lista trigonometria

TRIGONOMETRIA ENSINO MDIO

PROFESSOR GILMAR BORNATTO Pgina 1

TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO

(Puccamp) Construda a toque de caixa pelo regime

militar, Tucuru inundou uma rea de 2 000 km, sem

que dela se retirasse a floresta. A decomposio

orgnica elevou os nveis de emisso de gases, a

ponto de fazer da represa, nos anos 90, a maior

emissora de poluentes do Brasil. Ganhar a vida

cortando rvores submersas exige que um

mergulhador desa a mais de 20 metros, com

praticamente zero de visibilidade e baixas

temperaturas. Amarrado ao tronco da rvore, maneja

a motosserra.

(Adaptado de Veja. ano 37. n.23. ed. 1857.

So Paulo: Abril. p.141)

1. Uma vez serrada, a rvore puxada e amarrada a

pedaos de madeira seca.

No instante em que o tronco de madeira de 20 m de

comprimento forma um ngulo com a vertical de 15

m, o valor de cos 2 e igual a

a) 3/2

b) 9/8

c) 9/16

d) 7/16

e) 1/8

TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES.

(Unb) Volume de ar em um ciclo respiratrio

O volume total de ar, em litros, contido nos

dois pulmes de um adulto em condies fsicas

normais e em repouso pode ser descrito como

funo do tempo t, em segundos, por

V(t) = 3.(1 - cos(0,4t))/2

O fluxo de ar nos pulmes, em litros por segundo,

dado por

v(t) = 0,6 sen(0,4t).

Os grficos dessas funes esto representados na

figura adiante.

2.

Com base nas informaes do texto, julgue os itens

a seguir.

(1) O grfico I representa V(t) e o grfico II, v(t).



(2) O volume mximo de ar nos dois pulmes

maior que um litro.

(3) O perodo de um ciclo respiratrio completo

(inspirao e expirao) de 6 segundos.

(4) A freqncia de v(t) igual metade da

freqncia de V(t).

3.

Com base nas informaes do texto, julgue os itens

a seguir, com respeito ao fluxo de ar nos pulmes.

(1) O fluxo negativo quando o volume decresce.

(2) O fluxo mximo quando o volume mximo.

(3) O fluxo zero quando o volume mximo ou

mnimo.


(Puccamp) O subir e descer das mars regulado

por vrios fatores, sendo o principal deles a atrao

gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezssemos

os demais fatores, teramos sempre o intervalo de

12,4 horas entre duas mars altas consecutivas, e

tambm sempre a mesma altura mxima de mar,

por exemplo, 1,5 metros. Nessa situao, o grfico

da funo que relacionaria tempo (t) e altura de mar

(A) seria semelhante a este:

4.

O fenmeno das mars pode ser descrito por uma

funo da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a medido

em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas

mars altas sucessivas 12,4 horas, tendo sempre a

mesma altura mxima de 1,5 metros, ento

a) b = (5)/31

b) a + b = 13,9

c) a - b = /1,5

d) a . b = 0,12

e) b = (4)/3


(Ufba) Na(s) questo(es) a seguir escreva nos

parnteses a soma dos itens corretos.

5. Em trigonometria, verdade:

(01) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro

quadrante, ento cos (x/2) = -1/5.

(02) se x + y = /3, ento cos(3x - 3y) = 2 sen3y - 1.

(04) Existe x [/4, 5/2], tal que senx + 3 cosx =

3.

(08) A funo inversa de f(x) = cos g(x) = sec x.



(16) Num tringulo, a razo entre dois de seus lados

2, e o ngulo por eles formado mede 60; ento o

tringulo retngulo.

Soma ( )


(Cesgranrio) Uma quadra de tnis tem 23,7m de

comprimento por 10,9m de largura. Na figura a

seguir, est representado o momento em que um

dos jogadores d um saque. Sabe-se que este atinge

a bola no ponto A, a 3m do solo, e que a bola passa

por cima da rede e toca o campo adversrio no ponto

C, a 17m do ponto B.

6.

Tendo em vista os dados apresentados, possvel

afirmar que o ngulo , representado na figura,

mede:

a) entre 75 e 90.

b) entre 60 e 75.

c) entre 45 e 60.

d) entre 30 e 45.

e) menos de 30.

TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES.

(Ufpe) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa

a soma das riquezas e dos servios produzidos por

uma nao) de certo pas, no ano 2000+x, dado,

em bilhes de dlares, por

P(x) = 500 + 0,5x + 20cos(x/6)

onde x um inteiro no negativo.

7. Determine, em bilhes de dlares, o valor do PIB

do pas em 2004.

8. Em perodos de 12 anos, o PIB do pas aumenta

do mesmo valor, ou seja, P(x+12) - P(x) constante.

Determine esta constante (em bilhes de dlares).

9. (Uff) No processo de respirao do ser humano, o

fluxo de ar atravs da traquia, durante a inspirao

ou expirao, pode ser modelado pela funo F,

definida, em cada instante t, por F(t) = M sen wt.

A presso interpleural (presso existente na caixa

torcica), tambm durante o processo de respirao,

pode ser modelada pela funo P, definida, em cada

instante t, por P(t) = L - F(t + a).

As constantes a, L, M e w so reais, positivas e

dependentes das condies fisiolgicas de cada

indivduo.

(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES,

J.E.M. Clculo para Cincias Mdicas e Biolgicas,

ed. HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)

Um possvel grfico de P, em funo de t, :



10. (Ufpe) Quantas solues a equao

senx + [(senx)/2] + [(senx)/4] + ... = 2,

cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos

termos de uma progresso geomtrica, de primeiro

termo senx e razo (senx)/2, admite, no intervalo

[0, 20]?

11. (Ufpr) Considere as matrizes a seguir, onde a, b,

c e so nmeros reais. Assim, correto afirmar:

(01) Os valores de a e b para os quais A = B so,

respectivamente, 2 e -1.

(02) Para que a matriz A seja igual matriz B,

necessrio que c seja nmero negativo.

(04) Se b = 0 e c = -1, ento o elemento na posio

"2@

linha, 2@

coluna" da matriz (A.B) log10 2.

(08) Se = 0 e c = 0, ento a matriz A tem inversa,

qualquer que seja o valor de b.

(16) Todos os valores de para os quais A = B so

da forma 2k /3, onde k nmero inteiro.

Soma ( )

12. (Unicamp) Dado o sistema linear homogneo:

[cos ] [2 ] 0

[cos ] [cos ] 0

sen x sen y

x sen y

a) Encontre os valores de para os quais esse

sistema admite soluo no-trivial, isto , soluo

diferente da soluo x = y = 0.

b) Para o valor de encontrado no item (a) que est

no intervalo [0, /2], encontre uma soluo no-trivial

do sistema.

13. (Unirio) Um engenheiro est construindo um

obelisco de forma piramidal regular, onde cada

aresta da base quadrangular mede 4m e cada aresta

lateral mede 6m. A inclinao entre cada face lateral

e a base do obelisco um ngulo tal que:

a) 60 < < 90

b) 45 < < 60

c) 30 < < 45

d) 15 < < 30

e) 0 < < 15

14. (Ita) Um dos catetos de um tringulo retngulo

mede 2 cm. O volume do slido gerado pela

rotao deste tringulo em torno da hipotenusa

cm. Determine os ngulos deste tringulo.



15. (Unifesp) Considere a reta de equao 4x - 3y +

15 = 0, a senide de equao y = sen(x) e o ponto P

= (/2, 3), conforme a figura.

A soma das distncias de P reta e de P senide

:

a) (12 + 2)/5

b) (13 + 2)/5

c) (14 + 2)/5

d) (15 + 2)/5

e) (16 + 2)/5

16. (Ufv) Sejam as funes reais f e g dadas por:

CORRETO afirmar que:

a) f(/4) < g(/3)

b) f(/6) < g(/4)

c) f() . g(0) = 2

d) f(0) . g() = - 2

e) f() . g() = 2

17. (Ufu) Determine a soma das razes de log(senx)-

log(cosx+senx)=0, contidas no intervalo [-2, 2].

18. (Ufal) O mais amplo domnio real da funo

definida por y=log[sen(x)] o conjunto dos nmeros

reais x tais que, para todo k Z,

a) -k < x < k

b) k < x < (k - 1)

c) k < x < (k + 1)

d) 2k < x < (2k - 1)

e) 2k < x < (2k + 1)

19. (Unicamp) Considere dois tringulos retngulos

T e T, cada um deles com sua hipotenusa medindo

1cm. Seja a medida de um dos ngulos agudos de

T e 2 a medida de um dos ngulos agudos de T.

a) Calcule a rea de T para = 22,5.

b) Para que valores de a rea de T menor que a

rea de T?

20. (Fgv) Na figura esto representados dois

quadrados de lado d e dois setores circulares de 90

e raio d:

Sabendo que os pontos A, E e C esto alinhados, a

soma dos comprimentos do segmento CF e do arco

de circunferncia AD, em funo de d, igual a

a) {[2(3) + ]/6} d

b) [(3 + )/6] d



c) {[4(3) + ]/12} d

d) [(12 + )/24] d

e) {[2(3) + ]/12} d

21. (Unesp) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo

rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda

maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor

medindo 2 dm e a distncia entre os centros A e B

das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao

serem apoiadas no solo horizontal, podem ser

representadas no plano (desprezando-se os pneus)

como duas circunferncias, de centros A e B, que

tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado

na figura.

a) Determine a distncia entre os pontos de

tangncia P e Q e o valor do seno do ngulo BPQ.

b) Quando a bicicleta avana, supondo que no haja

deslizamento, se os raios da roda maior descrevem

um ngulo de 60, determine a medida, em graus, do

ngulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule,

tambm, quantas voltas ter dado a roda menor

quando a maior tiver rodado 80 voltas.

22. (Fuvest) Considere um arco AB de 110 numa

circunferncia de raio 10cm. Considere, a seguir, um

arco A'B' de 60 numa circunferncia de raio 5cm.

Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco

A'B' (ambos medidos em cm), obtm-se:

a) 11/6.

b) 2.

c) 11/3.

d) 22/3.

e) 11.

23. (Ufpe) Trs coroas circulares dentadas C, C e

C de raios r=10cm, r=2cm e r=5cm

respectivamente esto perfeitamente acopladas

como na figura a seguir. Girando-se a coroa C de

um ngulo de 41 no sentido horrio, quantos graus

girar a coroa C?

24. (Mackenzie) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, ento tg 2x

vale:

a) 24/7.

b) - 24/7.

c) - 8/3.

d) 8/3.

e) - 4/3.

25. (Uel) Dos nmeros a seguir, o mais prximo de

sen 5

a) 1

b) 1/2

c) 0

d) -1/2

e) -1



26. (Cesgranrio) Sendo A = [7 cos(5 - x) - 3 cos(3

+ x)]/{8 sen [(/2) - x)]}, com x (/2) + k, k Z,

ento:

a) A = -1

b) 2A = 1

c) 2A + 1 = 0

d) 4A + 5 = 0

e) 5A - 4 = 0

27. (Fuvest) O permetro de um setor circular de raio

R e ngulo central medindo radianos igual ao

permetro de um quadrado de lado R. Ento

igual a

a) /3

b) 2

c) 1

d) 2/3

e) /2

28. (Unb) O radar um aparelho que usa o princpio

da reflexo de ondas para determinar a posio de

um objeto que se encontra distante ou encoberto por

nevoeiro ou nuvem. A posio do objeto indicada

sob a forma de um ponto luminoso que aparece na

tela do radar, que apresenta ngulos e crculos

concntricos, cujo centro representa a posio do

radar, conforme ilustra a figura abaixo.

Considere que os pontos A e B da figura sejam

navios detectados pelo radar, o navio A est a 40km

do radar e o navio B, a 30km. Com base nessas

informaes e desconsiderando as dimenses dos

navios, julgue os itens que se seguem.

(1) A distncia entre os navios A e B maior que 69

km.

(2) Se, a partir das posies detectadas pelo radar,

os navios A e B comearem a se movimentar no

mesmo instante, em linha reta, com velocidades

constantes e iguais, o navio A para o leste e o navio

B para o norte, ento eles se chocaro.

(3) A partir da posio detectada pelo radar, caso B

se movimente sobre um crculo de raio igual a 30km,

no sentido anti-horrio, com velocidade constante de

40km/h ento, em 10min, o navio B percorrer um

arco correspondente a (40/).

29. (Ufrs) Os ponteiros de um relgio marcam duas

horas e vinte minutos. O menor ngulo entre os

ponteiros

a) 45

b) 50

c) 55

d) 60



e) 65

30. (Ufrs) Considere as seguintes afirmaes para

arcos medidos em radianos:

I) sen 1 < sen 3

II) cos 1 < cos 3

III) cos 1 < sen 1

Quais so verdadeiras?

a) Apenas I verdadeira.

b) Apenas II verdadeira.

c) Apenas III verdadeira.

d) So verdadeiras apenas I e II.

e) So verdadeiras I, II e III.

31. (Ufscar) O valor de x, 0 x /2, tal que 4 . (1 -

sen x) . (sec x - 1) = 3

a) /2.

b) /3.

c) /4.

d) /6.

e) 0.

32. (Ufscar) Se o ponteiro dos minutos de um relgio

mede 12 centmetros, o nmero que melhor

aproxima a distncia em centmetros percorrida por

sua extremidade em 20 minutos : (considere

=3,14)

a) 37,7 cm.

b) 25,1 cm.

c) 20 cm.

d) 12 cm.

e) 3,14 cm.

33. (Ufrs) Se o ponteiro menor de um relgio

percorre um arco de /12 rad, o ponteiro maior

percorre um arco de

a) /6 rad.

b) /4 rad.

c) /3 rad.

d) /2 rad.

e) rad.

34. (Ufal) Se a medida de um arco, em graus, igual

a 128, sua medida em radianos igual a

a) (/4) - 17

b) (64/15)

c) (64/45)

d) (16/25)

e) (32/45)

35. (Uflavras) s 11 horas e 15 minutos, o ngulo

(figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relgio

mede

a) 90

b) 112 30'

c) 82 30'

d) 120

e) 127 30'



36. (Uflavras) A figura MNPQ um retngulo inscrito

em um crculo. Se a medida do arco AM /4 rad,

as medidas dos arcos AN e AP, em radianos,

respectivamente, so:

a) 3/4 e 5/4

b) e 3/2

c) 3/4 e 2

d) /2 e 5/4

e) 3/4 e 5/8

37. (Ufc) Sabendo que cos = (3)/2 e que sen = -

1/2, podemos afirmar corretamente que cos[( +

(/2)] + sen[ + (/2)]

igual a:

a) 0

b) [-(3)/2] - (1/2)

c) [(3)/2] + (1/2)

d) [(3)/2] - (1/2)

e) [-(3)/2] + (1/2)

38. (Ufrn) No prottipo antigo de uma bicicleta,

conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de

raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O nmero

mnimo de voltas completas da roda maior para que

a roda menor gire um nmero inteiro de vezes

a) 5 voltas.

b) 7 voltas.

c) 9 voltas.

d) 11 voltas.

39. (Mackenzie) Um veculo percorre uma pista

circular de raio 300 m, com velocidade constante de

10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores

abaixo, o mais prximo da medida, em graus, do

arco percorrido :

a) 90

b) 115

c) 145

d) 75

e) 170

40. (Ufscar) O grfico em setores do crculo de

centro O representa a distribuio das idades entre

os eleitores de uma cidade. O dimetro mede 10

cm e o comprimento do menor arco AC (5/3) cm.



O setor x representa todos os 8000 eleitores com

menos de 18 anos, e o setor y representa os

eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo nmero

a) 12000

b) 14800

c) 16000

d) 18000

e) 20800

41. (Uff) A localizao de um ponto qualquer na

superfcie da Terra (considerada como uma esfera)

feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo

uma delas a latitude - que o ngulo (em grau) entre

o plano que contm a linha do equador e o segmento

que une o centro da esfera ao ponto em questo.

Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de

Macap situam-se, praticamente, no mesmo

meridiano.

Considere que a cidade de Macap (ponto M)

localiza-se bem prximo da linha do equador (latitude

= 002'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre

(ponto P) de 3001'59" ao sul e que o valor do

dimetro da Terra de 12750 quilmetros. Veja

figura a seguir:

Tendo em vista tais consideraes, pode-se afirmar

que a distncia, em quilmetro, entre as duas

cidades de aproximadamente:

a) 2300

b) 3300

c) 4600

d) 6600

e) 9000

42. (Ufrs) Dentre os desenhos abaixo, aquele que

representa o ngulo que tem medida mais prxima

de 1 radiano

43. (Uerj) A Terra pode ser representada por uma

esfera cujo raio mede 6.400 km.



Na representao abaixo, est indicado o trajeto de

um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.

Qualquer ponto da superfcie da Terra tem

coordenadas (x ; y), em que x representa a longitude

e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C

esto indicadas na tabela a seguir.

Considerando igual a 3, a distncia mnima, em

km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC igual

a:

a) 11.200

b) 10.800

c) 8.800

d) 5.600

44. (Ufg) Deseja-se marcar nas trajetorias circulares

concentricas, representadas na figura abaixo, os

pontos A e B, de modo que dois mveis partindo,

respectivamente, dos pontos A e B, no sentido

horrio, mantendo-se na mesma trajetria, percorram

distncias iguais at a linha de origem.

Considerando que o ponto A dever ser marcado

sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B

a 10 m do centro, o valor do ngulo , em graus,

ser igual a

a) 30

b) 36

c) 45

d) 60

e) 72

45. (Ufg) O mostrador do relgio de uma torre

dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das

quais subdividida em outras 5 partes iguais

(minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm

e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual ser a

distncia AB, em funo do ngulo entre os

ponteiros, quando o relgio marcar 1 hora e 12

minutos?



46. (Puccamp) Ao descrever o tipo de salto de uma

ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se

seus dedos dos ps descrevessem no espao um

arco de circunferncia de 124 cm de comprimento."

Considerando que cada perna dessa ginasta,

juntamente com seu p esticado, estejam em linha

reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ngulo de

abertura de suas pernas era

(Use: = 3,1)

a) -1

b) -(3)/2

c) -(2)/2

d) -1/2

e) 1/2

47. (Unesp) Em um jogo eletrnico, o "monstro" tem

a forma de um setor circular de raio 1 cm, como

mostra a figura.

A parte que falta no crculo a boca do "monstro", e

o ngulo de abertura mede 1 radiano. O permetro do

"monstro", em cm, :

a) - 1.

b) + 1.

c) 2 - 1.

d) 2.

e) 2 + 1.

48. (Ufscar) Uma pizza circular ser fatiada, a partir

do seu centro, em setores circulares. Se o arco de

cada setor medir 0,8 radiano, obtm-se um nmero

mximo N de fatias idnticas, sobrando, no final,

uma fatia menor, que indicada na figura por fatia

N+1.

Considerando = 3,14, o arco da fatia N+1, em

radiano,

a) 0,74.

b) 0,72.

c) 0,68.

d) 0,56.

e) 0,34.

49. (Ufpr) Maria e seus colegas trabalham em uma

empresa localizada em uma praa circular. Essa

praa circundada por uma calada e dividida em

partes iguais por 12 caminhos retos que vo da

borda ao centro da praa, conforme o esquema

abaixo. A empresa fica no ponto E, h um

restaurante no ponto R, uma agncia de correio no

ponto C e uma lanchonete no ponto L. Quando saem

para almoar, as pessoas fazem caminhos

diferentes: Maria sempre se desloca pela calada

que circunda a praa; Carmen sempre passa pelo

centro da praa, vai olhar o cardpio do restaurante

e, se este no estiver do seu agrado, vai almoar na



lanchonete, caminhando pela calada; Srgio

sempre passa pelo centro da praa e pelo correio,

da seguindo pela calada para a lanchonete ou para

o restaurante. Sabendo que as pessoas sempre

percorrem o menor arco possvel quando caminham

na calada que circunda a praa, avalie afirmativas a

seguir:

I. Quando Carmen e Srgio vo almoar na

lanchonete, ambos percorrem a mesma distncia.

II. Quando Maria e Srgio vo almoar na

lanchonete, quem percorre a menor distncia

Maria.

III. Quando todos os trs vo almoar no restaurante,

Carmen percorre a menor distncia.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa I verdadeira.

b) As afirmativas I, II e III so verdadeiras.

c) Somente as afirmativas II e III so verdadeiras.

d) Somente as afirmativas I e III so verdadeiras.

e) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras.

50. (Uerj)

No esquema acima esto representadas as

trajetrias de dois atletas que, partindo do ponto X,

passam simultaneamente pelo ponto A e rumam

para o ponto B por caminhos diferentes, com

velocidades iguais e constantes. Um deles segue a

trajetria de uma semicircunferncia de centro O e

raio 2R. O outro percorre duas semicircunferncias

cujos centros so P e Q.

Considerando 2 = 1,4, quando um dos atletas tiver

percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distncia

entre eles ser igual a:

a) 0,4 R

b) 0,6 R

c) 0,8 R

d) 1,0 R

51. (Uel) Os primeiros relgios baseavam-se no

aparente movimento do Sol na abboda celeste e no

deslocamento da sombra projetada sobre a

superfcie de um corpo iluminado pelo astro.

Considere que: a Terra esfrica e seu perodo de

rotao de 24 horas no sentido oeste-leste; o

tempo gasto a cada 15 de rotao de 1 hora; o

tringulo Braslia/Centro da Terra/Luzaka (Zmbia)

forma, em seu vrtice central, um ngulo de 75.



A hora marcada em Luzaka, num relgio solar,

quando o sol est a pino em Braslia :

a) 5 horas.

b) 9 horas.

c) 12 horas.

d) 17 horas.

e) 21 horas.

52. (Ufu) Encontre o valor mximo e o valor mnimo

que a funo

f(x) = (cos x) + (sen x) pode assumir.

Observao:

Lembre-se de que

a+b=(a+b)((a+b) - 3ab).

53. (Uem) Considere um ponto P(x,y) sobre a

circunferncia trigonomtrica e que no esteja sobre

nenhum dos eixos coordenados. Seja o ngulo

determinado pelo eixo OX e pela semi-reta OP, onde

O a origem do sistema. Nessas condies,

assinale o que for correto.

01) A abscissa de P menor do que cos().

02) A ordenada de P igual a

sen[ + (/2)].

04) A tangente de determinada pela razo entre

a ordenada e a abscissa de P.

08) As coordenadas de P satisfazem equao

x + y = 1.

16) Se x = y, ento cotg() = -1.

32) = /4 o menor arco positivo para o qual a

equao cos( + ) + sen[ + (/2)] = cos[( +

(/2)] + sen( + ) satisfeita.

64) sen(2) = 2y.

54. (Fuvest) O valor de (tg 10+cotg 10)sen 20 :

a) 1/2

b) 1

c) 2

d) 5/2

e) 4

55. (Fuvest) Dentre os nmeros a seguir, o mais

prximo de sen50 :

a) 0,2.

b) 0,4.

c) 0,6.

d) 0,8.

e) 1,0.

56. (Fuvest) O menor valor de 1/ (3-cos x), com x

real, :

a) 1/6.

b) 1/4.

c) 1/2.

d) 1.

e) 3.



57. (Ita) Seja a funo f: RR definida por:

onde a > 0 uma constante. Considere

K={y R; f(y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se

que f(/2) K?

a) /4

b) /2

c)

d) /2

e)

58. (Ita) A expresso sen /(1+cos),

0 < < , idntica a:

a) sec (/2)

b) cosec (/2)

c) cotg (/2)

d) tg (/2)

e) cos (/2)

59. (Fuvest) Considere a funo

f(x) = senx+ sen5x.

a) Determine as constantes k, m e n tais que

f(x)=k.sen(mx).cos(nx)

b) Determine os valores de x, 0 x , tais que

f(x)=0.

60. (Unicamp) Encontre todas as solues do

sistema:

( ) 0

( ) 0

sen x y

sen x y

que satisfaam 0 x e 0 y .

61. (Unitau) Indique a funo trigonomtrica f(x) de

domnio R; Im = [-1, 1] e perodo que

representada, aproximadamente, pelo grfico a

seguir:

a) y = 1 + cos x.

b) y = 1 - sen x.

c) y = sen (-2x).

d) y = cos (-2x).

e) y = - cos x.

62. (Unitau) O perodo da funo y = sen(2.x) :

a) 2/2.

b) /2.

c) /2.

d) 2.

e) 22.

63. (Fuvest) A equao f(x) = -10 tem soluo real se

f(x) :

a) 2

b) log (| x | + 1)

c) sen x

d) tg x

e) x + 2x - 4



64. (Fuvest) No estudo do Clculo Diferencial e

Integral, prova-se que a funo cos x (co-seno do

ngulo de x radianos) satisfaz a desigualdade:

f(x) = 1 - (x/2) cos x 1 - (x/2) + (x/24) = g(x)

a) Calcule o co-seno de 0,3 radianos usando f(x)

como aproximao de cos x.

b) Prove que o erro na aproximao anterior

inferior a 0,001 e conclua que o valor calculado

exato at a segunda casa decimal.

65. (Unicamp) Para medir a largura de um rio um

homem usou o seguinte procedimento: localizou um

ponto B de onde podia ver na margem oposta o

coqueiro C, de forma que o ngulo ABC fosse 60;

determinou o ponto D no prolongamento de de

forma que o ngulo CBD fosse de 90. Medindo

=40 metros, achou a largura do rio. Determine

essa largura e explique o raciocnio.

66. (Fuvest) Na figura a seguir, a reta r passa pelo

ponto T=(0,1) e paralela ao eixo Ox. A semi-reta Ot

forma um ngulo com o semi-eixo Ox (0



69. (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do grfico

da funo:

a) sen x

b) 2 sen (x/2)

c) 2 sen x

d) 2 sen 2x

e) sen 2x

70. (Fuvest) Considere a funo

f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x).

a) Resolva a equao f(x) = 0 no intervalo [0,].

b) O grfico de f pode interceptar a reta de equao

y=8/5? Explique sua resposta.

71. (Cesgranrio) Se x ngulo agudo, tg (90+x)

igual a:

a) tg x

b) cot x

c) - tg x

d) - cot x

e) 1 + tg x

72. (Ufes) O grfico da funo

f(x) = cosx + |cos x|, para x [0, 2] :

73. (Fatec) Se sen 2x =1/2, ento tg x + cotg x

igual a:

a) 8

b) 6

c) 4

d) 2

e) 1

74. (Fei) Sabendo que tg(x) = 12/5 e que

< x < 3/2, podemos afirmar que:

a) cotg(x) = - 5/12

b) sec(x) = 13/5

c) cos(x) = - 5/13

d) sen(x) = 12/13

e) nenhuma anterior correta

75. (Fei) Dado o trapzio conforme a figura a seguir,

o valor do seno do ngulo :



a) 0,8

b) 0,7

c) 0,6

d) 0,5

e) 0,4333...

76. (Ita) Seja [0, /2], tal que sen+cos=m.

Ento, o valor de y=sen2/(sen+cos) ser:

a) 2(m - 1)/m(4 - m)

b) 2(m + 1)/m(4 + m)

c) 2(m - 1)/m(3 - m)

d) 2(m - 1)/m(3 + m)

e) 2(m + 1)/m(3 - m)

77. (Puccamp) Observe o grfico a seguir.

A funo real de varivel real que MELHOR

corresponde a esse grfico

a) y = cos x

b) y = sen x

c) y = cos 2x

d) y = sen 2x

e) y = 2 sen x

78. (Unicamp) Ache todos os valores de x, no

intervalo [0, 2], para os quais

2 3cos

2senx x

79. (Uel) O valor expresso

cos (2/3) + sen (3/2) + tg (5/4)

a) (2-3)/2

b) -1/2

c) 0

d) 1/2

e) 3/2

80. (Uel) O valor da expresso

[sen(8/3) - cos(5)] / tg(13/6)

a) ( 3 + 23 )/2

b) ( 32 + 23 )/2

c) 3 + 23

d) 32 + 23

e) 3( 2 + 3 )

81. (Ufmg) Observe a figura.

Nessa figura, esto representados os grficos das

funes f e g.



Se h (x) = [f (2x) + g (2x + a)] / f (g(x)), ento o valor

de h(a)

a) 1 + a

b) 1 + 3a

c) 4/3

d) 2

e) 5/2

82. (Unesp) Pode-se afirmar que existem valores de

x R para os quais

cosx - senx DIFERENTE de:

a) 1 - 2senx

b) cosx - senx

c) (1/2) + (1/2) cos2x

d) 2cosx - 1

e) cos 2x

83. (Unesp) Sabe-se que um dos ngulos internos de

um tringulo mede 120. Se os outros dois ngulos,

x e y, so tais que

(cos x/cos y) = (1 + 3)/2, a diferena entre as

medidas de x e y

a) 5

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

84. (Pucsp) O grfico seguinte corresponde a uma

das funes de IR em IR a seguir definidas. A qual

delas?

a) f(x) = sen 2x + 1

b) f(x) = 2 sen x

c) f(x) = cos x + 1

d) f(x) = 2 sen 2x

e) f(x) = 2 cos x + 1

85. (Mackenzie) I) sen 2 > sen 3

II) sen 1 > sen 30

III) cos 2 > cos 3

Relativamente s desigualdades acima, correto

afirmar que:

a) todas so verdadeiras.

b) todas so falsas.

c) somente I e II so verdadeiras.

d) somente II e III so verdadeiras.

e) somente I e III so verdadeiras.

86. (Faap) Uma placa publicitria de altura h metros

est colocada no alto de um edifcio com a sua parte

inferior a y metros acima do nvel do olho do

observador, conforme a figura a seguir:



A altura h (em metros) da placa publicitria pode ser

expressa:

a) h = d (tg - tg )

b) h = d tg

c) h = tg ( - )/d

d) h = d (sen + cos )

e) h = d tg /2

87. (Faap) Uma placa publicitria de altura h metros

est colocada no alto de um edifcio com a sua parte

inferior a y metros acima do nvel do olho do

observador, conforme a figura a seguir:

Para o nvel do olho do observador a 1,70 metros

acima do nvel do solo, = /3 e d = 10 metros, a

altura do prdio (em metros)

a) (103)/3 + 1,70

b) 103 + 1,70

c) 6,70

d) (103)/2 + 1,70

e) 15,0

88. (Mackenzie) I - Se 0 < x < /2, ento os pontos

(sen x, -cos x), (-sen x, cos x) e (-1, cos x) sempre

so vrtices de um tringulo.

II - Se a e b so nmeros reais tais que a > b > 0,

ento as retas x - ay + a = 0 e x + by + b = 0 nunca

so paralelas.

III - A reta x + y - 52 = 0 tangente curva

x + y - 25 = 0.

Relativamente s afirmaes acima, podemos

afirmar que:

a) somente I e II so verdadeiras.

b) somente I e III so verdadeiras.

c) somente II e III so verdadeiras.

d) todas so falsas.

e) todas so verdadeiras.

89. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar

de 3 metros de largura equipado com um ajustador

hidrulico. medida que o sol se eleva, o painel

ajustado automaticamente de modo que os raios do

sol incidam perpendicularmente nele.



O valor de y (em metros) em funo de :

a) y = 3 sen

b) y = 3 sen + 3

c) y = 3 tg

d) y = 3 cos

e) impossvel de ser determinado






Para = /3, o valor de y (em metros) :

a) 33/2

b) 3/2

c) 32/2

d) 3







Para = /3, o valor de x (em metros) :

a) 33/2

b) 5/2

c) 3/2

d) 3


92. (Faap) Num trabalho prtico de Topografia, um

estudante de engenharia Civil da FAAP deve

determinar a altura de um prdio situado em terreno

plano. Instalado o aparelho adequado num ponto do

terreno, o topo do prdio visto sob ngulo de 60.

Afastando-se o aparelho mais 10 metros do edifcio,

seu topo para a ser visto sob ngulo de 45.

Desprezando-se a altura do aparelho, a altura do

edifcio (em metros) :

a) 10(3) + 1

b) [(3)/3] + 10

c) (103)/(3 - 1)

d) (3/3)/(10 + 3)

e) (10 + 3)/3



93. (Faap) Considerando 0 x 2, o grfico a

seguir corresponde a:

a) y = sen (x + 1)

b) y = 1 + sen x

c) y = sen x + cos x

d) y = sen x + cos x

e) y = 1 - cos x

94. (Ufpe) Considere a funo f:(0, 49/2) IR

definida por f(x)=(1/x)-sen x. O grfico de f intercepta

o eixo das abcissas Ox em exatamente n pontos

distintos. Determine n.

95. (Ufpe) Considere a funo f(x)=sen(x+2),

definida para x real. Analise as seguintes afirmaes:

( ) f uma funo peridica.

( ) f uma funo par.

( ) f(x)=0 exatamente para 32 valores distintos de x

no intervalo [0,10].

( ) f(x)=2+senx para todo x IR.

( ) A imagem de f o intervalo [1,3].

96. (Ufpe) Comparando as reas do tringulo OAB,

do setor circular OAB e do tringulo OAC da figura a

seguir, onde

0 < < /2, temos:

( ) sen < < tan;

( ) (sen)/ < cos < 1;

( ) cos < (sen)/ < 1;

( ) cos > (sen)/ > tan;

( ) (1/2)cos < (1/2) < (1/2)sen;

97. (Fuvest) A tangente do ngulo 2x dada em

funo da tangente de x pela seguinte frmula:

tg2x = 2tgx/(1-tgx).

Calcule um valor aproximado da tangente do ngulo

2230'.

a) 0,22

b) 0,41

c) 0,50

d) 0,72

e) 1,00

98. (Uel) Seja x a medida de um arco em radianos. O

nmeros real a, que satisfaz as sentenas

sen x = (3 - a) e cos x = (a - 2)/2 tal que

a) a 7

b) 5 a < 7



c) 3 a < 5

d) 0 a < 3

e) a < 0

99. (Uel) A expresso cos [(3/2) + x] equivalente

a

a) -sen x

b) -cos x

c) sen x.cos x

d) cos x

e) sen x

100. (Uel) A funo dada por f(x) = (tg x) . (cotg x)

est definida se, e somente se,

a) x um nmero real qualquer.

b) x 2k, onde k Z

c) x k, onde k Z

d) x k/2, onde k Z

e) x k/4, onde k Z

101. (Fuvest) Sendo sen = 9/10, com 0 < < /2,

tem-se

a) sen < sen /3 < sen 2

b) sen /3 < sen < sen 2

c) sen < sen 2 < sen /3

d) sen 2 < sen /3 < sen

e) sen 2 < sen < sen /3

102. (Cesgranrio) Entre as funes reais a seguir,

aquela cujo grfico simtrico em relao origem

:

a) f(x) = x +1

b) f(x) = |x|

c) f(x) = e

d) f(x) = sen x

e) f(x) = cos x

103. (Cesgranrio) Se sen x=2/3, o valor de tgx :

a) 0,6

b) 0,7

c) 0,8

d) 0,9

e) 1

104. (Fatec) Considerando as funes

trigonomtricas definidas por f(x) = 2senx,

g(x) = sen2x e

h(x) = 2 + senx, tem-se

a) f(x) > h(x), para todo x IR.

b) g(x) h(x), para todo x IR.

c) f(x) e g(x) tm perodos iguais.

d) f(x) e h(x) tm perodos diferentes.

e) g(x) senx f(x), para todo x IR.

105. (Mackenzie) Em [0, 2], o nmero de solues

reais de f(x)=sen2x :

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0



106. (Fei) Sobre a funo f(x) = |senx| vlido

afirmar-se que:

a) f (x) = f (2x)

b) f (-x) = -f (x)

c) f (x) = f (x + )

d) f (x) = f (x + /2)

e) f (x) = f (x - /2)

107. (Cesgranrio) Se o cos x = 3/5 e -/2 < x < 0,

ento tg x vale:

a) -4/3.

b) -3/4.

c) 5/3.

d) 7/4.

e) -7/4.

108. (Mackenzie)

f(x) = sen x + cos x e f(x) = 3 sen x cos x

Relativamente s funes anteriores, de domnio IR,

fazem-se as afirmaes.

I- O perodo de f(x) 2

II- O maior valor que f(x) pode assumir 1,5.

III- O conjunto imagem de f(x) est contido no

conjunto imagem de f(x)

Ento:

a) todas so verdadeiras.

b) somente II e III so verdadeiras.

c) somente I e III so verdadeiras.

d) somente I e II so verdadeiras.

e) somente III verdadeira.

109. (Cesgranrio) Se tgx = 5, ento senx igual a:

a) 1/6.

b) 1/5.

c) 3/4.

d) 3/5.

e) 5/6.

110. (Uff) Para = 89, conclui-se que:

a) tg < sen < cos

b) cos < sen < tg

c) sen < cos < tg

d) cos < tg < sen

e) sen < tg < cos

111. (Fuvest) Qual das afirmaes a seguir

verdadeira ?

a) sen 210 < cos 210 < tg 210

b) cos 210 < sen 210 < tg 210

c) tg 210 < sen 210 < cos 210

d) tg 210 < cos 210 < sen 210

e) sen 210 < tg 210 < cos 210

112. (Pucmg) Na expresso

M = (cos 2x - sen 2x + 2sen x), 0



e) 5

114. (Unesp) Sabe-se que h o menor nmero

positivo para o qual o grfico de y = sen (x -h)

Ento, cos (2h/3) igual a:

a) - (3)/2.

b) - (2)/2.

c) -1/2.

d) 1/2.

e) (3)/2.

115. (Ufrs) O grfico a seguir representa a funo

real f.

Esta funo dada por:

a) f(x) = 1 - cos x

b) f(x) = 1 + cos x

c) f(x) = cos (x +1)

d) f(x) = cos (x - 1)

e) f(x) = cos (x + )

116. (Cesgranrio) O valor da expresso

P=1 - 4senx + 6senx - 4senx + senx igual a:

a) cosx

b) cosx

c) senx

d) 1

e) 0

117. (Cesgranrio) Considerando sen x = (1/2) .

sen(25/6), o valor de cos 2x ser:

a) 7/8

b) 5/8

c) 3/8

d) 3/4

e) 1/2

118. (Mackenzie) Em [0, 2], a melhor

representao grfica da funo real definida por

f(x)=(2-senx-senx)/(3-cosx) :



119. (Mackenzie) Dentre os valores a seguir,

assinale aquele que mais se aproxima de sen 6 + tg

3.

a) - 0,4

b) -

c) - /2

d) 1

e) 0,5

120. (Fuvest) a) Expresse sen 3 em funo de

sen .

b) Resolva a inequao sen3> 2sen para

0 < < .

121. (Unb) A funo U, definida por U(t) = r cos (t -

), descreve o deslocamento, no tempo t, de um

bloco de massa m, preso na extremidade de uma

mola, em relao posio de equilbrio, conforme a

figura adiante. A posio de equilbrio, nesse caso,

aquela em que U(t) = 0. A constante depende

apenas da mola e da massa m. As constantes r e

dependem da maneira como o sistema colocado

em movimento.

Com base na situao apresentada, julgue os itens

que se seguem.

(1) A funo U tem perodo igual a (2 - ).

(2) No instante t= 2/, o bloco est novamente na

posio inicial.

(3) O maior deslocamento do bloco, em relao

posio de equilbrio, igual a r.

(4) Em qualquer intervalo de tempo que tenha

durao igual a 4/3, o bloco passa pela posio

de equilbrio.

122. (Unesp) Considere as funes f(y) = (1 - y),

para y IR, -1 y 1, e g(x) = cos x, para x IR. O

nmero de solues da equao (f o g)(x) = 1, para 0

x 2,

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 4.

123. (Fuvest) Se um ngulo tal que

0 < < /2 e sen = a, ento tg(-) igual a

a) - a/(1 - a)

b) a/(1 - a)

c) [ (1 - a)]/a

d) [- (1 - a)]/a

e) - (1 + a)/a

124. (Mackenzie) Se k e p so nmeros naturais no

nulos tais que o conjunto imagem da funo

f(x) = 2k +p.cos(px+k) [-2, 8], ento o perodo de

f(x) :

a) /7

b) 2/7



c) 2/3

d) /5

e) 2/5

125. (Mackenzie) A funo real definida por

f(x)=k.cos(px), k>0 e pIR tem perodo 7 e

conjunto imagem [-7,7]. Ento, k.p vale:

a) 7

b) 7/2

c) 2

d) 2/7

e) 14

GABARITO

1. [E]

2. V F F F

3. V F V

4. [A]

5. 02 + 04 + 16 = 22

6. [A]

7. 492 bilhes de

dlares.

8. 6

9. [D]

10. 20

11. 01 + 04 + 08 + 16 =

29

12. a) = (/8) +

(k/2), k Z

b) ((2) - 2; 1)

13. [A]

14. 30, 60 e 90.

15. [E]

16. [A]

17. Soma = 0

18. [E]

19. a) 1/4

b) 0 < < 30

20. [A]

21. a) PQ = 43 dm

sen BPQ = (13)/13

b) 90 e 120 voltas

22. [C]

23. 82

24. [A]

25. [E]

26. [C]

27. [B]

28. F F V

29. [B]

30. [C]

31. [B]

32. [B]

33. [E]

34. [E]

35. [B]

36. [A]

37. [C]

38. [B]

39. [B]



40. [C]

41. [B]

42. [B]

43. [C]

44. [E]

45. AB = (1,49 - 1,4 .

cos 36) m

46. [D]

47. [E]

48. [C]

49. [B]

50. [B]

51. [D]

52. 1/4 f(x) 1

53. itens corretos: 04, 08

e 32

itens incorretos: 01, 02,

16 e 64

54. [C]

55. [D]

56. [B]

57. [D]

58. [D]

59. a) (k,m,n) {(2,3,-2);

(2,3,2); (-2,-3,-2); (-2,-3,

2)}

b) {0, /4, /3, 2/3,

3/4 e }

60. V = { (0, 0), (0, ),

(, 0), (, ), (/2, /2)

}

61. [C]

62. [D]

63. [D]

64. a) f (0,3) = 0,955

b) 0,955 cos 0,3

0,955 + 0,0003375

0 cos 0,3 - 0,955

0,0003375 < 0,001, logo

o erro inferior a 0,001.

Como 0,9550 cos 0,3 <

0,9554, o valor calculado

exato at a terceira

casa decimal, portanto

exato at a segunda

casa decimal.

65. AC = 120 m

66. [D]

67. [D]

68. [C]

69. [B]

70. a) V = { 0; /9; /2;

5/9; 7/9; }

b) O maior valor da f

menor do que 8/5,

portanto a reta de

equao y=8/5 no

intercepta o grfico da

funo.

71. [D]

72. [A]

73. [C]

74. [C]

75. [A]

76. [C]

77. [D]

78. V = { /6, /3 }

79. [B]

80. [A]

81. [D]

82. [C]

83. [E]

84. [A]

85. [A]

86. [A]

87. [B]

88. [E]

89. [D]

90. [B]

91. [A]

92. [C]

93. [B]

94. 25

95. F V V F F

96. V F V F F

97. [B]

98. [D]

99. [E]

100. [D]



101. [D]

102. [D]

103. [C]

104. [B]

105. [A]

106. [C]

107. [A]

108. [A]

109. [E]

110. [B]

111. [B]

112. [C]

113. [C]

114. [C]

115. [B]

116. [B]

117. [A]

118. [B]

119. [A]

120. a) 3.sen - 4 .

sen

b) S = { IR | 0 < /6

ou 5/6 < < }

121. F V V V

122. [C]

123. [A]

124. [E]

lista trigonometria

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