LMITE DE UNA FUNCINDada la funcin:

Cul es el valor de f(x) cuando x se acerca a cero desde los valores superiores a cero?Este fenmeno es un lmite lateral.

El lmite de una funcin existe solo si los limites laterales son idnticos , es decir:Si:

Cul es el argumento del cociente de diferencias? Este cociente depende de dos argumentos que x0 y x es decir es como la funcin F(x0 , x). Para que x0 pueda ser cualquier valor del dominio. la eleccin de x0 es un valor real del dominio de la funcin por cociente de la diferencias puede expresarse como sigue: de qu depende el cociente de diferencias?X0 = x; es decir h(x0 ; x).Ejemplo 1Si x0 =5 x=8 entonces el cociente de diferencias para y=f(x)-5+2x+x2 ser:

Ejemplo 2Dada la forma reducida del precio y considerando k0=140 yk=70 hallar el cociente de diferencias

Otra forma:

Entonces:

1YF(x)X

Ejemplo:Dada la funcin f(x)=2+x2 halle limite cuando x5?

Limite por la derecha Lmite por la izquierdaxf(x)xf(x)

6,1394,926

638418

5,532311

5,12826

4,92613

Si los limites laterales son diferentes no existe limite

Conclusin: Dada la funcin y=f(x) el lmite de f(x) cuando x tiende a un valor definido c , LER pertenece a los nmeros realesEsto implica que el:=

PROPIEDADES1. Lmite de un producto:

2. Lmite de un cociente:3.

4. Lmite de la suma y diferencia:

CONTINUIDAD DE FUNCIONESConsiderando la funcin cuya expresin grafica es.f(x)x

-47

-36

-25

-14

03

14

25

36

47

Entonces: Lim de f(x) cuando x0 es :

Dado que :

De otro lado el valor de f(x) cuando x=0 es 3, es decir f(0)=Note que el lmite:

Entonces en x=0;f(x) es continua. Si dijimos que x0=-1 entonces:

NOTA: se puede verificar que en cada valor del dominio de esta funcin existe continuidad por lo tanto podemos concluir diciendo que la funcin f(x) es continua en todo su dominio.Conclusin: dada la funcin f(x):a) Si x0 domf(x).b) c) Y f(x0) existe. Luego se notifica.d) de continuidadEntonces f(x) es continua en x0EJEMPLO:Dada la es f(x) continua en su dominio?Para que f(x) sea continua en todo su dominio debe de satisfacer la condicin de continuidad para todo su valor de dominio.

Anlisis de la continuidad de f(x) en x0=3:

x0

Xf(x)xf(x)

-4-0,1434 1,000

-3-0,1675 0,500

-2-0,2006 0,333

-1-0,2507 0,250

0-0,3338 0,200

1-0,5009 0,167

2-1,00010 0,143

2.99-100,00011 0,125

Grficamente

EjemploAnalice la continuidad de la siguiente funcin:

xg(x)xg(x)

2,01100,0001,99-100,000

2,110,0001,1-1,111

31,0001-1,000

40,5000-0,500

50,333-1-0,333

60,250-2-0,250

70,200-3-0,200

Conclusin: Dado que los limites laterales son distintos se concluye que:Que no existe el lmite de Por otro lado se aprecia lo siguen te:G (2)=Podemos sostener que x=2 la funcin g(x)es descontinua dado que incumple la condicin de continuidad es decir:La condicin de continuidad exiga.

La grafica es asinttica.

DIFERENCIA DE FUNCIONESConsiderando la funcin: f(x)=1-2x+3x2 El cociente de diferencias es ?

Ojo: se puede hallar el siguiente lmite.

Luego se define la derivada.

Hoja1f(x)xf(x)x72-5-241-2-12.50.5-0.5-0.51.90.3lmite por la derecha-0.1:lmite por la izquierda1.30.1-0.7:1.0150.005-0.005:::::::::1001