PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKAFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010

LIMIT

FITRI UTAMININGRUM, ST, MT

DAFTAR SLIDE

DEFINISI LIMIT

TEOREMA LIMIT

LIMIT FUNGSI

22

LIMIT TAK HINGGA

TUJUAN

33

Mahasiswa diharapkan mampu :• Memahami definisi limit• Mengetahui teorema-teorema limit• Menyelesaikan contoh-contoh soal yang

diberikan

Apakah Tujuan Pertemuan ini ?

DEFINISI LIMIT

44

Perhatikan fungsi di bawah ini :Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x+2. Jika x mendekati 1 maka nilai-nilai f(x) dapat dilihat pada tabel berikut :

Dari tabel di atas terlihat bahwa jika x mendekati 1, tetapi x kurang dari 1, maka nilai f(x) mendekati 3. demikian juga apabila x mendekati 1, tetapi x lebih besar dari 1, maka f(x) juga mendekati 3.

DEFINISI LIMIT

55

Jika nilai-nilai x dan f(x) pada tabel di atas digambarkan sebagai titik pada sistem koordinat kemudian dihubungkan, maka akan diperoleh gambar di bawah ini :

DEFINISI LIMIT

66

Misalkan terdapat suatu fungsi y=f(x) dimana a dan L merupakan bilangan riil sedemikian hingga: Bila x dekat denga n a tetapi tidak sama

dengan a (xa), f(x) dekat ke L Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) akan

mendekati L Misalkan f(x) dapat dibuat sedekat mungkin

ke L dengan membuat x cukup dekat dengan a tetapi tidak sama dengan a (xa)

Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) apabila x mendekati a adalah L

DEFINISI LIMIT

77

Pengertian limit secara intuisi :

Berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c maka f(x) dekat ke L.

Lxfcx

)(lim

32lim1

xx

LIMIT – LIMIT SEPIHAK

88

Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)

Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)

jika dan hanya jika

Lxfax

)(lim

Lxfax

)(lim

)(lim)(lim xfLxfaxax

Lxfax

)(lim

LIMIT-LIMIT SEPIHAK

99

Contoh :f(x) = x + 2

3)(lim1

xfx

3)(lim1

xfx

3)(lim1

xfx

LIMIT-LIMIT SEPIHAK

1010

Contoh :Diketahui f(x) =

10

f(x)limx

-1f(x)limx

0 adatidakxf

x

)(lim

0

TEOREMA 1

1111

Contoh :

55lim1

x

1lim1

x

x

TEOREMA 2

1212

)()(lim cfxfcx

211)1(lim 22

1

x

x

Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka

asalkan dalam kasus rasional nilai penyebutnya tidak nol di c.Contoh :c

2121)12(lim 22

1

xx

x

7534543

)()x(limx

TEOREMA 3

1313

CONTOH SOAL

1414

)25x32x

( lim (c)

1)(2x7x lim (b)

6)7x(2x lim (a)

1 x

1 x

2

2 x

Gunakan teorema 2 untuk menyelesaikan persoalan berikut :

CONTOH SOAL

1515

LATIHAN SOAL

1616

9

lim (c)

)23( lim (b)

)2( lim (a)

2

4

2

4

4

3

x

x

xx

x

x

x

x

Gunakan teorema 2 untuk menyelesaikan persoalan berikut :

LIMIT FUNGSI

1717

LIMIT FUNGSI

1818

Apabila hasil substitusi langsung merupakan bentuk tak tentu dapat dilakukan dengan memfaktorkannya.

Contoh Soal :Berapa hasil nilai limit berikut?

0

0

1x22x

lim 2

1x

4x2)3x(x

lim2

2

2x

JAWAB CONTOH SOAL LIMIT

4)11(2)1(2 lim)1(

)1)(1(2 lim

1

)1(2 lim

1

)1(2 lim

1

22 lim

11

2

1

2

1

2

1

xx

xxx

x

x

x

x

x

xx

xxx

JAWAB CONTOH SOAL

2020

41

2)(x1)(x

lim4x

2)3x(x lim

2)(x1)(x

2)2)(x(x1)2)(x(x

4x2)3x(x

4x2)3x(x

lim

2x2

2

2x

2

2

2

2

2x

LATIHAN SOAL

2121

2

8 lim (4)

3

352 lim (3)

1

1 lim (2)

3

6 lim (1)

3

2

2

3

3

1

2

3

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

LIMIT FUNGSI

2222

Cara kedua yang dapat dilakukan apabila hasil substitusi berbentuk adalah mengalikan fungsi tersebut dengan sekawan pembilang atau penyebut baru kemudian disubstitusi kan lagi.

Contoh Soal :

0

0

4x13x

lim 4x

JAWAB

21

134

1

1)3x(

1 lim

1)3x4)((x

4)(x lim

1)3x4)((x

13)(x lim

13x

13x4x

13x lim

4x13x

lim

4x

4x4x

4x4x

CONTOH SOAL

152xxx144x

lim 25x

CONTOH SOAL

2525

24

1

68

2

)51445)(35(

2

)144)(3(

2 lim

)144)(3)(5(

)5(2 lim

)144)(3)(5(

102 lim

)144)(3)(5(

)14()4( lim

)144)(3)(5(

)14()4( lim

)144(

)144(

152

)144( lim

152

144 lim

5

55

5

22

5

25

25

xxx

xxxx

x

xxxx

x

xxxx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

xx

x

x

LIMIT TAK HINGGA

2626

Limit tak berhingga adalh konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c.

Konsep kedua adalah tentang limit fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x ∞) atau peubah x yang mengecil tanpa batas (x-∞) yang dikenal sebagai limit di tak hingga.

LIMIT TAK HINGGA

2727

Perhatikan limit berikut :

Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada tabel di bawah ini :

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai menjadi semakin besar.

20

1lim

xx

2

1)(

xxf

x f(x) x f(x)

1 1 −1 1

0,5 4 −0,5 4

0,01 10.000 −0,01 10.000

0,0001 100.000.000 −0,0001 100.000.000

0,000005 40.000.000.000 −0,000005 40.000.000.000

2

1)(

xxf

LIMIT TAK HINGGA

2828

Grafik fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah ini :

nilai akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan.

2

1)(

xxf

2

1)(

xxf

LIMIT TAK HINGGA

2929

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) dimana x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

)(lim0

xfx

Definisi

(i). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c, maka f(x)

menjadi besar tak terbatas arah positif.

(ii). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c, maka f(x)

menjadi besar tak terbatas arah negatif.

)(lim xfcx

)(lim xfcx

LIMIT TAK HINGGA

3030

Contoh :

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan -1, maka nilai menjadi semakin besar.Jadi

1

1lim

1 xx

1

1)(

x

xf

X f(x) X f(x-)

-0,9 10 −1,1 10

-0,99 100 −1,01 100

-0,999 1.000 −1,001 1.000

-0,9999 10.000 −1,0001 10.000

-0,99999 100.000 −1,00001 100.000

1

1)(

x

xf

1

1lim

1 xx

LIMIT TAK HINGGA

3131

LIMIT TAK HINGGA

3232

Tabel di bawah ini memperlihatkan nilai untuk berbagai nilai x. Dari tabel terlihat semakin besar nilai x (arah positif), nilai f(x) semakin kecil mendekati nol. Sedangkan apabila nilai x semakin besar (arah negatif) maka f(x) juga akan mendekati nol .

dalam hal ini dikatakan :

xxf

1)(

x x

10 0,1 −1 −1

1.000.000 0,000001 −1.000.000 −0,000001

5.000.000 0,0000002 −5.000.000 −0,0000002

100.000.000 0,00000001 −100.000.000 −0,00000001

xxf

1)(

xxf

1)(

01

lim xx

01

lim xx

LIMIT TAK HINGGA

3333

/74x2x32xx

lim: Hitunglah 2

2

x21

Contoh Soal :

LIMIT TAK HINGGA

3434

Karena hasil limit berupa maka dapat diselesaikan dengan : Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut.

CONTOH

74x2x32xx

lim2

2

x

JAWAB LATIHAN SOAL

21

002001

x7

x4

2

x3

x2

1 lim

x74x2x

x32xx

lim

xdibagi74x2x32xx

lim

2

2

x

2

2

2

2

x

2

2

2

x

CONTOH SOAL

3636

107x2xx67xx

lim: Hitunglah 35

3

x

JAWAB LIMIT TAK HINGGA

CONTOH SOAL

3838

107x2xx67x2xx

lim: Hitunglah 35

36

x

JAWAB LIMIT TAK HINGGA

LATIHAN SOAL

4040

Hitunglah :

12

3 lim )3(

1323

247 lim )2(

32

12 lim )1(

2

25

5

3

23

xx

xxxx

xx

xx

xx

x

x

x