UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

CARRERA: INGENIERA QUMICA

TRABAJO DE: MATEMATICAS

TEMA IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

CURSO: PROPEDUTICO

MATERIA: MATEMATICAS

PROFESOR: MSC. FERNANDO ARAQUE

ESTUDIANTE: ZAPATA KATHERINE

SEMESTRE 2012-2013

EJERCICIO 1.-

Analizar la funcin f(x)=asen b(x-h)+c

Donde ay b son constantes.

Solucin.-

El factor a causa una expansin o contraccin vertical de la grafica, dependiendo de si 1

EJERCICIO 2.-

Graficar f(x)=sen x

Solucin.-

Consideremos la funcin en el intervalo 0x2

Su amplitud es 1 y su periodo es 2. La tabla de la izquierda muestra los valores interesantes

de la grfica.

x y

0 0

/2 1 0

3/2 -1

2 0

EJERCICIO 3.-

Analizar la funcin g(x)= a cos b(x-h)+c

Solucin:

Un anlisis similar puede hacerse para la funcin coseno, una grafica usual de la ecuacin de

la forma y= a cos b(x-h)se muestra en la figura adjunta.

Puesto que la funcin coseno es una funcin par, entonces cos (-bx)= cos bx, asi si b es

negativo, la grfica no se afecta.

EJERCICIO 4.-

Graficar la funcin g(x)=cos x

Solucin:

Consideremos la funcin en el intervalo 0x2.

Su amplitud es 1 y su periodo es 2 la tabla de la derecha muestra los valores.

x y

0 1

/2 0

-1

3/2 0

2 1

EJERCICIO 5.-

Bosqueje la grafica de f(x)=3 sen (1/2)x

Solucin:

La amplitud es 3 y el periodo es 2 (1/2)=4

x y

0 0

3

2 0

3 -3

4 0

EJERCICIO 6.-

Bosqueje la grafica de la funcin g(x)= 3 sen (4x-)+2

Solucin:

Primero reescribimos la funcin para identificar las caractersticas importantes de la grafica,

para ello factorizamos el 4 para escribir la funcin en la forma siguiente:

g (x)= 3sen (x-/4)+2

esta es la funcin seno con amplitud 3, y periodo p= 2/4 = /2, y desplazamiento de fase

/4 unidades hacia la derecha, y traslada verticalmente 2 unidades hacia arriba.

EJERCICIO 7.-

Graficar la funcin h(x)= cos(2x+/3)

Solucin:

Primero escribimos la ecuacin en la forma

h(x)=2(x-(-/6))

en esta ecuacin identificamos que el desplazamiento de fase es /6. Esto indica que la

curva se desplazo /6 unidades a la izquierda. La amplitud es 1, y el periodo es 2/2=.

EJERCICIO 8.-

Graficar f(x)=2sen (4x+)-1

Solucin:

Observe que el valor de b, representado aqu por 4, es positivo. Si b

EJERCICIO 9.-

Graficar la funcin g(x)= 3 cos (-2x-)+6

Solucin:

Primero escribimos la funcin aplicando la identidad cos(-u)=cos u.

g(x)=3cos[-(2x+)]+6=3cos (2x+)+6 despus le aplicamos el mtodo anterior.

Paso 1. Determine un intervalo cuya longitud es un periodo de la funcin, resolviendo la

desigualdad siguiente; 0(2x+)2, cuya solucin es /2x/2. El periodo de la funcin es

(/2)-(/2)=

Paso 2. Determinamos el rango (a) 3(1) +6 =9 (b) 3(-1)+6=3. Asi el rango es el intervalo [9,3]

La amplitud de la funcin es 9-3 =6

Paso 3. Bosquejamos un rectngulo formado por los intervalos /2x/2, y [3,9].

Paso 4. Dividimos el intervalo /2x/2, 1 en cuatro partes. Al dividir el intervalo en

cuatro obtenemos los siguientes valores /2, /4, 0, /4 y /2. Luego evaluamos la

funcin en estos cinco valores como se muestra en la grafica.

EJERCICIO 10.-

Graficar f(x)= tan x

Solucin:

La tangente se puede definir de la siguiente manera de aqu observamos que la

tangente est definida para toda excepto aquellos para los cuales el cos x=0, es decir para los

valores de /2, 3/2, 5/2, etc., en general para aquellos valores (2n+1)/2, para algn

entero n. estos valores son asntotas verticales de la funcin. La siguiente tabla muestra

algunos valores de tangente en el intervalo de /2

EJERCICIO 11.-

Graficar la funcin t(x)= 2 tan x

Solucin:

No hay una amplitud definida para la curva de la tangente pero el efecto de la multiplicacin

por el 2, es el de alargar la curva. Puesto que el periodo fundamental de la funcin tangente

bsica es , el periodo de esta curva es /(1/2)=2. La grafica se muestra a la derecha.

EJERCICIO 12.-

Encontrar los valores de las funciones trigonomtricas de los ngulos del triangulo rectngulo

ABC, dados b=24 y c =25.

Puesto que a2

=c2 b2 =(25)2 (24)2 =49, a= 7 entonces

B

C A

c=25

b=24

a=7

EJERCICIO 13.-

Encontrar los valores de las funciones trigonomtricas de los ngulos agudos del triangulo

rectngulo ABC, dados a=2, c=2 .

Puesto que b2

= c2

- a2

=(2 )2

-(2)2

=20-4=16 , b=4.

Entonces

sen a = 2/25= 5/5=cos b

cos a=4/25=25/5=sen b

tan a = 2/4=1/2=cot b

cot a = 4/2=2= tan b

sec a = 24/4 = 5/2= csc b

csc a = 25/2 = 5 = sec b

EJERCICIO 14.-

Encontrar los valor de las funciones trigonomtricas del ngulo agudo A, dado sen a = 3/7.

Constryase un triangulo rectngulo ABC, tal que a= 3, c= 7 y b = 72 -32 = 210. Entonces

Sen a = 3/7

Cos a = 210/7

Tan a = 3/210=310/20

Cot a = 210/3

Sec a = 7/210= 710/20

Csc a = 7/3

B

C A

c= 25

b= 4

a= 2

B

C A

c= 7

a=3

b= 210

EJERCICIO 15.-

Encontramos los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo B, dada tan B= 1.5.

Constryase un triangulo rectngulo ABC (vase la fig a ) tal que b= 15 y a = 10 unidades.

(Obsrvese que 1.5 = 3/2 con lo que podramos utilizar un triangulo donde b= 3, a = 2).

Entonces c= a2 + b 2 = 102 + 152 = 513 y

sen b= 15/513= 313/13

cos b= 10/513= 213/13

tan b = 15/10=3/2

cot b = 2/3

sec b= 513/10= 13/2

csc= 513/15= 13/3

EJERCICIO 16.-

Si a es agudo y sen A = 2x/3, determnense los valores de las otras funciones. Constityase un

triangulo rectngulo ABC tal que a= 2x

EJERCICIO 18.-

Si A es un ngulo agudo:

a) Por qu sen A

EJERCICIO 20.-

Encontrar los valores de las funciones trigonomtricas de 30 y 60

En todo triangulo rectngulo issceles ABC, cada ngulo mide 60 la bisectriz de un ngulo

cualquiera, (por ejemplo, de B ) es la mediatriz del lado opuesto.

Supngase que la longitud de los lados del triangulo equiltero es de dos unidades. Entonces

en el triangulo rectngulo ABC, AB = 2,

AC= 1, y BC = -12

= .

Sen 30 = cos 60

Cos 30 = /2 sen 60

Tan 30 = 1/ = /3= cot 60

Cot 30 = = tan 60

Sec 30 = 2/ .= 2 /3= csc 60

Csc 30 = 2 = sec 60

B

A D

2

2

C 1

.

60

30

EJERCICIO 21.-

Cul es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 m de altura cuando el sol

se ha elevado 20 sobre el horizonte?

A= 20

CB= 150m

Entonces:

Cot A = AC/BC

AC =BC

Cot A = 150

Cot 20 = 150(2.7)= 405 m.

EJERCICIO 22.-

Una escalera de mano est apoyada contra un edificio, de modo que del pie de la escalera al

edificio hay doce unidades. A qu altura del suelo se encuentra el extremo superior de la

escalera, y Cul es la longitud de la misma, si forma un ngulo de 70 con el suelo?

Tan A = CB/AC;

Entonces;

CB=AC

Tan A = 12 tan 70 = 12 (2.7) = 32.4.

el extremo de la escalera esta a 32 unidades del suelo.

Sec A = AB/AC:

Entonces:

AB=AC

Sec A =12 sec 70 = 12 (2.9)= 34.8

La longitud de la escalera es de 35 unidades.

B

C A

150

20

70

A C

B

12

EJERCICIO 23.-

Un edificio de 100m de altura proyecta una sombra de 120m de longitud. Encontrar el

ngulo de elevacin del sol.

CB= 100 Y AC = 120.

Entonces:

tan A = CB/AC = 100/120= 0.83 y A= 40

EJERCICIO 24.-

Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120 pies, el ngulo de

depresin de una embarcacin es de 15 A qu distancia del faro esta la embarcacin?

En el triangulo ABC

A= 15 y CB = 120

Entonces:

Cot A = AC / CB

AC = CB

Cot A = 120 cot 15 = 120(3.7) = 444 pies.

100

120

C A

B

B

A

ngulo de depresin =15 120

15

C

EJERCICIO 25.-

encontrar la longitud de la cuerda subtendida por un ngulo central de 150en una

circunferencia de 20 cm de radio.

OC es bisectriz del

EJERCICIO 27.-

Una torre est situada en un terreno llano directamente al norte del punto A y al oeste del

punto B. la distancia entre los puntos A y B es de c metros. Si los ngulos de elevacin del

extremo superior de la torre medidos desde A y B, son y respectivamente, encontrar la altura h de la torre.

En el triangulo rectngulo ACD

Cot = BC/ h Entonces:

AC = h cot

BC= h cot .

Como ABC es un triangulo rectngulo,(AC)2

+(BC)2

= c2

= h2

(Cot )2+h2(cot )2 y

h=

B

C

A

D

20 40

75

D

B A

C

h

c

Z

EJERCICIO 28.-

Sobre una circunferencia se abren agujeros separados entre s por arcos iguales. Demostrar

que la distancia d entre los centros de dos agujeros sucesivos, viene dada por d= 2r sen 180

/ n donde r = radio de la circunferencia y n = al nmero de agujeros. Encontrar d cuando r=

20 cm y n = 4

Sean A y B los centros de dos agujeros consecutivos en una circunferencia de radio r y

centro O. trcese la bisectriz del ngulo O del triangulo AOB, y sea C el punto de

interseccin de la bisectriz con la cuerda AB. En el triangulo rectngulo AOC.

Sen

EJERCICIO 29.-

Un hombre recorre 500m a lo largo de un camino que tiene una inclinacin de 20 respecto

a la horizontal. Qu altura alcanza respecto al punto de partida?

Se BC la altura que alcanza la persona respecto al punto de partida.

Entonces:

Sen A =

BC = sen A * AB = sen 20 *500m = 170m

EJERCICIO 30.-

Un rbol quebrado por el viento, forma un triangulo rectngulo con el suelo. Cul era la

altura del rbol, si la parte que ha cado hacia el suelo forma un con este un ngulo de 50, y

as la parte del tronco que ha que dado en pie tiene una altura de 20m?

Sea AB+BC la altura total del rbol.

Entonces:

Sen A =

AB=

AB= = 26.10814579

h del rbol= BC +AB

A

B

C

BC=?

AB= 500m

AC

20

= 20m + = 46.10 m

BC=20 m

EJERCICIO 31.-

B

A C

BC=20 m

AC =

50

B

b

B

AB

EJERCICIO 32.-

EJERCICIO 33.-

EJERCICIO 34.-

EJERCICIO 35.-

EJERCICIO 36.-

EJERCICIO 37.-

EJERCICIO 38.-

EJERCICIO 39.-

EJERCICIO 40.-

EJERCICIO 41.-

EJERCICIO 42.-

EJERCICIO 43.-

EJERCICIO 44.-

EJERCICIO 45.-

EJERCICIO 46.-

1

EJERCICIO 47.-

2

EJERCICIO 48.-

3

EJERCICIO 49.-

Calcula el sen 3x, en funcin de sen x.

EJERCICIO 50.-

Calcula el sen x, cos x y tg x; en funcin de tg x/2.

Resolver las ecuaciones siguientes trigonomtricas

EJERCICIO 51.-

EJERCICIO 52.-

EJERCICIO 53.-

EJERCICIO 54.-

De un triangulo sabemos que: a=6m, B=45 y C = 105. Calcule los restantes elementos.

sen A =

h= = = 12 m

= 10

B+C+A=180

B+C-180 = A

A= 30

B

C

A

c= 12m a= 6 m

b= 10m

45

30 105

EJERCICIO 55.-

Resuelve el tringulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

Sen A = = = 0.681818181

A= 0.681818181

A= 42.98

Sen C = = = 0.772727272

C= 0.772727272

C= 50.59

A+B+C=180

B= -A-C+180

B= -42.98-50.59+180

B= 86.43

A

42.98

86.43

c= 17 m

C B

a= 15m

b= 22m

50.59

EJERCICIO 56.-

Calcular la altura, h, de la figura:

ABC = 180-(72+60)=47

HIJ = 180-(90+62)= 28

sen 62=

h= sen 62 * c

h = sen 62 * 592.07 m

h= 522.76

=

= 592.07 m

C

J B

H

a h

c

72 60

90

62

b=500 I A

EJERCICIO 57.-

Calcular la distancia que separa a los puntos A y B.

ABC = 180-(54+61) = 65

=

C= 182 m

B

C

A

a

c

b=200m

54

61

EJERCICIO 58.-

Calcular la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.

AC =

AC = 333m

CB =

CB= 485 m

X2

= 3332

+ 4852

-2*336.45*483.35* cos (68-32)

X= 287 m.

66 67

80

43

68

32

B A

D C

x

b= 450 m

EJERCICIO 59.-

Calcular el radio del crculo circunscrito en un triangulo, donde A= 45, B =72 y a = 20m.

EJERCICIO 60.-

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ngulo que formarn las tangentes a

dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

EJERCICIO 61.-

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ngulo que forman es de 48

15'. Calcular los lados.

EJERCICIO 62.-

Una avioneta despega de un aeroplano elevndose con un angulo de inclinacin de 7. A 2

Km del aeropuerto, en lnea recta con la pista hay una torre de 215m de alto. Diga si la

avioneta se estrella con la torre.

Justifique su respuesta.

Datos:

= 7 31

= 7 +0.517 = 7.517

h de la torre = 215 m

d= 2 Kg

Convertir:

60= 1

Entonces:

60 1

31 x= 0.517

tan =

co = ca * tan

h avioneta= 2Km * tan 7.517

h avioneta= 0.2639 km = 263.8 m

h torre < h avioneta

La avioneta no se estrellara debido a que la altura que alcanza la avioneta es mayor a la altura

de la torre.

215m

2 Kg

Avioneta

(C.Op )

2 Kg

C. Ad

7.517

EJERCICIO 63.-

Resolver:

Sen A = = sen B =

Sen A * b = a sen B * a = Y

Sen 30 * 43.30 = a sen 40 * 43.30 = Y

21.65 m = a 27.83 m = y

Sen A = =

Cos A = =

b= Cos A * c

b= cos 30 * 50m = 43. 30

Isla

?

30 40

50m

Playa

b

B A

c

a

C

Y

Resolver los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 64.-

y = sen x

Obs: sen (-) = - sen

Solucion:

Tabulando:

x Y

- 0

-1

0 0

1

0

-1

2 0

EJERCICIO 65.-

Y= cos x

Obs: cos (-) = -cos

x y

-2 1

-3/2 0

- -1

-/2 0

0 1

+/2 0

-1

3/2 0

2 1

EJERCICIO 66.-

y = 5 sen (2x -3)

Solucin:

Hacemos 2x-3 = 0 x= 3/2, luego tomamos para tabular primero

X= 3/2 2(3/2) -3 = 0

y = 5 sen (0)= 0

Con el mismo procedimiento:

Si 2x -3 = /2 2x = /2 +3 x=

Lugo:

Si x= 2( ) -3 = 3 = /2 y= 5 sen (/2) = 5

Y as tabulando:

x y

-6- /4 -5

3/2 0

5

0

-5

0

EJERCICIO 67.-

y= 6 sen x 8 cos x

x y

- -8

-/2 -6

0 -8

/2 6

8

3/2 -6

2 -8

5/2 6

EJERCICIO 68.-

Multiplicando ambos miembros del 1er. Sumando por m2

, i el segundo. Sumado por n2

se

tiene:

- * 2

* +

* *

Llevando al lmite se tiene:

= - *1 = +

Por lo tanto:

EJERCICIO 69.-

EJERCICIO 70.-

Sea arco sen x= 0 sen = x

Y cuando x

Por lo tanto podemos escribir :

EJERCICIO 71.-

Ambos miembros multiplicamos por , luego;

En el lmite se tiene:

EJERCICIO 72.-

Y=

Solucin:

x R; 0 y ; y =

Tabulacin:

X Y

- 1

-/2 0

0 1

/2 0

1

3/2 0

2 1

5/2 0

3 1

EJERCICIO 73.-

Y= s sen x

Solucin:

Tabulacin:

x y

-2 0

-3/2 -3/2

- 0

-/2 /2

0 0

/2 /2

0

3/2 -3/2

-2 0

EJERCICIO 74.-

EJERCICIO 75.-

Solucin:

Obs; ;

EJERCICIO 76.-

EJERCICIO 77.-

Hacemos z = , luego si n , z 0

EJERCICIO 78.-

Multiplicando ambos miembros por 1+ cos x

EJERCICIO 79.-

Se sabe que: cos - cos a = -2 sen

Luego:

EJERCICIO 80.-

= -cos x =

EJERCICIO 81.-

EJERCICIO 82.-

Encontrar el lmite de:

Derivar las siguientes funciones de acuerdo a lo que se pida.

X

X

EJERCICIO 83-

(f+g) (x)= ?

(f+g) (x)= f (x) g (x)

= 4x 5 + 8

= 4x + 3

X Y

-2 -22

-2/2 -10

- -10

16

2/2 16

2 28

EJERCICIO 84.-

(f*g) (x)= ?

(f*g) (x)= f (x) * g(x) + f(x)* g(x)

= (4x 5)( ) + (8)

= 32 +8x -40x -10 + 16 -40x +64

= 48 -72x +54

X Y

-3 702

-2 390

-1 174

0 54

1 30

2 102

3 270

EJERCICIO 85.-

= 32 +8x -40x -10 (16 -40x +64)

= 32 +8x -40x -10 16 +40x -64

= 16 +8 x -74

EJERCICIO 86.-

X

Derivar la funcin:

f = 6x -6

EJERCICIO 87.-

X

Derivar la funcin f(x)

f = 9 - 4x +2

EJERCICIO 88.-

Derivar la funcin f (x)= 9 - 4x +2

f'= 18x 4

EJERCICIO 89.-

Multiplicando nuevamente por la conjugacin del numerador se tiene:

EJERCICIO 90.-

EJERCICIO 91.-

Solucin:

EJERCICIO 92.-

Solucin:

Independientemente calculamos:

Reemplazando en .

Resolver grficamente las siguientes ecuaciones:

EJERCICIO 93.-

2 -5x+2=0

Solucin:

y= 2 - 5x+2 = 2 ( - x+ ) +2 -

y = 2( ) 2

-

1/2

EJERCICIO 94.-

+x -1=0

La grafica de y = ( )+x -1 es aproximada

EJERCICIO 95.-

X= 1+0.5sen x

La raz es la interseccin de y= x, y= 1 +

Grafico:

EJERCICIO 96.-

Y= sen x

Y= cos x (0< x< 2 )

EJERCICIO 97.-

calcular la altura de un arbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un angulo de 30.

Solucin:

La altura, y, del rbol la deducimos de la relacin siguiente:

Tan 30= =

Y=10* tan 30

Y= 5.77m

30

y

EJERCICIO 98.-

Hallar la altura de la montaa:

Solucin:

Luego resolvemos el siguiente sistema:

EJERCICIO 99.-

Solucin:

Primero: resolvemos el triangulo ABC de el despejaremos las distancias y, z.

Y=

Z=

Ahora resolvemos el triangulo ACD. De l obtendremos la altura de la torre, x.

X=

EJERCICIO 100.-

Una persona est ubicada en el primer nivel de un centro comercial. En forma de recta

camina 10m, encontrndose con una escalera mecnica que conduce al segundo nivel y que

tiene una altura de 5m, visualizando la parte superior de la escalera con un angulo de

elevacin .

Sube al segundo nivel y recorre 10 m en el mismo sentido y direccin que utilizo en el

trayecto que realizo en el primer nivel. En este lugar encuentra otra escalera mecnica que

baja al primer nivel y visualiza su base con un ngulo de depresin igual al doble de . Si la

distancia entre las bases de las escaleras es de determinar la distancia total recorrida

por esta persona.

Solucin:

Grficamente tenemos:

Se nos esta pidiendo el valor de AB +BC +CD + DE si BF =x, GE = y

Entonces x+10+y = = x+y= = y=

Por otro lado en BCF, tan = y en tan 2 =

Como tan 2 = , reemplazando, obtenemos:

Reemplazando (1) en (2):

Reemplazando este valor en (1), obtenemos: y=

=

DE =

Por lo tanto, la distancia pedida es:

EJERCICIO 101.-

El ngulo que minimiza la friccin en el flujo de sangre donde dos arterias se encuentran se

determina por medio de la frmula

Cos 1 (R2 / r2), donde r es el radio de la arteria ms pequea y R es el radio de la arteria

ms grande. Un cirujano de corazn debe unir arterias con radios de 4 mm y 5 mm

Tabulacin:

Grafica:

Funciones trigonomtricas aplicadas en la qumica:

EJERCICIO 102.- rotacin de cilindro sobre superficie

Aplicando la ecuacin para el esfuerzo cortante, halle una expresin para hallar el torque T

que se de aplicar para mantener el cilindro girando. La expresin debe estar en funcin de u,

R, w, e y.

Teniendo en cuenta la expresin hallada para T, deduzca una para hallar u.

Desarrollo:

La expresin para el expresin para el esfuerzo cortante es:]

Luego tenemos que el esfuerzo es igual a un diferencial de fuerza sobre un diferencial de

rea,

De donde

Luego, al ser una distancia de separacin pequea podemos hacer,

El resumen

Al tener en cuenta el anlisis diferencial expuesto en la figura deducimos que,

Reemplazando los valores de A y du/dy en Fd resulta,

Para hallar el torque necesitamos la ecuacin diferencial para el torque, la cual es,

Integrando para hallar el valor de T:

Como ya se tenia la expresin para el torque solo despejamos la viscosidad para dejarla en

funcin del torque, la velocidad angular, la separacin y el radio del cilindro, as:

EJERCICIO 103.- rotacin de cono sobre superficie

Desarrollo:

La expresin par el esfuerzo cortante es:

Luego, tenemos que el esfuerzo es igual a un diferencial de fuerza sobre un diferencial de

rea

Por lo tanto,

Debido a que la separacin entre las superficies es muy pequea podemos decir que,

Ahora, tomado el diferencial de rea aproximadamente como una cinta conica, como se

aprecia en la figura, decimos que,

Resumen:

Sabiendo de antemano que,

Luego, tenemos la expresin para dF al reemplazar du/ dy y dA.

Tomando la ecuacin deferencial para el torque tendremos,

Finalmente, leugo de haber integrado dT entre 0 y T y el radio entre 0 y R resulta,

EJERCICIO 104.-

EJERCICIO 105.-

En su luna de miel, James Joule viajo de Inglaterra a Suiza. Trato de verificar su idea de la

convertibilidad entre energa mecnica y energa interna al medir el aumento en temperatura

del agua que caa de una catarata. Si el agua de una catarata alpina tiene una temperatura de

10 c y luego cae 50m (como las cataratas del Nigara), Qu temperatura mxima podra

esperar joule que hubiera en el fondo de las cataratas?

EJERCICIO 106.-

Considere el aparato de joule descrito en la figura. La masa de cada uni de los dos bloques

es de 1.5 Kg, y el tanque aislado se llena con 200g de agua. Cul es el aumento de la

temperatura del agua despus que los bloques caen una distancia de 3m?

EJERCICIO 107.-

Dos recipientes trmicamente aislados estn conectados por un estrecho tubo equipado con

una vlvula que inicialmente est cerrada. Uno de los recipientes, de 16.8 L de volumen,

contiene oxigeno a una temperatura de 300K y una presin de 1.75 atm. El otro, de 22.4 L

de volumen, contiene oxigeno una temperatura de 450 K y una presin de 2.25 atm. Cuando

la valvula se abre, los gases de los dos recipientes se mezclan, y la temperatura y presin se

hacen uniformes en todo el sistema.

Cul es la temperatura final?

Cul es la presin final?

EJERCICIO 108.-

Un bloque de 1Kg de cobre a 20 C se pone en un gran recipiente de nitrgeno liquido a

77.3 K. Cuntos quilogramos de nitrgeno hierve para cuando el cobre llaga a 77.3 K? (el

calor especifico del cobre es 0.092 cal/g . C. el calor latente de vaporizacin del nitrgeno es

48 gal/ g.)

EJERCICIO 109.-

Una muestra de gas ideal se expande al doble de su volumen original de 1 en un proceso

cuasi esttico para el cual P= , con = 5atm / , como se ve en la figura

Cunto trabajo es realizado sobre el gas en expansin?

EJERCICIO 110.-

Determine el trabajo realizado sobre un fluido que se expande de i a como se indica en

la figura.

Qu pasara si?, Cunto trabajo es realizado sobre el fluido si se comprime de a i a lo

largo de la misma trayectoria?

EJERCICIO 111.-

Un gas es llevado a travs del proceso cclico descrito en la figura.

a.- encuentre la energa neta transferida al sistema por calor durante un ciclo completo.

b.- Qu pasara si? Si el ciclo se invierte, es decir, el proceso sigue la trayectoria ACBA,

Cul es la energa neta de entrada por ciclo por calor?

EJERCICIO 112.-

Una muestra ideal esta en un cilindro vertical equipado con un embolo. Cuando 5.79 KJ de

energa se transfieren al gas para elevar su temperatura, el peso sobre el embolo se ajusta de

modo que el estado del gas cambia del punto A al punto B a lo largo del semicrculo que se

ilustra en la figura. Encuentre el cambio en energa interna del gas.

EJERCICIO 113.-

Un gas ideal inicialmente a 300 K experimenta una expansin brica a 2.50Kpa. Si el

volumen aumenta de 1.00 12.5 K se transfieren al gas por calor, Cules son a.- el

cambio de su energa interna y b.- su temperatura final?

EJERCICIO 114.-

Un mol de gas perfecto se expande isotrmica e irreversiblemente desde la presin inicial de

10 atm contra una presin exterior de 6atm, y una vez alcanzado el equilibrio vuelve a

expandirse bruscamente de modo isotrmico contra la presin exterior constante de 3atm

hasta alcanzar de nuevo el equilibrio. Calcule en julios el trabajo total realizado por el gas si

la temperatura es en todo momento de 300 K.

Solucin:

Se trata de un proceso en dos etapas. Comenzamos aplicando la ecuacin de estado del gas

ideal (para n = 1):

pV = RT

Tabulacin para determinar los volmenes de los estados inicial, intermedio y final.

P(atm) V(L)

10 2.46

6 4.1

1 24.6

EJERCICIO 115.-

Un mol de gas ideal monoatmico a la temperatura de 399 K y 4 bar de presin, se

encuentra encerrado en un cilindro de paredes adiabticas provisto en un pistn no

conductor del calor. Determinar la variacin de entropa del gas al expandirse bruscamente

contra una presin exterior de un bar.

Solucin:

Convertimos en atmosferas las presiones.

Pi =3.949 atm

Pf = 0.987 atm

EJERCICIO 116.-

Resolucin:

A.- los tres primeros planos que producen difraccin son:

(111), (200), (220)

b.- las distancia s interplanares

(h k l ) 2 pi pi d(nm )

111 38.6 19.3 0.234

200 44.9 22.45 0.202

220 65.3 32.65 0.143

D = =

c.- el parametro de red a.

d(h k l)=

d(111)= =

0,234 =

EJERCICIO 117.-

En una localidad la temperatura es de 30 C y la humedad relativa es de 70 porciento.

Determine la presin de vapor del agua (en mmHg) en dicha localidad.

La humedad relativa (HR) nos indica la relacin porcentual entre la presin parcial del vapor

respecto a la presin de vapor saturado.

EJERCICIO 118.-

En un recipiente se tienen 135 g de una solucin acuosa saturada de KBr, a 50 C, y 30 g de

la misma sal sin disolver. Se agrega 10 g de agua mientras es agitada y calentada

cuidadosamente hasta los 100 C, evitando la prdida de agua. Cuntos gramos de la sal

permanecern sin disolver? Utilice la siguiente curva de solubilidad del KBr en agua.

Solucin:

Recordemos que la solubilidad de un soluto es la mxima cantidad que se puede disolver en

100 g de solvente (H2O). Dicho valor depende de la naturaleza del solvente, del soluto y de

la temperatura.

Dada la solucin inicial, a 50 C se tiene:

Agregando 10g de H2O y despus lo calentamos a 100 C, tenemos:

EJERCICIO 119.-

Respecto a los slidos, seale la alternativa que presenta la secuencia correcta, despus de

determinar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F):

I) El hielo es un slido cristalino.

II) Las estructuras cristalinas se forman por la repeticin tridimensional de la llamada celda

unitaria.

III) De acuerdo al diagrama de fases del agua, sta puede sublimar a presiones menores que

la correspondiente al punto triple.

Solucin:

Los slidos cristalinos son aquellas sustancias en las cuales sus unidades estructurales tienen

un arreglo geomtrico definido el cual dispone de unidades tridimensionales mnimas

repetitivas denominadas celdas unitarias o celdillas.

I) Verdadera :

El hielo es un slido cristalino de tipo molecular.

II) Verdadera :

La unidad mnima repetitiva de una estructura cristalina se denomina celda unitaria.

III) Verdadera :

EJERCICIO 120.-

El coeficiente de friccin cintico entre un bloque y un plano , inclinado 30 con respecto a

la horizontal, es 1/2raiz de 3. La longitud del plano es 5 m. Si el bloque parte del reposo

desde la parte superior del plano, su velocidad, en m/s, al llegar al punto ms bajo, es

(considere g=10 m/s2

)

Solucin:

* El bloque se mueve sobre el plano inclinado AB, partiendo del punto A en reposo y llega

al punto B con una velocidad vB. Existe friccin entre el bloque y el plano inclinado

estudiando el movimiento del bloque a lo largo del plano inclinado se plantea que:

EJERCICIO 121.-

A un extremo de una cuerda tensa horizontal se le hace realizar un movimiento armnico

simple (M.A.S.) vertical , generndose as una onda senoidal en la cuerda. La figura muestra

la onda generada, luego de 2 segundos de iniciado el M.A.S. Cul es la velocidad de

propagacin de esta onda? Exprese su resultado en m/s.

Solucin:

* La figura mostrada corresponde a un tiempo transcurrido de dos segundos despus de

generado la onda. Entonces de la definicin de longitud de onda y perodo T se cumple

que:

* Notamos que la propagacin de la onda , en un intervalo de tiempo de 2 s, ha avanzado

una distancia de 4 m. Adems , como las ondas se propagan con rapidez constante , se

cumple que :

EJERCICIO 122.-

Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es correcta o no.

I) La temperatura es proporcional a la cantidad de energa calorfica que tiene un cuerpo.

II) La temperatura es directamente proporcional al valor promedio de la energa cintica de

las molculas.

III) La velocidad promedio de las molculas es directamente proporcional a la temperatura.

solucin:

* Actualmente se considera que cuando crece la temperatura de un cuerpo, la energa que

posee en su interior, denominada energa interna, tambin aumenta. Cuando se aade

energa calorfica a una sustancia, la temperatura de ste suele aumentar (excepcin cuando

se produce un cambio de fase). Al considerar un gas dentro de un recipiente, la presin que

el gas ejerce sobre las paredes del recipiente, se debe a los incesantes y continuos choques de

las molculas que forman el gas, contra las paredes del recipiente. Esta presin est dada por:

I) VERDADERA Considerando la energa calorfica como energa trmica (o de vibracin

molecular) es verdadera.

II) VERDADERA Considerando un gas ideal monoatmico. La energa interna del gas es la

suma de todas las energas cinticas. Adems mediante la temperatura podemos medir el

grado de agitacin molecular.

EJERCICIO 123.-

Respecto a las molculas amonaco (NH3) y trifluoruro de nitrgeno (NF3), indique la

alternativa que contiene las proposiciones verdaderas:

I) Las molculas tienen geometra molecular similares.

II) La polaridad de los enlaces se cancelan en ambas molculas.

III) La molcula de NF3 es ms polar que la molcula de NH3

Datos: Electronegatividades: H=2,1 ; N= 3,0 ; F=4,0

Nmeros atmicos: H=1 ; N=7 ; F=9

Solucin:

Para analizar las proposiciones se debe hacer la configuracin por puntos de Lewis para cada

especie qumica. luego la representacin espacial empleando la hibridacin correspondiente

y finalmente el anlisis vectorial de los momentos dipolares de enlace.

* Analizamos la geometra molecular de ambas, as tambin sus polaridades :

I) VERDADERO : Ambas presentan una geometra molecular piramidal trigonal, pero con

diferentes ngulos de enlace.

II) FALSO: Como son molculas no planares asimtricas, la suma vectorial de los

momentos

polares de los enlaces es diferente de cero; es decir, no se cancelan.

III) FALSO : La polaridad de estas molculas se encuentra en funcin del momento dipolar,

debido al par libre del nitrgeno (m) y de la suma de los momentos dipolares de los enlaces

(m). De esta manera, se cumple que:

* En el NH3, ambos momentos dipolares se suman.

* En el NF3, ambos momentos dipolares se restan.

* Entonces, la polaridad es NH3 > NF3.

EJERCICIO 124.-

Determine la presin, en atmsferas, que ejercern 6,01019 molculas de un gas ideal a

27C, contenidas en un recipiente de 1L .

Solucin:

Dado que se trata de un gas ideal, determinamos su presin con la ecuacin universal:

PV=nRT

(N: Nmero de molculas)

* adems:

EJERCICIO 125.-

Dadas las siguientes proposiciones referidas a las caractersticas del CO2 mostradas en el

respectivo diagrama de fases:

I) A la temperatura de 50C y 4 atm es gas.

II) Si a 5,2 atm se calienta isobricamente hasta 57C desaparece el estado slido.

III) A 5C y 2 atm se encuentra en estado lquido.

Indique las proposiciones correctas.

Solucin:

Un diagrama de fases PT es una forma grfica de resumir las condiciones en las que existen

equilibrios entre los diferentes estados de la materia, permitindonos tambin predecir la

fase de una sustancia que es estable a determinados valores de presin (P) y temperatura (T).

* En el caso del anhidrido carbnico (CO2) (no est a escala).

Se observa que antes de los 31C , la sustancia se halla en fase vapor, mientras que despus

de los 31C, la sustancia se halla en fase gas.

I) Falso : A50C y a 4 atm. la sustancia se halla en fase vapor.

II)Falso: Al aumentar la temperatura isobricamente, en el punto triple, todas las fases:

coexisten, por lo que la fase slida no desaparece.

III) Falso: A 5C y 2 atm, la sustancia se halla en fase vapor, debido a que est por debajo de

las condiciones crticas. Por lo tanto, no hay clave. Si la pregunta no hubiese sido referida a

las fases de la sustancia, sino al estado de agregacin, tanto el vapor y el gas, se hallan en el

estado de agregacin molecular gaseoso, por lo que la proposicin I sera verdadero.

EJERCICIO 126.-

El amoniaco NH3 y el fluoruro de nitrgeno NF3 son molculas de geometra similar. Indique

con verdadero (V) o falso (F) segn corresponda y marque la alternativa correcta.

Datos : electronegatividades F=4; N=3; H=2,1.

I) La polaridad del NH3 es menor que del NF3

II) Son molculas polares

III) Ambas presentan geometra molecular tetradrica.Solucin:

A partir de las siguientes estructuras electrnicas :

* Se podra inducir que , debido a que los enlaces N-F son ms polares que los enlaces N-H,

hara que la polaridad de la molcula del NF3 sea mayor que la del NH3, pero se debe

considerar que la polaridad del enlace N-F es contrarrestado por el par no enlazante que

acta en direccin opuesta , disminuyendo la polaridad total de la molcula, (que tira hacia

los vrtices de la pirmide) , formando as un sistema de mayor estabilidad .

* Luego :

I) FALSA : la polaridad observable del NH3 a partir del grfico es mayor que la del NF3.

II) VERDADERA : Debido a que la resultante total de los pares enlazantes es diferente de

cero.

III) FALSA : Se debe diferenciar entre Geometra Electrnica (debido a la hibridacin) y la

Geometra Molecular (debido a los enlaces formados entre los tomos y su orientacin

espacial, para que la repulsin sea la mnima posible). Para ambas molculas.

Geometra electrnica : tetradrica (hibridacin sp3

)

Geometra molecular : piramidal (debido al par no enlazante).