linear programming & metode grafik

Operations Research Ajie Wahyujati

LINEAR PROGRAMMING

Linear programming adalah cara yang paling umum digunakan dalam aplikasi masalah

pengalokasian sumberdaya yang terbatas (limited resources) dalam aktifitas bersaing dengan cara

yang paling baik yang dimungkinkan (optimal). Permasalahan alokasi ini akan timbul setiap saat

seseorang harus memilih tingkatan aktifitas yang bersaing dengan sumberdaya terbatas untuk

menjalankan aktifitas tersebut. Keragaman situasi dapat timbul berdasarkan keadaan yang ada

dan permasalahan yang dihadapi, mulai dari alokasi fasilitas produksi, alokasi sumberdaya,

pemilihan pola portofolio, pola pengiriman barang, perencanaan penanaman (agriculture), dsb.

Pada intinya, dari semua situasi tersebut adalah bagaimana kita mengalokasikan sumberdaya pada

aktifitas.

Struktur Permasalahan dalam Linear Programming

Permasalahan dalam linear programming pada umumnya adalah sebagai berikut:

terdapat dua atau lebih produk yang dibentuk dari campuran dua atau lebih bahan. Terdapat

mesin atau fasilitas lain yang digunakan dalam manufaktur berbagai macam produk, dan

kapasitasnya terbatas, atau bahan pembentuk produk terbatas. Jadi kita harus memperhitungkan

keuntungan yang kita dapatkan dalam memproduksi masing‐masing produk dan keuntungan total

yang kita dapatkan.

Bentuk Standar Linear Programming:

Sumber daya

Aktifitas Jumlah sumberdaya yang ada

1 2 … n

A aA1 aA2 … aAn b1 B aB1 aB2 … ABn b2 … … … … … … m am1 am2 … amn bm

Unit aktifitas c1 c2 … cn Level aktivitas x1 x2 … xn


Maksimisasi Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Dengan restriksi (pembatasan)

aA1x1 + aA2x2 + … + aAnxn ≤ b1

aB1x1 + aB2x2 + … + aBnxn ≤ b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm

dan x1≥0, x2≥0,…, xn≥0

Contoh soal:

PT Mobil Antik adalah produsen kendaraan bermotor berkualitas ecek‐ecek dengan banyak lini

produk, termasuk becak motor, berbagai jenis mobil dan bajaj.

Karena penurunan pendapatan, manajemen perusahaan memutuskan untuk merubah lini

produknya. Beberapa produk yang tidak menguntungkan tidak diproduksi lagi, dan keputusan ini

akan menyebabkan kapasitas produksi yang ada semuanya digunakan untuk memproduksi salah

satu atau kedua produk potensial yang banyak diminta di pasar. Kedua produk tersebut adalah

mobil aneh dan mobil butut. Dari hasil penelitian manajemen, perusahaan akan bisa menjual

semua hasil produksinya yang dihasilkan dengan kapasitas produksinya.

PT Mobil Antik mempunyai 3 pabrik, Pabrik 1 dan 2 digunakan untuk pencetakan body dan spare

parts mobil, sedangkan pabrik 3 digunakan untuk perakitan, dengan informasi sebagai berikut:

PT Mobil Antik

Produk Kapasitas Pabrik Mobil Aneh Mobil Butut Produksi

1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18

Unit Profit 300 500


Secara logis kita akan mencari keuntungan terbanyak, maka tujuan kita dalam perhitungan ini

adalah mencari keuntungan sebanyak‐banyaknya dari unit profit dari setiap item barang, sehingga

model yang akan kita buat adalah model maksimisasi, sebagai berikut:

Z = 300A + 500B

Artinya : Z (keuntungan sebesar‐besarnya/maksimisasi) didapatkan dari keuntungan setiap unit A

sebanyak 300 point dan dari setiap unit B sebanyak 500 point

Tetapi proses mendapatkan keuntungan sebesar‐besarnya tersebut mempunyai hambatan

(restriction) yang berupa kapasitas produksi dari masing‐masing pabrik, dimana pabrik 1

membutuhkan 1 unit satuan bahan baku untuk suku cadang A dan kapasitas produksinya adalah 4.

Pabrik 2 membutuhkan 2 unit satuan bahan baku untuk suku cadang B dan kapasitas produksinya

adalah 12. Sedangkan pabrik 3 membutuhkan 3 satuan waktu untuk merakit A dan 2 satuan waktu

untuk merakit B dan kapasitas produksinya adalah 18. Dapat kita bentuk model sebagai berikut:

A = 4 (1)

2B = 12 (2)

3A + 2B = 18 (3)

Persamaan linear sederhana dapat kita kerjakan sebagai berikut:

Hitungan 1: Hitungan 2:

(3) 3A + 2B = 18 x1 3A + 2B = 18 (3) 3A + 2B = 18 (1) A = 4 x3 3A = 12 (2) 2B = 12 2B = 6 3A = 6 B = 3 A = 2 3A + 2 (3) = 18 3 (2) + 2B = 18 3A = 12 2B = 12 A = 4 B = 6 Z = 300 (4) + 500 (3) Z = 300 (2) + 500 (6) Z = 2700 Z = 3600 Dari kedua perhitungan tersebut kita mendapatkan 2 hasil yang berbeda, dengan hambatan yang ada, ada 2 kemungkinan produksi, yaitu:

1. Produksi A = 4 dan B = 3, dengan profit adalah 2700 2. Produksi A = 2 dan B = 6, dengan profit adalah 3600

Secara logis kita akan memilih alternative kedua yang menghasilkan profit lebih tinggi, yaitu dengan memproduksi A sebanyak 2 unit dan B sebanyak 6 unit, dengan total keuntungan sebanyak 3600


METODE GRAFIK Metode lain yang dapat digunakan adalah metode grafis, dari persamaan diatas kita dapat membuat grafik sebagai berikut: Dari batasan‐batasan diatas, kita dapat membuat grafik seperti diatas, dengan cara:

(1) A = 4 dari persamaan tersebut kita buat garis A=4, (2) 2B = 12, dari persamaan tersebut kita buat garis B = 6 (3) 3A + 2B = 18, dari persamaan tersebut kita buat garisnya, dengan cara sebagai berikut:

1. diasumsikan B = 0, maka 3A = 18, A = 6, kita tentukan titik (0,6) 2. diasumsikan A = 0, maka 2B = 18, B = 9, kita tentukan titik (9,0) 3. tarik garis yang melewati kedua titik diatas

dari ketiga garis yang dibuat tersebut, terdapat perpotongan yang membentuk trapezium abcde, isi trapezium itulah kemungkinan produksi yang bisa dilakukan oleh PT Mobil Antik. Titik ekstrim yang terjadi adalah titik b dan c, yang merupakan perpotongan garis 3A + 2B = 18 dengan garis A = 4 dan B = 6, koordinat titik b adalah (3,4) dan titik c adalah (6,2), koordinat inilah yang kita masukkan dalam persamaan maksimisasi Z, yang hasilnya sama dengan perhitungan linear programming diatas.

5

A

B

5 A = 4

B = 6

3A + 2B = 18

c

e

b a

d

linear programming & metode grafik

Documents