limites (autoguardado) corregido

Lmite De Una Funcin Real De Variable Real

1.1. Preliminares La representacin intelectual de LMITE de una funcin real de variable real, viene hacer el punto de partida para el estudio del clculo diferencial e integral.El estudiante debe captar correctamente lo que es un lmite porque dicha interpretacin intelectual es fundamental para comprender lo que es la derivada de una funcin, por que la derivada es el lmite y la integral definida.

1.2. Algunos consejos para el estudiante: Cuando se estudia el lmite de una funcin, debe tenerse en cuenta lo siguiente:

1. Se trata de resolver lmites, para lo cual es un valor numrico, el estudiante deber utilizar correctamente tanto el ALGEBRA ELEMENTAL como la TRIGONOMETRIA, sobre todo en lo que respecta a las factorizaciones, las racionalizaciones y algunas identidades trigonomtricas.

2. De lo contrario si se pide demostrar la existencia del lmite de una funcin entonces se recurre al anlisis, utilizando las definiciones y teoremas correctamente.

1.3. Vecindad, entorno o bola abierta en un punto.

Definicin 1: Sea , se llama vecindad, entorno o bola abierta de centro en y radio y se denota por al intervalo abierto , esto es en la figura 1.3 observamos que el punto es el punto medio del intervalo.

Ejemplo 1: Para el nmero , son vecindades de 2 los intervalos

1.4. Propiedades:1. Demostracin

2. Las intersecciones de dos vecindades de es una vecindad de esto es, Donde: .Demostracin:

Donde

Observacin: Uno de los conceptos bsicos y fundamentales en el clculo es el concepto de lmite. Este concepto es muy importante para precisar otros, tales como continuidad, derivacin, etc. En el siguiente ejemplo, veremos la idea de lmite.

Ejemplo 2: Sea , cuyos grficos se ilustran en las figuras

Figuras

Observamos que no existe, mientras que . Sin embrago, el comportamiento de estas funciones en una vecindad de 1, excluyendo el punto 1 es exactamente el mismo y puede ser descrito de la siguiente manera:Para valores de prximos al punto , los valores de se acercan o aproximan al nmero . Utilizando vecindades, esta propiedad se puede expresar de la siguiente forma: Vecindad B (), se puede fijar un tal que figura () Cuando ocurre esto, decimos que 3 es el lmite de cuando x tiende (se aproxima) a 1, se simboliza

Similarmente, para la funcin g(x), se tiene

Figuras

Observamos que el lmite de en el punto 1 no depende del valor de que en este caso no existe, sino de valores de cuando x est cercano o prximo de punto 1.

Definicin 2: El nmero L se dice que es el LIMITE DE LA FUNCION en , s, para todo existe un numero tal que, siempre que est en el dominio de

Simblicamente:

Aclaraciones para el uso de esta definicin

1. Las letras psilon () y delta () representan nmeros reales positivos pequeos que se acercan al cero pero nunca es cero.Generalmente se escoge:se expresa en funcin de

2. Las desigualdades representa intervalos abiertos.Por la propiedad de valor absoluto: Se tiene:i)

ii)

3. El intervalo que es una vecindad o entorno o bola abierta de L, de centro en L y rodeo se ilustra en la siguiente figura:

El intervalo que tambin es una vecindad o entorno o bola abierta de con centro en y radio , se ilustra en la figura siguiente:

4. Luego volvemos a asegurarnos en la definicin de lmites se tiene la siguiente consecuencia.Decir que la desigualdad implica que , es igual a decir: Si Observa a la siguiente grfica:

5. Para resolver los ejercicios prcticos deber recordarse las siguientes definicin:Definicin I: Sea la funcin

Decimos que la funcin esta acotado superiormente, si existe un nmero tal que se tiene:

es llamada cota superior de Definicin II: Sea la funcin

Decimos que la funcin esta acotado inferiormente, si existe un nmero real , tal que se tiene:

es llamada cota inferior de Definicin III: Sea la funcin

Si dice que la funcin es acotada si es acotado superior o inferiormente.Tambin: es acotada si Se llama cota

Ejemplo 1: sea la funcin

Grficamente se observa que:i) , no esta acotada superiormente en el intervalo ii) , esta acotada inferiormente en , por lo tanto tiene INFIMO a. El INFIMO de es -2 por que b. Adems EL MINIMO de es el 2, por que 2 pertenece al rango o imagen de .

Nota: El INFIMO es EL MAYOR de las cotas inferiores. Adems si el nfimo pertenece al rango o imagen de la funcin, entonces dicho nfimo es el MINIMO.

Ejemplo 2: Sea la funcin

En el grafico observamos que:i) , esta acotado inferiormente en , por lo tanto, tiene INFIMO El INFIMO es -1, por que Adems: MINIMO de por que pertenece al Rango de .ii) , esta acotado superiormente en , por lo tanto tiene SUPREMO. El SUPREMO es 13/3 porque Adems: MAXIMO de pertenece al rango Nota: el supremo es la MENOR DE LAS COTAS SUPERIORES. Si el SUPREMO pertenece al rango o --------- de la funcin, entonces dicho SUPREMO ES LO MAXIMO.

iii) Por lo tanto como est acotado superior e inferior, se puede escribir como:

Esta desigualdad indica que la funcin est acotado por Nota: Para la acotacin de funciones se deber tener en cuenta las siguientes propiedades.1. Si 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Ejemplo 3: Si , Qu tan cerca de 2 debe estar x para que SolucinDeseamos que

De esta ltima desigualdad se deduce que lo cual significa si x dista de 2 en menos de 0.001, entonces dista de 8 en menos de 0.03.

Ejercicios de las aplicaciones de la definicin del lmite de una funcin real de variable real.Demostrar que las proposiciones siguientes se cumplen:Ejemplo 1:

Demostracin 1 Por definicin de lmite, se tiene:

Bsqueda de en funcin de Utilizando como hiptesis la desigualdad: trataremos de hallar una cota (con funcin de) del termino Para tal efecto partimos del termino la simplificar (factorizando, racionalizando o utilizando identidades trigonomtricas) de tal manera que aparezca el termino En efecto

2 Pero: 3 Por hiptesis se tiene:

4 A partir de As: Si Multiplicamos por 3: 5 Escojo:

Nota: Se iguala porque son nmeros positivos pequeos que se acercan a cero pero nunca es cero y por ser arbitrarios.

Ejemplo 2:

Demostracin 1 Por definicin de lmite tenemos:

Siempre que

Bsqueda de en funcin de 2 Parto de:

3 Por hiptesis se tiene:

4 A partir de formare el trmino:

5 As: Multiplicamos por 3: 6 Escojo:

Ejemplo 3:

Demostracin 1 Por definicin del lmite se tiene:

Siempre que Bsqueda de en funcin de 2 Por hiptesis tenemos:

3 Pero En esta simplificacin aparece el trmino que ya est acotado por (segn paso 3). Lo que me falta acotar es el trmino . Entonces se debe buscar un nmero real positivo , tal que:Pero por hiptesis se tiene que el trmino est acotado por , es decir:

4 Lo que me falta es acotar la funcin Es decir falta hallar un nmero real positivo , tal que . Esta acotacin se logra alcanzar, tomando un de tal manera que

5 Pero por los pasos 3 y 4, se tiene que:

6 Multiplicando las desigualdades de As:

7 Haciendo Escojo

Ejemplo 4:

Demostracin 1 Por definicin de lmite se tiene:

Bsqueda de en funcin de 2 Parto de y lo simplifico hasta que me aparezca el termino

En efecto

3 Por hiptesis tenemos que:

4 Lo que me falta es hallar una cota tal que, Para esto tenemos un de tal manera que:

5 Pero por los pasos 3 y 4, se tiene que:Si Elevando al cuadrado En multiplicamos por Sumando Suma 25:

6 Multiplicando las desigualdades

7 Hallando Escogiendo

Ejemplo 5:


Bsqueda de en funcin de

2 Parto de y la simplificas hasta que me aparezca el trmino

En efecto

3 Por hiptesis tenemos:

4 Lo que falta ahora, es hallar una cota tal que, Para esto, tenemos un de tal manera que:

5 Pero por los pasos 3 y 4, se tiene que: Si Sumamos Multiplico

6 Multiplicando las desigualdades :

7 Haciendo Escogiendo As habremos demostrado que:

Ejemplo 6:

Demostracin1 Por definicin de lmite se tiene:


2. Parto de y la simplifico hasta que me aparezca el termino En efecto

3. Por hiptesis tenemos: Elevando al cuadrado Multiplicando por 4 Haciendo As habremos demostrado que:

Ejemplo 7:



2 Parto de y la simplifico hasta que me aparezca el termino En efecto

3 Por hiptesis tenemos:

4 Lo que falta ahora es hallar una cota tal que, Para esto, tenemos un arbitrario, de tal manera que:

5 Pero por los pasos 3 y 4, podemos hacer la siguiente deduccin: Si Adems: , a partir de esta desigualdad debo acotar la funcin:

Pero Luego, si: Sumando: Elevando al cuadrado Sumando:

6 Multiplicando las desigualdades As:

7. Haciendo: Escogiendo As habremos demostrado que:

Ejemplo 8:


Bsqueda de en funcin de 2 Parto de y lo simplifico hasta que me aparezca el termino En efecto

3 Por hiptesis se tiene que:

4 Lo que falta ahora es hallar una cota tal que,

Para esto, tenemos un arbitrario, de tal manera que:

5 Pero por los pasos y , podemos hacer la siguiente deduccin: Si Donde: Multiplico por: Resto Invirtiendo:

6 Multiplicando las desigualdades As:

Multiplico por 7 Haciendo Escogiendo As habremos demostrado que:

Ejemplo 9:



2 Parto de y lo simplifico hasta que me aparezca el termino En efecto

3 Por hiptesis se tiene que el trmino est acotado por es decir:

4 Hallamos una cota tal que, Para esto, tenemos un tal que: 5 Pero por los pasos 3 y 4podemos hacer la siguiente deduccin: Si Multiplico por: Sumamos Se puede invertir puesto que los extremos tienen signos iguales:

Nota:En este ejercicio podemos observar que tomando un , tal que, y no .Esto se hace en los casos, que como este, no se puede acotar la funcin cuando se toma .Sin embargo al tomar se ha hecho posible acotar la funcin donde su cota es .No olvidar, que cuando hablamos de acotar una funcin nos referimos en tratar de hallar un nmero real K positivo, tal que, Puede ocurrir que en otras ocasiones podemos tomar,

6 Luego, multiplicando las desigualdades As:

Multiplico a la desigualdad

7 Haciendo Escogiendo

Ejemplo 10:



2 Parto de y lo simplifico hasta que me aparezca el termino En efecto

3 Por hiptesis tenemos que: Lo que falta ahora es hallar una cota tal que, Nota:

4 La acotacin de se obtiene a partir del dominio de Porque: Pero si Multiplicando por Tomando raz cuadrada Sumando Invertido

5 Multiplicando las desigualdades se obtiene

Multiplico por 6 Escogiendo

Ejemplo 11:



2. Parto de y lo simplifico hasta que me aparezca el termino En efecto

Nota:

3 Por hiptesis tenemos que:

4 Lo que falta ahora es acotar los trminos En otras palabras debemos hallar un nuevo tal que, Esto lo conseguimos a partir del dominio de As: Sumando

En elevando al cuadrado Multiplicando por Sumamos Extrayendo la raz cuadrada Sumando Invertido:

5 Multiplicando las desigualdades:

6 Luego, multiplicando las desigualdades

7 Haciendo As se ha demostrado que:

Ejemplo 12:



2 Parto de y lo simplifico hasta que me aparezca el trmino

3 Pero , segn la hiptesis.

4 Lo que me falta es hallar una cota tal que, En efectoEscojo un auxiliar de tal manera que Luego, si

Sumando 2Sumando -3Sumando 3

Multiplicando estas 3 las desigualdades del paso 3

Multiplicando por Acuerdo Escojo

Aclatoria

Qu significa , siendo un nuevo real positivo cualquiera?Se tiene:

Consecuentemente se tiene:

3

2

1

1/3123

Esta funcin tiene mximo, que es luego, no tiene minimo, es que se escoge cualquier , tal que sea el minimo entre 1 y 3 , siendo arbitrario y positivo.

Ejemplo 13:

Por definicin de mayor entero se tiene: Luego


Siempre que


2 Parto de hasta que me aparezca el trmino

Veamos:

3 Pero tenemos que: que ya est acotado por lo que me falta acotar es:

Esto dado luego tenemos un nuevo

4 Para esto escogemos un de tal manera que pero si

Por propiedad: Propiedad transitivaComo Sumando Invirtiendo

5 Multiplicando las desigualdades: 3

Multiplicamos por Haciendo Escojo cuando es un nmero real positivo Lo que demuestre que:

2. Lmites Indeterminados

Las formas indeterminadas ms conocidos son:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

2.1. Clculos de limites indeterminados de la forma

Casos que se presentan Caso I: Si son POLINOMIOS y se tiene que entonces la indeterminacin , se levanta solamente FACTORIZANDO el numerador y el denominador .

Caso II: Si son radicales y entonces la indeterminacin , se levanta racionalizando el numerador o el denominador.

Caso III: Si son FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, entonces la indeterminacin , se levanta utilizando el teorema: y algunas identidades trigonomtricas:

Ejemplo: Calcular

Solucin

Al sustituir el valor de se tiene:

Como el lmite es INDETERMINADO de la forma y como el numerador y denominador son polinomios, entonces deben ser FACTORIZADOS para que as se pueda simplificar el BINOMIO En efecto

Ejemplo 2: Calcular

Solucin

Factorizando el numerador y el denominador para simplificar el dominio se tiene:

Ejemplo 3: Calcular

Solucin

El binomio debe ser simplificado, para evitar la indeterminacin

Ejemplo 4: Calcular

Solucin

El binomio debe ser simplificado, para evitar la indeterminacin

En efectoAplicando Ruffini para factorizar el numerador y denominador:

Numerador Denominador

1-3-333-1133-3-3-1

101-2-5-211014741

1-2-5-210147410

Por lo tanto:

Ejemplo 5: Calcular

Solucin

Factorizando el numeradorFactorizando al Denominador por Ruffini

1-1-148

40412-8

13-20

Luego

Ejemplo 6: Calcular

Solucin

Luego Factorizando el numerador y el denominador

Numerador Denominador

1-1-8121-1-2-1224

2022-1210220-24

11-60110-120

2026202612

1301360

Luego:

Ejemplo 7: Si Calcular

Solucin

Luego:

Ejemplo 8 : Calcular

Solucin

Factorizar el numerador y denominador:

NumeradorDenominador

10-4310-5 4

101 4-3101 1-4

11-3011-4 0

Clculos de Limites Con Radicales

Para levantar la indeterminacin de lmites que contengan radicales, es indispensable racionalizar.

Casos de Racionalizacin:

1. Para racionalizar binomios que tengan raz Cuadrada, solamente multiplicar por su conjugada.Veamos:

Binomios su conjugadaLa Racionalizacin

2. Para racionalizar binomios que tengan radicales con ndices mayores que 2, se tiene que multiplicar por su factor racionalizante.Veamos algunos binomios:

Ejemplo 9: Calcular

Solucin

Ejemplo 10: Calcular

Solucin

Al sustituir por 3 se obtiene Luego racionalizando el numerador y factorizando el denominador:

Ejemplo: Calcular

Solucin

Racionalizado numerador y denominador.


Solucin

Racionalizado el segundo factor:


Solucin

Luego:


Solucin

Por definicin de Mayor Entero se tiene:

Luego Si


Solucin

Luego

Trabajando con el denominador:

Remplazando tenemos:


Solucin

Mtodo practico para calcular este tipo de limite

Cuando en el numerador existe la suma de 3 o mas trminos, entonces para evitar la indeterminacin 0/0, al quebrado original debe separarse en dos o mas quebrados, cada uno con limites indeterminados dependiendo estos de dos o mas ceros que puedan formarse al numerador.

Ejemplo: Calcular

Solucin

Ejemplo: Calcular

SolucinPrimer mtodo:

Segundo mtodo: Cuando los subradicales son iguales (en este ejemplo los dos subradicales tienen el termino x), entonces para elevar los radicales, se extrae el minimo comn mltiplo de los ndices.

Asi:

Por lo tanto 6 ser el numero ndice de todos los radicales.

Haciendo o sustituyendo

Y como

Luego:

EJERCICIOS

1. Calcular

2.

3.

4. 5.

6. Calcular , graficar

7. Dado:

8. Calcular

9. Calcular

10. Calcular

11. Calcular

12. Calcular

13.

14.

15.

16.

17.

18.

limites (autoguardado) corregido

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