linearna algebra i geometrija - samo materijali i materijali · pdf file• z - skup...

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehni£ki fakultet

Linearna algebra i geometrija

� predavanja �

Sarajevo, septembar 2012.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1

1.1 Elementi matemati£ke logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Elementi teorije skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Elementi teorije algebarskih struktura . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Elementi teorije vektorskih prostora . . . . . . . . . . . . . . . 16

POGLAVLJE 1

Uvod

U ovom poglavlju uvest ¢emo terminologiju i notaciju kori²tenu u nastavku.De�nirat ¢emo osnovne pojmove matemati£ke logike i teorije skupova i datineke njihove osobine. Zatim ¢emo uvesti pojam binarne operacije, te de�ni-rati algebarske strukture na datom skupu odre�ene samo jednom binarnomoperacijom, kao ²to su grupoid, polugrupa i grupa, kao i strukture sa dvijebinarne operacije, kao ²to su prsten, tijelo i polje. Uvest ¢emo i pojam vek-torskog prostora, njegove baze i dimenzije.

1.1 Elementi matematicke logike

Osnovni pojam u matemati£koj logici je iskaz ili sud. To je svaka smis-lena izjava koja moºe biti samo istinita ili samo neistinita, odnosno laºna.Skup svih iskaza obiljeºavat ¢emo sa I, a pojedina£en izkaze malim slovimap, q, r, s, . . ..

Primjer 1.1. Re£enica "Broj 4 je paran broj." je istinit iskaz, dok je re£e-nica "3 je ve¢e od 5" neistinit iskaz. Re£enica "Da li je 5 prost broj?" nijeiskaz, nego pitanje.

1.1.Elementi matemati£ke logike Doc. dr. Almasa Odºak

Istinitost iskaza p ozna£ava se sa τ(p), pri tome τ(p) = 1 zna£i da je iskazp istinit, a τ(p) = 0 zna£i da je neistinit. Tako�er se koriste oznake τ(p) = ⊤,kada je p istinit izkaza i τ(p) = ⊥, kada je p neistinit iskaz. �esto se zbogkratko¢e pisanja, ukoliko to ne dovodo do zabune, umjesto τ(p) pi²e samo p.U tom slu£aju ne zanima nas sadrºaj iskaza p, nego samo njegova istinitosnavrijednost.

Na skupu iskaza moºemo de�nirati odre�ene operacije 1 pomo¢u kojihdobijamo sloºenije iskaze.

Negacija iskaza p, ¬p, £ita se "ne p" ili "nije p", je istinit iskaz jedinokada je p neistinit, a neistinit jedino kada je p istinit iskaz. Za negacijuiskaza p koriste se i oznake p i p′.

Konjunkcija iskaza p i q, p∧q, £ita se "p i q", istinita je jedino kadu su is-kazi p i q istiniti, a u protivnom je laºna. U nekoj literaturi konjunkcijaiskaza p i q ozna£ava se sa pq ili p&q.

Disjunkcija iskaza p i q, p ∨ q, £ita se "p ili q", laºna je jedino kada suiskazi p i q laºni, a u protivnom je istinita.

Ekskluzivna disjunkcija iskaza p i q, pY q, £ita se "ili p ili q", istinita jejedino kada su iskazi p i q razli£ite istinitosne vrijednosti, a u protivnomje neistinita. Za ekskluzivnu disjunkciju koristi se i oznaka p⊕ q

Implikacija iskaza p i q, p ⇒ q, £ita se "p implicira q" ili "p povla£i q"ili "ako je p, onda je q" ili "p je dovoljno za q" ili "q je potrebno zap", istinita je uvijek kada je q istinit iskaz ili kada su i p i q neistiniti.Neistinita je, dakle, jedino kada je p istinit, a q neistinit iskaz.

Ekvivalencija iskaza p i q, p ⇔ q, £ita se "p ekvivalentno q" ili "p ako isamo ako q" (£esto se pi²e skra¢eno akko) ili "p je potrebno i dovoljno zaq", istinita je jedino kada iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrijednost.

Zavisnost istinitosne vrijednosti sloºenog iskaza od istinitosne vrijednostiizkaza koji ga £ine moºemo zapisati u obliku tablice istinitosti.

τ(p) τ(q) τ(¬p) τ(p ∧ q) τ(p ∨ q) τ(p Y q) τ(p ⇒ q) τ(p ⇔ q)0 0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 1 0 01 1 0 1 1 0 1 1

1Preciznu de�niciju operacije dat ¢emo ne²to kasnije.

2


Sloºeni iskazi dobijeni iz nekih polaznih iskaza primjenom logi£kih opera-cija negacije, konjunkcije, disjunkcije, implikacije i ekvivalencije nazivaju seformulama.

Primjeri formula su p ⇒ ¬q, (p ∨ q) ⇐ (¬q ∨ r), q ∨ ((p ∧ r) ∧ (q ⇒ r)).Istinosna vrijednost formule jasno zavisi od istinitosnih vrijednosti iskza

koji ju £ine. Tu zavisnost je pogodno ispitivati pomo¢u tablice istinitosti,kao u sljede¢em primjeru.

Primjer 1.2. Odrediti istinitosnu vrijednost formule p ∧ (q ⇒ ¬r) za sveistinitosne vrijednosti iskaza koje ih £ine.

p q r ¬r q ⇒ ¬r p ∧ (q ⇒ ¬r)0 0 0 1 1 00 0 1 0 1 00 1 0 1 1 00 1 1 0 0 01 0 0 1 1 11 0 1 0 1 11 1 0 1 1 11 1 1 0 0 0

Posebno vaºna situacija je kada je formula istinita za sve vrijdnosti isti-nitosti iskaza koji ulaze u tu farmulu. Takva formula se naziva tautologija.Formula koja je neistinita za sve vrednosii istinitosti iskaza koji ulaze u tuformulu je kontradikcija. Pogledamo li tablicu istinitosti formule iz primjera1.2 jednostavno zaklju£ujemo da posmatrana formula nije ni tautologija, ani kontradicija.

Zadatak 1.1. Odrediti istinitosnu vrijednost formula za sve istinitosne vri-jednosti iskaza koje ih £ine.

1. p ∨ ¬p

2. p ∧ ¬p

3. (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

4. ((p ∨ q) ∧ ¬r) ⇒ (¬q ∨ r).

Da li su neke od navedenih formula tautologije ili kontradikcije?

Osnovni zakoni logike iskaza izvode se koriste¢i neke vaºne tautologije. Unastavku ¢meo navesti neke od njih.

3


• Zakon dvojne negacije: ¬¬p = p

• Zakon konzistentnosti (neprotivurje£nosti): p ∧ ¬p = 0

• Zakon isklju£enja tre¢eg: p ∨ ¬p = 1

• Zakon idempotentnosti za konjunkciju: p ∧ p = p

• Zakon idempotentnosti za disjunkciju: p ∨ p = p

• Zakon komutativnosti za konjunkciju: p ∧ q = q ∧ p

• Zakon komutativnosti za disjunkciju: p ∨ q = q ∨ p

• Zakon asocijativnosti za konjunkciju: p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ r

• Zakon asocijativnosti za disjukciju: p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r

• Zakon distributivnosti disjunkcije u odnosu na konjunkciju: p∧(q∨r) =(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

• Zakon distributivnosti konjunkcije u odnosu na disjukciju: p∨ (q∧r) =(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

• De Morganov zakon za konjunkciju: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q

• De Morganov zakon za disjunkciju: ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q

• Zakon kontrapozicije: p ⇒ q = ¬q ⇒ ¬p

• Zakon tranzitivnosti implikacije: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)

• Zakon tranzitivnosti ekvivalencije: (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r) ⇒ (p ⇔ r)

Zadatak 1.2. Dokazati ta£nost navedenih zakona.

Posmatrajmo re£enice "x je paran broj." i "x je djeljivo sa y.". Ove re£e-nice o£igledno nisu iskazi jer im je nemogu¢e odrediti istinitosnui vrijednost.Ovakve re£enice dovode do pojma predikata.

De�nicija 1.1. Predikat je izjavna re£enica koja sadrºi parametre i kojapostaje iskaz kada parametri poprime odre�enu vrijednost. Broj parametarapredstavlja duºinu predikata.

4


Dakle, "x je paran broj." je predikat duºine 1, dok je re£enica "x je djeljivosa y." predikat duºine 2. Predikate duºine 1 obi£no ozna£avamo sa P (x), aduºine 2 sa P (x, y).

Za predikat P (x, y) opisan re£enicom "x je djeljivo sa y." iskaz P (4, 2) jeistinit, dok je P (2, 5) neistinit iskaz.

Posebno vaºni iskazi dobiveni od predikata su oni nastali pomo¢u kvan-ti�katora, tj. zamjenica svaki i neki.

Univerzalni kavnti�kator, u oznaci ∀, nam govori da je predikat istinitza sve vrijednosti neke od varijabli.

Egzistencijalni kvanti�kator, u oznaci ∃, govori da je predikat istinit zaneki izbor varijable. U sluèaju kada je izbor jedinstven koristi se oznaka∃!.

Kvanti�katore je mogu¢e i kombinirati kako bi se od datog predikataformirao iskaz.

Primjer 1.3. Neka je predikat P (x) dat sa x2 = 9. Moºemo formiratiiskaze:

• p: Za svaki realan broj x vrijedi x2 = 9

• q: Postoji realan broj x za koji vrijedi x2 = 9

• r: Postoji ta£no jedan realan broj x za koji vrijedi x2 = 9

• s: Postoji ta£no jedan prirodan broj x za koji vrijedi x2 = 9.

Pomo¢u kvanti�katora zapisujemo ih na sljede¢i na£in:

• p: (∀x ∈ R)P (x), odnosno (∀x ∈ R)x2 = 9

• q: (∃x ∈ R)P (x), odnosno (∃x ∈ R)x2 = 9

• r: (∃!x ∈ R)P (x), odnosno (∃!x ∈ R)x2 = 9

• s: (∃!x ∈ N)P (x), odnosno (∃!x ∈ N)x2 = 9.

Za svaki od formiranih iskaza moºemo odrediti njegovu istinitosnu vrijednost:τ(p) = 0, τ(q) = 1, τ(r) = 0 i τ(s) = 1.

5

1.2.Elementi teorije skupova Doc. dr. Almasa Odºak

Primjer 1.4. Za predikat P (x, y) opisan re£enicom "x je djeljivo sa y."moºemo formirati iskaze

• p: Za svaki prirodan broj x vrijedi x je djeljivo sa 2.

• q: Postoji prirodan broj y za koji vrijedi da je 6 djeljivo sa y.

• r: Za svaki prirodan broj x i svaki prirodan prirodan broj y x djeljivsa y.

Pomo¢u kvanti�katora zapisujemo ih na sljede¢i na£in:

• p: (∀x ∈ N)P (x, 2)

• q: (∃y ∈ N)P (6, y)

• r: (∀x ∈ N)(∀y ∈ R)P (x, y)

Za svaki od formiranih iskaza moºemo odrediti njegovu istinitosnu vrijednost:τ(p) = 0, τ(q) = 1 i τ(r) = 0.

1.2 Elementi teorije skupova

Osnovni pojam teorije skupova i jedan od osnovnih pojmova matematikeuop²te je skup i on se i ne de�ni²e. Skup je zadan svojim elementima, bilo dasu nabrojani pojedina£no ili karakterizirani nekom zajedni£kom osobinom.Za skup koriste se i nazivi familija, kolekcija, klasa, a za njegove elemente£lanovi, ta£ke. Skupove obi£no obiljeºavamo velikim slovima, dok njihoveelemente naj£e²¢e obiljeºavamo malim slovima. Vaºni primjeri skupova suskupovi brojeva, za njih ¢emo korisiti sljede¢e oznake

• N - skup prirodnih brojeva

• Z - skup cijelih brojeva

• Q - skup racionalnih brojeva

• I - skup iracionalnih brojeva

• R - skup realnih brojeva

• C - skup kompleksnih brojeva

6


Pripadnost elemeta a skupu A zapisujemo slimboli£ki sa a ∈ A i £itamo"a je element skupa A". �injenicu da elemenat b ne pripada skupu B za-pisujemo sa b /∈ B i £itamo "b nije element skupa B". Prazan skup obilje-ºavamo simbolom ∅. Ukoliko je skup zadan nabrajanjem elemenata pi²emoih odvojene zarezom unutrar viti£astih zagrada, dok u slu£aju kada je skupA skup elemeta x koji zadovoljavaju osobinu p(x) pi²emo A = {x : p(x)} iliA = {x|p(x)}.

Primjeri skupova su

• {x, y, z},

• {0, 1},

• {a},

• {x : x > 0},

• {x : x = 3n ∧ n ∈ N},

• {x : x = pq∧ p ∈ Z ∧ q ∈ Z}.

Za skupove mogu¢e je de�nirati odre�ene relacije i operacije 2. Uvest¢emo relacije inkluzije i jednakosti i operacije unije, presjeka, razlike i kom-plementa.

De�nicija 1.2. Neka su A i B skupovi takvi da je svaki elemenat skupa Aujedno i elemenat skupa B tada kaºemo da je A podskup od B, odnosno daje B nadskup od A. Pi²emo A ⊂ B, odnosno B ⊃ A.

Relaciju ⊂ nazivamo relacijom inkluzije.

Primjer 1.5. Vrijede inkluzije N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

De�nicija 1.3. Neka su A i B skupovi koji se sastoje od istih elemenata, tojeste ako vrijedi A ⊂ B i B ⊂ A, tada kaºemo da su oni jednaki i pi²emoA = B.

Ukoliko skupovi A i B nisu jednaki pi²emo A = B.Ukoliko vrijedi da je A ⊂ B i A = B kaºemo da je A pravi podskup od

B.Relacije inkluzije i jednakosti za skupove zadovoljavaju sljede¢e osobine:

2Preciznu de�niciju relacije i operacije dat ¢emo ne²to kasnije.

7


• A ⊂ A, (A ⊂ B)∧ (B ⊂ A) ⇒ A = B, (A ⊂ B)∧ (B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C)

• A = A, (A = B) ⇒ (B = A), (A = B) ∧ (B = C) ⇒ (A = C)

De�nicija 1.4. Partitivni skup skupa A je skup svih podskupova skupa A.Ozna£ava se sa P(A) ili 2A.

Jasno je da partitivni skup P(A) uvijek sadrºi ∅ i A. Na primjer za skupA = {x, y} partitivni skup je P(A) = {∅, {x}, {y}, {x, y}}.

Koriste¢i operacije nad skupovima od datih skupova moºemo formiratinove skupove. Neka su dati skupovi A i B.

Unija skupova A i B, u oznaci A∪B, je skup £iji elementi imaju svojstvoda pripadaju bar jednom od skupova A i B. Dakle, A ∪ B = {x : x ∈A ∨ x ∈ B}.

Presjek skupova A i B, u oznaci A ∩B, je skup £iji elementi imaju svoj-stvo da pripadaju i skupu A i skupu B. Dakle, A ∩ B = {x : x ∈A ∧ x ∈ B}.

Razlika skupova A i B, u oznaci A\B, je skup £iji elementi imaju svojstvoda pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B. Dakle, A \ B = {x :x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Simetri£na razlika skupova A i B, u oznaci A△B unija razlika A \ B iB \ A, dakle A△B = (A \B) ∪ (B \ A).

Neka je dat i skup X takav da je A ⊂ X.

Komplement skupa A u odnsosu na skup X, u oznaciACX je razlikaX\

A. Dakle, ACX = {x : x ∈ X ∧ x /∈ A}. �esto se koristi skra¢ena oz-

naka AC ukoliko je jasno u odnosu na koji skup se uzima komplement.Tako�e se koriste oznake CX(A) i C(A).

Za skupove £iji je presjek prazan skup kaºemo da su disjunktni.Moºe sa pokazati da uvedene operacije zadovoljavaju sljede¢e osobine:

• A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A, A ∪B = B ∪ A, (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

• A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∩B = B ∩ A, (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

8


• (A ∪B) = (A ∩B) ∪ (A \B) ∪ (B \ A)

• A△B = (A ∪B) \ (A ∩B)

• A ∪ AC = X, A ∩ AC = ∅, XC = ∅, ∅C = X,(AC)C = A

• X \ (A ∪B) = (X \ A) ∩ (X \B), X \ (A ∩B) = (X \ A) ∪ (X \B)

Zadatak 1.3. Pokazati da vrijede navedene osobine operacija sa skupovima.

Za uvo�enje pojam Dekartovog proizvoda skupova potrebno je de�niratiure�en par.

De�nicija 1.5. Ure�en par elemenata x i y, u oznaci (x, y) je skup {{x), {x, y}}.

Termin "ure�en" u prethodnoj de�niciji isti£e da je poredak elemenatau paru (x, y) bitan, x je prvi, a y drugi elemenat. Iz navedene de�nicijejednostavno proizilazi jednakost ure�enih parova (x, y) = (u, v) ⇔ ((x =u) ∧ (y = v)). Elemente ure�enog para nazivamo i koordinatama.

Pojam ure�enog para moºe se jednostavno poop²titi na ure�ene trojke,£etvorke,. . . , op¢enito n-torke.

Dekartov proizvod skupova A i B, u oznaci A×B je skup svih ure�enihparova £ije su preve koor dinate elementi skupa A, a druge koordinateelementi skupa B. Dakle, A×B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

Dekartov proizvod skupa A sa samim sobom se naziva i Dekartovim kvadra-tom i obiljeºava se sa A2. Dekartov proizvod i Dekartov kvadrat jednostavnose generaliziraju za slucaj tri i vi²e skupova. Dekartovog proizvoda skupa Asa samim sobom n puta naziva se i n-ti stepen skupa A.

Primjer 1.6. Rn je skup ure�enih n-torki relanih brojeva. Dakle, Rn ={(x1, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n}. Posebno zna£ajne situacije su za n = 2i n = 3.

Ranije smo spominjali relacije inkluzije i jednakosti za skupove. Sadasmo u mogu¢nosti de�nirati pojam relacije.

De�nicija 1.6. Neka su A i B neprazni skupovi. Svaki podskup ρ Dekartovogproizvoda A × B je binarna relacija izme�u elemenata skupa A i elemenataskupa B. Ako su elementi a ∈ A i b ∈ B u relaciji ρ pi²emo (a, b) ∈ ρ iliaρb. Ako je A = B tada je ρ ⊂ A2 binarna relacija na skupu A.

9


Ukoliko elementi a ∈ A i b ∈ B nisu u relaciji ρ pi²emo (a, b) /∈ ρ iliaρb!prekriziti.

Za relaciju ρ ⊂ A×B inverznu relaciju ρ−1 ⊂ B ×A de�niramo tako da(x, y) ∈ ρ−1 akko (y, x) ∈ ρ.

Neka je A neprazan skup i ρ binarna relacija na A. Rlacija ρ moºe daima sljede¢e osobine.

ρ je re�eksivna ako je (∀x ∈ A) xρx.

ρ je antire�eksivna ako je (∀x ∈ A) (x, x) /∈ ρ.

ρ je simetri£na ako je (∀x, y ∈ A) (xρy) ⇒ (yρx).

ρ je antisimetri£na ako je (∀x, y ∈ A) (xρy) ∧ (yρx) ⇒ (x = y).

ρ je tranzitivna ako je (∀x, y, z ∈ A) (xρy) ∧ (yρz) ⇒ (xρz).

Uvedene osobine nam omogu¢avaju de�nisanje va¬ih tipova relacija kao ²tosu relacije ekvivalencije i relacije poretka.

De�nicija 1.7. Relacija ekvivalencije na skupu A je binarnu relacija ρ naA koja je re�eksivna, simetri£na i tranzitivna.

Za proizvoljne elemenat a ∈ A i relaciju ekvivalencije ρ klasu ekvivalencijeelementa a, u oznaci [a]ρ de�niramo kao skup svih elemenata iz A koji suu relaciji sa a, to jeste [a]ρ = {x ∈ A : xρa}. Pokazuje se da su klaseekvivalencije me�usobno disjunktne i da se skup A se moºe na jedinstvenna£in prikazati kao unija tih klasa. Skup klasa ekvivalencije za datu relacijuρ se naziva faktorski skup i obiljeºava se sa A/ρ. Relacija ekvivalencije se£esto obiljeºava sa ∼.

Primjeri relacije ekvivalencije su relacija paralelnosti za prave proizvoljneravni, uvedena relacija jednakosti za skupove.

Zadatak 1.4. Neka je dat cijeli broj m. Na skupu cijelih brojeva de�nirajmorelaciju ρ tako da je (∀x, y ∈ Z)xρy ⇔ (∃k ∈ Z)x− y = km. Ispitati da li jedata relacija relacija ekvivalencije.

De�nicija 1.8. Relacija poretka na skupu A je binarnu relacija ρ na A kojaje re�eksivna, antisimetri£na i tranzitivna.

10


Ako je na skupu A zadata relacija poretka kaºemo da je skup A ure�enskup. Ako su svaka dva elementa skupa A u relaciji poretka, to jeste me-�usobno uporediva, kaºemo da je skup A totalno ure�en skup. Za relacijuporetka koja je antire�eksivna kaºemo da je relacija strogog poretka.

Relacija poretka se £esto obiljeºava sa ≤ ili ≼, dok se relacija strogogporetka obiljeºava sa < ili ≺.

Relacija ≤ na skupu realnih brojeva je relacija poretka, kao i relacijainkluzije na partitivnom skupu nekog skupa, dok su relacija < na skupurealnih brojeva i relacija "biti pravi podskup" (£esto se obiljeºava sa $)na partitivnom skupu nekog skupa relacije strogog poretka. Skup relanihbrojeva je totalno ure�en skup. Partitivni skup nekog skupa nije totalnoure�en skup.

Zadatak 1.5. Neka je relacija ρ de�nisana sa aρb akko a2 ≤ b2, gde je ≤relacija poredka na skupu cijelih brojeva.

a) Ispitati da li je data relacija relacija poredka na skupu cijelih brojeva.

b) Ispitati da li je data relacija relacija poredka na skupu prirodnih brojeva.

Ranije smo spominjeali neke operacije sa iskazima, kao i ooperacije saskupovima, no nismo precizno de�nirali pojam operacije u op²tem slu£aju.To ¢emo u£initi u narednom odjeljku, no prije toga uvest ¢emo pojam funcijeili preslikavanja.

De�nicija 1.9. Neka su A i B neprazni skupovi, a f zakon po kojemu sesvakom elementu A pridruºuje jedan i samo jedan element skupa B. Ure�enutrojku (A,B, f) nazivamo funkcija sa skupa A na skup B ili preslikavanje iz

skupa A u skup B. Pi²emo f : A → B ili Af→ B.

Skup A se naziva de�niciono podru£je ili domen funkcije f , a skup B jepodru£je vrijednosti ili kodomen funkcije f . �esto se preslikavanje poisto-vje¢uje sa zakonom pridruºivanja ukoliko je jasno is konteksta ²ta je domen,a ²ta kodomen.

Element b skupa B pridruºen elementu a ∈ A prema pravilu f obiljeºa-vamo sa f(a), dakle b = f(a). Element a se naziva nezavisnom varijablom iliargumentom funkcije f , dok je b zavisna varijabla funkcije f , odnosno slikaelementa a.

Neka su data dva preslikavanja f : A → B i g : B → C takva da sekodomen prvog preslikavanja podudara sa domenom drugog preslikavanja.

11

1.3.Elementi teorije algebarskih struktura Doc. dr. Almasa Odºak

Preslikavanje h : A → C de�nirano sa h(a) = g(f(a)) za svako a ∈ A jednoz-na£no je odre�eno i naziva se kompozicijom preslikavanja f i g i ozna£ava sag ◦ f .

Za preslikavanja mogu¢e je postaviti i neke dodatne zahtjeve. Neka jedato preslikavanje f : A → B.

f je sirjektivno ili "preslikavanje na" ako je slika domena cijeli kodomen.

f je injektivno ili "1-1 preslikavanje" ako razli£iti elementi domena imajurazli£ite slike.

f je bijektivno ili obostrano jednozna£no preslikavanje ako je i sirjektivnoi injektivno.

Ako je f bijektivno preslikavanje skupa A na skup B, onda postoji funk-cija koja preslikava skup B na skup A, koja svakom elementu b ∈ B pri-druºuje element a ∈ A, takav da je b = f(a). Ovako de�nirana funkcija jeinverzna funkcija �nkcije f i ozna£ava se sa f−1. Tada vrijedi f−1(f(a)) = a.

1.3 Elementi teorije algebarskih struktura

Sa pojmom operacije smo se ve¢ susretali ranije. Na primjer, kada iskazupridruºuje negirani iskaz vr²imo operaciju negacije iskaza. Ova operacijajednom iskazu pridruºuje novi iskaz, takve operacije nazivamo unarnim. Uslu£aju konjuncije iskaza, paru iskaza pridruºujemo novi iskaz, konjunkcijupo£etnih iskaza, ²to je primjer binarne operacije. Mogu se de�nirati i ter-narne, i op¢enito n-arne operacije.

Na skupu realnih brojeva pridruºivanje broju a broja−a je primjer unarneoperacije, dok su operacije sabiranja ili mnoºenja dva realna broja primjeribinarnih operacija.

Operacija se mogu de�nirati na proizvoljnom skupu. Za skup G na kojemje de�nirana jedna ili vi²e operacija kaºemo da je algebarska struktura. Zarazmatranje algebarskih struktura od posebnog su zna£aja binarne operacije.Preciznu de�niciju dat ¢emo u nastavku.

De�nicija 1.10. Binarna operacija ◦ na skupu A je svako preslikavanjekoja preslikava elemente Dekartovog proizvoda skupa A u skup A, to jeste◦ : A× A → A.

12


Iz prethodne de�nicije je jasno da binarne operacije ure�enom paru (a, b) ∈A× A pridruºuju elemenat c skupa A. Elemenat c nazivamo rezultatom bi-narne operacije ◦ na paru (a, b) i pi²emo c = ◦(a, b) ili c = a ◦ b.

Za binarnu relaciju de�niranu na ovaj na£in £esto se kaºe da je unutra²njabinarna operacija, jer je rezultat operacije u istom skupu kao i operandi.Tako�e kaºemo da je skup A zatvoren u odnosu na operaciju ◦.

Treba napomenuti da postoje skupovi i operacije de�nirane na njima kojine posjeduju osobinu zatvorenosti. Na primjer skup neparnih brojeva nijezatvoren u odnosu na operaciju sabiranja jer zbir dva neparna broja nijeneparan broj. Primijetimo da je ovaj skup zatvoren u odnosu na operacijumnoºenja.

Svojstvo zatvorenosti se naziva i svojstvom grupoidnosti, otuda proizilazii sljede¢a de�nicija.

De�nicija 1.11. Ure�en par (G, ◦) nepraznog skupa G i binarne operacije ◦na G nazivamo grupoid.

Primjer 1.7. (N,+), (N, ·), (Z,+), (Z, ·), (Q,+), (N, ·), (R,+), (R, ·),(P(A),∪), (P(A),∩) su grupoidi.

Za operacije mogu¢e je postaviti i neke dodatne zahtjeve. Neka je Aneprazan skup i neka je data operacija ◦ : A× A → A.

◦ je asocijativna ako (∀a, b, c ∈ A)(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c). Za gupoid ukojem operacija ◦ zadovoljava svojstvo asocijativnosti kaºemo da jeasocijativan.

◦ je komutativna ako (∀a, b ∈ A)a◦b = b◦a. Za gupoid u kojem operacija◦ zadovoljava svojstvo komutativnosti kaºemo da je komutativan.

e je neutralni element za ◦ (∀a ∈ A)a ◦ e = e ◦ a = a.

Ukoliko postoji neutralni elemenat u odnosu na operaciju ◦ moºemo uvesti ipojam invertibilnosti.

a je invertibilan u odnosu na ◦ ako (∃b ∈ A)a ◦ b = b ◦ a = e. Elemenatb nazivamo inverznim elementom elementa a i obiljeºavamo ga sa a∗.

Na primjer sabiranje i mnoºenje na skupu prirodnih brojeva posjedujeosobine asocijativnosti i komutativnosti. Mnoºenje ima neutralan element(1), dok u skupu prirodnih brojeva ne postoji neutralni element za sabiranje

13


(0 ne pripada skupu prirodnih brojeva). U skupu prirodnih brojeva ,naprimjer, broj 2 nije invertibilan u odnosu na mnoºenje, ne postoji njegovinverzni element.

Zadatak 1.6. Neka je na skupu R de�nisana relacija ◦. Ispitati osobineasocijativnosti i komutativnosti.

a) a ◦ b = a+b2,

b) a ◦ b = ab+ a− b.

Uvedene osobine omogu¢avaju de�niranje sloºenijih algebarskih strukturau odnosu na grupoid.

De�nicija 1.12. Asocijativan grupoid (G, ◦) je polugrupa.

De�nicija 1.13. Gupoid (G, ◦) koji je asocijativan, u kojem postoji baremjedan neutralni elemenat i u kojem je svaki elemenat invertibilan je grupa.

De�nicija 1.14. Grupa (G, ◦) u kojoj operacija ◦ zadovoljava svojstvo ko-mutativnosti je Abelova grupa.

De�nicija 1.15. Neka je (G, ◦) grupa i H ⊂ G takav da je (H, ◦) grupa,tada kaºemo da je (H, ◦) podgrupa grupe (G, ◦).

Primjer 1.8. (i) (Z,+), (Q,+) i (R,+) su primjeri Abelovih grupa. Ne-utralni element je 0, a inverzni element elementa a je −a.

(i) (Q \ {0}, ·) i (R \ {0}, ·) su primjeri Abelovih grupa. Neutralni elementje 1, a inverzni element elementa a je 1

a. Za grupu na kojoj je operacija

◦ operacija mnoºenja kaºemo da je multiplikativna.

Primjer 1.9. Ure�en par (Rn,+), pri £emu je operacija sabiranja de�nisanapo komponentama, to jeste sa

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

je Abelova grupa. Ova £injenica proizilazi iz £injenice da je (R,+) i na£inana koji je de�nisana operacija sabiranja. Neutralni element je (0, . . . , 0), ainverznoi element elementa (x1, . . . , xn) je (−x1, . . . ,−xn).

14


Za grupu na kojoj je operacija ◦ obiljeºena znakom + kaºemo da je adi-tivna, tada se neutralni elementa naziva nulom i obiljeºava sa 0, a inverznielemenat elementa a se naziva suprotnim i ozna£ava se sa −a. Ukoliko jeoperacija ◦ obiljeºena sa · kaºemo da je grupa multiplikativna, neutralni ele-ment se naziva jedinica i biljeºava se sa 1, a inverzni elemenat elementa a seozna£ava sa a−1.

U narednom teoremu kojeg navodimo bez dokaza dat ¢emo osnovne oso-bine grupe.

Teorem 1.1. Neka je (G, ◦) grupa. Tada vrijedi:

(i) Neutralni element je jedinstven.

(ii) Za svaki elemenat g ∈ G inverzni element g∗ je jedinstven.

(iii) Za neutralni elemenat e ∈ G vrijedi e∗ = e.

(iv) Za svaki elemenat g ∈ G vrijedi (g∗)∗ = g.

(v) Za svaka dva elemenata g1, g2 ∈ G vrijedi (g1 ◦ g2)∗ = g∗2 ◦ g∗1.

Bogatije strukture od grupe mogu¢e je dobiti ako na nekom skupu de-�niramo dvije binarne operacije koje su me�usobno uskla�ene. Na primjerna skupovima brojeva moºemo vr²iti sabiranje i mnoºenje. Obi£no se ve¢ ude�nicijama pomenutih struktura oiperacije obiljeºavaju sa + i ·. Tako ¢emoi mi u£initi.

De�nicija 1.16. Neka je P neprazan skup na kojem su de�nirane dvijeoperacije + i ·. Ure�ena trojka (P,+, ·) je prsten ukoliko su zadovoljenisljede¢i uslovi:

(i) (P,+) je Abelova grupa,

(ii) (P, ·) je polugrupa,

(iii) zadovoljene su osobine distribuditvnosti date sa

(∀a, b, c ∈ P )a · (b+ c) = a · b+ a · c

(∀a, b, c ∈ P )(a+ b) · c = a · c+ b · c.

Primjer 1.10. (Z,+, ·), (Q,+, ·) i (R,+, ·) su prsteni.

15

1.4.Elementi teorije vektorskih prostora Doc. dr. Almasa Odºak

Za neutralni elemenat 0 Abelove grupe (P,+) kaºemo da je nula prstena(P,+, ·). Ukoliko polugrupa (P, ·) ima neutralni elemenat kaºemo da je tojedinica prstena (P,+, ·) i obiljeºanamo je 1. Za prsten kaºemo da je prsten sjedinicom. Za prsten (P,+, ·) kaºemo da je komutativan ukoliko je operacija· komutativna.

Narednim teoremom navodimo osnovne osobine prstena.

Teorem 1.2. Neka je (P,+, ·) prsten. Tada za svako a, b, c ∈ P vrijedi:

(i) a · 0 = 0 · a = 0.

(ii) −a · b = −(a · b) = a · (−b).

(iii) (−a) · (−b) = a · b).

De�nicija 1.17. Prsten (P,+, ·) u kojem je (P \ {0}, ·)) grupa je tijelo.

De�nicija 1.18. Komutativno tijelo tijelo je polje.

Primjer 1.11. (Q,+, ·), (R,+, ·) i (R,+, ·) su polja.

1.4 Elementi teorije vektorskih prostora

U prethodnom odjeljku upoznali smo se sa pojmom binarne operacije, kojomsmo paru elemenata nekog skupa pridruºivali novi elemenat tog skupa. Me-�utim, ne²to druga£ija situacija od opisane je, na primjer, operacija mnoºenjavektora skalarom. U ovom slu£aju operacija se vr²i me�u elementima dvarazli£ita skupa. Ova i sli£ne situacije opisuju se pojmom vektorskih prostora.

De�nicija 1.19. Neka je (V,+) komutativna grupa, a (F,+, ·) polje. Nekaje de�nisano preslikavanje F × V → V sa (α, a) 7→ αa, tako da za svakoa, b ∈ V i svako α, β ∈ F vrijedi

(i) α(a+ b) = αa+ αb,

(ii) (α+ β)a = αa+ βa,

(iii) α(βa) = (αβ)a,

(iv) 1a = a.

16


Tada kaºemo da je V vektorski prostor nad poljem F i ozna£avamo ga saV(F).

Elemente skupa V nazivamo vektorima, a elemente skupa F skalarima. Uslu£aju kada je polje F skup realnih brojeva govorimo o realnom, a u slu£ajuF = C o kompleksnom vektorskom prostoru.

Za operaciju uvedenu prethodnom de�nicijom kaºe se da je eksterna bi-narna operacija.

Primjer 1.12. Skup Rn u kome je sabiranje de�nirano kao u primjeru 1.9i eksterna binarna operacija R× Rn → Rn sa,

a(x1, . . . , xn) = (ax1, . . . , axn)

je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Za dati vektorski prostor mogu¢e je de�nirati i njegov podprostor.

De�nicija 1.20. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i W neprazanpodskup skupa V . W je podprostor vektorskog prostora V ako je W vektorskiprostor nad poljem F u odnosu na operacije koje su de�nisane u V .

Jednostavan kriterij za ispitivanje da li je neki skup podprostor vektorskogprostora dat je uslovom sadrºanim u sljede¢emo teoremu.

Teorem 1.3. Neka je W neprazan podskup vektorskog prostora V nad poljemF , W je podprostor vektorskog prostora V akko vrijedi

(∀a ∈ W )(α ∈ F )αa ∈ W, (1.1)

(∀a, b ∈ W )a+ b ∈ W. (1.2)

Uslov (1.1) se naziva uslovom homogenosti, dok je (1.2) uslov aditivnosti.Jednostavno se pokazuje da ovi uslovi mogu biti zamijenjeni jednim uslovdatim sa

(∀a, b ∈ W )(α, β ∈ F )αa+ βb ∈ W. (1.3)

Ovaj uslov se naziva uslovom linearnosti.Usko povezan pojam sa pojmom vektorskih prostora je pojam linearne

kombinacije, linearno zavisnih i nezavisnih vektora.

17


De�nicija 1.21. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka su vi,(i = 1, . . . n) vektori prostora V i αi, (i = 1, . . . n) skalari polja F , tadavektor

v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn

nazivamo linearnom kombinacijom vektora vi, (i = 1, . . . n) sa skalarima αi,(i = 1, . . . n).

U slu£aju kada je αi = 0, (i = 1, . . . n) kaºemo da je linearna kombinacijatrivijalna.

De�nicija 1.22. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Za vektorevi ∈ V , (i = 1, . . . n) kaºemo da su linearno zavisni ako postoje skalariαi ∈ F ,(i = 1, . . . n) od kojih je bar jedan razli£it od 0 takvi da je

α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn = 0

.

Za vektore vi ∈ V , (i = 1, . . . n) koji nisu linearno zavisno kaºemo da sulinearno nezavisni.

Sljede¢i teorem daje neke vaºen osobine linearno zavisnih i linearno ne-zavisnih vektora.

Teorem 1.4. (i) Niz vektora koji sadrºi nula vektor je zavisan.

(ii) Niz vektora koji sadrºi linearno zavisan podniz vektora je linearno za-visan.

(iii) Svaki podniz linearno nezavisnog niza je linearno nezavisan.

(iv) Ukoliko su dva vektora niza jednaka niz je linearno zavisan.

(v) Niz vektora je zavisan akko se bar jedan od njih moºe napisati kaolinearna kombinacija preostalih.

Za proizvoljno odabran skup vektora nekog prostora zna£ajno je posma-trati skup svih linearnih kombinacija vektora iz tog skupa, pokazuje se da jeto njmanji vektorski prostor koji sadrºi odabrane vektore.

18


De�nicija 1.23. Neka je S neprazan skup vektora vi, (i = 1, . . . n) vek-torskog prostora V nad poljem skalara F . Skup svih linearnih kombinacijaposmatranih vektora

L(S) = L({v1, . . . , vn}) = {α1v1 + . . .+ αnvn : αi ∈ F, i = 1, . . . , n}

nazivamo lineal vektora vi, (i = 1, . . . n).Kaºemo da je lineal L(S) generisan skupom S i da je S generator lineala

L(S).

Teorem 1.5. Lineal L({v1, . . . , vn}) vektora vi, (i = 1, . . . n) vektorskog pros-tora V nad poljem skalara F je podprostor prostora V .

Teorem 1.6. Lineal L({v1, . . . , vn}) vektora vi, (i = 1, . . . n) je najmanjivektorski prostor koji sadrºi vektore vi, (i = 1, . . . n).

Imaju¢i u vidu upravo navedeno prirodno je postaviti pitanje u kojemslu£aju skup S generi²e po£etni prostor V . Posebno zna£ajna situacija je uslu£aju kada je skup S kona£an, o tome govorimo u nastavku.

De�nicija 1.24. Ako u vektorskom prostoru V nad poljem F postoji skup Stako da je L(S) = V kaºemo da je V generisan skupom S. Ako je S kona£ankaºemo da je vektorski prostor kona£no generisan.

Postavljanjem uslova linearne nezavisnosti za elemente generatora vek-torskog prostora uvodi se pojam baze vektorskog prostora.

De�nicija 1.25. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Skup vektora Bje baza vektorskog prostora V ako je V generisan skupom B, to jeste L(B) =V i B je linearno nezavisan skup vektora u V .

Zna£aj baze ogleda se u njenim osobinama koje ¢emo navesti u narednimteoremima.

Teorem 1.7. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko je taj skup maksimalan linearno nezavisan skup.

Teorem 1.8. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko je taj skup minimalan skup koji generi²e vektorski prostor V .

Teorem 1.9. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko se svaki vektor prostora V moºe napisati kao linearna kombinacija ele-menata skupa B.

19


Teorem 1.10. Ako je V kona£no dimenzionalan vektorski prostor nad poljemF , tada sve baze imaju isti broj elemenata

Posljednji teorem je motivacija za uvo�enje pojma dimenzije.

De�nicija 1.26. Neka vektorski prostor V nad poljem F ima bazu sa nelemenata, tada se prirodan broj n naziva dimenzija kona£no dimenzionalnogvektorskog prostora. Pi²emo n = dim(V )

Teorem 1.11. Neka je V vektorski prostor nad poljem F dimenzije n. Tadasvaki skup od n linearno nezavisnih vektora £ini bazu.

Primjer 1.13. Posmatrajmo vektore

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), e3 = (0, 0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1)

prostora Rn. Skup {e1, e2, e3, . . . , en} je baza vektorskog prostora Rn. Ovabaza se £esto naziva i kanonskom. Proizvoljan element (x1, x2, x3, . . . , xn)prosotra Rn moºe se napisati preko elemenata baze na sljede¢i na£in

(x1, x2, x3, . . . , xn) = x1e1 + x2e2 + x3e3 + . . .+ xnen.

Dimenzija prostora Rn je n.

20

linearna algebra i geometrija - samo materijali i materijali · pdf file• z - skup...

Documents