en la cual todos los elementos son 0, con independencia de su orden. Se la designa como matriz N o simplemente matriz 0. Si N es la matriz nula ⇒ ∀ i ∀ j / nij = 0

=

=

=00

00 N

000

000N

00

00

00

N

Matriz cuadrada : Es aquella en la cual el número de filas m es igual al número de columnas n. Se la denomina matriz cuadrada de orden n.

=

=

=

47-52

7625-

845-1

153-02

C

3-712-

285-

6-42

C 72

5-4 C 4x43x32x2

Diagonal de una matriz cuadrada : En una matriz cuadrada de orden n, la diagonal de la matriz es aquella formada por los elementos en los cuales el subíndice i es igual al subíndice j. Es la diagonal de n elementos que, de izquierda a derecha, desciende.

=

333231

232221

131211

A

aaa

aaa

aaa


2012 20

Traza de una matriz cuadrada: Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos que componen su diagonal.

∑=

++++==n

1inn332211ii a...aaaa(A)tr

11434 (A) tr

483-

632

254

A =++=⇒

=

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la cual los elementos que no pertenecen a la diagonal son nulos.

A es una matriz diagonal / ∀ i ∀ j ⇒ i≠j ⇒ aij = 0

=300

020

004

D

Matriz escalar : Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal son iguales.

A es una matriz escalar ⇒ ∀ i ∀ j ⇒ i=j ⇒ aij son iguales

=400

040

004

E

Matriz identidad : Es una matriz escalar en la cual los elementos de la diagonal son 1.

A es una matriz identidad / ∀ i ∀ j ⇒ i=j ⇒ aij = 1


2012 21

=100

010

001

I

Esta matriz tiene un papel muy importante en el producto entre matrices, tema que será desarrollado cuando se estudien las operaciones matriciales. Matriz fila : Es la que tiene una sola fila. Es de orden 1 x n.

[ ]86-2-4 F1x4 = Matriz columna : Es la que tiene una sola columna. Es de orden m x 1.

=

=8-

7D

3

5-

2

C 2x13x1

Matriz opuesta :

La matriz opuesta de A es B ⇔ ∀i ∀ j : bij = -aij , se denomina como -A.

−−

−=

−−

−=

58

34

23

A-

58

34

23

A


2012 22

Operaciones entre matrices:

Suma: Sólo se pueden sumar matrices del mismo orden. El resultado da otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando entre sí los elementos que ocupan la misma posición. Propiedades de la suma : a) Ley de cierre: la suma de las matrices da otra matriz del mismo orden. b) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) c) Conmutativa: A + B = B + A d) Existencia de neutro: A + N = N + A = A (N es la matriz nula ) e) Existencia de simétrico: A + (-A) = 0 (-A es la matriz opuesta )

−−−−

==+

−−−

=

−−−−

=19150

1143

762

497

1292

754CBABA

Resta: Restar A y B equivale a sumar a la matriz A la matriz opuesta de B. A - B = A + (-B)

−−−−

==−

−−−

=

−−−−

=534

31411

762

497

1292

754CBABA

Producto: a) Producto de un escalar por una matriz: Para multiplicar un escalar (número) por una matriz se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz es una ley externa. Se debe distribuir el producto del escalar por cada elemento de la matriz, como se indica en el siguiente ejemplo.

α . A = B / ∀i ∀j ⇒⇒⇒⇒ bij = α . aij


2012 23

=

−

−==

96-

120

45-15

3A

32

40

155

A 3α

Propiedades de la multiplicación de un escalar por una matriz: a) 0 . A = N b) α . N = N c) Si α . A = N ⇔ α = 0 ó A = N d) 1 . A = A e) Distributiva respecto de la suma de matrices : α . (A + B) = α . A + α . B f) Distributiva respecto de la suma de escalares : (α + β) . A = α . A + β . B g) Tr (α . A) = α . Tr (A)

b) Producto entre matrices: Dadas dos matrices A y B las mismas se pueden multiplicar si y sólo si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. La matriz producto tiene tantas filas como la matriz primera y tantas columnas como la matriz segunda. Cada elemento de la matriz producto se obtiene efectuando la sumatoria de las multiplicaciones de los elementos de cada fila de la primera matriz por los elementos de cada columna de la segunda matriz. se obtiene de esta manera una matriz que tiene tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda matriz. Condición:

mxqpxqmxn C p) n si(B A ==⋅

=

=

=

9-22-16-

18-223-

514

2-72

1-63

32-1

B 5-3-24

3-51-2A

Elemento c11 2 x 1 + (-1) x 3 + 5 x 2 + (-3) x 4 = -3 Elemento c12 2 x (-2) + (-1) x 6 + 5 x 7 + (-3) 1 = 22 Elemento c13 2 x 3 + (-1) x (-1) + 5 x (-2) + (-3) x 5 = -18 Elemento c21 4 x 1 + 2 x 3 + (-3) x 2 + (-5) x 4 = -16 Elemento c22 4 x (-2) + 2 x 6 + (-3) x 7 + (-5) x 1 = -22


2012 24

Elemento c23 4 x 3 + 2 x (-1) + (-3) x (-2) + (-5) x 5 = -9 Propiedades del producto de matrices :

a) Asociativa : A . (B . C) = (A . B) . C

−=

−

−=

43

21.

1010

2314

2014

2013.

76

51

43

21.

42

34.

76

51

43

21.

42

34 .

7-6

51

b) No conmutativa : A . B ≠ B . A

≠

≠

4029

1813

3826

2215

43

21.

75

43

75

43.

43

21

c) Distributiva respecto de la suma y resta. A . ( B + C ) = A . B + A . C

=

+

=

+

=

+

6551

2923

6551

2923

3629

1613

2922

1310

119

75.

43

21

65

43.

43

21

54

32.

43

21

65

43

54

32.

43

21


2012 25

d) Existencia de elemento neutro I . A = A . I = A

=

=

43

21

43

21.

10

01

10

01.

43

21

Potencias de una matriz: Sólo se pueden elevar a una potencia matrices que tengan idéntica cantidad de filas y de columnas, o sea, matrices cuadradas. La operación de multiplicar una matriz por si misma debe hacerse de acuerdo a las reglas vistas para el producto de matrices.

==

=⋅

=2215

107A

43

21A

43

21A 2

Trasposición de una matriz: a) Definición: La traspuesta de una matriz A es la matriz que se obtiene de permutar las filas por las columnas.

=∈

=∈

54-

13-3

98-

105

R A 513-910

4-38-5 R A 4x2t2x4

b) Propiedades:

a) La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.

[ ] A Att =

( ) A476

251A

42

75

61

A476

251A

ttt =

−=→

−=→

−=


2012 26

b) La traspuesta de la suma es la suma de las traspuestas.

[ ] ttt B A B A +=+

=

+

=

=+→

=+

=+

=

128

106

86

75

42

31

128

106)(

1210

86/

87

65

43

21 tBABABA

c) La traspuesta de un producto es igual al producto de las traspuestas en orden inverso.

[ ] ttt A .B B .A =

=

=

=→

=

5022

4319

42

31.

86

75

5022

4319).(

5043

2219./

87

65.

43

21 ttt ABBABA

Matrices especiales: Matriz idempotente : Una matriz es idempotente si su cuadrado es igual a la matriz.

A A 2 = Ejemplo:

=

=421-

4-2-1

421-

B

3-2-1

431-

4-2-2

A

Verifique que elevando la matriz A y la matriz B al cuadrado, nos da por resultado la misma matriz, lo que determina que ambas matrices sean idempotentes.


2012 27

Matriz involutiva : Una matriz es involutiva si su cuadrado es igual a la matriz identidad.

I A 2 =

IA

100

010

1-1-1-

A 2 =⇒

=

Matriz simétrica : Una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su traspuesta.

tA A =

tA

043

45-2

321

A =

=

En una matriz simétrica, los elementos de la diagonal pueden tomar cualquier

valor, pero en los elementos donde i ≠ j entonces aij = aji.

Matriz antisimétrica : Una matriz es antisimétrica si es igual a la opuesta de su traspuesta.

tA- A =

tB-

03-2-

301

21-0

B =

=


2012 28

En la matriz antisimétrica, cuando los subíndices son iguales (o sea, en la diagonal), el elemento debe ser igual a 0, cuando los dos subíndices son diferentes, entonces

aij = -aji Propiedades de las matrices simétrica y antisimétri ca: a) La suma de una matriz cuadrada y su traspuesta da una matriz simétrica.

=

+

=+

85

52

42

31

43

21

simétrica Matriz AA tnxn

b) La resta de una matriz cuadrada y su traspuesta da una matriz antisimétrica.

−=

−

=−

01

10

42

31

43

21

icaAntisimétr Matriz AA tnxn

c) El producto de una matriz y su traspuesta da una matriz simétrica.

[ ]

=

=

251510

1596

1064

532

5

3

2

simétrica Matriz A .A t

d) Toda matriz cuadrada se puede descomponer en una suma de una matriz

simétrica y una matriz antisimétrica.

=

−+

=

−

+

+

=

+=

43

21

02/1

2/10

42/5

2/51

2

42

31

43

21

2

42

31

43

21

43

21

icaantisimétr Matriz simétrica Matriz A nxn


2012 29

Matriz inversa : Una matriz cuadrada A admite inversa si existe una matriz B que multiplicada a izquierda y derecha por la matriz A da la matriz identidad.

I AA AA -1-1 =•=•

La matriz inversa es el elemento inverso para el producto entre matrices Matriz ortogonal: Una matriz cuadrada es ortogonal si y solo si su inversa es igual a su transpuesta. De lo que se deduce que una matriz es ortogonal si el producto de esa matriz por su traspuesta da la identidad.

t1- A A pues ortogonal matriz una es

1/32/3-2/3

2/31/3-2/3-

2/32/31/3

A =

=

Matrices triangulares: Triangular superior: Una matriz cuadrada es triangular superior ⇔ i>j ⇒ aij = 0

=900

730

254

A

Triangular inferior:

Una matriz cuadrada es triangular inferior ⇔ i<j ⇒ aij = 0

=7-914

085

001

B

De lo expuesto, podemos indicar que las matrices identidad son Matrices triangulares superiores e inferiores simultáneamente.


2012 30

Rango de una matriz: a) Definición: Es el mayor número de vectores columna distintos o vectores fila linealmente independientes que tiene la matriz. Es el mayor número de vectores columna canónicos distintos que se pueden obtener en la matriz aplicando sucesivas operaciones elementales. Vector canónico es aquel en el que todos los elementos son iguales a 0 excepto uno que vale 1 . El rango de una matriz no se altera si se realizan en la matriz cualesquiera de las siguientes operaciones: a) Intercambiar el orden con el que figuran las filas en la matriz. b) Método para obtener el rango de una matriz (Método de Gauss-Jordan) : El rango de una matriz se obtiene por medio del método de Gauss-Jordan, que consiste en aplicar sucesivas operaciones aritméticas sencillas. Síntesis del método: 1. Se elige el pivote (distinto de 0, preferentemente un 1). 2. La fila del pivote se divide por el pivote. 3. Los elementos de la columna del pivote se transforman en 0, excepto el pivote

que se transforma en 1. 4. Los demás elementos se transforman por la regla del rectángulo, que consiste

en lo siguiente: el elemento a transformar forma, con el pivot, la diagonal principales de un rectángulo imaginario; como todo rectángulo consta de dos diagonales, el transformado se halla realizando las siguientes operaciones: Productos de los elementos de la diagonal principal, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria (o contradiagonal), divididos por el pivot

5. Se reitera el procedimiento eligiendo otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote elegido anteriormente.

6. El vector columna canónica hallado en el pivoteo anterior se copia, y se retoma desde el punto 2.


2012 31

Ejemplo : hallar el rango de la siguiente matriz

0 1 0

1 0 0

0 0 0

0 0 1

-------------

2 1 0

6- 0 0

10- 0 0

3 0 1

-------------

2 1 0

2- 2 0

4- 3 0

1 1- 1

-------------

1 2 1-

1- 1 1

2- 1 2

1 1- 1

121-

1-11

2-12

11-1

A

=

El rango de la matriz se conoce contando los Vectores Columna Canónicos, que en esta matriz son 3. Cálculo de la matriz inversa por Gauss – Jordan: El método de Gauss - Jordan sirve también para calcular la inversa de una matriz cuadrada no singular. Para ello se escribe a la derecha de A de orden n x n la matriz identidad de igual orden, obteniéndose una matriz de orden n x 2n . Se


2012 32

aplica el método de Gauss - Jordan hasta que la matriz A se halla transformado en la matriz identidad. A su derecha obtenemos la inversa de la matriz A (A -1). Para ser inversible, el determinante de la matriz debe ser distinto de 0.

1 2 1 03 4 0 11 2 1 00 -2 -3 11 0 -2 10 1 3/2 -1/2

Matriz Identidad Matriz A -1

Matriz IdentidadMatriz A

Nota: si a la izquierda se obtienen vectores canónicos pero no en el orden que están en la matriz identidad (con los unos en la diagonal de la matriz), la misma se obtiene permutando las filas de dicha matriz. Determinantes: Dada una matriz cuadrada se llama determinante a una función definida de Reales (n x n) en Reales de modo que la imagen de cada matriz es un número real que se obtiene como la sumatoria del producto de n elementos de distinta fila y distinta columna con signo positivo si forman una permutación de clase par y de signo negativo si forman una permutación de clase impar. Nota: Son de clase par si, ordenados los elementos por el primer subíndice, el segundo subíndice tiene un número par de permutaciones (no están en el orden natural). Determinante de una matriz de orden 1 x 1 y de una matriz 2 x 2

[ ]

21122211

2221

1211 b.bb .bB bb

bb B

5A 5A

−==

=

==

Determinante de una Matriz de 3 x 3. Regla de Sarru s: Es una regla que sirve solamente para calcular determinantes de tercer orden. Se repiten las dos primeras filas de la matriz cuyo determinante se quiere conocer. El producto de las diagonales de tres elementos que descienden se suman, mientras que las que ascienden se restan.


2012 33

-118-8-3-18462.3.3-2.2.2-3.1.1.-3.3.22.2.12.1.3

212

132

323

212

132

C

323

212

132

C =++=++==

=

Menor Complementario de un elemento de una matriz: Se llama menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada de orden n al determinante asociado a la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j.

Se lo denomina αij

Ejemplo: Dada la siguiente matriz A2x2, calcular los menores complementarios de cada elemento de la matriz.

1 2 3 4

43

21A

22211211 ====

=

αααα

Adjunto de un elemento de una matriz: Se llama así al número que se obtiene de multiplicar al menor complementario por el número -1 elevado al exponente que surge de sumar sus dos subíndices:

Αij = αij . (-1)i+j La suma de los dos subíndices puede dar un número par o impar. O sea, la posibilidades son que el número -1 sea elevado a un exponente par o impar. El número -1 elevado a un exponente par siempre da por resultado 1, mientras que si lo elevamos a un exponente impar, obtendremos como resultado -1. De lo manifestado surge que si la suma de los subíndices es par, el adjunto de un elemento es igual a su menor, mientras que si la suma de los subíndices es impar, el adjunto es igual al opuesto del menor.

A11= 4 A12= -3 A21= -2 A22= 1


2012 34

Matriz adjunta: Es la matriz transpuesta de la matriz que se obtiene de reemplazar en una matriz cuadrada cada elemento por su adjunto. Se la denomina adj A .

=13-

2-4A Adj

Cálculo de la Matriz Inversa por el Método de la Ma triz Adjunta

−−

=−

−−

==2/12/3

12

2

13

24

A

A Adj A 1-

Comparando la matriz A2x2 con la Adj A, notamos que los elementos de la diagonal se intercambian y los de la contradiagonal cambian su signo.

=

=

13-

2-4A Adj

43

21A

De lo expuesto, queda claro que sólo es conveniente el empleo del método de la matriz adjunta para calcular la inversa de una matriz en el caso de una matriz de orden 2, siendo en todas las demás matrices la utilización del Método de Gauss Jordan para su cálculo. Propiedades de los determinantes: El estudio de los determinantes es uno de los principales temas de la presente unidad, razón por la que sus propiedades adquieren un importante valor en el Álgebra Lineal. Las propiedades que se detallan son las mas importantes, pero no las únicas. 1) Regla de Laplace: El valor de un determinante es igual a la suma de los

productos de los elementos de una línea cualquiera multiplicado por sus correspondientes adjuntos. Es la única manera de calcular el determinante en matrices de orden superior a 3.


2012 35

( ) 2- 6 - 4 )1- .( . 2 1. . 1 A.a A.a 2A43

21A 3

122

1112121111 ==+−=+−=

= αα

2) Si en una matriz una línea es 0, su determinante vale 0.

0 0 . 1 2 . 0 A 20

10A =+=

=

3) Si en una matriz se permutan filas por columnas los correspondientes determinantes son iguales.

242

31/

42

31A 2

43

21/

43

21A t −=

=−=

=

4) Si en una matriz se permutan 2 líneas paralelas los correspondientes determinantes tienen signos opuestos.

221

43 /

21

43A =

=

5) Si en una matriz dos líneas paralelas son proporcionales, su determinante vale 0.

0 4 . 2 - 8 . 1 84

21/

84

21A ==

=

6) Si en una matriz se multiplican todos los elementos de una línea por una constante el determinante de la matriz queda multiplicado por la constante.

243

21/

43

21A −=

= Si multiplicamos la 1ra fila por 5:

10- 43

105/

43

105A =

= que es el determinante original multiplicado por la

constante.


2012 36

7) Teorema de Jacobi: Si en una matriz a una línea se le suma una línea paralela multiplicada por una constante k el determinante de la matriz no varía.

2A/43

21A −=

=

Si a la fila 2 le sumamos la fila 1 multiplicada por -3, me queda la siguiente matriz:

2B/20

21B −=

−=

Esta propiedad se utiliza para poder transformar en 0 elementos de una matriz, lo que simplifica el cálculo del determinante. 8 ) El determinante de una matriz cuadrada triangular superior o inferior de orden n x n es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

=300

520

541

A

Empleamos la Regla de Sarrus, lo que deja seis diagonales de tres elementos cada una, debiendo sumar los productos de los elementos de cada línea, como puede verse en el ejemplo, todos los productos se anulan por contener 0, menos el producto de los elementos de su diagonal principal.

63.4.05.0.15.2.05.4.05.0.03.2.1A

520

541

300

520

541

=−−−++=

9) Determinante de una suma y de un producto : a) El determinante de una suma de matrices no es igual a la suma de los determinantes.


2012 37

12102BA13BA

/78

811BA 10B/

43

67By 2A/

35

24A

=+=+≠=+

=+=

==

=

b) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los

determinantes.

B.A20B.A/4244

3234B.A 10B/

43

67By 2A/

35

24A ==

==

==

=

10) El determinante de una matriz de orden n multiplicado por una constante k es igual al determinante multiplicado por la constante elevada al orden de la matriz.

81.2I82.I 33x33x3 ==⇒=

11) El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso multiplicativo del determinante de la matriz original.

5

1A 5A 1- ==

12) El determinante de una matriz que no admite inversa (matriz singular) es igual a 0.

0A entonces singular, matriz una esA Si =

Ecuaciones matriciales: Tienen la forma A . X = B y se resuelven efectuando la inversa de la matriz A y realizando la premultiplicación de ésta matriz por la matriz B.

A . X = B (se conocen A y B, pero se desconoce X)

A-1 . A . X = A -1 . B (se premultiplican ambos lados de la igualdad por A -1)

I . X = A-1 . B (ya que A -1 . A = I)


2012 38

X = A-1 . B (por ser la matriz I el elemento neutro para el producto entre matrices)

Si, en cambio, tenemos la ecuación planteada:

X . A = B (se conocen A y B, pero se desconoce X)

X . A . A -1 = B . A -1 (se postmultiplica ambos lados de la igualdad por A-1)

X . I = B . A -1

X = B . A -1 APLICACIONES ECONÓMICAS

Matriz insumo - producto : El cálculo de las cuentas nacionales consiste tradicionalmente en la medición de las magnitudes agregadas al ingreso, al producto y al gasto. La producción de un sector está en directa relación con la demanda que de dicho sector tienen los demás sectores de la economía y lógicamente, por la demanda final de los consumidores de los productos del mismo sector. De lo expuesto se deduce fácilmente que una variación en la demanda final de un sector modifica todos los valores de nuestra tabla de insumo - producto. Sobre este tema en particular volveremos más adelante. Al Gerente de Producción de cualquier fábrica le resultará muy útil conocer que insumos deberá adquirir de otro sector de la economía, dado un cambio en la Demanda Final (consumos de las familias más inversión) de cualquier sector. Para conocer estas variaciones es necesario trabajar con la Matriz Insumo - Producto. Características básicas de la tabla insumo - produc to La tabla tiene la forma de un cuadro de doble entrada. Para facilitar la comprensión del tema trabajaremos con una sencilla economía de tres sectores, sin sector externo, y cada uno de los sectores tendrá un solo producto final. Los sectores están relacionados ya que cada sector debe utilizar como insumos productos de otros sectores. En las filas se registra el destino de las mercaderías y en las columnas el origen de las mismas. La cuarta fila indica los valores agregados por los distintos sectores y la cuarta columna muestra la demanda final. Luego, tanto la quinta fila como la quinta columna indican los Valores Brutos de la Producción de cada sector. A continuación, se brinda un ejemplo de una tabla de insumo - producto.


2012 39

Tabla de Insumo - Producto (en $)

Compras Ventas

Agricultura Industria Servicios Demanda Final

Valor Bruto de la Producción

Agricultura 50 200 15 235 500

Industria 70 350 230 350 1000

Servicios 100 300 110 445 955

Valor Agregado 280 150 600 1030 xxxx

Valor Bruto de la Producción

500 1000 955 xxxx 2455

Tal como explicamos anteriormente, las filas expresan los destinos que cada sector le da a su producción y las columnas indican los insumos que el sector requiere y el valor agregado (Remuneración de los factores de producción) del sector. Si procediéramos a escribir la matriz como un sistema de ecuaciones, obtendríamos:

S1 S2 ... Sn DF VBP S1 x11 x12 x1n Y1 X1 S2 x21 x22 x2n Y2 X2 ... ... ... ... ... ... Sn xn1 xn2 xnn Yn Xn VA VA1 VA2 VAn

VBP X1 X2 ... Xn Σ Σ Σ Σ X

Donde xij representa el valor de insumo i que utiliza el sector j. Podemos indicar también, que :

X1 = x11 + x12 + ... + x1n + Y1 Matriz de Coeficientes tecnológicos o técnicos (M.C .T.): Esta matriz indica la relación existente entre las compras que un sector realiza y el Valor Bruto de la Producción (V.B.P.) de dicho s ector. Para armas esta matriz, es necesario trabajar sobre la parte de la M.I.P. referente a lo que un sector compra a otro sector, o sea, excluimos las filas de Valor Agregado (V.A.) y (V.B.P.), y las columnas de Demanda Final (D.F.) y (V.B.P.).a la matriz resultante la denominaremos matriz A, que estará formada por los elementos aij tal que : aij = xij / Xj 50/500 200/1000 15/955 A = 70/500 350/1000 230/955 100/500 300/1000 110/955 O, lo que es igual:


2012 40

=

191

22

10

3

5

1191

46

20

7

50

7191

3

10

2

10

1

A

Matriz de coeficientes de requerimientos directos e indirectos (M.C.R.D. e I.) – Matriz Inversa de la Matriz de Le ontief: La matriz de coeficientes tecnológicos no sirven para indicar en que forma un cambio en la demanda final de un sector afecta, en forma directa, la producción de dicho sector y, en forma indirecta, la producción de los demás sectores de la economía. Para medir las repercusiones directas e indirectas que resultan de un cambio en una unidad de la demanda final recurrimos a la matriz de requerimientos directos e indirectos. Llegamos a ella algebraicamente :

X = A . X + Y ⇒⇒⇒⇒ X - A . X = Y ⇒⇒⇒⇒ (I-A) . X = Y premultiplicando por (I-A) -1

X = (I - A)-1 . Y La matriz (I - A) es la llamada matriz de Leontief= (I-A)= (L) . La inversa de esa matriz recibe el nombre de matriz de coeficientes de requerimientos directos e indirectos . De acuerdo a lo estudiado anteriormente, dado un cambio en la demanda final de uno o mas sectores, el empleo de la (M.C.D. e I.), nos permite conocer la nueva matriz de Valores Brutos de la Producción. Una vez conocida la matriz columna de los Valores Brutos de Producción, la matriz de coeficientes tecnológicos nos permitirá armar la nueva Matriz Insumo - Producto , siguiendo los pasos a la inversa de como lo hicimos para sacar la Matriz de Coeficientes Técnicos. Los Valores Agregados de los sectores de la economía se pueden obtener por diferencia.


2012 41

COMPONENTES DE UNA MATRIZ INSUMO PRODUCTO

S1 S2 DF VBP S1 4 10 6 20 S2 12 10 3 25 VA 4 5 9

VBP 20 25 45

4 10

12 10 Llamada Matriz Z, o matriz de intercambio de insumos . Esta matriz siempre es cuadrada, ya que los mismos sectores que esta como elementos de la fila, lo están como elementos de la columna.

6 3

Matriz Y, o matriz columna de las Demandas Finales . Es la matriz que, con su variación, obligará al cálculo de todos los nuevos componentes.

20 25

Matriz X, o matriz columna de los Valores Brutos de Producción .

20 25 Matriz Xt, o matriz fila de los Valores brutos de la Producción .

4 5 Matriz VA, o matriz fila de los Valores Agregados , la que se calcula por diferencia.


2012 42

Resumen de M.I.P. Para calcular las variación que de producen en una Matriz Insumo Producto dado una variación en la Demanda Final de los sectores, debemos realizar los siguientes pasos:

1. Hallar la Matriz A, o matriz de coeficientes tecnológicos o técnicos. Tiene el mismo orden que la matriz Z e indica la relación existente entre los insumos que un sector compra y el valor bruto de la producción de dicho sector.

2. Hallar ( I – A ) o matriz de Leontief (L). 3. Hallar ( I – A )-1,o L-1 que es la matriz de coeficientes de requerimientos

directos e indirectos. 4. Hallar la matriz X, como resultado del producto de ( I – A )-1 . Y 5. Hallar los nuevos valores de la matriz Z, empleando la matriz Xt y la matriz

A. 6. Hallar los nuevos valores de la matriz VA por diferencia.


2012 43

Ejercicios – MATRICES Y DETERMINANTES

1- Dadas las matrices:

[ ] [ ]3

000

000

853

0

1153

2300

0100

03120

5132

01

12

14

05

32

2150

1013

021

520

431

=

=

=−=

−−

=

−=

−=

−=

−=

IHGF

EDCBA

a) Indicar el orden de cada matriz. b) ¿Cuáles de las matrices dadas son cuadradas? c) ¿Cuáles de las matrices dadas son triangulares superiores? ¿Cuáles triangulares inferiores? d) ¿Cuáles de las matrices dadas son fila? ¿Y cuáles columna? e) Indicar el valor de los elementos c11, c22, c31, c32 de la matriz C. 2- Determinar la matriz A ε R4x3 cuyos elementos aij responden a la siguiente ley de formulación: aij = 3i – 2j 3- Si A ε R12x8 , indicar a) Cuántos elementos tiene A. b) Calcular los elementos a12, a33, a38, a45, a53, a61, a10,7, a12,8 sabiendo que responden a la siguiente ley de formulación : aij = (-1)i+j (2i-3j). 4-Escribir explícitamente las matrices indicadas:

jiaRA

iaRA

jiaRA

jiaRA

ij

x

j

ij

x

ij

x

ij

x

3.2/

/

2/

2/

23

24

53

34

=∈

=∈

+=∈

−=∈

5- Siendo las matrices A ε R2x3, y B ε R2x3 cuyos elementos genéricos son:

aij= 2i-j y bij= 1-i2, hallar C= A – 2B

6- Escribir las matrices A y B de orden 3 x 2, con aij= i+j y bij = (-1)i+j .


2012 44

7- Sean las siguientes matrices:

−=

=

−=

−=

10

10

13

00

00

02

45

40

32

15

DCBA

Calcular, cuando sea posible. De no ser posible efectuar la operación, explicar por qué. a) A + D b) A + C c) X, tal que X + B = C d) Y, tal que Y – D = A 8- Operaciones con Matrices: Suma, Producto por un escalar, Producto entre matrices

=

−−−

−=

=

=

3

1-

2

D

3001

2415

1032

C 32-1-

3-04B

430

21-1A

Hallar: (a) A + B , (b) A + C , (c) 5.B , (d) 3.D , (e) A . D , (f) B . C 9- Dadas las matrices A, B y C, hallar: a) A+B-C, b) M tal que A+C-B+M= N

−=

−−=

−−−=

280

071

742

125

802

736

314

252

851

CBA

10- Dadas las matrices A y B ε R2x3, hallar: a) A-B b) B-A c) A+3B d) 2A-4B

−−−−

=

−−

=313

642

237

342BA

11- Sean las siguientes matrices:

[ ]

=

−=

==

=11-02

301-2-E

20

10

11

D 02

4-1C 2-15B

1-2-

03

12

A

Calcular, cuando sea posible: a) 2.A b) A . C c) A . D d) ½ D . A e) A . E f) -2B . D g) B A + B h) 3.B . A i) C . 2E


2012 45

12- Dadas las matrices

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=

===

−===

=

=

0

0

0

0

I 01-

21 H 11G 21F

0

1

3

2

E 035-9D 4321C

7-5

24

03-

B

3-9

71-

45

A

a) Indicar el orden de cada matriz. b) ¿Cuánto valen a12, c13, e21? c) ¿Qué matrices se pueden sumar? Justifique su respuesta. d) Resolver:

i) A + B ii) 2 B iii) A - B iv) 2C + D v) 2 A – ¼ B vi) I + E vii) Clasificar matrices en cuadradas, nulas, filas y columnas.

13- Resolver los siguientes productos de matrices:

[ ][ ] [ ] [ ][ ]

−

−

−

−−−

−

−−

−

−

−

−−

−−−

1124

0312

1051

104

221)

2031

1452

32

11)

011

422

132

013

112)

6512)

0

5

4

131

102)

4

5

2

312) 5.2)

g

fe

dcba


2012 46

14- Efectuar los siguientes productos entre matrices:

[ ]

−

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

100

010

001

915

604

123

)

2

0

4

1

3046

2123)

32

01

42

63

2041)

401

532

641

132

601

532

)

132

601

532

401

532

641

)32

10

240

241)

532

417

32

40

61

)

32

40

61

532

417)

210

465

113

240

154)

41

23

31

65)

32

01

11

11)

31

65

41

23)

532

417

21-

32)

mlk

jih

gfe

dcba

15- Dadas las matrices A2x3, B3x4, C3x2 y D2x3, hallar: a) A . B, b)A . C, c) C . (D + A)

−−

=

−−

=

−−−=

−=

41

32

54

14

22

13

3236

4135

1321

742

302DCBA

16- Dadas las matrices A y B ε R2x2 verificar que (A + B) . (A - B) ≠ A2 – B2

−−

=

−−

=32

45

14

32BA

17- Calcular A2:

−−−=

100

010

111

A Clasificar la matriz A.

18- Sea la siguiente matriz A2x2 Indicar lo siguiente:

a) Si f(X)= -3X2+2X-5I hallar f(A) b) Hallar α y β tal que: A2 + α A + β I = N

−−

=43

21A


2012 47

19- Calcular los siguientes productos matriciales

−

1

1

31

02c)

3

2

5

100

010

001

b)

5

4

3

104

010

104

a)

20- Resolver el siguiente producto matricial

=

=51-

42

13

B 204

3-21A

21- Resolver la siguiente multiplicación entre matrices:

=

=577

310

42-6

B

940

456

72-3

A

22- Resolver el siguiente producto matricial

=

=123

432-B

51-

43

21

A

23- Hallar el rango de la siguiente matriz:

=

4-3-1-43-3

13-48-52

6-4-2-75-4

1-2-11-11

A

24- Hallar los números reales x, y, z, u y v para los que se verifica:

−=

−

21

03

15

0

1

1

0

2

u

v

z

y

x


2012 48

25- Hallar las inversas de las siguientes matrices:

=

=

=

=

=

=

356-2-

122-0

61012-3-

58-9-2-

F

1234

0123

0012

0001

E

1111

0111

0011

0001

D

24-32-

4-118-5

14-32-

121-1

C

852

16104

511

B

151

973

241

A

26- Encontrar la matriz inversa de las siguientes matrices:

−

112

123

312

)41

32)

21-0

1-21-

01-2

100

110

111

) dcb)a

27- Sean A y B dos matrices cuadradas de igual tamaño que son simétricas. Hallar una condición necesaria y suficiente para que su producto A.B sea simétrica. 28- Sea M = A.B . Compruébese que si A tiene una fila nula, entonces también M tiene una fila nula y que si B tiene una columna nula, entonces M también tiene una columna nula. 29- Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo tamaño simétricas, compruébese que A.B es simétrica sólo si A.B = B.A . 30- Hallar, si existen, las inversas de las siguientes matrices:

=

=

=

−=

=

1-34

110

1-12

E

700

1-10

234

D

102-

513

001

C 11

21B

93-

3-1A

30 bis – Dada la matriz

=121

x11-

1-12

A

a) Calcular x de modo que el rango de A sea 2. b) Hallar adj A (para el valor de x encontrado) c) ¿A que es igual el producto de A . adj A


2012 49

31- Calcular los siguientes determinantes:

3214

2143

1432

4321

I

41-2-1

93-7-5-

2-132

1245

H

1-243

011-2

3110

42-11

G

114

1-30

212

F

53-1

2-03

11-2

E

1256

11-52

0941

21-93

D

76-53

3144

653-4

431-3

C

1142

44-85

1-541-

141110

B

7357

485-6

388-4

2579

A

==

====

===

32- Calcular los determinantes de las siguientes matrices:

=

=

=

=

=

=

4-2-28

4-11-3

1-1-31

312-2

F

6412

541

213

E

451

5815

123

D

32-1

425

038

C

451

236

123

B

830

524

1-23

A

33- Calcular el determinante de la matriz dada: a) Desarrollando por la primera columna. b) Desarrollando por la segunda fila.

=

443-3

2051-

1130

1-2-12

M


2012 50

34- Calcular del modo mas “económico” posible el determinante de las matrices dadas:

=

=

=

4001-

35-01

2318

4405

C

2-000

0100

0032

0005

B

3000

4300

112-0

5301

A

35- Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el determinante de las siguientes matrices:

=

=

=85-4

21-2

32-1

C

312-

47-1

312-

B

2-00

180

417-3

A

36- Resolver el siguiente producto matricial y encontrar el determinante.

[ ]212

2

4

1

−

37- Dada la siguiente matriz triangular superior, calcular el determinante de las siguientes matrices:

=

2000

6200

2210

8844

A

Calcular el determinante de A, de At y de A-1. 38- Calcular el determinante de

=

0111

1011

1101

1110

A


2012 51

39- Para la siguiente matriz A, se pide: a) Calcular el determinante por la regla de Sarrus. b) Encontrar el determinante mediante Laplace. c) Encontrar la Adj A d) Hallar la inversa de A por el método de la matriz adjunta.

=500

040

321

A

40- Calcular x e y para que se cumpla la siguiente igualdad:

[ ] [ ]25

15

12

21

2 −=

−−yx

41- Encuentre una matriz A tal que :

=

10

01

21

32 A.

42- Hallar x, y , z y w para demostrar la identidad

++

+

−=

3

4

21

6.3

wz

yx

w

x

wz

yx

43- Determinar las matrices X ε R2x2 e Y ε R2x2, tales que:

−−−

=+−

−=+

69

7832

912

2543

YX

YX


2012 52

44- Complementar las siguientes matrices

=

=

−=2?

3-2

10

C

51-

43

2-?

B

65

23

?1

A

Sabiendo que 2A + B – C =

158

115-

64

45- Determinar el valor de C= {(AB)-1 . A} B si

=

=910

21-1

04-8

B

919

2140

0115

A

46- Siendo

=

=1-0

10B

01-

11A

calcular X en la siguiente expresión: B.( X + A ) + B = X

46 bis - Hallar el valor de x E R que verifique:

xx

x

x

1

42

20

11

02−

=−

−

Problemas económicos con matrices

47- Un fabricante necesita ruedas, ejes, asientos y pedales para tres tipos de rodados que fabrica: A, B y C. La siguiente tabla indica las necesidades de partes para cada rodado.

A B C Ruedas 3 4 3

Ejes 1 2 2 Asientos 1 1 1 pedales 2 2 2

Los pedidos de cada tipo de rodado para los primeros seis meses son:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio A 100 80 70 50 40 90 B 50 50 50 20 30 50 C 60 40 30 20 30 40


2012 53

Usar multiplicación matricial para obtener las necesidades de partes para cada mes. 48- Para las unidades de tres alimentos, la siguiente matriz indica los correspondientes contenidos de vitaminas en unidades apropiadas

Vitaminas Alimentos A B C D

1 0,5 0,3 0,1 0 2 0,3 0,1 0 0,3 3 0,2 0,4 0,6 0,1

a) ¿Cuánto se consume de cada tipo de vitamina si se comen 4 unidades del alimento 1, 5

unidades del alimento 2 y 12 unidades del alimento 3? b) Si sólo se paga por el contenido vitamínico de cada alimento y se han abonado

respectivamente 15 unidades monetarias (u.m.), 10 u.m., 18 u.m. y 20 u.m. por las unidades de las cuatro vitaminas. ¿Cuánto cuesta la unidad de cada tipo de alimento?

c) Calcular por dos caminos distintos el costo total del alimento que hemos consumido. 49- Un carpintero ha aceptado el encargo de construir alacenas, escritorios y mesas. El carpintero conoce la cantidad de los diversos tipos de materia prima necesarios para fabricar cada tipo de mueble, como se indica en la siguiente matriz:

Madera Fórmica Vidrio Pintura M.Obra Alacena 20 10 8 7 17

Escritorio 18 6 0 9 20 Mesa 10 4 10 5 12

La mano de obra se incluye como materia prima y cada una de ellas se mide en las unidades adecuadas.

a) ¿Cuánto necesitará de cada materia prima para fabricar 5 alacenas, 3 escritorios y 4

mesas? b) Suponiendo que cada unidad de madera, fórmica, vidrio, pintura y mano de obra cuesta,

respectivamente: 80 u.m., 50 u.m., 40 u.m., 20 u.m. y 100 u.m. 1) ¿Cuál es el costo de cada tipo de mueble? 2- ¿Cuál es el costo de materiales para cada tipo de muebles? 3- ¿Cuál es el costo total de materia prima para todos los muebles que construirá?

50- Un fabricante de joyería sobre diseño tiene órdenes por dos anillos, tres pares de aretes, cinco prendedores y un collar. El fabricante estima que le lleva 1 hora de mano de obra hacer un anillo, 11/2 horas hacer un par de aretes, ½ hora un prendedor y 2 horas un collar. Se pide lo siguiente: a) Exprese las ordenes del fabricante como un vector fila. b) Exprese los requerimientos en horas para los distintos tipos de joyas como un vector columna. c) Utilice el producto escalar para calcular el número total de horas que requerirá para terminar las órdenes.


2012 54

51- Una compañía paga un salario a sus ejecutivos y les da un porcentaje de sus acciones como un bono anual. El año pasado el presidente de la compañía recibió $80.000 y 50 acciones, se pagó a cada uno de los dos vicepresidentes $45000 y 20 acciones y el tesorero recibió $40000 y 10 acciones. a) Exprese los pagos a los ejecutivos en dinero y acciones como una matriz de 2x3 b) Exprese el número de ejecutivos de cada nivel como un vector columna. c) Utilice la multiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y el número total de acciones que pagó la compañía a los ejecutivos el año pasado.

EJERCICIOS MATRIZ INSUMO PRODUCTO

52- S1 S2 DF VBP

S1 4 10 6 20 S2 12 10 3 25 VA 4 5 9

VBP 20 25 45

Y*= Sector 1: 12 Sector 2: 9

53-

S1 S2 DF VBP S1 5 3 12 20 S2 10 9 5 24 VA 5 12 17

VBP 20 24 44


54-

S1 S2 DF VBP S1 40 44 16 100 S2 40 0 15 55 VA 20 11 31

VBP 100 55 155


55-

S1 S2 DF VBP S1 13 18 21 52 S2 26 12 10 48 VA 13 18 31

VBP 52 48 100


56-

S1 S2 DF VBP S1 32 28 36 96 S2 16 7 19 42 VA 48 7 55

VBP 96 42 138



2012 55

57- S1 S2 DF VBP

S1 200 500 500 1200 S2 400 200 900 1500 VA 600 800 1400

VBP 1200 1500 2700


58-

S1 S2 DF VBP S1 150 240 210 600 S2 200 120 160 480 VA 250 120 370

VBP 600 480 1080


59- Eleva la siguiente matriz al cuadrado:

=1-3

01A

¿Como se denomina este tipo de matriz? 60- Encuentre A-1

=

65000

87000

00200

00053

00021

A


2012 56

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS Nota: Los ejercicios en cuya respuesta dicen “SIN RESPUESTA”, están dados sin la misma para

que los alumnos la realicen sin ayuda ni condicionamiento alguno. 1- Rta: a) A2x3; B3x3; C3x2; D2x2; E4x4; F1x3, G2x1; H3x3; I1x1 b) B; D; E; H e I c) M.T.S.:H M.T.I.: no hay. d) F= F; I C= G; I e) c11= -2; c22=0; c31=4; c32= 1

2-

−−

=

6810

357

024

311

A

3- Rta:a) 96; b) 4; -3; 18; 7; 1; -9; 1; 0 4- Rta:

===∈

===∈

==+=∈

−

==−=∈

3618

2412

126

/A3.2/R A

164

93

42

11

/A/R A

1311975

1210864

119753

/A2/R A

567

345

123

101

/A2/R A

3231

2221

1211

3x2

4241

3231

2221

1211

4x2

3534333231

2524232221

1514131211

4x3

434241

333231

232221

131211

4x3

aa

aa

aa

jia

aa

aa

aa

aa

ia

aaaaa

aaaaa

aaaaa

jia

aaa

aaa

aaa

aaa

jia

ij

j

ij

ij

ij


2012 57

5-

=783

123C

6-

=

=1-1

11-

1-1

B

54

43

32

A

7-

=

30

42

08

d) 02-

45-X c) puede se no)

30

42

08

) ba

8-

−−−

−

−−−

−−−

48515

501211)

9

9)

9

3

6

)15105

15020) puede se no )

711

115)

fe

dcba

9-

=

=+45-9-

62-1-

8-6-3

M

2-7-1-

1012-3

845

C-BA

10-

=

=+

=

=

8226

3084-4B-2A

11-62-

15-16-83BA

1-2-10-

9-00A-B

1210

900B-A


2012 58

11- Rta:

[ ] [ ]

=

=

=

=

=

1204-8-

2-82-20-C.2E i)

21513B.A h) puede se no g) 1610- f)

7-122

903-6-

71-2-2-

A.E e)

puede se no d) puede se no c)

84-

12-3

8-4

A.C b)

2-4-

06

24

2A )a

12-

[ ]

I E, :Columna ;G F, D, C, :Filas ; I :Nulas ; H :Cuadradas vii)

0

1

3

2

EI vi)

4.25-16.75

13.53-

810.75

1/4B-2A v)

894-11D2C iv)

44

55-

42

B-A iii)

14-10

48

06-

2B ii)

10-14

93

42

BA i) d)orden mismo elPor tener IE G,F D,C B,A c)

3e 3,c 4,a b) I ,H ,G ,F ,E ,D ,C ,B ,A a) 2113124x12x21x21x24x11x41x43x23x2

−=+

=

=+

=

=

=+++++

===

13- Rta.

[ ] [ ] [ ] [ ]

−−

−

−−−

−

51180

3413)

88191

1423)

774

297)12102)198)3)10- )

g

fedcba

14- Rta:


2012 59

[ ]

−

−

−

−−−−

−−

−

−−

−−

−−−

915

604

123

)16

7)167)

31173

3047

17113

)

9910

13219

351518

)

puede se no )

7118

20128

341719

)158

581)

202620

183513)

106

349)

31

33)

181

1217)

673

23720)

mlkji

hgfe

dcba

15-

=

=3-42

56A.C

3524-560

1101320A.B

16-

−−

=−≠

=+120

525BA

2-26-

7-35-B)-B).(A(A 22

17- A2 = I , o sea, A es una matriz involutiva.

18-

2 3; b)

43-33

22-125I-A23A- a) 2

==

=+

βα

19-

=

=

=4

2C c)

3

2-

5

B b)

17

4

17

A )a

20-

=

1410

6-10A


2012 60

21-

=576763

592164

414167

A

22-

=1717

16176

674

A

23- Rta: r(A)= 3 24- Rta.: x= 1, y= -1, u= 3, v= 1, z= 2 25- Rta

inversa admite noB

5.25.04

5.15.03

11319

=

−−−−

−=A

−

−−−−

=

1010

0131

3042

4211

C

=

=

−−

−=

94934-2

332-0

504934-1

2-010

F

12-10

012-1

0012-

0001

E

1100

0110

0011

0001

D

27– B = At

28- Verdadero. 29- Verdadero.


2012 61

30-

inversa admite no E

14285.000

14285.010

1785.075.025.0

D

102

5113

001

C 33333.033333.0

66667.0333333.0B inversa. admite no A

1-1-

1-1-

=

−−=

−−=

−==

31- Rtas: A= 100; B= -150; C= 0; D= 61; E= -4; F= -20; G= -135; H= 38; I= 160

32- Rta.: det A = -73; det B= -11; det C= 79; det D= -22; det E= -22; det F= -150 33- det M= -102 34- Rta: det A= -18 det B= -30 det C= -148

35- det A = -48 det B = 0 det C = 0

36- det A = 0

37- det A = 16 det At = 16 det A-1 = 1/16

38-Rta.: det A = -3 39- a) b) det A = 20 c) d)

40- Rta: x= -1 y= 2

41- Rta:

−−

=21

32A


2012 62

42- Rta

=576763

592164

414167

A

43- Rta.

=1717

16176

674

C

44- Rta

−−

−−

−−

−−

5.005.0

5.525.2

5.315.1

)4.02.0

6.08.0)

75.5.25.

5.15.

25.5.75.

)

100

110

011

) dcba

45- Rta.

=0.07690.15380.019-

0.30761.3846-0.1730

0.15380.6923-0.2115

A

46- Sin respuesta 46 bis- x= -2 47- Rta:

=

360200180300340420

18010090150170210

270160130230260320

590330290500560680

A

48- Sin respuesta.

49- Sin respuesta.


2012 63

50- Sin respuesta. 51- Sin respuesta.

52-

S1 S2 DF VBP S1 9 24 12 45 S2 27 24 9 60 VA 21

VBP 53-

S1 S2 DF VBP S1 13 13 26 52 S2 26 39 39 104 VA 13 52 65

VBP 52 104 156 54-

S1 S2 DF VBP S1 46 48 21 115 S2 46 0 14 60 VA 23 12 35

VBP 115 60 175 55-

S1 S2 DF VBP S1 15 21 24 60 S2 30 14 12 56 VA 15 21 36

VBP 60 56 116 56-

S1 S2 DF VBP S1 40 32 48 120 S2 20 8 20 48 VA 60 8 68

VBP 120 48 168


2012 64

57- S1 S2 DF VBP

S1 215 475 600 1290 S2 430 190 805 1425 VA 645 760 1405

VBP 1290 1425 2715 58-

S1 S2 DF VBP S1 300 400 500 1200 S2 400 200 200 800 VA 500 200 700

VBP 1200 800 2000

59- A2=I porque A es una matriz involutiva.

60-

=

3.52.5-000

4-3000

000.500

0001-3

00025-

A


2012 65

CAPÍTULO

3

SISTEMAS DE

ECUACIONES

LINEALES


2012 66

CAPÍTULO 3 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistemas de ecuaciones lineales: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de relaciones que tiene la forma que se indica a continuación:

=+++

=+++=+++

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

........

..............................................

......

......

2211

22222121

11212111

Cada uno de los coeficientes tiene asignado dos subíndices, el primero de los cuales (i) indica la fila donde se encuentra el coeficiente y el segundo de ellos (j) indica la columna en la que se encuentra. Cuando estamos ante un sistema cuya matriz A de coeficientes es de orden 3x4, podemos afirmar que nos encontramos con un sistema de ecuaciones de 3 ecuaciones (cada fila de la matriz indica una ecuación) y 4 incógnitas (cada columna indica una incógnita). Un sistema puede tener solución o no. Si un sistema tiene solución se llama sistema compatible , si no tiene solución se llama sistema incompatible . Si es compatible puede admitir una única solución o infinitas soluciones. Si tiene solución única se llama sistema compatible determinado , si tiene infinitas soluciones se llama sistema compatible indeterminado .

Teorema de Rouche-Frobenius : Si llamamos A a la matriz de los coeficientes del sistema, X a la matriz de las incógnitas, y B a la matriz columna de los términos independientes, el sistema puede expresarse matricialmente de la siguiente forma :

A . X = B Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Llamaremos A’ a la matriz ampliada que se obtiene de agregarle a la matriz A la columna de los términos independientes B.


2012 67

Enunciado : la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que la matriz A y la matriz A’ tengan el mismo rango, Si además : ρρρρ (A) = ρρρρ(A’) = n ⇒ el sistema es Compatible Determinado ρ ρ ρ ρ (A) = ρρρρ(A’) = k < n ⇒ el sistema es Compatible Indeterminado ρρρρ(A) ≠≠≠≠ ρρρρ(A’) ⇒ el sistema es Incompatible

Solución única Rectas no paralelas; un punto de intersección

Sist. Compatible Determinado

a11x+a12y=b1

x a21x+a22y=b2


2012 68

Número infinito de soluciónes (Sist. Compatible Indeterminado) Rectas que coinciden; número infinito de puntos de intersección

a11x+a12y=b1 a21x+a22y=b2

x

y

Sin Solución Rectas paralelas; sin puntos de intersección

Sist Incompatible

a11x+a12y=b1

x

y

a21x+a22y=b2


2012 69

Resolución de un sistema a) Regla de Cramer : Sea un sistema del tipo A .X = B , siendo A una matriz cuadrada y no singular. Entonces, el sistema tiene solución única y cada incógnita es igual al cociente de dos determinantes. En el denominador el determinante de la matriz de los coeficientes y en el numerador el determinante de la matriz que resulta de reemplazar la columna de los coeficientes de la incógnita cuyo valor deseamos hallar por la columna de los términos independientes.

5

2

522

110

45

23

105

163

222

44

45

23

410

216

1045

1623

=−=

==−

−

=−=−=−

−−

=

=+−=−

y

x

yx

yx

yx

b) Método de Gauss-Jordan : Para resolver el sistema por el método de Gauss-Jordan se colocan los coeficientes de las incógnitas de la matriz, agregando a continuación la columna de los términos independientes del sistema. Se elige un pivot y se desarrolla el Método de Gauss Jordan para conocer de esa forma el valor de cada incógnita. Ej.: resolver, empleando el método de Gauss Jordan, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 3x - 2y=-16 5x + 4y= 10

3 -2 -16 5 4 10

-3/2 1 8 11 0 -22 0 1 5 1 0 -2

x= -2 y= 5


2012 70

c) Inversión de matrices : Se parte de la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales : A . X = B. Si A es cuadrada no singular, existe la inversa de A .Premultiplicando por esta inversa queda:

A-¹ . A . X = A -¹ . B I . X = A-¹ . B

X = A-¹ . B Este método sólo sirve para sistemas compatibles determinados.

=

=

−=

=

=+−=−

5

2-X

10

16-B .

22/322/5

11/111/2A

45

2-3A

1045

1623

1-

yx

yx

Resolución de Sistemas Compatibles Indeterminados Cuando del análisis del sistema surge que nos hallamos ante un Sistema Compatible Indeterminado, por ser el rango de la matriz ρ(A) = rango de la matriz ρ(A’), pero el número de incógnitas del sistema es mayor que el rango hallado, el alumno debe mostrar 3 soluciones, a saber:

a) El análisis según el Teorema de Rouché Frobenius, que determinó que el sistema fuera S.C.I. (SOLUCIÓN 1)

b) Indicar que variables son Dependientes (V.D.) y qué variables son Independientes (V.I.). Para realizar esto, debemos establecer que las V.D. son aquellas que contienen el Vector Columna Canónico. (SOLUCIÓN 2)

c) Establecer las relaciones entre las variables, lo que nos va a permitir conocer los valores de las V.D. dados los valores que tomen las V.I. (SOLUCIÓN 3)

d) Pueden existir problemas que piden una solución limitada al Conjunto Numérico de los números naturales incluyendo el 0 (N0), en cuyo caso se tendrá que hacer una tabla de valores indicando todas las soluciones posibles. (SOLUCIÓN 4)


2012 71

Sistemas Homogéneos: Si B es una matriz nula, el sistema se llama homogéneo. Este tipo de sistema admite al menos una solución que se encuentra igualando a 0 el valor de todas las incógnitas del Sistema. Esta solución recibe el nombre de solución trivial. Un sistema homogéneo no puede ser incompatible. Si además de la solución trivial admite otras soluciones el sistema es compatible indeterminado. El análisis de un Sistema de Ecuaciones Homogéneo se realiza por medio del teorema de Rouche - Frobenius. Si el análisis del mismo nos da que los rangos son iguales al número de incógnitas, el sistema admite sólo la solución trivial. Si obtenemos un sistema Compatible Indeterminado, indicará que existen otras soluciones aparte de la trivial. Ejemplo:

=+=+

027

05

yx

yx

Al analizar el Sistema según el Teorema de Rouche Frobenius, nos queda lo siguiente:

1 5 0 7 2 0 1 5 0 0 -33 0 1 0 0 0 1 0

trivial)(Solución 0 y x S.C.D. 2 n )(A' (A) ==⇒⇒=== ρρ


2012 72

Unidad 3 – Sistemas de Ecuaciones Lineales - EJERCICIOS

1) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

=++=+−

=+−=++

=−−=++

=++=−+

−=+−

10

623x

7324

52

7

1x

6

54

22

321

321

321

321

321

321

321

321

321

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

a) Escriba la matriz de los coeficientes de cada uno de los sistemas b) Determine la matriz ampliada de cada uno de ellos. c) Escriba cada uno de los sistemas en forma matricial.

2) Resuelva por el método de la matriz inversa (si es posible).

=−+−=+−

=−+

−=+=+

=−−

=+=−

010135

0342

0x

c)

523

2

7

b) 754

32)

321

321

321

21

31

32

21

21

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xxa

3) Dado un sistema de ecuaciones lineales A . X = B donde A es de orden nxn y no singular, se

tiene que X = A-1 . B. Deducir a partir de la expresión anterior usando operaciones y propiedades de matrices y de los determinantes, la Regla de Cramer.

4) Resolver aplicando Cramer

=++=+

=+++

==+=++

=++−=−+=+−

73z5y4x

22w-z-3y2x

5w2zyx

c)

-55z-4y-3x-

37zy-2x

2z2yx

b)

53

22

1222x

a)

zyx

zyx

zy

5) Resolver los siguientes S.E.L. por los métodos de Cramer, Gauss Jordan y Matriz Inversa.

−==−+

=−=−

=+−=−−

=−+=

==+−

=+=−

−=+−=+

==+

=−+=+

=−=−

=+=+

=+=−

=+=−

=−=+

=+−=−

=+=−

=+=−

−=−−=+

−=+=−

=+−=−

xy

xyt

y

xs

xy

yxr

yx

yq

xy

yxp

yx

yxo

yx

yxn

yx

yxm

yx

yxl

yx

yxk

yx

yxj

yx

yxi

yx

yxh

yx

yxg

yx

yxf

yx

yxe

yx

yxd

yx

yxc

yx

yxb

yx

yxa

25

0183)

01

01)

022

012)

0122

2)

347)

144

032)

2

5)

4/

50)

0336

2734)

032

143)

14105

02)

143/4

0322)

2242

4484)

5/95/

2/92/2)

414/4

25/)

4/1732

245)

175

634)

1152

83)

532

124)

1045

1623)


2012 73

6- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Clasificarlos según su conjunto solución:

=−=−

=−

=−

−=+−=+

−=+=−

−=−−=+

−=+−=+

13/1

322/3)

12

1

42)

18510

4155)

442

724)

42

13)

722

16)

xx

yxf

yx

yxe

yx

yxd

yx

yxc

yx

yxb

yx

yxa

7- Resolver el siguiente problema de Sistemas de Ecuaciones Lineales: a) Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles ( dos camas ) y simples ( 1 cama ). Si se ofertan 65 camarotes que en total tienen 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo. ( Resp.: 25 camarotes simples y 40 camarotes dobles. ) Resp:

=+=+

1052

65

yx

yx

8- Resolver el siguiente problema de Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Cierta vez poseía muchas monedas de 25 centavos y decidí cambiarlas por monedas de un peso. Si el número de monedas disminuyó en 90, ¿cuánto dinero logré ahorrar.? (Resp.:30 pesos ) Resp:

=−−=−

04/1

90

yx

yx

9-Resolver el siguiente problema de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Hallar las edades de dos personas sabiendo que la suma de las mismas es, actualmente, 50 años y que la razón entre las mismas era, hace 5 años, igual a 1/3. ( Resp.: 15 años y 35 años ) Resp.:

−=−=+

103

50

yx

yx

10- Resolver el siguiente problema de Sistemas de Ecuaciones Lineales Cuántos objetos tiene Aníbal y cuántos Bernardo sabiendo que si Bernardo le da a Aníbal 5 objetos, éste tiene el triple de los que le quedan a Bernardo y que ambos quedan con el mismo número de objetos si Aníbal le da a Bernardo 6 objetos. ( Resp.: Aníbal tenía 28 objetos y Bernardo 16 objetos. ) Resp.:

=+−=−

203

12

yx

yx

11- Resolver el siguiente problema de Sistemas de Ecuaciones Lineales Descomponer el número 149 en dos partes tales que el cociente entero entre dichas partes sea 4 y el resto 4. ( Resp.: 120 y 29 ) Resp.:

=+=−149

44

yx

yx


2012 74

12- Resolver el siguiente problema de Sistemas de Ecuaciones Lineales Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que si se aumenta 3 cm a la altura y se disminuye 2 cm a la base, su área no aumenta ni disminuye, siendo además la altura 2 cm mayor que la base.( Resp.: base = 10 cm; altura = 12 cm ) 13- Resolver el siguiente problema de Sistemas de Ecuaciones Lineales Si el largo de un rectángulo fuese 9 cm más corto y el ancho fuese 6 cm más largo, la figura sería un cuadrado con la misma área que el rectángulo. ¿Cuál sería el área del cuadrado ?. ( Resp.: 324 cm2 ) 14- Resolver el siguiente problema de Sistemas de Ecuaciones Lineales Una fábrica de agua lavandina ofrece dos tipos de producto. Uno de ellos ( lavandina A ) contiene 12% de materia activa, y el otro ( lavandina B ) 20% de materia activa. ¿Cuántos litros de cada uno deben utilizarse para producir 100 litros de agua lavandina con 15% de materia activa? ( Resp.: 62,5 litros de lavandina A y 37,5 litros de lavandina B ) 15- Resolver los siguientes S.E.L. Clasificarlos según su conjunto solución.

=+=+=+

=+=

=+

=+−

=

=++=++

=++=−+

=−+−=++−

=+=+

=++=++

=−+=−−=++

=+=+

=+

=+−=+−

=−+

32y3x

1z3y-x

2z-5y2x

h)

03y2x

1y-x

32yx

g)

0

1t

y-x

y-z1tx

0zyx

f)

32

1

52242

12

)

5zy-x

3t-2y3x

2tz-y2x

12t-zyx

d)

54

023

1t-zyx

c)

105zy-7x

zz-2y4x

32zy-x

b)

123

2

322

)

tyztyx

zyx

tzyx

tzyx

e

zyx

tzy

zyx

zyx

zyx

a

16- Resolver los siguientes S.E.L. por el método de Gauss Jordan, realizando el análisis por el Teorema de Rouché Frobenius:

=+=++

=+=+

=+−

=

=++=++

=+=++

=+=+

=+=+

=+

=+=+

=+

72t-z-y4x

83tz2y-2x

84t-zy-3x

7t-z-3yx

e)

0

1t

y-x

y-z1tx

0zyx

d)

52t-2z4y-2x

3t2yx

1t-z2y-x

1z-yx

c)

105zy-7x

zz-2y4x

32zy-x

b)

-22z3y-x

1zy-x

7z-2y2x

a)

tyz


2012 75

17-Resuelve el siguiente problema: La entrada a una función de circo vale $ 6 para los adultos y la mitad para los chicos. ¿Qué cantidad de chicos y adultos concurrieron a la última función si se recaudaron $ 195 y se contabilizaron 40 personas.

=+=+

19536

40

yx

yx

18- Resuelve el siguiente problema: Divide el número 60 en dos partes sabiendo que agregando 10 a la primera parte y sustrayendo 10 a la segunda, se obtiene el mismo resultado. 19- Resuelve el siguiente problema: La suma de dos números es –42. El primero de ellos menos el segundo es 52. Calcular esos números.

=−−=+52

42

yx

yx

20. La suma de dos números es –63. El primer número menos es segundo es –41. Calcular estos números.

−=−−=+41

63

yx

yx

21. La diferencia entre dos números es 16. Tres veces el mayor de ellos es nueve veces el más pequeño. ¿Cuáles son esos números?

=−=−

093

16

yx

yx

22. La diferencia entre dos números es 11. El doble del más pequeño más tres veces el mayor es 123. ¿Cuáles son los números?. 23. Se invirtió un total de $1150, una parte al 12% y el resto al 11%. El interés total fue de $133,75. ¿Cuánto se invirtió en cada caso? 24. Una tienda vendió 30 camisas. Las blancas costaban $9,95 y las azules $10,50. En total, se vendieron $310,60 en camisas. ¿Cuántas camisas se vendieron de cada color?. 25- Se hicieron dos inversiones por un total de $8800. En cierto año estas inversiones produjeron $1326 de interés simple. Una parte de dinero se invirtió al 14% y otra al 16%. Encuentra la cantidad invertida a cada tipo de interés. 26- Un negocio vendió 40 manteles. Los blancos constaban $4,95 y los estampados $7,95. En total las ventas fueron de $282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron?. 27- Un comerciante vende 84 pares de medias a dos precios distintos: unos pares a $ 4,50 cada uno y los otros a $ 3,60, obteniéndose en total de la venta $ 310,50. ¿Cuántos pares de cada clase vendió?.


2012 76

28- Un pedido formulado a una fábrica de 10 Kg. de un artículo A y 8 Kg. de otro artículo B, ha costado un total de $ 2.400. Un segundo pedido de 6 Kg. de A y 15 Kg. de B costó $ 2.970. ¿Cuánto costará un tercer pedido de 7 Kg. de A y 18 Kg. de B? 29- El perímetro de un rectángulo es igual a 56 centímetros; agregando 2 centímetros a la base y sustrayendo 2 centímetros a la altura, el área del rectángulo disminuye en 12 cm2. Determina la diagonal del rectángulo. 30- El numerador de una fracción supera en 1 al triplo del denominador. Si se sustraen 4 unidades de ambos términos de la fracción, se obtiene una fracción equivalente a 6. Determina la fracción dada. 31.- Determina dos números sabiendo que, agregando 12 al mayor, se obtiene el duplo de la suma de 5 más el menor, y que, sustrayendo 2 del mayor, se obtiene el triplo de la diferencia entre el menor y 3. 32- Resolver los sistemas de ecuaciones:

z z , 1y z,-2d)x

le.incompatib es sistema El c)

1 z , 3- y , 2 xb)

2 z , 1- y 1, xa)

:Soluciones

8z-2y3x

34zy-2x

3z-yx

d)

35z-3yx

54z-2y5x

76z4y-3x

c)

2zy2x

-12z-y2x

33zy3x

02z2yx

b)

03

122

52

)

===

======

=+=+

=+

=+=+=+

=++=+=++=++

=++−=−−

=+−

zyx

zyx

zyx

a


2012 77

33- Hallar los valores de k que hacen compatibles a los siguientes sistemas y resolverlos para el valor de k hallado:

e)

d)

S.I. 4 k S.C.I. 4 k c)

S.C.D. 1 k S.I. -1k b)

S.C.D.k )

:

kkzyx

kzkyx

1zykx

e)

5ky4x

5kzky3x

1z-yx

d)

76125

35573

23w-4z2yx

c)

k2z-3yx

22z-4y3x

53zy-2x

1zyx

b)

97

532

03

)

2

≠=≠=

∀

=++=++=++

=+=++

=+

=−++=−++

=++

=+=+

=+=++

=++−=−+

=++

a

Soluciones

kwzyx

wzyx

kzyz

zyx

zyx

a

34- Resolver los siguientes Sistemas de Ecuaciones:

=+=−+=++

=+=+

=−+=++

3

0

6

)

3

4

0

6

)

yx

zyx

zyx

b

yx

zx

zyx

zyx

a

35- Clasifique los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales según el Teorema de Rouche Frobenius. Resuélvalo empleando le Regla de Cramer, cuando sea posible.

a) 2x + 9y = 108 8x + 6y = 48

b) 5x + 5y = 0

x = -y

c) 3x – 9y = 24 -x + 3y = 0

d) 4x – 2y = 8

x + 2y = 12

e) 4x – 2y = 36 -2x + y = 20

f) x – 3y = 6

-4x 12y = -24

g) x + y = 20 2x – y = 12


2012 78

h) -3x = y + 2

9x + 3y = -6

i) 4x – y = 10

2x + 3y = 18

36- Encuentre el conjunto solución de los siguientes sistemas:

a) x + y + z = 2 x – 3y + 2z = 7 4x – 2y – z = 9

b) -2x + y + 3x = 10 10x – 5y -15z = 30 x + y – 3z = 25

c) -4x – 12y - + 4z = -40 x + y – 6z = 10 x + 3y – z = 10

d) x – y + z = -5 3x + y – z = 25 2x + y + 3z = 20

e) x + y + z = 0 3x – y . + 2z = -1 x + 2y + 3z = -5

f) x – 3y + z = 2 2x – 4y + 3z = 7 -3x + y + 2z = 9

g) 2x + 4y – 2z = 10 3x – 2y + 4z = 12 -x – 2y + z = 0

h) x + y + z = 3 2x – y + 3z = 13 3x – 2y + z = 17

i) –x + 3y + z = 7 3x – 9y – 3z = 14 4x + 2y – 2z = 24

j) 5x – 4y + 6z = 24 3x – 3y + z = 54 -2x + y – 5z = 30

Lic. Daniel Arana www.licdarana.com.ar Álgebra

2012 79

37- Un fabricante de café quiere mezclar tres tipos de granos en una mezcla final del producto. Los tres tipos de grano le cuestan $1,20, $1,60 y $1,40 por kilo, respectivamente. El fabricante quiere mezclar un lote de 40.000 kilos y tienen un presupuesto de 57.600 dólares para la compra del café. Al mezclar el café, una restricción es que la cantidad usada del componente 2 debe ser el doble de la del componente 1. El objetivo es averiguar si hay una combinación de los tres componentes que lleve a una mezcla definitiva 1) que sea de 40.000 kilos, 2) que cueste $ 57600 dólares y 3) que satisfaga la restricción de mezclado de los componentes 1 y 2. 38- Cuando la gente invierte dinero hay profesionales a quienes se acude en busca de orientación respecto al portafolio o cartera que mejor cubra las necesidades del inversionista. Supóngase que un inversionista ha consultado a un experto en inversiones. Después de conversar con el cliente, el experto decide que el cliente desea una cartera que posea los siguientes atributos o cualidades: 1) el valor de la cartera en el momento de la compra es de $ 50,000, 2) el crecimiento anual esperado en el valor de mercado es de 12% y 3) el factor promedio de riesgo es del 10%. Se han identificado tres opciones con las tasas efectivas de crecimiento y riesgo que aparecen en la siguiente tabla:

Inversión Crecimiento Riesgo 1 16 % 12 % 2 8 % 9 % 3 12 % 8 %

Se desea averiguar la cantidad que se debe colocar en cada inversión para cumplir los deseos del inversionista. 39- Un fabricante de café desea mezclar tres tipos de granos en 10.000 kilos de una mezcla final. Los tres componentes cuestan $2,40; $2,60 y $2 por kilo, respectivamente. El fabricante desea obtener una mezcla de 10.000 kilos a un costo de $21.000 . Al mezclar el café, una restricción establece que las cantidades usadas de los componentes 1 y 2 sean iguales. Investigue si hay una combinación de los tres tipos de grano que de una mezcla final de 10000 kilos, que cueste $21000 y satisfaga la restricción de la mezcla. 40- Un inversionista cuenta con 500.000 dólares para invertir. Están estudiándose tres inversiones, cada una con una tasa de interés anual esperada. Las tasas de interés son 15, 10 y 18%, respectivamente. La meta del inversionista es un rendimiento promedio del 15 % en las tres inversiones. Por el rendimiento alto en la alternativa de inversión 3, el inversionista quiere que la cantidad de esta opción sea 40% del total de la inversión. Determine si hay una estrategia de inversión que satisfaga estas exigencias.


2012 80

41-Un dietista está planeando una comida que conste de tres tipos de alimentos. En la planeación de la comida, quiere que ésta satisfaga las necesidades diarias mínimas (NDM) de tres vitaminas. La tabla, a continuación resume el contenido vitamínico por kilo de cada tipo de alimento, expresado en miligramos (mg). Determine si hay combinaciones de los tres alimentos que satisfagan exactamente las necesidades diaria mínimas de las 3 vitaminas.

Contenido vitamínico/kilo Tipo de Alimento Vitamina 1 Vitamina 2 Vitamina 3

1 4 2 1 2 6 8 6 3 3 4 2

NDM 52 56 34 42- Un destilador quiere mezclar tres componentes de whisky para elaborar un whisky de alta calidad. Suponiendo que, durante el proceso de mezclado, se desea mezclar 50.000 litros del whisky. El único requisito de la mezcla es que la cantidad empleada del whisky 1 sea el doble del que se usa del whisky 3. Además, se han destinado 130000 dólares para adquirir los whiskys componentes. Los tres cuestan $2,50 ; $2,00 y $3,00 por litro, respectivamente. Determine si hay una combinación de los tres que produzca los 50.000 litros deseados. De ser así, ¿Qué cantidades deberían utilizarse? Rta.: x= 30.000 y= 5.000 z= 15.000 43- Una compañía elabora tres productor que han de procesarse en un departamento, En la tabla a continuación se resumen las necesidades de horas de trabajo y materias primas por unidad de cada producto. Cada mes se cuenta con 1300 horas de trabajo y 4700 kilos de materias primas. Si la producción mensual combinada de los tres productos ha de ser 400 unidades, averigüe si hay combinaciones de los tres productos que aprovechen al máximo las disponibilidades mensuales de trabajo y de materias primas, alcanzando además la meta de 400 unidades.

Producto 1 2 3

Horas de trabajo 5 2 4 Kilos materias primas 15 10 12

44- Una compañía fabrica cinco productos. Cada uno ha de ser procesado en cinco departamentos diferentes A a E, tabla siguiente indica el número de horas que se necesitan para fabricar una unidad de cada producto en cada departamento. También se indica el número de horas de producción disponibles a la semana en cada departamento. La Compañía quiere determinar si hay cantidades de los cinco productos que puedan fabricarse cada semana y que den por resultado la utilización total de las horas disponibles en todos los departamentos. a) Formule el sistema adecuado de ecuaciones lineales. b) Determine las combinaciones de cinco productos que utilicen los cinco departamentos a su entera capacidad.¿Cómo se distribuirá entre los cinco productos la capacidad semanal de cada uno?

Producto Depto. 1 2 3 4 5

Horas disp.

A 2 1 4 3 2 330 B 4 2 3 2 1 330 C 5 4 2 4 3 440 D 3 2 2 2 3 320 E 1 1 1 1 1 130


2012 81

45- Un dietista está planeando el menú de la comida de mediodía para una escuela de enseñanza media. Se están estudiando seis vitaminas para su inclusión en la comida, caracterizada cada una por distinto aporte nutricional. La meta es que el contenido nutricional de la comida cumpla con los niveles diarios vitamínicos por onza de cada alimento, expresado en miligramos (mg). Además, se indica el nivel mínimo diario (NDM) de las seis vitaminas, también en miligramos. El problema radica en determinar las porciones de cada alimento que se incluirán para que la comida satisfaga las raciones diarias de las seis vitaminas.

Alimento Vitamina NDM 1 2 3 4 5 6

1 23 4 3 0 2 4 1 2 34 5 3 4 0 0 2 3 32 0 2 6 4 3 4 4 16 0 0 2 3 5 2 5 39 5 6 2 0 3 5 6 26 2 3 2 4 2 2

46- En los siguientes ejercicios, determine si el sistema tiene una solución no trivial.

=+=++

=++=+

=++=+

=+

=++=+=+

06z2y-x

09z7y5x-d)

0z7y6x-

07z-5y3x-c)

09z2yx

04z-y2x-

07z3y-x

b)

07z2y4x

0z7y-2x-

08z5y-2x

a)

47- Resolver el siguiente problema de S.E.L.: Una caja contiene 13 monedas con las denominaciones de un centavo, cinco centavos y diez centavos, con un valor total de 83 centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la caja? (Recuerde que se busca soluciones en N0). 48- Un grupo de 18 personas (hombres, mujeres y jóvenes) ganan un total de $ 250 por hora. Los hombres ganan $20 por hora, las mujeres $15 por hora y los jóvenes $10 por hora. Hallar el número de hombres, mujeres y jóvenes. (Recuerde que se busca soluciones en N0).


2012 82

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 3

1)

=

=

−−−

=

=

=

=

10111

612-3C

732-4

5112

71-1-1

1111

B

6111

5141

2112

A b)

111

12-3C

32-4

112

1-1-1

111

B

111

1-41

11-2

A a)

2) a) x1= 1,5714 x2= 0.1429 b) x1= 2.60 x2= -6,40 x3= -0,60 c) x1= 0 x2= 0 x3= 0 3) Sin respuesta. 4) a) x= -1,31 y= 1,13 z= 2,94 b) no se puede c) no se puede. 5) a) x= -2 y= 5 b) x= 2,2143 y= -3.1429 c) x= -3 y= 1 d) x= 3 y= 2 e) x= 1 y= 0,75 f) x= 10 y= 4 g) x= 2 y= 1 h) x= 11 y= 0 i) x= 2.1724 y= 15.931 j) no se puede. k) x= 3 y= 2 l) x= -12 y= 25 m) x= 40 y= 10 n) x= 3,5 y= 1,5 o) x= 3 y= 2 p) x= -1 y= -1 q) x= -1,5 y= 2 r) x= 1 y= 0 s) x= 1 y= 1 t) x= -7 y= 19 6) a) x= -4 y= 0.5 S.C.D. b) x= -3 y= 10 S.C.D. c) x= 1 y= -1,5 S.C.D. d) x= -2 y= 0,4 S.C.D. e) x= 2 y= 0 S.C.D. f) x= 0.6667 y= -1 S.C.D. 7) 40 camarotes dobles y 25 camarotes simples. 8) $ 30 9) 15 años y 35 años 10) Aníbal tenía 28 objetos y Bernardo 16 objetos 11) x= 120 y= 29


2012 83

12) Base= 10 cm, Altura= 12 cm 13) 324 cm2 14) 62,50 litros de lavandina A y 37,50 litro de lavandina B. 15) a) x= 1 y= 2 z= 3 b) x= 0.67 y= -0.33 z= 1 h) x= 0 y= 2 z= 8 16) a) (2, 2, 1) , b) (2/3, -1/3, 1) , c) sin solución , d) (1/9, -1/3, 2/9, -5/9) ,

e) (3, 4, 7, 1)

17) 25 adultos y 15 chicos. 18) x= 20 y= 40 19) x= 5 , y= -47 20) x= -52 , y= -11 21) x= 24, y= 8 22) x= 29, y= 18 23) x= 725, y= 425 24) Blancas = 8 , Azules = 22. 25) Se invirtieron $ 4100 al 14% y $ 4700 al 16%. 26) Blancos= 12 , estampados= 28 27) Se vendieron 9 pares de medias a $4,50 y 75 pares a $3,60. 28) Cada kilo del Artículo A sale $120, cada kilo del artículo B sale 150. El pedido nuevo saldría $3540.


2012 84

29) 30) El numerador es 22 y el denominador es 7. 31) El mayor es 8 y el menor es 5. 32) a) x= 1, y= -1, z= 2 b) x= 2, y= -3, z= 1 c) S.I. d) x= 2-z; y= 1; z= z 33) a) k= -10; x= 3 + 2z ; y= -1-z; z=z b) k= -1; x= 2; y= -1; z=0 34) b) Sistema Incompatible. 35) a) (-3,6 , 12,8 ) d) (4 , 4 ) i) (3,4285 , 3,7142 ) 36) a) (2, -1, 1); d) (5, 10, 0); e) (4/3, 7/3, -11/3); f) (-1, 0,3); h) (4, -2,1) 37) x + y + z = 40000 1.20x + 1.6y + 1,40z = 57600 -2x + y = 0 38) x + y + z = 50000 16x + 8y + 12z = 600000 12x + 9y + 8z = 500000 ( 20.000; 20.000; 10,000) 39) x + y + z = 10000

2.40x + 2.6y + 2z = 21000 x – 2y = 0 ( 1000; 1000; 8000)

40) x + y + z = 500000 15x + 10y + 18z = 7500000 z = 200000 ( 180000; 120000; 200000) 41) Sin respuesta. 42) Sin respuesta.


2012 85

43) x + y + z = 400 5x + 2y + 4z = 1300 15x + 10y + 12z = 4700 ( 100; 200; 100) 44) Sin respuesta. 45) Sin respuesta. 46) Sin respuesta. 47) Sin respuesta. 48) Sin respuesta.


2012 86

CAPÍTULO

4

ESPACIOS

VECTORIALES


2012 87

Capítulo 4 - Espacios vectoriales

Vector: Definición: Se llama vector a un segmento orientado. La recta que contiene al segmento orientado determina su dirección , la orientación definida por el origen y el extremo su sentido y además el segmento tiene una longitud, que determina su módulo o intensidad . Vector en R 2: Un vector en R2 (plano o espacio bi-dimensional) es un objeto matemático definido por una dupla ordenada de números reales, dispuestos como una fila o como una columna entre paréntesis o entre corchetes.

[ ]21

2

1

21 ),( aaa

aaa =

=

Vector en R n Generalizando, un vector en Rn es un objeto matemático definido por una n-dupla ordenada de números reales, que puede representarse como una columna o como una fila.

( ) [ ]n

n

n aaa

a

a

a

aaa ......

,...,, 21

2

1

21 =

=

Vector nulo o Vector Cero: Es un vector en el cual sus componentes son todos iguales a cero. Gráficamente es el origen del espacio al cual pertenece. En R2, el vector nulo es (0,0) En R3, es (0,0,0) En Rn, es (0,0,0,…,0) Lo simbolizamos como vector nulo = 0


2012 88

Espacios Vectoriales Definición: Sean: V un conjunto no vacío, K un cuerpo, + y . las dos operaciones matemáticas conocidas. El objeto ( V , + , K , . ) es un espacio vectorial si se verifican los siguientes 10 axiomas: Axiomas de un espacio vectorial :

1- Si x ∈ V y y ∈ V, entonces (x + y) ∈ V (cerradura ante la adición ).

(4,6) y (-3,4) ε R2, entonces (4,6) + (-3,4) = (1,10) ε R2

2- Si x, y y z son elementos cualesquiera de V, entonces (x + y) + z = x + (y + z) (ley de asociatividad de la adición vectorial ).

(3,5); (2,-5); (2,8) ε R2 = [(3,5) + (2,-5)] + (2,8) = (3,5) + [(2,-5) + (2,8)]

(5,0)+(2,8) = (3,5) + (4,3)

(7,8) = (7,8)

3- Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x ( al 0 se le llama vector cero o identidad aditiva ).

∀ (2,6) ε R2 ∃ (0,0) ε R2 / (2,6) + (0,0) = (0,0) + (2,6) = (2,6)

4- Si x ∈ V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x recibe el nombre de inverso aditivo de x ).

∀ (2,-5) ε R2 ∃ (-2,5) ε R2 / (2,-5) + (-2,5) = (0,0)

5- Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley de conmutatividad de la adición vectorial ).

∀ (2,5); (-4,3) ⇒ (2,5) + (-4,3) = (-4,3) + (2,5)


2012 89

6- Si x ∈ V y αααα es un escalar, entonces ααααx ∈ V (cerradura ante la multiplicación por un escalar ).

∀ (4,5) ε R2 ∧ 5 ε R ⇒ 5 (4,5) = (20,25) ε R2 .

7- Si x y y están en V y αααα es un escalar, entonces αααα (x + y) = ααααx + ααααy (primera ley de distribución ).

∀ (4,5), (2,3) ε R2 ∧ ∀ 5 ε R ⇒ 5 [(4,5) + (2,3)] = 5(4,5) + 5(2,3).

8- Si x ∈ V y αααα y ββββ son escalares, entonces (α + β) (α + β) (α + β) (α + β) x = α = α = α = αx + β + β + β + βx (segunda ley de distribución ).

∀ (4,5) ε R2 ∧ ∀ 5, 3 ε R ⇒ (5 + 3).(4,5) = 5(4,5) + 3(4,5).

9- Si x ∈ V y αααα y ββββ son escalares, entonces α(βα(βα(βα(βx) = (αβαβαβαβ) x (ley de asociatividad de la multiplicación por un escalar )

∀ (4,5) ε R2 ∧ ∀ 5, 3 ε R ⇒ (5 . [3.(4,5)] = (5.3) . (4,5)

10- Para todo vector x ∈ V, 1x = x (al escalar 1 se le llama identidad multiplicativa ).

1 . (4,5) = (4,5)

Los cinco primeros axiomas caracterizan a (V,+) como Grupo Abeliano. Los últimos cinco axiomas son relativos a la ley de composición externa. Los elementos de V se llaman vectores , y cuando nos referimos a K hablamos de un conjunto numérico . Por último, + y . son las operaciones matemáticas tradicionales: suma y producto, respectivamente. Ejemplo de espacios vectoriales: • El espacio de los números reales Sea K = R Se observa que K satisface todos los axiomas de un espacio vectorial si el conjunto de escalares se toma como R.


2012 90

Adición de vectores: Dados dos vectores de Rn (con idéntica cantidad de componentes), la suma de los dos vectores da por resultado un tercer vector con la misma cantidad de componentes, en el cual cada componente del vector resultante es igual a la suma de los componentes que ocupan el mismo lugar. Ejemplo: Si v= (2,6) y u= (-5,8) entonces v + u = (2,6) + (-5,8) = (-3,14) Multiplicación de un escalar por un vector: Para efectuar este tipo de producto se debe distribuir la multiplicación del escalar por cada componente del vector. Ejemplo: Si v= (3,-6) entonces 4.v = 4. (3,-6) = (12, -24) • Espacio vectorial trivial : Sea V = {0}. Es decir, V consiste únicamente en el numero 0. Como 0+0=1.0=0+(0+0)=(0+0)+0=0, se concluye que V es un espacio vectorial. Suele llamarse espacio vectorial trivial . • Sea V={1}. Éste no es un espacio vectorial porque no satisface el axioma de

cerradura. Esto se ve fácilmente, ya que 1+1 = 2 ∉ V. Hay otros axiomas que tampoco satisface. Sin embargo, basta con demostrar que no cumple un axioma para probar que V no es espacio vectorial.

Propiedades de los espacios vectoriales:

1. El producto del escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo.

(0,0) )7,4(0R (4,-7)

(0,0) a 0. R a 2

2

=−⇒∈

=⇒∈∀

2. El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo.

(0,0) (0,0) K =⇒∈∀ αα


2012 91

3. Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo, entonces el escalar es 0 o el vector es nulo.

==

=⇒∈∀∧∈∀(0,0) a

0 (0,0) a V a K

ααα

4. El opuesto de cualquier escalar multiplicado por un vector es igual al opuesto de su producto.

(-12;15) (-12;15)

(12;-15)- (-12;15)

[3.(4;-5)]- (4;-5) 3-

a) ( - a -

==== αα

Subespacios vectoriales Concepto: Dados el espacio vectorial (V , + , K , . ) y el conjunto no vacío S ⊂ V, si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las mismas leyes de composición que en V, diremos que ( S , + , K , . ) es un subespacio de ( V , + , K , . ) o simplemente, que S es un subespacio de V. Definición: Se llama subespacio de un espacio vectorial V a todo subconjunto de V que es, a su vez, espacio vectorial respecto de las mismas operaciones en V. Condición necesaria: Si S es un subespacio de V, entonces está incluido en V, y se cumplen todas las características de un espacio vectorial. Condición necesaria:

1) S no en un conjunto vacío.

S ≠∅≠∅≠∅≠∅


2012 92

2) S está incluido en el conjunto de vectores V

S ⊂⊂⊂⊂ V

3) S cumple con la ley de cerradura para la suma de vectores.

S c / c ba S ba, ∈=+⇒∈∀

4) S cumple con la ley de cerradura para el productor por escalares.

S a . K S a ∈⇒∈∀∧∈∀ αα

5) S contiene al vector nulo.

Si a εεεε S ⇒⇒⇒⇒ (0;0) εεεε S

Operaciones con subespacios Intersección de subespacios: Sea {Si} con i ∈ I una familia de subespacios de ( V , + , K , . ). Denotaremos con S la intersección de dicha familia, o sea, S = ∩ Si . Resulta S un subespacio de V. Unión de subespacios : Si S1 y S2 son dos subespacios de ( V , + , K , . ), entonces S1 ∪ S2, no es necesariamente un subespacio de V. Suma de subespacios : Sean S1 y S2 dos subespacios de ( V , + , K , . ). Definimos el conjunto

S = { x ∈ V / x = x1 + x2 ∧ x1 ∈ S1 ∧ x2 ∈ S2 } O sea:

S = { x ∈ V / ∃ x1 ∈ S1 ∧ ∃ x2 ∈ S2 ∧ x = x1 + x2 }

El conjunto S se llama suma de los subespacios S1 y S2 y se indica Teorema: La suma de dos subespacios de V es un subespacio de V. Hipótesis ) S1 y S2 son dos subespacios de ( V , + , K , . ) S = S1 + S2


2012 93

Tesis ) ( S , + , K , . ) es un subespacio de ( V , + , K , . ) Demostración ) Se verifica : 1. S no es vacío, pues

0 ∈ S1 ∧ 0 ∈ S2 ⇒ 0 + 0 = 0 ∈ S1 + S2 ⇒ 0 ∈ S ⇒ S ≠ φ

2. S es una parte de V, por la definición de S. 3. S es cerrado para la suma, ya que

x ∈ S ∧ y ∈ S ⇒ x = x1 + x2 ∧ y = y1 + y2 ∧ x1 , y1 ∈ S1 ∧ x2 , y2 ∈ S2 ⇒ x + y = ( x1 + y1 ) + ( x2 + y2 ) ∧ x1 + y1 ∈ S1 ∧ x2 + y2 ∈ S2 ⇒

x + y ∈ S 4. S es cerrado para el producto por escalares, porque

α ∈ K ∧ x ∈ S ⇒ α ∈ K ∧ x = x1 + x2 ∧ x1 ∈ S1 ∧ x2 ∈ S2 ⇒ α x = α x1 + α x2 ∧ α x1 ∈ S1 ∧ α x2 ∈ S2 ⇒ α x ∈ S

Por consiguiente, la suma de subespacios es un subespacio.

Combinaciones lineales: Concepto: Sea A = { v1,v2,...,vn } una familia o conjunto de vectores del espacio (V,+,K,.). Entenderemos por combinación lineal de la familia A toda suma de productos de escalares arbitrarios de K, por los vectores de A. Definición: Combinación lineal de la familia A ⊂ V es todo vector del mismo conjunto que puede hallarse sumando los productos de escalares por vectores.

Σ αi vi = α1 v1 + α2 v2 + ....+ αn vn / αi ∈ K ∧ vi ∈ A

Ejemplo . Sean los vectores: v1 = ( -1, 0, 2) y v2 = (-1, 2, 4) en R3. Determinamos si los vectores v=( -1, 1, 3) y u = ( 1, 2, 2) Son combinación lineal de v1 y v2.


2012 94

1. Para que v sea combinación lineal de v1 y v2 deben existir escalares α1 y α2 tales que:

α1 v1 + α2 v2 = v O sea

α1 ( -1, 0, 2) + α2 ( -1, 2, 4) = (-1, 1, 3)

Por definición de ley externa es

( -α1 , 0, 2 α1) + ( -α2 , 2 α2 , 4 α2) = ( -1, 1, 3) Por suma de ternas

(-α1 -α2 , 2 α2 , 2 α1 + 4 α2) = ( -1, 1, 3) Por igualdad de ternas resulta

−α1 −α2 = −1

2 α2 = 1

2 α1 + 4 α2 = 3

Entonces α1 + α2 = 1

α2 = 1/2

α1 + 2 α2 = 3/2

Sustituyendo a2 = 1/2 en la primera ecuación, se tiene:

α1 + 1/2 = 1 ⇒ α1 = 1/2

Como ambos valores α1 = 1/2 y α2 = 1/2 satisfacen la tercera relación es v= 1/2 v1 + 1/2 v2. O sea, v puede expresarse como combinación lineal única de v1 y v2. 2. Si u= ( 1, 2, 2), entonces procediendo análogamente se llega a

− α1 −α2 = 1


2012 95

2 α2 = 2 2 α1 + 4 α2 = 2

o bien α1 + α2 = −1

α2 = 1 α1 + 2 α2 = 1

De donde

α2 = 1 ⇒ α1 +1 = −1 ⇒ α1 = −2

Al sustituir en la tercera ecuación

-2 + 2 . 1 = 0 ≠ 1 Entonces u no es combinación lineal de v1 y v2.

Combinación Lineal Convexa: Cuando todos los escalares son positivos y la sumatoria de los mismos es igual a 1, la combinación lineal es convexa . Combinación lineal trivial: Una combinación lineal es trivial cuando todos sus escalares son nulos.

Subespacio generado: Conjunto de combinaciones lineales Sea A un conjunto no vacío de vectores del espacio ( V , + , K , . ). A expensas de A podemos formar el subconjunto de V cuyos elementos sean todas las combinaciones lineales de los vectores de A. A este conjunto lo denotaremos con el símbolo Ã, que se lee “ A raya “. Ejemplo. El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1 = (1 , 0 , 1) y v2 = (0 , 1 , 1) de R3

es

Ã = { α1 (1 , 0 , 1) + α2 (0 , 1 , 1) / α1 ∈ R ∧ α2 ∈ R } O sea


2012 96

Ã = {(α1,α2,α1+α2) / α1 ∈ R ∧ α2 ∈ R } En consecuencia, a Ã pertenecen todas las ternas cuya tercera componente es la suma de las dos primeras. Podemos escribir :

Ã = {(x 1 , x2 , x3) ∈ R3 / x3 = x1 + x2 }

Dependencia e independencia lineal : Conjunto linealmente independiente Se ha demostrado que la única combinación lineal de los vectores v1 y v2, cuyo resultado es el vector nulo, es la trivial. O sea

α1 v1 + α2 v2 = 0 ⇒ α1 = α2 = 0 En este caso, los vectores son las funciones de R en R definidas por

f (t) = et y g(t) = et

y la función que asigna a todo número real t, el valor 0, es el vector nulo. Este hecho se traduce diciendo que los vectores v1 y v2 son linealmente independientes, o bien que la familia de vectores A= { v 1 , v2} es linealmente independiente. Definición: Sea A una familia de vectores del espacio ( V , + , K , . ). Dicha familia A � V es linealmente independiente si y sólo si la única combinación lineal de dicha familia, cuyo resultado es el vector nulo, es la trivial. Ejemplo: Dado el espacio vectorial (R3 , + , R , . ) determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes.

A = {(1 , 0 , 0) , (0 , 1, 0) , (0 , 0 , 1)}

Sea

α1 (1 , 0 , 0) + α2 (0 , 1 , 0) + α3 (0 , 0 , 1) = (0 , 0 , 0) (α1 , 0 , 0) + (0 , α2 , 0) + (0 , 0 , α3) = ( 0 , 0 , 0)

(α1 , α2 , α3) = ( 0 , 0 , 0 )


2012 97

Por igualdad de ternas resulta

α1 = α2 = α3 = 0

Luego A es linealmente independiente.

Conjunto linealmente dependiente Definición: La familia A es linealmente independiente si y sólo si no es linealmente independiente. La familia A es un conjunto linealmente dependiente de vectores de V si y sólo si existe una combinación lineal no trivial de dicha familia cuyo resultado sea el vector nulo. Ejemplo: Los vectores ( -2 , 4 ) y ( 1 , -2 ) son linealmente dependientes en (R2,+,R,.) Sea

α1 (-2 , 4) + α2 (1,-2) = (0,0)

Por definición de producto de escalares por pares y suma de pares es

(-2 α1 + α2 , 4 α1 - 2 α2) = (0,0)

Por igualdad de pares resulta

-2 α1 + α2 = 0 4 α1 - 2 α2 = 0

Dividiendo la segunda relación por -2, el sistema se reduce a la única ecuación -2 α1 + α2 = 0

Esta admite infinitas soluciones, dadas por

α1 = k α2 = 2 k y k ∈ R


2012 98

Sistema de generadores: Concepto La familia A es un sistema de generadores de V si y sólo si todo vector de V puede expresarse como combinación lineal de los vectores de A. O bien, A es un sistema de generadores de V si y sólo si el subespacio generado por A es V. Esto se logra armando el sistemas de ecuaciones e igualándolo a x e y . Ejemplo. El conjunto A = {(1,0) , (0,1) , (1,1)} es un sistema de generadores de R2

En efecto, si (a,b) es cualquier vector de R2, deben existir escalares α, β y γ tales que

α (1,0) + β (0,1) + γ (1,1) = (a,b) O sea

(α + γ , β + γ) = (a,b)

Luego

α + γ = a y β + γ = b En consecuencia

α = a - k , β = b - k , γ = k ∀ k ∈ R

Este resultado nos dice que, efectivamente, A es un S.G. de R2, y además, que cualquier vector del espacio puede expresarse de infinitas maneras como Combinación lineal de los vectores de A. Por otra parte, es fácil verificar que A constituye una familia linealmente dependiente.

Base de un espacio vectorial Concepto de base : Sea A = { v1, v2,..., vn } una familia de vectores de ( V , + , K , . ). Definición : La familia A ⊂ V es una base de ( V , + , K , . ) si y sólo si es un conjunto linealmente independiente y sistema de generadores de V.

A ⊂⊂⊂⊂ V es una base de V ⇔⇔⇔⇔ A es L.I. y Ã = V


2012 99

Una base es un conjunto eficiente para representar un espacio vectorial, ya que cualquier vector de dicho espacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores que constituyen la base. Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn es una base en Rn. Base canónica : Recibe este nombre la base conformada por los vectores columna canónicos de una matriz identidad. Dimensión de un espacio vectorial Concepto : Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. Dimensión de un espacio vectorial V es el número cardinal de cualquiera de sus bases. Si V consiste únicamente en el vector nulo, diremos que su dimensión es 0. En ambos casos, V es un espacio de dimensión finita. Si [ V ] = { v1, v2,..., vn } es una base de ( V , + , K , . ), escribiremos

dim k V = n Ejemplo : vimos que B= {(1;2),(2;3)}es una base de R2, por lo tanto la dimensión de R2 es 2 por existir una base que tiene 2 vectores. En general, la dimensión de Rn es n . Espacio o subespacio generado por un conjunto de ve ctores Dado un conjunto de vectores A= {u1, u2, ..., un} ⊂ V se denomina espacio o subespacio generado por A y se designa como Ã, al subconjunto de V formado por todos los vectores que se pueden expresar como combinación lineal del conjunto A. Ejemplo : Determinar el espacio o subespacio generado por A={(1;2),(2;4)}⊂ R2


2012 100

Efectuado el sistema y resuelto el mismo vemos que el conjunto A genera el subespacio de R2 / x2 = 2 x1 , es decir, pares ordenados de la forma (x1;2x1). Ã={(x1,x2) ∈ R2/ x2 = 2x1}. Si los vectores de A hubieran sido linealmente independientes, hubieran generado al espacio vectorial R2 y no a un subespacio de éste. Tres vectores de R3 generan a R3 ⇔ son L.I. , de lo contrario generan a un subespacio de éste y en general n vectores de Rn generan a Rn ⇔ son L.I. y por lo tanto constituyen una base del mismo. Ejercicio de subespacio generado Dada la siguiente familia de vectores del Espacio Vectorial (R4, +, R, .)

A= {(1,2,3,4); (4,7,8,5); (2,3,4,7)} Se pide : 1) Hallar el subespacio vectorial generado por la familia A. 2) Indicar una base de dicho subespacio vectorial. 3) Indicar la dimensión del subespacio vectorial. Armo el sistema, y lo resuelvo por Gauss – Jordan 1 4 2 X1 1 0 0 2 7 3 X2 0 1 0 estos resultados no sirven 3 8 4 X3 0 0 1 4 5 7 X4 0 0 0 - 7X1+ 9X2– 5X3+ X4 = 0 esta es la condición del subespacio, es decir, el subespacio generado por estos vectores es :

S =( X1, X2, X3, X4) E R4 / - 7 X1+ 9 X2– 5 X3+ X4 = 0 Despejo cualquiera de las variables, por ej.: X4 = 7 X1 – 9 X2 + 5 X3 Entonces el vector genérico del subespacio es :

( X1, X2, X3, 7 X1 – 9 X2 + 5 X3 ) Respuesta 1) Ahora lo descompongo en una suma de vectores, uno para cada variable: ( X1, X2, X3, 7 X1 – 9 X2 + 5 X3 ) = ( X1, 0, 0, 7 X1) + (0, X2, 0, 0, - 9 X2) + (0, 0, X3, 5 X3) (Fíjense que si suman estos 3 vectores vuelven a la expresión anterior) . Ahora sacan las X afuera de los vectores, como escalares: X1 ( 1, 0, 0, 7) + X2 ( 0, 1, 0, - 9 ) + X3 (0, 0, 1, 5)


2012 101

(Fíjense que si hacen el producto vuelven al paso anterior) Y ya esta, una de las bases del subespacio es :

BASE de S.= (1, 0, 0, 7) ; (0, 1, 0, 9 ) ; (0, 0, 1 , 5) Respuesta 2)

La dimensión es: DIM de S = 3 (cantidad de vectores que forman una base) Respuest a 3)

Reemplazo de un vector en una base Dada una base de un espacio vectorial se trata de elegir otro vector del espacio que no pertenezca a la base y sustituir uno de los vectores por éste de tal forma que el nuevo conjunto de vectores siga siendo una base. Hay que determinar que vector puede salir, pero para asegurar que el nuevo conjunto de vectores continúa siendo base, se deben verificar las siguientes condiciones: 1) Se escribe el vector que se va a introducir como Combinación Lineal de la

base. 2) Se determinan los coeficientes de la C.L. y se obtienen así las coordenadas del

nuevo vector respecto de la base original. 3) Se determinan las posibles bases que se pueden formar teniendo en cuenta

que puede sustituirse cualquier vector cuyo coeficiente en la C.L. sea distinto de 0:

Ejemplo: Base A= {(1,2,0), (4,3,1), (2,1,5)} queremos introducir el vector x = (1,5,-5). Expresamos el vector ingresante como resultado de la C.L. de la base. α1 + 4α2 + 2α3 = 1 x = α(1,2,0) + α(4,3,1) + α(2,1,5) = 2α1 + 3α2 + α3 = 5 ⇒ α1 =3,α2= 0,⇒α3=−1

α2 + 5α3 = -5 Como α2 = 0 no puede salir (4,3,1) por lo que pueden constituirse 2 nuevas bases: Base 1 A’ = {(1,2,0),(4,3,1),(1,5,-5)} Base 2 A’’= {(1,5,-5),(4,3,1),(2,1,5)}


2012 102

APLICACIONES ECONÓMICAS

Vector de precios – Ecuación Presupuestaria – Recta de Balance Dado un conjunto de bienes X1, X2. , …, Xn, cuyos precios son respectivamente p1, p2, …, pn, el vector de precios es aquél en el cual aparecen expresados los precios de los distintos bienes.

( )npppp ;...;; 21=→

La ecuación de presupuesto es, dado un cierto ingreso I, que suponemos se gasta en su totalidad, x1.p1+x2.p2+…+xn.pn=I, donde x1, x2, …, xn son respectivamente las cantidades de los bienes X1, X2, …, Xn que pueden adquirirse con ese ingreso. Esta ecuación indica las distintas combinaciones de las cantidades de los bienes que se pueden obtener con un ingreso fijo conocidos sus precios y suponiendo que se utiliza todo el ingreso. En el caso de dos bienes y dos precios tenemos la ecuación de una recta, que recibe el nombre de recta de balance o línea de posibilidades de consum o: x1.p1+x2.p2=I. Vemos que el ingreso, conocidos los precios de los artículos, se puede expresar como combinación lineal de las cantidades de los bienes consumidos. Propiedad: El vector de precios es perpendicular a la recta de balance. Esto surge de la ecuación de la recta ya que los precios son los coeficientes de la ecuación.


2012 103

CAPITULO 4 – Ejercicios 1-Determinar si los siguientes conjuntos constituyen, con las operaciones indicadas, espacios vectoriales

a) (R2, +, R, .) si (x1; x2)+(y1;y2)=(x1+y1;x2+y2) y α.(x1;x2)=(αx1;αx2) b) (Z2, +, Z, .) si (x1; x2)+(y1;y2)=(x1+y1;x2+y2) y α.(x1;x2)=(αx1;αx2) c) (R3, +, R, .) si (x1; x2; x3)+(y1;y2; y3)=(x1+y1;x2+y2;x3+y3) y α.(x1;x2;x3)=(αx1;αx2;αx3)

1) Rta.: a) Si b) si c) si 2- Dados los vectores de R2: u=(3;2) y v=(1;2). a) Representarlos gráficamente. b) Hallar u+v c) Hallar 3u+2v d) Representar gráficamente los vectores obtenidos en b) y c) 2) Rta.: b) (4,4) c) (11,10) 3- Escribir en forma explícita: a) el neutro para la suma en R3 b) el inverso aditivo de (1;2;-3;5) ε R4 c) el inverso aditivo del inverso aditivo de un vector v ε Rn

d) el inverso aditivo del neutro para la suma en Rn e) el vector (1,1,1)+(3,2,2) en R3. f) la propiedad conmutativa para la suma de vectores en R3. g) la suma del inverso aditivo de (1,1) con 5 veces el vector (4,5) en R2. h) el vector 3.(1,1,8)+4.[(-2,3,0)+5.(1,0,1)] en R3.

i) el vector de R3 que sumado al inverso aditivo del vector (1,-4,6) da por resultado el vector 3.(3,4,2)

3) Rta.: a) (0,0,0) b) (-1,-2,3,-5) c) (v1,v2, … , vn) d) Vector nulo e) (4,3,3) g) (19,24) h) (15,15,44) i) (10,8,12) 4-Dados los siguientes subconjuntos W de R2, determinar si (W, +, R, .) es subespacio de (R2, +, R, .) y representar en el plano.

a) W1={(x1;x2)ε R2/ x2=0} b) W2={(x1;x2)ε R2/ x1-x2=0} c) W3={(x1;x2)ε R2/ x1+x2-1=0} d) W4={(x1;x2)ε R2/ x1

2+x22=0}

e) W5={(x1;x2)ε R2/ x2 ≥0} f) W6={(x1;x2)ε R2/ x1.x2=1} g) W7={(0;0)}

4) a) si b) si c) no d) si e) no f) no g) si 5- Verificar que (R3,+) es un grupo. Generalizar para (Rn,+). 5) Sin respuesta 6-Dados los siguientes conjuntos W de R3 o R4, determinar si (W, +, R, .) es subespacio de (R3, +, R, .) o (R4, +, R, .) respectivamente.


2012 104

a) W1={(x1;x2;x3)ε R3/ x1= x3 ∧ x2= x1 + x3 } b) W2={(x1;x2;x3)ε R3/ 2x1+x2-x3 = 0} c) W3={(x1;x2;x3)ε R3/ x3 = 0} d) W4={(x1;x2;x3)ε R3/ x1+x2=2x3 } e) W5={(x1;x2;x3)ε R3/ x1+3x2-1 = 0} f) W6={(x1;x2;x3)ε R3/ x1+3x2 = 0 ∧ x3= x2} g) W7={(x1;x2;x3;x4)ε R4/ x1+x2= x3 ∧ x4= 2x1 – x2 } h) W8={(x1;x2;x3;x4)ε R4/ 3x1+x2-x3 = 2x2 + x3 = 0}

6) a)b)c)d)f)g)h) SI e) NO 7-Indicar en cada caso si el vector u se puede expresar como combinación lineal del conjunto A.

a) u=(1;2) A={(1;1),(-2;3)} b) u=(1;2) A={(1;1),(2;2)} c) u=(5;10) A={(1;2),(2;4)} d) u=(1;2;-3) A={(1;2;3),(2;2;-1)} e) u=(1;2;-3) A={(1;1;3),(2;1;-1),(0;-1;2)} f) u=(9;2;7) A={(1;2;-1),(6;4;2)}

g)

−−

−−

=

=02

31,

03

31,

02

31A

02

3-1U

h)

−−−

=

=632

210,

511

401-A

391-

823-U

7) a)α1= 7/5 α2= 1/5 b) no se puede c) la combinación lineal no es única. d) no se puede e) α1= -1/7 α2= 4/7 α3= -1 f) α1=-3 α2=2 g) α1= 5 α2= -4 α3= 0 h) α1= 3 α2= 2 8-Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o dependientes. i)V=R2 a) A={(-2;1),(3;-2)} b) A={(-3,2)} c) A={(0;0)} d) A={(-3;5), (3;-5)} e) A={(-2;1),(2;3),(5;-1)} ii)V=R3

a) A={(1;2;4),(3;4;-16),(3;5;-2)} b) A={(1;3;5),(-2;1;4)} c) A={(1;0;0),(0;2;0),(0;0;3)} d) A={(2;1;-3)} e) A={(-2;1;-3),(1;2;1),(2;2;2),(-1;1;1)}

iii)V=R2x2

a)

−

−

=01

10,

21

11,

13

01,

60

1-1A


2012 105

b)

−

=21

13,

10

01,

62

21A

8) i) a) L.I. b) L.I. c) L.D. d) L.D. e) L.D. ii) a) L.D. b) L:I. c) L.I. d) L.I. e) L.D. iii) a) L.I. b) L.I. 9-Determinar valores de k para los cuales las siguientes familias vectoriales son linealmente independientes:

a) A={(1;k),(2;3)} b) A={(1+k;1-k),(1-k;1+k)} c) A={(1;2;2),(2;1;1),(3;3;k)} d) A={(1;1;1),(k;k;0),(1;0;k)}

9) a) k≠ 3/2 b) k≠ 0 c) k≠ 3 d) k≠ 0 10- Sean u y v dos vectores de Rn. Indicar verdadero o falso, justificando: a) u.v=v.u b) u=0 ó v=0 => u.v=0 c) u.v=0 => u=0 ó v=0

10) a) V b) V c) F 11- Indicar para que valores de k la siguiente familia es base de R3. A={(2;k+2;0),(3;1;k+3),(k-1;0;0)} 11) Rta: a) k≠1 ≠ -2 ≠ -3 12- Si W es un conjunto de combinaciones lineales formado por A={(1;2),(3;-1)}

a) Encontrar un vector de W diferente de (1;2) o (3;-1) b) ¿Cuántos vectores hay en W? c) ¿Cuántos vectores hay en {(1;2),(3;-1)} d) Describir geométricamente a W e) ¿Pertenece (5;-4) a W? f) Expresar cualquier vector de W como combinación lineal de {(1;2),(3;-1)}

12) Rta.: a) cualquier vector de R2 b) infinitos c) 2 d) todo el plano e) sí f) α1=x1+3x2/7 α2= 2x1 – x2 /7 13- Determinar si el conjunto dado es o no espacio vectorial. Si no lo es, enunciar los axiomas que no se cumplen: a) El conjunto de las matrices cuadradas de orden n con las operaciones usuales de adición de matrices y multiplicación por un escalar. b) (N,+,R,.)/N= {0,0,0}, siendo + y . las operaciones usuales en R3. c) (S,+,R,.)/S= {(x1,x2,x3)εR3/x1=x2=x3} siendo + y . las operaciones usuales en R3. 13) Sin Respuesta


2012 106

14- Si W es un conjunto de combinaciones lineales formado por A={(1;2),(3;6)}

a) Encontrar un vector de W diferente de (1;2) o (3;6) b) ¿Cuántos vectores hay en W? c) ¿Cuántos vectores hay en {(1;2),(3;6)} d) Describir geométricamente a W e) ¿Pertenece (5;-4) a W? f) Expresar cualquier vector de W como combinación lineal de {(1;2),(3;6)}

14) Rta.: a) cualquier vector de R2 de la forma x2 = 2x1 b) infinitos c) 2 d) la recta x2=2x1 e) no 15- Hallar el Subespacio generado por A, indicar una base y su dimensión.

a) A={(2;-3)} b) A={(1;1;1),(-1;2;3),(0;3;4)}

c)

=02

31,

02-

3-1A

d) A={(1;2;0;3),(3;2;0;1),(1;1;0;1)} e) A={(1;2;4);(3;1;5)} f) A={(2;5;7); (5,1;2)}

16- Demostrar que todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al vector nulo. 16) Rta.: Surge de las condiciones necesarias para la existencia de un subespacio vectorial.

17- Dado (R2x1,+,R,.), hallar las coordenadas de

=

=1

0,

1

2B base laen

4

3A

18- Dado el conjunto A={(3;0;-2),(2;-1;-5)} Se desea saber: a) ¿A genera R3? b) si no lo genera, ¿Qué subespacio genera? 19- Hallar los valores de k para los que el conjunto A tiene dimensión 3.

−

−−

=57

16,

1

32,

14

1-2A

k

20- Dada la base B={(1;0;1),(2;-1;4),(0;0;2)}, determinar cuales son las posibles nuevas bases que se pueden formar si se cambia la base introduciendo el vector x=(2;-1;8) 21- Sea A={(1,-3,2),(2,-1,1)} una familia de vectores pertenecientes a R3 a) Escribir, si es posible, v=(4,3,-1) como combinación lineal de A b) ¿Es posible expresar u=(2,1,-3) como combinación lineal de A? c) ¿Para que valor de k e R es (1,12,k) combinación lineal de A?


2012 107

d) Indicar que condición deben cumplir los números reales a, b y c para que el vector (a,b,c) sea una combinación lineal de A

21) Rta.: a) α1= -2 α2= 3 b) no c) k= -7 d) –a+3b+5c= 0 22- Determinar si el conjunto dado de vectores es L.D. o L.I. a) En (R3,+,R,.), D= {(3,1,1); (2,-1,5); (4,0,-3)}

b) En (R2x2,+,R,.),

−

−

=20

00,

10

12,

10

2-4F

c) En (R2x3,+,R,.),

=000

010,

004

002,

003

021B

22) Rta.: a) LI b) LD c) LI 23- Determine el o las condiciones que deben satisfacer los números a,b,c y d a fin de que los vectores de (a,b) y (c,d) del espacio (R2,+,R,.) sean L.I. 23) Rta.: a.d – b.c ≠ 0

24- Se sabe que {u,v} y {v,w} son conjuntos de vectores linealmente dependientes de R2. Determinar si el conjunto {u,w} es linealmente dependiente. 24) Rta.: Falso. 25- Se sabe que {u,v} y {v,w} son conjuntos de vectores linealmente independientes de R2. Determinar si el conjunto {u,w} es linealmente independiente. 25) Rta.: Falso 26- Se sabe que {u,v,w} es un conjunto de vectores linealmente dependiente de R3. Proporcione un ejemplo para mostrar que u no es necesariamente una combinación lineal de v y w. 26) Rta.: Sin respuesta 27- Demostrar que si el conjunto de vectores {u,v} de un espacio vectorial (V,+,R,.) es linealmente independiente, entonces también lo es el conjunto {u,u+v} 27) Rta.: Sin respuesta 28- Demostrar que dos vectores del espacio (R3,+,R,.) son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un múltiplo de otro. Generalizar para Rn. 28) Rta.: Sin respuesta


2012 108

29- Un consumidor tiene un ingreso de $3.000 y lo destina a la compra de dos bienes, cuyo vector de precios es p=(150;200). Hallar y representar: a)la recta de balance de consumo. b)la ecuación presupuestaria y c)el semiplano de posibilidades de consumo si no consume todo su ingreso. 30- El plano balance que contiene todos los presupuestos con un gasto de $45.000 para la adquisición de tres bienes en su forma segmentaria es x1/5+x2/10+x3/20=1. a)Representarlo b)Escribir la ecuación presupuestaria y c)Hallar el vector de precios. 31- Un consumidor tiene un ingreso I=3000 que quiere destinarlo a la compra de dos bienes cuyos precios son respectivamente p1= 100 y p2= 300. Vamos a obtener: a) el vector de precios, b)las posibles combinaciones de las cantidades si I>0, y c) la recta de balance o línea de posibilidades de consumo si I=3000. 32- Un consumidor tiene un ingreso de $ 800 y lo destina a la compra de dos bienes A y B cuyos precios unitarios son, respectivamente p1= 160 y p2=80. a) Escribir el vector de precios y representarlo gráficamente. b) Escribir la ecuación presupuestaria y graficar la recta de posibilidades de consumo. ¿Cómo es la posición del vector de precios y la recta de posibilidades de consumo? c)¿Cuál es la cantidad máxima de bienes B que el consumidor puede adquirir con su ingreso, sin adquirir ningún bien A? 32) Rta.: a) p=(160,80) b) 160 x + 80 y = 800 c) perpendicular 33- El plano balance que contiene todos los presupuestos que contiene todos los presupuestos que tienen un gasto de $ 3000 para la adquisición de tres bienes, escrito en forma segmentaria es x1/6 + x2/15 +x3/10 = 1 a) Representarlo. b) escribir la ecuación presupuestaria, c) Hallar el vector de precios. d) ¿Cómo es la posición del vector de precios respecto del plano balance? 33) Rta.: b) 500x+200y+300z= 3000 c) p= (500,200,300) d) perpendicular 34-Determinar si cada Familia es L.I.: a) A={(5,0,0);(7,2,-6);(9,4,-8)} b) B={(0,0,2);(0,5,-8);(-3,4,1)} c) A={(1,-3);(-3,9)} d) B={(-1,4);(-2,-8)} 35- Determine los valores de h para los cuales las familias son L.D. a) A={(1,-1,4),(3,-5,7),(-1,5,h) b) B={(2,-4,1),(-6,7,-3),(8,h,4)} c) C={(1,5,-3),(-2,-9,6),(3,h,-9) d) D={(1,-1,-3),(-5,7,8),(1,1,h)}


2012 109

CAPÍTULO

5

PROGRAMACIÓN

LINEAL


2012 110

Capítulo 5 - Programación lineal

Durante el transcurso de la Segunda Guerra Mundial, las Fuerzas Armadas de las Islas Británicas debían defender grandes extensiones territoriales con fuerzas terrestres, las que eran escasas. Debieron por lo tanto estudiar como podían distribuir el estacionamiento de tropas a lo largo y a lo ancho de su país, de modo tal de poder contar rápidamente con la mayor cantidad de defensas posibles, en caso de producirse un ataque enemigo.

Para resolver este grave problema solicitaron ayuda a grandes matemáticos, quienes crearon la Investigación Operativa, de donde surgen los modelos de Programación Lineal, que desarrollaremos en esta unidad.

Características de los problemas de programación li neal:

1- Un objetivo único.

Esta característica indica que no necesitamos ocuparnos de más de un objetivo a la vez, el cual se debe optimizar.

2- Existencia de restricciones.

El cumplimiento del objetivo está sujeto a restricciones.

3- Proporcionalidad.

La función objetivo y las restricciones deben ser proporcionales al nivel de fabricación de cada producto.

4- Divisibilidad.

Esta característica significa que son posibles asignaciones fraccionarias de productos. Esta es una consideración importante en los casos en que se trabaja con la producción o asignación de recursos discretos, dado que no es posible garantizar que las soluciones de programación lineal sean enteras.

5- Aditividad.

Las contribuciones de los productos individuales son aditivas. Esto significa que el total es igual a la suma de las partes y que no hay efectos de interacción entre los niveles de producción.


2012 111

6- No negatividad de los variables.

No es posible fabricar unidades negativas de un producto.

Resolución de un problema de P.L. por el Método Grá fico

La resolución por el método gráfico (sólo realizable en problemas con 2 (dos) variables de producción) debe realizarse cumpliendo con los siguientes pasos:

1) Planteo matemático del Problema.

Para elaborar este planteo es menester tener claramente definido el objetivo que se debe buscar (Maximización o minimización), las contribuciones (gastos en un Problema de Minimización) de las variables de decisión y los coeficientes de las restricciones.

2) Grafica de las restricciones.

Se toman las disposiciones de cada variable de decisión y se elabora el área que cumple con cada una de las restricciones. Si la restricción es del tipo menor o igual el área será convergente hacia el centro de coordenadas, si es del tipo mayor o igual será divergente del centro.

3) Armado del Polígono de Soluciones Factibles (PSF).

Éste polígono surge de la intersección de las áreas que cumplen con cada restricción.

4) Gráficos de la Función Objetivo.

Para realizar los gráficos de la Función Objetivo se deben calcular la producción para diferentes valores de utilidad, trazándose para cada uno de ellos una recta llamada de isoutilidad. En un problema de maximización se estará en la solución óptima cuando la recta de isoutilidad se haga tangente en el vértice del PSF mas alejado del centro de coordenadas. En un problema de minimización la recta de isocosto deberá hacerse tangente al vértice del PSF más cercano al centro de coordenadas.

5) Cálculo del beneficio que se obtiene en cada vértice del PSF.

Cuando tenemos identificados los vértices del PSF, debemos calcular la utilidad o el costo de cada uno de los mismos, lo que nos permitirá conocer en cuál de los vértices se maximizan los beneficios o se minimizan los costos, según el problema de P.L. sea de maximización o minimización.


2012 112

6. Gráfica de la Función Objetivo.

Para realizar la gráfica de la función objetivo se toman diferentes valores de utilidad y se determina la cantidad de producción que debería realizarse de cada producto para obtenerla. De ésta forma se obtiene la pendiente de la recta. Como cada recta tendrá idéntica pendiente, se trazan paralelas a la recta hallada y el vértice en el cual se optimiza el funcional es aquel en el cual una recta de isoutilidad (isocosto en un problema de Minimización) se hace tangente al vértice más alejado del centro de coordenadas (en un problema de Minimización será en el vértice será en el más cercano al centro de coordenadas).

De esta manera podemos hallar el Vértice en donde el nivel de las variables obtiene su optimización.

Ejemplo de Resolución por el Método Gráfico

Un frigorífico se dedica a la cría de salmones y de truchas, las que necesitan de un alimento que demanda mano de obra y materia prima para realizarlo. Además tiene una determinada Capacidad de producción, valores indicados por la siguiente tabla. También se indican en la tabla los beneficios que aportan tanto los salmones como las truchas. Se desea saber cual es la combinación de salmones y truchas que maximiza el beneficio.

SALMONES TRUCHAS Disp. Mano de Obra 5 6 15.000 Materia Prima 10 20 20.000 Cap Producción 1.500 Beneficios 60 80 La primera tarea que se debe desarrollar ante un problema de P.L. es realizar el Planteo Matemático del mismo:

Z= 60 S + 80 T (Maximizar) Sujeto a:

5 S + 6 T ≤ 15000 10 S + 20 T ≤ 20000

S + T ≤ 1500

Planteo Matemático

del Problema


2012 113

A continuación, se deben graficar las restricciones:

El paso siguiente es definir el área intersección de las 3 restricciones, esta área se denominará Polígono de Soluciones Factibles (P.S.F.).

Teorema: si hay una solución que maximiza o minimiza el funcional entonces tal solución corresponde a un vértice del P.S.F.. Por lo tanto para determinar la Solución Óptima del Problema se deben evaluar los vértices del polígono de soluciones factibles. A este método para conocer el vértice óptimo se lo conoce con el nombre de MÉTODO ANALÍTICO.

A (0,0)= 60 . 0 + 80 . 0 = 0

B (0,1000)= 60 . 0 + 80 . 1000 = 80.000

C (1000,500)= 60 . 1000 + 80 . 500 = 100.000

D. (1500,0)= 60 . 1500 = 90.000

Lo que significa que la ganancia se maximiza con la cría de 1000 salmones y 500 truchas, obteniéndose un beneficio de 100.000. En cualquier otra combinación de salmones y truchas se obtiene una ganancia menor.

B C

D

1000 2000 3000

1000

2000

3000

2500

1500

1500

A

500 B


2012 114

Método simplex:

Para resolver un problema de programación por el método simplex se siguen estos pasos:

1ro.- Se transforman las inecuaciones en ecuaciones agregando a las primeras variables de holgura/escasez o variables artificiales.

a) Si la restricción es del tipo ≤ a la izquierda de la desigualdad se le suma una variable no negativa, llamada variable de holgura, cuya contribución en el Funcional es nula.

b) Si la restricción es del tipo ≥ a la izquierda de la desigualdad se le resta una variable no negativa, llamada variable de excedencia, cuya contribución en el Funcional es nula.

c) Por cada restricción del tipo = y por cada restricción del tipo ≥ al lado izquierdo de la restricción se le suma una variable no negativa, llamada variable artificial. Cuya contribución en el Funcional es +M si el problema es de minimización y de –M cuando el problema es de Maximización.

2do.- Se forma la matriz de coeficientes incluyendo los términos independientes. Las variables que conforman la base (1 variable básica por cada restricción) de la tabla simplex inicial son las variables de holgura y las variables artificiales. O sea, cuando partimos de una variable “menor o igual” concurre a la base la variable de holgura, mientras que si estamos antes restricciones del tipo “mayor o igual” o “igual” concurre a la base la variable artificial.

3ro.- Sobre la matriz se colocan los coeficientes del funcional. Las variables artificiales llevan, en el caso de un problema de maximización, una contribución negativa lo suficientemente alta que obligue a no estar en la solución óptima. En el caso de un problema de minimización, el costo será extremadamente alto, con el mismo objetivo. Dicha línea recibe el nombre de Cj.

4to.- A la izq. de la matriz se escribe una columna con los nombres de las variables básicas en la solución inicial y a su izq. la columna de coeficientes que esas variables tienen en el funcional, es decir, la contribución por unidad a la ganancia.

5to.- Aparecen dos filas más Zj y Cj-Zj. Zj se obtiene sumando los productos de los coeficientes en la columna Ci por los coeficientes de la columna asociada con la variable respectiva. Los Zj correspondientes a las variables indican la pérdida que se produce por cada unidad que se fabrica de cada producto (es el costo unitario de producción). El Zj correspondiente a la columna de los b indica el valor que va


2012 115

tomando el funcional a medida que vamos pasando de un vértice a otro. En un problema de maximización, cuando todos estos coeficientes son no positivos no se puede aumentar el funcional y se llegó a la solución óptima. Por el contrario, en un problema de minimización, se ha llegado a la sol. Óptima cuando todos los valores de la fila Cj - Zj son iguales o menores que cero.

6to.- En un problema de maximización, entra en la base la variable con mayor valor positivo. En uno de minimización, lo hace la variable de mayor valor absoluto positivo, elegido entre los valores negativos.

7mo.- Se divide cada valor de b por el coeficiente de la variable entrante (siempre que sean positivos). Sale la variable a la que le corresponde el cociente menor.

8vo.- El número que se encuentra en la intersección entre la variable que entra y la que sale se denomina pivote.

9no.- Se divide la fila del pivote por el pivote y los valores de la columna se transforman en 0, transformando los restantes valores según el método de Gauss-Jordan ((PD-PCD)/Pivote).

Ejemplo de resolución por el Método Simplex:

Z= 2x + y + 3z (MAXIMIZAR)

Sujeto a:

3x + 2y + z ≤ 10 x + 4 y + 2z ≤ 12

Cj 2 1 3 0 0

Ci BASE x y z S1 S2 Bi

0 S1 3 2 1 1 o 10

0 S2 1 4 2 0 1 12

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj-Zj 2 1 3 0 0


2012 116

Cj 2 1 3 0 0


0 S1 2.5 0 0 1 -0.5 4

3 z 0.5 2 1 0 0.5 6

Zj 1.5 6 3 0 1.5 18

Cj-Zj 0.5 -5 0 0 0

Cj 2 1 3 0 0


2 x 1 0 0 0.4 -0.2 1.6

3 z 0 2 1 -0.2 0.6 5.2

Zj 2 6 3 0.2 1.4 18.8

Cj-Zj 0 -5 0 -0.2 -1.4

Como vemos en la fila Cj – Zj todos los valores son menores o iguales a 0, lo que indica que nos hallamos ante la Solución Óptima, la que se obtiene con la elaboración de 1,6 unidades del producto x y 5,2 unidades del producto z, obteniéndose una utilidad de 18,8. La ausencia de la base en la Solución Óptima de los recursos S1 y S2 establece que los mismos han sido utilizados en su totalidad (están saturados).

Análisis de Post-optimización:

Hallada la solución óptima por medio del Método Simplex, podemos leer en la fila Cj-Zj los valores que indicarán: 1- En las columnas correspondientes a las variables de decisión se observan,

cambiando el sigo, los Costos de Oportunidad de dichas variables, cifra que indicará la cantidad en que se disminuiría nuestra función objetivo máximo si producimos un bien que no nos conviene producir.


2012 117

2- En las columnas correspondientes a los recursos del problema se observan,

también cambiando el signo, la cantidad que nos indica la Contribución Marginal del Recurso , cifra que indica en cuanto se incrementará el funcional si se dispusiera de una unidad adicional de un recurso saturado. Cabe agregar que los recursos que no se hallan saturados tienen Contribución Marginal nula.

3- En las mismas columnas nos indican el Precio Sombra , que es el importe

límite que estaríamos dispuestos a abonar por disponer de una unidad adicional de un recurso saturado (Como puede verse, el valor matemático es coincidente en ambas definiciones).

4- El paso siguiente sería efectuar el Análisis de Sensibilidad de las variables

básicas y no básicas, el que a continuación se explica:

� Análisis de Sensibilidad de una Variable No Básica:

Se efectúa para conocer el valor límite que puede incrementarse la contribución en el funcional de una variable no básica, sin que ésta ingrese a la base. Se parte de la premisa que, para que esto no ocurra, la fila Cj – Zj debe tener un valor menor o igual a 0, ya que en caso de tener valor positivo, corresponde su inclusión en la base, generándose una nueva base. El valor del incremento límite que puede sufrir la variable no básica es coincidente con su Costo de Oportunidad.

Cj 2 1 3 0 0

CI Base X1 X2 X3 S1 S2 Bi

2 X1 1 0 0 0,4 -0,2 1,6 3 X3 0 2 1 -0,2 0,6 5,2

Zj 2 6 3 0,2 1,4 18,8 Cj - Zj 0 -5 0 -0,2 -1,4

Es posible determinar cuán grande puede ser el incremento de la contribución en el funcional de la variable x2 para que la misma continúe siendo no básica de la siguiente forma:

6 – (1 + ∆C2) ≥ 0 ⇒ ∆C2 ≤ 5 ⇒ C2* ≤ 6


2012 118

� Análisis de Sensibilidad de una Variable Básica Se efectúa para conocer el valor límite que puede incrementarse la contribución en el funcional de una variable básica, sin que ésta modifique las variables que se encuentran en la base. Se parte de la premisa que, para que esto no ocurra, la fila Cj - Zj debe tener un valor menor o igual a 0. La respuesta que se hallará no es una sino que es un rango de valores dentro del cual puede moverse la Variable Básica para que la solución siga sin tener modificaciones en su conformación, en cuanto a las variables y/o recursos que la componen.

Cj 2 + ∆∆∆∆c1 1 3 0 0

CI

Base X1 X2 X3 S1 S2 Bi

2 + ∆c1 X1 1 0 0 0,4 -0,2 1,6 3 X3 0 2 1 -0,2 0,6 5,2

Zj 2 + ∆c1 6 3 0,2+0.4∆c1 1,4-0.2∆c1 18,8+1,6∆∆∆∆c1

Cj – Zj 0 -5 0 -0,2-∆c1 -1,4+∆c1

Para que la solución siga siendo óptima debe verificarse que:

0,2 + 0,4 ∆∆∆∆C1 ≥≥≥≥ 0 ⇒⇒⇒⇒ y que 1,4 – 0,2 ∆∆∆∆C1 ≥≥≥≥ 0

⇒⇒⇒⇒ ∆∆∆∆C1 ≥≥≥≥ -0,5 y ∆∆∆∆C1 ≤≤≤≤ 7

⇒⇒⇒⇒ -0,5 ≤≤≤≤ ∆∆∆∆C1 ≤≤≤≤ 7

⇒⇒⇒⇒ 1,5 ≤≤≤≤ C1* ≤≤≤≤ 9

Si C1 varía entre 1,5 y 9, la solución sigue siendo óptima, de lo contrario, cambia. Con este análisis se ha concluido el llamado Análisis de Post – Optimización. El Problema Dual: A cada problema de programación lineal, que denominaremos primal, le corresponde un segundo problema, que denominaremos dual. Cuando el primal es de maximización, el dual es de minimización y viceversa. De esta manera, cuando el primal exige la maximización del beneficio, el dual pide la minimización de los costos.


2012 119

Síntesis de las características del problema dual: a) El dual tiene una variable para cada restricción del primal. b) El dual tiene tantas restricciones como variables tiene el primal. c) El dual de un problema de maximización es un problema de minimización y

viceversa. d) Los coeficientes del funcional del primal son los términos independientes de las

restricciones del dual y los términos independientes de las restricciones del primal son los coeficientes del funcional en el dual.

e) Los coeficientes de las restricciones del primal lo siguen siendo en el dual, pero transpuestos.

f) Las desigualdades tienen sentidos inversos en el primal y en el dual. Teorema fundamental de la dualidad: Si existe un valor óptimo para cada uno de los problemas, dual y primal, el valor que minimiza los costos es coincidente con el que maximiza los beneficios. Ejemplo:

a) Problema primal: Z= 60 S + 80 T (Maximización) Sujeto a : 5 S + 6 T ≤ 15000 10 S + 20 T ≤ 20000 S + T ≤ 1500

b)b)b)b) Problema Dual:

Z’= 15000 a + 20000 b + 1500 c (minimización) Sujeto a: 5 a + 10 b + c ≥ 60 6 a + 20 b + c ≥ 80

Interpretación del Problema Dual En todo problema económico de maximización se desea obtener el máximo nivel de ganancias, sujeta a una cantidad de recursos dados, o bien, minimizar la utilización de dichos recursos sujetos a lograr una ganancia mayor o igual a la de la función objetivo del problema primal. SITUACIONES ESPECIALES: Problema con soluciones óptimas alternativas: A veces la solución óptima del problema no es única. Para saber si nos hallamos ante este tipo de situación, debemos contar los ceros que tenemos en la fila Cj-Zj.


2012 120

En la mencionada fila, debemos tener tantos ceros como variables básicas. Cuando existen más ceros que la cantidad de variables básicas del problema, la solución óptima no es única, ya que tenemos otra u otras soluciones en donde obtenemos el mismo funcional óptimo. Ejemplo de la situación especial:

Z= 200 x + 400 y (MAX) Sujeto a: 2 x + 4 y ≤ 1000

6 x + 4 y ≤ 2000 2 x + 4 y ≤ 800

Ausencia de solución factible: Nos hallamos en esta situación cuando una variable artificial se encuentra en la base, pero todos los valores de la fila Cj – Zj son menores o iguales a 0, lo que establece que hemos arribado a la solución óptima. Ejemplo de la situación especial:

Z= 10 x + 20 y (MAX) Sujeto a: x + y ≤ 5

x + y ≥ 20 Soluciones no acotadas o solución infinita: En la fila Cj – Zj existen valores positivos, o sea, debe ingresar a la base una variable, pero no hay cocientes positivos que deban abandonar la base.


2012 121

Ejercicios – PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Dados los siguientes problemas de Programación Lineal, encontrar la solución óptima utilizando el método gráfico:

a) MAXIMIZAR: Z= 4 x + 5 y Sujeto a: 2x + 3y ≤ 120

2x +1,5y ≤ 80

(x= 20 y= 26.6667 Z= 213.33) b) MAXIMIZAR: Z= 3 x + 2 y Sujeto a: x ≤ 10

y ≤ 10 x + y ≤ 16

(x= 10, y= 6 s2=4, Z= 42) c) MAXIMIZAR: Z= 3 x + y Sujeto a: 6x + 4y ≤ 48

3x +6y ≤ 42

(x= 8 , y= 0 , S2= 18 , Z= 24) d) MAXIMIZAR: Z= 2 x + 2 y Sujeto a: 3x + 2y ≤ 24

4x + 7y ≤ 56

-5x + 6y ≤ 30

(x= 4.31 y= 5.54 S3= 18.31 Z= 19.69) e) MINIMIZAR: Z= 50 x + 20 y Sujeto a: 2x - y ≥ 0

x + 4y ≥ 80

0.9x + 0.8y ≥ 40 (y= 50; s1= 50; S2= 120; Z= 1000) f) MAXIMIZAR: Z= x + y Sujeto a: 2x + 4y ≤ 12

3x + 2y ≤ 12

(x= 3; y=1.5; Z= 4.5) g) MAXIMIZAR: Z= 20x + 22y Sujeto a: 8x + 6y ≤ 48

6x + 8y ≤ 48

7x + 7y = 42

(x= 0; y= 6; S1=12; Z= 132) h) MAXIMIZAR: Z= 3x + 2y Sujeto a: 3x + 5y ≤ 45

6x + 4y ≤ 48

(x= 8; y= 0 Z= 24 S1= 21)


2012 122

i) MAXIMIZAR: Z= 8x + 10y Sujeto a: 4x + 6y ≤ 240

4x + 3y ≤ 160

x + y ≤ 120

(x=20; y=26,67 Z=426,67 ; S3= 73,33) j) MAXIMIZAR: Z= 10x + 5y Sujeto a: 4x + 2y ≤ 16

3x +3y ≥ 18

y ≥ 3

(x= 2;y=1 Z= 40 ; S3=4) k) MAXIMIZAR: Z= 2x + 4y Sujeto a: -2x + 2y ≤ 4

2x + y ≥ 8

Solución infinita l) MAXIMIZAR: Z= 2x + y + 3z (Ejemplo 3 variables / A. Sensibilidad) Sujeto a: 3x + 2y + z ≤ 10 x + 4y + 2z ≤ 12 (x=1,6 ; y= 5,2 ; Z= 18,8) 2. Añada variables de holgura, variables de excedencia y variables artificiales, según

corresponda y replantee la función objetivo. a) MAXIMIZAR: Z= x + 5y Sujeto a: 2x + 3y ≤ 120

2x +1.5y ≤ 80

(Z= x+5y+0S1+0S2 (MAX) 1°rest V.H. 2°rest V.H.) b) MAXIMIZAR: Z= 2x + 2y Sujeto a: 3x + 2y ≤ 24

4x +7y ≤ 56

-5x +6y ≤ 30

(Z=2x+2y+0S1+0S2+0S3 (MAX) 1°,2° y 3° rest V.H.) c) MAXIMIZAR: Z= 10x + 5y Sujeto a: 4x + 2y ≤ 16

3x +3y ≥ 18

y ≥ 3

(Z=10x+5y+0S1+0S2-MA1+0S3-MA2)


2012 123

3. Resolver los siguientes problemas por el Método Simplex: El gerente de mercadotecnia de una compañía que vende productos alimenticios dietéticos está considerando la promoción de un nuevo producto. El presupuesto de publicidad de la compañía incluye $ 60.000 para este fin. La compañía puede caber publicidad al nuevo producto a través de comerciales en televisión y/o anuncios en revistas. Cada comercial de televisión cuesta $ 8000, pero se ha estimado que esos comerciales los ven 50.000 personas. Cada anuncio de revista cuesta $ 4500. Se estima que 25.000 personas ven esos anuncios. Debido a que la compañía controladora de la empresa que vende alimentos dietéticos también tiene inversiones en diversas imprentas, los administradores de primer nivel han dado instrucciones al gerente de mercadotecnia de que coloque cuando menos tres anuncios en revistas. El gerente de mercadotecnia ha decidido que la compañía debería tener cuando menos tantos comerciales de televisión como anuncios de revistas. Para auxiliarse en su proceso de toma de decisiones el gerente de mercadotecnia ha planteado el problema como sigue: MAXIMIZAR:

45008000

34500

y

60000y x : a Sujeto

250004500

500008000

yx

yxZ

≥

≥

≤+

+

=

en donde x = dólares que se gastarán en comerciales de televisión. y = dólares que se gastarán en anuncios en revistas. Se pide:

a) Explique la estructura de la función objetivo. b) Que representa la restricción x + y ≤ 60000? c) Que representa el término x/8000 en la función objetivo?

Explique la estructura de la restricción x/8000 ≤ y/4500.


2012 124

4. La Smith Motors vende automóviles normales y vagonetas. La compañía obtiene $300

de utilidad sobre cada automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 300 automóviles ni más de 200 vagonetas por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores es de 2 horas por cada automóvil y 3 horas para cada vagoneta. La compañía cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la prelación de automóviles nuevos. Plantee un problema de PL para determinar cuántos automóviles y cuántas vagonetas deben ordenarse para maximizar las utilidades.

Resp: Z= 130.000; x (Automotores)= 300, y (Vagonetas)= 100 S2= 100

Z= 300 x + 400 y (MAX) Sujeto a : 2 x + 3 y ≤ 900

x ≤ 300 y ≤ 200

5. La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad, se han designado con nombres en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libra de producto final se muestran en la siguiente tabla:

Ingrediente Producto Alpha Baker Charlie

Mad 4 7 8 Mud 3 9 7 Mod 2 2 12

La empresa cuenta respectivamente con 400. 800 y 1000 libras de los ingredientes Alpha, Baker y Charlie. Bajo las condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las utilidades para lo productos son $18 para Mad, $10 para Mud y $12 para Mod. Plantee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última moda que deben fabricarse. (Rta.: x (Mad)= 87,50; z (Mod)= 25; Z= 1875; S2= 137.5) Planteo:

Z= 18 Mad + 10 Mud + 12 Mod (MAX) Sujeto a: 4 Mad + 3 Mud + 2 Mod ≤ 400

7 Mad + 9 Mud + 2 Mod ≤ 800 8 Mad + 7 Mud + 12 Mod ≤ 1000

6. La Clear-Tube-Company fabrica partes electrónicas para aparatos de televisión y

radio. La compañía ha decidido fabricar y vender radios de AM/FM y tocacintas. Ha construido una planta que puede operar 48 horas semanales con gastos fijos de $10.000 por semana. La producción de una radio AM/FM requiere 2 horas de mano de obra y la producción de un tocacintas requiere 3 horas de mano de obra. Cada radio contribuye con $ 20 a las utilidades y cada tocacintas con $25. El Departamento de Mercadotecnia de la Clear-Tube ha determinado que lo máximo que puede venderse por semana son 150 radios y 100 tocacintas. Plantee un


2012 125

problema de PL para determinar la mezcla óptima de producción que maximice la contribución a las utilidades.

(Rta.: x (Radios AM/FM)= 24; y (Tocacintas)= 0; Z= 480; S2= 126; S3= 100) Z= 20 x + 25 y (MAX)

Sujeto a: 2 x + 3 y ≤ 48 x ≤ 150 y ≤ 100

7. La Ware Faros del Valle Schoharie cultiva Brócoli y coliflor en 500 hectáreas de

terreno en el valle. Una hectárea de brócoli produce $ 500 de contribución a las utilidades y la contribución de una hectárea de coliflor es de $ 1.000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 hectáreas de brócoli. Durante la temporada de plantación habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada hectárea de brócoli requiere 2,5 horas-hombre, mientras que cada hectárea de coliflor requiere 5,5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuantas hectáreas de brócoli y cuantas de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades.

(Rta.: x (Brócoli)= 200; y (Coliflor)= 127,27 ; Z= 227.272,72) 8. La Prince Company fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B y C: La

raqueta A es “standard”, B y C son raquetas “profesionales”. El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la raqueta A requiere 2 horas de tiempo de producción; la raqueta B requiere 4 horas y la C, 5. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadotecnia de Prince ha proyectado que la demanda de la raqueta Standard no será de más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o más, pero no más de 30 raquetas por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8 y $8,50, respectivamente. ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un modelo Standard de PL.

(Rta.: Z= 140 ; A= 1.11 ; C= 15.56 ; S3= 23.89 ; S4= 14.44) Z= 7 A + 8 B + 8.5 C (MAX)

Sujeto a: 3 A + 3 B + 3 C ≤ 50 2 A + 4 B + 5 C ≤ 80

A ≤ 25 B + C ≤ 30

9. La Compañía Di Palma fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en

los motores de automóviles de carreras. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de ciertos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. El mineral tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra de mineral tipo 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado por libra. El mineral


2012 126

tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado por libra. Por último, el mineral de tipo 4 contiene 1/2 onzas de plomo, 1 de cobre y 8 de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la Di Palma le gustaría mezclar los minerales de manera que satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricación. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado problema de PL.

(Rta.: x= 6 ; y= 8 ; S2=12 Z= 360) Planteo: Z= 20 x + 30 y + 60 z + 50 w (min)

Sujeto a: 4x + 2y + z + 1/2w ≥ 40 2x + 6y + 4z + 1w ≥ 48 2x + 6y + 4z + 8w ≥ 60

10. El Señor Addams es el Superintendente de manufactura para la Cyclkone Block and

Brick Company. La compañía fabrica tabicón y ladrillo, la empresa obtiene un margen de utilidad de $3,25 y $6 por cada 100 ladrillos y 100 tabicones, respectivamente. En estos momentos el Señor Addams no tiene compromisos por pedidos de clientes de ladrillos o tabicón. No existe inventario para ninguno de estos dos productos. La producción de ladrillo y tabicón requiere de un proceso de dos etapas. Primero se los moldea y luego se les hornea. En el proceso se moldeado se requieren 4 horas de tiempo para fabricar 100 ladrillos y 8 horas para fabricar 100 tabicones. El proceso de horneado no difiere para ninguno de los dos productos; se requieren 8 horas por cada 100 piezas de cada uno. Existen disponibles un máximo de 80 horas de tiempo de moldeado y el máximo tiempo disponible para el proceso de horneado es de 120 horas por semana. La compañía le ha asegurado al Señor Adams que es posible vender todas las piezas de ladrillo y tabicón que se puedan fabricar, porque la industria de la construcción se encuentra en un período de apogeo. Plantee un modelo de PL que le permita al Sr. Addams maximizar la contribución a las utilidades. Interprete todas las variables de holgura del problema.

(Rta.: 1000 Ladrillos, 500 tabicones; Z= 62,50)

11. La Watts Manufacturing Company fabrica y vende radios de AM y de AM/FM. La producción de una radio de AM requiere 4 horas, en tanto que la fabricación de un radio AM/FM requiere 6 horas. En la planta existe un total disponible de 96 horas-hombre semanales para la producción. Los administradores de la empresa han determinado que lo máximo que se puede vender a la semana son 30 radios AM y 20 AM/FM. La contribución a las utilidades por cada radio AM que se vende es $6, y cada radio AM/FM contribuye con $12 a las utilidades. ¿Qué cantidad de cada tipo de radio debe fabricar la compañía cada semana para maximizar sus utilidades?

(Rta. 16 AM/FM. Z= 192; S1:= 30; S2= 4

12. Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta. La compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga: carga frágil y carga normal. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo, para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada, mientras que la carga normal puede llevarse en una cabina principal no presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar más de 10 toneladas de carga. El avión tiene una restricción de peso que le impide llevar más de 28 toneladas de carga. Para mantener el equilibrio de peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que dos


2012 127

tercios de la cabina principal, mas una tonelada. La compañía recibe $ 1.000 por tonelada de cualquiera de los dos tipos de carga que transporta. (Rta. x (C.Normal)= 20 Ton, y (C.Frágil)= 5 Ton; Z= 25.000 S3= 5; S4= 3; S5= 17,33) 13. Arme la Tabla inicial para el método simplex del siguiente problema, indicando que

variable ingresaría a la base y que variable la abandonaría. Z= 18 x + 22 y +14 z (minimizar) Sujeto a: 4 x + 2 y + 2 z ≥ 100

5 x + 3 y + 6 z ≥ 153

Entra x1 y Sale A1 (Rta.: x1= 21 ; x3= 8 ; Z= 490) 14. Arme la Tabla inicial para el método simplex del siguiente problema, indicando que

variable ingresaría a la base y que variable la abandonaría. Z= 12 x + 8 y +10 z (Maximizar)

Sujeto a: 6 x + 3 y + 3 z ≤60

2 x + 2 y + 2 z ≤ 20 4 x + 6 y + 2 z ≥ 120 Entra x2 y Sale S2

15. Arme la Tabla inicial para el método simplex del siguiente problema, indicando que variable ingresaría a la base y que variable la abandonaría. Z= 8 x + 24 y (minimizar)

Sujeto a: 30 x + 88 y ≤ 1320

-8 x + 16 y ≤ -64 18 x + 30 y = 540 Entra x2 y Sale S2 16. Arme la Tabla inicial para el método simplex del siguiente problema, indicando que

variable ingresaría a la base y que variable la abandonaría. Z= 10 x + 15y (Maximizar)

Sujeto a: 10 x + 8 y ≤ 40

22 x = -64 -8 x + 10 y ≥ 20 Entra x1 y Sale A1 17. Suponga que un modelo de programación lineal tiene diez variables de decisión

(denotados x), 5 restricciones del tipo menor o igual que (≤ ), 15 restricciones de mayor o igual (≥ ) y 5 restricciones de igualdad (=). Se desea saber lo siguiente: ¿Cuántas variables totales existen cuando el problema se estructura en forma de “ecuaciones” (es decir, después de añadir variables de holgura, de excedencia y artificiales)?

18. La Beta Manufacturing Company fabrica tres productos: A, B y C. Los analistas financieros de la compañía han informado a los administradores que se deben recuperar $2000 de costos fijos asociados con inversiones de capital y gastos generales para que la compañía alcance el punto de equilibrio. Los administradores de la Beta desearían determinar la cantidad de cada uno de los productos que se deben fabricar para que, cuando la empresa llegue al punto de equilibrio, la suma de los costos de producción sea mínima. Los precios de venta de los tres productos son $12, $10 y $6, respectivamente. Los costos variables asociados con los productos


2012 128

son: $10, $8,50 y $5. Los pedidos atrasados que se tienen para los tres productos son: A=300 unidades, B=250 unidades y C= 1000 unidades. Deben surtirse todos los pedidos atrasados antes de surtir pedidos nuevos.

19. La Specialty Fedd Company ha recibido un pedido de un alimento con alto contenido

preteínico. El pedido es de 100 libras del alimento. La Speciality ha observado que, sujeto a ciertas restricciones, el pedido del cliente puede surtirse utilizando tres alimentos base disponibles. El producto final debe contener cuando menos 60 libras del alimento A y no más de 50 libras de los alimentos B y C combinados. En estos momentos existen 80 libras del alimento A, 40 libras del alimento B y 40 del C disponibles en el almacén. El alimento A cuesta a la Speciality $ 1,50 por libra, el B $1,20 por libra y el C $1,00. El objetivo de la Speciality Feed Company es minimizar el costo del alimento.

20. Considere el siguiente problema de PL. Encuentre la solución óptima. Z= 2x + 2y (Maximizar)

Sujeto a: 2x + 4y ≤ 8 3x + 4y ≤ 12 21. Para el siguiente problema de PL, hallar la solución óptima.

Z= 3x+4y+10z (Maximizar) Sujeto a: x + y + z ≤ 10

5x + 3y ≤ 15 22. Suponga que se ha planteado el siguiente problema de PL.

Z= x + 2y + 3z + 4w (Maximizar) Sujeto a: x + 2y + z + 2w ≤ 12 y ≤ 6 w ≤ 4

23. Un frigorífico se dedica a la cría de salmones y de truchas, las que necesitan de un alimento que demanda mano de obra y materia prima para realizarlo. Además tiene una determinada Capacidad de producción, valores indicados por la siguiente tabla. También se indican en la tabla los beneficios que aportan tanto los salmones como las truchas. Se desea saber cual es la combinación de salmones y truchas que maximiza el beneficio.

SALMONES TRUCHAS Disp.

Mano de Obra 5 6 15.000 Materia Prima 10 20 20.000 Cap Producción 1.500 Beneficios 60 80 (Z = $100.000 (1000 Salmones y 500 Truchas) S1= 7000)


2012 129

24. La Agro Tech es una fábrica de fertilizantes. Los dos fertilizantes que fabrica son las

mezclas denominadas 5-5-10 y 5-10-5. En cada caso el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato químico, el segundo valor se refiere al porcentaje del fosfato y el tercer valor da el porcentaje de potasio. El fertilizante se estabiliza con un material de relleno como podría ser barro. Por ejemplo, el fertilizante 5-5-10 está compuesto por 5% de nitrato, 5% de fosfato, 10% de potasio y el 80% restante de barro. El mayorista comprará toda la cantidad de fertilizante que la Agro Tech pueda fabricar. Está dispuesto a pagar $ 71,5 por tonelada del 5-5-10 y $ 69 por tonelada del 5-10-5. Las disponibilidades y costos de materias primas son: 1100 toneladas de nitrato a $200 por tonelada, 1800 toneladas de fosfato a $80 por ton y 2000 toneladas de potasio a $160 por ton. El relleno está disponibles en cantidades ilimitadas al precio de $10 la ton, pero para los otros tres ingredientes sólo se dispone de las cantidades mencionadas antes. No hay restricciones para el uso de la mano de obra ni tampoco para el empleo de maquinaria durante el mes, pero se tiene un costo de $15 por tonelada por concepto de mezclado de los fertilizantes.

La pregunta que ustedes deben responder es: ¿Cómo utilizar los escasos recursos de que dispone Agro Tech de manera que se obtengan las mayores utilidades para la compañía? Z= 18,5 x + 20 y (MAX)

Sujeto a: 0,05 x + 0,05 y ≤ 1100 0,05 x + 0,10 y ≤ 1800 0,10 x + 0,05 y ≤ 2000

(Rta.: A= 8.000 B= 14.000 S3= 3.000; Z= 428.000)

24- Un fabricante produce bicicletas y motos, las cuales se procesan a través de dos centrales de producción mecánica. La primera tiene un máximo de 120 horas disponibles y la segunda tiene un máximo de 180 horas disponibles. La manufactura de una bicicleta requiere 6 horas de la central 1 y 3 horas de la central 2; la fabricación de una moto requiere de 4 horas en la central 1 y 10 horas en la central 2. Si la ganancia por bicicleta es de u$s 45 y por cada moto es de u$s 55, determinar el número de bicicletas y de motos que se deben fabricar para obtener la máxima ganancia.

(Rta.: 10 Bicicletas y 15 Motos ; Z= 1275 )

25. Dos alimentos X e Y contienen vitaminas A, B y C en las cantidades que se indican en la matriz. También en la matriz figura la cantidad mínima que necesita una persona de cada vitamina para seguir una dieta equilibrada y el precio unitario de cada alimento. Debemos determinar que cantidad de cada alimento debe tener la dieta de tal manera que el costo de seguir la dieta sea el mínimo posible.

Alimentos

Vitaminas X Y Cant. Mínima

A 3 1 12 B 4 5 38 C 2 7 28

Precio por unidad 3 2 (Rta.: x1= 2 ; x2: 6 ; S3= 18 ; Z= 18)


2012 130

26. Z= 2 x1 + x2 + 3 x3 (Maximizar) Sujeto a: 3 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10 x1 + 4 x2 + 2 x3 ≤ 12 (Rta.: x1= 1,60; x3= 5,20; Z= 18,80)

27. Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $ 300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $ 100. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. (Rta.: Auditorías: 12 Liquidaciones: 40; S3= 20 ; Z=7600) 28- Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por kilo. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por kilo. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada kilo de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?

29- Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico.

Los estudios de mercado han mostrado que:

a. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.

b. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.

La publicidad en periódico tiene un costo de $ 500. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de $ 2000. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.


2012 131

30- Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos juguetes, muñecas y soldados, con base en la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue;

Máquina A Máquina B Máquina C Muñecas 2 hs 1h 1h Soldados 1h 1 h 3hs

Las horas disponibles empleadas por semana son: para operación de la máquina A, 70 horas; para la B, 40 horas; para acabado, 90 horas. Si las utilidades en cada muñeca y cada soldado son $ 4.- y $ 6.- respectivamente, cuántos juguetes de cada uno debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar la utilidad?. Cuál es esta utilidad máxima? (Rta. S1= 15; x1= 15; x2= 25; Z= 210)

31- Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Old Smokey y Blaze Away. Para su producción, las parrillas requieren del uso de dos máquinas, A y B. El número de horas necesarias para ambas está indicado en la tabla siguiente:

Máquina A Máquina B Old Smokey 2 hs 4 hs Blaze Away 4 hs 2 hs

Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos de $ 4.- y $ 6.- respectivamente, cuántas parrillas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima. Cuál es la utilidad máxima? (Rta.: x2= 4; x1= 4; Z= 40)

32- Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $ 1,20 por unidad y el B $ 0,80 por unidad, cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo?

(Rta.: x2= 4; x1= 4; Z= 8)

33-Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes A, B y C: Los requerimientos mínimos semanales de estos son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas de fertilizantes de gran aceptación en el mercado. La mezcla I cuesta $ 8.- por bolsa, y contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $ 10.- por bolsa con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?

34- Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

Z= 6 A + 5 B (MAX)


2012 132

Sujeto a: 3 A + 2 B ≤ 120 3 A + 4 B ≤ 180

Solución: Se deben vender 20 paquetes de A y 30 paquetes de B con un Z= 270,00 euros. 35- Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es:

� dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B

� dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿Cuál es la distribución óptima para el menor costo?

Z = 2,5 D1 + 1,45 D2 (min) Sujeto a: 2 D1 + 1 D2 ≥ 70

3 D1 + 2 D2 ≥ 120

Solución: Debe consumir 20 dietas “D1” y 30 dietas “D2” generándole un costo mínimo de 93,50 . 36- En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita un cuarto de relleno y un Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una torta Real necesita medio Kg. de relleno y un Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Z = 250 V + 400 R (MAX) Sujeto a:

0,25 V + 0,50 R ≤ 50 1 V + 1 R ≤ 150 V ≤ 125 R ≤ 125

Solución: Se deben vender 100 tortas Vienesas y 50 tortas Reales al día para obtener un beneficio máximo de 45.000,00 pesetas. 37- Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?

Z = 2.000 MA + 2.000 MB (min)


2012 133

Sujeto a:

1 MA + 2 MB ≥ 80 3 MA + 2 MB ≥ 160

5 MA + 2 MB ≥ 200 Solución: Se deben trabajar 40 días en la Mina “A” y 20 días en la Mina “B” para que el costo sea mínimo (120.000,00 euros). 38- Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este? Z = 40 A + 20 B (MAX) Sujetos a:

4A + 3B ≤ 48 3A + 5B ≤ 60 A ≤ 9

Solución: Se deben cultivar 6 has. con olivos del tipo “A” y 6,67 del tipo “B” generando una producción máxima de 5.000 litros de aceite. 39- Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Z = 0,10 A + 0,08 B Sujeto a:

A + B ≤ 210.000 A ≤ 130.000 B ≥ 60.000 A – 2B ≤ 0

Solución: Se deben invertir 130.000,00 euros en acciones del tipo “A” y 80.000,00 en las del tipo “B” y esto generará 19.400,00 euros de interés máximo anual. 40- Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cuál es este? Z = 250 E + 200 M (MAX) Sujetos a:

– E + M ≥ 0


2012 134

– 2E + M ≤ 0 E ≤ 30 M ≤ 20

Solución: Deben elegirse 20 electricistas y 20 mecánicos para obtener un beneficio máximo de 9.000,00 euros. 41- Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón requiere 1 m de algodón y 2 m de poliéster, cada chaqueta requiere 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? Z = 50 P + 40 C Sujeto a:

1 P + 1,5 C ≤ 750 2 P + 1 C ≤ 1.000

Solución: Se le deberán suministrar 375 pantalones y 250 chaquetas para conseguir una venta máxima de 28.750,00 euros. 42- Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3.000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4.000 m3 de otro que no la necesita. El costo por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? Z = 30 A + 40 B (min) Sujeto a:

20 A + 30 B ≥ 3.000 40 A + 30 B ≥ 4.000

Solución: Se utilizaran 51 camiones del tipo “A” y 66 del tipo “B” generando un costo mínimo de 4.170,00 euros por kilómetro. 43- Una escuela prepara una excursión para 320 alumnos. La empresa de transporte tiene 10 autobuses de 20 plazas y 8 de 42 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autobús grande cuesta 900 € y el de uno pequeño 400 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

Z = 900 G + 400 P (min)

Sujeto a: 42 G + 20 P ≥ 320

P ≤ 10 ; G ≤ 8 1 G + 1 P ≤ 9


2012 135

Solución: Se deberán utilizar 7 autobuses grandes y 2 autobuses pequeños generando un gasto mínimo de 7.100,00 euros. 44- Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B, 1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo. Z = 1.500 A + 1.000 B Sujeto a:

10 A + 15 B ≤ 195 2 A + 1 B ≤ 20 1 A + 1 B ≤ 14

Solución: El beneficio máximo asciende a 17.000,00 euros y se obtiene fabricando 600 metros (6 rollos de 100 metros) de cable de tipo A y 800 metros (8 rollos de 100 metros) de tipo B.


2012 136

Bibliografía: Rojo, Armando: Álgebra I y Álgebra II . El Ateneo, Buenos Aires, 1995 Font de Malugani, Elba – Lazzari, Luisa L. – Montero, Beatriz – Thompson, Silvia E. – Fraquelli, Adriana – Loiácono, Teresa – Mouliá, Patricia – Wartenberg, Rolando – Coordinadora: Casparri, María Teresa: Álgebra con Aplicaciones a las Ciencias Económicas. Ediciones Macchi, Buenos Aires, 1999 Budnik, Franks: Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales , McGraw-Hill, México, 1990 De Burgos, Juan: Álgebra lineal , McGraw-Hill, Madrid, 1996. Anderson, David R. y otros: Introducción a los modelos cuantitativos para administración , Editorial Iberoamericana, México, 1993. Grossman, Stanley: Álgebra lineal , quinta edición, McGraw-Hill, México, 1997 Lipschutz, Seymour: Álgebra lineal , McGraw-Hill, Madrid, 1996. García Venturini, Alejandro E. – Kicillof, Axel: Álgebra para estudiantes de Ciencias Económicas , Ediciones Corporativas, 2000. Chiang, Alpha C.: Métodos Fundamentales de Economía Matemática (Terce ra Edición) , Madrid, 1997 Font de Malugani, Elba – Montero de Diharce, Beatriz – Thompson, Silvia – Lázzari, Luisa L.: Álgebra - Guía de Trabajos Prácticos (Código 300) , Centro de Estudiantes de Ciencias Económicas, Buenos Aires, 1992 Lay, David C.: Álgebra Lineal y sus aplicaciones, Pearson Educación, Méjico, 2007. Fissore, María Luisa – Simón, Silvia – Carnero, Mercedes – Hernández José Luis: Álgebra Lineal , Editorial de la Fundación Universidad Nacional de Río Cuarto, 2007. Albornoz Salazar, José Luis: Ejercicios Resueltos de Programación Lineal , 2010

libro de algebra

Documents