linearna algebra
DESCRIPTION
MatematikaTRANSCRIPT
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
UVOD
Sistemi linearnih jednačina spadaju među najstarije matematičke probleme, i imaju mnoge primene, kao što su obrada digitalnih signala, procene, predviđanje, kao i linearno programiranje, i aproksimacija nelinearnih problema u numeričkoj analizi. Postoji mnogo načina da se reši sistem linearnih jednačina kao što su Gausov postupak , Kramerova metoda itd...
Uopšteno, sistem sa m linearnih jednačina i n nepoznatih se zapisuje na sledeći način:
gde su nepoznate, a brojevi su koeficijenti sistema.
DEFINICIJE I REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
Definicija:
Jednačinu sa n promenljivih
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
gde koeficijenti ai nisu svi istovremeno 0, nazivamo linearnom algebarskom jednačinom; njena leva strana je linearna forma sa n promenljivih.
Skup rešenja ove jednačine je skup svih n–torki brojeva (x1, x2, ... , xn) koje tu jednačinu identički zadovoljavaju.
1
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
Definicija:
Sistem od m ³ 2 linearnih algebarskih jednačina sa n ³ 2 promenljivih x1, x2, ... , xn
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
...................................................am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
nazivamo nehomogenim sistemom ako slobodni članovi bi nisu svi istovremeno 0, u suprotnom je homogen.
Skup rešenja ovog sistema jednačina je skup svih n–torki brojeva (x1, x2, ..., xn) koje identički zadovoljavaju sve jednačine sistema.
Zapisi sistema:
Skraćeni zapis sistema:
Matrični zapis sistema: , odnosno AX=B.
Matrica A je matrica sistema, a matrica
je proširena matrica sistema.
Postoje sledeće mogućnosti u smislu rešavanja sistema:
1. Sistem nema ni jedno rešenje – nesaglasan je;2. Sistem ima jedinstveno rešenje – saglasan je.3. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja
KRAMEROVA TEOREMA
Ako je determinanta D sistema od n nehomogenih jednačina sa n promenljivih različita od nule, tada taj sistem ima jedinstveno rešenje xj = Dj/D , gde je Dj determinanta koja se
2
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
dobija tako što se koeficijenti uz xj u determinanti D zamene redom slobodnim članovima bj , j=1, … , n.
Dokaz:
Da bi dobili xj množimo jednačine kofaktorima
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 / А1ј
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 / А2ј
...................................................an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn / Аnј
kad saberemo jednačine i grupišemo koeficijente uz odgovarajuće promenljive, dobija se
(a11A1j +a21A2j +…+an1Anj)x1++(a12A1j+a22A2j+…+an2Anj)x2+..................................................+(a1nA1j+a2nA2j+…+annAnj)xn = (b1A1j +b2A2j+…+bnAnj).
Pri tome je
a na desnoj strani
prema tome dobija se тј.
Posledica:
Uočimo da je , тако да је
Kako iz matričnog zapisa sistema AX=B, sledi da je X = A-1B, to je
3
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
Adjungovana matrica adj A se dobija tako što se prvo matrica A transponuje, pa se za AT
odredi matrica koja se sastoji od kofaktora njenih elemenata.
KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA
Sistem linearnih algebarskih jednačina je saglasan (ima rešenja) ako i samo ako je rang A = rang A*.
Posledica:
Sistem nema rešenja ako je rang A ¹ rang A*.
Dokaz:
1. Ako je rangA=rangA*=n (n je broj promenljivih), sistem sadrži saglasan podsistem kod kojeg je D ¹ 0, pa po Kramerovoj teoremi ima jedinstveno rešenje. Podsistem ne moraju obrazovati prvih n jednačina sistema, pa ćemo ga zapisati:
2. Ako je rangA=rangA*=r, r < n,tada postoji saglasan podsistem od r jednačina sa r nepoznatih
4
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
u kome su na desnoj strani tzv. slobodne promenljive , pa se rešenja (beskonačno
mnogo) dobijaju u obliku
3. Pretpostavimo rangA¹rangA*. Kako je matrica A sadržana u A*, svaki njen minor pripada istovremeno i A*, pa je rangA < rangA*.
Ako pretpostavimo da postoji rešenje primenom elementarnih transformacija matrica
što je suprotno sa pretpostavkom rangA¹rangA*.
Fundamentalni sistem rešenja:
Ako je rang A = rang A* = r, r < n imamo n–r slobodnih promenljivih koje mogu da uzimaju sve realne vrednosti. Odaberimo rešenja
.
Ona obrazuju fundamentalni sistem rešenja, a ako je onda se svako rešenje može napisati u obliku X = X0 + C1 X1 + C2 X2+ ... +Cn-r Xn-r – opšte rešenje.
5
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
Homogeni sistem uvek ima bar jedno rešenje – trivijalno: x1 = x2 = ... = xn = 0, u ovom slučaju opšte rešenje je oblika X = C1 X1 + C2 X2 + ... + Cn-r Xn-r, jer je X0 = (0, ... , 0).
GAUSOV ALGORITAM
Neka je u sistemu a11¹0, (u suprotnom, menjamo mesta jednačinama i promenljivim)
Isključujemo x1 iz svih jednačina osim prve, množenjem prve jednačine sa –ai1/a11 i dodavanjem i-toj (i=2, 3, ..., m). Tako se dobija
gde je .
Pod pretpostavkom da je a22 ¹0, ponavljamo postupak radi eliminacije promenljive x2 iz poslednjih m-2 jednačina. Slično dobijamo
Ako u navedenom postupku dobijemo sistem kod kog je leva strana (svi koef.) jednaka 0, a desna strana različita od 0, polazni sistem je nesaglasan.
U suprotnom, ako je k broj koraka, dobijamo 1. Za k = n
6
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
Iz poslednje jednačine xn se dobija jednoznačno; zamenom u prethodnu jednačinu dobija se xn-1 i t.d. Rešenje je jednoznačno.
2 . Za k < n
Promenljive xk+1,...,xn su slobodne, pa ih prenosimo na desnu stranu, a zatim se kao u prethodnom slučaju određuju vezane promenljive xk, xk-1,..., x1, (u zavisnosti od slobodnih). Ima beskonačno mnogo rešenja.
Praktični primeri rešavanja sistema linearnih jednačina
Primer 1:
Neka je dat štap (greda, ploča, štapna konstrukcija). Pod delovanjem sila štap doživi ugib. Interesuje nas iz zadanog ugiba naći sile koje koje su uzrokovale taj ugib.
Rešenje:Odredimo n tačaka na štapu, koje ćemo zvati čvorovi. Posmatraćemo štap kao da je
njegova masa koncentrisana u tih n tačaka. Prema tome pretpostavljamo da sile mogu delovati samo u čvorovima. Shodno tome i ugib posmatramo samo u čvorovima. Pri tome polazimo od dve osnovne pretpostavke, koje u fizici predstavljaju princip superpozicije sila, a u matematici se to zove svojstvo linearnosti.
1. Pri istovremenom delovanju dve sila ugibi se sabiraju. 2. Koliko puta povećamo silu, toliko puta se poveća ugib.
Označimo sa ugib u čvoru usled delovanja jedinične sile u čvoru (sl. 1).
Slika 1. Pomak štapa pod delovanjem jedinične sile u čvoru
7
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
Označimo s ukupne ugibe, a sa sile u čvorovima (sl. 2).
Slika 2. Pomak štapa pod delovanjem različitih sila u čvorovima
Tada vrede sledeće jednačine:
…..
Vidimo da se problem nalaženja sila iz zadanih ugiba vodi na rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.
Pretpostavimo sada da u čvoru deluje sila takva da poništava uticaj jedinične sile u čvoru k na čvor
Slika 3. Pomak štapa pod delovanjem jedinične sile u čvoru k, nakon uravnoteženja u čvoru 1.
U ovoj situaciji označimo s ugib u čvoru i usled delovanja jedinične sile u čvoru k (sl. 3).
Tada vredi:
, za .
8
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
Specijalno u čvoru 1 imamo:
.
Odatle sledi :
,
pa je :
, za .
Ako tako učinimo za svaki dobijemo koeficijente nakon prvog koraka u Gaussovoj metodi. Slično bi se moglo pokazati da se koeficijenti nakon drugog koraka dobiju kad u prva dva čvora deluju sile koje poništavaju ugibe usled delovanja jedinične sile u ostalim čvorovima, itd.
Primer 2:
Izračunati potencijale u električnoj mreži:
Rešenje:
Iz Omovog zakona jačina struje koja teče od tačke i do tačke j jednaka je:
,
pri čemu je potencijal u tački i, a potencijal u tački j, ( , {A,B,C,D,E,F,G,H}).
Sa druge strane, prema Kirhofovom zakonu, suma jačina struja koje završavaju u jednom čvoru mora biti jednaka nuli, i to vrijedi za svaki čvor mreže.
Primjenjujući ta dva zakona na čvor B, dobijamo:
Odnosno:
9
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
tj.
Sređivanjem dobijamo jednačinu:
Primenom istih zakona na preostalih pet čvorova, dobijamo još pet jednačina. Nepoznate potencijale vi dobijamo rešavajući sistem od šest jednačina sa šest nepoznatih koji ima oblik:
Čije je rešenje dato sa:
(75.33, 71.18, 66.82, 66.09, 64.63, 41.12).
10
LINEARNA ALGEBRA - Sistemi linearnih jednačina
Literatura:
- Cvetković D., Lacković I., Merkle M., Radosavljević Z. , Simić S., Vasić P., Matematika I - Algebra, VIII izdanje, Beograd, 2004.
- Vasić P., Iričanin B., Jovanović M., Madžarević T., Mihailović B., Radosavljević Z.,Simić S., Cvetković D., Zbirka zadataka iz algebre (drugi deo), IV ispravljeno izdanje, Beograd, 2004.
- Milan Merkle: Matematička analiza-teorija, Beograd 2002.
Sadržaj:
- Uvod ........................................................................................................................1- Definicije i rešavanje sistema linearnih jednačina..................................................1- Kramerova teorema...............................................................................................3- Kroneker-Kapelijeva teorema.................................................................................4- Gausov algoritam.................................................................................................. .6- Praktični primeri rešavanja sistema linearnih jednačina..................................8- Literatura........................................................................................................... ...12
11