lineas de influencia-segunda parte
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5.2 Lnea de influencia como diagrama de desplazamiento virtual
La lnea de influencia se puede determinar aplicando el Principio del
Desplazamiento Virtual. Para ello basta con:
a. Remover el vnculo asociado con el efecto cuya lnea de influencia se
busca.
b. Aplicar el efecto (fuerza o momento) al sistema resultante en el paso
anterior.
Sistema de Fuerza
c. Imponer al sistema resultante un desplazamiento o giro virtual en el
sentido del efecto cuya lnea de influencia se busca. Sistema de desplazamiento
Aplicando el P.T.V. se demuestra que la forma del sistema de desplazamiento
virtual resultante en c es proporcional a la lnea de inf luencia del efecto.
NOTA: Si el desplazamiento virtual impuesto es unitario, las ordenadas del
sistema de desplazamiento virtual, medidas paralelamente a la carga unitaria,
corresponden a los valores de la lnea de influencia (
(x)) del efecto
considerado
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Principio de Mller-Breslau:
Las ordenadas de la lnea de influencia de un esfuerzo interno
en una seccin o de una carga reactiva, son proporcionales a los
desplazamientos que se obtienen al eliminar el vnculo que
causa dicha accin interna o reaccin e imponer en su lugar la
deformacin virtual correspondiente.
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P.T.V.: RA1 - 1x/L = 0 RA = (x) = x/L ordenada de la deformada
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Ejemplo: Viga simplemente apoyada.
Lnea de influencia de la reaccin en el apoyo A.RA
A B
Sistema con vnculo removido
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Lnea de influencia de la fuerza de corte en la seccin C ubicada a la distancia a
del extremo A.
b=b/L
a=a/L
( ) ( ) 0)(1:... =+ xaQaQVTP ba
( ) ( ) ( ) )(11 xaQaQ ba ==+
( ) )(xaQ =
( )( )
L
b
L
a
Lba
ba
ba
ba
ba
==
=+
==+
==
,
111
=)(x( )
( )Lxbpara
L
xLxL
bxparaL
x
x
0
-L3/L2
x
x
)(x
( )1
12
22 0)( hxparaxhL
hLx
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Lneas de influencia de Rc
Rc>0
)(x
1
12
2 0)( hxparaxhL
hx
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QF
QG
MF
MG
L.I..Qf
L.I. Qg
L.I. Mf
L.I. Mg
=1
=1
Lneas de influencia de Qf
Lneas de influencia de Qg
Lneas de influencia de Mf
Lneas de influencia de Mg
s
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La ventaja de aplicar este mtodo es que se visualiza rpidamente la forma
de la lnea de influencia de un efecto , lo que permite identificarlas zonas
de la estructura donde deben ubicarse las cargas vivas para tener el
mximo valor del efecto .
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Lneas de influencia de Qg
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6. Aplicaciones de la lnea de influencia ((x)). Mximo efecto de
cargas vivas.
Una vez que se ha determinado la lnea de influencia de un efecto , (x),
se puede conocer la posicin de la carga unitaria para la cual el efecto
alcanza su valor mximo y cual es este valor.
Para el diseo de una estructura (por ejemplo: una viga), interesa
conocer el valor mximo de dicho efecto y para que posicin de las
cargas vivas se produce.
Para contestar esta ltima pregunta se vern algunos casos.
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6.1 Valor de un efecto debido a una carga viva aislada (P).
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El valor del efecto debido a una carga aislada (P), es igual al producto de la
magnitud de la carga por la ordenada de la lnea de inf luencia del efecto , medida
en el punto en que se aplica la carga (xo).
(xo)
(xo)
(xo)
(xo)
( )xoPEfecto =
P
xo
(x)
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Para obtener el valor mximo del efecto debido a una carga aislada (P),
se aplica la carga aislada en el punto en que la ordenada de la lnea de
influencia del efecto es mxima.
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( )oxPEfecto max=
P
P
P
P
xo
xo
xo
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El valor del efecto debido a un grupo de cargas aisladas (P1, P2, ,Pn) aplicado
en una posicin definida se puede obtener superponiendo los valores de cada carga
(Principio de Superposicin).
Los valores (xi) estn relacionados entre s a travs de la lnea de influencia del
efecto.
Tren de cargas puntuales
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Reaccin en apoyo A.
(x i) = y i
L
d1 d2
=1.0
6.2 Valor de un efecto debido a varias cargas aisladas.
332211PyPyPyRA ++=
( )iini
ixPEfecto =
=
=1
A B
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Para obtener el efecto producido por una carga uniformemente repartida
(wo) aplicada en una posicin definida (xM-xN), se aplica la ecuacin anterior
considerando que la carga acta en forma distr ibuida, resultando:
Posicin de la carga distribuida
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6.3 Valor de un efecto debido a cargas repartidas.
( )x
( ) ( ) ( ) dxxwdxxxwEfectoN
M
N
M
x
x
x
x == 0 ( ) dxxachuradaArea
N
M
x
x=
XM
XN
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Ejemplo: Momento de flexin en la seccin 1-1 debido a una carga uniformemente
repartida actuando en la posicin indicada.
wo
c
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x
( )( ) ( )dxxwdxxwMc
o
c
o ==00
11
Area achurada bajo lnea de inf luencia
l
cawM o
2
2
11
=
( )l
xax
=
l
ca
l
ca
A B
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Para obtener el valor mximo del efecto, se debe ubicar la carga repartida en
todas las zonas de la estructura para las cuales las ordenadas de la lnea de
influencia tiene el mismo signo del efecto .
Mximo momento positivo en la seccin 1-1 debido a sobrecarga (carga viva)
Mximo momento negativo en la seccin 1-1 debido a sobrecarga (carga viva)
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Ejemplo: Momento en seccin 1-1
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Lnea de influencia del momento en B
Lnea de influencia del momento al centro del tramo 2
B
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VALOR DE UN EFECTO PARA A UN TRENDE CARGA MOVIL
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El valor del efecto se determina considerando como variable la posicin del tren(por ejemplo la posicin del punto E del tren de carga repartido de la figura).
Lneas de inf luencia de RA
Reaccin en apoyo A
Entrando
Saliendo( ) ( )xAqxR DEA =
A B
AB
L
aq
2
2
( )
L
axL
y
+=
Valor de un efecto para un tren de carga repartida mvil .
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( )
( )axpara
xLxq
xRA
= 02
2**
( )
( )2
2** aLaq
aRA
=
( )Lxapara
L
xaLaqxRA
+=
2
22**)( ( )
L
aqLRA
2
* 2=
( ) ( )
( )aLxLparaL
xaLxRA +
+=
2
2
L
aq
2
* 2
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Cuando hay varias cargas aisladas mviles de magnitud y separacin
invariable, como es el caso de vehculos, gras, etc, el valor mximo del
efecto se producir cuando una de las cargas aisladas est en la posicin dela lnea de influencia donde el valor del efecto es mximo. As el problema se
reduce a hallar cul de las cargas aisladas debe estar en esa posicin.
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Valor de un efecto para un tren de carga aisladas mvil .
En general no es posible determinar por simple inspeccin cual de las cargas
aisladas debe colocarse en la posicin destacada.
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El valor del efecto que resulta al ubicar el tren de cargas en una posicindeterminada, se calcula con la ecuacin siguiente:
donde:
(x) = ordenada de la lnea de influencia en la posicin de la carga Pi del tren
de cargas.
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( )=
=
=ni
i
iii xPEfecto1
D t t d I i Ci il U i id d d Chil
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La posicin del tren de carga queda representada por la posicin de la carga P1, x , as el valor de la reaccin en el apoyo A es funcin de esta variable x, RA(x).
Lneas de inf luencia de RA
Ejemplo:Reaccin en apoyo A
RA(x)
A B
Entrando Saliendo
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( ) ( )
L
xLPxRA
= 1
( ) ( ) ( )
L
axLP
L
xLPxRA
++
= 21
( ) ( ) ( ) ( )
L
baxLP
L
axLP
L
xLPxRA
+++
++
= 321
( ) ( ) ( )
L
baxLP
L
axLPxRA
)32 ++++
=
( ) ( )
L
baxLPxRA
++= 3
( ) ( ) 321
max) PL
bLPL
baLPRA ++=
P3 ubicado donde la L.I. RA es mxima, es decir sobre apoyo A.